¨ zgazdasa ´ gtudoma ´ nyi Kar Debreceni Egyetem, Ko Feladatok a levelez˝o tagozat Gazdas´agi matematika I. t´argy´ahoz ♠ a megold´asra felt´etlen¨ ul aj´anlott feladatokat jel¨oli
Halmazelm´elet (1) ♠ Legyen A = {2, 3, 4}, B = {2, 5, 6}, C = {5, 6, 2}, D = {6}. (a) Melyik igaz az al´abbi ´all´ıt´asok k¨oz¨ ul: 4 ∈ C, A ⊂ B, D ⊂ C, B = C, A = B. (b) Hat´arozzuk meg az A ∩ B, A ∪ B, A \ B, (A ∪ B) \ (A ∩ B), A ∩ B ∩ C halmazokat! (2) ♠ (a) A k¨olt˝ok k¨oz¨ott a legnagyobb fest˝o ´es a fest˝ok k¨oz¨ott a legnagyobb k¨olt˝o vajon ugyanaz a szem´ely-e? (b) A k¨olt˝ok k¨oz¨ott a leg¨oregebb fest˝o ´es a fest˝ok k¨oz¨ott a leg¨oregebb k¨olt˝o vajon egy ´es ugyanaz a szem´ely? (3) Legyen X a DE hallgat´oinak ¨osszess´ege, L a hallgat´ol´anyok halmaza, K a k¨ozgazd´aszhallgat´ok halmaza, C az egyetemi k´orus tagjainak halmaza, B a biol´ogia t´argyat felvett hallgat´ok halmaza, T pedig a teniszez˝ok´e. Fogalmazzuk meg az al´abbi ´all´ıt´asokat a halmazelm´elet nyelv´en: (a) Minden biol´ogi´at tanul´o hallgat´o k¨ozgazd´asz. (b) Az egyetem k´orus´aban van biol´ogi´at felvett hallgat´o. (c) Azon hallgat´ol´anyok, akik se nem teniszeznek, se nem ´enekkarosok mind tanulnak biol´ogi´at. (4) ♠ Egy t´arsas´agban v´egzett felm´er´es szerint a t´arsas´agb´ol ¨otvenen k´av´eznak ´es negyvenen te´aznak. Harminc¨ot olyan szem´ely van, aki k´av´ezni ´es te´azni is szokott, valamint t´ız olyan szem´ely van, aki egyiket sem. H´any tag´ u a t´arsas´ag? (5) Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o lek´epez´eseket: F : N → N, G : Q → Q, H : R → R, L : N → N,
F (n) = 2n (n ∈ N) G(x) = 2x (x ∈ Q) H(x) = x2 (x ∈ R) L(n) = n2 (n ∈ N).
´ Allap´ ıtsuk meg k¨oz¨ ul¨ uk melyik injekt´ıv, sz¨ urjekt´ıv, ill. bijekt´ıv. (6) Legyen A ´es B, v´eges halmaz. Mit mondhatunk A ´es B elemeinek a sz´am´ar´ol, ha tudjuk, hogy l´etezik olyan F : A → B lek´epz´es, amely: (a) injekt´ıv, (b) sz¨ urjekt´ıv, (c) bijekt´ıv.
Indukci´o (7) Bizony´ıtsuk be teljes indukci´oval, hogy minden n ∈ N–re, vagy a megadott n–ekre n(n + 1) , 2 n(n + 1)(2n + 1) (b) ♠ 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = , 6 ¸2 · n(n + 1) , (c) 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = 2 (a) ♠ 1 + 2 + 3 + · · · + n =
n(n + 1)(n + 2) , 3 (e) 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1,
(d) 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) =
(f) ♠
1 1 1 n + + ... = , 1·2 2·3 n · (n + 1) n+1
2
(g)
1 1 1 n + + ... = , 1·3 3·5 (2n − 1) · (2n + 1) 2n + 1
(h) 2 · 21 + 3 · 22 + 4 · 23 + · · · + n · 2n−1 = (n − 1)2n . (8) Mutassuk meg, hogy
ahol
µ ¶ n n! = . k k!(n − k)!
