MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. május 8. KÖZÉPSZINT I. 1) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, a b 0 )! a 2b 2ab ab
(2 pont)
Megoldás: ab (a 2) a 2 ab
Összesen: 2 pont
2) Egy mértani sorozat második eleme 32, hatodik eleme 2. Mekkora a sorozat hányadosa? Írja le a megoldás menetét! (3 pont) Megoldás: A feltételből 32q 4 2 , ahonnan
q1
1 4 0, 0625 2
q2
1 2
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
3) Egy háromszög oldalhosszúságai egész számok. Két oldala 3 cm és 7 cm. Döntse el a következő állításokról, hogy igaz vagy hamis! (2 pont) 1. állítás: A háromszög harmadik oldala lehet 9 cm. 2. állítás: A háromszög harmadik oldala lehet 10 cm. Megoldás: 1. állítás: Igaz 2. állítás: Hamis
(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont
4) Bea édesapja két és félszer olyan idős most, mint Bea. 5 év múlva az édesapa 50 éves lesz. Hány éves most Bea? Válaszát indokolja! (3 pont) Megoldás: Ha Bea most x éves, akkor 2,5x 45 , ahonnan x 18
(2 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
5) A valós számok halmazán értelmezett x x 1 4 függvénynek minimuma vagy maximuma van? Adja meg a szélsőérték helyét és értékét! (3 pont) 2
Megoldás: Maximuma van, szélsőérték helye: 1; értéke: 4.
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
6) Adjon meg egy olyan zárt intervallumot, ahol a grafikonjával megadott alábbi függvény csökkenő! (2 pont)
Megoldás: Például: 0; 2
(2 pont)
7) A valós számok halmazának mely legbővebb részhalmazán értelmezhető 1 az kifejezés? (2 pont) x 2 Megoldás: Minden valós szám, kivéve 2 és –2.
Összesen: 2 pont
8) Az ábrán látható háromszögben hány cm hosszú az 56°-os szöggel szemközti oldal? (Az eredményt egy tizedes jegy pontossággal adja meg!) Írja le a számítás menetét! (3 pont) Megoldás:
x sin56 4,8 sin 41 x 6,1
(1 pont) (2 pont) Összesen: 3 pont
9) Adott az f : 0 , f x x függvény. Határozza meg az értelmezési tartománynak azt az elemét, amelyhez tartozó függvényérték 4. (2 pont) Megoldás:
x 16
(2 pont)
10) Máté a tanév során 13 érdemjegyet kapott matematikából. Ezek időrendben: 4, 4, 3, 4, 4, 2, 5, 4, 3, 1, 3, 3, 2. Adja meg a jegyek móduszát és mediánját! (2 pont) Megoldás: Módusz: 4 Medián: 3
(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont
1 egyenletet! 2 Jelölje a megadott számegyenesen az egyenlet megoldását! (3 pont)
11) Oldja meg a pozitív valós számok halmazán a log16 x Megoldás: x
1 4
(2 pont)
(1 pont) Összesen: 3 pont 12) A 100-nál kisebb és hattal osztható pozitív egész számok közül véletlenszerűen választunk egyet. Mekkora valószínűséggel lesz ez a szám 8-cal osztható? Írja le a megoldás menetét! (3 pont) Megoldás: Összesen 16 db hattal osztható szám van a megadott tartományban, közülük 4 db osztható 8-cal. (2 pont) 4 1 a valószínűség (1 pont) 16 4 Összesen: 3 pont
II/A. 13)
a) Oldja meg a 7 x 2 x 2 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! (2 pont) 2 b) Oldja meg az x x 6 0 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! (4 pont) c) Legyen az A halmaz a 7 x 2 x 2 egyenlőtlenség valós
megoldásainak halmaza, B pedig az x 2 x 6 0 egyenlőtlenség valós megoldásainak halmaza. Adja meg az A B , A B és B \ A halmazokat! (6 pont) Megoldás: a)
7 x 2 x 2 3x 3
(1 pont)
ahonnan x 1. A ; 1
(1 pont)
b) Az x 2 x 6 0 egyenlet gyökei: 3;2 Mivel a főegyüttható pozitív, ezért 3 x 2. B 3; 2 c)
(2 pont) (1 pont) (1 pont)
A B ; 2
(2 pont) (2 pont) (2 pont) Összesen: 12 pont
A B 3; 1
B \ A 1; 2
14) A városi középiskolás egyéni teniszbajnokság egyik csoportjába hatan kerültek: András, Béla, Csaba, Dani, Ede és Feri. A versenykiírás szerint bármely két fiúnak pontosan egyszer kell játszania egymással. Eddig András már játszott Bélával, Danival és Ferivel. Béla játszott már Edével is. Csaba csak Edével játszott, Dani pedig Andráson kívül csak Ferivel. Ede és Feri egyaránt két mérkőzésen van túl. a) Szemléltesse gráffal a lejátszott mérkőzéseket! (4 pont) b) Hány mérkőzés van még hátra? (3 pont) c) Hány olyan sorrend alakulhat ki, ahol a hat versenyző közül Dani az első két hely valamelyikén végez? (5 pont) Megoldás: a)
András
Béla
Dani Feri
Ede
(4 pont)
Csaba
b) Ha mindenki mindenkivel egyszer játszik, akkor a mérkőzések száma 6 6 5 (2 pont) 15 2 5 6 mérkőzést már lejátszottak, ezért 9 mérkőzés van még hátra. (1 pont) c)
Ha Dani az első helyen végez, akkor a többiek „követhetik”. Ugyanennyi lehetőség van akkor is, ha Dani második. Így a kérdéses lehetőségek száma: 240.
