VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ
MILOSLAV ŠVEC
MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE MODUL 2 KARTOGRAFICKÁ ZKRESLENÍ
STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Matematická kartografie · Modul 2
© Miloslav Švec, Brno 2007
- 2 (14) -
Obsah
OBSAH 1 Úvod ...............................................................................................................5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba pot ebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klí ová slova.........................................................................................5 2 Kartografická zkreslení ...............................................................................8 2.1 Délkové zkreslení a podmínka konformity ...........................................8 2.2 Hlavní sm ry, afinita mezi obrazem a originálem, elipsa zkreslení .....9 2.3 Zkreslení azimutu a úhlu.....................................................................10 2.4 Zkreslení plošné P...............................................................................11 2.5 Výpo et zkreslení p i známých hlavních paprscích a, b .....................12 2.6 Zkreslení geodetické k ivosti v konformním zobrazení .....................13 3 Záv r ............................................................................................................14 3.1 Shrnutí.................................................................................................14 3.2 Studijní prameny .................................................................................14 3.2.1 Seznam použité literatury .....................................................14 3.2.2 Seznam dopl kové studijní literatury ...................................14 3.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny ...........................14
- 3 (14) -
Úvod
1
Úvod
1.1
Cíle
Matematická kartografie pat í k základním teroretickým p edm t m studijních program geodézie a kartografie. Vytvá í p edpoklady pro zvládnutí obecných a praktických úloh jak obecné geodézie, tak p edevším obecné kartografie. Moduly p edm tu jsou koncipovány jako ucelené celky. P esto na sebe teoreticky navazují. Opora „Matematická kartografie“ je tvo ena t mito moduly: • Referen ní plochy a sou adnicové systémy • Kartografická zkreslení • Kartografické zobrazení • Jednoduchá zobrazení • Nepravá azimutální zobrazení
1.2
Požadované znalosti
P edm t vyžaduje dobré matematické základy. Jedná se o zvládnutí základ matematické analýzy, p edevším diferenciálního po tu jedné a více prom nných, integrálního po tu, základ diferenciálních rovnic a n kterých partií deskriptivní a diferenciální geometrie.
1.3
Doba pot ebná ke studiu
P edm t je vyu ován jako povinný v prvním ro níku navazujícího magisterského studijního programu Geodézie a kartografie v rozsahu 2 hodiny p ednášky a 1 hodiny cvi ení za týden, tedy celkem 39 hodin za semestr. Jako u každého teoretického p edm tu se p edpokládá alespo stelná asová zát ž p i samostudiu.
1.4
Klí ová slova
Matematická kartografie, referen ní plocha, zobrazení, mapa, elipsoid, sou adnicové soustavy
- 5 (14) -
Záv r
- 7 (14) -
Matematická kartografie · Modul 2
2
Kartografická zkreslení
Kartografické zobrazení
„kartografické zobrazení“ x „mat. zobrazení“
Kartografické zobrazení
vzájemné p i azení polohy bod referen ních ploch
Projekce
speciální typ zobrazení vzniklého promítáním
Zobrazovací rovnice
jednozna ný vztah mezi sou adnicemi bod obou referen ních plochách
dvou r zných
na
P íklad zobrazovací rovnice p i zobrazení elipsoidu do roviny X = f (ϕ , λ ),
y = g (ϕ , λ ) ,
f, g spojité, nezávislé, diferencovatelné funkce – jednojednozna né Pól je singulární bod – nemusí tuto podmínku spl ovat – k ivka Referen ní plochy mají r znou k ivost → zkreslení V kartografii je referen ní plochou originálu elipsoid nebo koule, referen ní plochou obrazu rovina (zobrazuje se i rota ní elipsoid na kouli). Zkreslení délkové m
- pom r délkových element v obraze a originálu
Zkreslení úhlové
- rozdíl velikosti sm rníku (úhlu) v obraze a originálu
Zkreslení plošné P
- pom r plošných element v obraze a originálu
2.1
Délkové zkreslení a podmínka konformity
dλ
A P ds
S
+X Pd
D
Pd´
dS
dX P´
J
O´
- 8 (14) -
dY +Y
Záv r
Délkové zkreslení mA elementu ds o azimutu A m A2 =
m 2A =
(
dS 2 dX 2 + dY 2 = ds 2 M 2 dϕ 2 + N 2 cos 2 ϕ dλ
) (
)
2 dλ 2 dλ fϕ + gϕ + f λ + g λ + 2 fϕ f λ + gϕ g λ dϕ dϕ 2 2
2
2
M tg A =
2
(
2
2
+ N cos ϕ
)
d λ2 dϕ 2
PD dλ N cos ϕ d λ = → DPd dϕ M dϕ
(
)
fϕ2 + gϕ2 2 fϕ f λ + gϕ g λ f 2 + g λ2 2 mA = cos 2A + λ sin 2 A + sin A cos A MN cos ϕ M2 N 2 cos 2 ϕ Pro A = 0o dostaneme zkreslení mp v poledníkovém elementu, pro A = 90o zkreslení mr v elementu rovnob žkovém
mp =
fϕ2 + gϕ2 , M
p=
f λ2 + g λ2 mr = N cos ϕ
(
2 fϕ f λ + gϕ g λ
)
MN cos ϕ
Celkem
m 2A = m 2p cos 2 A + mr2 sin 2 A + p sin A cos A Podmínka konformního (stejnoúhlého) zobrazení
m p = mr , p = 0
2.2
⇔
m A = m p = mr
Hlavní sm ry, afinita mezi obrazem a originálem, elipsa zkreslení
d mA d m A2 Hlavní paprsky (hlavní sm ry) = 0 nebo = 0. dA dA tg 2 Aε =
p m 2p − mr2
- 9 (14) -
Matematická kartografie · Modul 2
Existují odtud dva úhly Aε , Aε = Aε + 90 1 2 1 navzájem kolmých sm rech jsou extremální.
