JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
TEORI APOS DAN IMPLEMENTASINYA DALAM PEMBELAJARAN Mulyono Jurusan Matematika FMIPA UNNES Jl. Sekaran Gunungpati Semarang 50229, email:
[email protected] ABSTRAK Belajar merupakan kerja mental secara aktif. Teori APOS merupakan teori yang mempelajari bagaimana individu belajar konsep matematika. Teori ini mengemukakan bahwa dalam membangun sebuah konsep matematika, individu melalui tahap-tahap aksi, proses, objek, dan skema. Untuk mengetahui bagaimana individu bekerja dan berpikir ketika berada pada tahaptahap itu perlu dilakukan wawancara yang mendalam. Seseorang mungkin bisa berhasil melalui semua tahap tersebut, bisa juga gagal. Meskipun sama-sama berhasil atau sama-sama gagal, antara individu satu dengan yang lainnya, mungkin berbeda aktivitas mental yang dilakukan. Dengan teori ini pengembang pendidikan dapat membuat model pembelajaran yang berorientasi pada teori ini. Teori ini menyediakan langkah-langkah konstruksi konsep matematika, model pembelajaran yang dikembangkan dapat memasukkan langkah-langkah ini ke dalam model yang dibuat pada langkah-langkah pembelajarannya. Kata kunci: Teori APOS, konsep matematika, model pembelajaran perubahan kognitif hanya terjadi jika konsepsi-
PENDAHULUAN Belajar merupakan suatu proses yang
konsepsi yang telah dipahami sebelumnya
bersifat internal pada individu dalam usaha
diolah melalui suatu proses disequilibrium
memperoleh berbagai hubungan baru. Pada
dalam upaya memahami informasi-informasi
dasarnya ketika seseorang belajar terjadi proses
baru.
berpikir, sebab pada saat belajar ia melakukan
pengetahuan
kegiatan mental. Dalam berpikir itu seseorang
kognitif melalui aktivitas seseorang. Menurut
menghubungkan
bagian-bagian
pandangan konstruktivisme, pengetahuan perlu
informasi yang telah ada dalam pikiran.
dikonstruk atau dibangun sendiri oleh individu
Pengetahuan yang diperoleh melalui informasi
yang ingin tahu atau perlu memahaminya.
antara
kemudian dihubungkan dengan pengetahuan
konstruktivisme.
oleh
mengkonstruk
ini. Teori ini memperluas ide Piaget tentang abstraksi reflektif.
Teori ini mengemukakan
sangat populer tidak hanya dalam bidang
bahwa
mengkonstruksi
pendidikan, tetapi juga dalam bidang psikologi
matematika melalui empat tahap, yaitu: aksi,
perkembangan, ilmu sosial, psychology of
proses,
gender,
mengimplementasikan
dan
teknologi
saat
individu
konstruksi
muncul sebagai upaya untuk mempelajari hal
filsafat
Konstruktivisme
hasil
bahwa
sebuah konsep matematika? Teori APOS
Pembelajaran matematika di sekolah dipengaruhi
memandang
merupakan
Bagaimana
yang sudah ada, membentuk pengertian baru.
banyak
Konstruktivisme
ini
komputer.
individu
objek,
dan
skema. teori
konsep
Bagaimana ini
untuk
Konstruktivisme lahir dari gagasan Piaget dan
membantu proses pembelajaran? Tulisan ini
Vygotsky.
akan
Keduanya
menekankan
bahwa 37
memaparkan
kedua
hal
ini,
yaitu
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
konstruksi konsep matematika dan pendekatan
pengetahuan,
yakni:
pengetahuan
pembelajaran.
matematis-logis, dan sosial.
fisis,
Menurut Piaget (dalam Suparno, 2001) PEMBAHASAN
pengetahuan seseorang merupakan abstraksi
Pada bagian ini akan dibahas tentang (1)
atas suatu objek atau hal. Piaget membedakan
pembentukan dan perkembangan pengetahuan,
adanya dua macam abstraksi, yaitu: abstraksi
(2) konstruksi konsep matematika menurut
sederhana dan abstraksi reflektif.
