Monte-Carlo simulatie van verkeersafwikkeling op kruispunten

Katholieke Universiteit Leuven Faculteit Toegepaste Wetenschappen Departement Burgerlijke Bouwkunde

Monte-Carlo simulatie van verkeersafwikkeling op kruispunten

E2006 Promotor: L.Immers

Nathan Van Paesschen

Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze eindverhandeling voor consultatie beschikbaar te stellen en delen ervan te kopiëren voor eigen gebruik. Elk ander gebruik valt onder de strikte beperkingen van het auteursrecht; in het bijzonder wordt er gewezen op de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze eindverhandeling Leuven, juni 2006

2

K.U.Leuven Fakulteit Toegepaste Wetenschappen Akademiejaar: 2005-2006 Departement: Burgerlijke Bouwkunde Adres en tel.: Kasteelpark Arenberg 40 - 3001 Heverlee - 016/32 16 54 Naam en voornaam student: Van Paesschen Nathan Titel eindwerk: Monte-Carlo simulatie van verkeersafwikkeling op kruispunten Korte inhoud Eindwerk: Bestaande analytische verkeersmodellen houden bij het berekenen van capaciteiten van kruispunten geen rekening met de interacties en conflicten tussen de verschillende verkeersstromen op het kruispuntvlak. In deze thesis wordt nagegaan wat de invloed van deze interacties is op de capaciteit van een kruispunt. Hiertoe wordt er een computermodel ontwikkeld dat er specifiek op gericht is om deze interacties en hun invloed op de verkeersafwikkeling te modelleren. Deze zaken werden in de bestaande literatuur nog maar weinig bestudeerd. Het onderzoek toont aan dat bij geringe drukte, het aantal interacties tussen de verschillende stromen klein is. Hun invloed op de verkeersafwikkeling blijft zeer beperkt. Het onderzoek toont verder aan dat bij toenemende drukte, het aantal interacties echter zo sterk kan toenemen dat er zich zelfs een capaciteitsval van het kruispunt kan voordoen. Bij grote belastingsgraden blijken de huidige verkeersmodellen, die geen rekening houden met deze interacties, de capaciteit van een kruispunt vaak substantieel te overschatten. Promotor: prof. L. Immers Assessoren: prof. E. Peetermans dr. C. Tampère

3

K.U.Leuven Fakulteit Toegepaste Wetenschappen year: 2005-2006 Department: Burgerlijke Bouwkunde Address and tel.: Kasteelpark Arenberg 40 - 3001 Heverlee - 016/32 16 54 Name and surname student: Van Paesschen Nathan Title of thesis: Analysing chaos on intersections using Monte-Carlo simulation techniques Summary of thesis: When calculating the capacity of junctions, current analytical traffic models don’t take the interactions and conflicts between the different traffic flows on these junctions into account. As its main objective, this thesis analysed the influence of these interactions and conflicts on the total capacity of a junction. With the help of a self-created computer model, particularly focussed on the specific needs to model the interactions between traffic flows, the influence of conflicts between these flows on the capacity of junctions was studied. In the existing literature, this topic has almost never been studied. At low degrees of saturation, this influence turns out to be little. With increasing traffic however, the number of conflicts increases as well. The results of the research show that conflicts between the different traffic flows do not only have a limitation effect on the capacity of intersections. In some circumstances, they could even be the source of a capacity drop on the junction. In these situations, existing traffic models often overestimate the capacity of junctions. Estimations that at times can be too big to just ignore… Promotor: prof. L. Immers Assessors: prof. E. Peetermans dr. C. Tampère

4

Dankwoord

Vooreerst wil ik mijn promotor, professor Immers bedanken. Hij gaf me, als een student van de optierichting gebouwentechnieken, toch de mogelijkheid om mijn eindwerk bij de afdeling verkeer en infrastructuur te schrijven. Hierdoor kreeg ik de mogelijkheid mijn thesis te schrijven over een enorm boeiend onderwerp. Ook wil ik Eddy Peetermans bedanken voor het feit dat hij wilde inspringen als tweede assessor van deze thesis. In het bijzonder wil ik ook Chris Tampère heel erg bedanken. Als mijn “personal coach” wist hij me met zijn enthousiamse, inzicht en gedrevenheid enorm te motiveren. Zonder zijn inbreng zou deze thesis niet dezelfde zijn geweest.

5

6

0

Inleiding

10

1

Literatuurstudie

12

1.1

2

3

Inleiding

12

1.2 Traditionele verkeerstheorie 1.2.1 Capaciteiten en de kritische parameters 1.2.2 Vertraging

14 14 16

1.3 Nieuwe ontwikkelingen en methodes 1.3.1 methode van de conflictstromen

18 18

1.4

Verkeersstromen als wachtrijen

20

1.5

Besluit literatuurstudie

21

Modeldefinitie

23

2.1 Afwikkelingsbepalende elementen 2.1.1 Verkeerslichten 2.1.2 Voorrangsregels 2.1.3 Interacties tussen voertuigen onderling 2.1.3.1 Interacties binnen 1 stroom 2.1.3.2 Interacties tussen verschillende stromen 2.1.3.3 Interacties tussen verschillende kruispuntvlakken

23 23 24 24 25 26 27

2.2 Eigenschappen van voertuigen in de verkeersstromen 2.2.1 Toevoer en afvoer van wagens 2.2.2 Gap-acceptatie en follow-up time

28 28 29

2.3 Aspecten met kleinere prioriteit 2.3.1 Voetgangers 2.3.2 Vertraging door het wisselen van rijstrook 2.3.3 Knipperlichten 2.3.4 Headway compressie 2.3.5 Dynamische verkeerslichtenregeling

30 30 30 30 31 31

Conceptuele uitwerking van het model 3.1

32

Het Black Box Concept

32

3.2 Eigenschappen van de verschillende black boxes 3.2.1 Het algemene karakter van de black boxes 3.2.2 Het specifieke karakter van black boxes 3.2.2.1 Verkeerslichten 3.2.2.2 Capaciteit

34 34 35 35 36

3.3 Interacties tussen de verschillende wachtrijen 3.3.1 Toelevering 3.3.1.1 1-op-1-toelevering 3.3.1.2 1-op-m-toelevering 3.3.2 Hinder en vermindering 3.3.3 Voorrang en gap-acceptatie

37 37 37 39 41 42

3.4 Omzetten van werkelijkheid naar model 3.4.1 Definiëren van de wachtrijen 3.4.1.1 Level-1-rijen 3.4.1.2 Level-2-rijen

44 44 45 45

7

3.4.1.3 Level-3-rijen 3.4.1.4 Nummering 3.4.2 Aangeven van interacties

4

5

46 47 47

3.5

Tel- en tijdmatrices

48

3.6

Labelsysteem

50

3.7

Beperkingen in modellering

51

Verificatie

52

4.1 Wachtrijen als Markov-rijen 4.1.1 M/M/1 4.1.1.1 De kans op populatie k 4.1.1.2 Gemiddeld aantal wachtenden 4.1.1.3 De tijd gespendeerd in het systeem 4.1.1.4 Besluit M/M/1 4.1.2 Andere Markov-processen 4.1.3 Besluit simulatie van Markov-processen

53 55 55 58 59 59 60 60

4.2 Verkeerskundige processen 4.2.1 Interactie tussen twee stromen aan kruispunten zonder verkeerslichten 4.2.1.1 Capaciteit 4.2.2 Vertraging 4.2.2.1 Vertragingen berekend met tijdsonafhanlijke formules 4.2.2.2 Formules berekend met tijdsafhankelijke berekeningen 4.2.3 Vertragingen aan kruispunten met verkeerslichten

61 62 62 65 65 70 72

4.3

Besluit verificatie

77

Hoofdstuk Toepassing

78

5.1 Situatieschets 5.1.1 Verschillende verkeersstromen 5.1.2 Verkeerslichtenregeling 5.1.3 Invloed van de verschillende stromen op elkaar 5.2 Berekeningen en resultaten 5.2.1 Verwaarlozen van de interacties 5.2.2 Inrekenen van interacties tussen stromen 5.2.2.1 Eerste orde hinder 5.2.3 Eerste en tweede orde hinder 5.2.4 Vertragingen

79 80 81 82 83 84 91 91 98 103

5.3 Invloed van karakteristieke parameters op de capaciteit van het kruispunt 105 5.3.1 De invloed van de bedieningstijd 106 5.3.2 Invloed van de hinderlengte 107 5.4

Conclusie

108

6

Besluit

109

7

Literatuuropgave

111

Afkortingenlijst Lijst met figuren Lijst met tabellen

115 116 117

8

Bijlage A: Werking van de simulatie Bijlage B: Andere Markov-rijen Bijlage C: Eigenschappen van de wachtrijen in de toepassing Bijlage D: Intensiteiten en standaarddeviaties bij de toepassing

9

119 139 148 151

0 Inleiding De impact van het verkeer op onze maatschappij wordt steeds groter. Dagelijks halen verkeersopstoppingen het nieuws, en overal hoor je mensen klagen over de tijd die ze verliezen tijdens de dagelijkse rit naar en van het werk. Een vlottere verkeersdoorstroming zou voor vele pendelaars de werkdag heel wat aangenamer maken. Ook de mensen die hun rustige straatje elke dag weer omgetoverd zien tot een drukke sluipweg zijn deze verkeersoverlast liever kwijt dan rijk. De vaak stroef verlopende verkeerstromen hebben niet alleen sociale gevolgen, ook de economische gevolgen zijn enorm. Dagelijks worden er miljoenen euro’s aan arbeidsuren verspild met wachten in de file. Enorme wachtrijen aan kruispunten zijn een economische ramp voor een stad. De middenstand in ‘moeilijk’ bereikbare stadskernen, zoals Mortsel, ziet al jaren haar omzet achteruit gaan. Ook het milieu kreunt onder de impact van al de motoren die in de file staan te draaien en ondertussen tonnen CO2 en andere schadelijke gassen de lucht insturen. De vraag vanuit maatschappij naar oplossingen klinkt steeds luider. Wanneer de verkeersafwikkeling over een verkeersnetwerk gesimuleerd wordt, dan wordt er voor de capaciteit van kruispunten vaak met arbitraire aannames gewerkt. De detailleringsgraad van macroscopische modellen is vaak niet fijn genoeg om de verkeersafwikkeling op kruispunten op een verfijnde manier weer te geven. Bovendien blijkt uit studie van de bestaande literatuur dat er over de impact van de interacties tussen verschillende stromen op een kruispuntvlak, op de capaciteit van dit kruispunt, bijna geen publicaties bestaan. Bestaande verkeersmodellen stellen de capaciteit van een kruispunt op op basis van de intensiteit van de verschillende wegen die aan het kruispunt toekomen. Bij stijgende verkeersvraag stijgt de intensiteit over het kruispunt, om uiteindelijk begrensd te worden door de maximale capaciteit van het kruispunt. Wat er op het kruispuntvlak zelf gebeurt, laten deze modellen buiten beschouwing. Zeker bij hogere saturatiegraden schieten deze modellen tekort in hun benadering van de werkelijkheid. Deze thesis heeft als doel na te gaan of interacties en conflicten tussen stromen op een kruispuntvlak weldegelijk een invloed hebben op de capaciteit van een kruispunt. Ze wil geen afgewerkt geheel zijn, maar eerder een aanleiding tot verder onderzoek onder de vorm van (post)doctoraatstudie.

10

In deze thesis is een computermodel opgesteld dat er precies op gericht is om de interacties tussen de verschillende stromen op het kruispuntvlak te modelleren. Na de bespreking van de literatuurstudie wordt uiteengezet wat de precieze vereisten voor het simulatiemodel zijn. Deze vereisten zijn er vooral op gericht om met het simulatiemodel een toegevoegde waarde te kunnen bieden ten opzichte van de bestaande onderzoeken en verkeersmodellen. De simulatie is op een zodanige wijze geconcipieerd dat ze later nog kan dienen voor verder en dieper onderzoek in navolging van deze thesis. Vanuit dit oogpunt is er dan ook uitgebreide zorg besteed aan de verificatie van de resultaten van het computermodel. Uit deze verificatie blijkt dat de simulaties de bekende formules en modellen, gelet op de aannames en vereenvoudigingen die deze maken, zeer goed benaderen. Het laatste hoofdstuk gaat aan de bestaande theorie voorbij. Er wordt met behulp van het simulatiemodel een verkeerssituatie uitgewerkt. Door deze simulatie uit te voeren met en zonder inrekenen van de interacties tussen stromen op het kruispuntvlak wordt nagegaan welke fout de bestaande verkeersmodellen maken door deze interacties te verwaarlozen. Deze fout blijkt in bepaalde omstandigheden zeer aanzienlijk te zijn. Bij stijgende verkeersbelasting ontstaan er tussen de verschillende stromen op het kruispunt meer en meer conflictsituaties. Er wordt aangetoond dat bij stijgende verkeersvraag de intensiteit van het kruispunt niet altijd naar een bovengrens convergeert. Integendeel! Net door dit toenemende aantal conflicten tussen de verschillende verkeersstromen kan vanaf een bepaald punt de capaciteit van het kruispunt afnemen bij stijgende verkeersvraag. Er doet zich een capaciteitsval voor. Uiteindelijk wordt er nog kort even ingegaan op enkele parameters die de aard van deze capaciteitsval beïnvloeden. Welke al deze parameters zijn, en waar hun precieze invloed op de capaciteit van het kruispunt zich precies situeert, paste niet meer in het bestek van deze thesis. De thesis probeert een lans te breken voor dieper en uitgebreider onderzoek naar de verkeersprocessen op het kruispuntvlak, en hun invloed op de capaciteit van het kruispunt en het volledige netwerk. Enkel indien een goed inzicht verworven wordt in deze processen zullen goede en betrouwbare voorspellingen kunnen gedaan worden in verband met de prestaties van kruispunten, en van het hele netwerk…

11

1 Literatuurstudie 1.1

Inleiding

In deze thesis wordt bestudeerd welke de invloed is van de interacties tussen verkeersstromen op de verkeersafwikkeling op en rond het kruispuntvlak . Bij verschillende belastingsgraden zullen vertragingen, gemiddelde wachtrijlengtes en de capaciteit van kruispunten als belangrijkste parameters voor deze verkeersafwikkeling met elkaar vergeleken worden. Hiertoe wordt een simulatiemodel geprogrammeerd. Om een inzicht te krijgen in de verkeersprocessen die geprogrammeerd dienen te worden wordt eerst een studie van de literatuur in verband met deze processen en interacties gemaakt. Bovendien worden, na het programmeren, de resultaten uit het simulatiemodel gestaafd worden met de analytische en deterministische formuleringen die worden teruggevonden in de literatuur. Voor wetenschappelijke publicaties daterend van voor 1999 hebben we ons gebaseerd op een samenvatting van de meest relevante werken, gepubliceerd door de Transportation Research Board (TRB). Naast dit rapport werden ook de nieuwe onderzoeksprojecten en papers gepubliceerd tot en met 2005, die betrekking hebben op deze thesis, bestudeerd. Hiertoe hebben we ons laten leiden door de proceedings van het jaarlijkse congres van de TRB. In 1999 werd er door de TRB een rapport gepubliceerd [TRB]. Het is een door de TRB verbeterde versie van een monografie, product van een samenwerking tussen The Federal Highway Administration (FHWA) en het Oak Ridge National Laboratory, waarin alle belangrijke ontwikkelingen in de verkeerstheorie worden samengevat. In het rapport wordt dus zowel naar de grondleggers en de basisbeginselen van de verkeersstudie als naar meer gespecialiseerde werken verwezen.

12

Bij het bestuderen van de processen die zich voordoen bij de verkeersafwikkeling op kruispunten wordt er in de verkeerstheorie in de eerste plaats een onderscheid gemaakt tussen kruispunten met of zonder verkeerslichten. Er zijn verschillende goede redenen om deze scheiding te maken. Zo bijvoorbeeld hebben de stromen uit de verschillende richtingen op kruispunten met lichten beurtelings voorrang, waardoor er eerder naar dichotome1 distributies moet gegrepen worden. Ook is de correlatie tussen de verschillende stromen op dit soort kruispunten minder groot. [Buckley (1968),Cowan (1975),Dawson (1969), Schuhl(1955)] Op kruispunten zonder verkeerslichten is er meestal 1 stroom die een continue voorrang geniet2 ,waardoor vertrekprocessen andere distributies kennen. Het is duidelijk dat naast deze belangrijke verschillen er ook zeer grote overeenkomsten bestaan tussen intersecties met of zonder verkeerslichtenregeling. Binnen deze twee verschillende categorieën zijn formuleringen opgesteld voor de berekening van zowel de capaciteiten van, als de vertragingen op het kruispunt. Het berekenen van capaciteiten van een kruispunt met of zonder verkeerslichten gebeurt op verschillende manieren. Ook voor het berekenen van vertragingen worden verschillende methodes en formuleringen gebruikt voor deze twee soorten kruispunten. Naast deze opsplitsing kan de verkeerstheorie ook opgesplitst worden in een traditionele en een meer progressieve verkeerstheorie. Alle methodes die via rigoureuze wiskundige benaderingen tot formules proberen te komen worden als traditioneel geclassificeerd. Omdat het met analytische formules snel moeilijk wordt om nog tot een goede beschrijving te komen van complexere situaties zijn er de laatste jaren methodes ontstaan die niet meer vanuit pure wiskundige formuleringen vertrekken. Een belangrijke methode is de methode van de conflictstromen die ontwikkeld is door Werner Brilon en Ning Wu. In de rest van dit hoofdstuk worden de resultaten van beide werkwijzen meer in detail besproken.

1

Een dichotome verdeling is een combinatie van verschillende verdelingen. Ze veronderstelt dat een bepaald deel van de wagens in de stroom vrij en ongehinderd kan rijden in de stroom, en dat het andere deel van de voertuigen in groep rijdt. Een gekende dichotome verdeling is de M3 verdeling Cowan [Cowan, 1975] 2 Voorrangsbaan of voorrang van rechts

13

1.2

Traditionele verkeerstheorie

1.2.1 Capaciteiten en de kritische parameters Onder capaciteit wordt de redelijk te verwachten maximum en onderhoudbare hoeveelheid verkeersstroom onder bepaalde en gegeven voorwaarden verstaan. Capaciteit beschrijft dus de gemiddelde (verwachte) maximale stroom die over een lange periode kan voldaan blijven. Dit is de definitie gegeven door de Highway Capacity Manual.[HCM 2000]. Bij de berekening van de capaciteiten maakt men gebruik van de ‘gap acceptance theory’. De gap acceptance theory bestudeert de fenomenen die verband houden met de distributie van wagens in een verkeersstroom. Twee van deze fenomenen met een bijzonder belang voor de studie van verkeersprocessen op kruispunten zijn de ‘critical gap’ en ‘follow-up time’3. Men noemt ze de kritische gap parameters. De kritische gap (gap= tussenruimte) is de minimale afstand die een bestuurder wil hebben tussen twee opeenvolgende wagens in een stroom die hij wil kruisen vooraleer hij deze stroom daadwerkelijk zal kruisen. De follow-up tijd is de tijd tussen twee opeenvolgende wagens die een verkeersstroom kruisen, wanneer ze gebruik maken van dezelfde gap. In de gap acceptance theory kunnen twee verschillende benaderingsmethodes onderscheiden worden. De empirische regressiemethode, waarbij men continue wachtrijen veronderstelt en de ‘Gap Acceptance Procedures’ (GAP-methodes), waarbij men gebruik maakt van meer probabilistische methodes. [veronderstelling continue wachtrijen: Harders (1976), Siegloch (1973), Tanner (1962), Troutbeck (1986); meer probalistische methodes: Hewitt (1983), Miller (1972), Ramsey en Routledge (1973), Troutbeck (1975)]

3

Verder in de tekst zullen de respectievelijke termen kritische gap en follow-up tijd gebruikt worden. In formules worden de kritische gap en de follow-up tijd afgekort met de respectievelijke symbolen Tc en Tf

14

Het schatten van de kritische parameters is zeer ingewikkeld omdat men deze schattingen niet empirisch kan toetsen. Het is immers onbegonnen werk om verschillende wagens gedurende een periode te volgen om zo ieders kritische parameters op te meten. Bovendien hangen ze ook af van de typologie van het kruispunt zelf. Het schatten van deze parameters hangt zeer nauw samen met de studie naar de verdeling van de tussenafstanden tussen de verschillende wagens4. Een eenvoudige veronderstelling stelt dat deze afstanden onafhankelijk van elkaar zijn. Een exponentiële verdeling is dan aangewezen. De afstand tussen verschillende auto’s is echter groter dan een minimale waarde, waardoor een verschoven exponentiële verdeling zich opdringt. Om effecten zoals platooning5 of groepsvorming correct in te rekenen worden vaak dichotome verdelingen gebruikt zoals het M3 model van Cowan of een hyper-Erlang verdeling. [Brilon

(1996),

Catchpole

en

Planck

(1986),

Cowan

(1975),Hewitt

(1985),

Tian(1999),Troutbeck(1988), Wegmann (In Brilon: 1991)]

4

In de Engelstalige literatuur noemt men deze tussenafstanden ‘headways’. Platooning: Men spreekt over platooning wanneer auto’s in een groep of peloton achter elkaar aanrijden. Dit fenomeen komt bvb. voor wanneer een eerste wagen trager rijdt als de volgende wagen, maar wanneer er niet voorbij gestoken kan worden. Ook nadat de verkeerslichten op groen zijn gesprongen en alle wagens in groep wegrijden kan men over platooning spreken. 5

15

1.2.2 Vertraging Vertraging of delay op kruispunten is één van de meest belangrijke parameters bij het evalueren van de prestaties van kruispunten. Een goed inzicht in de parameters die een invloed uitoefenen op de vertraging op kruispunten is bepalend voor een goede inrichting van het

kruispunt.

Wat

men

verstaat

onder

een

goede

inrichting

en

bijhorende

verkeersafwikkeling is voor discussie vatbaar. Sommigen stellen dat de gemiddelde vertraging zo klein mogelijk moet zijn, terwijl anderen dan weer menen dat er ook een maximum wachttijd voor iedere gebruiker van het kruispunt in acht moet genomen worden om nog van een goede afwikkeling te kunnen spreken. De kwaliteit van de verkeersafwikkeling op een kruispunt kan gekarakteriseerd worden door de zogenaamde ‘measures of effectiveness’ (MOE’s, de maatstaven voor de effectiviteit van de verkeersafwikkeling ). De gemiddelde vertraging, de gemiddelde wachtrijlengte, de verdeling van de vertragingen, de verdeling van de wachtrijlengtes, het aantal voertuigen dat tot een stop is moeten komen en de waarschijnlijkheid op een lege wachtrij zijn de voornaamste MOE’s. Een ander belangrijk verschil tussen de analytische beschrijvingsmethodes ligt in het feit of het beschreven proces als stationair dan wel als dynamisch6 beschouwd wordt. Vele macroscopische formuleringen zijn maar bruikbaar binnen een beperkt domein wanneer men rekening houdt met de vereenvoudigde veronderstellingen van tijdsonafhankelijkheid. Zo vereist tijdsonafhankelijkheid op kruispunten met verkeerslichten dat de wachtrij na elke lichtcyclus weer leeg is. Analytische formuleringen die tijdsonafhankelijkheid veronderstellen zijn daarom maar praktisch bruikbaar in stationaire condities met constante verkeersvolumes en bij saturatiegraden tot 1.

6

Hoewel transient misschien een betere uitdrukking zou zijn wordt er in het verkeerskundig vakjargon steeds de term dynamisch gebruikt.

16

Tijdsafhankelijke benaderingen worden echter vlug analytisch zeer moeilijk oplosbaar. Kimber en Hollis publiceerden in 1979 een werk dat aan basis ligt van de dynamische analyse van kruispunten met behulp van wachtrijtheorie. Door gebruik te maken van de coördinaten transformatiemethode stellen ze tijdsafhankelijke formuleringen op voor de vertragingen en wachtrijlengtes aan kruispunten. [vertragingen, geen verkeerslichten, tijdsonafhankelijk: Adams (1936), Cowan (1987), Daganzo (1977), Harders (1968), Kremser (1964), Tanner (1962), Troutbeck (1990); wel signalisatie:Miller (1963), Newell (1965), Webster(1958)] [vertraging, geen verkeerslichten, tijdsafhankelijk: Newell (1982),Akçelik (1991)] [vertraging, wel verkeerslichten,tijdsafhankelijk: Akçelik en Rouphail (1994), Kimber en Hollis (1979), Olszewski (1990)]

Er werd een kort overzicht geschetst van de traditionele aanpak van de problemen die zich stellen. Voor een grondiger overzicht verwijzen we naar hoofdstuk 8 [unsignalized intersection theory, Troutbeck & Brilon] en hoofdstuk 9 [traffic flow at signalized intersections, Rouphail,Tarko & Li] van het hierboven reeds vermelde rapport van de TRB uit 1999 [TRB]. We kunnen besluiten dat traditionele verkeersmodellen geen rekening houden met bepaalde interacties tussen verkeersstromen. Bij hoge saturatiegraden nemen de interacties tussen stromen op het kruispuntvlak sterk toe, waardoor vertragingen hoog kunnen oplopen. Hier schieten de huidige modellen tekort. Ook wordt de invloed van kruispunten verder in de verkeersstroom niet beschouwd. De traditionele verkeerstheorie laat dus nog heel wat ruimte voor verder onderzoek naar vertragingen als gevolg van de interacties tussen stromen rond maar vooral ook op kruispunten.

17

1.3

Nieuwe ontwikkelingen en methodes

Al snel duiken er problemen op wanneer men een verkeerssituatie met minder eenvoudige, of tijdsafhankelijke parameters wenst te beschrijven met de GAP-methodes. Een analytische formulering voor complexe kruispuntvlakken opstellen is een onbegonnen werk en het berekenen van praktisch bruikbare resultaten is derhalve onmogelijk.

1.3.1

methode van de conflictstromen

Een methode die deze problemen op een relatief eenvoudige wijze aanpakt, is de methode van de conflictstromen. Aan de basis van deze methode ligt het concept van de additieve conflictstromen (ACF). Dit concept werd voor het eerst beschreven door Gleue (1972), om kruispunten met verkeerslichten te analyseren. Het concept van de conflictstromen werd in 2000 bijgeschaafd door Wu, en toegepast op ‘allway-stop-controlled’ (AWSC)7 intersecties. In 2001 werd hetzelfde concept toegepast op ‘two-way-stop-controlled’ intersecties door Brilon en Wu. De paper “Capacity and Delays at Intersections Without Traffic Signals” door Werner Brilon en Thorsten Miltner, voorgesteld in de TRB 2005 bouwt het concept van de conflictstromen verder uit, en toont er de sterktes van deze werkwijze in aan. De methode van de conflictstromen definieert op het kruispunt een aantal conflictpunten en conflictzones. Dit zijn zones waar twee of meerdere stromen elkaar kruisen en elkaar kunnen hinderen. Op basis van de voorrangsregels tussen de verschillende stromen wordt een voorrangsnetwerk tussen de verschillende stromen opgesteld. Hiertoe krijgen de stromen een rang toebedeeld die hun onderlinge voorrangsverplichtingen aangeeft (hogere rang heeft voorrang). Het geheel van deze relaties wordt samengevat in een conflictmatrix. Deze is makkelijk uitbreidbaar zodat op een relatief eenvoudige wijze ook moeilijke verkeerssituaties geanalyseerd kunnen worden. Na het opstellen van deze conflictmatrix moeten ook de kansen dat de voertuigen met verschillende rang zich op het conflictpunt bevinden worden geschat.

7

Kruispunten waar voor alle wegen die aankomen aan dit kruispunt verkeerlichten voorzien zijn.

18

Door deze verschillende kansen te vermenigvuldigen met de maximale capaciteit die de voertuigen van een bepaalde rang kennen wanneer ze niet gehinderd worden, kunnen uiteindelijk uit de conflictmatrix de capaciteiten van de verschillende stromen berekend worden. De werkwijze is relatief eenvoudig, maar levert toch zeer goede resultaten op. Deze methode verschilt van de meer conventionele werkwijzes, in het feit dat ze vertrekt vanuit strikt wiskundige formules en benaderingen. In de verdere uitwerking van het simulatiemodel wordt ook gebruik gemaakt van een conflictmatrix. De simulatie verschilt van de conflictmethode in deze dat de waarschijnlijkheden op een aanwezigheid van de voertuigen niet expliciet geschat worden. Ze volgen impliciet uit de simulatie. Met de conflictmethode is het makkelijker om rekening te houden met het aantal rijstroken, de distributies van de verkeersstromen, de voetgangers die eigenlijk integraal deel uitmaken van de verkeersafwikkeling, en met de rijstroken waar het licht oranje staat te knipperen. Ook het inrekenen van gelimiteerde8 en omgekeerde9 voorrang stelt geen grote problemen voor de conflictmethode. De conflicttechniek schuift een alternatief naar voor om de capaciteit van de verschillende bewegingen op het kruispunt te berekenen. Het afleiden en berekenen van andere prestatieparameters zoals de vertragingen, de wachtrijlengtes en lane sharing10 gebeurt op de conventionele wijze.

8

Gelimiteerde voorrang: Wanneer een voertuig een verkeersstroom kruist of er in invoegt, kan het voorkomen dat een wagen in deze stroom dient af te remmen om botsingen te vermijden. Hierdoor wordt zijn voorrang gelimiteerd. 9 Omgekeerde voorrang: Dit fenomeen doet zich voor wanneer een chauffeur die voorrang heeft zijn voorrang afstaat aan een automobilist die volgens de verkeersregels voorrang zou moeten geven. De voorrang wordt daarmee omgekeerd. 10 Onder lane sharing verstaat men het delen van 1 rij- of opstelstrook door wagens die een verschillende richting uitmoeten. Een gekend effect hiervan doet zich voor wanneer wagens die linksaf of rechtdoor moeten een opstelstrook delen. De wagens die rechtdoor moeten kunnen gehinderd worden door de wagens die linksaf moeten omdat deze nog gehinderd worden door een stroom uit de tegenovergestelde richting

19

1.4

Verkeersstromen als wachtrijen

In de simulatie wordt het kruispunt beschouwd als een aaneenschakeling van wachtrijen. Eens het kruispuntvlak op een effectieve wijze ontrafeld is tot een aantal samenhangende wachtrijen is het belangrijk om ook op een juiste wijze eigenschappen toe te kennen aan deze rijen. In de simulatie worden de wachtrijen gebaseerd op Markov-rijen, en meer bepaald op geboorte- en sterfteprocessen (GS-proces). Een wachtrij wordt gekenmerkt door een populatie, het aantal auto’s in de wachtrij. Bij deze GS-processen kan er vanuit deze toestand enkel over gegaan worden in een populatie die 1 wagen groter of kleiner is. In hoofdstuk 4 wordt hierop verder ingegaan. Correcte resultaten vereisen een realistische benadering van de wachtrijmodellen. Als de saturatiegraad van een kruispunt dicht bij 1 ligt, of zelfs groter als 1 is , of wanneer de initiele wachtrij niet leeg is,dan heeft de wachtrij een dynamisch karakter. In 2004 stelden Viti en Van Zuylen een Markov-model voor dat ontworpen is om juist deze dynamische eigenschappen van de wachtrijen te berekenen. De nieuwe formuleringen zijn een uitbreiding van de reeds bestaande wiskundige benaderingen voor rijlengtes door Akçelik (die geen rekening houdt met initiele wachtrijen die niet leeg zijn) en Catling . In hun werk bespreken Viti en Van Zuylen het belang van enkele wiskundige parameters zoals de standaarddeviatie op de verwachtingswaarde en de evolutie van wachtrijen. Elke studie rondom verkeersafwikkeling heeft wel van dichtbij of veraf te maken met wachtrijen. Daarom zou het onbegonnen werk zijn om hier een uitputtende lijst van werken op te sommen. Enkele andere interessante werken zijn van de hand van Abu-Lebdeh en Benekohal (1997), Akçelik(1993) , Banks en Amin(2003), Kimber en Hollis(1979) en Wu (2004). Niet alleen de interacties die verkeersstromen met elkaar aangaan op het kruispuntvlak bepalen de vertragingen die wagens kunnen oplopen aan een kruispunt. Soms kan de storende invloed van verderop in het netwerk komen. Ahmed en Abu-Lebdeh (2005) bestudeerden de vertragingen geïnduceerd door verstoringen verderop in het verkeersnetwerk. Deze verstoringen worden door de huidige modellen verwaarloosd. Uit de paper blijkt dat, zeker in situaties met zware belasting, deze vertragingen toch significant kunnen zijn en het is dus belangrijk om hier bij het opstellen van een simulatiemodel rekening mee te houden.

20

1.5

Besluit literatuurstudie

Uit de literatuurstudie komt duidelijk naar voor dat er al grondig onderzoek verricht is naar vertragingen voor verkeersstromen aan kruispunten. Aankomst- en vertrekprocessen werden al uitvoerig onder de loep genomen en ook tal van andere aspecten zoals gelimiteerde voorrang, lane sharing, headway compressie11, de invloed van afslagmanoeuvres,… vormden reeds het onderwerp van menig wetenschappelijk onderzoek. Met de conflictmethode worden de interacties van stromen op een kruispuntvlak bestudeerd. Toch is de invloed van deze interacties op de vertragingen en op de capaciteit van het kruispunt nog steeds te weinig onderzocht en beschreven. Vooral kruispunten die rond het verzadigingspunt belast worden, bieden nog voldoende stof voor verder en meer diepgaand wetenschappelijk onderzoek. Zo zijn de effecten van een overgang van een onder- naar oververzadiging van een kruispunt nog nauwelijks bestudeerd. Analytische formules veronderstellen dat, wanneer de saturatiegraad van een kruispunt naar 1 gaat, dan de gemiddelde vertragingen oneindig groot worden en dat er bij saturatiegraden groter dan 1 zelfs helemaal geen verkeersstroming is. Dit is niet juist. Empirische metingen tonen aan dat ook bij saturatiegraden groter dan 1 er verkeersstroming blijft, al zullen de gemiddelde vertragingen wel toenemen. In macroscopische modellen wordt er meestal een maximale capaciteit verondersteld die constant blijft bij overcapaciteit. Ook dit is niet waar. Bij zeer grote belastingen neemt de maximale capaciteit af, en dit door een toegenomen aantal interacties tussen verkeersstromen. In deze thesis wordt er een verkeerssimulatie worden waarmee interacties tussen verkeersstromen op en rond het kruispunt gesimuleerd kunnen worden. Met deze simulatie kan hun invloed op de vertragingen en de capaciteiten van een kruispunt worden bestudeerd. Ook zullen de interacties tussen verschillende kruispunten nagegaan worden. Met de simulatie zal ook nagegaan worden wat de invloed is van parameters zoals de saturatiegraad op de vertraging, de capaciteit en de wachtrijlengtes. Er wordt immers vermoed dat vanaf bepaalde saturatiegraden de interacties tussen stromen zo groot worden dat het verkeer op kruispunten bijna stil komt te staan. 11

Headway compressie: De afstand tussen twee wagens in een verkeersstroom wordt in het engels een headway genoemd. Wanneer nu auto’s achter elkaar een wachtrij uitrijden wordt de afstand die de opeenvolgende wagens tussenlaten kleiner en kleiner. Dit effect wordt in de literatuur headway compressie geheten.

