Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19.
A csoport Elméleti kérdések 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való átváltás nélkül?
2 pont
2. Sorolja fel a harmadik egységgyököket trigonometrikus alakban!
3 pont
3. Definiálja a numerikus sorozat konvergenciáját és határértékét!
3 pont
4. Mondjon a sorozat konvergenciájára egy olyan feltételt, amely szükséges, de nem elégséges!
2 pont
5. Mit ért azon, hogy egy valós-valós függvény monoton növeked˝o?
2 pont
6. Karikázza be a helyes választ! a) Egy páros és egy páratlan függvény szorzata B) páratlan A) páros C) páros és páratlan D) nem páros és nem páratlan E) nem dönthet˝o el b) A z = r cos(ϕ) + j sin(ϕ) komplex szám ötödik egységgyök, ha
2 pont
2 pont
A) r = 1 és ϕ = 2π B) r = 2 és ϕ = 2π C) r = 2 és ϕ = 4π 3 5 4π D) r = 1 és ϕ = 5 E) r = 1 és ϕ = 3π 7
c) Ha az (an ) sorozat konvergens és a (bn ) sorozat divergens, akkor a
2 pont
A) szorzatuk konvergens B) szorzatuk divergens C) összegük konvergens D) összegük divergens E) az el˝obbiek közül egyik sem d) Legyen f : [−3, 3] → R, és g : R → R, g(x) = 2x + 1. Mi lehet az f ◦ g függvény értelmezési tartománya? A) R B) [−3, 3]
2 pont
C) [−2, 1] D) [−1, 2] E) az el˝obbiek közül egyik sem
Számítási feladatok √ 1. Adottak a z1 = 2 2 cos π4 + j sin π4 , z2 = 3 + 2 j és z3 = −1 + 3 j komplex számok. a) Számítsa ki z71 értékét algebrai alakban! 21 7 Megoldás: z1 = 2 2 cos 7π + j sin 7π = 1024 − 1024 j 4 4
b) Írja fel a z2 szám trigonometrikus és exponenciális alakját! √ Megoldás: |z2 | = 13 ≈ 3, 6, mivel tg ϕ = 23 és z2 képe az els˝o síknegyedbe esik ϕ ≈ 33, 7◦ , tehát z2 ≈ 3, 6 cos (33, 7◦ ) + j sin (33, 7◦ ) = 3, 6e0,588 j
2 pont
2 pont
c) Oldja meg a z5 = z1 − 2z3 egyenletet és az eredményt adja meg trigonometrikus alakban! Ábrázolja a megoldásokat a Gauss-féle számsíkon! Megoldás: √ y z1 − 2z3 = 4 − 4 j = 32 cos (315◦ ) + j sin (315◦ ) . 1
1
x
4 pont
Az egyenlet öt megoldása: √ z = 2 cos (63◦ + k · 72◦ ) + j sin (63◦ + k · 72◦ ) , ahol k ∈ {0, 1, 2, 3, 4}.
n2 + 2 sorozat szigorúan monoton növeked˝o! 3n + 1 Megoldás: Azt kell igazolni, hogy
2. Igazolja, hogy az an =
3 pont
(n + 1)2 + 2 n2 + 2 = an+1 > an = 3(n + 1) + 1 3n + 1 Ebb˝ol ekvivalens átalakításokkal az 3n2 +5n > 5 egyenl˝otlenség adódik, ami minden pozitív egész n-re igaz, így az állítást igazoltuk. 3. Számítsa ki a következ˝o sorozatok határértékét: √ 2 + n2 2√n 2n2 n + 2 2 a) lim = lim 1 =− √ n→∞ n→∞ √ − 3 3 n − 3 n5 n n √ 6n − 2 b) lim 9n2 + 12n − 1 − 3n − 1 = lim √ = n→∞ n→∞ 9n2 + 12n − 1 + 3n + 1 = lim q n→∞ 9+ 3n + 1 c) lim n→∞ 3n
2n−1
3 pont
4 pont
6−
12 n
−
2 n 1 n2
=1 +3+
! 2n−1 1 3n 3n 2 = lim 1 + = e3 n→∞ 3n
x ha x > 1 4. Legyen f : D f = R, f (x) = x2 és g : D g = R, g(x) = 1 ha x ≤ 1 Adja meg az f ◦ g függvényt képlettel, és ábrázolja Descartes-féle derékszög˝u koordinátarendszerben! Mit mondhatunk az f ◦ g függvényr˝ol monotonitás, korlátosság, konvexitás és szimmetriatulajdonságok szempontjából?1 Megoldás: 1
Elég szemléletes alapon eldönteni, hogy milyen tulajdonságok érvényesek.
