Mengembangkan Kemampuan Mahasiswa dalam Memvalidasi Bukti pada Aljabar Abstrak melalui Pembelajaran Berdasarkan Teori APOS I Made Arnawa Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Padang e-mail:
[email protected] Diterima 29 Mei 2007, disetujui untuk dipublikasikan 1 Mei 2009 Abstrak Disain eksperimen dalam penelitian ini meliputi tes awal dan tes akhir yang menggunakan kelas kontrol. Kelompok eksperimen diberi perlakuan berupa pembelajaran berdasarkan teori APOS. Kelompok kontrol tidak diberi perlakuan khusus, pembelajarannya secara konvensional. Tujuan utama penelitian ini adalah untuk melihat kontribusi pembelajaran berdasarkan teori APOS dalam mengembangkan kemampuan mahasiswa dalam memvalidasi bukti pada Aljabar Abstrak. Subjek sampel dalam eksperimen ini meliputi 180 mahasiswa yang berasal dari jurusan Matematika UNAND dan jurusan Pendidikan Matematika UNP. Pengumpulan data dilakukan dengan menggunakan Tes Validasi Bukti. Berdasarkan hasil analisis data, hasil utama dari penelitian ini adalah: mahasiswa yang memperoleh pembelajaran Aljabar Abstrak berdasarkan teori APOS mempunyai kemampuan memvalidasi bukti lebih baik secara signifikan jika dibandingkan dengan mahasiswa yang memperoleh pembelajaran secara konvensional. Kata kunci: Teori APOS, Aljabar abstrak, Kemampuan memvalidasi bukti Abstract This is an experimental study using control group pretest posttest design. The experiment group is treated using APOS theory instructional. The control group is treated using conventional/traditional mathematics instruction (TRAD). The main purpose of the study is to analyze the contribution of APOS in developing student ability to validate proof in Abstract Algebra. This experiment involves 180 students as research subjects from two different universities that is department of mathematics UNAND and department of mathematics educations UNP. The data was gathered by proof validated test. Based on the result of data analysis, the main result of this study is: ability in proof validating of students in APOS group is significantly better than the students in TRAD group. Keywords: APOS theory, Abstract algebra, Proof validating ability dapat memahami setiap lema dan teorema yang dipelajari. Salah satu syarat agar hal tersebut tercapai adalah mahasiswa harus mempunyai kemampuan dalam membuktikan lema dan teorema yang dipelajari dan membuktikan beberapa permasalahan yang terkait dengan penerapan definisi, lema, dan teorema. Dengan demikian, meningkatkan pemahaman mahasiswa dalam Aljabar Abstrak dapat dilakukan melalui peningkatan kemampuam mahasiswa dalam pembuktian. Hal ini sesuai dengan yang disarankan oleh Hanna (Findel, 2001), yaitu bahwa pemahaman dalam matematika hendaknya dipromosikan melalui pembuktian matematika. Pembelajaran matematika tanpa disertai dengan pembuktian tidak mencerminkan teori dan praktek bermatematika (Hanna dalam Sabri, 2003). Menurut Selden & Selden (2003), kemampuan pembuktian terdiri dari: (1) kemampuan mengkonstruksi bukti dan (2) kemampuan memvalidasi bukti. Sebagian besar mahasiswa, baik di UNAND maupun di UNP masih sangat kesulitan dalam memvalidasi bukti, terutama dalam melihat
