OBCHODNÍ AKADEMIE ORLOVÁ MATEMATICKÝ SEMINÁŘ U Č EBNÍ TEXT PRO DISTANČ NÍ FORMU VZDĚ LÁVÁNÍ ALENA Š T Ě RBOVÁ PAVEL KVĚ TOŇ

OBCHODNÍ AKADEMIE ORLOVÁ

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ

UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ FORMU VZDĚLÁVÁNÍ

ALENA PAVEL

ŠTĚRBOVÁ KVĚTOŇ

ORLOVÁ 2006

2

3

OBSAH Úvod ................................................................................................ 3 1.

Lineární algebra........................................................................... 5 1.1. Základy maticového počtu ..................................................... 5 1.2. Výpočet determinantů ......................................................... 11 1.3. Inverzní matice .................................................................. 14 1.4. Řešení soustav rovnic pomocí matic a determinantů .............. 16

2. Základy diferenciálního počtu...................................................... 25 2.1. Spojitost funkce, pojem limita funkce, výpočet limity funkce ... 25 2.2. Výpočty limit funkcí v nevlastním bodě ................................. 32 2.3. Pojem derivace funkce, derivace základních funkcí ................ 35 2.4. Derivace složené a implicitní funkce ..................................... 41 2.5. Derivace vyšších řádů.......................................................... 45 2.6. Aplikace derivace funkce ..................................................... 45 2.6.1.

Průběh funkce ......................................................... 45

2.6.2.

Nalezení největší a nejmenší hodnoty......................... 53

2.6.3.

l´Hospitalovo pravidlo............................................... 55

3. Základy integrálního počtu.......................................................... 63 3.1. Primitivní funkce, neurčitý integrál........................................ 63 3.2. Určitý integrál..................................................................... 71 3.3. Aplikace určitého integrálu................................................... 72 2.3.1.

Obsah rovinné plochy ............................................... 72

2.3.2.

Objem rotačního tělesa............................................. 75

4. Metody matematických důkazů, matematická indukce ................... 79 4.1. Definice, věty, axiómy ......................................................... 79 4.2. Typy důkazů v matematice .................................................. 81 Použité symboly ............................................................................. 88 Použité zkratky ................................................................................ 89 Použitá literatura ............................................................................. 90

4

ÚVOD Vážený čtenáři, otevřeli jste studijní text, jehož cílem je rozšířit a prohloubit základní učivo středoškolské matematiky o další kapitoly. Předpokladem pro úspěšné zvládnutí učební látky je znalost učiva obsaženého ve studijních oporách Matematika I , II, IV a V. Studijní opora Matematický seminář je rozdělena do čtyř samostatných kapitol. Kapitoly 1. a 4. tvoří samostatné, nezávislé celky. Můžete je studovat v libovolném pořadí. Kapitoly 2., 3.je nutno studovat v předloženém pořadí (nejdříve prostudujte kapitolu 2 a teprve po jejím zvládnutí přistupte k prostudování 3. kapitoly). Probírané učivo je doplněno podrobně řešenými příklady a dalšími úlohami s uvedenými výsledky. Pokud si nevíte s řešením rady, nahlédněte do přiloženého Klíče k řešení úloh. Úlohy jsou řazeny vždy od nejjednodušších, náročnější úkoly jsou označeny hvězdičkou. Korespondenční úlohy v Klíči k řešení úloh obsaženy nejsou. Jejich řešení zašlete tutorovi k prověření. Hodně úspěchů a trpělivosti při řešení úkolů přeje Alena Štěrbová

1. kapitola - Lineární algebra - Matice a determinanty

5

LINEÁRNÍ ALGEBRA Cílem kapitoly je seznámit se základy maticového počtu, s výpočtem determinantů a s využitím matic a determinantů při řešení soustav rovnic.

Zopakujte si z matematiky I a V •

Vektorový počet

•

Operace s vektory

•

Číselné operace

•

Řešení soustav rovnic

Přednášející napsal na tabuli dlouhý sled výpočtů. "No a výsledkem toho všeho bude nula. Víte jaká?" -Ticho"No přece čtvercová"

Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 6 hodin teoretická příprava a 15 hodin řešení úloh 1.1 Základy maticového počtu Klíčová slova:

MATICE, JEDNOTKOVÁ MATICE, NULOVÁ MATICE, SOUČET MATIC, ROZDÍL MATIC, REÁLNÝ NÁSOBEK MATICE, SOUČIN MATIC, ARITMETICKÝ VEKTOR, LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST ARITMETICKÝCH VEKTORŮ, LINEÁRNÍ KOMBINACE ARITMETICKÝCH VEKTORŮ, HORNÍ TROJÚHELNÍKOVÝ TVAR MATICE, HODNOST MATICE

1. 1. 1 Definice matice, rozdělení matic Matice je obdélníkové schéma, kde jsou čísla uspořádána do řádků a sloupců. Maticí A typu (m , n) rozumíme souhrn m.n čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců. Jednotlivá čísla nazýváme prvky matice; ai,j je prvek matice A v i-tém řádku a j-tém sloupci. Matice A=(aij) , B=(bij) se rovnají, jsou-li téhož typu (m,n) a když aij = bij pro i = 1, 2, … m , j = 1, 2, … n. Zápis:

A( m ,n )

⎛ a11 ⎜ ⎜a = ⎜ 21 ... ⎜ ⎜a ⎝ m1

a12

a 22 ... am 2

a1n ⎞ ⎟ ... a 2 n ⎟ ... ... ⎟ ⎟ ... a mn ⎟⎠ ...

Prvky a11 a22 ……akk , kde k = min(m,n), tvoří hlavní diagonálu matice Matice , jejíž počet řádků m je stejný jako počet sloupců n (m=n) se nazývá čtvercová matice.

Definice matice

6

Mezi důležité druhy matic řadíme : Nulová matice Jednotková matice Diagonální matice Transponovaná matice

⎛ 0 0⎞ ⎟⎟ všechny prvky jsou nulové; N = ⎜⎜ ⎝ 0 0⎠

matice nulová matice jednotková

diagonální matice

⎛ 1 0 ⎞ čtvercová matice, v níž jsou všechny prvky ⎟⎟ na hlavní diagonále rovny 1 a ostatní jsou E = ⎜⎜ 0 1 ⎝ ⎠ rovny 0; ⎛ 3 0 ⎞ čtvercová matice, v níž jsou všechny prvky ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ 0 4 ⎠ mimo hlavní diagonálu rovny 0;

transponovaná matice k dané matici A ; ozn. AT ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4 5 6⎟ ⎜7 8 9⎟ ⎝ ⎠

⎛1 4 7⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜2 5 8⎟ ⎜3 6 9⎟ ⎝ ⎠ T

v transponované matici se řádek stane sloupcem a sloupec řádkem; Horní trojúhelníkový tvar matice

Horní trojúhelníkový tvar matice A

⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 5 6⎟ ⎜0 0 9⎟ ⎝ ⎠

matice, v níž jsou všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny 0.

1.1.2 Základní operace s maticemi Součet matic Rozdíl matic Reálný násobek matice Součin matic

Sčítání matic A, B – podmínka pro sčítání matic obě matice musí být stejného typu (mají stejný počet řádků a sloupců); C = A + B = > cij = aij + bij ….sčítají se prvky na stejných pozicích. Odčítání matic A, B – podmínka pro odčítání matic obě matice musí být stejného typu (mají stejný počet řádků a sloupců); C = A – B = > cij = aij – bij ….odčítají se prvky na stejných pozicích. Násobení matice A reálným číslem k C = k.A

Pozorně čtěte

= > cij = k.aij …. Číslem k vynásobíme všechny prvky matice A.

Násobení dvou matic A, B – podmínka pro násobení matic A . B; počet sloupců mat. A = počet řádků mat. B (násobení matic není obecně komutativní - to znamená, že A . B ≠ B . A , může se stát, že v opačném pořadí nelze matice vynásobit). A(m , p) . B(p , n) = C(m , n) n

;

cij = ∑ a ik . b kj skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. k =1


7

Příklad 1. Jsou dány matice A , B. Vypočtěte jejich součet S = A + B, rozdíl D = A – B a matici X = 5 . A ⎛ 1 5⎞ ⎛10 15 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜− 3 4 ⎟ B = ⎜13 − 6 ⎟ ⎜ 0 − 2⎟ ⎜ 7 − 2⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Řešení: obě matice jsou stejného typu (3 , 2) => splněna podmínka pro sčítání a odčítání; součet

⎛ 1 5 ⎞ ⎛10 15 ⎞ ⎛ 1 + 10 5 + 15 ⎞ ⎛ 11 20 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ S = ⎜ − 3 4 ⎟ + ⎜13 − 6 ⎟ = ⎜ − 3 + 13 4 + ( −6) ⎟ = ⎜10 − 2 ⎟ ⎜ 0 − 2 ⎟ ⎜ 7 − 2 ⎟ ⎜ 0 + 7 − 2 + ( −2) ⎟ ⎜ 7 − 4 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝

rozdíl

5 − 15 ⎞ ⎛ − 9 − 10 ⎞ ⎛ 1 5 ⎞ ⎛10 15 ⎞ ⎛ 1 − 10 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ D = ⎜ − 3 4 ⎟ − ⎜ 13 − 6 ⎟ = ⎜ − 3 − 13 4 − ( −6) ⎟ = ⎜ − 16 10 ⎟ ⎜ 0 − 2 ⎟ ⎜ 7 − 2 ⎟ ⎜ 0 − 7 − 2 − ( −2) ⎟ ⎜ − 7 0 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝

násobek matice A

Příklad 2.

⎛ 1 5 ⎞ ⎛ 5 25 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ X = 5.⎜ − 3 4 ⎟ = ⎜ − 15 20 ⎟ ⎜ 0 − 2 ⎟ ⎜ 0 − 10 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

Vynásobte dané matice, pokud je splněna podmínka pro násobení 2 matic. ⎛1 3⎞ ⎛ 2 1 ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎝ 2 4⎠ ⎝0 1 Řešení: počet sloupců 1.

0⎞ ⎟= 3 ⎟⎠

matice je 2 , počet řádků 2. matice je 2 => splněna podmínka pro násobení matic;

⎛1 3⎞ ⎛ 2 1 0⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = C ⎝ 2 4⎠ ⎝0 1 3⎠

výsledkem součinu daných matic je matice C typu (2 , 3).

Výpočet prvků matice C

c11 = (1,3) . (2, 0) = 1.2 + 3.0 = 2 ……..skalární součin 1. řádku 1. matice c12 c13 c21 c22 c23

a 1. sloupce 2. matice = (1,3) . (1, 1) = 1.1 + 3.1 = 4 ……..skalární součin 1. řádku 1. matice a 2. sloupce 2. matice = (1,3) . (0, 3) = 1.0 + 3.3 = 9 ……..skalární součin 1. řádku 1. matice a 3. sloupce 2. matice = (2,4) . (2, 0) = 2.2 + 4.0 = 4 …….skalární součin 2. řádku 1. matice a 1. sloupce 2. matice = (2,4) . (1, 1) = 2.1 + 4.1 = 6 …….skalární součin 2. řádku 1. matice a 2. sloupce 2. matice = (2,4) . (0, 3) = 2.0 + 4.3 = 12 …..skalární součin 2. řádku 1. matice a 3. sloupce 2. matice

Výsledná matice

⎛24 9 C = ⎜⎜ ⎝ 4 6 12

⎞ ⎟⎟ ⎠

8

Úkol k textu. V opačném pořadí matice z příkladu 2. násobit nelze. Vysvětlete. Úloha 1. Jsou dány matice A, B. Vypočtěte matice A + B, B – A, 3. B , A . B a B . A. Rozhodněte, zda je násobení matic komutativní ⎛ 5 8 − 4⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜6 9 − 5⎟ ⎜ 4 7 − 3⎟ ⎝ ⎠

2 5⎞ ⎛3 ⎜ ⎟ B = ⎜ 4 − 1 3⎟ ⎜9 6 5 ⎟⎠ ⎝

1.1.3 Aritmetický vektor Každý řádek i sloupec matice je aritmetickým vektorem. Úprava matic představuje operace s aritmetickými vektory. Aritmetický vektor u je každá uspořádaná n-tice reálných čísel. Operace s aritmetickými vektory a , b a = [a1 , a 2 ...... a n ]

b = [b1 , b2 ......bn ]

a + b = [a1 + b1 , a 2 + b2 ...... a n + bn ]

•

Sčítání

•

Odečítání a – b

•

Reálný násobek aritmetického vektoru

•

k . a = [k .a1 , k .a 2 ...... k .a n ] Skalární součin a . b = a1. b1 + a 2 .b2 + .... + a n .bn

Příklad 3. Jsou dány aritmetické vektory a [3, 6, 0] b [-2, 0, 4]. Vypočtěte a + b, a – b, 4. a, skalární součin a.b. Řešení: a + b = [3, 6, 0] + [-2, 0, 4] = [3-2, 6+0, 0+4] = [1, 6, 4] a – b = [3, 6, 0] - [-2, 0, 4] = [3+2, 6-0, 0-4] = [5, 6, -4] 4 . a = 4 . [3, 6, 0] = [12, 24, 0] a . b = [3, 6, 0] . [-2, 0, 4] = 3.(-2) + 6.0 + 0.4 = -6 Lineární závislost aritmetických vektorů a , b . Aritmetické vektory jsou lineárně závislé, pokud jeden z nich je reálným násobkem druhého. b = k . a ; k je reálné číslo (jinak jsou lineárně nezávislé) Lineární kombinace aritmetických vektorů a , b . Aritmetický vektor c je lineární kombinací vektorů a, b , pokud se dá vyjádřit jako součet reálných násobků vektorů a, b. Jinak: existují-li reálná čísla k, l tak, aby c = k.a + l .b Lineární závislost aritmetických vektorů a , b , c. Aritmetické vektory a , b , c jsou lineárně závislé, pokud jeden z nich je možno vyjádřit jako lineární kombinaci zbývajících dvou vektorů.


9

Příklad 4. Vektor z = [2, 10] zapište jako lineární kombinaci vektorů u = [1, 3], v = [-2, 2] Řešení: z=k.u+r.v

……… hledáme reálná čísla k,r; dosadíme souřadnice jednotlivých vektorů a řešíme vzniklou soustavu

2 = k . 1 + r . (-2) 10 = k . 3 + r . 2 12 = k . 4 = > k = 3 r = 0,5 z = 3 . u + 0,5 . v 1.1.4 Hodnost matice Hodnost matice A je maximální počet lineárně nezávislých řádků či sloupců matice A. Je-li hodnost matice r , pak existuje r řádků lineárně nezávislých a každých r+1 řádků je už lineárně závislých. Určení hodnosti matice použijeme při rozhodování o lineární závislosti skupiny aritmetických vektorů.

Výpočet hodnosti matice souvisí • s úpravou matice na diagonální tvar (horní trojúhelníkový tvar) • odstranění nulových řádků, které při úpravě matice na horní trojúhelníkový tvar vzniknou Při úpravě matice na horní trojúhelníkový tvar se využívá následující věta V1. V1: Mějme matici A typu (m,n). Hodnost matice se nezmění, uplatníme-li na ni některou z následujících úprav: (1) výměna libovolných dvou řádků matice mezi sebou. (2) výměna libovolných dvou sloupců matice mezi sebou. (3) přičtení libovolné lineární kombinace zbývajících řádků k libovolnému řádku matice. (4) přičtení libovolné lineární kombinace zbývajících sloupců k libovolnému sloupci matice. Příklad 5. a) Určete hodnost dané matice A. 2 −1 0⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎜1 matici A upravíme dle větyV1 na horní trojúhelníkový tvar A=⎜ 0 −2 1 −1⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 − 0 0 2 ⎠ ⎝ Řešení: 1.

krok - ke druhému řádku přičteme první řádek vynásobený (–1) ; ke čtvrtému řádku přičteme první řádek vynásobený (–2) = > vynulujeme 1. sloupec pod hlavní diagonálou

2 −1 0⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 −1⎟ ⎜0 − 2 A1 = ⎜ 0 −2 1 −1⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 − 4 2 − 2 ⎟⎠ ⎝

Věta o lineárních transformacích matice

Horní trojúhelníkový tvar matice

10 2.

Horní trojúhelníkový tvar matice

krok - ke třetímu řádku přičteme druhý řádek vynásobený (–1) ; ke čtvrtému řádku přičteme druhý řádek vynásobený (–2) = > vynulujeme 2. sloupec pod hlavní diagonálou

2 −1 0⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 − 1⎟ ⎜0 − 2 A2 = ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 0 0 0 ⎟⎠ ⎝ 3.

krok - vynecháme 3. a 4. řádek obsahující jen 0 a získáme horní trohúhelníhový tvar

Protože hodnost matice A2 je rovna 2, pak také hodnost matice A je rovna 2: h(A) = 2. b) Určete hodnost dané matice B. Hodnost matice

1⎞ ⎛3 2 ⎜ ⎟ B = ⎜1 0 −1⎟ ⎜ 2 1 − 2⎟ ⎝ ⎠

matici B upravíme dle větyV1 na horní trojúhelníkový tvar

Řešení: 1.

krok vyměníme první a druhý řádek matice = > 1. sloupec začíná 1

⎛1 0 −1⎞ ⎜ ⎟ B1 = ⎜ 3 2 1⎟ ⎜ 2 1 − 2⎟ ⎝ ⎠ 2.

krok - ke druhému řádku přičteme první řádek vynásobený (–3) ; ke třetímu řádku přičteme první řádek vynásobený (–2) = > vynulujeme 1. sloupec pod hlavní diagonálou

⎛ 1 0 − 1⎞ ⎜ ⎟ B2 = ⎜ 0 2 4⎟ ⎜0 1 0 ⎟⎠ ⎝ 3.

krok - ke třetímu řádku přičteme druhý řádek vynásobený (–0,5) = > vynulujeme 2. sloupec pod hlavní diagonálou a získáme horní trohúhelníhový tvar

⎛1 0 −1⎞ ⎜ ⎟ B3 = ⎜ 0 2 4⎟ ⎜0 0 − 2⎟ ⎝ ⎠ Hodnost matice B3 udává počet řádků; h(B3) = 3, a proto také h(B) = 3.

Příklad 6. Vyšetřete, zda daná skupina aritmetických vektorů je lineárně závislá či nezávislá. a = [2, 1, 2], b = [-4, 5, 0], c = [0, 14, 8] Řešení: 1.

krok z daných aritmetických vektorů sestavíme matici M ( vektory jsou její řádky)

1 2⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎜ M =⎜−4 5 0⎟ ⎜ 0 14 8 ⎟ ⎠ ⎝

1. kapitola - Lineární algebra - Matice a determinanty 2.

11

krok vypočteme hodnost matice M (viz příklad 5)

⎛ 2 1 2⎞ ⎛ 2 1 2⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎛ 2 1 2⎞ ⎟⎟ M 1 = ⎜ 0 7 4 ⎟ M 2 = ⎜ 0 7 4 ⎟ M 3 = ⎜⎜ ⎝ 0 7 4⎠ ⎜0 0 0⎟ ⎜ 0 14 8 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ h(M) = h(M3) = 2 3.

krok z hodnosti matice M uděláme závěr o závislosti vektorů.

Hodnost matice M je 2 => pouze 2 vektory jsou lineárně nezávislé, skupina daných 3 vektorů je lineárně závislá. Úpravy podle V1, které nemění hodnost matice, se nazývají ekvivalentní úpravy matice a takto vzniklé matice jsou ekvivalentní , což zapíšeme: M ~ M1 ~ M2 ~ M3 .

Ekvivalentní úpravy matic

Průvodce studiem. Chtělo to soustředění, že ano? Tak si na chvíli odpočiňte. V další části chceme zvládnout určení inverzní matice a k tomu budeme potřebovat determinant matice. Úloha 2. 2.1 Pomocí hodnosti matice rozhodněte o lineární závislosti dané skupiny aritmetických vektorů: a) a = [3, -2, 1, 0], b = [4, 0, 2, -3], c = [11, -4, 13, -1], d = [2, -1, 5, 1] b) a = [2, -2, 4], b = [3, 1, 6], c = [-5, 3, 1] 2.2 Vyjádřete vektor z jako lineární kombinaci vektorů a, b, c: a = [2, 1, -1], b = [2, 3, 2], c = [4, 5, -2], z = [2, -2, -10] 1.2 Výpočet determinantů Klíčová slova: DETERMINANT, SUBDETERMINANT, ALGEBRAICKÝ DOPLNĚK SINGULÁRNÍ MATICE, REGULÁRNÍ MATICE

Determinant je reálné číslo přiřazené ke čtvercové matici podle pravidel pro výpočet determinantu. Pravidlo pro výpočet determinantu matice 2x2: a11

a12

a 21

a 22

Determinant matice

= a11 .a 22 − a12 .a 21

Pravidlo pro výpočet determinantu matice 3x3 (Sarrusovo pravidlo) a11

a12

a13

a 21 a31

a 22 a32

a 23 = (a11 .a 22 .a33 + a12 .a 23 .a31 + a 21 .a32 .a13 ) − (a13 .a 22 .a31 + a12 .a 21 .a33 + a 23 .a32 .a11 ) a 33

Matice je singulární, má-li determinant roven 0. Matice je regulární, má-li determinant různý od 0.

12

Příklad 7. Vypočti dané determinanty: cos x sin x = cos x. cos x − sin x. sin x = cos 2 x sin x cos x 2

6

3

−2

1

−1 4 = (2.(−2).(−4) + 6.4.1 + 3.5.(−1)) − ((−1).(−2).1 + 3.6.(−4) + 4..5.2) =

5 −4

= (16 + 24 – 15) – ( 2 – 72 + 40) = 55 Při výpočtu determinantů lze využít některých z jeho vlastností.

Vlastnosti determinantu

Vlastnosti determinantů: 1. determinant se nezmění transponováním, tj. záměnou řádků a sloupců 1

0

−2

−3

3

0

1 0

−4 1 = (−12 + 0 + 0) − (36 + 0 + 0) = −48 4

−2 3 − 3 0 = (−12 + 0 + 0) − (36 + 0 + 0) = −48

−4

1

4

2. vyměníme-li dva řádky determinantu, změní se jeho znaménko 1

0

−2

−3

3

0

−4 1 = (−12 + 0 + 0) − (36 + 0 + 0) = −48 4

1

0 −4

3

0

−2 −3

4 = (0 + 0 + 36) − (0 + 0 − 12) = +48 1

3. je-li v determinantu řádek nebo sloupec tvořený samými nulami, determinant se rovná 0 1 0 −2 0 3 0

−4 1 = ( 0 + 0 + 0) − ( 0 + 0 + 0 ) = 0 4

4. jsou-li v determinantu dva řádky (nebo 2 sloupce) lineárně závislé (stejné nebo jeden je násobkem druhého), je determinant roven 0 1 2 3 3 6 9 = (24 + 54 + 0) − (54 + 24 + 0) = 0 3 0 4

Z toho plyne, že pokud je determinant nenulový, jsou všechny řádky lineárně nezávislé!


