Numerické integrace některých nediferencovatelných funkcí

Cíl práce

Funkce jedné proměnné

Funkce dvou proměnných

Závěr

Numerické integrace některých nediferencovatelných funkcí Jiří Kadlec Ústav matematiky a biomatematiky Přírodovědecká fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích 2. prosince 2014

Školitel: doc. Dr. rer. nat. Ing. Jan Valdman Jiří Kadlec

UMB, Přírodovědecká faulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích

Numerické integrace některých nediferencovatelných funkcí

Cíl práce



Závěr

Cíl práce Cílem zadané bakalářské práce je přesná numerická integrace (kvadratura) některých nediferencovatelných funkcí. Je například známo, že za pomoci lichoběžníkového pravidla lze přesně integrovat po částech aﬁnní funkce. To již třeba pro absolutní hodnotu takové funkce neplatí. V matematickém programu Matlab bude sestavena knihovna pro přesnou kvadraturu některých nediferencovatelných funkcí v jedné, případně dvou dimenzích. Dále se předpokládá použití knihovny na úlohy minimalizace určitých energetických funkcionálů v mechanice. Jiří Kadlec



Cíl práce



Závěr

Kvadratura funkcí jedné proměnné Analýza problému: 1 2

aplikace lichoběžníkového pravidla na diferencovatelné funkce aplikace lichoběžníkového pravidla na některé nediferencovatelné funkce

Výpočetní hledisko: 1 2

Jiří Kadlec

návrh algoritmu pro výpočet num. integrálu nedif. funkce zápis algoritmu v prostředí MATLAB, testování a zrychlování algoritmu UMB, Přírodovědecká faulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích


Cíl práce



Závěr

Lichoběžníkové pravidlo Uvažujme funkci f (x) deﬁnovanou na intervalu ha, bi, a 6= b. Pro odhad H hodnoty Rb a f (x)dx můžeme využít tzv. lichoběžníkové pravidlo. Při tom aproximujeme funkci f (x) funkcí g(x) s lineárním průběhem ve tvaru g(x) = a následně řešíme H =

Rb a

f (a) − f (b) · (x − a) + f (a) a−b

(1)

g(x)dx. Chyba C tohoto odhadu je pak dána jako C=

b

Z a

(f (x) − g(x)) dx

(2)

Je-li funkce f (x) na intervalu ha, bi lineární, ve všech bodech diferencovatelná, pak C = 0.

Jiří Kadlec



Cíl práce



Závěr

Pro snížení chyby odhadu bývá výhodné rozdělit interval ha, bi n dělícími body na (n − 1) podintervalů tvaru hxi , xi+1 i, i = 1...n, kde a = x1 < x2 < ... < xn = b a platí S n−1 i=1 hxi , xi+1 i = ha, bi. Odhad H je potom dán jako H=

n−1 X i=1

(xi+1 − xi ) ·

f (xi ) + f (xi+1 ) , 2

(3)

chyba odhadu C jako C = −H + Platí, že

Z a

b

f (x)dx.

(4)

lim C = 0

n→∞

Jiří Kadlec



Cíl práce



Závěr

Příklad 1 Je dána funkce f (x) = −x + π, nalezněte hodnotu I =

5

Z

|f (x)|dx. 1

Pozn.: ukázat lich. pravidlo v okolí průsečíku, vysvětlit algoritmy funkcí trapzPlus, trapzMinus a trapzAbs Jiří Kadlec



Cíl práce


P = [px , 0] px = 1 + (5 − 1) · I =

1 2

|f (1)| |f (1)| + |f (5)|


Závěr

=π

[(px − 1) · |f (1)| + (5 − px ) · |f (5)|] = 13 − 6π + π

2

kontrola primitivní funkce: Z π pomocí nalezení Z 5 2 I = (−x + π)dx + (x − π)dx = 13 − 6π + π 1

Jiří Kadlec

π



Cíl práce



Závěr

Příklad 2 Je dána funkce f (x) = −x 2 + π, nalezněte hodnotu I = numerickým odhadem. I =

Z 5 |f (x)|dx = −5

8 3

3

π 2 − 10π +

250 3

Z

5

|f (x)|dx a porovnejte ji s

−5

≈ 66.76628145565

Vývoj num. odhadu a jeho chyby v závislosti na počtu dělících bodů n 11 21 41 81 161 321 641 1 281