1. Pendahuluan Aljabar Abstrak merupakan matakuliah yang sulit untuk dipelajari dan sulit untuk diajarkan. Dari sisi mahasiswa, kesulitan ini misalnya disebabkan oleh: (1) konsep-konsep dalam Aljabar Abstrak sangat abstrak, (2) banyak contoh-contoh yang berkenaan dengan konsep, tidak dikenali dengan baik oleh mahasiswa, (3) banyak mahasiswa yang belum terbiasa dengan pembuktian deduktif. Hal seperti ini ternyata tidak hanya terjadi di Indonesia, tetapi juga di negara-negara maju (lihat Leron & Dubinsky, 1995; Carlson, 2003). Semua ini berujung pada rendahnya kualitas pemahaman mahasiswa dalam Aljabar Abstrak (Dubinsky dkk., 1994; Hazzan & Leron dalam Findel, 2001). Bukti/pembuktian mempunyai peranan penting dalam Aljabar Abstrak (Findel, 2001), ini karena Aljabar Abstrak sarat dengan definisi, lema, dan teorema. Agar mahasiswa dapat memahami Aljabar Abstrak dengan baik maka mahasiswa dituntut untuk 62
Arnawa, Mengembangkan Kemampuan Mahasiswa dalam Memvalidasi Bukti pada Aljabar Abstrak 63
’keefektifan’ bukti yang satu jika dibandingkan dengan bukti yang lain. Teori APOS merupakan suatu pendekatan pembelajaran yang dikhususkan untuk pembelajaran matematika di tingkat perguruan tinggi, yang mengintegrasikan penggunaan komputer, belajar dalam kelompok kecil, dan memperhatikan konstruksikonstruksi mental yang dilakukan oleh mahasiswa dalam memahami suatu konsep matematika. Konstruksi-konstruksi mental tersebut adalah: aksi (action), proses (process), objek (object), dan skema (schema) yang disingkat dengan APOS (Dubinsky & McDonald, 2001). Sudah banyak dilakukan penelitian tentang penggunaan teori APOS pada pembelajaran matematika pada tingkat perguruan tinggi, terutama yang berkaitan dengan peningkatan hasil belajar secara umum. Penelitian ini dilakukan untuk dapat menjawab hipotesis penelitian berikut ini. Hipotesis Penelitian: Kelompok mahasiswa yang memperoleh pembelajaran Aljabar Abstrak berdasarkan teori APOS mempunyai kemampuan memvalidasi bukti lebih baik secara signifikan jika dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memperoleh pembelajaran Aljabar Abstrak secara konvensional/biasa 2. Kajian Literatur 2.1 Pengertian pembuktian dalam matematika Dewasa ini, hampir semua cabang matematika murni didasarkan pada sistem aksioma. Bekerja dalam matematika murni melibatkan pengkonstruksian bukti yang akurat untuk suatu teorema baru. Pembuktian dalam matematika adalah berbeda dengan pembuktian dalam bidang lainnya. Menurut Hoyles (Sabri, 2003), pembuktian dalam matematika berperan sebagai metode uji untuk pengetahuan matematika yang terpercaya, yang berbeda dengan metode induktif yang diterapkan dalam bidang ilmu pengetahuan alam. Pembuktian pada dasarnya adalah membuat serangkaian deduksi dari asumsi (premis atau aksioma) dan hasil-hasil matematika yang sudah ada (lema atau teorema) untuk memperoleh hasil-hasil penting dari suatu persoalan matematika (Tall, 1989; Schoenfeld dalam Finlow-bates, 1996). Satu-satunya yang dapat menjamin kebenaran dari suatu pernyataan matematika adalah dengan bernalar secara deduktif (Rota dalam Sabri, 2003). Pembuktian yang diperoleh melalui bernalar secara deduktif dimaksudkan untuk menetapkan kepastian dari pengetahuan matematika, tetapi kepastian itu tidaklah absolut. Suatu sistem matematika, misalnya suatu sistem geometri dibangun dari beberapa aksioma, hal yang dapat kita lakukan adalah meminimalisir jumlah aksioma dan aturan pembuktiannya sampai pada jumlah tertentu (Ernest, 2003).
