¨ zgazdasa ´ g- e ´s Gazdasa ´ gtudoma ´ nyi Kar Debreceni Egyetem, Ko Feladatok a Gazdas´agi matematika I. t´argy gyakorlataihoz ♠ a megold´ asra felt´etlen¨ ul aj´ anlott feladatokat jel¨oli, e feladatokat a f´el´ev v´eg´ere megoldottnak tekintj¨ uk F a nehezebb feladatokat jel¨oli
Halmazelm´elet (1) ♠ Legyen A = {2, 3, 4}, B = {2, 5, 6}, C = {5, 6, 2}, D = {6}. (a) Melyik igaz az al´ abbi ´ all´ıt´ asok k¨ oz¨ ul: 4 ∈ C, A ⊂ B, D ⊂ C, B = C, A = B. (b) Hat´ arozzuk meg az A ∩ B, A ∪ B, A \ B, (A ∪ B) \ (A ∩ B), A ∩ B ∩ C halmazokat! (2) ♠ (a) A k¨ olt˝ ok k¨ oz¨ ott a legnagyobb fest˝o ´es a fest˝ok k¨oz¨ott a legnagyobb k¨olt˝o vajon ugyanaz a szem´ely-e? (b) A k¨ olt˝ ok k¨ oz¨ ott a leg¨ oregebb fest˝o ´es a fest˝ok k¨oz¨ott a leg¨oregebb k¨olt˝o vajon egy ´es ugyanaz a szem´ely? (3) ♠ Legyen X a DE hallgat´ oinak ¨ osszess´ege, L a hallgat´ol´anyok halmaza, K a k¨ozgazd´aszhallgat´ok halmaza, C az egyetemi k´ orus tagjainak halmaza, B a biol´ogia t´argyat felvett hallgat´ok halmaza, T pedig a teniszez˝ ok´e. Fogalmazzuk meg az al´abbi ´all´ıt´asokat a halmazelm´elet nyelv´en: (a) Minden biol´ ogi´ at tanul´ o hallgat´ o k¨ozgazd´asz. (b) Az egyetem k´ orus´ aban van biol´ ogi´at felvett hallgat´o. (c) Azon hallgat´ ol´ anyok, akik se nem teniszeznek, se nem ´enekkarosok mind tanulnak biol´ogi´at. (4) ♠ Egy t´ arsas´ agban v´egzett felm´er´es szerint a t´arsas´agb´ol ¨otvenen k´av´eznak ´es negyvenen te´aznak. Harminc¨ ot olyan szem´ely van, aki k´ av´ezni ´es te´azni is szokott, valamint t´ız olyan szem´ely van, aki egyiket sem. H´ any tag´ u a t´ arsas´ ag? (5) ♠ Legyen A4B := (A \ B) ∪ (B \ A) az A ´es B halmazok szimmetrikus differenci´ aja. Igazoljuk, hogy b´armely k´et halmaz eset´en A4B = B4A,
A4B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
(6) F Az al´ abbi halmazazonos´ agok k¨ oz¨ ul az egyik nem igaz. Melyik? (A4B)4C (A ∩ C)4B A4A
= A4(B4C), = (A4B) ∩ (C4B), = ∅.
(7) Igazoljuk, hogy ha A \ B = B \ A, akkor A = B. ´ (8) Allap´ ıtsuk meg, hogy a k¨ ovetkez˝ o ¨ osszef¨ ugg´esek k¨oz¨ ul melyek igazak tetsz˝oleges A, B, ´es C halmazokra. (a) ♠ A ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ C, (b) A ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ (B ∪ C), ¯ ∪ B = A ∪ B. (c) A\ A\B ´ (9) Legyen A = {n ∈ N | n p´ aros}, B = {n ∈ N | n < 4}, C = {n ∈ N | n > 2}. Allap´ ıtsuk meg, mik lesznek az X = [A \ (B ∩ C)] ∪ [(A \ B) \ C] halmaz elemei. (10) Hozzuk egyszer˝ ubb alakra a k¨ ovetkez˝ o kifejez´eseket: (a)
¯ (A ∪ B) ∩ (A ∪ B),
(b)
(A ∪ B) ∩ (B ∪ C),
(c)
¯ ∩ (A ∪ B). ¯ (A ∪ B) ∩ (B ∪ A)
2
(11) Vizsg´ aljuk meg, hogy milyen kapcsolat a´ll fenn az A ´es B halmazok k¨oz¨ott, ha teljes¨ ul az A∩B = A egyenl˝ os´eg. ´ (12) Allap´ ıtsuk meg, milyen esetben ´ allhat fenn az A ∪ B = A¯ egyenl˝os´eg. (13) Vizsg´ aljuk meg, hogy milyen kapcsolat ´ all fenn az A ´es B halmazok k¨oz¨ott, ha teljes¨ ul az A∪B = A egyenl˝ os´eg. (14) Vizsg´ aljuk meg, milyen A ´es B kapcsolata, ha A ∪ B = A ∩ B teljes¨ ul. ¯ = B igaz? (15) Milyen kapcsolat ´ all fenn az A ´es B halmazok k¨oz¨ott, ha az A ∪ (B ∩ A) (16) Vizsg´ aljuk meg, hogy milyen esetben teljes¨ ul az (A ∪ B) \ B = A egyenl˝os´eg. (17) Mutassuk meg, hogy tetsz˝ oleges A ´es B eset´en [A \ (A ∩ B)] ∪ B = A ∪ B. (18) ♠ Legyen A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}. ´Irjuk fel az (A × B) ∩ (B × A)
´es az
(A × B) \ (B × A)
halmazok elemeit. (19) Legyen A = {(x, y) ∈ R × R | y = ax + b} ´es B = {(x, y) ∈ R × R | y = cx + d}. Mit mondhatunk az a, b, c, ´es d param´eterekr˝ol, ha tudjuk, hogy (a) A \ B = A, (b) A ∩ B = {(0, 0)}, (c) A \ B = ∅, (d) {(1, 0), (0, 1)} ⊂ A ∩ B. ´ azoljuk a Z × R ´es R × Z halmazokat a koordin´atas´ıkon. (20) ♠ Abr´ (21) L´ assuk be, hogy tetsz˝ oleges A, B ´es C halmazokra (a)
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C),
(b)
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C),
(c)
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C),
(d)
(A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C).
