Debreceni Egyetem ¨ zgazdasa ´ gtudoma ´nyi Kar Ko Feladatok a Matematika II. t´argy gyakorlataihoz Hat´arozatlan integr´al 1. Az alapintegr´alok, elemi ´atalak´ıt´asok ´es line´aris helyettes´ıt´esek seg´ıts´eg´evel sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o integr´alokat! Z a) Z b) Z c)
Z
1 dx x2
Z r q √ l) x x xdx
x2 − 1 dx x+1
Z µ
x+1 √ dx x
Z
(1 + ex−1 )dx
n)
Z
Z
(1 − x2 )2 dx
p)
Z g) h) Z i) Z j) 2. Az
√ 3
1 − 3x dx
Z
x(1 − x)(1 − 2x) dx Z
(2x − 3)10 dx
o)
Z f)
1 dx x+5
Z
(x4 + 3x2 + 5x + 2) dx
e)
1 5 2e + + x cos2 x x
m)
Z d)
(t2 + 6t − 5)dt
k)
√
q) Z
1 1 1 ( + 2 + 3 ) dx x x x
r) Z
x+1 √ dx x
s)
1 dx 5 + 2x2 1 dx 2 + 3x2
Z
1 + x2 dx x2
t) Z
f α+1 (α 6= −1) ´es f f = α+1 α 0
Z
1 dx 2 − 5x
√
1 dx 2 − 3x2
f0 = ln |f | f
formul´ak seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o integr´alokat!
¶ dx
Z a) Z b) Z c)
Z
x+1 dx 2 x + 2x − 1
g) Z
x−2 dx x(x − 4)
h) Z
1 dx x ln x
i)
tg x dx
j)
Z e) Z f)
2x dx 1 + x2 x dx 2 + 3x2
Z
Z d)
e2x dx 1 + e2x
√ Z
sin 2x dx 1 + sin2 x
k) Z
8x − 7 dx 4x2 − 7x + 11
l)
5x dx 1 − 2x2
2x + 5 dx 1 + 3x2 1+x dx 2 + 3x2
3. Alkalmas helyettes´ıt´esekkel hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o hat´arozatlan integr´alokat! Z a)
Z xe
Z b) Z c)
−x2
Z Z h) Z
2 dx
i)
(8x2 + 27) 3 Z
e)
√
g)
x dx (1 + x2 )2 x
sin3 x cos x dx
f)
3x dx (2 + 3x2 )3
Z d)
dx
Z
x √ dx 1 − x2
j)
3+x dx 5 − 2x2
sin x √ dx cos3 x arc tg3 x dx 1 + x2 tg 2 x dx cos2 x
4. Sz´am´ıtsuk ki (parci´alis integr´al´assal) a k¨ovetkez˝o hat´arozatlan integr´alokat ! Z
Z x
a)
xe dx Z
Z 3 x
b) Z
Z x sin x dx
e−x sin x dx
g)
Z d)
ex cos2 x dx
f)
x e dx
c)
ex cos x dx
e)
Z x ln x dx
h)
2
ln x dx
Z
Z 3
i)
2
x
(x + 3x + 1)e dx Z
Z 2
j)
n)
(x + 1) cos x dx Z 2
(x − 3x − 7) sin x dx
o)
Z
arc tg x dx Z
2
l)
x arc tg x dx Z
3
k)
x7 ln x dx
m)
(x + 1) ln x dx
p)
arcsin x dx
5. Integr´aljuk a k¨ovetkez˝o racion´alis t¨ortf¨ uggv´enyeket! Z a) Z b) Z c) Z d) Z e) Z f) Z g)
Z
1 dx 1 − x2
h) Z
1 dx 2 x − 2x − 3
i)
5 dx (x − 2)(x + 5) 2x + 3 dx (x − 2)(x + 5)
Z
1 dx x2 + 2x + 6
j)
x2
x dx − 2x − 3
x2
3x + 1 dx + 5x + 6
x2
1 + 2x dx − 4x − 5
Z
2x + 3 dx 2 x + 3x − 10
k) Z
x3 dx x2 + 1
l) Z
x−3 dx x3 − x
m) Z
1 dx 2 (x + 1) (x2 + 1)
n)
2x dx 1+x x2 − 2x + 1 dx x2 + 2x − 3
6. Bontsa fel a 2x − 1 , 3 x (x + 2)2 (x2 + 1)
x5 − 1 (x − 1)3 (x + 2)2 (x2 + 2x + 2)
racion´alis t¨orteket parci´alis t¨ortekre, ´es az egy¨ utthat´ok kisz´amol´asa n´elk¨ ul (hat´arozatlan egy¨ utthat´okkal) hat´arozza meg e f¨ uggv´enyek integr´alj´at!
