MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. október 16. EMELT SZINT I. 1) Egy új típusú sorsjegyből 5 millió darab készült, egy sorsjegy ára 200 Ft. Minden egyes sorsjegyen vagy a „Nyert” vagy a „Nem nyert” felirat található, és a nyertes sorsjegyen feltüntetik a nyertes szelvény tulajdonosa által felvehető összeget is. A gyártás során a mellékelt táblázat szerinti eloszlásban készült el az 5 millió sorsjegy. a) Ha minden sorsjegyet eladnának és a nyertesek minden nyereményt felvennének, akkor mekkora lenne a sorsjegyek eladásából származó bevétel és a kifizetett nyeremény különbözete? (3 pont) b) Aki a kibocsátás után az első sorsjegyet megveszi, mekkora valószínűséggel nyer a sorsjegy áránál többet? (4 pont) c) Számítsa ki, hogy ebben a szerencsejátékban az első sorsjegyet megvásárló személy nyereségének mennyi a várható értéke! (A nyereség várható értékének kiszámításához nemcsak a megnyerhető összeget, hanem a sorsjegy árát is figyelembe kell venni.) (4 pont) Megoldás: a)
A bevétel: 5 106 200 109 Ft
(1 pont)
A kifizetett nyeremény: 4 107 2 10 8 106 1,5 108 2 108 6 108 Ft
(1 pont)
Tehát a különbözet 400 millió Ft
(1 pont)
b) Az 5 millió sorsjegy bármelyikét egyenlő valószínűséggel húzhatjuk A kedvező esetek száma 550844 Tehát a keresett valószínűség: p c)
(2 pont) 550844 0,11 5 106
(2 pont)
A felvehető nyeremény várható értéke:
4 107 2 10 8 106 1,5 108 2 108 120 Ft 5 106
(3 pont)
A nyereség várható értéke tehát 120 200 80 Ft
(1 pont) Összesen: 11 pont
2) Két valós szám összege 29. Ha az egyikből elveszünk 15-öt, a másikhoz pedig hozzáadunk 15-öt, az így kapott két szám szorzata éppen ötszöröse lesz az eredeti két szám szorzatának. Melyik lehet ez a két szám? (13 pont) Megoldás: Jelölje x azt a számot, amelyet 15-tel csökkentünk, y pedig a másikat x y 29 (2 pont) x 15 y 15 5xy Az első egyenletből például y-t kifejezve és behelyettesítve: x 15 29 x 15 5x(29 x )
a
második
egyenletbe (1 pont)
A műveleteket elvégezve: (3 pont) x 2 59x 660 145x 5x 2 2 Rendezve: 4x 86x 660 0 (1 pont) Az egyenlet megoldásai a -6 és a 27,5 (2 pont) Ha a 15-tel csökkentendő szám a -6, akkor a másik szám a 35 (1 pont) Ha a 15-tel csökkentendő szám a 27,5, akkor a másik szám a 1,5 (1 pont) Ellenőrzés a szöveg alapján: Ha a két szám a -6 és a 35, akkor az összegük 29, a szorzatuk -210 A megváltoztatott számok a -21 és az 50, ezek szorzata -1050, ami valóban az 5-szöröse a -210-nek (1 pont) Ha a két szám a 27,5 és az 1,5, akkor az összegük 29, a szorzatuk 41,25 A megváltoztatott számok a 12,5 és a 16,5, ezek szorzata 206,25, ami valóban 5-szöröse a 41,25-nek, Összesen: 13 pont
3) Az alábbi három kifejezés mindegyike esetén adja meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a kifejezés értelmezhető! a) cos log 2 x (3 pont)
b) c)
log 2 cos x
log
(5 pont)
cos x 2
x
(5 pont)
Megoldás: a)
A A A b) A A
négyzetgyök miatt x 0 logaritmus miatt x 0 keresett halmaz: 0;+ logaritmus miatt cos x 0 négyzetgyök miatt log 2 cos x 0
azaz cos x 1 A koszinusz függvény értékkészlete miatt cos x 1 Az értelmezési tartomány tehát x R x k 2, k c)
A logaritmus alapjai miatt x 0 és x 1 A logaritmus miatt cos2 x 0 Tehát cos x 0 x k ahol k 2 Az értelmezési tartomány tehát \ 1 k ahol k 2
(1 (1 (1 (1 (1
pont) pont) pont) pont) pont)
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)
