MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2014. május 6. EMELT SZINT I. 1) a) Egy téglalapot 720 darab egybevágó kis téglalapra daraboltunk szét. A kis téglalapok oldalai közül az egyik 1 cm-rel hosszabb, mint a másik. Hány cm hosszúak egy-egy kis téglalap oldalai, ha a nagy téglalap területe 2025 cm2? (7 pont) b) Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből összesen 720 olyan hatjegyű szám képezhető, melynek számjegyei között nincsenek egyenlők. Ezek között hány 12-vel osztható van? (5 pont) Megoldás: a)
Egy kis téglalap oldalainak hossza x cm, illetve x x 1 cm2 . A feladat szövegéből kiindulva: 720 x x 1 2025 .
x 1 cm, területe (1 pont) (1 pont)
A zárójelet felbontva, majd 45-tel leegyszerűsítve:
16x 2 16x 45 0
(1 pont) A két gyöke x-nek: x1 1,25; x2 2,25 . (1 pont) A negatív gyök nem lehet megoldása a feladatnak! (1 pont) A téglalap rövidebb oldala tehát 1,25 cm, hosszabb oldala pedig 2,25 cm hosszú. (1 pont) Ellenőrzés: 720 1,25 2,25 2025 igaz, tehát a válasz helyes. (1 pont) b) 12-vel azok a természetes számok oszthatók, amelyek 3-mal és 4-gyel is oszthatók. (1 pont) Mivel 1 2 3 4 5 6 21, ezért mind a 720 különböző hatjegyű szám osztható 3-mal. (1 pont) Azok a hatjegyű számok oszthatók 4-gyel, amelyeknél az utolsó két számjegy 12, 16, 24, 32, 36, 52, 56 vagy 64. (1 pont) Mindegyik végződés 4!, azaz 24 darab hatjegyű szám esetében fordul elő. (1 pont) Emiatt a vizsgált számok között 8 24 192 darab 12-vel osztható van. (1 pont) Összesen: 12 pont
2) Jelölje H a 5, 2 x 3 egyenlőtlenség pozitív egész megoldásainak halmazát. Jelölje továbbá B azon pozitív egész b számok halmazát, amelyekre a logb 26 kifejezés értéke is pozitív egész szám. Elemeinek felsorolásával adja meg a H, a B, a H B és a B \ H halmazt! (11 pont) Megoldás: A gyökös kifejezés értelmezési tartomány vizsgálata alapján: x 5,2 . (1 pont) Az egyenlőtlenség elvégzése során: (1 pont) 5,2 x 9 3,8 x Tehát azok a pozitív számok elemei H halmaznak, melyek 3,8 -nál nagyobbak és 5,2-nél kisebbek: (1 pont) H 1; 2; 3; 4; 5 Ha logb 26 k , akkor bk 26 , ami 64. (2 pont) A k kitevő pozitív egész, ezért a b olyan pozitív egész szám lehet, melynek valamely pozitív egész kitevős hatványa 64-gyel egyenlő: (1 pont) 6 3 2 1 (2 pont) 2 4 8 64 64 Ezért B 2; 4; 8; 64 . (1 pont) H B 2; 4
(1 pont)
B \ H 8; 64
(1 pont) Összesen: 11 pont
relatív gyakoriság
3) Egy cég a függőleges irány kijelölésére alkalmas, az építkezéseknél is gyakran használt „függőónt” gyárt, amelynek nehezéke egy acélból készült test. Ez a test egy 2 cm oldalhosszúságú szabályos ötszög egyik szimmetriatengelye körüli forgatásával származtatható (lásd az ábrán). a) Hány cm3 a nehezék térfogata? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (9 pont) A minőség-ellenőrzés 120 darab 0,35 terméket vizsgált meg. 0,3 Feljegyezték az egyes darabok 0,25 egész grammokra kerekített 0,2 0,15 tömegét is. Hatféle tömeg fordult 0,1 elő, ezek relatív gyakoriságát 0,05 mutatja az oszlopdiagram. 0
gramm
b) Készítsen gyakorisági táblázatot a 120 adatról, és számítsa ki ezek átlagát és szórását! (5 pont)
Megoldás: a)
A nehezék térfogata egy forgáskúp és egy csonkakúp térfogatának összege. (1 pont) A forgáskúp magassága az AFB derékszögű háromszögből: m 2 cos 54o (2 pont) A kúp alapkörének sugara: r 2 sin54o (1 pont) A csonkakúp h magassága a CGD derékszögű háromszögből: h 2 sin72o (2 pont) A forgáskúp térfogata:
Vkúp
1,622 1,18 3
(1 pont)
A csonkakúp térfogata: 1,90 Vcsonkakúp 1,622 1,62 1 12 3 (1 pont) A nehezék térfogata a kettő összege: Vkúp Vcsonkakúp 3,24 10,39 13, 6 (cm3).