Dari perspektif perkembangan kognitif, Tall (1995) menjelaskan bahwa representasi bukti berkembang melalui empat tahapan, yaitu: bukti enaktif (enactive proof), bukti visual (visual proof), bukti simbolik (symbolic proof), dan bukti formal (formal proof). Bukti enaktif, melibatkan peragaan fisik untuk menunjukkan suatu kebenaran; bukti visual, melibatkan pembuatan grafik atau gambar; bukti simbolik, melibatkan pemanipulasian simbol-simbol aljabar; dan bukti formal melibatkan penalaran deduktif. Menurut Hanna (Sabri, 2003), ciri dari bukti formal adalah: (1) setiap definisi, asumsi, dan sistem aksioma yang mendasarinya dinyatakan secara eksplisit, (2) setiap langkah-langkah pembuktian disertai alasan deduktifnya. Selanjutnya, terutama berkenaan dengan diterimanya suatu teorema, Hanna (Hanna & Jahnke, 1996) memberikan suatu kriteria untuk bukti formal, yaitu harus memuat argumentasi-argumentasi yang meyakinkan dan akurat. 2.2 Kemampuan memvalidasi bukti dalam aljabar abstrak Menurut Selden & Selden (2003), kemampuan membuktikan dalam matematika (Aljabar Abstrak) terdiri dari kemampuan mengkonstruksi bukti dan kemampuan memvalidasi bukti. Kemampuan mengkonstruksi bukti meliputi kemampuan menggunakan metode-metode pembuktian, definisi, lema, dan teorema untuk menunjukkan kebenaran suatu pernyataan dalam matematika (Aljabar Abstrak). Sedangkan kemampuan memvalidasi bukti meliputi kemampuan untuk mengkritisi bukti yang berhubungan dengan jenis-jenis pembuktian yang sering muncul dalam matematika (Aljabar Abstrak). Kegiatan memvalidasi bukti meliputi: (1) membaca suatu pembuktian dalam matematika untuk menentukan kebenaran atau kekeliruannya dengan melihat kesesuaian antara sistem aksioma, premis, hasil-hasil matematika yang sudah ada (lema atau teorema), dengan alur penalaran deduktifnya, (2) melengkapi pembuktian (bila ditemukan ada kekeliruan), (3) membandingkan ‘keefektifan’ bukti yang satu dengan bukti yang lainnya (Selden & Selden, 2003; Swam & Ridgway, 2004). Dalam pembelajaran Aljabar Abstrak secara konvensional/biasa, dosen lebih banyak melatihkan kemampuan mengkonstruksi bukti kepada mahasiswanya jika dibandingkan dengan kemampuan memvalidasi bukti. Akibatnya, banyak mahasiswa yang mengalami kesulitan dalam mengkritisi suatu hasil pembuktian, khususnya dalam melihat kekeliruan/kelemahan suatu pembuktian. Untuk itulah, pembelajaran Aljabar Abstrak berdasarkan teori APOS diharapkan dapat mengembangkan kemampuan mahasiswa dalam pembuktian, terutama dalam kemampuan memvalidasi bukti.
64 JURNAL MATEMATIKA DAN SAINS, JUNI 2009, VOL. 14 NO. 2
2.3 Pembelajaran berdasarkan teori APOS dan secara konvensional Teori APOS yang dikembangkan oleh Dubinsky dan koleganya merupakan hasil elaborasi dari abstraksi reflektif yang diperkenalkan oleh Piaget dalam menjelaskan perkembangan berpikir logis pada anak-anak. Dubinsky memperluas ide ini untuk menjelaskan perkembangan berpikir matematika tingkat tinggi pada mahasiswa (Dubinsky & Tall, 1991). Teori APOS mengasumsikan bahwa pengetahuan matematika yang dimiliki oleh seseorang merupakan hasil interaksi dengan orang lain dan hasil konstruksi-konstruksi mental orang tersebut dalam memahami ide-ide matematika. Konstruksi-konstruksi mental tersebut adalah: aksi (action), proses (process), objek (object), dan skema (schema) yang disingkat dengan APOS. Sering sejumlah konstruksi merupakan rekonstruksi dari sesuatu yang sudah ada, tetapi rekonstruksinya tidak persis sama seperti yang sudah ada sebelumnya. Istilah konstruksi dan rekonstruksi yang dimaksudkan di sini mirip dengan istilah akomodasi dan asimilasi dari