Nyugat-Magyarországi Egyetem Faipari Mérnöki Kar MŰSZAKI MECHANIKA III. KINEMATIKA, KINETIKA

Nyugat-Magyarországi Egyetem Faipari Mérnöki Kar

Dr. Szalai József egyetemi tanár

MŰSZAKI MECHANIKA III. KINEMATIKA, KINETIKA jegyzet a faipari-, könnyűipari-, erdőmérnök és környezetmérnök hallgatók számára.

Kézirat. Javított és átdolgozott kiadás Sopron, 2008.

2

Bírálók Dr. Roller Béla a műszaki tudomány doktora egyetemi tanár

Dr. Thamm Ffigyes a műszaki tudomány kandidátusa ny. egyetemi docens

Ezúton szeretnék köszönetet mondani Karácsonyi Zsolt doktorandusznak a jegyzet ábráinak bemásolásáért és Dr. Horváth-Szováti Gézánénak a Műszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet adminisztrátorának a jegyzet szakértő és gondos leírásáért. Sopron, 2008. január.

3

Tartalomjegyzék A tartalomjegyzék teljes anyaga az faipari MSC képzés Dinamika c. kötelező tantárgya. A félkövér betűkkel nyomtatott címszavak a faipari BSC képzés Mozgástan c. választható tárgyának anyagát jelölik. Oldal 1. Kinematika 1,2. A pont kinematikája 1.2.1. A mozgásfüggvény 1.2.2. A sebességfüggvény 1.2.3. A gyorsulásfüggvény 1.2.4. Kinematikai alapfeladatok 1.2.5. A kinematikai diagramok 1.2.6. A pont speciális mozgásai 1.2.6.1. Egyenesvonalú mozgások 1.2.6.2. Síkmozgások 1.2.6.3. Térmozgások 1.3. A merev test kinematikája 1.3.1. A merevségi feltételből következő kötöttségek 1.3.2. A merev test mozgásállapota 1.3.3. A sebességállapot 1.3.4. Az elemi mozgások csoportosítása 1.3.5. Mozgásrendszerek 1.3.6. A gyorsulásállapot 1.3.7. Véges mozgások 1.3.7.1. Véges haladó mozgás 1.3.7.2. Véges forgómozgások 1.3.7.3. Véges csavarmozgás 1.3.7.4. Általános véges mozgás 1.4. Szerkezetek kinematikája 1.4.1. A mechanizmusok szabadságfoka 1.4.2. A mechanizmusok mozgásjellemzőinek megadása 1.4.3. Néhány egyszerű mechanizmus kinematikai vizsgálata 1.4.3.1. Forgattyús mechanizmus 1.4.3.2. Kulisszás mechanizmus 1.4.3.3. Négytagú csuklós mechanizmus 1.4.3.4. Hattagú kulisszás mechanizmus 1.4.3.5. Szakaszos mozgatók

4

1.5. A relatív mozgás kinematikája 2. Kinetika 2.1. Az anyagi pont kinetikája 2.1.1. A kinetika alaptörvénye 2.1.2. A tömegpont kinetikájának tételei és elvei 2.1.3. Az anyagi pont néhány speciális mozgása 2.1.3.1. Szabad mozgás 2.1.3.2. Kényszermozgás 2.2. A relatív mozgás kinetikája 2.3. A merev test kinetikája 2.3.1. A merev testre ható erők és csoportosításuk 2.3.2. A merev test tehetetlenségi (inercia-) nyomatéka 2.3.3. A merev test kinetikai tételei 2.3.4. A merev test mozgásának alapegyenletei 2.3.5. A merev test speciális mozgásainak vizsgálata 2.3.5.1. Haladó mozgás 2.3.5.2. Forgó mozgás 2.3.5.3. Síkmozgás 2.4. Szerkezetek kinetikája 2.4.1. A szerkezetek (mechanizmusok) tagjaira ható erők meghatározása 2.4.2. Ütközési folyamatok 2.5. Mechanikai rendszerek vizsgálata 2.5.1. A virtuális munka elve és a d’Alembert-féle elv. 2.5.2. A Lagrange-féle elsőfajú mozgásegyenletek 2.5.3. A Hamilton-elv 2.5.4. A variációszámítás és a Hamilton-elv 2.5.5. A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletek

Felhasznált és ajánlott irodalom

5

1. KINEMATIKA A KINEMATIKA TÁRGYA ÉS FELOSZTÁSA A kinematika a mozgások leírásával foglalkozik. Feladata a mozgásjellemzők definiálása és a köztük lévő kapcsolatok leírása anélkül, hogy a mozgást kiváltó okokkal törődne. E jegyzetben a kinematikát csak olyan mélységig tárgyaljuk, ahogy arra a műszaki mérnöki gyakorlatban szükség van. Ennek megfelelően az anyagot a pont, a merev test és a szerkezetek (mechanizmusok) kinematikája témakörökre osztottuk.

A KINEMATIKA ALAPFOGALMAI A kinematikában a tér, az idő, az anyagi pont és a merev test fogalmára van szükség, melyeket mechanikai tanulmányaink elején már definiáltunk (Mechanika I).

1.2. A PONT KINEMATIKÁJA A valóságban előforduló testek mindig térbeli kiterjedéssel és tömeggel rendelkeznek. A kinematikában a test tömege érdektelen. Ha a test kiterjedése is elhanyagolható (ezt mindig a vizsgálat szempontjai döntik el), a testet pontszerűnek képzeljük s a (z anyagi) pont mozgásáról beszélünk.

1.2.1. A MOZGÁSFÜGGVÉNY Ha a pont helyét változtatja a térben, azaz mozog, adott t időpillanatbani helyét r helyvektorával adhatjuk meg (1.1. ábra). Nyilvánvalóan minden időpillanathoz tartozik egy helyvektor, azaz az r vektor az időnek, mint skalármennyiségnek a függvénye:

r = r(t) .

1.1

A fenti kapcsolatot mozgásfüggvénynek vagy mozgástörvénynek nevezzük. 1.1. ábra Térben a vektort három skalár koordinátával adjuk meg. E három adat elvileg független, azt mondhatjuk tehát, hogy a pont mozgásának szabadságfoka három, ami egyben a pont szabad mozgáslehetőségeit is jelenti.

6

A helyvektorok végpontjai egy görbét határoznak meg, melyet a pont pályájának nevezünk. Legyen a mozgó pont helyvektora a t időpontban r , a t1 (t1 >t ) időpontban r1 . A P pontból a P1 pontba mutató vektor ∆r = r1 − r = r ( t + ∆t ) − r ( t )

1.2

az ún. elmozdulás, ahol ∆t = t 1 − t. Az elmozdulás vektor a pályagörbe P és P1 pontjához tartozó szelő irányába esik. Képezzük a ∆r / ∆t hányadost, ill. ennek határértékét úgy, hogy ∆t értékét egyre kisebbre vesszük: ∆r r ( t + ∆t ) − r ( t ) d r & = =r. = lim 1.3 lim ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t dt Amennyiben létezik ez a határérték, a mozgásfüggvény idő szerinti deriváltjának nevezzük, amely a definíció szerint a P pontban ( a t időpontban) a pályagörbe érintőjének irányába esik. Az idő szerinti differenciálást a továbbiakban felül elhelyezett ponttal is jelöljük. Ha a t A ≤ t ≤ t B időintervallumban a pályagörbe mindenütt rendelkezik érintővel és az érintő egységvektor az időnek folytonos függvénye, akkor ún. sima görbéről beszélünk. Az ilyen görbének mérhető az ívhoszszúsága. Vegyük fel az A ponttól kezdve a nagyon kicsiny ∆t időközökhöz tartozó elmozdulásvektorokat (1.2.ábra).Ezek öszszessége a pályagörbét megközelítő törtvonalat alkotja. A törtvonal hossza közelí∩

tőleg a pálya AB ívhosszával egyezik meg:

1.2. ábra n

s AB ≅ ∑ ∆ri = n∑ i =1

i =1

∆ri ∆ti

.∆ti

∩

A beosztás finomításával megkapjuk az AB görbe pontos ívhosszát: n

s AB = lim ∑

∆r i

tB

∆t i = ∫

dr

tB

dt = ∫ r& dt

1.4 ∆t i t A dt tA Ha az A pontot kezdőpontnak tekintjük, az adott időponthoz tartozó P pontot – azaz a mozgó pont helyét – úgy is meghatározhatjuk, hogy az A ponttól kezdve felmérjük az ívhosszt, ∆t i → 0 i =1

7

tP

s AP = ∫ r& dt = s( t ) = s

1.4/a

tA

melyet ívkoordinátának nevezünk. A mozgó pont helyét tehát a pályagörbe ( a rajta kijelölt kezdőpont és egy pozitív irány) ismeretében s = s(t) 1.5 összefüggéssel, az ún. pályabefutás függvénnyel vagy törvénnyel is megadhatjuk. Az ívkoordináta hosszúság dimenziójú mennyiség, SI-beli mértékegysége [m]. A pályabefutás függvénye a pálya egyenletével együtt teljesen egyenértékű a mozgásfüggvénnyel. Egyik a másikból egyértelműen meghatározható. Ha a tB –tA időszakasz alatt befutott AB íven a pont mindig egy irányban halad (nincs fordulópontja), az u = s AB

ivhosszat a pont által befutott útnak nevezzük. Mértékegysége [m]. Vegyük észre, hogy bár bizonyos feltételek mellett az ívkoordináta és az út számértéke megegyezhet, ezek alapvetően más fogalmakat jelentenek. Descartes-féle koordináta rendszerben az r = r ( t ) vektort meghatározzák a koordináta tengelyekre vett vetületei: r ( t ) = x ( t ) i + y( t ) j + z ( t ) k

1.6 1.3. ábra

Az x = x(t), y.= y(t) és z = z(t) skalár-skalár függvények a pont koordinátatengelyek irányába eső vetületi mozgását adják meg. Az x(t), y(t), z(t) skalármennyiségek mértékegységek mértékegysége [m]. Derékszögű hengerkoordináta rendszerben a helyvektort e R és k irányú összetevőkkel adjuk meg: r ( t ) = R ( t ) e R ( t ) + z ( t ) k.

1.7

1.4. ábra Az e R ( t ) egységvektor iránya az idő függvénye. Az R(t) skalármennyiség mértékegysége [m]. Értéke: R(t)≥0.

e R ( t ) = cos φ( t ) i + sin φ( t ) j 1.8 ahol 0 ≤ φ ≤ 2 π. A φ( t ) skalárfüggvény értéke dimenzió nélküli mennyiség [rad].

8

(1.8) egyben megadja a kétféle koordinátarendszer közötti átszámítás lehetőségét:

x ( t ) = R ( t ) cos ( t ), y( t ) = R ( t ) sin φ( t ), z(t)≡z(t).

Az (1.6) jobb oldalának első két tagja, ill. az (1.7) jobb oldalának első tagja a pont x,y síkra eső vetületi mozgását adja. Az össze1.5. ábra függések alapján úgy is fogalmazhatunk, hogy a vetületi mozgások eredője a tényleges mozgás. A mozgásfüggvény ismeretében a pályagörbe minden pontjához meghatározhatunk egy ún. természetes koordinátarendszert vagy kísérő triédert. Mivel az s = s(t) pályabefutásfüggvénynek létezik egyértelműen inverz függvénye, azaz minden koordinátához egy meghatározott idő tartozik, a mozgásfüggvényt nemcsak az idő, hanem az ívkoordináta függvényeként is felírhatjuk: r = r (s) = r [s( t )]. Határozzuk meg az érintő irányt megadó deriváltvektort (1.3) alapján, (1.4/a) felhasználásával:

dr dr (s) ds( t ) dr dr r& = = . = s& = r& . dt ds dt ds ds Innen r& dr(s) = e(s) = , ds r&

valamint

e2 = 1

1.9/a, b

A görbe érintő egységvektorát tehát úgy kapjuk meg, hogy a mozgásfüggvényt az ívkoordináta szerint deriváljuk. Differenciáljuk (1.9/b)-t még egyszer az ívkoordináta szerint: 2 e (s).

d e (s ) d 2 r (s ) = 2 e (s). =0 . ds ds 2

A skalár szorzat eltűnése azt mutatja, hogy – kivéve azt az esetet, amikor d e / ds = d 2 r / ds 2 = 0, ami azt jelenti, hogy e (s) = áll., azaz a pálya egyenes – a d e (s ) d 2 r (s ) = ds ds 2 vektor merőleges az e vektorra. Ezt az irányt főnormális iránynak nevezzük.

1.10

9

Határozzuk meg ennek a vektornak a hosszát. Amennyiben ∆s elég kicsi, az e (s) és az e (s + ∆s) egységvektorok közelítőleg közös síkba esnek. Ebbe a síkba esik a pályának a ∆s ívhosszúságú szakasza is, amely általánosságban egy ρ sugarú körívdarabnak tekinthető. Az 1.6.ábrán látható vektorháromszög és a POP1 háromszög hasonlóságából következik, hogy ∆s ∆e = . ρ Így d2r de ∆e 1 1 = = lim = lim = . 2 ds ds ∆s→0 ∆s ∆s→0 ρ ρ A főnormális irányba mutató vektor abszolút értéke tehát a pályagörbe P pontjához tartozó, ún. simulókör sugarának reciproka. A főnormális egységvektora ezek szerint n=ρ

d2r de = ρ , ill. n 2 = 1 2 ds ds

1,11/a, b

A simuló kör sugarát a fenti kifejezésből az

1 = ρ

d2r ds 2

2

1.12

összefüggéssel számíthatjuk.

1.6.ábra A pályagörbe adott pontjában ismerjük tehát az egymásra merőleges e és n egységvektorokat. A két vektor meghatározza a görbe P-beli simuló síkját. Az e vektor értelme mindig a mozgás irányába mutat. Az n vektor pedig a simuló kör középpontja irányába (azaz a görbe homorú oldalára) esik. A természetes koordinátarendszer harmadik irányát, az ún. binormális irányt a vektorális szorzattal nyert egységvektorral definiáljuk. e , n és b az adott sorrendben jobbra forduló rendszert alkot. Az e és b által meghatározott síkot rektifikáló síknak, n és b síkját normálsíknak nevezzük. A kísérő triédert a mozgó ponthoz kötjük, így a természetes koordinátarendszer az idő függvénye (1.7.ábra).

10

1.7. ábra 1.2.2. A SEBESSÉGFÜGGVÉNY A műszaki gyakorlat számára a mozgó pont helyének megadásán kívül a mozgás egyéb jellemzői is lényeges szerepet játszanak. Ha a pont helyvektora a t pillanatban r ( t ) és ∆t idő múlva r ( t + ∆t ), akkor a

vk =

r ( t + ∆t ) − r ( t ) ∆r = ∆t ∆t

1.14

mennyiséget a ∆t időszakra vonatkozó közepes sebességnek nevezzük. A ∆t -t egyre kisebbnek választva a r(t + ∆t) − r(t) dr & v = v(t) = lim v k = lim = =r ∆t→0 ∆t→0 ∆t dt 1.15 határértékhez jutunk, melyet a pont t időpil1.8. ábra lanathoz tartozó pillanatnyi sebességének nevezzük. (1.15) tehát vektor-skalár függvény, s a definíció szerint a mozgásfüggvény idő szerinti deriváltja. A sebességvektort a ponthoz kötve értelmezzük. Ha a különböző időpontokhoz tartozó sebességvektorokat egy pontból kiindulva rajzoljuk fel, végpontjaik egy görbét írnak le, melyet sebesség-hodográfnak nevezzük.

11

dr (s) dr [s( t )] dr (s) ds( t ) = = . = dt dt ds dt = s&( t ) e ( t ) = v ( t ) e ( t ). v=

1.16 A sebességvektor iránya tehát mindig a görbe érintő irányába esik, nagysága pedig a pályabefutás függvényének idő szerinti első differenciálhányadosával egyenlő, neve pályasebesség. A v = s& kinematikai jelentését származtathatjuk közvetlenül a pélyasebesség függvényéből is az 1.10 ábrának megfelelően. Ha az ívkoordináta ∆t idő alatt ∆s -sel változik meg, akkor a közepes pályasebesség: ∆s v k = tg α k = . ∆t Határátmenettel s( t + ∆t ) ds = = s&. v = tg α = lim v k = lim ∆t → ∆t →0 ∆t dt 1.17

1.9. ábra.

Adjuk meg a mozgásfüggvényt az ívkoordináta függvényében. A sebesség (1.9/a) felhasználásával: 1.10. ábra A pályasebesség dimenziója leszármaztatott mennyiség, mértékegysége [m/s]. Descartes-féle koordinátarendszerben a sebesség kifejezése: v=

[

]

dr d x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k = = x& ( t ) i + y& ( t ) j + z& ( t ) k, dt dt

mert az egységvektorok függetlenek az időtől. Ezzel v = v x i + v y j + v z k, ahol vx, vy, vz a a sebességvektor vetületei a koordinátatengelyekre, azaz a vetületi mozgások sebessége. Hengerkoordinátarendszerben

12

v=

[

]

dr d R ( t ) e R ( t ) + z ( t ) k = = R& ( t ) e R ( t ) + R ( t ) e& R ( t ) + z& ( t ) k, dt dt

mert az e R ( t ) egységvektro állása most az időnek függvénye. (1.8) felhasználásával:

[

]

e& R (t) = φ& (t) − sinφinφi + cosφosφ j = φ& (t)e φ (t), ahol eφ ( t ) - az e R ( t ) vektorra merőleges egységvektor (1.11.ábra). Rögtön beláthatjuk azt is, hogy e& φ (t) = −φ& (t)e R (t).

