MODUL 1 BILANGAN REAL
Disusun oleh: Ani Ismayani S.Pd
1
KATA PENGANTAR
Tidak dapat dipungkiri kemampuan berhitung aritmatika banyak diperlukan dan digunakan dalam aktivitas kehidupan kita sehari-hari. Konsep Operasi Bilangan Real adalah salah satu kompetensi yang bisa melatih hal tersebut.
Modul pembelajaran ini dirancang untuk mengarahkan bagaimana siswa belajar menguasai kompetensi Menerapkan Konsep Operasi Bilangan Real secara mandiri,
tanpa
mengesampingkan
kerjasama
dalam
bekerja
kelompok.
Keberhasilan pembelajaran ditandai dengan adanya perubahan perilaku positif pada diri siswa sesuai dengan standar kompetensi dan tujuan pendidikan. Informasi tentang Konsep Operasi pada Bilangan Real disajikan secara garis besar tetapi konseptual. Untuk pendalaman, dan perluasan materi, serta pembentukan kompetensi kunci, dianjurkan siswa dapat memperoleh melalui observasi di lapangan, studi referensi, diskusi, dan tutorial dengan guru.
Strategi penyajian modul dirancang agar belajar siswa tidak terfokus hanya mempelajari satu sumber saja, tapi siswa didorong untuk melakukan eksplorasi terhadap sumber-sumber belajar lain yang relevan. Melalui pendekatan ini, diharapkan kompetensi dasar dan kompetensi kunci seperti
kemampuan
komunikasi, kerjasama dalam tim, penguasaan teknologi informasi, pemecahan masalah dan pengambilan keputusan dapat terbentuk pada diri siswa.
Cianjur, Januari 2006 Penyusun
2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ....................................................................... i DAFTAR ISI .................................................................................... ii PETA KEDUDUKAN MODUL ......................................................... iii GLOSARIUM ............................................................................. 2
iv
MODUL 1: OPERASI BILANGAN REAL
BAB I PENDAHULUAN BAB II PEMELAJARAN RENCANA BELAJAR SISWA ........................................................ 7 KEGIATAN BELAJAR .................................................................... 8 KEGIATAN BELAJAR 1 ........................................................... 8 KEGIATAN BELAJAR 2 ........................................................... 16 KEGIATAN BELAJAR 3 ........................................................... 22 KEGIATAN BELAJAR 4 ........................................................... 29 BAB III EVALUASI EVALUASI KOMPETENSI ............................................................. 36 KUNCI EVALUASI ......................................................................... 37 BAB IV PENUTUP .......................................................................... 38
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................ 39
3
PETA MODUL MATEMATIKA BIDANG KEAHLIAN KELOMPOK PROGRAM KEAHLIAN MATA DIKLAT Kode
Kompetensi
A
Menerapkan konsep operasi bilangan real
B
Menerapkan konsep aproksimasi
C
Mengaplikasika n konsep persamaan dan pertidaksamaan
D
Menerapkan konsep matriks
: Rekayasa Perangkat Lunak : Teknik 1 : Matematika
Sub Kompetensi
Menerapkan operasi pada bilangan real Menerapkan operasi pada bilangan berpangkat Menerapkan operasi pada bilangan irasional (bentuk akar) Menggunakan konsep logaritma Menerapkan konsep kesalahan pengukuran Menerapkan konsep operasi hasil pengukuran 1. Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear 2. Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat 3. Menyelesaikan sistem persamaan 1. Mendeskripsikan macam-macam matriks 2. Menyelesaikan operasi matriks 3. Menentukan determinan dan invers
4
Judul Modul
Keterangan
Operasi Bilangan Real
Modul 1
Aproksimasi
Modul 2
Persamaan dan Modul 3 Pertidaksamaan
Matriks
Modul 4
E
F
Menerapkan 1. Membuat grafik Program Linear konsep program himpunan linear penyelesaian sistem pertidaksamaan linear 2. Menentukan model matematika dari soal ceritera (kalimat verbal) 3. Menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linear, model matematika 4. Menerapkan garis selidik Menerapkan 1. Mendeskripsikan Logika konsep logika pernyataan dan Matematika matematika bukan pernyataan (kalimat terbuka) 2. Mendeskripsi kan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya 3. Mendeskripsi kan invers, konvers dan kontraposisi 1. Menerapkan modus ponens, modus tollens dan prinsip silogisme dalam menarik kesimpulan
5
Modul 5
Modul 6
G
Menerapkan trigonometri
H
Mengaplikasika n konsep fungsi
1. menentukan dan menggunakan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut 2. mengkonversi koordinat kartesius dan kutub 3. menggunakan aturan sinus dan kosinus 4. menentukan luas suatu segi tiga 5. menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut 6. menyelesaikan persamaan trigonometri 1. Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi 2. Menerapkan konsep fungsi linear 3. Menerapkan konsep fungsi kuadrat 4. Menerapkan konsep fungsi eksponen 5. Menerapkan konsep fungsi logaritma 6. Menerapkan konsep fungsi trigonometri
6
Trigonometri
Modul 7
Relasi dan Fungsi
Modul 8
I
Mengaplikasika n konsep barisan dan deret
J
Menerapkan konsep geometri dimensi dua
