¨ zgazdasa ´ gtudoma ´ nyi Kar Debreceni Egyetem, Ko Feladatok a Gazdas´agi matematika II. t´argy gyakorlataihoz ♠ a megold´asra aj´anlott feladatokat jel¨oli, e feladatokat a f´el´ev v´eg´ere megoldottnak tekintj¨ uk F a nehezebb feladatokat jel¨oli
T¨obbv´altoz´os f¨ uggv´enyek ´ azolja a koordin´atas´ıkon a H halmazt, ha (1) ♠ Abr´ (a) H = {(x, y) ∈ R2 | d((x, y), (0, 0)) ≥ 1}; (b) H = {(x, y) ∈ R2 | d((x, y), (1, 1)) > 2}; (c) H = {(x, y) ∈ R2 | x ≤ 2, x + 2y ≥ 3, 2x − y ≤ 1, 3x + 4y ≥ 12}. arozza meg a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyek ´ertelmez´esi tartom´any´at (´es ´abr´azolja a kapott halma(2) ♠ Hat´ zokat az R2 ill. R3 t´erben): (a) f (x, y) = ln xy; q 2 2 (b) f (x, y) = 1 − xa2 − yb2 (a, b > 0); p (c) f (x, y) = sin π(x2 + y 2 ); p (d) f (x, y, z) = R2 − x2 − y 2 − z 2 + √
1 x2 +y 2 +z 2 −r 2
(R > r > 0).
(3) ♠ Hat´arozza meg, milyen alakzatot alkotnak az f (x, y) = z0 egyenlet megold´asai, ha (a) f (x, y) = x2 + y 2 , z0 = 25; (b) f (x, y) = cos π(x + y), z0 = 1; (c) f (x, y) = tg π4 xy, z0 = 1; (d) f (x, y) = sin π(x2 + y 2 ), z0 = 0. (4) ♠ L´etezik-e hat´ar´ert´eke az (R3 -beli) (an ) sorozatnak ? Ha igen, hat´arozza meg. ³ 2 ´ 1 (a) an = n3n+1 , 2−n , n! ; ³¡ ´ ¢n 2n (b) an = 1 + n1 , sinn n , n+1 ; ¡ ¢ (c) an = sin πn, n, n12 . (5) L´eteznek-e a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyhat´ar´ert´ekek ? Ha igen, hat´arozza meg. (a) ♠
x2 + 2xy + y 2 ; x2 − y 2 (x,y)→(2,−2)
(b) ♠
sin xy ; y (x,y)→(3,0)
(c) ♠ (d)
lim
lim lim
1 ; x−y
lim
x + xy − y . x + xy + y
(x,y)→(1,1)
(x,y)→(0,0)
(6) ♠ Folytonosak-e az al´abbi, az eg´esz R2 -n ´ertelmezett f¨ uggv´enyek? (a) f (x, y) = x2 − y;
2
(b) f (x, y) = sin xy; (c) f (x, y) = ln(x2 + y 2 + 1). (7) Folytonosak-e (0, 0)-ban a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyek ? ( 2 2 x y ha (x, y) 6= (0, 0) 2 2, (a) ♠ f (x, y) = x +y 0, ha (x, y) = (0, 0); ( 1 ha (x, y) 6= (0, 0) 2 2, (b) f (x, y) = x +y 0, ha (x, y) = (0, 0); ( xy ha (x, y) = 6 (0, 0) 2 2, (c) ♠ f (x, y) = x +y 0, ha (x, y) = (0, 0). (8) F Mutassa meg, hogy az al´abbi f¨ uggv´eny parci´alis differenci´alh´anyadosai az orig´oban nem folytonosak, de ott a f¨ uggv´eny m´egis differenci´alhat´o. ( 1 (x2 + y 2 ) sin x2 +y ha (x, y) 6= (0, 0) 2, f (x, y) = 0, ha (x, y) = (0, 0). o f¨ uggv´enyek els˝o parci´alis deriv´altjait, majd hozza ˝oket egyszer˝ ubb (9) ♠ Sz´am´ıtsa ki a k¨ovetkez˝ alakra. (a) f (x, y) = x2 − 2xy + y 2 − x + 1; (b) f (x, y) = (x3 − 2x2 y + y 2 )7 ; (c) f (x, y) = xy cos x2 y 2 ; (d) f (x, y) = ex
2
+y 2 −1
;
(e) f (x, y) = (2x + y)2x−y . (10) ♠ Sz´am´ıtsa ki a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyek m´asodrend˝ u parci´alis deriv´altjait. (a) f (x, y) = x3 − 3x2 y + xy 2 + y 3 ; (b) f (x, y) =
x−y x+y ;
(c) f (x, y) = sin x cos y; (d) f (x, y) =
1 x2 +y 2 .