Piaget (Asiala dkk., 1997). Teori APOS sangat baik digunakan untuk memahami pembelajaran mahasiswa dalam berbagai topik matematika di perguruan tinggi, seperti kalkulus, aljabar abstrak, statistik, matematika diskrit dan sebagainya (Dubinsky & McDonald, 2001). Secara garis besarnya, perbedaan karakteristik pembelajaran berdasarkan teori APOS dengan pembelajaran secara konvensional/biasa dapat digambarkan sebagai berikut. Pertama, pada pembelajaran berdasarkan teori APOS: (1) bahan ajar disusun dengan memperhatikan tahapan-tahapan konstruksi mental aksi, proses, objek, dan skema dan (2) mahasiswa terlibat secara aktif dalam pembelajaran, ide-ide matematika (definisi, lema, dan teorema) ditemukan mahasiswa melalui kode-kode ISETL dan melalui fakta-fakta yang diperoleh dalam kegiatan laboratorium. Sedangkan pada pembelajaran secara konvensional/biasa: (1) bahan ajar tidak dirancang secara khusus, biasanya mengacu kepada buku rujukan atau diktat yang dibuat dosen, dan (2) mahasiswa menerima informasi secara pasif, ide-ide matematika (definisi, lema, dan teorema) diberikan dalam bentuk jadi. Kedua, pada pembelajaran berdasarkan teori APOS: dosen berperan sebagai fasilitator, yaitu memberikan bantuan kepada mahasiswa, kelompok mahasiswa, atau keseluruhan anggota kelas melalui teknik scaffolding, misalnya dengan mengajukan pertanyaan dan memberikan hints dengan berbagai cara. Bantuan dihentikan apabila diperkirakan mahasiswa sudah dapat mengembangkan ide-ide yang diperlukan. Sedangkan pada pembelajaran secara konvensional/biasa: dosen berperan sebagai penyampai pengetahuan. Dosen langsung menjelaskan ide-ide matematika. Ketiga, pada pembelajaran berdasarkan
teori APOS: ada interaksi antara mahasiswa dengan mahasiswa dan mahasiswa dengan dosen, mahasiswa belajar dari teman melalui kerja kelompok, diskusi, dan saling mengoreksi (interaksi multi arah). Sedangkan pada pembelajaran secara konvensional/biasa: interaksinya bersifat satu arah atau dua arah. Ringkasnya, dalam pembelajaran Aljabar Abstrak berdasarkan teori APOS, pembuktian suatu lema/teorema tidak diberikan dalam bentuk jadi, melainkan harus dicoba terlebih dahulu oleh mahasiswa melalui diskusi dalam kelompok kecil. Selanjutnya, dosen mengajak mahasiswa untuk mengkritisi bukti yang telah dibuat oleh masing-masing kelompok, dengan teknik scaffolding dosen menggiring mahasiswa untuk sampai kepada bukti yang benar. Melalui proses pembelajaran seperti ini, kemampuan mahasiswa dalam memvalidasi bukti akan terasah. 3. Metodologi Penelitian 3.1 Disain penelitian Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah metode eksperimen. Variabel respon adalah kemampuan memvalidasi bukti, sedangkan faktor perlakuan adalah pendekatan pembelajaran. Dari dua kelas yang ada pada setiap jurusan (jurusan pendidikan matematika di UNP dan jurusan matematika di UNAND), dipilih secara acak 1 kelas sebagai kelompok eksperimen dan 1 kelas sebagai kelompok kontrol. Sebelum pelaksanaan eksperimen, terlebih dahulu dilakukan pretes terhadap semua mahasiswa, baik kelompok eksperimen maupun kelompok kontrol. Dalam eksperimen ini, kelompok eksperimen memperoleh pembelajaran Aljabar Abstrak berdasarkan paradigma teori APOS yaitu: (1) bahan ajar dirancang secara khusus berdasarkan teori APOS dan (2) pembelajarannya menggunakan siklus ACE (activity, class discussion, dan excercise), sedangkan kelompok kontrol memperoleh pembelajaran Aljabar Abstrak secara konvensional/biasa. Diakhir pelaksanaan eksperimen, dilakukan postes terhadap semua mahasiswa, baik kelompok eksperimen maupun kelompok kontrol. Dengan demikian disain penelitiannya adalah sebagai berikut. A O X O A O