b) A gyakorisági táblázat: tömeg (gramm) gyakoriság
105 12
106 36
107 36
(1 pont) 108 18
109 12
110 6 (1 pont)
A 120 adat átlaga: 12 105 ...6 110 107 (gramm). 120 A 120 adat szórása:
(2 pont)
12 105 107 ...6 110 107 1,7 1, 3 (gramm). 120 2
2
(2 pont) Összesen: 14 pont
4) a) Deriváltfüggvényének
segítségével
elemezze
az
f : 2; 3
;
f x x 1,5x 6x függvényt a következő szempontok szerint: növekedés és fogyás, lokális szélsőértékek helye és értéke! (10 pont) b) Adja meg azt a g : 2; 3 függvényt, amelyre igaz, hogy g f 3
2
(tehát az f függvény a g deriváltfüggvénye) és ezen kívül g 2 0 is teljesül! (4 pont)
Megoldás: a)
Az f deriváltfüggvénye: ( f : 2;3 ) f x 3x 2 3x 6 .
(1 pont)
(1 pont) f zérushelyei: -1 és 2. Az f másodfokú függvény főegyütthatója pozitív, ezért f értékei x 1 esetén pozitívak, 1 x 2 esetén negatívak, 2 x esetén pozitívak. Az f függvény menete ezek alapján: a 2; 1 intervallumon (szigorúan monoton) növekvő; az x 1 helyen (lokális) maximuma van, amelynek értéke 3,5; a 1; 2 intervallumon (szigorúan monoton) csökkenő; az x 2 helyen (lokális) minimuma van, amelynek értéke 10 ; a 2; 3 intervallumon (szigorúan monoton) növekvő. x
2 x 1
(1 (1 (1 (1 (1 (1 (1
x 1
1 x 2 f x 0
f x 0
f x 0
minimum f 2 10
f
f x 0
f x 0
f
maximum f 1 3,5
b) Mivel g az f-nek egyik primitív függvénye: x4 x3 g x 3x 2 c c . 4 2 Mivel g 2 4 4 12 c 0 , ezért c 12 , és így g x
x 2
(1 pont) pont) pont) pont) pont) pont) pont) pont)
2x 3
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
4
3
x x 3x 2 12 4 2
(1 pont) Összesen: 14 pont
II. 5) 1 a) Igazolja, hogy a , a 0 és a 3 is gyöke a 2x 3 5x 2 3x 0 2 egyenletnek, és az egyenletnek ezeken kívül más valós gyöke nincs! (5 pont) b) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! (6 pont) 2 cos3 x 5cos2 x 3 cos x 0 x x x c) Mutassa meg, hogy a 2 8 7 4 3 2 0 egyenletnek nincs valós gyöke! (5 pont)
Megoldás: a)
2x 3 5x 2 3x x 2x 2 5x 3 0
(1 pont)
Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla! Az x 0 valóban gyök. (1 pont) A többi gyököt a megmaradt másodfokú egyenletből kapjuk meg: 2x 2 5x 3 0 (1 pont) 1 A két gyök: és 3 , azaz a megadott három szám valóban gyöke az eredeti 2 egyenletnek. (1 pont) Másodfokú egyenletnek legfeljebb két különböző valós gyöke lehet, ezért több gyök nincsen. (1 pont) b) Vezessünk be új ismeretlent: y cos x !