(11) ♠ Hat´ arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek ir´anymenti deriv´altj´at az a ir´any ment´en (figyelem a nem egys´egvektor!) a megadott (x0 , y0 ) pontban! (a) f (x, y) = 2x2 + y − 1, (b) f (x, y) = xexy − xy,
a = (1, 1), (x0 , y0 ) = (2, 1), a = (3, 4), (x0 , y0 ) = (1, 1).
2
uk fel, hogy itt (12) F Legyen f : D ⊂ R → R differenci´alhat´o az (x0 , y0 ) ∈ D bels˝o pontban ´es tegy¨ az els˝o parci´alis deriv´altak legal´abb egyike nem nulla. Milyen e ir´any ment´en lesz a De f (x0 , y0 ) ir´anymenti deriv´alt maxim´alis (minim´alis)? (13) A l´ancszab´aly seg´ıts´eg´evel sz´am´ıtsa ki h0 (t)-t, ha h(t) = f (ϕ(t), ψ(t)) ´es (a) ♠ f (x, y) = 2x2 + y 2 − xy, (b)
f (x, y) = x ln y + y ln x,
ϕ(t) = t2 , ψ(t) = t3 , ϕ(t) = t + 1, ψ(t) = ln t.
(14) A l´ancszab´aly seg´ıts´eg´evel sz´am´ıtsa ki ∂1 F (u1 , u2 ), ∂2 F (u1 , u2 )-t, ha F (u1 , u2 ) = f (g(u1 , u2 ), h(u1 , u2 ), k(u1 , u2 )), ´es (a) ♠ f (x1 , x2 , x3 ) = 2x21 + x22 − 3x1 x3 , g(u1 , u2 ) = u1 u2 , h(u1 , u2 ) = u1 , k(u1 , u2 ) = u1 /u2 ,
3
(b)
2
f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 x2 x3 )2 , g(u1 , u2 ) = ln(u1 + u2 ), h(u1 , u2 ) = u21 , k(u1 , u2 ) = (u1 /u2 ) .
(15) ♠ Az y 6 + y 5 − x2 − x + 4 = 0 egyenlet implicit m´odon meghat´arozza az y = f (x) f¨ uggv´enyt, ´es f (2) = 1. Hat´arozza meg f 0 (2)-et! uggv´enyt, (16) Az 2x5 + 3xyz − 4z − 1 = 0 egyenlet implicit m´odon meghat´arozza az x = f (y, z) f¨ f (1, 1) = 1. Hat´arozza meg a ∂x f (x, y), ∂y f (x, y) parci´alis deriv´altakat! Sz´amolja ki ezen parci´alis deriv´altakat az (1, 1) pontban is. (17) F Az 2x5 + 3xyz + 5z + u = 0, xyzu + 2ey − 10x = 0 egyenletek implicit m´odon meghat´arozz´ak az x = f (z, u), y = g(z, u) f¨ uggv´enyeket. Hat´arozza meg a ∂z f (z, u), ∂u f (z, u) parci´alis deriv´altakat! (18) Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek stacion´arius pontjait ´es lok´alis sz´els˝o´ert´ek helyeit, azok t´ıpus´ at ´es nagys´ag´at. (a)
f (x, y) = x2 + 2y 2 − x − 2y − 1, 2
4
(b) ♠ f (x, y) = x y − 3xy + 2y ,
(x, y ∈ R);
(x, y ∈ R);
(c) ♠ f (x, y) = x4 + y 4 − x2 − 2xy − y 2 , (d)
4
4
2
f (x, y) = 2x + y − x − 2y ,
(e) ♠ f (x, y) =
20 x
+ 2
(f) ♠ f (x, y) = e−(x (g)
2
50 y
+ xy, 2
(x, y ∈ R);
(x > 0, y > 0);
−2xy+2y )
2
(x, y ∈ R);
,
3
(x, y ∈ R); 2
f (x, y) = x − 4xy + y + y + 5,
(x, y ∈ R)
(19) Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek felt´eteles sz´els˝o´ert´ekeit! (a) ♠ f (x, y) = x2 + y 2 , ha (b)
x 2
+
y 3
= 1;
f (x, y, z) = x − 2y + 2z, ha x2 + y 2 + z 2 = 1;
