6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli 4 kg gula dan 3 kg kopi dengan uang Rp. 10.000,- sebanyak 2 lembar mendapat kembalian Rp. 1.000,-. Masalah muncul ketika ibu Budi ingin membeli 3 kg gula dan 0,5 kg kopi dengan memberinya uang pas. Berapa banyakkah uang pas yang harus dibawa Budi?
MEKANIKA REKAYASA III MK-142003-Unnar-Dody Brahmantyo
1
Jawab : Dimisalkan : harga per kg gula = x1, harga per kg kopi = x2, total harga = b, jumlah gula pembelian pertama = a11 jumlah kopi pembelian pertama = a12 jumlah gula pembelian kedua = a21 jumlah kopi pembelian kedua = a22 Persamaan matematika : Pembelian pertama : a11 . x1 + a12 . x2 = b1 Pembelian kedua : a21 . x1 + a22 . x2 = b2 Penyelesaian persamaan matematika : 2 . x1 + 1 . x2 = 7,000 persamaan (1) 4 . x1 + 3 . x2 = 19,000 persamaan (2) Dengan teknik eliminasi, dimana persamaan (2) dikurangi dengan 2 kali persamaan (1), didapatkan Pers (2) : (4 – 2 . 2) x1 + (3 – 2 . 1) x2 = 19,000 – 2 . 7,000 Didapatkan : x2 = 5,000 MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
2
Nilai x2 kemudian disubstitusikan ke persamaan (1) : 2 . x1 + 1 . 5,000 = 7,000 x1 = (7,000 – 5,000)/2 = 1,000 Jadi untuk membeli 3 kg gula dan 0,5 kg kopi diperlukan uang : 3 . 1,000 + 0,5 . 5,000 = 5,500
Persamaan (1) dan (2) pada contoh soal diatas disebut dengan persamaan linier Persamaan tersebut dapat dituliskan sbb :
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
3
Definisi Matriks Matriks adalah bentuk penyajian sekelompok bilangan yang disusun teratur atas baris dan kolom. Secara umum, suatu matriks [A] yang terdiri atas m baris dan n kolom dituliskan sbb :
Dimana (m,n) merupakan ukuran matriks, atau jumlah total baris dan kolom yang ada, dan mengandung unsur-unsur aij, i = 1,2,...,m dan j = 1,2,...,n. Indeks pertama menunjukkan baris dan indeks kedua menunjukkan kolom. Sebagai contoh a21 adalah unsur pada baris ke 2 dan kolom ke 1 matriks [A].
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
4
Jenis-Jenis Matriks 1.
Matriks persegi, yang merupakan jenis matriks paling umum, dimana m ≠ n.
2.
Matriks bujur sangkar yang merupakan keadaan khusus dari matriks persegi, dimana m = n. Dalam hal ini unsur cii (i = 1, 2, ..., n) dinamakan unsur-unsur diagonal.
3.
Matriks baris, merupakan kasus khusus dimana m = 1
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
5
4.
Matriks kolom, atau vektor, yang merupakan kasus khusus dimana n = 1.
5.
Matriks simetris merupakan kasus khusus dari matriks bujur sangkar dimana aij = aji.
6.
Matriks diagonal adalah sebuah matriks dimana semua nilai ai≠i = 0
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
6
7.
Matriks segitiga bawah adalah sebuah matriks dimana nilai elemen yang terletak diatas diagonal = 0.
8.
Matriks segitiga atas adalah sebuah matriks dimana elemen yang terletak dibawah diagonal = 0.
9.
Matriks identitas adalah matriks bujur sangkar dengan elemen pada diagonal = 1 dan elemen lainnya = 0
10. Matriks nol yaitu matriks persegi dengan semua elemennya = 0
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
7
Operasi Matriks 1.
Kesamaan. Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai ukuran yang sama dan nilai pada elemen yang bersesuaian sama.
2.
Keberlawanan. Dua matriks [A] dan [B] dikatakan berlawanan jika dan hanya jika kedua matriks mempunyai ukuran yang sama dan nilai pada elemen yang berseusaian berlawanan.
3.
Transpos. Matriks [B] dikatakan sebagai tranpos dari matriks [A], jika berlaku hubungan dimana nilai pada elemen baris-kolom dari [A] menjadi nilai pada elemen kolom-baris dari [B].
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
8
4.
Penjumlahan dan Pengurangan. Matriks [C] merupakan penjumlahan / pengurangan dari matriks [A] dan [B] hanya terdefinisi jika matriks [A] dan [B] berukuran sama dengan unsur yang bersesuaian adalah penjumlahan / pengurangan dari unsur matriks [A] dan [B]. [A] + [B] = [C] [A] – [B] = [D]
+ 5.