Ezek után a sebességvektor: v = R& (t)e R (t) + R(t)φ& (t)e φ (t) + + z& (t)k = v R e R + v φ e φ + v z k, Itt vR - a radiális sebességkomponens, v φ = R(t)φ& (t) = R(t)ω(t) - a kerengő sebességkomponens és 1.11.ábra dϕ (t) ω(t) = - a szögsebesség, mértékegysége [1/s]. Kinematikailag az x,y síkban mozgó dt R ( t ) e R ( t ) vektor x tengellyel bezárt szögének a z idő szerinti első deriváltja. 1.2.3. A GYORSULÁSFÜGGVÉNY A mozgó pont sebessége a ∆t idő alatt végzett ∆r elmozdulás során általában megváltozik. Az v ( t + ∆t ) ∆v ak = = l.18 ∆t ∆t mennyiséget a ∆t időszakra vonatkozó közepes gyorsulásnak nevezzük. A ∆t csökkentésével határesetben a következő kifejezést nyerjük: a = a ( t ) = lim a k = ∆t →0

v ( t + ∆ t ) dv & = = v, ∆t → 0 ∆t dt

1.19

lim

melyet a t időponthoz tartozó gyorsulásnak, ill. gyorsulásfüggvénynek nevezzük. A definició alapján nem más mint a sebesség-hodográf sebessége (1.12.ábra) (1.15) miatt a(t) =

dv dr 2 r && = 2 = r, dt dt

1.20

13

tehát a gyorsulás a sebességfüggvény idő szerinti első deriváltja, ill. a mozgásfüggvény idő szerinti második deriváltja. A gyorsulásvektort meghatározhatjuk (1.16) felhasználásával is:

dv d[v(t)e(t)] = = dt dt dv(t) d e(s) ds . e(t) + v(t) . . dt ds dt

a=

(1.11/a) alapján azonban de 1 = n, ds ρ Így

a = v& ( t ) e ( t ) +

v 2 (t) n = aee + ann . ρ

1.21

A gyorsulásvektor tehát minden pontban két összetevőre bontható: a e = v& = &s& - a tangenciális vagy pálya-menti gyorsulás,

é

v2 - a normális vagy centripetális gyorsulás. 1.12. ábra ρ A gyorsulás-koordináták mértékegysége [m/s2]. A gyorsulás vektor a fentiek alapján mindig a görbe simuló síkjába esik. A pályamenti gyorsulás a sebesség nagyságának változásából adódik. Ha a sebesség nő, a gyorsulás érintő irányú komponense a mozgás irányába mutat. Ha a pályamenti sebesség csökken, a pályamenti gyorsulás a mozgás irányával ellentétes ( a hétköznapi életben azt mondjuk, a mozgás lassuló). A normális irányú gyorsulás értéke csak pozitív lehet. Zérus értéket csak egyenes vonalú pályán, vagy a görve pálya inflexiós pontjaiban vehet fel. Az eredő gyorsulás vektor a fentiek következtében az érintő egyenessel megfelezett simuló síknak mindig arra az oldalára esik, amelyiken a simuló kör középpontja is van (1.13.ábra). Descartes-féle koordinátarendszerben a gyorsulás: d2r a = 2 = &x&( t ) i + &y&( t ) j + &z&( t ) k = a x i + a y j + a z k, dt an =

ahol ax, ay, az - a koordinátagyorsulások, a vetületi mozgások gyorsulása. Henger-koordinátarendszerben:

[

]

dv d R& ( t ) e R ( t ) + R ( t )ω( t ) e φ( t ) + z& ( t ) k = = dt dt && ( t ) e ( t ) + R& ( t ) e& ( t ) + R& ( t )ω( t ) e φ( t ) + R ( t )ω& ( t ) e φ( t ) + =R R R & + R ( t )ω( t ) eφ ( t ) + &z&( t ) k.

a=

14

1.13.ábra Az egységvektorok deriválása után pedig:

[

]

[

]

&& ( t ) − R ( t )ω 2 ( t ) e ( t ) + R ( t )ε( t ) + 2 R& ( t )ω( t ) e ( t ) + a= R R φ + &z&( t ) k = a R e R + a φ eφ + a z k, ahol aR - a radiális gyorsuláskomponens, aϕ - a keringő gyorsuláskomponens és dεω( t ) d 2 φ( t ) ε= = - a szöggyorsulás. dt dt 2 1.2.4. KINEMATIKAI ALAPFELADATOK Az eddigiek során a pont mozgásjellemzőit az idő vagy az ívkoordináta függvényében adtuk meg. Nincs azonban annak sem akadálya, hogy valamelyik mozgásjellemzőt akármelyik másik függvényben adjuk meg. Az összes lehetőséget az alábbi táblázat szerint foglalhatjuk össze:

-

r& t ( r& ) r ( r& )

r (&r&)

r& ( r ) &r&( r )

&r&( r& )

r& (&r&) -

t

t -

r t( r )

r

r(t)

r& &r&

r& ( t ) &r&( t )

&r& t (&r&)

A kinematikai problémák során a feladat általában éppen az szokott lenni, hogy a táblázat 12 függvényének egyikéből a többi 11-et meghatározzuk. Ehhez a differenciálás, integrálás, az inverzképzés és a kiküszöbölés matematikai műveleteit kell alkalmazni. Az integrálás során keletkező egy vagy több integrálási állandót az un. kezdeti feltételekből határozhatjuk meg. A kinematikai problémák a kezdeti feltételek valamilyen időponthoz tartozó mozgásjellemző ismeretét jelentik, pl. t = t0nál v = v 0 és r = r0 . Ha a mozgás a vizsgált időszak egyes részeiben különböző törvények szerint fo-

15

lyik, az egyes tartományhatárokon éppen az integrálási állandók helyesen meghatározott (megválasztott) értékei teremtik meg a mozgásszakaszok bizonyos jellemzőinek folytonosságát és illeszkedését. 1.2.5. KINEMATIKAI DIAGRAMOK Ha ismerjük a mozgó pont pályáját – mint láttuk – , elegendő megadni a pályabefutás függvényét. Az s = s(t) ismeretében a mozgás érintő irányú (pályamenti) jellemzői skalárfüggvényekre definiált műveletekkel határozhatók meg. Az előző táblázatot tehát a vektorjellemzők helyett a pályamenti skalárjellemzőkkel is felírhatjuk. A skalárfüggvényeket grafikusan ábrázolva a kinematikai diagramokat kapjuk. Az s = s(t), v = v(t), ae = ae(t), v = v(s), ae = ae(s), ae = ae(v) függvények közül az első háromnak megfelelő diagramot foronómiai görbének is nevezik. Előfordulhat, hogy valamelyik foronómiai görbe ismeretében kell szerkesztéssel meghatározni a többi diagramot. Ilyenkor grafikus differenciálással, ill. integrálással oldhatjuk meg a feladatot. A grafikus ábrázoláshoz célszerű előre alkalmas léptéket választani:

t = t + L t , s = s + Ls , v = v + L v , ahol L t , Ls , L v , La +

+

+

a e = a e+ L a ,

1.22/a,b,c,d

- az idő, az ívkoordináta, a sebesség és a pályamenti gyorsulás léptéke,

+ e

t , s , v , a - az egyes mozgásjellemzőknek megfelelő távolságok (alkalmas hossz egységben). Grafikus differenciálás Grafikus differenciálással kapjuk az s = s(t) függvényből a v = v(t)-t ill. ebből az ae=ae(t)-t. A szerkesztéshez azt a tényt kell felhasználnunk, hogy adott helyen a differenciálhányados a görbéhez húzott érintő irányszögének tangense. Írjuk fel a sebességet az s – t diagramról levehető hoszszúságok felhasználásával: L ∆s ∆s + L s v= = + = tg φ s . ∆t ∆t L t Lt Húzzunk párhuzamost az s = s(t) diagram t’ időpontbeli érintőjével a v – t ábra kezdőpontjától tv távolságra felvett pontból. A φ dőlésszögű egyenes a függőleges tengelyből kimetszi a sebesség ordinátáját. A kérdés csupán az, hogy mekkorára válasszuk tv-t, ill. t +v -t, hogy a szerkesztett v+ sebességet éppen az előre megválasztott sebességléptéknek megfelelően kapjuk. Mivel v = v + L v = tg φ a két kifejezésből t v =

Ls Lv

Ls v + Ls = + 0 Lt t v Lt

és

t v = t +v L t .

adódik.

Ha az ennek megfelelő t +v távolsággal másoljuk át az érintőt, akkor az előre választott sebességléptéknek megfelelően közvetlenül kapjuk a sebesség ordinátáját. Hasonló gondolatmenettel szerkeszthetjük meg az ae t diagramot. A ta pólustávolság és a léptékek közötti összefüggés analóg levezetéssel:

16

ta =

Lv . La

Grafikus integrálás Ismert v = v(t) függvényből az s = s(t) függvényt integrálással kapjuk: s( t ) = ∫ v ( t )dt + s 0 , ahol s0 – a t = t0 időponthoz tartozó ívkoordináta. Az integrálást az előző szerkesztés megfordításával végezhetjük el. Helyettesítsük a v(t) görbét egyenes határolású, lépcsős függvénnyel (1.15.ábra) úgy, hogy a görbe két oldalára eső, sraffozott előjelhelyes területek összege közelítőleg zérus legyen. Vetítsük ki a v értékeket a függőleges koordináta tengelyre és kössük össze őket a tv = Ls/Lv távolságú pólusponttal. Az így kapott φ 0 , φ1 ,......φ n szögek az s(t) ábra megfelelő időpontokhoz tartozó érintőinek az időtengellyel bezárt szögei. Az érintőrajzolást úgy kell kezdeni, hogy a t0-hoz tartozó φ 0 dőlésszögű érintő átmenjen a kezdeti feltételnek megfelelő s0 ponton. Az érintő sokszögbe ezután 1.14.ábra.

berajzolhatjuk folytonos vonallal az s(t) görbét ügyelve arra, hogy az érintkezési pontok mindig az időszakasz határokon legyenek.

1.2.6. A PONT SPECIÁLIS MOZGÁSAI 1.2.6.1. EGYENESVONALÚ MOZGÁSOK Az egyenesvonalú mozgás törvénye mindig felírható az r = r0 + s( t ) e alakban. A mozgás pályája az r0 helyvektorú ponton átmenő e irányú egyenes. Az r0 helyvektorú pontot kezdőpontnak tekintve, a pályabefutás törvényét az s(t) skalár-függvény adja meg. A sebesség: v = r& = s&( t ) e , a gyorsulás:

17

a = a e = &r& = &s&( t ) e , mert a n = v 2 / ρ = 0 , hiszen ρ = ∞ . Az ismert pályagörbe lehetővé teszi, hogy az egyszerűbben kezelhető skalárjellemzőkkel számoljunk.

1.15.ábra.

A/ Állandó sebességű mozgás Állandó sebességűnek nevezzük a mozgást, ha v = v0 = áll. Ilyenkor a e = v& = 0 és

s( t ) = ∫ vdt = v 0 ∫ dt = v 0 t + s ∗ . Ha a kezdeti feltétel: t = t0-nál s = s0, az integrálási állandó értéke s*= s0-v0t0, így a pályabefutás törvénye: A mozgás kinematikai diagramjait az 1.17.ábra. mutatja. 1.16.ábra.

18

1.17.ábra

B/ Állandó gyorsulású mozgás Állandó gyorsulású a mozgás, ha ae = a0 = áll. A pályasebesség: v = ∫ adt = a 0 ∫ dt = a 0 t + v ∗ . Ha t = t0-nál v = v0, Így

v* = v0 - a 0 t 0 v0

v(t ) = v0 + a 0 (t − t 0 )

A pályabefutás függvénye: s = ∫ vdt = ∫ [v 0 + a 0 ( t − t 0 )]dt = v 0 t + Ha t = t0-nál s = s0, s*= s0 – v0 t0 +

a0t2 − a 0 t 0 t + s∗ . 2

1 2 a0t0 2

és

s( t ) = s 0 + v 0 ( t − t 0 ) +

1 a 0 (t − t 0 )2 2

Fejezzük ki az utóbbi egyenletből (t-t0)-t: − v 0 ± v 02 − 2a 02 (s 0 − s) t − t0 = . a0 Ezt behelyettesítve a sebesség képletébe megkapjuk a sebességet az ívkoordináta függvényében, ami a parabola egyenlete: v (s) = ± v 02 + 2a 0 (s − s 0 ) . A kinematikai diagramokat az 1.18.ábrán láthatjuk.

19

1.18.ábra.

C/ A pályamenti gyorsulás (lassulás) a sebesség lineáris függvénye A gyorsulás és a sebesség közötti kapcsolatot az ae = -kv összefüggés írja le, ahol k pozitív állandó, mértékegysége [1/s]. Ilyen törvény szerint mozognak gázokban és folyadékokban a magukra hagyott testek, ha sebességük nem túl nagy. Az alapdefinicióból: dv dv dv dt = =− → = − k ∫ dt, ∫ ae kv v innen lnv = -kt + v*, ha

t = t0-nál v = v0,

v* = Inv0 + kt0.

ezzel

v ( t ) = v 0e − k ( t −t0 ) A pályabefutás törvénye:

s = ∫ vdt = v 0 ∫ e − k ( t − t 0 ) dt = −

v 0 −k ( t −t0 ) ∗ .e +s , k

20

ha t = t0-nál

s = s0 ,

s* = s0 +

v0 , ezzel k

s( t ) = s 0 +

[

]

v0 l − e −k( t−t0 ) . k

A pályamenti gyorsulás az idő függvényében:

a e ( t ) = − kv ( t ) = − kv 0 e − k ( t − t 0 ) . A pályabefutás törvényéből:

k ( s − s 0 ), v0 melynek felhasználásával megkapjuk a sebességet az ívkoordináta függvényében: v (s) = v 0 − k(s − s 0 ) , ami egyenes egyenlete. A pályagyorsulás az ívkoordináta függvényében: a e (s) = − kv 0 + k 2 (s − s 0 ), azaz egyenes. A pályagyorsulás a sebesség függvényében pedig eleve adott volt: a e ( v ) = − kv . A mozgás kinematikai diagramjai az 1.19.ábrán láthatók. e − k ( t −t 0 ) = 1 −

1.19.ábra.

21

D/ A pályamenti gyorsulás (lassulás) egyenesen arányos a sebesség négyzetével. A gyorsulás és a sebesség közötti kapcsolatot most az ae = -kv2 összefüggés írja le, ahol k pozitív állandó, mértékegysége [1/m]. Az alapdefinícióból: dv dv dt = = − 2 → − k ∫ dt = ∫ v −2 dv , ae kv innen − kt = − v −1 + v ∗ , ha t = t0-nál v = v0-nál v ∗ = v 0−1 − kt 0 . v0 Azaz v(t) = . kv 0 ( t − t 0 ) + 1 A pályabefutás törvénye: 1 s = ∫ vdt = ln(kv 0 ( t − t 0 ) + 1) + s ∗ k ∗ ha t = t0-nál s = s0, ks = s 0 k − ( kv 0 t 0 − 1) . 1 s( t ) = s 0 + . ln[kv 0 ( t − t 0 ) + 1]. k A pályagyorsulás az idő függvényében: kv 02 2 . a e ( t ) = − kv = − [kv 0 ( t − t 0 ) + 1]2 Fejezzük ki a pályabefutás törvényéből az időt: kv 0 ( t − t 0 ) + 1 = e k ( s −s 0 ) . Ennek felhasználásával: v (s) = v 0 e − k ( s −s 0 ) és

a e (s) = − kv 02 .e −2 k ( s−s0 ) . A mozgás kinematikai diagramjai az 1.20. ábrán láthatók. E/ A pályamenti gyorsulás az ívkoordináta lineáris függvénye A pályagyorsulás és az ívkoordináta kapcsolatát az a e = ±c 2s összefüggés írja le, ahol c tetszőleges állandó, mértékegysége [1/s]. Mivel a e = &s& az alapösszefüggés így írható: 2 2 d s &s& m c s 2 ± c 2s = 0 , dt ami egy másodrendű, hiányos homogén differenciálegyenlet, melynek általános megoldása attól függ, melyik előjelet választjuk.

a) Ha a gyorsulás értelme ellentétes az ívkoordinátával, a differenciálegyenletben a pozitív előjel érvényes. Az általános megoldás:

22

1.20. ábra.

s( t ) = A cos ct + B sin ct , melyben A, B – integrálási állandók. Amennyiben a t = t0-nál s = s0 és v = v0 adatokat választjuk kezdeti feltételnek és figyelembe vesszük, hogy v ( t ) = −cA sin ct + cB cos ct , az integrálási állandók v v A = s 0 cos ct 0 − 0 sin ct 0 , B = s 0 sin ct 0 + 0 cos ct 0 . c c Ha speciálisan t0=0, a mozgásfüggvények alakja lényegesen egyszerűsödik. A pályabefutás törvénye: v s( t ) = 0 sin ct, c a sebesség: v ( t ) = v 0 cos ct, a gyorsulás: a ( t ) = −cv 0 sin ct.

23

A sebesség az ívkoordináta függvényében: v (s) = v 02 − c 2 s 2

v2 s2 + =1 , v 02  v 0  2  c 

vagy

tehát ellipszis. A gyorsulás a sebesség függvényében: a e ( v ) = −c v 02 − v 2

vagy

a e2 v2 + = 1, ( v 0 c) 2 v 02

azaz ellipszis. A mozgás kinematikai diagramjait az 1.21. ábrán láthatjuk. Ezt a mozgástípust harmonikus rezgőmogásnak nevezzük. A mozgás jellemzői bizonyos idő után, az ún. periódusidő elteltével megismétlődnek.

1.21. ábra A periódusidőt a ct + 2π = ct + cT összefüggésből határozhatjuk meg: 2π . T= c a c-t egyébként a rezgőmozgás frekvenciájának nevezzük.

b) Ha a differenciálegyenletben a negatív előjel érvényes, az általános megoldás:

24

s( t ) = A ch ct + B sh ct. A t = t0-nál s = s0 és v = v0 kezdeti feltételt felhasználva az integrálási állandókra a következő kifejezéseket kapjuk: v v A = s 0 ch ct 0 − 0 sh ct 0 , B = −s 0 sh ct 0 + 0 ch ct 0 . c c Speciálisan t0=0, s=0 kezdeti feltételt választva a mozgásfüggvények a következő alakot öltik: v s( t ) = 0 sh ct, v ( t ) = v 0 ch ct , a e ( t ) = cv 0 sh ct , c v (s) = v 02 + s 2 c 2

v2 s2 − = 1, ami hiperbola egyenlete. v 02  v 0  2  c 

vagy

a e ( v ) = c v 2 − v 02

vagy

−

a e2 v2 + = 1, szintén hiperbola. ( v 0 c) 2 v 02

A mozgás kinematikai diagramjai az 1.22. ábrán láthatók.

1.22. ábra.

25

1.2.6.2. SÍKMOZGÁSOK Síkmozgás esetén a koordinátarendszer x, y tengelyét célszerűen a mozgás síkjában veszszük fel. Így a mozgásjellemzők: r ( t ) = x ( t ) i + y( t ) j ,

v ( t ) = x& ( t )i + y& ( t ) j , a ( t ) = &x&( t )i + &y&( t ) j . Ha ismert a pálya y = y(x) egyenlete, a mozgást megadhatjuk az s = s(t) pályabefutás törvényével. A pálya tetszőleges pontján az érintő iránya: dy tg φ = y , = dx s ezzel a sebességkomponensek: v x = x& = s& cos φ, v y = y& = s& sin φ. A pálya görbületi sugara: 2 (1 + y , )1,5 ρ= y ,, s& 2 an = és a e = &s& . ρ A gyorsuláskomponensek a x = a e cosφ + a n sinφ

1.23. ábra.

a y = a e sinφ − a n cosφ.

A/ Állandó gyorsulású mozgás

v = ∫ a 0 dt = a 0 t + v *0

A sebesség: ha t = t0-nál

a = a 0 = áll.

v = v0,

v∗ = v 0 − a0t0 v(t) = a 0 (t − t 0 ) + v 0 .