7. Alkalmas helyettes´ıt´essel sz´am´ıtsuk ki az al´abbi hat´arozatlan integr´alokat! 3
Z a) Z b) Z c) Z d)
Z
1 x dx (t = tg 1 + 2 cos x 2
Z
1 √ √ dx x + 1 + ( x + 1)3
ex
Z Z x
− 1dx (e − 1 = t )
Z
g)
√
Z √ Z
h)
xe
√ x
dx cos x
n)
tg xdx (t = tg x)
f)
ln x dx x 1 + ln x √
m)
2
3
Z
dx 1 + cos x
l)
Z e)
dx 1 + sin x
k)
e4x dx 1 + ex √
x3 dx (x + 2)4
i)
Z
dx 5 + 3 cos x
o)
dx
Z 1−
x2 dx
sin(ln x) dx
p)
(x = sin t)
1 √ dx 1+ x
Hat´arozott integr´al 8. Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o hat´arozott integr´alokat! Z10
Z3 1 dx ;
2
Z2π 1 dx ;
sin x dx ;
22
2
x dx ; −1
√
0
Z100
Zπ
Z−1 cos x dx ;
Z3 µ
1 dx ; x
1 e +x + x x
1
2
¶
2
dx .
2
9. Legyen −2 ha x < 1 3 ha x = 1 f (x) = −1 ha x > 1
½ ;
g(x) =
−1 ha x < 0 2x ha x > 0.
Mennyi a k¨ovetkez˝o integr´alok ´ert´eke ? Z20 f (x) dx ; −10
Z−3 f (x) dx ;
Z1
−5
1
4
Z3 f (x) dx ;
g(x) dx ; 0
Z−2 g(x) dx ;
Z30
Zb g(x) dx ;
−1
−10
Zb f (x) dx
g(x) dx (a < b, b > 1).
a
a
10. Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o integr´alokat! Z3
Z2 x2 e2x dx ;
0
Zπ/2
2x dx ; 2 (x − 100)7
Z1 √
ctg (x) dx ;
−2
1 − x2 dx .
0,5
π/3
11. Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o hat´arozott integr´alokat! Z3
√
x e
√ x
Z12 dx ;
2
Ze
1 dx ; 1 − x2
4
Z4
e4x dx ; 1 + ex
x3
0
1 dx. −x
2
Improprius integr´alok 12. L´eteznek-e a k¨ovetkez˝o impropius integr´alok ? Ha igen, sz´am´ıtsuk ki ˝oket! Z∞
Ze ln x dx ;
Z1 ln x dx ;
0
ln |x| dx ;
0
Z0
−1
Z1 x
e dx ; −∞
Z1
Z0
1 dx ; x2
−∞
−∞
Z3
1 dx ; x2
−∞
Z∞
1 dx ; x
1 √ dx ; x
Z0
1 dx ; x
e−x dx ;
−∞
+∞
Z∞
Z∞
0
3 √ dx x
2
dx . 1 + x2
0
13. L´eteznek-e az al´abbi improprius integr´alok ? Ha igen, sz´am´ıtsuk ki ˝oket ! Z∞
dx ; x3
1
Z∞
xe
−2x
dx ;
dx √ ; x
0
0
Z2 0
5
√
dx ;
4
Z3 2 −x/3
Z∞ xe
2
Z∞ 0
Z∞
dx ; (1 − x)2
dx √ ; 2−x
Z1 0
dx ; 2 + 6x
x+1 √ dx . x
14. Legyen f (x) =
1
p . Melyek l´eteznek a k¨ovetkez˝o integr´alok k¨oz¨ ul ? (1 − x) |x|
Z2
Z0 f (x) dx ;
−∞
f (x) dx ; 2
Z2 1
Z
|x|ex dx ;
0
0,5
f (x) dx ; Z4 |x − 2| dx ;
Z1
−10
f (x) dx . −∞
Z
ln |x| dx ;
f (x) dx ;
Z∞
2
Z−π x2 (1 − 2x)20 dx ; π
Z10
Z1
Z∞ f (x) dx ;
15. Mennyi
Z0,5 f (x) dx ;
Z ln |x| dx ;
Z |x − 2| dx ;
0
2006 Z
x|x| dx ;
−2
|x|ex dx ;
x|x| dx ; −2001
Az integr´al alkalmaz´asai Zπ 2
16. Mennyi
sin x dx ´es −π
Z2 √
4 − x2 dx. Pr´ob´aljuk meg az eredm´enyt megtal´alni a
0
primit´ıv f¨ uggv´eny kisz´am´ıt´asa n´elk¨ ul ! 17. Egy munk´as b´ere egy adott ´ev n-edik napj´an b(n) = 500F t + n · 0, 5F t + n2 · 0, 001F t. Mennyit keres ´ıgy egy ´ev alatt? Helyes-e az integr´alsz´am´ıt´ast haszn´alni a feladatok megold´as´ahoz? 18. Ha egy ´ev n-edik napj´an a napi infl´aci´os r´ata ´ert´eke i(n) = (0, 01 + 0, 0001 · n + 0, 01 · sin(nπ/180))