1 n
4 pont
8 pont
y 8
f ◦ g:
6 4 2 −1
2
1 2 x
D f ◦g = R,
x 2 ( f ◦ g)(x) = 1
ha x > 1 ha x ≤ 1
A függvény monoton növeked˝o, de nem szigorúan monoton. Alulról korlátos, de nem korlátos. Konvex, de nem szigorúan konvex. Nem páros, nem páratlan, nem periodikus.2
Képlet 2 pont, ábra 2 pont, tulajdonságok 1-1 pont.
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19.
B csoport Elméleti kérdések 1. Írja fel a Moivre formulát! Mit fejez ki az összefüggés?
2 pont
2. Milyen értékeket vehetnek fel a képzetes egység pozitív egész kitev˝os hatványai? Milyen összefüggés van a hatványkitev˝o és a hatvány értéke között?
3 pont
3. Mit ért azon, hogy egy numerikus sorozat határértéke +∞?
2 pont
4. Mondjon a numerikus sorozat konvergenciájára olyan feltételt, ami szükséges is és elégséges is!
3 pont
5. Mit ért azon, hogy egy valós-valós függvény páros?
2 pont
6. Karikázza be a helyes választ! a) Két monoton növeked˝o függvény szorzata
2 pont
A) monoton növeked˝o B) monoton csökken˝o C) szigorúan monoton D) nem monoton E) nem dönthet˝o el b) A z = r cos(ϕ) + j sin(ϕ) komplex szám hetedik egységgyök, ha C) r = 1 és ϕ = A) r = 1 és ϕ = 4π B) r = 2 és ϕ = 4π 3 7 D) r = 2 és ϕ = 6π E) r = 1 és ϕ = 2π 5
2 pont
6π 7
c) Ha az (an ) sorozat monoton növeked˝o és a (bn ) sorozat monoton csökken˝o, akkor az (an − bn ) sorozat
2 pont
A) monoton növeked˝o B) monoton csökken˝o C) nem monoton D) divergens E) konvergens d) Ha az f és g valós-valós függvények mindegyike konkáv az I intervallumon, akkor f g szorzatuk ezen az intervallumon A) konvex B) konkáv D) monoton növeked˝o
2 pont
C) nem konvex és nem is konkáv E) nem dönthet˝o el
Számítási feladatok √ 3π + j sin , z2 = 2 + j és z3 = 3 − 4 j komplex 1. Adottak a z1 = 4 2 cos 3π 4 4 számok. a) Számítsa ki z51 értékét algebrai alakban! Megoldás: 25 25 15π 7π 7π 2 z51 = 2 2 cos 15π + j sin = 2 cos + j sin = 4096 − 4096 j 4 4 4 4
2 pont
b) Írja fel a z3 szám trigonometrikus és exponenciális alakját! Megoldás: |z3 | = 5, mivel tg ϕ = − 34 és z3 képe a negyedik síknegyedbe esik ϕ ≈ 306, 9◦ , tehát z3 ≈ 5 cos (306, 9◦) + j sin (306, 9◦) = 5e−0,927 j
2 pont
c) Oldja meg a z3 = 9z1 + 2z2 + 10z3 egyenletet és az eredményt adja meg trigonometrikus alakban! Ábrázolja a megoldásokat a Gauss-féle számsíkon! Megoldás: √ y 9z1 + 2z2 + 10z3 = −2 − 2 j = 8 cos (225◦ ) + j sin (225◦ ) . 1
1
x
4 pont
Az egyenlet három megoldása: √ z = 2 cos (75◦ + k · 120◦ ) + j sin (75◦ + k · 120◦ ) , ahol k ∈ {0, 1, 2}.