K
Menerapkan konsep geometri dimensi tiga
Menerapkan konsep vektor L
M
Menerapkan konsep teori peluang
1. Mengidentifikasi pola bilangan bilangan dan deret 2. Menerapkan konsep barisan dan deret aritmetika 3. Menerapkan konsep barisan dan deret geometri 1. Mengidentifikasi sudut 2. Menentukan keliling dan luas daerah bidang datar 3. menerapkan transformasi bangun datar 1. Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya 2. Menghitung luas permukaan 3. Menerapkan konsep volum bangun ruang 4. menentukan hubungan antar unsur-unsur dalam bangun ruang 1. menerapkan konsep vektor pada bidang datar 2. menerapkan konsep vektor pada bangun ruang 1. Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi 2. Menghitung peluang suatu kejadian
7
Barisan dan Deret
Modul 9
Geometri Dimensi Dua
Modul 10
Geometri Dimensi Tiga
Modul 11
Vektor
Modul 12
Peluang
Modul 13
N
Mengaplikasika n konsep statistika
O
Menerapkan konsep irisan kerucut
1. Mengidentifikasi pengertian statistik, statistika, populasi dan sampel 2. Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram 3. Menentukan ukuran pemusatan data 4. Menentukan ukuran penyebaran data 1. menerapkan konsep lingkaran 2. menerapkan konsep parabola 3. menerapkan konsep elips 4. menerapkan konsep hiperbola
8
Statistika
Modul 13
Irisan Kerucut
Modul 14
BAB I PENDAHULUAN A. Deskripsi
Modul siswa tentang Penerapan Konsep Operasi Bilangan Real ini terdiri terdiri 4 bagian proses pemelajaran yang meliputi 4 sub kompetensi, yaitu : 1. Operasi pada bilangan real. Kegiatan belajar 1 membahas macam-macam bilangan real, lengkap dengan sifat-sifat dan operasi yang berlaku pada bilangan real. 2. Operasi pada bilangan berpangkat (eksponen). Pada kegiatan belajar 2 bilangan berpangkat dijelaskan dengan konsep yang berlaku. 3. Operasi pada bilangan irasional (bentuk akar). Pada kegiatan belajar 3, bilangan real diklasifikasikan ke dalam bilangan rasional atau irasional. 4. Logaritma. Kegiatan belajar 4 membahas bentuk bilangan logaritma, termasuk di dalamnya dijelaskan sifat-sifat bilangan lgaritma. 5. Evaluasi untuk kompetensi Penerapan Konsep Operasi Bilangan Real di alokasikan waktu 2 jam pelajaran.
Setelah mempelajari modul ini , kompetensi yang di harapkan adalah siswa dapat menerapkan Konsep Operasi Bilangan Real dalam memecahkan permasalahan yang berhubungan perhitungan-perhitungan teoritis maupun aplikatif.
Pendekatan yang digunakan dalam modul ini adalah pendekatan siswa aktif melalui metode: pemberian tugas, diskusi memecahkan masalah dan presentasi. Guru merancang pemelajaran yang memberikan kesempatan seluas-luasnya pada siswa untuk berperan aktif dalam membangun konsep secara mandiri maupun bersama-sama. Peran guru lebih sebagai fasilitator, disamping sebagai tutor.
B. Prasyarat
9
Kemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari modul ini adalah siswa telah mempelajari dan mengerti konsep dasar mengenai bilangan yang sudah dikenal sejak Sekolah Dasar.
C. Petunjuk Penggunaan Modul 1. Penjelasan Bagi Siswa a. Bacalah modul ini secara berurutan dari Kata Pengantar sampai Cek Kemampuan, pahami benar isi dari setiap babnya. b. Setelah anda mengisi Cek Kemampuan, apakah anda termasuk kategori orang yang perlu mempelajari modul ini? Apabila anda menjawab YA, maka pelajari modul ini. Jika TIDAK, Anda bisa langsung mengerjakan latihanlatihan atau evaluasi di bagian akhir modul, maka acungan jempol layak bagi Anda! c. Laksanakan semua tugas-tugas yang ada dalam modul ini agar kompetensi anda berkembang sesuai standar. d. Buatlah rencana belajar anda dengan menggunakan format seperti yang ada dalam modul, konsultasikan dengan guru dan institusi pasangan penjamin mutu, hingga mendapat persetujuan. e. Lakukan kegiatan belajar untuk mendapatkan kompetensi sesuai rencana kegiatan belajar yang telah anda susun dan disetujui oleh guru dan institusi pasangan penjamin mutu. f.
Setiap mempelajari satu sub kompetensi, anda harus mulai dari menguasai pengetahuan pendukung (Uraian Materi), melaksanakan tugas-tugas, mengerjakan lembar latihan.
g. Dalam mengerjakan Lembar Latihan, anda jangan melihat Kunci Jawaban terlebih dahulu sebelum anda menyelesaikan Lembar Latihan. h. Laksanakan Lembar Kerja untuk pembentukan keterampilan psikomotorik sampai anda benar-benar terampil sesuai standar. Apabila anda mengalami kesulitan dalam melaksanakan tugas ini, konsultasikan dengan guru anda.
2. Peran Guru
10
a. Membantu siswa dalam merencanakan proses belajar. b. Membimbing siswa melalui tugas-tugas pelatihan yang dijelaskan dalam tahap belajar. c. Membantu siswa dalam memahami konsep dan praktek baru dan menjawab pertanyaan siswa mengenai proses belajar siswa. d. Membantu siswa dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar. e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika diperlukan. f.
Merencanakan seorang ahli/ pendamping guru dari tempat kerja untuk membantu jika diperlukan.
g. Melaksanakan penilaian. h. Menjelaskan kepada siswa mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya i.
Mencatat pencapaian kemajuan siswa.