13

5. společný dělitel prvků jednoho řádku ( případně sloupce) lze vytknout před determinant. 2 −4 5

1 −2

6

10 − 10 = 2.5.(−3). 1

−3 −6

0

1

2

3 − 2 = −30.((0 + 4 + 6) − (6 − 4 + 0)) = (−30).8 = −240

2

0

Subdeterminant, algebraický doplněk

det( A) =

Mějme determinant

a11

a12

...... a1n

a 21 .... a n1

a 22 .... an 2

...... a 2 n .aik ..... ...... a nn

;

|Aik| nazveme subdeterminant det(A) , dostaneme jako determinant matice Aik, kterou získáme z matice |A| vynecháním i-tého řádku a k-tého sloupce .

Subdeterminant

Algebraický doplněk k prvku aik je

Algebraický doplněk k prvku aik

Aik = (-1)i+k . |Aik| Výpočet determinantů vyšších řádů rozvojem podle řádku nebo sloupce: Vypočteme determinant A např. rozvojem podle 1. řádku

det( A) =

a11

a12

a13

a14

a 21 a31 a 41

a22 a 32 a42

a 23 a33 a34

a 24 = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 + a14 . A14 a34 a 44

Je vhodné vybírat řádek nebo sloupec s maximálním počtem 0. Příklad 8. Vypočtěte determinant det(A) rozvojem podle 2. řádku.

det( A) =

3 2 1 2 1 0 −2 1 3 3 2 3

1 1

Rozvoj determinantu

2 1

Řešení: 1.krok určíme subdeterminanty a příslušné algebraické doplňky

2 1 2 Subdeterminant

A21 = 3 1 2 3 1 1

vynecháme 2.řádek a 1. sloupec

14

A21 = ( −1)

Algebraický doplněk

2 +1

2 1 2 .3 1 2 3 1 1

subdeterminant |A21| vynásobíme (-1) umocněno na součet indexů 2+1

Obdobně určíme subdeterminanty |A22| , |A23| , |A24 | a algebraické doplňky A22 , A23 , A24 2.krok vypočteme determinant rozvojem podle 2. řádku

3 2 1 2 1 0 −2 1

det( A) =

3 3 2 3

+ 1.( −1)

2+ 4

1 1

2 1

= 1.( −1)

2 1 2 3 1 2 3 2 2 2+2 2+3 . 3 1 2 + 0.( −1) . 3 1 2 + ( −2).( −1) . 3 3 2 +

2 +1

3 1 1

2 1 1

2 3 1

3 2 1 . 3 3 1 = ( −1).( 2 + 6 + 6 − 6 − 4 − 3) + 0 + 2.(9 + 8 + 18 − 12 − 18 − 6) + 2 3 1

+ 1.(9 + 4 + 9 − 6 − 6 − 9) = −1 − 2 + 1 = −2 Úloha 3.

Vypočtěte dané determinanty: cos x − sin x sin x cos x

3.1

3.2

2 1 −1 3 −3 −5 1 −3 −4

3.3

1 −1 2 3 0 2 1 −1 1 2 −1 − 2 3 −1 0 1

1.3 Inverzní matice Klíčová slova: ADJUNGOVANÁ

MATICE , INVERZNÍ MATICE

Inverzní matice k matici A je matice A-1 , platí-li, že součin matic A . A-1 = E, kde E je jednotková matice ( na hlavní diagonále má 1 , jinak samé 0 ).

• • Inverzní matice Adjungovaná matice

Inverzní matice existuje pouze ke čtvercové regulární matici ( hodnost matice je rovna původnímu počtu řádků, tj. všechny řádky jsou lineárně nezávislé ). Inverzní matici určíme pomocí determinantu dané matice a matice adjungované (viz následující vzorec)

Výpočet inverzní matice A −1 =

1 .Ã Ã …. adjungovaná matice det( A )

Co je adjungovaná matice? Adjungovanou matici Ã určíme tak, že matici A transponujeme a každý prvek ve výsledné matici AT nahradíme algebraickým doplňkem.


15

Příklad 9 Najděte inverzní matici A -1 k dané matici A a proveďte zkoušku správnosti. 1 − 1⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ A = ⎜0 1 1⎟ ⎜1 −1 2⎟ ⎝ ⎠

Výpočet inverzní matice

Řešení: 1. krok ověříme platnost podmínek pro existenci inverzní matice

a) matice A je čtvercová b) výpočtem determinantu matice A zjistíme, zda je matice A regulární 1

1 −1

det( A) = 0 1 1 −1

1 = (2 + 1 + 0) − (−1 − 1 + 0) = 5 ≠ 0 … A je regulární 2

2 .krok najdeme matici adjungovanou k A

1⎞ ⎛ 1 0 ⎜ ⎟ AT = ⎜ 1 1 − 1 ⎟ ⎜−1 1 2 ⎟⎠ ⎝

a) transponovaná matice k A

⎛ 1 ⎜+ ⎜ 1 ⎜ 0 b) adjungovaná matice Ã = ⎜ − ⎜ 1 ⎜ 0 ⎜⎜ + ⎝ 1

−1 2 1 2 1 −1

−

1 −1

−1 2 1 1 + −1 2 1 1 − 1 −1

1 1⎞ ⎟ −1 1 ⎟ 1 0⎟ ⎟ − −1 1 ⎟ 1 0 ⎟ ⎟ + 1 1 ⎟⎠ +

2⎞ ⎛ 3 −1 ⎜ ⎟ Ã =⎜ 1 3 − 1⎟ ⎜−1 2 1 ⎟⎠ ⎝ 3 .krok najdeme inverzní matici A-1

2⎞ ⎛ 3 −1 ⎟ 1⎜ 3 − 1⎟ A = .⎜ 1 5⎜ 1 ⎟⎠ ⎝−1 2 −1

4.krok provedeme zkoušku, že platí A-1. A = E

2⎞ ⎛1 1 − 1⎞ ⎛ 3 −1 ⎛ 5 0 0⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎟⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ .⎜ 1 3 − 1 ⎟.⎜ 0 1 1 ⎟ = .⎜ 0 5 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ = E 5⎜ 5⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − 1 2 ⎟⎠ ⎝−1 2 ⎝0 0 5⎠ ⎝0 0 1⎠

Závěr: nalezená inverzní matice je správná.

16

Úloha 4. Najděte inverzní matici k daným maticím a proveďte zkoušku správnosti.

⎛ 2 − 1⎞ ⎟ 4.1 A = ⎜⎜ 3 ⎟⎠ ⎝0

⎛ 1 0 − 1⎞ ⎜ ⎟ 4.2 A = ⎜ 1 2 3⎟ ⎜−1 1 0 ⎟⎠ ⎝

Průvodce studiem. Dovednosti získané studiem předchozích podkapitol můžete využít při řešení tzv. maticových rovnic, v nichž hledáme neznámou matici X, a především k elegantnímu řešení soustav rovnic. Pokud vás tato informace zaujala, věnujte pozornost následujícím podkapitolám.

1.4 Řešení soustav lineárních rovnic pomocí matic a determinantů Klíčová slova: GAUSSOVA ELIMINAČNÍ

METODA, CRAMEROVO PRAVIDLO,

ZÁKLADNÍ MATICE SOUSTAVY, ROZŠÍŘENÁ MATICE SOUSTAVY,

HOMOGENNÍ SOUSTAVA, FROBENIOVA VĚTA, MATICOVÁ ROVNICE

Mějme dánu soustavu m lineárních rovnic o n neznámých zapsanou ve tvaru a11x1 + a12x2 + ….. + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ….. + a2nxn = b2 ……………………………….. am1x1 + am 2x2 + ….. + am nxn = bm K řešení této soustavy lze použít následující metody využívající matic a determinantů: • Gaussova eliminační metoda • Cramerovo pravidlo • Maticové rovnice Gaussova eliminační metoda je použitelná pro řešení všech soustav lineárních soustav rovnic (ať mají jakýkoli počet řešení). Při řešení pracujeme s pojmy: Matice soustavy A – je tvořena koeficienty levých stran jednotlivých rovnic. Rozšířená matice soustavy A|b – matice soustavy je doplněna o další sloupec obsahující pravé strany jednotlivých rovnic.

Frobeniova věta

Podmínka existence řešení soustavy : Hodnost matice soustavy se rovná hodnosti rozšířené matice soustavy h(A) = h (A|b).


17

Princip řešení: • Zapíšeme rozšířenou matici soustavy. • Matici upravíme na horní trojúhelníkový tvar. • Ověříme platnost podmínky existence řešení. • Z jednotlivých řádků matice v trojúhelníkovém tvaru vypočteme jednotlivé neznámé.

Gaussova eliminační metoda

V podstatě jde o sčítací metodu.

Počet řešení: Soustava má 1 řešení, právě když h(A) = h (A|b)= m , kde m je původní počet rovnic .

Soustava má nekonečně mnoho řešení , právě když h(A) = h (A|b) = h < m; řešení je závislé na m – h parametrech. Soustava nemá řešení, právě když h(A) ≠ h (A|b) . Příklad 10 Řešte dané soustavy rovnic. Využijte Gaussovou eliminační metodu.

a) x1– 4x2 – x3 = 5 2x1– 3x2 – 3x3 = 20 2x1– 5x2 + x3 = -2

b) x1 + x2 – x3 = 0 x1 – x2 + x4 = -1 -x1 + x3 + x4 = -1 3x1 – 2x3 = 3

Řešení: Soustava a) 1. krok Zapíšeme rozšířenou matici soustavy a převedeme na horní trojúhelníkový tvar (viz Příklad 5) :

⎛ 1 − 4 − 1 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 − 3 − 3 20 ⎟ ⎜2 − 5 1 − 2 ⎟⎠ ⎝

~

⎛1 − 4 −1 5⎞ ⎛1 − 4 −1 5 ⎞ ⎛1 − 4 −1 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 5 − 1 10 ⎟ ~ ⎜ 0 5 − 1 10 ⎟ ~ ⎜ 0 1 1 −4⎟ ~ ⎜0 ⎜0 3 3 − 12 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 1 − 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 5 − 1 10 ⎟⎠ ⎝

⎛ 1 − 4 − 1 5⎞ ⎛ 1 − 4 − 1 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 1 4 0 1 1 − 4 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ~⎜ ~⎜ ⎟ 0 − 6 30 ⎠ ⎝ 0 0 1 − 5 ⎟⎠ ⎝0 2. krok Ověříme platnost podmínky řešitelnosti soustavy :

h(A) = 3 a h (A|b) = 3 = původní počet rovnic => soustava má 1 řešení. 3. krok Vypočteme neznámé : x3 = - 5 …………viz 3. řádek matice v horním trojúhelníkovém tvaru x2 + x3 = - 4 …………viz 2. řádek matice v horním trojúhelníkovém tvaru

= > x2 = -4 – (-5) = 1 x2 = 1 x1 - 4x2 – x3 = 5 …………viz 1. řádek matice v horním trojúhelníkovém tvaru = > x1 = 5 + 4.1 + (-5) = 4 x1 = 4

Řešení soustavy je [4 , 1 , -5].

18

Soustava b) 1.

⎛ 1 ⎜ ⎜ 1 ⎜−1 ⎜ ⎜ 3 ⎝

~ 2.

krok Zapíšeme rozšířenou matici soustavy a převedeme na horní trojúhelníkový tvar (viz Příklad 5):

~

0⎞ ⎟ 0 1 − 1⎟ 1 3 − 1⎟ ~ ⎟ 1 3 0 ⎟⎠

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝

−1

−1 0 0

0 1 −2

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝

0⎞ ⎟ 1 1⎟ 1 − 1⎟ ⎟ 3 ⎟⎠ 0

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝

1

0

1 −1 0 1 0 0

1

−1

−2 1 −3

1 0 1

0⎞ ⎟ 1 1⎟ 1 − 1⎟ ⎟ 0 3 ⎟⎠ 0

~

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝

1

−1

1 −2 −3

0 1 1

0⎞ ⎟ 1 − 1⎟ 1 1⎟ ⎟ 3 ⎟⎠ 0 0

~

0⎞ ⎟ 0 1 − 1⎟ 1 3 − 1⎟ ⎟ 0 0 1 ⎟⎠

1 −1 0 1 0 0

krok Ověříme platnost podmínky řešitelnosti soustavy:

h(A) = 3 a h (A|b) = 4 h(A) ≠ h(A|b) => soustava nemá řešení . Řešení soustavy neexistuje. Příklad 11. Řešte danou soustavu rovnic. Využijte Gaussovou eliminační metodu. a) 2x1 – 5x2 + x3 = 0 b) x1 + x2 – x3 = 0 4x1 – 8x2 – 2x3 = 0 2x1 + x2 = 0 2x1 – 3x2 – 3x3 = 0 x1 – x 2 + x3 = 0

Homogenní soustavy rovnic

Řešení: Obě soustavy mají všechny pravé strany rovnic nulové. Takové soustavy nazýváme homogenní soustavy rovnic. Homogenní soustava může mít • 1 řešení, pak jsou to samé 0 , tzv. triviální řešení • Nekonečně mnoho řešení (závislé na parametrech) jako u nehomogenních soustav • Nemá řešení ( nesplňuje podmínku řešitelnosti) Soustava a) 1. krok Zapíšeme rozšířenou matici soustavy a převedeme na horní trojúhelníkový tvar (viz Příklad 5):

⎛ 2 − 5 1 0⎞ ⎛ 2 − 5 1 0⎞ ⎛ 2 − 5 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 2 − 5 1 0⎞ ⎛ 2 − 5 1 0⎞ ⎟~ ⎜ ⎟ ⎜ 4 − 8 − 2 0 ⎟ ~ ⎜ 0 2 − 4 0 ⎟ ~ ⎜ 0 2 − 4 0 ⎟ ~ ⎜⎜ ⎟ ⎜ 0 1 − 2 0⎟ 0 2 4 0 − ⎜ 2 − 3 − 3 0⎟ ⎜ 0 2 − 4 0⎟ ⎜ 0 0 ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2. krok Ověříme platnost podmínky řešitelnosti soustavy:

h(A) = 2 a h (A|b) = 2 < původní počet rovnic m = 3 => soustava má nekonečně mnoho řešení Počet parametrů 3 – 2 = 1 parametr 3. krok Vypočteme neznámé: x2 + x3 = 0 …………viz 2. řádek matice v horním trojúhelníkovém tvaru = > x3 = t ; x2 = - t t je parametr 2x1 - 5x2 + x3 = 0 …………viz 1. řádek matice v horním trojúhelníkovém tvaru


19

= > 2x1 = 5. (-t) – t = - 6t ; x1 = - 3t Řešení soustavy je [-3t , -t , t] , kde t ∈ R . Soustava b) 1.

⎛1 ⎜ ⎜2 ⎜1 ⎝

krok Zapíšeme rozšířenou matici soustavy a převedeme na horní trojúhelníkový tvar (viz Příklad 5) :

−1 0⎞ ⎟ 1 0 0⎟ −1 1 0 ⎟⎠ 1

⎛1 ⎜ ~ ⎜⎜ 0 ⎝0

1 −1 −2

−1 0⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 2 0⎟ ~ ⎜0 2 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

−1 0⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 2 0⎟ ~ ⎜0 −1 0 − 2 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1

1 −1 0

−1 0⎞ ⎟ 2 0⎟ 1 0 ⎟⎠

2. krok Ověříme platnost podmínky řešitelnosti soustavy:

h(A) = 3 a h (A|b) = 3 = původní počet rovnic => soustava má 1 řešení Řešení soustavy je triviální [0 , 0 , 0]. Úloha 5. Pomocí Gaussovy eliminační metody vyřešte dané soustavy lineárních rovnic.

5.1

x + 2y + 4z = 0 -x + 3z = 7 3x + y – 2z = 0

5.2

2x + 8y + 6z = 20 4x + 2y - 2z = -2 -6x + 4y + 10z = 24

Cramerovo pravidlo je použitelné pouze pro řešení soustav lineárních soustav rovnic, které mají jedno řešení.

Při řešení pracujeme s pojmy: Determinant soustavy DS – je tvořen koeficienty levých stran jednotlivých rovnic; Determinant DXi– odvodíme z determinantu DS, nahradíme- li prvky i-tého sloupce pravými stranami příslušných rovnic. Podmínka existence právě 1 řešení soustavy : počet rovnic soustavy se rovná počtu neznámých (m = n) ^ DS ≠ 0 Výpočet jednotlivých neznámých:

xi =

DX i DS

Příklad 12 Použitím Cramerova pravidla řešte soustavu lineárních rovnic. x1 – 3x2 – 2x3 = -7 2x1 + x3 = 1 4x1 – 2x2 + 3x3 = -11 Řešení: 1. krok Vypočteme determinant soustavy DS (viz Příklad 7) a ověříme, zda lze použít Cramerovo pravidlo :

Cramerovo pravidlo

20

1 DS = 2 4

−3 0 −2

−2 1 = ( 0 − 12 + 8 ) − ( 0 − 18 − 2 ) = 16 3

DS ≠ 0

existuje právě 1 řešení 1. krok Vypočteme determinanty DXi a jednotlivé neznámé:

−7 1 DX1 = − 11

−3 0 −2

1 DX2 = 2 4

−7 1 − 11

1 DX3 = 2 4

−3 0 −2

x1 =

DX1 32 = =2 DS 16

−2 1 = ( 0 + 33 + 4 ) − ( 0 − 9 + 14 ) = 32 3

první sloupec jsme nahradili pravými stranami

−2 1 = ( 3 − 28 + 44 ) − ( − 8 − 42 − 11 ) = 80 3 −7 1 = ( 0 − 12 + 28 ) − ( 0 + 66 − 2 ) = − 48 − 11

x2 =

DX2 80 = =5 DS 16

druhý sloupec jsme nahradili pravými stranami

třetí sloupec jsme nahradili pravými stranami

− 48 x3 = DX3 = = −3 DS 16

Řešení soustavy je [2 , 5 , -3] . Úloha 6. Řešte pomocí Cramerova pravidla danou soustavu .

6.1 2 x − y − z = − 3 3 x + y − 5 z = −12 5x + y − 2z = 9

6.2 x + 2 y + 3 z = 19 6.3 2 x + 2 y − 3 z = −3 x− y+ z = 2 2x − y + z = 8 3x + 2 y − z = 4 4x + y − 2z = 6

Část pro zájemce. Zkuste řešit soustavy lineárních rovnic pomocí maticových rovnic. Maticová rovnice Tato metoda je rovněž použitelná pouze pro řešení soustav lineárních soustav rovnic, které mají jedno řešení .

Maticová rovnice

Princip řešení : 1. Soustavu lineárních rovnic přepíšeme do tvaru maticové rovnice A . X = B . A – je matice soustavy, jejímiž prvky jsou koeficienty levých stran jednotlivých rovnic; X – je jednosloupcová matice, jejímiž prvky jsou jednotlivé proměnné xi ; B – je jednosloupcová matice, jejímiž prvky jsou pravé strany jednotlivých rovnic.


21

2. Vyřešíme maticovou rovnici ( vyjádříme neznámou matici X). • • • • • •

celou rovnici vynásobíme inverzní maticí A-1, a to zleva ( protože násobení matic není komutativní) . získám rovnici A-1 . A . X = A-1 . B. platí A-1 . A = E a E . X = X = > získám rovnici X = A-1 . B. vypočtu A-1. vynásobím A-1 . B v příslušném pořadí. získaná matice X obsahuje hledané řešení.

Podmínka použitelnosti této metody : existuje matice A-1.

Průvodce studiem. Nyní se na chvíli zastavte a připomeňte si, jak najdeme inverzní matici A - 1 k dané matici A a jaké podmínky musí matice A splňovat, aby matice A - 1 existovala.

Příklad 13. Vyřešte danou soustavu lineárních rovnic jako maticovou rovnici.(Pokud je to možné. a) 2x1 + 3x2 + x3 = 15 b) 3x1 + x2 + 6x3 = 3 7x1 – x2 + x 3 = 9 -x1 + 2x2 – 4x3 = - 2 -x1 + 9x2 – 10x3 = - 5 x1 + 2x2 + x3 = 9 Řešení: Soustava a) 1. krok

Sestavíme matice A, B a X a napíšeme soustavu v maticovém tvaru:

⎛15 ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 9⎟ ⎜ 9⎟ ⎝ ⎠

3 1⎞ ⎛2 ⎜ ⎟ A = ⎜ 7 − 1 1⎟ ⎜1 2 1⎟⎠ ⎝

3 1⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛15 ⎞ ⎛2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 7 − 1 1⎟ . ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 9 ⎟ ⎜1 2 1⎟⎠ ⎜⎝ x 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 9 ⎟⎠ ⎝ 2. krok

3. krok

Maticový tvar soustavy

Vypočteme determinant matice A a z hodnoty determinantu matice A zjistíme, zda je matice A regulární :

2 •

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ X = ⎜ x2 ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠

3 1

det( A) = 7 − 1 1 = (−2 + 3 + 14) − (−1 + 21 + 4) = −9 ≠ 0 => A je regulární. 1 2 1 Ověříme platnost podmínek pro existenci inverzní matice A-1 :

• •

matice A je čtvercová; A je regulární => inverzní matice A-1 existuje.

