4 Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Logaritmická funkce. - získá se jako funkce inverzní k funkci exponenciální, má tvar f: y = log a x
⇔
* * log a x = y
ay = x
musí být
Platí: x > 0 !!
x>0 , a>0
Rozlišujeme dva základní typy: a) a > 1
y
0
Funkce má definiční obor
x
1
( 0, ∞ )
a v celém definičním oboru je rostoucí. Prochází vždy bodem [1,0] .
b) 0 < a < 1
y
0
Funkce má definiční obor
( 0, ∞ )
1
x
a v celém definičním oboru je klesající. Prochází vždy bodem [1,0] .
Příklad: Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 5 0,1 ???? 0
Řešení: Protože a = 5, funkce je rostoucí . 1
Protože funkční hodnota v bodě 0,1 je v záporné části osy y , je
log 5 0,1 <
0
Příklad:
log 0,1 4 ???? log 0,1 5
Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte: Řešení: Protože a <1, je funkce klesající:
y
Na obrázku je vidět, že platí:
log 0,1 4
log 0,1 5
0
4
1
5
x
Cvičení: 1.)
Je dána funkce y = log3x. Doplňte tabulku:
x
1
1 3
9
y
2.)
Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
1
-2
1 2
log 0, 4 3 ???? 0 [ <]
3.)
Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 3 2 ???? 0 [ >]
4.)
Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 0,1 0,2 ???? 0 [ >]
2
5.)
Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log10 4 ???? 0 [ >]
6.)
Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log10 0,1 ???? 0 [ <]
7.)
Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 2 0,3 ???? log 2 0,4 [ <]
8.)
Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 0,1 0,7 ???? 0 [ >]
9.)
Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 4 0,4 ???? 0 [ <]
10.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 0, 4 4 ???? 0 [ <]
11.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 2 5 ???? log 2 3 [ >]
12.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 8 12 ???? log 8 11 [ >]
13.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 7 8 ???? 0 [ >]
14.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 0,1 8 ???? log 0,1 9 [ >]
15.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 2 0,3 ???? 0 [ <]
16.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 0, 2 10 ???? log 0, 2 100 [ >]
17.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log10 0,1 ???? log10 0,2 [ <]
18.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log10 7 ???? 0 [ >]
19.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 0, 2 0,7 ???? 0 [ >]
20.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 0, 4 1 ???? 0 [ =]
21.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 0, 4 2 ???? 0 [ <]
22.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 4 0,2 ???? 0 [ <]
23.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 0, 4 42 ???? log 0, 4 24 [ <]
24.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
log 4 0,42 ???? log 4 0,24 [ >]
3
log 0,7 3 ???? 0
25.) Doplňte znaménko nerovnosti a odůvodněte:
[ <]
Logaritmus Definice: Logaritmus kladného čísla x při základu a je číslo y, kterým daný základ a musíme umocnit, abychom dostali číslo x.
log a x = y Příklad : 1.) log5 25 = 2
protože 52 = 25 1 -2 protože 4 = 42 1 = protože
2.) log4 1 16 = -2 3.) log42=
ay = x
⇔
1 2
x>0 , a>0
1 16
4 = 2
42
log a 1 = 0
=
musí být
Platí :
!
!
Cvičení: 1.) Určete:
a) log3 27
d) log8 64
g) loga a
b)log4 64
e) log 13 f) log 12
h) loga
c)log2 64 2.)Určete základy logaritmů: a) logx 625 = 2 b) logx625 = 4
1 2
c) logx 16 = -2 d) logx 16 = -4
e) logx 16 = 12 f) logx 12 = 12
Pravidla pro počítání s logaritmy •
1.) loga x.y = logax + loga y
Logaritmus součinu se rovná součtu logaritmů jednotlivých činitelů Příklad: a) loga 2
= loga 2 + loga 3 b) log a x y = log ax3 + logax3+logay
•
x 2.) loga = logax - loga y y
Logaritmus podílu se rovná logaritmus dělence minus logaritmus dělitele. Příklad :
•
x2 = logax2 - loga2y 2y 100 b) loga = loga100 - loga2 2 a) loga
3.) loga xn = n. loga x
Mocninu logaritmujeme, když exponent násobíme logaritmem základu mocniny. 4
a
Příklad: a) loga102= 2. loga10 b) logax3 = 3.logax
4.) loga
•
n
1 1 x = loga x n = loga x n
Odmocninu logaritmujeme, když logaritmus odmocněnce dělíme odmocnitelem. Příklad: a) loga 3 1 0
=
b) loga 7 a =
1 3
.loga 10
1 .loga a 7
Řešené příklady: 1) Logaritmujeme: a)
4
c3
⇒ log a 4 c 3 = b)
x by
c)
2 gh
⇒ log a
1 3 .log a c 3 = log a c 4 4 ⇒ log a
x 1 = log a x − log a by = log a x − log a b − log a y by 2
2 = log a 2 − (log a g. h ) = log a 2 − (log a g + log a h ) = log a 2 − log a g − log a b gh
d ) dx 2 y ⇒ log dx 2 y =
1 1 1 log a dx 2 y = log a d + log a x 2 + log a y = ( log a d + 2 log a x + log a y ) 2 2 2
(
)
2) Určete výraz, jehož logaritmováním jsme dostali: (odlogaritmujte)
c c c a )log a c − log a 2 − log a b = log a − log a b = log a 2 = log a 2 b 2b
b) log a ( a + 3) − log a ( a − 3) = log a
( a + 3) ( a − 3)
Dekadický logaritmus:
log10 x = log x
Přirozený logaritmus:
log e x = ln x e = 2,71
( Eulerova konstanta)
5
Logaritmické rovnice = rovnice, kde neznámá se vyskytuje v argumentu logaritmu Každé řešení by mělo být doplněno o podmínky tak, aby logaritmy neměly záporné argumenty.
