MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE

VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ

MILOSLAV ŠVEC

MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE MODUL 5 NEPRAVÁ ZOBRAZENÍ

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Matematická kartografie · Modul 2

© Miloslav Švec, Brno 2007

- 2 (17) -

Obsah

OBSAH 1 Úvod ...............................................................................................................5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba pot ebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klí ová slova.........................................................................................5 2 Nepravá zobrazení (pseudozobrazení) .......................................................6 2.1 Nepravá kuželová zobrazení .................................................................6 2.2 Nepravá azimutální zobrazení...............................................................7 2.3 Zobrazení odvozená z jednoduchých azimutálních zobrazení v p í né poloze ....................................................................................................8 2.4 Nepravá válcová zobrazení ...................................................................9 2.5 Mnohokuželová (polykónická) zobrazení...........................................13 3 Záv r ............................................................................................................17 3.1 Shrnutí.................................................................................................17 3.2 Studijní prameny .................................................................................17 3.2.1 Seznam použité literatury .....................................................17 3.2.2 Seznam dopl kové studijní literatury ...................................17 3.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny ...........................17

- 3 (17) -

Úvod

1

Úvod

1.1

Cíle

Matematická kartografie pat í k základním teroretickým p edm t m studijních program geodézie a kartografie. Vytvá í p edpoklady pro zvládnutí obecných a praktických úloh jak obecné geodézie, tak p edevším obecné kartografie. Moduly p edm tu jsou koncipovány jako ucelené celky. P esto na sebe teoreticky navazují. Opora „Matematická kartografie“ je tvo ena t mito moduly: • Referen ní plochy a sou adnicové systémy • Kartografická zkreslení • Kartografické zobrazení • Jednoduchá zobrazení • Nepravá azimutální zobrazení

1.2

Požadované znalosti

P edm t vyžaduje dobré matematické základy. Jedná se o zvládnutí základ matematické analýzy, p edevším diferenciálního po tu jedné a více prom nných, integrálního po tu, základ diferenciálních rovnic a n kterých partií deskriptivní a diferenciální geometrie.

1.3

Doba pot ebná ke studiu

P edm t je vyu ován jako povinný v prvním ro níku navazujícího magisterského studijního programu Geodézie a kartografie v rozsahu 2 hodiny p ednášky a 1 hodiny cvi ení za týden, tedy celkem 39 hodin za semestr. Jako u každého teoretického p edm tu se p edpokládá alespo stelná asová zát ž p i samostudiu.

1.4

Klí ová slova

Matematická kartografie, referen ní plocha, zobrazení, mapa, elipsoid, sou adnicové soustavy

- 5 (17) -


2

Nepravá zobrazení (pseudozobrazení)

Zobrazení jednoduché

nepravé

kuželové

ρ = f (U ), ε = g(V ) = nV

ρ = f (U ), ε = g(U,V )

azimutální

ρ = f (U ), ε = V

válcové

X = f (V ) = nV , Y = g(U ) X = f (U,V ), Y = g (U )

ρ = f (U ), ε = g(U,V )

Zemské rovnob žky v nepravých zobrazeních z stávají zobrazeny stejn jako v jednoduchých, tj. kuželových a azimutálních jako soust edné kružnice, ve válcových jako p ímky rovnob žné s rovníkem. Poledníky se obecn zobrazují jako k ivky. D vod zavád ní nepravých zobrazení – zlepšit vlastnosti sítí, zmírnit nar stání délkových zkreslení v rovnob žkách. Nepravá zobrazení se užívají pouze u map velmi malých m ítek – referen ní plocha je koule.

2.1

Nepravá kuželová zobrazení

Bonneovo zobrazení V Q O

Po

V P

V´ S´

S

ρ P´

ε r ro

Uo U

Q´

Po´

r´ ro´

O´

J

ρ = ρo + R(U o − U ) Zobrazovací rovnice

ε=

R cosU

ρ

V

- 6 (17) -

Nepravá zobrazení

Zkreslení

mp = 1 + V

2

(

sin U −

2

R cosU

, mr = 1

ρ

)

tgΘ = tg 180o − ϑ = V sin U −

R cosU

ρ

, P =1

Bonneovo (18. stol.) zobrazení je ekvidistantní v rovnob žkách a ekvivalentní.

2.2

Nepravá azimutální zobrazení

Wernerovo – Stabovo zobrazení (16. stol.) Je mezním p ípadem Bonneova zobrazení pro U o

= 90o .

Zobrazovací rovnice

(

)

ρ = R 90o − U , ε =

R cosU

ρ

V

St ed rovnob žkových kružnic leží v obraze pólu a poledníky vypl ují celý horizont.