(1 pont) Összesen: 13 pont
4) A Csendes-óceán egyik kis szigetétől keletre, a szigettől 16 km távolságban elsüllyedt egy föld körüli úton járó vitorlás. A legénység egy mentőcsónakban segítségre vár, a náluk lévő jeladó készülék hatósugara mindössze 6 km. Amikor a vitorlás elsüllyedt, akkor a szigettől délre, a szigettől 24 km távolságra volt egy tengerjáró hajó. Ez a hajó állandóan északkeleti irányba halad, a hajótöröttek pedig a vitorlás elsüllyedésének helyéről folyamatosan küldik a vészjeleket. a) Igazolja, hogy a tengerjáró legénysége észlelheti a segélykérő jelzést! (7 pont) Egy 1,5 km magasságban haladó repülőgép éppen a sziget felett van, amikor a repülőgép fedélzeti műszerei észlelik a tengerjáró hajót, amely a vitorlás elsüllyedése óta 20 km-t tett meg. b) Mekkora depresszió szög (lehajlási szög) alatt észlelik a műszerek a tengerjárót? Válaszát fokban, egészre kerekítve adja meg! Számításai során a Föld görbületétől tekintsen el! (7 pont) Megoldás: a)
A feladat feltételeit feltüntető jó ábra. A sziget az S, a metőcsónakot az M, a tengerjáró hajót a H pont jelöli. A hajó útjának és az SM egyenesnek a metszéspontját jelölje A. (2 pont) A HSA háromszög derékszögű, egyenlő szárú, ezért AS = 24 km (1 pont) MA = 8 km (1 pont) Valamint az APM háromszög derékszögű és van 45°os szöge (1 pont) Ezért MP = 4 2 5,7 (1 pont)
Mivel MP < 6 km, ezért a hajó legénysége észlelheti a jelzéseket. (1 pont) b) A feladat feltételeit feltüntető jó ábra A repülőgép (R), a sziget (S) és a tengerjáró hajó (T) egy S-nél derékszögű háromszög három csúcsában helyezkedik el. (1 pont) Az ST távolságot koszinusztétellel számolhatjuk ki (2 pont) ST 2 242 202 2 24 20 cos 45 (1 pont) ST 17,2 km A depresszió szög nagysága megegyezik a TRS derékszögű háromszög RTS szögének nagyságával (váltószögek). (1 pont) RS 1,5 (1 pont) tgRTS TS 17,2 A depresszió szög kb 5° nagyságú (1 pont) Összesen: 14 pont
II. 5) Adott két párhuzamos egyenes, e és f. Kijelölünk e-n 5, f-en pedig 4 különböző pontot. a) Hány (e-től és f-től is különböző) egyenest határoz meg ez a 9 pont? Hány olyan háromszög van, amelynek mindhárom csúcsa a megadott 9 pont közül kerül ki? Hány olyan négyszög van, amelynek mindegyik csúcsa a megadott 9 pont közül kerül ki? (11 pont) b) A 9 pont mindegyikét véletlenszerűen kékre vagy pirosra színezzük. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az e egyenes 5 pontja is azonos színű és az f egyenes 4 pontja is azonos színű lesz? (5 pont) Megoldás: a)
Az e egyenesen kijelölt 5 pont bármelyikét az f egyenesen kijelölt 4 pont bármelyikével összekötve megfelelő egyenest kapunk (1 pont) Így a megadott feltételnek megfelelően az egyenesek száma 5 4 20 (1 pont) Az adott feltételnek megfelelő háromszög két csúcsa az egyik, harmadik csúcsa a másik egyenesen van. (1 pont) Ha az e egyenesen a háromszögnek két csúcsa van, akkor az a két csúcs 5 (1 pont) féleképpen választható ki 2 Így az ilyen háromszögek száma 30 (1 pont) A megfelelő háromszögek száma tehát 70 (1 pont) Az adott feltételnek megfelelő négyszögek két csúcsa az e, két csúcsa az f egyenesen van. (1 pont) 5 4 Az e egyenesen két pontot , az f egyenesen két pontot különböző 2 2 módon lehet kiválasztani (1 pont) 5 4 Így a megfelelő négyszögek száma 60 (1 pont) 2 2 b) Az egyenlően valószínű színezések száma: 29 (2 pont) Az e egyenesen és az f egyenesen is kétféleképpen lehet egyforma színű az összes megjelölt pont (1 pont) Tehát 4 kedvező eset van (1 pont) 4 A kérdezett valószínűség így: 2 0, 0078 (1 pont) 9 Összesen: 16 pont