A sebességvektor benne van az a 0 és v 0 által meghatározott síkban. A mozgó pont helyvektora: a r = ∫ vdt = 0 ( t − t 0 ) 2 + v 0 t + r ∗ , 2 ha t = t0-nál r ∗ = r0 − v 0 t 0 . Ezzel a0 r ( t ) = r0 + v 0 ( t − t 0 ) + ( t − t 0 ) 2 , 2

26

a pálya tehát az r 0 helyvektorú pontra illeszkedő, v 0 , a 0 vektorokkal meghatározott síkban van. A sebességhodográf egyenes (1.24. ábra.), a pályagörbe parabola, mert a v 0 ( t − t 0 ) lineárisan, az 1 a 0 ( t − t 0 ) 2 négyzetesen változik az idővel. A parabola tengelye párhuzamos a gyorsulásvektor2 ral és annál szélesebbre nyílik, minél nagyobb az 1.24. ábra szerinti v 1 sebességvektor. Ha a0 v 0 , a pálya egyenessé fajul.

1.24. ábra.

a/ Az egyik legfontosabb állandó gyorsulású síkmozgás a ferde hajítás. Ebben az esetben: a = g = −gj és

t 0 = 0,

1.25. ábra

r0 = 0,

v 0 = v 0 cos α i + v 0 sin α j. A sebességfüggvény: v ( t ) = v 0 cos α i + ( v 0 sin α − gt ) j. A mozgásfüggvény: g r ( t ) = v 0 t cos α i + ( v 0 t sin α − t 2 ) j. 2 A pálya egyenlete: gx 2 y = x tg α − 2 , 2 v 0 cos 2 α függőleges tengelyű parabola.

27

α = 0 0 esetén a mozgást vízszintes hajításnak, α 0 = 900 esetén függőleges hajításnak nevezzük. B/ A gyorsulásvektor a helyvektor lineáris függvénye A gyorsulás és helyvektor kapcsolatát az a = &r& = −c 2 r összefüggések írják le. t = t0=0, r = r0 , v = v 0

vagy az

a = &r& = + c 2 r

kezdeti feltételeket alkalmazva a mozgásjellemzők:

v ( t ) = −cr0 sin ct + v 0 cos ct,

r ( t ) = r0 cos ct +

v0 sin ct , c

ill.

ill.

v ( t ) = cr0 sh ct + v 0 ch ct

r ( t ) = r0 ch ct +

v0 sh ct. c

A pályagörbék az 1.26.ábrán látható módon az r0 és v 0 által kifeszített síkban fekszenek. A görbék ellipszisek, ill. hiperbolák, melyeknek középpontja az origó, konjugált félátmérőik pedig r0 és v 0 / c. Ha r0 ⊥v 0 , a konjugált félátmérők a főtengelyekbe mennek át. Ha r0 = v 0 / c, az ellipszis pálya körpályává alakul. c2 = 0 esetén a mozgás egyenes vonalú v 0 = áll. sebességű mozgássá fajul.

1.26. ábra. Azokat a mozgásokat, melyek gyorsulásvektora mindig ugyanabba a pontba mutat, centrális mozgásoknak nevezzük.

28

C/ Körmozgás A körmozgás esetén a pályagörbe körív. Simuló körének sugara megegyezik a kör sugarával:

ρ = R = áll. A mozgás vizsgálatához célszerű polárkoordinátarendszert alkalmazni. (1.27.ábra).

1.27. ábra. r = Re R , v = Rφ& eφ = Rω eφ , a = R (ω& eφ − ω 2 e R ) . A pályamenti sebesség tehát megegyezik a keringő sebességgel: v = rω , ahol dφ ω= - a pillanatnyi szögsebesség. dt A pályamenti gyorsulás egyben a keringő gyorsulás:

a e = a φ = Rε , ahol

ε=

dω dt

- a pillanatnyi szöggyorsulás.

29

A normális irányú gyorsulás a radiális irányú gyorsulás ellentettje: v2 a n = −a r = = Rω 2 . R A műszaki gyakorlat egyik legfontosabb mozgástípusa az egyenletes pályasebességű körmozgás. Jellemzői: ω = áll., ε = 0, v = Rω = áll., a e = 0, a n = Rω 2 . Az egy teljes kör megtételéhez szükséges idő az ún. periódusidő: 2π T= , ω ennek reciproka a másodpercenkénti fordulatok száma vagy frekvencia: ν=

1 ω = . T 2π

Sokszor használják ennek a 60-szorosát, melyet percenkénti fordulatszámnak nevezzünk és nnel jelölünk. D/ Ciklois mozgás Ha egy r sugarú korongot egy egyenes mentén legördítünk, a korong pontjai (sőt a koronghoz kapcsolt pontok is) ciklois mozgást végeznek.

1.28. ábra. A mozgó pont helyvektora az ábráról közvetlenül leolvasható ( a k távolság a pont korongközépponttól való távolságát jelenti):

r ( t ) = ( rω 0 t ) − k sin ω 0 ( t ) i + ( r − k cos ω 0 t ) j , ahol ω 0 =

v0 = áll. R

v ( t ) = ( rω 0 − kω 0 cos ω 0 t ) i + kφω 0 sin ω 0 tj , innen

30

( v x − rω 0 ) 2 = k 2 ω 02 cos 2 ω 0 t v 2y = k 2 ω 02 sin 2 βω 0 t ( v x − rω 0 ) 2 + v 2y = k 2 ω 02 , azaz a sebességhodográf kör. Az 1.29. ábra alapján a sebességek szélső értéke könnyen meghatározható: v max = v 0 + kω 0 = ( r + k )ω 0

v min = v 0 − kω 0 = ( r − k )ω 0 . Ahol a sebesség- és gyorsulásvektorok párhuzamosak, a pályának inflexiós pontja van. A gyorsulásvektor:

a ( t ) = kω 02 sin ω 0 ti + + kω 02 cos ω 0 tj, a = kω 02 sin 2 ω 0 t + cos 2 ω 0 t ,

1.29. ábra

kω 02 = áll. és mindig a korong középpontja felé mutat. Az 1.28. ábrán láthatjuk, hogy a pályagörbék alakja függ a k értéktől. k < r esetén nyújtott cikloist, k = r esetén csúcsos cikloist, k > r esetén hurkolt cikloist kapunk.

1.2.6.3. TÉRMOZGÁSOK

A/ Csavarmozgás A mozgást célszerűen hengerkoordináta rendszerben vizsgáljuk (1.30. ábra): r ( t ) = R cos φi + R sin φj + z ( t ) k Ha a csavarvonal menetemelkedése h, akkor - mivel z a szög lineáris függvénye, azaz z = c φ - c = h/2 π . A sebességfüggvény: v ( t ) = − Rφ& sin φi + Rβφ& cos φj + cφ& k. A gyorsulásfüggvény:

&&sinφ − Rφ& 2 cosφoi + (Rφ &&cosφ − Rφ& 2 sinφi j + cφ &&k a(t) = (−Rφ

31

1.30. ábra. Egyenletes csavarmozgás esetén: φ = ωt,

ε = 0.

A mozgásfüggvény:

r ( t ) = R cos φωti + R sin ωtj + c ωtk,

a sebességfüggvény:

v ( t ) = − Rω sin ωti + Rω cos ωtj + cωk,

a gyorsulásfüggvény: a ( t ) = − Rω 2 cos ωti − Rω 2 sin ωtj. A sebesség abszolút értéke:

v = R 2 ω 2 (sin 2 ωt + cos 2 ωt ) + c 2 ω 2 = ω c 2 + R 2 = áll. A sebességhodográf c ωk magasságában lévő R ω sugarú kör. A gyorsulásvektor párhuzamos az x, y síkkal: a ( t ) = − Rω 2 e R ( t ) és metszi a z tengelyt. A pályamenti sebesség állandósága miatt az érintő irányú gyorsulás nulla, azaz a n = a = Rω 2 =

v2 , ρ

innen

ρ=

v 2 ω2R 2 + c2 ) R 2 + c2 = = = áll. an R Rω 2

Tehát a csavarvonal görbületi sugara mindenütt egyforma. 1.3. A MEREV TEST KINEMATIKÁJA Egy n számú anyagi pontból álló mozgó rendszer kinematikai jellemzőit akkor tekinthetjük ismertnek, ha meg tudjuk adni minden pontjának mozgástörvényét. Ha az anyagi pontok között semmiféle kapcsolat nincs - azaz egymás mozgását nem befolyásolják - mozgásfüggvényre van szükség. A rendszer szabadságfoka a legáltalánosabb esetben 3n. Ha az egyes pontok között valamilyen kinematikai kapcsolat van, a pontrendszer szabadságfoka kisebb lehet.

1.3.1. A MEREVSÉGI FELTÉTELBŐL KÖVETKEZŐ KÖTÖTTSÉGEK

32

A merev test definíciójából következik, hogy tetszőleges két pontjának távolsága a mozgás folyamán nem változhat meg (1.31. ábra): rij2 = ( r j − ri ) 2 = áll. Tétel: A merev test mozgásának egyértelmű mozgásfüggvényét megadásához elegendő, ha ismerjük három nem egy egyenesbe eső pontjának mozgásfüggvényét. Bizonyítás: Vegyünk fel a merev testben egy ABC csúcspontú háromszöget és az A, B, C pontok sorrendjének megfelelő körüljárási irányt (ehhez az irányhoz akár egy normálvektort is rendelhetünk és a háromszögnek azt az oldalát, amelyik a normálvektor értelmével azonos oldalra esik, a háromszög pozitív oldalának nevezzük). Ezután válasszunk ki a merev testben tetszőlegesen egy D pontot. Ha tudjuk, hogy ez a pont pl. a háromszög pozitív oldalán van és az A, B, C pontoktól AD, BD, CD távolságra található, akkor a D pontjának új – helyét az A’, B’, C’ pontok új helyének ismeretében mindig meghatározhatjuk, hiszen a mozgás folyamán mindig fennáll, hogy AD = A' D', BD = B' D' , CD = C' D' . A merev test mozgásának megadásához tehát elegendő az rA = rA ( t ), rB = rB ( t ), rC = rC ( t ) mozgásfüggvények ismerete. Ez ugyan kilenc skalármennyiséget jelent, de a 2 rAB = ( rB − rA ) 2 = áll.,

1.31. ábra

2 rBC = ( rC − rB ) 2 = áll., és 2 rAB = ( rB − rA ) 2 = áll., feltételek miatt a merev test szabadságfoka általános esetben hat.

1.32. ábra.

Azt, hogy a merev test mozgását hat adattal (általános koordinátával) egyértelműen megadhatjuk, a következő gondolatmenettel is beláthatjuk az 1.33. ábra alapján. Válasszuk ki a testnek egy tetszőleges A pontját, melynek helyvektorát az rA = rA ( t ) vektor-skalár függvénnyel adhatjuk meg. Vegyünk fel az A pontban egy x’, y’, z’ koordinátarendszert, melynek tengelyei párhuzamosak az eredeti x, y, z rendszer tengelyeivel, valamint egy, a merev testhez kötött ξ, η, ζ koordináta rendszert. Mivel a merev test az a ponthoz képest csak forgó mozgást végezhet, helyzetét megadhatjuk, ha ismerjük a testhez kötött koordinátarendszer helyzetét a vesszőshöz képest. A koordinátatengelyek irányait, ill.

33

iránycosinuszait kilenc adat jellemzi, ez a szám azonban az iránycosinuszok közötti hat összefüggés miatt háromra csökken. A fennmaradó három független adatot – Euler után – a következőképpen célszerű megválasztani. Határozzuk meg az x’, y’ és a ξ, η koordinátasíkok metszésvonalát, melyet a továbbiakban csomóvonalnak nevezünk (1.33. ábrán k-val jelöltük).

1.33. ábra. Ezek után a következő, ún. Euler-féle szögeket definiáljuk:

Ψ = ∠( x ' , k ) , precessziós szög, υ = ∠( z ' , ζ ), nutációs szög, φ = ∠( k, ξ ), a saját forgás szöge. A Ψ a z’, a ν a k, a φ a ζ tengely körüli forgást jelent. Ezekkel, az elforgatott ξ, η, ζ tengelyek helyzetét egyértelműen megadhatjuk. Az xA = xA(t), yA = yA(t), Ψ = Ψ( t ), ν = ν( t ), φ = φ( t ) skalárfüggvények egymástól függetlenek és a merev test helyzetét az eredeti x, y, z koordinátarendszerben pontosan megadják. A mozgás szabadságfoka tehát valóban hat. A merevségi feltétel miatt a merev test tetszőleges két pontjának sebességei és gyorsulásai között is bizonyos kötöttségek lépnek fel. Tétel: A merev test tetszőleges két pontjában a sebességeknek a két pontot összekötő egyenesre vett vetülete egyenlő (a sebességek összeférhetőségi tétele vagy a rúdirányú sebességek tétele). Bizonyítás: Differenciáljuk (1.22.)-t az idő szerint. 2 rij r&ij 2( rj − ri )( r&j − r&i ) = 0,

1.23

ahol

r&ij = r&j − r&i = v ij = v j − v i a Pj pont Pi ponthoz viszonyított sebessége, a relatív sebesség. Legyen n a Pi és Pj pontot öszszekötő egyenes irányának egységvektora.

34

1.34. ábra Ekkor

r&ij n ( v j − v i ) = 0 , v j n − v i n = 0, tehát

v jn = v in .

A tétel nagyon szemléletes, hiszen, ha a PiPj távolság a mozgás folyamán nem változhat, akkor a két pontot összekötő irányba eső sebességkomponenseknek meg kell egyezniük (1.34. ábra). Tétel: A merev test tetszőleges két pontjában a gyorsulásoknak a két pontot összekötő egyenesre vett vetületének a különbsége mindig − v ij2 / rij , ahol v ij - a relatív sebesség, rij - a két pontot összekötő egyenes hossza ( a gyorsulások összeférhetőségi tétele). Bizonyítás: Differenciáljuk (1.23)-t az idő szerint. r&ij v ij + rij v& ij = ( r&j − r&i )( r&j − r&i ) + ( rj − ri )(&r&j − &r&i ) = 0. ( v j − v i ) 2 + rij ( a j − a i ) = 0, v ij2 + rija ij = 0, itt a ij = a j − a i − a Pj pontnak a Pi ponthoz viszonyított gyorsulása, a relatív gyorsulás.

v ij2 + rij n ( a j − a i ) = 0 v ij2 + rij (a jn − a jn ) = 0, innen

1.24

35

a jn − a in = a ijn = −

v ij2 rij

.

A fenti két tétel értelmét és jelentését még egyszerűbben megérthetjük, ha belátjuk, hogy egy merev test valamely pontja egy másikhoz képest – az rij = áll. miatt – csak forgómozgást végezhet. Ezért a Pj pont viszonyított sebessége (függetlenül Pi mozgásától) csak érintő irányú, azaz a PiPj egyenesre merőleges lehet. Ugyanakkor a viszonyított gyorsulásnak a két pontot összekötő egyenesére vett vetülete a forgómozgás normális, jelen esetben a PiPj irányú gyorsuláskomponensével egyezik meg (1.35. ábra).

1.35. ábra 1.3.2. A MEREV TEST MOZGÁSÁLLAPOTA Legyen r0 a merev test egy tetszőlegesen választott 0 pontjának, rj valamely Pj pontjának helyvektora az x, y, z koordinátarendszerben. Ekkor az r0 j = rj − r0 vektor az 0 pontból a Pj pontba mutató helyvektort jelenti. Ennek állása és nagysága függ a viszonyítási 0 pont és a Pj futópont helyétől. A fenti kifejezésből:

rj = r0 + r0 j ,

1.25

amely megadta a tetszőleges Pj pont helyét, ami a fentiek szerint a Pj pont 0 ponthoz viszonyított helyének és - ha a test mozog - az időnek a függvénye. A mozgásfüggvény tehát általánosan így írható:

rj = rj ( r0 j , t ).

1.26

A kétváltozós függvény független vektorváltozóját, r0j − t rögzítve megkapjuk a merev test Pj pontjának

rj = rj ( t )

1.27

36

mozgástörvényét, a független skalárváltozót, azaz az időt rögzítve megkapjuk a test pontjainak rj = rj ( r0 j ) 1.28 helyét az adott pillanatban. A merev test pontjainak sebességét és gyorsulását formailag az (1.26)-os kifejezés differenciálásával nyerjük: v j = r&j = v j ( r0 j , t ), 1.29/a a j = &r&j = a j ( r0 j , t ), 1.29/b amelyek megadják adott r0 j esetén a Pj pont sebesség-és gyorsulásfüggvényét:

v j = v j ( t ),

1.30/a

a j = a j ( t) ,

1.30/b

ill. adott t időpillanatban a test összes pontjának sebességét és gyorsulását. A v j = v j ( r0 j )

1.31

és

a j = a j ( r0 j )

1.32

függvényeket a merev test adott időpillanathoz tartozó sebesség-, a ill. gyorsulásállapotának nevezzük. Az (1.31), (1.32) összefüggések a test minden pontjához egy-egy vektort rendelnek, a sebesség- és gyorsulásállapot tehát egy-egy vektormezőt, teret alkot. A sebesség- és gyorsulásállapot együttesét a merev test mozgásállapotának nevezzük. Ha minden pillanatban adott a mozgásállapot, a merev test mozgását ismertnek tekinthetjük. A merev test hosszabb időszakhoz tartozó mozgását véges mozgásnak nevezzük. A véges mozgást mindig úgy tekintjük, mint egymást követő, igen kicsi ∆t időszakhoz tartozó, ún. elemi mozgások összességét. Ha a ∆t időszakokat elegendően kicsire választjuk, akkor az időtől függő – elemi mozgások helyett az adott időszakhoz tartozó, ebben az elemi időszakban állandónak tekinthető mozgásállapottal számolhatunk. Mivel a merev test véges mozgásának időbeli vizsgálata általában nagyon bonyolult, a kinematikai feladatot a mozgásállapot vizsgálatára vezetjük vissza. Ennek ugyan hátránya, hogy nem tudjuk a test mozgását időben végig követni, de lehetőség nyílik arra, hogy az általunk tetszőlegesen kiválasztott – fontosnak, vagy jellemzőnek tartott – időpont(ok)ban a mozgás összes jellemzőjét meghatározzuk. A műszaki gyakorlatban előforduló mozgások többsége olyan, hogy ez az eljárás alkalmas a felmerülő problémák megoldására. 1.3.3. A SEBESSÉGÁLLAPOT A merev test sebességállapotát akkor tekinthetjük ismertnek, ha ismerjük minden pontjának sebességvektorát. Mivel végtelen sok sebességvektort nem tudunk megadni, olyan összefüggést kell meghatároznunk, amellyel a tetszőleges pont sebességét kiszámíthatjuk. Meg kell tehát keresnünk a v j = v j ( r0 j ) függvény konkrét alakját.

1.36. ábra

Adjuk meg a test egy pontjának helyvektorát az (1.25)-ös kifejezéssel úgy, hogy a Pi pont legyen az 0 viszonyítási pont:

37

rj = r0 + r0 j . Az idő szerint differenciálva: v j = r&j = r&0 + r&0 j = v 0 + v 0 j .