(c) F f (x, y, z) = xyz, ha x2 + y 2 + z 2 = 1, x + y + z = 1; (d) F f (x, y, z) = xy + yz, ha x2 + y 2 = 2, y + z = 2, x, y, z > 0. (20) ♠ A k¨ozgazd´asz-hallgat´o T¨oh¨ot¨om 100 Ft egys´eg´ar´ u virslire ´es 300 Ft egys´eg´aru s¨orre k¨olti el (teljes eg´esz´eben) 9.000 Ft zsebp´enz´et. Tudja, hogy hasznoss´agi f¨ uggv´enye U (x1 , x2 ) =
2 1 ln(x1 ) + ln(x2 ) 3 3
alak´ u, ahol x1 a virslib˝ol, x2 a s¨orb˝ol v´as´arolt mennyis´eget jel¨oli. Melyik term´ekb˝ol mennyit v´as´aroljon T¨oh¨ot¨om, hogy U -t maximaliz´alja (az adott mell´ekfelt´etelek mellett)?
Vektorterek (21) ♣ Alteret alkotnak-e az R5 vektort´erben a megadott r´eszhalmazok? Ha igen, akkor h´any dimenzi´osak? (a) L = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) | x1 = x5 , x2 = x3 } (b) L = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) | x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 0 } (c) L = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) | xi = 2k p´aros sz´am k ∈ Z, i = 1, 2, .., 5 } (d) L = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) | x1 , x5 ∈ Q } (e) L = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) | x21 + x22 + x23 = 0 } (22) Igazolja, hogy az a, b, c vektorrendszer pontosan akkor line´arisan f¨ uggetlen, ha az a + b + c, a + b, a vektorrendszer line´arisan f¨ uggetlen.
4
(23) ♣ Mutassa meg, hogy az a1 , a2 , . . . , ak vektorrendszer pontosan akkor line´arisan f¨ uggetlen, ha a1 , a2 − a1 , . . . , ak − ak−1 is az. (24) Igazolja, hogy b1 , b2 , . . . , bk b´azis Rk -ban, s adja meg az x vektor koordin´at´ait az adott b´azisra vonatkoz´oan: k =4 ♣k =3 b1 = (1, 1, 0, 1) b1 = (1, 1, 1) b2 = (2, 1, 3, 2) b2 = (1, 1, 2) b3 = (1, 1, 0, 0) b3 = (1, 2, 3) b4 = (0, 1, −1, −1) x = (6, 9, 14) x = (0, 0, 0, 1) (25) Hat´arozza meg a k¨ovetkez˝o vektorok ´altal gener´alt alt´er b´azis´at ´es dimenzi´oj´at! a1 a ♣ 2 a3 a4
b1 b2 b3 b4 b5
= (2, 1, 3, −1) = (−1, 1, −3, 1) = (4, 5, 3, 1) = (1, 5, −3, 1)
= (1, 1, 1, 1, 0) = (1, 1, −1, −1, −1) = (2, 2, 0, 0, −1) = (1, 1, 5, 5, 2) = (1, −1, −1, 0, 0)
(26) Tekints¨ uk a legfeljebb n-edfok´ u val´os egy¨ utthat´os polinomok Pn vektorter´et! Alteret alkotnak-e, s ha igen h´any dimenzi´osat a megadott polinomhalmazok? (a) L = { p ∈ Pn | p(2006) = 0 } (b) L = { p ∈ Pn | p(t) = p(−t) (t ∈ R) } (c) L = { p ∈ Pn | p(t) = an tn + · · · + a1 t + a0 , (ai ∈ Q, i = 1, . . . , n) } (d) L = { p ∈ Pn | p(1) + p(−1) = 0 } (27) Line´arisan f¨ uggetlen-e a P3 vektort´erben a p1 (t) = (t − 1)2 , p2 (t) = t2 − 1, p3 (t) = 2t2 + 2t − 3 vektorrendszer?
