Moment síly, spojité zatížení Petr Šidlof
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR
Moment síly, spojité zatížení Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Moment síly MA = d ⋅ F
d .. rameno síly F .. velikost síly
[MA ] = N ⋅ m
moment .. vyjadřuje otáčivé účinky síly vůči bodu (ose)
Orientace (konvence)
Moment síly, spojité zatížení Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Výpočet momentu MA = d ⋅ F
!! častá chyba!! Problém – určení ramene d: • • • •
analytická geometrie trigonometrie vektorový výpočet rozklad síly na složky
MA = (− d ⋅ F ) = −d x ⋅ Fx − dy ⋅ Fy
Moment síly, spojité zatížení Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Vektorové vyjádření momentu síly r r r MA = r × F
r MA .. moment síly k bodu r r .. od středu k lib. bodu na nositelce
rx r r = ry , r z
F r x F = Fy F z
⇒
r i r M = rx Fx
r j ry Fy
r k rz Fz
r r r r r Moment je vektor kolmý na rovinu danou vektory r , F , M = r F sin α
Poznámky • •
pořadí ve vektorovém součinu je důležité pravidlo pravé ruky
Moment síly, spojité zatížení Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Moment vzhledem k ose 2D .. moment vzhledem k bodu a moment vzhledem k ose jsou totéž 3D:
• • •
axiální síla Fz: nevyvozuje moment k ose (vyvrací) radiální síla Fy: nevyvozuje moment k ose (r = 0) tangenciální sila Fx: vyvozuje moment
r r r Mo = rx × Fx
r rx .. od kteréhokoliv bodu na ose ke kterémukoliv bodu na nositelce
Poznámka
r r r M = r ×F r r r r r r r lze rozložit na M = M|| + M⊥ , kde M|| = M ⋅ e o e o
moment síly k bodu na ose ..
(
)
- otáčivé účinky má pouze složka rovnoběžná s osou
Moment síly, spojité zatížení Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Moment dvojice sil
M = d⋅ F
Dvojice sil – nemá silové účinky, pouze otáčivé účinky Moment dvojice sil je stejný k libovolnému bodu
Moment síly, spojité zatížení Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Spojitě rozložené zatížení
vs.
Osamělé síly
q(x) .. síla na jednotku délky (plochy) – dáno funkcí [q] = N/m nebo N/m2
Zatěžovací obrazec:
Spojité zatížení
Moment síly, spojité zatížení Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Náhrada spojitého zatížení silou a momentem 1. Silové působení
dF = q(x ) dx F = ∫ q(x ) dx .. plocha pod zatěžovacím obrazcem L
0
2. Momentové působení
dM A = x ⋅ q(x ) dx MA = ∫ x ⋅ q(x ) dx L
0
spojité zatížení lze nahradit silou F (rovnou ploše zatěžovacího obrazce) působící v těžišti zatěžovacího obrazce tuhé těleso
Moment síly, spojité zatížení Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Postup při nahrazení spojitého zatížení •
Spojité zatížení dáno jednou funkcí → integrace, nahrazení silou (a momentem)
•
Spojité zatížení dáno po částech definovanou funkcí → pro výpočet lze obrazec rozdělit a podle situace buď nahradit soustavou sil nebo síly složit
Moment síly, spojité zatížení Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad Spodní výpusť nádrže na vodu o šířce w = 4 m a délce L = 10 m je ovládaná hydraulickým mechanismem, který se skládá z několika hydraulických válců v řadě. Každý válec je schopen vyvolat maximální sílu F = 1MN. Je-li h1 = 7.5 m, h2 = 5 m, a L1 = 1 m, vypočítejte, jaký moment je potřeba k překonání hydrostatického tlaku vody a otevření výpustě a kolik je nutné instalovat hydraulických válců.
Řešení 1.
Popsat spojité zatížení ze známé velikosti hydrostatického tlaku
→ q( x ) = h( x ) ρ g w 2.
Výpočet momentu q(x) k bodu otáčení (nahrazení spojitého zatížení silami a momentem)
→ M = −18.3 MN ⋅ m 3.
Momentová rovnováha k ose otáčení
→ n = 19