21

In deze situaties zijn het niet langer de offset-tijden tussen verschillende verkeerslichten, de vertrekpatronen of de cycluslengtes die de vertragingen bepalen, zoals de huidige literatuur laat uitschijnen. De hinder die de verschillende verkeersstromen op elkaar uitoefenen worden dan bepalend. Bij welke saturatiegraden er een daling in capaciteit en toegenomen vertragingen optreden, en of dit eerder een bruusk dan wel een effect met een duidelijke overgangsfase is wordt ook nagegaan. Uiteindelijk wordt een besluit getrokken waarin de invloed van interacties tussen stromen op de capaciteit en de vertragingen wordt geëvalueerd.

.

22

2 Modeldefinitie Vooraleer verder wordt ingegaan op de uitwerking van de computersimulatie worden in dit hoofdstuk eerst de verschillende aspecten van de verkeersafwikkeling die men er mee wenst te simuleren besproken. In dit hoofdstuk worden dus de functionele vereisten van het model uiteengezet. Alle fenomenen die in dit hoofdstuk worden besproken, moeten gemodelleerd kunnen worden. Er wordt ook aangegeven welke vereenvoudigingen en aannames er gemaakt worden.

2.1

Afwikkelingsbepalende elementen

2.1.1 Verkeerslichten Eén van de meest bepalende elementen voor een goede verkeersafwikkeling is het verkeerslicht. Door het plaatsen van verkeerslichten nemen de interacties tussen verschillende stromen op het kruispuntvlak af. Met het verkeerslicht wordt een systeem van wisselende voorrang ingevoerd. Hierbij hebben de lengtes van de groen- en roodfase, de cycluslengte en de afstemming van verschillende verkeerslichten op elkaar, een grote invloed op de vertragingen die automobilisten oplopen op kruispunten. In het model kunnen deze lengtes worden aangepast, en kunnen verschillende verkeerslichten op elkaar worden afgestemd. Zo kan bij een simulatie van een kruispunt kunnen worden nagegaan wat de invloed is van bvb. verschillende cycluslengtes op de gemiddelde wachtrijlengtes. Ondanks het feit dat interacties tussen stromen afnemen dankzij het plaatsen van verkeerslichten, is dit geen garantie voor het uitblijven deze interacties. Voorbeelden uit de praktijk zijn hierbij legio. Zeker bij een grote belasting gebeurt het dat het kruispunt vol wagens staat die elkaar allen verhinderen het kruispuntvlak op of af te rijden. Het zou zelfs kunnen zijn dat net door de aanwezigheid van verkeerslichten de vertragingen toenemen12. Het is dan ook verkeerd, zeker in de drukke en kritische spitsperiodes, om voor de capaciteit van een kruispunt zomaar te rekenen met de capaciteit die men zou hebben indien vrije uitstroom gegarandeerd is. 12

Wanneer een bestuurder groen licht heeft rijdt hij het kruispuntvlak op. Het maakt hem daarbij niet uit of hij met deze beweging andere stromen zou kunnen hinderen omdat hij het kruispuntvlak niet afgeraakt. Hierdoor kan het kruispunt klem komen te zitten en kunnen er grote vertragingen optreden.

23

Het model kan gebruikt worden om een beeld te vormen van de overschatting van de capaciteit indien men dit toch doet. Er wordt verondersteld dat alle chauffeurs zich aan de verkeerslichten houden. Er wordt geen rekening gehouden met de invloed van automobilisten die het rood licht negeren en geen rekening houden met de verkeersregels.

2.1.2 Voorrangsregels

In de simulatie kunnen voorrangsregels worden ingebouwd. Hierbij wordt dan gedacht aan voorrang van rechts of de voorrang van wagens die op een voorrangsweg rijden. Het model gaat er vanuit dat iedereen zich aan deze regels houdt en zijn voorrang daadwerkelijk geeft, maar ook neemt. Fenomenen zoals omgekeerde voorrang, waarbij een chauffeur zijn voorrang afstaat, of gelimiteerde voorrang, waarbij een automobilist op een voorrangsweg moet afremmen omdat een andere wagen zijn baan kruist of er zich invoegt, zijn persoonsgebonden en moeilijk te modelleren. Met dit soort voorrang houdt het model geen rekening.

2.1.3 Interacties tussen voertuigen onderling

In heel het verkeersproces gaan wagens continu interacties met elkaar aan. Elke beweging die een wagen maakt, zal andere wagens tot een reactie nopen. Het spectrum van deze interacties is zeer breed. Daarom worden verder in de tekst alleen deze interacties besproken die een invloed uitoefenen op de verkeersstromen op kruispunten, en die door het programma gesimuleerd kunnen worden. Deze interacties kunnen opgedeeld worden in drie categorieën, nl. interacties binnen 1 stroom, tussen verschillende stromen en interacties tussen verschillende kruispuntvlakken. Deze drie categorieën worden hieronder besproken.

24

2.1.3.1 Interacties binnen 1 stroom Een belangrijke soort interactie tussen wagens in één stroom ontstaat door het fenomeen van lane sharing. Bij lane sharing staan wagens die op het kruispunt verschillende richtingen uit moeten, opgesteld in dezelfde voorsorteerstrook. Ze delen dus deze opstelstrook met elkaar. Dit heeft tot gevolg dat, indien de eerste wagen in de wachtrij verhinderd wordt om het kruispuntvlak af te rijden, alle andere auto’s genoodzaakt zijn ook te wachten, zelfs indien de richting die zij uit moeten helemaal niet geblokkeerd is. Een zeer gekend voorbeeld zijn auto’s die linksaf wensen te slaan, maar

gehinderd worden door auto’s uit de

tegenovergestelde richting. Hierdoor hinderen ze auto’s die achter hen staan opgesteld en rechtdoor wensen te rijden. In het model kan gekozen worden of deze hinder al dan niet ingerekend wordt. Zo kan er vergeleken worden wat de werkelijke invloed is van lane sharing. Een andere vorm van interacties binnen één stroom vindt men terug in het fenomeen van platooning. Auto’s rijden achter elkaar in een groepje of peloton. Dit komt bvb. voor op een plaats waar niet voorbij gestoken mag worden en wanneer de eerste wagen in een rij auto’s relatief traag rijdt. Alle andere wagens zijn dan genoodzaakt zich aan het tempo van de eerste te houden en rijden zo in groep verder. Zoals in het hoofdstuk verificatie zal aangetoond worden, zijn de gemiddelde vertragingen ook functie van de distributies van de aankomst- en vertrekprocessen. Wanneer de wagens verondersteld worden onafhankelijk van elkaar aan te komen, kunnen hun aankomsten gemodelleerd worden met een exponentiële verdeling. Een andere distributie die vaak verondersteld wordt is de constante distributie. Andere verkeerssituaties worden dan weer best beschreven door andere verdelingen zoals een verschoven exponentiële verdeling, een Erlang-distributie van hogere orde of bepaalde dichtome verdelingen. Daarom is het nodig dat met het model ook deze verschillende distributies gemodelleerd kunnen worden, al zal blijken dat door het expliciet simuleren van de verkeersstromen de simulatie zelf tot analytisch moeilijk te beschrijven maar realistische distributies komt.

25

2.1.3.2

Interacties tussen verschillende stromen

In omstandigheden met een beperkte verkeersvraag, waarin een normale verkeersafwikkeling mogelijk blijft, zorgen verkeerslichten er in principe voor dat verschillende verkeersstromen aan een kruispunt maar weinig interacties met elkaar hoeven aan te gaan. Een voorbeeld van een interactie die wel kan voorkomen, is het fenomeen dat hierboven reeds besproken werd, waar een stroom die linksaf wil slaan gehinderd wordt door een tegemoet komende verkeersstroom waaraan ze voorrang verschuldigd is. De stroom moet dan wachten tot ze ongehinderd het kruispuntvlak af kan rijden. Vaak is dit pas het geval wanneer de verkeerslichten al op rood zijn gesprongen. De wagens rijden het kruispuntvlak dus af tijdens de rood lichtfase. Dit fenomeen vindt men in de literatuur terug als ‘red clearance’, en de tijdsspanne waarin dit gebeurt heet men het ‘red clearance interval’. Bij zeer grote belastingen van het verkeersnetwerk, kan het voorkomen dat het red clearance interval van een stroom op het kruispuntvlak zo groot wordt – bvb. doordat de wagens het kruispunt simpelweg niet meer af kunnen rijden- dat de voertuigen nog steeds op het kruispunt staan wanneer een stroom uit de andere richting weer groen heeft gekregen. Hierdoor neemt ook de afrijcapaciteit van deze stroom af. In het slechtste geval blijft een deel van deze nieuwe stroom op zijn beurt weer staan op het kruispuntvlak, waardoor de capaciteit van het kruispunt in een neerwaartse spiraal kan komen tot het hele kruispunt klem komt te staan. Wanneer er geen verkeerslichten voorzien zijn zorgen voorrangsborden en –regels ervoor dat het verkeer zo vlot mogelijk verloopt. In deze situaties oefent de stroom die voorrang krijgt wel een invloed uit op de stroom die voorrang moet geven (de zijstroom). De wagens in de zijstroom dienen te wachten tot de tussenafstand tussen twee wagens in de hoofdstroom groot genoeg is, om deze zonder storen te kunnen kruisen of erin in te voegen. De capaciteit (wagens/uur) van de zijstroom zal dus mede bepaald worden door de verdeling van de tussenafstanden tussen voertuigen in de hoofdstroom, ‘headways’ of ‘gaps’ genaamd. Ook de aard van de chauffeurs in de zijstroom bepaalt voor een deel de maximale capaciteit van de zijstroom.

26

Zo moet men zich afvragen wat de minimum afstand, de kritische gap tussen twee auto’s uit de hoofdstroom moet zijn vooraleer een auto uit de zijstroom deze hoofdstroom durft te kruisen. Indien een tussenruimte benut wordt door de automobilist spreekt men van gap-acceptatie. Ook de tussentijd die twee automobilisten laten wanneer die achter elkaar de hoofdstroom kruisen (follow-up time) speelt een niet te onderschatten rol. . 2.1.3.3 Interacties tussen verschillende kruispuntvlakken Wanneer de wachtrij aan een kruispunt zo lang wordt, dat de staart van deze rij de auto’s op een nabij gelegen kruispunt hindert van dit kruispunt af te rijden, dan spreekt men van ‘spillback’. Spillback is dus een fenomeen veroorzaakt door een stroomafwaarts gelegen kruispunt. Meer algemeen kan onder dit fenomeen elke wachtrij beschouwd worden die een andere verkeersstroom hindert doordat ze zo is uitgegroeid. Om rekening te kunnen houden met dit fenomeen, moeten in het model dus wegen of opstelstroken met een beperkte opstelcapaciteit gemodelleerd kunnen worden. Een kruispunt zorgt ook vaak voor een soort platooning effect. Dit effect komt voor wanneer auto’s van het ene kruispunt naar het andere kruispunt rijden. Aan het eerste kruispunt worden de auto’s voor het rode licht verzameld, waarna ze bij groen min of meer in groep tot het volgende kruispunt rijden. Het eigenlijke uitrijpatroon is zeer moeilijk analytisch te beschrijven. Een simulatie is de techniek bij uitstek om tot realistische resultaten te komen. Platooning wordt hier dan veroorzaakt door een stroomopwaarst gelegen signaal.

27

2.2

Eigenschappen van voertuigen in de verkeersstromen

2.2.1 Toevoer en afvoer van wagens De aanvoer van wagens aan een kruispunt wordt meestal bepaald door stroomopwaarts gelegen verkeerssituaties. Zoals eerder reeds vermeld, oefent een kruispunt een specifieke invloed uit op het distributiepatroon waarmee wagens aangeleverd worden aan een volgend kruispunt. In de verkeerstheorie worden er vaak exponentiële distributies aangenomen. Indien er wagens aangevoerd worden van buiten het bestudeerde netwerk, wordt daarom vaak voor een exponentiële distributie gekozen. Exponentiële distributies hebben als belangrijke eigenschap dat de verschillende opeenvolgende evenementen onafhankelijk van elkaar zijn. Bij de afvoer wordt er, indien wagens zonder belemmering de wachtrij kunnen uitrijden, ook vaak geopteerd voor een exponentiële verdeling, al is het soms gewenst een constant uitrijdebiet aan te nemen. In het model kan er expliciet gekozen worden voor exponentiële of constante uitrijprocessen. Wanneer er echter verkeerslichten staan op het kruispunt is er sprake zijn van dichotome distributies. Er wordt dan tijdens de roodtijd een uitrijcapaciteit 0 gehanteerd. Tijdens de groentijd wordt er voornamelijk met constante of exponentiele uitrijdistributies gewerkt. Op een bepaald moment moet een keuze gemaakt worden voor de graad van detaillering. Indien dit meer aangewezen is kunnen andere verdelingen zoals een verschoven exponentiele verdeling of Hyper-Erlang verdeling gebruikt worden. Vaak zijn deze verdelingen ook maar benaderingen en is het meer opportuun om simpelweg de simulatie te laten lopen, waardoor er vaak veel realistischere en analytisch veel moeilijker definieerbare verkeerspatronen te voorschijn komen. Indien men beschikt over praktijkgegevens kunnen die ook gebruikt worden.

28

2.2.2 Gap-acceptatie en follow-up time Belangrijke parameters voor het berekenen van capaciteiten en vertragingen zijn de zogenaamde kritische gap en de follow-up tijd. De kritische gap is de minimale afstand (meestal uitgedrukt in seconden) die elke bestuurder minstens wil hebben tussen twee wagens in de stroom die hij wil kruisen vooraleer hij zal vertrekken. De follow-up tijd is de tijd waarop de volgende bestuurder de voorgaande volgt. In de modellering kunnen deze twee parameters onafhankelijk van elkaar gekozen worden. Grossman(1988) toonde aan dat, wanneer er realistischere distributies worden gekozen, dat dan de capaciteit van het kruispunt daalt. Er wordt echter vaak van een exponentiële verdeling van de gaps tussen de wagens uitgegaan. Grossman (1991)en Troutbeck (1986) toonden aan dat indien hier met meer realistische distributies zou gewerkt worden een toename van de capaciteit zou gevonden worden die van de zelfde grootorde is als deze daling. De invloed van het constant veronderstellen van deze waarden is dus verwaarloosbaar. Daarom worden de kritische gap en de follow-up tijd verondersteld een constante distributie te hebben. Dit wil zeggen dat ze, nadat ze eenmaal vrij gekozen zijn, constant blijven tijdens de simulatie. Om het aantal voertuigen te schatten dat bij een bepaalde gaplengte door deze gap zal passeren, baseer ik me op aannames gemaakt door bvb. Harders (1976) en Troutbeck (1986). Het aantal voertuigen n dat een gap zal passeren wordt gegeven door volgende kansfunctie13:

13

Bij het opstellen van deze kansen gaat men er vanuit dat er zich een onbeperkt aantal wagens in de wachtrij bevinden. Indien het aantal wagens in de wachtrij beperkt is, dan zal maximum deze hoeveel wagens de wachtrij kunnen verlaten. Indien het aantal auto’s dat kan oversteken groter is als het aantal wachtende wagens, dan veronderstelt men dat alle wagens de wachtrij verlaten.

29

2.3

Aspecten met kleinere prioriteit

In dit deeltje worden kort enkele aspecten besproken die, hoewel ze zeer interessant zijn, niet worden meegenomen in de modellering. Enerzijds omdat ze niet in de lijn van de thesis liggen of anderzijds omdat bepaalde fenomenen zich maar in zeer specifieke gevallen voordoen of omdat hun invloed te beperkt is.

2.3.1 Voetgangers De invloed van voetgangers op de verkeersafwikkeling op kruispunten is vaak niet gering. Zeker op kleinere kruispunten waar veel voetgangers passeren spelen ze een belangrijke rol. Het gedrag van voetgangers is echter veel moeilijker te modelleren als dat van auto’s. Voetgangers moeten veel minder als wagens een vaste baan volgen. Ook zijn ze minder geneigd zich te houden aan verkeersregels. Omdat ze bovendien weinig invloed uitoefenen op de interacties tussen verkeersstromen op kruispuntvlakken zelf, houdt de simulatie er geen rekening mee.

2.3.2 Vertraging door het wisselen van rijstrook Wanneer auto’s van rijstrook wisselen, kunnen de betrokken verkeersstromen hierdoor een vertraging ondervinden. Dit effect wordt in deze thesis niet bestudeerd.

2.3.3 Knipperlichten Het verspringen van een gewoon verkeerslicht naar een knipperlicht kan een zeer grote invloed hebben op de verkeersafwikkeling. Dit gebeurt echter maar zelden, en maar op een beperkt aantal kruispunten. Het fenomeen is te detaillistisch om het mee te nemen in de modellering.

30

2.3.4 Headway compressie Wanneer meerdere wagens achter elkaar vanuit stilstand een rijstrook afrijden zullen hun respectievelijke follow-up tijden afnemen tot een bepaalde minimale waarde. Lin & Thomas (2005).Het probleem is vaak dat er geen praktijkwaarden gekend zijn, waardoor een betere fit met betrekking tot de realiteit niet altijd gegarandeerd is.

2.3.5 Dynamische verkeerslichtenregeling Een dynamische verkeerslichtenregeling varieert de groen- en roodtijden met het aantal auto’s in de wachtrijen en/of met de afstand tussen verschillende wagens in de verschillende stromen. In de thesis wordt verondersteld dat de verkeerslichten statisch werken, nl. dat de groen en rood tijden al op voorhand gekend zijn. Indien de modellering verder uitgebouwd wordt hoeft het niet zo moeilijk te zijn om een dynamische verkeerslichtenregeling te implementeren.

31

3 Conceptuele uitwerking van het model In het vorige hoofdstuk werden verschillende aspecten van de verkeersafwikkeling op kruispunten besproken. In dit hoofdstuk wordt uiteengezet hoe te werk is gegaan bij het opstellen van een model dat al deze verkeersaspecten op een realistische manier kan simuleren. Hierbij worden zowel de concepten die aan de basis van het model liggen als meer praktische aspecten besproken. De bedoeling is om de lezer een algemeen inzicht te verschaffen in de werking van de simulatie, zonder al te diep in te gaan op al de finesses van het programma. In Bijlage A: “Werking van de simulatie” wordt er dieper ingegaan op de structuur en de werking van het programma en haar verschillende functies. In het volgende hoofdstuk zullen de resultaten uit de simulatie gestaafd worden door na te gaan hoe goed de resultaten uit de simulatie de theorie en haar analytische en deterministische formules benaderen.

3.1

Het Black Box Concept

Omdat met hetzelfde simulatieprogramma kruispunten met zeer verschillende typologieën moeten geanalyseerd kunnen wordt in de opbouw van een kruispunt dat men wil gaan simuleren steeds vertrokken van zeer algemene bouwstenen die later verfijnd kunnen worden volgens de specifieke eigenschappen van het kruispunt. Deze bouwstenen, de black boxes, hebben een aantal eigenschappen die door de gebruiker van het simulatieprogramma moeten worden ingevuld. Nadat deze eigenschappen toegekend zijn aan de black boxes kunnen ze op zulke wijze met elkaar gelinkt worden dat ze een goede voorstelling van een kruispunt of van een verkeerssituatie vormen. Een kruispunt kan worden opgedeeld in verschillende fysische oppervlaktes waar voor alle wagens die zich op deze oppervlakte bevinden, dezelfde externe condities gelden. In grote lijnen kan gesteld worden dat deze fysische entiteiten overeenstemmen met verschillende (wacht)rijen14 of verkeersstromen die men aan en op het kruispunt kan onderscheiden.

14

In de tekst worden de benamingen black box, wachtrij en rij gebruikt. Ze doelen in de context van deze thesis allen op hetzelfde, nl. op de basisbouwstenen waaruit het kruispunt in de simulatie wordt opgebouwd. Black box refereert naar de wijze waarop deze bouwstenen worden behandeld in de simulatie, terwijl wachtrij eerder naar de onderliggende wachtrijtheorie refereert. De benaming rij stamt uit de fysische rijen die zich op het kruispunt vormen. Wanneer dus over een wachtrij wordt gesproken wil dit dus niet zeggen dat de wagens die zich in dit fysische kruispuntdeel bevinden ook effectief zullen moeten wachten (cfr. black box 3 in figuur 1)

32

In het simulatiemodel worden deze delen vertegenwoordigd door verschillende black boxes, die allen gekenmerkt worden door een nummer.

Figuur 1: Voorstelling van black boxes

In figuur 1 is de T-kruising opgedeeld in 3 delen. Deze delen stemmen overeen met 3 fysische delen van het kruispunt die verschillende randvoorwaarden hebben. De wagens die deel 1 en deel 2 uitrijden komen allemaal in deel 3 terecht. De auto’s uit deel 1 worden hierbij niet belemmerd, terwijl de auto’s uit deel tweevoorrang zullen moeten geven aan de wagens uit rij 1. De auto’s komen van buiten het beschouwde gebied het gebied binnen via rijen 1 en 2. Ze doen dit volgens bepaalde statistische verdelingen. Via rij 3 rijden de wagens het beschouwde gebied weer buiten. De benaming black box stamt uit het idee dat perfect geweten is welke auto’s een deel binnenrijden, en hoe ze er weer uitrijden. Ze doen dit volgens het first-in-first-out-principe (FIFO). Binnen de black box kan er niets aan de volgorde van deze wagens veranderd worden. Indien men het gevoel heeft dat er binnenin de black box toch enige aanpassingen moeten gebeuren, wil dit zeggen dat deze box te groot gekozen is, en dat hij opgesplitst moet worden in een aantal andere, kleinere boxen. Hier wordt later nog op teruggekomen.

33

3.2

Eigenschappen van de verschillende black boxes

3.2.1 Het algemene karakter van de black boxes Initieel zijn de verschillende black boxes of wachtrijen gebaseerd op Markov-rijen. Een wachtrij in de simulatie functioneert analoog als een Markov geboorte- sterfteproces. Er worden namelijk wagens toegeleverd (geboorte) en er vertrekken wagens (sterfte). De populatie, het aantal wagens dat zich in de wachtrij bevindt, neemt hierdoor met 1 toe of neemt hierdoor met 1 af. Een belangrijke eigenschap van Markov-rijen is dat de volgende toestanden waarin deze rijen zich zullen bevinden enkel afhangen van de huidige toestand, en niet van de vorige toestanden. Een Markov-proces heeft dus geen geheugen. Voor elke box moet eerst en vooral een distributie voor aankomst en vertrekprocessen gekozen worden. In de simulatie heeft men de keuze tussen een constante of een exponentiële distributie, beide gekenmerkt door hun gemiddelde waarde. Indien dit wenselijk is kunnen er ook andere distributies gekozen worden. Zeker indien men over metingen beschikt is dit zeer zinvol. De karakteriserende gemiddelde waarde wordt voor de aankomstprocessen de aankomstintensiteit of ‘arrivalrate’ (wagens/sec) en voor de vertrekprocessen de bedieningsintensiteit of ‘servicerate’ (wagens/sec) genoemd. Het omgekeerde van deze intensiteiten kent men als respectievelijk de ‘interarrival time’ en de ‘interdeparture time’. Door het kiezen van een distributie voor de aankomsten en vertrekken, wordt een eerste onderscheid gemaakt tussen de verschillende rijen.

34

3.2.2 Het specifieke karakter van black boxes

3.2.2.1 Verkeerslichten Nadat een keuze is gemaakt voor een distributie,

worden de wachtrijen verder

geïndividualiseerd door aan te geven of op het einde van de rij al dan niet een verkeerslicht staat. Indien dit het geval is, moeten ook de groen- en roodtijden bepaald worden. Indien het licht op rood staat valt de bedieningsintensiteit logischerwijze terug tot 0. In de simulatie kunnen de verkeerslichten van de verschillende wachtrijen op elkaar worden afgestemd. Hiertoe moet worden aangegeven hoeveel tijdseenheden na de start van de simulatie de wachtrij voor het eerst rood licht zal krijgen. Dit noemen we de offset.

Figuur 2: Voorstelling van offset en cycluslengtes

In figuur 2 is ook duidelijk te zien dat men door een juiste keuze van de cycluslengtes en offsets ook rekening kan houden met een klein interval waarin beide stromen rood licht hebben (all red interval).

35

3.2.2.2 Capaciteit Een andere belangrijke eigenschap van de black boxes is dat ze een gelimiteerde inhoud kunnen hebben. Wanneer deze maximale capaciteit bereikt is zullen er geen andere voertuigen meer bij passen totdat er door een vertrek uit de wachtrij weer plaats gecreëerd is. Indien men dit wil kan de capaciteit ook ongelimiteerd verondersteld worden. In figuur 3 worden de verschillende eigenschappen van black box schematisch weergegeven.

Figuur 3: Karakteristieke eigenschappen van de black box

36

3.3

Interacties tussen de verschillende wachtrijen

Naast het ingeven van de karakteristieke eigenschappen van de verschillende rijen, moet er ook worden aangegeven welke de onderlinge relaties tussen deze verschillende rijen zijn.

3.3.1 Toelevering In plaats van dat de wagens een rij binnenrijden volgens een vooraf bepaalde aankomstendistributie kan er ook geopteerd worden om een rij, met haar uitrijdende auto’s, de leverancier te laten zijn voor een andere rij. Deze tweede rij krijgt haar populatie dan toegeleverd via andere rijen. Omdat het in de simulatie mogelijk gemaakt is om verschillende rijen toe te laten leveren aan eenzelfde rij, zullen veel ingewikkeldere, analytisch moeilijk te beschrijven aanleveringsdistributies kunnen gesimuleerd worden. Hierdoor stijgt het realiteitsniveau van de simulatie sterk. Uiteindelijk is het de bedoeling om de grote meerderheid van de rijen toegeleverd te laten worden. Enkel de rijen waarlangs de voertuigen het beschouwde systeem binnenrijden zullen nog aangeleverd worden volgens vooraf expliciet bepaalde distributies.

3.3.1.1 1-op-1-toelevering De black boxes kunnen andere wachtrijen op verschillende manieren aanleveren. De makkelijkste wijze is om te stellen dat alle wagens die een bepaalde rij uitrijden, allen aan een zelfde andere rij worden toegeleverd. Het is dan makkelijk om de verschillende vertragingen van de verschillende voertuigen te berekenen omdat men precies weet welk traject elke wagen afgelegd heeft. We noemen dit de 1-op-1-toelevering. Deze wordt schematisch voorgesteld in figuur 4.

Figuur 4: Schematische voorstelling traject 1-2-3 bij 1-op-1-toelevering

37

Wanneer men meerdere verschillende typologieën voor eenzelfde kruispunt wil vergelijken kan men de simulatie een aantal keer laten lopen voor deze verschillende indelingen. Elke simulatie is echter anders. Om tot exact vergelijkbare resultaten te komen is er een tool ingebouwd die een wagen die uit een wachtrij uitrijdt toelevert aan meerdere andere rijen tegelijk. Er wordt dan gesproken over een 1-op-1-toelevering aan verschillende rijen (cfr. figuur 5). Deze andere rijen kunnen dan inputs zijn voor verschillende deelsystemen, bvb. de verschillende typologieën die men wil vergelijken. Hierdoor wordt veel sneller duidelijk welke indeling het meest aan de noden voldoet. Het systeem is weergegeven in onderstaande figuur. Bovendien zal dit ook een noodzakelijke tool blijken om gap-acceptatie op een realistische wijze te modelleren. Dit wordt verder in de tekst uiteengezet.

Figuur 5: 1-op-1-toelevering aan verschillende rijen

38

3.3.1.2 1-op-m-toelevering Vaak rijden auto’s die in 1 wachtrij staan nadien verschillende richtingen uit. Denk hierbij bvb. aan gedeelde opstelstroken. Daarom is het in de simulatie voorzien dat wachtrijen kunnen toeleveren aan verschillende wachtrijen. In de simulatie zijn er twee criteria volgens dewelke dit kan gebeuren voorzien: toelevering aan de leegste rij of toelevering aan verschillende rijen met een bepaalde kans. Bij de toelevering aan de leegste rij worden de uitrijdende auto’s geleverd aan de rij waarin de minste wachtenden staan. Zo zijn aan verkeerslichten alle rijen meestal ongeveer even lang. Wanneer men een idee heeft over het percentage automobilisten dat rechtdoor rijdt, links- of rechtsaf slaat, dan kan volgens deze percentages de beweging van de wagen geloot worden. In figuur 6 is een voorbeeld van een 1-op-m-toelevering getekend.

Figuur 6: Procentuele 1-op-m-toelevering

39

Wanneer de maximale capaciteit van één van de toegeleverde rijen bereikt is, kunnen er aan deze rij natuurlijk geen wagens meer worden toegeleverd. Het aantal verschillende rijen waaraan zo kan worden toegeleverd is in principe onbeperkt. Er zijn vele verkeerssituaties waarvoor het gebruik van deze wijze van toeleveren noodzakelijk is om tot een realistische simulatie te komen. De capaciteiten van verschillende verkeersstromen over het kruispunt bij een 1-op-m-toelevering worden even makkelijk berekend als bij een 1-op-1-toelevering. Het is echter veel moeilijker om de gemiddelde vertragingen voor de verschillende wagens te berekenen. Men kan immers niet meer op voorhand het traject van de verschillende wagens voorspellen, wat het programmeren van functies om deze vertragingen te berekenen veel moeilijker maakt. In figuur 7 een vereenvoudigde voorstelling gemaakt van een situatie waarin het traject dat de verschillende wagens volgen niet meer op voorhand vastligt. Wachtrij 3 stelt hier dan bvb. een sluipweg die gebruikt wordt wanneer er zich te veel wagens in rij 2 bevinden. Daarom is er een labelsysteem uitgewerkt dat continu het verloop van het traject van de verschillende auto’s bijhoudt, samen met hun reistijd. Dit labelsysteem wordt gedetailleerder besproken in bijlage A.

Figuur 7: Voorbeeld van situatie waar traject niet meer op voorhand vastligt

40

3.3.2 Hinder en vermindering Wanneer bepaalde rijen te lang worden kunnen ze andere rijen hinderen. Zo worden wagens verhinderd hun wachtrij uit te rijden wanneer er geen plaats meer is op de opstelstrook waar ze heen willen. Wanneer men aangeeft dat een rij een andere rij hindert, dan moet ook steeds de populatiegrootte vanaf dewelke deze hinder optreedt worden aangegeven. Wanneer de hinderende rij dit aantal auto’s heeft bereikt, dan valt de bedieningsintensiteit van de gehinderde rij naar 0. Er kunnen dan geen wagens de rij meer uitrijden. Onder vermindering wordt verstaan dat de bedieningsintensiteit van een rij afneemt vanaf wanneer de “minderende” rij een bepaalde lengte heeft. De intensiteit daalt dan wel, maar wordt zeker niet nul. Van zodra de lengte van de hinderende of verminderende rij weer kleiner wordt, zodat haar hinder weer verdwijnt, krijgt de gehinderde rij weer haar oude vertrekintensiteit. Afhankelijk van het proces dat men wenst te modelleren zal voor 1 van deze twee of een combinatie van deze twee tools (hinder of vermindering) moeten worden gekozen. Zo zal er het best voor een complete hindering gekozen worden wanneer de opstelcapaciteit van een rij beperkt is. De uitrij-intensiteit van andere rijen die aan deze rij leveren valt terug tot nul wanneer haar maximale capaciteit bereikt is. In andere gevallen wordt het uitrijden van bepaalde rijen bemoeilijkt doordat een andere rij een zekere capaciteit bereikt heeft. Toch zullen er nog steeds wagens kunnen vertrekken, zij het aan een verlaagde intensiteit. Deze twee gevallen worden weergegeven in figuur 8.

Figuur 8: Voorstelling reële hinder en vermindering

41

3.3.3 Voorrang en gap-acceptatie Om een voorrangssituatie te modelleren is een goed inzicht vereist in de werking van het black box systeem. In dit deel wordt uiteengezet hoe men in de simulatie zulk een voorrangssituatie modelleert. Er wordt hiertoe een speciaal soort wachtrij geïntroduceerd; De gap-acceptatie rij. Deze rij heeft geen fysische betekenis, maar wordt enkel gebruikt om de kritische gap en de follow-up tijd te kunnen modelleren. In figuur 9 wordt schematisch aangegeven hoe een reële voorrangssituatie ‘vertaald’ wordt naar de simulatie

Figuur 9: Omzetting voorrangssituatie naar model

Er wordt een kruising van twee stromen beschouwd. De ene stroom (hoofdstroom) heeft voorrang op de andere (zijstroom). Wanneer er zich een wagen uit de hoofdstroom op het kruispuntvlak bevindt, wordt het uitrijden van de wagens uit de zijstroom verhinderd. Ze geven voorrang. De afstand tussen twee wagens uit de hoofdstroom moet zelfs groter zijn dan de kritische gap vooraleer er een wagen vertrekt. Om dit te kunnen modelleren is er een gapacceptatie wachtrij gecreëerd. Deze wachtrij wordt toegeleverd door de hoofdstroom en heeft een capaciteit 1. Wanneer er zich een nieuwe toelevering van een nieuwe wagen voordoet terwijl er zich al een auto in deze rij bevindt, dan wordt de auto die zich reeds in de wachtrij bevond uit de rij gestoten door de nieuwe wagen.