(22) Igazoljuk, hogy tetsz˝ oleges A ´es B1 , B2 , . . . Bn halmazokra A ∩ (B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn ) A ∪ (B1 ∩ B2 ∩ · · · ∩ Bn )
= =
n [
(A ∩ Bi ),
i=1 n \
(A ∪ Bi )
i=1 n [
Bi
=
i=1 n \ i=1
n \
B¯i ,
i=1
Bi
=
n [
B¯i .
i=1
(23) Legyen A egy n elem˝ u halmaz. Igazoljuk, hogy az A r´eszhalmazainak sz´ama 2n . (24) ♠ Legyen m, n ∈ N eset´en m O n ⇐⇒ ha m − n oszthat´o 7-tel. Igazolja, hogy O ekvivalencia rel´ aci´ o N-en. Mik lesznek az ekvivalencia oszt´alyok? (25) ♠ Legyen a D rel´ aci´ o N-en az al´ abbi (∀m, n ∈ N)(m D n ⇐⇒ ha m oszt´oja n-nek. Igazolja, hogy D f´eligrendez´es N-en.
3
(26) ♠ Tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝ o lek´epez´eseket: F : N → N, G : Q → Q, H : R → R, L : N → N,
F (n) = 2n (n ∈ N) G(x) = 2x (x ∈ Q) H(x) = x2 (x ∈ R) L(n) = n2 (n ∈ N).
´ Allap´ ıtsuk meg k¨ oz¨ ul¨ uk melyik injekt´ıv, sz¨ urjekt´ıv, ill. bijekt´ıv. (27) Legyen A ´es B, v´eges halmaz. Mit mondhatunk A ´es B elemeinek a sz´am´ar´ol, ha tudjuk, hogy l´etezik olyan F : A → B lek´epz´es, amely: (a) injekt´ıv, (b) sz¨ urjekt´ıv, (c) bijekt´ıv.
Indukci´o (28) Bizony´ıtsuk be teljes indukci´ oval, hogy minden n ∈ N–re, vagy a megadott n–ekre n(n + 1) , 2 n(n + 1)(2n + 1) (b) ♠ 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = , 6 2 n(n + 1) (c) 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = , 2 (a) ♠ 1 + 2 + 3 + · · · + n =
n(n + 1)(n + 2) , 3 (e) 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1,
(d) 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) =
(f) ♠ (g)
1 1 1 n + + ... = , 1·2 2·3 n · (n + 1) n+1
1 1 1 n + + ... = , 1·3 3·5 (2n − 1) · (2n + 1) 2n + 1
(h) 2 · 21 + 3 · 22 + 4 · 23 + · · · + n · 2n−1 = (n − 1)2n , (i) ♠
n X 1 1 ≤ 2− , 2 j n j=1
n X √ 1 √ ≥ 2 ( n + 1 − 1), (j) j j=1
(k) 4n+4 > (n + 4)4 , (l)
n X j=1
1 13 > (n ≥ 2), n+j 24
(m) n3 < 2n+1 (n > 8), (n) √
1 1 3 2n − 1 ≥ · ··· , 2 4 2n 3n + 1
(o) ♠ (n + 1)! > 2n+3 , (n ≥ 5), (p)
n3 n5 7n + + eg´esz sz´ am, 3 5 15
(q) ♠ 10n + 3 · 4n+2 + 5 oszthat´ o 9-cel, (r) n3 + 5n + 6 oszthat´ o 3-mal.
4
(29) ♠ Mutassuk meg, hogy
ahol
n+1 k+1
=
n n + , k k+1
n n! = . k k!(n − k)!
(30) F Bizony´ıtsuk be a binomi´ alis t´etelt: n n n n−1 n n n n n−1 (a + b) = a + a b + ··· + ab + b , 0 1 n−1 n ahol n tetsz˝ oleges term´eszetes sz´ am, a, b tetsz˝oleges val´os sz´amok. A fenti egyenl˝os´eg t¨om¨orebb form´ aja: n X n n−k k (a + b)n = a b . k k=0
(31) ♠ Bizony´ıtsuk be, hogy minden n term´eszetes sz´am ´es x ≥ −1 sz´am eset´en teljes¨ ul a Bernoulli egyenl˝ otlens´eg: (1 + x)n ≥ 1 + nx, ´es itt egyenl˝ os´eg akkor, ´es csakis akkor teljes¨ ul, ha n = 1 vagy x = 0. (32) F Bizony´ıtsuk be, hogy ha x1 , x2 , . . . , xn (n ≥ 2) nemnegat´ıv val´os sz´amok, akkor teljes¨ ul a sz´ amtani ´es m´ertani k¨ oz´ep k¨ oz¨ otti egyenl˝otlens´eg: √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x2 . . . xn . n Egyenl˝ os´eg pontosan akkor teljes¨ ul, ha x1 = x2 = · · · = xn .
Val´os sz´amok (33) Bizony´ıtsuk be k¨ ovetkez˝ o egyenl˝ otlens´egeket (a > 0, b > 0): √ 2ab ≤ ab, (a) a+b q a2 +b2 (b) ≥ a+b 2 2 , a (c) b + ab ≥ 2. (34) ♠ Mutassuk meg, hogy n 1 1 1 < 1 + + + ··· + n < n. 2 2 3 2 −1 (35) A val´ os sz´ amok (test)axi´ om´ ait felhaszn´ alva igazolja, hogy b´armely x, y, z ∈ R eset´en ha x + y = x + z, ha x + y = x, ha x + y = 0,
akkor y = z, akkor y = 0, akkor y = −x, −(−x) = x,
ha ha ha ha
xy = xz, x 6= 0, xy = x, x 6= 0, xy = 1, x 6= 0, x 6= 0,
akkor akkor akkor akkor
y = z, y = 1, y = x−1 , −1 x−1 = x,
tov´ abb´ a 0x = 0, (−x)y = −(xy) = x(−y),
x 6= 0, y 6= 0 ⇒ xy 6= 0, (−x)(−y) = xy.
(36) A val´ os sz´ amok (rendezett test) axi´ om´ ait felhaszn´alva igazolja, hogy b´armely x, y, z ∈ R eset´en x≥0 ha x ≥ 0, y ≤ z, ha x ≤ 0, y ≤ z, ha x 6= 0, ha 0 < x ≤ y,
akkor akkor akkor akkor akkor
´es csakis akkor, ha − x ≤ 0, xy ≤ yz, xy ≥ yz, x2 > 0, speci´alisan 1 > 0, 0 < y −1 ≤ x−1 , ´es x2 ≤ y 2 .