O
Keterangan: A : Pengambilan sampel secara acak menurut kelas O : Tes awal sama dengan tes akhir X : Pembelajaran berdasarkan teori APOS 3.2 Populasi dan sampel Populasi penelitian ini adalah seluruh mahasiswa jurusan Pendidikan Matematika dan jurusan
Arnawa, Mengembangkan Kemampuan Mahasiswa dalam Memvalidasi Bukti pada Aljabar Abstrak 65
Matematika FMIPA UNP dan mahasiswa jurusan Matematika FMIPA UNAND, sedangkan sampel sebanyak 180 orang mahasiswa dipilih mahasiswa jurusan Pendidikan Matematika UNP dan mahasiswa jurusan Matematika FMIPA UNAND yang sedang mengambil matakuliah Aljabar Abstrak (Aljabar I di UNAND dan Struktur Aljabar di UNP) pada semester genap Tahun Ajaran 2005/2006. 3.3 Prosedur penelitian Ada empat kelas yang terlibat dalam penelitian ini, yaitu dua kelas dari jurusan Pendidikan Matematika UNP dan dua kelas dari jurusan Matematika UNAND. Perkuliahan pada kedua kelompok (eksperimen dan kontrol) menggunakan silabus yang sama, tetapi pengajar dan buku rujukan yang dipakai berbeda, yaitu: (1) kelas kontrol, pengajarnya adalah dosen matakuliah Aljabar Abstrak di UNP dan UNAND, dan buku yang dipakai adalah Topics in Algebra (lihat Herstein, 1975). Buku ini merupakan buku rujukan matakuliah Aljabar Abstrak (Struktur Aljabar dan Aljabar I) di FMIPA UNP dan FMIPA UNAND, (2) kelas eksperimen, pengajarnya adalah dosen UNP dan UNAND yang berkolaborasi dengan peneliti (khusus dalam kegiatan di laboratorium komputer), dan menggunakan bahan ajar yang telah dirancang khusus berdasarkan paradigma teori APOS. Pembelajaran untuk kedua kelompok dilakukan selama 10 kali pertemuan dengan 2 kali pertemuan setiap minggu selama 3x50 menit setiap pertemuan. Tiga minggu sebelum pembelajaran dimulai, semua mahasiswa yang terlibat dalam penelitian ini diberikan Tes Materi Prasyarat, skor tes ini digunakan sebagai dasar untuk melihat kesetaraan kelas-kelas yang terlibat dalam penelitian. Dua minggu sebelum pembelajaran dimulai, semua mahasiswa yang terlibat dalam penelitian ini diberikan pretes. Disamping untuk perhitungan gain, skor pretes juga digunakan sebagai dasar untuk melihat kesetaraan kelas-kelas yang terlibat dalam penelitian. Khusus untuk kelompok eksperimen, seminggu sebelum pembelajaran dimulai, diberikan latihan tentang penggunaan software ISETL dalam Aljabar Abstrak. Dari skor Tes Materi Prasyarat dan skor pretes diperoleh bahwa kelas-kelas yang dilibatkan dalam penelitian ini adalah kelas-kelas yang setara. Satu minggu setelah pembelajaran selesai, semua mahasiswa yang terlibat dalam penelitian ini diberikan postes. 3.4 Instrumen Instrumen yang digunakan terdiri dari empat item tes. Setiap item tes telah dibuat sedemikian rupa sehingga diharapkan dapat merefleksikan pemahaman dalam memvalidasi bukti. Berikut ini diberikan salah satu dari item tes tersebut.
Berikut ini diberikan suatu usaha pembuktian yang dimaksudkan untuk membuktikan Lema 1.1. Cermati langkah-langkah pembuktiannya dan kemudian tentukan apakah bukti tersebut benar atau salah. Berikan alasannya mengapa saudara berpendapat demikian, bila saudara berpendapat bahwa bukti tersebut salah, berikanlah alternatif pembuktiannya. Lema 1.1: Jika G suatu grup hingga dan a, b ∈ G maka orde (b) = orde(aba-1). Bukti: Misalkan G suatu grup hingga dan a, b ∈ G dengan orde(b) = n. Akan ditunjukkan bahwa orde (aba-1) = n, yaitu (aba-1)n = e (e unsur identitas di G). Perhatikan bahwa (aba-1) = an bn (a-1)n (sifat pangkat) = an e(a-1)n (karena orde(b) = n) (e unsur identitas ) = an(a-1)n = an a-1n = an -n (sifat pangkat) = a0 = e (definisi a0 = e).