D. Tujuan Akhir Spesifikasi kinerja yang diharapkan dikuasai siswa setelah mengikuti seluruh kegiatan belajar adalah siswa dapat : 1. Menelaah dan menganalisa berbagai himpunan bilangan yang termasuk bilangan real 2. Mampu menerapkan operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real 3. Menelaah dan menganalisa operasi pada bilangan berpangkat 4. Menelaah dan menganalisa operasi pada bilangan bentuk akar 5. Menelaah dan menganalisa operasi pada bilangan logaritma
Berdasarkan spesifikasi kinerja diatas, kemungkinan aplikasi konsep operasi bilangan real secara nyata di dalam kehidupan sehari-hari dan dunia kerja diantaranya aplikasi operasi hitung dalam berbagai transaksi bisnis atau perdagangan, perhitungan-perhitungan yang membutuhkan ketelitian dengan akurasi tertentu dengan menggunakan konsep eksponen atau logaritma, dan sebagainya.
11
F. Cek Kemampuan
NO.
PERTANYAAN
YA
1.
Apakah Anda pernah mendengar istilah “bilangan real”
2.
Tahukah Anda operasi yang berlaku pada bilangan real
3.
Dapatkah
Anda
melakukan
operasi
TIDAK
penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian pada bilangan real
4.
Tahukah Anda definisi bilangan berpangkat
5.
Tahukah Anda definisi bilangan bentuk akar
6.
Tahukah Anda definisi logaritma
Apabila Anda menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, pelajarilah materi tersebut pada modul ini. Apabila Anda menjawab “YA”
pada
semua
pertanyaan,
maka
lanjutkanlah
dengan
mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.
12
BAB II PEMELAJARAN
A. Rancangan belajar Siswa
Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan bahwa modul ini hanya sebagian dari sumber belajar yang dapat anda pelajari untuk menguasai kompetensi Konsep Bilangan Real untuk mengembangkan kompetensi anda dalam substansi non instruksional, anda perlu melatih diri. Aktifitas yang dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi matematika juga mengembangkan kompetensi substansi non instruksional. Untuk itu maka dalam menggunakan modul ini anda harus melaksanakan tugas-tugas yang telah dirancang dalam modul ini.
1. Buatlah rencana belajar anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun oleh guru, untuk menguasai kompetensi Konsep Logika Matematika, dengan menggunakan format sebagai berikut : NO.
ALASAN PERUBAHAN BILA DIPERLUKAN
PENCAPAIAN
KEGIATAN TGL
JAM
TEMPAT
Mengetahui,
PARAF SISWA
GURU
Cianjur, .............................. 2006
Guru Pembimbing
Siswa
(.............................)
(.............................)
13
2. Rumuskan hasil belajar anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan. a. Untuk penguasaan pengetahuan, anda dapat membuat suatu ringkasan menurut pengertian anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang pernah anda pelajari. Selain ringkasan anda juga dapat melengkapi dengan kliping terhadap informasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang anda pelajari. b. Tahapan pekerjaan dapat anda tuliskan dalam diagram alir yang dilengkapi dengan penjelasan. c. Produk hasil praktik kegiatan ini produksi dapat anda kumpulkan berupa contoh dan bentuk fisualisasinya. d. Setiap tahapan proses akan diakhiri, lakukanlah diskusi dengan guru pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal yang harus dibetulkan maka anda harus melaksanakan saran guru pembimbing anda.
A. KEGIATAN BELAJAR 1. Kegiatan Belajar 1 (Bilangan Real) a. Tujuan Kegiatan Belajar 1 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat: 1) Megelompokkan bilangan-bilangan ke dalam berbagai himpunan bilangan 2) Melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan real 3) Melakukan operasi perkalian dan pembagian pada bilangan rel 4) Melakukan konversi bilangan pecahan ke persen dan sebaliknya 5) Menghitung perbandingan skala
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1 1) Berbagai sistem bilangan
14
Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain: "+ ","− ","× ","÷ ","
", dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan
dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan. Himpunan-himpunan bilangan secara skematis terlihat seperti pada bagan berikut: Himpunan bilangan kompleks
Himpunan Bilangan Real
Himpunan Bilangan Imajiner
Himpunan Bilangan Rasional
Himpunan Bilangan Irasional
Himpunan Bilangan Bulat
Himpunan Bilangan Pecahan
Himpunan Bilangan cacah
Himpunan Bilangan Bulat negatif
Himpunan Bilangan Asli
Himpunan Bilangan Prima
Nol
Himpunan Bilangan Komposit
Gambar 1.1
15
(1)
2) Pengertian Bilangan Real Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini.
Bilangan-bilangan bulat dan rasional Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilanganbilangan asli (
= Natural),
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 2 Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat (
= dari bahasa Jerman,
Zahlen): 2, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 2 Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran. Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti: 3 −7 21 19 16 −17 , , , , , ,2 4 8 5 −2 2 1
Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk
m , dimana m dan n
n adalah bilangan bulat dan n ≠ 0 , disebut bilangan-bilangan rasional (
= Quotient ).
Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun
2 merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku
dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi
16
dua bilangan bulat. Jadi (irasional). Demikian juga
2
adalah suatu bilangan tak rasional
3, 5, 3 7, π
Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya. Sekarang, coba periksa dengan menggunakan kalkulator nilai dari 1 2 , , 2, π . . Akan lebih bagus jika kalkulator yang digunakan memiliki 7 3
digit
lebih
banyak
dibanding
kalkulator biasa,
atau
Anda
bisa
menggunakan kalkulator yang tersedia di dalam setiap program windows di komputer Anda, yang ketelitiannya bisa mencapai 34 digit. Setelah diperiksa, diperoleh sebagai berikut: 1 = 0,14285714285714285714285714285714 7 2 = 0, 66666666666666666666666666666667 3 2 = 1, 4142135623730950488016887242097
π = 3,1415926535897932384626433832795 Apabila kita perhatikan, dua bilangan yang pertama yaitu
1 2 dan 7 3
memiliki bentuk desimal yang bilangan-bilangannya berulang dengan urutan tertentu. Sedangkan dua bilangan terakhir yaitu
2 dan π (pi)
bentuk bilangan desimalnya tidak berulang (sembarang). Coba periksa juga bilangan-bilangan lainnya, apakah termasuk bilangan rasional ataukah irasional!