µ ¶ µ ¶ µ ¶ n+1 n n = + , k+1 k k+1
(9) Bizony´ıtsuk be a binomi´alis t´etelt: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n n n−1 n n n (a + b)n = a + a b + ··· + abn−1 + b , 0 1 n−1 n ahol n tetsz˝oleges term´eszetes sz´am, a, b tetsz˝oleges val´os sz´amok. A fenti egyenl˝os´eg t¨om¨orebb form´aja: n µ ¶ X n n−k k (a + b)n = a b . k k=0
Sorozatok (10) Vizsg´aljuk meg a k¨ovetkez˝o sorozatokat monotonit´as ´es korl´atoss´ag szempontj´ab´ol. Hat´arozzuk meg a sorozatok hat´ar´ert´ek´et is. 1 + 2 + ··· + n 1 + 2 + ··· + n n 5n+1 (a) an = ♠, (b) an = − , (c) an = . (n + 1)(n + 10) n+4 2 n! (11) Hat´arozzuk meg, hogy h´anyadik tagt´ol kezdve esnek az an = ε > 0 sugar´ u k¨ornyezet´ebe!
n+2 sorozat elemei a hat´ar´ert´ek 3n − 8
(12) Hat´arozzuk meg az al´abbi an (n ∈ N) sorozatok hat´ar´ert´ek´et, amennyiben az l´etezik. (a) ♠ an = (b) an =
2 + 8n2 , 3n + 9n3
(c) ♠ an = (d) ♠ an = √ 3
(g) (h) (i) (j) (k)
2
n+1 n
2
n−3 n
,
10n + 102 , + 2n + 105
5n
4n2 + 3n , n+2 p ♠ an = n2 + 1 − n, √ √ an = n2 + n − n2 + 1, √ √ √ √ n+ 3n+ 4n+ 5n √ an = , 5n + 1 1 √ an = √ , 2 3n + 5n + 1 − 3n2 + 7n − 1 µ ¶5 n−3 ♠ an = , n−5 ¶n2 +5 µ 2 n +2 , an = n2 + 3
(e) an = (f)
2 + 8n , 3 + 9n
3
¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢ (l) an = (1 + 1) 1 + 12 1 + 13 . . . 1 + n1 . (13) ♠ Tegy¨ uk fel hogy an → +∞, bn → 0. Lehets´eges-e, hogy an bn → 0, an bn → −1, 2, 3, an bn → ∞, an bn → −∞? uk fel, hogy egy sorozatnak v´egtelen sok pozit´ıv, ´es v´egtelen sok negat´ıv eleme van. Lehet-e (14) Tegy¨ ez a sorozat konvergens?
Sorok
(15) ♠ Hat´arozzuk meg, hogy az al´abbiak k¨oz¨ ul melyik geometriai sor, ´es a konvergenseknek sz´am´ıtsuk ki az ¨osszeg´et! 1 1 1 1 1 + ... (b) 1 − + − . . . (a) 8 + 1 + + 8 64 2 3 4 1 1 1 + + 3 + ... p p2 p
(c)
P
(e)
x2n+1
(16) Hat´arozzuk meg a
(d)
1+
(f)
x+
1 1 + + ... 1 + x (1 + x)2 √
1 x + 1 + √ + ... x
∞ ³ X p ´−k b 1+ 100
k=0
sor ¨osszeg´et. (17) 2006-ban a vil´ag teljes vasfelhaszn´al´asa kb. 894 milli´o tonna volt. Ha a vil´ag teljes vas-k´eszlete 211 milli´ard tonna, ´es a felhaszn´al´as ´evi 5%-kal n˝o, akkor mennyi ideig lesz el´eg a k´eszlet? (18) Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o v´egtelen sorok ¨osszeg´et: ∞ ∞ X X 1 1 + (−1)n (a) , (b) . 52n+1 10n n=0 n=0 (19) ♠ Mutassuk meg, hogy az al´abbi sorok divergensek! ¶n ∞ ∞ µ X X n 101 (a) , (b) , 1+n 100 n=1 n=1
(c)
∞ X
1 ¡ ¢n . 1 + n1 n=1
(20) Konvergensek-e a k¨ovetkez˝o sorok: (alkalmazzuk a major´ans, h´anyados vagy gy¨ok tesztet) ∞ ∞ ∞ X X X n+1 1 1 (a) , (b)♠ , (c) , n(n + 2) 2n − 1 2 + 3n n=1 n=1 n=1
(d) ,
♠
¶n ∞ µ X n+1 n=1
3n
∞ X k−1
(e)♠
k!
k=1
,
(f)
∞ X 2n − 1 . (2n)! n=1
F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke ´es folytonoss´aga (21) Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o hat´ar´ert´ekeket: √ x2 − 2x − 3 2− x−1 (a) ♠ lim 2 , (b) lim , x→3 x − 5x + 6 x→5 x2 − 25 (c) ♠
lim
x→∞
µ (e)
lim
x→1
³p ´ x2 + 5x − x ,
¶ 2 3 − , 1 − x2 1 − x3
(d) ♠
(f)
lim √
x→1
lim √
x→∞
1 − x2 √ , x− 2−x
x x2
+1
.
