BASIC STRUCTURE
2.1 SETS
Himpunan • Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan • Notasi. – aA : a adalah anggota himpunan A – aA : a bukan anggota himpunan A
• Contoh 1. – – – – –
3
Himpunan bilangan bulat yang terdiri dari 1 digit Himpunan bilangan bulat tak negatif Himpunan muka dadu Himpunan muka uang logam Himpunan mahasiswa yang terdaftar di MA2151 K01
Notasi Himpunan • N = {0,1, 2, 3, . . .}, himpunan bilangan cacah • Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}, himpunan bilangan bulat • Z+ = {1, 2, 3, . . .}, himpunan bilangan bulat positif • Q = {p/q | p ∈ Z, q ∈ Z, dan q 0}, himpunan bilangan rasional • R, himpunan bilangan real • R+, himpunan bilangan real positif • C, himpunan bilangan kompleks
Mendeskripsikan Himpunan • Metoda roster: Mendaftarkan semua anggota himpunan Contoh 2. 1. V: himpunan semua huruf vokal dapat dideskripsikan sebagai V = {a, e, i, o, u}. 2. O: Himpunan semua bilangan ganjil positif lebih kecil dari 10 dapat dideskripsikan sebagai 0 = {1, 3, 5, 7, 9}. 3. Himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 100 dapat dideskripsikan sebagai {1, 2, 3, . . . , 99}. • Notasi pembangun himpunan Contoh 3. O: Himpunan semua bilangan ganjil positif lebih kecil dari 10 dapat ditulis sebagai O = {x | x adalah bilangan ganjil positif lebih kecil dari 10} atau O = {x ∈ Z+ | x ganjil dan x < 10}. 5
Diagram Venn Himpunan semesta: himpunan semua objek yang dibicarakan. Contoh 4. V: himpunan semua huruf vokal dapat dideskripsikan dengan diagram Venn.
Kesamaan Himpunan Definisi 1 Dua himpunan adalah sama jika dan hanya jika mereka memiliki anggota yang sama. A,B: himpunan A dan B dikatakan sama, dinotasikan A = B, jika dan hanya jika ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B).
Himpunan Kosong dan Singleton • Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, dinotasikan dengan ∅ atau { }. • Himpunan dengan satu anggota disebut himpunan singleton. Contoh 5. {∅}
Himpunan vs Himpunan dari Himpunan Contoh 6. • {1,2} vs {{1},{2}} • {} vs {{}} = {}
9
Himpunan Bagian Definisi 2. A, B: himpunan. A adalah himpunan bagian B, dinotasikan A B, jika dan hanya jika setiap anggota A juga merupakan anggota B. A B: x ( x A x B) Teorema 1. Untuk setiap himpunan S, berlaku S dan S S.
Untuk menunjukkan A = B, tunjukkan A ⊆ B dan B ⊆ A. Himpunan bagian sejati A B: x ( x A x B) x ( x B x A) 10
Himpunan Kuasa Himpunan kuasa P(S): himpunan semua himpunan bagian S. P(S) memuat S, . Soal 1. Apakah himpunan kuasa dari {0, 1, 2}? Contoh 7. Apakah P() dan P({})?
P() = {} P({}) = {, {}}
Kardinalitas S: himpunan. Kardinalitas dari S, dinotasikan |S|, adalah banyaknya anggota S yang berbeda. Contoh 8. • Misalkan A himpunan bilangan ganjil positif lebih kecil dari 10. Maka |A| = 5. • Misalkan S himpunan alfabet. Maka |S| = 26.
Himpunan hingga adalah himpunan dengan kardinalitas suatu bilangan bulat positif. Suatu himpunan dikatakan tak hingga jika himpunan tersebut bukan hingga. 12
Hasil Kali Kartesius A,B: himpunan Hasil kali Kartesius A dan B, dinotasikan A x B, adalah himpunan semua pasangan terurut (a, b), di mana a ∈ A dan b ∈ B. A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Soal 2. Apakah A x B = B x A? 13
Himpunan dan Kuantifikasi ∀x∈S(P(x)) berarti ∀x(x ∈ S → P(x)). ∃x∈S(P(x)) berarti ∃x(x ∈ S ∧ P(x)). Soal 3. Apakah arti ∀x∈R (x2 ≥ 0) dan ∃x∈Z (x2 = 1)?
Himpunan Kebenaran P: predikat, D: domain Himpunan kebenaran dari P adalah himpunan bagian dari D yang mengakibatkan P(x) benar. Himpunan kebenaran dari P(x) dinotasikan dengan {x ∈ D | P(x)}. Soal 4. Apakah himpunan kebenaran dari predikat P(x), Q(x), dan R(x), di mana domain adalah himpunan bilangan bulat dan P(x): “|x| = 1,” Q(x): “x2 = 2,” dan R(x): “|x| = x.”
2.2 SET OPERATIONS
Operasi Himpunan • Gabungan A B = { x | (x A) (x B)} • Irisan A B = { x | (x A) (x B)} A, B dikatakan saling lepas jhj A B = Prinsip inklusi-eksklusi: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. • Selisih A – B = {x | (x A) (x B)} • Komplemen Ac atau Ā = {x | x A} = U - A
17
Identitas Himpunan
Identitas Himpunan (2)
Bukti Identitas Himpunan • • • •
Diagram Venn Himpunan bagian Ekivalensi logika Tabel keanggotaan
Soal 5. Tunjukkan A ∩ B = A ∪ B.
