Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, −7) és C (3, 9, −3) pontok? # » # » Megoldás: Nem, mert AB (3, 12, −8) ∦ BC (−2, −8, 4).
5 pont
2. Írjon fel olyan egységvektort, amely az a (2, −4, 4) vektorral párhuzamos! Megoldás: ea 13 , − 32 , 23 és −ea − 31 , 23 , − 23
3 pont
3. Írjon fel olyan vektort, amely az a (4, −1, 1) és b (3, 2, −3) vektorok mindegyikére mer˝oleges! i j k 1 = i + 15j + 11k Megoldás: a × b = 4 −1 3 2 −3
5 pont
4. Bontsa fel az a (16, −10, 5) vektort a b (1, −3, 2) vektorral párhuzamos és mer˝oleges összetev˝okre! ab Megoldás: p = b = 4b ⇒ p (4, −12, 8). Innen m = a − p ⇒ m (12, 2, −3) |b|2
10 pont
5. Az ABC△ csúcsai A (7, −2, 1), B (2, 2, 3) és C (−1, 4, 0). a) Számítsa ki a a háromszög legnagyobb szögét! # » # » # » Megoldás: A BA (5, −4, −2), BC (−3, 2, −3) és AC (−8, 6, −1) vektorok közül # » AC a leghosszabb, ezért a háromszög legnagyobb szöge β.
8 pont
# »# » −17 BABC cos β = # » # » = √ √ ≈ −0, 5403 ⇒ β ≈ 122, 7◦. 45 22 |BA| · |BC| b) Írja fel az A ponton átmen˝o, a háromszög síkjára mer˝oleges egyenes paraméteres egyenletrendszerét! # » # » Megoldás: Az egyenes egy irányvektora az AB × AC = −16i − 21j + 2k. Az egyenes egyenletrendszere: x = 7 − 16t, y = −2 − 21t, z = 1 + 2t.
8 pont
6. Adott a S : 2x + 3y − 4z = 17 sík, és az e : x = 1 + 4t, y = 2 − t, z = 3 + 3t egyenes. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely átmegy az S sík és az e egyenes metszéspontján, benne van az S síkban és mer˝oleges az e egyenesre! Megoldás: 2 (1 + 4t) + 3 (2 − t) − 4 (3 + 3t) = 17 ⇒ t = −3 ⇒ M (−11, 5, −6). A keresett egyenes irányvektora mer˝oleges S normálvektorára és e irányvektorára, tehát vf = n × ve = 5i − 22j − 14k, így f paraméteres egyenletrendszere
11 pont
x = −11 + 5t, y = 5 − 22t, z = −6 − 14t, egyenletrendszere
x + 11 x−5 z+6 =− =− . 5 22 14
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. B csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (4, 9, 7), B (1, 11, −2) és C (−8, 17, −29) pontok? # » # » # » # » Megoldás: Igen, mert AB (−3, 2, −9) k BC (−9, 6, −27), hiszen BC = 3AB.
5 pont
2. Írjon fel olyan egységvektort, amely az a (3, −2, 6) vektorral párhuzamos! Megoldás: ea 37 , − 72 , 67 és −ea − 73 , 27 , − 67
3 pont
3. Írjon fel olyan vektort, amely az a (3, 9, 2) és b (2, 1, 2) vektorok mindegyikére mer˝oleges! i j k Megoldás: a × b = 3 9 2 = 16i − 2j − 15k 2 1 2
5 pont
4. Bontsa fel az a (12, −1, −10) vektort a b (2, 1, −4) vektorral párhuzamos és mer˝oleges összetev˝okre! ab Megoldás: p = b = 3b ⇒ p (6, 3, −12). Innen m = a − p ⇒ m (6, −4, 2) |b|2
10 pont
5. Az ABC△ csúcsai A (4, 3, −4), B (2, 6, 1) és C (−3, 5, 6). a) Számítsa ki a a háromszög legnagyobb szögét! # » # » # » Megoldás: A BA (2, −3, −5), BC (−5, −1, 5) és AC (−7, 2, 10) vektorok közül # » AC a leghosszabb, ezért a háromszög legnagyobb szöge β.
8 pont
# »# » BABC −32 cos β = # » # » = √ √ ≈ −0, 7269 ⇒ β ≈ 136, 6◦. 38 51 |BA| · |BC| b) Írja fel az A ponton átmen˝o, a háromszög síkjára mer˝oleges egyenes paraméteres egyenletrendszerét! # » # » Megoldás: Az egyenes egy irányvektora az AB × AC = 20i − 15j + 17k. Az egyenes egyenletrendszere: x = 4 + 20t, y = 3 − 15t, z = −4 + 17t.