Teori APOS, dan (3) Implementasi Teori APOS
Abstraksi sederhana adalah abstraksi yang
dalam pembelajaran matematika.
didasarkan pada objek itu sendiri. Dalam abstraksi ini, orang menemukan pengertian
Pembentukan
dan
Perkembangan
sifat-sifat objek itu sendiri secara langsung.
Pengetahuan
Pengetahuan tersebut merupakan abstraksi
Pengetahuan manusia itu pada dasarnya
langsung atas objek itu. Inilah yang juga
adalah aktif. Mengetahui adalah mengasimilasi realitas
dalam
sistem-sistem
disebut pengetahuan eksperimental atau
transformasi.
empiris.
Mengetahui adalah mentransformasi realitas
Abstraksi
agar dapat dimengerti bagaimana realitas
dari tindakan terhadap objek itu. Inilah
membentuk sistem transformasi yang dapat
yang disebut abstraksi logis atau matematis.
menjelaskan hal tersebut. Mengerti realitas
Misalnya, berhadapan dengan 7 kelereng,
adalah membentuk sistem transformasi yang
seorang anak menghitung kelereng itu
berkaitan dengan realitas tersebut.
sampai
Menurut Piaget (dalam Suparno, 1997)
dihitung
waktu ke waktu. Pemikiran ilmiah bersifat
sama
7.
Ia
hasilnya
tetap
7.
mengubah-ubah
susunan
kelereng
Ia dan
prinsip
komutatif
bahwa
jumlah kelereng tetap sama meskipun
menerus.
susunannya
Pengetahuan bukanlah sesuatu yang ada di luar,
diubah-ubah.
Ia
juga
menemukan pengertian tentang angka 7.
melainkan ada di dalam diri seseorang yang Dalam
tetap
dan
lagi,
menemukan
Pemikiran ilmiah merupakan proses konstruksi
membentuknya.
menjajarkannya
dihitung, hasilnya tetap 7. Anak itu
sementara, tidak statis, dan merupakan proses.
terus
Ia
meletakkan kelereng di dalam kaleng,
seseorang.
Pengetahuan ilmiah itu berevolusi, berubah dari
yang
7.
menghitungnya,
semua pengetahuan adalah suatu konstruksi
reorganisasi
yang
dari sifat-sifat dari objek itu sendiri, tetapi
sesuatu adalah bertindak atas sesuatu itu, yaitu
dan
abstraksi
dan penggunaan yang tidak langsung keluar
bukanlah tiruan pasif atas realitas. Mengetahui
kegiatan/tindakan
adalah
didasarkan pada koordinasi, relasi, operasi,
tertentu itu terbentuk, sehingga pengetahuan
(bentukan)
reflektif
Sifat tersebut tidak terdapat pada kelereng,
pembentukan
tetapi
pengetahuan, Piaget membedakan tiga macam 38
pada
aksi
terhadap
kelereng.
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
Pengetahuan
ini
adalah
pengetahuan
memecahkan masalah tersebut. Konstruksi-
matematis, bukan fisis.
konstruksi mental ini disebut Teori APOS. Ide ini muncul dari usaha untuk mengembangkan
Konstruksi Konsep Matematika Menurut
karya Piaget pada abstraksi reflektif dalam
Teori APOS
pembelajaran anak-anak ke level pembelajaran
Teori perkembangan kognitif dan teori pengetahuan
Piaget
cukup
matematika perguruan tinggi. Teori APOS ini
banyak
muncul
sebagai
untuk
mekanisme
perkembangan pengetahuan pebelajar dan juga
diperkenalkan
bagaimana pebelajar belajar serta bagaimana
menggambarkan perkembangan berpikir logis
pengajar membimbing pebelajar belajar. Piaget
pada anak-anak, dan mengembangkan ide ini ke
adalah
konsep matematika yang lebih lanjut.