Bilangan-bilangan real Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada
17
garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real. Perhatikan gambar!
Kedudukan bilangan real dalam sistem bilangan dapat kita lihat dalam diagram Gambar 1.1.
Pertanyaan Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masingmasing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam diagram venn?
3) Operasi pada Bilangan Real
Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian a) Operasi penjumlahan a + b = c dengan a, b, c ∈
Contoh: 1.
4 + 6 = 10
2.
4 + ( − 6 ) = −2
3.
−4 + 6 = 2
4.
−4 + ( −6 ) = −10
b) Operasi pengurangan
18
a − b = c ⇔ a + ( −b ) = c dengan a, b, c ∈ Contoh: 1.
6−4 = 2
2.
6 − ( −4 ) = 6 + 4 = 10
3.
−6 − 4 = −6 + ( −4 ) = −10
c) Operasi perkalian a ⋅ b = c dengan a, b, c ∈
Contoh: 1.
6 ⋅ 4 = 24
2.
6 ⋅ ( −4 ) = −24
3.
( −6 ) ⋅ ( −4 ) = 24
d) Operasi pembagian a 1 = a ⋅ = c dengan a, b, c ∈ b b
Contoh: 1. 2.
8 1 = 8× = 2 4 4
4 1 5 = 4 : = 4 ⋅ = 20 1 5 1 5
3.
1 1 1 2 1 3 3 1 : = = ⋅ = =1 2 3 1 2 1 2 2 3
4.
1 1 1 1 1 :3 = 2 = × = 2 3 2 3 6
19
Pengubahan
pecahan
ke
desimal,
desimal
ke
persen,
dan
sebaliknya a)
Mengubah pecahan biasa ke desimal Contoh:
b)
1.
2 2× 2 4 = = = 0, 4 5 5 × 2 10
2.
5 5× 4 20 = = = 0, 2 25 25 × 4 100
3.
1 1× 125 125 = = = 0,125 8 8 ×125 1000
Mengubah pecahan desimal ke persen Contoh: 1. 0,3 = 0, 3 × 100% = 30% 2. 0, 05 = 0, 05 × 100% = 5%
c)
Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya Contoh: Nyatakan ke dalam pecahan atau ke dalam persen! 1. 25% =
25 1 = 100 4
2 50 16 2 50 1 2. 16 % = 3 = 3 = = 3 100 100 300 6
3.
3 75 = = 75% 4 100
4.
1 20 = = 20% 5 100
Menghitung persentase a)
Komisi Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan Contoh:
20
Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya komisi yang diterima? Jawab: Komisi = 15% × Rp 2.000.000, 00 =
15 × Rp 2.000.000, 00 100
= Rp 300.000, 00 ∴
Jadi
besarnya
komisi
yang
diterima
oleh
salesman
itu
sebesar Rp 300.000, 00 . b)
Diskon Diskon adalah potongan harga yang diberikan Contoh: Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp. 800.000,00, berapa kita harus membayar? Jawab: Diskon = 25% × Rp. 800.000, 00 =
25 × Rp. 800.000, 00 100
= Rp. 200.000, 00 ∴ Jadi, kita harus membayar sebesar:
Rp. 800.000, 00 − Rp. 200.000, 00 = Rp. 600.000, 00
c)
Laba dan rugi Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya pembelian. Dirumuskan sebagai berikut: Laba = Penjualan - Pembelian
Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya pembelian. Rumusannya sebagai berikut: Rugi = Pembelian - Penjualan
21
Contoh: Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan! Jawab: Laba =Rp. 2.400.000, 00 − Rp. 2.000.000, 00 = Rp. 400.000, 00 Persentase keuntungan (laba) dari harga beli: p% =
Rp. 400.000 × 100% = 20% Rp. 2.000.000
Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan: p% =
Rp. 400.000 × 100% = 16, 7% Rp. 2.400.000
4) Sifat-sifat operasi bilangan real Waktu SMP kita sudah mengenal operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real berikut sifat-sifatnya, dan sekarang kita tengok kembali sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan” dan “perkalian”. Untuk setiap a, b, c ∈
, beralku sifat-sifat berikut;
Penjumlahan: 1. Sifat tertutup pada penjumlahan; a + b = r, r ∈ 2. Sifat komutatif pada penjumlahan a+b = b+a 3. Sifat asosiatif pada penjumlahan
( a + b ) + c = a + (b + c ) 4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan a ( b + c ) = ab + ac (distributif kiri)
jika ada operasi perkalian ( b + c ) a = ab + ac (distributif kanan)
22
5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral) a+0 = 0+a = a 6. Sifat invers pada penjumlahan
a + ( −a ) = ( −a ) + a = 0 Perkalian: 1. Sifat tertutup pada perkalian a × b = r, r ∈ 2. Sifat komutatif pada perkalian a×b = b× a 3. Sifat asosiatif pada perkalian
( a × b) × c = a × (b × c ) 4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan a ( b + c ) = ab + ac (distributif kiri)
jika ada operasi penjumlahan ( b + c ) a = ab + ac (distributif kanan)
5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian) a × 1 = 1× a = a 6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers. a×
1 1 = × a = 1 (untuk a ≠ 0 ) a a
1 0 × ≠ 1 (tidak ada/tidak didefinisikan) 0
Catatan: Untuk selanjutnya kita sepakati
jangan sekali-kali membagi dengan nol,
karena kita tidak mungkin membuat pengertian dari lambang-lambang ini
c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 1
23
• Bilangan-bilangan real adalah
Sekumpulan bilangan (rasional dan
irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol. • Sifat-sifat operasi penjumlahan pada bilangan real diantaranya:
tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, identitas (0 adalah elemen identitasnya), invers (lawan bilangannya). • Sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan real diantaranya: tertutup,
komutatif, asosiatif, distributif, identitas (1 adalah elemen identitasnya). • Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat
penjualan yang dilakukan. • Diskon adalah potongan harga yang diberikan. • Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya
pembelian. • Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya
pembelian.