(37) Bizony´ıtsuk be, hogy ha r ∈ Q, x ∈ R − Q, akkor r + x, ´es ha r 6= 0, akkor rx ∈ R \ Q.
5
(38) ♠ Bizony´ıtsuk be, hogy x irracion´ alis, ha a) x2 = 2, (39) Mivel egyenl˝ o inf H, sup H, min H, max H, ha H = n 1 3 ♠ (−1)n 1 − : n∈N , ♠ n n! F
m 4n + n m
: m, n ∈ N ,
(Ut´ obbi k´et feladatn´ al helyettes´ıts¨ unk r =
F
b) x2 = 6,
c) x3 = 5.
: n∈N ,
n |n| + m
: m ∈ N, n ∈ Z .
m n -et!)
(40) ♠ Legyen E = [0, 1] ∪ {2, 3},
F = { r : r ∈ Q, 0 ≤ r < 1 },
G=
∞ [ n=1
1 1 , , 2n + 1 2n
Hat´ arozzuk meg e halmazok bels˝ o, izol´ alt, torl´od´asi ´es hat´arpontjait!
Sorozatok ´ (41) ♠ Allap´ ıtsuk meg, hogy az al´ abbi sorozatok k¨oz¨ ul melyek konvergensek, melyek divergensek. an = (−1)n , dn = 8 sin(7, 2n◦ ),
bn = 2n ,
cn = log2 (n2 + n), 2n + 1 en = sin(2πn2 ), fn = 7n − 3
(n ∈ N).
(42) ♠ Vizsg´ aljuk meg a k¨ ovetkez˝ o sorozatokat monotonit´as ´es korl´atoss´ag szempontj´ab´ol. Hat´arozzuk meg a sorozatok hat´ ar´ert´ek´et is. 1 + 2 + ··· + n 1 + 2 + ··· + n n 5n+1 (a) an = , (b) an = − , (c) an = . (n + 1)(n + 10) n+4 2 n! (43) ♠ Vizsg´ aljuk meg, hogy h´ anyadik tagt´ ol kezdve esnek a sorozat elemei a hat´ar´ert´ek ε > 0 sugar´ u k¨ ornyezet´ebe: n+2 (−1)n (a) ♠ an = , (b) an = 1 − . 3n − 8 n (44) Hat´ arozzuk meg az al´ abbi an (n ∈ N) sorozatok hat´ar´ert´ek´et, amennyiben az l´etezik. √ 3 4n2 + 3n (a) ♠ an = , n+2 p (b) ♠ an = n2 + 1 − n, √ √ (c) ♠ an = n2 + n − n2 + 1, √ √ √ √ n+ 3n+ 4n+ 5n √ , (d) an = 5n + 1 √ √ 2n2 + 2n + 3 − 2n2 + 6n + 5 √ (e) an = √ , 3n2 + 5n + 1 − 3n2 + 7n − 1 5 n−3 (f) ♠ an = , n−5 2 n2 +5 n +2 (g) ♠ an = , n2 + 3 (h) an = (1 + 1) 1 + 21 1 + 31 . . . 1 + n1 , 10n + 102 , + 2n + 105 2 + 8n (j) ♠ an = , 3 + 9n (i) ♠ an =
5n
6
(k) an =
2 + 8n2 , 3n + 9n3
(l) an =
2 + 8n + log10 3 + 9n
(m) an =
2 + 8n , 3 + 9n
n3 + 7n + 49n2 , 231a − 1 + 13n2
(a ∈ R adott),
log3 (n2 + n + 1) , log3 n √ logn2 ( n + 3) (o) F an = , logn (n2 + n)
(n) ♠ an =
(p) ♠ an =
2
n+1 n
n−3 . 2 n (45) Tudjuk, hogy lim (log2 (n2 + n + 4)) = +∞. Tetsz˝oleges K > 0 sz´amhoz hat´arozzunk meg egy
n→∞
olyan N term´eszetes sz´ amot, hogy log(n2 + n + 4) > K, ha n > N . (46) ♠ Tegy¨ uk fel hogy an → +∞, bn → 0. Lehets´eges-e, hogy an bn → 0, an bn → −1, 2, 3, an bn → ∞, an bn → −∞? (47) Tegy¨ uk fel, hogy an → 1/2. K´epezz¨ uk a b1 = a1 ,
b2 = a1 a2 ,
b3 = a1 a2 a3 ,
b4 = a1 a2 a3 a4 , . . .
sorozatot. Bizony´ıtsuk be, hogy bn → 0. (48) ♠ Bizony´ıtsuk be, hogy ha an → a, ´es an > 0 b´armely n ∈ N -re, akkor
√
an →
√
a.
(49) Tegy¨ uk fel, hogy an → +∞. Bizony´ıtsuk be, hogy log2 an → +∞. (50) Tegy¨ uk fel, hogy an → 13. Bizony´ıtsuk be, hogy lim (an+1 − an ) = 0. n→∞
(51) ♠ Tegy¨ uk fel, hogy egy sorozatnak v´egtelen sok pozit´ıv, ´es v´egtelen sok negat´ıv eleme van. Lehet-e ez a sorozat konvergens? (52) Legyen a1 = konvergens.
1 1·2 ,
a2 =
1 1·2
+
1 2·3 ,
a3 =
1 1·2
+
1 2·3
+
1 3·4 , . . .
. Bizony´ıtsuk be, hogy az an sorozat
(53) Legyen a1 = 1, a2 = 1 + 212 , a3 = 1 + 212 + 312 , . . . . Bizony´ıtsuk be, hogy az an sorozat konvergens. (54) Sz´ am´ıtsuk ki a lim sn hat´ ar´ert´eket, ahol n→∞
(a) sn =
1 1 1 + + ··· + , 1·3 3·5 (2n − 1)(2n + 1)
(b) ♠ sn =
1 1 1 + + ··· + . 2 6 n(n + 1)
(55) Tegy¨ uk fel, hogy az an sorozat konvergens. Mutassuk meg, hogy tetsz˝oleges ε > 0-hoz l´etezik olyan N , hogy |an − am | < ε, ha n > N ´es m > N . (56) Igazoljuk az el˝ oz˝ o´ all´ıt´ as megford´ıt´ as´ at! Tegy¨ uk fel, hogy tetsz˝oleges ε > 0-hoz l´etezik olyan N , hogy |an − am | < ε, ha n > N . Bizony´ıtsuk be, hogy an konvergens.