Typy logaritmických rovnic 1) Rovnice, kde se vyskytují logaritmy s různými argumenty a) Řešíme buď převodem na logaritmy se stejnými argumenty a dále substitucí ( logaritmus je možno nahradit jinou proměnnou ) b) Řešíme převodem na rovnost 2 logaritmů a dále porovnáváme argumenty Příklad:
5. log x3 - 4. log x6+
1 logx8 = 9 – logx6 2
Řešení:
Pod: x > 0
5. log x3 - 4. log x6+
1 logx8 = 9 - logx6 2
rovnici nejprve upravíme podle pravidel pro logaritmování na tvar
5.3. log x − 4.6. log x +
1 .8. log x = 9 − 6. log x 2
dále použijeme substituci log x = y
15y - 24y + 4y = 9 - 6y y=9 Příklad:
log x + log(x + 1) = log 2x Řešení:
Pod: x > 0
rovnici nejprve upravíme podle pravidel pro logaritmování na tvar log x.(x + 1) = log 2x x.(x + 1) = 2x x2 + x – 2x = 0 x2 – x =0 x.(x – 1) = 0 x1 = 0
x2= 1 První kořen nemůže být kořenem rovnice, protože argument logaritmu musí být číslo větší než 0.
Příklad:
log( 3x + 4 ) − log( 7 x − 3) = 1 + log
11 10
Řešení:
log( 3x + 4) − log( 7 x − 3) = 1 + log
Pod: x >
11 10 6
3 7
log( 3x + 4 ) = log( 7 x − 3) + log 11 − log10 + 1 číslo 1 musíme také nahradit logaritmem: log10 y = 1 ? y = 101
y = 10
log( 3 x + 4) = log( 7 x − 3) + log 11 − log 10 + log10 log( 3 x + 4) = log( 7 x − 3) ⋅ 11
( 3x + 4) = ( 7 x − 3) ⋅ 11 ( 3x + 4) = ( 77 x − 33) 37 = 74 x
x=
1 2
Zkouška: L = log 3 ⋅
1 55 1 + 4 − log 7 ⋅ − 3 = log 5,5 − log 0,5 = log = log 11 2 5 2
P = 1 + log
11 11 11 = log 10 + log = log 10. = log 11 10 10 10
L=P
2) Rovnice kde se vyskytují logaritmy se stejnými argumenty - řešíme vždy substitucí. Příklad:
log x −
3 = 2 log x
Řešení:
Pod: x > 0
Substituce: logx = y
y−
3 = 2 /. y y
y2- 3 = 2y
log x = -1
log x = 3
y2- 2y - 3 = 0
x = 10-1
x = 103
(y + 1) (y - 3) = 0
x1= 0,1
x2= 1000
y1= -1
y2= 3
Cvičení: 1.) 2.) 3.) 4.)
5 log x + 3 log x + 5 −2 = 3 log x − 4 3 log x − 4 1 36 − 2 log x + 1= 4 log + 7 8 log x + 14 1 log x − 4 = 1 1 − log x 2 log( x 2 + 5) =1 2 log( x − 3)
10 100
10
2 3 7
5.)
log x +
3 = 4 log x
10,1000
6.) log3 x2 – log3 x4 + log3 x3 = -3 7.) 8.) 9.)
log( 2 x + 10)
[
= log( x + 1)
3
1 log( 2 x − 3) = log( x − 3) 2
6
2
6 ] 5 [ NŘ ] [5 ] 2501
log6 z – 1 = log6 (z – 1)
[
10.) 1 + log8 x = log8 (5 – x) + 3log8 x 11.)–2.log 0,5(4 – x) = 3 – log 0,5(10 – x) 12.) log x + 1 + log x − 1 = 2 − log 2 5 ( x − 2) 13.) 3 = 2 log( x − 2) log
11 3
14.) log x 2 − 4 − log x + 2 = log 5 15.) log 15x 2 + log 0, 6x = log 812 16.) log( 2 x + 9) − 2 log x + log( x − 4) = 2 − log 50
27 9 36
log x
17.)1 − log 2 = 2
25
18.) log + x = log − log x 1 2
1 2
19.) log 8 3 − x + log 8 2x + 18 = 1
− 1, − 5
20.) log( 3x − 4) + log( 7 x − 9) = 2
13 2, 21
2
1 ] 27
2
8
1 2
