PERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS Pengertian Matriks : merupakan suatu alat atau sarana yang sangat ampuh untuk menyelesaikan model-model linear. Definisi : Matriks adalah susunan empat persegi panjang atau bujur sangkar dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom ditulis antara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ] Bentuk Umum :
a11 a 21 .. a m1
a12 a13 .. a1n a 22 a 23 .. a 2n .. .. .. .. a m 2 a m 3 .. a mn
Elemen matriks : disebut juga unsur aij Susunan bilangan atau fungsi aij Ukuran matriks : • Jumlah baris : m • Jumlah kolom : n • Ordo atau ukuran matriks : m x n • Elemen-elemen diagonal : a11 , a 22 , ..., a nn Contoh :
Matriks A3x 4
2 3 5 − 6 = 0 − 1 4 7 3 1 2 6
Notasi matriks, menggunakan huruf besar (kapital) Kesamaan matriks matriks A = (aij) B = (bij) A = B jika aij = bij untuk semua i = 1,2 .. m dan j = 1,2,...n
Contoh :
1 2 B= 3 4
A=
1 2 3 4 C =
1 2 0 3 4 - 1
A= B A ≠ C (ukurannya tidak sama) Matriks A dan Matriks B disebut sama, bila • Ordo-ordonya sama • Elemen-elemen yang seletak sama
Macam-macam Matriks Matriks bujur sangkar Suatu matriks di mana jumlah baris = jumlah kolom
a 11 a A = 21 .. a n1
a 12 .. a 1n a 22 .. a 2n .. .. .. a n 2 .. a nn
A : matriks bujur sangkar berukuran n x n Diagonal utama A : a 11 , a 22 , ..., a nn
Contoh :
A2 x 2
4 3 = 2 1
,
A3x 3
5 3 2 = 1 4 6 7 2 5
Matriks Diagonal : Matriks bujur sangkar di mana elemen-elemen pada diagonal utamanya tidak semua elemennya nol, sedangkan unsur-unsur yang lain adalah nol. Contoh :
5 0 0 2 0 0
0 0 3
,
2 0 0 0 0 0 0 0 0
Matriks Satuan (Matriks Identitas) : Matriks bujur sangkar di mana elemen-elemen pada diagonal utamanya masingmasing adalah satu, sedangkan elemen-elemen yang lain adalah nol
Contoh : I 2
1 = 0
0 I , 3 1
1 0 0 = 0 1 0 0 0 1
Matriks Singular Matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers (berarti : determinannya = 0) Matriks Non Singular Matriks bujur sangkar yang mempunyai invers (berarti : determinannya ≠ 0) Matriks Simetris Matriks bujur sangkar di mana diagonal utamanya berfungsi sebagai cermin atau refleksi ( A
t
=A )
Contoh : A 3 x 3
5 1 6 : 1 7 4 6 4 3
Matriks Idempotent Matriks bujur sangkar di mana berlaku A 2 = A atau An = A , bila n = 2,3,4, …
2 - 2 - 4 4 Contoh : A = - 1 3 1 - 2 - 3 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 A = A. A = - 1 3 4 - 1 3 4 = - 1 3 4 = A 1 - 2 - 3 1 - 2 - 3 1 - 2 - 3 2
Program MAPLEnya :
# A= Matriks Idempotent, sehingga A 2 = A > restart: > A:=matrix([[2,-2,-4],[-1,3,4],[1,-2,-3]]); [2 [ A := [-1 [ [1
-2 3 -2
-4] ] 4] ] -3]
> C:= evalm(A&*A); [2 [ C := [-1 [ [1
-2 3 -2
-4] ] 4] ] -3]
Matriks Nilpotent Matriks bujur sangkar di mana berlaku A 3 = 0 atau An = 0 , bila n = 2,3,4, … Contoh : Matriks nilpotent dari ordo 3x3
1 1 3 A = 5 2 6 - 2 - 1 - 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 0 0 0 A = A ⋅ A ⋅ A = 5 2 6 5 2 6 5 2 6 = 0 0 0 = 0 - 2 - 1 - 3 - 2 - 1 - 3 - 2 - 1 - 3 0 0 0 3
Program MAPLEnya : # Matriks Nilpotent, sehingga > restart: > A:=matrix([[1,1,3],[5,2,6],[-2,-1,-3]]); [1 [ A := [ 5 [
1 2
3] ] 6] ]
[-2
-1
0
0] ] 0] ] 0]
-3]
> evalm(A&*A*A); [0 [ [0 [ [0
0 0
Matriks Nol : adalah matriks di mana semua unsur nol = 0 Matriks Identitas :
I 2x2 I 3x3
=
=
1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Sifat matriks identitas dan Matriks nol Jika A = matriks berukuran n x n I.A =A.I=A A+0 =0+A=A A . 0 = 0.A = 0
Matriks Segitiga (Triangular matrix) Matriks segitiga atas : Matriks bujur sangkar, apabila setiap unsur yang terletak di bawah diagonal utamanya sama dengan nol
Contoh :
A3 x 3
a 11 a 12 a 13 = 0 a 22 a 23 0 0 a 33
Matriks Segitiga Bawah;
Matriks bujur sangkar bila setiap unsurnya yang terletak di atas diagonal utamanya sama dengan nol
Contoh :
B3x 3
b11 0 0 = b 21 b 22 0 b 31 b 32 b 33
Operasi Aljabar Matriks Penjumlahan dua matriks A + B = (aij + bij) A - B = (aij - bij) Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua matriks adalah mempunyai ordo yang sama. Contoh :
5 6 7 6 7 4 Diketahui A2 x 3 = dan B2 x 3 = 8 3 4 1 9 2 Maka C2 x 3 = A2 x 3 + B2 x 3 5 6 7 6 7 4 11 13 11 C2 x 3 = + = 8 3 4 1 9 2 9 12 6
Program MAPLEnya : # Penjumlahan Dua Matriks > restart: > A:=matrix([[5,6,7],[8,3,4]]); [5 A := [ [8
6 3
7] ] 4]
> A:=matrix(2,3,[5,6,7,8,3,4]); [5
6
7]
A := [ [8
] 4]
3
> B:=matrix(2,3,[6,7,4,1,9,2]); [6 B := [ [1
7
4] ] 2]
9
> C:=evalm(A+B); [11 C := [ [ 9
13 12
11] ] 6]
Soal Latihan: Tentukan Penjumlahan Dua Matriks di bawah ini ! − 1 3 5 6 − 9 1 1. dan B = A= 2 7 − 4 2 3 4
, maka A + B =
2.