4
´ azoljuk a k¨ovetkez˝o f¨ (22) Abr´ uggv´enyeket ´es d¨onts¨ uk el, monotonok-e: (a) f (x) = 1 − x2 (c) f (x) =
x 4 − x2
1 x+1
(x < 1),
(b)♠
f (x) =
(−2 < x < 2),
(d)♠
f (x) = |1 − x2 |
(x 6= −1), (x > 1).
´ azoljuk a k¨ovetkez˝o f¨ (23) Abr´ uggv´enyeket, ´es vizsg´aljuk meg, hogy viselkednek szakad´asi helyeik k¨ornyezet´eben ´es a v´egtelenben: (x − 2)2 3 , (b) f (x) = , (a) ♠ f (x) = x−1 (x − 2)(x − 3) 1 x−1 (c)♠ f (x) = 3 x+1 , , (d) f (x) = 2 x −x 1 − x2 , ha x ≤ 0, 1 2 − 2 x , ha x ≤ 2, (e) ♠ f (x) = (f) f (x) = (1 − x)2 , ha 0 < x ≤ 2, x, ha x > 2, 4 − x, ha x > 2. ´ ıtsuk meg, hogy vannak-e olyan pontok, melyben az (24) ♠ Allap´ 2 4 − x , ha x racion´alis , f (x) = 4 + x2 , ha x irracion´alis f¨ uggv´eny folytonos. (25) ♠ Hol vannak ´ertelmezve a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyek? Folytonosak-e ´ertelmez´esi tartom´anyuk pontjaiban? x (a) f (x) = x5 + 4x (b) f (x) = 1−x (c) f (x) = √ (e) f (x) =
√
1 2−x
x+
1 x
(d) f (x) = (f)
x x2 + 1
1 f (x) = √ + (x + 2)3/2 . x
(26) ♠ Melyek azok a f¨ uggv´enyek, amelyek val´oszin˝ uleg az id˝onek folytonos f¨ uggv´enyei? (a) Egy uncia arany ´ara a z¨ urichi arany piacon. (b) Egy n¨oveked˝o gyermek magass´aga. (c) Egy rep¨ ul˝og´ep f¨old feletti magass´aga. (d) Egy aut´o ´altal megtett u ´t.
Differenci´alsz´am´ıt´as Deriv´altak kisz´am´ıt´ asa ´ azoljuk az (27) Abr´ ♠f (x) =
0
0
ha x < 0 ´es a
x2
g(x) =
ha x ≥ 0
f¨ uggv´enyeket. Differenci´alhat´o-e f ´es g az x = 0-ban?
x
ha x < 0 ha x ≥ 0
5
(28) ♠ Deriv´aljuk a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyeket: x2 − x f (x) = ; 5
4 g(x) = x + 2 ; 2x
√ 2+ x √ ; h(x) = 2− x
i(x) = sin 2x;
j(x) = 2 sin x cos x;
k(x) = sin x3 ;
`(x) = sin(cos x);
m(x) = ln(sin x);
n(x) = xx ;
o(x) = x tg x ;
p(x) =
¡
tg
√
¢3 x2 + cos x ;
q(x) = tg x/ cos x.
(29) ♠ Adjuk meg a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyek deriv´altj´at: √ µ ¶ 2x + 1 cos x sin(2x)2 f (x) = ln ; g(x) = ln ; sin x x3 + (3x − 1)2 h(x) = xcos x ;
i(x) = x2 + (sin x)sin x ; 2
j(x) = (ln 2x)3x ; 3
k(x) = (3x2 )
x−4
;
3 ´ ´√ ³³ p x−4 7 m(x) = (x − 4) x6 .
2
2
√ 3
`(x) = lg{5x + 3x − sin (2 − x)};
(30) Hol nem differenci´alhat´ok az al´abbi f¨ uggv´enyek? Sz´am´ıtsuk ki a differenci´alh´anyadosukat ott, ahol differenci´alhat´ok! f (x) = |x|;
g(x) = | ln x|;
♠h(x) = |x3 |.
uggv´enyek magasabbrend˝ u deriv´altjait: (31) Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o f¨ (a) f (x) = 8x4 + 4x5 + 3x2 + 5 (b) f (x) = e−x
2
f (5) (x) = ♠ f (2) (x) =
(c) f (x) = ex cos x
f (3) (x) =
(d) f (x) = x2 ln x
f (2) (x) = ♠
(e)
f (3) (x) =
f (x) = arc tg x
K¨oz´ep´ert´ekt´etelek, Taylor t´etel (32) Legyen f (x) = x2 . Lagrange t´etele szerint l´etezik egy olyan ξ ∈ (1, 2) sz´am, hogy f 0 (ξ). Keress¨ uk meg ξ-t.
