VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ
MILOSLAV ŠVEC
MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE MODUL 1 REFEREN NÍ PLOCHY A SOU ADNICOVÉ SYSTÉMY
STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Matematická kartografie · Modul 1
© Miloslav Švec, Brno 2007
- 2 (13) -
Obsah
OBSAH 1 Úvod ...............................................................................................................5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba pot ebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klí ová slova.........................................................................................5 2 Úvod do matematické kartografie ..............................................................7 3 Referen ní plochy .........................................................................................8 3.1 Referen ní elipsoid ...............................................................................8 3.2 Sou adnicové soustavy..........................................................................9 3.3 Základní úloha matematické kartografie.............................................11 3.4 D ležité k ivky na referen ních plochách ..........................................12 4 Záv r ............................................................................................................13 4.1 Shrnutí.................................................................................................13 4.2 Studijní prameny .................................................................................13 4.2.1 Seznam použité literatury .....................................................13 4.2.2 Seznam dopl kové studijní literatury ...................................13 4.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny ...........................13
- 3 (13) -
Úvod
1
Úvod
1.1
Cíle
Matematická kartografie pat í k základním teroretickým p edm t m studijních program geodézie a kartografie. Vytvá í p edpoklady pro zvládnutí obecných a praktických úloh jak obecné geodézie, tak p edevším obecné kartografie. Moduly p edm tu jsou koncipovány jako ucelené celky. P esto na sebe teoreticky navazují. Opora „Matematická kartografie“ je tvo ena t mito moduly: • Referen ní plochy a sou adnicové systémy • Kartografická zkreslení • Kartografické zobrazení • Jednoduchá zobrazení • Nepravá zobrazení
1.2
Požadované znalosti
P edm t vyžaduje dobré matematické základy. Jedná se o zvládnutí základ matematické analýzy, p edevším diferenciálního po tu jedné a více prom nných, integrálního po tu, základ diferenciálních rovnic a n kterých partií deskriptivní a diferenciální geometrie.
1.3
Doba pot ebná ke studiu
P edm t je vyu ován jako povinný v prvním ro níku navazujícího magisterského studijního programu Geodézie a kartografie v rozsahu 2 hodiny p ednášky a 1 hodiny cvi ení za týden, tedy celkem 39 hodin za semestr. Jako u každého teoretického p edm tu se p edpokládá alespo stejná asová zát ž p i samostudiu.
1.4
Klí ová slova
Matematická kartografie, referen ní plocha, zobrazení, mapa, elipsoid, sou adnicové soustavy
- 5 (13) -
Úvod do matematické kartografie
2
Úvod do matematické kartografie
Kartografie
mapy, jejich tvorba, reprodukce, užití
Kartografie