22 4. krok

•

Najdeme inverzní matice A-1 (viz příklad 9.): najdeme matici adjungovanou k A:

7 1⎞ ⎛2 ⎜ ⎟ a) transponovaná matice k A AT = ⎜ 3 − 1 2 ⎟ ⎜1 1 1 ⎟⎠ ⎝

⎛ −1 ⎜+ 1 ⎜ ⎜ 7 b) adjungovaná matice Ã = ⎜ − ⎜ 1 ⎜ 7 ⎜⎜ + ⎝ −1

2 1 1 1 1 2

3 1 2 + 1 2 − 3 −

2 1 1 1 1 2

3 1 2 − 1 2 + 3 +

−1 ⎞ ⎟ 1⎟ 7 ⎟ ⎟ 1 ⎟ 7⎟ ⎟ − 1 ⎟⎠

4⎞ ⎛−3 −1 ⎟ ⎜ Ã = ⎜−6 1 5⎟ ⎜ 15 −1 −23⎟ ⎠ ⎝ •

najdeme inverzní matici A-1:

4⎞ ⎛ − 3 −1 ⎟ 1 ⎜ 1 5⎟ A = − . ⎜− 6 9 ⎜ ⎟ ⎝ 15 − 1 − 23 ⎠ −1

5.

krok Vypočteme matici X jako součin A-1 . B (viz příklad 2.):

4 ⎞ ⎛15 ⎞ ⎛ − 18 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ − 45 − 9 + 36 ⎞ ⎛ − 3 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ 1⎜ 1⎜ A .B = − .⎜ − 6 1 5 ⎟ . ⎜ 9 ⎟ = − .⎜ − 90 + 9 + 45 ⎟ = − .⎜ − 36 ⎟ = ⎜ 4 ⎟ 9⎜ 9⎜ 9⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 9 ⎠ ⎝ − 1⎠ ⎝ 225 − 9 − 207 ⎠ ⎝ 15 − 1 − 23⎠ ⎝ 9 ⎠ −1

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ X = ⎜ 4⎟ ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠

= > x1 = 2 ;

x2 = 4 ; x3 = -1 ;

Řešení soustavy je [2 , 4 , -1] Soustava b) 1. krok

Sestavíme matice A, B a X a napíšeme soustavu v maticovém tvaru:

6⎞ ⎛ 3 1 ⎟ ⎜ A = ⎜−1 2 − 4⎟ ⎜ − 1 9 − 10 ⎟ ⎠ ⎝

⎛+ 3⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ − 2⎟ ⎜− 5⎟ ⎝ ⎠

6 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ + 3 ⎞ ⎛ 3 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ − 1 2 − 4 ⎟ . ⎜ x2 ⎟ = ⎜ − 2 ⎟ ⎜ − 1 9 − 10 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ − 5 ⎟ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ X = ⎜ x2 ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠ Maticový tvar soustavy


2. krok

23

Vypočteme determinant matice A a z hodnoty determinantu matice A zjistíme, zda je matice A regulární :

3 1

6

det( A) = − 1 2 − 4 = (−60 + 4 − 54) − (−12 + 10 − 108) = 0 − 1 9 − 10

Matice A je singulární = > tuto metodu nelze použít, nutno řešit Gaussovou eliminační metodou Úloha 7. Zkuste si vyřešit následující soustavy s využitím maticového tvaru.

7.1

x + 2 y + 4z = 7

7.2

x + y + 3z =

9

2x − 3y + z = 0

2 x − 3 y + 4 z = 20

5 x + 2 y − 3z = 4

4 x + 2 y − 5 z = −28

Korespondenční úkol 1.

1. Jsou dány matice A, B. Vypočtěte A + 2B – 3E , A.B + A2 , h(A) 1 3⎞ ⎛− 2 ⎟ ⎜ A=⎜ 1 0 − 4⎟ ⎜ − 3 − 2 −1⎟ ⎠ ⎝

⎛− 2 ⎜ B=⎜ 1 ⎜ 0 ⎝

−1⎞ ⎟ 3 − 4⎟ −1 3 ⎟⎠ 0

2. Vynásobte dané matice: 2 5⎞ ⎛ 5 8 − 4⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) ⎜ 6 9 − 5 ⎟ . ⎜ 4 − 1 3 ⎟ = ⎜ 4 7 − 3⎟ ⎜9 6 5 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3. Rozhodněte, které z následujících matic jsou regulární a které singulární. K regulárním maticím určete inverzní matice a ověřte správnost výpočtu. ⎛1 0 3⎞ ⎛1 2 3⎞ ⎛ 2 − 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎛2 1⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎟⎟ B = ⎜⎜ D = ⎜0 2 1⎟ C = ⎜ 4 5 6⎟ 3⎠ ⎝5 ⎝ 4 2⎠ ⎜ 4 3 0⎟ ⎜7 8 9⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎛ 1 3⎞ ⎛ 2 1 0⎞ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = a) ⎜⎜ 0 1 3 2 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4. Využitím matic a determinantů řešte dané soustavy lineárních rovnic. Zvolte nejvhodnější metodu. 4.1 2 x − 3 y + 5 z = 35 3 x + 2 y − 4 z = −10 5 x − y + 2 z = 31

4.2

x + 3 y + 2 z = 43 2x − 2 y + z = 6 4 x + 4 y − 3 z = 28

24

Shrnutí kapitoly. Kapitola seznamuje se základy maticového počtu, výpočtem determinantů matic a jejich využití při rozhodování o lineární závislosti aritmetických vektorů a při řešení soustav lineárních rovnic.

Pojmy k zapamatování:

MATICE DANÉHO TYPU HODNOST MATICE JEDNOTKOVÁ MATICE DETERMINANT MATICE REGULÁRNÍ MATICE SINGULÁRNÍ MATICE ADJUNGOVANÁ MATICE INVERZNÍ MATICE GAUSSOVA ELIMINAČNÍ METODA FROBENIOVA VĚTA CRAMEROVO PRAVIDLO MATICOVÁ ROVNICE

ŘEŠENÍ ÚLOH 1⎞ 6 15 ⎞ ⎛ 8 10 ⎛ − 2 − 6 9⎞ ⎛ 9 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1. A + B = ⎜10 8 − 2 ⎟ ; B − A = ⎜ − 2 − 10 8 ⎟ ; 3.B = ⎜ 12 − 3 9 ⎟ ; ⎜13 13 ⎜ 5 − 1 8⎟ ⎜ 27 18 15 ⎟ 2 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 77 − 37 ⎞ ⎛ 11 − 22 29 ⎞ ⎛ 47 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 44 − 20 ⎟ A.B = ⎜ 9 − 27 32 ⎟ ; B. A = ⎜ 26 ⎜13 − 17 26 ⎟ ⎜ 101 161 − 81 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2. 2.1 a) lineárně závislé

b) lineárně nezávislé

2.2 z = 2. a – 3. b + c 3. 3.1 cos2x + sin2x =1 3.2 7

1 ⎛3 1⎞ ⎟ 4. 4.1 A = ⎜⎜ 6 ⎝ 0 2 ⎟⎠ −1

3.3 14 (použijte rozvoj determinantu)

2⎞ ⎛− 3 −1 ⎟ 1⎜ 4.2 A = − ⎜ − 3 − 1 − 4 ⎟ 6⎜ 2 ⎟⎠ ⎝ 3 −1 −1

5. 5.1 x = 8 y = -14 z = 5 5.2 [− 2 + t ,3 − t , t ]; t ∈ R 6. 6.1 [3; 4; 5]

6.2 [3; 2; 4]

7. 7.1 [1; 1; 1] 7.2 [− 1;−2;4]

6.3 [1; 2; 3]

2. kapitola – Základy diferenciálního počtu

25

ZÁKLADY DIFERENCIÁLNÍHO POČTU Diferenciální počet je jednou z částí matematické analýzy. Matematická analýza na střední škole bezprostředně navazuje na poznatky učiva o funkcích a dále ho prohlubuje. Tvoří ji základy diferenciálního a integrálního počtu. Zopakujte si z matematiky I a II

•

Pojem funkce a její vlastnosti

•

Přehled základních funkcí

•

Grafy funkcí

•

Úpravy algebraických výrazů

Vzdělávat se je jako zlézat vrcholy - každý pohyb tě vynese výš.

Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 12 hodin teoretická příprava a 15 hodin řešení úloh

2.1 Spojitost funkce, pojem limita funkce, výpočet limity funkce Klíčová slova: LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE, OKOLÍ BODU

Pojem limita funkce a poté její definici se budeme snažit pochopit na příkladu:

Odvození pojmu limita

x −1 , která není definována pro x = 1. x −1 x2 −1 Sledujme chování dané funkce f : y = v okolí (v blízkosti) bodu x = 1 x −1 Mějme zadánu funkci f : y =

2

y x

0, 9

0, 95

0, 99

0, 999

….

1

….

1.001

1,01

1,05

1,1

y

1, 9

1, 95

1, 99

1, 999

….

2

….

2,001

2,01

2,05

2,1

f

3 2 1

Z tabulky funkčních hodnot je vidět, že když se x blíží k 1 zleva i zprava, pak y se blíží k 2, zdola i shora. 1 2 3 Číslo 2 nazveme limitou funkce f v bodě x = 1 ; zapíšeme lim x →1

x2 −1 =2 x −1

Intuitivně : limita je hodnota, ke které se neomezeně blíží funkční hodnota, když se x neomezeně blíží dané hodnotě. Matematicky : lim f ( x ) = L x→a

K libovolně malé "blízkosti" hodnoty funkce k limitě L lze vždy najít hodnoty proměnné x z "blízkosti“ čísla a, pro které jsou odpovídající hodnoty funkce k L ještě bližší. "Blízkost" čísel budeme matematicky posuzovat pomocí absolutní hodnoty rozdílu čísel.

x

26

x2 −1 − 2 < 0,001 => |x - 1| < 0,001 x −1 Obecně budeme „vzdálenost“ funkční hodnoty f(x) od limity L označovat ε a budeme ji vyjadřovat pomocí |f(x) - L| < ε => f ( x) ∈ (L − ε , L + ε ) . „Vzdálenost“ x od hodnoty a označíme δ a vyjádříme |x – a | < δ => x ∈ (a − δ , a + δ ) . A nyní už zkusme přikročit k matematické definici limity :

Definice limity

Limita funkce f(x) v bodě a je číslo L, pro které platí: ke každému kladnému číslu ε existuje takové kladné číslo δ, že |f(x) - L| < ε pro všechna x, pro která platí 0 < |x - a| < δ.

Zapíšeme: lim f ( x ) = L x→a

Výpočet limity

Výpočet limity Nejjednodušší výpočet limity je u spojité funkce. Má-li daná funkce v daném bodě vlastní limitu a ta se rovná funkční hodnotě v daném bodě, je funkce v tomto bodě spojitá.

U funkce y = f(x) spojité v bodě a platí, že lim f ( x) = f (a) , tj. limita se rovná x →a

funkční hodnotě. Spojitost funkce je patrná i z grafu funkce: a) Grafem spojité funkce je plynulá nepřerušovaná křivka

b) Grafem nespojité funkce je přerušovaná křivka (nelze nakreslit jedním tahem)

Pokud a = ± ∞ , hovoříme o limitě v nevlastním bodě +∞ , resp. -∞ . Pokud L = ± ∞ , hovoříme o nevlastní limitě +∞ , resp. -∞ . Příklad 1. Vypočtěte dané limity:

a) lim( x 2 − x + 3) x →1

b) lim x →1

2x + 3 x2 + 4

Řešení: a) Daná funkce je v bodě 1 spojitá, takže limita se rovná funkční hodnotě lim( x 2 − x + 3) = 12 − 1 + 3 = 3 x →1

f


27

b) Daná funkce je v bodě 1 spojitá, takže limita se rovná funkční hodnotě lim x →1

2 x + 3 2.1 + 3 5 = = =1 x 2 + 4 12 + 4 5

Při výpočtech limit racionálních lomených funkcí nemusí být funkce v daném bodě definována. Pro výpočet limity použijeme větu o limitě dvou funkcí. V1: Věta o limitě dvou funkcí Jestliže pro funkce f(x) a g(x) platí f(x) = g(x) pro všechna x z definičního oboru (kromě x = a) a má-li funkce g(x) v bodě a limitu L, pak má i funkce f(x) v bodě a stejnou limitu L. Zjednodušeně: Funkci nedefinovanou v daném bodě a nahradíme funkcí, která se jí rovná (kromě hodnoty v inkriminovaném bodě a) a její limitu v bodě a vypočteme (což bude také limita původní funkce). Příklad 2.

Vypočtěte limity: lim x→2

x2 − 4 x−2

Řešení:

Daná funkce je v bodě 2 nespojitá, pro výpočet limity použijeme větu V1; danou funkci nahradíme jinou funkcí g, která je spojitá v bodě 2 a rovná se dané funkci pro všechna x ≠ 2. Obě funkce mají podle věty V1 stejnou limitu. x 2 − 4 ( x − 2)( x + 2) = = ( x + 2) = g ( x) x−2 x−2 x2 − 4 Výsledek: lim = lim( x + 2) = 2 + 2 = 4 x→2 x − 2 x→2 Situaci si můžeme ještě ukázat na obrázku Obr.2 Obr 2.

Obrázky nám také potvrzují, že u obou funkcí platí: Blíží-li se proměnná x k číslu 2, blíží se hodnota f(x) k číslu 4 a tudíž limity obou funkcí jsou rovny 4.

Věta o limitě dvou funkcí

28

S využitím věty o limitě dvou funkcí vypočteme také limity z příkladu 3. Příklad 3. Vypočtěte dané limity: x 2 − 5x + 6 x 4 − 16 a) lim 2 b) lim 3 x→2 x − 3x + 2 x → −2 x + 8

Výpočty limit ve vlastním bodě

x−3

d) lim

x +1 − 2

x →3

g) lim x→

π

4

sin x − cos x 1 − tg x

e) lim x →0

c) lim1

x→ − 2

x x+9 −3

sin 2 x x →π 1 + cos x

h) lim

f) lim

2x2 + 7x + 3 2x 2 + 9x + 4

1 + 2x − 3 x −2

x→4

sin 2 x x → 2 1 − cos 2 x

i) limπ

Řešení: Pro úpravu funkcí při výpočtu limit a) – c) si zopakujte rozklady kvadratických trojčlenů a práci s mnohočleny z Matematiky I, vzorce a2 – b2, a3 + b3, a3 – b3.

a) lim x→2

( x − 2).( x − 3) x 2 − 5x + 6 x−3 2−3 = lim = lim = = −1 2 x − 3 x + 2 x →2 ( x − 2).( x − 1) x →2 x − 1 2 − 1

x 4 − 16 ( x 2 − 4).( x 2 + 4) ( x + 2).( x − 2).( x 2 + 4) = = = lim lim x → −2 x 3 + 8 x → −2 ( x + 2).( x 2 − 2 x + 4) x → −2 ( x + 2).( x 2 − 2 x + 4)

b) lim

( x − 2).( x 2 + 4) (−2 − 2).((−2) 2 + 4) 32 8 = =− =− 2 2 x → −2 12 3 (−2) − 2.(−2) + 4 x − 2x + 4

= lim c)

Pro rozklad kvadratických trojčlenů využiji myšlenky, že je-li

−

1 2

nulovým bodem

mnohočlenu a před x2 je koeficient 2, může být jeden z činitelů (2x+1). Druhého činitele získám jako podíl dvou mnohočlenů; v čitateli (2x2 + 7x + 3) : (2x + 1) = x + 3 ; obdobně ve jmenovateli (2x2 + 9x + 4) : (2x + 1) = x + 4 .

lim1

x→− 2

( 2 x + 1)( x + 3) x + 3 − 12 + 3 2x 2 + 7x + 3 lim lim = = = = 2 x 2 + 9 x + 4 x → − 12 ( 2 x + 1)( x + 4) x → − 12 x + 4 − 12 + 4

5 2 7 2

=

5 7

Pro úpravu daných funkcí v limitách d) - f) využijeme k odstranění odmocniny usměrnění zlomku (viz Matematika I) a potom krácením odstraníme nespojitost funkce v daném bodě.

d) lim x →3

⎛ x−3 . = lim⎜⎜ x + 1 − 2 x →3 ⎝ x + 1 − 2 x−3

x +1 + 2 ⎞ ( x − 3).( x + 1 + 2) ⎟ = lim = x + 1 + 2 ⎟⎠ x →3 ( x + 1) 2 − 4

( x − 3).( x + 1 + 2) ( x − 3).( x + 1 + 2) x +1 + 2 = lim = lim = 3 +1 + 2 = 4 x →3 x →3 x →3 1 x +1− 4 x −3

= lim


e) lim

x→0

= lim x →0

⎛ = lim ⎜⎜ x + 9 − 3 x→0⎝ x

x x+9 −3

.

29

x.( x + 9 + 3) x + 9 + 3⎞ ⎟ = lim = ⎟ x→0 x + 9 + 3⎠ ( x + 9)2 − 9

Výpočty limit ve vlastním bodě

x.( x + 9 + 3) x.( x + 9 + 3) = lim = lim( x + 9 + 3) = 0 + 9 + 3 = 6 x →0 x →0 ( x + 9) − 9 x

f) Abychom mohli funkci zjednodušit krácením, je třeba odstranit odmocninu nejen ze jmenovatele, ale i z čitatele. lim x→4

1 + 2x − 3 x −2

⎛ 1 + 2x − 3 = lim⎜⎜ . x→4 x −2 ⎝

⎛ 1 + 2x + 3 ⎞ ⎟ = lim⎜ . x + 2 1 + 2 x + 3 ⎟⎠ x →4 ⎜⎝ x +2

( 1 + 2x ) − 9 . ( x) − 4 2

2

⎞ ⎟= 1 + 2 x + 3 ⎟⎠ x +2

⎛ 2x + 1 − 9 ⎛ 2x − 8 ⎛ 2 ( x − 4) x +2 ⎞ x +2 ⎞ x+2 ⎞ ⎟ = lim ⎜ ⎟ = lim ⎜ ⎟= = lim ⎜⎜ . . . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x→4 1 + 2 x + 3 ⎠ x→4⎝ x − 4 1 + 2 x + 3 ⎠ x→4⎝ x − 4 1 + 2 x + 3 ⎟⎠ ⎝ x−4 ⎛2 4+2 x +2 ⎞ 2 2+2 4 4 ⎟= . = lim ⎜⎜ . = 2. = 2. = ⎟ x→4 1 1 3 3 6 3 + 1 + 2x + 3 ⎠ 1 + 2 .4 + 3 ⎝

Pro úpravu funkcí v limitách g) – i) si zopakujte z Matematiky IV základní znalosti o goniometrických funkcích.

sin x − cosx sin x − cosx sin x − cosx (sinx − cosx).cosx = lim = lim = lim = π π π sin x 1 − tg x cosx − sin x x→ x→ x→ cosx − sin x x→ 4 4 1− 4 4 cosx cosx 2 π − (cos x − sin x). cos x = lim = lim (− cos x) = − cos = − π π cos x − sin x 4 2 x→ x→

g) lim π

4

4

(1 + cos x )(1 − cos x ) = lim (1 − cos x ) = sin 2 x 1 − cos 2 x = lim = lim x →π 1 + cos x x →π 1 + cos x x →π x →π 1 + cos x

h) lim

= 1 − cos π = 1 − (−1) = 2 sin 2 x 2 sin x. cos x 2 sin x. cos x i) limπ = limπ = limπ = 2 2 x → 4 1 − cos 2 x x → 4 1 − (cos x − sin x ) x → 4 (1 − cos 2 x ) + sin 2 x

2 sin x. cos x 2 sin x. cos x cos x π = limπ = limπ = limπ cotg x = cotg = 1 2 2 2 x→ 4 sin x + sin x x→ 4 x→ 4 sin x x→ 4 4 2 sin x

= limπ

Průvodce studiem. Pokud se vám počítání limit zalíbilo projděte si také část pro zájemce. Jinak přejděte na odstavec věnovaný základním větám o limitách.

30

Část pro zájemce.

Některé limity nám umožní vypočítat věta o třech limitách: Jestliže funkce f(x) a g(x) mají v bodě a tutéž limitu L tedy: Věta o třech limitách

lim f ( x ) = L ; lim g ( x ) = L ; a pro funkci h(x) platí: f ( x ) ≤ h( x ) ≤ g ( x ) x→ a

x→ a

pro všechna x , pro která platí 0 < |x - a| < δ (funkce h(x) je "sevřena" funkcemi f(x) a g(x)) , pak také funkce h(x) má v bodě a tutéž limitu L: lim h( x ) = L x→ a

Větu o třech limitách použijeme k odvození limity funkce y =

sin x pro x x

Příklad 4.

sin x . x →0 x

Vypočtěte lim

Řešení: 1. Připomeňte si definici goniometrických funkcí v jednotkové kružnici

Z vlastností goniometrických funkcí a z obr. 1 lze v I. kvadrantu odvodit , že pro každé x > 0 platí sin x <1 x > sinx a tedy x 2. Obsah kruhové výseče STB π .12

x x = 2π 2

Obr.1

(viz Matematika III) je určitě menší než obsah trojúhelníka STA

Tedy

x sin x < 2 2 cos x

1.

tg x tg x sin x = = 2 2 2 cos x

z toho dostáváme cos x <

sin x x

.

Spojíme-li poznatky z bodů 1. a 2., získáme vztah mezi třemi funkcemi: sin x cos x < <1 x Obě krajní funkce jsou v bodě x = 0 spojité a limita obou krajních funkcí v bodě x = 0 je číslo 1: lim1 = 1 lim cos x = 1 x→ 0

x→ 0

Podle věty o třech limitách je tudíž i limita třetí funkce rovna 1.

0.


31

sin x =1 x Tuto limitu si zapamatujeme (pro další výpočty) jako základní goniometrickou limitu a ozn. Z1. Z limity Z1 lze jednoduše odvodit také obdobné limity : Výsledek:

lim x →0

lim x→ 0

tg x sin ax a sin ax = 1 , lim = , lim = 1 pro libovolná čísla a , b ≠ 0 x → 0 x → 0 ax bx b x

Úkol k textu. Pokuste se odvodit uvedené obdobné limity. Řešení zašlete svému tutorovi k posouzení. Věty o limitách. Pro limity funkcí dále platí věta o limitě operací - součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí: Jestliže lim f ( x ) = A a lim g ( x ) = B potom platí: x→ a

x→ a

lim[ f ( x ) + g ( x ) ] = lim f ( x ) + lim g ( x ) = A + B

(1)

lim[ f ( x ) − g ( x )] = lim f ( x ) − lim g ( x ) = A − B

(2)

lim[ f ( x ).g ( x ) ] = lim f ( x ). lim g ( x ) = A . B

(3)

x→a

x→a

x→a

x→a

x→a

x→a

x→a

f ( x) A ⎡ f ( x ) ⎤ lim x→a lim ⎢ = = x→a g ( x) ⎥ g ( x) B ⎣ ⎦ lim x→a

x→a

x→a

za předpokladu

, že lim g ( x) ≠ 0 x→a

(4)

Slovně: Limita součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí je rovna součtu, rozdílu, součinu a podílu (nenulový jmenovatel) limit jednotlivých funkcí.

Využijte základní goniometrické limity Z1 a věty o limitě operací při výpočtu limit goniometrických funkcí. Příklad 5.