1.33

E szerint tetszőleges pont sebességét megkapjuk, ha a viszonyítási pont sebességvektorához hozzáadjuk a relatív sebességvektort. Az (1.23)-as kifejezés, amely esetünkben a

r0 j v 0 j = 0

1.34

formát ölti, alapján megállapíthatjuk, hogy r0 j ⊥v 0 j , hisz a skalárszorzat értéke nulla. A relatív sebesség iránya tehát már adott, nagyságát kell még meghatároznunk. Tétel: A relatív sebesség mindig megadható a v 0 j = v 0 j ( r0 j ) = ω0 x r0 j alakban, ahol ω0 − a merev test pillanatnyi szögsebesség vektora. Bizonyítás: A merevségi feltétel miatt a testben felvett 0P1P2 háromszög alakja a mozgás folyamán nem változhat meg. Az ebben a síkban felvett tetszőleges Pj pont helyvektora így mindig felírható az r01 és r02 vektorok lineáris kombinációjaként (1.37. ábra):

r0 j = k1r01 + k 2 r02 ,

1.35

ahol k1, k2 – skalárok, a mozgástól, azaz az időtől független mennyiségek. Az x, y, z koordinátarendszerben a mozgó test r01 , r02 , r0 j helyvektorai természetesen az idő függvényei, differenciálva (1.35)-öt: ha dr dr v 01 = 01 , v 02 = 02 , akkor dt dt dr d v 0 j = 0 j = ( k1r01 + k 2 r02 ) = dt dt = k 1 v 01 + k 2 v 02 = Ω 0 r0 j

1.37. ábra

1.36

ahol Ω 0 homogén lineáris vektoroperátor, más néven tenzor, tehát a relatív sebesség vektor a helyvektorok homogén, lineáris függvénye. A kapcsolat ezért kifejezhető

egy tenzor segítségével:

v 0j = Ω 0 r0j ,

1.37

ahol Ω 0 - az ún. szögsebesség-tenzor, melyet az x, y, z koordináta rendszerben egy 3x3-as mátrixszal reprezentálunk. (1.34) miatt r0 j v 0 j = r0 j Ω 0 r0 j = 0,

38

ami tetszőleges r0 j vektor esetén akkor állhat csak fenn, ha Ω 0 ferdén szimmetrikus tenzor , vagy másik nevén antiszimmetrikus tenzor. Tetszőleges antiszimmetrikus tenzorhoz azonban mindig meghatározandó egy olyan vektor, amellyel r0 j -t vektorálisan szorozva ugyanazt az eredményt kapjuk, tehát v 0 j = Ω 0 r0 j = ω0 xr0 j ,

1.38

ahol ω0 - az ún. szögsebesség-vektor. A vektor iránya az (0 ponton átmenő) forgástengelyt jelöli ki, nagysága pedig a tengely körüli forgás szögsebességét adja. Ha az x, y, z koordinátarendszerben ω0 = ω x i + ω y j + ω z k , akkor a szögsebesség-tenzor mátrixa az alábbi alakot ölti:

 0  Ω0 =  ωz  − ω y

− ωz 0 ωx

ωy   − ωx  . 0 

Az (1.33) kifejezés ezzel a következő formát veszi fel:

v j = v 0 + ω0 xr0 j ,

1.39

ami a merev test sebességállapotát egyértelműen meghatározza. A sebességállapot megadásához tehát a viszonyítási pont pillanatnyi v 0 sebességére és a pillanatnyi ω0 szögsebességre van szükség. Mindkét vektort az 0 ponthoz szoktuk kötni és a merev test kinematjának nevezzük őket. Vizsgáljuk meg, hogyan változik meg a merev test kinematja, ha megváltoztatjuk a vonatkozási pontot. Tétel: A kinemat sebességvektora függ a vonatkoztatási pont megválasztásától és a vonatkoztatási pont pillanatnyi sebességével egyezik meg. Bizonyítás: Az (1.39)-es összefüggés azt mutatja, hogy a merev test pontjainak sebessége általában különböző. Ha másik vonatkoztatási pontot választunk, akkor az (1.39) kifejezés első tagjaként – az (1.33) összefüggésnek megfelelően - az új vonatkoztatási pont sebességét kell megadni. Tétel: A kinemat szögsebesség vektora nem függ a vonatkoztatási pont megválasztásától, az a merev test minden pontjában ugyanaz. Bizonyítás: Legyen az új vonatkozatási pont, a merev test kinematikája ezzel: v A , ωA . Határozzuk meg egy tetszőleges Pj pont sebességét.

v j = v A + ωA xrAj de

rAj = r0j − r0A

miatt

v j = v A + ωA x ( r0 j − r0 A ) = = v A + ωA xr0j − ωA xr0A = = v A + ωA x(− r0A ) + ωA xr0j = = v 0 + ωA xr0j

.

Ha a Pj pont sebességét az § vonatkoztatási pontból határoznánk meg: v j = v 0 + ω0 xr0 j . Összehasonlítva a két kifejezést, azok csak akkor lehetnek egyenlők, ha ωA = ω0 = ω . 1.38. ábra Mivel az A pontot tetszőlegesen választottuk, a fenti egyenlőség azt jelenti, hogy a merev test szögsebessége minden pontban megegyezik. A megállapítás szemléletünkkel is jól egyezik, hiszen, ha pl. a test két részének szögsebessége különbözne, az csak úgy képzelhető el, hogy a test két, egymástól független részből áll, ami viszont ellenkezik a merev test fogalmával. Tétel: Egy adott vonatkoztatási ponthoz tartozó szögsebesség vektor hatásvonala mentén tetszőlegesen eltolható anélkül, hogy a test sebességállapota megváltozna. Bizonyítás: Az egyik vonatkoztatási pont legyen 0, a másik a pillanatnyi forgástengelyen lévő A pont. Egy tetszőleges Pj pont sebességvektora az 0 vonatkoztatási pontból meghatározva:

v j = v 0 + ω xr0 j , az A vonatkoztatási pontból:

v j = v A + ω xrAj = v 0 + ω xr0 A + ω x ( r0 j − r0 A ) . Mivel ω r0 A , vektoriális szorzatuk nulla, így

v j = v 0 + ω xr0 j , tehát a két pontból számított sebesség megegyezik. Vegyük észre, hogy mellékeredményként azt is megállapítottuk, hogy a pillanatnyi forgástengely pontjainak sebességvektora megegyezik, v A = v 0 . Ennek birtokában úgy is bizonyíthatnánk a tételt, hogy a merev test kinematja a forgástengely minden pontjában ugyan az ( v 0 és ω ) , tehát a szögsebesség vektor támadáspontjának nincs meghatározó szerepe. A szögsebesség vektort így nem támadáspontjához, hanem a vonatkoztatási ponton átmenő hatásvonalához köthetjük. Tétel: Egy pillanatnyi forgástengelyen kívül eső pontnak a forgástengely bármely pontjához viszonyított sebessége megegyezik.

40

1.39. ábra

1.40. ábra

Bizonyítás: A forgástengelyen felvett két vonatkoztatási pontból számítva a Pj pont sebességét, az előző melléktétel felhasználásával rögtön adódik, hogy

v 0 j = v Aj .

vagy

ω xr0 j = ω xrAj .

A tétel egyébként a vektorális szorzat tulajdonságaiból is következik. A relatív sebesség merőleges az ω és az r0 j vektorok által alkotott síkra ( rAj ) is ebbe a síkba esik), nagysága pedig ω r0 j sin α 0 = ωR j ,

ω rAj sin α A = ωR j ,

1.40/a,b

tehát szintén azonos. A fenti kifejezésekben ω a pillanatnyi szögsebesség nagysága, Rj pedig a Pj pont távolsága a forgástengelytől. Tétel: A merev test valamely Pj pontján átmenő, a pillanatnyi forgástengellyel párhuzamos egyenes pontjainak sebessége megegyezik. Bizonyítás:

v j = v 0 + ω xr0 j , v k = v 0 + ω xr0 k = v 0 + ω x ( r0 j + rjk ) = = v 0 + ω xr0 j = v j , mert

ω rjk . 1.3.4. AZ ELEMI MOZGÁSOK CSOPORTOSÍTÁSA

1.41. ábra

Mint láttuk, a merev test pillanatnyi sebességállapotát kinematjával, azaz valamely vonatkoztatási pontjának v 0 sebességével és ω szögsebesség vektorával adhatjuk meg. A kinemat két vektorának jellem-

41

zői alapján az elemi mozgásokat néhány alapvető.mozgástípusra bonthatjuk. I. v 0 = 0 ,

ω = 0.

A merev test tetszőleges pontjának sebessége: v j = v 0 + ω xr0 j = 0 , tehát az adott pillanatban a test minden pontjának nulla a sebessége. A test pillanatnyi nyugalomban van. II. v 0 ≠ 0 , ω = 0 . A merev test tetszőleges pontjáénak sebessége:

v j = v 0 + ω xr0 j = v 0 , tehát a test minden pontja a vonatkoztatási pont sebességével mozog. Az ilyen mozgást elemi haladó vagy transzlációs mozgásnak nevezzük. A sebességállapot vektormezője homogén. A Pj pont elemi elmozdulása a ∆t időszak alatt:

∆rj = v j ∆t = v 0 ∆t = ∆r0 , minden pontban megegyezik. Ebből az 1.42. ábra következik, hogy véges időszak mozgását tekintve, a test pontjainak pályagörbéje egybevágó. A fentiek alapján az elemi haladó mozgást végző test kinematikai szempontból egyetlen egy ponttal helyettesíthető, a mozgás szabadságfoka három. III. v 0 = 0 ,

ω ≠ 0.

Tetszőleges pont sebessége:

v j = v 0 + ω xr0 j = ω xr0 j .

1.41

Az 1.33. fejezet utolsó tételének értelmében az 0 ponton átmenő, ω − val párhuzamos egyenes pontjainak sebessége nulla. Ez az egyenes pillanatnyilag nyugalomban van, neve: pillanatnyi forgástengely. Az elemi időszak alatt a Pj pont elmozdulása:

∆rj = v j ∆t = ( ω xr0 j ) ∆t = ω ∆txr0 j = ∆φxr0 j ,

1.42

ahol ∆ φ .- az elemi időszakhoz tartozó szögelfordulás vektor, iránya egybeesik a pillanatnyi szögsebesség vektorral, nagysága az elemi szögelfordulás. A szögsebesség és a szögelfordulás kapcsolata:

Kinematika9

42

∆φ dφ . 1.43 = ∆t →0 ∆t dt Az elemi elmozdulás merőleges ∆φ és r0 j síkω = lim

jára, nagysága ∆rj = ∆ φ r0 j sin α j = ∆φR j , ahol Rj – a Pj pont távolsága a pillanatnyi forgástengelytől. A merev test forgástengelyen kívül eső pontjai tehát Rj sugarú köríven mozognak. A körpálya síkja merőleges a pillanatnyi forgástengelyre. A mozgást elemi forgó vagy rotációs mozgásnak nevezzük. A pillanatnyi sebességvektor (1.41) szerint merőleges ω és r0 j síkjára, tehát a körpálya Pjbeli érintőjébe esik, nagysága 1.43. ábra

v j = v j = ω r0j sinα j = ωR j , 1.44 Tehát a Pj pont forgástemgelytől mért távolságával egyenesen arányos. A sebességállapot vektormezőjét ilyen esetben rotációsnak nevezzük. A pillanatnyi forgástengellyel szembe nézve az 1.44. ábra szerint

tgα v =

vj rj

= ω = áll. ,

1,45

ami azt jelenti, hogy a forgástengely valamely pontján átmenő, arra merőleges síkon a 1.44. ábra merev test pontjainak sebessége azonos α v szög alatt látszik. Az elemi forgó mozgás egyéb törvényszerűségeivel a síkmozgásnál foglalkozunk részletesebben. Az elemi forgó mozgást az ω szögsebesség vektor egyértelműen meghatározza (hallgatólagosan feltételezve, hogy ismerjük a test egy nyugvó pontjának helyét), a mozgás szabadságfoka három. Szokták a rotációs mozgást – tévesen – egy szabadságfokúnak nevezni. Ez csak akkor helyes, ha eleve ismertnek tételezzük fel a forgástengelyt. Ilyenkor elegendő a φ = φ( t ) szögelfordulás megadása. IV. v 0 ≠ 0,

ω ≠ 0.

1. Vizsgáljuk meg először, végezhet –e ebben az esetben a merev test elemi forgó mozgást, s ha igen, mi a feltétele? Az elemi forgómozgás jellemzője a pillanatnyi nyugalomban lévő forgástengely. Nézzük meg, van-e olyan pont, melyre teljesül:

v A = v 0 + ω xr0A = 0 .

1.46

Kinematika9

43

Innen rögtön látszik, hogy v 0 = ω xr0 A = r0A x ω , tehát az r0A helyvektornak merőlegesnek kell lennie v 0 -ra. Szorozzuk be ω -val skalárisan (1.46)-ot: v 0 ω + ( ω xr0A ) ω = 0, innen a második tag eltűnése miatt v 0 ω = 0. (1.46) tehát akkor állhat fenn, ha v o ⊥ ω , a kinemat két vektora merőleges egymásra. Ebben az esetben azonban végtelen sok ilyen pont van, hiszen az A ponton átmenő, ϖ -val párhuzamos egyenes minden pontjának nulla a sebessége, így éppen ez a pillanatnyi forgástengely. Az A pont helyvektorának meghatározásához szorozzuk be (1.46)-ot balról ϖ -val vektoriálisan:

ω xv o + ω x( ω xroA ) = 0 , ω xv o + ω (roA ω ) − roA ( ω ω ) = 0 . Innen roA =

ω xv 0 ω (roA ω ) + . &2 ω ω2

Keressük éppen azt az A’ pontot, amelynek helyvektora r0A , merőleges ϖ -ra. Ekkor r0A' merőleges ϖ =0 miatt: roA' =

ω xv 0 . ω2

1.47

Ez a vektor merőleges v 0 -ra és ω -ra is. Nagysága ezért π ω v 0 sin( ) 2 = v0 . r0A' = 2 ω ω A fentiek alapján ha v o ≠ 0 , ω ≠ 0

1.45. ábra

1.48

és v o ⊥ ω , akkor elemi forgómozgással állunk

szemben. A pillanatnyi forgástengely a v 0 -ra merőleges síkon az 0 pontban ω -ra merőlegesen felvett egyenesen r0A' = v 0 /ω távolságon elhelyezkedő, ω -val párhuzamos egyenes. 2. Ha v o ≠ 0 , ω ≠ 0 és v o ω ≠ 0, akkor – az előbbieket figyelembe véve – a testnek nincsen olyan pontja, amelyik nyugalomban van. A mozgás elemzéséhez vizsgáljuk meg, van-e

Kinematika9

44

olyan pont, melynek sebességvektora párhuzamos a szögsebesség-vektorral. Ha

ω v A , ak-

kor ω xv A = 0 ,

1.49

(1.39) felhasználásával:

ω xv 0 + ω x( ω xr0A ) = 0 , ω xv 0 + ω (r0A ω ) − r0A ( ω ω ) = 0 . A fenti kifejezésből meghatározhatjuk azt a helyvektort, melyre (1.49) fennáll. r0A =

ω xv 0 ω (r0A ω ) + . ω2 ω2

Ha most is azt az A’ pontot keressük, amelynek r0A , helyvektora merőleges az ω szögsebességvektorra, akkor ω xv 0 r0A' = 1.50 ω2 Abszolút értéke: v r0A' = 0 sinβ ahol β = ∠(v 0 , ω ) . ω Határozzuk meg ennek a pontnak a sebességét:

1.46. ábra

[

]

ω xv 0 1 = v 0 + 2 ω (v 0 ω ) − v 0 ω 2 = 2 ω ω vϖ vϖ = v0 + ϖ 0 2 − v0 = ϖ 0 2 .

v A' = v 0 + ω xr0A' = v 0 + ω x

ϖ

ϖ

Írjuk fel a szögsebességvektort ω = ω e ω alakban, ahol e ω - a forgástengely egységvektora. Ekkor a fenti kifejezés az alábbi formát ölti: v A' = ωeϖ

v 0 ω eϖ = (v 0 e ω ) e ω = v ω e ω . ω2 v A' = v 0 cosβ

Az A’ és vele együtt az ezen a ponton átmenő ω -val párhuzamos egyenes minden pontjának sebessége tehát a v 0 sebességvektornak a szögsebességvektor irányára vett vetületével egyenlő. Iránya pedig valóban párhuzamos a szögsebességvektorral. Az A’ ponton átmenő, ω -val párhuzamos egyenest pillanatnyi csavartengelynek nevezzük, mert a test mozgását úgy képzelhetjük el, hogy a v ω sebességgel a tengely irányában mozog, miközben ezen tengely körül ϖ szögsebességgel forog. Ilyen jellegű a csavar mozgása is. Azt mondjuk, hogy ilyen feltételek mellett, a test elemi csavarmozgást végez. Vegyük

45

azonban észre, hogy az elemi cssavarmozgás elemi haladó és forgó mozgás összegeként is felfogható. 1.3.5. MOZGÁSRENDSZEREK A merev test mozgásállapotát egyidejűleg több elemi mozgás jellemezheti. Az egyidejűleg ható elemi mozgások összességét mozgásrendszernek nevezzük. 1. Álljon a mozgásrendszer két azonos nagyságú, ellentétes értelmű, párhuzamos szögsebesség-vektorból, ún. forgáspárból. Tétel: A forgáspár mindig elemi haladómozgást eredményez. A pillanatnyi sebesség a test minden pontjában: v j = ω x b , ahol ω = ω1 = − ω 2 , b − a két forgástengelyt összekötő helyvektor. Bizonyítás: Tetszőleges Pj pontban a sebesség a két pillanatnyi forgómozgásból származó sebességek vektorális összegeként adódik: v j = v j1 + v j2 = ω1 xr1 + ω 2 xr2 = = ω1 xr1 + (− ω1 )xr2 = ω1 x(r1 − r2 ) = ω xb Mivel P1–t tetszőlegesen választottuk, a merev test minden pontjának sebességvektora ugyanaz. Nagysága v j = v j = ω b sin α = ωd,

1.47. ábra

1.52

ahol d – a két tengely távolsága, iránya pedig merőleges a két tengely által alkotott síkra. Az elemi haladó mozgás tehát mindig helyettesíthető egy forgáspárral.