o
a délková zkreslení v t chto
Diferencováním obecných zobrazovacích rovnic dostaneme
d X = fϕ d ϕ + f λ d λ , d Y = gϕ d ϕ + g λ d λ To je definice afinního zobrazení, mezi originálem a obrazem existuje afinní vztah. V daném bod existuje jediná dvojice vzájemn kolmých paprsk , jejichž obrazy jsou rovn ž kolmé – hlavní paprsky
Délková zkreslení a, b ur ují v t chto bodech elipsu zkreslení (Tissotova indikatrix) V konformním zobrazení je Tissotova indikatrix kružnice
2.3
Zkreslení azimutu a úhlu S
A ds
+X
µp
dλ
A´
D
s´
P´ µ obr. meridianu J
Protože úhel je rozdíl dvou azimut , sta í se zabývat zkreslením azimutu.
- 10 (14) -
Záv r
Platí
(
) (
)
tg 180o − A′ = tg µ p − µ =
tg µ =
tg µ p − tg µ 1 + tg µ p tg µ
gϕ N cos ϕ cos A + dY = dX fϕ N cos ϕ cos A +
tg µ p =
g λ M sin A f λ M sin A
gϕ fϕ
Odtud ur íme A´, rozdíl (A´– A) je zkreslení v azimutu Pro úhel obrazu meridiánu a rovnob žky platí
tg θ =
+X
µp
f λ gϕ − fϕ g λ fϕ f λ + gϕ g λ
obr. rovnob žky θ P´
µr obr. meridianu O´
+Y
úhlu mezi poPro zkreslení ledníkem a rovnob žkou platí = 90o – . Tedy
tg Θ =
fϕ f λ + gϕ g λ f λ gϕ − fϕ g λ
itatel je roven parametru p, který je pro konformní zobrazení roven nule. Zkreslení
úhlu mezi poledníkem a rovnob žkou je rovno nule,
= 90o → geografická sí zachovává v konformním zobrazení ortogonalitu i v obraze
2.4
Zkreslení plošné P
Podle obrázku je
1 d p´d r´sinθ fϕ g λ − f λ gϕ 2 P= = m p mr sin θ = 1 MN cos ϕ d pdr 2
- 11 (14) -
Matematická kartografie · Modul 2
rovina
elipsoid
+X
P1
P1´ dp´
dp 90o
P
P2 rovnob žka
dr
θ
P´
P2´
dr´
meridián
+Y Stejnoploché (ekvivalentní) zobrazení:
P=1
fϕ g λ − f λ gϕ = MN cos ϕ To je obecná podmínka ekvivalentního zobrazení.
2.5
Výpo et zkreslení p i známých hlavních paprscích a, b ξ´
ξ
η´ η
ξ α
P1
ξ´
dρ ρ
P
η
α´
P1´ dS
P´
ξ ′2 η ′2 + =1 a2 d ρ 2 b2 d ρ 2
ξ 2 + η2 = d ρ2
- 12 (14) -
η´
Záv r
Zkreslení délkové
mα2 = a 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α
Zkreslení úhlové
tg α ′ =
Zkreslení plošné
P = ab
2.6
a tg α b
Zkreslení geodetické k ivosti v konformním zobrazení
Geodetická k ivost γ
k ivost pravoúhlého pr m tu k ivky do te né roviny plochy v daném bod
Ozna ení
γ - geodetická k ivost na referen ní ploše Γ - geodetická k ivost obrazu k ivky
d
90
c
ds´
o
dt´
dt
a
90o
90o
δ ds b
90o
Pro konformní zobrazení platí
Γ =
1 1 ∂m γ + 2 m m ∂t
Pro geodetické k ivky (γ = 0)
Γ =
1 ∂m 1 ∂m = m ∂T m 2 ∂t
Zkreslení geodetické k ivky je závislé na délkovém zkreslení v daném bod a na zm n délkového zkreslení ve sm ru kolmém na geodetickou k ivku.
Isometrické k ivky – spojnice bod stejného délkového zkreslení, umož ují posoudit zkreslení geodetické k ivosti
- 13 (14) -
Matematická kartografie · Modul 2
3
Záv r
3.1
Shrnutí
Kartografické zkreslení je základní charakteristikou každého kartografického zobrazení. Modul uvádí p ehled metod výpo tu kartografických zkreslení pro jednotlivé typy zobrazení. Popisuje záklední úlohu matematické kartografie a uvádí základní typy referen ních ploch a sou adnicových systém .
3.2
Studijní prameny
3.2.1
Seznam použité literatury
[1]
3.2.2
Hojovec, V. a kol. Kartografie, GPK Praha 1987
Seznam dopl kové studijní literatury
[2]
Daniš, M., Valko, J. Matematická kartografia, SVŠT Bratislava 1987
[3]
Srnka, E. Matematická kartografie, VAAZ, Brno 1977
[4]
Böhm, J. Matematická kartografie, VŠT, Brno 1951
3.2.3
Odkazy na další studijní zdroje a prameny
[5]
http://dmg.tuwien.ac.at/havlicek/karten.html
[6]
http://www.3dsoftware.com/
[7]
http://mathworld.wolfram.com/MapProjection.html
[8]
http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Cartographic_projections
- 14 (14) -