7
Sorok (57) ♠ Hat´ arozzuk meg, hogy az al´ abbiak k¨ oz¨ ul melyik geometriai sor, ´es a konvergenseknek sz´am´ıtsuk ki az ¨ osszeg´et! 1 1 1 1 1 (a) 8 + 1 + + + ... (b) 1 − + − . . . 8 64 2 3 4 (c)
1 1 1 + 3 + ... + p p2 p
(e)
P
(d)
x2n+1
1+
(f) x +
1 1 + ... + 1 + x (1 + x)2 √
1 x + 1 + √ + ... x
(58) Hat´ arozzuk meg a ∞ X p −k b 1+ 100
k=0
sor ¨ osszeg´et. (59) ♠ 1971-ben a vil´ ag teljes vasfelhaszn´ al´ asa kb. 794 milli´o tonna volt. Ha a vil´ag teljes vas-k´eszlete 249 milli´ ard tonna, ´es a felhaszn´ al´ as ´evi 5%-kal n˝o, akkor mennyi ideig lesz el´eg a k´eszlet? (60) ♠ Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o v´egtelen sorok o¨sszeg´et: ∞ ∞ X X 1 1 + (−1)n (a) , (b) , 52n+1 10n n=0 n=0
(c)
∞ X
1 , n(n + 1) n=1
(d)
(61) ♠ Mutassuk meg, hogy az al´ abbi sorok divergensek! n ∞ ∞ X n X 101 (a) , (b) , 1+n 100 n=1 n=1
∞ X
1 . n(n + 2) n=1
(c)
∞ X n=1
1 n . 1 + n1
(62) Konvergensek-e a k¨ ovetkez˝ o sorok: (alkalmazzuk a major´ans, h´anyados vagy gy¨ok tesztet) ∞ ∞ ∞ X 1 X X 1 1 , (b)♠ , (c) , (a) 2n 2n − 1 2 + 3n n=1 n=1 n=1
(d)
∞ X 1 , ln k
(e)♠
k=2
(g)♠
(j)♠
∞ X k−1
k!
k=1
∞ X 1 √ , p p=1
(h)
∞ X n−1 , 3+1 n n=1
(k)
∞ X
,
1 (−1)n √ , n n=1 ∞ X (2s)! s=1
ss
,
(f)
∞ X 2n − 1 , (2n)! n=1
(i)
∞ X k+1 , k(k + 2)
k=1
(l)♠
n ∞ X n+1 n=1
3n
(63) Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hatv´ anysorok konvergenciasugar´at: ∞ ∞ ∞ X X X x2k (a) nxn , (b)♠ 3n+1 xn , (c) . (2k)! n=1 n=0 k=0
.
8
F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke ´es folytonoss´aga
(64) ♠ Az f (x) =
5 f¨ uggv´eny az x = 2 helyen nincs ´ertelmezve. K¨ozel´ıts¨ uk meg a 2-t el˝osz¨or az 2−x xn = 1 +
n n+1
sorozattal, majd az
yn = 2 +
1 (n ∈ N) n
´ sorozattal, ´es hat´ arozzuk meg a megfelel˝o f¨ uggv´eny´ert´ekek sorozat´anak hat´ar´ert´ek´et. Ertelmezz¨ uk az eredm´enyt. (65) Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ert´ekeket: √ x2 − 2x − 3 2− x−1 (a) ♠ lim 2 , (b) lim , x→3 x − 5x + 6 x→5 x2 − 25 (c) ♠
lim
x→0 x3
(e)
lim
x→1
x2 − x , + x2 + x
2 3 , − 1 − x2 1 − x3 √
(g) ♠
(i) ♠
lim
x→∞
lim
(d) ♠
1 + 4x2 , 1−x
p
x→∞
lim
x2 + 5x − x ,
x→∞
x+2 x−1
x→1
lim √
x→∞
(j)
(l)
1 a+
1 − a
1 x
,
√ 4 x3 + x − x lim √ √ , x→∞ x2 + 1 − x lim √ 3
x→∞
(n)
x , x2 + 1
x→∞
1+2x ,
1 − x2 √ , x− 2−x
lim x
(h) ♠
x √ (k) lim , x→∞ x + 3 x3 + 1 (m) ♠
(f)
lim √
lim
x→∞
√ 3
x2 + 1 , √ 2x2 + 4 x2 + x 1−
2x + 3 1 + 2x
x+2 .
(66) Igazoljuk, hogy fenn´ allnak a k¨ ovetkez˝ o ¨osszef¨ ugg´esek: (a)
(c)♠
1
lim (1 + y) y = e,
(b)
y→0
lim
x→0
loga (1 + x) = loga e, x
(a > 0, a 6= 1), (d)
lim
x→0
√ x
1 + 3x = e3 , n
lim (1 + ax) x = ena ,
x→0
(a > 0, n ∈ N).
(67) D¨ onts¨ uk el, monotonok-e a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyek: (a)
f (x) = 1 − x2
(c)
f (x) =
x 4 − x2
1 x+1
(x < 1),
(b)♠ f (x) =
(−2 < x < 2),
(d)♠ f (x) = |1 − x2 |
(x 6= −1), (x > 1).