42

De bedieningstijd van de gap-acceptatie rij is constant. Een wagen die de rij binnenkomt zal x aantal seconden later bediend worden. De bedieningstijd moet gelijk genomen worden aan de kritische gap tijd. Wanneer een wagen bediend werd vooraleer hij uit de gap-acceptatie rij geduwd is15, wil dit zeggen dat de tussentijd tussen twee wagens in de hoofdstroom groter is dan de kritische gap tijd. Door nu nog aan te geven dat de gap-acceptatie rij de zijstroom hindert wanneer er zich een voertuig in bevindt, zal op deze wijze het systeem van gap acceptatie gemodelleerd kunnen worden. De bedieningsintensiteit van de wachtrij voor de voertuigen uit de zijstroom is het 0,5/ Tfollow-up16 voor het eerst vertrekkende voertuig, en 1/Tfollow-up voor de daarop volgende voertuigen. Zo wordt ook de follow-up tijd gemodelleerd zoals in vorig hoofdstuk aangegeven. Een bedieningstijd betekent tevens ook een vertragingstijd. Indien een wagen immers een rij met een constante bedieningstijd van 5 seconden binnenrijdt, dan komt hij deze rij ten vroegste 5 seconden later weer buiten. Het voertuig wordt vertraagd door deze rij. Wanneer een wagen een kruispuntvlak kruist wanneer hij voorrang heeft doet hij doet hij dit echter vaak in een zeer beperkte tijdsspanne. De wagens uit de hoofdstroom zouden in de gapacceptatie rij te zeer vertraagd om nog in overeenstemming te zijn met de werkelijkheid. Daarom worden de aanrijdende auto’s zowel aan de gap-acceptance als een aan andere rij toegeleverd. Dit is te zien op figuur 9. Het is hier dat de eerder besproken 1-op-1-toelevering aan verschillende rijen noodzakelijk is. Er ontstaan als het ware voertuigen. De wagens die de gap-acceptatie rij uitrijden worden daarom nergens toegeleverd, en verloren verondersteld om een onterechte toename van wagens in het systeem te vermijden. De gap-acceptatie rij wordt hierdoor een instrument om een proces te modelleren, eerder dan dat ze een fysische betekenis heeft.

15

Op dit moment is de gap-acceptatie rij dus leeg aangezien de maximale capaciteit beperkt is tot 1. Dat de eerste wagen die de rij uitrijdt bedient wordt met uitrij-intensiteit 0,5/Tfollow-up is speciaal zo geprogrammeerd om de simulatie in overeenstemming te brengen met de veronderstellingen van Harders (1976) en Troutbeck (1986) die eerder al werden aangehaald.

16

43

In dit deel werd uiteengezet hoe een voorrangssituatie gemodelleerd wordt. Uit dit voorbeeld komt duidelijk naar voor dat niet alle rijen een fysische tegenpool moeten hebben. De wachtrijen kunnen geïnstrumentaliseerd worden. Een goed inzicht in de werking van de black boxes en in de vertaling van de fysische werkelijkheid naar een model maakt het mogelijk complexere situaties te modelleren.

3.4

Omzetten van werkelijkheid naar model

De vertaling van de werkelijkheid naar het model is niet altijd even eenvoudig. In dit deel wordt een algemene werkwijze besproken die een goede omzetting van de realiteit garandeert. Het is echter niet altijd de meest gedetailleerde vertaling die het meest aangewezen is. Wanneer men het effect van een bepaald fenomeen wil onderzoeken is het zinloos om delen van het kruispuntvlak die op dit fenomeen geen invloed hebben al te gedetailleerd te modelleren. Dit zou enkel onnodige rekenkracht van de computer vergen. Daarom is er ook een systeem uitgewerkt om de graad van detaillering van de modellering te bepalen.

3.4.1 Definiëren van de wachtrijen De verschillende wachtrijen worden uiteindelijk op zulke wijze gecombineerd dat ze een aaneengesloten netwerk van schakels vormen. Elke schakel stelt dan een deeltje van het kruispunt voor. Deze kunnen geklasseerd worden volgens hun graad van detaillering. We kunnen spreken over level-1, -2- of –3-rijen. De grofste graad van detaillering zijn de level-1rijen. Wanneer men meer en meer inzoomt op de verschillende processen worden er rijen van level 2 of level 3 teruggevonden.

44

3.4.1.1 Level-1-rijen De eerste stap in de omzetting van realiteit naar model is het bepalen van alle mogelijke banen die op het kruispuntvlak kunnen beschreven worden. Wanneer over eenzelfde stuk weg in twee verschillende richtingen kan gereden worden, dan worden er ook twee banen getekend. Verschillende rijstroken worden ook best als verschillende wachtrijen gemodelleerd. Deze banen kunnen splitsen in nieuwe banen, of kunnen samenkomen om een gemeenschappelijke baan te vormen. In de punten waar dit gebeurt plaatsen we knopen. Ook ter hoogte van alle verkeerslichten worden knopen geplaatst. Al deze knopen noemen we ‘level-1-knopen’. In figuur 10 zijn deze level-1-knopen aangegeven door zwarte stippen. De schakels tussen deze knopen zijn de level-1-rijen. Het netwerk dat zo ontstaat, kan vergeleken worden met bvb. een hydraulisch netwerk waarin ook stromen samenkomen en weer splitsen. Het grote verschil met zo een hydraulisch netwerk is dat bepaalde stromen elkaar kunnen kruisen zonder dat er enige vorm van menging is tussen de verschillende stromen. De knopen waar stromen kruisen zonder te mengen of te splitsen worden level-2 of –3-knopen genoemd.

3.4.1.2 Level-2-rijen Level-2-knopen ontstaan waar level-1-rijen die gelijktijdig groen licht kunnen hebben, kruisen zonder te mengen. Op een kruispunt zonder verkeerslichten worden alle stromen verondersteld steeds groen licht te hebben. Door het plaatsen van level-2-knopen worden verscheidene level-1-rijen in stukken gesplitst. Bij elke kruising van twee level-1-rijen kunnen er 4 level-2-rijen ontstaan. Volgens het verkeersregelement is er echter altijd 1 van de twee stromen die voorrang moet geven aan de andere. Wanneer verondersteld wordt dat de stroom die voorrang krijgt nooit gehinderd zal worden, dan blijft de rij die voorrang heeft een level-1rij. Indien men toch een kans op hinder vermoedt dan wordt deze rij toch ook een level-2-rij. De wachtrij die voorrang moet geven wordt sowieso opgesplitst in 2 nieuwe wachtrijen. In figuur 10 zijn de level-2-knopen aangegeven met rode stippen.

45

Figuur 10: Schematische voorstelling van interacties op een kruispunt

3.4.1.3 Level-3-rijen De knopen die nu nog overblijven zijn de knopen waar normaal gesproken geen interacties tussen stromen plaatsvinden. De wagens die de banen volgen die elkaar in deze knopen kruisen hebben immers nooit op hetzelfde tijdstip groen licht. Toch zijn er ook hier nog knopen te onderscheiden waar de waarschijnlijkheid op interacties groter is als in andere level-3-knopen. Het verschilt echter van situatie tot situatie in welke knopen deze interacties zich zullen voordoen, en het is moeilijk om hier nog algemene regels op te plakken. Algemeen gesproken doet men er best aan ook al deze mogelijke interacties mee te nemen in de modellering. Enkel indien men delen van het kruispunt niet wenst te beschouwen of vereenvoudigd voorstelt kan men deze knopen verwaarlozen. In de figuur zijn deze knopen weergegeven met blauwe stippen.

46

3.4.1.4 Nummering Nadat het kruispunt in de verschillende delen is opgesplitst, moet aan de verschillende rijen nog een rijnummer worden toegewezen. De nummering start bij 1 en loopt tot het aantal rijen waarin het systeem is opgesplitst. Deze nummering is in principe willekeurig, al zal het voor de gebruiker van de simulatie handig zijn om een voor zichzelf een logische nummering te maken. Daarna moet nagegaan worden of er nog extra rijen toegevoegd moeten worden om voorrangssituaties te kunnen modelleren. In dit deel werd een methode aangegeven om tot een goede opsplitsing van het kruispunt te komen. Zoals eerder gesteld is het zaak om een juiste balans te vinden in de graad van detailleren. Niet alleen een goede opsplitsing zal leiden tot een realistisch resultaat. Ook het juiste aangeven van de interacties tussen de verschillende rijen heeft een grote invloed op het resultaat. Hoe men hierbij te werk gaat wordt in de volgende paragraaf aangegeven.

3.4.2 Aangeven van interacties Nadat het kruispuntvlak in verschillende delen opgesplitst is moeten vooreerst de black box eigenschappen van de rijen worden ingekleurd. Hierbij zullen vele eigenschappen niet willekeurig te kiezen zijn. De capaciteiten van de verschillende rijen hangen af van de opstelruimte die men op het kruispunt heeft, en de cyclustijden van de verkeerslichten zijn vaak ook reeds gekend17. Enkel voor de rijen die van buiten het beschouwde systeem toegeleverd worden, moet een aankomstendistributie gekozen worden. Voor de andere rijen moet worden aangegeven door welke rij ze worden aangeleverd. De vertrekken worden meestal exponentieel verdeeld verondersteld. Door het uitvoeren van de simulatie verandert deze distributie reeds snel in andere, meer reële distributies door de invloed van verkeerslichten of andere wachtrijen. De percentages voertuigen die elk een andere richting opgaan bij het splitsen van een stroom moeten ook geschat en aangegeven worden. 17

Door de verkeerslichtenregeling aan te passen kan men de invloed ervan op de verkeersafwikkeling bestuderen.

47

Een andere moeilijkheid stelt zich bij het schatten van de vermindering van vertrekintensiteit wanneer een rij gehinderd wordt door een andere. Deze intensiteitsdaling is namelijk sterk afhankelijk van kruispunt tot kruispunt, en van bestuurder tot bestuurder. Indien men een bestaand kruispunt simuleert, kan men best enkele metingen uitvoeren, of zich baseren op bestaande metingen van bij gelijkaardige kruispunten. Indien men niet over deze gegevens kan beschikken maakt men een realistische schatting.

3.5

Tel- en tijdmatrices

Om na de simulatie de vertragingen, de capaciteiten en de wachtrijlengtes te kunnen berekenen worden alle bewegingen naar of vanuit de black boxes opgeslagen. Hiervoor staan de telmatrix en de tijdmatrix ter beschikking. In tabel 1 is een deel van de tijdmatrix en de telmatrix voor een toelevering van rij 1 naar rij 2 weergegeven. In rij 1 komen auto’s toe volgens een exponentiele verdeling, en uit rij twee vertrekken ze ook volgens een exponentiele verdeling. De tabel moet op volgende wijze gelezen worden; Men kijkt in de telmatrix of er een verandering geweest is van het aantal wagens in de wachtrij. In de tijdmatrices worden zowel de tijdstippen van populatietoename als –afname bijgehouden. Van de eerste naar de tweede rij in de matrix is er een afname van de teller van de eerste wachtrij van 3 naar 2. In de tijdmatrix vindt men in de overeenkomstige kolom en rij, het tijdstip terug waarop deze overgang naar een nieuwe populatiegrootte plaatsvond. De overgang 3 naar 2 wagens voor wachtrij 1 voltrok zich dus op tijdstip 80,3566. Omdat rij 1 toelevert aan rij 2 impliceert een vertrek uit rij 1 een aankomst in rij 2. Er kan dan ook afgelezen worden dat de populatie van rij 2 gegroeid is van 4 naar 5, en dit op tijdstip 80,3567. 0,001 tijdseenheden nadat de wagen rij 1 verliet komt hij aan in rij 2. Dit overgangsverlies kan zelf gekozen worden. Uit de telmatrix kan afgelezen worden dat van tijdstip 76,9635 tot tijdstip 80,3566 de populatie van wachtrij 1, 3 was. Van 80,3566 tot 81,5149 was deze populatie 2… Zo kunnen uit de tijd- en telmatrices de gemiddelde wachtrijlengtes berekend worden. In de bijhorende figuur 11 is de populatie van beide rijen gedurende het tijdsinterval 0 tot 100 weergegeven in functie van de tijd. Er is duidelijk op te zien dat wanneer er een afname is van de populatie van wachtrij 1 (blauw), er zich tegelijkertijd een toename van de populatie van wachtrij 2 (rood) voordoet.

48

tijd rij 1 tijd rij 2

tel rij 1

tel rij 2

76.9635 76.9636

3.0000

4.0000

80.3566 80.3567

2.0000

5.0000

80.3566 81.1596

2.0000

4.0000

81.5149 81.1596

3.0000

4.0000

83.6315 81.1596

4.0000

4.0000

86.3154 86.3155

3.0000

5.0000

86.3154 87.1596

3.0000

4.0000

87.2561 87.1596

4.0000

4.0000

89.4429 87.1596

5.0000

4.0000

Tabel 1: Deel van een tijd- en telmatrix

populatiegrootte in functie van de tijd; blauw : rij 1, rood : rij 2 7

6

populatiegrootte

5

4

3

2

1

0

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 bedienings- en aankomstintensiteiten; (1auto/6sec) X-as:tijd

Figuur 11: Populatiegrootte in functie van de tijd

49

100

3.6 Labelsysteem Wanneer het individuele traject dat elke wagen aflegt op voorhand niet exact kan worden bepaald, dan kan men niet zonder meer de verschillende vertragingen die de voertuigen hebben opgelopen uit de tel- en tijdmatrices aflezen. Het blijft nog wel mogelijk om de capaciteit van het kruispunt te berekenen, en om daaruit de gemiddelde vertragingen te berekenen. Meestal volstaan deze gegevens, al zou men ook geïnteresseerd kunnen zijn in de vertraging die elk individueel voertuig heeft opgelopen. Om deze berekeningen in verband met de vertragingen ook in deze gevallen mogelijk te maken is er een labelsysteem ontwikkeld. In dit labelsysteem wordt het traject dat elke wagen heeft afgelegd, samen met de tijden die de verschillende voertuigen op de verschillende kruispuntsecties hebben doorgebracht, bijgehouden in 2 matrices, de aankomst en vertrek labelmatrix. De labels zijn kommagetallen. Een label geeft aan welk traject een wagen reeds doorlopen heeft. De getallen voor de komma stellen eenheden voor, terwijl de getallen na de komma duiden op tientallen. De getallen op de eerste plaats voor en na de komma vormen een koppel. De getallen op de tweede, derde,… plaats voor en na de komma vormen zo ook allen een koppel. Het eerste getal voor de komma vormt samen met het eerste getal na de komma het rijnummer van de laatste rij waarin de wagen zich bevond. Het tweede getal voor de komma vormt, samen met zijn pendant achter de komma, het rijnummer van de voorlaatste rij, enz…. Hierbij geeft het getal na de komma steeds het tiental aan, terwijl het getal voor de komma op het aantal eenheden wijst. Ter verduidelijking wordt er een klein voorbeeldje gegeven. Voorbeeld: Label 321,110 duidt op een traject van rij (0x10+3) naar (1*10+2) naar (1*10+1). Of dus het traject 3-12-11. Label 47124,30275 duidt zo op traject 54-77-21-2-34. Voor een gedetailleerdere uitleg over de precieze werking wordt verwezen naar bijlage A: “werking van de simulatie”.

50

3.7

Beperkingen in modellering

Eigenlijk kent de modellering zeer weinig beperkingen. Door een goede combinatie van verschillende wachtrijen kunnen met het programma zowat alle verkeerssituaties gemodelleerd worden. Bovendien is het model zo opgesteld dat er makkelijk extra toepassingen kunnen worden ingebracht. In het model wordt er momenteel echter geen rekening gehouden met wagens met een personenauto equivalent (pae) verschillend van 1, zoals bvb. vrachtwagens. Ook een wachtrijtype waarin elke wagen een zelfde constante verblijftijd heeft, is nog niet gemodelleerd. In dit hoofdstuk werd beschreven hoe er bij het opstellen van het programma te werk werd gegaan om tot een goed model van de werkelijkheid te komen. Eerst werd het principe van de black box uiteengezet, waarna er aangetoond werd hoe men tot een goede vertaling van de werkelijkheid naar een netwerk van wachtrijen komt. In het volgende hoofdstuk zullen de resultaten die bekomen worden met de simulatie getoetst worden aan de resultaten die men zou verwachten op basis van analytische en deterministische formules die voor handen zijn in de literatuur.

51

4 Verificatie In het programma worden verkeersprocessen gesimuleerd door een het combineren van een aantal wachtrijen die initieel gebaseerd zijn op Markov geboorte- sterfteprocessen. Om het model theoretisch te onderbouwen worden in dit deel de resultaten uit de simulaties geëvalueerd door een grondige vergelijking met de analytische formules te maken. Om tot een goede vergelijking te komen wordt de kans om een bepaald aantal gebruikers aan te treffen in de wachtrij en de gemiddelde vertraging berekend. Ook het gemiddelde aantal wachtenden in een wachtrij wordt geverifieerd. Deze waardes leggen de basis voor goede benaderingen van gemiddelde wachtrijlengtes, capaciteiten en vertragingen in uitgebreidere systemen. In de bijlage ‘werking van de simulatie’ is aangegeven hoe deze capaciteiten en vertragingen berekend worden. Vooreerst worden individuele wachtrijen bestudeerd. Aangezien de wachtrijen gebaseerd zijn op Markov-rijen, worden de resultaten die bekomen worden met de simulatie getoetst aan de resultaten die de analytische formuleringen van dit soort rijen geven. Verder worden ook interacties tussen verschillende rijen bestudeerd. Het is de bedoeling om na te gaan hoe realistisch de resultaten uit de simulatie zijn. De resultaten die hier verkregen worden zullen vergeleken worden met analytische oplossingen uit de wachtrijtheorie. De verificatie van het model is niet alleen het verifiëren van de gesimuleerde verkeersafwikkeling, maar tevens van de geprogrammeerde analysemethodes. Er worden namelijk nooit goede resultaten voor bvb. de vertraging gevonden indien de functies die deze vertraging berekenen niet juist zijn. Op zijn beurt zal een juiste methode om de vertraging te berekenen geen goede resultaten geven indien de verkeerssimulatie niet juist is. In het model zit dus een dubbele controle op fouten ingebouwd wat alleen maar meer zekerheid geeft wat de correctheid van de resultaten betreft.

52

4.1

Wachtrijen als Markov-rijen

Eerst worden de eigenschappen van de rijen uit de simulatie vergeleken met Markov wachtrijsystemen. Deze systemen worden algemeen aangeduid met volgende notatie: X/Y/U/V, waarbij; X: Wijst op de statistische verdelingsfunctie voor het aankomstproces in de wachtrij. Y: Wijst op de statistische verdelingsfunctie voor het vertrekproces uit de wachtrij. U: Het aantal wachtrijen of servers in het systeem. V: De maximale capaciteit van een wachtrij. Als verdelingsfuncties worden in de wachtrijtheorie vaak exponentieel verdeelde functies gekozen. Deze verdeling heeft als voordeel dat de aankomsten of vertrekken onafhankelijk van elkaar verondersteld mogen worden. Een exponentieel proces wordt aangeduid met het symbool M. Er kunnen echter ook andere verdelingen gebruikt worden. Daarbij wordt dan in de eerste plaats gedacht aan constante bedieningstijden, voorgesteld door het symbool D, maar ook andere verdelingsfuncties zoals een Erlang (Er, met r de orde) verdeelde aankomstprocessen kunnen soms zeer toepasselijk zijn. Een algemeen aankomst- of vertrekproces wordt voorgesteld door een G, deze verdeling wordt gebruikt wanneer het proces niet nader gekend is. Voor het meest algemene geval kan er gedacht worden aan een dataset die als invoer voor de simulatie gebruikt wordt. Vaak wordt de maximale capaciteit van de wachtrij achterwege gelaten in de notatie. Er wordt dan impliciet verondersteld dat de rij een oneindige capaciteit heeft.

Indien de populatie beperkt is, wordt er nog een vijfde symbool toegevoegd. In dit onderzoek naar verkeersafwikkeling op kruispunten wordt de populatie echter steeds oneindig groot verondersteld.

53

De Markov-processen die hier verondersteld worden zijn geboorte- en sterfteprocessen (birth death processes). Een gedetailleerde theoretische beschrijving van al deze processen kan teruggevonden worden in het boek “Queueing systems” van Kleinrock. De wachtrij bevindt zich in een bepaalde toestand k, gekenmerkt door het aantal wachtenden in de rij, de populatiegrootte. Vanuit deze toestand kan de wachtrij maar overgaan in de twee toestanden. Een overgang naar een lagere toestand k-1 door een sterfte, waardoor de populatie afneemt, of naar een hogere toestand k+1, door een geboorte, waarbij de populatie toeneemt. In figuur 12 wordt dit proces schematisch weergegeven. De populatie kan nooit kleiner worden als 0.

Figuur 12: Algemene voorstelling Markov geboorte- sterfte-proces

De overgangen worden gekenmerkt door λk, de geboorte-intensiteit, en µk, sterfte-intensiteit. Dit zijn het aantal geboortes of sterftes die verwacht worden per tijdseenheid. De kans op een geboorte of een sterfte in het tijdsinterval dt is gelijk aan respectievelijk λkdt en µkdt.

De

intensiteiten

worden

meestal

constant

gehouden

voor

de

verschillende

toestandsovergangen. Aangezien de populatie nooit kleiner kan worden als 0, is µ0 steeds gelijk aan nul. De verhouding 1/ λk wordt de interarrival-time genoemd. Het is het aantal tijdseenheden die verstrijken per geboorte, of dus de tijd tussen twee geboortes. 1/ µk wordt de bedieningstijd of de servicetime genoemd. De verhouding λ/µ wordt ook aangeduid als ρ, waarbij rho de saturatiegraad is. Als een voorwaarde voor een convergeren van deze Markov-processen naar een toestand van dynamisch evenwicht geldt als voorwaarde dat deze saturatiegraad rho kleiner moet zijn als 1.

54

4.1.1 M/M/1 4.1.1.1 De kans op populatie k De interarrivaltijden zijn hier net zoals de bedieningstijden onafhankelijk exponentieel verdeeld. Het systeem bestaat uit 1 server of wachtrij. De kansdichtheid van de exponentiële funcie is als volgt gegeven [Beirlant & Van Dyck,2001];

Hierbij is λ de gemiddelde intensiteit. 1/λ is de interarrivaltime. Soms wordt de exponentiele functie ook wel gekenmerkt met de interarrivalrate als parameter.(bvb. in Matlab). Men moet dan ook steeds even checken welke parameter gebruikt wordt om misinterpretaties en foute resultaten te vermijden. Indien de verhouding tussen de gemiddelde geboorte-intensiteit en de gemiddelde sterfteintensiteit kleiner is dan 1 zal er zich in het systeem een dynamisch evenwicht instellen. Dit dynamisch evenwicht wordt beschreven door volgende twee vergelijkingen

De input waarschijnlijkheidsstroom in toestand k;

Ik = λk-1 pk-1+ µk+1 pk+1.

De output waarschijnlijkheidsstroom uit toestand k;

Ok = (λk+ µk) pk.

Waarbij pk de kans is om in het systeem een toestand aan te treffen met een populatie k. In het dynamische evenwicht moeten deze twee stromen aan elkaar gelijk zijn.Dit resulteert in volgende gelijkheid;

λk-1 pk-1+ µk+1 pk+1= (λk+ µk)pk . Deze gelijkheid geldt voor alle k’s.

λk en µk zullen allen dezelfde verondersteld worden. µ0 is echter gelijk aan 0.

55

Uiteindelijk leidt dit tot een stelsel van vergelijkingen, waarbij

µ.p1 = λ. p0 λ.p0+µ.p2 = (λ+ µ). p1 …

…

…

λ.pk-1+µ.pk+1 = (λ+ µ). pk Dit stelsel kan herschreven worden naar een matrixvergelijking;

Waaruit de oplossing kan worden gehaald in functie van p0;

k

λ pk = p0 .   . µ

De som van al deze kansen sommeert tot 1 waaruit dan p0 berekend kan worden als

p0= 1-

λ . µ

rho < 1 is de voorwaarde voor convergentie naar een eindige oplossing. Indien rho > 1, dan zal de wachtrijpopulatie divergeren en worden geen bruikbare resultaten gevonden. Uiteindelijk wordt als algemene oplossing gegeven verkregen;

pk = (1 − ρ)ρk met k=0,1,2,…

56

In tabel 2 worden de resultaten uit de theorie vergeleken met deze bekomen door simulatie.

populatie

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,4945

0,2523

0,1279 0,0688

0,0291

0,0120

0,0071

0,0034

0,0019

0,0013

0,4942

0,2429

0,1257 0,0656

0,0353

0,0177

0,0117

0,0035

0,0015

0,0013

0,5015

0,2488

0,1206 0,0629

0,0331

0,0160

0,0083

0,0056

0,0019

0,0010

0,5042

0,2509

0,1216 0,0931

0,0293

0,0157

0,0080

0,0035

0,0026

0,0011

0,5002

0,2536

0,1247 0,0569

0,0336

0,0172

0,0080

0,0032

0,0023

0,0009

gemiddelde

0,4989

0,2497

0,1241 0,0695

0,0321

0,0157

0,0086

0,0039

0,0020

0,0011

St. dev.

0,0044

0,0042

0,0030

0,0139

0,0028 0,0022

0,0018

0,0010

0,0004

0,0002

theorie

0,5000

0,2500

0,1250

0,0625

0,0313 0,0156

0,0078

0,0039 0,0020

0,0010

theorie-gem

0,0011

0,0003

0,0009 -0,0070 -0,0008 -0,0001 -0,0008 0,0000 -0,0001 -0,0002

0,22

0,12

0,73

11,16

2,61

0,55

10,42

1,21

4,31

16,12

0,35

0,26

0,80

0,34

0,68

3,37

6,34

9,37

16,04

1,54

0,27

0,07

0,44

0,30

0,88

1,93

4,01

7,94

9,33

10,08

Pk

relatieve fout (%) relatieve fout bij 20 sim relatieve fout bij 50 sim

Tabel 2: Resultaten simulatie M/M/1 rij

Simulatietijd: 10000 interarrivaltijd: 2 bedieningstijd: 1

M/M/1-systeem

In de tabel zijn de waardes voor de kans om een bepaalde populatie aan te treffen voor een M/M/1 systeem met een saturatiegraad van 0.5 weergegeven en vergeleken met de waarden die bekomen worden in de theorie.

Er werden vijf simulaties gedaan, waarvoor bij elk de kans op de

verschillende populaties berekend wordt. Dit wordt gedaan voor een populatie van 0 tot 9. De kans om een populatie aan te treffen van 10 of groter is kleiner dan 1/1000 en wordt verwaarloosd. In de derdelaatste rij wordt de relatieve fout op de populatiekans berekend met de simulatie tov. deze berekend met de theorie weergegeven.

57

In de voorlaatste rij staan de relatieve fouten bij een uitvoering van 20 simulaties en in de laatste rij de procentuele fout wanneer er 50 simulaties worden uitgevoerd. Hieruit blijkt dat de simulatieresultaten naar de resultaten uit de theorie convergeren. Dat in de laatste kolom de relatieve fout soms nog boven de 10% ligt is louter te wijten aan het feit dat de kans op deze populaties maar enkele duizenden is. De absolute afwijking bedraagt maar maximaal enkele tienduizendsten, wat zeer precies is.

4.1.1.2 Gemiddeld aantal wachtenden Het gemiddeld aantal wachtenden in de rij wordt verkregen als de som van de producten van de verschillende toestandskansen met hun bijhorende populatie;

∞

N = ∑ kPk

wat herschreven kan worden tot

N=

k =0

Volgens de theorie is het gemiddeld aantal wachtenden

ρ 1− ρ

.

0,5 = 1. 1 − 0,5

Uit de simulatie volgt een gemiddelde populatie van 1.0184. De fout die gemaakt wordt is kleiner dan 2%, en dit reeds na vijf simulaties. Bij het doorlopen van 50 simulaties wordt er een gemiddelde wachtrijlengte van 0.993 wagens berekend, een fout kleiner dan één procent.

58

4.1.1.3 De tijd gespendeerd in het systeem Verder kan men ook de gemiddelde tijd die een gebruiker in het systeem spendeert (T) berekenen. Uitgaande van de vergelijking van Little, N =λ x T [Little,1961]kan makkelijk worden berekend dat in het geval van een M/M/1-systeem T gegeven wordt door

1 T=

µ 1− ρ

Volgens de theorie spendeert elke gebruiker in het voorbeeld dus 2 tijdseenheden in het systeem. Uit het middelen van resultaten uit 5 simulaties (looptijd 10000) volgt een gemiddelde wachttijd van 1,987 wat een relatieve fout van iets meer dan een halve procent betekent. Het middelen van 50 simulaties met looptijd 200 levert een procentuele afwijking van 1 procent, maar gaat wel sneller.

4.1.1.4 Besluit M/M/1 De simulatie blijkt zeer nauwkeurige resultaten te geven bij een modellering als M/M/1- systeem. Hoe groter het aantal simulaties en de looptijd van de simulaties, hoe preciezer de resultaten worden. Dit heeft alles te maken met het stochastische karakter van de aankomst- en vertrekprocessen. Indien dit aantal groot genoeg wordt gekozen geeft de simulatie, afrondingsfouten niet te na gesproken, exacte resultaten weer.

59

4.1.2 Andere Markov-processen

Analoge bewerkingen als voor de M/M/1 rij zijn ook uitgevoerd voor een M/M/m/∞, een M/D/1 een M/M/1/k en een M/M/m/m Markov wachtrijproces. Over deze resultaten kan algemeen gezegd worden dat ze ook allemaal de exacte oplossing benaderen. De convergentiesnelheid van de verschillende processen is hierbij functie van het aantal servers, en van de saturatiegraad. Hoe meer servers er aanwezig zijn, hoe trager de convergentie naar de exacte oplossing is. Bij lagere saturatiegraden stijgt de convergentiesnelheid. De kans om grotere populaties aan te treffen wordt dan al gauw zeer klein, waardoor er minder lange simulatietijden vereist zijn om toch al tot zeer goede benaderingen van het exacte resultaat te komen. Een gedetailleerde uitleg bij de verschillende berekeningen is toegevoegd in bijlage B: “Andere markov-rijen”.

4.1.3 Besluit simulatie van Markov-processen

In het voorgaande deel werden de resultaten uit de simulatie van verschillende Markovprocessen weergegeven. Uit de voorbeelden komt duidelijk naar voor dat het programma op een zeer goede wijze de analytische formuleringen benadert. De enige afwijkingen ten overstaan van de theorie zijn een gevolg van afrondingsfouten, en van een te kort simulatieinterval. In het volgende deel zal nagegaan worden of met de simulatie even goed resultaten behaald worden wanneer reële verkeersprocessen gesimuleerd worden. Er zullen verschillende processen gesimuleerd worden waarna de resultaten vergeleken worden met de bestaand analytische en deterministische formuleringen.

60

4.2

Verkeerskundige processen

In het vorige deel werd aangetoond dat het programma erin slaagt om op een exacte wijze een wijd spectrum aan Markov sterfte- en geboorteprocessen te simuleren. Hierbij werd tevens aangetoond dat de verschillende functies, om vertragingen en gemiddeld aantal gebruikers uit de simulatie te berekenen, ook correct functioneren.

In dit deel wordt de overgang gemaakt naar meer realistische verkeerssituaties. Door gebruik te maken van een aaneenschakeling van verschillende wachtrijsystemen wordt geprobeerd om tot een goede benadering van de werkelijkheid te komen. Er wordt overgegaan op een meer expliciete simulatie. Zo worden de toeleveringen aan een bepaalde rij soms gebeuren door meerdere rijen. Hierdoor ontstaan netwerken van verkeerspatronen die vaak zeer moeilijk of niet meer analytisch te beschrijven zijn. In dit deel wordt de accuraatheid van het programma voor wat betreft het simuleren van reële verkeerssituaties gecontroleerd. Voor zowel kruisingen met als zonder verkeerslichten worden capaciteiten en vertragingen berekend. Deze resultaten worden vergeleken met gekende analytische formules. Omdat de werkelijkheid al snel te complex wordt, worden bij het opstellen van de analytische formuleringen aannames gemaakt. Vele van deze aannames zijn zeer redelijk en leveren goede resultaten. In verkeerssituaties waarbij de verkeersvraag tegen of boven het saturatieniveau ligt, schieten analytische formuleringen soms echter te kort. Het is net bij deze belastingen dat de sterkte van het programma zal blijken. Waar vertragingen berekend met de formules oneindig groot worden zal aangetoond worden dat de vertragingen berekend met het programma convergeren naar deterministisch bepaalde waarden.

61

4.2.1 Interactie tussen twee stromen aan kruispunten zonder verkeerslichten De eerste verkeerssituatie die beschouwd wordt is deze van een hoofdstroom die voorrang heeft op een tweede stroom. Deze tweede stroom wordt verder de zijstroom genoemd. Zowel de capaciteiten van de zijstroom in functie van het debiet van de hoofdstroom als de opgelopen vertragingen worden berekend. De resultaten die bekomen worden met de simulatie worden vergeleken met bestaande analytische formuleringen. Onder interacties wordt hier het proces van voorrang geven en voorrang nemen verstaan. De theorie houdt namelijk geen rekening met andere interacties zoals die zich bvb. voordoen wanneer een kruispunt klem komt te zitten. Hoewel ook deze interacties kunnen gesimuleerd worden is hiervoor dus echter geen referentiemateriaal uit de literatuur beschikbaar.

4.2.1.1 Capaciteit In de verkeersstudie zijn er voor deze situatie verschillende analytische formuleringen bekend die allen een goede benadering vormen voor de werkelijkheid. Deze formules geven de capaciteit van de zijstroom in functie van de capaciteit van de hoofdstroom. Hierbij wordt de distributie van de gaps in de hoofdstroom verondersteld exponentieel te zijn. De waarden voor de critical gap-tijd (Tc) en de follow-up tijd (Tf) worden constant verondersteld. De resultaten uit de simulatie worden vergeleken met de formuleringen18 opgesteld door

Drew, Buckley,Harders;

door Siegloch ;

en door Tanner;

qm

qm

qm

=

=

=

e − qP .tc qp − q .t 1− e P f

1 −q p .tc .e tf

(1 − q p .t m ).

18

q p .e

− q p .( t c − t m )

1− e

− q p .t f

.

In de formules staan qm ,qp en qn respectievelijk voor de maximale intensiteit van de stroom die voorrang moet geven (de zijstroom), de intensiteit van de voorrangsstroom en de verkeersvraag van de zijstroom.