22 − 12 =3= 2−1
(33) Hat´arozzuk meg az y = ex f¨ uggv´eny Taylor-sor´at az x = 1 pont k¨or¨ ul.
F¨ uggv´enyvizsg´alat, monotonit´as, konvexit´ as, sz´els˝ o´ert´ek (34) Vizsg´aljuk meg a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyeket. (Hat´arozzuk meg a z´erushelyeket, hat´ar´ert´ekeket, azokat az intervallumokat, ahol monoton n¨ovekv˝o, illetve cs¨okken˝o, konvex illetve konk´av, v´eg¨ ul ´abr´azoljuk a f¨ uggv´enyt.) (a)♠f1 (x) = 8(x3 − 9x); x2 ; − 2x + 1 x (e) f5 (x) = ; (x − 1)ex sin x (g) f7 (x) = 2 − cos x
(c)
f3 (x) =
x2
(b)♠f2 (x) = (x − 1)2 (x + 3)2 ; (d)♠f4 (x) =
1 + x3 ; x2
(f ) f6 (x) = sin 2x + 2 cos x; 0 < x < 2π.
6
(35) Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyek lok´alis sz´els˝o´ert´ekeit, ´es azokat az intervallumokat, amelyekben a f¨ uggv´eny monoton, konvex/konk´av. x (a)♠f (x) = x4 − x2 ; (b) f (x) = 2 ; x −1 x2 − 1 (c)♠f (x) = 2 ; (d) f (x) = sin x + cos x; x +1 √ (e) f (x) = x 1 − x2 ; (f )♠f (x) = −x ln x. (36) A k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyekn´el vizsg´aljuk meg, hogy a f¨ uggv´eny g¨orb´eje mely intervallumban konvex, illetve konk´av. Hat´arozzuk meg a f¨ uggv´eny inflexi´os helyeit is. (a)♠f (x) = x3 − 3x2 − 9x + 9;
(b)♠g(x) = (x − 2)2 − 5; µ
4x (c) h(x) = 2 ; x +1 x2 (e)♠j(x) = + ln x; 2 1 (g) `(x) = (ex − e−x ); 2
(d) i(x) = 1 +
(k) n(x) = −x3 + 2x2 − x;
x+1 x−2
(f )
k(x) = arc tg x;
(h)
m(x) = x(ln x)−1 ;
¶2 ;
o(x) = x5 − 5x2 .
(37) Ha f differenci´alhat´o az x0 bels˝o pontban, ´es f -nek ott helyi sz´els˝o ´ert´eke van, akkor f 0 (x0 ) = 0. Adjunk meg egy olyan konkr´et f¨ uggv´enyt, hogy f 0 (x0 ) = 0, de f -nek nincs helyi sz´els˝o´ert´eke x0 -ban. (38) L’Hospital szab´aly alkalmaz´as´aval hat´arozzuk meg az al´abbi hat´ar´ert´ekeket: 1 − cos kx ; (b) x→0 1 − cos mx tg x − x (d) limπ ; (e) x→ 2 x − sin x ¡ ¢ ln x2 (g)♠ lim ; (h) x→2 x − 2 (a)♠ lim
(j)
lim 2x ln x;
x→+0
(k)
x ; x→∞ ln(x + 1) ln x lim ln x ; x→1 a −x lim
arc tg x ; x→0 x
(c) (f )
e2x − 1 ; x→0 sin x tg x limπ ; x→ 2 tg 5x lim
7x − 5x ; x→+0 x2
lim
(i)♠ lim
lim xsin x ;
(l)
x→+0
lim 2x ctg 3x.