% , (n ∈ N) nap
akkor mennyi az ´eves infl´aci´o m´ert´eke? % 19. Tegy¨ uk fel, hogy a GNP n¨oveked´esi u ¨teme az n-edik ´evben f (n) . ´ev H´anyszoros´ara n˝o ekkor a GNP az n1 ´es n2 -edik ´evek k¨oz¨ott ? 6
20. Egy u ¨zem rakt´ar´aban r egys´eg anyagmennyis´eg van, ´es ezt T nap alatt dolgozz´ak fel. A rendelkez´esre ´all´o adatok szerint a rakt´ark´eszlet fogy´as´anak grafikonja j´ol k¨ozel´ıthet˝o egy y = a(x − b)2 parabol´aval a [0, T ] intervallumon. Sz´am´ıtsuk ki a -t ´es b -t, majd hat´arozzuk meg a T napra fizetend˝o rakt´aroz´asi k¨olts´egeket, ha egy egys´eg rakt´aroz´asa R forintba ker¨ ul naponk´ent . 21. Legyen A = {(x, y) | y ≥ x2 } ´es B = {(x, y) | y ≤ x + 2}. Mennyi A ∩ B ter¨ ulete ? 22. Mennyi az
x2 y 2 + 2 = 1 ellipszis ter¨ ulete ? a2 b
23. Mennnyi az f (x) = ´es x = 1 k¨oz¨ott ?
√
4 − x2 f¨ uggv´eny g¨orb´ej´enek a hossza x = −0, 5
24. Ha egy [a, b]-n ´ertelmezett f (x) f¨ uggv´eny g¨orb´ej´et megforgatjuk az x-tengely k¨or¨ ul, akkor az ´altala ”hat´arolt” forg´astest t´erfogata Zb V = f 2 (x) π dx . a
Ezt felhaszn´alva sz´am´ıtsuk ki egy g¨omb ´es egy k´ up t´erfogat´at! 25. Forgassuk meg az y tengely k¨or¨ ul az y = 8 − 2x − x2 egyenlet˝ u parabol´anak az els˝o s´ıknegyedbe es˝o r´esz´et ! Mekkora t´erfogat´ u test keletkezik ?
T¨obbsz¨or¨os integr´alok Z2 Z1
Z1 Z2 ex+y dy dx ;
xy dx dy ;
26. Sz´am´ıtsuk ki! 0
0
Zb Zd
0
0
xy 2 dx dy a
c
27. Integr´alja a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyeket az A tartom´anyon! RR 2 √ (x + y 2 ) dx dy A = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1 , x2 ≤ x} A
RR
(ax + by + c) dx dy
A = {(x, y) | (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 2}
cos(x + y) dx dy
A = {(x, y) | x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ π}
(x2 + y 2 + 1) dx dy
A = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1 , nx ≥ y}
A
RR A
RR A
7
28. Hat´arozza meg a ZZ x dxdy kett˝os integr´al ´ert´eket, ha A = { (x; y) |2x2 − y ≤ 0, 2 − 2x2 ≥ y }! A
29. Hat´arozza meg a
ZZ x dxdy A
kett˝os integr´al ´ert´eket, ahol A az y = x2 − 3x ´es az y = −x2 − x + 4 parabol´ak ´altal k¨ozrez´art tartom´any! 30. Hat´arozza meg a
ZZ (x2 + 2y) dxdy A
kett˝os integr´al ´ert´eket, ahol A az x = 0, y = 0 ´es az x + 2y = 2 egyenlet˝ u egyenesek ´altal hat´arolt h´aromsz¨og! 31. Hat´arozza meg a
ZZ
x
e y dxdy A
kett˝os integr´al ´ert´eket, ahol A az x = 0, y = 1 ´es az y 2 = x egyenlet˝ u g¨orb´ek ´altal hat´arolt s´ıkr´esz!
