Matematické základy teorie a aplikací nelineárních dynamických systémů

INVEST ICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Matematické základy teorie a aplikací nelineárních dynamických systémů Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. 30.4.2010

1

Další studium A. Isidori. Nonlinear Systems: Third Edition, Springer Verlag, Heidelberg, 1995. A. Vaněček a S. Čelikovský. Control Systems: From Linear Analysis to Synthesi of Chaos, Prentice Hall, 1996. A. Isidori. Nonlinear Systems II, Springer Verlag, London 2007. H. Khalil. Nonlinear Systems: Third Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River 2002. S. Čelikovský. Nelineární systémy, ČVUT 2006.

30.4.2010


2


Matematické základy teorie a aplikací nelineárních dynamických systémů

1 / Úvod a zajímavé nelineární jevy Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. 30.4.2010

3

Nelineární stavový model – spojitý čas Stavová rovnice

n-dimensionální vektorová nelineární diferenciální rovnice prvního řádu

x  f ( x, u, t ) stav

Výstupní rovnice Všechno jsou vektory

vstup

čas

výstup

y  h( x, u, t )  u1   y1   f1   x1  , x   , u   , y    f          u p   yq     fn    xn      

30.4.2010


4

Nelineární dynamický systém - spojitý čas • •

modely s vyššími derivacemi můžeme na první derivace přepočítat většinou se budeme zabývat jen stavovou rovnicí

Zvláštní případy: • rovnice bez vstupu (unforced)

x  f ( x, t ) dostaneme když •

u  0; u   (t ); u   ( x); u   ( x, t );

autonomní, neproměnná v čase (time invariant)

x  f ( x) chování nezávisí na posunu v čase

 t a

30.4.2010


5

Úskalí nelineárních systémů Na rozdíl od lineárních systémů • málokdy najdeme řešení v uzavřeném tvaru • proto obvykle nutná kvalitativní analýza a současně kvantitativní verifikace opakovanými simulacemi • matematické nástroje jsou pokročilejší a složitější

30.4.2010


6

Lineární model Speciální tvar rovnic - lineární

x  A(t ) x  B(t )u y  C (t ) x  D(t )u Lineární systémy – princip superposice a další „zřejmá pravidla“ – k disposici jsou účinné metody analýzy a návrhu – obvykle první krok při analýze nelineárního systému je přibližná linearizace v nominálním pracovním bodě + lineární analýza

30.4.2010


7

Meze využití přibližné linearizace Linearizace sama často nestačí protože • Popisuje pouze lokální chování v okolí jednoho pracovního bodu a nikoli nelokální nebo dokonce globální chování • Dynamika nelineárních systémů je mnohem bohatší, protože existuje mnoho podstatně nelineárních jevů, které nemohou u lineárních systémů nastat a proto • nemohou být linearizovaným modelem předpovězeny, popsány ani vysvětleny. 30.4.2010


8


Nelineární jevy Více řešení a únik v konečném čase Rovnovážné stavy Oscilace Bifurkace Chaos Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. 30.4.2010

9

Ryze nelineární jevy Jevy, které nemohou nastat u lineárních systémů: • Více řešení a jejich únik v konečném čase NL systém může jít do nekonečna v konečném čase • Mnohonásobná izolovaná ekvilibria NL systém může mít víc izolovaných rovnovážných stavů • Limitní cykly NL systém může mít stabilní oscilace s pevnou amplitudou a frekvencí nezávislé na počátečním stavu • Bifurkace Kvalitativní rysy NL systémů se mohou měnit se změnou parametrů • Složité dynamické chování chaos, turbulence, malá změna počátečních podmínek může výrazně změnit výsledné chování: „efekt motýlího křídla“

30.4.2010


10

Řešení není jednoznačné Rovnice

x  3x

23

x(0)  0

je řešitelná každou funkcí  (t  a)3 xa   0

ta ta

kde a je libovolné nezáporné reálné číslo. 30.4.2010


11

Řešení jen existuje pro některá t Rovnice

x  1 x

x(0)  0

2

má řešení x  t   tan(t ) ale jen na intervalu [0,

 2

).

Vně tohoto intervalu řešení neexistuje. (tzv. únik v konečném čase)

30.4.2010


12

Únik v konečném čase Lineární systém • výstup jde do nekonečna nejvýše asymptoticky

xx x(t )  et x0 •

výstup může jít do nekonečna i v konečném čase nelinearita sama je taková

30.4.2010


13

Únik v konečném čase nevinná nelinearita

x  x2

t0  0, x0  1 t0 , x(t0 )  x0  0 dx  x2 dt

1 x(t )  1 t

dx  dt 2 x



separace proměnných

t

t0

x(t ) 

1 1   t  0 t  x0 

30.4.2010


14

Rovnovážný stav Rovnovážný stav = ekvilbrium = pevný bod = kritický b. Definice:

x0  R n je ekvilibrium systému x  f ( x, t )

v čase

f ( x0 , t )  0 t  t0

t0

Význam Pokud má systém jediné řešení a x0 je jeho ekvilibrium v čase t0 a x(t0 )  x0 , pak x(t )  x0 t  t0 , tj. zůstává v rovnovážném stavu.