62

In de formules en de simulatie worden de kritische-gap tijd en de follow-up tijd respectievelijk gelijk genomen aan 6 en 3 seconden. De simulatie wordt uitgevoerd voor een range van verschillende intensiteiten van de hoofdstroom, en dit 10 maal per verschillende intensiteit. Hieruit wordt dan de gemiddelde intensiteit van de zijstroom horende bij de intensiteit van de hoofdstroom berekend. De resultaten worden weergegeven in tabel 3 en geplot in figuur 13. Intensiteit 0

11

348

467

570

805

1200

1467

Qm Harders

1200

1183,6 1052,9 900,4

757,5

638,5

546,8

372,3

166,8

75,4

Qm Siegloch

1200

1178,2 1010,7 828,9

671,9

551,0

464,1

313,7

162,4

104,1

Qm Tanner

1200

1183,6 1054,7 907,9

774,0

665,2

583,0

430,6

256,9

180,3

Qm Simulatie

1200

1178 1010

678

554

328

170

97

hoofdstroom

103

222

(wagens/uur)

835

452

Tabel 3: Vergelijking intensiteit uit simulatie met analytische formules

Tijdsinterval 3600

Exponentieel verdeelde gaps

In de tabel zijn de waarden weergegeven die verkregen worden wanneer de waardes voor de intensiteiten van de hoofdstroom uit de simulatie invullen in de respectievelijke formules voor de intensiteiten van de zijstroom. Uit deze tabel is duidelijk af te leiden dat de simulatie zeer aannemelijke resultaten oplevert. De simulatie geeft waardes voor de intensiteit van de zijstroom terug, die net iets boven de resultaten uit de formuleringen van Siegloch liggen, en een stukje onder de resultaten van Harders en Tanner.

63

Dit is ook goed te zien op onderstaande figuur, waarin q m uit de vergelijkingen van Harders, Siegloch en Tanner als een continue functie van

q prior

zijn geplot.

Figuur 13: Vergelijking vertragingen simulatie, Harders, Siegloch en Tanner. Tc=6sec en Tf =3 sec.

64

4.2.2

Vertraging

4.2.2.1 Vertragingen berekend met tijdsonafhanlijke formules De vertraging D die de wagens in de zijstroom oplopen, kan berekend worden met analytische, tijdsonafhankelijke formuleringen. Eén van deze formules is deze van Harders ;

In de formule staat q n voor de verkeersvraag van de zijstroom, met name hoeveel wagens zich werkelijk aandienen in de zijstroom, terwijl qm voor het maximaal verwerkbaar verkeersvolume staat (zie eerder). Deze formule geeft goede resultaten, maar is maar beperkt bruikbaar. Ze geeft namelijk negatieve vertragingen wanneer de saturatiegraad hoger is als 1, dwz. wanneer

qn groter is als q m . De formule is daarom enkel bruikbaar wanneer qm kleiner is als q n . Op haar beurt is q m echter ook weer beperkt, en dit door q p . Zoals weergegeven in figuur 13 wordt naarmate q p groter wordt, q m kleiner. Hierdoor daalt ook de maximaal toegestane q n om nog bruikbare resultaten te krijgen. Zo mag bvb. voor een intensiteit van de hoofdstroom van 1000 wagens per uur, de vraag van de zijstroom zeker niet groter zijn als 350 wagens per uur. Dit is weergegeven in figuur 14.

65

Figuur 14: De gemiddelde vertraging in functie van de saturatiegraad volgens Harders

Uit de figuur kan afgelezen worden dat wanneer we Qp een vaste waarde toekennen, bvb. 400 wagens per uur, dat dan vanaf een verkeersvraag van de zijstroom van 650 wagens per uur de berekende vertragingen exponentieel naar ∞ toegaan vanaf een saturatiegraad

0,8. De

bruikbaarheid, zeker bij hoge saturatiegraden, van de analytische formules bij grote verkeersvraag van de zijstroom is dus begrensd. Wanneer we bovendien de waarde Qp nu laten toenemen van 400 tot 800 wagens per uur, dan blijkt deze exponentiële naar ∞ bij een saturatiegraad 0,8 zich al in te zetten bij een verkeersvraag van de zijstroom van ongeveer 370 wagens per uur. Het berekenen van vertragingen die in overeenstemming zijn met de werkelijkheid is bij grote intensiteit van zowel de hoofd- als de zijstroom is daarom niet mogelijk met de analytische formules. Ze zijn immers opgesteld voor een tijdsinterval met lengte gaande naar oneindig. In situaties met hoge belastingsgraden worden dan inderdaad uiterst grote gemiddelde vertragingen opgetekend. In de werkelijkheid hebben deze periodes van hoge belasting steeds een beperkte lengte. Er is dus nood aan formules die ook rekening houden met de lengte van het beschouwde tijdsinterval.

66

Bij een saturatiegraad 1 gaat de gemiddelde vertraging, berekend met analytische, tijdsonafhankelijke formuleringen zoals de formule van Harders naar oneindig. De resultaten die de simulatie weergeeft kunnen met de bestaande analytische formules vergeleken worden indien de saturatiegraden niet te hoog worden. De lengte van het beschouwde tijdsinterval heeft dan immers geen invloed op de gemiddelde vertraging. Voor veel hogere saturatiegraden (vanaf ρ = 2) zijn deterministische formuleringen bekend. Tussen deze kleine en grote saturatiegraden in gaat de gemiddelde vertraging van de tijdsonafhankelijke formules asymptotisch naar de deterministische formuleringen toe. Bij lage saturatiegraden moeten de resultaten uit de simulatie een sterke correlatie vertonen met de resultaten uit de analytische berekeningen. Voor saturatiegraden van 0,05 tot 0,9 zijn in onderstaande tabel de verschillende vertragingen berekend met de simulatie samengevat. Aangezien deze resultaten vergeleken worden met een vertragingsformule van Harders, wordt om qm te berekenen ook de capaciteitsformules van Harders gebruikt. In tabel 4 is de intensiteit van de hoofdstroom gelijk genomen aan 600 voertuigen per uur. Dit resulteert in een qm van 561 voertuigen per uur. Indien q n 561/2 is de saturatiegraad gelijk aan

0,5.

Voor elke saturatiegraad werd de simulatie 40 keer

doorlopen, waarna de gemiddeldes werden berekend. Het beschouwde tijdsinterval is 3600 seconden. De resultaten zijn ter verduidelijking ook nog eens geplot in figuur 15.

67

Saturatiegraad

Uit simulatie

0,05

0,10

0,15

7,3523

8,3738 7,9836

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

8,8665 10,2637 9,4628 10,4701 11,9459 12,6026

Uit formule

Saturatiegraad

7,3270 7,6260

7,9587

0,50

0,60

0,55

8,3313 8,7520 9,2310

0,65

0,70

0,75

9,7818 10,4223 11,1769

0,80

0,85

Uit simulatie

15,3146 14,2708 18,9586 17,0152 30,9920 28,4402 30,4458 30,1399

Uit formule

13,8266 15,3742 17,3924 20,1365

0,90

43,5703

24,0868 30,2670 41,3163 66,7517 97,8959

Tabel 4: Vergelijking gemiddelde vertragingen uit simulatie met analytische formuleringen.

Figuur 15: Vertraging in de zijstroom (sec) in functie van saturatiegraad/ Qp=600 wagens/uur

68

Er kan opgemerkt worden dat er vanaf een saturatiegraad 0,9 een loskoppeling is van de resultaten uit de simulatie, en de vertragingen berekend met de formule van Harders. Zoals eerder reeds opgemerkt is dit te wijten aan het feit dat het tijdsinterval dat in de simulatie beschouwd wordt eindig is. In tabel 5 zijn de standaarddeviaties horende bij de berekeningen weergegeven. Bij zeer kleine saturatiegraden is deze relatief groot. Door de kleine bezetting zijn er grote relatieve verschillen in het aantal aankomsten. Dit zorgt voor een grote schommeling op de resultaten. Vanaf een saturatiegraad 0,1 halveert deze standaarddeviatie. De schommelingen zijn op de resultaten zijn dan heel wat minder.

Standaarddeviaties bij de berekeningen van de vertragingen Saturatiegraad Standaarddev.

0.0250 0.0500 0.0750 0.1000 0.1250 0.1500 0.1750 7.311 7.508 6.506 3.107 2.724 3.287 3.937

0.2000 0.2250 0.2500 3.368 3.420 3.884

Saturatiegraad Standaarddev.

0.2750 0.3000 2.556 4.103

Saturatiegraad Standaarddev.

0.5250 0.5500 0.5750 0.6000 0.6250 0.6500 0.6750 0.700 7.803 6.556 12.954 6.847 8.864 9.186 12.930 10.933

0.7250 0.7500 12.761 11.533

Saturatiegraad Standaarddev.

0.7750 15.652

0.9750 16.897

0.3250 0.3500 0.3750 0.4000 0.4250 0.4500 0.4750 0.5000 3.930 4.254 6.095 2.934 5.264 6.008 5.201 8.806

0.8000 0.8250 18.779 18.596

0.8500 18.475

0.8750 0.9000 21.029 20.815

0.9250 0.9500 22.016 21.454

Tabel 5: Standaarddeviaties bij berekening van de vertragingen

69

1.0000 18.306

4.2.2.2 Formules berekend met tijdsafhankelijke berekeningen

Met toenemende saturatiegraden blijken de resultaten uit de simulatie minder en minder aan te sluiten bij de analytische berekeningen. Dit uit zich overduidelijk rond het punt met saturatiegraad 1. Op basis van de analytische uitdrukkingen kan in dit punt een oneindig grote vertraging verwacht worden. Dit blijkt echter niet het geval. Voor grotere saturatiegraden zijn andere, benaderende deterministische formules opgesteld. De volgende is er één van [TRB] ;

Waarbij xd: de saturatiegraad Dmin : de minimale vertraging die men aan het kruispunt kan hebben. L0 : de wachtrijlengte op tijdstip 0. T : de lengte van het interval waarin deze oversaturatie zich voordoet. qm : de maximale capaciteit van de zijstroom. De gemiddelde vertraging blijkt hier dus ook afhankelijk van de lengte van het interval waarvoor overcapaciteit zich voordoet. Hoe groter dit interval, hoe groter de gemiddelde vertragingen worden. In figuur 16 is deze vergelijking, samen met de resultaten uit de simulatie geplot voor T=360 en T=720 seconden. Per saturatiegraad zijn 10 simulaties uitgevoerd. Zoals op de figuur ook te zien is, is de overgang van tijdsonafhankelijke naar tijdsafhankelijke situaties niet strikt afgelijnd. In tabel 6 zijn de standaarddeviaties op de berekeningen gegeven.

70

Figuur 16: vergelijking vertragingen deterministische formulering en simulatie

Standaarddeviaties bij de berekeningen van de vertragingen Saturatiegraad Std 720 sec Std 360 sec

0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500 0.5000 5.7329 3.3375 4.8559 2.3379 3.6785 5.6760 3.7938 4.4408 3.1126 4.9967 3.5239 2.6631 2.7106 2.7864 2.6629 3.5575 2.7952 2.4513 3.5012 4.4945

Saturatiegraad Std 720 sec Std 360 sec

0.5500 0.6000 0.6500 0.7000 0.7500 0.8000 0.8500 0.9000 0.9500 1.0000 4.433 11.364 17.702 21.166 24.576 28.446 31.023 33.524 33.388 33.280 5.342 5.3801 7.710 7.669 12.362 14.394 15.712 13.829 17.354 23.039

Saturatiegraad Std 720 sec Std 360 sec

1.0500 33.260 26.580

1.1000 1.1500 34.417 36.583 24.693 30.173

1.2000 36.030 31.270

1.2500 1.3000 1.3500 1.4000 1.4500 1.5000 38.063 37.398 35.331 35.595 33.734 39.819 29.371 31.8197 30.186 31.755 34.106 34.582

Saturatiegraad Std 720 sec Std 360 sec

1.5500 34.598 34.347

1.6000 1.6500 36.545 42.879 38.939 33.266

1.7000 48.989 38.474

1.7500 1.8000 1.8500 1.9000 1.9500 2.0000 54.612 58.120 66.862 77.826 83.259 92.202 40.050 41.067 37.486 41.644 42.701 50.986

Saturatiegraad Std 720 sec Std 360 sec

2.0500 2.1000 2.1500 2.2000 2.2500 2.3000 2.3500 2.4000 2.4500 2.5000 97.900 101.024 98.709 100.596 99.352 107.953 102.360 112.647 111.113 116.337 43.481 47.646 44.643 53.532 53.7601 55.053 50.413 49.988 47.379 54.002

Saturatiegraad Std 720 sec Std 360 sec

2.5500 2.6000 2.6500 2.7000 2.7500 2.8000 2.8500 2.9000 2.9500 3.0000 117.703 109.979 112.325 122.886 123.875 116.001 124.978 124.438 126.121 130.507 53.348 53.801 51.708 61.694 59.361 54.349 60.712 57.882 60.3546 61.059

Tabel 6: Standaarddeviaties op de resultaten

71

De resultaten uit de simulatie blijken te oscilleren rond deze twee verschillende rechten. Deze oscillatie is natuurlijk het gevolg van het stochastische karakter. Ze zullen kleiner worden naarmate men meer simulaties laat lopen. Dit is natuurlijk een heel goed resultaat. Waar de analytische formuleringen tekort schieten en oneindig grote vertragingen voorspellen, beginnen de resultaten van de simulatie hiervan af te wijken en gaan asymptotisch naar deterministische formuleringen toe. Er kan besloten worden dat de simulatie, voor wat kruispunten zonder verkeerslichten betreft, de realiteit zeer goed benadert. In de volgende paragraaf zal nagegaan worden hoe de resultaten van de simulatie zijn op kruispunten met verkeerslichten.

4.2.3 Vertragingen aan kruispunten met verkeerslichten

Bij kruispunten met verkeerslichten kan ook nagegaan worden wat de gemiddelde vertragingen zijn. Ook is het interessant te controleren of de simulatie realistische resultaten geeft voor het schatten van wachtrijlengtes. Zoals eerder reeds uiteengezet, wordt de interactie tussen stromen op kruispuntvlakken met verkeerslichten verwaarloosd. De theorie stelt geen capaciteitsformules op, omdat die toch makkelijk te berekenen is indien de totale groentijd binnen het beschouwde interval en de afrijcapaciteit bij groen licht gekend zijn. Het is namelijk hun product. Later tonen we aan dat dit toch niet persé altijd zo hoeft te zijn, maar eerst worden de prestaties van het programma voor het berekenen van de vertragingen aan kruispunten met verkeerslichten nagegaan. Net zoals in het vorige deel, zijn ook hier de vertragingen afhankelijk van de saturatiegraad. De saturatiegraad is nu te berekenen als x=(q/S)/(g/c) . Hierbij is c de cyclustijd, g de effectieve groentijd, q het aantal wagens dat per tijdseenheid aankomt, en S het aantal wagens dat per tijdseenheid kan vertrekken tijdens de groenfase. Wanneer het rood is wordt de intensiteit van uitrijden gelijk aan nul.

72

Bij lage saturatiegraden kan weer een beroep gedaan worden op analytische formules, zoals de formules van Webster [Webester, 1958] of Miller [Miller, 1972] ;

Q0 staat hier voor de gemiddelde overloop van de wachtrij. Het is het gemiddelde aantal auto’s dat nog voor het verkeerslicht staat als het licht weer op rood springt.

Saturatiegraad

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Webster

11.55

12.45

13.47

14.62

15.92

17.46

19.51

22.98 32.72

∞

Miller

11.33

11.98

12.70

13.51 14.46

15.54

16.86

18.61 22.27

∞

Simulatie

11.89

12.17

13.17

14.33 14.06

15.84

17.21 18.38 20.27

39.35

Tabel 7: Vergelijking vertragingen uit simulatie met analytische formules (kruispunt met verkeerslichten).

In tabel 7 zijn de gemiddelde vertragingen (looptijd 3600 seconden, simulaties per saturatiegraad: 20) getabellariseerd, berekend met de formule van Webster, Miller, en met de simulatie. Bij saturatiegraden tot 0,8 is er weer een zeer goede overeenkomst tussen de resultaten. Bij hogere saturatiegraden stijgen de verwachte vertragingen berekend met analytische formules plots enorm om bij een saturatiegraad 1 een oneindige verwachte vertraging te geven. De resultaten hebben dus ongeveer hetzelfde patroon als bij kruipunten zonder verkeerslichten. De simulatie geeft ook een toegenomen stijgingsgraad weer voor de vertragingen vanaf het saturatiepunt, maar de verwachte vertragingen blijven toch nog beperkt in vergelijking met deze die verwacht worden met de analytische formuleringen. De curve van de gemiddelde vertragingen uit de simulatie gaat namelijk zeker niet naar oneindig.

73

De simulatie geeft bij hogere saturatiegraden weerom een veel realistischer resultaat dan de analytische formules aangezien vertragingen in de werkelijkheid nooit naar oneindig kunnen gaan. Voor hogere saturatiegraden zijn er weer deterministische formuleringen bekend. Akçelik [Akçelik, 1988] heeft een formule opgesteld die de deterministische formuleringen, die goede resultaten geven bij hoge saturatiegraden, en de analytische formuleringen die nauwkeuriger zijn bij lage saturatiegraden, verenigt. Om een goede overgang te bekomen tussen deze twee, maakt hij gebruik van de coördinaten-transformatiemethode.

waarbij d de gemiddelde vertraging is.

Figuur 17: Vertragingen volgens Akçelik, Webster, Miller en de simulatie

74

Uit figuur 17 blijkt weer dat de resultaten van de simulatie zeer dicht bij de werkelijkheid aanliggen. Er werden 20 simulaties per saturatiegraad19 gemaakt. Het beschouwde tijdsinterval is 720 seconden. Al de resultaten uit de verschillende verificaties voor wat betreft de vertragingen zijn dus zeer goed gebleken. Ook op kruispunten met verkeerslichten blijkt de simuilatie niet alleen beter te doen als zuiver wiskundige analytische formules, weerom wordt de werkelijkheid zeer goed benaderd. De standaarddeviaties zijn gelijkaardig met die uit tabel 6. Tot slot kunnen ook nog de capaciteiten die men op een kruispunt met verkeerslichten zal hebben berekenen. Dit wordt gedaan voor een vaste saturatiegraad 0,8. In de figuur worden de vertragingen van de verschillende auto’s uitgezet. Ook worden de vertrek- en aankomsttijden getekend. Op figuur 18 is duidelijk te zien dat tijdens rood licht er geen wagens de wachtrij meer uitrijden. De vertreklijn blijft daar horizontaal20. Tijdens de rood lichtfase zien we de individuele vertragingen aangroeien, tijdens groen licht worden ze weer kleiner en vallen ze zelfs bijna terug tot nul.

Figuur 18: Tekening van aankomst- en vertrekprocessen met bijhorende vertragingen

19

De saturatiegraad neemt met stappen van 0,05 toe van 0,05 tot 3. De lijn van de vertrekken loopt lichtjes naar boven, maar dit is te wijten aan hoe Matlab verschillende vectoren ten overstaan van elkaar plot, en is geenszins een fout in de berekeningen.

20

75

Zowel de groen- als de roodfase duren 10 tijdseenheden.

Er wordt gemiddeld 1 wagen

aangeleverd per tijdseenheid, terwijl er tijdens de groenfase gemiddeld 2,5 wagens per tijdseenheid vertrekken. De saturatiegraad is dus 0,8. De vertrekken kennen een constante verdeling. Bij de aankomsten wordt er een onderscheid gemaakt tussen exponentiele of constante distributies. Net zoals de verkeerstheorie al verwachtte zijn de vertragingen bij een exponentiele verdeling gemiddeld groter. (vgl M/M/1 –M/D/1 Markov-systemen)

De schuin oplopende

grafieken21 geven de tijd van aankomst en van vertrek weer. Deze tijd kan worden afgelezen worden op de x-as. Op de y-as kan dan worden afgelezen worden het hoeveelste vertrek of aankomst het betreft. De onderste grafiek tekent de vertraging voor elke wagen. Op de X-as kan dan afgelezen worden over de hoeveelste auto het gaat, de vertraging wordt dan afgelezen op de Y-as. Op de grafiek zijn duidelijk de groen- en de roodfase te onderscheiden. In de roodfase bouwt de rijlengte op, de vertragingen nemen toe, terwijl ze in de groenfase weer afbouwen. Afhankelijk van het beschouwde interval22 ligt de berekende gemiddelde vertraging in het voorbeeld tussen de 4,9 en de 5,4 tijdseenheden. Met de formule van Webster wordt een vertraging van 5,12 berekend.

21

Het feit dat de grafieken bij een constante aankomstintensiteit toch ietwat onregelmatig verlopen heeft enkel te maken met hoe Matlab een grafiek tekent uitgaande van de gegevens. 22 De gemiddelde vertraging is immers de totale oppervlakte die zich onder de driehoekige vertragingen-perwagen-lijn bevindt gedeeld door het aantal wagens. Afhankelijk van waar er wordt gestart en gestopt wordt met meten vindt men een iets grotere of iets kleinere gemiddelde oppervlakte per wagen weer.

76

4.3

Besluit verificatie

In dit deel werd het simulatieprogramma getoetst aan een groot aantal gekende formuleringen uit de wachtrij- en verkeerstheorie. Alle simulaties geven resultaten terug die zeer nauw aansluiten bij de gekende formuleringen. Daar waar de resultaten afwijken van de analytische formules, is het omdat deze formules zelf te kort schieten in het benaderen van de werkelijkheid. Zelfs in deze situaties geeft de simulatie resultaten terug die de werkelijkheid zeer goed benaderen. Het voorbije deel kan dan ook beschouwd worden als een sterke theoretische onderbouwing en staving van het simulatiemodel. In het volgende hoofdstuk wordt dit model gebruikt om een aantal verkeerssituaties verder uit te werken. Hierbij wordt de invloed van verschillende fenomenen van de verkeersafwikkeling op gemiddelde vertragingen en op capaciteiten met elkaar vergeleken.

77

5 Hoofdstuk Toepassing In de vorige hoofdstukken werden eerst de functionele vereisten voor het simulatiemodel gestipuleerd. Vervolgens werd uiteengezet hoe deze vereisten omgezet zijn in een computermodel en in het hoofdstuk ‘Verificatie’ werd de werking van dit model geverifieerd aan de hand van verschillende gekende formules. In dit hoofdstuk gaan we aan de gekende theorie voorbij. In de bestaande verkeersmodellen wordt er immers geen rekening gehouden met de interacties23 tussen verschillende verkeersstromen op het kruispuntvlak zelf. Ze veronderstellen dat, bij stijgende belastingsgraden, de som van alle intensiteiten van de stromen over het kruispuntvlak toeneemt om uiteindelijk begrensd te worden door een maximale waarde, de capaciteit. In dit hoofdstuk wordt er door gebruik te maken van de simulatie aangetoond dat deze veronderstellingen niet altijd juist zijn. Er wordt aangetoond dat er zich een daling in de hoeveelheid wagens die het kruispunt kan verwerken kan voordoen. Bij een stijgende totale verkeersvraag neemt de totale capaciteit van het kruispunt af. In plaats van naar een maximale capaciteit toe te lopen kent het kruispunt dan, net door de interacties tussen de verschillende verkeersstromen, een capaciteitsval…

23

Wanneer in dit hoofdstuk over interacties gesproken wordt, wordt de hinder bedoeld die verschillende wachtrijen op elkaar uitoefenen omdat hun lengtes te zeer zijn toegenomen om nog een normale verkeersafwikkeling toe te laten. Een voorbeeld van zulk een interactie is het feit dat wagens, wanneer ze groen hebben, het kruispuntvlak niet op kunnen rijden omdat er nog wagens uit een andere stroom op staan.

78

5.1

Situatieschets

De verkeerssituatie die in dit hoofdstuk beschouwd wordt is weergegeven in figuur 19. Ze kan beschouwd worden als een uitsnede van de verkeerssituatie aan de Kapucijnenvoer, een dubbel kruispunt in Leuven. Om de situatie overzichtelijk te houden zijn er echter enkele vereenvoudigingen en aannames gemaakt.

Figuur 19: Omzetting plan Kapucijnenvoer naar schematische voorstelling

In figuur 19 is er aangegeven hoe een grondplan van de Kapucijnenvoer schematiserend opgesplitst in een aantal fysische entiteiten. In dit hoofdstuk worden enkel de niet gearceerde gebieden beschouwd. Om de verschillende verkeersstromen over dit deel van het kruispunt te kunnen betrouwbaar te kunnen simuleren worden verscheidene van deze entiteiten nog eens opgesplitst. De uiteindelijke opsplitsing in wachtrijen die ingegeven wordt in de simulatie is geschetst in figuur 20.

79

Figuur 20: Voorstelling van de wachtrijen zoals ze in de simulatie worden ingegeven

5.1.1 Verschillende verkeersstromen

In de situatie zijn er vier verschillende verkeersstromen te onderscheiden. Stroom 3-4-10-5, stroom 2-1, stroom 6-11-12-7 en stroom 9-8-5. De wagens die het kruispunt oprijden via rij 2 rijden via rij 1 het kruispunt weer af. De wagens in stroom 6-11-12-7 verlaten het kruispuntvlak via rij 7. Hierbij wordt verondersteld dat de wagens in rijen 1 en 7 zich niet mengen, en dus geen interacties aangaan. Hetzelfde wordt verondersteld voor de wagens in rijen 4 en 8. Stroom 2-1 kruist het traject van de stromen 9-8-5 en 3-10-4-5. Wagens uit rijen 4 en 8 moeten voorrang geven aan de wagens uit rij 2. Er wordt verondersteld dat de wagens uit rijen 4 en 8 voorrang geven zolang wachtrij 2 groen licht heeft, en er bovendien ook nog wagens staan te wachten om te vertrekken. Hierdoor wordt de gap-acceptatie tijd van de wagens in rij 4 en 8 impliciet gelijk verondersteld aan de bedieningstijd van wachtrij 2. De follow-up tijd is de bedieningstijd van de respectievelijke wachtrijen 4 en 8. Indien men een andere gapacceptatie tijd zou willen modelleren moet beroep gedaan worden op de eerder besproken gap-acceptatie rij.

80

Vanaf wanneer de populatie in wachtrij 1 een bepaalde grootte bereikt (‘hinderlengte’) zal de staart van rij 1 het de wagens uit rijen 4 en 8 bemoeilijken om het kruispunt af te rijden. De bedieningstijd van deze rijen verhoogt. De verhoogde bedieningstijd van rijen 4 en 8 blijft behouden zolang de lengte van rij 1 niet weer kleiner wordt dan de hinderlengte. We noemen deze hinder een eerste orde hinder. De rij die de hinder veroorzaakt (rij 1) is rechtstreeks betrokken bij het conflict. Een andere interactie kan optreden tussen de wagens van stroom 6-11-12-7 en stroom 3-10-45. Wanneer op een bepaald moment de maximale capaciteit van wachtrij 4 bereikt wordt, kunnen de wagens die rij 3 uitrijden niet meer vlot doorrijden tot in rij 4. Ze blijven staan in rij 10. Daardoor hinderen ze de wagens van stroom 6-11-12-7. Uit rij 6, aan de verkeerslichten, kunnen nog enkele wagens uitrijden. Ze worden echter gehinderd door de wagens in rij 10. Hierdoor loopt rij 11 vol waardoor uiteindelijk de wagens in rij 6 het kruispuntvlak niet meer kunnen oprijden. Deze interactie noemen we een interactie van tweede orde omdat ze initieel veroorzaakt worden door rij 1. Rij 1 is echter maar onrechtstreeks (via rijen 4 en 10) bij het conflict betrokken. Op zijn beurt kan stroom 6-11-12-7 ook de stroom 3-10-4-5 hinderen. Wanneer rij 7 volledig is volgelopen, wordt via rij 12 het uitrijden van rij 3 bemoeilijkt.

5.1.2 Verkeerslichtenregeling

Rijen 1, 2, 3, 6, 7 en 9 hebben een verkeerslicht. Alle verkeerslichten hebben een cycluslengte van 90 seconden. Rijen 2,3 en 1/7 krijgen allen samen groen. Rij 2 en 3 gedurende 45 seconden, terwijl rijen 1 en 7 enkel gedurende de eerste 35 seconden groen licht krijgen. Na 45 seconden staan alle lichten op rood. Daarna krijgen rijen 6 en 9 gedurende 45 seconden groen licht, terwijl de andere rijen rood licht hebben. Deze verkeerslichtenregeling wijkt op twee plaatsen af van de regeling aan de Kapucijnenpoort; Ten eerste heeft rij 1 er langer groen. Rij 7 -aan de Kapucijnenpoort de wagens die af willen slaan- heeft er echter maar een twintigtal seconden groen. Op de Kapucijnenpoort wordt de hinder primair veroorzaakt door de stroom 6-11-12-7. De rij die de belangrijkste bron van hinder is heeft er dus maar een beperkte groentijd. Rij 7 slaat terug op het kruispunt, waardoor rijen 4 en 8 gehinderd worden.

81

Ook het uitrijden van rij 2 wordt hierdoor gehinderd. In de situatie zoals ze hier wordt uitgewerkt wensen we het aantal interacties tot een overzichtelijk aantal te beperken. Daarom is er een vereenvoudigde situatie uitgewerkt waarbij de belangrijkste bron van hinder stroom 2-1 is. Daarom krijgt hier deze stroom maar een beperkte groentijd. Een tweede vereenvoudiging zit hem in het feit dat rijen 1 en 7 groen licht krijgen met stromen 2 en 3, in plaats van met stromen 6 en 9. De belangrijkste bron van problemen heeft op de Kapucijnenvoer groen licht samen met rijen 1 en 7. Aangezien deze bron nu stroom 2-1 is, wordt er hier verondersteld dat rij 2 (en daarbij rij 3) samen met rij 1 en 7 groen licht hebben, in plaats van stroom 6-11-12-7. Er is in de uitwerking van de verkeerssituatie dus voor gekozen om de principiële werking van het kruispunt na te bootsen in plaats van de lichtenregeling letterlijk over te nemen. Hierdoor blijven de mechanismen van de interacties tussen de stromen ongeveer dezelfde, terwijl de situatie tegelijkertijd minder complex en overzichtelijker wordt.

5.1.3 Invloed van de verschillende stromen op elkaar

Eerder werd al aangegeven dat de verschillende stromen een invloed op elkaar kunnen uitoefenen. Twee belangrijke parameters van deze invloed zijn ten eerste het aantal wagens in een wachtrij vooraleer deze een invloed uitoefent op een andere rij, en ten tweede de invloed zelf. Namelijk de nieuwe bedieningstijd voor de wagens in de rij die gehinderd wordt. Een gedetailleerd overzicht van alle eigenschappen van de verschillende rijen is toegevoegd in bijlage C: ”Eigenschappen van de wachtrijen in de toepassing”. Naast de groentijden en de lichtcycli worden er ook de maximale capaciteit, de bedieningstijden, en de wijze van toelevering aangegeven. Indien toepasselijk zijn de hinderlengtes, en de verhoogde bedieningstijden ook vermeldt.

82

In het volgende deel wordt eerst nagegaan of er überhaupt wel een invloed is van deze interacties tussen de verschillende stromen op de verkeersafwikkeling en de capaciteit van het kruispunt. Daarna wordt de kwantitatieve invloed van de hinderlengte en de bedieningstijd bij hinder op deze capaciteit nagegaan. Natuurlijk zijn er nog vele andere parameters die elk hun invloed uitoefenen op het ontstaan, het evolueren en het oplossen van conflicten tussen stromen. Hierbij denken we bvb. aan de afstelling van de verkeerslichten, cycluslengtes, de verhouding tussen de intensiteiten tussen verschillende stromen op het kruispuntvlak, het aantal armen van het kruispunt,…Een uitgebreide studie van de parameters, en een juiste kwantificering van hun invloed op de capaciteit van het kruispunt paste niet in het bestek van deze thesis, en wordt overgelaten voor uitgebreid verder onderzoek.

5.2

Berekeningen en resultaten

In dit deel wordt de invloed van de interacties tussen verschillende stromen op de totale capaciteit van een kruispunt nagegaan. Hierbij wordt in stappen tewerk gegaan. In een eerste geval wordt er geen rekening gehouden met de invloed van interacties tussen de verschillende verkeersstromen. De resultaten die worden bekomen via deze werkwijze stemmen overeen met de resultaten die de huidige verkeersmodellen weergeven. Deze houden immers ook geen rekening met deze interacties. In een tweede stap wordt de hinder die wachtrij 1 uitoefent op de rijen 4 en 8 mee ingerekend. Uiteindelijk wordt er in een derde stap ook de hinder die de staart van rij 4 (via rij 10) uitoefent de stroom 6-11-12-7 meegerekend.

83

5.2.1 Verwaarlozen van de interacties

In dit deel worden de interacties tussen de verschillende stromen verwaarloosd. Er wordt dus verondersteld dat de lengte van wachtrij 1 geen invloed heeft op de afrijsnelheid van rijen 4 en 8. Natuurlijk moeten de wagens in deze stromen wel nog steeds voorrang verlenen aan de wagens die vanuit rij 2 naar rij 1 rijden. Zowel de intensiteiten van de verschillende stromen als de totale capaciteit van het hele kruispunt zijn berekend in functie van de verkeersvraag van rij 2 en rij 324. Voor elke combinatie van een verkeersvraag van rij 2 en rij 3 zijn er 50 simulaties gedaan. In totaal werden er voor elke situatie dus 7x9x50=3150 simulaties uitgevoerd. Het beschouwde tijdsinterval is 720 seconden. De simulatie wordt uitgevoerd gedurende 840 seconden, maar de verkeersafwikkeling gedurende de eerste 120 seconden wordt niet meegerekend in de resultaten. Zo wordt de invloed van overgangsverschijnselen gematigd. In de onderstaande tabellen 8 tot 11 zijn de intensiteiten van de verschillende stromen in functie van de verschillende verkeersvragen weergegeven. In tabel 12 is de totale intensiteit over het kruispuntvlak getabellariseerd.