3 ⎞ ⎛ sin 2 x − 2 ⎜ ⎟ Vypočtěte a) lim x→0 x +1⎠ ⎝ 3x

5 tg 2 x x→ 0 3 x 2

b) lim

,

Řešení: a) Použitím základní limity Z1 a věty o limitě operací dostáváme: 3 ⎞ sin 2 x 3 ⎛ sin 2 x − 2 lim ⎜ = lim − lim 2 = ⎟ x→0 x→0 x + 1 x + 1 ⎠ x→0 3 x ⎝ 3x sin 2 x 2 3 2 3 2 7 . − lim 2 = lim = 1. − = −3= − 0 x →0 x → 2x 3 3 0 +1 3 3 x +1

b) Použitím základní limity Z1 a věty o limitě operací dostáváme sin 2 x 5 2 2 5tg x cos 2 x = lim 5 sin x . 1 = 5 lim sin x . lim sin x . 1 = 5 lim lim = x →0 3 x 2 x →0 x →0 3x 2 3 x 2 cos 2 x 3 x →0 x x →0 x cos 2 x 3

Věta o limitě operací

32

Úloha 1. Na základě zkušeností získaných z příkladů 1. – 5. vypočtěte následující limity: a) xlim → −2

x3 + 3x 2 + 2 x x2 − x − 6

d) xlim → −3

x+3

b) xlim → −2 e) lim

x + 4 −1

x→ 0

1 − cos 2 x x → 0 x sin 2 x

x 2 − 3 x − 10 x2 − 4 x +1 −1 x+9 −3

⎛ sin 3 x sin x ⎞ + h) lim⎜ ⎟ x →0 3x ⎠ ⎝ x

g) lim

c) xlim → −1 f) lim x →0

x 2 − 3x − 4 x 2 + 6x + 5 x x +1 −1

tgx ⎞ ⎛ sin x + ⎜ ⎟ i) lim x → 0 x cos x x ⎠ ⎝

2.2 Výpočty limity funkce v nevlastním bodě

Výpočet limity v nevlastním bodě umožňuje zjistit, jak se chová funkce, rosteli (klesá-li) argument x nade všechny meze. Zásadní význam má u posloupností. (Zopakujte si pojem posloupnost z Matematiky II ). lim f ( x ) = L Matematicky : lim f ( x) = L x→ − ∞

x→∞

Přesná matematická definice: Funkce f(x) má v nevlastním bodě +∞ limitu L, jestliže ke každému ε > 0 existuje takový bod x0 , že pro všechna x > x0 patří funkční hodnoty f(x) do ε-okolí bodu L (L- ε, L+ ε) viz Obr. 2.

Matematická definice limity v nevlastním bodě

Funkce f(x) má v nevlastním bodě -∞ limitu L, jestliže ke každému ε > 0 existuje takový bod x0 , že pro všechna x < x0 patří funkční hodnoty f(x) do ε-okolí bodu L (L- ε, L+ ε). Obr. 2 y

2+ε 2

lim f ( x ) = 2 x →∞

2-ε x0

x

Při výpočtu používáme základní limity: k x = 0, kde k ∈ R ; Z3: lim a = 0, kde a ∈ (0,1) x →∞ x →∞ x

Z2: lim

Příklad 6. Vypočtěte limity daných posloupností pro n +∞ ⎛ n2 ⎞ (n + 2 ). (n + 3) 2n − 5 ⎜ ⎟⎟ − lim n a) lim b) n →∞⎜ c) lim n → ∞ n →∞ + 1 n 3n 2 − 8 n ⎝ ⎠ Řešení:


33

Při řešení následujících úloh využijeme základní limitu Z2 a věty o limitě operací. 5 2− 1 ⎛ ⎞ 2n − 5 2n − 5 n n = lim 2 − lim 5 = lim 2 − 5. lim 1 = a) lim . 1 ⎟⎟ = lim = lim ⎜⎜ n →∞ n → ∞ n → ∞ n→∞ n→∞ n n →∞ n →∞ n n 1 n ⎠ ⎝ n = 2 - 5.0 = 2 Zlomek jsme upravili tak, abychom mohli využít základní limitu Z2 .

⎧ 2n − 5 ⎫ Výsledek : Limita posloupnosti ⎨ ⎬ je 2. ⎩ n ⎭Výraz jsme nejprve upravili na jeden zlomek a následně opět upravili tak, abychom mohli využít základní limitu Z2 .

⎛ n2 ⎞ n.( n + 1) − n 2 n2 + n − n2 n b) lim ⎜⎜ n − ⎟⎟ = lim = lim = lim = n →∞ n →∞ n→∞ n + 1 1 + n ⎠ n →∞ n +1 n +1 ⎝ ⎛ n 1n ⎞ 1 1 = lim ⎜⎜ . ⎟ = lim = =1 n→∞ n + 1 1 ⎟ n →∞ 1 + 1 1 + 0 n ⎠ n ⎝ ⎧ n2 ⎫ n − Výsledek : Limita posloupnosti ⎨ ⎬ je 1. ⎩ 1+ n⎭ 1 ⎛ ⎜ 2 2 2 c) lim (n + 2 ). (n + 3) = lim n + 5n + 6 = lim ⎜ n + 5n + 6 . n n →∞ n →∞ n →∞⎜ 1 3n 2 − 8 3n 2 − 8 3n 2 − 8 ⎜ n2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟= ⎟ ⎟ ⎠

5 6 5n 6 1+ + 2 + 2 2 n n = 1+ 0 + 0 = 1 n n = lim n → ∞ 8 8 3−0 3 3− 2 3− 2 n n

1+ = lim

n→∞

1 ⎧ (n + 2 ). (n + 3) ⎫ Výsledek : Limita posloupnosti ⎨ ⎬ je . 2 3 ⎩ 3n − 8 ⎭ Příklad 7. Vypočtěte limity daných posloupností pro n +∞ 4 n −1 − 5 2 n +1 + 3 n + 2 3.9 n − 7 lim a) lim n b) n →∞ 2 2 n + 1 c) lim n →∞ n →∞ 9 + 4 3n+2 Řešení: Při řešení následujících úloh využijeme základní limitu Z3 a věty o limitě operací. 1 ⎞ 7 ⎛ n 3− n ⎜ n n ⎟ 3 − 7.( 19 ) 3.9 n − 7 3 . 9 7 − 3 − 7.0 9 9 ⎟ = lim . = lim ⎜ n = lim = =3 a) lim n n 1 n →∞ 9 + 4 n→∞⎜ 9 + 4 n →∞ 1 ⎟ n→∞ 4 1 + 4 . 0 ( ) 1 + 4 . 9 1+ n ⎜ ⎟ 9n ⎠ 9 ⎝ ⎧ 3 .9 n − 7 ⎫ Výsledek : Limita posloupnosti ⎨ n ⎬ je 3. ⎩ 9 +4 ⎭

Výpočet limity posloupností

34

5 1 ⎞ ⎛ 4 −1 − n ⎜ ⎟ n −1 1 1 n 1 n 1 4 .4 − 5 4 ⎟ 4 −5 4 − 5.( 4 ) 4 − 5.0 4 ⎜ = = lim = = = lim . lim b) lim n n 1 n →∞ 2 2 n + 1 n →∞⎜ n → ∞ n → ∞ 1 1 ⎟ 1+ 0 4 4 +1 1 + (4 ) 1+ n ⎜ n ⎟ 4 4 ⎠ ⎝ ⎧ 4 n −1 − 5 ⎫ 1 Výsledek : Limita posloupnosti ⎨ 2 n ⎬ je . 4 ⎩ 2 +1 ⎭ 1 ⎞ ⎛ ⎜ n ⎟ n +1 n+2 n n 2 n 2 ( 23 )n .2 + 3 2 2 .2 + 3 .3 3 n ⎟ 2 .2 + 3 .3 2 +3 c) ⎜ . = lim = lim = lim = lim n →∞ n→∞ n →∞⎜ 1 ⎟ n →∞ 3 n .3 2 32 3 n .3 2 3 n+ 2 ⎜ ⎟ 3n ⎠ ⎝ n −1

=

0 .2 + 3 2 =1 32

⎧ 2 n +1 + 3 n + 2 ⎫ Výsledek : Limita posloupnosti ⎨ ⎬ je 1. n+2 3 ⎩ ⎭

Úloha 2. Na základě zkušeností získaných z příkladů 6. a 7. vypočtěte následující limity:

n+5 n → ∞ 3n − 6

2n 4 − n 3 + 4 n → ∞ 5n 4 + n 3 + 2

b) lim

a) lim

2 n +3 + 4 n → ∞ 2 n −1 + 1

c) lim

Část pro zájemce. n

⎛ 1⎞ 1. Důležitou limitou v nevlastním bodě je lim⎜1 + ⎟ = e , která umožňuje x →∞ ⎝ n⎠ 1 přiblížit hodnotu iracionálního čísla e . Zkuste si přiblížit hodnotu e dosazováním přirozených čísel za n . Dosaďte 10, 100, 10 000, 1 000 000. 2. V Matematice II jste se seznámili s geometrickou posloupností a odvodili jste si vzorec pro součet jejích prvních n členů. Pomocí limity jsme schopni odvodit vzorec pro součet nekonečně mnoha členů, tj. když n ∞ . Při výpočtu použijeme věty o limitách operací, skutečnost, že limita konstanty je konstanta a základní limitu Z3 .

Součet n-členů geometrické posloupnosti : s n = a1 .

qn −1 q −1

lim q n − lim 1 a 0 −1 qn −1 n →∞ lim s n = lim a1 = lim a1 . n→∞ = a1 . = 1 ⇔ q <1 n→∞ n →∞ lim(q − 1) q − 1 n →∞ q −1 1− q n →∞

Výsledná limita

a1 je součet tzv. nekonečné geometrické řady 1− q

s kvocientem q, pro který platí |q| < 1.

1

S číslem e jste se seznámili v Matematice II jako základ přirozeného logaritmu.


35

2.3 Pojem derivace funkce, derivace základních funkcí

Odvození derivace funkce

Derivace funkce

Limita funkce umožňuje najít tečnu grafu funkce, definovat derivaci a integrál. Patří k nejzákladnějším pojmům matematiky. Ukažme si, jak pomůže nalézt rovnici tečny grafu funkce f: y = f(x) v bodě T [xo,yo]. Obr.3

Na obrázku 3 máme zakreslenu sečnu TX a tečnu t v bodě T. První souřadnice bodu X se liší od první souřadnice bodu T o přírůstek (změnu) k bodu T , takže

∆x

polohou sečny TX pro

∆ x. Pokud bychom postupně bod X "přibližovali"

0 , sečna TX by se "přibližovala" k tečně t. Říkáme, že tečna t je limitní

∆x

0.

Směrnici sečny TX vypočteme ze vztahu pro směrnici přímky určené dvěma body: f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆y = = k TX = (x + ∆x ) − x0 ∆x ∆x Směrnici tečny t tedy vypočteme podle předchozí úvahy jako limitu směrnice sečny pro ∆ x 0 : . f ( x0 + ∆x ) − f (x 0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆y = lim k t = lim = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x (x + ∆x ) − x0 ∆x Máme-li směrnici tečny, pak už není problém napsat rovnici tečny t v bodě T. Využijeme směrnicovou rovnici přímky dané bodem T a směrnicí kt . Můžeme tudíž shrnout: Je-li křivka grafem funkce y = f(x) a existuje-li v bodě x0 vlastní limita: f ( x0 + ∆x ) − f (x 0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆y lim = lim = k t = tg α = lim x x ∆x → 0 ∆ → 0 ∆ → 0 (x + ∆x ) − x0 ∆x ∆x pak tečna křivky v bodě T[x0 , y0] je přímka, která má rovnici2: y - y0 = kt (x - x0) 2

Zopakujte si směrnicový tvar přímky z Matematiky V

(3)

36

Limitu lim

∆x → 0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) označujeme f' (x0) a nazýváme ∆x

derivací funkce f v bodě x0. Existuje-li limita lim

∆x → 0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) , říkáme, že funkce f má derivaci ∆x

v bodě x0 , nebo-li že je diferencovatelná v bodě x0. Geometrická interpretace derivace: udává směrnici tečny kt ke grafu funkce f v bodě T[xo,yo]. Část pro zájemce. Podobnou úvahou, jakou jsme provedli pro tečnu grafu, lze aplikovat i na pohyb hmotného bodu. Těleso urazilo v čase to dráhu s(to). Zvětší-li se čas o ∆ t, bude dráha tělesa v tomto čase rovna s(to + ∆ t). Přírůstek dráhy odpovídající přírůstku času ∆ t tedy bude s(to + ∆ t) - s(to). Průměrná rychlost (při rovnoměrném pohybu) by pak byla v časovém intervalu s (t 0 + ∆t ) − s (t 0 ) ∆t Čím bude menší ∆ t, tím bude získaná rychlost přesnější pro menší časový úsek. s(t + ∆t ) − s (t 0 ) Pro ∆ t 0 dostáváme vlastně rychlost okamžitou: v = lim 0 ∆t → 0 ∆t t 0 , t 0 + ∆t : v =

Fyzikální interpretace derivace: udává okamžitou rychlost pohybu v čase to. Příklad 8.

Napište rovnici tečny k parabole y = x2 v bodě T[1,1]. Řešení: 1. krok Hledanou tečnu můžeme zapsat ve směrnicovém tvaru - dle (3).

y - y0 = kt . (x - x0) x0 = 1 ; y0 = 1 ………..souřadnice tečného bodu 2. krok Dále podle (3) zjistíme nejprve existenci požadované limity. f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) (1 + ∆x )2 − 12 = lim 1 + 2∆x + (∆x )2 − 1 = = lim lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x ∆x(2 + ∆x ) směrnice tečny = lim = lim (2 + ∆x ) = 2 = k t ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x 3. krok nyní už jen dosadíme do rovnice tečny: y - 1 = 2.(x - 1) a upravíme: 2x - y - 1= 0 Výsledek: Parabola y = x2 má v bodě T tečnu o rovnici: 2x - y - 1 = 0 .


37

Pozn. Pokud jste směrnici správně vypočítali, tak už vlastně umíte počítat derivaci funkce Úloha 3. Napište rovnici tečny k parabole y = 2x2 v bodě T[-1,2]. Výpočet derivace funkce Derivace funkce f v bodě xo je tedy určité číslo, které má popsanou geometrickou či fyzikální interpretaci. Jak toto číslo vypočítáme?

1. První způsob je vyjít z definice derivace: Příklad 9. Vypočtěte derivaci funkce f: y = x3 v bodě xo. Řešení: Podle (3) zjistíme existenci požadované limity.

(x + ∆x ) − x0 f ( x 0 + ∆x ) − f ( x0 ) f ′( x ) = lim = lim 0 = ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x 3

3

(

∆x 3 x0 + 3 x0 ∆x + (∆x ) x + 3x0 ∆x + 3 x0 (∆x ) + (∆x ) − x0 = lim 0 = lim ∆x → 0 ∆ x → 0 ∆x ∆x 2 2 2 = lim 3 x0 + 3 x0 ∆x + (∆x ) = 3 x 0 3

∆x → 0

2

(

2

3

3

2

2

)=

)

Výsledek: f ' (xo) = 3xo2

Pokud má funkce f derivaci v každém bodě určitého intervalu (a,b) , pak říkáme, že funkce f má derivaci v intervalu (a , b). Tím je tedy v intervalu (a,b) definována nová funkce f'(x), které říkáme derivace funkce f v intervalu. Kromě označení f '(x) používáme také y' nebo

dy dx

.

Určete derivaci funkce f: y = x3 v intervalu (− ∞, + ∞ ) Podle předchozího příkladu víme, že tato funkce má v každém bodě xo intervalu (− ∞, + ∞ ) derivaci f '(xo) = 3.xo2. Tedy f '(x) = 3.x2 pro x intervalu (− ∞, + ∞ ) Výsledek: f '(x) = [x3]' = 3.x2 pro x ∈ R Tímto způsobem si můžeme ukázat odvození derivace i některých dalších elementárních funkcí.

38

Příklad 10. a) Určete derivaci konstantní funkce f: y = c . Řešení: Podle definice limity v každém bodě xo intervalu (− ∞, + ∞ ) platí: f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) c−c 0 f ′( x0 ) = lim = lim = lim =0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆x Výsledek: [c]' = 0

b) Určete derivaci funkce f: y = sin x. Řešení: Podle definice limity v každém bodě xo intervalu (− ∞, + ∞ ) platí: Při úpravě zlomku využijeme vzorec sin α – sin β =2 cos α + β sin α − β 2 2

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) sin ( x 0 + ∆x ) − sin x0 = lim = ∆ x → 0 ∆x ∆x ∆x ∆x ⎞ ⎛ (x + ∆x ) + x0 (x + ∆x ) − x0 2. cos⎜ x 0 + ⎟ sin 2. cos 0 . sin 0 . 2 ⎠ 2 ⎝ 2 2 = lim = lim = ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x ∆x sin 2 . cos⎛⎜ x + ∆x ⎞⎟ = cos x Použijeme základní = lim 0 0 ∆x →0 limitu Z1 ∆x 2 ⎠ ⎝ 2 f ′( x0 ) = lim

∆x → 0

Výsledek: [sin x]' = cos x .

Už bez odvozování dokončíme přehled derivací elementárních funkcí:

[c]' = 0

[tg x]' =

[xn]' = n.xn-1 , n reálné číslo [sin x]' = cos x [cos x]' = - sin x [ex]' = ex x

x

[a ]' = a .lna

1 cos 2 x

[cotg x]' = − [ln x]' =

1 sin 2 x

1 x

[loga x]' =

1 x. ln a


39

Podobně by bylo možno odvodit věty o derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí: Jestliže funkce u(x), v(x) mají v bodě xo derivaci, potom mají v tomto bodě derivaci i jejich součet, rozdíl, součin a podíl (v(xo) nenulové) a platí (c je konstanta): [c.u]' = c.[u]' [u + v]' = u' + v' [u - v]' = u' - v' [u . v]' = u'v + u.v' ′ u ′v − uv ′ ⎡u ⎤ ⎢⎣ v ⎥⎦ = v2

(4) (5) (6) (7) (8)

Hledání derivací dle definice derivace je značně komplikovaný a pro složitější funkce nepoužitelný. 2. Druhý způsob spočívá v aplikaci odvozených pravidel a vět, které výpočet derivací značně zjednodušují. Příklad 11. Vypočtěte derivaci daných funkcí v libovolném bodě jejich definičního oboru.

a) f: y =

3

x5

Řešení: Nejprve převedeme na mocninu: 3

5

x5 = x 3

a nyní použijeme pravidlo [xn]' = n.xn-1 , n reálné číslo

′ 5 2 ⎡ 53 ⎤ 5 3 −1 5 3 5 = . x = .3 x 2 ⎢ x ⎥ = .x 3 3 3 ⎣ ⎦ ′ ⎡ 53 ⎤ 5 .3 x 2 Výsledek: ⎢ x ⎥ = 3 ⎣ ⎦ b) f: y = x3 - 3x2 + 5x - 2

Řešení: použijeme pravidla [xn]' = n.xn-1 , n reálné číslo, [c]' = 0 a věty o derivaci součtu, rozdílu a součinu (4) – (6) Nejprve použijeme pravidla (5) a (6) - u součtu a rozdílu derivujeme každý člen zvlášť:

[x

3

] [ ] [ ]

− 3 x 2 + 5 x − 2 ′ = x 3 ′ − 3 x 2 ′ + [5 x ] ′ − [2] ′ =

Dále použijeme (4) - v součinu konstantu při derivování opíšeme:

[ ] [ ]

= x 3 ′ − 3 x 2 ′ + 5[x ] ′ − [2] ′ =

40 Nyní použijeme přehledu derivací elementárních funkcí. Nejprve derivace samotné konstanty [c]' = 0: :

[ ] [ ]

= x 3 ′ − 3 x 2 ′ + 5[x ] ′ − 0 =

Derivace [xn]' = n.xn-1:

= 3.x 2 − 3.2 x 1 + 5.1.x 0 = 3x 2 − 6 x + 5

[

]

Výsledek: x 3 − 3x 2 + 5 x − 2 ′ = 3x 2 − 6 x + 5

Derivace součinu funkcí . Příklad 12. Vypočtěte derivaci funkce f: y = 5x2.ln x - 2 v libovolném bodě definičního oboru. Řešení: Nejprve použijeme pravidla (5) a (6) - u součtu a rozdílu derivujeme každý člen zvlášť:

[5x . ln x − 2] ′ = [5x . ln x] ′ − [2] ′ = 2

2

Dále použijeme (4) - v součinu konstantu při derivování opíšeme:

[

]

= 5. x 2 . ln x ′ − [2] ′ =

Nyní použijeme přehledu derivací elementárních funkcí. Nejprve derivace samotné konstanty [c]' = 0: :

[

]

= 5. x 2 . ln x ′ − 0 =

A nyní derivujeme součin podle [u . v]' = u'v + u.v': první člen derivujeme a druhý opíšeme + obráceně, první opíšeme a druhý derivujeme:

([

)

]

= 5. x 2 ′. ln x + x 2 .[ln x ] ′ =

1 Vypočteme jednotlivé derivace podle [xn]' = n.xn-1 a [ln x]' = x

:

1⎞ ⎛ = 5.⎜ 2.x. ln x + x 2 . ⎟ = 5.(2.x. ln x + x ) = 5 x.(2 ln x + 1) x⎠ ⎝

[

]

Výsledek: 5 x 2 . ln x − 2 ′ = 5 x(2 ln x + 1)

Derivace podílu funkcí . Příklad 13.

x2 Vypočtěte derivaci funkce f : y = v libovolném bodě definičního oboru. x −1 Řešení: ′ ⎡ u ⎤ u ′v − uv′ Použijeme pravidlo pro derivaci podílu ⎢ ⎥ = - jmenovatele umocníme na druhou v2 ⎣v⎦ a v čitateli bude: součin derivace čitatele a nederivovaného jmenovatele - obráceně, součin nederivovaného čitatele a derivace jmenovatele:

′ ⎡ x2 ⎤ x 2 ′.( x − 1) − x 2 .[x − 1] ′ = = ⎢ ⎥ ( x − 1) 2 ⎣ x − 1⎦

[ ]


41

Nyní vypočteme jednotlivé derivace a získaný výraz upravíme:

=

2 x.( x − 1) − x 2 .1 2 x 2 − 2 x − x 2 x 2 − 2 x x( x − 2) = = = ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 ( x − 1) 2

′ ⎡ x2 ⎤ x ( x − 2) Výsledek: ⎢ ⎥ = (x - 1) 2 ⎣ x − 1⎦

Průvodce studiem. Pokud vás unavila přemíra teorie, odpočiňte si, a pak si znovu projděte základní pravidla a řešené úlohy. Důslednou aplikací odvozených vět a pravidel jste schopni úspěšně derivovat i poměrně složité funkce. Procvičte a prověřte si získané dovednosti derivováním následujících funkcí: Úloha 4. Vypočtěte derivaci daných funkcí v libovolném bodě jejich definičního oboru.

a) y = x + x + 3 x d) y =

2x − 3 x −1

b) y = x 2 sin x + x e) y =

cos x 1 + 2 sin x

c) y = 35 x −

2 + ex x

f) y = 5x + ln x

2.4 Derivace složené a implicitní funkce

Při výpočtu derivací se velmi často setkáváme se složenými funkcemi, např. y = cos (x2-3); y = ( ln x + 2 )3 apod. Platí pro ně následující věta: Má-li funkce z = g(x) derivaci v bodě xo a funkce y = f(z) derivaci v bodě zo=g(xo), potom má složená funkce y = f(g(x)) derivaci v bodě xo a platí: [f(g(xo))]' = f'(zo).g'(xo)

Derivace složené funkce je součin derivace "vnější" funkce f(z) podle z a derivace "vnitřní" funkce g(x) podle x. f'x = f'z . z'x

(9)

42

Příklad 14. a) Vypočtěte derivaci funkce f: y = (x3 + 4x - 2)5 v libovolném bodě definičního oboru. Řešení: 1. krok Funkci f si můžeme rozložit na funkci

y = z5 ("vnější" funkce) a z = x3 + 3x - 2 ("vnitřní" funkce). 2. krok Vypočteme derivaci "vnější" funkce s proměnnou z : f 'z = 5 . z4, derivaci "vnitřní" funkce s proměnnou x je z'x = 3x2 + 4. Derivace složené funkce (dle (9)) je součin derivace "vnější" funkce a derivace "vnitřní" funkce: [(x3 + 4x - 2)5]' = 5.z4 . (3x2+4) = Po dosazení za z dostáváme: = 5.(x3 + 4x - 2)4 . (3x2+4) Výsledek: [(x3 + 4x - 2)5]' = 5.(x3 + 4x - 2)4 . (3x2+4)

b) Vypočtěte derivaci funkce f: y = sin (x2 - 5x) v libovolném bodě definičního oboru. 1. krok Funkci f si můžeme rozložit na funkci y = sin z ("vnější" funkce) a z = x2 - 5x ("vnitřní" funkce). 2. krok Vypočteme derivaci "vnější" funkce s proměnnou z : f 'z = cos z, derivaci "vnitřní" funkce s proměnnou x je z'x = 2x – 5. Derivace složené funkce (dle (9)) je součin derivace "vnější" funkce a derivace "vnitřní" funkce: [sin (x2 - 5x)]' = cos z . (2x – 5) = Po dosazení za z dostáváme: = cos (x2 - 5x) . (2x – 5) Výsledek: [sin (x2 - 5x)]' = cos (x2 - 5x) . (2x – 5)

Někdy se je funkce f složena i z více funkcí Příklad 15. Vypočtěte derivaci funkce f: y = sin3 (x2 - 5x) v libovolném bodě definičního oboru.