(68) ♠ Lehets´eges-e, hogy nem folytonos f¨ uggv´enyek ¨osszege, illetve szorzata folytonos? (69) ♠ Bizony´ıtsuk be, hogy minden p´ aratlan fok´ u, val´os egy¨ utthat´os egyenletnek van val´os gy¨oke. (70) Vizsg´ aljuk meg, hogy viselkednek a k¨ ovetkez˝o f¨ uggv´enyek szakad´asi helyeik k¨ornyezet´eben ´es a v´egtelenben:
9
(x − 2)2 , − 5x + 6 1 x−1 (c)♠ f (x) = 3 x+1 ha x 6= −1, f (−1) = 0, (d) f (x) = 2 , x −x 1 − x2 , ha x ≤ 0, 1 2 − x , ha x ≤ 2, 2 (e) ♠ f (x) = (f) f (x) = (1 − x)2 , ha 0 < x ≤ 2, x, ha x > 2, 4 − x, ha x > 2. 3 ha x 6= 1, f (1) = 1 x−1
(a) ♠ f (x) =
(b)
f (x) =
x2
´ (71) ♠ Allap´ ıtsuk meg, hogy vannak-e olyan pontok, melyben az 2 4 − x , ha x racion´alis , f (x) = 4 + x2 , ha x irracion´alis f¨ uggv´eny folytonos. (72) ♠ Hol vannak ´ertelmezve ´es hol folytonosak a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyek? x (a) f (x) = x5 + 4x (b) f (x) = 1−x (c)
f (x) = √
(e)
f (x) =
√
1 2−x
x+
1 x
(d) f (x) =
x2
x +1
1 (f) f (x) = √ + (x + 2)3/2 . x
(73) ♠ Legyen 1 1 (x ∈]0, 1]), g(x) := (x ∈ [1, ∞[). x x Igazoljuk, hogy mindk´et f¨ uggv´eny folytonos (minden¨ utt ahol ´ertelmezve van), de f nem korl´atos, g nem veszi fel a f¨ uggv´eny´ert´ekek pontos als´o korl´atj´at. f (x) :=
(74) ♠ Melyek azok a f¨ uggv´enyek, amelyek val´oszin˝ uleg az id˝onek folytonos f¨ uggv´enyei? (a) Egy uncia arany ´ ara a z¨ urichi arany piacon. (b) Egy n¨ oveked˝ o gyermek magass´ aga. (c) Egy rep¨ ul˝ og´ep f¨ old feletti magass´aga. (d) Egy aut´ o´ altal megtett u ´t.
10
Differenci´alsz´am´ıt´as Deriv´ altak kisz´am´ıt´asa (75) ♠ Sz´ am´ıtsuk ki az f (x) = 1/x2 f¨ uggv´eny deriv´altj´at x = 2-ben a defin´ıci´o seg´ıts´eg´evel, azaz 1/x2 − 1/22 hat´ arozzuk meg a lim hat´ ar´ert´eket. x→2 x−2 (76) ♠ Bizony´ıtsuk be, hogy az f (x) = |x| f¨ uggv´eny nem differenci´alhat´o x = 0-ban. Ez pl. igazolhat´o |xn | egy olyan xn → 0 sorozat megad´ as´ aval, melyre az |xxnn|−|0| −0 = xn sorozat nem konvergens. ´ azoljuk az (77) Abr´ 0 ha x < 0 0 ha x < 0 ♠f (x) = ´es a g(x) = 2 x ha x ≥ 0 x ha x ≥ 0 f¨ uggv´enyeket. Differenci´ alhat´ o-e f ´es g az x = 0-ban? (78) ♠ Deriv´ aljuk a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyeket: x2 − x f (x) = ; 5
4 g(x) = x + 2 ; 2x
√ 2+ x √ ; h(x) = 2− x
i(x) = sin 2x;
j(x) = 2 sin x cos x;
k(x) = sin x3 ;
`(x) = sin(cos x);
m(x) = ln(sin x);
n(x) = xx ;
o(x) = x tg x ;
p(x) =
tg
√
x2 + cos x
3
;
q(x) = tg x/ cos x.
(79) ♠ Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyek deriv´altj´at: √ cos x sin(2x)2 2x + 1 f (x) = ln ; g(x) = ln ; sin x x3 + (3x − 1)2 h(x) = xcos x ;
i(x) = x2 + (sin x)sin x ; 2
j(x) = (ln 2x)3x ; 3
k(x) = (3x2 ) 2
2
`(x) = lg{5x + 3x − sin (2 − x)};
m(x) =
√ 3
p 7
x−4
;
3 √ x−4 (x − 4) x6 .
(80) Hol nem differenci´ alhat´ ok az al´ abbi f¨ uggv´enyek? Sz´am´ıtsuk ki a differenci´alh´anyadosukat ott, ahol differenci´ alhat´ ok! f (x) = |x3 |;
g(x) = | ln x|;
♠h(x) = | ln x3 |;
♠i(x) = |x − 2| · |x − 3|.
(81) L´etezik-e a deriv´ altja az f (x) =
0
ha x ≤ 0
1
e− x
ha x > 0 f¨ uggv´enynek az x = 0 pontban? (82) ♠ Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyek magasabbrend˝ u deriv´altjait:
(a) f (x) = 8x4 + 4x5 + 3x2 + 5
f (5) (x) =
2
f (2) (x) =
(b) f (x) = e−x
(c) f (x) = ex cos x
f (3) (x) =
(d) f (x) = x2 ln x
f (2) (x) =
(e) f (x) = arc tg x
f (3) (x) =
11
K¨ oz´ep´ert´ekt´etelek, Taylor t´etel
(83) ♠ Legyen f (x) = x2 . Lagrange t´etele szerint l´etezik egy olyan ξ ∈ (1, 2) sz´am, hogy 3 = f 0 (ξ). Keress¨ uk meg ξ-t.
22 − 12 = 2−1
(84) ♠ Hat´ arozzuk meg az y = cos x f¨ uggv´eny Maclaurin-sor´at, valamint az x = π k¨or¨ ul a Taylor sor´ at. (85) Legyen g(x) = 6x6 −25x5 +8x4 −9x3 +4x2 +1. ´Irjuk fel a f¨ uggv´eny x = 2 k¨or¨ uli Taylor-formul´aj´at, azaz alak´ıtsuk ´ at a f¨ uggv´enyt u ´gy, hogy benne csak az (x − 2) hatv´anyai szerepeljenek. (86) Hat´ arozzuk meg az y = ex f¨ uggv´eny Taylor-sor´at az x = 1 pont k¨or¨ ul.
F¨ uggv´enyvizsg´ alat, monotonit´as, konvexit´as, sz´els˝o´ert´ek (87) Vizsg´ aljuk meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyeket. (Hat´arozzuk meg a z´erushelyeket, hat´ar´ert´ekeket, azokat az intervallumokat, ahol monoton n¨ovekv˝o, illetve cs¨okken˝o, konvex illetve konk´av, v´eg¨ ul abr´ ´ azoljuk a f¨ uggv´enyt.) (a)♠f1 (x) = 8(x3 − 9x); x2 ; x2 − 2x + 1 x ; (e) f5 (x) = (x − 1)ex sin x (g) f7 (x) = 2 − cos x
(c) f3 (x) =
(b)♠f2 (x) = (x − 1)2 (x + 3)2 ; (d)♠f4 (x) =
1 + x3 ; x2
(f ) f6 (x) = sin 2x + 2 cos x; 0 < x < 2π.