100

200

300

400

500

600

700

100 200 250 300 350 400 500 600 700

99 96 100 101 95 98 103 102 101

200 199 198 198 206 201 192 193 196

292 300 284 286 286 290 287 287 280

329 328 326 325 330 330 332 324 331

343 345 347 337 341 342 345 338 339

337 343 339 351 342 342 343 352 346

346 348 346 339 340 343 340 341 337

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

Geen hinder Intensiteit Stroom 2-1

Verkeersvraag25 rij 2 (wagens/uur)

Tabel 8: Intensiteit 2-1, geen hinder 24

De vraag verkeersvraag van rij 2 varieert van 100 tot 700 wagens per uur met stappen van 100. De opeenvolgende verkeersvragen van rij 3 zijn 100, 200, 250, 300, 350, 400, 500, 600 en 700 wagens per uur. 25

De aankomsten worden geloot uit een exponentiele verdeling met als gemiddelde, karakteristieke waarde de respectievelijke verkeersvragen per uur. Daarom kan het zijn dat in de tabel bij een bepaalde gemiddelde verkeersvraag de werkelijke intensiteit over het beschouwde traject toch groter is als deze gemiddelde verkeersvraag. De verkeersvraag moet dus beschouwd worden als een statistisch gemiddelde eerder dan als een werkelijke waarde. De intensiteit zou anders immers nooit hoger kunnen zijn dan de vraag.

84

100

200

300

400

500

600

700

100 200 250 300 350 400 500 600 700

98 189 242 287 346 374 412 419 423

98 194 253 293 338 380 396 417 414

100 204 247 293 343 364 403 400 413

98 207 240 303 353 376 410 426 422

96 194 245 303 343 385 419 421 424

99 203 252 295 351 375 416 421 422

104 209 255 298 349 394 418 427 419

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

Geen hinder Intensiteit 3-10-4-5

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur)

Tabel 9: Intensiteit 3-10-4-5, geen hinder

100

200

300

400

500

600

700

100 200 250 300 350 400 500 600 700

433 418 425 424 426 409 418 428 423

422 419 426 419 424 421 423 420 426

432 421 419 437 426 428 418 416 432

416 425 425 426 423 421 422 419 418

428 424 415 424 419 435 430 432 416

429 432 425 433 419 424 417 429 429

424 425 413 426 424 419 426 417 420

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

Geen hinder Intensiteit 9-8-5

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur)

Tabel 10: Intensiteit 9-8-5, geen hinder

85

100

200

300

400

500

600

700

100 200 250 300 350 400 500 600 700

447 448 455 448 438 449 451 440 455

450 463 447 445 454 457 448 452 447

453 439 442 451 455 466 445 449 450

446 440 451 447 467 442 448 453 447

446 433 452 455 440 443 448 458 445

451 454 446 456 456 451 445 459 452

451 444 445 451 452 453 448 450 446

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

Geen hinder Intensiteit 6-11-12-7

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur)

Tabel 11: Intensiteit 6-11-12-7, geen hinder

Ook de totale intensiteit over het kruispunt wordt door de simulatie berekend. Deze moet natuurlijk gelijk26 zijn aan de som van de intensiteiten van deze verschillende verkeersstromen apart.

100

200

300

400

500

600

700

100 200 250 300 350 400 500 600 700

1078 1153 1223 1262 1306 1332 1385 1389 1403

1172 1277 1326 1357 1424 1460 1461 1484 1485

1278 1366 1393 1468 1511 1549 1555 1553 1577

1290 1400 1443 1503 1574 1570 1614 1624 1620

1315 1398 1460 1521 1545 1606 1643 1651 1625

1318 1433 1463 1536 1570 1593 1622 1662 1650

1326 1428 1459 1516 1567 1611 1634 1637 1623

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

Geen hinder Totale Intensiteit

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur)

Tabel 12: Totale intensiteit, geen hinder

26

De intensiteiten worden maar berekend voor een interval van 720 seconden. Om dus tot intensiteiten per uur te komen worden de resultaten met 5 vermenigvuldigd. Hierdoor kan de intensiteit per uur een kommagetal zijn. In de tabellen zijn de intensiteiten afgerond (naar beneden) tot op een eenheid. Door deze afrondingen kan het zijn dat de totale intensiteit iets groter is als de de som van de intensiteiten van de verschillende stromen uit de tabellen.

86

De standaarddeviaties op de berekening van de totale intensiteiten over het kruispunt worden weergegeven in tabel 13. Hoewel de simulaties maar een simulatie-interval van 720 seconden beschouwen worden de resultaten toch uitgezet in wagens per uur. Daarom moeten de berekende standaarddeviaties vermenigvuldigd worden met een factor27 5. Deze standaarddeviaties voor de totale intensiteit worden weergegeven in onderstaande tabel. De standaarddeviaties horende bij de intensiteiten van de verschillende stromen zijn getabellariseerd (tabelleriseerd 37-40) in bijlage D: “Intensiteiten en standaarddeviaties bij de toepassing”.

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

Geen hinder Totale intens. Stand. dev. 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

700

73.3335 85.2353 68.6256 72.4153 80.4614 77.5716 77.5322 65.1056 77.7243

76.3462 72.1334 69.9312 73.0750 70.8594 74.3783 78.9361 65.2440 78.6688

68.0078 77.2800 88.5288 74.9643 66.8416 77.3566 78.0460 75.7092 76.3996

74.4890 77.4313 61.6796 77.1611 79.1940 95.6255 83.8609 98.8658 84.9550

60.3771 68.2116 63.6750 83.5657 83.3544 83.8473 71.8243 81.1650 86.7497

81.2518 78.0260 80.9727 78.3952 93.2948 94.3076 78.3063 86.8094 91.9070

81.4387 73.4830 80.9352 80.3789 82.6845 83.9357 69.0755 92.7043 77.4550

Tabel 13: Totale intensiteit, standaarddeviatie op berekeningen

27

De verwachtingswaarden van de intensiteiten worden lineair getransformeerd. De standaarddeviatie die berekend wordt in de simulatie moet dus ook aangepast worden. Uit de rekenregels voor de verwachtingsoperator, en uit de lineariteit van de integraaloperator volgt eenvoudig dat wanneer we de verwachtingswaarden vermenigvuldigen met een bepaalde waarde, dan we dan de standaarddeviatie van deze verwachtingswaarden moeten vermenigvuldigen met de absolute waarde van de waarde waarmee we de verwachtingswaarden vermenigvuldigden. Voor standaarddeviaties van steekproeven kunnen dezelfde rekenregels gehanteerd worden. [Beirlant en Van Dyck, 2001]

87

In onderstaande figuren 21 en 22 worden de resultaten van de berekeningen grafisch weergegeven. In figuur 21 zijn de totale intensiteiten horende bij de verschillende verkeersvragen van rij 2 en rij 3 weergegeven in een 3d-tekening28. Het is de grafische weergave van tabel 12. Zoals reeds uit deze tabel kon afgelezen worden neemt de totale intensiteit van de verschillende stromen over het kruispunt toe met toenemende verkeersvraag van rij 2 en rij 3. Deze intensiteit gaat bij hogere verkeersvragen uiteindelijk naar een constante waarde toe. Dit is precies het resultaat dat we op basis van de literatuur zouden verwachten. Er is geen sprake van een capaciteitsval, en bij toenemende verkeersvraag wordt er uiteindelijk een maximale capaciteit van het kruispunt bereikt.

Figuur 21: Totale intensiteit over het kruispunt in functie van verkeersvraag rij 2 en 3

Er kan opgemerkt worden dat een verkeersvraag van 1600 wagens per uur helemaal geen overdreven, onrealistische aanname is. Art Bleukx [Bleukx,2003] telde op de Kapucijnenvoer gedurende verschillende spitsperiodes in november 2002 een verkeersvraag tot wel 1800 pae per kwartier. Deze vraag werd natuurlijk wel verwerkt door het hele dubbelkruispunt.

28 Op de figuur zijn de X- en de Y-as weergegeven voor waardes van 0 tot 800. De tekening is echter maar geplot tot waardes 700. Door de ruimtelijke weergave zou hierdoor verwarring onnodige verwarring kunnen ontstaan.

88

Hoe de verschillende stromen bijdragen tot de totale intensiteit over het kruispunt is weergegeven in figuur 22. Hierbij wordt de verkeersvraag van rij 2 gevarieerd terwijl de verkeersvraag van rij 3 drie constant wordt gehouden aan 500 wagens/uur. Rond de totale intensiteit is een 95% betrouwbaarheidsinterval getekend. De boven en ondergrenzen worden gegeven door volgende formule29

 S S  , X + zα  X − zα  n n 2 2 

Hierbij is S de berekende standaarddeviatie van de steekproef (nl. de verschillende simulaties), n het aantal simulaties en X het gemiddelde van deze simulaties. Voor een 95% tweezijdig betrouwbaarheidsinterval is z α gelijk aan 1,96. De resultaten van de berekeningen 2

zijn weergegeven in tabel 14.

Vraag rij 2 Bovengrens Gemiddelde Ondergrens

100 1407 1385 1364

200 1483 1461 1439

300 1577 1555 1534

400 1637 1614 1590

500 1663 1643 1623

600 1644 1622 1600

700 1653 1634 1614

Tabel 14: Onder- en bovengrens 95% betrouwbaarheidsinterval tot. intensiteit, geen hinder

29

Hierbij wordt verondersteld dat de verschillende waardes voor de totale intensiteit over het kruispunt normaal verdeeld zijn rond de gemiddelde waarde.

89

Figuur 22: Aandeel stromen in totale intensiteit (geen hinder)

In figuur 22 is goed te zien dat de variatie van de verkeersvraag van stroom 2 geen enkele invloed uitoefent op de intensiteit van de andere drie stromen. Hoewel de verkeersvraag van rij 3 500 wagens per uur is, ligt de intensiteit maar net boven de 400 wagens per uur. Dit heeft te maken met het feit dat er nog andere beperkingen zijn op de intensiteit van stroom 3-10-4-5. De bedieningstijd van het licht aan rij 3 is 4 seconden per wagen. Per uur passeren er dus maximaal 450 voorbij dit licht (het is immers maar de helft van de tijd groen licht). Ook de intensiteiten van stromen 6-11-12-7 en 9-8-5 variëren niet met veranderende verkeersvraag van rij 2. De intensiteit van stroom 2-1 daarentegen neemt eerst lineair toe volgens een 45 gradenlijn, waarna deze intensiteit bij hogere verkeersvraag afbuigt naar een constante waarde van ongeveer 35030 wagens per uur. Het feit dat de totale intensiteit over het kruispunt stijgt bij toenemende verkeersvraag, totdat ze uiteindelijk begrensd wordt door een maximale capaciteit van het kruispunt is precies wat analytische verkeersmodellen voorspellen.

30

Rij 1 heeft 35 seconden groen in een cyclus van 90 seconden. Per uur heeft deze rij dus 1400 seconden groen licht. De intensiteit waarmee bij groen licht de wagens de rij verlaten is exponentieel verdeeld rond met een gemiddelde waarde van 0,25 wagens per seconde. Per uur passeren er dus gemiddeld 350 wagens langs rij 1, tenzij dat de verkeersvraag natuurlijk kleiner is als deze waarde.

90

In de volgende paragraaf wordt nagegaan wat de invloed van de interacties tussen verkeersstromen op het kruispunt is op de intensiteiten van deze verschillende verkeersstromen en op de totale capaciteit van het kruispunt.

5.2.2 Inrekenen van interacties tussen stromen

In dit deel wordt nagegaan wat de invloed is van de interacties tussen stromen op hun respectievelijke intensiteiten, en op de totale intensiteit van het hele kruispunt. De interacties die we beschouwen kunnen opgesplitst worden in een interactie van eerste en van tweede orde. Op dit kruispunt ligt stroom 2-1 aan de basis van de problemen. Bij hoge verkeersvragen wordt de staart van rij 1 zo lang, dat deze de wagens in rijen 4 en 8 zal hinderen bij het afrijden van het kruispunt. Deze interactie tussen de staart van rij 1, en de rijen 4 en 8 noemen we in deze paragraaf de hinder van eerste orde. Door deze hinder neemt de bedieningstijd van rij 4 toe. Hierdoor komen er meer wagens toe in rij 4 dan er door rij 4 verwerkt kunnen worden. De staart van rij 4 groeit aan, en wordt op zijn beurt oorzaak van een hinder. Stroom 3-10-4-5 hindert dan de vlotte doorstroming van stroom 6-11-12-7. Omdat dit effect ook, maar niet rechtstreeks, gevolg is van een te lange wachtrij 1, noemen we dit een effect van tweede orde. Dit betekent echter niet dat de invloed van deze hinder minder groot moet zijn. In een eerste deel wordt alleen de hinder van eerste orde in ogenschouw genomen. Nadien worden dan alle interacties meegerekend.

5.2.2.1 Eerste orde hinder

Door het inrekenen van de interacties tussen de verkeersstromen gaan we aan de theoretische benadering van verkeersafwikkeling op kruispunten voorbij. De literatuur houdt hier namelijk geen rekening mee. We nemen aan dat de staart van rij 1 de rijen 4 en 8 hindert vanaf dat er zich 8 wagens in rij 1 bevinden. Door deze hinder neemt de bedieningstijd van beide rijen toe tot 25 seconden per wagen. Door deze toename relatief groot te veronderstellen wordt de invloed van de interacties uitvergroot.

91

Verder in de tekst wordt zowel de invloed van de grootte van deze bedieningstijd, als het aantal wagens dat zich in wachtrij 1 moet bevinden vooraleer er hinder optreedt31 bestudeerd. Weer wordt er een interval van 720 seconden beschouwd. Voor elke combinatie van de onafhankelijk van elkaar veranderende verkeersvragen van rij 2 en rij 3 worden er 50 simulaties uitgevoerd.

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e ordehinder Intensiteit 2-1 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

700

94 98 100 100 101 96 99 99 97

207 197 195 191 195 193 199 199 201

293 290 285 289 284 280 292 287 297

334 315 333 335 327 330 335 338 331

340 342 346 359 347 343 336 340 333

353 346 350 339 346 326 338 352 338

333 354 343 340 347 343 345 340 342

Tabel 15: Intensiteit 2-1, 1e orde hinder

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e ordehinder Intensiteit 3-10-4-5 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

700

100 205 254 292 345 385 405 413 411

105 199 249 299 337 373 396 399 405

91 198 234 285 303 337 356 368 342

91 143 184 219 214 243 252 259 264

86 142 164 195 200 206 204 211 205

89 126 146 172 177 176 201 203 195

78 146 143 170 191 178 177 194 197

Tabel 16: Intensiteit 2-1, 1e orde hinder 31

Verder in de tekst wordt er naar dit aantal wagens vooraleer er hinder optreedt ook verwezen met de term ‘hinderlengte’.

92

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e ordehinder Intensiteit 9-8-5 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

700

425 425 424 429 411 421 432 421 417

419 417 423 425 424 417 426 418 422

377 371 388 383 382 383 395 380 357

288 244 270 284 261 283 266 290 271

209 237 215 236 233 239 213 226 224

226 203 190 213 208 193 215 224 209

183 205 203 209 224 198 184 212 207

Tabel 17: Intensiteit 9-8-5, 1e orde hinder

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e ordehinder Intensiteit 6-11-12-7 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

700

461 455 451 463 446 458 443 446 446

448 436 457 447 458 454 439 444 454

449 444 443 454 451 451 458 456 453

456 453 455 445 451 443 453 450 455

450 456 447 447 440 448 447 446 460

440 459 453 448 457 450 444 454 439

441 456 440 454 443 447 451 455 443

Tabel 18: Intensiteit 9-8-5, 1e orde hinder

93

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e ordehinder Totale Intensiteit 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

700

1082 1184 1229 1285 1304 1362 1380 1380 1372

1179 1250 1326 1364 1415 1438 1461 1461 1483

1211 1304 1351 1413 1422 1452 1502 1492 1450

1171 1156 1243 1284 1254 1300 1307 1338 1322

1086 1179 1173 1239 1221 1238 1203 1225 1224

1109 1136 1141 1174 1189 1146 1199 1234 1183

1036 1163 1130 1175 1206 1168 1158 1203 1190

Tabel 19: Totale intensiteit, 1e orde hinder

In tabel 20 bevinden zich de standaarddeviaties horende bij de totale intensiteiten. Doordat er nu meer interacties -die elk stochastisch benaderd worden- ingerekend worden, wordt de onzekerheid op de resultaten groter. Dit vertaalt zich in grotere standaarddeviaties. De standaarddeviaties op de intensiteiten van de verschillende stromen apart zijn weergegeven in bijlage D (tabellen 40 tot 44).

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e ordehinder Tot. intens. Stand. dev. 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

700

72.4005 59.3159 61.6889 80.9613 76.4986 79.1360 73.8703 65.6009 93.1381

62.3162 71.0878 67.5447 75.0874 75.9455 92.8420 77.6458 82.1152 87.2148

102.0732 100.4696 101.4288 115.0981 107.2771 122.9288 143.1648 125.4511 173.3361

122.5770 138.1459 164.9517 182.0087 186.3353 207.0636 210.5175 201.3270 220.0215

132.0707 139.4766 183.7884 181.7600 184.0530 193.1050 210.2913 199.3048 201.8654

127.7453 158.0292 168.2724 188.8166 214.0008 185.4740 181.7081 198.7915 241.4699

116.7941 172.3395 180.1424 170.9517 195.6111 172.8589 167.7220 195.6304 180.8044

Tabel 20: Standaarddeviatie bij totale intensiteit, 1e orde hinder

94

Uit tabel 19 (totale intensiteiten) is af te lezen dat wanneer de verkeersvraag van rij 2 stijgt van 300 naar 400 wagens per uur, dat er dan een daling is in de capaciteit van het kruispunt. Er is sprake van een capaciteitsval, een capacity-drop! Bestaande formules houden hier geen rekening mee, waardoor ze in bepaalde gevallen grote overschattingen maken van de capaciteit van het kruispunt. De totale intensiteit van alle stromen op het kruispunt wordt grafisch weergegeven in figuur 23.

Figuur 23: totale intensiteit in functie van verkeersvraag rij 2 en 3 (eerste orde hinder ingerekend)

Om een duidelijkere weergave mogelijk te maken is de richting van de as met de verkeersvraag van rij 2 van veranderd. Op de tekening is duidelijk te zien dat wanneer de verkeersvraag van rij 3 constant wordt gehouden, dat de totale capaciteit van het kruispunt dan eerst toeneemt bij toenemende verkeersvraag van rij 2. Wanneer de verkeersvraag van rij 2 echter blijft toenemen, doet er zich een capaciteitsval voor; Bij een toenemende verkeersvraag worden er minder wagens verwerkt door het kruispunt.

95

In de tabel 21 is de verhouding tussen aantal wagens dat het kruispunt per uur verwerkt bij een bepaalde verkeersvraag van rij 2, ten opzichte van een verkeersvraag van 300 wagens per uur van rij 2 gegeven. Uit de tabel kan afgelezen worden dat het kruispunt bij een verdubbeling van de verkeersvraag van rij 2, van 300 naar 600 wagens per uur, 20% minder wagens verwerkt. Verkeersvraag Rij 2

100

200

300

400

500

600

700

0.9724

1.0000

0.8702

0.8007

0.7986

0.7711

(wagens/uur)

Intensiteit Intensiteit max

0.9191

Tabel 21: verhouding intensiteit tot maximale intensiteit, 1e orde hinder

Er dient er belangrijk onderscheid gemaakt te worden tussen het aantal wagens dat het kruispunt verwerkt bij een verkeersvraag kleiner of groter dan 300. Wanneer de verkeersvraag van rij 2 kleiner is als 300, dan verwerkt het kruispunt niet meer wagens omdat er zich niet meer wagens aandienen. De marginale totale intensiteit in functie van de verkeersvraag van rij ∂Intensiteitkruispunt >0 2 is positief; ∂VerkeersvraagRij 2 Wanneer er zich meer wagens aandienen in wachtrij

2, dan neemt de totale intensiteit van het kruispunt toe. De capaciteit van het kruispunt kent ergens een maximale waarde in functie van de verkeersvraag van rij 2. Wanneer de verkeersvraag van rij 2 vanuit deze waarde nog blijft toenemen, dan neemt het aantal wagens dat het kruispunt kan verwerken af. De intensiteit van de stromen over het kruispunt is dan tevens gelijk aan de capaciteit van het kruispunt. De capaciteit van het kruispunt daalt, er is een capaciteitsval. In dit geval geldt; ∂Intensiteitkruispunt < 0. ∂VerkeersvraagRij 2

De capaciteit van het kruispunt neemt af tot een waarde die kleiner is dan de maximale capaciteit van het kruispunt. Verder wordt aangetoond dat deze waarde bvb. afhangt van de bedieningstijd die verondersteld wordt indien er zich hinder voordoet. 96

In figuur 24 zijn de bijdrages van de intensiteiten van de verschillende stromen tot de totale intensiteit van het kruispunt weergegeven. Hiertoe is er een uitsnede genomen uit de 3Dfiguur, waarbij de verkeersvraag van rij 2 constant gehouden wordt op 500 wagens per uur. Ook is er een 95% betrouwbaarheidsinterval van de totale intensiteit op het kruispunt getekend.

Figuur 24: Aandeel stromen in totale intensiteit (1e orde hinder)

In de figuur is goed te zien dat de verkeersvraag van rij 2 nog steeds geen invloed heeft op de intensiteit van stroom 6-11-12-7. Zowel rij 4 als rij 8 kunnen nu echter wel gehinderd worden door de staart van rij 1. We zien dat de intensiteit van beide stromen afneemt wanneer de verkeersvraag van rij 3 groter wordt. Vanaf een verkeersvraag van rij 2 van 500 wagens per uur blijven de intensiteiten ongeveer constant. Zo gaat de capaciteit van het kruispunt na de val ook naar een constante waarde toe.

97

De grenzen van het 95% betrouwbaarheidsinterval worden op exact dezelfde wijze als eerder berekend. Ze worden hieronder nog eens even in een tabelvorm (tabel 22) weergegeven.

Vraag rij 2 Bovengrens Gemiddelde Ondergrens

100 1401 1380 1360

200 1482 1461 1439

300 1542 1502 1462

400 1365 1307 1249

500 1261 1203 1144

600 1250 1199 1149

700 1205 1158 1112

Tabel 22: Onder- en bovengrens 95% betrouwbaarheidsinterval tot. intensiteit, 1e orde hinder

In deze paragraaf werd aangetoond dat er zich ook op kruispunten effectief een capaciteitsval kan voordoen, de totale intensiteit over het kruispunt neemt af bij een toenemende verkeersvraag. In volgende paragraaf wordt bestudeerd hoe de intensiteit van de verschillende stromen verloopt indien ook de tweede orde interactie tussen stroom 3-10-4-5 en stroom 6-11-12-7 wordt ingerekend.

5.2.3

Eerste en tweede orde hinder

In dit deel wordt nu ook de tweede orde interactie, de invloed die stroom 3-10-4-5 uitoefent op stroom 6-11-12-7 meegerekend. De totale intensiteit in functie van de verkeersvraag van rijen 2 en 3 wordt weergegeven in tabel 23.

98

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e en 2e orde Hinder Totale Intensiteit 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

700

1072 1173 1219 1259 1296 1358 1407 1410 1407

1174 1281 1309 1348 1438 1451 1482 1505 1506

1226 1299 1355 1375 1431 1439 1436 1489 1487

1104 1134 1181 1094 1147 1213 1239 1239 1285

1030 1063 1047 1037 1018 1034 1043 1102 1019

1069 977 991 987 1060 1015 1056 968 1067

1036 977 989 1048 1017 994 1035 1015 1026

Tabel 23: Totale intensiteit; 1e en 2e orde hinder

Figuur 25: totale intensiteit in functie van verkeersvraag rij 2 en 3 (1e en 2e orde hinder)

In figuur 25 zijn de resultaten van de berekeningen ruimtelijk weergegeven. De vorm van de 3D figuur verandert niet zo veel in vergelijking met de vorige situatie. Wanneer we de verkeersvraag van rij 3 constant houden, krijgen we bij lage verkeersvraag van rij 2 weer een stijgend verloop voor de totale intensiteit over het kruipunt.

99

Wanneer de verkeersvraag van rij 2 blijft toenemen wordt de maximale capaciteit van het kruispunt bereikt, waarna er zich weer een capaciteitsval voordoet. Uiteindelijk gaat de capaciteit weer naar een constante waarde toe. Deze capaciteit ligt nu wel lager dan wanneer de interacties van tweede orde niet worden ingerekend. In vergelijking met de vorige situatie kent enkel de intensiteit van stroom 6-11-12-7 een ander verloop. Daar waar deze intensiteit in de vorige situatie nog onafhankelijk was van de verkeersvraag van rij 2, kent ze nu ook een daling. De intensiteit van deze stroom is weergegeven in tabel 24. De intensiteiten van de overige stromen zijn ook in tabelvorm weergegeven. Deze tabellen bevinden zich samen met de bijhorende standaarddeviaties in bijlage D (tabellen 45 tot 51).

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e en 2e orde hinder intensiteit 6-11-12-7 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

700

443 451 444 446 439 443 441 441 438

447 452 446 449 459 449 441 439 432

445 434 440 422 425 416 400 401 398

408 358 365 307 318 328 322 320 334

393 331 305 282 265 262 256 261 252

407 297 285 261 267 241 258 226 268

407 299 282 282 264 254 249 247 247

Tabel 24: Intensiteit 6-11-12-7, 1e en 2e orde hinder

100

In tabel 25 zijn de standaarddeviaties horende bij de respectievelijke totale intensiteiten van de stromen over het kruispunt weergegeven.

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e en 2e orde hinder Stand. dev. bij tot. Int. 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100 69.9872 67.3499 79.4476 81.3431 74.7543 68.0744 83.4293 83.1736 77.6584

200

300

400

500

600

700

80.3099 79.2584 74.0795 62.6379 84.5241 79.0683 82.5178 92.5701 88.4967

142.4801 104.3622 116.1983 174.3638 150.8879 206.8230 243.9337 196.7837 208.0845

204.8799 257.9195 200.3092 306.2201 288.8420 292.6669 365.8194 317.0773 296.0754

185.5356 234.3473 238.3000 311.2091 250.9132 304.1851 284.1501 292.0027 256.0626

185.5205 220.0419 226.6144 262.0411 294.0580 279.1412 277.2360 278.4914 279.8765

182.5580 245.2346 233.5390 284.7638 302.0901 260.5533 256.0159 288.0170 299.0525

Tabel 25: Standaarddeviatie bij totale intensiteit, 1e en 2e orde hinder

Opnieuw wordt het aandeel van de verschillende stromen in de totale intensiteit op het kruispunt grafisch uitgezet (figuur 26). Er wordt hiertoe een uitsnede uit de 3D figuur gemaakt waarbij de verkeersvraag van rij 3 constant gehouden wordt op 500 wagens per uur. Hoewel de standaarddeviaties op de intensiteiten zijn toegenomen, is de breedte van het 95% betrouwbaarheidsinterval nog steeds kleiner dan 10 procent van de gemiddelde waarde. Ook dit betrouwbaarheidsinterval is weergegeven in figuur 26. Op deze figuur is ook te zien dat de intensiteit van stroom 2-1 bij verkeersvragen tot 300 wagens per uur volgens de 45-gradenlijn verloopt. Daarna buigt de intensiteit af naar een constante waarde van ongeveer 350 wagens per uur.

101

Figuur 26: aandeel stromen in intensiteit (1e en 2e orde hinder)

Deze curve van de totale verkeersintensiteit over het kruispunt dient in het volgende deel als referentie wanneer de invloed van enkele parameters op de intensiteit over het kruispunt wordt nagegaan. In tabel 26 wordt de procentuele verhouding weergegeven tussen het aantal wagens dat over het kruispunt passeert wanneer de interacties van eerste en tweede orde worden meegerekend, ten opzichte van het aantal wagens dat over het kruispunt passeert wanneer deze interacties niet worden meegeteld. De verkeersvraag van stroom 3-10-4-5 wordt hier 500 wagens per uur verondersteld. Bij lage verkeersvragen van rij 2 is er geen verschil tussen de situatie met of zonder inrekenen van de interacties. De verhouding tussen de intensiteiten is ongeveer gelijk aan 1. Bij hogere verkeersvragen van stroom 2-1 valt de verhouding echter terug tot ongeveer 65 procent. Dit betekent dat door het bestaan van deze interacties – en dus door de capaciteitsval- het aantal wagens dat het kruispunt kan verwerken een derde lager ligt dan wat bestaande verkeersmodellen aannemen. Ze maken in periodes van grote verkeersvraag in deze situatie dus een overschatting van de capaciteit van het kruispunt van 50 procent.

102

Intensiteit over het kruispunt Vgl. invloed van de interacties

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur)

Verhouding intensiteit met hinder op intensiteit zonder hinder (in %)

100

200

300

400

500

600

700

101,58

101,43

92,31

76,78

63,47

65,12

63,37

Tabel 26: Verhouding intensiteit met hinder op intensiteit zonder hinder

5.2.4 Vertragingen

De vertragingen bij de 3 gevallen (geen hinder, 1e orde hinder en 1e en 2e orde hinder) zijn berekend voor de wagens in stroom 3-10-4-5. De verkeersvraag van rij 3 wordt hierbij constant gehouden aan 500 wagens per uur. De vraag van rij 2 wordt gevarieerd. Het beschouwde tijdsinterval is weer 720 seconden. Er werden echter maar 20 simulaties uitgevoerd bij de verschillende verkeersvragen van rij 2. De resultaten zijn samen met hun respectievelijke standaarddeviaties getabellariseerd in tabel 27.

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) Vertr., geen hinder Std. geen hinder

100

200

300

400

500

77.165 34.855

90.833 44.921

89.436 31.972

88.906 35.881

94.746 46.266

103.244 40.470

93.453 35.666

97.527 109.675 43.491 39.424

126.297 149.531 62.085 58.208

151.466 62.851

163.211 57.573

95.579 43.822

132.472 161.734 57.321 47.960

179.911 75.334

158.190 59.667

Vertr., 1e orde hinder Std. 1e orde hinder

101.168 34.962

Vertr., 1e en 2e orde Std. 1e en 2e orde

85.064 32.550

90.229 38.957

600

700

Tabel 27: Vertagingen en standaarddeviaties bij geen, 1e orde, en 1e en 2e orde hinder

In figuur 27 zijn de resultaten ook nog eens grafisch uitgezet. Wanneer er geen rekening wordt gehouden met de interacties tussen verschillende stromen blijft de gemiddelde vertraging min of meer constant in functie van de verkeersvraag van rij 2. Dit is logisch aangezien stroom 2-1 in die situatie geen enkele invloed uitoefent op stroom 3-10-4-5.

103

Voor de twee andere gevallen is de invloed van de intensiteit van stroom 2-1 wel duidelijk te zien. Bij grotere intensiteiten stijgt de gemiddelde vertraging sterk tussen wanneer de verkeersvraag van rij 2 toeneemt van 300 tot 500 wagens per uur. Daarna blijkt de gemiddelde vertraging die de wagens in stroom 3-10-4-5 oplopen ongeveer gelijk te blijven. Ook dit kon verwacht worden. In het gebied van de capaciteitsval doet er zich een stijging in de vertraging voor. Wanneer de daling in de capaciteit weer stagneert, dan stagneren ook de gemiddelde vertragingen opgelopen op het kruispunt. 180

gemiddelde vertraging (sec)

160

geen hinder 1e orde hinder 1e en 2e orde hinder

140

120

100

80

60 100

200

300 400 500 verkeersvraag rij 2 (wagens/uur)

600

700

Figuur 27: Gemiddelde vertragingen/ vraag rij 3: 500 wagens/uur

In dit deel werd formeel aangetoond dat er zich ook op kruispunten een capaciteitsval kan voordoen. Uit het onderzoek blijkt dat het niet enkel een kwestie is van verschuivingen van intensiteiten van de ene stroom naar de andere, waarbij de totale intensiteit over het kruispunt in een dynamisch evenwicht is. Wanneer een kruispunt sterk belast wordt kan er zich een echte capaciteitsval voordoen, waarbij een stijging van de verkeersvraag van het kruispunt resulteert in een daling van de totale intensiteit van het kruispunt. Deze capaciteitsval blijkt een rechtstreeks gevolg van de interacties tussen verschillende stromen op het kruispuntvlak. Interacties waarmee in de bestaande verkeerstheorie geen rekening wordt gehouden. Uit de simulaties komt naar voren dat het verwaarlozen van deze interacties tot grote overschattingen van de capaciteit van het kruispunt kan leiden.

104

Toch moeten we kritisch blijven tegenover de resultaten. Zo werd er bvb. gerekend met een bedieningstijd van 25 seconden van zodra er hinder optreedt. In de praktijk zal deze waarde zeker niet altijd zo hoog zijn. In de volgende paragraaf wordt de invloed van enkele parameters op de vorm van de capaciteitsval bestudeerd.

5.3

Invloed van karakteristieke parameters op de capaciteit van het kruispunt

In het vorige deel werd er aangetoond dat er zich ook op een kruispuntvlak een capaciteitsval kan voordoen. In dit deel wordt de invloed van enkele parameters op de verkeersafwikkeling op het kruispunt nagegaan. Het is zeker niet de bedoeling om een exhaustieve lijst van parameters, die de verkeersafwikkeling op kruispunten beïnvloeden, op te stellen. Integendeel. Het is de bedoeling om de aan te geven dat er verschillende parameters bestaan die elk een verschillende invloed uitoefenen op de intensiteiten van de verschillende stromen op het kruispunt. Ook willen we hiermee aantonen dat er nog veel onderzoek gedaan moet worden naar de karakteristieke eigenschappen van de interacties tussen verschillende stromen op een kruispuntvlak omdat blijkt dat een relatief kleine verandering van de parameters toch al een grote invloed kan hebben op de capaciteit van het kruispunt. In wat volgt worden de invloed van de bedieningstijd bij hinder, en grootte van de opstelruimte bekeken. Hoe groter deze opstelruimte, hoe meer wagens zich in wachtrij 1 kunnen opstellen zonder de wagens uit rijen 4 en 8 te hinderen bij het afrijden van het kruispuntvlak. Als referentie wordt de situatie uit de vorige paragraaf genomen, nl. de situatie waarbij zowel de eerste als de tweede orde hinder worden ingerekend. De verkeersvraag van rij 3 wordt constant gehouden aan 500 wagens per uur, terwijl de verkeersvraag van rij 2 varieert van 100 tot 600 wagens per uur. In de referentiesituatie verhoogt de bedieningstijd bij hinder voor rijen 4, 8 en 11 tot 25 seconden per wagen vanaf dat er zich 8 of meer wagens in rij 1 bevinden. Ook in dit hoofdstuk worden er steeds 50 simulaties per parametercombinatie uitgevoerd gedurende een interval van 720.