x→0
(39) ♠ A K = 1 cm ker¨ ulet˝ u t´eglalapok k¨oz¨ ul melyiknek a legnagyobb a ter¨ ulete? ulet˝ u t´eglalapok k¨oz¨ ul melyiknek a legnagyobb a ker¨ ulete? (40) Az 1 m2 ter¨ ´ a (41) Az r = 2m sugar´ u k¨orbe ´ırhat´o t´eglalapok k¨oz¨ ul melyiknek a legnagyobb a ter¨ ulete? Es ker¨ ulete? u k¨or alak´ u fat¨orzsb˝ol gerend´at faragnak, melynek keresztmetszete b alap´ u ´es h (42) ♠ Egy d ´atm´er˝oj˝ magass´ag´ u t´eglalap. Mikor lesz a gerenda (bh2 -tel ar´anyos) szil´ards´aga a maxim´alis? (43) Az R sugar´ u g¨ombbe ´ırjunk maxim´alis t´erfogat´ u hengert! (44) Hat´arozzuk meg azt a legnagyobb t´erfogat´ u k´ upot, amelynek alkot´oja adott l hossz´ us´ag´ u! (45) ♠ Egy szem´ely x Ft brutt´o j¨ovedelme ut´ani A(x) Ft ad´oj´at az A(x) = a(bx + c)p + kx k´eplettel sz´amolhatjuk, ahol a, b, c pozit´ıv ´alland´ok, p > 1, k ∈ R. Milyen j¨ovedelem mellett lesz az ´atlagos ad´oh´anyad A(x) ¯ A(x) = x minim´alis?
7
(46) ♠ Adott n darab sz´am, a1 , a2 , . . . , an . Keress¨ uk meg azt az x sz´amot amely ezeket legjobban k¨ozel´ıti abban az ´ertelemben, hogy a d(x) := (x − a1 )2 + (x − a2 )2 + · · · + (x − an )2 a lehet˝o legkisebb legyen! uk meg az f (x) = x3 − 3x + 8 f¨ uggv´eny (glob´alis) maximum´at ´es minimum´at a [−1, 2] (47) ♠ Keress¨ intervallumon. (48) Egy c´eg egyf´ele term´eket gy´art. Egy adott id˝oszakban termelt ´es eladott x mennyis´eg˝ u term´ekb˝ol B(x) bev´etele van, m´ıg k¨olts´egei K(x)-t tesznek ki (valamilyen p´enzegys´egben). Az x mennyis´eg˝ u term´ek elad´as´ab´ol sz´armaz´o P (x) profit P (x) = B(x) − K(x). Technikai korl´atok miatt a c´eg egy adott id˝oszakban legfeljebb x ¯ mennyis´eg˝ u term´eket tud el˝o´all´ıtani, ´ıgy x ∈ [0, x ¯]. Milyen x ∈ [0, 500] mellett lesz a profit maxim´alis, ha (a) (b) (c)
B(x) = 1840x, B(x) = 2240x, B(x) = 1840x,
K(x) = 2x2 + 40x + 5000, ♠ K(x) = 2x2 + 40x + 5000, K(x) = 2x2 + 1940x + 5000.
(49) Az el˝oz˝ o feladatban legyen K(x) = ax3 + bx2 + cx + d ahol a > 0, b ≥ 0, c, d > 0 adott konstansok. Igazolja, hogy az K(x) A(x) := x ´atlagos k¨olts´egf¨ uggv´enynek van minimuma a ]0, ∞[ intervallumban. Keress¨ uk meg ezt a minimumhelyet, ha b = 0.