43

Řešení: 1. krok Funkci f si můžeme rozložit na funkci

y = z3 ("vnější" funkce) a z = sin u ("1. vnitřní" funkce) u = x2 – 5x ("2. vnitřní" funkce) 2. krok Vypočteme derivaci "vnější" funkce s proměnnou z : f 'z = 3 z2, derivaci "1. vnitřní" funkce s proměnnou u je z'u = cos u derivaci "2. vnitřní" funkce s proměnnou x je u'x = 2x - 5 . Derivace složené funkce (dle (9)) je součin derivace "vnější" funkce, derivace "1.vnitřní" funkce a derivace "2.vnitřní" funkce: f'x = f'z . z'u . u'x [sin3 (x2 - 5x)]' =3. z2 .cos u . (2x – 5) = Po dosazení za z dostáváme =3. sin2u .cos u . (2x – 5) = Dále po dosazení za u dostaneme =3. sin2(x2 – 5x) .cos (x2 – 5x) . (2x – 5) Výsledek: [sin3 (x2 - 5x)]' =3. sin2(x2 – 5x) . cos (x2 - 5x) . (2x – 5)

Průvodce studiem. Zopakujte si skládání funkcí z Matematiky II a s podporou příkladů 14. a 15. si dobře ujasněte si pojmy vnější a vnitřní funkce. Zda jste to zvládli si ověřte vyřešením následující cvičné úlohy.

Úloha 5. Vypočtěte derivaci daných funkcí v libovolném bodě jejich definičního oboru.

a) y = (x4 - 6x2 + 7)3

b) y = ln sin x

c) y = e tg x

d) y = 1 + x 2

e) y = 3 x 2 − 5 x + 6

f) y = ln x + 1 + x 2

(

)

44

Derivace implicitní funkce:

V analytické geometrii často hledáme tečny ke křivce, která není grafem funkce (kružnice, elipsa, hyperbola ..) a je dána implicitně - není přímo vyjádřené y. Např. elipsa: 16x2 + 25y2 = 400. Z této rovnice nemusíme vyjadřovat y a potom derivovat, ale můžeme derivovat hned takto: členy s proměnnou y derivujeme jako složenou funkci (y je funkcí x) , tedy [y2]'x =

[y2]'y.[y]'x = 2y . y' , a ostatní členy běžným způsobem.

Příklad 16. Určete rovnici tečny elipsy 9x2 + y2 - 9x - 4y = 0 v bodě T [1,0]. Řešení: 1. krok Hledanou tečnu můžeme zapsat ve směrnicovém tvaru - dle (3). (viz Příklad 8.)

y - y0 = kt . (x - x0) x0 = 1 ; y0 = 0 ………..souřadnice tečného bodu 2. krok Směrnici tečny v bodě T určíme jako derivaci implicitní funkce; členy s y derivujeme jako složenou funkci: 9.2x + 2y.y' – 9.1 – 4.1.y' = 0 Nyní z této rovnice vyjádříme y': 2y.y' - 4.y' = 9 - 18x y'(2y - 4) = 9 - 18x 9 − 18 x y′ = 2y − 4 Zjistíme hodnotu derivace v bodě T ; získaná hodnota je hledaná směrnice tečny: 9 − 18.1 − 9 9 k = y'T = = = 2.0 − 4 − 4 4 Teď již stačí dosadit do směrnicové rovnice přímky: y−0 =

9 .( x − 1) 4

Rovnici přímky upravíme : 4y = 9x – 9

=> 9x – 4y – 9 = 0

Výsledek: t: 9x – 4y – 9 = 0


45

Úloha 6. Určete rovnici tečny k dané křivce v daném tečném bodě T : a) x2 + xy + y2 = 3 T [-1, -1] ; b) 4x3 – 3xy2 + 6x2 – 5xy – 8y2 + 9x +14 = 0 T [-2 , 3] . 2.5 Derivace vyšších řádů

Má-li funkce f ' (x) (tj.derivace funkce f(x)) v každém bodě intervalu (a,b) derivaci, dostaneme v intervalu (a,b) novou funkci, které říkáme druhá derivace neboli derivace druhého řádu funkce f(x) v intervalu (a,b). Označíme ji f ' '(x). Platí pro ni: f''(x) = [f'(x)]'. Užívá se také označení: y'' . Podobně můžeme definovat třetí derivaci f '''(x), čtvrtou derivaci f ( 4)(x) a derivace vyšších řádů f (n) (x). Příklad 17. Určete derivace funkce f: y = 2x4 + 3x . Řešení:

První derivace: f'(x) = [2x4 + 3x]' = 8x3 + 3 Druhá derivace: f''(x) = [8x3 + 3]' = 24x2 Třetí derivace: f'''(x) = [24x2]' = 48x Čtvrtá derivace: f(4)(x) = [48x]' = 48 Pátá derivace a všechny vyšší derivace jsou již nula: f(5)(x) = [48x]' = 0 2.6 Aplikace derivace funkce

Derivace funkce má široké uplatnění při řešení řady praktických úloh; při výpočtu limit a především při sledování průběhu funkce. 2.6.1 Průběh funkce

Pro nakreslení grafu funkce y = f(x) nestačí jen sestavit tabulku pro x, y, protože dosazením náhodně vybraného x do předpisu funkce by nám mohly uniknout některé vlastnosti funkce a graf by mohl být nakreslen chybně. Abychom si mohli být jisti správností grafu funkce, je třeba se podrobněji zabývat některými vlastnostmi funkce.

Průvodce studiem. Sledování průběhu funkce je zajímavá, ale zdlouhavější úloha. Přeji vám mnoho trpělivosti. Vydržte.

46

•

Intervaly, ve kterých je funkce rostoucí nebo klesající, se nazývají intervaly monotónnosti. Jejich určení patří k základním požadavkům při

zjišťování průběhu funkce. Intervaly monotónnosti funkce

∆y nám vlastně ∆x → 0 ∆ x udává okamžitou změnu funkce f v tomto bodě. Zvětší-li se hodnota pro-

Derivace funkce v bodě xo definovaná jako f ′( x0 ) = lim

měnné x ( ∆ x > 0) a hodnota funkce y se také zvětší ( ∆ y > 0), je derivace v tomto bodě kladná a funkce je rostoucí.

Zvětší-li se hodnota proměnné x ( ∆ x > 0) a hodnota funkce y se zmenší ( ∆ y < 0), je derivace v tomto bodě záporná a funkce je klesající. Pokud se hodnota funkce se změnou hodnoty proměnné nemění ( ∆ y = 0) , je derivace v tomto bodě rovna nule a funkce je konstantní. Z toho vyplývá následující souvislost derivace a monotónnosti funkce: Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a,b) kladnou derivaci, je v tomto intervalu rostoucí. Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a,b) zápornou derivaci, je v tomto intervalu klesající. Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a,b) nulovou derivaci, je v tomto intervalu konstantní.

(10)

Příklad 18.

Určete intervaly monotónnosti funkce f: y = x3 - 3x2. Řešení:

Derivujeme funkci f: f'(x) = 3x2 - 6x. Nyní chceme zjistit intervaly, ve kterých je tato derivace kladná a ve kterých je záporná, což znamená řešit nerovnice 3x2 - 6x > 0 nebo 3x2 - 6x < 0. Nerovnice řešíme pomocí metody nulových bodů3 (jedná se o spojitou funkci). Zjistíme kořeny rovnice Vytkneme 3x :

3x2 - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Nulové body jsou 0 a 2.

Definiční obor dané funkce - R rozdělíme pomocí nulových bodů; získáme tři intervaly (-∞,0) , (0,2) , (2, +∞). 3

Z Matematiky I si připomeňte řešení nerovnic v součinovém tvaru.


47

V intervalu (-∞,0) je derivace kladná (ověříme dosazením např. x = -1 , y'(-1) = 9) ; funkce f je zde tedy rostoucí.

V intervalu (0,2) je derivace záporná (y'(1) = -3) a funkce f je zde klesající. V intervalu (2,+ ∞) je derivace kladná (y'(3) = 9) a tedy funkce f je zde rostoucí. Výsledek: (-∞, 0) rostoucí, (0, 2) klesající, (2, + ∞) rostoucí.

•

Extrémy funkce Lokální extrémy funkce souhrnně označují maxima a minima dané funkce v určitém intervalu ("místně") - lokální maximum, lokální minimum. Funkce f má v bodě xo lokální maximum [ostré], jestliže existuje interval (a,b) tak, že pro všechna x z tohoto intervalu platí: f(x) f(xo) [f(x) < f(xo)] . Funkce f má v bodě xo lokální minimum [ostré], jestliže existuje interval (a,b) tak, že pro všechna x z tohoto intervalu platí: f(x) f(xo) [f(x) > f(xo)] . Obr. 4

Na obrázku Obr. 4 vidíme, že funkce f má lokální ostré maximum v bodě x1 a v bodě x3, lokální ostré minimum v bodě x2 a x4. Z obrázku je zřejmé, že v lokálních extrémech buď tečna (a tedy i derivace) neexistuje (bod x2) nebo je tečna rovnoběžná s osou x (x1, x3, x4) a derivace je tedy rovna nule. Proto můžeme vyslovit nutnou podmínku existence extrému: Má-li funkce f v bodě xo lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace f '(xo), pak platí: f'(xo) = 0.

(11)

Proto při hledání lokálních extrémů funkce f(x) hledáme body x, pro které platí: f '(x) = 0. Tyto body jsou "podezřelé z extrému" a nazýváme je stacionární body. Zda má funkce v těchto bodech skutečně lokální extrém, rozhodne chování první derivace ve stacionárním bodě. Obr.5 a)

b)

c)

d)

48

a) V bodě xo má funkce lokální maximum - Jestliže x se přibližuje k xo zleva, je funkce rostoucí a derivace kladná, v bodě xo je rovna nule a vpravo, za bodem xo je funkce klesající a derivace záporná. Znaménko derivace se mění z plus na minus. b) V bodě xo má funkce lokální minimum - Jestliže x se přibližuje k xo zleva, je funkce klesající a derivace záporná, v bodě xo je rovna nule a vpravo, za bodem xo je funkce rostoucí a derivace kladná. Znaménko derivace se mění z minus na plus. c) V bodě xo nemá funkce lokální extrém - Jestliže x se přibližuje k xo zleva, je funkce rostoucí a derivace kladná, v bodě xo je rovna nule a vpravo, za bodem xo je funkce opět rostoucí a derivace kladná. Znaménko derivace se nemění. d) V bodě xo nemá funkce lokální extrém - Jestliže x se přibližuje k xo zleva, je funkce klesající a derivace záporná, v bodě xo je rovna nule a vpravo, za bodem xo je funkce opět klesající a derivace záporná. Znaménko derivace se nemění. Mění-li se znaménko derivace ve stacionárním bodě z plus na minus, má funkce v tomto bodě lokální maximum, mění-li se z minus na plus, má (12) funkce v tomto bodě lokální minimum.

Příklad 19.

Vyšetřete lokální extrémy funkce f: y = x3 - 3x2. Řešení: Nejprve určíme stacionární body.

•

Derivujeme funkci f : f '(x) = 3x2 - 6x.

•

Zjistíme kořeny rovnice f '(x) = 0 tedy 3x2 - 6x = 0 Vytkneme 3x : 3x(x - 2) = 0 Stacionární body jsou 0 a 2. V intervalu (- ∞,0) je derivace kladná (ověříme dosazením např. x = -1 , y'(-1)=9) a funkce f je zde rostoucí. V intervalu (0,2) je derivace záporná (y'(1) = -3) a funkce f je zde klesající.

V bodě x = 0 dochází ke změně znaménka derivace z + na - (funkce se mění z rostoucí na klesající), v tomto bodě je lokální maximum. V intervalu (2, + ∞) je derivace kladná (y'(3)=9) , funkce f je zde rostoucí. V bodě x = 2 dochází ke změně znaménka derivace z - na + (funkce se mění z klesající na rostoucí), je v tomto bodě lokální minimum.


49

Výsledek: Funkce má v bodě x = 0 (ostré) lokální maximum a v bodě x=2 (ostré) lokální minimum.

V některých případech lze rozhodnout o existenci extrému ve stacionárním bodě xo pomocí 2.derivace ; (podmínkou je snadný výpočet 2.derivace a existence nenulové 2.derivace v tomto bodě). Je-li f ''(xo) < 0 , má funkce v bodě xo ostré lokální maximum. Je-li f ''(xo) > 0 , má funkce v bodě xo ostré lokální minimum. Je-li f ''(xo) = 0 , pak pomocí 2.derivace nelze rozhodnout o existenci extrému. Globální extrémy (absolutní extrémy) funkce v nějakém intervalu představují body, ve kterých nabývá funkce své největší resp. nejmenší hodnoty. Znamená to nalézt lokální extrémy a porovnat odpovídající funkční hodnoty i s hodnotami v hraničních bodech intervalu. Největší hodnota přísluší globálnímu maximu a nejmenší globálnímu minimu. Obr. 6

Tak například funkce f na Obr. 6 má v uzavřeném intervalu a, b globální maximum v bodě x = a (hodnota f(a) je největší hodnotou funkce v tomto intervalu) a globální minimum v bodě x = x1 (hodnota y1 je nejmenší hodnotou funkce v tomto intervalu). V otevřeném intervalu (a,b) však globální maximum nemá (neexistuje bod, ve kterém má funkce největší hodnotu - bod a tam nepatří) a globální minimum je opět x = x1. Obr. 7

a)

b)

V případě, kdy funkce má v daném intervalu (a,b) pouze jediný stacionární bod, je lokální extrém zároveň i globálním extrémem. Názorně to demonstrují horní dva obrázky Obr. 7 a), b).

50

Příklad 19.

1 Vyšetřete globální extrémy funkce f: y = x3 – x 2 – 3x v intervalu − 2,9 . 3

Řešení: Nejprve určíme stacionární body.

Derivace funkce je: f '(x) = x2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3) . Stacionární body jsou x1 = -1 a x2 = 3. V intervalu (- ∞ , -1) je derivace kladná, a tedy funkce f je zde rostoucí. V intervalu (-1,3) je derivace záporná a funkce f je zde klesající. V bodě x = -1 lokální maximum. V intervalu (3,+ ∞) je derivace kladná a tedy funkce f je zde rostoucí. V bodě x = 3 je lokální minimum. Vypočteme funkční hodnoty v lokálních extrémech a hraničních bodech : -2, -1, 3, 9 . 2 5 f (-2) = - , f (-1) = , f (3) = - 9 , f (9) = 135 3 3 Porovnáním těchto funkčních hodnot dostáváme, že globální maximum 135 je v bodě x = 9 a globální minimum -9 je v bodě x = 3. Výsledek:

Funkce f má v bodě x = 3 globální minimum a v bodě x = 9 globální maximum. • Konvexnost a konkávnost funkce K přesnějšímu nakreslení a popisu grafu funkce pomůže zjištění, zda je funkce konvexní nebo konkávní. Obr. 8

Názorně: Graf funkce f leží nad tečnou v bodě xo - funkci nazýváme konvexní; graf funkce f leží pod tečnou v bodě xo - funkci nazýváme konkávní. Nyní přesněji,matematicky. Říkáme, že funkce f je v bodě xo konvexní (konkávní), existuje-li interval obsahující bod xo takový, že pro všechny body z tohoto intervalu leží body grafu funkce f nad (pod) tečnou sestrojenou v bodě xo. Je-li funkce konvexní (konkávní) v každém bodě intervalu, říkáme, že je konvexní (konkávní) v tomto intervalu. Zda je funkce v intervalu konvexní či konkávní, rozhodneme podle 2.derivace funkce.


Jestliže v každém bodě intervalu (a,b) platí f''(x) > 0 , pak je v tomto intervalu funkce f konvexní. Jestliže v každém bodě intervalu (a,b) platí f''(x) < 0 , pak je v tomto intervalu funkce f konkávní.

51

(13)

Příklad 20.

Určete intervaly, v nichž je funkce f: y = x3 - 3x2 konvexní, konkávní. Řešení:

První derivace funkce je: f'(x) = 3x2 - 6x. Druhá derivace funkce je: f''(x) = 6x - 6. Zjistíme kořeny rovnice f''(x) = 0 => 6x - 6 = 0 Kořenem je x = 1. V intervalu (- ∞,1) je f''(x) < 0 (ověříme dosazením např. x = -1 .. y''(-1)=-12) a tedy funkce f je zde konkávní. V intervalu (1, + ∞) je f''(x) > 0 (y''(3) = 12) a tedy funkce f je zde konvexní. Výsledek: Funkce f je v intervalu (- ∞ , 1) konkávní a v intervalu (1,+ ∞) konvexní.

Je funkce f na obrázku v bodě xo konvexní nebo konkávní? Obr. 9

Vlevo od bodu xo je funkce konkávní a vpravo je konvexní. V bodě xo funkce mění svůj průběh. Graf přechází z polohy "pod tečnou" do polohy "nad tečnou". Tento bod se nazývá inflexní bod funkce f. Samozřejmě, že to může být i obráceně - graf přechází z polohy "nad tečnou" do polohy "pod tečnou". Při hledání inflexních bodů funkce (obdobný postup jako při hledání extrémů) musíme nejprve nalézt body, ve kterých se mění funkce konvexní (f''(x) > 0) na konkávní (f''(x) < 0) nebo naopak (body "podezřelé na inflexi"). V nich zřejmě musí být f''(x) = 0 a to je podmínka nutná pro existenci inflexního bodu. Je-li bod xo inflexním bodem funkce f a má-li funkce f v tomto bodě druhou derivaci, pak f''(x0) = 0.

(14)

O tom, zda tento "podezřelý" bod je skutečně inflexní bod, rozhoduje opět znaménková změna tentokrát druhé derivace. Mění-li se znaménko 2.derivace v bodě xo , je tento bod inflexním bodem funkce f.

(15)

52

Příklad 20.

Najděte inflexní body funkce f: y = x3 - 3x2. Řešení: První derivace funkce je: f '(x) = 3x2 - 6x. Druhá derivace funkce je: f ''(x) = 6x - 6. Zjistíme kořeny rovnice f ''(x) = 0 tedy 6x - 6 = 0 Kořenem je x = 1. Tento bod je "podezřelý" na existenci inflexe. Zjistíme, zda v tomto bodě dochází ke znaménkové změně druhé derivace. V intervalu (- ∞,1) je f''(x) < 0 (ověříme dosazením např. x = -1 , y''(-1) = -12) a tedy funkce f je zde konkávní. V intervalu (1,+ ∞) je f''(x) > 0 (y'(3)=12) a tedy funkce f je zde konvexní. Výsledek: Funkce f má v bodě x = 1 inflexní bod. Asymptota grafu funkce

Při sestrojování grafu funkce pomůže nalezení přímky, ke které se graf funkce neustále přibližuje - asymptoty. Například Graf funkce f na obrázku má asymptotu - přímku p. Vzdálenost grafu funkce f od přímky p se s rostoucím x zmenšuje.

Obr. 10 y f

Co to znamená obecně, matematicky? Z obrázku vyplývá, že pokud má být přímka p: y = ax + b asymptotou grafu funkce f: y = f(x) , musí se s rostoucí hodnotou x vzdálenost d = f(x) - (ax + b) neustále zmenšovat , být v limitě rovna 0. Můžeme tedy asymptotu formulovat takto:

d= f(x) – (ax+b) d

p

ax+b

f(x) x

Asymptota grafu funkce f(x) je přímka p: y = ax + b pro kterou platí: lim [ f ( x ) − (ax + b )] = 0 nebo lim [ f ( x ) − (ax + b )] = 0 . x→ ∞

x→ − ∞

Jak ale zjistit z rovnice funkce f: y = f(x) , zda asymptoty má nebo nemá? Podle věty o limitě operací lze odvodit vztah pro výpočet koeficientů a, b rovnice asymptoty. Stačí v rovnici použít větu o limitě operací a vyjádřit a takto: lim f ( x ) − lim ax − lim b = 0 x→ ∞

x→ ∞

x→ ∞

x→ ∞

x→ ∞

lim f ( x ) − lim b = a lim x

a=

lim f ( x )

x→ ∞

lim x

x→ ∞

−

x→ ∞

lim b

x→ ∞

lim x x→ ∞

Limita tohoto zlomku se rovná nule.