105

5.3.1 De invloed van de bedieningstijd

Om de invloed van de bedieningstijd bij hinder na te gaan wordt deze nieuwe bedieningstijd gevarieerd met stappen van 5 seconden, en dit van 5 tot 35 seconden per wagen. De resultaten zijn samengevat in figuur 28.

Figuur 28: Invloed bedieningstijd op capaciteitsval

Wanneer de bedieningstijd toeneemt van 4 tot 5 seconden is er nauwelijks sprake van hinder. De capaciteit op het kruispunt kent geen daling bij toenemende verkeersvraag van rij 3. Er is geen sprake van een capaciteitsval. Wanneer de bedieningstijd toeneemt tot 10 seconden per wagen is er reeds sprake van een duidelijke verkeersval. De grafieken horende bij een bedieningstijd 15 tot 35 seconden liggen dicht bij elkaar. Hierbij is de capaciteitsval nog groter als bij een bedieningstijd van 10 seconden. Vanaf een bedieningstijd van 15 seconden per wagen blijkt de exacte bedieningstijd nog maar weinig invloed te hebben. De meeste wagens die dan het traject van de hinderende stroom kruisen doen dit dan wanneer er zich een beperkt aantal wagens in de hinderende wachtrij bevindt, zodat er geen hinder optreedt. De tabellen met de intensiteiten horende bij de verschillende stromen zijn toegevoegd in bijlage D (tabellen 52 tot 56).

106

5.3.2 Invloed van de hinderlengte

In dit deel wordt het aantal wagens dat zich in wachtrij 1 kan opstellen zonder dat ze de wagens uit rijen 4 en 8 hinderen gevarieerd. Hoe minder er auto’s er in wachtrij 1 aanwezig moeten zijn vooraleer er hinder optreedt, hoe sneller er zich een hinder zal voordoen, en hoe langer deze hinder zal duren. In figuur 29 wordt de hinderlengte gevarieerd van 2 tot 10 wagens. De maximale capaciteit van wachtrij 1 is 14 wagens.

Figuur 29: Invloed hinderlengte op capaciteitsval

Uit deze figuur komt naar voor dat de invloed van de hinderlengte zeer groot is. Hoe kleiner de hinderlengte wordt, hoe kleiner de capaciteit van het kruispunt wordt bij toenemende verkeersvaag van rij 2. Hoe minder ruimte er dus op een kruispunt is, hoe sneller er problemen ontstaan, en hoe groter deze problemen kunnen worden. De ‘interactievrije’ opstelruimte, de opstelruimte waarop wagens zich kunnen opstellen zonder dat ze daardoor andere stromen hinderen blijkt ook een belangrijke parameter met betrekking tot de verkeersafwikkeling op kruispunten.

107

Er moet opgemerkt worden dat de invloed eigenlijk geen functie is van de hinderlengte, maar van de verhouding hinderlengte/maximale opstelcapaciteit. Zou de maximale opstelcapaciteit van rij 1 maar 4 wagens zijn in plaats van 14, dan zou de capaciteitsval van het kruispunt zeker niet zo groot zijn. Wanneer er zich meer wagens in de rij kunnen opstellen duurt het immers een poos langer vooraleer de hinder wordt opgeheven bij het leegrijden van wachtrij 1.

5.4

Conclusie

In dit hoofdstuk is werd aangetoond dat er zich weldegelijk een capaciteitsval kan voordoen op kruispunten. In een eerste simulatie werd de interacties tussen de verschillende verkeersstromen op het kruispunt niet ingerekend. De intensiteit van de stromen nam daarbij toe tot een maximale waarde, de capaciteit van het kruispunt. Nadien werden de interacties tussen de verschillende verkeersstromen op het kruispunt wel ingerekend. Door deze interacties doet er zich bij grote verkeersvraag een capaciteitsval voor op het kruispunt. Met hoe meer interacties er rekening wordt gehouden, hoe groter de capaciteitsval wordt. Hoewel een stroom nooit zelf rechtstreeks aanleiding zou geven tot hinder van een bepaalde andere stroom ( doordat de verkeerslichtenregeling bvb. zodanig is opgesteld dat interacties worden uitgesloten), kan het gebeuren dat deze stroom eerst zelf gehinderd wordt, waardoor als secundair effect van deze hinder, de gehinderde stroom zelf vaak oorzaak van een andere hindersituatie wordt. De vooropgestelde verkeersafwikkeling, die door middel van verkeersborden en verkeerslichten vorm kreeg, raakt hierdoor ontregeld. Wagens raken het kruispuntvlak niet meer op terwijl ze toch groen licht hebben, andere wagens raken het kruispunt niet meer af… In het laatste deel van dit hoofdstuk werd de invloed op de intensiteit over het kruispunt van 2 verschillende parameters nagegaan. Natuurlijk zijn er nog heel wat andere parameters die ook allemaal huninvloed hebben. Om tot goede modelleringen te komen zullen deze parameters in een verder onderzoek eerst geïnventariseerd moeten worden, waarna ze allemaal aan een grondig onderzoek moeten onderworpen worden.

Het verzamelen van een grote set

praktijkwaarden lijkt hierbij onontbeerlijk. Niet alleen zal een goed inzicht in deze verschillende parameters leiden tot een betere modellering van de verkeersprocessen op kruispunten, ook zal dit inzicht leiden tot kruispuntinrichtingen die een betere verkeersafwikkeling toelaten.

108

6 Besluit In het kader van de thesis werd eerst een grondige literatuurstudie uitgevoerd. Daaruit bleek dat er in de bestaande literatuur nog maar weinig of geen onderzoek gedaan werd om de invloed van interacties tussen verkeersstromen vast te leggen in formules. Wu en Brilon schuiven met hun methode van de conflictstromen als eersten een vernieuwende techniek naar voren om de verkeersafwikkeling op kruispunten te modelleren. Na deze literatuurstudie werd een simulatiemodel opgesteld dat er precies op gericht is om de interacties tussen de verschillende verkeersstromen, en hun invloed op de capaciteit van het kruispunt te modelleren. Het simulatiemodel wil een instrument zijn om net die zaken die in de literatuur nog maar weinig of niet bestudeerd zijn te helpen bestuderen. Het model is een analyse-instrument voor de interacties en conflicten tussen stromen op het kruispuntvlak, en hun invloed op de capaciteit en de vertragingen aan het kruispunt. De thesis wil zeker niet pretenderen een afgesloten geheel, een afgesloten onderzoek te zijn. Ze wil daarentegen het eerste pad effenen voor verder en uitgebreider onderzoek. Daarom is er grondig tewerk gegaan bij het verifiëren van de werking van het computermodel. De resultaten uit de verschillende simulaties bleken allen de bestaande formules, gelet op de aannames en veronderstellingen die deze formules maken, zeer goed te benaderen. In het laatste deel werd er een praktische verkeerssituatie uitgewerkt. De resultaten zijn opmerkelijk. Door het inrekenen van de interacties tussen de verschillende verkeersstromen kan het zijn dat er zich een capaciteitsval van het kruispunt voordoet. Bij een stijgende verkeersvraag neemt de capaciteit van het totale kruispunt af. Hoe meer wagens zich aan het kruispunt aandienen, hoe minder er worden verwerkt. De bestaande capaciteitsformules houden echter geen rekening met deze interacties, waardoor ze, wanneer er zich een capaciteitsval voordoet, belangrijke overschattingen maken van de capaciteit van kruispunten. Ook modelleringen van grote netwerken zien deze afgenomen capaciteit van hun knopen daarom over het hoofd. Simulaties zouden zo een goede verkeersafwikkeling kunnen voorspellen, terwijl de praktijk het tegendeel bewijst.

109

Verder onderzoek moet in de eerste plaats nagaan welke de verschillende parameters zijn die een invloed uitoefenen op de capaciteitsval. Hierbij denken we niet alleen aan de schatting van de verhoogde bedieningstijden bij hinder en de grootte van opstelruimtes, maar evengoed aan de invloed van de afstelling van verkeerslichten, aparte verkeerslichten voor verschillende stromen, andere typologieën van het kruispunt, de invloed van de verhouding van de verschillende verkeersvragen van verschillende stromen aan het kruispunt,… Het uiteindelijke doel moet zijn om deze resultaten in te bouwen in de macroscopische simulatiemodellen om zo via een betere benadering van de netwerkknopen, tot betere en meer betrouwbare netwerksimulaties te komen. Ook zal een beter inzicht in de invloed van de interacties leiden tot beter ontworpen kruispunten die een vlottere verkeersafwikkeling toelaten. Wetenschappelijk onderzoek met een enorme maatschappelijke impact!

110

7 Literatuuropgave Abu-Lebdeh, G.; Benekohal, R.F. & Al-Omari, B. (1997). “Models for Right Turns on Red and Their Effects on Delay”. In Transportation Research Record 1572, TRB, National Research Council, Washington, DC, pp. 131-139 Abu-Lebdeh & Ahmed.(2005). Modeling of Delay Induced By Downstream Traffic Disturbances At Signalized Intersections. Presented at the 84th TRB Annual Meeting (TRB 2005). Adams. (1936). Road Traffic Considered as a Random Series. Journal of the Institute of Civil Engineers, London. Vol. 4, pp. 121-130. Akçelik, R. (1980). Time-Dependent Expressions for Delay and Stop Rate and Queue Length at Traffic Signals. Australian Road Research Board, Internal Report, AIR 367-1. Akçelik, R. and N. Rouphail (1993). Estimation of Delays at Traffic Signals for Variable Demand Conditions. Transportation Research-B, Vol. 27B, No. 2, pp. 109-131. Akçelik, R. and N. Rouphail (1994). Overflow Queues and Delays with Random and Platoon Arrivals at Signalized Intersections, Journal of Advanced Transportation, Volume 28(3), pp. 227-251. Banks,H. and Amin, M. Cassidy, M. and Chung, K.(2003). Validation of Daganzo's Behavioral Theory of Multi-Lane Traffic Flow: Final Report. California Partners for Advanced Transit and Highways (PATH). Beirlant,J. and Van Dyck,J. Statistiek en waarschijnlijkheidsleer. Cursusdienst VTK vzw. Bleukx,A. Analyse en reconceptie van de verkeerssituatie op de kruising van de Leuvense ring met de Kapucijnenvoer en de Koning Boudewijnlaan.(thesisverhandeling). Boehm, H. (1968). Die Anwendung der Monte-Carlo-Methode in der Strassenverkehrstechnik. Teil I: Untersuchungen an ungesteuerten Knoten. Schriftenreihe Strassenbau und Strassenverkehrstechnik, Vol. 73. Bonn 1968. Brilon, W. (Ed.) (1988). Intersections Without Traffic Signals. Springer Publications, Berlin. Brilon, W. and N. Wu (1990). Delays At Fixed-time Traffic Signals Under Time Dependent Traffic Conditions. Traffic Engineering and Control, 31(12), pp. 623-63. Brilon, W. (Ed.) (1991). Intersections Without Traffic Signals II. Springer Publications, Berlin.

111

Brilon, W, N. Wu, and K. Lemke. (1996). Capacity at Unsignalized Two-Stage Priority Intersections. Paper 961280. Presented at the 75th TRB Annual Meeting. Brilon,W. and Miltner,T. (2005). Capacity and Delays at Intersections Without Traffic Signals. TRB 2005 Buckley, D. J. (1968). A Semi-Poisson Model of Traffic Flow.Transportation Science, Vol. 2(2), pp. 107-132. Catchpole, E. A. and A. W. Plank (1986). The Capacity of a Priority Intersection. Transportation Research Board, 20B (6), pp. 441-456 Catling, I. (1977). A Time Dependent Approach to Junction Delays. Traffic Engineering & Control, Vol. 18(11), pp. 520-523, 536. Cowan, R. J. (1975). Useful Headway Models. Transportation Research, 9(6), pp. 371-375. Cowan, R. J. (1987). An Extension of Tanner's Results on Uncontrolled Intersections. Queuing Systems, Vol 1., pp. 249-26 Daganzo, C. F. (1977). Traffic Delay at Unsignalized Intersections: Clarification of Some Issues. Transportation Science, Vol. 11. Dawson, R. F. (1969). The Hyperlang Probability Distribution - A Generalized Traffic Headway Model Proceedings of the FourthISTTT in Karsruhe, Strassenbau und Strassenverkehehrstechnik, No 89 1969, pp 30-36. Drew, D. R. (1968). Traffic Flow Theory and Control. McGraw-Hill Book Company, New York. Gleue.(1972).Vereinfachtes Verfahren zur Berechnung signalgeregelter Knotenpunkte. BMV (Hrsg.). Reihe Forschung Straßenbau und Straßenverkehrstechnik, Heft 139. Grossmann, M. (1991). Methods for Calculation and Judgement of Capacity and Traffic Quality at Intersections Without Traffic Signals. Ruhr-University Bochum, Germany, Chair of Traffic Engineering, Vol. 9. Harders, J. (1968). The Capacity of Unsignalized Urban Intersections. Schriftenreihe Strassenbau und Strassenverkehrstechnik, Vol. 76. Harders, J. (1976). Critical Gaps and Move-Up Times as the Basis of Capacity Calculations for Rural Roads. Schriftenreihe Strassenbau und Strassenverkehrstechnik, Vol. 216. Hewitt, R. H. (1983). Measuring Critical Gap. Transportation Science, 17(1), pp. 87-109.

112

Kimber, R. M. and E. M. Hollis (1979). Traffic Queues and Delays at Road Junctions. TRRL Laboratory Report. Kleinrock,L. Queuing systems. Volume 1: Theory Kremser, H. (1964). Wartezeiten Und Warteschlangen Bei Einfadelung Eines Poissonprozesses in Einen Anderen Solchen Prozess.Österreichisches Ingenieur-Archiv, 18. Kyte, M. (1989). Estimating Capacity and Delay at an All-Way Stop-Controlled Intersection. Research Report, TRANSNOW, Moscow/Idaho. Li, J., N. Rouphail, and R. Akçelik (1994). Overflow Delay Estimation for Intersections with Fully-Actuated Signal Control. Presented at the 73rd Annual Meeting of TRB, Washington, DC. Lin,F. and Thomas,D.(2005). Headway Compression During Queue Discharge at Signalized Intersections. TRB 2005. Little, J. (1961). A Proof of the Queueing Formula L = W. Operations Research 9, pp. 383387. Miller, A. J. (1972). Nine Estimators of Gap Acceptance Parameters. In: Traffic Flow and Transportation (Ed. Newell). Proceedings International Symposium on the Theory of Traffic Flow and Transportation, American Elsevier Publishing Co. Newell, G. F. (1965). Approximation Methods for Queues with Application to the FixedCycle Traffic Light. SIAM Review, Vol.7. Newell, G. F. (1971). Applications of Queueing Theory. Chapman and Hall Ltd., London. Olszewski, P. (1990). Traffic Signal Delay Model for Non-Uniform Arrivals. Transportation Research Record, 1287, pp. 42-53. Plank, A. W. and E. A. Catchpole (1984). A General Capacity Formula for an Uncontrolled Intersection. Traffic Engineering Control. 25(6), pp. 327-329. Ramsey, J. B. H. and I. W. Routledge (1973). A New Approach to the Analysis of Gap Acceptance Times. Traffic Engineering Control, 15(7), pp. 353-357. Schuhl, A. (1955). The Probability Theory Applied to the Distribution of Vehicles on TwoLane Highways. Poisson and Traffic. The Eno Foundation for Highway Traffic Control. Siegloch, W. (1973). Die Leistungsermittlung an Knotenpunkten Ohne Lichtsignalsteuerung. Schriftenreihe Strassenbau und Strassenverkehrstechnik, Vol. 154. Siegloch, W. (1974). Ein Richtlinienvorschlag Zur Leistungsermittlung an Knotenpunkten Ohne Lichtsignalsteuerung. Strassenverkehrstechnik,Vol. 1.

113

Tanner, J. C. (1962). A Theoretical Analysis of Delays At An Uncontrolled Intersection. Biometrica 49(1 and 2),pp. 163-70. Tian, Z., Kyte, M., Troutbeck, R., Brilon, W.(1999). Implementing the Maximum Likelihood Methodology to Measure Driver’s Critical Gap; Transportation Research, Part A, Vol. 33, pp. 187-197. Troutbeck. R. J. (1986). A verage Delay at an Unsignalized Intersection with Two Major Streams Each Having a Dichotomized Headway Distribution. Transportation Science, 20(4), pp. 272-286. Troutbeck, R. J. (1992). Estimating the Critical Acceptance Gap from Traffic Movements. Research Report, 92-5. Viti, F and van Zuylen, HJ (2004). Modeling queues at signalized intersectionsTransportation Research Record, No: 1883, pp68-77. Transportation Research Board, Washington, DC, USA. Webster, F. V. (1958). Traffic Signal Settings. Road Research Laboratory Technical Paper No. 39, HMSO. Wu,N. (2000). Determination of Capacity at All-Way Stop-Controlled (AWSC) intersections. Transportation Research Record 1710. TRB, National Research Board, Washington, D.C., USA. Wu,N. (with Brilon,W.) (2001) Unsignalized Intersections - A Third Method for Analysis. In Taylor, A.P. (ed.): Transportation and Traffic Theory in the 21st Century, Proceedings of the 15th International Symposium on Transportation and Traffic Theory. Elsevier Science Ltd., New York, Tokyo, Oxford, 2002. Wu,N. (2004) Capacity of Two-Stage Queuing systems - Generalization and Extension. Arbeitsblätter des Lehrstuhls für Verkehrswesen, Nr.28, Teil II. Ruhr-Universität Bochum.

114

Afkortingenlijst

TRB: Transportation Research Board FHWA: Federal Highway Administration HCM: Highway Capacity Manual MOE: Measures Of Effectiveness GAP-methode: Gap-Acceptance-Procedure-methode ACF: Additive Conflict Flows AWSC intersections: All Way Stop Controlled intersections GS-proces: Geboorte-Sterfte-proces FIFO: First In First Out Pae: personenauto equivalent Tc : Kritische gap tijd Tf : Follow-up tijd Tm: De minimale tijd tussen twee wagens in de hoofdstroom. Qp: De intensiteit van de voorrangsstroom. Qm: De maximale intensiteit van de zijstroom, de stroom die voorrang moet geven. Qn: De verkeersvraag van de zijstroom.

115

lijst met figuren

Figuur 1: Voorstelling van black boxes.................................................................................33 Figuur 2: Voorstelling van offset en cycluslengtes................................................................35 Figuur 3: Karakteristieke eigenschappen van de black box ...................................................36 Figuur 4: Schematische voorstelling traject 1-2-3 bij 1-op-1-toelevering...............................37 Figuur 5: 1-op-1-toelevering aan verschillende rijen .............................................................38 Figuur 6: Procentuele 1-op-m-toelevering.............................................................................39 Figuur 7: Voorbeeld van situatie waar traject niet meer op voorhand vastligt........................40 Figuur 8: Voorstelling reële hinder en vermindering .............................................................41 Figuur 9: Omzetting voorrangssituatie naar model................................................................42 Figuur 10: Schematische voorstelling van interacties op een kruispunt .................................46 Figuur 11: Populatiegrootte in functie van de tijd .................................................................49 Figuur 12: Algemene voorstelling Markov geboorte- sterfte-proces......................................54 Figuur 13: Vergelijking vertragingen simulatie, Harders, Siegloch en Tanner. Tc=6sec en Tf =3 sec. ..........................................................................................................................64 Figuur 14: De gemiddelde vertraging in functie van de saturatiegraad volgens Harders ........66 Figuur 15: Vertraging in de zijstroom (sec) in functie van saturatiegraad/ Qp=600 wagens/uur .....................................................................................................................................68 Figuur 16: vergelijking vertragingen deterministische formulering en simulatie ........................................71 Figuur 17: Vertragingen volgens Akçelik, Webster, Miller en de simulatie...........................74 Figuur 18: Tekening van aankomst- en vertrekprocessen met bijhorende vertragingen..........75 Figuur 19: Omzetting plan Kapucijnenvoer naar schematische voorstelling ..........................79 Figuur 20: Voorstelling van de wachtrijen zoals ze in de simulatie worden ingegeven ..........80 Figuur 21: Totale intensiteit over het kruispunt in functie van verkeersvraag rij 2 en 3 .........88 Figuur 22: Aandeel stromen in totale intensiteit (geen hinder) ..............................................90 Figuur 23: totale intensiteit in functie van verkeersvraag rij 2 en 3 (eerste orde hinder ingerekend)...................................................................................................................95 Figuur 24: Aandeel stromen in totale intensiteit (1e orde hinder)...........................................97 Figuur 25: totale intensiteit in functie van verkeersvraag rij 2 en 3 (1e en 2e orde hinder)......99 Figuur 26: aandeel stromen in intensiteit (1e en 2e orde hinder)...........................................102 Figuur 27: Gemiddelde vertragingen/ vraag rij 3: 500 wagens/uur ......................................104 Figuur 28: Invloed bedieningstijd op capaciteitsval.............................................................106 Figuur 29: Invloed hinderlengte op capaciteitsval ...............................................................107

116

Lijst met tabellen

Tabel 1: Deel van een tijd- en telmatrix ................................................................................49 Tabel 2: Resultaten simulatie M/M/1 rij................................................................................57 Tabel 3: Vergelijking intensiteit uit simulatie met analytische formules................................63 Tabel 4: Vergelijking gemiddelde vertragingen uit simulatie met analytische formuleringen. .....................................................................................................................................68 Tabel 5: Standaarddeviaties bij berekening van de vertragingen............................................69 Tabel 6: Standaarddeviaties op de resultaten.........................................................................71 Tabel 7: Vergelijking vertragingen uit simulatie met analytische formules (kruispunt met verkeerslichten). ...........................................................................................................73 Tabel 8: Intensiteit 2-1, geen hinder......................................................................................84 Tabel 9: Intensiteit 3-10-4-5, geen hinder .............................................................................85 Tabel 10: Intensiteit 9-8-5, geen hinder.................................................................................85 Tabel 11: Intensiteit 6-11-12-7, geen hinder..........................................................................86 Tabel 12: Totale intensiteit, geen hinder ...............................................................................86 Tabel 13: Totale intensiteit, standaarddeviatie op berekeningen ............................................87 Tabel 14: Onder- en bovengrens 95% betrouwbaarheidsinterval tot. intensiteit, geen hinder.89 Tabel 15: Intensiteit 2-1, 1e orde hinder ................................................................................92 Tabel 16: Intensiteit 2-1, 1e orde hinder ................................................................................92 Tabel 17: Intensiteit 9-8-5, 1e orde hinder .............................................................................93 Tabel 18: Intensiteit 9-8-5, 1e orde hinder .............................................................................93 Tabel 19: Totale intensiteit, 1e orde hinder............................................................................94 Tabel 20: Standaarddeviatie bij totale intensiteit, 1e orde hinder ...........................................94 Tabel 21: verhouding intensiteit tot maximale intensiteit, 1e orde hinder...............................96 Tabel 22: Onder- en bovengrens 95% betrouwbaarheidsinterval tot. intensiteit, 1e orde hinder .....................................................................................................................................98 Tabel 23: Totale intensiteit; 1e en 2e orde hinder ...................................................................99 Tabel 24: Intensiteit 6-11-12-7, 1e en 2e orde hinder ...........................................................100 Tabel 25: Standaarddeviatie bij totale intensiteit, 1e en 2e orde hinder.................................101 Tabel 26: Verhouding intensiteit met hinder op intensiteit zonder hinder ............................103 Tabel 27: Vertagingen en standaarddeviaties bij geen, 1e orde, en 1e en 2e orde hinder .......103 Tabel 28: Deel van een aankomst labelmatrix .....................................................................135 Tabel 29: Deel van een vertrek labelmatrix.........................................................................136 Tabel 30: Berekenen van vertraging uit labelmatrices .........................................................137 Tabel 31: Resultaten berekeningen M/M/m/∞-rij met simulatie ..........................................140 Tabel 32: Invloed van saturatiegraad op convergentiesnelheid simulatieresultaten M/M/m/∞ ...................................................................................................................................142 Tabel 33: Berkening populatiekans M/D/1-rij met simulatie: resultaten ..............................143 Tabel 34: Resultaten simulaties M/M/1/k-rij. Vergelijking met theorie, deel1.....................145 Tabel 35: Resultaten simulaties M/M/1/k-rij. Vergelijking met theorie, deel 2 ....................146 Tabel 36: Resultaten simulatie M/M/m/m-rij ......................................................................147 Tabel 37: Standaarddeviatie bij intensiteit 2-1, geen hinder ................................................151 Tabel 38: Standaarddeviatie bij intensiteit 3-10-4-5, geen hinder ........................................152 Tabel 39:Standaarddeviatie bij intensiteit 6-11-12-7, geen hinder .......................................152 Tabel 40: Standaarddeviatie bij intensiteit 9-8-5, geen hinder .............................................153 Tabel 41: Standaarddeviatie bij intensiteit 2-1, 1e orde hinder............................................153 Tabel 42: Standaarddeviatie bij intensiteit 3-10-4-5, 1e orde hinder.....................................154 117

Tabel 43: Standaarddeviatie bij intensiteit 6-11-12-7, 1e orde hinder...................................154 Tabel 44: Standaarddeviatie bij intensiteit 9-8-5, 1e orde hinder..........................................155 Tabel 45: Intensiteit 2-1, 1e en 2e orde hinder......................................................................155 Tabel 46: Standaarddeviatie bij intensiteit 2-1; 1e en 2e orde hinder ....................................156 Tabel 47: Intensiteit 3-10-4-5, 1e en 2e orde hinder .............................................................156 Tabel 48: Standdaarddeviatie bij intensiteit 3-10-4-5, 1e en 2e orde hinder ..........................157 Tabel 49: Intensiteit 9-8-5, 1e en 2e orde hinder ..................................................................157 Tabel 50: Standdaarddeviatie bij intensiteit 9-8-5, 1e en 2e orde hinder ...............................158 Tabel 51: Standdaarddeviatie bij intensiteit 6-11-12-7, 1e en 2e orde hinder ........................158 Tabel 52: Parameterstudie bedieningstijd: Totale intensiteit................................................159 Tabel 53: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 2-1 ....................................................159 Tabel 54: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 3-10-4-5............................................159 Tabel 55: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 9-8-5 .................................................160 Tabel 56: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 6-11-12-7 ..........................................160 Tabel 57: Parameterstudie hinderlengte: Totale intensiteit ..................................................161 Tabel 58: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 2-1.......................................................161 Tabel 59: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 3-10-4-5 ..............................................161 Tabel 60: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 9-8-5....................................................162 Tabel 61: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 6-11-12-7.............................................162

118

Bijlage A: Werking van de simulatie

Nadat het kruispuntvlak in verschillende rijen is opgedeeld, de eigenschappen van alle rijen zijn uitgedacht en nadat alle interacties tussen de rijen vastliggen moeten deze nog op een consequente wijze in het computerprogramma worden ingegeven. Hoe men dit doet zal in deze bijlage worden aangegeven.. In het programma kunnen twee categorieën beschouwd worden; Ten eerste zijn er de functies die ten dienste staan van de simulatie. Ze helpen de interacties tussen de verschillende wachtrijen te modelleren. Ze worden allen opgeroepen vanuit een hoofdfunctie die we de body zullen noemen. Een tweede groep functies dienen om de resultaten van de simulatie te interpreteren en te analyseren. Met deze functie kunnen bvb. de verschillende vertragingen of de gemiddelde wachtrijlengtes berekend worden

119

Bodystructuur en bijhorende functies

Vooraleer er iets gedetailleerder zal worden ingegaan op de verschillende functie die vanuit de body wordt er van deze body eerst een overzicht gegeven;

Initialiseren

While Voorop Posmin Hinder Parameterfunction SWITCH IF: aankomst Volaan ELSE: vertrek Vollerij Toeleveringen3 END Tijdsinc Tijdstoelevering1 Gapteller Gaphinder END

Initialiseren

120

De zaken die geïnitialiseerd moeten worden zijn: -Aantal rijen = Het aantal rijen waarin het vlak is opgesplitst

-Intervallengte= Het aantal tijdseenheden dat men de simulatie wenst te laten lopen -Constant matrix= 2Xaantalrijenmatrix. De eerste rij staat voor de aankomsten, de tweede rij staat voor de vertrekken. De kolomnummers (knrs) komen overeen met de wachtrijnummers (wrnrs) . Men geeft met een 0 aan dat men een exponentiele verdeling wil. Met een 1 geeft men aan dat men een constante wil. Wanneer men geen aankomsten van buitenaf wil, omdat de rij enkel toegeleverd wordt, dan plaatst men ook een 1 in de constantmatrix. -Toeldeelvector (~toelevering in delen vector)= 1Xaantalrijenmatrix.(knrs~wrnrs). Als een rij toedeelt aan andere rijen volgens een bepaald percentage, dan plaatst men in die kolom een 1. Anders plaatst men een 0. -Toeldeelmat= De rijen van deze matrix staan voor de toeleverende wachtrijen, de kolomnummers staan voor de wachtrijen die toegeleverd worden. Zo plaatst men op de juiste positie het percentage van de wagens dat aan de overeenkomstige rij toebedeeld wordt. Bvb. levert rij 2 toe aan rij 1 en rij 3 met een respectievelijke kans van 0,3 en 0,7, dan ziet de toeldeelmat er als volgt uit indien er niet nog andere rijen toeleveren met percentages;

0 0 0 0,3 0 0,7     0 0 0 

121

-Toeldeelmin= (~toelevering, gedeeltelijk en dit aan de rij met de minste wagens). Dit is ook een matrix. De rijnummers komen weer overeen met de toeleveringsrijen, en de kolomnummers met de toegeleverde rijen. Levert een wachtrij aan aan verschillende rijen, met als criterium dat de leegste rij toegeleverd wordt, dan plaatst men op de overeenkomstige posities (cfr. hierboven) een 1, op de andere plaatsten plaatst men een 0. -Toeleveringsmatrix= aantalrijenXaantalrijen. Wanneer men een 1-op-1-toelevering wil aangeven, dan gebruikt men deze matrix. Wanneer er zulk een toelevering is, dan plaatst men een 1 in de matrix, anders een 0. Het kolomnummer waar men dit plaatst is gelijk aan het nummer van de toeleverende wachtrij. Het rijnummer is gelijk aan het nummer van de toegeleverde wachtrij. Er kan gezegd worden: ‘De kolom levert toe aan de rij.’ Bij een systeem met twee rijen, waar rij 1 toelevert aan rij 2, ziet de toelevermatrix er als volgt uit: 0 0 1 0  

-Lichtmatrix= 2Xaantalrijen. (knrs~wrnrs). Wanneer een rij begrensd wordt door een verkeerslicht, dan kan men in deze matrix de lengtes van het groen en het rood licht interval aangeven. Op de eerste rij zet men het aantal tijdseenheden groen licht, op de tweede rij het aantal tijdseenheden rood licht. Zijn er geen verkeerslichten, dan plaatst men op de eerste rij een willekeurig getal, en op de tweede rij een 0. Dan wordt het immers nooit rood. -Lambdamumatrix= 2Xaantalrijen. (knrs~wrnrs). Hier worden de eigenschappen van de aankomst en vertrekdistributies ingegeven. De distributies kunnen gekenmerkt worden door tussentijd tussen de vertrekken (Sec/wagen). Deze geeft men hier respectievelijk op de eerst en de tweede rij in. Indien men enkel toelevering heeft van andere wachtrijen, dan had men in de constantmatrix reeds een 1 geplaatst. Hier plaats men dan op de eerste rij, nl. de rij van de vertrekken een getal dat minstens 2 maal zo groot is als de intervaltijd. -Gapacceptance= 1Xaantalrijen. (knrs=wrnrs). In de kolommen plaatst men een 1 als de rij een gap-acceptatie rij is. Anders plaatst men een 0.

122

-Minderenderijnummers=dit is een vector waarin de nummers van de verschillende rijen die andere rijen kunnen ‘minderen’ staan. -Geminderdenmatrix=een matrix met op de rij verschillende rijen de wachtrijen die gehinderd worden door de respectievelijke minderende rijen. Mindert bvb. rij 4 de rijen 6 en 8, en staat in de minderenderijnummers wachtrij 4 in kolom 3, dan staat in de geminderdenmatrix op rij 3 de nummers 6 en 8. Je moet de rijen van deze matrix aanvullen, met willekeurige getallen, zodat alle rijen in de matrix even lang zijn. De wachtrij die het meeste rijen hindert zal dus het aantal kolommen van deze matrix bepalen. -Mindermus= een matrix met dezelfde afmetingen als de geminderdenmatrix. Op de overeenkomstige posities staan nu de nieuwe bedieningstijden (sec/wagens) die men zal hebben indien de rij gehinderd wordt. Er staan geen beperkingen op de keuze van deze nieuwe bedieningstijden. -Mindervwn= een matrix met dezelfde afmetingen als de twee vorige. Hierin staan de lengtes die de minderende rijen moeten hebben vooraleer ze zullen minderen. Waar in de geminderdenmatrix de rijen werden aangevuld met willekeurige getallen om de dimensies overeen te laten komen worden nu zulke grote voorwaardes geplaatst dat deze nooit bereikt zullen worden (kies bvb.9999). Voorbeeld: we beschouwen een systeem met 3 wachtrijen. Rij 2 hindert rij 1 wanneer ze 4 auto’s lang is. De bedieningstijd valt hierbij terug tot 10 sec/wagen. Rij 3 hindert rijen 1 en 2 respectievelijk wanneer ze 3 en 5 auto’s lang is.De bedieningstijden worden respectievelijk 12 en 16 sec/wagen.We krijgen dan volgende matrices; Minderenderijnummers=[2 3]

1 X  Geminderdenmatrix=   waarbij X een willekeurig getal is. 1 2 

123

Mindermus=

10 123 12 16   

Mindervwn=

4 9999 3 5  

-Hindermatrix= aantalrijenXaantalrijen. Als een rij een andere rij kan hinderen vullen we een 1 in, anders een 0. Het nummer van de rij die hindert is de kolom waar we dit getal plaatsen. Het nummer van de rij is gelijk aan het wachtrijnummer van de rij die gehinderd wordt. ‘De kolom hindert de rij.’ -Volhindervwnmatrix=aantalrijenXaantalrijen. Op de zonet besproken plaats voor de hinder wordt nu de lengte geplaatst die de hinderende rij moet hebben vooraleer er hinder kan optreden. Op de diagonaal staan de lengtes vanaf dewelke er geen externe toelevering meer zal zijn aan de wachtrij met wachtrijnummer de nummer van de kolom. Bij een systeem met drie rijen, waar rij drie rij 1 hindert vanaf dat ze een lengte 7 heeft worden de hindermatrix en de volhindervwnmatrix respectievelijk:

0 0 1 0 0 0   0 0 0

0 7  9999  9999 0  en  0  0 0 9999

Naast de voorgaande zaken die zelf geïnitialiseerd moeten worden zal het programma op basis van deze gegevens ook al wat zaken initialiseren. Zo worden hier de tijdmat en de tijdm geïnitialiseerd. In de tijdm worden alle tijdstippen van beweging bijgehouden. In de tijdmat wordt enkel bijgehouden wanneer de volgende vertrekken en aankomsten zullen plaatsvinden. Wanneer de body helemaal doorlopen is wordt er weer gekeken welke het laagste getal is in de tijdmat. Dit getal is het tijdstip waarop aangekomen of vertrokken wordt uit de rij. Staat dit getal op de 1e rij van de tijdmat, dan gaat het over een aankomst, anders betreft het een vertrek. De kolom waarin dit tijdstip staat stelt het rijnummer voor. Ook de telmatrix, de label matrices en een debietteller worden hier geïnitialiseerd.

