INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Matematické základy teorie a aplikací nelineárních dynamických systémů Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. 30.4.2010
1
Další studium A. Isidori. Nonlinear Systems: Third Edition, Springer Verlag, Heidelberg, 1995. A. Vaněček a S. Čelikovský. Control Systems: From Linear Analysis to Synthesi of Chaos, Prentice Hall, 1996. A. Isidori. Nonlinear Systems II, Springer Verlag, London 2007. H. Khalil. Nonlinear Systems: Third Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River 2002. S. Čelikovský. Nelineární systémy, ČVUT 2006.
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
2
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Matematické základy teorie a aplikací nelineárních dynamických systémů
1 / Úvod a zajímavé nelineární jevy Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. 30.4.2010
3
Nelineární stavový model – spojitý čas Stavová rovnice
n-dimensionální vektorová nelineární diferenciální rovnice prvního řádu
x f ( x, u, t ) stav
Výstupní rovnice Všechno jsou vektory
vstup
čas
výstup
y h( x, u, t ) u1 y1 f1 x1 , x , u , y f u p yq fn xn
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
4
Nelineární dynamický systém - spojitý čas • •
modely s vyššími derivacemi můžeme na první derivace přepočítat většinou se budeme zabývat jen stavovou rovnicí
Zvláštní případy: • rovnice bez vstupu (unforced)
x f ( x, t ) dostaneme když •
u 0; u (t ); u ( x); u ( x, t );
autonomní, neproměnná v čase (time invariant)
x f ( x) chování nezávisí na posunu v čase
t a
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
5
Úskalí nelineárních systémů Na rozdíl od lineárních systémů • málokdy najdeme řešení v uzavřeném tvaru • proto obvykle nutná kvalitativní analýza a současně kvantitativní verifikace opakovanými simulacemi • matematické nástroje jsou pokročilejší a složitější
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
6
Lineární model Speciální tvar rovnic - lineární
x A(t ) x B(t )u y C (t ) x D(t )u Lineární systémy – princip superposice a další „zřejmá pravidla“ – k disposici jsou účinné metody analýzy a návrhu – obvykle první krok při analýze nelineárního systému je přibližná linearizace v nominálním pracovním bodě + lineární analýza
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
7
Meze využití přibližné linearizace Linearizace sama často nestačí protože • Popisuje pouze lokální chování v okolí jednoho pracovního bodu a nikoli nelokální nebo dokonce globální chování • Dynamika nelineárních systémů je mnohem bohatší, protože existuje mnoho podstatně nelineárních jevů, které nemohou u lineárních systémů nastat a proto • nemohou být linearizovaným modelem předpovězeny, popsány ani vysvětleny. 30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
8
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Nelineární jevy Více řešení a únik v konečném čase Rovnovážné stavy Oscilace Bifurkace Chaos Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. 30.4.2010
9
Ryze nelineární jevy Jevy, které nemohou nastat u lineárních systémů: • Více řešení a jejich únik v konečném čase NL systém může jít do nekonečna v konečném čase • Mnohonásobná izolovaná ekvilibria NL systém může mít víc izolovaných rovnovážných stavů • Limitní cykly NL systém může mít stabilní oscilace s pevnou amplitudou a frekvencí nezávislé na počátečním stavu • Bifurkace Kvalitativní rysy NL systémů se mohou měnit se změnou parametrů • Složité dynamické chování chaos, turbulence, malá změna počátečních podmínek může výrazně změnit výsledné chování: „efekt motýlího křídla“
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
10
Řešení není jednoznačné Rovnice
x 3x
23
x(0) 0
je řešitelná každou funkcí (t a)3 xa 0
ta ta
kde a je libovolné nezáporné reálné číslo. 30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
11
Řešení jen existuje pro některá t Rovnice
x 1 x
x(0) 0
2
má řešení x t tan(t ) ale jen na intervalu [0,
2
).
Vně tohoto intervalu řešení neexistuje. (tzv. únik v konečném čase)
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
12
Únik v konečném čase Lineární systém • výstup jde do nekonečna nejvýše asymptoticky
xx x(t ) et x0 •
výstup může jít do nekonečna i v konečném čase nelinearita sama je taková
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
13
Únik v konečném čase nevinná nelinearita
x x2
t0 0, x0 1 t0 , x(t0 ) x0 0 dx x2 dt
1 x(t ) 1 t
dx dt 2 x
separace proměnných
t
t0
x(t )
1 1 t 0 t x0
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
14
Rovnovážný stav Rovnovážný stav = ekvilbrium = pevný bod = kritický b. Definice:
x0 R n je ekvilibrium systému x f ( x, t )
v čase
f ( x0 , t ) 0 t t0
t0
Význam Pokud má systém jediné řešení a x0 je jeho ekvilibrium v čase t0 a x(t0 ) x0 , pak x(t ) x0 t t0 , tj. zůstává v rovnovážném stavu.