M´atrixok ´es determin´ansok
(28) ♣ Sz´am´ıtsa ki az AB, BA, AC, ABC, ADF, DF, G2 , 3G2 − 2G + 5G0 m´atrixokat, ha µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 2 −1 0 2 0 A= , B= , C= , 2 3 2 0 0 3 µ D=
1 0
2 0
1 1
¶ ,
−2 F = 1 , 0
(29) Hat´arozza meg az AX, X > A m´atrixokat, ha 3 7 5 1 A = 1 −1 4 ´es (a) X = 0 , 2 1 8 0
1 G= 2 3
−2 −4 −5
(b)
0 X = 1 . 1
(30) Bizony´ıtsa be, hogy µ
cos α sin α
− sin α cos α
¶n
µ =
cos nα sin nα
3 1 . 2
− sin nα cos nα
¶ .
5
(31) Igazolja, hogy a)
¯ ¯ x11 ¯ ¯ x21
¯ x12 ¯¯ = x11 x22 − x12 x21 , x22 ¯
b)
¯ ¯ x11 ¯ ¯ x21 ¯ ¯ x31
x12 x22 x32
x13 x23 x33
¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯
x11 x22 x33 + x12 x23 x31 + x13 x21 x32 −x13 x22 x31 − x12 x21 x33 − x11 x23 x32
(32) ♣ Fell´ephetnek-e egy hetedrend˝ u determin´ansban az a45 a71 a23 a67 a34 a12 a56 ,
a26 a35 a44 a17 a53 a62 a31
szorzatok, ha igen, akkor milyen el˝ojellel? (33) Sz´am´ıtsa ki a k¨ovetkez˝o determin´ansok ´ert´ek´et: ¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 1 2 ¯ ¯ ¯ a) ♣ ¯ 1 1 3 1 ¯, ¯ ¯ ¯ 1 2 1 4 ¯
c) ♣
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
0 0 5 1
0 0 6 2
5 6 7 3
1 2 3 4
(34) ♣ A kifejt´esi t´etel alkalmaz´as´aval ¯ ¯ a 1 1 ¯ ¯ b 0 1 ¯ a) ¯ c 1 0 ¯ ¯ d 1 1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯, ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
b)
0 1 2 3
¯ ¯ 1 ¯ ¯ 3 ¯ ¯ 5 ¯ ¯ 31
d)
1 0 1 2
2 1 0 1 2 4 6 23
3 2 1 0 3 5 7 55
¯ ¯ ¯ ¯ ¯, ¯ ¯ ¯ 4 6 8 42
¯ ¯ ¯ ¯ ¯. ¯ ¯ ¯
sz´am´ıtsa ki a k¨ovetkez˝o determin´ansok ´ert´ek´et: ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯¯ 3 1 1 1 ¯¯ ¯ ¯ 1 ¯¯ 2 1 1 1 ¯¯ ¯ , b) ¯ −8 5 9 5 ¯ . 1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ −11 7 7 4 ¯ 0 ¯
(35) Hat´arozza meg az A m´atrix determin´ans´at, ha az A m´atrix aij eleme a) aij = min(i, j), b) aij = max(i, j). (36) ´Irja fel x polinomjak´ent az al´abbi determin´ansokat: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 2 3 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¯ 1 2−x 2 ¯ 3 ¯ ¯ ¯ a) ♣ , b) ¯ ¯ 2 ¯ 3 1 6 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¯ 2 3 1 9−x ¯ ¯ ¯ (37) ♣ Hat´arozza meg x-et, ha
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1 1 1 1
1 1 1 .. .
2 x+1 2 .. .
3 3 x+1 .. .
... ... ...
1
2
3
...
