MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. KÖZÉPSZINT I. 1) Egy mértani sorozat első tagja 3, hányadosa első hat tagjának összegét!
2 .
Adja meg a sorozat (2 pont)
Megoldás:
Sn na1 d
n n 1 , ebből: S6 63 . 2
(2 pont)
2) Írja fel annak az e egyenesnek az egyenletét, amelyik párhuzamos a 2x y 5 egyenletű f egyenessel és áthalad a P 3; 2 ponton! Válaszát indokolja! (3 pont) Megoldás: Az f egyenes meredeksége 2, így az e egyenes meredeksége is 2. (1 pont) 2 2 3 b egyenletből b 8 Az átlag: 168, 3 cm . (1 pont) Az e egyenes egyenlete: y 2x 8 (1 pont) Az egyenlet felírható a megegyező normálvektor segítségével is. Összesen: 3 pont 3) Adott a valós számok halmazán értelmezett f x x 2 4 függvény. Adja meg az f függvény minimumának helyét és értékét! (2 pont) 2
Megoldás: A minimum helye: -2 A minimum értéke: 4
(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont (2 pont)
4) Döntse el, melyik állítás igaz, melyik hamis!
a) Hét tanulóból négyet ugyanannyiféleképpen lehet kiválasztani, mint hármat, ha a kiválasztás sorrendjétől mindkét esetben eltekintünk. (1 pont) b) Van olyan x valós szám, amelyre igaz, hogy
x 2 x
(1 pont)
Megoldás: a) igaz b) igaz
(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont
5) András 140 000 forintos fizetését megemelték 12%-kal. Mennyi lett András fizetése az emelés után? (2 pont) Megoldás: András fizetése az emelés után 156 800 Ft lett. 6) Határozza meg a radiánban megadott Megoldás:
(2 pont)
szög nagyságát fokban! 4 (2 pont)
45
(2 pont)
7) Adja meg az x 2 y 2 9 egyenletű koordinátáit és sugarának hosszát! 2
kör
K
középpontjának (3 pont)
Megoldás: A kör középpontja: K 2; 0 sugara: r 3
(2 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
8) A testtömeg-index kiszámítása során a vizsgált személy kilogrammban megadott tömegét osztják a méterben mért testmagasságának négyzetével. Számítsa ki Károly testtömeg-indexét, ha magassága 185 cm, tömege pedig 87 kg! (3 pont) Megoldás:
kg Károly testtömeg-indexe 25, 42 2 m
(3 pont)
9) Egy piros és egy sárga szabályos dobókockát egyszerre feldobunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege pontosan 4 lesz? Válaszát indokolja! (3 pont) Megoldás: Két kockával 3-féleképpen lehet a dobott számok összege 4: 1;3 , 2;2 , 3;1 2
Két kockával összesen 6 36 -félét dobhattunk. 3 Így a kérdéses valószínűség: 0, 083 36
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
10) Adja meg azokat az x valós számokat, melyekre teljesül: log 2 x 2 4 . Válaszát indokolja! (3 pont) Megoldás: A logaritmus definíciója alapján: x 2 16 a lehetséges x értékek: 4, 4 .
11) Egyszerűsítse az alábbi törtet:
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
x 2 6x 9 , ahol x 3 ! x2 9
Megoldás: A tört egyszerűsített alakja:
x 3 . x3
(3 pont)
12) Az alább felsorolt, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket közös koordinátarendszerben ábrázoljuk. A három függvény közül kettőnek a grafikonja megegyezik, a harmadik eltér tőlük. Melyik függvény grafikonja tér el a másik két függvény grafikonjától? (2 pont) 1 sin 2x a) x 2 sin x b) x c)
x
cos x 2
Megoldás: A helyes válasz betűjele: a)
(2 pont)
II/A. 13) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!