=
-
=
Perkalian dengan bilangan skalar. Untuk mendapatkan hasil dari sebuah matriks yang dikalikan dengan bilangan skalar adalah dengan mengalikan nilai setiap elemen dengan bilangan skalar tersebut. c
x
[B] = -3 x
=
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
9
6.
Perkalian. Matriks [C] merupakan perkalian dari matriks [A] dan [B] hanya terdefinisi jika ukuran kolom matriks pertama sama dengan ukuran baris matriks kedua. Ukuran matriks hasil adalah jumlah baris matriks pertama dan jumlah kolom matriks kedua. [A]mn x [B]nq = [C]mq dengan cij = [A]2x2 x [B]2x3 = [C]2x3 x
= =
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
10
7.
Determinan. Fungsi determinan dinyatakan oleh det[A] atau IAI didefinisikan sebagai sebuah besaran skalar yang merupakan jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari [A]. a) Orde 2
b) Orde 3
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
11
7.
Determinan. c) Orde >3 determinan matriks yang berukuran >3x3 diselesaikan dengan ekspansi kofaktor (aturan Cramer).
dimana nilai βij adalah kofaktor yang merupakan skalar yang diberikan oleh : Besaran skalar mij adalah minor dari unsur aij yang merupakan determinan dari sub-matriks berorde lebih rendah satu tingkat dari matriks [A] dengan jalan mencoret baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks [A]
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
12
Sebagai contoh adalah matriks [A]3x3 yang akan determinannya melalui ekspansi menurut baris kedua.
dihitungnya
β21 = (-1)(2+1) . m21 = - m21 β22 = (-1)(2+2) . m22 = + m22 β23 = (-1)(2+3) . m23 = - m23
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
13
8.
Inversi. Matriks [B] merupakan inversi dari matriks [A] hanya terdefinisi jika matriks [A] merupakan matriks bujur sangkar dengan nilai elemenelemen yang sedemikian hingga perkalian kedua matriks menghasilkan matriks identitas. [B] = [A]-1 jika [B] x [A] = [I]
Matriks invers dapat dicari dengan menggunakan teori determinan sbb :
dimana [Co A] adalah matriks kofaktor dari [A]
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
14
Contoh 6-2 : Diketahui 3 buah matriks sbb :
a). Hitunglah [D] = [A]+[B]
b). Hitunglah [E]= [A] – [B]
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
15
Contoh 6-2 : Diketahui 3 buah matriks sbb :
c). Hitunglah [F] = [A]x[C]
d). Hitunglah [G]= [C] x [A] → tidak terdefinisi karena jumlah kolom [C] tidak sama dengan jumlah baris [A] e). Hitunglah tranpos [C]
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
16
Contoh 6-2 : Diketahui 3 buah matriks sbb :
f). Hitunglah det [A] IAI = 2.1.2+1.(-3).2+0.0.(-2)-0.1.2-(-3).0.2-2.(-2).1 = 4 + (-6) + 0 – 0 – 0 + 4 = 2 g). Hitunglah det [B] IBI = 2.3.0+(-2).1.(-1)+1.5.1-1.3.(-1)-(-2).1.0-2.5.1 = 0 + 2 + 5 + 3 – 0 – 10 = 0 e). Hitunglah [A]-1
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
17
Sifat Operasi Matriks 1.
Komutatif Penjumlahan. [A] + [B] = [B] + [A]
2.
Distributif Penjumlahan dan Perkalian. [A] . { [B] + [C] } = [A] . [B] + [A] . [C]
3.
Antikomutatif Perkalian. [A] . [B] ≠ [B] . [A] Distributif perkalian dan penjumlahan dengan besaran skalar. a . [A] . { b . [B] + c . [C] } = a . b . [A] . [B] + a . c . [A] . [C] Tranpos dari perkalian [A] dan [B] adalah perkalian [B]T dan [A] T. {[A] . [B]} T = [B] T . [A] T Matriks [A] yang dikalikan dengan matriks identitas dengan ukuran sama akan memberikan hasil matriks [A]. [A] . [I] = [I] . [A] = [A]
4. 5. 6.
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
18
Sifat Operasi Matriks 7.
Penggabungan dari beberapa sifat sebelumnya adalah : [A] . {[B] . [C]} = {[A} . [B]} . [C] [A] . {[B] + [C]} = [A] . [B] + [A] . [C] {[A] . [B] . [C]}T = [C] T . [B] T . [A] T {k [A] + l [B]} T = k [A] T + l [B] T = l [B] T + k [A] T
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
19
MEKANIKA REKAYASA III MK-142004-Unnar-Dody Brahmantyo
20