(16)


53

f (x ) x→ ∞ x a podobně vyjádříme i koeficient b: b = lim [ f ( x ) − ax ] a = lim

x→ ∞

Přímka p: y = a x + b je asymptotou grafu funkce f: y = f(x), pokud existují limity: f (x ) , b = lim [ f ( x ) − ax ] a = lim (17) x→ ∞ x→ ∞ x nebo f (x ) , b = lim [ f ( x ) − ax ] . a = lim x → −∞ x→ −∞ x Nesmíme zapomenout na přímky rovnoběžné s osou y, které nemají směrnicovou rovnici a také mohou být asymptotami . Zjištění těchto asymptot předpokládá hlubší znalosti v počítání limit. Proto nejsou do tohoto učebního materiálu zařazeny. Když jsme si vysvětlili základní poučky a metody pro zjišťování dílčích parametrů funkce, můžeme přistoupit ke komplexnímu vyšetřování průběhu funkcí, kdy nás kromě sestrojení grafu bude zajímat určení základních vlastností dané funkce. Pro zapamatování a jednotnost vyšetřování průběhu funkce si postup shrneme do Desatera průběhu funkce: 1. Definiční obor, sudost, lichost, periodičnost 2. Stacionární body, body s nedefinovanou 1.derivací 3. Lokální extrémy, intervaly monotónnosti 4. Body podezřelé z inflexe, body s nedefinovanou 2.derivací 5. Inflexní body, intervaly konvexnosti, konkávnosti 6. Průsečíky s osami 7. Asymptoty 8. Limity v bodech s nedefinovanou hodnotou, nevlastních bodech 9. Obor hodnot 10. Graf funkce 2.6.2 Praktické úlohy na nalezení největší a nejmenší hodnoty.

V úlohách typu najděte nejkratší vzdálenost, maximální objem atd. aplikujeme hledání globálních (lokálních) extrémů pro funkci, popisující aktuální veličinu.

Příklad 21. Vypočtěte rozměry co největšího (plochou) obdélníkového výběhu pro krocany, máme-li na oplocení k dispozici 50 m pletiva a jednu stranu výběhu tvoří stěna budovy.

54

Řešení:

Označme šířku obdélníkového výběhu x a délku y metrů (podle obrázku). Vzhledem k délce pletiva platí: 2x + y = 50 tedy y = 50 - 2x kde x (0,25) Pro obsah výběhu platí: S = x.y = x.(50 - 2x)

Obsah výběhu je funkcí jeho šířky x.

Máme určit, kdy je obsah největší, tedy hledáme globální maximum funkce S: S = x.y = x.(50 - 2x) = 50x - 2x2 pro x ∈ (0,25). Derivace S' = 50 - 4x je zde spojitá a jediným stacionárním bodem je x = 12,5. Vlevo od tohoto bodu je derivace kladná (např. S´(10) = 10) , vpravo záporná (např. S´(20) = -30), proto v bodě x = 12,5 nastává lokální maximum pro hodnotu S. Protože je to jediný extrém, je to i globální extrém - největší hodnota funkce. Délka výběhu potom bude y = 50 - 2.12,5 = 25 m. Výsledek: Výběh má největší plochu pro délku 25 m a šířku 12,5 m.

Obecně tedy musíme nejprve určit funkci popisující zkoumanou závislost a splňující dané podmínky. (V našem příkladě funkci vyjadřující obsah výběhu při dané délce pletiva) Požadovaná funkce musí mít pouze jednu proměnnou - jen u funkcí jedné proměnné dokážeme zatím zjišťovat jejich průběh a další vlastnosti. Potom u této funkce hledáme globální extrémy.

Příklad 22. Na válcovou konzervu se má spotřebovat 5 dm2 bílého plechu. Jaké má mít konzerva rozměry, aby měla přitom největší objem? Řešení:

Označme poloměr podstavy válcové konzervy r a její výšku v podle obrázku. Objem této konzervy určuje funkce f: V = π .r2.v U této funkce nás podle zadání zajímá globální maximum. Má to ale háček. Jednak je to funkce dvou proměnných r, v (její průběh zatím neumíme prozkoumat) a navíc funkce nesplňuje podmínku ohledně spotřeby plechu. Spotřeba plechu na konzervu je dána jejím povrchem: S = 2. π .r2 + 2. π .r.v Protože S = 5, musí platit: 5 = 2. π .r2 + 2. π .r.v (18)


55

Výška konzervy v (ta se bude vyjadřovat snadněji) musí splňovat podmínku: 5 - 2. π .r2 = 2. π .r.v Tedy: v = (5 - 2. π .r2)/(2. π .r) Dosadíme za v do funkce pro 2 r 2 5 − 2π r objem: V = π r . = 5 − 2π r 2 = 2,5r – π .r3 2π r 2

(

)

a tím jsme našli požadovanou funkci jedné proměnné splňující zadané podmínky. Nyní budeme hledat její globální maximum. První derivace:

V´ = 2,5 - 3. π .r2 má nulový bod r =

2,5 3.π

(druhý, opačný nemá pro nás význam). Vlevo od něho (r je přibližně 0,515) je derivace kladná (V´(0) = 2,5 > 0) a vpravo je záporná (V´(1) = 2,5 - 3. π < 0). Proto v tomto bodě nastává lokální maximum. Protože je to v intervalu (0,+ ∞) jediný extrém, je zároveň i globálním maximem této funkce. Poloměr požadované 2,5 . , zaokrouhleně r = 0,515 dm. konzervy je tedy přesně r = 3.π Zbývá dopočítat výšku konzervy ze vztahu (18) a dosazením za r: 2,5 3π = v= 2,5 2π . 3π 5 − 2π

5 3 = 10 : 10π = 100 . 3 = 10 2 3 3 9 10π 3.π 4π .2,5 3π (což je přibližně 1,03 dm). 5−

Výsledek:

Maximální objem má konzerva pro poloměr přibližně 5,15 cm a výšku přibližně 10,3 cm.

Část pro zájemce. Pokud jste zvládli dobře derivování funkcí, můžete si prostudovat následující kapitolku 2.6.3 , která vás seznámí s použitím derivaací při počítání limit.

2.6.3 l´Hospitalovo pravidlo.

0 f (x ) , tedy xlim , → x 0 0 g (x ) kdy f(xo) = g(xo) = 0. Pro výpočet těchto limit můžeme použít l´Hospitalova

Při výpočtu limit nám dělal problémy neurčitý výraz typu

pravidla, které umožňuje z existence limity podílu derivovaných funkcí vypočítat limitu podílu funkcí u tohoto neurčitého výrazu :

56

l´Hospitalovo pravidlo: 0 f (x ) neurčitého výrazu , a existují-li x → x0 g ( x ) 0 v okolí bodu x0 derivace f´(x) a g´(x) (v bodě x0 derivace může existovat a ta-

Máme-li vypočítat limitu, lim

ké nemusí) a existuje-li limita lim

x → x0

′ f ′( x) , pak platí : lim f ( x) = lim f ( x) . x → x0 g ( x ) x → x0 g ′( x ) g ′( x)

V případě, že g´(xo) ≠ 0, platí : lim

x → x0

f ( x) f ′( x0 ) = . g ( x) g ′( x0 )

∞ . Velmi ∞ zjednodušuje výpočet limit a v jednom příkladu jej lze použít i několikrát po

Pravidlo lze použít i pro neurčité výrazy typu (limity typu) sobě. Příklad 23. Vypočtěte:

x5 − 1 lim 3 x →1 x − 1

.

Řešení: 0 Jedná se o neurčitý výraz typu . 0

Vypočteme derivaci čitatele a derivaci jmenovatele: f´(x) = 5.x4 g´(x) = 3.x2 Obě derivace jsou v každém bodě (tedy i v bodě x = 1) spojité a g´(1) = 3 ≠ 0. Můžeme tedy l´Hospitalovým pravidlem vypočítat limitu pomocí derivací: f ′ (x ) 5x 4 5 = lim 2 = a to je i výsledná, hledaná limita. x→ 1 g ′ (x ) x →1 3 x 3

lim

Výsledek:

x5 −1 5 = lim 3 x→1 x − 1 3

l´Hospitalovo pravidlo lze aplikovat i opakovaně:

Příklad 24. 1 − cos 5 x . x→ 0 3x 2

Vypočtěte: lim .

Řešení: 0 Jedná se o neurčitý výraz typu . 0 Vypočteme derivaci čitatele a derivaci jmenovatele: f´(x) = 5 . sin 5x g´(x) = 6.x

(19)


57

f ′ (x ) 5 sin 5 x = lim Po aplikaci l´Hospitalova pravidla: lim dostáváme opět x→ 0 g ′ (x ) x→ 0 6x 0 neurčitý výraz typu . 0 Vypočteme opět derivaci čitatele a derivaci jmenovatele: f ′′( x ) = 25.cos5x g ′′(x ) = 6 Tentokrát již požadovaná limita derivovaných funkcí existuje:

lim x →0

f ′′( x ) 25 cos 5 x 25 a tím dostáváme i výslednou, hledanou limitu. = lim = g ′′( x ) x →0 6 6 1 − cos 5 x 25 = x→ 0 6 3x 2

Výsledek: lim

Průvodce studiem. Pokud jste došli až sem. Máte základní přehled o základních pojmech diferenciálního počtu a jeho využití při řešení praktických úloh. Než se pustíte do závěrečného úkolu, vyzkoušejte si propočítat pár příkladů a ověřte si, že jste učivo pochopili. Úloha 7. 7.1 Vyšetřete intervaly monotónnosti funkce y = x4 – 4x3 + 4x2. 7.2 Najděte lokální extrémy funkce y = x3 – 3x2– 9x. 7.3 Najděte globální extrémy funkce y = x2 – 6x + 10 v intervalu − 1,5 .

7.4 Vypočtěte danou limitu (využijte l´Hospitalovo pravidlo): x2 −1 lim 3 x →1 x − 2 x 2 + 2 x − 1 7.5 Tvrdý papír tvaru obdélníka má rozměry 60 cm a 28 cm. V rozích odstřihneme stejné čtverce a ze zbytku vytvoříme otevřenou krabici. Jak velká musí být strana odstřižených čtverců, aby objem krabice byl co největší. Korespondenční úkol 2.

1. Vypočtěte limitu daných funkcí: 3x 2 − 5 x − 2 x→2 5 x 2 − 20

c) lim

3x 2 + 5 x − 2 x → −2 4 x 2 + 9 x + 2

f) lim

a) lim x − 1 x→4 x 2 + 3

b) lim

sin 2 x x → 0 sin 3 x

e) lim

d) lim

n→ ∞

x→0

3n 2 − 5n + 1 n 2 + 3n + 2 x2 +1 −1 x 2 + 25 − 5

58

g) .

4x x → 0 3tg 2 x

lim

h)

lim x →3

i)

x 3 − 27 2x − 6

lim x →3

x 2 − 4x + 3 2x − 6

2. Vypočtěte derivaci daných funkcí v libovolném bodě jejich definičního oboru : 2 a) 3.3 x − x 3 + .4 x 3 3

b) y = 5x + log x

c) y =

d) y = x . sin x

e) y = e sin x

f) y = ln

3 3x − 2 30 x+3

3. Určete rovnici tečny k dané křivce v daném tečném bodě y=

3x − 4 2x − 3

T [2 , 2]

4. Určete intervaly monotónnosti funkce y = x3 - 5x2 + 3x. x 5. Určete lokální extrémy funkce y = 2 . x −1 6. Určete globální extrémy dané funkce f na daném intervalu I f: y = x2 -6x +10 I = 〈-1 , 5〉 7. Určete intervaly, v nichž je daná funkce konvexní, konkávní, inflexní body y = x4 – 2x3 + 5 8. Číslo 36 vyjádřetejako součin 2 kladných čísel x, y. Pro která bude součet jejich druhých mocnin minimální?

Část pro zájemce. 1. Vyšetřete důkladně vlastnosti dané funkce f : y = x3 + 6x2 + 9x a pokuste se načrtnout její graf. Své řešení pošlete svému tutorovi.

2. Vypočtěte dané limity (využijte l´Hospitalovo pravidlo): a)

lim x →1

ln x x −1

b) lim x →0

x − sin x x3

Shrnutí kapitoly. Kapitola seznamuje se základními pojmy diferenciálního počtu a jejich použití při řešení různých úloh. Prohlubuje probrané učivo o funkcích a dává nástroje pro práci s jakoukoli funkcí. Probírané pojmy jsou dost abstraktní, proto se kapitola snaží o maximální názornost při jejich objasňování. Vzhledem k náročnosti této problematiky, bylo cílem kapitoly seznámit čtenáře pouze se základními pojmy a výpočty prezentovat na jednodušších funkcích. S komplexním pojetím této problematiky se setkáte až na vysokých školách.


59


LIMITA FUNKCE SPOJITOST FUNKCE DERIVACE FUNKCE INTERVALY MONOTÓNNOSTI KONVEXNOST FUNKCE KONKÁVNOST FUNKCE LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE INFLEXNÍ BOD ASYMPTOTA FUNKCE L´HOSPITALOVO PRAVIDLO

ŘEŠENÍ ÚLOH x ( x + 1)( x.( x + 1) 2 . x + 2) = lim =− x → −2 ( x − 3)( 5 . x + 2 ) x → −2 ( x − 3 )

1. a) lim

b) xlim → −2

(x − 5)(. x + 2) = lim (x − 5) = 7 (x + 2)(. x − 2) x→−2 (x − 2 ) 4

c) lim

(x − 4)(. x + 1) = lim (x − 4) = − 5 (x + 5)(. x + 1) x→−1 (x + 5) 4

x → −1

d) zlomek rozšíříme výrazem

e) zlomek rozšíříme výrazy

f) zlomek rozšíříme výrazem

x + 4 + 1 ; lim

x → −3

x+9 +3 a

(x + 3).( x + 4 + 1) = lim ( x → −3 (x + 4 ) − 1

x + 1 + 1 ; lim

x + 1 + 1 ; lim x→0

x→0

(

( x + 9 + 3) = 3 x ( x + 1 + 1)

x

)

x +1 +1 = 2

g) použijeme vzorce sin2x+cos2x=1 a sin2x = 2sin x.cos x a limitu Z1;

1 − cos 2 x 1 lim = x → 0 x sin 2 x 2

⎛ sin 3 x sin x ⎞ 1 10 + ⎜ ⎟ = 3+ = h) použijeme limitu Z1; lim x →0 3x ⎠ 3 3 ⎝ x

⎛ tgx tgx ⎞ + i) použijeme limitu Z1; lim⎜ ⎟=2 x →0 x ⎠ ⎝ x

)

x + 4 +1 = 2

60

5 1+ n =1 2. a) lim n →∞ 6 3 3− n

n

⎛1⎞ 8 + 4.⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ = 16 c) lim n n →∞ 1 ⎛1⎞ +⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠

1 4 2− + 4 n n =2 b) lim n →∞ 1 2 5+ + 4 5 n n

1 − 2 ∆x + (∆x ) − 1 = ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x (− 2 + ∆x ) = lim = lim (− 2 + ∆x ) = −2 ; tečna y - 2 = -2 . (x + 1); 2x+y=0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x

3. tečna y - 2 = kt . (x + 1);

1

4. a) y ′ = 1 +

c) y ′ = e) y ′ =

1 3

x2

+

1 33 x 2

1 x3

+ ex

(− 1 + ∆x )2 − (− 1)2

d) y ′ =

(1 + 2 sin x )2

2 + sin x (1 + 2 sin x )2

1 1 + x ln 5 x

5. a) y´=3.(x4 – 6 x2+7)2.(4x3 – l2x) 1 b) y ′ = . cos x = cotg x sin x e tgx c) y ′ = cos 2 x x d) y ′ = 1+ x2 2x − 5 e) y ′ = 2 33 x 2 − 5 x + 6 x 1+ 1+ x2 f) y ′ = x + 1+ x2

(

)

2

= lim

b) y ′ = 2 x sin x + x 2 cos x + 2(x − 1) − (2 x − 3)

− sin x (1 + 2 sin x ) − cos x.2 cos x

=−

f) y ′ =

2 x

+

k t = lim

(x − 1)

=

2

1 2 x

=

1

(x − 1)2

− sin x − 2(sin 2 x + cos 2 x )

(1 + 2 sin x )2

=


6. a) derivace implicitní funkce je y´=

61

2x + y ; y´(T)=1 rovnice tečny je y+1=x+1 x + 2y

12 x 2 + 12 x − 3 y 2 3 b) derivace implicitní funkce je y´= ; y´(T)= − rovnice tečny 6 xy + 5 x + 16 y 2 3 je y - 3= − (x+2). 2

7. 7.1 f´(x) = 4x3 – 12x2 + 8x = 4x(x-1)(x-2). Jestliže vyřešíme nerovnici 4x(x-1)(x-2) > 0, dostaneme x ∈ (0,1) ∪ (2, ∞) . Z toho plyne,že intervalech (0,1 a (2,∞) je funkce rostoucí a v intervalech (-∞ , 0) a (1,2) je klesající.

7.2 f´(x) =3.(x2 – 2x -3) = 0 ; právě když x=3 nebo x= -1. Dále f´´(x)=6.(x-1) ; f(3) = 12 >0 a f(-1) = -12 <0; takže v bodě -1 má lokální maximum a v bodě 3 lokální minimum. 7.3 maximum pro x = -1 ; minimum pro x = 3 2x 7.4 lim 2 =2 x →1 3 x − 4 x + 2 7.5 Hledaná funkce je y = x.(60 – 2x).(28 – 2x), kde x je výška krabice a y je objem krabice. Daná funkce nabývá maxima pro x = 6; odstřihnuté čtverce mají stranu 6 cm.

62

š. kapitola – Základy integrálního počtu

63

ZÁKLADY INTEGRÁLNÍHO POČTU Cílem kapitoly je seznámit se základy integrálního počtu, s pojmem primitivní funkce, výpočtem určitého integrálu a jeho využití při výpočtech obsahů ploch a objemů rotačních těles.

Zopakujte si z matematiky II, III

•

Grafy funkcí

•

Rovinné obrazce

•

Tělesa, objemy těles

Tři základní věci jsou potřebné k dosažení něčeho cenného: tvrdá práce, vytrvalost a zdravý rozum. Edison

Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 6 hodin teoretická příprava a 15 hodin řešení úloh 3.1 Primitivní funkce, neurčitý integrál Klíčová slova: PRIMITIVNÍ FUNKCE, NEURČITÝ INTEGRÁL, URČITÝ INTEGRÁL Primitivní funkce

V předchozí kapitole jsme se naučili derivovat, kdy jsme k dané funkci hledali derivovanou funkci. Nyní se budeme zabývat řešením úlohy v opačném směru, z derivované funkce určit funkci výchozí. Tato funkce se, a to nejen v matematice, hledá velmi často a jmenuje se primitivní funkce. Funkci F nazveme primitivní funkcí k funkci f v intervalu (a,b) jestliže F´(x) = f(x) pro všechna x ∈ (a,b). Tak např. funkce F(x) = x6 je primitivní funkcí k funkci f = 6x5 v R, protože v R platí: F´(x) = [x6]' = 6x5 = f(x). Volně a nepřesně řečeno: Primitivní funkcí k dané funkci je tedy funkce, kterou když derivujeme, dostaneme danou funkci. Příklad 1. Najděte primitivní funkci F k funkci f: y = 3x2 - 2x v R.. Řešení: Jednoduše přijdeme na to, že člen 3x2 vznikl derivací x3 a člen 2x derivací x2. Primitivní funkcí tedy bude: F(x) = x3 - x2.

Derivováním se vždy můžeme přesvědčit o správnosti nalezené primitivní funkce. Derivací primitivní funkce musí být původně zadaná funkce. To samozřejmě platí: F´(x) = [x3 - x2]´ = 3x2 - 2x.

Primitivní funkce

(20)

64

Ale co kdyby někdo prohlásil, že primitivní funkcí k dané funkci f je také funkce G(x) = x3 - x2 + 1, protože: G´(x) = [x3 - x2 + 1]´ = 3x2 - 2x = f(x). Samozřejmě má pravdu. Navíc to platí nejen pro jedničku, ale pro jakoukoliv konstantu C, protože po derivování "zmizí" (derivace konstanty je nula). Výsledek: Množinou všech primitivních funkcí k funkci f: y = 3x2 - 2x je funkce F: y = x3 - x2 + C.

Platí tedy: Je-li funkce F primitivní funkcí k funkci f, pak každá další primitivní funkce k funkci f má tvar F(x) + C, kde C je reálná konstanta.

(21)

Neurčitý integrál Neurčitý integrál

Operaci, kterou určujeme primitivní funkci F(x) + C k dané funkci f(x) , nazýváme integrováním (inverzní operace k derivování). Integraci funkce f(x) zapisujeme: ∫ f ( x)dx = F(x) + C, kde se symbol

∫ f ( x)dx

nazývá neurčitý integrál a představuje množinu

všech primitivních funkcí F(x) + C. ∫ se nazývá integrační znak, f(x) integrand, dx (diferenciál x) označuje integrační proměnnou a C je integrační konstanta. Zadání Příkladu 1. ( Najděte primitivní funkci F k funkci f: y = 3x2 - 2x ) bychom mohli pomocí nových pojmů přeformulovat takto: Integrujte funkci f: y = 3x2 - 2x. Zapíšeme: ∫ (3x 2 − 2 x) dx Výsledek, který jsme získali ( Množina všech primitivních funkcí F je y = x3 - x2 + C ) zapíšeme:

∫ (3x

− 2 x) dx = x 3 − x 2 + C

2

Integrování funkcí

Z pravidel pro derivování elementárních funkcí (2. kapitola) lze odvodit odpovídající pravidla integrování elementárních funkcí: Pravidla pro integrování

∫ a dx = ax + c a je lib. konstanta

n ∫ x dx =

1

∫ sin x dx = − cos x + c

∫ x dx = ln x + c pro x ≠ 0 ∫ cos x dx = sin x + c 1

∫ cos

2

x

dx = tg x + c

x n +1 + c pro n ≠ −1 n +1

∫e

x

ax ∫ a dx = ln a + c

dx = e + c

x

x

1

∫ sin

2

x

dx = − cotg x + c

(23)

(22)


65

Můžeme dokázat také platnost věty o integraci součtu a rozdílu funkcí:

∫ c. f ( x)dx = c.∫ f ( x)dx

konstantu v součinu lze vytknout před integrál

∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

v součtu integrujeme jednotlivé sčítance

∫ ( f ( x) − g ( x))dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx

v rozdílu integrujeme jednotlivé členy

(24)

POZOR !!! Pravidlo pro integraci součinu a podílu nemáme.