5x 1 5x 2 30 3 2 1 , ahol x 0 és x 2 b) x x2 Megoldás:
(5 pont)
5 5x 52 5x 30 30 5x 30 5x 1 (Az 5 alapú exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt) x 0 Ellenőrzés 3 x 2 2x 1 b) Az egyenlet bal oldalát közös nevezőre hozva: x x 2
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
a)
a)
(7 pont)
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
Az egyenlet mindkét oldalát x x 2 -vel szorozva
3 x 2 2x x x 2 A zárójelek felbontása és összevonás után: x 6 x 2 2x Nullára rendezve: x 2 x 6 0 A másodfokú egyenlet gyökei: x1 3, x2 2 Ellenőrzés
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (2 pont) (1 pont) Összesen: 12 pont
14) Az ABC hegyesszögű háromszögben BC 14 cm, AC 12 cm, a BCA szög nagysága pedig 40 . a) Számítsa ki a BC oldalhoz tartozó magasság hosszát! (2 pont) b) Számítsa ki az AB oldal hosszát! (3 pont) Válaszait cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Az AB oldal felezőpontja legyen E, a BC oldal felezőpontja pedig legyen D. Határozza meg az AEDC négyszög területét! c) Válaszát cm2 -ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (7 pont)
Megoldás: a)
Az ATC derékszögű háromszögben ma 12sin 40 7, 7 cm
(2 pont)
A
12 cm
ma
B
T
40
14 cm
C
A magasság kifejezhető a trigonometrikus területképletből is. b) A háromszög kérdéses oldalára a koszinusztételt felírva: (1 pont) 2 2 2 AB 14 12 2 14 12 cos 40 (1 pont) (1 pont) AB 9,1 cm c) Az AEDC négyszög trapéz, mert az ED szakasz az ABC háromszögben középvonal, így párhuzamos az AC oldallal. (1 pont) ED 6 cm (1 pont) A trapéz magassága az ABC háromszög AC oldalhoz tartozó magasságának a fele. (1 pont) 12 14 sin 40 54 cm2 Az ABC háromszög területe: T (1 pont) 2 Ebből az AC oldalhoz tartozó mb magasság: T 2 mb 9 cm (1 pont) 12 12 6 mb Az AEDC trapéz területe: T (1 pont) 2 2 40, 5 cm2 (1 pont) A feladat megoldható hasonló háromszögek területarányának felhasználásával is. Összesen: 12 pont
15) Az újkori olimpiai játékok megrendezésére 1896 óta kerül sor, ebben az évben tartották az első (nyári) olimpiát Athénban. Azóta minden negyedik évben tartanak nyári olimpiát, és ezeket sorszámmal látják el. Három nyári olimpiát (az első és a második világháború miatt) nem tartottak meg, de ezek az elmaradt játékok is kaptak sorszámot. a) Melyik évben tartották a 20. nyári olimpiai játékokat? (2 pont) b) Számítsa ki, hogy a 2008-ban Pekingben tartott nyári olimpiának mi volt a sorszáma! (2 pont) A nyári olimpiák szervezőinek egyik fő bevételi forrása a televíziós jogok értékesítéséből származó bevétel. Rendelkezésünkre állnak a következő adatok (millió dollárban számolva): Olimpia sorszáma Bevétel a televíziós jogok értékesítéséből
20.
22.
75
192
Eszter úgy véli, hogy a televíziós jogok értékesítéséből származó bevételek – a 20. olimpiától kezdve – az egymás utáni nyári olimpiákon egy számtani sorozat egymást követő tagjait alkotják. Marci szerint ugyanezek a számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai. A saját modelljük alapján mindketten kiszámolják, hogy mennyi lehetett a televíziós jogok értékesítéséből származó bevétel a 27. nyári olimpián. Ezután megkeresik a tényleges adatot, amely egy internetes honlap szerint 1383 (millió dollár). c) Számítsa ki, hogy Eszter vagy Marci becslése tér el kisebb mértékben a 27. nyári olimpia tényleges adatától! (8 pont) Megoldás: a) A nyári olimpiák évszámai egy olyan számtani sorozatot alkotnak, melynek első tagja 1896, különbsége pedig 4. (1 pont) a20 1896 19 4 1972 , azaz 1972-ben tartották a 20. nyári olimpiát. (1 pont) b) 1896 n 1 4 2008 , tehát n 29. nyári olimpiát tartották 2008-ban. c)
(2 pont) (A megadott két adatot egy számtani sorozat első, illetve harmadik tagjának tekintve:) 75 2d 192 , (1 pont) amiből d 85 (1 pont) Így, Eszter becslése a sorozat nyolcadik tagjára: 75 7d 484,5 millió dollár (1 pont) (A megadott két adatot egy mértani sorozat első illetve harmadik tagjának tekintve:) 75q 2 192 , (1 pont) amiből q 0 miatt q 1,6
(1 pont)
Így Marci becslése a sorozat nyolcadik tagjára: 75q 2013 millió dollár .