30.4.2010


15

Počet rovnovážných stavů Jak najít ekvilibrium? Pokud je systém autonomní, jeho ekvilibria najdeme řešením (vektorové) nelineární algebraické rovnice

f ( x)  0

Tato rovnice může mít – žádné řešení – jedno řešení nebo více izolovaných řešení – kontinuum řešení Například digitální obvody pro binární logiku – mají aspoň dva stabilní rovnovážné stavy Lineární systém Ax  0 má buď jediné řešení nebo kontinuum řešení (A singulární).

x0

(A nesingulární)

30.4.2010


16

Systémy prvního řádu 2 x  (1  x )x Nelineární systém

• 3 ekvilibria:

0  (1  xe ) xe  2

xe  0, 1

• řešení

x(t ) 

• zřejmě

sign( x0 ) e-2t ( x0  1) 12 x0 2

1  sign( x0 )   0 1 

x0  0 x0  0 x0  0

lim .  1 t 

30.4.2010


17

Oscilace – limitní (mezní) cyklus Lineární systém • může oscilovat (když má póly na imaginární ose), ale • oscilace jsou nestabilní (póly na mezi stability) a • jejich amplituda závisí na počátečních podmínkách Nelineární systém • mezní cyklus (limit cycles), což jsou stabilní oscilace s pevnou amplitudou a frekvencí nezávisle na poč. stavu. • Např. – van der Polovy rovnice (modelují tlukot srdce, nervové pulsy, stahy svalů v jícnu a střevech) mají jeden stabilní limitní cyklus – obvody digitálních hodin a astabilních multivibrátorů produkují cyklické změny mezi 0 a 1 (degenerované van der Polovy rovnice) 30.4.2010


18

Nelineární oscilace •

x  x  3( x 2  1) x  0

i když měníme zesílení a pp 30.4.2010


19

Nelineární oscilace •

x  x  3( x 2  1) x  0

demophOscilator2

30.4.2010


20

Bifurkace 2 x  ( a  x ) x má Systém s rovnicí 2 a  0 0  ( a  x • 3 eq. pro e ) xe 

xe  0,  a

viz dřívější příklad e-2 at (a  x0 ) b  1 2 x0 2

sign( x0 ) ab x(t )  b

 sign( x0 ) x(t )    0

 1 lim b   t  

2t  1 x0

2

a0 a0

x0  0 x0  0

• a jen jedno eq. pro a=0 a pro a<0 30.4.2010


21

Bifurkace • a = +-1

30.4.2010


22

Ohnutý nosník – rovnice Pohybová rovnice ve směru x

mx  dx   x   x  x  0 3

tlumení

zatížení

Pro stavové proměnné

pružná síla v nosníku

x1  x, x2  x

x1  x2 dostaneme model

d   1 3 x2   x2  x1  x1 m m m

30.4.2010


23

Ohnutý nosník - ekvilibria x1  x2 d   1 3 x2   x2  x1  x1 m m m

0  x2 0  dx2  (    ) x1  x13

x2  0, x1  0 x2  0, x12    

   : x1  x2  0    : x1  0, 1; x2  0

1 ekvilibrium 3 ekvilibria

30.4.2010


24

Nosník - Bifurkace Přechod mezi neohnutým a ohnutými stavy

 

 

Bifurkace

  30.4.2010


25

Chaos •

složité chování deterministických dynamických systémů, tj. systémů vyvíjejících se v čase, se stavovým popisem

•

matematický model: obyčejné diferenciální rovnice, diferenční rovnice, parciální diferenciální rovnice

•

1900 Henri Poincaré, problém 3 těles: může existovat omezený, nezanikající pohyb, který není ani periodický, ani kvaziperiodický, a je proto dlouhodobě nepředvídatelný

•

1963 Edward N. Lorenz: „Deterministic Nonperiodic Flow“, Journal of the Atmosferic Sciences, vol. 20, no. 2, 1963, pp. 130-141.