2. Egyenértékű mozgásrendszerek Két mozgásrendszer egyenértékű, ha a merev test egyik mozgásrendszerből számított sebességei pontonként megegyeznek a másik mozgásrendszerből számított sebességekkel. Valamely mozgásrendszerrel egyenértékű, a lehető legegyszerűbb mozgásrendszert eredő mozgásrendszernek nevezzük. Mivel a haladómozgás forgáspárral helyettesíthető, egy mozgásrendszert szögsebesség-vektorok rendszereként adhatunk meg. A merev test sebesség állapotát ismerjük, ha meg tudjuk adni tetszőleges Pj pontban a v j sebességvektort. A sebességek vektoriálisan összegezhetők, így a Pj pont sebessége, ha a testen a Pi pontban ωi szögsebesség-vektor működik (i = 1, 2, ….., n):

v j = ∑ (ωi xrij ) n

1.53

i =1

ahol rij - a Pi pontból a Pj pontba mutató helyvektor. Két mozgásrendszer egyenértékűségének eldöntéséhez az (1.53)-as kifejezéssel a test minden pontját meg kellene vizsgálni. Ez lehetetlen, az egyenértékűség eldöntéséhez tehát más módszerekhez kell folyamodnunk.

46

Tétel: Két mozgásrendszer egyenértékű, ha a merev test egyik pontjának sebessége a két szögsebesség rendszerből számítva megegyezik és a szögsebesség-vektorok eredője is egyenlő. Bizonyítás: A tétel értelmében egy A pontban a sebesség: n

m

i =1

k =1

v A = ∑ ( ωi x r iA ) = ∑ ( ωk x r kA ) n

m

i =1

k =1

és

∑ ωi = ∑ ωk = ω , ωi (i=1,2,….,n) – az egyik mozgásrendszer, ωk (k=1,2,…m) – a másik mozgásrendszer.

ahol

Határozzuk meg egy Pj pont sebességét. Az első mozgásrendszerrel:

1.48. ábra

n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

v j = ∑ ( ωi xrij ) = ∑ ( ωi x (riA + rAj )) = ∑ ( ωi xriA ) + ∑ ωi xrAj = v A + ω xrAj . A második mozgásrendszerrel.: m

m

m

m

k =1

k =1

k =1

k =1

v j = ∑ ( ω k xrkj ) = ∑ ( ω k x(rkA + rAj )) = ∑ ( ωk xrkA ) + ∑ ω k xrAj = v A + ω xrAj . A két rendszerből számított sebesség megegyezik, a két mozgásrendszer tehát valóban egyenértékű. Tétel: Két mozgásrendszer egyenértékű, ha három, nem egy egyenesbe eső pontjának sebessége a két rendszerből számítva megegyezik. Bizonyítás: Jelöljük a két mozgásrendszert most is az i és k indexszel. Írjuk fel a tétel állítását az A, B és C pontokra: n

m

v A = ∑ ( ωi xriA ) = ∑ ( ω k xrkA ), i= j

jk =1

n

m

v B = v A + ∑ ωi xrAB = v A + ∑ ωk xrAB i =1

k =1

n

m

i =1

k =1

v C = v A + ∑ ωi xrAC = v A + ∑ ωk xrAC . 1.49. ábra ba:

Alakítsuk át a két utolsó egyenletet az alábbi formá-

47

m n  ω − ∑ i ∑ ω k  xrAB = 0, k =1  i =1 

m n  ω − ∑ i ∑ ω k  xrAC = 0 . k =1  i =1 

Mivel A, B, C nem egy egyenesbe esik, a fenti két egyenlőség csak úgy állhat fenn, ha a szögletes zárójelben lévő mennyiségek nullával egyenlők, amiből: n

m

∑ω = ∑ω i =1

i

k =1

k

= ω.

A két mozgásrendszerből számítva tehát, v A és ω megegyezik, ami - az előző tétel értelmében - az egyenértékűség feltétele. Az eredmény összhangban van azzal a korábbi állítással, hogy a merev test mozgását három pontjának mozgástörvénye meghatározza. Mint látjuk, sebességállapotát három pontjának sebessége szintén meghatározza. A fenti két tétel egyben azt is mutatja, hogy egy tetszőleges mozgásrendszer két vektorral, a merev test egy pontjának sebessége- és szögsebesség vektorával jellemezhető. Ez teljes összhangban van az (1.39)-es kifejezés tartalmi jelentésével. A v A és ω vektorok által alkotott kinemat tehát a tetszőleges mozgás1.50. ábra rendszer eredője. Egy ωi (i=1,2,….,n) mozgásrendszer eredőjét az alábbi gondolatmenettel igen szemléletesen meghatározhatjuk. Válasszunk ki a merev testben tetszőlegesen egy A pontot (vonatkoztatási pont). Vegyünk fel ebben a pontban a Pi pont szögsebesség-vektorával azonos és ellentétes ωi és − ωi vektorokat (1.51. ábra). E két utóbbi szögsebesség-vektor összege nulla, így az eredeti mozgásrendszer nem változott meg. Az eredeti ωi és a felvett − ωi forgáspárt alkot, tehát helyettesíthetjük egy – az elemi haladó mozgásra jellemző – sebességvektorral: v Ai = ωi xriA . A Pi pontban működő egyetlen ωi szögsebesség helyettesíthető az A pontban ható v Ai és ωi vektorokkal jellemzett mozgásrendszerrel. Minden szögsebességre elvégezve ezt az átalakítást, eredményül az A pontban a n

v A = ∑ v Ai , i =1

n

ω = ∑ ωi i =1

vektorokkal jellemzett, eredő mozgásrendszerhez jutunk.

1.51. ábra

48

1.3.6. A GYORSULÁSÁLLAPOT Az a j = a j (r0j ) gyorsulásállapot konkrét alakját az (1.33), ill. (1.39) kifejezések differenciálásával nyerjük: a j = v& j = v& 0 + v& 0j = v& 0 ahol

a0

d( ω xr0j ) dt

& xr + ω xr& = a + εxr + ω x( ω xr ), = v& 0 + ω 0j 0j 0 0j 0j

1.54

- az 0 vonatkoztatási pont gyorsulása,

dω - a szöggyorsulás-vektor, a szögsebesség-vektor idő szerinti differencidt álhányadosa, melyet az 0 ponthoz kötve értelmezünk. Korábban láttuk, hogy ω egy adott időpontban a merev test minden pontjában ugyanaz. Ebből és a szöggyorsulás definíciójából következik, hogy ε is az egész testre jellemző mennyiség. ε=

Alakítsuk át (1.54)-et: a j − a 0 = a 0j = εxr0j + ω x( ω xr0j ) = a 0j1 + a 0j2

1.55

a 0j - a Pj pont 0 ponthoz viszonyított gyorsulása. A kifejezés mutatja, hogy a relatív gyorsulás két komponensből áll

a 0j1 = εxr0j ,

1.56

amelyik merőleges az ε és r0 j által alakított síkra, nagysága:

a 0j1 = ε r0j sinα,

[

]

a 0j2 = ω x( ω xr0j ) = ω (r0j α ω ) − r0j ( ω ω ) = ω 2 e ω (r0j e ω ) − r0j = ω 2 R j n j ,

1.57

itt figyelembe vettük, hogy ω = ωe ω és

(r0j e ω )e ω − r0j = R j n j ,

1.52. ábra

1.58

1.53. ábra

49

ahol Rj – a Pj pontnak a pillanatnyi forgástengelytől mért távolsága, n j - a fenti távolságnak a forgástengely irányába mutató egységvektora. A gyorsuláskomponens nagysága:

a 0j2 = R j ω 2 .

1.59

A merev test gyorsulásállapotát tehát egyértelműen meghatározza egy pontjának gyorsulása, valamin t az adott időpontra jellemző szögsebesség- és szöggyorsulás-vektor. Ez a három mozgásjellemző azonban a sebességállapot időbeli változásának ismeretében számítható. Az elemi mozgások gyorsulásállapotának elemzésével külön nem foglalkozunk, csupán arra hívjuk fel a figyelmet, hogy pillanatnyi nyugalom – azaz v 0 = 0 és ω = 0 - esetén az (1.54)-es kifejezés az a j = a 0 + εxr0j alakot ölti, ami azt mutatja, hogy – bár a sebességállapot nulla – a test gyorsulásállapota csak további feltételek teljesülése esetén lehet nulla. 1.3.7. VÉGES MOZGÁSOK Mint korábban már definiáltuk, a véges mozgás elemi mozgások egymás utáni sorozatának tekinthető. A véges mozgásokat az szerint osztályozhatjuk, hogy milyen elemi mozgásokból épülnek fel. 1.3.7.1. VÉGES HALADÓ MOZGÁS A véges haladó mozgás elemi haladó mozgások egymásutánja. Adott elemi időszakban, ill. időpontban a mozgás kinematja:

v 0 = v 0 (t) és ω = ω (t) = 0 . Ha ismerjük a merev test valamely vonatkoztatási pontjának sebességét az idő függvényében, minden pont mozgásjellemzőjét meghatározhatjuk, hiszen v j = v j (t) = v 0 (t) , r j (t) = rKj + ∫ v j (t)dt = rKj + ∫ v 0 (t)dt,

1.60

a j = a j (t) = v& j (t) = v& 0 (t) = a 0 (t), ahol rKj - a Pj pont helyvektora a t = to időpillanatban. (1.60) második összefüggése azt mutatja, hogy a merev test pontjainak pályái egybevágóak, egymáshoz képest csak eltolt helyzetűek, ami egyben azt jelenti, – s ez a véges haladó mozgás egyik igen szemléletes tulajdonsága – hogy a testen felvett tetszőleges egyenes a mozgás folyamán eredeti helyzetével mindig párhuzamos marad (1.54. ábra). A véges haladó mozgás kinematikai szempontból egyetlen pont mozgásával helyettesíthető. A mozgás szabadságfoka három. 1.3.7.2. VÉGES FORGÓ MOZGÁSOK a/ Álló tengely körüli véges forgó mozgás olyan elemi forgómozgások egymásutánjának tekinthető, ahol a forgástengely helyzete állandó, a szögsebesség-vektor tehát ω = ω (t) = ω(t)e ω ,

50

1.54. ábra

ahol e ω - az álló forgástengely egységvektora. A mozgás kinematja, ha a vonatkoztatási pontot célszerűen a forgástengelyen vesszük fel.: v 0 = v 0 (t) = 0 és ω = ω (t) = ω(t)e ω . Tetszőleges pont sebessége: 1.61/a v j = v j (t) = ω (t)xr0j = ω(t)(e ω xr0j ), a sebesség nagysága: v j (t) = v j (t) = ω(t) r0j sinα j = ω(t)R j .

1.61/b

Az összefüggések szerint tetszőleges pont sebessége az adott ponton átmenő, e ω -re merőleges síkon van s nagysága egy adott pillanatban a forgástengelytől mért Rj távolsággal arányos. most is érvényes (1.61/b) miatt az (1.44)-es kifejezés állítása, mi szerint a Pj ponton átmenő, e ω -re merőleges síkon a forgástengelytől nézve ugyanabban a pillanatban minden ponton sebességvektora ugyanakkora α v szög alatt látszik. A merevségi feltétel miatt a test valamely Pj pontja a forgástengely körül R j = r0j sinα j sugarú köríven mozog. A pálya ismeretében elegendő a Pj pont pályabefutás függvényét meghatározni 1.61/b) miatt

s j (t) = ∫ v j (t) dt = ω(t)R j dt = R j ∫ ω(t)dt = s jo + R jϕ (t),

1.62

ahol s j0 - a t = to-hoz tartozó ívkoordináta,

ϕ( t ) - a szögelfordulás-függvény, melyet vektorként is értelmezhetünk:

ϕ (t) = ϕ (t)e ω . Tetszőleges pont gyorsulása: & (t)xr + ω (t)xr& = a j = a j (t) = v& j (t) = ω 0j 0j & (t)e ω xr0j + ω(t)e ω xv j = ω ε(t)e ω xr0j + ω 2 (t)e ω x(e ω xr0j ), 1.55. ábra

itt

51

a je (t) = ε(t)e ω xr0j - az érintő irányú gyorsuláskomponens, mert a vektor párhuzamos a sebességvektorral, hiszen az ε(t) = ω& (t) szöggyorsulás vektora csak e ω irányú lehet. Az érintő irányú gyorsulás nagysága: a je (t) = a je (t) = ε(t) r0j sinα j = ε(t)R j ,

1.63/a

a jn (t) = ω 2 (t) e ω x( e ω x r0j ) = ω 2 (t)R j n j - a

normális irányú gyorsulás, mint azt az (1.57)-es összefüggésnél már megállapítottuk, nagysága:

a jn (t) = a jn (t) = ω 2 (t)R j .

1.63/b

Az eredő gyorsulás abszolút értéke: 1.56. ábra aj = aj = a +a 2 je

2 jn

= R j ε (t) + ω (t) , 2

4

1.63/c

adott pillanatban tehát a Pj pont forgástengelytől mért Rj távolságával arányos. Az eredő gyorsulásvektornak a normális iránnyal bezárt szöge:

tgβ a =

a je a jn

=

ε(t) , ω 2 (t)

1.63/d

egy adott pillanatban tehát ez is állandó. Tétel: A Pj ponton átmenő e ω -ra merőleges síkon a forgástengelyből nézve egy adott pillanatban a sík tetszőleges pontjának gyorsulásvektora azonos α a szög alatt látszik. Bizonyítás: (1.63/c, d) miatt a Pj pontot, az ezen átmenő sík és a forgástengely döféspontját, valamint a gyorsulásvektorok végpontját összekötő egyenesek alkotta háromszögek mindig hasonlóak. A gyorsulásvektorral szemközti α a szögek tehát egyenlők. A fentiek alapján az álló tengely körüli véges forgómozgást – a forgástengely helyének ismeretében – az ω = ω( t ) skalárfüggvénnyel egyértelműen leírhatjuk. A mozgás szabadságfoka egy. Ha ismerjük egy forgástengelyen kívüli pont mozgásjellemzőit, az összes többi mozgásjellemző már meghatározható. Ilyen értelemben elegendő itt is egyetlen egy pont vizsgálatára szorítkozni. b/ Síkmozgás Síkmozgást végez a test, ha van olyan sík, amellyel a merev test minden pontja – a vizsgált véges időszakban – párhuzamosan mozog. A definícióból azonnal következik, hogy az egyes pontok pályái síkgörbék és az egyes sebesség- és gyorsulásvektorok hatásvonalai is párhuzamosak a kérdéses síkkal. Legyen ez a sík az ábrán felvett x, y sík, melyet a továbbiakban álló alapsíknak nevezünk.

52

Tétel: A síkmozgás olyan elemi forgómozgások sorozata, amelynél a pillanatnyi forgástengelyek egymással párhuzamosak. Bizonyítás: Tetszőleges pont sebességét az ismert összefüggés adja:

v j = v 0 + v 0j = v 0 + ω xr0j . A definícióból következik, hogy a v j és a v 0 vektoroknak párhuzamosaknak kell lenniük az álló alapsíkkal. Ez viszont maga után vonja azt, hogy a v 0 j viszonyított sebesség is párhuzamos ezzel a síkkal. A v 0j = ω xr0j vektoriális szorzat tulaj-

1.57. ábra

donságaiból pedig az következik, hogy

v 0j ⊥ ω ,

ill.

v 0 ⊥ ω.

1.64

Az elemi mozgások vizsgálatánál láttuk, hogy a fenti feltételeknek eleget tevő mozgás elemi forgómozgás. Mivel v 0 (t) mindig párhuzamos az álló alapsíkkal és (1.64) a véges időtartamú mozgás minden pillanatban fennáll, a szögsebesség-vektort az alábbi formában írhatjuk: ω (t) = ω(t)e ω ,

1.65

ahol e ω - a szögsebesség irányát megadott egységvektor, az időtől független, állandó vektor, e ω egyben az álló alapsík normálvektora. Tétel: A síkmozgást végző test sebességállapotának megadásához elegendő ismerni valamelyik, az álló alapsíkkal párhuzamos síkmetszetének sebességállapotát. Bizonyítás: Az 1.33. fejezet utolsó tétele szerint a pillanatnyi forgástengellyel párhuzamos egyenesek pontjainak sebességvektorai megegyeznek, így egy adott pillanatban elegendő az egyenes egy pontjának sebességét ismerni. Ezeket a pontokat célszerűen úgy választjuk meg, hogy a pontok összessége a merev testnek valamelyik, az alapsíkkal párhuzamos síkmetszetét adják. Mivel a mozgás folyamán a pillanatnyi forgástengelyek egymással párhuzamosak, az így kiválasztott síkmetszet véges időtartamú mozgása az egész test mozgását jellemzi. Mozgó alapsíknak nevezzük azt a síkot, amelyet a síkmetszethez kötünk. Vegyük fel ebben a síkban az x’, y’ koordinátarendszert a síkmetszet mozdulatlan. Legyen egy adott pillanatban a pillanatnyi forgástengely döféspontja az álló alapsíkon Ω , a mozgó alapsíkon Ω ' . Ezeket a pontokat pillanatnyi sebességpólusnak vagy momentán centrumnak nevezzük.

53

Tétel: A síkmetszet sebességállapotát meghatározza egy pontjának sebességvektora és egy másik pontban a sebesség iránya. Bizonyítás: Legyen adott az A pont v A sebessége és a B pont sebességének b iránya (1.58.ábra). Az elemi forgás törvényszerűségeiből következik, hogy a pillanatnyi sebességpólus a két sebesség hatásvonalára állított merőlegesek metszéspontján van. Az Ω és az A pont távolságának ismeretében a pillanatnyi szögsebesség meghatározható:

Ω=

vA . rΩA

1.58. ábra

Ezzel tetszőleges Pj pont sebessége: v j = ωe ω xrωj , vagy skalár alakban v j = ωrωj , a sebesség iránya pedig az Ω Pj egyenesre merőleges. A B pont sebessége: v B = ω e ω xrΩB . A B pont sebességét azonban más gondolatmenettel is meghatározhatjuk. Általánosan igaz, hogy v B = v A + v AB = v A + ω xrAB , 1.66 azaz a B pont sebessége az A pont sebességének és a B pontnak az A-hoz viszonyított sebességének vektorális összege. A síkmozgás definíciója és a merevségi feltétel miatt azonban a B pont az A-hoz viszonyítva csak az álló alapsíkkal párhuzamos helyzetű, rAB sugarú köríven mozoghat. A v AB sebesség iránya tehát rAB -re merőleges (ezt a gondolatmenetet fejezi ki a v AB = ω xrAB , ω ⊥ rAB összefüggés is). Amennyiben ismerjük v B irányát, nagyságát (1.66) alapján egy vektorháromszög felrajzolásával az (1.59) ábrának megfelelően meghatározhatjuk, v A végpontjában húzunk egy, az AB irányra merőleges egyenest, v A kezdőpontból egy a b iránnyal párhuzamos egyenest. A három egyenes által alkotott háromszög éppen a sebességvektorokat adja irány és nagyság szerint. A sebességvektoroknak ezt a szerkesztett ábráját sebességtervnek nevezzük. 1.59. ábra A B pont sebességének meghatáro-

54

zásához felhasználhatjuk a már korábban bizonyított rúdirányú sebességek tételét is. Ezt a tételt síkmozgásnál könnyen beláthatjuk, hiszen v AB ⊥ rAB miatt a v A és v B sebességek AB irányra vett vetületének – (1.66) alapján – meg kell egyezniük, v B szerkesztését az 1.60 ábra szemlélteti. Tétel: Az A és B pontok sebességvektorát a pillanatnyi sebességpólus irányába forgatva (90°-os° azonos irányú forgatás), a végpontokat összekötő egyenes párhuzamos az AB iránnyal (elforgatott sebességek tétele). Bizonyítás: Elemi forgómozgásánál a sebesség arányos a sugárral (pólusponttól mért távolsággal), így az elforgatott sebességek az rΩA és rΩB távolságokat azonos arányban osztják két részre. A geometriából ismert párhuzamos szelők tételének megfordításával tehát az említett két egyenesnek párhuzamosnak kell lennie egymással (1.61. ábra).