Sebelum tes kemampuan memvalidasi bukti digunakan dalam penelitian, terlebih dahulu dilakukan uji validitas dan reliabilitas. Uji validitas yang berkenaan dengan isi dan tampilan dilakukan melalui pertimbangan empat orang ahli/dosen Aljabar Abstrak (2 orang dari ITB dan 2 orang dari UPI). Para ahli tersebut diminta untuk memberikan pertimbangannya mengenai kesesuaian antara butir soal dengan kemampuan yang ingin diukur dan kejelasan maksud soal dari sisi bahasa dan lambang-lambang matematika. Kemudian dilakukan revisi terhadap tes kemampuan memvalidasi bukti berdasarkan pertimbangan para ahli tersebut. Setelah divalidasi oleh penimbang serta direvisi sesuai masukan para penimbang tes, selanjutnya diujicobakan pada salah satu kelas di program studi Matematika dan Pendidikan Matematika UPI Bandung yang sedang mengambil perkuliahan Struktur Aljabar I. Berdasarkan skor-skor hasil ujicoba tersebut kemudian dilakukan penghitungan koefisien reliabilitas instrumen dengan menggunakan rumus Alpha (Cronbach Alpha) dan diperoleh koefisien reliabilitas sebesar 0,711. 3.4 Prosedur analisis data Data yang dianalisis pada penelitian ini adalah data gain yang diperoleh melalui tes kemampuan memvalidasi bukti dalam Aljabar Abstrak (pretes dan postes). Data-data tersebut diperoleh dengan berpedoman kepada aturan penskoran yang diadaptasi dari Malone dkk., (Hart, 1994), yaitu jawaban mahasiswa diberi skor antara 0 dan 4 sesuai dengan substansi kebenarannya. Kelompok data yang dianalisis menggunakan uji statistik, terlebih dahulu dilakukan uji normalitas dan uji homogenitas. Semua uji statistik dilakukan dengan SPSS12. Karena penelitian ini menyangkut subjek yang hidup (mahasiswa) dan banyaknya faktor luar yang sulit untuk dikontrol maka peneliti
66 JURNAL MATEMATIKA DAN SAINS, JUNI 2009, VOL. 14 NO. 2
menggunakan tingkat signifikansi 5% untuk pengujian hipotesis penelitian dan 1% untuk pengujian asumsi kenormalan dan homogenitas. Untuk mengetahui apakah teori APOS memberikan kontribusi yang lebih baik secara signifikan jika dibandingkan dengan pembelajaran secara konvensional/biasa terhadap kemampuan memvalidasi bukti, maka digunakan ANOVA satu jalur.
Gambaran kemampuan mahasiswa dalam memvalidasi bukti pada setiap item tes antara mahasiswa yang memperoleh pembelajaran berdasarkan teori APOS dengan mahasiswa yang memperoleh pembelajaran secara konvensional/biasa disajikan Tabel 2 dan Gambar 2. Tabel 2. Rerata skor pada setiap Item tes antara APOS dengan konvensional/biasa
4. Hasil dan Diskusi Rerata gain dan standar deviasi kemampuan mahasiswa dalam memvalidasi bukti pada Aljabar Abstrak disajikan pada Tabel 1 dan Gambar 1.
Pendekatan
Tabel 1. Rerata gain dan standar deviasi kemampuan memvalidasi bukti APOS BIASA
___
X = 5,822
Nomor Item Tes 1
2
3
4
APOS
0,86
0,90
2,24
1,82
Biasa
0,80
0,86
1,96
1,42
Std. = 2,236 2.5
___
X = 5,033
Std. = 2,461 2
Skor maksimum 20
1.5
APOS BIASA
1 7
0.5
6 5
0 4
APOS
3
BIASA
1
2
2
3
4
Gambar 2. Diagram garis rerata skor setiap item tes antara APOS dan biasa.
1 0 Rerata
Std.
Gambar 1. Diagram batang kemampuan memvalidasi bukti. Dari Tabel 1 dan Gambar 1 terlihat bahwa mahasiswa yang memperoleh pembelajaran Aljabar Abstrak berdasarkan teori APOS mempunyai kemampuan memvalidasi bukti lebih baik (5,822>5,033) dan lebih merata (2,236<2,461) jika dibandingkan dengan mahasiswa yang memperoleh pembelajaran Aljabar Abstrak secara konvensional/biasa.