berpengaruh
peneliti
Piaget
yang untuk
Menurut Dubinsky (2000) karakteristik-
perkembangan selama abad ke-20. Menurut
karakteristik yang harus dimiliki oleh suatu
Piaget, teori psikologi dapat menggunakan
teori pembelajaran adalah sebagai berikut.
konsep biologi, bahwa intelegensi dapat dilihat
1) Mendukung prediksi.
sebagai suatu adaptasi organisme terhadap
2) Memiliki kemampuan untuk menjelaskan.
lingkungannya. Tingkah laku untuk beradaptasi
3) Dapat diterapkan pada jangkauan fenomena
lingkungan
bidang
sangat
oleh
reflektif
psikologi
dengan
dalam
yang
abstraksi
memahami
mempengaruhi bidang pendidikan, terutama
seorang
dari
usaha
selalu
dikontrol
oleh
yang luas.
organisasi mental yang disebut skema. Seorang individu
akan mengkonstruk skema baru
dengan
menggunakan
abstraksi
4) Membantu mengorganisaskani pemikiran tentang fenomena-fenomena belajar.
reflektif.
5) Sebagai alat untuk menganalisis data.
Dubinsky, dkk (2000) mengadaptasi ide Piaget
6) Menyediakan
bahasa
untuk
menjadi teori perkembangan skema seseorang
mengkomunikasikan tentang pembelajaran.
yang berpusat pada berpikir secara matematis,
Dubinsky, dkk (2000) mengemukakan
berupa kerangka APOS (Aksi-Proses-Objek-
bahwa teori APOS adalah teori konstruktivis
Skema).
yang mempelajari bagaimana belajar konsep
Teori hipotesis
APOS bahwa
hadir
diawali
pengetahuan
dengan
matematika. Teori ini didasarkan pada hipotesis
matematika
tentang sifat pengetahuan matematika dan
terkandung dalam kecenderungan individu
bagaimana
berkaitan
berikut ini.
dengan
matematika
yang
situasi
permasalahan
dihadapi
dan mengorganisasikan mereka ini dalam memahami
matematika
yang
An individual’s mathematical knowledge is her or his tendency to respond to perceived mathematical problem situations and their solutions by reflecting on them in a social context and constructing or reconstructing mathematical actions, processes and
dengan
mengkonstruk aksi, proses, dan objek mental
skema untuk
pengetahuan
situasi itu dan 39
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
objects and organising these in schemas to use in dealing with the situations.
refleksi atas aksi itu, maka aksi-aksi tersebut diinteriorisasi menjadi proses, yaitu suatu
Teori APOS adalah elaborasi tentang
konstruksi internal yang dilakukan pada aksi
konstruksi mental dari aksi, proses, objek, dan
yang sama tetapi sekarang tidak perlu langsung
skema. Menurut Dubinsky, kerangka kerja teori
dari rangsangan eksternal. Individu dapat
APOS dalam mengkonstruk konsep matematika
mengkonstruk objek kognitif dengan dua cara.
adalah sebagai berikut.
Pertama, jika seorang individu merefleksi aksi yang diterapkan untuk proses tertentu, dan
An action is transformation of an object which is perceived by the individual as being external. The transformation is carried out by reacting to external cues that give precise details on what steps to take. When an action is repeated, and the individual reflects upon it, it may be interiorized into a process. That is, an internal construction is made that performs the same action, but now not necessarily directed by external stimuli. When an individual reflects on actions applied to a particular process, became aware of the process as a totality, realizes that transformations (whether they be actions or process) can act on it, and is able to actually construct such transformations, then we say the individual has reconstructed this process as a cognitive object. A schema for a certain piece of mathematics is an individual’s collection of actions, processes, objects, and other schema which are linked consciously on unconsciously in a coherent framework in the individual’s mind and may be brought to bear upon a problem situation involving that area of mathematics.