5! 120 -féleképpen (2 pont) (2 pont) (1 pont) Összesen: 12 pont
15) Egy gyertyagyárban sokféle színű, formájú, és méretű gyertyát készítenek. A folyékony, felhevített viaszt különféle formákba öntik. Az öntőhelyek egyikén négyzet alapú egyenes gúlát öntenek, melynek alapéle 5 cm, oldaléle 8 cm hosszú. a) Számítsa ki ennek a gúla alakú gyertyának a térfogatát! (Az eredményt cm3-ben, egészre kerekítve adja meg!) (4 pont) Ezen az öntőhelyen az egyik műszakban 130 darab ilyen gyertyát gyártanak. b) Hány liter viaszra van szükség, ha tudjuk, hogy a felhasznált anyag 6%-a veszteség? (Az eredményt egy tizedes jegyre kerekítve adja meg!) (4 pont) A gúla alakú gyertyákat egyenként díszdobozba csomagolják. c) Hány cm2 papír szükséges 40 darab díszdoboz elkészítéséhez, ha egy doboz papírszükséglete a gúla felszínének 136%-a? (4 pont) Megoldás: a)
A test magassága m. (1 pont) A négyzet átlójának a fele: 5 2 (1 pont) cm 2 (1 pont) m 64 12,5 7,2 cm A gúla alakú gyertya térfogata: T m 52 7, 2 60 cm V a 3 3 b) Az x térfogatú viasznak a 94%-a adja a 130 db gyertya térfogatát: (2 pont) 0,94 x 130 V 130 x 60 8296 cm3 (1 pont) 0,94
E
m
8 D
C
8,3 liter viaszra van szükség. (1 pont)
5
M A
5
B
c)
Az oldallap magassága (Pitagorasz-tétellel) mo 82 2,52 7,6 cm (1 pont) 5 mo A palást területe: P 4 (1 pont) 10mo 76 cm2 2 A gúla felszíne: A 52 P 101 cm2 (1 pont)
A
teljes
felhasznált
2
1, 36 40 A 1, 36 40 101 5494 cm
papírmennyiség: (1 pont) Összesen: 12 pont
II/B. 16)
a) Ábrázolja koordináta-rendszerben az e egyenest, melynek egyenlete 4x 3y 11 . Számítással döntse el, hogy a P 100; 36 pont rajta van-e az egyenesen! Az egyenesen levő Q pont ordinátája (második koordinátája) 107. Számítsa ki a Q pont abszcisszáját (első koordinátáját)! (4 pont) b) Írja fel az AB átmérőjű kör egyenletét, ahol A 5; 3 és A 1; 5 . Számítással döntse el, hogy az S 1; 3 pont rajta van-e a körön! (7 pont) c) Adja meg az ABC háromszög C csúcsának koordinátáit, ha tudja, hogy az S 1; 3 pont a háromszög súlypontja! (6 pont)
Megoldás: a)
Mivel 4 100 3 136 11 ezért a P pont
nincs az egyenesen. (1 Az e egyenes ábrázolása. (1 A Q pontra: 4x 3 107 11 , (1 ahonnan a Q pont abszcisszája: x 83 . (1 b) Az AB szakasz felezőpontja F. F 2; 1 (2 A
kör
r AF
2 5
2
pont) pont) pont) pont) pont)
sugara:
1 3 5 2
(2 pont) A
kör
egyenlete:
x 2
2
y 1 25 2
(2 pont) Mivel
1 2
2
3 1 25 ezért az S pont 2
rajta van a körön. c)
(1 pont)
A C pont koordinátái: xc ; yc S koordinátáira felírható: 3 5 yc 5 1 xc ; 3 1 3 3 Ahonnan xc 7 ,
(3 pont) (1 pont)
yc 11 (1 pont) Tehát C 7;11 (1 pont) A feladat megoldható vektorműveletekkel is azt az összefüggést felhasználva, hogy a háromszög súlypontja a súlyvonalon az oldalhoz közelebbi harmadolópont. Összesen: 17 pont
17) Egy gimnáziumban 50 diák tanulja emelt szinten a biológiát. Közülük 30-an tizenegyedikesek és 20-an tizenkettedikesek. Egy felmérés alkalmával a tanulóktól azt kérdezték, hogy hetente átlagosan hány órát töltenek a biológia házi feladatok megoldásával. A táblázat a válaszok összesített eloszlását mutatja. A biológia házi feladatok megoldásával hetente 0-2 2-4 4-6 6-8 eltöltött órák száma* Tanulók száma 3 11 17 15 * A tartományokhoz az alsó határ hozzátartozik, a felső nem.