Hat´arozatlan integr´ al (50) ♠ Az alapintegr´alok, elemi ´atalak´ıt´asok ´es line´aris helyettes´ıt´esek seg´ıts´eg´evel sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o integr´alokat! Z
Z
1 dx 2 x Z 2 x −1 b) dx Z x+1 x+1 √ dx c) x Z d) (1 + ex−1 )dx Z e) (x4 + 3x2 + 5x + 2) dx Z (1 − x2 )2 dx f) Z g) x(1 − x)(1 − 2x) dx Z 1 1 1 h) ( + 2 + 3 ) dx x x x Z x+1 √ dx i) x Z 1 + x2 dx j) x2
k)
a)
(51) Az
Z
f α+1 f f = (α 6= −1) ´es α+1 α 0
Z l) Z m) n) o) p)
Z Z Z Z
(t2 + 6t − 5)dt r q √ x x xdx µ ¶ 5 1 2ex + + dx x cos2 x 1 dx x+5 (2x − 3)10 dx √ 3 1 − 3x dx
1 dx 2 − 5x Z 1 dx r) 5 + 2x2 Z 1 dx s) 2 + 3x2 Z 1 √ t) dx 2 − 3x2
q)
Z
f0 = ln |f | f
√
8
formul´ak seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o integr´alokat! Z
Z
x+1 dx ♠ 2 Z x + 2x − 1 x−2 dx b) x(x − 4) Z 1 c) dx ♠ x ln x Z d) tg x dx ♠ Z sin 2x e) dx 1 + sin2 x Z 8x − 7 f) dx 2 4x − 7x + 11 a)
g) h) i) j) k)
Z Z Z Z Z
l)
e2x dx 1 + e2x 2x dx 1 + x2 x dx 2 + 3x2 5x √ dx 1 − 2x2 2x + 5 dx ♠ 1 + 3x2 1+x dx 2 + 3x2
(52) Alkalmas helyettes´ıt´esekkel hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o hat´arozatlan integr´alokat! Z a)
Z 2
Z
xe−x dx (t = −x2 )♠
d)
3x dx (t = 2 + 3x2 ) 2 3 Z (2 + 3x ) x dx (t = 1 + x2 )♠ c) (1 + x2 )2
Z
sin3 x cos x dx (t = sin x)♠
3+x dx (t = 5 − 2x2 ) 5 − 2x2 Z sin x √ f) dx (t = cos x) cos3 x
b)
√
e)
(53) Sz´am´ıtsuk ki (parci´alis integr´al´assal) a k¨ovetkez˝o hat´arozatlan integr´alokat ! Z Z a) xex dx ♠ e) ex cos x dx ♠ Z Z b) (x2 + 1)ex dx f) arc tg x dx ♠ Z Z c) x sin x dx g) e−x sin x dx Z Z d) x ln x dx ♠ h) ln x dx (54) Integr´aljuk ovetkez˝o racion´alis t¨ortf¨ uggv´enyeket! Z a k¨ x3 a) dx ♠ 2 Z x +1 1 b) dx ♠ x2 − 2x − 3
Z
5 dx ♠ (x − 2)(x + 5) Z 2x + 3 d) dx (x − 2)(x + 5) c)
Hat´arozott integr´ al
(55) ♠ Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o hat´arozott integr´alokat!
Z3
Z2π 1 dx ;
22
sin x dx ; 0
Z−1 cos x dx ; √ 2
Zπ
Z100 2
x dx ; −1
1
1 dx. x
9
(56) ♠ Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o integr´alokat! Z3
Z2 x2 e2x dx ;
0
−2
Zπ/2
2x dx ; (x2 − 100)7
ctg (x) dx. π/3
(57) Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o hat´arozott integr´alokat! Z3
√
x e
√
Z12 x
dx ;
♠
2
4
1 dx ; 1 − x2
Ze 0
e4x dx ; 1 + ex
Z4 2
x3
1 dx. −x
Improprius integr´ alok (58) L´eteznek-e a k¨ovetkez˝o improprius integr´alok ? Ha igen, sz´am´ıtsuk ki ˝oket! Z∞ ♠
Ze ln x dx ;
1
ex dx ; −∞
ln x dx ; 0
Z1
Z0
♠
Z1
−∞
Z1 ln |x| dx ; −∞
−1
1 dx ; x2
Z0 −∞
1 dx ; x2
Z3 0
1 √ dx ; x
1 dx ; x Z∞ 2
Z0 e−x dx ;
♠
3 √ dx x
+∞
Z∞ ♠ 0
dx . 1 + x2
Az integr´ al alkalmaz´ asai
(59) Egy munk´as b´ere egy adott ´ev n-edik napj´an b(n) = 500 + n · 0, 5 + n2 · 0, 001 forint. Mennyit keres ´ıgy egy ´ev alatt? Helyes-e az integr´alsz´am´ıt´ast haszn´alni a feladat megold´as´ahoz? (60) Legyen A = {(x, y) | y ≥ x2 } ´es B = {(x, y) | y ≤ x + 2}. Mennyi A ∩ B ter¨ ulete ? x2 y2 + 2 = 1 ellipszis ter¨ ulete ? 2 a b √ (62) ♠ Mennnyi az f (x) = 4 − x2 f¨ uggv´eny g¨orb´ej´enek a hossza x = −0, 5 ´es x = 1 k¨oz¨ott ? (61) Mennyi az
(63) ♠ Ha egy [a, b]-n ´ertelmezett f (x) f¨ uggv´eny g¨orb´ej´et megforgatjuk az x-tengely k¨or¨ ul, akkor az ´altala ”hat´arolt” forg´astest t´erfogata Zb V = f 2 (x) π dx . a
Ezt felhaszn´alva sz´am´ıtsuk ki egy g¨omb ´es egy k´ up t´erfogat´at!