sadar bahwa proses sebagai totalitas, ternyata bahwa transformasi (apakah aksi atau proses) dapat dilakukan dan dapat dikonstruk secara aktual sebagai transformasi, maka individu tersebut melakukan rekonstruksi proses ini sebagai
objek
dikatakan
kognitif.
bahwa
Pada
proses
kasus
ini,
di-enkapsulasi
(encapsulated) menjadi objek. Kedua, untuk mengkonstruk suatu objek kognitif, seorang individu melakukan refleksi pada suatu skema tertentu dan sadar bahwa skema tersebut sebagai totalitas serta dapat melakukan aksi padanya. Pada kasus ini, dikatakan bahwa individu men-tematisasi (thematized) skema menjadi
objek.
Skema
untuk
potongan
matematika tertentu adalah koleksi individu atas aksi, proses, objek, dan skema lain yang dikaitkan dalam kerangka kerja pada pikiran individu dalam menghadapi suatu problem
Menurut teori APOS, aksi merupakan
matematika.
suatu aktivitas berupa pengulangan fisik atau manipulasi mental yang mendasarkan pada
Karakteristik-karakteristik
teori
beberapa algoritma secara eksplisit. Aksi ini
pembelajaran yang telah disebutkan di atas
merupakan reaksi dari rangsangan yang subjek
dikembangkan pada Teori APOS. Teori APOS
terima dari eksternal. Aksi dapat dimaksudkan
memenuhi
sebagai transformasi fisik atau mental dari
pembelajaran yang dikemukakan oleh Dubinsky
objek untuk memperoleh objek lain. Apabila
di atas, yaitu:
aksi dilakukan secara berulang, dan dilakukan 40
enam
karakteristik
dari
teori
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
1) Mendukung
prediksi.
Kemampuan
5) Sebagai alat untuk menganalisis data.
prediktif dari teori APOS berada pada
Suatu metode yang sangat khusus dalam
pernyataan yang tegas, yaitu bila siswa
menggunakan
membuat konstruksi mental tertentu,
menganalisis data seperti yang telah
maka ia akan belajar topik matematika
disebutkan pada no. 2 di atas.
tertentu.
teori
6) Menyediakan
2) Memiliki menjelaskan. digunakan
untuk
mengkomunikasikan
Teori
dapat
pembelajaran.
untuk
untuk
bahasa
kemampuan APOS
APOS
untuk tentang
Istilah-istilah seperti
mendiskripsikan
aksi, proses, objek, skema, interiorisasi
transkrip interview dalam rincian yang
dan enkapsulasi sekarang secara umum
sangat baik. Teori APOS dapat juga
digunakan
digunakan untuk mencoba menemukan
matematika.
dalam
pembelajaran
ide-ide matematika dan kemungkinan yang
ada
Kemudian penjelasan
berupa
performa
mencoba dari
siswa.
Implementasi
menemukan
perbedaan
Teori
APOS
dalam
Pembelajaran Matematika
dalam
Dalam
tulisan
ini
akan
dipaparkan
pengertian mengkonstruksi atau tidak
implementasi teori APOS dalam pembelajaran
mengkonstruksi aksi tertentu, proses,
matematika. Penulis melihat dari dua hal, yaitu:
objek dan/ atau skema. Teori APOS
(a) perkembangan skema individu dan (b)
berupaya
pendekatan pembelajaran berdasarkan Teori
menjelaskan
tentang
keberhasilan dan kegagalan siswa. 3) Dapat
diterapkan
pada
APOS.
jangkauan
Perkembangan Skema Individu
fenomena yang luas. Teori APOS dapat
Menurut Dubinsky (2000), pemahaman
diterapkan oleh pengembangnya dan
terhadap suatu konsep matematika merupakan
juga oleh orang lain, untuk sejumlah
hasil konstruksi atau rekonstruksi terhadap
topik matematika.
objek-objek
4) Membantu
mengorganisasikan
matematika.