Nyní si ukažme uvedená pravidla na příkladech: Příklad 2. Vypočtěte integrály daných funkcí: x2 a) ∫ x 3 + x 2 + 1 dx b) ∫ dx x

(

e)

)

1⎞ x 2 − 5x + 6 ⎛ ∫ x − 3 dx f) ∫ ⎜⎝ 4 + x ⎟⎠dx

c)

g)

2 ∫ x (x − 2)dx

∫ (3e

x

d)

)

x 2 − 2x ∫ x dx

+ 2 sin x − 2 x dx h)

sin 2 x ∫ cos 2 x dx

Řešení: V příkladech obsahujících součin popř. mocninu, podíl, nejprve provedeme příslušné operace a potom integrujeme člen po členu. Výpočty neurčitého integrálu

a) Použijeme pravidla (24) :

∫ (x

3

)

+ x 2 + 1 dx = ∫ x 3 dx + ∫ x 2 dx + ∫ 1dx =

Dále použijeme pravidla (23) pro integraci elementárních funkcí : x4 x3 = + +x+c 4 3 b) Integrovaná funkce je podílem dvou mocnin o základu x. Nejprve upravíme na 1 mocninu (odmocninu převedeme na mocninu): x2

3

1

= x2 : x 2 = x 2

x Dále použijeme pravidla (23) pro integraci elementárních funkcí : 3 2

3

+1

5

5

x2 x2 2 x dx = + c = + c = x2 + c ∫ 3 5 5 +1 2 2

66

Výpočty neurčitého integrálu

c) Integrovaná funkce je součinem dvou funkcí. Nejprve roznásobíme.

∫ x (x − 2)dx = ∫ (x 2

3

)

− 2 x 2 dx

Dále použijeme pravidla (24) a (23) pro integraci elementárních funkcí :

∫ (x

3

− 2 x 2 )dx = ∫ x 3 dx − 2∫ x 2 dx =

x4 x3 x4 2 3 −2 +c = − x +c 4 3 4 3

d) Integrovaná funkce je podílem dvou funkcí. Nejprve převedeme na rozdíl. x 2 − 2x x2 2x dx = ∫ x ∫ x dx − ∫ x dx = ∫ x dx − ∫ 2 dx = Dále použijeme pravidla (22) pro integraci elementárních funkcí : x2 − 2x + c 2

=

e) Integrovaná funkce je podílem dvou funkcí. Nejprve provedeme operaci dělení:. (x − 3)(. x − 2) x 2 − 5x + 6 ∫ x − 3 dx = ∫ x − 3 dx = ∫ (x − 2)dx = Dále použijeme pravidla (23) pro integraci elementárních funkcí : x2 − 2x + c 2

=

f) Použijeme pravidla (24) : ⎛

1⎞

1

∫ ⎜⎝ 4 + x ⎟⎠dx = ∫ 4dx + ∫ x dx = Dále použijeme pravidla (23) pro integraci elementárních funkcí :

= 4 x + ln x + c g) Použijeme pravidla (24) :

∫ (3e

x

)

+ 2 sin x − 2 x dx = 3∫ e x dx + 2 ∫ sin x dx − ∫ 2 x dx =

Dále použijeme pravidla (23) pro integraci elementárních funkcí : = 3.e x − 2. cos x −

2x +c ln 2


67

h) Nejdříve upravíme výraz do součtového tvaru: ⎛ 1 sin 2 x 1 − cos 2 x cos 2 ⎜ ∫ cos 2 x dx = ∫ cos 2 x dx = ∫ ⎜⎝ cos 2 x − cos 2

x⎞ 1 ⎟⎟dx = ∫ dx − ∫ 1dx = x⎠ cos 2 x

Dále použijeme pravidla (23) pro integraci elementárních funkcí :

= tg x − x + c Úloha 1. Vypočtěte integrály daných funkcí:

a)

∫ (3x + 5)dx

e)

1 ∫ sin 2 x. cos 2 x dx

b)

∫ (x

2

)(

)

f)

x2 − x − 2 ∫ x + 1 dx

+ 1 x 2 − 3 dx

c)

∫

x −1 x

dx d)

cos 2 x dx 2 x

∫ sin

1 2 g) ∫ 2(e x + )dx h) ∫ (x 2 + 1 ) dx x

Průvodce studiem. Pro výpočet integrálů složitějších funkcí slouží celá řada integračních metod. Uvedeme zde dvě nejdůležitější - metodu per partes a metodu substituční.

Per partes

Metoda per partes - integrace po částech - vychází z derivace součinu funkcí: (uv)´ = u´v + uv´ Odtud dostáváme: u.v = ∫ u ′.v dx + ∫ u.v ′ dx Vyjádříme-li první integrál dostáváme výsledný vztah:

∫ u ′v dx = u.v − ∫ u.v′ dx Metodu použijeme pro integraci součinu dvou funkcí, kdy není možno roznásobit, případně u funkcí, které neumíme integrovat pomocí pravidel (23).

Metoda

(25) per partes

68

Příklad 3. Metodou per partes integrujte dané funkce.

a)

∫ x.e

x

dx

b)

∫ ln x dx

c)

∫ x. ln x dx

Řešení:

Při řešení je nutné vhodně zvolit funkce u ′ a v . Při volbě je třeba vzít v úvahu, že je nutné se zbavit součinu (z funkce „udělat“ konstantu) případně funkce, kterou neumím integrovat. a) vhodně zvolíme u ′ a v a k nim najdeme u a v ′ u′ = e x v=x

u = ∫ e x dx = e x v′ = 1

Dosadíme do pravidla (25) :

∫ x.e

x

dx = x.e x − ∫ e x dx = x.e x − e x + c

b) vhodně zvolíme u ′ a v a k nim najdeme u a v ′ u′ = 1

u = ∫ 1dx = x

1 x Dosadíme do pravidla (25) : v = ln x

v′ =

1

∫ ln x dx = x. ln x − ∫ x. x dx = x. ln x − ∫ 1dx = x. ln x − x + c c) vhodně zvolíme u ′ a v a k nim najdeme u a v ′ u′ = x

u = ∫ xdx =

v = ln x

v′ =

x2 2

1 x

Dosadíme do pravidla (25) :

∫ x. ln x dx =

x2 x x2 x2 x2 x2 1 +c . ln x − ∫ dx = . ln x − . ln x − ∫ . dx = 2 2 2 4 2 2 x

Úloha 2.

Metodou per partes vypočtěte integrál

∫ x. sin x dx .


69

Substituční metoda

Tato metoda umožňuje zavedením nové, pomocné proměnné převést integrovanou funkci na funkci, kterou lze integrovat snadněji. Přesněji to můžeme formulovat takto: Složenou funkci f(g(x)) zavedením pomocné proměnné t = g(x) převedeme na funkci f(t) a diferenciál dx vyjádříme pomocí diferenciálu dt. Vzniklý jednodušší integrál proměnné t vypočítáme a nakonec se opět vrátíme k původní proměnné x.

∫ f ( g ( x)).g ′( x) dx = ∫ f (t ) dt ,

kde t = g(x)

(26)

Na příkladech si ukážeme použití této metody. Příklad 4. Uplatněním substituční metody vypočtěte dané integrály.

a)

∫ (2 x − 3) dx 5

b) ∫ sin 2 x dx

c) ∫ 2 x( x 2 + 4) 6 dx Substituční metoda

Řešení:

a) Zkusme zavést neznámou t = 2x - 3. Potom t´ = 2 . dt . Tento zápis dx přesněji vyjadřuje co derivujeme (t) a podle jaké proměnné (x). dt Po dosazení za t ′ = 2. dx dt Z této rovnice můžeme vyjádřit dx = . 2 Potom již můžeme dosadit do původního integrálu. 1 5 1 t6 1 5 5 dt ( ) 2 3 . . + c = t6 + c = x − dx = t = t dt = ∫ ∫ 2 2∫ 2 6 12 A nakonec se vrátíme zpět k proměnné x: Derivaci t´ můžeme zapsat také jako podíl diferenciálů t ′ =

=

1 (2 x − 3)6 + c 12

Zkouška: [

1 1 .(2x - 3)6 + c]' = 6. .(2x - 3)5.2 = (2x - 3) 5 12 12

Výsledek:

∫ (2 x − 3)

5

dx =

1 (2 x − 3) 6 + c 12

70

b) Zkusme zavést neznámou t = 2x. Potom t´ = 2 . Derivaci t´ můžeme zapíšeme jako podíl diferenciálů t ′ =

dt dt . Tedy = 2. dx dx

dt . 2 Potom již můžeme dosadit do původního integrálu. dt 1 1 cos t ∫ sin 2 x dx = ∫ sin t. 2 = 2 ∫ sin tdt = 2 .(− cos t ) + c = − 2 + c = A nakonec se vrátíme zpět k proměnné x: Z této rovnice můžeme vyjádřit dx =

=−

cos 2 x +c 2

Zkouška: [ −

cos 2 x 1 + c]' = − .(- sin 2x) .2 = sin 2x 2 2

∫ sin 2 xdx = −

Výsledek:

cos 2 x +c 2

c) Zavedeme neznámou t = x2+ 4. Potom t´ = 2x . Derivaci t´ můžeme zapsat také jako podíl diferenciálů t ′ = dt = 2x . dx Z této rovnice můžeme vyjádřit 2 xdx = dt . Potom již můžeme dosadit do původního integrálu. 6 6 1 t7 4 4 6 2 4 4 2 x ( x + ) dx = ( x + ) xdx = t dt = + c = t7 + c = ∫ ∫ ∫ 7 7 A nakonec se vrátíme zpět k proměnné x: Tedy

=

(

)

7 1 2 x +4 +c 7

Zkouška: [

7 6 6 1 2 1 x + 4 + c ]' = 7. x 2 + 4 2x = (x 2 + 4 ) 2 x 7 7

Výsledek:

∫ 2 x( x

(

)

2

(

+ 4) 6 dx =

)

1 2 ( x + 4) 7 + c 7

Úloha 3. Uplatněním substituční metody vypočtěte následující integrály.

a)

∫ cos 4 x dx

b)

∫e

3 x +1

dx

3x 2 c) ∫ dx 1 + x3

dt . dx


71

3.2 Určitý integrál

Ke každé funkci spojité v intervalu a, b existuje primitivní funkce v tomto intervalu. Pomocí primitivní funkce je definován tzv. určitý integrál a umožňuje řešit řadu úloh např. na výpočet obsahu rovinných útvarů a objemu rotačních těles. Nechť F je primitivní funkcí k funkci f v intervalu I. Potom rozdíl F(b) - F(a) funkčních hodnot funkce F v libovolných bodech a,b tohoto intervalu se nazývá Newtonův určitý integrál funkce f v mezích od a do b a značí se: b

∫ f (x ) dx

Newtonův neurčitý integrál

a

číslo a se nazývá dolní mez, číslo b horní mez integrálu, funkce f integrand, dx diferenciál x označující integrační proměnnou. Platí tedy: b

∫ f ( x) dx = F (b) − F (a)

(27)

a

Určitý integrál je na rozdíl od neurčitého integrálu jednoznačně definované reálné číslo. Příklad 5. 3

Vypočtěte určitý integrál

∫ x dx . 1

Řešení: Najdeme primitivní funkci k y =x x2 F(x) = 2

Dosadíme do vzorce (27) 3

3 2 12 9 1 8 ∫1 x dx = F (3) − F (1) = 2 − 2 = 2 − 2 = 2 = 4 3

Výsledek:

∫ x dx = 4 1

Úloha 4.

Vypočtěte integrály: 1

a)

∫ (2 x

−2

3

)

+ 3 x − 4 dx

4

b)

∫ 1

x +1 dx x

2

c)

∫ (x 1

2

)

2

+ 1 dx

72

1.3 Aplikace určitého integrálu

Pomocí integrálního počtu je možné vypočítat obsah rovinných útvarů, objemy rotačních těles a délky rovinných křivek. Velké uplatnění má určitý integrál také ve fyzice a chemii. Zde uvedeme příklad výpočtu obsahu plochy a objemu rotačního tělesa . 3.3.1 Obsah rovinného útvaru Pokud se jedná o rovinný útvar omezený osou x, přímkami x = a , x = b a grafem spojité, nezáporné funkce y = f(x), pak jeho obsah lze vypočítat určitým integrálem. Výpočet obsahu plochy

Mějme dánu spojitou a nezápornou funkci f v intervalu .Potom udává b

určitý integrál

∫ f ( x)dx

obsah útvaru U (na obrázku) ohraničeného grafem

a

funkce f, osou x a přímkami x = a , x = b. b

Tedy: S(U) =

∫ f ( x)dx a

Pokud funkce y = f(x) v intervalu a, b nabývá pouze nekladných hodnot, pak vypočteme absolutní hodnotu příslušného určitého integrálu: b

S(U) =

∫ a

b

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx a

Jestliže funkce y = f(x) nabývá v intervalu a, b jak kladných, tak i záporných hodnot, potom tento interval rozdělíme na dílčí intervaly, ve kterých funkce nabývá pouze nekladných hodnot resp. nezáporných hodnot a vypočteme obsahy podle předcházejících úvah. Příklad 6.

Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkou y = x2 - 1 , osou x a přímkami x = - 2 , x = 3. Řešení: Znázorníme graficky danou situaci (viz Obr.11). Obr.11

Funkce y = x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) protíná osu x v bodech x = -1, x = 1 a je v intervalech − 2,−1 a 1,3 nezáporná a v intervalu − 1,1 nekladná. Rozdělíme proto interval − 2,3 na tři dílčí intervaly a obsahy dílčích útvarů U1, U2, U3 sečteme.


73

S(U) = S(U1) + S(U2) + S(U3) = −1

(

)

= ∫ x − 1 dx + 2

−2

1

∫ (x

−1

2

)

3

− 1 dx + ∫ 1

−1

3

1

⎡ x3 ⎤ ⎡ x3 ⎤ ⎡ x3 ⎤ x − 1 dx = ⎢ − x⎥ + ⎢ − x⎥ + ⎢ − x⎥ = ⎣3 ⎦ −2 ⎣ 3 ⎦ −1 ⎣ 3 ⎦1

(

2

)

= ⎛ 1 ⎛ 8 ⎞⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 27 ⎛ 1 ⎞ 4 4 20 28 2 j ⎜⎜ − + 1 − ⎜ − + 2 ⎟ ⎟⎟ + − 1 − ⎜ − + 1⎟ + − 3 − ⎜ − 1⎟ = + + = 3 ⎝ 3 ⎠⎠ 3 ⎝ 3 ⎠ 3 ⎝3 ⎠ 3 3 3 ⎝ 3

Výsledek: Obsah útvaru je

28 2 j. 3

Je-li rovinný útvar ohraničený dvěma křivkami y = f(x) shora a y = g(x) zdola (f, g jsou spojité funkce a platí g(x) f(x) - viz obrázek), potom pro jeho obsah platí: S (U ) =

(28)

b

∫ [ f (x ) − g (x )] dx . a

Vztah platí i v případě, že některá z funkcí nabývá záporných hodnot (jako je tomu na obrázku u funkce g). Jestliže víme, že křivky y = f(x) , y = g(x) se v intervalu (a,b) neprotínají, nemusíme zjišťovat, zda f(x) > g(x) nebo f(x) < g(x). Vypočteme absolutní hodnotu z integrálu rozdílu funkcí: S (U ) =

b

b

a

a

∫ [ f (x ) − g (x )] dx = ∫ [g (x ) − f (x )] dx

Příklad 7. Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y = 3 - x2 , y = 2x. Řešení: Znázorníme graficky danou situaci (viz Obr.12).

Obr. 12

První křivkou je parabola a druhou je přímka. Abychom určili meze určitého integrálu, musíme zjistit průsečíky křivek.

74

Průsečíky grafů lze početně určit řešením soustavy rovnic:

y = 3 - x2 y = 2x

Řešíme rovnici: 3 - x2 = 2x f(x) = g(x) x2 + 2x - 3 = 0 x-ové souřadnice průsečíků jsou tedy x1 = - 3 ; x2 = 1 x1 = a x2 = b Obsah plochy vypočteme s využitím vztahu (28) 1

S (U ) = ∫

[(

−3

1

⎡ ⎤ x3 27 ⎞ 32 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ − 9⎟ = 3 − x − 2 x dx = ⎢3x − − x 2 ⎥ = ⎜ 3 − − 1⎟ − ⎜ − 9 + j 3 3 ⎠ 3 ⎣ ⎦ −3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2

)

]

Výsledek: Obsah útvaru je

32 2 j . 3

Průvodce studiem. Nyní si zkuste vyřešit následující úlohu. Vždy vyjděte z grafické představy. K tomu je nutné znát grafy elementárních funkcí připomeňte si je z Matematiky II.

Úloha 4.

Určete obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí: a) y = 5 – x , osou x a přímkami x = 1 ; x = 4 b) y = 4 – x2 ; y =0 c) y = x ; y =2 – x2

Část pro zájemce.

a) Zkuste si sami nadefinovat plochu a vypočtěte její obsah. b) Ověřte platnost některých vzorců pro výpočet obsahu obrazců. Své propočty můžete svému tutorovi k prověření jejich správnosti,


75

3.3.2 Objem rotačního tělesa Necháme-li rovinný útvar rotovat kolem osy x, vznikne rotační těleso, jehož objem můžeme vypočítat pomocí určitého integrálu. Nechť rotační těleso vznikne rotací křivky y = f(x) kolem osy x (f je nezáporná spojitá funkce) v intervalu a, b na ose x, potom jeho objem V vypočteme podle vztahu: b

V =π∫ f

2

Výpočet objemu rotačních těles

(x ) dx

a

Pokud rotační těleso vznikne rotací křivky x = f(y) kolem osy y (f je nezáporná spojitá funkce) v intervalu a, b na ose y, potom jeho objem V vypočteme podle vztahu: b

V =π∫ f

2

(29)

( y ) dy

a

Příklad 8. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu rotačního kuželu s poloměrem podstavy r a výškou v. Řešení: Znázorníme graficky danou situaci (viz Obr.12). Obr. 12

Funkce f je přímka určená body [0,0] a [v,r]. Její směrový vektor má souřadnice (v,r) a normálový vektor (r, -v). Rovnice přímky je tedy rx - vy = 0. rx Vyjádříme y: y = v Přímku bereme v intervalu 0, v , jehož krajní hodnoty jsou také meze určitého integrálu.

Dosazením do (29) dostáváme: 2

v

v r2 r 2 ⎡ x3 ⎤ r 2 v3 r 2 .v 3 ⎛r ⎞ V = π ∫ ⎜ x ⎟ dx =π 2 ∫ x 2 dx = π 2 ⎢ ⎥ = π 2 j =π v ⎠ 3 v 0 v ⎣ 3 ⎦0 v 3 0⎝ v

Výsledek: Objem rotačního kuželu udává vzorec: V =

π r 2v 3

j3

Úloha 5.

Vypočtěte objem rotačního tělesa vzniklého rotací dané plochy kolem dané osy: y=x–1;x=1;x=4 rotace kolem osy x

76

Korespondenční úkol 3.

1. Vypočtěte integrály daných funkcí: a)

d)

∫

x2 −1 dx x

b)

∫

x 3 − 27 dx x−3

e)

x dx

c)

∫ (2

2 ∫ (2 x + 5) ) dx

f)

∫ sin

∫ tg

2

x

)

− e x dx

cos 2 x dx 2 x

. 2. Uplatněním substituční metody a metody per partes vypočtěte dané integrály.: a) ∫ x. cos x dx

x b) ∫ 5 x.e dx

d) ∫ 3 5 x − 2 dx

e)

10 ∫ (2 x + 7 )

dx

c)

∫ sin (5 x − 1)dx

f)

∫ sin

1 2

3x

dx

3. Určete obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí: y = sin x , y = 0 , x = 0 , x = π 4. Vypočtěte objem rotačního tělesa které vznikne rotací dané křivky kolem osy x. a) y = sin x x ∈ 0, π

b) y = x 2 x ∈ 0,1

Část pro zájemce. Uveďte alespoň tři možnosti uplatnění diferenciálního a integrálního počtu ve fyzice. Řešení pošlete svému tutorovi.

Shrnutí kapitoly. Kapitola seznamuje se základními pojmy integrálního počtu a jejich aplikace při řešení praktických úloh. Těsně navazuje na kapitolu Diferenciální počet a dává nástroje pro výpočty obsahů ploch a objemu rotačních těles. Kapitola se na středoškolské úrovni může zabývat jen jednoduššími případy a je třeba ji chápat jako úvod do dané problematiky. S komplexním pojetím se setkáte až na vysokých školách.


77


PRIMITIVNÍ FUNKCE NEURČITÝ INTEGRÁL NEWTONŮV URČITÝ INTEGRÁL INTEGRAČNÍ METODA METODA PER PARTES – INTEGROVÁNÍ PO ČÁSTECH SUBSTITUCE SUBSTITUČNÍ METODA INTEGRAČNÍ KONSTANTA

ŘEŠENÍ ÚLOH 1. a)

3 2 x + 5x + c 2

x5 2x3 b) ∫ (x − 2 x − 3)dx = − − 3x + c 5 3 4

2

1 − ⎞ ⎛ 12 2 x3 ⎜ c) ∫ ⎜ x − x 2 ⎟⎟ dx = −2 x +c 3 ⎝ ⎠ d) cos 2 x − sin 2 x 1 − 2 sin 2 x 1 dx = ∫ sin 2 x ∫ sin 2 x dx = ∫ sin 2 x dx − ∫ 2 dx = − cotg x − 2 x + c

e)

cos 2 x + sin 2 x 1 1 ∫ sin 2 x. cos 2 x dx =∫ sin 2 x dx + ∫ cos 2 x dx = − cotg x + tg x + c

f)

(x + 1)(. x − 2) = (x − 2) dx = ∫ ∫ x +1

x2 − 2x + c 2

g) 2.(e x + ln x ) + c

h) 2.

