10/6/2016
Mekanika Rekayasa III Metode Hardy Cross
Pertama kali diperkenalkan oleh Hardy Cross (1993) dalam bukunya yang berjudul Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed End Moments.
Sebagai penghargaan, metode distribusi momen juga dikenal dengan metode Cross.
Salah satu metode yang digunakan dalam analisis struktur balok dan portal statis tak tentu.
Metode distribusi momen didasarkan pada asumsi sebagai berikut : 1.
Perubahan bentuk (deformasi) akibat gaya normal dan gaya geser diabaikan, sehingga panjang batang- batangnya tidak berubah (konstan).
2.
Semua titik simpul (buhul) dianggap kaku sempurna.
1
10/6/2016
Proses analisis dilakukan dengan distribusi momen dan induksi (carry over) terhadap momen primer (fixed end moment) sebanyak beberapa putaran (iterasi) sehingga diperoleh keseimbangan di setiap titik simpul.
Hal ini dilakukan karena momen primer yang bekerja di setiap simpul suatu struktur tidak sama besar nilainya, sehingga simpul dalam keadaan tidak seimbang.
Untuk mencapai kondisi seimbang, simpul melakukan perputaran sehingga momen primer di masing-masing simpul sama dengan nol.
Proses distribusi dan induksi secara manual biasanya dilakukan sebanyak 4 putaran (iterasi), sehingga semua simpul dianggap sudah dalam keadaan seimbang atau mendekati nol.
Ada beberapa definisi yang digunakan dalam metode distribusi momen, yaitu : 1.
Momen Primer (M’ij)
2.
Faktor Kekakuan (Kij) dan Momen Induksi (MIij)
3.
Faktor Distribusi (μij)
2
10/6/2016
Momen Primer
Momen primer adalah momen yang terjadi pada ujung batang sebagai akibat dari beban-beban yang bekerja di sepanjang batang.
Besarnya momen primer sama dengan momen jepit (momen reaksi) dengan tanda atau arah yang berlawanan (dengan kata lain, momen jepit atau momen rekasi merupakan kebalikan dari momen primer dan disebut juga dengan momen perlawanan).
Momen Primer
Momen primer biasanya digambarkan melengkung ke luar pada bagian dalam ujung batang dengan arah tertentu sesuai dengan pembebanan.
Arah momen primer didasarkan pada kecenderungan melenturnya batang (seolaholah batang akan patah akibat momen yang bekerja di ujung batang)
3
10/6/2016
Faktor Kekakuan dan Momen Induksi
Untuk mengetahui faktor kekakuan dan momen induksi,
dapat
diuraikan
berdasarkan persamaan slope deflection (sudut kemiringan lendutan) pada masingmasing jenis batang seperti ditunjukkan pada Gambar 2 untuk kondisi jepit-jepit dan Gambar 3 untuk kondisi jepit-sendi.
Gambar 2, batang prismatis AC dengan tumpuan jepit-jepit.
Di ujung A (simpul) bekerja momen distribusi momen sebesar MAC dengan sudut kemiringan lendutan sebesar θA.
Sedangkan ujung B (tumpuan jepit) berhak menerima momen induksi sebesar MCA dengan arah yang sama.
Sehingga diperoleh persamaan : θA2 - θA1 = θA dan θC2 - θC1 = 0
4
10/6/2016
Akibat pengaruh momen distribusi MAC akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar : 𝜃𝐴1 =
dan 𝜃𝐶1 =
𝑀𝐴𝐶 𝐿𝐴𝐶 6𝐸𝐼
Selanjutnya pengaruh momen induksi MCA akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar : 𝜃𝐴2 =
𝑀𝐴𝐶 𝐿𝐴𝐶 3𝐸𝐼
𝑀𝐶𝐴 𝐿𝐴𝐶 6𝐸𝐼
dan 𝜃𝐶2 =
𝑀𝐶𝐴 𝐿𝐴𝐶 3𝐸𝐼
Dengan demikian :
5
10/6/2016
6
10/6/2016
Faktor Distribusi
7
10/6/2016
8
10/6/2016
Langkah-langkah analisis struktur dengan metode Cross
Carilah momen primer, M’ untuk masing-masing bagian batang.
Tentukan faktor kekakuan, K (stiffness factor).
Tentukan faktor distribusi, FD (distribution factor).
Buat tabel Cross.
Sebagai kontrol, momen pada satu titik berlawanan tanda atau jumlahnya sama dengan 0.
Pada penggambaran bidang momen, tanda penggambaran berlawanan dengan hasil perhitungan momen untuk sebelah kiri titik dukung.
Sedangkan untuk daerah momen sebelah kanan titik dukung , pada gambar selalu bertanda sama dengan hasil perhitungannya.
Momen Primer −
𝑃𝑙 8
A l/2
B
−
𝑃𝑙 8
B
−
𝑃. 𝑎2 . 𝑏 𝐿2
l/2 P
−
𝑃. 𝑎. 𝑏 2 𝐿2
A b
a −
𝑞𝑙 2 12
A
B
−
𝑞𝑙 2 12
B
−
5 𝑞𝑙 2 192
l −
11 2 𝑞𝑙 192
A l/2
l/2
9
10/6/2016
Momen Primer B
A
−
𝑃𝑎(𝐿2 − 𝑎2 ) 2𝐿2
b
a A
−
B
𝑞𝑙 2 8
l
A
B l/2
−
7 𝑞𝑙 2 128
−
9 𝑞𝑙 2 128
l/2
A
B l/2
l/2
Momen Primer A
B
−
𝑞𝑙 2 15
l
10
10/6/2016
Contoh
Diketahui struktur balok menerus 3 bentang seperti pada gambar berikut :
11
10/6/2016
Distribusi Momen
Untuk mendapatkan kondisi seimbang, dilakukan distribusi momen pada masingmasing simpul dengan bantuan tabel (Tabel Cross).
Diusahakan Tabel Cross dibuat sedemikian rupa sesuai kebutuhan (penempatan titik simpul dan batang dengan posisi yang tepat pada tabel), sehingga memudahkan proses distribusi dan induksi momen.
Posisi batang yang sejenis sedapat mungkin diusahakan berdampingan agar tidak menyulitkan proses induksi.
Dalam hal ini, proses distribusi dan induksi momen cukup dilakukan hingga 4 kali iterasi dengan hasil mendekati nol.
12
10/6/2016
13