Het aanroepen van de functies 124

WHILE (zolang het kleinste element van de tijdm nog kleiner is als de vooropgetselde intervaltijd zal dit deel van de body doorlopen blijven worden.) Voorop: Dit is een functie die, indien er zich gap-acceptatie rij in het systeem bevinden, voor deze gap-acceptatie rijen al op voorhand berekend wanneer de volgende twee toeleveringen zullen zijn. Met deze functie wordt als het ware al in de toekomst van de gap-acceptatie rij gekeken. Waarvoor de vooropmatrix die wordt teruggegeven door de simulatie zal dienen wordt verder uiteengezet bij de uitleg over de ‘gapteller’-functie. Posmin: In deze functie wordt bepaald op welk tijdstip de volgende aankomst of het volgend vertrek zal plaatsvinden. Ook wordt hier bepaald of het om een aankomst dan wel om een vertrek gaat, en welke rij er zal bewegen (of niet bewegen als ze door iets of iemand gehinderd wordt). Hier wordt er dus zoals eerder reeds uitgelegd gezocht naar het kleinste tijdstip zodat we nu weten welke rij er aan de beurt is. Hinder: Hier worden de rijnummers bepaald die een mogelijke hinder zouden kunnen uitoefenen op de aan de beurt zijnde rij. Parameterfunction: In deze functie wordt er bepaald of een vertrek al dan niet vertrek al dan niet verhinderd zal worden door de verkeerslichten. Een aankomst in een rij kan door verkeerslichten op het eind van deze rij natuurlijk niet verhinderd worden.Ook geeft deze functie reeds de karakteristieke waarde van de distributie van aankomst of vertrek van de aan de beurt zijnde rij. Deze waarde zal later gebruikt worden om de volgende actie van dit rijdeel (aankomst of vertrek) te berekenen.

125

SWITCH: Door dit commando te gebruiken, en verder in de programmatuur steeds zeer algemeen te blijven werken met elv(1) en elv(2), hoeft de rest van de commando’s maar 1 keer geschreven te worden, in plaats van al deze commando’s voor de verschillende rijnummers zo goed als te copy pasten. Dit maakt de body veel overzichtelijker. Zeker wanneer er met vele wachtrijen zal gewerkt worden. If

AANKOMST 32 (als elv(1) = 1, dan hebben we te maken met een aankomst.)

Dit is een deel waarvoor een aankomst een voorwaarde is. Als aan deze voorwaarde voldaan is zal er deze keer bij het doorlopen van de body niet in het else-deel (vertrek) gekomen worden. Volaan: Deze functie gaat na of er nog een externe toelevering mogelijk is aan de ‘rij in actie’. Indien er nog een toelevering mogelijk is wordt in de telmatrix, de matrix waarin de populatie van de verschillende wachtrijen wordt bijgehouden, de teller van de betreffende wachtrij met 1 verhoogd. Dit wordt gedaan door aan de telmatrix 1 rij toe te voegen, waarop dan de teller aangepast wordt. Anders gebeurt er niets met de teller en de telmatrix. Er wordt hier ook in de aankomst labelmatrix een nieuwe aankomst aangegeven. Dit wordt gedaan door op de juiste plaats een nieuw label te zetten, met bijhorende aankomsttijd. Aangezien het in dit deel enkel om externe aankomsten gaat zal het label simpelweg het rijnummer zijn. Else:

VERTREK (als elv(1) = 2, dan hebben we te maken met een vertrek.)

32

In dit deel van de aankomsten worden enkel aankomsten van buiten het systeem (externe aankomsten) beschouwd. De aankomsten in een rij die afkomstig zijn uit andere rijen (interne aankomsten) hangen immers samen met een vertrek uit een andere rij. Aangezien dit vertrek de oorzaak is van de interne aankomst zal deze aankomst onder de sectie vertrek worden behandeld door gebruik te maken van de toeleveringmatrices.

126

Eerst zal er onderzocht worden of er wel een vertrek mogelijk is. De externe voorwaarden voor vertrek zijn dat er geen hinder mag zijn, en dat het licht niet op rood mag staan. De interne voorwaarde voor een vertrek is dat er überhaupt minstens 1 wagen aanwezig moet zijn in de rij. In paramterfunction werd er reeds onderzocht of het licht op rood staat. Dit zit vervat in de variabele kanik. Als deze gelijk is aan 1, dan is het groen licht. Is deze echter nul, dan is het rood. Vollerij: in deze functie wordt nagegaan of er 1 van de rijen die mogelijk voor een hinder kunnen zorgen ook zo lang is dat er daadwerkelijk hinder is. Zoals eerder reeds gezegd kan deze hinder ontstaan doordat een rij dwars voor de uitrijdende rij staat, maar ook doordat de maximale capaciteit van de rij waaraan wordt toegeleverd bereikt is. Indien er zowel groen licht als geen hinder zijn, dan kan er een vertrek plaatsvinden als er zich een wagen in de wachtrij bevindt. Ook dit moet gecheckt worden, door in de telmatrix van de betreffende rij te kijken of de teller groter is dan 0. Is dit niet het geval, of is aan 1 van de twee vorige voorwaarden niet voldaan, dan is er geen vertrek en wordt het else-deel van de if-else lus niet verder doorlopen. Indien de teller groter is als 0, en er dus een vertrek kan plaatsvinden, dan wordt deze teller meteen met 1 verlaagd. De populatie van de wachtrij daalt. Nu we er zeker van zijn dat er een vertrek plaatsvindt, kan er nagegaan worden of de vertrekkende wagen aan een andere wachtrij wordt toegeleverd. Toeleveringen3: In deze grote functie wordt nagegaan aan welke rijen, en op welke wijze (1op-1 toelevering, 1-op-m-toelevering volgens kans of aan de leegste rij) de vertrekkende wagen toegeleverd wordt. In de functie worden meteen ook de tellers van de desbetreffende wachtrijen in de telmatmatrix verhoogd, en dit volgens het juiste criterium. Bij de 1-op-1 toelevering wordt de toegeleverde wachtrij haar teller zonder meer verhoogd. Bij een 1-op-m toelevering moet er of nog nagegaan worden welke van alle toeleverbare rijen de leegste is (door de tellers in de telmat te vergelijken), of moet er nog uit een uniforme kansverdeling geloot worden. Nadat dit gebeurd is zal ook hier de teller in de telmatmatrix verhoogd worden.

127

De functie geeft naast een aangepaste telmat ook nog de vector toeleveringsrijen terug. Het eerste element van deze vector is een nul, de volgende elementen zijn de nummers van de toegeleverde rijen33. Dit is nodig om later op een correcte wijze de tijdmatrix aan te kunnen passen. Nu al de telmatrices verhoogd zijn, en er geweten is welke rij aan welke rij toelevert, kunnen ook de labelmatrices aangepast worden. Er worden nieuwe labels aangemaakt, en op de juiste plaatsten (hiertoe worden een debiet en een aankomstvector bijgehouden) in de vertrek labelmatrix aangebracht. Indien er ook een toelevering was, worden er ook in de aankomst labelmatrix de nodige aanpassingen gemaakt. Ook de tijdstippen worden meteen aangepast in de labelmatrices. END Dit is het einde van de If (aankomst) … Else (vertrek)… End-constructie. Nu moeten nog de tijdmatrices worden aangepast. In de tijdm wordt er bijgehouden op welke tijdstippen de respectievelijke acties of bewegingen plaatsvonden. Ook de tijdmat dient nog aangepast worden aan het eind van de while-lus. Uit deze tijdmat kan dan afgeleid worden of de vooropgestelde intervallengte nog niet overschreden is, en welke rij als volgende zal bewegen. Tijdsinc: De functie tijdsinc geeft het tijdsincrement weer waarmee de tijdm zal verhoogd worden. Tijdstoelevering1: In deze functie worden de tijdm en de tijdmat beiden aangepast. In de tijdmat wordt het tijdstip waarop de beweging die in het vorig deel van het programma gesimuleerd plaatsvond bijgevoegd. Dit gebeurt op exact dezelfde rij, en in exact dezelfde kolom als waar de telmat werd verhoogd of verlaagd. Zo kan men door deze matrices naast elkaar te leggen direct aflezen op welk moment welke verplaatsing plaatsvond. Het tijdstip waarop de toegeleverde rijen hun wagen ontvangen wordt ook in deze functie bepaald. Eigenlijk heeft dit verschil meer een symbolische betekenis. Er wordt namelijk voor elke beweging een nieuwe rij gecreëerd.

33

Meestal is dit maar 1 rijnummer. In de tekst is er echter vermeld dat men bij een 1-op-1 toelevering dezelfde wagen ook aan meerdere rijen kan toeleveren om zo verschillende, onafhankelijke systemen met elkaar te vergelijken.

128

Zelfs wanneer de verplaatsing uiteindelijk verhinderd werd, wordt dit toch aangegeven in de tijdmatrix. De telmatrix krijgt er dan ook een rij bij, maar deze rij is dezelfde als de voorgaande. Omdat een toelevering in het programma beschouwd wordt als een onderdeel van een vertrek uit een andere rij wordt deze toelevering in de tel- en tijdmatrices op dezelfde lijn weergegeven. Gapteller: In de vooropmatrix zitten zoals eerder al vermeld de waarden voor de volgende aankomsten in de gap acceptatie rij. In deze gapteller zullen we controleren of de volgende aankomst verder afgelegen is als de kritische gap. Indien dit zo is, mag de teller van de gap acceptatie rij op 0 geplaatst worden, waardoor deze rij geen hinder meer uitoefent. De gap is immers groot genoeg, zodat het voertuig niet gehinderd wordt. Dit lijkt misschien nogal raar, maar het heeft alles te maken met het feit dat de gap-acceptatie rij eigenlijk geen fysische tegenhanger heeft. Bij gap-acceptantie wordt één wagen namelijk gehinderd door een andere wagen die er nog niet is, eigenlijk door een opening tussen twee wagens. In de simulatie kunnen wagens pas weer een bepaalde tijd nadat de hinder weggevallen vertrekken ( cfr. reactiesnelheid,…). De simulatie beschouwt de kritische gap ook als een hinder. Nadat deze kritische gap verlopen is valt de hinder weg. Volgens de redenering zal er nu pas gereageerd en vertrokken worden. Dat is natuurlijk niet juist want wanneer de gap veel groter is, is de chauffeur al veel langer bezig met te reageren, op te trekken en te vertrekken. Er komt dus heel wat doordacht geknutsel met de wachtrijen aan te pas om dit goed te modelleren. Gaphinder: Deze functie is speciaal ingebouwd om de wagens die gehinderd worden door een gap-acceptatie rij te laten vertrekken zoals eerder in de thesistekst werd uitgelegd. Minderfunction: Deze functie is speciaal geschreven opdat men bij een mindering precies zou kunnen kiezen welke nieuwe bedieningstijd de wachtrij zal kennen. Wanneer deze ‘minder’ wegvalt moet ook ogenblikkelijk weer overgeschakeld worden op de oorspronkelijke bedieningstijd. Lange tijd werd in de simulatie gewerkt met bedieningstijden die een veelvoud moesten zijn van de oorspronkelijke bedieningstijd, en waarbij men niet plots weer kon overschakelen naar de oorspronkelijke intensiteiten. Door deze functie te implementeren worden toch merkelijk verschillende resultaten bekomen. END

129

Hier kent de while-lus zijn einde. Wanneer nu nog verder gegaan wordt in de body zijn reeds alle verkeersprocessen gesimuleerd. Alle bewegingen zijn daarbij bijgehouden in de labelmatrices, de telmatrix en de tijdmatrices. Nu kunnen verschillende nog verschillende functies aangeroepen worden om kenmerken zoals de gemiddelde wachtrijlengtes, de kans dat bepaalde wachtrijlengtes zich voordoen, gemiddelde en maximale vertragingen,… te berekenen. Deze functies zullen in het volgende deel besproken worden. END

Herhalingen en parameterstudies In de vorige twee paragrafen werd er besproken welke zaken er geïnitialiseerd moeten worden om een verkeerssituatie te kunnen modelleren, en tevens werd er besproken hoe de eigenlijke simulatie dan in zijn werk ging. We kunnen dit proces zeer kort samenvatten als

Herhaling Initialisatie While (tijd < intervallengte) Simulatie End. Om tot nauwkeurigere resultaten te komen zal de simulatie meermaals moeten doorlopen worden. Dit kan door de while-lus te nesten in een for-lus die werkt met een teller; -Initialisatie For (Teller= 1:10) -While -End while -resultaten van 1 simulatie opslaan in een matrix waar uiteindelijk alle resultaten in verzameld worden End for Zo zal de simulatie 10 keer doorlopen worden.

130

Parameterstudie Indien men geïnteresseerd is in wat er gebeurd wanneer men een bepaalde parameter laat variëren terwijl de andere randvoorwaarden gelijk blijven, dan moet men deze parameter schrijven als een (constant getal X variabele). Door dan de variabele steeds aan te passen kan men een parameterstudie uitvoeren. Wil men bvb. de invloed van de saturatiegraad nagaan, dan zou men de aankomstintensiteit kunnen laten variëren. For ( variabele=0:0.1:1 )34 Initialisatie

waarbij aankomstintensiteit = maxintensiteitXvariabele

While-lus Resultaten horende bij die bepaalde intensiteit opslaan in matrix End For Zo zou men de intensiteit kunnen laten variëren van 10 tot 100% van de maximaal verwerkbare capaciteit. Door herhaling en parameterstudie te combineren zou men bvb. bij elke waarde van de aankomstintensiteit de simulatie 10 maal kunnen doorlopen, en verder met de gemiddelde waardes van de resultaten horende bij elke intensiteit verder rekenen. De resultaten zullen er nauwkeuriger en betrouwbaarder door worden. Natuurlijk wordt de simulatie dan niet 1 maar 100 maal doorlopen, wat wel meer rekenkracht vraagt.

34

De variabele zal dan lineair varieren van 0 tot 1, en dit met tussenstapjes van 0,1. De variabele wordt dus achtereenvolgens 0 0,1 0,2 0,3 … 0,9 en 1.

131

De functies ter analyse van de resultaten

Naast de functies die geschreven zijn om de simulatie uit te voeren zijn ook een heel aantal functies geschreven die dienen om de gegevens die gegenereerd werden met de simulatie om te zetten in bruikbare resultaten. Gemiddelde: Deze functie geeft voor de verschillende wachtrijen de gemiddelde tijd dat wagens er in gespendeerd hebben. Wanneer de saturatiegraad hoger is als 1 zal de wachtrijlengte blijven groeien. De gemiddelde vertraging is dan niet alleen functie van de aankomst- en vertrekkarakteristieken, maar eveneens van het beschouwde tijdsinterval. Dit werd in het hoofdstuk verificatie ook al aangegeven waar de gemiddelde vertragingen werden berekend voor een drukte-intervallen met verschillende lengtes. De functie wordt vooral gebruikt om de wachtrijlengtes aan verkeerslichten grafisch weer te geven. Kijktruk: Omdat in de tijd en de telmatrices voor elke beweging een nieuwe rij aangemaakt wordt het onoverzichtelijk om uit deze matrices de bewegingen in een bepaalde rij te analyseren. De functie kijktruk geeft enkel het aantal auto’s en de bijhorende tijdstippen waarop er in een bepaalde rij bewogen werd weer. Zo kan er makkelijk afgelezen worden wat de tendensen in aankomst en vertrekpatronen zijn. Kijktrukmin: Deze functie doet ongeveer hetzelfde als de functie kijktruk. Er worden echter enkel de tijdstippen waarop er een vertrek was weergegeven, en de bijhorende verblijvende populatie. Door de lengte van de matrix die wordt teruggegeven door deze functie te berekenen heeft men meteen de capaciteit van de bijhorende rij. Labeldelay: De labeldelayfunctie is waarschijnlijk de belangrijkste analysefunctie. Met deze functie worden de vertragingen berekend die een wagen oploopt in de verschillende rijen van een traject dat hij volgt. Bovendien kan met deze functie op een eenvoudige wijze de capaciteit berekend worden. Aan deze functie moet men als bekenden de labelinmat, de labeluitmat, het trajectlabel van het volledige traject dat men wil analyseren, en het aantal rijen meegeven. Er zijn ook andere functies die de vertragingen kunnen berekenen, maar deze functie is speciaal omdat er hier niet op voorhand geweten hoeft te zijn welke wagens welk

132

traject gaan volgen. Via heel het labelmatsysteem en via de labeldelayfunctie kan achteraf achterhaald worden waar de wagens welke tijd spendeerden op het kruispuntvlak. Ook kan met deze functie de totale vertraging van toekomst in het systeem tot bij het verlaten van het systeem berekend worden voor alle wagens die een bepaald traject volgen. Naast de vertragingen kunnen met deze functie ook de capaciteit van het kruispunt berekend worden. Verder in deze bijlage is de werking van het labelsysteem gedetailleerder uitgewerkt. De capaciteit dan niets minder als het aantal rijen in de labelmatuit van de laatste rij op het traject, verminderd met 2*’aantalrijen’. Pk: Deze functie berekent voor een bepaalde rij de verschillende kansen om tijdens de beschouwde intervallengte bepaalde wachtrijlengtes aan te treffen. Intro/Outro: Door eenvoudigweg in een vector (intro) bij te houden hoeveel wagens er via de verschillende rijen het kruispuntvlak oprijden, en door in een andere vector (outro) bij te houden hoeveel wagens er weer afrijden kan makkelijk de capaciteit over het kruispunt berekend worden. Wanneer verschillende stromen allen een verschillende ‘in- en uitgang’ tot het kruispunt hebben kunnen uit deze vectoren ook de intensiteiten van de verschillende stromen berekend worden. Systeemtijd: Deze functie berekent de gemiddelde opgelopen vertraging. Wanneer deze twee rijen dezelfde genomen worden wordt voor elke wagen de tijd gespendeerd in deze rij berekend. Voor een systeem van 1-op-1-toeleveringen kan er via deze functie ook de gemiddelde vertraging berekend worden. Er moet hier duidelijk op gewezen worden dat de nodige omzichtigheid geboden dient te worden wanneer deze functie gebruikt wordt. Stel dat het beschouwde tijdsinterval op 100 vastgelegd wordt.

Een eerste auto komt aan na 5 seconden, een tweede na 10 een derde na 15,… Stel dat er een zeer plotse congestie optreedt waardoor enkel wagen 1 en 2 het systeem kunnen uitrijden, en dit op tijdstip 15 en tijdstip 20. Er zou dan kunnen afgeleid worden dat de gemiddelde vertraging 10 seconden is. Dit is echter niet het geval. Er zal in de simulatie dan een teller geïmplementeerd moeten worden die op het eind van het tijdsinterval het aantal auto’s meet die zijn binnengekomen. De simulatie zal dan moeten blijven lopen tot wanneer al deze

133

wagens ook het systeem weer zijn buiten gereden. Zo kan men de werkelijke gemiddelde vertraging berekenen. Systeemtijdzp: 1 van de inputparameters voor systeemtijd is het aantal wagens dat men wenst te beschouwen bij het berekenen van de systeemtijd. Wanneer dit aantal gelijk is aan het aantal wagens dat binnen een bepaald tijdsinterval een wachtrij kan binnenrijden, dan is dit aantal op voorhand vaak niet gekend35. Men zou dit manueel kunnen ingeven. Wanneer er echter een parameterstudie wordt gedaan, en men beroep doet op herhalingen zoals eerder uiteengezet, dan kan men dit niet meer manueel doen. Men gebruikt dan de functie Systeemtijdzp, een functie die zelf zal berekenen hoeveel wagens er genomen moeten worden.

Het labelsysteem

Wanneer het individuele traject dat elke wagen aflegt op voorhand niet exact kan worden bepaald, dan kan men niet zonder meer de verschillende vertragingen die de voertuigen hebben opgelopen uit de tel- en tijdmatrices aflezen. Het blijft nog wel mogelijk om de capaciteit van het kruispunt te berekenen, en om daaruit de gemiddelde vertragingen te berekenen. Meestal volstaan deze gegevens, al zou men ook geïnteresseerd kunnen zijn in de vertraging die elk individueel voertuig heeft opgelopen. Om deze berekeningen in verband met de vertragingen ook in deze gevallen mogelijk te maken is er een labelsysteem ontwikkeld. In dit labelsysteem wordt het traject dat elke wagen heeft afgelegd, samen met de tijden die de verschillende voertuigen op de verschillende kruispuntsecties hebben doorgebracht, bijgehouden in 2 matrices, de aankomst en vertrek labelmatrix. In de volgende twee tabellen is een deel van deze aankomst en vertrek labelmatrices weergegeven voor een simulatie van de vereenvoudigde situatie uit figuur 7.

35

Omdat dit aantal inherent afhankelijk is van de verkeersafwikkeling, en dus van de simulatie zelf.

134

AANKOMST Labelmatrix

Rij 1 Tijd 0

Label 0

Rij 2 Tijd 0

Rij 3

Label 0

Tijd 0

Label 0

Rij 4 Tijd Label 0

0

0,2763

1.0000 2,7752 12.0000

0,8567 13.0000

1,8714 134

0,7525

1.0000 4,3988 12.0000

2,3982 13.0000

3,1774 134

2,0873

1.0000 5,2174 12.0000

4,6591 13.0000

3,2746 124

3,8574

1.0000 8,0155 12.0000

4,9816 13.0000

4,7666 134

4,2095

1.0000 9,4945 12.0000

14,6059 13.0000

5,8383 134

4,8844

1.0000 16,0741 12.0000 15,2285 13.0000

6,7161 124

5,0925

1.0000 16,5219 12.0000

21,2824 13.0000

8,1504 124

5,5032

1.0000 17,0193 12.0000

22,6008 13.0000

8,2376 124

8,8387

1.0000 17,6632 12.0000

22,7066 13.0000

9,7160 124

12,4552

1.0000 20,1071 12.0000

30,7992 13.0000 16,8781 124

Tabel 28: Deel van een aankomst labelmatrix

In de aankomst labelmatrix is voor elke wachtrij met nummer N aangegeven in kolom (2*N-1) op welk tijdstip de aankomst gebeurde, en in kolom 2*N is het bijhorende label weergegeven. Een label bestaat uit een opeenvolging van cijfers. Het eerste cijfer is het nummer van de eerste wachtrij waarin het voertuig terecht is gekomen. Het volgende cijfer is het nummer van de tweede wachtrij en zo verder… Vermits alle wagens hier het systeem binnenkomen via rij 1, hebben alle wagens in rij 1 het label 1. Uit de labelkolom van rij 4 kan direct worden afgelezen welk traject de wagen die is aangekomen heeft afgelegd. Label 124 en 134 worden daar immers aangetroffen. De vertrek labelmatrix ziet er analoog uit , al is de opbouw van het label iets anders.

135

VERTREK LABELMAT

Rij 1 Tijd 0

Rij 2

Label 0

Tijd 0

Rij 3

Label 0

Rij 4

Tijd

Label

Tijd Label

0

0

0

0

0.856

13,000 3,274 124,000

1,870

134,000

3,567

1340

2,397

13,000 6,715 124,000

3,176

134,000

4,228

1340

2,774

12,000 8,149 124,000

4,766

134,000

5,872

1240

4,398

12,000 8,237 124,000

5,837

134,000

6,635

1340

4,658

13,000 9,715 124,000

17,179 134,000

7,056

1340

4,981

13,000 16,877 124,000

23,066 134,000

8,041

1240

5,216

12,000 29,281 124,000

23,505 134,000

9,800

1240

8,015

12,000 29,399 124,000

28,970 134,000 10,553 1240

9,493

12,000 30,009 124,000

30,476 134,000 10,874 1240

14,605

13,000 31,612 124,000

33,784 134,000 17,113 1240

Tabel 29: Deel van een vertrek labelmatrix

De laatste twee cijfers van het label staan respectievelijk voor de het rijnummer van de rij waaruit vertrokken wordt, en naar welke rij er wordt vertrokken. Zo betekent het label 124 in de vertrekmatrix dat een wagen vertrekt vanuit rij 2 naar rij 4. Deze wagen bevond zich eerder al in de rij met nummer 1. Weer kan tevens het tijdstip waarop vertrokken wordt afgelezen worden. Dankzij het gehanteerde FIFO-systeem kunnen beide matrices gecombineerd worden om zo de vertragingen te berekenen voor de verschillende auto’s die verschillende trajecten hebben afgelegd. Als voorbeeld wordt nu de tijd, die de eerste 3 wagens die het traject 1-2-4 genomen hebben in het systeem gespendeerd hebben, berekend. Hiertoe kijkt men eerst in de vertrekmatrix in de kolommen horende bij de eerste wachtrij die de voertuigen hebben doorkruist. Dit is het eerste cijfer in de trajectkeuze 1-2-4, en is hier 1. Aangezien de volgende wachtrij nummer twee is, wordt gezocht naar de eerste drie labels 12. Deze worden teruggevonden op rij 4,5 en 8. Omwille van het first-in-first-out systeem moeten de aankomsttijden van deze drie wagens ook op de rijen36 4,5 en 8 gezocht worden, maar dan wel in de aankomstmatrix. In de vertreklabelmatrix van wachtrij 2 zijn alle labels gelijk aan 124. 36

Aangezien men de aankomsttijd in wachtrij 1 zoekt, moet er vanzelfsprekend enkel gezocht worden in de kolom horende bij wachtrij 1, nl. (2*1-1) . Er moet dus in kolom 1 gezocht worden.

136

Daarom worden hier de eerste drie37 tijden afgelezen. Door uiteindelijk het verschil tussen vertrek- en aankomsttijden te maken, kan de tijd, gespendeerd in elke rij berekend worden. Door deze tijden dan te sommeren komt men aan de totaal gespendeerde tijd. Deze is gelijk aan het verschil tussen het tijdstip waarop de auto het systeem via rij 4 verlaat en het tijdstip waarop de auto in rij 1 aankomt. Tijd in rij1

Tijd in rij2

Tijd in rij 4

auto1 auto2 auto3

auto1 auto2 auto3

auto1 auto2 auto3

Aankomst

2,087

3,857

5,094

2,775 4,399 5,217

3,275 6,716 8,150

Vertrek

2,774

4,398

5,216

3,274 6,715 8,149

5,872 8,041 9,800

Tijd in rij

0,687

0,541

0,122

0,499 2,316 2,932

2,597 1,325 1,650

Tabel 30: Berekenen van vertraging uit labelmatrices

De wagens spenderen respectievelijk 3,783 , 4,184 en 4,706 tijdseenheden in het systeem. Het berekenen van vertragingen wanneer het traject van de voertuigen op voorhand nog niet vastligt, wordt door dit labelsysteem sterk vereenvoudigd. Ook maakt het systeem het mogelijk dat individuele vertragingen worden berekend in plaats van steeds met gemiddelde vertragingen te moeten werken. Wanneer de simulatie verder uitgebouwd zou worden met een Graphical User Interface maakt dit labelsysteem het mogelijk om op een eenvoudige wijze de verschillende wagens te traceren. Deze wagens weergeven op het scherm is dan nog maar een kleine moeite. Omdat er met dit labelsysteem maar plaats is voorzien voor 10 wachtrijen (0-9) werd een analoge labeling uitgedacht met plaats die trajecten doorheen wachtrijen met hogere nummering kunnen bijhouden. De labels worden getallen met ook cijfers na de komma. De getallen voor de komma stellen dan de eenheden voor, terwijl de getallen na de komma op de tientallen duiden. De getallen op de eerste plaats voor en na de komma vormen een koppel. De getallen op de tweede, derde,… plaats voor en na de komma vormen zo ook allen een koppel. Gebruik makende van deze labeltechniek kunnen er tot 99 rijen gelabeld worden. 37

Mocht hier nu blijken dat 1 van de eerste drie labels verschilt van 124, omdat er bvb. nog naar een vijfde rij zou kunnen gereden worden, dan moet men terug gaan naar de vertrekmatrix van rij 1 om een vierde label 12 zoeken. Bij grote systemen kan hiermee veel tijd verloren worden. Daarom is het vaak sneller op meteen alle labels 12 mee te nemen, en de labels die achteraf blijken te horen bij auto’s van een ander traject pas dan te verwijderen.

137

Tenslotte wordt er nog een verduidelijkend voorbeeldje meegegeven. Voorbeeld: Label 321,110 duidt op een traject van rij (0x10+3) naar (1*10+2) naar (1*10+1). Of dus het traject 3-12-11. Label 47124,30275 duidt zo op traject 54-77-21-2-34.

138

Bijlage B: Andere Markov-rijen

Net zoals in de thesistekst voor de het M/M/1 wachtrijsysteem de resultaten uit de theorie vergeleken worden met resultaten uit de simulatie zal dit in deze bijlage ook gebeuren voor de M/M/m/∞, het M/D/1, het M/M/1/k en het M/M/m/m wachtrijsystemen. Ook hier zal de simulatie zeer precieze resultaten weergeven. M/M/m/∞

Na het M/M/1 systeem is het een logische stap om M/M/m systeem te gaan bestuderen. In plaats van 1 wachtrij of server beschikt het systeem nu over m servers. Het is ook relevant de prestaties van de simulatie bij deze systemen na te gaan. In de verkeerskunde zou een M/M/1-systeem immers een weg met 1 rijstrook kunnen voorstellen, terwijl een M/M/3-systeem bvb. een rijbaan met 3 rijstroken voorstelt indien de verschillende baanvakken als verschillende servers gemodelleerd worden. In tegenstelling met het M/M/1 systeem zal de graad van bediening verhogen met een toenemende populatie. De maximale bedieningsintensiteit zal men kennen wanneer de populatie gelijk is aan of groter is dan m. Dan zal deze gelijk zijn aan (m. µ 38). De overgangintensiteiten zijn weergegeven in onderstaande figuur.

λk = λ voor k=0,1,2,… µk = min [k.µ, m.µ]

38

Wagens per seconde

139

Er kan op analoge wijze als bij het M/M/1-systeem te werk gegaan worden om Pk te berekenen. Na wat rekenwerk is het resultaat:

De kans dat iemand aankomt en niet direct bedient wordt is de som van Pk met k groter dan m. Deze kans wordt weergegeven door de Erlang C formule.

Er is in de simulatie een functie geprogrammeerd om deze kansen in functie van ρ en het aantal servers te berekenen. Hieronder worden de resultaten van enkele simulaties weergegeven. In tabel 31 worden de resultaten weergegeven voor een systeem met twee servers, een bedieningsintensiteit voor elk van beide servers gelijk aan 1 en een totale aankomstintensiteit van 1. Derhalve is ρ gelijk aan 0.5 (

λ ). De simulatie is vijf maal doorlopen, en er wordt gerekend met de gemiddelde waarden. m.µ populatie

6

7

0,0479 0,0255

0,0123

0,0066

0,0033 0,0013

0,0927

0,0484 0,0243

0,0121

0,0055

0,0025 0,0012

0,1873

0,0899

0,0442 0,0237

0,0111

0,0044

0,0022 0,0013

0,3146

0,1786

0,0944

0,0499 0,0279

0,0139

0,0059

0,0030 0,0013

0,3264

0,1792

0,0889

0,0443 0,0225

0,0094

0,0059

0,0032 0,0013

0,3180

0,1805

0,0919

0,0469 0,0248

0,011

0,0057

0,0028 0,0013

St. dev.

0,0055 0,0053

0,0038

0,0024

0,0026

0,0021

0,0017

0,0008

0,0005 0,0001

theorie

0,3333 0,3333

0,1667

0,0833

0,0417

0,0208

0,0104

0,0052

0,0026 0,0013

Pk

gemiddelde

0

1

2

3

0,3110

0,3195

0,1785

0,0937

0,3177

0,3159

0,1788

0,3215

0,3133

0,3080 0,3180 0,3152

4

5

8

9

Absolute fout

0,0181 0,0154 -0,0138 -0,0086 -0,0053 -0,0039 -0,0013 -0,0005 -0,0002

0,0000

theorie-gem relatieve

5,74

4,84

7,65

9,34

11,21

15,93

11,28

8,38

fout (%)

Tabel 31: Resultaten berekeningen M/M/m/∞-rij met simulatie

140

8,05

2,25

De relatieve fout op de kans om een bepaalde toestand aan te treffen ligt voor de toestanden met grootste waarschijnlijkheid rond de vijf procent. Voor een zelfde aantal simulaties met een zelfde looptijd, en met een zelfde saturatiegraad zijn de fouten op de kans om een bepaalde populatie aan te treffen groter als bij het M/M/1-systeem. Dit omdat de convergentiesnelheid naar de exacte oplossing voor het M/M/m-systeem kleiner is. Net zoals bij het M/M/1 systeem hangen de resultaten af van de simulatielooptijd. Er moet gewezen worden op het feit dat er zich bij hoge saturatiegraden toestanden met een zeer grote populatie kunnen voordoen. Het zal echter zeer lang duren vooraleer deze toestanden bereikt worden. Zeker in het M/M/m systeem is het daarom noodzakelijk om voldoende grote simulatielooptijden te gebruiken om de resultaten uit de theorie goed genoeg te benaderen. De analytische resultaten zijn immers deze die verkregen worden wanneer de procestijd naar oneindig gaat. De convergentie naar de exacte oplossing zal sneller gaan bij lagere saturatiegraden, omdat de waarschijnlijkheid om grote populaties aan te treffen veel kleiner is. Er is dus een kleiner spectrum mogelijke populaties. Om dit aan te tonen wordt in tabel39 32 de vorige simulatie herhaald, maar nu met een saturatiegraad van 0,1. De interarrivaltijd wordt daartoe van 1 naar 5 tijdseenheden verhoogd.

populatie

2

3

4

5

6

7

8

9

0,8241 0,1562

0,0179

0,0016

0,0001

0,0001

0

0

0

0

0,8279

0,1558

0,0144

0,0016

0,0003

0

0

0

0

0

0,8205

0,1599

0,0179

0,0016

0

0

0

0

0

0

0,8134

0,1654

0,0186

0,0017

0,0007 0,0001

0

0

0

0

0,8151

0,1660

0,0169

0,0017

0,0003

0

0

0

0

gemiddelde

0,8202 0,1607

0,0171

0,0016

0,0003

0,0000

0

0

0

0

St. dev.