2n + 1 sorozat szigorúan monoton csökken˝o! n2 + 2 Megoldás: Azt kell igazolni, hogy
2. Igazolja, hogy az an =
3 pont
2(n + 1) + 1 2n + 1 = a < a = n+1 n (n + 1)2 + 2 n2 + 2 Ebb˝ol ekvivalens átalakításokkal az 3 < 2n2 +4n egyenl˝otlenség adódik, ami minden pozitív egész n-re igaz, így az állítást igazoltuk. 3. Számítsa ki a következ˝o sorozatok határértékét: √ √1 + 4 n + 4 n3 n a) lim = lim =2 √ 1 n→∞ 2 − √3 + √ n→∞ 2n n − 3n + 1 n n n √ 4n − 6 b) lim 4n2 + 16n + 3 − 2n − 3 = lim √ = n→∞ n→∞ 4n2 + 16n + 3 + 2n + 3 = lim q n→∞ 4+ c) lim
n→∞
4. Legyen f:
4n − 3 4n
5n+3
3 pont
4 pont
4− 16 n
+
6 n 3 n2
=1 +2+
3(5n+3) 4n3 4n 154 1 = lim 1 − 4n = 1e n→∞
D f = R, f (x) = 4 − |x| és
3 n
4 pont
3
g:
x − 1 D g = R, g(x) = 2
8 pont
ha x > −1 ha x ≤ −1
Adja meg az f ◦ g függvényt képlettel, és ábrázolja Descartes-féle derékszög˝u koordinátarendszerben! Mit mondhatunk az f ◦ g függvényr˝ol monotonitás, korlátosság, konvexitás és szimmetriatulajdonságok szempontjából?1
Megoldás:
y
f ◦g :
4 3 2 1 −3−2−1
1 2
x 1 2 3 4 5
D f ◦g = R,
4 − |x − 1| ( f ◦g)(x) = 2
A függvény nem monoton. Felülr˝ol korlátos, de nem korlátos. Nem konvex, nem konkáv. Nem páros, nem páratlan, nem periodikus.2
Elég szemléletes alapon eldönteni, hogy milyen tulajdonságok érvényesek. Képlet 2 pont, ábra 2 pont, tulajdonságok 1-1 pont.
ha x > −1 ha x ≤ −1
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. dec. 10.
Az 1. zh. pótlása Elméleti kérdések 1. Mit értünk egy komplex szám konjugáltján? Mit mondhatunk egy komplex számnak és a konjugáltjának a szorzatáról? 2. Írja fel a z = 3 cos(112◦ ) − j sin(112◦ ) komplex szám trigonometrikus alakját!
2 pont
3 pont
3. Mit ért azon, hogy egy numerikus sorozat monoton növeked˝o, illetve szigorúan monoton növeked˝o?
2 pont
4. Mit mondhatunk két konvergens sorozat összegének, illetve hányadosának határértékér˝ol?
3 pont
5. Mit ért azon, hogy egy valós-valós függvény felülr˝ol korlátos, és mit ért azon, hogy korlátos?
2 pont
6. Karikázza be a helyes választ! a) Ha az f és g valós-valós függvények nem korlátosak, akkor
2 pont
A) f + g nem korlátos B) f − g nem korlátos C) f + g korlátos D) f − g korlátos E) nem dönthet˝o el b) Melyik összefüggés teljesül ∀z1 , z2 ∈ C esetén?