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
15
Počet rovnovážných stavů Jak najít ekvilibrium? Pokud je systém autonomní, jeho ekvilibria najdeme řešením (vektorové) nelineární algebraické rovnice
f ( x) 0
Tato rovnice může mít – žádné řešení – jedno řešení nebo více izolovaných řešení – kontinuum řešení Například digitální obvody pro binární logiku – mají aspoň dva stabilní rovnovážné stavy Lineární systém Ax 0 má buď jediné řešení nebo kontinuum řešení (A singulární).
x0
(A nesingulární)
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
16
Systémy prvního řádu 2 x (1 x )x Nelineární systém
• 3 ekvilibria:
0 (1 xe ) xe 2
xe 0, 1
• řešení
x(t )
• zřejmě
sign( x0 ) e-2t ( x0 1) 12 x0 2
1 sign( x0 ) 0 1
x0 0 x0 0 x0 0
lim . 1 t
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
17
Oscilace – limitní (mezní) cyklus Lineární systém • může oscilovat (když má póly na imaginární ose), ale • oscilace jsou nestabilní (póly na mezi stability) a • jejich amplituda závisí na počátečních podmínkách Nelineární systém • mezní cyklus (limit cycles), což jsou stabilní oscilace s pevnou amplitudou a frekvencí nezávisle na poč. stavu. • Např. – van der Polovy rovnice (modelují tlukot srdce, nervové pulsy, stahy svalů v jícnu a střevech) mají jeden stabilní limitní cyklus – obvody digitálních hodin a astabilních multivibrátorů produkují cyklické změny mezi 0 a 1 (degenerované van der Polovy rovnice) 30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
18
Nelineární oscilace •
x x 3( x 2 1) x 0
i když měníme zesílení a pp 30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
19
Nelineární oscilace •
x x 3( x 2 1) x 0
demophOscilator2
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
20
Bifurkace 2 x ( a x ) x má Systém s rovnicí 2 a 0 0 ( a x • 3 eq. pro e ) xe
xe 0, a
viz dřívější příklad e-2 at (a x0 ) b 1 2 x0 2
sign( x0 ) ab x(t ) b
sign( x0 ) x(t ) 0
1 lim b t
2t 1 x0
2
a0 a0
x0 0 x0 0
• a jen jedno eq. pro a=0 a pro a<0 30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
21
Bifurkace • a = +-1
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
22
Ohnutý nosník – rovnice Pohybová rovnice ve směru x
mx dx x x x 0 3
tlumení
zatížení
Pro stavové proměnné
pružná síla v nosníku
x1 x, x2 x
x1 x2 dostaneme model
d 1 3 x2 x2 x1 x1 m m m
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
23
Ohnutý nosník - ekvilibria x1 x2 d 1 3 x2 x2 x1 x1 m m m
0 x2 0 dx2 ( ) x1 x13
x2 0, x1 0 x2 0, x12
: x1 x2 0 : x1 0, 1; x2 0
1 ekvilibrium 3 ekvilibria
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
24
Nosník - Bifurkace Přechod mezi neohnutým a ohnutými stavy
Bifurkace
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
25
Chaos •
složité chování deterministických dynamických systémů, tj. systémů vyvíjejících se v čase, se stavovým popisem
•
matematický model: obyčejné diferenciální rovnice, diferenční rovnice, parciální diferenciální rovnice
•
1900 Henri Poincaré, problém 3 těles: může existovat omezený, nezanikající pohyb, který není ani periodický, ani kvaziperiodický, a je proto dlouhodobě nepředvídatelný
•
1963 Edward N. Lorenz: „Deterministic Nonperiodic Flow“, Journal of the Atmosferic Sciences, vol. 20, no. 2, 1963, pp. 130-141.