H 67.20805680773 66.88787936274 66.79730838475 66.77398593114 66.76818710688 66.76675334227 66.76639995218 66.76631103343

C 4.418 e-01 1.216 e-01 3.100 e-02 7.703 e-03 1.900 e-03 4.719 e-04 1.185 e-04 2.958 e-05

t (s) 3.560 e-04 9.148 e-05 8.922 e-05 9.647 e-05 1.023 e-04 2.853 e-04 1.517 e-04 2.051 e-04

n 2 561 5 121 ··· 327 681 655 361 1 310 721 2 621 441 5 242 881

H 66,76628885292 66.76628330591 ··· 66.76628145587 66.76628145578 66.76628145593 66.76628145570 66.76628145565

C 7.397 e-06 1.805 e-06 ··· 2.190 e-10 1.321 e-10 2.813 e-10 5.370 e-11 4.939 e-13

t (s) 3.374 e-04 6.354 e-04 ··· 3.350 e-02 6.630 e-02 1.354 e-01 2.676 e-01 5.370 e-01

n - počet dělících bodů intervalu, H - numerický odhad hodnoty I, C - chyba odhadu (C = H − I), t - doba výpočtu Jiří Kadlec



Cíl práce



Závěr

Kvadratura funkcí dvou proměnných Analýza problému: 1 2 3

seznámení se s metodou triangulace aproximace grafu funkce pomocí triangulace, výpočet objemu tělesa pod trojúhelníky řešení průniku grafu funkce s rovinou z = 0

Výpočetní hledisko: 1 2 3

Jiří Kadlec

návrh algoritmu pro výpočet kvadratury funkce zápis algoritmu v prostředí MATLAB testování a zrychlování algoritmu, kreslení grafu



Cíl práce



Závěr

Příklad 3

Na oblasti Ω omezené nerovnostmi −4 < x < Z Z4, −4 < y < 4 je dána funkce |f (x)|dxdy a porovnejte ji s

f (x, y) = x − sin(y), nalezněte hodnotu I =

Ω

numerickým odhadem. Průsečnice f (x, y) s rovinou z = 0 je dána křivkou x − sin(y) = 0. Z4 Z4 Z4 sin(y) Z I= (x − sin(y))dxdy + (sin(y) − y)dxdy I

−4 sin(y) sin(8) = 132 − 2

Jiří Kadlec

−4 −4

≈ 131.5053208766



Cíl práce



1

Závěr

3

2

1 32 elementů 2 128 elementů 3 512 elementů Jiří Kadlec



Cíl práce



1

Závěr

3

2

1 2048 elementů 2 2048 elementů, zřejmá průsečnice 3 8192 elementů Jiří Kadlec



Cíl práce


I = 132 −


Závěr

sin(8) ≈ 131.5053208766 2

Vývoj num. odhadu a jeho chyby v závislosti na počtu elementů n H C t (s) 8 129,5273333784 -1,9779 e+00 2,82015 e-03 32 130,0509801015 -1,4543 e+00 2,49135 e-03 128 130,9793584499 -5,2596 e-01 1,73556 e-02 512 131,3629726655 -1,4234 e-01 2,53093 e-02 2 048 131,4690398710 -3,6281 e-02 4,82093 e-02 8 192 131,4962070010 -9,1138 e-03 1,83126 e-01 32 768 131,5030396772 -2,2811 e-03 7,45846 e-01 131 072 131,5047504061 -5,7047 e-04 2,85786 e+00 524 288 131,5051782483 -1,4262 e-04 1,13939 e+01 2 097 152 131,5052852189 -3,5657 e-05 4,50604 e+01 n - počet elementů, H - numerický odhad hodnoty I, C - chyba odhadu (C = H − I), t - doba výpočtu

Jiří Kadlec



Cíl práce



Závěr

Další postup hledání aplikací v mechanice tvorba dokumentace k navrhnutým funkcím sepsání práce

Prostor pro dotazy

Jiří Kadlec



Cíl práce



Závěr

Děkuji za pozornost.

Jiří Kadlec



Numerické integrace některých nediferencovatelných funkcí

Recommend Documents