- 7 (17) -


2.3

Zobrazení odvozená z jednoduchých azimutálních zobrazení v p í né poloze

Aitovovo zobrazení (19. stol.) Afinní pr m t p í ného ekvidistantního azimutálního zobrazení Postelova na rovinu, procházející rovníkem této sít a odklon nou od její roviny o 60o

Hammerovo zobrazení

- 8 (17) -

Nepravá zobrazení

Wagnerovo zobrazení Upravené Aitovovo zobrazení

Winkelova kombinovaná zobrazení

Globulární zobrazení Zobrazení zemské polokoule do kružnice, rovník a st ední poledník jsou p ímé a na sebe kolmé.

2.4

Nepravá válcová zobrazení

Nejširší škála používaných a možných zobrazení Mercatorovo – Sansonovo zobrazení (17. a 18. stol.) Zobrazovací rovnice pro po átek v pr se íku obrazu rovníku a st edního poledníku

X = RV cosU = f (U,V ), Y = RU = g(U )

Odtud eliminací U dostaneme

X = RV cos

- 9 (17) -

Y R

.


Pro V = konst . (poledník ) , dostaneme rovnici sinusoidy – poledník se zobrazí jako sinusoida – sinusoidální zobrazení. Zkreslení

m p = 1 + V 2 sin 2 U , mr = 1 , tg ϑ =

1 , P =1 VsinU

Mollweidovo zobrazení (19. stol.) Základní poledník je p ímý a zkresluje se, ostatní poledníky jsou eliptické, rovnob žky jsou p ímé, zobrazení není ekvidistantní, je ekvivalentní.

- 10 (17) -

Nepravá zobrazení

Collignovo zobrazení (19. stol.) Zobrazení zem pisné sít samými p ímkami

Eckertovo zobrazení (20. stol.)

Eckertovo zobrazení s p ímkovými obrazy poledník

- 11 (17) -


Eckertovo zobrazení s eliptickými obrazy poledník

Eckertovo zobrazení se sinusoidálními obrazy poledník

- 12 (17) -

Nepravá zobrazení

2.5

Mnohokuželová (polykónická) zobrazení

P i jednoduchém kuželovém zobrazení v normální poloze se zobrazuje na jediný pláš kužele – rovnob žky se VA zobrazují jako soust edné kružnice. P i mnohokuželovém zobrazení se zobrazuje na nekone ný po et kužel , každý zobrazuje práv jen tu rovnob žku, ve které se daný kužel dotýká referen ní plochy. Rovnob žky se zobrazují op t jako kružnice, ale nesoust edné. Obecné zobrazovací rovnice

ρ = f (U ), i = g(U ) , ε = h (U,V )

VB VC S

C C1 B1

B A

A1

O

O1

X V A´ VB ´ ε VC ´

ρ

S´

i

C´

C1 ´

B´

B1 ´ A1 ´

A´

O´

- 13 (17) -

O1 ´

Y


Hasslerovo ekvidistantní zobrazení (19. stol.) Základní polykónické zobrazení ekvidistantní v rovnob žkách s nezkresleným st edním poledníkem. Zobrazovací rovnice

ρ = R cotg U , i = ρ + RU , ε = V sin U Pro konstruk ní práce platí

X = i − ρ cos ε , Y = ρ sin ε Zkreslení

tgΘ =

ε − sin ε 2 2ε , m = 1 + 2 cotg U sin secΘ p 2 2 cos ε − sec U 2 2ε

mr = 1 , P = 1 + 2 cotg U sin

2

Grintenovo kruhové zobrazení (19. stol.)

Lambertovo – Lagrangeovo konformní kruhové zobrazení

- 14 (17) -

Nepravá zobrazení

Polyedrická zobrazení Zobrazení referen ní plochy po vymezených ástech D íve již Cassini-Soldner a Gaussovo konformní zobrazení.

- 15 (17) -

Záv r

3

Záv r

3.1

Shrnutí

S rozvojem výpo etní techniky se používá stále více tzv. nepravých zobrazení. Modul uvádí n které z nich. Obsáhlé p ehledy lze najít na internetových stránkách nap . [5] až [8].

3.2

Studijní prameny

3.2.1

Seznam použité literatury

[1]

3.2.2

Hojovec, V. a kol. Kartografie, GPK Praha 1987

Seznam dopl kové studijní literatury

[2]

Daniš, M., Valko, J. Matematická kartografia, SVŠT Bratislava 1987

[3]

Srnka, E. Matematická kartografie, VAAZ, Brno 1977

[4]

Böhm, J. Matematická kartografie, VŠT, Brno 1951

3.2.3

Odkazy na další studijní zdroje a prameny

[5]

http://dmg.tuwien.ac.at/havlicek/karten.html

[6]

http://www.3dsoftware.com/

[7]

http://mathworld.wolfram.com/MapProjection.html

[8]

http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Cartographic_projections

- 17 (17) -

MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE

Recommend Documents