Differenci´alegyenletek 32. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o szepar´abilis differenci´alegyenleteket ! a) b) c) d) e)
y 0 = ex sin x (1 + sin x)y 0 = 1 (1 + ex )y 0 = ex y 0 − yx = yx3 x2 + 5 = xyy 0
f) g) h) i) j)
xy 0 = 1 + y 2 1 + y 2 + xyy 0 = 0 y 0 sin x = y ln y (1 − x)y 0 + y 2 = 0 xey y 0 − x2 + x = 0.
33. Hat´arozzuk meg az (1 + ex )yy 0 = ex differenci´alegyenlet y(1) = 1 kezdeti felt´etelt teljes´ıt˝o megold´as´at !
8
34. Melyik az az orig´on ´atmen˝o g¨orbe, amelynek b´armely pontj´ahoz h´ uzott ´erint˝oje ´atmegy az (1, 1) ponton ? 35. Jel¨olje y(x) egy ipar´ag dolgoz´oinak ¨osszl´etsz´am´at az x id˝opillanatban. Tegy¨ uk fel, hogy a l´etsz´amcs¨okken´es sebess´ege olyan hogy y 0 (x) = −λy(x) , ahol λ > 0 , az ipar´agra jellemz˝o kil´ep´esi egy¨ utthat´o, konstans. x = 0-ban a kezd˝o l´etsz´am ismert. Mennyi id˝o alatt cs¨okken le a kezd˝o l´etsz´am a 3/4-´ere ? 36. Egy tart´alyban sz´az liter 10kg konyhas´ot tartalmaz´o oldat van. A tart´alyba 2l/perc sebess´eggel tiszta viz folyik be, ´es ugyanekkora sebess´eggel s´ooldat folyik ki (´alland´o kever´es miatt az oldat minden id˝opontban homog´en). 10 perc eltelte ut´an mind a kifoly´o, mind a befoly´o csapot elz´arjuk. Mennyi s´o marad ekkor az oldatban? 37. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o differenci´alegyenleteket szepar´abilis egyenletre val´o transzform´aci´o seg´ıts´eg´evel (az els˝o h´arom egyenletn´el line´aris helyettes´ıt´est a t¨obbin´el helyettes´ıt´est haszn´aljunk)! z(x) = y(x) x a) y 0 = (x − y)2 + 1 c) (y 0 )2 = x + y + 1 (y 0 > 0) d) f) h) j)
b) y 0 = sin(x − y)
x + y + xy 0 = 0 (x − y)y 0 = x + y 1− y y 0 = 1−2xy x yy 0 + 2xy 0 + 2y = 0
e) g) i) k)
xy 0 = y ln y − y ln x x2 + xy + y 2 − x2 y 0 = 0 (3y + 2x)y 0 = 6y + 4x y 0 = y−2x . y−x
38. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o line´aris differenci´alegyenleteket ! a) b) c) d) e) f)
y0 = y − x xy 0 − y = xe−x y 0 + 3y − 3e−2x = 0 y 0 = xy − 2x2 xy 0 − 3y + 5x = 0 (x + 1)y 0 − y = 0
g) h) i) j) k) l)
y 0 − 2y − x = ex sin x y 0 + y tg x = sin x y 0 sin x + y cos x = 2 − cos2 x y 0 − y − ex = 0 x2 y 0 = xy + 3y y 0 x = 2y − x4 .
ugg39. Oldja meg az xy 0 + y = xex differenci´alegyenletet! Hat´arozza meg a megold´asf¨ v´enyek hat´ar´ert´ek´et x → ∞ eset´en! a)
xy 0 + y = xe−x
xy 0 + y = −3x2
b)
9