(88) Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyek lok´alis sz´els˝o´ert´ekeit, ´es azokat az intervallumokat, amelyekben a f¨ uggv´eny monoton, konvex/konk´av. (a)♠f (x) = x4 − x2 ; x2 − 1 ; x2 + 1 √ (e) f (x) = x 1 − x2 ; (c)♠f (x) =
(b) f (x) =
x ; x2 − 1
(d) f (x) = sin x + cos x; (f )♠f (x) = −x ln x.
(89) A k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyekn´el vizsg´ aljuk meg, hogy a f¨ uggv´eny g¨orb´eje mely intervallumban konvex, illetve konk´ av. Hat´ arozzuk meg a f¨ uggv´eny inflexi´os helyeit is. (a)♠f (x) = x3 − 3x2 − 9x + 9; 4x ; 2 x +1 x2 (e)♠j(x) = + ln x; 2 1 (g) `(x) = (ex − e−x ); 2
(c) h(x) =
(k) n(x) = −x3 + 2x2 − x;
(b)♠g(x) = (x − 2)2 − 5; (d) i(x) = 1 +
x+1 x−2
2 ;
(f ) k(x) = arc tg x; (h) m(x) = x(ln x)−1 ; o(x) = x5 − 5x2 .
(90) Ha f differenci´ alhat´ o az x0 bels˝ o pontban, ´es f -nek ott helyi sz´els˝o ´ert´eke van, akkor f 0 (x0 ) = 0. Adjunk meg egy olyan konkr´et f¨ uggv´enyt, hogy f 0 (x0 ) = 0, de f -nek nincs helyi sz´els˝o´ert´eke x0 -ban.
12
(91) L’Hospital szab´ aly alkalmaz´ as´ aval hat´ arozzuk meg az al´abbi hat´ar´ert´ekeket: 1 − cos kx ; x→0 1 − cos mx tg x − x (d) limπ ; x→ 2 x − sin x ln x2 (g)♠ lim ; x→2 x − 2 (a)♠ lim
(j)
lim 2x ln x;
x→+0
1 x
(m)♠ lim (sin x) ; x→+0
(p) (s)
sin x ; x→0 x x ; lim x→∞ 5x − 1/x2 lim
(b) (e) (h) (k)
x ; x→∞ ln(x + 1) ln x lim ; x→1 aln x − x lim
(q) (t)
(f )
e2x − 1 ; x→0 sin x tg x lim ; x→ π tg 5x 2 lim
7x − 5x ; x→+0 x2
arc tg x ; x→0 x lim
(i)♠ lim
lim xsin x ;
(l)
x→+0
(n)
(c)
2
lim x e
x→0
1
x2
lim 2x ctg 3x;
x→0
3x2 − 2x − 1 ; x→1 5x2 − x − 4 9x + 7 + 1/x2 (r) lim ; x→∞ 7x − 3 cos x − 1 . (u)♠ lim x→0 x2
;
(o)
ex − 1 − x ; x→0 sin2 x tg x lim ; x→0 tg 5x lim
lim
(92) Bizony´ıtsuk be az al´ abbi egyenl˝ otlens´egeket (a)
loga x < (x − 1) loga e x x+1
(b)♠ ln(1 + x) >
ha x > 1 a > 1; ha x > 0;
(c)
(ax + 1)e−ax < 1
ha
a > 0, x > 0;
(d)
1+x > e2x 1−x
ha
0 < x < 1.
(93) ♠ A K = 1 cm ker¨ ulet˝ u t´eglalapok k¨ oz¨ ul melyiknek a legnagyobb a ter¨ ulete? (94) Az 1 m2 ter¨ ulet˝ u t´eglalapok k¨ oz¨ ul melyiknek a legnagyobb a ker¨ ulete? ´ a (95) Az r = 2m sugar´ u k¨ orbe ´ırhat´ o t´eglalapok k¨oz¨ ul melyiknek a legnagyobb a ter¨ ulete? Es ker¨ ulete? 1 + x2 (96) Hat´ arozza meg az f (x) = f¨ uggv´eny infimum´at ´es szupr´emum´at a ]0, ∞[ intervallumon! 1 + x4 (97) ♠ Egy d ´ atm´er˝ oj˝ u k¨ or alak´ u fat¨ orzsb˝ ol gerend´at faragnak, melynek keresztmetszete b alap´ u ´es h magass´ ag´ u t´eglalap. Mikor lesz a gerenda (bh2 -tel ar´anyos) szil´ards´aga a maxim´alis? (98) ♠ Az R sugar´ u g¨ ombbe ´ırjunk maxim´ alis t´erfogat´ u hengert! (99) ♠ Hat´ arozzuk meg azt a legnagyobb t´erfogat´ u k´ upot, amelynek alkot´oja adott l hossz´ us´ag´ u! (100) Egym´ assal ϑ sz¨ oget bez´ ar´ o egyenesek ment´en egy-egy haj´o halad ´alland´o u ill. v sebess´eggel. Hat´ arozzuk meg a haj´ ok k¨ ozti legr¨ ovidebb t´avols´agot, ha egy adott id˝opillanatban a haj´ok t´ avols´ aga az egyenesek metsz´espontj´ at´ ol sz´am´ıtva a ill. b! (101) ♠ Egy szem´ely x Ft brutt´ o j¨ ovedelme ut´ani A(x) Ft ad´oj´at az A(x) = a(bx + c)p + kx k´eplettel sz´ amolhatjuk, ahol a, b, c pozit´ıv ´alland´ok, p > 1, k ∈ R. Milyen j¨ovedelem mellett lesz az ´ atlagos ad´ oh´ anyad A(x) ¯ A(x) = x minim´ alis? (102) ♠ Adott n darab sz´ am, a1 , a2 , . . . , an . Keress¨ uk meg azt az x sz´amot amely ezeket legjobban k¨ ozel´ıti abban az ´ertelemben, hogy a d(x) := (x − a1 )2 + (x − a2 )2 + · · · + (x − an )2
13
a lehet˝ o legkisebb legyen! (103) ♠ Keress¨ uk meg az f (x) = x3 − 3x + 8 f¨ uggv´eny (glob´alis) maximum´at ´es minimum´at a [−1, 2] intervallumon. (104) ♠ Egy c´eg egyf´ele term´eket gy´ art. Egy adott id˝oszakban termelt ´es eladott x mennyis´eg˝ u term´ekb˝ ol B(x) bev´etele van, m´ıg k¨ olts´egei K(x)-t tesznek ki (valamilyen p´enzegys´egben). Az x mennyis´eg˝ u term´ek elad´ as´ ab´ ol sz´ armaz´ o P (x) profit P (x) = B(x) − K(x). Technikai korl´ atok miatt a c´eg egy adott id˝oszakban legfeljebb x ¯ mennyis´eg˝ u term´eket tud el˝ o´ all´ıtani, ´ıgy x ∈ [0, x ¯]. Milyen x ∈ [0, 500] mellett lesz a profit maxim´alis, ha (a) (b) (c)
B(x) = 1840x, B(x) = 2240x, B(x) = 1840x,
K(x) = 2x2 + 40x + 5000, K(x) = 2x2 + 40x + 5000, K(x) = 2x2 + 1940x + 5000.