1383 485 898 és 2013 1383 630 , vagyis Marci becslése tér el kevésbé a tényleges adattól.
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 12 pont
II/B. 16) Tekintsük a következő halmazokat: A a 100-nál nem nagyobb pozitív egész számok
B a 300-nál nem nagyobb, 3-mal osztható pozitív egész számok
C a 400-nál nem nagyobb, 4-gyel osztható pozitív egész számok a) Töltse ki a táblázatot a minta alapján, majd a táblázat alapján írja be az 52, 78, 124, 216 számokat a halmazábra megfelelő tartományába! (2 pont) 114 52 78 124 216
A halmaz nem eleme
B halmaz eleme
C halmaz nem eleme
b) Határozza meg az A B C halmaz elemszámát! A
(2 pont)
B 114
C
c) Számítsa ki annak valószínűségét, hogy az A halmazból egy elemet véletlenszerűen kiválasztva a kiválasztott szám nem eleme sem a B, sem a C halmaznak! (8 pont) Megoldás: a) 52 78 124 216
A halmaz eleme eleme nem eleme nem eleme
B halmaz nem eleme eleme nem eleme eleme
C halmaz eleme nem eleme eleme eleme
(2 pont)
A
B
78
114
8 52
216 124
C (8 pont) b) A három halmaz közös részében azok a pozitív egész számok vannak, melyek 100-nál nem nagyobbak és 3-mal és 4-gyel is (tehát 12-vel) oszthatók. (1 pont) Ezek a számok: A B C 12;24;36; 48;60;72;84;96 (1 pont) Összesen 8 darab ilyen szám van. c) Az A halmaz elemeinek száma: A 100
(1 pont) (1 pont)
Ezek közül hárommal osztható (vagyis B-nek is eleme) 33 darab. (1 pont) Néggyel osztható (vagyis C-nek is eleme) 25 darab. (1 pont) Tizenkettővel osztható (vagyis mindhárom halmaznak eleme) 8 darab. (1 pont) Így az A halmaz azon elemeinek a száma, melyek nem elemei sem a B, sem a C halmaznak: 100 33 25 8 50 (1 pont) 50 A kérdéses valószínűség: P (1 pont) 0, 5 100 Összesen: 17 pont
17) Az alábbi táblázat András és Bea érettségi érdemjegyeit mutatja. Magyar nyelv és irodalom Matematika Történelem Angol nyelv Fölrajz
András 3 4 4 3 5
Bea 4 5 4 5 5
a) Számítsa ki András jegyeinek átlagát és szórását!
Cili
(3 pont)
Cili érettségi eredményéről azt tudjuk, hogy jegyeinek átlaga András és Bea jegyeinek átlaga közé esik, továbbá Cili jegyeinek a szórása 0. b) Töltse ki a táblázatot Cili jegyeivel! (3 pont) Dávid is ebből az 5 tárgyból érettségizett, az 5 tárgy az ő bizonyítványában is a fenti sorrendben szerepel. Eredményeiről azt tudjuk, hogy jegyeinek mediánja 4, átlaga pedig 4,4 lett. c) Határozza meg Dávid osztályzatait és azt, hogy hányféleképpen lehetne ezekkel az osztályzatokkal kitölteni az érettségi bizonyítványát! (7 pont) Az ábra a 24 fős osztály érettségi eredményeinek megoszlását mutatja matematikából. Tudjuk, hogy jeles osztályzatot 4 tanuló ért el. d) Az osztály tanulói közül hányan érettségiztek közepes eredménnyel matematikából? (4 pont) Megoldás: a)
András jegyeinek átlaga 3,8,
(1 pont)
3 3,8 2 ... 5 3,8 2
így jegyeinek szórása
5
(1 pont)
(1 pont) 0, 75 b) András jegyeinek átlaga 3,8, Bea jegyeinek átlaga 4,6. (1 pont) Mivel Cili jegyeinek szórása 0, ezért minden jegye azonos. (1 pont) Így Cilinek minden jegye 4-es. (1 pont) c) Dávid jegyeinek összege 22, (1 pont) jegyeit nagyság szerint sorba rendezve a középső 4-es. (1 pont) A jegyek között 1-es, 2-es és 3-as nem szerepelhet. Négy darab 4-ese nem lehet, mert akkor a jegyek összege nem lehet 22. (1 pont) Dávid jegyei: 4; 4; 4; 5; 5. (1 pont) 5 Ezekkel a jegyekkel érettségi bizonyítványát (2 pont) 2 10 -féleképpen lehet kitölteni. (1 pont) 1 d) Jeles osztályzatot az osztály része ért el, a hozzájuk tartozó körcikk 6 középponti szöge 60°. (1 pont) A közepes osztályzatot elérőkhöz tartozó középponti szög