1.60. ábra

Tétel: A pillanatnyi sebességpólusok mind álló, mid mozgó alapsíkon (legalább szakaszonként) folytonos görbét írnak le. Bizonyítás: Legyen egy adott pillanatban a síkmetszet egy tetszőleges A pontjának helyvektora rA , sebességre v A , szögsebessége ω, pillanatnyi Ω sebességpólusának helyvektora rΩ . Az 1.62. ábra alapján: rΩ = rA − rΩA . Az Ω és A pontot összekötő pedig:

egyenes hossza 1.61. ábra

rΩA = rΩA =

vA

ω

.

Legyen rΩA = x ΩA i + y ΩA j . A v A sebességvektor és az összetevői által alkotott háromszög, valamint az rΩA és összetevői által alkotott háromszög hasonló, ezért a következő arányosságok írhatók fel: v Ay dy A dt dy A r x ΩA = v Ay ΩA = = = = y ϕA , vA ω dt dϕ dϕ

55

rΩA v Ax dx A dt dx A = = = = x ϕA , vA ω dt dϕ dϕ ahol a ϕ felső indexszel a szögelfordulás szerinti differenciálást jelöltük. A fentiek alapján tetszőleges időpontban a sebességpólus helyvektora: y ΩA = v Ax

rΩ ( t ) = rA ( t ) + y ϕA ( t ) i − x ϕA ( t ) j = rA ( t ) + .

v Ay ( t ) ω( t )

i−

v Ax ( t ) j ω( t )

1.67

Amennyiben rA (t), v A (t) és ω (t) folytonos (vagy legalább szakaszonként folytonos) függvények – amit a kinematikában mindig feltételezünk – (1.67) szerint rΩ (t ) is folytonos. (1.67) tulajdonképpen az Ω pont mozgástörvénye az álló koordináta rendszerben és minden időpillanathoz egyértelműen hozzárendeli a pillanatnyi f orgástengely helyét. Az Ω pont pályáját álló pólusgörbének vagy álló centroisnak nevezzük. Határ ozzuk meg most az Ω ’ pont helyvektorát r ' helyvektorát a mozgó alapsík x’, y’ koordinátarendszerében a síkmetszet pontjai mozdulatlanok, így az A pont r ' A helyvektora az időben állandó. Az ábra alapján a pillanatnyi sebességpólus helyvektora: r' Ω = r ' A − r ' ΩA

és

1.62. ábra

, r' ΩA = x' ΩA i '+ y'ΩA j' ahol i ' és j' a mozgó koordinátarendszer tengelyeinek egységvektorai, melyek nagysága egységnyi, de irányuk az időnek függvénye. Az x’, y’ koordinátarendszer az x, y-hoz képest haladó és forgó mozgást végezhet. A haladó mozgás a mozgó koordinátarendszerben megadott vektorok koordinátáit nem befolyásolja, 1.63. ábra a forgó mozgás következtében azonban ezek transzformálódnak. A forgó mozgást a a transzformáció szempontjából azzal a ϕ( t ) szöggel jellemezhetjük, amelyet az x’ tengely az x tengellyel bezár. Ez a szög azonban nem más, mint a síkmetszetnek a t időponthoz tartozó, álló alapsíkhoz viszonyított elfordulása, ω( t ) és alkalmasan választott kezdeti feltételek mellett: ϕ( t ) = ϕ o + ∫ ω( t )dt.

56

Az (1.63) ábra alapján az Ω A pontot összekötő helyvektor álló és mozgó koordinátarendszerbeli koordinátái között a következő kapcsolat áll fenn: x ' ΩA = − x ΩA cos ϕ( t ) + y ΩA sin ϕ( t ), y' ΩA = − x ΩA sin ϕ( t ) + y ΩA cos ϕ( t ). Így az Ω' helyvektora:

 v Ay ( t )   v (t) cos ϕ( t ) + Ax sin ϕ( t )  i '+   − ω( t )  ω( t )   r ' Ω ( t ) = r ' A ( t ) −  .  v Ay ( t )  v ( t )  sin ϕ( t ) + Ax cos ϕ( t )  j'   ω( t )  ω( t )  

1.68

A fenti kifejezés megadja a pillanatnyi póluspont mozgástörvényét a síkmetszethez kapcsolt, mozgó koordinátarendszerben. Az előbbiekkel megegyező feltételek mellett ez is folytonos függvény. A pont pályáját mozgó pólusgörbének vagy mozgó centroisnak nevezzük. A síkmozgás folyamán tehát az álló és mozgó pólusgörbéknek mindig van egy közös pontja, a pillanatnyi sebességpólus vagy forgástengely. A sebességmező ennek megfelelően minden pillanatban rotációs, úgy mint álló tengely körüli forgásnál, azzal a különbséggel, hogy a rotációs mező középpontja, a forgáspont maga is mozgásban van. A forgáspont mozgástörvényét éppen az (1.67) és (1.68) összefüggések adják. Ilyen értelemben beszélhetünk a pillanatnyi forgástengely sebességéről, az un. pólusvándorlás sebességről. Tétel: A pólusvándorlás sebességvektora mind az álló, mind a mozgó koordinátarendszerben megegyezik. Bizonyítás: A fenti tételt analitikusan az (1.67) és (1.68) kifejezések differenciálásával és alkalmas koordináta transzformációjával beláthatjuk. Szemléletesebb és egyszerűbb azonban a következő gondolatmenet. Tudjuk, hogy a két pólusgörbének a t és t+ ∆t pillanatban közösek a pontjaik (1.64.ábra). Ha az Ω és Ω' póluspontok egymáshoz viszonyított sebessége nulla, akkor az elemi ∆t időszak alatti ∆r és ∆r ' elmozdulásoknak egyrészt meg kell 1.64. ábra egyezni, másrészt a két pólusgörbe pillanatnyi érintőjének irányába kell esniük. Az elmozdulás-vektorok egyezéséből rögtön következik, hogy a pólusvándorlás sebessége mindkét koordináta rendszerben, azaz mind a két görbén azonos: vp =

dr dr ' = v p' = . dt dt

57

Gondolatmenetünk mellékeredményeként még azt kaptuk, hogy az álló és mozgó pólusgörbe adott pillanatban közös érintő mentén érintik egymást. Az olyan mozgást amelynél egy test egy másikhoz képest úgy mozog, hogy minden pillanatban egy közös érintő mentén érintkeznek és az érintkezési pontok egymáshoz viszonyított sebessége zérus, csúszásmentes vagy tiszta gördülőmozgásnak nevezzük. Tétel: A síkmozgás geometriája ( a mozgó test tetszőleges pillanatban elfoglalt helyzete) egyértelműen előállítható a síkmetszethez kapcsolt mozgó pólusgörbének az álló pólusgörbén való csúszásmentes legördítésével. Bizonyítás: Az előzőkből következik, hogy ismerve az álló és mozgó pólusgörbén a pillanatnyi póluspont helyét, a görbéket úgy egymásra helyezve, hogy érintőjük közös legyen, a mozgó alapsík és a hozzá kötött síkmetszet helyzete az álló alapsíkhoz képest egyértelműen meghatározott. A mozgó pólusgörbét ezután végiggördítve, a síkmetszetnek a mozgás folyamán 1.65. ábra fe vehető összes helyzetét megkapjuk. A pólusgörbék ismerete azonban a mozgás időbeli lefolyásáról nem mond semmit. Ahhoz szükség van még a pillanatnyi szögsebességre az idő vagy a sebességpólus helyének függvényében. Vizsgáljuk meg ezek után a síkmozgást végző test gyorsulásállapotát. Tétel: A síkmozgást végző test bármely pontjának tetszőleges másik pontjához viszonyított gyorsulása mindig felbontható egy a sebességgel párhuzamos, érintő irányú és egy arra merőleges , normális irányú gyorsuláskomponensre. Bizonyítás: A gyorsulásállapot általános tárgyalásánál már beláttuk, hogy a viszonyított gyorsulás két összetevőre bontható.

a j − a 0 = a 0j = εxr0j + ω x( ω xr0j ). A síkmozgás definíciójából következik, hogy az a 0j viszonyított gyorsulásvektor párhuzamos az alapsíkokkal, hiszen a j

és

a 0 feltétlenül az. Az (1.57)-es kifejezés szerint

a 0jn = ω x( ω xr0j ) = ω 2 R j n j , ahol

1.69

n j − az ω -ra merőleges síkban lévő, a pillanatnyi forgástengely felé mutató egység-

vektor. Mivel n j ⊥ v j , a fenti gyorsuláskomponens éppen normális irányú. Ezekből rögtön következik, hogy az

58

a 0je = εxr0j

1.70

összetevőnek is párhuzamosnak kell lennie az alapsíkokkal. Síkmozgásnál d ω (t) dωω(t ε(t) = = e ω = ε(t)e ω , dt dt tehát a szöggyorsulás minden pillanatban párhuzamos a szögsebességvektorral, azaz merőleges az alapsíkra. A vektoriális szorzat definíciója alapján pedig tudjuk, hogy így ez a gyorsuláskomponens párhuzamos a v j sebességvektorral, tehát érintő irányú. Tétel: A síkmozgást végző test a gyorsulások szempontjából is helyettesíthető a szögsebességvektorra merőleges valamely síkmetszetének gyorsulásállapotával. Bizonyítás: Vegyünk fel a testben egy Pj és egy Pk pontot úgy, hogy összekötő egyenesük legyen párhuzamos a szögsebességvektorral, azaz

r jk = λe ω , ahol λ - tetszőleges szám. A Pk pont gyorsulása:

[

]

a k = a 0 + εxr0k + ω x(ω xr0k ) = a 0 + εx(r0j + λe ω ) + ω x ω x(r0j + λe ω ) = = a 0 + εxr0j + ω x( ω xr0j ) = a j , mert ω eω , így vektoriális szorzatuk nulla. A fenti egyenlőség azt mutatja, hogy a pillanatnyi forgástengellyel párhuzamos egyenesen lévő pontok gyorsulása megegyezik. Elegendő tehát egy pont gyorsulását ismerni az adott egyenesen. E pontokat most is úgy vehetjük fel, hogy egy síkot alkossanak, azaz célszerűen a sebességeknél használt síkmetszetet választhatjuk. Tétel: A síkmetszet tetszőleges pontjában a viszonyított gyorsulás vektorának kezdő és végpontja a viszonyítási pontból azonos α a szög alatt látszik és a viszonyított gyorsulás nagysága arányos a viszonyítási ponttól mért távolsággal, Bizonyítás: A viszonyított gyorsulás nagysága: 2 2 a 0j = a 0j = a 0je + a 0jn = ε 2 r0j2 + ω 4 r0j2 = r0j ε 2 + ω 4 .

Egy adott pillanatban ε és ω síkmetszet minden pontjára érvényes, így a 0j valóban lineáris függvénye az r0j távolságnak. A viszonyított gyorsulások mezeje tehát rotációs. Határozzuk meg a viszonyított gyorsulás és az rj0 vektor által bezárt szöget (1.66.ábra):

59

tgβ =

a 0je a 0jn

=

εr0j 2

ω r0j

=

ε = áll. ω2

Ez azonban azt jelenti, hogy az OPj egyenes és az a 0 j vektor végpontja által alkotott háromszögek hasonlóak, tehát az α a szögek egyenlők. Tétel: A síkmetszeten, ill. a hozzá kapcsolt síkon minden időpillanatban található egy olyan pont, amelynek a gyorsulása éppen nulla. Bizonyítás: Az a j = a 0 + a 0 j kifejezés azt mutatja, hogy a síkmetszet gyorsulásmezeje az a 0 -nak megfelelő homogén és az

1.66. ábra

a 0j -nak megfelelő rotációs vektormező összege. A rotációs vektormező egy vektort mindig csak egyszer tartalmaz, így a gyorsulás ott lesz nulla, ahol a rotációs vektormező gyorsulása éppen a homogén vektormező a 0 gyorsulásának ellentettje. Ezt a pontot – a sebességpólus analógiájára – gyorsuláspólusnak nevezzük. Tétel: A pillanatnyi gyorsuláspólusból a síkmetszet bármely pontjában a gyorsulásvektor kezdő- és végpontja azonos α a szög alatt látszik, ahol α a megegyezik a viszonyított gyorsulásnál meghatározott szöggel. Bizonyítás: Ha a Q gyorsuláspólust választjuk vonatkoztatási pontnak, akkor – a Q = 0 miatt – tetszőleges pontnak a gyorsuláspólushoz viszonyított gyorsulása egyben az abszolút gyorsulás lesz: a j = a Qj = εxrQj + ω x(ω xrQj ) . Ez azonban azt jelenti, hogy a viszonyított gyorsulásra kimondott tételek a pillanatnyi gyorsuláspólushoz viszonyított, jelen esetben azonban abszolút gyorsulásokra is érvényben maradnak. A fenti tétel lehetővé teszi a gyorsuláspólus helyének meghatározását, ha ismerjük a síkmetszet két pontjának gyorsulását. Legyen a B pontnak az A ponthoz viszonyított gyorsulása a AB = a A − a B , amely az A pontból α a szög alatt látszik. A gyorsulásokhoz β szög alatt felvett egyenesek metszéspontja kimetszi a Q pillanatnyi gyorsuláspólus helyét.

1.67. ábra

60

A gyorsuláspólusnak kinematikai szempontból nincs olyan nagy jelentősége, mint a sebességpólusnak, ezért annak további tulajdonságaival nem foglalkozunk. A síkmetszet tetszőleges pontjának gyorsulását az

a j = a 0 + a 0je + a 0jn

1.72

összefüggés, ill. az (1.69) és (1.70) kifejezések felhasználásával meg is szerkeszthetjük. A szerkesztő eljárást gyorsulásterv rajzolásnak nevezzük. Előbb azonban ássuk be, hogy a viszonyított gyorsulás normális irányú összetevőjének nagyságát szerkesztéssel az 1.68. ábrán látható módon egyszerűen meghatározhatjuk. Mérjük fel a Pj pontban a v 0j viszonyított sebességet (az 0Pj irányra merőlegesen és alkalmasan megválasztott léptékben), majd ennek végpontját kössük össze az 0 viszonyítási ponttal. Erre az egyenesre emeljünk merőlegest a viszonyított sebesség végpontjában. Ez a merőleges az 0Pj-re fektetett egyenesen kimetszi az x távolságot. Az ábrán látható két háromszög hasonlóságának felhasználásával.

x = v0j

v0j r0 j

=

v 02 j r0 j

= ω2 r0 j = a 0 jn .

Ezek után szerkesszük meg a Pj pont gyorsulását, ha ismert az a 0 és a Pj pontbeli gyorsulás1.68. ábra

vektor hatásvonala (1.69. ábra). Az a 0 gyorsulás végpontjában vegyük fel az előbb megszerkesztett a 0 jn gyorsulást (iránya az 0Pj-vel párhuzamos és

az 0 pont felé mutat). Ennek végpontjából húzzunk egy olyan egyenest, amelyik merőleges az 0Pj rúdirányra. Az a 0 vektor kezdőpontjából húzzunk párhuzamost az aj gyorsulásvektor ismert irányával. A két utóbbi egyenes metszéspontja megadja az a j és az a 0je vektorok nagyságát és nyílértelmét. A fentiek alapján nyilvánvaló, hogy a síkmozgás szabadságfoka három. A három egymástól független adatot többféleképpen is megválaszthatjuk. Megadhatjuk például a síkmetszet két pontjának mozgástörvényét. Az rA (t) és rB (t) síkbeli vektorok azonban a merevségi feltétel 2 ([rA (t) − rB (t)] = áll.) miatt csak három független skalárfüggvényt jelentenek. Megadhatjuk a mozgást úgy is, hogy előírjuk az álló és mozgó pólusgörbe y = y(x) és y’ = y’(x’) egyenletét, valamint a pillanatnyi szögsebességet az idő vagy a hely függvényeként ( ω = ω( t ), ω = ω( x, y)). Csak megemlítjük, hogy a pólusgörbék egyenlete, illetve azok görbületi sugara és a pólusvándorlás sebessége is meghatározza a síkmozgást.

mozgás (gömbmoz1.69. ábra

c/ Álló pont körüli véges forgógás)

61

A gömbmozgás olyan elemi forgómozgás egymásutánja, amelynél a pillanatnyi szögsebességvektorok hatásvonalai, tehát a pillanatnyi forgástengelyek egy pontban metszik egymást. A merev testnek ez a pontja nyugalomban van, összes többi pontja pedig a forgáspont köré írt gömbfelületen mozoghat. A vonatkoztatási pontot célszerűen a forgáspontban vesszük fel (1.70.ábra). Ekkor a mozgás kinematja:

v 0 = 0,

ω = ω (t).