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
26
Chaotický Lorenzův systém – přesná realizace dx1 p ( x1 x2 ) dt dx2 Rx1 x2 x1 x3 dt dx3 x3 x1 x2 dt x1,2,3normaliyovánzN being normalized no x1 v, x2 Tl Tr x3 R Tu Td Prandtlovo číslo p, R = zahřívání mínus chlazení
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
27
Lorenzův systém: analýza stability x1 ( x2 x1 ) x 2 rx1 x2 x1 x3 x 2 bx3 x1 x2
Počátek: Globálně asymptoticky stabilní pro R<1 Ljapunovova 2há metoda:
V rx12 x22 x32 dV 2r ( x1 x2 ) 2 2 (r 1) x22 2bx32 0x 0 r 1 dt Pro R=1 určitě Ljapunovsky stabilní, ale i GAS díky principu LaSalle Pro R>1 lokálně nestabilní (ověřte 1ní Ljapunovovou metodou) Ale! Pro každé R jsou trajektorie Lorenzova systému jsou omezené
V rx12 x22 ( x3 2r ) 2 ,
dV 2rx12 2x22 2 ( x3 r ) 2 dt
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
28
Vlastnosti chaosu • • •
citlivá závislost na počátečních podmínkách topopogická tranzitivita existence všude husté množiny nestabilních periodických trajektorií
stacionární chování: systém je ustáleném rovnovážném stavu neomezené chování: trajektorie neomezeně roste periodické chování: po určité, přesně dané periodě, se vše naprosto stejně opakuje kvaziperiodické chování: po určité, přesně dané kvaziperiodě, se vše opakuje s určitou přesností, čím větší přesnost, tím delší kvaziperioda je třeba chaotické chování: po určité, avšak naprosto neodhadnutelné době, se systém dostane libovolně blízko k výchozímu stavu (topologická tranzitivita), poté se vše přibližně opakuje jen po omezenou dobu, dříve, nebo později však nastane velmi odlišný vývoj (citlivá závislost). Signál má spojité spektrum ve frekvenční oblasti (existence v.h. množiny nestabilních periodických trajektorií)
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
29
Silná závislost na počátečních podmínkách
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
30
Topologická tranzitivita
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
31
Topologická tranzitivita
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
32
Silná závislost a topologická tranzitivita
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
33
Využití chaosu - šifrování Popsané vlastnosti chaosu se zřejmě hodí k zabezpečení dat pomocí šifrování, neboť odpovídají konfúzním a difuzním požadavkům na kryptografické algoritmy Některé známé metody: • •
Chaotické maskování Chaos shift keying (CSK) - klasický, pomocí synchronizace - ACSK (Anti-synchronization CSK), pomocí desynchronizace
• •
Chaotická modulace (využití inverzního systému) A další …
Ve všech případech je nezbytně zapotřebí synchronizace parametrizovaných chaotických systémů 30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
34
Zobecnělý Lorenzův systém x1 a11x2 a12 x1 x2 a21x1 a22 x2 x1 x3 x2 3 x3 x1 x2 z1 1 z1 ( z1 z 2 ) z3 z2 2 z 2 ( z1 z 2 ) z3
Netriviální GLS (má alespoň jedno složitější řešení) je ekvivalentní lineární změnou souřadnic z=Tx následující kanonické formě GLS
Vlastní čísla PL v počátku - Šilnikovova podmínka chaosu v blízkosti homoklinicity a hyperbolického ekvilibria
z3 3 z1 ( z1 z 2 )(z 2 z1 )
2 1 3 0
(-1, )
• Šilnikovova podmínka je kvalitativní a velmi „robustní“ •„Ryze nelineární“ parametr tau - přesné laděni složitých nelineárních jevů
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
35
Hyperbolicky zobecnělý Lorenzův systém x1 a11x2 a12 x1 x2 a21x1 a22 x2 x1 x3 x2 3 x3 x1 x2 z1 1 z1 ( z1 z 2 ) z3 z2 2 z 2 ( z1 z 2 ) z3
Netriviální HGLS (má alespoň jedno složitější řešení) je ekvivalentní lineární změnou souřadnic z=Tx následující kanonické formě HGLS (Čelikovský, Kybernetika, 2005) Vlastní čísla PL v počátku - Šilnikovova podmínka chaosu v blízkosti homoklinicity a hyperbolického ekvilibria
z3 3 z1 ( z1 z 2 )(z 2 z1 )
2 1 3 0
(-,-1)
• tau=1 speciální případ ekvivalentní tzv. Shimidzu-Moriokovu systému • přehledná klasifikace v Čelikovský, Chen, Chaos, Solitons & Fractals 2005
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
36
Limitní cyklus a zdvojení jeho periody
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
37
Od zdvojení periody k chaosu
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
38
Chaos ztrátou stability limitního cyklu
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
39
Klasický Lorenzův atraktor zdvojením periody a ztráta jeho globální atraktivity
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
40
Dominantní atraktivita ekvilibrií a nevýrazný chaos v okolí homoklického orbitu chaos v okolí homoklinického orbitu
30.4.2010
INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
41