Dari Tabel 2 dan Gambar 2 terlihat bahwa pembelajaran berdasarkan teori APOS mempunyai rerata skor yang cendrung lebih baik jika dibandingkan dengan pembelajaran secara konvensional/biasa. Dari hasil pengujian normalitas dan homogenitas dengan SPSS12 diperoleh bahwa kelompok data yang dianalisis berdistribusi normal dan mempunyai variansi yang sama. Berikut ini adalah rangkuman uji ANOVA satu jalur untuk melihat ada tidaknya perbedaan kemampuan mahasiswa dalam memvalidasi bukti Tabel 3.
Tabel 3. ANOVA satu jalur perbedaan rerata kemampuan memvalidasi bukti antara APOS dan konvensional/biasa Sumber
Jumlah Kuadrat 28,006
dk 1
Rerata Kuadrat 28,006
Inter Kelompok
984,056
178
5,528
Total
1012,061
179
Antar kelompok
F
Sig
5,066
0,026
Arnawa, Mengembangkan Kemampuan Mahasiswa dalam Memvalidasi Bukti pada Aljabar Abstrak 67
Pada tingkat signifikansi 5% (5%>Sig.) dari Tabel 3 dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang signifikan pada rerata kemampuan memvalidasi bukti. Karena rerata yang dibandingkan hanya dua buah, maka ini berarti rerata kemampuan memvalidasi bukti pada kelompok mahasiswa yang memperoleh pembelajaran Aljabar Abstrak berdasarkan teori APOS lebih baik secara signifikan dengan rerata kemampuan memvalidasi bukti pada kelompok mahasiswa yang memperoleh pembelajaran Aljabar Abstrak secara konvensional/biasa. Pembelajaran Aljabar Abstrak berdasarkan teori APOS yang dimaksudkan untuk mengembangkan kemampuan mahasiswa dalam memvalidasi bukti tercermin dari sajian bahan ajar, intervensi dosen, interaksi antar komunitas kelas yang multi arah, dan penggunaan siklus pembelajaran ACE (aktivitas laboratorium, diskusi kelas, dan latihan). Penggunaan siklus pembelajaran ACE dimaksudkan agar mahasiswa terbantu dalam melakukan konstruksi-konstruksi mental yang diperlukan untuk memahami ide-ide matematika. Melalui aktivitas laboratorium, mahasiswa diharapkan dapat memandang konsep-konsep abstrak dalam tataran yang lebih konkrit dan dapat memperoleh beberapa fakta tentang konsep tersebut. Selanjutnya, dengan berbekal pengalaman dari aktivitas laboratorium mahasiswa diajak untuk mendiskusikan konsep-konsep tersebut untuk memperoleh definisi dan konjektur. Melalui intervensi tidak langsung, mahasiswa diajak untuk membuktikan konjektur yang telah mereka buat, sehingga diperoleh lema atau teorema yang berkaitan dengan konsep tersebut. Untuk memperkokoh konsep-konsep, lema, dan teorema yang telah dikuasai mahasiswa, maka mahasiswa diajak untuk menerapkan konsep-konsep, lema, dan teorema tersebut pada beberapa permasalahan dalam Aljabar Abstrak. Ini semua dapat kita duga sebagai faktor penyebab keunggulan teori APOS terhadap pembelajaran secara konvensional/biasa dalam mengembangkan kemampuan memvalidasi bukti 5. Kesimpulan a. Secara umum, kemampuan mahasiswa dalam memvalidasi bukti masih jauh dari yang diharapkan, ini terlihat dari rerata kemampuan memvalidasi bukti yang masih jauh dari skor maksimum (APOS: 5.822<20, konvensional/biasa: 5,033<20). b. Secara statistik, mahasiswa yang memperoleh pembelajaran Aljabar Abstrak berdasarkan teori APOS mempunyai kemampuan memvalidasi bukti secara signifikan lebih baik jika dibandingkan dengan mahasiswa yang memperoleh pembelajaran Aljabar Abstrak secara konvebsional/biasa. c. Pembelajaran Aljabar Abstrak berdasarkan teori APOS mempunyai beberapa keunggulan jika
