Pertemuan ke-5 Persamaan Linier Simultan. 11 Oktober Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

Pertemuan ke-5 Persamaan Linier Simultan 11 Oktober 2012

Metode Eliminasi Gauss (Gaussian Elimination)

Metode Eliminasi Gaus • Suatu metode untuk menyelesaikan persamaan linier simultan dari [A][X]=[C]

• Dua langkah penyelesaian penyelesaian:: – Eliminasi maju (Forward Elimination) – Substitusi balik (Back Substitution)

Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

2

Eliminasi Maju • Hasil akhir dari eliminasi maju adalah mengubah koefisien matriks menjadi matriks segitiga atas. atas.  25 5 1  x1  106.8   64 8 1  x  = 177.2     2   144 12 1  x3   279.2 

5 1   x1   106.8  25  0 − 4.8 − 1.56  x  =  − 96.21    2   0 0.7   x3   0.735   0 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

3

Eliminasi Maju Sepasang n persamaan dan n variabel yang tidak diketahui

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ... + a2 n xn = b2 . . .

. . .

an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + ... + ann xn = bn (n-1) langkah eliminasi maju Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

4

Eliminasi Maju Maju:: 3 Persamaan dengan 3 Variabel Tidak Diketahui

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1

(1)

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

(2)

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

(3)


5

Eliminasi Maju Maju:: Langkah 1-a • Bagi persamaan (1) dengan a11 dan dikalikan dengan a21  a21    (a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 )  a11 

a21 a21 a21 a21 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a11 a11 a11


(4)

6

Eliminasi Maju: Langkah 1-b • Kurangkan persamaan (4) dengan persamaan (2): a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 (2)

a21 x1 +

a21 a a a12 x2 + 21 a13 x3 = 21 b1 a11 a11 a11

(4)

-

  a21  a21  a21 a a x a a x b b1 − + − = −  22  23 12  2 13  3 2 a a a 11 11 11     ' ' a22 x2 + a23 x3 = b2'

(5)


7

Eliminasi Maju: Langkah 1-c • Ulangi seperti Langkah 1 untuk persamaan (3), dengan membagi persamaan (1) dengan a11 dan dikalikan dengan a31:  a31    (a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 )  a11 

a13 a31 a12 a31 x1 + a31 x2 + a31 x3 = b1 a11 a11 a11

(6)

Langkah 1 Selesai Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

8

Eliminasi Maju: Langkah 1-d • Ulangi seperti Langkah 2 untuk persamaan (3), persamaan (6) dengan persamaan (3): :

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 a a b a31 x1 + a31 12 x2 + a31 13 x3 = a31 1 a11 a11 a11

(3) (6)

-

   a13  a31  a12  b1   a32 − a31  x2 +  a33 − a31  x3 =  b3 − a a a 11  11  11     ' ' a32 x2 + a33 x3 = b3'

Langkah 1 Selesai

(7)


9

Hasil Langkah 1 • Langkah 1 menghasilkan persamaan berikut :

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ' ' a22 x2 + a23 x3 = b2' ' ' a32 x2 + a33 x3 = b3'

(1) (5) (7)

• Masih terdapat 2 variabel tidak diketahui pada persamaan (5) dan (7), sehingga salah satunya harus dieliminasi. dieliminasi. Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

10

Eliminasi Maju • Untuk sistem n persamaan persamaan,, maka Langkah 1a hingga 1d akan menghasilkan : a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1 ' ' a22 x2 + a23 x3 + ... + a2' n xn = b2'

' ' a32 x2 + a33 x3 + ... + a3' n xn = b3' . . .

. . .

. . .