3 1 A= dan 4 2
0 2 B= 1 3
3.
A = [2 − 1 3]
dan
B = [2 2 − 1] , maka A + B =
4.
4 3 1 A= 2 1 0
dan
− 1 2 − 3 B= , maka 2A +2 B = 1 1 0
5.
3 1 − 2 4 2 − 2 + 3 − 1 = ......
6.
1 0 0 3 − 1 − 1 − 2 0 = ...... 6 7 2 5 + 3 4 5 − 3
7.
1 2 1 1 3 4 + 1 1 = ......
, maka A + B =
Perkalian Bilangan Skalar dengan Suatu Matriks Masing-masing elemen matriks tersebut dikalikan dengan bilangan scalar. Misalkan bilangan scalar k = 3, dan 2 3 1 Matriks A 2 x 3 = 4 5 6 Maka B2 x 3 = k * A 2x3
2 3 1 6 9 3 B2 x 3 = 3 * = 4 5 6 12 15 18 Program MAPLEnya : # Perkalaian Bilangan Skalar dengan suatu Matriks > restart: > A:=matrix([[2,3,1],[4,5,6]]); [2 A := [ [4
3
1] ] 6]
5
> C:=evalm(3*A); [ 6 C := [ [12
9 15
3] ] 18]
Soal Latihan: Tentukan Perkalian Bilangan Skalar dengan Suatu Matriks di bawah ini ! 4 3 7 1. A= 3 0 − 1 , maka i ) 3A = … ii) -1/2 A = …
2.
1 2 A = 2 1 − 1 1 , maka
3 dan 4 2 2 A+ 5 B =
2 1 3 B = 1 1 5 0 0 1
Perkalian Dua Matriks Perkalian 2 matriks A : matriks berukuran m x k B : matriks berukuran k x n A.B =
A
m xk
* Bk x n
=
ABm
x n
Syarat perkalian matriks Jika matriks A berukuran m x n dan B berukuran p x q maka : Perkalian matriks AB berordo m x q bisa dibentuk hanya jika n = p Perkalian matriks BA berordo p x n bisa dibentuk hanya jika q = m AB tidak selalu sama dengan BA (walaupun m = n = p = q) Syarat : Setiap baris ada matriks harus dikalikan pada setiap kolom pada matriks kedua Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua Contoh :
A2 x 3
1 3 2 = 4 0 5
dan
B3x 2
7 2 = 1 4 6 3
maka C2 x 2 = A2 x 3 * B3 x 2
C2 x 2
7 2 1 3 2 = * 1 4 4 0 5 6 3
1x7 + 3x1 + 2 x6 1x 2 + 3x 4 + 2 x3 C2 x 2 = 4 x7 + 0 x1 + 5 x6 4 x 2 + 0 x 4 + 5 x3 7 + 3 + 12 2 + 12 + 6 C2 x 2 = 28 + 0 + 30 8 + 0 + 15
22 20 C2 x 2 = 58 23
Program MAPLEnya : # Perkalaian Dua Matriks > restart: > A:=matrix(2,3,[1,3,2,4,0,5]); [1 A := [ [4
3
2] ] 5]
0
> B:=matrix(3,2,[7,2,1,4,6,3]); [7 [ B := [1 [ [6
2] ] 4] ] 3]
> C:= evalm(A&*B); [22 C := [ [58
20] ] 23]
Soal Latihan: Tentukan Perkalian suatu Matriks dengan Suatu Matriks di bawah ini ! 1 − 1 1 3 1 2 , dan C = 1. A = 2 3 , B = 4 2 − 1 4 4 0 maka : i ) A.B = ii) (A.B).C = iii) B.C = iv) A.(B.C) =
2.
2 1 1 A= , B= 1 0 1
3 2 1 3 , dan C = 0 1
1 4 2 1 3 2
maka : i) B + C = ii) A.(B + C) = iii) A.B = iv) A.C = v) A.B + A.C =
3.
2 1 1 1 0 1 , B= , dan C = A= 4 2 1 0 3 0 maka : i) A.B = ii) A.C =
Sifat –sifat Operasi Matriks A + B = B + A (sifat komutatif) A + (B + C) = (A + B) + C (sifat asosiatif) k (A + B) = kA + kB, k =sembarang bilangan A (B + C) = AB + AC (sifat distributif) (A + B) C = AC + BC (sifat distributif) A (B C) = (A B) C (sifat asosiatif) Pada umumnya AB ≠ BA AB = 0 tidak berakibat A = 0 atau B = 0 AB = AC tidak berakibat B = C