A mozgás szabadságfoka tehát három. Tetszőleges pont sebessége:

v j = ω xcr0j , nagysága egy adott pillanatban:

v j = ωr0 j sin α = ωR j . A Pj pont gyorsulása:

a j = εxr0j + ω xv j 1.70. ábra Nem szabad elfelejtenünk, hogy ε és ω általában nem párhuzamos vektorok. A síkmozgás tulajdonképpen a gömbmozgás határesete, melynél a forgáspont a végtelenben van, így a pillanatnyi szögsebességvektorok egymással párhuzamosak. A hasonlóság miatt a síkmozgásnál levezetett törvényszerűségek közül sok a gömbmozgásra is értelemszerűen alkalmazható. d/ Általános véges forgómozgás. Olyan elemi forgómozgások sorozata, amelynél a pillanatnyi szögsebességvektorok tetszőlegesek. Helytálló koordinátarendszerben ezek a pillanatnyi forgástengelyek egy egyenes alkotójú felületet, az ún. álló alapfelületet adják. A testhez kötött, mozgó koordináta rendszerben a forgástengelyek ún. mozgó alapfelületet alkotnak. A két alapfelület minden pillanatban egy alkotó mentén érintkezik egymással. A mozgás folyamán a mozgó alapfelület legördül

1.71. ábra

62

az álló alapfelületen. Álló pont körüli forgómozgás esetén az alapfelületek kúpok. Síkmozgás esetén az alapfelületek hengerek. Ezeknek a hengereknek az alkotójukra merőleges síkmetszetei adják az álló és mozgó pólusgörbét (1.71.ábra). 1.3.7.3. VÉGES CSAVARMOZGÁS A véges csavarmozgás elemi csavarmozgások sorozata. A mozgást az általános véges forgómozgáshoz hasonlóan értelmezhetjük azzal a kiegészítéssel, hogy a két egyenes alkotójú alapfelület az egymáson való gördülés közben a pillanatnyi alkotóval – forgástengellyel – párhuzamosan el is csúszik egymáson, annak megfelelően, hogy a test a forgástengely irányában halad és forog is egyszerre. 1.3.7.4. ÁLTALÁNOS VÉGES MOZGÁS A legáltalánosabb esetben a merev test mozgása olyan elemi haladó, forgó és csavarmozgások sorozata, amelyek részeikben is véges mozgásokat jelentenek. A mozgást ennek megfelelően úgy vizsgálhatjuk, hogy a teljes mozgást az előzőekben tárgyalt speciális véges mozgásszakaszokra bontjuk, és ezekre alkalmazzuk az ott megismert alapelveket és levezetett összefüggéseket. 1.4. SZERKEZETEK KINEMATIKÁJA Ha több merev testet valamilyen – mozgást megengedő – módon összekapcsolunk, olyan szerkezetet nyerünk, melyet kinematikai láncnak nevezünk. Ha a kinematikai lánc egyik vagy esetleg több elemét a térben rögzítjük, ún. mechanizmust kapunk. A mechanizmusok feladata, hogy az egymással összekapcsolt testek adott célnak megfelelően, szabatosan meghatározott mozgást végezzenek. A mechanizmust alkotó merev testeket a mechanizmus tagjainak, az egymással bármilyen módon, de egymáshoz viszonyítva elmozdíthatóan összekapcsolt két tag szerkezeti kialakítását kinematikai párnak nevezzük. A kinematikai párok, azaz a mechanizmus tagjainak kapcsolódási módjai igen sokfélék lehetnek. Az alábbi táblázat a kinematikai párokat kötöttségeik száma és fajtáik szerint csoportosítja. A kötöttségek száma alatt azt értjük, hogy két tag kapcsolata milyen mozgási lehetőséget akadályoz. Úgy állapítjuk meg, hogy a kapcsolat mely koordinátatengelyek irányában, ill. mentén gátolja a haladó mozgást, ill. a forgást. A fajta szerinti osztályozás azt jelenti, hogy a haladó és forgó mozgáslehetőségek milyen kombinációja gátolt, ill. valósítható meg. Térben a kötöttségek nélküli merev test mozgáslehetőségeinek a száma, azaz szabadságfoka hat. Ha a test egy másik testtel valamilyen kapcsolatba kerül – vele kinematikai párt alkot –, a mozgáslehetőségek száma általában kisebb lesz. Ha például 2vel csökken a mozgáslehetőségek száma, azt mondjuk, hogy a kinematikai pár kötöttsége kettő, szabadságfoka négy.

63

Kiemeljük, hogy a táblázat V. osztályú kinematikai párjai, a forgó mozgást megengedő csukló (csap és csapágy ) és a haladó mozgást lehetővé tevő kulisszakő és vezetéke. Mindkettő szabadságfoka egy és a gyakorlatban sűrűn előforduló, igen fontos szerkezeti elemek. 1.4.1. A MECHANIZMUSOK SZABADSÁGFOKA Ha a mechanizmus n tagból áll és ezek közül az egyik rögzített, akkor n-1 tag végez a rögzítetthez képest valamilyen mozgást. A mechanizmus szabadságfokát úgy számíthatjuk ki, hogy az n-1 tag szabad mozgásának megfelelő 6(n-1) szabadságfokból levonjuk a tagokat egymáshoz kapcsoló kinematikai párok kötöttségeinek a számát. Képletben: 5

f = f 0 − z = 6( n − 1) − 5p 5 − 4p 4 − 3p 3 − 2p 2 − 1p1 = 6( n − 1) − ∑ ip i , i =1

ahol pi – az i kötöttségű kinematikai párok száma.

1.73

64

Az (1.73)-as kifejezés azonban csak akkor általános érvényű, ha a szerkezet sem kiegészítő, sem passzív kötöttségeket nem tartalmaz. Passzív kötöttséget jelentenek az olyan szerkezeti elemek, amelyek a szerkezet mozgását nem befolyásolják, de – mint azt az (1.73)-as kifejezés első tagja mutatja – további (felesleges) szabadságfokot visznek a rendszerbe. Kiegészítő kötöttség úgy keletkezik, ha a mechanizmus szerkezeti felépítése olyan, hogy eleve csak valamilyen speciális mozgástípus jöhet szóba. Például, ha a mechanizmus forgástengelyei egymással párhuzamosak, akkor csak síkmozgásról lehet szó. Kiegészítő kötöttségek esetén az (1.73) képlet módosul:

f = (6 − k )( n − 1) −

5

∑ (i − k ) p ,

i = k +1

i

1.74

ahol k – a kiegészítő kötöttségnek megfelelő számérték (síkmozgásnál k=3). A síkbeli mechanizmusok, igen fontos szerepet játszanak a gyakorlatban, ezért célszerű a fenti kifejezést rögtön a rájuk vonatkozó formában felírni: f síkbeli = 3( n − 1) − 2 p 2 − 1p1 ,

1.75

ahol p2 – a síkban két kötöttségű kinematikai párok (csap-csapágy vagy kulisszakő-vezeték) száma, p1 – a síkban egy kötöttségű kinematikai párok (síkbeli támasztás) száma. Meg kell jegyeznünk, hogy a mechanizmusok szabadságfokának meghatározásánál a fenti képletek automatikus alkalmazása – a passzív kötöttségek miatt, melyek nem mindig ismerhetők fel könnyen – sokszor téves eredményre vezethet. Célszerű az így nyert eredményeket ellenőrizni, úgy, hogy szemlélet alapján meghatározzuk, hány adat szükséges a mechanizmus mozgásának egyértelmű leírásához. A független skalár koordináták száma éppen a szabadságfok számával egyezik meg. 1.4.2. A MECHANIZMUSOK MOZGÁSJELLEMZŐINEK MEGADÁSA A mechanizmus mozgását akkor tekintjük ismertnek, ha adott minden tagjának kinematja az idő függvényében: v 0i ( t ), ωi ( t ), i = 1,2,..., n. 1.76 (1.76) birtokában tetszőleges tag valamely pontjának helye, sebessége és gyorsulása meghatározható. A mechanizmusok térbeli mozgásának vizsgálata általában komoly nehézségeket okoz. Az egyes tagok sebesség- és gyorsulásállapota között a kinematikai párok teremtenek kapcsolatot. Két tag érintkezési pontja közös pontnak tekinthető, s így ebben a pontban az egyes tagok kinematjából külön-külön számítva a sebességeknek és gyorsulásoknak, ill. ezek bizonyos irányú összetevőinek meg kell egyezni. Az egyes tagok sebesség- és gyorsulásmezői közötti kapcsolatot viszonylag egyszerűen csak ún. gömbcsuklós láncok vagy síkbeli csuklós láncok (olyan mechanizmusok, ahol az egyes tagokat térbeli, vagy síkbeli csuklók kötik öszsze) esetében lehet meghatározni. Síkbeli mechanizmusok esetén a sebesség- és gyorsulásállapotok meghatározására igen jól alkalmazható a sebesség- és gyorsulásterv szerkesztése, ha csak bizonyos helyzetekben kívánjuk azokat meghatározni.

65

Amennyiben a sebesség- és gyorsulásállapotot az idő függvényében kívánjuk meghatározni, még egyszerűbb feladatok esetén is hosszadalmas és bonyolult számítást kell végeznünk. 1.4.3. NÉHÁNY EGYSZERŰ MECHANIZMUS KINEMATIKAI VIZSGÁLATA A műszaki gyakorlatban előforduló mechanizmusok igen bonyolultak, összetettek lehetnek. Ezek a mozgást közvetítő a mozgásjellemzőket meghatározó szerkezetek azonban viszonylag egyszerű, ún. alapmechanizmusok kombinációjának tekinthetők. A továbbiakban néhány ilyen egyszerű mechanizmust vizsgálunk meg. A vizsgálat alkalmat ad arra is, hogy konkrétan megismerjük azokat a módszereket, amelyekkel a mechanizmusok mozgásjellemzőit meghatározhatjuk. Az egyszerűség kedvéért csak síkbeli mechanizmusokkal foglalkozunk. 1.4.3.1. FORGATTYÚS MECHANIZMUS A forgattyús mechanizmus két típusát az 1.72. ábra szemlélteti. A felső centrikus, az alsó az excentrikus forgattyús mechanizmus. Az excentricitásra jellemző mennyiség az e távolság. A 2-es jelű rudat forgattyúkarnak, a 3-as jelűt hajtórúdnak (-karnak) nevezzük. A forgattyúkar álló tengely körüli forgómozgását a szerkezet a hajtókaron keresztül az A csúszka egyenes vonalú, alternáló mozgásává alakítja. Az alapmechanizmus kétfajta feladat ellátására alkalmas. Az első – gyakoribb – esetben a forgattyú karnak ω = áll. Szögsebességű mozgást adunk s a cél, egyenes-vonalú rezgő- (lengő) –mozgás kialakítása. Ilyenkor a csúszka és a hajtókar mozgásjellemzőit kell meghatároznunk. A másik esetben az alternáló mozgás törvényszerűsége adott és keressük a 2.es és 3-as jelű rúd mozgásjellemzőit. A mechanizmus szabadságfoka 1, hiszen: f = 3(n - 1) - 2p 2 − p1 = 3( 4 − 1) − 4.2 − 0 = 1 de könnyen beláthatjuk, hogy pl. a ϕ 2 szög ismerete a mechanizmus minden tagjának helyzetét egyértelműen meghatározza. Nézzük az első esetet centrikus mechanizmus esetén. Határozzuk meg a mozgásjellemzőket analitikus úton, azaz keressük a mechanizmus tagjainak mozgásjellemzőit az idő függvényé ben.

1.72. ábra

66

A kiindulási feltételből rögtön következik, hogy a 2-es jelű tag ω2 =áll. Szögsebességű forgómozgást végez. Ezt tudva, bármely pontjának sebessége és gyorsulása meghatározható. Pl. v B = ω2 12 , iránya merőleges az 0B sugárra, a B = a Bn = ω22 12 , iránya B-ből az 0-ba mutat. Az A csúszka a kényszerfeltétel miatt egyenes-vonalú mozgást végez. A pályabefutás törvényének megadásához vegyük fel kezdőpontként az 0 pontot. Tetszőleges t pillanatban A 1 helyét az xA ívkoordinátával adhatjuk meg. Legyen λ = 2 , ezzel, s az 1.72 ábra geometriájá13 nak felhasználásával: sin ϕ 3 = λ sin ϕ 2

1.77

és

1   x A = 12 cos ϕ 2 + 13 cos ϕ 3 = 12 cos ϕ 2 + cos ϕ 3 . λ  

1.78

Mivel ϕ 2 = ϕ 2 ( t ) = ω2 t, a fenti kifejezés a pályabefutás törvénye, igaz, hogy tartalmazza az egyenlőre ismeretlen ϕ 3 = ϕ 3 (ϕ 2 ( t )) függvényt. A sebességfüggvény:

dϕ  dϕ  dϕ 1   dϕ x& A = v A = 12  − sin ϕ 2 . 2 − sin ϕ 3 3  = −12 sin ϕ 2  2 + 3 . dt dt  dt  λ   dt (1.77) idő szerinti differenciálásával:

cos ϕ 3

dϕ 3 dϕ = λ cos ϕ 2 2 , dt dt

így  cos ϕ 2  v A = −12 ω2 1 + λ sin ϕ 2 , ( ϕ 2 = ω2 .t ) cos ϕ 3  

vagy (1.77) felhasználásával:     λ cos ϕ 2 λ sin 2ϕ 2 v A = −12 ω2 1 + sin ϕ = 1 ω sin ϕ +    2 2 2 2 1 − λ2 sin 2 ϕ 2  2 1 − λ2 sin 2 ϕ 2   

1.79/a

A csúszka gyorsulása (a számítás mellőzésével): 2  1  2 cos 2ϕ 2 (1 − λ2 sin 2 ϕ 2 ) + ϕ 2 (sin 2ϕ 2 )   λ 2 2 &x& A = a A = −12 ω2 cos ϕ 2 +  3 2 2 2 2   (1 − λ sin ϕ 2 )  

1.80/a

λ << 1 esetén λ magasabb hatványai elhanyagolhatóan kicsinyek lesznek, így (1.79/a) és (1.80/a) egyszerűsödik:

67

λ 1.79/b sin 2ϕ 2 ), 2 a A = −12 ω22 (cos ϕ 2 + λ cos 2ϕ 2 ). 1.80/b A célból, hogy lássuk λ -nak, tehát a forgattyúrúd és a hajtókar hosszának egymáshoz viszonyított szerepét, a 0- π szögtartományon ábrázoltuk az (1.78/a) és (1.80/a) függvényeket, ill. azok dimenziómentes kifejezéseit különböző λ paraméterek mellett. Jól látszik, hogy minél kisebb λ , annál jobban megközelíti az A csúszka mozgása a harmonikus rezgőmozgást. Vegyük észre azt is, hogy λ ≠ 0 esetben a gyorsulás pozitív és negatív maximumának abszolút értéke nem egyforma nagyságú. Ezt a jelenséget súrlódásos anyagszállításnál lehet kihasználni. Felhívjuk a figyelmet arra is, hogy a λ =1 esetnek a gyakorlatban nincs jelentősége. Hátra van még a hajtórúd mozgásállapotának meghatározása. Néhány speciális helyzettől eltekintve az transzlációs és rotációs mozgást végez egyszerre. Ha az A pontot választjuk transzlációs pontnak, a transzlációs sebesség vA, iránya az A pont pályájával párhuzamos. A rotációs szög sebességét meghatározhatjuk pl. az A pontnak a B-hez viszonyított sebességéből: v BA = v A − v B . A sebességvektorok analitikus felírása helyett azonban előbb célhoz érünk a sebességterv felhasználásával. A vektorháromszögre alkalmazott sinus-tétellel (1.74. ábra). π  sin  − ϕ 2  2  = 1 ω . cos ϕ 2 , v BA = v B 2 2 cos ϕ 3 π  sin  − ϕ 3  2  így v 1 cos ϕ 2 ω3 = BA = 2 ω2 . és 13 13 cos ϕ 3

v A = −12 ω2 (sin ϕ 2 +

1.73. ábra

68

ω3 = ω2

λ cos ϕ 2

1 − λ2 sin 2 ϕ 2

.

1.81/a

Ha λ << 1, ω3 = ω2 λ cos ϕ 2 .

1.81/b

Csak a közelítő formátumát felhasználva:

ε3 =

dω3 dϕ = −ω2 λ sin ϕ 2 2 = − ω22 λ sin φ2 , 1.82 dt dt

Ha t = 0, ϕ 2 = 0, ϕ 3 = 0 kerületi feltétel felhasználásával: 1.74. ábra ϕ 3 = ∫ ω dt = ∫ ω2 λ cos ω2 tdt = λ sin ω2 t + C, de C = 0, 3

így

Természetesen a ϕ 3 , ω3

ϕ 3 = λ sin ω2 t.

1.83

és ε 3 vektorok merőlegesek a mozgás síkjára.

Ha csak bizonyos helyzetben keressük a szerkezet mozgásjellemzőit, könnyebb a dolgunk. Határozzuk meg pl. az excentrikus forgattyús mechanizmus A csúszkájának sebességét és gyorsulását a ϕ 2 = 60o -os helyzetbe. (1.75. ábra). A v A = v B + v BA vektorösszefüggésnek megfelelő vektorháromszögből v A nagysága meghatározható (sebességterv-szerkesztés). A gyorsulástervnek megfelelő összefüggés: a A = a B + a BAn + a BAe . A normális irányú viszonyított gyorsulást is szerkeszthetjük. Ennél ügyelnünk kell arra, hogy a rajz- és sebességlépték önkényes felvétele után a gyorsuláslépték már nem választható szav2 badon, azt az a BAn szerkesztése – az a BAn = BA összefüggésnek megfelelően – már meghatárBA rozza. Az a B = 12 ω22 felhasználásával a gyorsulásterv megrajzolható és az ábráról aA, valamint a BAe a léptéknek megfelelően leolvasható. A hajtórúd szögsebessége az adott helyzetben: ω3 =

v BA , vagy 13

ω3 =

a BAn 13

69

a BAe a szöggyorsulás. 13 Teljesen analóg módon határozhatjuk meg a mozgásjellemzőket bármely más helyzetben. ε3 =

1.4.3.2. KULISSZÁS MECHANIZMUS Szerkezeti felépítését az 1.76. ábra mutatja. Szabadságfoka: 1. F = 3(n-1)-2p2-1p1 = 3(4-1)-2.4-1.0 = 1. Könnyen beláthatjuk, hogy a 2-es jelű forgattyúkar egyenletes forgása esetén a 4-es tag harmonikus rezgőmozgást végez. A szerkezetet számítás szempontjából úgy is felfoghatjuk, mint egy végtelen hosszúságú hajtórudas forgattyús mechanizmust. Így a4-es tag tetszőlegesen választott A pontjának mozgásjellemzői: x A = 12 cos ϕ 2 , 1.84/a x& A = −l 2 ω 2 sinϕ 2 , 1.84/b 2 &x& A = −12 ω 2 cosϕ 2 1.84/c

1.75. ábra

70

1.4.3.3. LENGŐ- ÉS FORGÓTAGOS KULISSZÁS MECHANIZMUS

l2 mennyisée get, ahol 12 – a 2-es jelű forgattyúkar hossza, e – pedig a két álló csukló távolsága. Ha λ> 1, (1.77/b. ábra) forgótagos, ha λ<1 (1.77/a. ábra) lengőtagos kulisszás mecha nizmusról beszélünk. A mechanizmus szabadságfoka: Vezessük be itt a λ =

1.76. ábra

f = 3(n-1) - 2p2 - 1p1 = 3(4-1) – 2.4-1.0 = l.