(105) ♠ Az el˝ oz˝ o feladatban legyen K(x) = ax3 + bx2 + cx + d ahol a > 0, b ≥ 0, c, d > 0 adott konstansok. Igazolja, hogy az K(x) A(x) := x atlagos k¨ ´ olts´egf¨ uggv´enynek van minimuma a ]0, ∞[ intervallumban. Keress¨ uk meg ezt a minimumhelyet, ha b = 0. (106) ♠ Legyen most K(x) = axb + c ahol a > 0, b > 1, c > 0. Igazolja, hogy az ´atlagos k¨olts´egf¨ uggv´enynek van minimuma a ]0, ∞[ intervallumban, ´es keresse is meg ezt a minimumhelyet! (el´eg az els˝ o deriv´ altat kisz´ amolni!)
Hat´ arozatlan integr´al (107) ♠ Az alapintegr´ alok, elemi ´ atalak´ıt´ asok ´es line´aris helyettes´ıt´esek seg´ıts´eg´evel sz´am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat! Z
Z
1 dx 2 Z x2 x −1 dx b) Z x+1 x+1 √ dx c) x Z d) (1 + ex−1 )dx Z e) (x4 + 3x2 + 5x + 2) dx Z f) (1 − x2 )2 dx Z g) x(1 − x)(1 − 2x) dx Z 1 1 1 h) ( + 2 + 3 ) dx x Z x x x−1 i) dx 2/3 Z x 2 1+x j) dx x2 a)
k) Z l) Z m) Z n) Z o) Z p) Z
f α+1 f f = (α 6= −1) ´es α+1 α 0
(2x − 3)10 dx √ 3 1 − 3x dx
1 dx 2 − 5x Z 1 r) dx 5 + 2x2 Z 1 s) dx 2 Z 2 + 3x 1 √ t) dx 2 − 3x2
q)
(108) Az Z
(t2 + 6t − 5)dt r q √ x x xdx 5 1 x 2e + + dx x cos2 x 1 dx x+5
Z
f0 = ln |f | f
√
14
formul´ ak seg´ıts´eg´evel hat´ arozzuk meg a k¨ovetkez˝o integr´alokat! Z
x+1 dx ♠ 2 Z x + 2x − 1 x−2 dx b) x(x − 4) Z 1 c) dx ♠ x ln x Z d) tg x dx ♠ Z sin 2x dx e) 1 + sin2 x Z 8x − 7 f) dx 2 4x − 7x + 11 a)
Z g) Z h) Z i) Z j) Z k) Z l)
e2x dx 1 + e2x 2x dx 1 + x2 x dx 2 + 3x2 5x √ dx 1 − 2x2 2x + 5 dx ♠ 1 + 3x2 1+x dx 2 + 3x2
(109) Sz´ am´ıtsuk ki (parci´ alis integr´ al´ assal) a k¨ovetkez˝o hat´arozatlan integr´alokat ! Z Z a) xex dx ♠ e) ex cos x dx ♠ Z Z b) x3 ex dx f) ex cos2 x dx ♠ Z Z c) x sin x dx g) e−x sin x dx Z Z d) x ln x dx ♠ h) ln x dx Z Z i) (x3 + 3x2 + 1)ex dx m) x7 ln x dx Z Z j) (x2 + 1) cos x dx n) x arc tg x dx Z Z k) (x3 − 3x2 − 7) sin x dx o) arc tg x dx ♠ Z Z l) (x2 + 1) ln x dx p) arcsin x dx
(110) Alkalmas helyettes´ıt´esekkel hat´ arozzuk meg a k¨ovetkez˝o hat´arozatlan integr´alokat! Z a)
2
xe−x dx ♠
Z
3x dx (2 + 3x2 )3 Z x c) dx ♠ 2 2 Z (1 + x ) x d) 2 dx 2 Z (8x + 27) 3 x √ e) dx 1 − x2 b)
(111) Integr´ aljuk a k¨ ovetkez˝ o racion´ alis t¨ ortf¨ uggv´enyeket!
Z f) Z
sin3 x cos x dx ♠
3+x dx 5 − 2x2 Z sin x √ dx h) cos3 x Z arc tg3 x i) dx ♠ 2 Z 1 +2 x tg x dx j) cos2 x g)
√
15
x3 dx ♠ 2 Z x +1 1 b) dx ♠ 2 Z x − 2x − 3 1 dx c) 2 + 2x + 6 x Z 2x + 3 d) dx ♠ x2 + 3x − 10 Z
Z
5 dx ♠ Z (x − 2)(x + 5) 2x + 3 f) dx Z (x − 2)(x + 5) x g) dx 2 Z x − 2x − 3 3x + 1 h) dx 2 x + 5x + 6
a)
e)
(112) Bontsa fel a ♠
x3 (x
2x − 1 , + 2)2 (x2 + 1)
(x −
1)3 (x
x5 − 1 + 2)2 (x2 + 2x + 2)
racion´ alis t¨ orteket parci´ alis t¨ ortekre, ´es az egy¨ utthat´ ok kisz´ amol´ asa n´ elk¨ ul (hat´arozatlan egy¨ utthat´ okkal) hat´ arozza meg e f¨ uggv´enyek integr´alj´at! (113) Alkalmas Z a) Z b) Z c) Z d) Z e) Z f) Z g) Z h)
helyettes´ıt´essel sz´ am´ıtsuk ki az al´abbi hat´arozatlan integr´ Z alokat! 1 x x3 i) dx dx (t = tg 4 1 + 2 cos x 2 Z (x + 2) 1 dx √ √ dx ♠ k) 3 x + 1 + ( x + 1) Z 1 + sin x dx e4x l) dx x 1+e Z 1 + cos x ln x √ x 2 x √ m) dx ♠ e − 1dx (e − 1 = t ) Z x 1 + ln x dx n) tg 3 xdx (t = tg x) cos x Z √ √x dx o) xe dx 5 + 3 cos x Z p p) sin(ln x) dx ♠ 1 − x2 dx (x = sin t) 1 √ dx ♠ 1+ x
Hat´ arozott integr´al
(114) ♠ Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozott integr´alokat! Z3 1 dx ; 22
Z−1 cos x dx ;
Z2π sin x dx ;
√
0
Zπ
2
x dx ; −1
2
Z100
1 dx. x
1
(115) Legyen −2 ha x < 1 3 ha x = 1 f (x) = −1 ha x > 1
;
g(x) =
Mennyi a k¨ ovetkez˝ o integr´ alok ´ert´eke ? Z3
Z2 f (x) dx ;
−5
g(x) dx. −1
−1 2x
ha x < 0 ha x > 0.