d. Tugas Kegiatan Belajar 1 Diskusikan soal-soal LKS 1
dengan anggota kelompok anda, kemudian
presentasikan hasilnya, sesuai dengan yang ditugaskan oleh guru.
e. Tes Formatif 1 (waktu 15 menit) 1. Nyatakan
himpunan
berikut
dengan
cara
mendaftar
semua
anggotanya! a) A = { x 3 < x < 10, x ∈ b) B = { x x ≥ −5, x ∈
}
}
c) C = { x 2 ≤ x < 15, x ∈ bilangan prima} 2. Manakah bilangan di bawah ini yang termasuk bilangan rasional dan bilangan irasional? a) −5
b)
24
5
c)
1 5
d)
9
e) 1,3232
3. Nyatakan pecahan berikut ke dalam bentuk persen atau sebaliknya! a) b)
c) 12,5%
3 5
d) 175%
5 20
4. Frodo
1 e) 3 % 4
menjual
tanah
pamannya,
Mr.
Bilbo,
seharga
Rp.
1 75.000.000,00. Jika Mr. Bilbo memberinya komisi 2 % , berapakah 2
komisi yang diterima Frodo? 5. Berapa persen diskon yang diberikan “Toko Little S” jika harga barang
Rp.
2.500.000,00
bisa
dibayar
dengan
harga
Rp.
2.325.000,00?
f.
Kunci Jawaban Tes Formatif 1
g. Lembar Kerja Siswa 1 (waktu 45 menit) Dalam soal nomor 1-15, sederhanakan atau cari nilai dari bilanganbilangan berikut. Sedikit manipulasi mungkin diperlukan sehingga hasilnya akan lebih mudah diperoleh. 1.
3, 056 − 5,301 =
8.
2 3 − 2 ( 4 − 8 ) =
2.
3 1 1 1 + 3 − 11 = 4 3 6
9.
5 1 2 − + = 6 4 3
3.
2 1 23 × 5 = 3 2
10.
4.
23, 005 × 101, 5 =
3 5 2 − − = 4 8 12
5.
3 1 4 :2 = 5 10
11.
11 1 1 − + = 3 4 3 6
6.
4, 05 : 0, 001 =
7.
4 − 3 ( 8 − 12 ) − 6 =
1 2 1 1 12. − − − = 3 5 2 5
25
1 3 7 − + 2 4 8= 13. 1 3 7 + − 2 4 8
14. 1 −
2.
2 1 2+ 2
15. 2 +
2 1 2− 2
=
=
Kegiatan Belajar 2 (Bilangan Berpangkat) a. Tujuan Kegiatan Belajar 2 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar 2, Anda diharapkan : 1. Memiliki pemahaman tentang bilangan berpangkat 2. Dapat menyelesaikan soal-soal dengan menggunakan sifat-sifat eksponen 3. Dapat menentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponen
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2 Bentuk pangkat, akar, dan logaritma bukan hal asing bagi kita. Kita sudah mengenal dan mempelajarinya di SMP. Pada bab ini konsep tersebut
akan
kita
pelajari
kembali
tentu
dengan
beberapa
pengembangan. Konsep-konsep tersebut tentunya akan bermanfaat sekali jika kita pelajari dngan baik, sebab ada beberapa permasalahan dalam kehidupan kita sehari-hari yang menggunakan konsep tersebut.
1) Bilangan Berpangkat (eksponen) Kenyataan menunjukkan bahwa kebanyakan orang berkeinginan untuk menggunakan cara yang paling simpel dalam berbagai hal, termasuk cara menuliskan suatu bilangan. Andai ditemukan kasus sebagai berikut. Anda diminta menuliskan cara yang paling simpel untuk hal berikut! a) 2 × 2 × 2 × 2 × ... × 2
(seratus kali)
26
b) 1× 2 × 3 × 4 × ... × 100
(sampai dengan 100)
c) 2 × 3 × 10 × 15 × 43
(perkalian 5 bilangan sembarangan)
d) x1 + x2 + x3 + ... + x100
(sampai dengan 100)
e) x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ ... ⋅ x100
(sampai dengan 100)
Penyelesaiannya adalah sebagai berikut: a) Ditulis dengan cara eksponen, 3100 (3 pangkat 100) b) Ditulis dengan notasi faktorial, 100! (100 faktorial) c) Tidak ada cara umum (tidak beraturan) 100
d) Ditulis dengan mengunakan notasi sigma,
∑x
i
i =1
100
e) Ditulis dengan mengunakan notasi pi, π xi i =1
Dari keempat model cara penulisan singkat (bentuk umum) di atas, yang akan kita pelajari sekarang adalah cara penulisan dalam bentuk perpangkatan (eksponen).
Pengertian bilangan berpangkat Kita ulangi cara penulisan seperti soal nomor (a) di atas. 2 × 2 × 2 = 23 4 × 4 × 4 × 4 = 44 a × a × a × a × a = a5
Dari cara penulisan itu dapat kita simpulkan: a n = a14 ⋅ a ⋅4 a244 ⋅ a ⋅ ... ⋅3 a⋅ n buah faktor a
Keterangan:
a n dibaca a pangkat n
a (ruas kiri) disebut bilangan pokok, berasal dari a (ruas kanan) yang disebut faktor. n disebut eksponen (pangkat), menunjukkan banyaknya faktor a
27
Selanjutnya a1 = a , dan nanti kita akan menemukan bahwa a 0 = 1 .