1 1 1 1−x 1 1 1 2−x 1 1 1 3−x
(38) Mutassa meg kiz´ar´olag sorok (vagy oszlopok) ¯ 2 ¯ 1 22 32 ¯ 2 ¯ 2 32 42 ¯ 2 ¯ 3 42 52 ¯ 2 ¯ 4 52 62
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯. ¯ ¯ ¯ x+1 ¯ n n n .. .
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. ¯ ¯ ¯
egym´asb´ol val´o kivon´as´aval, hogy ¯ 42 ¯¯ 52 ¯¯ = 0. 62 ¯¯ 2 ¯ 7
6
µ (39) Mikor invert´alhat´o az
a b c d
¶ m´atrix? Hogyan sz´am´ıthatjuk ki az inverz´et?
(40) Invert´ alhat´ok-e az al´abbi m´atrixok, ´es ha igen, hat´arozza meg az µ ¶ 1 1 5 −4 0 1 a) ♣ , b) ♣ −8 6 1 1 c) ♣
e)
1 2 1 −1
g)
2 3 3
5 1 −1 4 , 0 7
−2 3 2
2 3 1 0 −1 4 −2
3 1 1 −2
d) ♣
4 2 , −1 −6
1 1 1 1
f)
1 2 3 −1
−1 −2 , 4
h)
(41) Mennyi az A m´atrix rangja? Adja meg a 1 1 1 1 1 1 −1 −1 a) ♣ A = 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1
1 2 3 2
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 , −1 1
0 1 2 0
0 −1 0 1
−1 −1 , −1 1
2 −1 2 −3
3 −2 −1 2
−2 −3 . 2 1
sorvektorai ´altal gener´alt alt´er egy b´azis´at! 1 −2 0 , 5 6 . b) A = 4 7 −1 6
(42) Milyen λ ´ert´ekek mellett invert´alhat´ok az al´abbi m´atrixok: 1 1 2 1 λ −12 −2 −3 λ , λ , a) 3 −1 b) ♣ 1 −1 −1 1 2 6 (43) ♣ Mutassa meg, hogy az
inverz¨ uket! 2 1 , 3
1 2 A= 1 3 2 4
c)
1 λ 0
λ 0 1
0 1 . 1 λ
3 −2 7
m´atrix invert´alhat´o, ´es hat´arozza meg az A · X = B egyenlet ¨osszes X ∈ M3×3 megold´as´at, ha 4 7 1 B = −14 8 −5 . 11 14 3 (44) Hat´arozza meg az A m´atrix saj´at´et´ekeit ´es saj´atvektorait, ahol 2 1 1 2 −1 a) ♣ A = 1 3 1 , b) A = 0 −1 1 2 2 0 2
Line´aris egyenletrendszerek
−1 0 . 1
7
(45) Oldja meg Gauss elimin´aci´oval az al´abbi line´aris homog´en egyenletrendszereket: 8x1 ♣ 4x1 8x1
+2x2 +x2 +2x2 ♣
+9x3 +3x3 +5x3 3x1 x1
+5x4 +x4 +x4
+x2 +x2
= 0 = 0 , = 0
2x1 3x1 4x1
+x3 = 0 , +x3 = 0
9x1 12x1
+21x2 +28x2
+x2 +5x2 −5x2
−4x3 −7x3 −6x3
= 0 = 0 , = 0
−15x3 −20x3
+5x4 +7x4
= 0 . = 0
(46) Oldja meg Gauss elimin´aci´oval az al´abbi line´aris inhomog´en egyenletrendszereket: 3x1 x1 2x1
−2x2 +x2 −x2
+x3 −x3 +3x3
+2x4 −x4
= = =
2x1 4x1 2x1 x1
1 −2 , 4
+5x2 +3x2 +3x2 +8x2
−8x3 −9x3 −5x3 −7x3
= 8 = 9 . = 7 = 12
(47) Oldjuk meg Cramer szab´allyal a k¨ovetkez˝o line´aris egyenletrendszereket:
1 2 4
a) ♣
1 2 3 2
b)
2 −1 2 −3
1 2 x1 −1 2 x2 1 4 x3
−1 = −4 , −2
−2 x1 x2 −3 2 x3 1 x4
6 8 = 4 . −8
3 −2 −1 4
(48) Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o line´aris egyenletrendszereket! x1 3x1 2x1 x1
+x2 −x2 +3x2 +2x2
+2x3 −x3 −x3 +3x3
+3x4 −2x4 −x4 −x4
= 1 = −4 , = −6 = −4
2x1 x1 ♣ x1 2x1
+x2 +3x2 +x2 +3x2
+x3 +x3 +5x3 −3x3
= 2 = 5 . = −7 = 14
(49) Adjuk meg a k¨ovetkez˝o line´aris egyenletrendszerek ¨osszes megold´as´at!