c)
A 2y 3 5y 2 3y 0 egyenletnek keressük a valós gyökeit, melyeket az a) 1 feladatrészből tudhatunk is: y1 0, y2 , y3 3 . (1 pont) 2 Mivel a cos x kifejezés értéke 1 és 1 között mozoghat csak, ezért a 3 nem jó megoldás. (1 pont) A cos x 0 egyenlet megoldása: x1 k , ahol k (2 pont) 2 2 1 2m , ahol m A cos x egyenlet megoldásai: x 2,3 (2 pont) 3 2 Az egyenlet bal oldalán 2x kiemelhető: 2x 2 4x 7 2x 3 0 . (1 pont)
Az exponenciális függvény értékkészlete a pozitív valós számok halmaza, így 2x 0 nem lehetséges. (1 pont) Másodfokúra visszavezethető a megmaradt egyenlet:
2 2x
2
7 2x 3 0 .
(1 pont)
1 . (1 pont) 2 Az exponenciális függvény már említett értékkészlete miatt ezek nem valós gyökei, így valóban nincs megoldása az egyenletnek. (1 pont) 2x 3 vagy 2x
Összesen: 16 pont
6) Egy üzemben olyan digitális műszert gyártanak, amely kétféle adat mérésére alkalmas: távolságot és szöget lehet vele meghatározni. A gyártósor meghibásodott, de ezt hosszabb ideig nem vették észre. Ezalatt sok mérőeszközt gyártottak, ám ezeknek csak a 93%-a adja meg hibátlanul a szöget, a 95%-a méri hibátlanul a távolságot, sőt a gyártott mérőeszközök 2%-a mindkét adatot hibásan határozza meg. a) Az egyik minőségellenőr 20 darab műszert vizsgál meg visszatevéses mintavétellel a meghibásodási időszak alatt készült termékek közül. Mekkora annak a valószínűsége, hogy legfeljebb 2 darab hibásat talál közöttük? (Egy műszert hibásnak tekintünk, ha akár a szöget, akár a távolságot hibásan méri.) (7 pont) Vízszintes, sík terepen futó patak túlpartján álló fa magasságát kell meghatároznunk. A síkra merőlegesen álló fát megközelíteni nem tudjuk, de van egy kisméretű, digitális műszerünk, amellyel szöget és távolságot is pontosan tudunk mérni. A patakparton kitűzzük az A és B pontokat, amelyek 10 méterre vannak egymástól. Az A pontból 55o -os, a B-ből 60o -os emelkedési szög alatt látszik a fa teteje. Szögméréssel még megállapítjuk, hogy ATB 90o , ahol T a fa „talppontja”. b) Milyen magas a fa? (9 pont) Megoldás: a)
A műszerek 7%-a hibásan méri a szöget, 5%-a pedig hibásan méri a távolságot. (1 pont) Mivel a műszerek 2%-a mindkét adatot hibásan méri, ezért a hibás műszerek aránya: 5 7 2 10 %. (1 pont) Egy hibátlan műszer választásának valószínűsége tehát 0,9. (1 pont) Akkor lesz köztük legfeljebb 2 hibás, ha a hibás műszerek száma 0, 1 vagy 2. (1 pont) Annak a valószínűsége tehát, hogy a 20 kiválasztott műszer között legfeljebb 20 20 2 hibás lesz: 0,920 0,919 0,1 0,918 0,12 . (2 pont) 1 2 A kérdezett valószínűség megközelítőleg 0,677. (1 pont) b) Jó ábra felrajzolása (2 pont) h Az ATP háromszögből: AT 0,700h (1 pont) tg55o h A BTP háromszögből: BT 0,577h (1 pont) tg60o Az ATB derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel adódik: (1 pont) 2 2 h h (1 pont) 2 o 100 , 2 o tg 55 tg 60 Innen h 11 . (2 pont) A fa magassága tehát körülbelül 11 méter. (1 pont) Összesen: 16 pont