0,0061 0,0049

0,0016

0,0001

0,0003

0,0001

0

0

0

0

Pk

0

1

39

0

Er is een verschil tussen 0 en 0,0000 als resultaat in de tabel. 0 betekent dat het gevonden resultaat echt 0 is. 0,0000 betekent dat het resultaat verschillende is van nul, maar zeer klein. Matlab rond het af naar 0.

141

theorie

0,8182 0,1636

Absolute

-0,0020

0,0164

0,0016

0,0002

0,0000

0

0

0

0

0,0029 -0,0008 0,0000 -0,0001

0,0000

0

0

0

0

1,80

296,13

fout theorie-gem relatieve

0,25

4,73

0,10

71,19

0

0

0

0

fout (%)

Tabel 32: Invloed van saturatiegraad op convergentiesnelheid simulatieresultaten M/M/m/∞

Looptijd 10000 rho:0.1 servers:2 mu’s:1

De resultaten komen nu al zeer dicht tegen de analytische resultaten te liggen. Wanneer de absolute fout echter zeer klein is kan de relatieve fout natuurlijk wel zeer groot worden. Daar moet dan echter geen aandacht aan besteed worden. Er kan weer geconcludeerd worden dat wanneer het tijdsinterval maar groot genoeg wordt gekozen, de benaderingen steeds beter worden.

M/D/1 Dit systeem wordt gekenmerkt door exponentieel verdeelde aankomsten, maar een constante bedieningstijd. Er doen zich vele verkeerssituaties voor waar auto’s aan een constant tempo worden doorgelaten. Zo wordt bvb. de opvolgingstijd tussen twee auto’s die een hoofdbaan oprijden (follow-up tijd) vaak constant verondersteld. Daarom is het ook hier interessant om na te gaan hoe nauwkeurig het model hier de theorie kan benaderen. Bovendien zullen goede resultaten een goede indicatie zijn dat het model ook met andere verdelingen als de exponentiële verdeling betrouwbare resultaten oplevert. De formules voor het gemiddeld aantal gebruikers en hun gemiddelde vertraging worden namelijk uit de algemene formuleringen voor een M/G/1-wachtrij afgeleid.

142

De gemiddelde populatie in het systeem wordt gegeven door de Pollaczek-Khinchin gemiddelde waarde formule:

q =ρ+

ρ ^ (2(1 + C B2 )) 2.(1 − ρ )

waarbij CB de coëfficient van de variatie van de servicetijd wordt genoemd;

σ B2 1

µ2

De variantie van een constante bedieningstijd is echter 0 waardoor CB gelijk wordt aan 0. q wordt daardoor gelijk aan 5.67 . De resultaten van 5 simulaties gedurende een tijdsinterval 10000 van een M/D/1-systeem met een constante bedieningstijd 1 en een exponentieel verdeelde aankomsttijd met een gemiddelde tijd tussen twee aankomsten van 2 tijdseenheden geven voor de tijd gespendeerd in het systeem respectievelijke resultaten Tijd in systeem

1,4848

Gemiddelde tijd in systeem

1,4854

1,4773

1,4820

1,4974

1,4853

De theorie verwacht een gemiddelde tijd in het systeem van 1,5. De absolute fout is 0.0146 bedraagt dus 0.97 procent van de verwachte waarde. populatie

4

5

6

0,1274 0,0375

0,0083

0,0023

0,0006

0,0001 0,0000 0,0000

0,1215 0,0363

0,0093

0,0030

0,0006

0,0000 0,0000 0,0000

0,3315

0,1198 0,0365

0,0107

0,0036

0,0006

0,0001 0,0000 0,0000

0,4861

0,3322

0,1295 0,0372

0,0104

0,0031

0,0012

0,0003 0,0000 0,0000

0,4907

0,3303

0,1274 0,0382

0,0111

0,0017

0,0006

0,0001 0,0000 0,0000

gemiddelde

0,4961

0,3281

0,1251 0,0371

0,0100

0,0027

0,0007

0,0001 0,0000 0,0000

Pk x K

0

0,3281

0,2502 0,1114

0,0399 0,0137

0,0043

0,0009 0,0001 0,0000

Pk

0

1

0,5032

0,3204

0,5032

0,3261

0,4973

2

3

7

8

Tabel 33: Berkening populatiekans M/D/1-rij met simulatie: resultaten

143

9

Door de verschillende (Pk x K) te sommeren wordt de gemiddelde populatiegrootte verkregen. Deze is gelijk aan 0.7486, terwijl de theorie 0.75 verwacht. De absolute afwijking van de theorie is dus 0.0014, wat een relatieve afwijking van nog geen 2 promille betekent.

We weten dat N = q .Uit Little’s vergelijking kan dan weer de gemiddelde vertraging opgelopen in het systeem berekend worden. Een systeem met een constante bedieningstijd zal dus voor een halvering van de vertraging zorgen in vergelijking met een exponentieel verdeelde bedieningstijd. Verder dient er nog opgemerkt te worden dat voor eenzelfde gemiddelde bedienings- en aankomstintesiteit de gemiddelde verwachte populatie bij een constante vertrekken 0,75 is terwijl bij een exponentieel verdeelde distributie van de vertrekken een gemiddelde populatie van 1 wordt verwacht.

M/M/1/k Na het bestuderen van systemen met meerdere servers of met een andere distributie is het zeer interessant om toch nog eens terug te grijpen naar de M/M/1 wachtrij, maar nu met een beperkte capaciteit. De relevantie van dit soort rijen is duidelijk. In de verkeerskundige praktijk heeft namelijk geen enkele wachtrij een oneindige capaciteit, en zeer veel verkeersproblemen ontstaan

net door dit tekort aan capaciteit. Dit is ondermeer het geval bij het fenomeen van spillback, waarbij een rij wachtende auto’s aan één kruispunt andere auto’s het afrijden van een nabijgelegen kruispunt verhindert.

In dit geval zal de gemiddelde bedieningstijd dus constant blijven, maar de aankomstfrequentie wordt gelijk aan nul wanneer de populatiegrootte gelijk is aan k. Dan moet er zich namelijk eerst een vertrek voordoen vooraleer er zich nieuwe wagens in de file kunnen bijvoegen.

144

In de onderstaande tabel zijn de resultaten samengevat voor een M/M/1/3 wachtrijsysteem waarbij µ = 1 wagen/sec en ρ = 0,5. De lengte van het beschouwde simulatie-interval is 3000 seconden. Er werden 5 simulaties gedaan populatie

0

1

2

3

4 …

∞

Pk

0,5440

0,2594

0,1262

0,0704

0 …

0

0,5387

0,2702

0,1296

0,0615

0 …

0

0,5534

0,2633

0,1172

0,0661

0 …

0

0,5499

0,2563

0,1231

0,0707

0 …

0

0,5206

0,2669

0,1396

0,0729

0 …

0

gemiddelde

0,5413

0,2632

0,1271

0,0683

0 …

0

St. dev.

0,0129

0,0056

0,0083

0,0045

0 …

0

theorie

0,5333

0,2667

0,1333

0,0667

0 …

0

-0,0080

0,0035

0,0062

-0,0017

0 …

0

1,30

4,64

2,51

0 …

0

Absolute fout theorie-gem relatieve

1,50

fout (%)

Tabel 34: Resultaten simulaties M/M/1/k-rij. Vergelijking met theorie, deel1

Bij K =3

looptijd 3000

mu 1 rho 0.5 simulaties 5

Weer worden reeds zeer goede resultaten bekomen bij een beperkt aantal simulaties.

145

In de onderstaande tabel zijn de resultaten samengevat voor een M/M/1/3 wachtrijsysteem waarbij µ = 1 wagen/sec en ρ = 0,5. De lengte van het beschouwde simulatie-interval is nu 500 seconden. Er werden nu 50 simulaties gedaan. populatie

0

1

2

3

0,5384

0,2660

0,1314

0,0642

0 …

0

St. dev.

0,0392

0,0207

0,0219

0,0172

0 …

0

theorie

0,5333

0,2667

0,1333

0,0667

0 …

0

-0,0051

0,0007

0,0019

0,0025

0 …

0

0,96

0,25

0 …

0

Pk

4 …

∞

gemiddeld

Absolute fout theorie-gem relatieve

1,45

3,76 …

fout (%)

Tabel 35: Resultaten simulaties M/M/1/k-rij. Vergelijking met theorie, deel 2

Bij dezelfde eigenschappen voor het systeem maar bij een looptijd van 500 tijdseenheden en 50 simulaties wordt voor een kleinere berekeningstijd toch een snellere convergentie waargenomen. Dit omdat er maar een beperkt aantal toestanden kunnen voorkomen en een lange simulatietijd dus enkel resulteert in langere berekeningstijden. Wel is de standaarddeviatie bij langere simulatietijden beduidend kleiner. Ook bij dit type wachtsystemen werd de theorie snel en goed benaderd.

146

M/M/m/m Het laatste type wachtrij waarmee het programma geëvalueerd wordt is het M/M/m/m-systeem. Het is een combinatie van het M/M/m- en het M/M/1/k-systeem. Hiermee kan de toelevering van aankomsten aan verschillende servers met een beperkte capaciteit getest worden. Elke server heeft maar een capaciteit voor 1 wagen. De andere auto’s zullen als verloren beschouwd worden. In de praktijk vindt men dit terug op parkeerterreinen. Bovendien zou de absorptiecapaciteit voor wagens van een stadskern hiermee gemodelleerd kunnen worden. Zolang niet alle parkeerplaatsen in de binnenstad benomen zijn, zullen mensen hun auto op deze plaatsen kwijt kunnen. De auto’s worden “geabsorbeerd”. Indien al de parkeerplaatsen benomen zijn zullen automobilisten blijven rondrijden, om uiteindelijk hun wagen buiten de stadskern kwijt te raken. Vanaf wanneer de absorptiecapaciteit nul wordt (alle plaatsen bezet) zullen de straten in de stad geconfronteerd worden met een belastingsschok. In tabel 36 worden de resultaten weergegeven van 5 simulaties van een M/M/2/2-systeem, waarbij de arrivalrate 0,2 per tijdseenheid is, terwijl de bedieningsrate 1 per tijdseenheid is voor beide servers. Tabel 36: Resultaten simulatie M/M/m/m-rij

populatie

0

1

2

3

…

∞

0,8274 0,1603

0,0123

0

…

0

0,8062 0,1775

0,0163

0

…

0

0,8202 0,1649

0,0149

0

…

0

0,8278 0,1589

0,0133

0

…

0

0,8170 0,1677

0,0153

0

…

0

gemiddelde

0,8197 0,1658

0,0144

0

…

0

St. dev.

0,0089 0,0074

0,0016

0

…

0

theorie

0,8197 0,1639

0,0164

0

…

0

-0,0001 -0,0019 0,0020

0

…

0

0,01

0

…

0

Pk

Absolute fout theorie-gem procentuele

1,17

12,10

fout (%)

147

Bijlage C: Eigenschappen van de wachtrijen in de toepassing

Wachtrij 1 -

Capaciteit: 14 wagens / Bedieningstijd: 4 seconden per wagen/ Toegeleverd door rij 2. Hinder: wanneer er zich 12 wagens in de wachtrij bevinden kunnen er geen wagens uit rij 2 meer toekomen. Minder: Vanaf dat er zich een bepaald aantal wagens in rij 1 bevinden krijgen de wagens in rij 4 en rij 8 een verhoogde bedieningstijd. In de referentiesituatie is dit aantal gelijk genomen aan 8 wagens. Later wordt de invloed van dit aantal gevarieerd. Licht: 35 seconden groen-55 seconden rood.

Wachtrij 2 -

Capaciteit: Onbeperkt/ Bedieningstijd: 4 seconden per wagen / Externe variabele toelevering. De rij hindert geen andere rijen. Wanneer er 12 wagens in rij 1 staan wordt het uitrijden voor de wagens uit deze rij onmogelijk. Licht: 45 seconden groen- 45 seconden rood.

Wachtrij 3 -

Capaciteit: Onbeperkt/ Bedieningstijd: 4 seconden per wagen/ Externe variabele toelevering. De rij hindert geen andere rijen. Vanaf dat er zich 4 wagens in rij 10 bevinden kunnen de wagens de rij niet meer uitrijden. Wanneer er zich 5 of meer wagens in rij 12 bevinden wordt de bedieningstijd van rij 3 verhoogd tot 25 seconden. Licht: 45 seconden groen- 45 seconden rood.

Wachtrij 4 -

Capaciteit: 6 wagens/ Bedieningstijd: 2 seconden per wagen/ Toegeleverd door wachtrij 10. In de maximale capaciteit bereikt is hindert rij 4 de wagens in rij 10. Ze kunnen rij 10 niet meer uitrijden. Vanaf dat er zich een bepaald aantal (8 in de referentiesituaite) wagens in wachtrij 1 bevindt wordt de bedieningstijd verhoogd tot 25 seconden (wordt later nog gevarieerd) per wagen.

Wachtrij 5 -

Capaciteit: onbeperkt/ Toegeleverd door de rijen 4 en 8 die via deze rij het kruispunt verlaten.

148

Wachtrij 6 -

Capaciteit: onbeperkt/ Bedieningstijd: 4 seconden per wagen/ Externe toelevering: 500 wagens per uur. Indien de maximale capaciteit van wachtrij 11 bereikt is (3 wagens) wordt het voor de wagens in rij 6 onmogelijk om de rij uit te rijden. Licht: eerst 45 seconden rood, dan 45 seconden groen ( dit licht is dus in tegenfase met bvb. het licht van wachtrij 3.)

Wachtrij 7 -

Capaciteit: 8 wagens/ Bedieningstijd: 3 seconden/ toegeleverd door rij 12. Wanneer de maximale capaciteit bereikt is worden de wagens in rij 12 verhinderd uit te rijden naar rij 7. Licht: 35 seconden groen-55 seconden rood.

Wachtrij 8 -

Capaciteit: 6 wagens/ Bedieningstijd: 2 seconden per wagen/ Toegeleverd door wachtrij 9. Het uitrijden van deze rij gebeurt met een verhoogde bedieningstijd vanaf wanneer de lengte van rij 1 een bepaalde waarde heeft bereikt.

Wachtrij 9 -

Capaciteit: onbeperkt/ Bedieningstijd: 4 seconden per wagen/ Externe toelevering: 500 wagens per uur. Indien de maximale capaciteit van wachtrij 8 bereikt is (6 wagens) wordt het voor de wagens in rij 6 onmogelijk om de rij uit te rijden. Licht: eerst 45 seconden rood, dan 45 seconden groen.

Wachtrij 10 -

Capaciteit: 4 wagens/ Bedieningstijd: 2 seconden/ Toegeleverd door wachtrij 3 Indien de maximale capaciteit van wachtrij 4 bereikt wordt, kunnen de wagens in deze rij de rij niet meer verlaten. Vanaf dat de maximale capaciteit van rij 10 bereikt wordt kunnen de wagens in rij 3 deze rij niet meer verlaten. Vanaf dat er zich 3 of meer wagens in rij 10 bevinden wordt het de wagens in rij 11 bemoeilijkt om deze rij uit te rijden.

Wachtrij 11 -

Capaciteit: 3 wagens/ Bedieningstijd: 2 seconden/ Toegeleverd door wachtrij 6. Indien de maximale capaciteit bereikt is wordt de wagens in rij 6 het uitrijden verhinderd. Rij 12 verhindert de wagens het uitrijden vanaf wanneer zijn maximale capaciteit is bereikt

149

Wachtrij 12 -

Capaciteit: 6 wagens/ Bedieningstijd: 2 seconden/ Toegeleverd door wachtrij 11. Wordt gehinderd door wachtrij 7 indien deze zijn maximale capaciteit heeft bereikt.

- Vanaf dat er zich 5 of 6 wagens in rij 12 bevinden bemoeilijkt rij 12 het uitrijden van rij 3.

150

Bijlage D: Intensiteiten en standaarddeviaties bij de toepassing

In deze bijlage zijn de intensiteiten van de stromen die niet getabeleerd zijn in het hoofdstuk “Toepassing” toegevoegd. Ook de bijhorende standaarddeviaties bij de berekeningen zijn hier in tabelvorm te vinden. Alle intensiteiten zijn een gemiddelde op basis van 50 simulaties per combinatie van een verkeersvraag voor rij 2 en rij 3. De intensiteiten zijn wagens/uur.

Geen hinder

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

Geen hinder Standaarddeviatie op Intensiteiten Stroom 2-1 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

7.1789 6.8256 4.9692 4.4209 5.3555 6.5008 6.8095 6.0313 6.3372

8.3879 7.2119 8.0014 8.3137 8.6925 9.2188 7.9800 7.5320 9.0310

10.1658 10.3777 8.3937 8.9241 9.8024 9.7859 11.8107 8.8544 9.8414

400

500

600

9.9321 9.6864 7.8160 10.5349 10.3145 9.2339 10.0445 11.2733 9.9049 9.0542 10.4660 11.0762 8.6702 10.3183 11.3221 10.3437 10.9921 9.4756 10.0184 11.6158 11.4694 10.2171 9.3110 11.0878 7.7893 9.1376 9.2434

Tabel 37: Standaarddeviatie bij intensiteit 2-1, geen hinder

151

700 10.2766 11.6941 11.4091 9.4680 11.5265 10.2661 10.0585 12.1083 12.3621

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

Geen hinder Standaarddeviatie op Intensiteiten 3-10-4-5 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100 5.8753 7.4223 9.4918 10.3868 9.2200 9.0789 9.2959 12.5813 9.7474

200

300

400

500

5.5406 6.3927 6.8621 4.3523 8.7452 8.3139 8.7434 7.9336 8.2520 9.9593 9.3848 8.4556 10.8464 10.7381 9.9589 9.9341 9.7932 8.8634 10.6869 9.5398 7.9047 10.5676 10.4032 10.5992 9.0287 9.7932 10.2229 10.1246 10.8519 11.4029 11.2903 9.8501 10.6399 10.3798 9.7241 11.5085

600

700

7.2436 6.2024 7.8150 9.9927 10.2276 10.1148 8.5771 10.3470 11.9547 8.2600 11.2157 8.9873 10.5566 9.3766 11.4246 11.5286 10.7688 10.5176

Tabel 38: Standaarddeviatie bij intensiteit 3-10-4-5, geen hinder

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

Geen hinder Standaarddeviatie op Intensiteiten 6-11-12-7 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

11.3391 15.3530 14.4600 12.0377 13.2047 14.7490 13.1310 14.5714 12.6836

12.6425 13.5120 12.1639 14.4221 12.9570 12.2121 12.1888 12.6782 14.3710

13.8690 12.4685 11.6266 12.9105 11.4834 11.3840 14.2323 12.6278 10.6387

400 14.4263 11.8510 12.7462 13.8826 12.3998 14.0006 14.2002 15.2332 12.7675

500 10.1970 11.4409 13.1309 13.7036 13.1003 14.7221 12.2458 15.3675 14.8689

600 14.0775 12.9176 17.3527 11.2684 14.8294 15.2640 14.2205 16.1091 14.1642

Tabel 39:Standaarddeviatie bij intensiteit 6-11-12-7, geen hinder

152

700 15.2128 15.0575 14.0359 13.6571 15.0503 14.7882 11.5389 12.3508 15.9460

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

Geen hinder Standaarddeviatie op Intensiteiten 9-8-5 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

700

10.8279 10.5978 11.4721 10.4330 10.7801 10.0096 12.2762 9.6736 12.2556

10.5704 11.1602 10.5491 9.8782 11.7742 8.9260 9.9086 10.3306 9.3438

11.5759 10.2902 12.1167 10.1507 10.3441 10.5491 11.2159 9.8177 11.5280

10.8351 11.9319 10.6876 9.9321 9.4659 13.4137 9.1857 10.1729 10.2575

10.5765 8.4973 12.0140 11.9038 12.2172 11.2733 10.5698 9.9675 9.5300

10.9752 10.7284 13.0733 12.0657 11.4144 11.9545 11.5552 10.2644 15.1735

9.9272 10.8894 11.1254 11.6892 11.5402 11.6965 10.5156 11.4905 10.5246

Tabel 40: Standaarddeviatie bij intensiteit 9-8-5, geen hinder

Eerste orde hinder

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e ordehinder Standaarddeviatie op Intensiteiten Stroom 2-1 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

19.6461 24.6146 20.8982 24.0376 22.0993 19.3752 22.3719 21.6097 21.8763

28.3952 31.9631 27.1872 26.5463 34.9729 30.1407 27.5105 29.9489 35.4598

28.4418 33.3656 31.0917 36.7658 33.1701 32.8261 32.2017 31.9943 36.0709

29.4072 35.7573 32.6547 29.1373 35.5598 36.3790 40.1326 34.6198 30.9450

33.6676 38.8641 35.5677 41.0654 39.1654 37.1352 36.0256 31.7136 32.5183

600 40.1329 43.2572 35.8889 38.4688 45.5578 45.1817 39.7350 36.7723 38.5259

Tabel 41: Standaarddeviatie bij intensiteit 2-1, 1e orde hinder

153

700 42.2215 35.0570 36.6372 39.3420 37.7559 36.0334 45.7367 30.8492 38.1223

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e ordehinder Standaarddeviatie op Intensiteiten 3-10-4-5 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

24.1595 33.7671 33.6739 34.6003 30.0842 28.0853 34.4403 36.8844 43.1751

21.7828 28.1033 34.6257 34.5378 36.1574 37.1016 37.0664 38.0988 45.5313

24.3914 36.6417 37.8462 47.2152 52.9853 59.6778 71.6813 59.4533 82.5307

400 19.1197 36.4042 59.0853 66.3199 71.6613 87.4162 84.9319 85.6250 97.4175

500

600

700

25.8536 39.3339 60.4406 65.3537 73.2828 79.5221 84.7984 89.4128 89.8823

22.1140 39.8779 54.6306 61.8032 81.7990 72.5101 71.7866 86.1968 95.5009

21.7502 52.2986 54.8192 58.7020 81.3082 73.7398 64.3663 83.9093 82.5363

Tabel 42: Standaarddeviatie bij intensiteit 3-10-4-5, 1e orde hinder

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e ordehinder Standaarddeviatie op Intensiteiten 6-11-12-7 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

52.3337 44.4999 39.2215 47.2860 44.6414 52.3946 41.9601 48.9018 46.0873

42.2564 46.9320 51.1317 50.4284 47.9678 55.9855 45.7883 51.9222 45.5461

47.5872 43.2935 44.2281 51.0627 47.6729 44.4330 48.9143 43.6564 44.0663

41.7139 44.9312 48.2235 48.1389 51.3818 39.1914 50.1794 44.4409 55.2029

44.3548 47.0975 48.5845 50.1341 52.1380 45.7428 57.3501 44.9899 55.1019

600 46.2073 54.7202 53.4767 45.7287 47.5224 40.2544 45.9703 48.3398 49.5041

Tabel 43: Standaarddeviatie bij intensiteit 6-11-12-7, 1e orde hinder

154

700 54.2459 50.1248 54.0643 43.8108 46.1979 51.8358 39.5645 42.2056 49.4691

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e ordehinder Standaarddeviatie op Intensiteiten 9-8-5 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

37.6591 38.2788 38.5052 41.3793 40.4350 42.4745 39.7724 32.2547 43.4502

36.5850 44.3460 36.5335 35.6000 37.8590 37.8538 41.5515 40.5731 41.2558

84.0802 66.0906 62.8511 72.0371 66.0491 66.2575 70.2680 74.7514 90.4529

400

500

600

700

102.8103 89.1814 84.6819 82.5525 95.1510 90.4423 90.0726 106.4138 97.3141 102.2427 91.2065 96.9664 102.0267 90.5798 100.0708 97.8571 101.0771 91.9772 107.7946 105.7734 101.4902 100.0229 91.7630 78.8777 100.1035 105.4561 90.4312 72.3654 103.7214 98.1944 94.3993 91.8919 113.0064 97.9196 109.1128 90.8136

Tabel 44: Standaarddeviatie bij intensiteit 9-8-5, 1e orde hinder

Hinder van eerste en tweede orde

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e en 2e orde Intensiteit Stroom 2-1 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

700

99 99 103 101 97 99 100 100 98

205 199 187 195 204 197 197 193 199

281 284 282 285 288 281 288 293 288

325 328 333 337 335 341 339 333 331

331 344 339 341 339 339 335 351 343

344 330 340 347 350 348 342 341 338

346 338 341 355 343 335 343 349 345

Tabel 45: Intensiteit 2-1, 1e en 2e orde hinder

155

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e en 2e orde Stand.dev. Stroom 2-1 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

700

22.3719 22.5291 22.5933 20.4363 20.8042 21.6804 22.8180 15.1351 21.5710

30.1500 28.8175 28.5552 29.2742 26.2299 33.8678 28.7155 30.0898 28.2194

28.4999 31.8376 29.1913 36.4357 29.2814 30.4860 34.9754 37.7507 26.7460

36.8898 33.9238 37.8613 36.8427 39.5634 37.7018 33.1607 34.9425 33.6642

30.7020 35.5992 35.2022 40.3176 30.1020 36.9202 37.0109 40.3120 41.1815

30.8262 36.7075 35.2542 35.6744 41.7944 36.8506 32.3604 37.9817 31.8416

41.1727 42.8928 34.6058 41.8935 37.1022 42.7786 36.7012 40.3481 40.6197

Tabel 46: Standaarddeviatie bij intensiteit 2-1; 1e en 2e orde hinder

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e en 2e orde Intensiteit 3-10-4-5 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

700

106 197 249 293 342 389 442 443 439

94 204 247 289 346 387 427 447 449

101 197 234 271 331 363 389 414 419

90 166 206 208 235 269 293 309 325

82 156 175 191 205 220 233 245 216

89 139 166 175 220 217 232 213 245

87 141 166 196 200 204 230 220 226

Tabel 47: Intensiteit 3-10-4-5, 1e en 2e orde hinder

156

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e en 2e orde Stand. dev. 3-10-4-5 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

20.1983 32.2656 41.4863 42.5350 41.9426 37.5425 40.7206 47.0086 40.0689

18.9962 31.3064 34.3155 36.4777 39.5712 34.1688 44.0199 40.0922 53.0244

300

400

23.1904 25.4047 27.3160 45.5534 39.3700 47.5932 47.3331 75.0472 49.7828 78.8955 75.1024 97.5622 88.7641 115.6218 78.0936 108.9921 81.0747 103.5641

500

600

700

23.2388 22.8268 21.5286 39.6573 41.2785 53.1021 56.7351 54.5389 54.8564 76.0827 65.9109 78.9335 67.9811 84.9840 87.6777 90.3036 81.1539 82.1957 94.1248 92.5446 81.0596 94.5639 87.1696 100.2980 79.6478 101.0958 94.7232

Tabel 48: Standdaarddeviatie bij intensiteit 3-10-4-5, 1e en 2e orde hinder

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e en 2e orde Intensiteit 9-8-5 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

700

423 424 421 418 417 425 424 425 431

427 424 428 414 428 417 416 424 424

398 383 397 395 385 377 356 379 380

280 280 275 240 258 274 283 276 293

222 231 227 223 209 211 217 244 206

228 211 199 202 222 207 222 186 215

195 198 198 213 208 200 212 198 208

Tabel 49: Intensiteit 9-8-5, 1e en 2e orde hinder

157

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e en 2e orde Stand. dev. 9-8-5 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

41.8282 39.7179 43.5745 39.6012 32.8609 36.4357 43.5971 41.7431 45.0510

36.2108 33.4037 36.2053 39.3505 42.5255 46.0267 34.6227 43.7107 41.3156

92.0612 68.7415 55.3667 79.7809 71.6882 87.2087 86.0980 74.3509 73.0504

400

500

600

700

114.5860 101.1929 110.8871 92.9049 117.6940 90.4143 89.4085 96.6466 90.7531 97.5786 81.3406 92.6883 113.4552 115.6880 96.5856 94.4006 107.2061 91.8733 95.9760 110.7463 101.6896 94.4595 89.6490 90.3649 123.8398 98.1785 92.6325 83.2700 111.1785 116.3354 85.1043 92.2273 104.0518 85.1155 87.9724 97.5255

Tabel 50: Standdaarddeviatie bij intensiteit 9-8-5, 1e en 2e orde hinder

Verkeersvraag rij 3 (wagens/uur)

1e en 2e orde Stand. dev. 6-11-12-7 100 200 250 300 350 400 500 600 700

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

51.7549 41.3409 49.9123 45.1193 51.5934 39.6742 51.1600 52.3264 46.5223

47.7794 46.0821 45.3657 48.5084 47.8343 45.9254 44.9068 51.3924 52.1682

65.8356 54.7839 54.1767 82.2716 71.8417 76.1302 90.8615 74.9860 77.3808

400 85.1769 108.2102 85.4840 114.9722 110.1385 98.0475 133.2722 102.9166 101.1749

500 84.6699 115.2251 92.0091 114.2768 99.0549 113.9380 102.1442 87.8055 87.1384

600 77.0054 103.6928 99.5498 101.8374 109.1068 105.0831 98.0775 101.0205 92.3868

Tabel 51: Standdaarddeviatie bij intensiteit 6-11-12-7, 1e en 2e orde hinder

158

700 81.7859 102.8385 99.6537 111.3379 109.2598 91.6235 88.3505 98.9696 108.9428

Parameterstudie: bedieningstijd

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur)

Bedieningstijd bij hinder (seconden/wagen)

Totale intensiteit

5 10 15 20 30 35

100

200

300

400

500

600

1411 1408 1389 1415 1384 1393

1499 1496 1483 1489 1481 1500

1591 1529 1494 1499 1392 1507

1594 1364 1231 1268 1175 1189

1575 1315 1137 1096 1018 1005

1606 1347 1125 1018 949 1016

Tabel 52: Parameterstudie bedieningstijd: Totale intensiteit

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur)

Bedieningstijd bij hinder (seconden/wagen)

Intensiteit 2-1

5 10 15 20 30 35

100

200

300

400

500

600

99 105 100 95 101 101

196 197 195 197 195 200

285 288 290 282 289 280

332 331 321 331 327 322

347 333 330 332 341 335

342 348 346 349 331 332

Tabel 53: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 2-1

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur)

Bedieningstijd bij hinder (seconden/wagen)

Intensiteit 3-10-4-5

5 10 15 20 30 35

100

200

300

400

500

600

438 441 423 424 427 429

430 429 434 436 428 437

431 403 407 403 359 404

416 353 299 313 283 294

416 334 270 251 215 218

420 349 254 231 204 219

Tabel 54: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 3-10-4-5

159

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur)

Bedieningstijd bij hinder (seconden/wagen)

Intensiteit 9-8-5

5 10 15 20 30 35

100

200

300

400

500

600

423 427 426 434 417 411

420 420 413 415 416 429

418 392 387 395 355 395

399 306 283 292 265 262

378 278 245 229 209 197

385 275 246 200 185 204

Tabel 55: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 9-8-5

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur)

Bedieningstijd bij hinder (seconden/wagen)

Intensiteit 6-11-12-7

5 10 15 20 25 30 35

100

200

300

400

500

600

443 439 443 455 441 439 453

451 451 437 442 441 435 438

452 442 417 411 401 397 421

447 383 317 336 322 304 300

447 372 288 273 256 257 241

452 375 275 254 258 227 249

Tabel 56: Parameterstudie bedieningstijd: Intensiteit 6-11-12-7

160

Parameterstudie: hinderlengte

Hinderlengte

Totale intensiteit

2 4 6 10 12

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

1406 1405 1406 1376 1403

1352 1468 1501 1497 1494

1092 1272 1460 1534 1574

780 979 1055 1400 1492

708 821 929 1193 1395

600

699 737 854 1170 1434

Tabel 57: Parameterstudie hinderlengte: Totale intensiteit

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur)

Hinderlengte

Intensiteit 2-1

2 4 6 10 12

100

200

300

400

500

600

99 102 105 103 101

194 200 196 194 197

281 284 285 283 285

326 328 323 334 320

345 336 343 331 340

344 336 330 342 343

Tabel 58: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 2-1

Hinderlengte

Intensiteit 3-10-4-5

2 4 6 10 12

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

433 428 433 416 437

382 420 437 436 431

267 324 392 417 430

145 216 239 356 384

119 155 193 285 368

115 132 174 284 382

Tabel 59: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 3-10-4-5

161

Hinderlengte

Intensiteit 9-8-5

2 4 6 10 12

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

420 426 417 423 422

362 407 423 417 423

241 312 376 404 421

135 198 224 338 376

109 144 175 263 326

98 119 153 245 328

Tabel 60: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 9-8-5

Hinderlengte

Intensiteit 6-11-12-7

2 4 6 10 12

Verkeersvraag rij 2 (wagens/uur) 100

200

300

400

500

600

453 447 449 432 442

413 439 443 449 443

302 351 406 427 437

173 236 268 371 411

134 184 217 313 359

140 150 195 298 379

Tabel 61: Parameterstudie hinderlengte: Intensiteit 6-11-12-7

162