všeobecná kartografie – nauka o mapách, studuje kartografická díla, rozebírá obsah, zabývá se prost edky a zp soby vytvá ení mapy, t ídí mapy apod. matematická kartografie – matematicky eší zobrazovací metody vytvá ející kartografický obraz Zem v rovin mapy kartografická tvorba – projektování kartografických d l kartografická reprodukce – reprodukce map, veškeré práce na od dohotoveného sestavitelského originálu p es vykreslení vydavatelského originálu až po vytišt ní mapy kartometrie – m ení na mapách, m ení délek, úhl a ploch
Matematická kartografie povrch Zem ani referen ní plochy nejsou rozvinutelné do roviny, p i zobrazení dochází ke zkreslení délek, ploch, úhl a dalších veli in, MK stanovuje hodnoty t chto zkreslení v každém bod mapy, ešení kartometrických úloh, navazuje zejména na vyšší geodézii Kartografické zobrazení závislost mezi mapou a zobrazovanou referen ní plochou Plochy
topografické plocha – spojitá, vyhlazuje mikrostrukturu a bezvýznamné tvary hladinová plocha k tížnicím, geoid
–
souvislá
plocha
ortogonální
elipsoid – obecný, rota ní, globální, lokální koule – plocha vycházející z malého zplošt ní elipsoidu rovina – plocha vycházející z koule pro malá území
- 7 (13) -
Matematická kartografie · Modul 1
3
Referen ní plochy
Referen ní plochy
jednoduché matematické plochy – elipsoid, koule, rovina
Referen ní rovina
pro kartografické ú ely v okrouhlém území 20 – 30 km, tj. asi 700 km2
Referen ní koule
jednodušší výpo ty elipsoid → koule elipsoid nahrazen koulí o vhodném polom ru
3.1
Referen ní elipsoid
Referen ní elipsoid
výchozí plocha – rota ní zplošt lý sféroid, ur en dvojicí konstant
Konstanty elipsoidu - a hlavní poloosa,
- e numerická excentricita
- b vedlejší poloosa, - i zplošt ní
a
e2 = b
e 2a 2
a
P íklady referen ních elipsoid Krasovského (1940)
a = 6 378 245,000 m b = 6 356 863,019 m e2 = 0,006 693 4216 i = 1 : 298,3
Bessel v (1841)
a = 6 377 397,155 m b = 6 356 078,963 m e2 = 0,006 674 3722 m i = 1 : 299,153
- 8 (13) -
i=
a 2− b2 a2
a−b a
Referen ní plochy
3.2
Sou adnicové soustavy
Zem pisné sou adnice
, (U, V)
Zem pisná ší ka (na kouli U) – úhel mezi normálou referen ní plochy v bod P a rovinou rovníku. Zem pisná délka (na kouli V) – úhel mezi rovinou ur enou zemskou osou a bodem P se zvolenou rovinou (nap . Greenwich). Zemské rovnob žky – konst. zem pisná ší ka Zemské poledníky – konst. zem pisná délka Zem pisná sí , d ležité k ivky na referen ní ploše dλ λ
n
λ
dλ λ
λ = 0ο
dϕ ϕ
P N ψ M
β
dλ λ
Elementy poledníkového a rovnob žkového oblouku na kouli
na elipsoidu
ds p = R dU
ds p = M dϕ
dsr = R cos U dV
dsr = N cos ϕ dλ
- 9 (13) -
ϕ
Matematická kartografie · Modul 1
K ivosti v bod P
M =
(
a 1 − e2
)
a
N =
(1 − e2 sin 2 ϕ )3 / 2
(1 − e2 sin 2 ϕ )1/ 2
Geocentrické sou adnice
(
( ),
)
tgψ = 1 − e 2 tgϕ
tgβ = 1 − e 2 tgϕ ,
Porovnání poledníkových a rovnob žníkových oblouk na Krasovského a Besselov elipsoidu a na kouli Oblouk poledníku od rovníku
[o]
k ší ce
Oblouk poledníku
(v metrech)
Krasovskij B = Kr
pro
K-Kr
=1
Oblouk rovnob žky
o
pro
= 1o
Krasovskij B-Kr K-Kr Krasovskij B-Kr K-Kr
0
0
0
0
110 576
- 12 + 621
111 321
- 14 - 124
10
1 105 875
- 127
+ 6 093
110 610
- 13 + 587
109 641
- 14 - 133
20
2 212 406
- 254
+ 11 531
110 706
- 13 + 491
104 649
- 14 - 158
30