7) Egy növekvő számtani sorozat első három tagjából álló adathalmaz szórásnégyzete 6. a) Igazolja, hogy a sorozat differenciája 3-mal egyenlő! (4 pont) András, Barbara, Cili, Dezső és Edit rokonok. Cili 3 évvel idősebb Barbaránál, Dezső 6 évvel fiatalabb Barbaránál, Edit pedig 9 évvel idősebb Cilinél. Dezső, Barbara és Edit életkora (ebben a sorrendben) egy mértani sorozat három egymást követő tagja, András, Barbara és Cili életkora (ebben a sorrendben) egy számtani sorozat három szomszédos tagja. b) Hány éves András? (6 pont) András, Barbara, Cili, Dezső, Edit és Feri moziba mennek. c) Hányféleképpen foglalhatnak helyet hat egymás melletti széken úgy, hogy a három lány ne három egymás melletti széken üljön? (6 pont) Megoldás: a)
Ha a sorozat második tagját a2-nek jelöljük, akkor az első három tag átlaga is a2. (1 pont) Ha a számtani sorozat differenciáját d-nek jelöljük, akkor a szórásnégyzet:
a2 d a2 2 02 a2 d a2 2
(1 pont) 6. 3 Innen adódik, hogy d 2 9 , (1 pont) azaz, mivel a sorozatunk növekedő d 3 . Ezzel az állítást beláttuk. (1 pont) b) Ha Barbara x éves, akkor Cili x 3 éves, és így Dezső, Barbara és Edit életkora rendre x 6 , x, illetve x 12 év. (1 pont) Mivel ez a három szám egy mértani sorozat három szomszédos tagja, ezért: (1 pont) x 6 x 12 x 2.
c)
A zárójeleket felbontva: (1 pont) x 2 6x 72 x 2 , ahonnan x 12 . (1 pont) Ellenőrzés: Dezső, Barbara és Edit életkora 6, 12, illetve 24 év, ez a három szám pedig valóban egy mértani sorozat három szomszédos tagja. (1 pont) András tehát 9 éves. (1 pont) Komplementer eseményt felhasználva: nem felelnek meg azok az esetek, amelyekben a három lány három egymás melletti széken ül. (1 pont) A három egymás melletti széket négyféleképpen lehet kiválasztani a hat közül. (1 pont) A három egymás melletti széken 3!, azaz hatféleképpen foglalhat helyet a három lány, a megmaradt három helyen szintén hatféleképpen foglalhat helyet a három fiú. (1 pont) A nem megfelelő elhelyezkedések száma tehát: 4 6 6 144 . (1 pont) Hatan a hat egymás melletti székre 6!, azaz 720-féleképpen ülhetnének le. (1 pont) A megfelelő elhelyezkedések száma tehát: 720 144 576 . (1 pont) Összesen: 16 pont
8) Egy ABCD négyzet A csúcsa a koordinátarendszer y tengelyére, szomszédos B csúcsa pedig a koordinátarendszer x tengelyére illeszkedik. a) Bizonyítsa be, hogy a négyzet K középpontjának koordinátái vagy egyenlők, vagy egymás ellentettjei! (8 pont) b) Egy ilyen négyzet középpontja a 7; 7 pont. A négyzet oldala 10 egység hosszú. Számítsa ki a négyzet koordinátatengelyekre illeszkedő két csúcsának koordinátáit! (8 pont) Megoldás: a)
Legyen A 0; a és B b;0 (de a 2 b2 0 ).