1.77. ábra Keressük ω2 = áll. Esetén a 4-es tag mozgásjellemzői. Ez az 0’ pont körül forgómozgást végez, elegendő tehát a ϕ4 = ϕ4 (t) szögelfordulás-függvény ismerete. Az ábra alapján:

tg ϕ 4 =

ϕ 4 ( t ) = arc tg

l 2 sin ϕ 2 és mivel ϕ 2 = ω2 t e + 12 cos ϕ 2

12 sin ω2 t λ sin ω2 t = arc tg . e + 12 cos ω2 t 1 + λ cos ω2 t

1.85/a

Rövid számolás után a szögsebesség: ω4 ( t ) =

dϕ 4 λ cos ω2 t + λ2 = ω2 . , dt 1 + λ2 + 2λ cos ω2 t

1.85/b

71

majd a szöggyorsulás: dω 4 sin ω2 t (λ3 − λ ) = ω2 . 1.85/c dt (1 + λ2 + 2λ cos ω2 t ) 2 Az (1.85/b) és © függvények dimenziómentes alakját az 1.78. ábrákon láthatjuk. A görbék jól mutatják, hogy a λ változtatásával mennyire különböző mozgásjellemzőkkel bíró mechanizmusokat lehet létrehozni. ε4 ( t) =

1.4.3.4. NÉGYTAGÚ CSUKLÓS MECHANIZMUS

1.78. ábra Az egyszerű, de gyakran előforduló mechanizmus vázlatát az 1.79. ábra mutatja. A 2es jelű tag a vezető tag, melynek szögsebessége általában előírt és ω2 = áll. A 4-es jelű elem a vezetett tag. A szerkezet szabadságfoka: f = 3(n-1) – 2p2-1p1= 3(4-1)-2.4-1.0 = 1. A mechanizmussal kapcsolatos sok lehetséges részfeladat közül határozzuk meg analitikai úton a 4 tag mozgásjellemzőit, ha ω2 = áll. A 4-es jelű tag a kényszerfeltételek következtében a C pont körüli forgó-, ill. lengő mozgást végez. Helyzetét tetszőleges időpillanatban a γ = γ[ϕ( t )] függvénnyel jellemezhetjük. Az ADC háromszögből: 13 sin β tg( γ − γ ' ( = , 1.86 14 − 13 cos β

72

az AEC háromszögből:

tg γ , =

12 sin ϕ . 1.87 11 − 12 cos ϕ

Az OAC és ABC háromszögekből cosinusz-tétellel: AC 2 = 112 + 122 − 2 l 1l 2 cos ϕ = ,

= 132 + 124 − 2l 3 l 4 cos β Ahonnan l 23 + l 24 − l 12 − l 22 cos β = + 2l 3 l 4

+

l 1l 2 cos ϕ = a + b cos ϕ l 3l 4 1.88/a

1.78. ábra ahol a=

l 23 + l 24 − l 21 − l 22 2l 3 l 4

és

b=

l 1l 2 . l 3l 4

1.88/b,c

(1.86), (1.87) és (1.88/a) összevonásával rövid számolás után:

tg γ =

l 1 − (a + b cos ϕ) 2 l 2 sin ϕ + 3 l 1l 2 cos ϕ l 4 − l 3 (a + b cos ϕ) l 2 sin ϕ.l 3 1 − (a + b cos ϕ) 2 1− [l 1 − l 2 cos ϕ][l 4 − l 3 (a + b cos ϕ)]

,

vagy a kevésbé ismert azonosság felhasználásával: γ = γ (ϕ) = arc tg

l 1 − (a + b cos ϕ) 2 l 2 sin ϕ + arc tg 3 . l 1 − l 2 cos ϕ l 4 − l 3 (a + b cos ϕ)

1.89

Ezzel tetszőleges ϕ szögű vezető tag álláshoz megkaptuk a vezetett tag helyzetét. A vezetett tag szögsebességét és szöggyorsulását (1.89) idő szerinti differenciálásával kapnánk. Ez elég körülményes, helyette használjuk fel az A Ω 3 B háromszög és a v B = v A + v BA vektorösszefüggésnek megfelelő háromszög hasonlóságát és írjuk fel a háromszögben a sinus-tételt: v A ω2 l 2 sin(180o − β) sin β , = = = v B ω4 l 4 sin(180o − α) sin α ahonnan

73

ω4 = ω2

l 2 sin α l sin(360 o − ϕ − γ − β) . = ω2 2 l 4 sin β l4 sin β

1.90

A γ és β szögeket az (1.88/a) és (1.89) összefüggések megadják, így (1.90) a keresett ω4 = ω4 [ϕ( t )] szögsebesség-függvény. (1.90)-et átalakítjuk az 1.79 ábra két derékszögű, hasonló háromszöge alapján:

ω4 l 2 sin α x = = , ω2 l 4 sin β x + l 1 s innen

ω4 = ω2

x . x + l1

1.91

Ez utóbbi összefüggés lehetővé teszi a 4-es tag szélső helyzeteinek meghatározását, mert ω4 akkor nulla, ha x = 0, azaz a 3-as jelű tag ill. annak meghosszabbítása átmegy az 0 ponton. A szélső helyzetet tehát úgy kapjuk, hogy a B pont pályájának l 4 sugarú körívét az 0 pontból felvett l 3 + l 2 és l 3 − l 2 sugarú körívekkel metszésre hozzuk. Az így nyer F1 és F2 pontokat fordulópontnak nevezzük (1.80. ábra). A 4-es tag szöggyorsulását (1.90) idő szerinti differenciálásával nyerjük.

ε4 =

dω 4 l = ω2 2 dt l4

cos α sin β

dα dβ − sin α cos β dt dt sin 2 β

de (1.88/a) differenciálásával:

l l sin ϕ dβ = ω2 1 2 , dt l 3l 4 sin β (1.88/a)-hoz hasonló összefüggést írhatunk fel az 0B átlóra is: l 22 + l 23 − l 12 − l 24 l 1l 4 + cos γ, l 2l 3 2l 2 l 3

cos α = majd differenciálva:

l l sin γ dα = ω4 . 1 4 . dt l 2 l 3 sin α Ezekkel a differenciálhányadosokkal:

ε 4 = ω2

l2 l4

cos α sin β

l 1l 4 ll sin γ sin ϕ ω4 − sin α cos β 1 2 ω2 l 2l 3 sin α l 3l 4 sin β , 2 sin β

74

valamint (1.90) figyelembevételével:

ε 4 = ω22

l 1l 2 l 3l 4

cos α sin γ −

l2 sin ϕ sin α ctg β l4 sin 2 β

1.92

A mechanizmus tanulmányozása során könnyen beláthatjuk, hogy működőképes mechanizmus esetén a tagok hossza nem lehet teljesen tetszőleges. Bizonyítás nélkül – az irodalomra

1.80. ábra utalva – csak megfogalmazgatjuk a tételt: csak a legrövidebb tag lehet forgattyúkar (azaz olyan tag, amely képes teljesen körbefordulni) azzal a feltétellel kiegészítve, hogy a legrövidebb és leghosszabb tag hosszúságának összege kisebb, mint a másik két tag hosszának öszszege. Megemlítjük még, hogy a négytagú mechanizmust sokszor arra használják, hogy a 3-as tag (amely elvileg tetszőleges alakú lehet) valamely pontjának előírt pályáját, az ún. pontgörbét valósítsák meg. Nyílván való, hogy a pontgörbe alakja a mechanizmus tagjainak hosszától és a pont helyétől függ. Ismét bizonyítás nélkül fogalmazzuk meg a tételt: adott pontgörbéhez mindig meghatározható három, egymástól különböző négytagú mechanizmus. A tételnek azért van jelentősége, mert lehetőségez ad az optimális műszaki tulajdonságú megvalósítás megválasztására. 1.4.3.5. HATTAGÚ KULISSZÁS MECHANIZMUS Az 1.81. ábráról látjuk, hogy a hattagú mechanizmus a lengőtagos kulisszás mechanizmus kiegészítése. A szerkezet harántgyalu vágószerszámának moz-

1.81. ábra

75

gatására szolgál. A mechanizmus szabadságfoka: f = 3(n-1)-2p2-1p1 = 3(6-1)-2.7-1.0 = 1. A 6-os jelű tag azaz a hozzáerősített vágószerszám mozgása egyenes vonalú alternáló mozgás. Legyen xA a szimmetriatengelytől mért koordináta (a pályabefutás törvénye). Ekkor az ábra alapján:  λ sin ϕ 2  x A = 4 sin ϕ 4 = l 4 sin arctag , 1 + λ cos ω2 t  

1.93/a

a sebesség: v A = x& A = l 4 ω4 cos ϕ 4 = l 4 ω2

 λ (λ + cos ϕ 2 ) λ sin ϕ 2  . cos arc tg . 2 1 + λ + 2λ cos ϕ 2 1 + λ cos ϕ 2  

1.93/b

A fenti kifejezésekben a ϕ 4 és ω4 függvényeket az (1.85/b) összefüggések adják. A gyorsulás (szem előtt tartva, hogy ϕ 4 és ω4 is függvénye az időnek): a A = &x& A = l 4 ε 4 cos ϕ 4 − l 4 ω 24 sin ϕ 4 , ahol ε 4 helyére az (1.85/c) kifejezést kell helyettesítenünk. Az 1.82. ábrán megrajzoltuk az (1.93/a,b)-nek megfelelő, dimenziómentes összefüggéseket és szerkesztéssel meghatároztuk a v A = v A ( x A ) kinematikai diagramot. Jól látszik, hogy a 6-os jelű tag átlagsebessége az alternáló mozgás két irányában lényegesen különböző. Ez a jelenség jól felhasználható a termelékenység növelésére, ha a szerszám üresjárati mozgásának a nagyobb átlagsebességű irányt választjuk.

1.82. ábra

76

1.4.3.5. SZAKASZOS MOZGATÓK Gyakran szükség van olyan mechanizmusokra, amelyek a hajtó tag folyamatos mozgását szakaszos mozgássá alakítják. Szerkezeti megoldás szempontjából három csoportra oszthatók: kilincsművek, kerekes mozgatók és villás mozgatók. A kilincsművek jellegzetes típusát az 1.83. ábra mutatja. A mechanizmus a 3-as jelű tag lengő mozgását a 2-es jelű tárcsa szakaszos forgó mozgásává alakítja. Míg a 3 kar az óramutató járásával ellentétesen forog, a 2-es és 4-es elemmel egyetlen merev test alkot így két szögsebessége megegyezik a 3-as hajtókar szögsebességével. A hajtókar óramutató járásával egyező mozgásánál az 5-ös reteszelő kilincs a tárcsa mozgását meggátolja. A kerekes mozgatók egyik jellegzetes típusa az ún. máltai kereszt, amely olyan fogaskerekes mechanizmusnak fogható fel, amelynél a hajtó kerék foghíjas és így a hajtott kerék csak akkor fordul tovább, ha vele a fogazott rész kapcsolódik. A kerekes mozgatók a folyamatos forgó mozgást szakaszos forgómozgássá alakítják át. Az 1.84. ábra alsó részén látható, folyamatosan forgó kerék csapszege beakad a máltai kereszt

1.83. ábra

1.84. ábra

hornyába s míg az 2 α szöggel elfordul, a homályos tárcsa szögelfordulása 2 β . Megmutatható, hogy a hornyok száma háromnál nem kisebb, tetszőleges egész szám lehet. Az ütközésmentes kapcsolódás érdekében a horony középvonalának érintenie kell a menesztő-csap középpontjának pályáját. Határozzuk meg a máltai kereszt mozgásjellemzőit a ϕ 2 = ωt függvényében ( ω =áll.). A 1.85. Ábra alapján:

tg ϕ 3 =

R sin ϕ 2 sin ϕ 2 = , a − R cos ϕ 2 λ − cos ϕ 2

differenciálva, (1.94/a) behelyettesítése és rendezés után:

1.94/a

77

ω3 = ω2

cos ϕ 2 − 1 λ − 2λ cos ϕ 2 + 1 2

1.94/b

Újabb differenciálás és rendezés ε 3 = ω22

− λ3 cos ϕ 2 + 2λ2 (cos 2 ϕ 2 − cos ϕ 2 − sin ϕ 2 ) − λ(cos ϕ 2 − 2 sin ϕ 2 ) . (λ2 − 2λ cos ϕ 2 + 1) 2

1.94/c

Az (1.94)es összefüggések − α ≤ ϕ 2 ≤= + α szögtartományon érvényesek, egyébként a 3-as jelű tag mozdulatlan. A villás mozgatókat futószalagok szakaszos mozgatására használják. Ezek a szerkezetek a folyamatos forgó- vagy haladó mozgást szakaszos haladó mozgássá alakítják át. Jellemzőjük, hogy a mozgató elem a mozgatottal csak a mozgás ideje alatt érintkezik.

1.85. ábra 1.5. A RELETÍV MOZGÁS KINEMATIKÁJA Egy merev test mozgását mindig valamilyen koordináta rendszerben, valamilyen koordináta rendszerhez képest adtuk meg. Erről a koordináta rendszerről eddig hallgatólagosan feltételeztük, hogy abszolút nyugalomban van. Nincs akadálya annak sem, hogy a koordináta rendszert is egy merev testnek tekintsük, s így általánosságban azt mondhatjuk, hogy a merev test mozgását mindig valamilyen másik merev testhez viszonyítva, ahhoz képest adjuk meg. Az eddigi tapasztalati megfigyelések azonban nem támasztják alá azt az elképzelést, hogy vannak abszolút nyugalomban lévő testek, így meg kell vizsgálnunk, hogyan változnak meg a mechanikai jelenségeket leíró összefüggések, ha a viszonyításként használt koordinátarendszer, ill. a hozzá kötött merev test mozog. Vegyünk fel egy továbbra is nyugalomban lévőnek tekintett x,y,z koordinátarendszert és egy ehhez képest mozgásban lévő x’, y’, z’ koordinátarendszert. Helyezzünk el a koordinátarendszerek 0 és 0’ pontjában egy-egy megfigyelőt. Tegyük fel, hogy a két rendszerben a hossz- és időmérés azonos, tehát mindkét rendszerben az euklideszi geometria szabályai érvényesek és egy adott pillanatban az órák ugyanazt az időt mutatják ( e két feltevés a műszaki gyakorlatban alkalmazott

78

sebességek mellett elfogadható). Mindkét megfigyelő a saját rendszerét nyugalomban lévőnek tekinti, saját egység1.86. ábra vektorait állandónak, a másik egységvektorait változónak látja. E különbség miatt egy tetszőleges vektor időbeli differenciálhányadosa, ill. a differenciálás szabálya a két rendszerben különböző lesz. Legyen egy tetszőleges P pont helyvektora a nyugvó vagy abszolút rendszerben: r = x i + yj + zk , a mozgó, vagy relatív rendszerben: r ' = x ' i '+ y' j'+ z' k ' (mint látjuk az abszolút rendszerbeli mennyiségeket vessző nélkül, a relatív rendszerbelieket vesszővel jelöljük). Az álló rendszerben megadott helyvektor idő szerinti differenciálhányadosát az álló megfigyelő a hagyományos módon végzi:

dr dx dy dz =v= i+ j + k. dt dt dt dt Ugyanígy differenciálja a mozgó megfigyelő a saját rendszerében megadott vektort (d’-vel jelöljük azt a differenciálást, amelyet a mozgó rendszerbeli megfigyelő végez a saját rendszerében megadott mennyiségben):

d' r ' d ' x ' d ' y' d ' z ' dx ' dy' dz' = v' = i '+ j'+ k' = i '+ j'+ k' , dt dt dt dt dt dt dt

1.95

hisz a skalárfüggvények időbeli deriváltja nem függ a koordinátarendszer felvételétől, így

d' x ' dx ' = dt dt

stb.

A P pont helyét megadó vektorok között az ábra szerint az alábbi kapcsolat van: r = r0 + r ' .

1.96

Ennek idő szerint deriválásával kapjuk a P pont sebességét és gyorsulását (1.96)-ben azonban az r ' helyvektort a mozgó koordináta rendszerben adtuk meg, ezért az álló koordinátarendszerből meghatározott differenciálhányadosa a következő formát ölti: dr  dx ' dy' dz'   d i ' dr dj' dk '  =v= 0 + i '+ j'+ k ' +  x ' + y' + z'  . dt dt  dt dt  dt dt dt   dt

1.97

E kifejezésben az első tag a mozgó koordinátarendszer 0’ kezdőpontjának a sebessége az állóhoz képest, a második tag – (1.95) alapján – a P pont sebessége a mozgó koordinátarendszerben. A harmadik tagban a mozgó koordinátarendszer egységvektorainak álló koordináta-

79

rendszerből számított idő szerinti differenciálhányadosai szerepelnek. Ezt a differenciálást azonban egyelőre nem tudjuk elvégezni. A differenciálás elvégzésének módját – a hosszadalmasabb analitikai bizonyítás helyett – kinematikai megoldások alapján vezetjük le. Ha egy adott pillanatban a mozgó koordinátarendszerben nyugalomban lévő merev test (azaz maga a koordinátarendszer) az álló koordinátarendszerhez képest v 0 = dr0 / dt sebességű transzlációs mozgást és ω szögsebességű rotációs mozgást végez, akkor egy r ' helyvektorú pontnak a sebessége a nyugvó rendszerhez képest: v sz = v 0 + ω xr' ,

1.98

melyet szállító- vagy vezető sebességnek nevezünk. Ha az r ' helyvektorú pont a mozgó koordináta rendszerhez képest nincs nyugalomban, hanem v ' sebességgel mozog, akkor a nyugvó koordinátarendszerbeli sebessége nyilvánvalóan a két sebesség vektorális összege lesz: v = v'+ v sz . 1.99 (Megjegyezzük, hogy Einstein törvénye az abszolút és relatív sebességek között, v=

v'+ v' sz v' v 1 + 2 sz c

,

ahol c – fény sebessége.) (1.99) részletesen kiírva: dr d ' r ' dr0 = + + ω xr '. dt dt dt Ezt rendezve és felhasználva, hogy r − r0 = r': dr dr0 d ( r − r0 ) dr ' d ' r ' − = = = + ω xr ' , dt dt dt dt dt azaz megkaptuk az utasítást, hogyan kell egy mozgó koordiátarendszerben megadott vektort az álló koordinátarendszerből differenciálni. Az utasítás teljes általános érvényű, tehát egy tetszőleges A’ vektorra: dA ' d ' A ' = + ω xA ' . dt dt

1.100

Látható, hogy a deriválás a mozgó rendszer transzlációjától független, s ha nincs rotáció, a két derivált megegyezik. (1.99) alapján tehát azt mondhatjuk, hogy az abszolút sebesség a relatív sebesség és a szállító sebesség vektorális összege. A gyorsulások kapcsolatának meghatározásához deriváljuk (1.98) felhasználásával (1.99)-et: dv dv' dv 0 d ω dr' a= = + + xr'+ ω x = dt dt dt dt dt

80

=

dv d' v ' dω  d' r '  + ωxv '+ 0 + xr ' + ω x  + ω xr '  = dt dt dt  dt 

= a 0 + ω x ( ω xr ' ) + a '+2 ω xv'+ εxr ' = a '+ a c + a sz .

1.101

a ' - a relatív gyorsulás, a C = 2 ω xv' - az ún. Coriolis-gyorsulás,

a sz = a 0 + ε xr '+ ω x ( ω xr ' ) - a szállító vagy vezető gyorsulás, a mozgó koordinátarendszer gyorsulása az állóhoz képest. Az abszolút gyorsulás tehát a relatív gyorsulás a Coriolis-féle gyorsulás és a szállító gyorsulás vektoriális összege.