' an' 2 x2 + an' 3 x3 + ... + ann xn = bn' Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

11

Eliminasi Maju Maju:: Langkah 2-a • Eliminasi x2 pada persamaan (5) dengan cara membaginya dengan a’22 dan mengalikannya dengan a’32: '  a32  ' ' ' a x + a x = b  '  22 2 23 3 2 a  22  ' ' a a ' ' 23 32 ' a32 x2 + a32 x b2 = 3 ' ' a22 a22

(


) (8)

12

Eliminasi Maju Maju:: Langkah 2-b • Kurangkan persamaan (8) pada persamaan (7): ' ' a32 x2 + a33 x3 = b3' ' ' a a ' ' 23 32 ' a32 x2 + a32 x = b2 3 ' ' a22 a22 ' '  '  ' a32 ' a23  '   a33 − a32 '  x3 =  b3 − ' b2  a22  a22    '' '' a32 x2 + a33 x3 = b3''

(7) (8)

-

(9)


13

Hasil Langkah 2 • Langkah 2 menghasilkan persamaan berikut :

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ' ' a22 x2 + a23 x3 = b2' '' a33 x3 = b3''

(1) (5) (9)

• Persamaan baru tersebut memiliki elemen matriks berupa matriks segitiga atas. atas.


14

Eliminasi Maju • Untuk sistem n persamaan persamaan,, maka Langkah 1 akan menghasilkan : a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1 ' ' a22 x2 + a23 x3 + ... + a2' n xn = b2'

" a33 x3 + ... + a3" n xn = b3" . . .

. . .

. . .

" an" 3 x3 + ... + ann xn = bn"


15

Eliminasi Maju Pada tahap akhir langkah ke (n-1) eliminasi maju, sistem persamaan akan menghasilkan

a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + ... + a1n x n = b1 ' ' a22 x2 + a23 x3 + ... + a2' n xn = b2'

" a33 x3 + ... + a3" n xn = b3" . . .

. . .

(n −1 ) ( n −1) ann xn = bn


16

Bentuk Matriks hasil Eliminasi Maju a11 a12  0 a' 22  0 0  ⋮ ⋮  0 0

a1n   x1   b1  ⋯ a'2 n   x2   b2'      " " ⋯ a3n   x3  =  b3      ⋯ ⋮  ⋮   ⋮  (n −1 )   xn  bn(n-1 )  0 ann

a13 ⋯ a'23 a"33 ⋮ 0


17

Substitusi Balik: Balik: Langkah 3-a • Dari sistem persamaan hasil Langkah 2, hitung variabel yang tidak diketahui dari persamaan yang terakhir yaitu :

b3'' x3 = '' a33

(10)

• Atau untuk n persamaan persamaan::

bn( n −1) x n = ( n −1) a nn Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

18

Substitusi Balik: Balik: Langkah 3-b • Hitung variabel tidak diketahui lainnya dari persamaan (5) dan (1), yaitu : ' b2' − a23 x3 x2 = ' a22

(11)

b1 − a12 x2 − a13 x3 x1 = a11

(12)


19

Substitusi Balik bn( n −1) x n = ( n −1) a nn xi =

bi( i −1) − ai(,ii−+11) xi +1 − ai(,ii−+12) xi + 2 − ... − ai(,in−1) xn aii( i −1) ( i −1)

bi xi =

Untuk i = n-1, …, 1

n

− ∑ aij( i −1) x j j =i +1 ( i −1) ii

Untuk i = n-1, …, 1

a


20

Metode Eliminasi Gauss

Contoh Penggunaan Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

21

Contoh 1 Kecepatan dorong roket pada tiga waktu berbeda sebagai berikut : Tabel 1 Data Kecepatan vs. waktu. Waktu t (s)

Kecepatan ν (m/s)

5

106.8

8

177.2

12

279.2

Data kecepatan tersebut didekati dengan persamaan polinomial berikut: v t = a t 2 + a t + a , 5≤ t

()

1

2

3

≤ 12.

Tentukan kecepatan pada saat t = 6 detik! Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

22

Contoh 1 Cont. 2 Sistem persamaan v(t ) = a1t + a2t + a3 , 5 ≤ t ≤ 12.

Dalam bentuk matriks dinyatakan sebagai berikut:  t 12  2 t2  t 32 

t1 t2 t3

1  1 1 

 a1   v1  a  = v   2  2  v 3   a 3 

Digunakan data dari Tabel 1, maka :  25  64  144

5 8 12

1 1 1

 a 1  106 .8   a  = 177 . 2    2   a 3   279 .2 


23

Contoh 1 Cont. Bentuk matriks Contoh 1:  25  64  144

5 8 12

1 1 1

 25  a1   106 . 8   a  =  177 . 2  ⇒  64   2   144  a 3   279 . 2 


5 8 12

1 106 . 8   1 177 . 2  1 279 . 2 

24

Eliminasi Maju Jumlah Langkah Eliminasi Maju: Maju: (n(n-1) = (3(3-1) = 2


25

 25 5 1 106.8    64 8 1 177 . 2   144 12 1 279.2 

Langkah 1

Bagi persamaan ke-1 dengan 25 dan dikalikan dengan 64, yaitu : 64  25 5 1 106.8 × = 64 12.8 2.56 273.408  25 Kurangkan ke persamaan ke-2 .