dibandingkan dengan pembelajaran secara konvensional/biasa, misalnya: (1) ada kesempatan bagi mahasiswa untuk merefleksikan apa yang mereka telah pahami melalui interaksi dengan anggota kelompok maupun interaksi dengan kelompok lain, (2) Siklus pembelajaran ACE menjamin mahasiswa untuk mmperoleh kesempatan yang memadai untuk menerapkan teorema dan lema melalui latihan-latihan soal, ini semua dapat kita duga berpengaruh terhadap kemampuan mahasiswa dalam memvalidasi bukti. Daftar Pustaka Asiala, M., A. Brown, D. J. DeVries, E. Dubinsky, D. Mathews, and K. Thomas, 1977, A Framework for Research and Curriculum Development in Undergraduate Mathematics Education, in Dubinsky, E., D. Mathews, and B. E. Reynolds (Eds.), 1977, Reading in: Cooperative Learning for undergraduate Mathematics, The Mathematical Association of America Washington DC, 37-53. Carlson, D., 2003, The Teaching and Learning of Tertiary Algebra, Makalah pada Seminar Nasional Aljabar dan Pengajaran Aljabar di Perguruan Tinggi, Jogjakarta. Dubinsky, E. and D. Tall, Advanced Mathematical Thinking and Computer, in Tall, D. (Eds.), 1991, Advanched Mathematics Thinking, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 231244. Dubinsky, E. and M. McDonald, APOS: A Constructivist Theory of Learning, in Undergraduate Mathematics Education Research, in Holton, D. (Eds.), 2001, The Teaching and Learning of Mathematics at University Level, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 275-282. Dubinsky, E., J. Dautermann, U. Leron, and R. Zazkis, 1994, On Learning Fundamental Concepts of Group Theory, Educational Studies in Mathematics, 27:3, 267-305. Ernest, P., 2003, Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics: Radical Constructivism Rehabilitated?, [online], Tersedia: http://www.ex.ac.uk/~PErnest/soccon.htm, [17 Oktober 2004]. Findel, B. R., 2001, Learning and Understanding in Abstract Algebra, Disertasi, tidak diterbitkan, New Hampshire. Finlow, B. K., 1996, Investigating Notions of Proof: A Study of Students’ Proof Activities within The Context of A Falliblist and Social Theory, Disertasi, tidak diterbitkan., South Bank University.
68 JURNAL MATEMATIKA DAN SAINS, JUNI 2009, VOL. 14 NO. 2
Hanna, G. and N. Jahnke, 1996, Proof and Proving, in, Bishop, A. J. (Eds.), 1996, International Handbook of Mathematics Education, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 235-253. Hart, E. W., A Conceptual Analysis of The ProofWriting Performance of Expert and Novice Students in Elementary group Theory, in Kaput, J. and E. Dubinsky (Eds.), 1994, Research Issues in Undergraduate Mathematics Learning, American Mathematical Society, Washington, 49-62. Herstein, I.N., 1975, Topics in Algebra, John Wiley & Sons, New York. Leron, U., and E. Dubinsky, 1995, An Abstract Algebra Story, American Mathematical Monthly, 102:3, 227-242. Sabri, 2003, Prospective Secondary School Teachers’ Conceptions of Mathematical Proof in
Indonesia, Tesis, tidak diterbitkan, Universitas Curtin. Selden, A. and J. Selden, 2003, Validations of Proof Considered as Texts: Can Undergraduates tell Whether an Argument proves a Theorem?, Journal for Research in Mathematics Education, 34:1, 4-36. Swam, M. and J. Ridgway, 2004, Convincing and Proving Task, [online], Tersedia: http://www. flaguide.org/extra/download/cat/math/convinc ing/ convince.pdf. [17 Oktober 2004]. Tall, D., 1989, The Nature of Mathematical Proof, Mathematics Teaching, 127, 23-32. ------- 1995, Cognitive Development, Representations, and Proof, Makalah dipresentasikan pada Conference on Justifying and Proving in School Mathematics, Institute of Education, Desember 1995, London.