2 1 ♣ 3 4
1 −1 3 5
3 1 2 −1 1 3 3 −2
−1 −1 1 1 −3 −3 −5 −5 −2 7 −2 7
1 −3 5 −5
x1 1 1 x2 −2 x3 = 0 , 2 4 x4 7 3 x5 x1 −1 1 x2 2 5 x3 = . 3 −7 x4 8 3 x5
uk a k¨ovetkez˝o line´aris egyenletrendszert: (50) ♣ Tekints¨ 2x1 3x1 7x1
+3x2 +λx2 +4x2
−x3 +4x3 +2x3
= = =
2 5 . k
a) Legyen k = 8. λ milyen ´ert´ekei eset´en nincs megold´asa az egyenletrendszernek? b) Most legyen λ = −2. Milyen k eset´en oldhat´o meg az egyenletrendszer?
Line´aris lek´epez´esek, diagonaliz´al´as
8
(51) ♣ Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi vektorp´arok ¨osszeg´et, bels˝o szorzat´at, norm´aj´at ´es sz¨og´et: a = (1, 1, 1, 1), b = (1, 1, 1 − 3) a = (5, 1, 3, 4), b = (10, 2, 6,√8) √ a = (0, 3, 0, 1), b = (0, 1, 0, 3) Az a, b vektorok 0 ≤ ϕ ≤ π sz¨og´et az ha, bi = kak kbk cos ϕ ¨osszef¨ ugg´es alapj´an sz´amoljuk ki. (52) ♣ Legyen a ϕ : R3 → R3 line´aris lek´epez´es m´atrixa (a term´eszetes b´azisra vonatkoz´oan) 1 3 2 Aϕ = 2 1 1 3 2 3 a) Hat´arozzuk meg az x = (1, 1, 2) vektor k´ep´et! b) Hat´arozzuk meg azt az x vektort, melynek k´epvektora az y = (−2, −5, −5) vektor! (53) Vizsg´aljuk meg, hogy melyek diagonaliz´alhat´ok az al´abbi m´atrixok k¨oz¨ ul. A diagonaliz´alhat´ok eset´eben hat´arozzuk meg azt az S m´atrixot, amellyel S −1 AS diagon´alis m´atrix. 2 0 4 2 −1 −1 1 0 −1 1 , 0 , ♣ A = 0 −1 A= 1 2 A = 3 −4 12 . 2 2 3 1 −2 5 0 2 1 (54) Hat´arozzuk meg az al´abbi m´atrixok saj´at´ert´ekeit ´es 2 1 1 A = 1 3 1 , A= 1 2 2
saj´atvektorait! 2 −1 −1 0 −1 0 . 0 2 1
(55) Diagonaliz´aljuk az al´abbi szimmetrikus m´atrixokat, azaz hat´arozzunk meg olyan U ortogon´alis m´atrixot, melyre U > AU diagon´alis! (U oszlopvektorai a m´atrix norm´alt lin. f¨ uggetlen saj´atvektorai) ¶ ¶ µ µ 9 12 2 2 A= ♣A= 12 16 2 5
1 ♣A= 3 0
3 −2 −1
0 −1 1
1 3 A= 3 1 4 0
4 0 1
(56) Hat´arozzunk meg a k¨ovetkez˝o kvadratikus form´ak kanonikus alakj´at ´es d¨onts¨ uk el hogy definits´eg szempontj´ab´ol milyenek! a) ♣
2x21 + 5x22 + 4x1 x2
b)
9x21 + 16x22 + 24x1 x2
c) ♣
x21 − 2x22 + x23 + 6x1 x2 − 2x2 x3
d)
x21 + x22 + x23 + 6x1 x2 + 8x1 x3