64 8 1177.2  − 64 12.8 2.56 273.408 0 −4.8 −1.56 − 96.208

Hasil persamaan baru adalah

 25 5 1 106.8    0 − 4.8 − 1.56 − 96.208   144 12 1 279.2 


26

 25 5 1 106.8    64 8 1 177 . 2   144 12 1 279.2 

Langkah 1

Bagi persamaan ke-1 dengan 25 dan dikalikan dengan 144, yaitu : 144  25 5 1 106.8 × = 144 28.8 5.76 615.168 25 144 12 1 279.2 

.

− 144 22.8 5.76 615.168

Kurangkan ke persamaan ke-3

0 −16.8 −4.76 − 335.968

Hasil persamaan baru adalah

 25 5 1 106.8    0 − 4.8 − 1.56 − 96.208    0 −16.8 −4.76 −335.968


Langkah 2

27

 25 5 1 106.8    0 − 4.8 − 1.56 − 96.208    0 −16.8 −4.76 −335.968

Bagi persamaan ke-2 dengan -4.8 dan dikalikan dengan 16.8, yaitu :  −16.8   0 −4.8 −1.56 − 96.208  ×   =  0 −16.8 −5.46 − 336.728  − 4.8   0 −16.8 −4.76 − 335.968

Kurangkan ke persamaan ke-3

− 0 −16.8 −5.46 − 336.728 0 0 0.7 0.76 

 25 5 1 106.8    Hasil persamaan baru utuk 0 −4.8 −1.56 −96.208  persamaan 3 adalah  0 0 0.7 0.76  Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

28

Substitusi Balik


29

Substitusi Balik  25 5 1 106.8   25 5 1   a1   106.8       a  =  −96.208 0 − 4.8 − 1.56 − 96.208 ⇒ 0 − 4.8 − 1.56     2    0 0 0.7 0.76   0 0 0.7   a3   0.76 

Penyelesaian untuk a3

0.7 a3 = 0.76 0.76 0.7 a3 = 1.08571 a3 =


30

Back Substitution (cont.) 5 1   a1   106.8  25  0 − 4.8 − 1.56 a  = − 96.208    2    0 0 0.7   a3   0.76 

Penyelesaian untuk a2 − 4.8a2 − 1.56a3 = −96.208 − 96.208 + 1.56a3 − 4.8 − 96.208 + 1.56 ×1.08571 a2 = − 4.8 a2 = 19.6905 a2 =


31

Back Substitution (cont.) 5 1   a1   106.8  25  0 − 4.8 − 1.56 a  = − 96.2    2    0 0 0.7   a3   0.76 

Penyelesaian untuk a1 25a1 + 5a2 + a3 = 106.8 106.8 − 5a2 − a3 25 106.8 − 5 ×19.6905 − 1.08571 = 25 = 0.290472

a1 =


32

Hasil Eliminasi Gauss C Co ontoh 1  25  64  144

1 1  1

5 8 12

 a1   106 .8   a  = 177 .2   2    a 3   279 .2 

 a1  0.290472  a  =  19.6905   2    a3   1.08571  Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

33

Contoh 1 Co Cont. Hasil penyelesaian vektor kecepatan adalah :

 a1  0.290472 a  =  19.6905   2    a3   1.08571 

Persamaan kecepatan dituliskan menjadi :

v (t ) = a1t 2 + a2t + a3 = 0.290472t 2 + 19.6905t + 1.08571, 5 ≤ t ≤ 12 Untuk t = 6 s, maka : 2

v(6) = 0.290472(6) + 19.6905(6) + 1.08571 = 129.686 m/s. Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

34

Pertemuan ke-5 Persamaan Linier Simultan. 11 Oktober Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

Recommend Documents