6) A Robotvezérelt Elektromos Kisautók Nemzetközi Versenyén a versenyzők akkumulátorral hajtott modellekkel indulnak. A magyar versenyautó az első órában 45 kilométert tesz meg. Az akkumulátor teljesítményének csökkenése miatt az autó a második órában kevesebb utat tesz meg, mint az első órában, a harmadik órában kevesebbet, mint a másodikban, és így tovább: az indulás utáni n-edik órában megtett útja mindig 95,5%-a az n 1 -edik órában megtett útjának ( n és n 1 ). a) Hány kilométert tesz meg a 10. órában a magyarok versenyautója? Válaszát egész kilométerre kerekítve adja meg! (4 pont) A versenyen több kategóriában lehet indulni. Az egyik kategória versenyszabályai lehetővé teszik az akkumulátorcserét verseny közben is. A magyar csapat mérnökei kiszámították, hogy abban az órában még nem érdemes akkumulátort cserélni, amelyikben az autó legalább 20 kmt megtesz. b) Az indulástól számítva legkorábban hányadik órában érdemes akkumulátort cserélni? (6 pont) A „Végkimerülés” kategóriában a résztvevők azon versenyeznek, hogy akkumulátorcsere és feltöltés nélkül mekkora utat tudnak megtenni az autók. A világrekordot egy japán csapat járműve tartja 1100 km-rel. c) Képes-e megdönteni a magyar versenyautó a világrekordot a „Végkimerülés”kategóriában? (6 pont) Megoldás: a)
Egy óra alatt megtett úthosszak km-ben mérve egy olyan mértani soroz egymást követő tagjai, (1 pont) amelynek első tagja 45, hányadosa pedig 0,955 (1 pont) 9 (1 pont) a10 a1 q 29,733 A magyar autó 10. órában megtett útja kb 30 km (1 pont) b) Addig nem érdemes akkumulátort cserélni, amíg n 1 45 0,955 20 teljesül n és n 1 (1 pont) Mivel a tízes alapú logaritmus függvény szigorú monoton nő, ezért 20 n 1 lg 0,955 lg 45 lg 0,955 0 , ebből adódik, hogy 20 lg 45 1 18,61 n lg 0,955 Legkorábban a 19. órában érdemes akkumulátort cserélni.
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)
c)
Ha a verseny kezdetétől eltelt egész órák száma n, akkor ennyi idő alatt a magyar autó által megtett út a mértani sorozat első n tagjának összege(1 pont) 45 0,955n 1 (1 pont) Sn 1100 0,955 1
Megoldandó a
1100 egyenlőtlenség
45 0,955n 1 0,955 1
Rendezve a 0,955n 0,1 egyenlőtlenséget kapjuk Ennek nincsen megoldása Tehát a világrekordot nem döntheti meg a magyar autó Összesen:
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) 16 pont
7) Egy üzemben 4000 cm3-es, négyzet alapú, egyenes hasáb alakú, felül nyitott sütőedények gyártását tervezik. Az edények külső felületét tűzálló zománcfestékkel vonják be. (A belső felülethez más anyagot használnak.) a) Számítsa ki, mekkora felületre kellene tűzálló zománcfesték egy olyan edény esetén, amelynek oldallapjai 6,4 cm magasak! (3 pont) b) Az üzemben végül úgy határozták meg az edények méretét, hogy a gyártásukhoz a lehető legkevesebb zománcfestékre legyen szükség. Számítsa ki a gyártott edények alapélének hosszát! (9 pont) c) Minőségellenőrzési statisztikák alapján ismert: 0,02 annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott edény selejtes. Egy áruházláncnak szállított 50 darabos tételben mekkora valószínűséggel lesz pontosan 2 darab selejtes? (4 pont) Megoldás: a)