2.3 FUNCTIONS
Fungsi Fungsi dari A ke B adalah pemasangan setiap anggota A ke tepat satu anggota B. Notasi. f: A B dan f (a) = b A disebut domain dan B disebut kodomain dari f b disebut peta dari a dan a disebut prapeta dari b Range atau peta dari f adalah himpunan peta dari semua anggota A, Range(f) = {y| x A f(x) = y} B
Contoh 9. Manakah yang merupakan fungsi? (1) A = B = Z, f(x) = x+10 (2) A = B = Z, f(x) = x2 (3) A = B = R, f(x) = x (4) A = B = R, f(x) = 1/x 22
Terminologi • Dua fungsi dikatakan sama jika mereka memiliki domain, kodomain, dan aturan pemetaan yang sama. • Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif, jika dan hanya jika f (a) = f (b) mengakibatkan a = b untuk setiap a and b di domain f. • Fungsi f dari A ke B dikatakan pada atau surjektif, jika dan hanya jika untuk setiap b ∈ B ada anggota a ∈ A sehingga f (a) = b. • Fungsi f dikatakan korespondensi satu-satu atau bijektif, jika fungsi tersebut satu-satu dan pada. 23
Contoh 10. Injektif, Surjektif, Bijektif 1. Apakah fungsi f(x) = x + 1 dari R ke R satusatu? 2. Apakah fungsi f(x) = x2 dari Z ke Z pada? 3. Misalkan f fungsi dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4} dengan f (a) = 4, f (b) = 2, f (c) = 1, dan f (d) = 3. Apakah f bijektif?
Invers dan Komposisi Misalkan f korespondensi satu-satu dari A ke B. Fungsi invers dari f adalah fungsi yang memetakan b ∈ B ke a ∈ A sedemikian sehingga f (a) = b. Fungsi invers dari f dinotasikan dengan f-1 f-1(b) = a jhj f(a) = b Catatan. f-1(x) 1/f(x) Jika f: A B dan g: C A, maka komposisi dari fungsi f dan g, f ° g: C B, adalah f°g(x) = f(g(x)) 25
Beberapa Fungsi Penting Fungsi identitas (x)=x f ° f –1 = f -1 ° f =
Fungsi floor memetakan bilangan real x ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Notasi. x Fungsi ceiling memetakan bilangan real x ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x. Notasi. x
26
2.4 SEQUENCES AND SUMMATIONS
Barisan Barisan adalah fungsi dari himpunan bagian Z (biasanya {0, 1, 2, . . .} atau {1, 2, 3, . . .}) ke himpunan S. Notasi. an adalah peta dari n dan {an} barisan Barisan aritmetika adalah barisan dalam bentuk a, a + d, a + 2d, . . . , a + nd, . . . dengan suku awal a dan beda d merupakan bilangan real. Barisan geometri adalah barisan dalam bentuk a, ar, ar2, . . . , arn, . . . dengan suku awal a dan rasio r merupakan bilangan real.
28
Relasi Recurrence Relasi recurrence untuk barisan {an} adalah persamaan yang menyatakan an dalam satu atau lebih suku sebelumnya dalam barisan, yaitu, a0, a1, . . . , an−1, untuk semua bilangan bulat n dengan n ≥ n0, di mana n0 bilangan bulat tak negatif. Suatu barisan disebut solusi dari relasi recurrence jika sukusukunya memenuhi relasi recurrence tersebut. Soal 6. Apakah {an}, dengan an = 3n untuk setiap bilangan bulat tak negatif n, adalah solusi dari relasi recurrence an = 2an−1 − an−2 for n = 2, 3, 4, . . . . ? Bagaimana dengan an = 2n dan an = 5?
Contoh. Barisan Fibonacci Barisan Fibonacci, f0, f1, f2, . . . , didefinisikan dengan kondisi awal f0 = 0, f1 = 1, dan relasi recurrence fn = fn−1 + fn−2 untuk n = 2, 3, 4, . . . .
Beberapa Barisan Penting
2.5 CARDINALITY OF SETS
Kardinalitas Suatu himpunan hingga jika kardinalitasnya adalah suatu bilangan bulat n.
Dua himpunan A, B dikatakan memiliki kardinalitas yang sama, dinotasikan|A| = |B|, jhj terdapat korespondensi satu-satu dari A ke B. Himpunan tak hingga. Berapa kardinalitasnya? Apakah semua himpunan tak hingga memiliki kardinalitas yang sama? 33
Himpunan Terhitung Definisi. Suatu himpunan dikatakan terhitung jika himpunan tersebut hingga atau memiliki kardinalitas yang sama dengan himpunan bilangan bulat positif.
Himpunan yang bukan terhitung dikatakan tak terhitung. Jika himpunan tak hingga S terhitung, kardinalitas dari S dinyatakan oleh ℵ0 (aleph null), dan ditulis |S| = ℵ0 Soal 7. Tunjukkan bahwa himpunan bilangan ganjil positif terhitung. 34