Sifat-sifat bilangan berpangkat Contoh
Generalisasi
1. 23 × 22 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 × 2 ⋅ 2 a m × a n = a m+n
= 2 3+ 2 = 25
2. 25 : 23 =
2⋅2⋅2⋅2⋅2 2⋅2⋅2
am : an =
= 25 −3
am = a m−n n a
= 22
3.
(4 )
2 3
= 42 × 4 2 × 42
(a )
p n
=4
2+ 2 + 2
= a pn
= 46
4.
( 2 ⋅ 4)
3
= 2⋅ 4× 2⋅ 4× 2⋅ 4
(a ⋅ b)
= 2⋅ 2⋅ 2× 4⋅ 4⋅ 4
n
= a nb n
= 2 3 × 25 3
3 23 2 2 5. = 3 = 3 4 4 ( 22 )
=
6. 23 : 23 =
n
an a = ;b ≠ 0 bn b
23 1 1 = = 2 6 23 8 23 =1 23
a0 = 1
2⋅2⋅2 = 2⋅2⋅2
( a ≠ 0)
= 23−3 = 2 0
7. 23 : 25 = =
23 25
a−n =
2⋅2⋅2 2⋅2⋅2⋅2⋅2
28
1 an
= 23−5 = 2 −2 =
1 22
3
2 2 2 2 3⋅ 2 8. a 3 = a 3 × a 3 × a 3 = a 3 =a 2
( a)= 3
3
2
3
m
a2 × 3 a2 × 3 a2
a n = n am
= 3 a6 = a 2 2
a 3 = 3 a2
Contoh: Hitung atau sederhanakan bentuk berikut! 1. 115 × 113
4. b3 : b10
2. a 9 × a 3 7
1 1 3. × 5 5
5. 5
a7 ⋅ b ⋅ c4 a 4 ⋅ b3 ⋅ c
Jawab: 1. 115 ×113 = 115+3 = 118 2. a 9 × a 3 = a 9 +3 = a12 7
5
1 1 1 3. × = 5 5 5
7 +5
12
1 1 = = 12 = 5−12 5 5
4. b3 : b10 = b 3−10 = b −7 5.
a7 ⋅ b ⋅ c4 = a 7 − 4 ⋅ b1−3 ⋅ c 4−1 = a 3 ⋅ b −2 ⋅ c 3 a 4 ⋅ b3 ⋅ c
Persamaan eksponen Definisi: Persamaan eksponen adalah persamaan yang didalamnya terdapat eksponen (pangkat) yang berbentuk suatu fungsi dalam x.
29
Cara penyelesaiannya: Tipe 1
a
f ( x)
= a p ⇔ f ( x) = p
( )
Contoh: Selesaikan! 1. 52 x +1 = 59 2. 5 x
2
−4 x
=
1 125
Jawab: 1. 52 x +1 = 59 ⇔ 2 x + 1 = 9 ⇔ 2x = 9 −1 ⇔ x=
8 =4 2
∴ HP = {4} 2. 5 x
2
−4 x
=
2 1 ⇔ 5 x − 4 x = 5− 3 125
⇔ x 2 − 4 x = −3 ⇔ x2 − 4 x + 3 = 0
⇔ ( x − 1)( x − 3) = 0 ⇔ x1 = 1; x2 = 3
∴ HP = {1,3}
Tipe 2
a
f ( x)
=a
g ( x)
⇔ f ( x) = g ( x)
Contoh: Selesaikan! 1. 52 x +1 = 5 x − 2 2. 5 x
2
−4 x
=
1 125
Jawab:
30
1. 52 x +1 = 5 x − 2 ⇔ 2 x + 1 = x − 2 ⇔ 2 x − x = −2 − 1 ⇔ x = −3
∴ HP = {−3} 2. 5 x
2
−3 x
=
2 1 1 ⇔ 5 x − 4 x = 2( 6 − x ) 6− x 25 5
⇔ 5x
2
−3 x
=5
− 2( 6 − x )
⇔ x 2 − 3 x = −2 ( 6 − x ) ⇔ x 2 − 3 x = −6 + 2 x ⇔ x 2 − 3x − 2 x + 6 = 0 ⇔ x2 − 5x + 6 = 0
⇔ ( x − 2 )( x − 3) = 0 ⇔ x = 2 atau x = 3
∴ HP = {2,3}
c. Rangkuman : • Bilangan berpangkat (eksponen) didefinisikan sebagai: a n = a14 ⋅ a ⋅4 a244 ⋅ a ⋅ ... ⋅3 a⋅ n buah faktor a
a (ruas kiri) disebut bilangan pokok, berasal dari a (ruas kanan) yang disebut faktor.
n disebut eksponen (pangkat), menunjukkan banyaknya faktor a
• Sifat-sifat ekponen diantaranya:
a m × a n = a m+n
am a m : a n = n = a m−n a
(a )
(a ⋅ b)
p n
n
= a pn n
an a = ;b ≠ 0 bn b
a0 = 1
a−n =
= a nb n
31
m n
( a ≠ 0) 1 an
a = n am
• Cara menyelesaikan persamaan eksponen:
Tipe 1: a
Tipe 2: a
f ( x)
= a p ⇔ f ( x) = p
f ( x)
=a
g ( x)
⇔ f ( x) = g ( x)
d. Tugas Kegiatan Belajar 2 Kerjakan dan diskusikan soal-soal Lembar Kerja 2 secara berkelompok, kemudian presentasikan hasilnya.
e. Tes Formatif 2 (waktu 45 menit) 1. Hitunglah! a) 109 × 10 −6 3
−2
1 1 b) × 5 5
1 c) 23 ⋅ 2
2 d) 8 ⋅ ⋅ 92 3 −3
7
5
2. Sederhanakan bentuk berikut ini! a) a 9 × a −6 b)
c)
(2 p q ) 2
5 3
a10b 2 c5 a 7 bc8
d) x 2 3 x 2 3. Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut ini! a) 36 x −3 = 32 x +11
c) 52 x −6 = 5 5
b) 213 x + 2 = 128
d) 1253 x − 2 = 25 x − 20
f. Kunci Jawaban Tes Formatif 2
g. Lembar Kerja Siswa 2 1)
Lengkapi
pernyataan-pernyataan
berikut
ini
sehingga
pernyataan yang benar! 1.