Az edény alapéle legyen x cm hosszú 4000 x 2 6,4 x 25 A zománccal bevonható felület területe tehát 625 4 25 6,4 1265cm2
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
b) Ha az edény magassága m cm, akkor 4000 x 2 m és a zománccal bevonandó felület területe cm2-ben T x 2 4xm (1 pont) Az m-et a térfogatra felírt összefüggésből kifejezve és behelyettesítve T-be 16000 (1 pont) T x2 x 16000 Tekintsük a T : + ; T x x 2 függvényt (1 pont) x T-nek ott lehet szélsőértéke, ahol a deriváltja 0 (1 pont) 16000 T ' x 2x (1 pont) x2 T ' x 0 x 3 8000 x 20 (1 pont) 32000 pozitív az x 20 helyen x3 ezért a T függvénynek az x 20 helyen abszolút minimuma van A gyártott edények alapéle 20 cm Egy edényt véletlenszerűen kiválasztva az 0,02 valószínűséggel lesz tehát 0,98 valószínűséggel jó. A kérdéses valószínűség a binomiális eloszlás alapján számolható 50 P 2selejtes 0,0022 0,9848 2
Mivel T " x 2
c)
P 2selejtes 0,186
(1 pont) (1 pont) (1 pont) selejtes, (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)
Összesen: 16 pont
8) A derékszögű koordináta-rendszerben az ABC háromszög csúcsai: A 2;1 , B 7; 4 , C 11; p . Határozza meg a p paraméter pontos értékét, ha a háromszög B csúcsánál levő belső szöge 60°-os. (16 pont) Megoldás: Az ABC háromszög AC oldalára felírva a koszinusz tételt: AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC 0,5
(2 pont)
AB 2 50
(1 pont)
BC 2 16 p 4
(1 pont)
p 2 8 p 32
(1 pont)
2
AC 2 81 p 1
2
(1 pont)
(1 pont) p 2 2 p 82 A kapott értékeket visszahelyettesítve a koszinusztételbe a következőt kapjuk:
p 2 2 p 82 p 2 8 p 32 50 p 2 8 p 21 Rendezve:
50 p 2 8 p 32 10 p
(1 pont) (2 pont)
Mivel a baloldalon pozitív szám áll ezért p 0 Négyzetre emelve és egyszerűsírve: p 2 8 p 32 2 p 2
(1 pont)
Amiből adódik p 2 8 p 32 0 Ebbek az egyenletnek a gyökei: p1 4 4 3 p2 4 4 3
(1 pont)
Mivel p 0 , ezért csak a p1 4 4 3 megoldás lesz jó.
(1 pont)
(2 pont) (1 pont) Összesen: 16 pont
9) a) A következő két állításról döntse el, hogy igaz vagy hamis. Válaszait indokolja! (6 pont) Van olyan ötpontú egyszerű gráf, amelynek 11 éle van. Ha egy ötpontú egyszerű gráf minden csúcsa legalább harmadfokú, akkor biztosan van negyedfokú csúcsa is. b) Az A, B, C, D és E pontok egy ötpontú teljes gráf csúcsai. A gráf élei közül véletlenszerűen beszínezünk hatot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az A, B, C, D, E pontokból és a színezett élekből álló gráf nem lesz összefüggő? (10 pont) Megoldás: a)
Az első állítás hamis (1 pont) Egy ötpontú egyszerű gráfban legfeljebb 10 él húzható (2 pont) A második állítás igaz (1 pont) Ha a gráf minden csúcsa harmadfokú volna, akkor a gráfban a fokszámok összege páratlan lenne, ami lehetetlen (2 pont) b) Ha úgy színeztünk be 6 élt, hogy kaptunk egy négypontú teljes részgráfot és egy izolált pontot, akkor ez a gráf nem összefüggő, tehát jó. (2 pont) Másképp nem kaphattunk nem összefüggő gráfot, hiszen ha egy két- és egy hárompontú komponense lenne, akkor legfeljebb 4 él lehetne. (2 pont) Az első típushoz ötféleképpen választhatjuk ki az izolált pontot, és ez már meghatározza a 6 beszínezhető élt, tehát az ilyen gráfok száma 5. (2 pont) Az ötpontú teljes gráfnak 10 éle van (1 pont) 10 Ezek közül féleképpen választhatjuk ki a 6 kiszínezendő élt. (2 pont) 6 5 A keresett valószínűség tehát p (10 pont) 0, 024 20