8 pont
6. Adott a S : 4x + 2y − 6z = 26 sík, és az e : x = 3 + t, y = 2 − 4t, z = 1 + 2t egyenes. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely átmegy az S sík és az e egyenes metszéspontján, benne van az S síkban és mer˝oleges az e egyenesre! Megoldás: 4 (3 + t) + 2 (2 − 4t) − 6 (1 + 2t) = 26 ⇒ t = −1 ⇒ M (2, 6, −1). A keresett egyenes irányvektora mer˝oleges S normálvektorára és e irányvektorára, tehát vf = n × ve = −20i − 14j − 18k, így f paraméteres egyenletrendszere
11 pont
x = 2 + 10t, y = 6 + 7t, z = −1 + 9t, egyenletrendszere
x−2 y−6 z+1 = = . 10 7 9
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.máj.6.
A csoport 1. Oldja meg a következ˝o egyenletet:
6 pont x−2 2 1 3 1 0 =0 −2 4 x + 1
Megoldás: x1 = 1 x2 = 6
2. Tekintsük a legfeljebb másodfokú polinomok halmazát mint lineáris teret a valós számok teste felett! a) Hány dimenziós ez a tér? Adja meg a tér egy bázisát!
4 pont
Megoldás: 3 dimenziós, pl. B = h1, x, x2 i b) Fejezzük ki az 5x2 + x + 4 polinomot, az x + 1, x + 2 és x2 + 1 polinomok lineáris kombinációjaként!
6 pont
Megoldás: 5x2 + x + 4 = 3 (x + 1) − 2 (x + 2) + 5 (x2 + 1) c) Hány dimenziós teret generálnak a 2x2 − x + 3, −x2 + 6x − 2, −x2 + 17x − 3 és x2 + 16x polinomok? Megoldás: 2 dimenziós teret.
6 pont
3. Tekintsük az alábbi egyenletrendszert: x1 − x2 + x3 + x4 x2 + 2x3 − x4 2x1 + 5x3 x1 − x2 + x4
= = = =
1 2 8 3
a) Számítsa ki az egyenletrendszer együtthatómátrixának rangját!
6 pont
Megoldás: ρ (A) = 3 b) Oldja meg az egyenletrendszert! Megoldás: x1 = 9,
x2 = 6 + t,
8 pont x3 = −2,
x4 = t,
t∈R
c) Fejezze ki x4 együtthatóvektorát, a többi ismeretlen együtthatóvektorainak lineáris kombinációjaként! Megoldás: a4 = −a2
4 pont
4. Tekintsük az xy sík azon lineáris transzformációját, ami az y = x egyenesre vonatkozó tükrözés és az origó körül 45◦ -kal való (pozitív irányú) forgatás egymásutánja! a) Adja meg a lineáris transzfomáció mátrixát! 1 1 √ −√ 2 2 Megoldás: 1 1 √ √ 2 2
4 pont
b) Határozza meg az y = 2x egyenes képét! Megoldás: y = 3x
6 pont
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.máj.6.
B csoport 1. Határozza meg a c paraméter értékét úgy, hogy a következ˝o mátrix szinguláris legyen: 4 −1 c 2 −2 1 c + 3 −4 2 Megoldás: c1 = 1 c2 =
6 pont
1 2
2. Tekintsük a komplex számok C halmazát mint lineáris teret a valós számok teste felett! 4 pont
a) Hány dimenziós ez a tér? Adja meg a tér egy bázisát! Megoldás: 2 dimenziós, pl. B = h1, ji b) Fejezzük ki a 9 + 17j komplex számot, a 4 + 2j és 3 − j lineáris kombinációjaként!
6 pont
Megoldás: 9 + 17j = 6 (4 + 2j) − 5 (3 − j) 3. Határozza meg a következ˝o mátrix inverzét (ha lehetséges): 8 10 3 1 2 1 7 9 3
6 pont
−3 −3 4 3 −5 Megoldás: 4 −5 −2 6 4. Tekintsük az alábbi egyenletrendszert: x1 + 2x3 2x2 + x3 − 3x4 x1 + 2x2 x1 + x2 − x3 + 2x4
= = = =
1 1 5 5 6 pont
a) Számítsa ki az egyenletrendszer együtthatómátrixának rangját! Megoldás: ρ (A) = 3 b) Oldja meg az egyenletrendszert! Megoldás: x1 = 3 − 2t,
x2 = 1 + t,
8 pont x3 = −1 + t,
x4 = t,
t∈R
c) Fejezze ki x4 együtthatóvektorát, a többi ismeretlen együtthatóvektorainak lineáris kombinációjaként! Megoldás: a4 = 2a1 − a2 − a3 7 1 5. Tekintsük az xy sík azon lineáris transzformációját, amelynek mátrixa ! 2 6
4 pont
a) Határozza meg a P (3, 5) pont képét!
2 pont
Megoldás: P ′ (26, 36) b) Határozza meg a transzformáció sajátértékeit és sajátvektorait! t t t ∈ R , λ2 = 8, s2 ∈ t ∈ R Megoldás: λ1 = 5, s1 ∈ −2t t
8 pont