∫ (x

4

+ 2 x 2 + 1)dx =

x5 2x3 + +x+c 5 3

u = x v´=sin x ⇒ u´= 1 v = ∫ sin x dx = − cos x

podle (25) − x. cos x + ∫ cos x dx = − x. cos x + sin x + c

78

1

⎡ x 4 3x 2 ⎤ ⎛1 3 ⎞ 3. a) ⎢ + − 4 x ⎥ = ⎜ + − 4 ⎟ − (8 + 6 + 8) = −24 2 ⎠ ⎣ 2 ⎦ −2 ⎝ 2 2 4

⎡ 2 x3 ⎤ ⎛ 16 ⎞ ⎛2 ⎞ 20 + 2 x ⎥ = ⎜ + 4⎟ − ⎜ + 2⎟ = b) ⎢ ⎠ ⎝3 ⎠ 3 ⎢⎣ 3 ⎥⎦ 1 ⎝ 3 2

⎡ x5 2x3 ⎤ ⎛ 32 16 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ 178 + + x ⎥ = ⎜ + + 2 ⎟ − ⎜ + + 1⎟ = c) ⎢ 3 3 ⎠ ⎝ 5 3 ⎠ 15 ⎣ 5 ⎦1 ⎝ 5 4. a)

Znázorníme graficky danou situaci Obsah vyšrafované plochy: 4

⎡ x2 ⎤ 15 ∫1 (5 − x )dx = ⎢⎣5x − 2 ⎥⎦ = 2 1 4

b)

Znázorníme graficky danou situaci Obsah vyšrafované plochy: 2

⎡ x3 ⎤ 32 − = − 4 x dx 4 x ⎢ ⎥ = ∫−2 3 ⎦ −2 3 ⎣ 2

(

2

)

c) Znázorníme graficky danou situaci Výpočet průsečíků: x = 2 – x2 x2 + x – 2 = 0 x1 = -2 ; x2 = 1 Obsah vyšrafované plochy:

1

1

−2

−2

S= −

2

)

9 9 = 2 2 4

⎡ x3 ⎤ V = π ∫ ( x − 2) dx = ⎢ − 2 x 2 + 4 x ⎥ =3π ⎣3 ⎦1 1 4

5.

1

⎡ x3 ⎤ 9 x2 x + x − 2 dx = ⎢ + − 2 x⎥ = − 2 2 ⎣ 3 ⎦ −2

∫ (x − (2 − x ))dx = ∫ ( 2

2

4. kapitola – Důkazy v matematice

79

DŮKAZY V MATEMATICE Kapitola seznamuje s vybranými metodami důkazů v matematice. Má ilustrativní charakter s velkým počtem řešených příkladů. Zvláštní pozornost je věnována zejména důkazům tvrzení o přirozených číslech – matematické indukci.Je určena především zájemcům o hlubší studium matematických teorií Zopakujte si z matematiky I a II

•

Základy výrokové logiky

•

Číselné množiny

•

Úpravy výrazů

•

Řady a posloupnosti

Matematika je především krásná a naprosto dokonalá v tom smyslu, že její výsledky jsou zcela přesně formulovány a zcela exaktně dokazovány.

Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 3 hodiny teoretická příprava a 6 hodin řešení úloh

Průvodce studiem. Také máte pochybnosti, zda tvrzení v matematice jsou platné? Říkáte si, jak si mohou být jisti? Chcete najít metody, jak si ověřovat platnost matematických vět? Pokud ano, prostudujte tuto kapitolu.

4.1 Definice, věty, axiómy Klíčová slova: DEFINICE, AXIOMY, VĚTY , DŮKAZY

V matematice bývá dobrým zvykem, že se nově zaváděné pojmy definují pomocí pojmů již dříve zavedených. Právě v tom spočívá krása matematiky – vždy pouze rozšiřujeme své vědomosti (nového se učíme málo) a zároveň v tom je jistá potíž - dříve probrané pojmy nejsou dostatečně osvojeny, a proto i nové pojmy bývají „osvojeny“ pouze formálně. Příklady definic: Pravoúhlý trojúhelník je trojúhelník s pravým úhlem. Tečna kružnice je přímka mající s kružnicí jediný společný bod. n-tá odmocnina z nezáporného čísla a je takové nezáporné číslo x, pro které platí xn = a. V matematice ovšem existují základní (prvopočáteční, resp. primitivní) pojmy, jako jsou bod, přímka, rovina, množina aj. , které nezavádíme definicemi, neboť je nelze definovat pomocí pojmů jednodušších. Tyto pojmy

Axióm, Definice, Matematická věta

80

zavádíme axiómy, v nichž se tyto pojmy vyskytují spolu se vztahy, které jsou mezi nimi. Například: Dvěma různými body prochází jediná přímka. Mají-li dvě roviny společný bod, mají i společnou přímku.

Vlastnosti jednotlivých pojmů a vztahy mezi nimi se v matematice vyjadřují matematickými větami, tj. pravdivými výroky, jejichž obsah se týká matematiky. To, že nějaké tvrzení je matematickou větou, či nikoliv, lze logicky odvodit na základě definic, dříve uvedených ( dokázaných) vět a axiómů (axiómy se nedokazují). Proto než nějaké tvrzení prohlásíme za matematickou větu, musíme provést důkaz jeho pravdivosti. Protože dokazování matematických vět není zrovna snadnou záležitostí, většina matematických vět se ve vyučování matematice přijímá bez důkazů – jen na základě tvrzení vyučujícího či tvrzení učebnice. Úkol k textu. Vzpomeňte si na některé věty, které jste v matematice dokazovali!

Většina matematických vět má logickou strukturu implikace p ⇒ t , kde p je předpoklad věty a t je tvrzení věty; případně se dá na takový tvar (podmínkový tvar) převést. Příklad Věta 1 Jestliže jsou obrazce shodné, pak mají týž obsah. p

Obměněná implikace

⇒

t

K implikaci p ⇒ t existuje obměněná implikace : ¬ t ⇒ ¬ p a platí, že obě vyjadřují totéž : ( p ⇒ t ) ⇔ (¬ t ⇒ ¬ p ) . Věta 2 „Jestliže obrazce nemají týž obsah, pak nejsou shodné.“ ¬t Věta 2 říká totéž co Věta 1

⇒

¬p

Větu ¬ t ⇒ ¬ p nazýváme obměněnou větou věty negativním vyslovením věty

p ⇒ t , případně

Úkol k textu. Dokažte ekvivalentnost implikace a její obměněné formy; tj. že složený výrok ( p ⇒ q ) ⇔ (¬q ⇒ ¬p ) je tautologicky pravdivý .


81

4.2 Typy důkazů v matematice Klíčová slova:

DŮKAZ PŘÍMÝ , NEPŘÍMÝ , DŮKAZ SPOREM ,

M ATEMATICKÁ

INDUKCE

Důkaz přímý je typ důkazu matematické věty ve tvaru implikace p ⇒ t . PRINCIP

spočívá ve vytváření řetězu pravdivých implikací p => p1 , p1 => p2 , …, pn => t z toho vyplývá, že platí p => t

Příklad 1. Dokažte, že platí tvrzení: ∀n ∈ N : n je sudé ⇒ n 2 je sudé . Řešení: Tato věta má tvar implikace a dokážeme ji přímo.

Vyjdeme z předpokladu, že n je sudé => existuje číslo k takové, že n = 2k => n2 = (2k)2 = 4k2 Závěr : 4k2 = 2. (2k2) => je dělitelné 2, je tedy sudé. Což jsme měli dokázat. Příklad 2. Dokažte, že platí tvrzení: ∀n ∈ N : n je liché ⇒ n 2 je liché . Řešení: Tato věta je implikace a dokážeme ji přímo.

Vyjdeme z předpokladu, že n je liché => existuje číslo k takové, že n = 2k + 1 => n2 = (2k+1)2 = 4k2+ 4k + 1= 2(2k2+2k)+1 Závěr : 2(2k2+2k)+1 => při dělení 2 dává zbytek 1, je tedy liché. Což jsme měli dokázat. Příklad 3. Víme, že jsou pravdivé implikace A ⇒ C , B ⇒ ¬C , ¬D ⇒ B, D ⇒ E . Dokažte přímo, že platí A ⇒ E . Řešení: Větu dokážeme přímo. Vyjdeme z implikace A ⇒ C Implikaci B ⇒ ¬C nahradíme obměněnou implikací C

⇒ ¬B Implikaci ¬D ⇒ B nahradíme obměněnou implikací ¬B ⇒ D V závěru použijeme implikaci D ⇒ E Závěr: A ⇒ C ∧ C ⇒ ¬B ∧ ¬B ⇒ D ∧ D ⇒ E z toho plyne A ⇒ E

Přímý důkaz

82

Nepřímý důkaz

Důkaz nepřímý je typ důkazu matematické věty ve tvaru implikace p ⇒ t . PRINCIP

spočívá v přímém důkazu obměněné implikace . Implikaci p ⇒ t nahradíme obměněnou implikací ¬ t ⇒ ¬p , která je s ní ekvivalentní Obměněnou implikaci dokážeme ¬ t => p1 , p1 => p2 , …, pn => ¬p platí ¬ t ⇒ ¬p z toho vyplývá, že platí také p ⇒ t

Příklad 4. Dokažte nepřímo, že platí tvrzení: ∀n ∈ N : n 2 je sudé ⇒ n je sudé . Řešení: Věta má tvar implikace a dokážeme ji nepřímo.

Vyslovíme obměněnou implikaci ∀n ∈ N : n je liché ⇒ n 2 je liché A dokážeme ji přímo – viz Příklad 2. Závěr : Platí-li ∀n ∈ N : n je liché ⇒ n 2 je liché , pak platí také ∀n ∈ N : n 2 je sudé ⇒ n je sudé .Což jsme měli dokázat.

Příklad 5. Dokažte nepřímo, že platí tvrzení: ∀n ∈ N : n 2 je dělitelné 5 ⇒ n je dělitelné 5. Řešení: Věta má tvar implikace a dokážeme ji nepřímo.

Vyslovíme obměněnou implikaci ∀n ∈ N : n není dělitelné 5 ⇒ n 2 není dělitelné 5 A dokážeme ji přímo – viz Příklad 2. Když n není dělitelné 5 => dává při dělení 5 nenulový zbytek (1 nebo 2 nebo 3 nebo 4 ). Ö Ö Ö Ö

n = 5.n + 1......... n2 =(5n+1)2 = 25n2 + 10n + 1 = 5.( 5n2 +2n)+1 n = 5.n + 2......... n2 =(5n+2)2 = 25n2 + 20n + 4 = 5.( 5n2 +4n)+4 n = 5.n + 3......... n2 =(5n+3)2 = 25n2 + 30n + 9 = 5.( 5n2 +6n+1)+4 n = 5.n + 4 ........ n2 =(5n+4)2 = 25n2 + 40n + 16 = 5.( 5n2 +8n+3)+1

z vyjádření n2 je vidět, že také není dělitelné 5. Tím jsme dokázali,, že platí obměněná implikace = > platí také původní implikace, dokázali jsme platnost daného tvrzení.

Příklad 6. Víme, že platí implikace A ⇒ C , B ⇒ ¬C , ¬D ⇒ B, D ⇒ E . Dokažte nepřímo, že platí A ⇒ E . Řešení:

Větu dokážeme nepřímo, tzn. dokazujeme implikaci ¬E ⇒ ¬A


83

Vyjdeme z obměněné implikace ¬E ⇒ ¬D Pokračujeme implikacemi ¬D ⇒ B ∧ B ⇒ ¬C

¬ C ⇒ ¬A Takto jsme dokázali implikaci ¬ E ⇒ ¬A a tím také implikaci A ⇒ E Dokončíme obměněnou implikací

Důkaz sporem

PRINCIP

je typ důkazu matematické věty založený na skutečnosti, že ¬(¬A) = A

důkaz výroku V založíme na předpokladu, že platí negace daného tvrzení ¬V . Sestavíme řetěz pravdivých implikací ¬v ⇒ v1 ⇒ v 2 ⇒ v3 ⇒ ....v n ⇒ z a v závěru zjistíme, že výrok z neplatí. JAK POZNÁME, ŽE VÝROK „z“ NEPLATÍ ? a) z je ve sporu s předpokladem , b) z je zjevná matematická nepravda, např. že x2< 0, kde x ∈ R , c) z je ve sporu s některým vi v řetězci implikací. Když z neplatí, pak z toho vyvodíme, že negace výroku V neplatí, takže musí platit výrok V.

Příklad 7. Dokažte, že platí tvrzení: ∀n ∈ N : n 2 je sudé ⇒ n je sudé . Použijte metodu důkazu sporem. Řešení:

∃ n ∈ N : n 2 je sudé ∧ n je liché 4. 5 Z tvrzení „n je liché“ plyne n = 2k + 1 pro každé celé číslo k. 2 2 2 2 Potom vyjádříme n = (2k + 1) = 4k + 4k + 1 = 2.(2k + 2k ) + 1 . Z uvedeného vyjádření n2 vidíme, že není dělitelné 2, tzn. je liché číslo . Spor s předpokladem, že n2 je sudé číslo. Nejdříve negujeme dané tvrzení.

Neplatí negace ¬V => platí tvrzení V.

4 5

Při negaci tvrzení s obecným kvantifikátorem ∀ se tento změní na existenční Liché číslo při dělení dvěma dává zbytek 1.

∃ a obráceně.

Důkaz sporem

84

Příklad 8. Dokažte, že platí tvrzení: 5 ∉ Q …odmocnina z pěti není racionální číslo. Použijte metodu důkazu sporem. Řešení: Nejdříve negujeme dané tvrzení a obdržíme

5 ∈ Q =>

5=

p kde p, q jsou q

nesoudělná. Předpoklad Vytvoříme řetěz implikací (upravujeme následující vztah).

5.q = p 5.q 2 = p 2

Umocníme na druhou. Z tohoto řádku plyne, že p2 je dělitelné 5. Dle příkladu 5 plyne, že také p je dělitelné 5. Pak existuje celé číslo „k“ tak, že p=5k. Dosadíme do poslední úpravy vztahu.

5.q 2 = (5k ) 2 5.q 2 = 25k 2 q 2 = 5k 2

Dělíme 5. Z tohoto řádku plyne, že q2 je dělitelné 5. Dle příkladu 5 plyne, že také q je dělitelné 5.

Závěr: p i q jsou dělitelné 5 => mají společného dělitele 5 => p, q jsou soudělná

Dokázali jsme, že neplatí tvrzení

Spor s předpokladem 5 ∈ Q => platí tedy 5 ∉ Q

Část pro zájemce. Podle příkladu 5 dokažte tvrzení ∀n ∈ N : n 2 je dělitelné 3 ⇒ n je dělitelné 3.

Podle příkladu 8 dokažte tvrzení, že

3 ∉Q

Výsledné řešení odešlete tutorovi k prověření.

Důkaz matematickou indukcí

Důkaz matematickou indukcí používá se pro důkaz tvrzení o přirozených číslech PRINCIP

Metoda důkazu spočívá ve dvou krocích: I. Dokážeme, že tvrzení platí pro konkrétní přirozené číslo n0 (nejčastěji n0=1). II. Dokážeme, že tvrzení platí pro libovolné dvě po sobě následující přirozená čísla, a to takto: předpokládáme, že tvrzení platí pro k ≥ n0 (indukční předpoklad) a na základě tohoto předpokladu dokážeme, že platí pro následující přirozené číslo k+1. Krok I. se nazývá základ indukce a II. je tzv. indukční krok. Spojení kroků I. a II. tvoří myšlenkový základ důkazu matematickou indukcí. Platí-li základ indukce a indukční krok, pak to platí pro všechny přirozená čísla počínaje n0. Platí-li tvrzení dle I. pro n0=1, pak podle II. platí i pro následující přirozené číslo 2. Platí-li pro číslo 2, platí také pro 3 atd. Tím je dokázáno, že platí pro všechna přirozená čísla.


85

Příklad 9. Dokažte užitím matematické indukce následující tvrzení.

a) Pro každé přirozené n platí,že n3 + 5n je dělitelné 6. b) Pro každé přirozené n platí,že 4n + 5 je dělitelné 3. n(n + 1) c) Pro každé přirozené n platí,že 1+2+3+ ...+ n = . 2 d) Pro každé přirozené n platí,že 1+3+5+ ...+(2n+1) = (n + 1)2. Řešení:

a) I. krok ověříme platnost pro n0=1 : 13 + 5.1 = 6 je dělitelné 6 II. krok ověříme platnost tvrzení pro dvojici po sobě jdoucích přirozených čísel : k3 + 5.k je dělitelné 6 předpokládáme, že platí pro přirozené číslo n = k ≥ n0 ; na základě předpokladu dokážeme platnost tvrzení pro n = k + 1 ,

(k+1)3 + 5.(k+1) =

upravíme tak, abychom mohli využít předpoklad

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 5k + 5 = ( k3 + 5k) + (3k2 + 3k) + 6 = = ( k3 + 5k) + 3k(k + 1) + 6 Člen k3 + 5k je dělitelný 6 dle předpokladu. Člen 3k(k + 1) je dělitelný 3, protože jeden z činitelů je 3 a je dělitelný 2 protože jeden z činitelů k , k+1 je sudý, takže je dělitelný 6, protože je dělitelný 2 a 3. Člen 6 je dělitelný 6.

Závěr: z kroku I a II. plyne, že tvrzení platí pro všechna přirozená čísla.

b) I. krok ověříme platnost pro n0=1 : 41 + 5 = 9 je dělitelné 3 II. krok ověříme platnost tvrzení pro dvojici sobě jdoucích přirozených čísel : 4k + 5 je dělitelné 3 předpokládáme, že platí pro přirozené číslo n = k ≥ n0; na základě předpokladu dokážeme platnost tvrzení pro n = k + 1 ,

4 k+1 + 5 =


= 4k.41 + 5 = 4k.( 3+ 1) + 5 = 3.4k + 1. 4 k. + 5 =

86

= 3.4k + ( 4 k. + 5) Člen 4 k. + 5 je dělitelný 3 dle předpokladu. Člen 3.4k

je dělitelný 3, protože jeden z činitelů je 3.


c) I. krok ověříme platnost pro n0 = 1 : Na levé straně dokazované rovnosti je řada začínající 1 a končící n (tzn. v tomto případě 1);

1 =

1.(1 + 1) 2

=> 1 = 1 tvrzení platí

II. krok ověříme platnost tvrzení pro dvojici sobě jdoucích přirozených čísel : 1 + 2 + 3 + … +k =

k .(k + 1) předpokládáme, že platí pro přirozené číslo n = k ≥ n0 ; 2

na základě předpokladu dokážeme platnost tvrzení pro n = k + 1 ,

1+ 2 + 3 + …+(k+1) =


=1+ 2 + 3 + …+ k +(k+1) = =

k .(k + 1) + (k + 1) = 2

k .(k + 1) + 2.(k + 1) (k + 1).(k + 2) (k + 1).[(k + 1) + 1] …platí pro n = k+1. = = 2 2 2


d) I. krok ověříme platnost pro n0=1 : Na levé straně dokazované rovnosti je řada začínající 1 a končící 2n+1 (tzn. v tomto případě 2.1+1=3); 1 + 3 = (1 + 1)2 => 4 = 4 tvrzení platí

II. krok ověříme platnost tvrzení pro dvojici po sobě jdoucích přirozených čísel : 1 + 3 + 5 + … +(2k + 1) =(k + 1)2 předpokládáme, že platí pro přirozené číslo na základě předpokladu dokážeme platnost tvrzení pro n = k + 1 ,

1+ 3 + 5+ …+(2(k+1)+1) =

n = k ≥ n0;


=1+ 3 + 5+ …+(2k + 1) + (2(k+1)+1) = (k + 1)2 + (2(k+1)+1) = = k2 + 2k + 1 + 2k + 3 = k2 +4k + 4 = (k + 2)2 = ((k+1)+1)2…platí pro n = k+1 Závěr: z kroku I. a II. plyne, že tvrzení platí pro všechna přirozená čísla.


87

Část pro zájemce. Podle příkladu 9a) dokažte tvrzení ∀n ∈ N : n 5 + 4n je dělitelné 5 . Podle příkladu 9b) dokažte tvrzení, že 2 4 n +3 − 3 je dělitelné 5 . n(n + 1)(2n + 1) . Podle příkladu 9c) dokažte tvrzení, že 12 + 22 + 32 + …+ n2 = 6 Výsledné řešení odešlete tutorovi k prověření.

Úkol k zamyšlení. Zamyslete se nad smyslem matematických důkazů. Myslíte, že jsou nutné?

Shrnutí kapitoly. Kapitola ukázala některé postupy při dokazování matematických tvrzení. Učivo je chápáno jako doplněk, a proto tato kapitola neobsahovala povinné úkoly a není ukončena korespondenčním úkolem. Přesto se mi zdálo vhodné se této problematiky v semináři dotknout.

88

POUŽITÉ SYMBOLY:

Příklad s podrobným řešením Úkol k textu Úkol k zamyšlení Část pro zájemce Korespondenční úkol Souhrn na konci kapitoly Otázky k textu Samostatně řešená úloha s kontrolním řešením na konci kapitoly Průvodce studiem marginálie

Informační text na vnějším okraji Doporučená literatura Kontrolní řešení na konci každé kapitoly

89

POUŽITÉ ZKRATKY: N R x∈N A∧ B A∨ B A⇒ B ¬A ∀x ∈ R A(m.n )

množina přirozených čísel množina reálných čísel x náleží množině přirozených čísel konjunkce výroků A, B disjunkce výroků A, B implikace výroků A, B negace výroku A pro všechna reálná čísla x matice typu (m,n) – má m řádků a n sloupců

A A|b h(A) det(A) DS |Aik| A-1 AT ~ A y´ y´´ f(g(x))

matice soustavy rozšířená matice soustavy hodnost matice determinant matice A determinant soustavy subdeterminant inverzní matice k matici A matice transponovaná adjungovaná matice derivace y druhá derivace y složená funkce z funkcí f, g

lim f ( x)

limita funkce f pro x blížící se k a

F(x)

primitivní funkce

∫ f ( x)dx

neurčitý integrál funkce f

x→a

b

∫ f ( x)dx a

určitý integrál funkce f od a do b

90

DOPORUČENÁ LITERATURA 1.

Čermák, P. : Odmaturuj z matematiky 1, Praha: Didaktis, 2004

2.

Boucník, P., Herman, J.: Odmaturuj z matematiky 3, Praha: Didaktis, 2004

3.

Polák, J.: Přehled středoškolské matematiky, Praha: Prometheus, 1991

4.

Polák, J.: Středoškolská matematika v úlohách I, Praha: Prometheus, 1996

5.

Polák, J.: Středoškolská matematika v úlohách II, Praha: Prometheus, 1999

6.

Kováčik, J. a kol.: Řešené příklady z matematiky pro střední školy, Praha: ASPI Publishing, 2001

7.

Petáková, J..: Matematika příprava k maturitě a přijímacím zkouškám na vysoké školy, Praha: Prometheus, 1998

8.

Riečan, B. ,Franek, M. : Úlohy z diferenciálního a integrálního počtu, Praha: SPN 1972

9.

Bušek, I.: Řešené maturitní úlohy z matematiky, Praha: SPN 1988

10.

Fichtěngolc,G.M. : Kurs diferencialnovo a integralnovo isčislenia, Moskva: FIZMATGIZ 1962

OBCHODNÍ AKADEMIE ORLOVÁ MATEMATICKÝ SEMINÁŘ U Č EBNÍ TEXT PRO DISTANČ NÍ FORMU VZDĚ LÁVÁNÍ ALENA Š T Ě RBOVÁ PAVEL KVĚ TOŇ

Recommend Documents