3 320 172
- 385
+ 15 734
110 854
- 14 + 343
96 488
- 13 - 189
40
4 429 607
- 522
+ 18 268
111 037
- 14 + 160
85 395
- 11 - 213
50
5 540 944
- 664
+ 18 900
111 231
- 15
- 34
71 697
- 11 - 221
60
6 654 189
- 813
+ 17 624
111 414
- 15
- 217
55 801
-8
- 203
70
7 769 116
-966
+ 14 666
111 564
- 16
- 367
38 187
-6
- 155
80
8 885 293 - 1 123 + 10 458
111 662
- 16
- 465
19 394
-3
- 85
90 10 002 137 - 1 281 + 5 583
111 696
- 16
- 499
0
0
0
Izometrické (symetrické) sou adnice
,
Izometrické neboli symetrické sou adnice , nebo q, Platí
ds2 = f( , ).(d
2
+ d
- 10 (13) -
2
)
Referen ní plochy
S dλ λ
q = ln tg Pd
α
ϕ 2
+ 45o −
e 1 + sin ϕ ln 2 1 − sin ϕ
M dϕ ϕ
ds
90
o
N cosϕ ϕ dλ λ V rovin jsou izometrickými sou adnicemi pravoúhlé sou adnice Kartografické sou adnice
Š, D
Rozvinutelná plocha (nap . pláš kužele nebo válce) se musí co nejlépe p imykat k referen ní ploše. Proto osa zobrazovací plochy není totožná se zemskou osou. Úloha je dob e ešitelná na kouli. Známe sou adnice nového (kartografického) pólu Uk, Vk a zem pisné sou adnice bodu P (U, V). Hledáme vztah pro P (Š, D)
sin Š = sin U k sin U + cosU k cosU cos(Vk − V ) sin D =
sin (Vk − V )cosU cos Š
Pravoúhlé sou adnice (rovinné) X, Y a polární sou adnice (rovinné) , S t mito sou adnicemi pracujeme nap . v rovin mapy (ale i na referen ním elipsoidu i kouli). P evodní vztahy jsou dob e známé.
3.3
Základní úloha matematické kartografie
Základní úloha matematické kartografie – ur ení matematických vztah mezi jednotlivými sou adnicovými systémy a jejich transformací do roviny
- 11 (13) -
Matematická kartografie · Modul 1
Referen ní plocha
Zobrazovací rovina
zem pisné sou adnice ϕ, λ na elipsoidu
polární sou adnice ρ, ϕ (v rovin )
zem pisné sou adnice U, V na kouli
pravoúhlé sou adnice X, Y (v rovin )
kartografické sou adnice Š, D na kouli
Postup p evodu zem pisných sou adnic na rovinné Topografické mapy ϕ, λ
X, Y
Základní mapy SSR ϕ, λ
Š, D
U, V
ρ, ε
X, Y
Atlas SSR U, V
3.4
ρ, ε
X, Y
D ležité k ivky na referen ních plochách
áry geodetické sít Geodetická k ivka – vyšší geodézie – ára spojující na referen ní ploše nejkratší cestou dva koncové body. Její hlavní normála je v každém bod totožná s normálou referen ní plochy (zemský poledník je geodetickou k ivkou, zemská rovnob žka nikoliv) Ortodroma – geodetická k ivka na kouli – hlavní kružnice Loxodroma – k ivka na referen ní ploše, která protíná poledníky pod stejným úhlem – spirála blížící se zemskému pólu
- 12 (13) -
Záv r
4
Záv r
4.1
Shrnutí
Modul uvádí do p edm tu matematické kartografie. Popisuje základní úlohu matematické kartografie a uvádí základní typy referen ních ploch a sou adnicových systém .
4.2
Studijní prameny
4.2.1
Seznam použité literatury
[1]
4.2.2
Hojovec, V. a kol. Kartografie, GPK Praha 1987
Seznam dopl kové studijní literatury
[2]
Daniš, M., Valko, J. Matematická kartografia, SVŠT Bratislava 1987
[3]
Srnka, E. Matematická kartografie, VAAZ, Brno 1977
[4]
Böhm, J. Matematická kartografie, VŠT, Brno 1951
4.2.3
Odkazy na další studijní zdroje a prameny
[5]
http://dmg.tuwien.ac.at/havlicek/karten.html
[6]
http://www.3dsoftware.com/
[7]
http://mathworld.wolfram.com/MapProjection.html
[8]
http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Cartographic_projections
- 13 (13) -
