METODE NUMERIK. Sistem Persamaan Linier (SPL) (1) Pertemuan ke 5. Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom

METODE NUMERIK Pertemuan ke – 5

Sistem Persamaan Linier (SPL) (1) Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom

www.rkhacademy.com/wp

Representasi SPL  Bentuk umum persamaan linear dengan n

peubah

a1 x1  a 2 x 2    a n x n  b

 Dimana : a , a ,, a   : koefisien dari persamaan dan x1, x2, . . . , xn merupakan peubah. 1

2

n

Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom


Representasi SPL  Dalam penyelesaian sistem persamaan linier, akan

dicari nilai x1, x2, . . . , xn yang memenuhi sistem persamaan berikut : f 1  x1 , x 2 ,  , x n   0 f 2  x1 , x 2 ,  , x n   0

f 3  x1 , x 2 ,  , x n   0  f n  x1 , x 2 ,  , x n   0



Representasi SPL  Sehingga sistem persamaan linier diatas

mempunyai bentuk umum sebagai berikut :



Representasi SPL  Dapat dinotasikan dengan matrik :

 a11 a 21  a31    a n1

a12 a 22 a32  an2

 a11 a 21  A  a31    a n1

an2

 a1n   a2n    a3n       a nn 

 x1  x   2  x3       xn   

a12 a 22 a32 

 a1n   a2n    a3n       a nn 

=

 x1  x   2 X   x3       xn   

b1  b   2 b3      bn   



b1  b   2 B  b3      bn   

Penyelesaian SPL untuk n  3  Metode Grafik  Metode Substitusi – Eliminasi  Metode aturan Cramer dan Determinan

Matrik



Metode Grafik  Metode grafik merupakan salah satu metode

program linier yang hanya memuat dua variabel yang akan dicari.  Langkah-langkah pemecahan dengan metode grafik adalah sebagai berikut : Gambarkan sebuah bidang koordinat dengan kedua variabel sebagai sumbu koordinat. Gambarkan garis-garis fungsi persamaan. Tentukan koordinat titik potong yang terbentuk dari garis-garis fungsi persamaan. Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom


Metode Substitusi – Eliminasi  Metode substitusi – eliminasi merupakan : metode untuk menghilangkan salah satu variabel yang diinginkan kemudian dilakukan cara substitusi untuk mendapatkan nilai variabel berikutnya.



Metode aturan Cramer dan Determinan Matrik  Metode ini dikerjakan dengan menggunakan aturan Cramer dan

perhitungan nilai determinan pada matrik koefisien dari sistem persamaan linier yang akan diselesaikan.  2 Persamaan Linier :

a11x  a12 y  b1

 Dengan Determinan

D  a11a22  a12a21

a21x  a22 y  b2

 Dengan aturan Cramer

x

b1

a12

a11

b2

a 22

a 22 b2

D

y

b1 D



Penyelesaian SPL untuk n > 3  Secara garis besar terdapat dua cara untuk

memperoleh penyelesian sistem persamaan linier, yaitu : Eliminasi :

Eliminasi Gauss Gauss-Jordan

Iterasi :

Gauss-Seidel Jacobi Successive Over Ralaxation (SOR) Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom


Eliminasi Gaus  Eliminasi Gauss prinsipnya: merupakan operasi eliminasi dan substitusi variabel-variabelnya sedemikian rupa dapat terbentuk matriks segitiga atas, akhirnya solusinya diselesaikan menggunakan teknik substitusi balik (backsubstitution).



Langkah Eliminasi Gauss  Ubahlah sistem persamaan linier tersebut menjadi matrik augment, yaitu

suatu matrik yang berukuran n x (n + 1)  a11 a 21  a31    a n1

a12 a 22 a32  an2

 a1n | b1   a 2 n | b2   =  a3n | b3   |     a nn | bn 

 a11 a  21 a31    a n1

a1,n 1  a 2,n 1   a3,n 1  |     a nn | a n ,n 1 

a12  a1n | a 22  a 2 n | a32  a3n |    an2

 Periksalah elemen-elemen pivot.  Elemen-elemen pivot adalah elemen-elemen yang menempati diagonal suatu matrik, yaitu a11, a22, . . . , ann atau disingkat aii.  Jika , bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun, jika ada elemen diagonal yang bernilai nol, aii = 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (Pi) (Pj) dimana j = i + 1, i + 2, ..., n , sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol,



 Proses triangularisasi. Lakukanlah operasi berikut:

dimana j = i +1, i + 2, . . . , n. Maka matrik augment akan menjadi :

 Hitung nilai xn dengan cara :

xn 

a11 a12 0 a 22  0 0     0  0

Pj 

a ji aii

Pi  Pj

 a1n | a1,n 1   a 2 n | a 2,n 1    a3n | a3,n 1   |     a nn | a n ,n 1 

a n ,n 1 a nn

 Lakukan lah proses substitusi mundur untuk memperoleh xn-1, xn-2, .

. . , x1 dengan cara :

ai ,n 1   j i 1 aij x j n

xi 

aii



Contoh  Diberikan sistem persamaan linier sebagai

berikut : 2x1 + x2 + 3x3 = 11 4x1 + 3x2 + 10x3 = 28 2x1 + 4x2 + 17x3 = 31

 Carilah solusi dari sistem persamaan linier

diatas.



Penyelesaian  Langkah Pertama, Persamaan pertama dari sistem dibagi koefisien pertama dari

persamaan pertama:

2x1 + x2 + Dihasilkan :

x1 

3x3 = 11

:2

1 3 11 x 2  x3  2 2 2

 Langkah Kedua, Persamaan yang dihasilkan langkah pertama dikalikan dengan

koefisien pertama persamaan kedua

Dihasilkan

1 3 11   x  x  x   1  2 3 2 2 2  4 x1  2 x 2  6 x3  22

x 4

 Langkah Ketiga, Persamaan kedua dikurangkan dengan persamaan hasil langkah

kedua. Dihasilkan :

x 2  4 x3  6 Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom


 Langkah Keempat, Persamaan yang telah dinormalkan (persamaan hasil langkah pertama) dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan ketiga dan hasilnya dikurangkan pada persamaan ketiga. Sehingga dihasilkan : 3 x  14 x  20 2

3

 Langkah kelima, persamaan hasil langkah ketiga dibagi dengan koefisien pertama persamaan tersebut kemudian dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan hasil langkah keempat Sehingga dihasilkan : 2 x  2 3



 Sehingga didapat sistem persamaan baru :

2 x1  x 2  3 x3  11

x 2  4 x3  6 2 x3  2

 x1  3   x    2  Sehingga penyelesaiannya adalah :  2     x3  1 



Eliminasi Gauss- Jordan  Eliminasi Gauss-Jordan prinsipnya: mirip sekali dengan metode Eliminasi Gauss, matriks A mengalami inversi terlebih dahulu untuk mendapatkan matriks identitas (I).  Merupakan metode pengembangan eliminasi gauss, hanya

saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal



Gambaran umum metode eliminasi Gauss - Jordan



Soal Latihan  3x + 2y – z = 7

2x – 3y + 2z = 3 x + 5y + z = 8  x + 3y – z = 6

2x + y + 2z = 5 2y + z = 8



METODE NUMERIK. Sistem Persamaan Linier (SPL) (1) Pertemuan ke 5. Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom

Recommend Documents