8-10 4
a) Ábrázolja oszlopdiagramon a táblázat adatait! (3 pont) b) Átlagosan hány órát tölt a biológia házi feladatok megoldásával hetente ez az 50 tanuló? Az egyes időintervallumok esetében a középértékekkel (1, 3, 5, 7 és 9 órával) számoljon! (3 pont) Egy újságíró két tanulóval szeretne interjút készíteni. Ezért a biológiát emelt szinten tanuló 50 diák névsorából véletlenszerűen kiválaszt két nevet. c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy az egyik kiválasztott tanuló tizenegyedikes, a másik pedig tizenkettedikes? (6 pont) d) Mennyi a valószínűsége annak, hogy mindkét kiválasztott tanuló legalább 4 órát foglalkozik a biológia házi feladatok elkészítésével hetente? (5 pont) Megoldás: a) Tanulók száma 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
Órák száma
(3 pont)
3 1 11 3 17 5 15 7 4 9 262 (2 pont) 50 50 5,24 A tanulók tehát átlagosan 5,24 órát 5 óra 14 perc töltenek a biológia házi feladatok megoldásával hetente. (1 pont)
b) A középértékekkel számított átlag:
c)
50
tanuló
kiválasztani.
közül
50 50 49 1225 –féleképpen 2 2
lehet
két
tanulót (2 pont)
A két évfolyamból 30, illetve 20-féleképpen lehet egy-egy tanulót kiválasztani, így a kedvező esetek száma: 30 20 600 . (2 pont) 600 24 A kérdéses valószínűség: p (2 pont) 1225 49 d) Hetente legalább 4 órát 36 tanuló tölt a biológia házi feladatok megoldásával. (1 pont) 36 35 36 Közülük két tanulót 630 –féleképpen lehet kiválasztani. (2 pont) 2 2 630 18 Így a keresett valószínűség: p (2 pont) 1225 35 Összesen: 17 pont 18) a) Határozza meg azt a háromjegyű számot, amelyről a következőket tudjuk: számjegyei a felírás sorrendjében egy számtani sorozat egymást követő tagjai; a szám értéke 53,5-szerese a számjegyei összegének; ha kivonjuk belőle az első és utolsó jegy felcserélésével kapott háromjegyű számot, akkor 594 az eredmény. (10 pont) b) Sorolja fel azokat a 200-nál nagyobb háromjegyű számokat, amelyeknek számjegyei a felírás sorrendjében növekvő számtani sorozat tagjai! (4 pont) c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a b) kérdésben szereplő számok közül véletlenszerűen egyet kiválasztva, a kiválasztott szám osztható 9-cel! (3 pont) Megoldás: a)
A háromjegyű szám számjegyei: a d ; a; a d , ahol a a számtani sorozat középső tagja, d a differencia. (1 pont) Felírható: 100 a d 10a a d 53,5 3a (1) (2 pont) és 100 a d 10a a d 100 a d 10a a d 594 (2) A (2) egyenletből: 198d 594 ahonnan d 3 Az (1) egyenletből: 111a 99d 53,5 3a ahonnan a 2d a 2 3 6 a középső számjegy, a háromjegyű szám: 963.
(2 pont) (1 (1 (1 (1 (1
pont) pont) pont) pont) pont)
A feladat úgy is megoldható, ha a számtani sorozat első tagját jelöljük a-val. b) A megfelelő számok: 234; 345; 456; 567; 678; 789; 246; 357; 468; 579; 258; 369. (4 pont) c) Közülük 9-cel osztható: 234; 369; 468; 567. (1 pont) A jó esetek száma 4; az összes eset 12. (1 pont) 4 1 A keresett valószínűség: p (1 pont) 12 3 Összesen: 17 pont