16
(116) ♠ Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat! Z3
2 2x
x e
Z2 dx ; −2
0
Zπ/2
2x dx ; 2 (x − 100)7
ctg (x) dx. π/3
(117) Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozott integr´alokat! Z3
√
√
x e
Z12
x
♠
dx ;
2
Ze
1 dx ; 1 − x2
4
Z4
e4x dx ; 1 + ex
0
1 dx. x3 − x
2
Improprius integr´alok (118) L´eteznek-e a k¨ ovetkez˝ o improprius integr´alok ? Ha igen, sz´am´ıtsuk ki ˝oket! Z∞ ♠
Ze ♠
ln x dx ; 1
Z1
Z1
x
e dx ; −∞
ln |x| dx ;
ln x dx ; Z0
1 dx ; x2
Z3
1 dx ; x2
−∞
−∞
Z∞
1 dx ; x
−∞
−1
0
Z0
Z1
Z0
1 dx ; x
♠
−∞
Z∞
1 √ dx ; x
+∞
3 √ dx x
Z∞ ♠
2
0
e−x dx ;
dx . 1 + x2
0
(119) L´eteznek-e az al´ abbi improprius integr´ alok ? Ha igen, sz´am´ıtsuk ki ˝oket ! Z∞
dx ; x3
Z∞ 2
1
Z∞
2 −x/3
x e 0
dx ; (1 − x)2
Z∞ xe
−2x
Z∞ dx ;
♠
4
Z3 dx ;
dx √ ; x
√
dx ; 2 + 6x
0
Z2 ♠
0
dx √ ; 2−x
0
Z1
x+1 √ dx. x
0
Az integr´al alkalmaz´asai
(120) Egy munk´ as b´ere egy adott ´ev n-edik napj´an b(n) = 500 + n · 0, 5 + n2 · 0, 001 forint. Mennyit keres ´ıgy egy ´ev alatt? Helyes-e az integr´alsz´am´ıt´ast haszn´alni a feladat megold´as´ahoz? (121) ♠ Egy u ¨zem rakt´ ar´ aban r egys´eg anyagmennyis´eg van, ´es ezt T nap alatt dolgozz´ak fel. A rendelkez´esre ´ all´ o adatok szerint a rakt´ark´eszlet fogy´as´anak grafikonja j´ol k¨ozel´ıthet˝o egy y = aval a [0, T ] intervallumon. a(x − b)2 parabol´ Sz´ am´ıtsuk ki a -t ´es b -t, majd hat´ arozzuk meg a T napra fizetend˝o rakt´aroz´asi k¨olts´egeket, ha egy egys´eg rakt´ aroz´ asa R forintba ker¨ ul naponk´ent . (122) Legyen A = {(x, y) | y ≥ x2 } ´es B = {(x, y) | y ≤ x + 2}. Mennyi A ∩ B ter¨ ulete ? x2 y2 + 2 = 1 ellipszis ter¨ ulete ? 2 a b √ (124) ♠ Mennnyi az f (x) = 4 − x2 f¨ uggv´eny g¨orb´ej´enek a hossza x = −0, 5 ´es x = 1 k¨ oz¨ ott ? (123) Mennyi az
17
(125) ♠ Ha egy [a, b]-n ´ertelmezett f (x) f¨ uggv´eny g¨orb´ej´et megforgatjuk az x-tengely k¨or¨ ul, akkor az altala ”hat´ ´ arolt” forg´ astest t´erfogata Zb V = f 2 (x) π dx . a
Ezt felhaszn´ alva sz´ am´ıtsuk ki egy g¨ omb ´es egy k´ up t´erfogat´at! (126) Forgassuk meg az y tengely k¨ or¨ ul az y = 8 − 2x − x2 egyenlet˝ u parabol´anak az els˝o s´ıknegyedbe es˝ o r´esz´et ! Mekkora t´erfogat´ u test keletkezik ?
Kett˝os integr´al
Z2 Z1 (127) ♠ Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
Z1 Z2 xy dx dy ;
0
0
e 0
x+y
Zb Zd dy dx ; a
0
xy 2 dx dy
c
(128) Integr´ alja a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyeket a megadott A tartom´anyon ! RR 2 √ 2 ♠ (x + y ) dx dy A = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1 , x2 ≤ y ≤ x}, A
RR
(ax + by + c) dx dy
A = {(x, y) | (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 2},
cos(x + y) dx dy
A = {(x, y) | x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ π},
(x2 + y 2 + 1) dx dy
A = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1 , nx ≥ y}
A
♠
RR A
RR
(n > 0 adott).
A
ZZ (129) ♠ Hat´ arozza meg a
x dxdy kett˝ os integr´al ´ert´eket, ahol A
A = { (x, y) |2x2 − y ≤ 0, 2 − 2x2 ≥ y }! ZZ (130) Hat´ arozza meg a x dxdy kett˝ os integr´al ´ert´eket, ahol A az y = x2 − 3x ´es az y = −x2 − x + 4 A
parabol´ ak ´ altal k¨ ozrez´ art tartom´ any! ZZ (131) ♠ Hat´ arozza meg a (x2 + 2y) dxdy kett˝os integr´al ´ert´eket, ahol A az x = 0, y = 0 ´es az A
x + 2y = 2 egyenlet˝ altal hat´arolt h´aromsz¨og! ZuZ egyenesek ´ x y (132) Hat´ arozza meg a e dxdy kett˝ os integr´al ´ert´eket, ahol A az x = 0, y = 1 ´es az y 2 = x A
egyenlet˝ u g¨ orb´ek ´ altal hat´ arolt s´ıkr´esz!