Perhatikan sifat
am = a m − n untuk a ≠ 0 dan m ≥ n . an 32
diperoleh
2.
Sifat pada Langkah 1 menunjukkan bahwa hanya berlaku untuk m ≥ n . Jika ditetapkan m dan n dengan m < n , misalnya m = 6 dan n = 8 , maka sifat pada langkah 1 memberikan:
3.
a6 = a...−... = a −... 8 a
(*)
sekarang hitunglah
a6 dengan menyatakan a 6 dan a 8 ke dalam 8 a
perkalian berulang a .
a1424 × a × ... ×3a a6 ... faktor = 8 a a14 × a4 ×244 a × ... ×3a ... faktor
Sederhanakan faktor yang sama pada pembilang dan penyebut di ruas kanan, dan tulis hasilnya. a6 1 = ... 8 a a
4.
(**)
Ruas kiri persamaan (*) dan (**) adalah sama, sehingga Anda dapat menyamakan ruas kanannya dan diperoleh: a −... =
1 a...
(***)
Ulangi langkah 2 sampai dengan Langkah 4 untuk nilai m dan n lainnya dengan m < n . Perhatikan persamaan (***) yang telah Anda peroleh!
3. Kegiatan Belajar 3 (Bilangan Bentuk Akar) a. Tujuan Kegiatan Belajar 3 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan : 1) Memahami bentuk dan pengertian bilangan bentuk akar 2) Memahami sifat-sifat bilangan bentuk akar 3) Melakukan berbagai operasi pada bilangan bentuk akar
33
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3 1) Bilangan bentuk akar Definisi bilangan bentuk akar b= n a
Disebut bilangan bentuk akar, ini berasal dari persamaan b n = a . Keterangan:
n
a disebut radikan atau bilangan di bawah tanda akar
n disebut indeks (penunjuk akar) yang selanjutnya disebut pangkat
a disebut radikal atau bentuk akar
akar, dengan n > 1, n ∈ .
Catatan:
9 = 32 = 3
a)
b)
c)
3
125 = 3 53 = 5
3
−8 =
5
−243 =
3
( −2 ) 5
3
Akar pangkat n dari suatu bilangan positif adalah positif
= −2
( −3 )
5
Akar pangkat n dari suatu bilangan negatif adalah negatif untuk n ganjil
= −3
−4 = tidak ada (khayal/ imajiner)
Akar pangkat n dari suatu bilangan negatif tidak ada jika n genap
−9 = tidak ada
(khayal/ imajiner) Sebab: ( 2 ) = 4 2
( −2 )
2
(?)
= −4 (tidak ada)
2
=2
Operasi pada bilangan bentuk akar Perhatikan beberapa ketentuan berikut ini! Bilangan m a dan jika m = n .
n
b disebut senama jika dan hanya 34
(penting untuk prinsip perkalian dan pembagian) Contoh: a.
2, 2 3,3 5, 8 adalah bilangan-bilangan yang senama 3
b.
2, 3 3, 2 3 8, 3 21 adalah bilangan-bilangan yang senama
Bilangan m a dan n b disebut sejenis jika dan hanya jika m = n dan a = b .
(penting untuk prinsip penjumlahan dan pengurangan) Contoh: 2,3 2, −6 2,10 2 adalah bilangan-bilangan yang sejenis
a. b.
3
3,5 3 3, 7 3 3, −
33 3 adalah bilangan-bilangan yang sejenis 2
1. Penjumlahan/ pengurangan bilangan bentuk akar Dua atau lebih bilangan bentuk akar bisa dijumlahkan/ dikurangkan jika dan hanya jika akarnya sejenis.
Contoh: a. 6 2 + 5 2 − 3 2 = ( 6 + 5 − 3) 2 = 8 2 b. 10 3 2 − 5 3 2 − 3 3 2 + 3 2 = (10 − 5 − 3 + 1) 3 2 = 3 3 2 c.
32 − 8 = 25 − 23 = 22 2 − 2 2 = 4 2 −2 2 = 2 2
d. 9 12 − 2 75 = 9 22 ⋅ 3 − 2 52 ⋅ 3 = 9⋅ 2 3 − 2⋅5 3 = 18 3 − 10 3 = 8 3
35
Perhatikan bahwa untuk contoh c dan d diperlukan penyederhanaan terlebih dahulu sehingga akar-akarnya menjadi sejenis sehingga operasi penjumlahan dan pengurangan bisa dilakukan.
2. Perkalian/ pembagian bilangan bentuk akar Dua atau lebih bilangan bentuk akar bisa dikalikan/ dibagi jika dan hanya jika akarnya senama.
Contoh:
6 × 3 = 18 = 32 ⋅ 2 = 3 2
a. b.
3
5 × 2 3 2 × 3 4 = 2 3 5 ⋅ 2 ⋅ 4 = 2 3 40 = 2 3 23 ⋅ 5 = 2 ⋅ 2 3 5 = 4 3 5
c.