(1 pont)
b a Ekkor az AB szakasz felezőpontja F ; . (1 pont) 2 2 b a Ebből adódóan FB ; . (1 pont) 2 2 Ha a négyzet középpontja a K pont, akkor FK az FB 90o -os vagy 90o -os elforgatottja. (1 pont) a b a b Tehát FK ; vagy FB ; . (1 pont) 2 2 2 2 Az F pont helyvektorát jelölje f, ekkor a K pont helyvektora k f FK , azaz a b a b b a a b k ; ; (2 pont) . vagy k 2 2 2 2 Tehát a K középpont koordinátái valóban vagy egyenlők, vagy egymás ellentettjei. (1 pont) b) A négyzet körülírt körének sugara az átló fele, azaz 5 2 . (1 pont) A körülírt kör egyenlete: x 7 y 7 50 . 2
2
(1 pont)
A kör y tengelyen lévő pontjait x 0 helyettesítéssel, az x tengelyen lévő pontjait az y 0 helyettesítéssel adódó egyenlet adja meg. (1 pont) A kapott két egyenlet így: (1 pont) y 7 2 1 , illetve x 7 2 1 . Ezeknek a megoldásai: y1 6 és y2 8 , illetve x1 6 és x 2 8 . Tehát a tengelyeken négy pont lehet a négyzet valamelyik csúcsa: 0;6 , 0;8 , 6;0 , 8;0 .
(1 pont) (1 pont)
Figyelembe véve, hogy két szomszédos csúcs távolsága 10 egység két megoldás adódik: A1 0;6 , B1 8; 0 , illetve A2 0;8 , B2 6; 0 . (2 pont) Összesen: 16 pont
9) Kovács úr a tetőterébe egy téglatest alakú beépített szekrényt készíttet. Két vázlatot rajzolt a terveiről az asztalosnak, és ezeken feltüntette a tetőtér megfelelő adatait is. Az első vázlat „térhatású”, a második pedig elölnézetben ábrázolja a szekrényt.
A tetőtér adottságai miatt a szekrény mélységének pontosan 60 cm-nek kell lennie. a) Mekkora legyen a szekrény vízszintes és függőleges mérete (azaz a szélessége és a magassága), ha a lehető legnagyobb térfogatú szekrényt szeretné elkészíttetni? (A magasság, a szélesség és a mélység a szekrény külső méretei, Kovács úr ezekkel számítja ki a térfogatot.) (8 pont) A szekrény elkészült. Az akasztós részébe Kovács úr vasárnap este 7 inget tesz be, a hét minden napjára egyet-egyet. Az ingek között van 2 fehér, 2 világoskék és 3 sárga. Reggelente nagyon siet, ezért Kovács úr csak benyúl a szekrénybe, és anélkül, hogy odanézne, véletlenszerűen kivesz egy inget. b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hét első három napján vagy három különböző színű vagy három egyforma színű inget választ? (Ha valamelyik nap viselt egy inget, azt utána már nem teszi vissza a szekrénybe.) (8 pont) Megoldás: a)
Ha a szekrény magassága x méter, akkor szélessége az ábrán látható egyenlő szárú háromszögek miatt 4 2 2x . (2 pont)
A térfogata pedig: V 0,6x 4 2 2x , amennyiben 0 x 2 2 . Az
x
0,6x 4 2 2x
(1 pont) másodfokú
függvénynek két zérushelye van, a 0 és a 2 2 . (1 pont) Így a negatív főegyüttható miatt ennek a függvénynek a maximuma a két zérushelye számtani közepénél, az x 2 helyen lesz. (2 pont) Mivel a 2 eleme a feladat értelmezési tartományának, ezért a legnagyobb térfogatú szekrény magassága körülbelül 1,41 méter, szélessége pedig körülbelül 2,83 méter lesz. (2 pont)
b) Az azonos színű ingeket megkülönböztetve az első három napon 7 6 5 210 különböző lehetőség van a három ing kiválasztására. (1 pont) Kedvező esemény az, ha valamilyen sorrendben mindegyik színből pontosan egyet vagy három sárga inget választott Kovács úr. (1 pont) Egy adott színsorrendben 2 2 3 12 különböző módon lehet három inget kiválasztani. (1 pont) Három adott szín sorrendje 3!-féle lehet, tehát három különböző színű inget 2 2 3 3! 72 különböző módon választhat ki Kovács úr. (2 pont) A három sárga inget 3! különböző sorrendben választhatja ki. (1 pont) A kedvező esetek száma: 2 2 3 3! 3! 78 . (1 pont) A kérdezett valószínűség tehát: 78 13 (1 pont) 0, 371 . 210 35 Összesen: 16 pont