2 pont
C) |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | A) |z1 · z2 | < |z1 | · |z2 | B) |z1 · z2 | > |z1 | · |z2 | D) |z1 + z2 | = |z1 | + |z2 | E) az el˝obbiek közül egyik sem c) Ha lim an = +∞, akkor (an )
2 pont
A) monoton növeked˝o B) konvergens C) felülr˝ol korlátos D) alulról korlátos E) az el˝oz˝oek közül egyik sem √ x2 és g : [0, +∞[→ R, g(x) = x. Ekkor f ◦ g d) Legyen f : R \ {3, 5} → R, f (x) = (x−3)(x−5) értelmezési tartománya: n√ √ o A) R \ {3, 5} B) R \ 3, 5 C) R \ {9, 25} n√ √ o D) [0; +∞[\ 3, 5 E) [0; +∞[\ {9, 25}
2 pont
n→∞
Számítási feladatok
√ 4π + j sin , z2 = 2 + j 3 és z3 = 4 − 3 j komplex 1. Adottak a z1 = 2 cos 4π 3 3 számok. a) Számítsa ki z61 értékét algebrai alakban! Megoldás: z61 = 26 cos (8π) + j sin (8π) = 64
2 pont
b) Írja fel a z3 szám trigonometrikus és exponenciális alakját! Megoldás: |z3 | = 5, mivel tg ϕ = − 43 és z3 képe a negyedik síknegyedbe esik ϕ ≈ 306, 9◦ , tehát z3 ≈ 5 cos (323, 1◦) + j sin (323, 1◦) = 5e−0,644 j c) Oldja meg a z3 = 9z1 + 6z2 egyenletet és az eredményt adja meg trigonometrikus alakban! Ábrázolja a megoldásokat a Gauss-féle számsíkon! Megoldás: √ y 9z1 + 6z2 = 3 − 3 3 j = 6 cos (300◦ ) + j sin (300◦ ) .
Az egyenlet három megoldása: √3 z = 6 cos (100◦ + k · 120◦ ) + j sin (100◦ + k · 120◦ ) ≈ x −1 ≈ 1.82 cos (100◦ + k · 120◦ ) + j sin (100◦ + k · 120◦ ) , ahol k ∈ {0, 1, 2}. √ √ 2. Igazolja, hogy az an = 3n + 7 − 3n + 2 sorozat szigorúan monoton csökken˝o!
2 pont
4 pont
1
3 pont
Megoldás: an =
√ √ (3n + 7) − (3n + 2) 5 3n + 7 − 3n + 2 = √ = √ √ √ 3n + 7 + 3n + 2 3n + 7 + 3n + 2
A tört számlálója is és nevez˝oje is pozitív. Mivel a számláló konstans és a nevez˝o mindkét tagja szigorúan monoton növeked˝o, az állítás igaz. 3. Számítsa ki a következ˝o sorozatok határértékét: √ √ 2 n − 2 + √7n n − 2n n + 7n a) lim = lim = +∞ √ 2 n→∞ 8n n + 3n + 2 n→∞ 8 + √3 + √ n n n √ √ 12n − 2 b) lim 5n2 + 8n + 3 − 5n2 − 4n + 5 = lim √ = √ n→∞ n→∞ 5n2 + 8n + 3 + 5n2 − 4n + 5 = lim q n→∞
c) lim
n→∞
4. Legyen f:
2n + 7 2n + 4
3n−1
12 −
5+
8 n
+
3 n2
2 n
q + 5−
4 n
+
5 n2
4 pont
√ 6 6 5 = √ = 5 5
3(3n−1) 2n+4 2n+4 3 √ 1 9 = lim 1 + 2n+4 = e 2 = e9 n→∞
x − 1 D f = R, f (x) = −1
3 pont
4 pont
3
ha x ≥ 0 ha x < 0
és
g:
D g = R, g(x) = |x| − 3
Adja meg az f ◦ g függvényt képlettel, és ábrázolja Descartes-féle derékszög˝u koordinátarendszerben! Mit mondhatunk az f ◦ g függvényr˝ol monotonitás, korlátosság, konvexitás és szimmetriatulajdonságok szempontjából?1
8 pont
Megoldás:
f ◦g :
y 1 x −5
−3
−1 −2
1 2
1
3
5
D f ◦g = R,
−1 ( f ◦g)(x) = |x| − 4
A függvény nem monoton. Alulról korlátos, de nem korlátos. Konvex, de nem szigorúan konvex. Páros, nem periodikus.2
Elég szemléletes alapon eldönteni, hogy milyen tulajdonságok érvényesek. Képlet 2 pont, ábra 2 pont, tulajdonságok 1-1 pont.
ha − 3 < x < 3 egyébként