3
5 × 7 = 6 52 × 6 7 3 = 6 25 × 6 343 = 6 8575
d. 2 2 × 5 2 × 10 2 = 210 25 × 10 22 × 10 2 = 210 25 × 2 2 × 2 = 210 28 = 2 5 24
c. Rangkuman : •
Definisi bilangan bentuk akar b= n a
Disebut bilangan bentuk akar, ini berasal dari persamaan b n = a . Keterangan:
n
a disebut radikan atau bilangan di bawah tanda akar
n disebut indeks (penunjuk akar) yang selanjutnya disebut pangkat
a disebut radikal atau bentuk akar
akar, dengan n > 1, n ∈ . •
Bilangan
m
a dan
n
b disebut senama jika dan hanya jika m = n .
36
b disebut sejenis jika dan hanya jika m = n dan a = b .
•
Bilangan
•
Dua atau lebih bilangan bentuk akar bisa dijumlahkan/ dikurangkan jika
m
a dan
n
dan hanya jika akarnya sejenis. •
Dua atau lebih bilangan bentuk akar bisa dikalikan/ dibagi jika dan hanya jika akarnya senama.
4. Kegiatan Belajar 4 (Logaritma) a. Tujuan Kegiatan Belajar 4 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan : 1) Memahami pengertian logaritma 2) Memahami sifat-sifat logaritma 3) Menyelesaikan soal-soal dengan menggunakan sifat-sifat logaritma 4) Menentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 4 1) Logaritma Ketika Anda berbisik, intensitas bunyi yang dihasilkan sangatlah kecil. Berbeda dengan suara halilintar ketika hujan terjadi yang bisa menghasilkan intensitas bunyi yang sangat besar. Allah swt. telah menganugerahkan kita sepasang telinga, yang dengan kepekaannya hingga mampu mendengar bunyi dalam selang intensitas yang cukup lebar, yaitu mulai dari 10-12 W.m-2 hingga 1 W.m-2, atau dalam rentang 10-12. Supaya rentang intensitas yang dapat didengar oleh telinga, yaitu 10-12 dapat dilukiskan dalam kertas milimiter dengan rentang pengukuran hanya 103, digunakanlah skala logaritma. Hal yang sama akan Anda temui dalam ilmu kimia ketika Anda belajar tentang keseimbangan ionik dalam larutan asam basa. Ukuran tingkat keasaman larutan dinyatakan dalam pH, yang didefiniskan dengan menggunakan konsep logaritma. Dalam bidang ekonomi pun, ada konsep logaritma digunakan.
37
Hal tersebut, menggambarkan betapa perlunya Anda memahami logaritma dengan baik.
Definisi logaritma a
log b = c ⇔ a c = b
dengan syarat: a > 0; a ≠ 1 dan b > 0 .
Perhatikan, bahwa logaritma adalah invers (kebalikan) dari eksponen. Bentuk logaritma a isebut bilangan pokok b isebut numerus c disebut hasil Bentuk eksponen a disebut bilangan pokok b disebut pangkat (eksponen) c disebut hasil
Contoh: Hitunglah logaritma (soal a dan b) dan cari nilai x (soal c dan d)! a. log10.000 b.
2
log
1 2
Jawab: a.
log10.000 = 4, sebab 10 4 = 10.000
b.
2
log
c.
2
log x = 3 ⇔ 23 = x = 8
d.
4
log x =
1 1 = −1, sebab 2−1 = 2 2
1 1 ⇔ 42 = x 2
⇔ x= 4=2
Sifat-sifat logaritma 38
c.
2
log x = 3
d.
4
log x =
1 2
1. Sifat perkalian a
log ( b × c ) = a log b + a log c
2. Sifat pembagian a
log
b a = log b − a log c c
3. Sifat pemangkatan log b n = n ⋅ a log b
a
4. Sifat pengubahan bilangan pokok c a
log b =
c
log b log a
a
log b =
b c
1 log a
log b
Contoh: Jika log 2 = 0,301 , log 3 = 0, 477 , log 5 = 0, 699 , hitung: a. log 6
c. log
b. log18
9 4
Jawab: a. log 6 = log 2 ⋅ 3 = log 2 + log 3 = 0,301 + 0, 477 = 0, 778 b. log18 = log 2 ⋅ 32 = log 2 + log 32 = log 2 + 2 log 3 = 0,301 + 2 ( 0, 477 ) = 1, 255 c.
log
9 = log 9 − log 4 = log 32 − log 22 = 2 log 3 − 2 log 2 = 2 ( 0, 477 ) − 2 ( 0, 301) = 0,352 4
c. Rangkuman : • Logaritma adalah invers dari eksponen a
log b = c ⇔ a c = b
a disebut bilangan pokok, dengan a > 0 dan a ≠ 1 b disebut numerus, dengan b > 0
39
c disebut hasil logaritma, bisa positif, nol, atau negatif • Sifat-sifat logaritma:
o
Sifat perkalian a log ( b × c ) = a log b + a log c
o
Sifat pembagian a log
o
Sifat pemangkatan a log b n = n ⋅ a log b
o
Sifat pengubahan bilangan pokok a log b =
b a = log b − a log c c
c
40
c
log b log a
DAFTAR PUSTAKA
Putra, 2004, Matematika SMA Kelas 1 Jilid 1B, Jakarta: PT Gramedia Widiasarana Indonesia.
Tim Penulis Matematika, 1995, Matematika SMU 1B Edisi Revisi, Bandung: PT Remaja Rosdakarya.
Tim Penulis Matematika, 2004, Matematika Untuk SMK Kelas 1, Dinas Pendidikan Propinsi Jawa Barat.
41