30.4.2010


26

Chaotický Lorenzův systém – přesná realizace dx1  p (  x1  x2 ) dt dx2  Rx1  x2  x1 x3 dt dx3   x3  x1 x2 dt x1,2,3normaliyovánzN being normalized no x1  v, x2  Tl  Tr x3  R  Tu  Td Prandtlovo číslo p, R = zahřívání mínus chlazení

30.4.2010


27

Lorenzův systém: analýza stability x1   ( x2  x1 ) x 2  rx1  x2  x1 x3 x 2  bx3  x1 x2

Počátek: Globálně asymptoticky stabilní pro R<1 Ljapunovova 2há metoda:

V  rx12  x22  x32 dV  2r ( x1  x2 ) 2  2 (r  1) x22  2bx32  0x  0  r  1 dt Pro R=1 určitě Ljapunovsky stabilní, ale i GAS díky principu LaSalle Pro R>1 lokálně nestabilní (ověřte 1ní Ljapunovovou metodou) Ale! Pro každé R jsou trajektorie Lorenzova systému jsou omezené

V  rx12  x22   ( x3  2r ) 2 ,

dV  2rx12  2x22  2 ( x3  r ) 2 dt

30.4.2010


28

Vlastnosti chaosu • • •

citlivá závislost na počátečních podmínkách topopogická tranzitivita existence všude husté množiny nestabilních periodických trajektorií

stacionární chování: systém je ustáleném rovnovážném stavu neomezené chování: trajektorie neomezeně roste periodické chování: po určité, přesně dané periodě, se vše naprosto stejně opakuje kvaziperiodické chování: po určité, přesně dané kvaziperiodě, se vše opakuje s určitou přesností, čím větší přesnost, tím delší kvaziperioda je třeba chaotické chování: po určité, avšak naprosto neodhadnutelné době, se systém dostane libovolně blízko k výchozímu stavu (topologická tranzitivita), poté se vše přibližně opakuje jen po omezenou dobu, dříve, nebo později však nastane velmi odlišný vývoj (citlivá závislost). Signál má spojité spektrum ve frekvenční oblasti (existence v.h. množiny nestabilních periodických trajektorií)

30.4.2010


29

Silná závislost na počátečních podmínkách

30.4.2010


30

Topologická tranzitivita

30.4.2010


31

Topologická tranzitivita

30.4.2010


32

Silná závislost a topologická tranzitivita

30.4.2010


33

Využití chaosu - šifrování Popsané vlastnosti chaosu se zřejmě hodí k zabezpečení dat pomocí šifrování, neboť odpovídají konfúzním a difuzním požadavkům na kryptografické algoritmy Některé známé metody: • •

Chaotické maskování Chaos shift keying (CSK) - klasický, pomocí synchronizace - ACSK (Anti-synchronization CSK), pomocí desynchronizace

• •

Chaotická modulace (využití inverzního systému) A další …

Ve všech případech je nezbytně zapotřebí synchronizace parametrizovaných chaotických systémů 30.4.2010


34

Zobecnělý Lorenzův systém x1  a11x2  a12 x1 x2  a21x1  a22 x2  x1 x3 x2  3 x3  x1 x2 z1  1 z1  ( z1  z 2 ) z3 z2  2 z 2  ( z1  z 2 ) z3

Netriviální GLS (má alespoň jedno složitější řešení) je ekvivalentní lineární změnou souřadnic z=Tx následující kanonické formě GLS

Vlastní čísla PL v počátku - Šilnikovova podmínka chaosu v blízkosti homoklinicity a hyperbolického ekvilibria

z3  3 z1  ( z1  z 2 )(z 2  z1 )

 2  1  3  0

  (-1, )

• Šilnikovova podmínka je kvalitativní a velmi „robustní“ •„Ryze nelineární“ parametr tau - přesné laděni složitých nelineárních jevů

30.4.2010


35

Hyperbolicky zobecnělý Lorenzův systém x1  a11x2  a12 x1 x2  a21x1  a22 x2  x1 x3 x2  3 x3  x1 x2 z1  1 z1  ( z1  z 2 ) z3 z2  2 z 2  ( z1  z 2 ) z3

Netriviální HGLS (má alespoň jedno složitější řešení) je ekvivalentní lineární změnou souřadnic z=Tx následující kanonické formě HGLS (Čelikovský, Kybernetika, 2005) Vlastní čísla PL v počátku - Šilnikovova podmínka chaosu v blízkosti homoklinicity a hyperbolického ekvilibria

z3  3 z1  ( z1  z 2 )(z 2  z1 )

 2  1  3  0

  (-,-1)

• tau=1 speciální případ ekvivalentní tzv. Shimidzu-Moriokovu systému • přehledná klasifikace v Čelikovský, Chen, Chaos, Solitons & Fractals 2005

30.4.2010


36

Limitní cyklus a zdvojení jeho periody

30.4.2010


37

Od zdvojení periody k chaosu

30.4.2010


38

Chaos ztrátou stability limitního cyklu

30.4.2010


39

Klasický Lorenzův atraktor zdvojením periody a ztráta jeho globální atraktivity

30.4.2010


40

Dominantní atraktivita ekvilibrií a nevýrazný chaos v okolí homoklického orbitu chaos v okolí homoklinického orbitu

30.4.2010


41

Matematické základy teorie a aplikací nelineárních dynamických systémů

Recommend Documents