Konstruksi
atau
rekonstruksi itu dilakukan melalui aktivitas
pemikiran tentang fenomena-fenomena
aksi-aksi,
belajar. Teori APOS dapat digunakan
matematika yang diorganisasikan dalam suatu
untuk
skema
mengembangkan
suatu
proses-proses,
untuk
dan
memecahkan
objek-objek
masalah
dekomposisi genetik dari suatu konsep
matematika. Hal ini dapat dianalisis melalui
matematika
cara
suatu analisis dekomposisi genetik (genetic
mengorganisasikan pikiran seseorang
decomposition) sebagai operasionalisasi dari
tentang bagaimana ia dapat belajar
Teori APOS (Action, Process, Object, dan
tentang konsep tertentu.
Schema). Hasil analisis dekomposisi genetik
sebagai
satu
41
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
ini adalah suatu penjelasan dari aksi, objek, proses,
skema,
dan
relasi-relasinya
3) Hanya mengikuti contoh yang sudah
yang
ada sebelumnya.
individu miliki untuk konsep ini. Dari sini
4) Memerlukan
langkah-langkah
yang
dapat diketahui pemahaman individu yang
rinci untuk melakukan transformasi.
berusaha membangun pemahamannya tentang
5) Kinerja dalam aksi berupa kegiatan
konsep-konsep merupakan
matematika. teori
Teori
APOS
konstruktivis
prosedural.
tentang
(ii). Berdasarkan definisi Proses, penulis
bagaimana terjadinya/berlangsungnya belajar
menurunkan karakteristik dari Proses adalah
suatu konsep atau prinsip matematika, yang
sebagai berikut.
dapat digunakan sebagai suatu elaborasi tentang
1) Untuk melakukan transformasi tidak
konstruksi mental dari aksi, proses, objek, dan
perlu
skema. Teori ini dapat digunakan sebagai alat
eksternal.
analisis untuk mendeskripsikan perkembangan
2) Bisa
diarahkan
merefleksikan
dari
rangsangan
langkah-langkah
skema seseorang pada suatu topik matematika
transformasi tanpa melakukan langkah-
yang merupakan totalitas dari pengetahuan
langkah itu secara nyata.
yang
terkait
terhadap
objek
tersebut.
3) Bisa
menjelaskan
langkah-langkah
Perkembangan skema merupakan suatu proses
transformasi tanpa melakukan langkah-
yang dinamis dan selalu berubah.
langkah itu secara nyata.
Untuk melihat perkembangan skema
4) Bisa
membalik
langkah-langkah
individu berdasarkan teori APOS terhadap
transformasi tanpa melakukan langkah-
konsep matematika
langkah itu secara nyata.
diturunkan
yang dipelajari perlu
karakteristik
konstruksi-konstruksi
dari
definisi
5) Sebuah proses dirasakan oleh individu
mental
yang
sebagai hal yang internal, dan di bawah
dikemukakan oleh Dubinsky di atas. Di sini
kontrol individu tersebut.
penulis menurunkan karakteristik dari aksi,
6) Proses
proses, objek, dan skema sebagai berikut. (i).
Berdasarkan
definisi
Aksi,
itu
merupakan
pemahaman
prosedural.
penulis
7) Belum paham secara konseptual.
menurunkan karakteristik dari Aksi adalah
(iii). Berdasarkan definisi
sebagai berikut.
menurunkan karakteristik dari Objek adalah
1) Hanya
menerapkan
rumus
atau
Objek, penulis
sebagai berikut.
langsung menggunakan rumus yang
1) Dapat melakukan aksi-aksi pada objek.
diberikan.
2) Dapat men-dekapsulasi suatu objek
2) Hanya menerapkan algoritma
yang
kembali menjadi proses dari mana objek
sudah ada.
itu berasal atau mengurai sebuah skema
42
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
yang ditematisasi menjadi berbagai
hal ini perlu dilakukan penggalian data dengan
komponennya.
wawancara yang mendalam.