360 60 45 150 105 ,
(1 pont)
105 24 , 360 vagyis közepes osztályzatot 7 diák szerzett. az ehhez tartozó diákok száma:
(1 pont) (1 pont) Összesen: 17 pont
18) a) Számítsa ki annak a szabályos négyoldalú gúlának a térfogatát, melynek minden éle 10 cm hosszú! (6 pont) H Térgeometriai feladatok megoldásában segíthet egy olyan készlet, melynek elemeiből (kilyuggatott kisméretű gömbökből és különböző hosszúságú E F műanyag pálcikákból) matematikai és kémiai modellek építhetők. Az ábrán egy kocka modellje látható. D b) Számítsa ki az ABH szög nagyságát! (A test csúcsait tekintse pontoknak, az éleket pedig szakaszoknak!) (4 pont) A B Anna egy molekulát modellezett a készlet segítségével, ehhez 7 gömböt és néhány pálcikát használt fel. Minden pálcika két gömböt kötött össze, és bármely két gömböt legfeljebb egy pálcika kötött össze. A modell elkészítése után feljegyezte, hogy hány pálcikát szúrt bele az egyes gömbökbe. A feljegyzett adatok: 6, 5, 3, 2, 2, 1, 1. c) Mutassa meg, ha Anna hibát követett el az adatok felírásában!(4 pont) Anna is rájött, hogy hibázott. A helyes adatok: 6, 5, 3, 3, 2, 2, 1. d) Hány pálcikát használt fel Anna a modell elkészítéséhez? (3 pont) Megoldás: a)
A test alaplapja négyzet, melynek
területe T 100 cm2 .
(1 pont)
A gúla m magassága egy olyan derékszögű háromszög egyik befogója, melynek átfogója 10 (cm), (1 pont) másik befogója (az alaplap átlójának fele): 10 2 50 7,07 cm (1 pont) 2 (Így a Pitagorasz-tétel értelmében:) m2 100 50 50 (1 pont) amiből ( m 0 miatt) m 50 7,07 cm (1 pont)
10 10 m
10 10
Tm 100 50 (1 pont) 236 cm3 3 3 A magasság kiszámítható az oldallap magassága és a testmagasság által meghatározott háromszögből is. A gúla térfogata V
G
C
b) (Mivel a kocka BA éle merőleges az ADHE oldallapra, ezért) a HAB szög nagysága 90°. (1 pont) ABH szög legyen . A kocka élének hosszát a-val jelölve AH a 2 , (1 pont) így tg 2 ,
(1 pont)
amiből ( 0 90 miatt) 54, 74 . (1 pont) A szög nagysága koszinusztétel segítségével is megadható. c) A gömböket jelölje a megadott fokszámok sorrendjében A, B, C, D, E, F és G. Az A gömb mindegyik másik gömbbel össze van kötve. (1 pont) Mivel G elsőfokú gömb, ezért csak A-val van összekötve. (1 pont) F is elsőfokú gömb, ezért F is csak A-val van összekötve. (1 pont) Ezek szerint B csak A-val, C-vel, D-vel és E-vel lehet összekötve, vagyis nem lehet ötödfokú. (1 pont) d) Mindegyik felhasznált pálcika két gömböt köt össze, így az egyes csúcsokból induló pálcikákat megszámolva minden felhasznált pálcikát kétszer számolunk meg. (1 pont) Így az összes (jól) feljegyzett szám összege éppen kétszerese a pálcikák számának. (1 pont) 6 5 3 3 2 2 1 11 A pálcikák száma tehát: (1 pont) 2 A pálcikák száma gráfos indoklással is megadható (a csúcsok fokszámösszege az élek számának kétszerese.) Összesen: 17 pont