3) Objek merupakan suatu pemahaman
Pendekatan
konseptual. 4) Dapat
Pembelajaran
Berdasarkan
Teori APOS
menentukan
sifat-sifat
suatu
Dubinsky, dkk (dalam DeVries, 2001)
konsep.
mengemukakan suatu pendekatan pembelajaran
(iv). Berdasarkan definisi Skema, penulis
berdasarkan teori APOS yang dinamakan sikel
menurunkan karakteristik dari Skema adalah
pembelajaran ACE. Sikel pembelajaran ini
sebagai berikut.
meliputi: (1) Activity (A), yang melibatkan
1) Dapat menghubungkan aksi, proses, dan
kerja
dengan
komputer
dengan
bahasa
objek suatu konsep dengan konsep
pemrograman
lainnya.
discussion (C), yang memerlukan adanya
2) Dapat
menghubungkan
yang
interaktif;
(2)
Class
(menginter-
belajar kooperatif, dan (3) Exercise (E), adanya
koneksikan) objek-objek dan proses-
latihan untuk mengokohkan atau memperkuat
proses dengan bermacam-macam cara.
konsep-konsep yang dikonstruksi.
3) Memahami hubungan-hubungan antara
Walaupun Dubinsky telah memberikan
antara aksi, proses, objek, dan sifat-sifat
suatu pendekatan pembejalaran berdasarkan
lain yang telah dipahaminya.
teori APOS ini, penulis berpendapat masih
4) Memahami berbagai aturan/rumus yang
terbuka bagi para pengembang pendidikan
perlu dilibatkan/digunakan. Berdasarkan
untuk mengembangkan model pembelajaran
karakteristik
yang
yang melibatkan teori APOS ini. Model
diturunkan penulis ini, perkembangan skema
pembelajaran
individu
Bagaimana
menggunakan langkah-langkah APOS ketika
individu bekerja ketika berada dalam tahap-
siswa/mahasiswa mengkonstruk sebuah konsep
tahap konstruksi yang dikemukakan dalam teori
matematika.
dapat
dieksplorasi.
yang
dikembangkan
bisa
APOS dapat ditelusuri. Seseorang yang sedang
Ada dua hal yang dipandang sebagai
belajar sebuah konsep matematika mungkin
karakteristik pembelajaran berdasarkan teori
bisa berhasil melewati semua tahap, atau gagal.
APOS, yaitu pembelajarannya meliputi: (i)
Dan yang tak kalah penting untuk diungkap
konstruksi-konstruksi mental dalam memahami
adalah bagaimana individu berpikir ketika
suatu
berada dalam tahap-tahap tersebut. Mungkin
menggunakan siklus ACE. Berikut ini adalah
saja individu yang satu dengan yang lainnya
konsep
matematika
dan
(ii)
deskripsi untuk siklus pembelajaran ACE
berbeda cara berpikirnya dalam tahap-tahap
tersebut.
dari APOS tersebut. Untuk bisa mengungkap (1) Aktivitas (activity) 43
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
Kegiatan mahasiswa di laboratorium
kesempatan
kepada
mahasiswa
untuk
komputer menggunakan pemrograman yang
melakukan refleksi pada apa yang sudah
interaktif.
mereka kerjakan di laboratorium dan pada
Dubinsky
menggunakan
dan
ISETL
kawan-kawan
(interactive
SET
tugas yang sedang mereka kerjakan. Dalam
language) yaitu bahasa pemrograman yang
diskusi kelas, dosen memberikan definisi,
dirancang untuk pembelajaran matematika
penjelasan, dan tinjauan untuk mengaitkan
dalam mengerjakan tugas-tugas pemrograman
dengan apa-apa yang mahasiswa telah pikirkan.
secara berkelompok. Kegiatan ini bertujuan (3) Latihan (exercise)
untuk membantu konstruksi mental: aksi,
Pada siklus ini mahasiswa diberikan
proses, objek, dan skema. Kegiatan ini lebih
latihan-latihan soal untuk dikerjakan secara
ditekankan pada upaya untuk memberikan mahasiswa
suatu
pengalaman
berkelompok. Latihan-latihan ini diharapkan
daripada
dikerjakan
meminta mereka untuk memberikan jawaban
dikembangkan
matematika di
dalam
yang
untuk
akan
matematika
penguatan yang
telah
sudah dipelajari, dan mengajak mahasiswa berpikir tentang hal-hal yang akan dipelajari
bagi mahasiswa yang bersangkutan agar dapat
pada pertemuan berikutnya.
berperan aktif dalam diskusi kelas. Dengan dari
dan
dikonstruksi, menerapkan konsep-konsep yang
laboratorium komputer akan merupakan bekal
pengalaman
kelas
mengokohkan/memberi
konsep-konsep
perkuliahan.
Pengalaman yang mahasiswa peroleh selama di
berbekal
kegiatan
rumah. Tujuan dari latihan-latihan ini adalah
memperoleh pengalaman yang berhubungan isu-isu
luar
laboratorium dan dapat berupa pekerjaan
yang benar. Melalui kegiatan ini mahasiswa
dengan
di
laboratorium PENUTUP
komputer, konsep-konsep abstrak yang akan
Perkembangan skema individu dalam
didiskusikan di kelas tidak sepenuhnya asing
konstruksi mental aksi, proses, objek, dan
bagi mahasiswa, melainkan dianggap sebagai
skema dapat ditelusuri melalui wawancara yang
suatu elaborasi terhadap pengalaman yang
mendalam. Berdasarkan hasil analisis data dari
sudah dimiliki sebelumnya.
wawancara yang mendalam dapat diketahui bagaimana individu berpikir ketika berada pada
(2) Diskusi Kelas (class discussion) Kegiatan di dalam kelas di mana mereka
tahap-tahap konstruksi menurut teori APOS.
bekerja berkelompok diisi dengan kegiatan
Untuk membantu proses pembelajaran untuk
berupa pengerjaan tugas-tugas yang masih
mencapai
berhubungan dengan kegiatan yang telah
memperkokoh konstruksi yang sudah dibangun,
diberikan
diberikan suatu pendekatan pembelajaran yang
di
laboratorium
komputer.
konstruksi-konstruksi
itu
dan
Keterlibatan dosen dalam diskusi pada masing-
disebut sikel pembelajaran ACE.
masing kelompok dimaksudkan untuk memberi
pembelajaran ACE ini melibatkan belajar 44
Sikel
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
kelompok,
penggunaan
komputer
dengan
bahasa pemrograman yang interaktif, dan latihan. Teori APOS dapat dijadikan dasar dalam
pengembangan
sebuah
model
pembelajaran matematika.
DAFTAR PUSTAKA DeVries, David J. 2001. RUMEC/APOS Theory Glossary.
http:
//www.cs.gsu.edu/
~rumec/glossary. Didownload pada tanggal 16 Juni 2009. Dubinsky. 2000. Using a Theory of Learning in College
Mathematics
Courses.
http:
//ltsn.mathstore.ac.uk/newsletter/may2001/ pdf/learning.pdf. Didownload pada tanggal 16 Juni 2009. Dubinsky, dan Fauvel, J. 2000. Teaching and Learning
Undergraduate
Mathematics.
http://www.bham.ac.uk/ctimath/talum12.ht m. Didownload pada tanggal 16 Juni 2009. Soedjadi, R. 2000. Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia: Konstatasi Keadaan Masa Kini Menuju Harapan Masa Depan. Jakarta: Dirjen Dikti. Soedjadi, R. 2007. Masalah Kontekstual Sebagai Batu Sendi Matematika Sekolah. Surabaya: Pusat Sains dan Matematika Sekolah (PSMS) Unesa. Suparno, Paul. 1997. Filsafat Konstruktivisme dalam Pendidikan. Yogyakarta: Kanisius. Suparno, Paul. 2001. Teori Perkembangan Kognitif Jean Piaget. Yogyakarta: Kanisius.
45
