´ LINEARIS ALGEBRA FELADATOK (a rutinfeladatok O-val vannak jel¨olve)
´ trixok Ma 1. feladat.O Sz´am´ıtsa ki az A, AT , B, B T m´atrixokb´ol k´epezhet˝o 16 k´ett´enyez˝os szorzat k¨oz¨ ul azokat, amelyek ´ertelmezettek. 0 5 1 A = −9 , B = 0 2 5 4 0
2. feladat.O Sz´am´ıtsa ki az (A + B)2 , A2 + 2AB + B 2 , A2 − B 2 , (A + B) (A − B) m´atrixokat. ¶ ¶ µ µ 0 1 1 0 . , B= A= 0 0 0 0 ¶ µ 0 1 m´atrix n-edik hatv´any´at. 3. feladat. Sz´am´ıtsa ki a −1 0 µ ¶ 1 1 4. feladat. Sz´am´ıtsa ki az A = m´atrix n-edik hatv´any´at. 0 1 µ ¶ 1 1 5. feladat. Sz´am´ıtsa ki az A = m´atrix n-edik hatv´any´at. 1 0 ¶ µ cos ϕ − sin ϕ m´atrix n-edik hatv´any´at. 6. feladat. Sz´am´ıtsa ki az A = sin ϕ cos ϕ ¶ µ 2 5 2 . Sz´am´ıtsa ki az f (A) = A2 − 9A − E2 m´atrixot. 7. feladat. Legyen f (x) = x − 9x − 1 ´es A = 3 7 (Ezt ´ertj¨ uk az f polinom A helyen felvett helyettes´ıt´esi ´ert´ek´en.) 8. feladat. Mutassa meg, hogy minden 2 × 2-es m´atrix gy¨oke valamely m´asodfok´ u polinomnak. Mely m´atrixok eset´en egy´ertelm˝ u ez a m´asodfok´ u polinom? Mely m´atrixok ´allnak el˝o els˝ofok´ u polinom gy¨okek´ent? 9. feladat. Hat´arozza meg az x2 polinom o¨sszes gy¨ok´et R2×2 -ben. 10. feladat. Hat´arozza meg az x2 − 1 polinom o¨sszes gy¨ok´et R2×2 -ben. 11. feladat. Bizony´ıtsa be, hogy minden A ∈ R2×2 m´atrixra A3 = 0 =⇒ A2 = 0. (Felhaszn´alhat´o a 8. feladat.) 12. feladat. Nemcsak polinomokba, hanem m´as f¨ uggv´enyekbe is lehet m´atrixokat helyettes´ıteni. P´eld´aul az exponenci´alis f¨ uggv´enyre ismert a k¨ovetkez˝o k´eplet: ∞
X xn x2 x3 x4 + + + ··· = . exp (x) = e = 1 + x + 2! 3! 4! n! n=0 x
Itt e ≈ 2. 718 281 a term´eszetes µ logaritmus alapsz´ama, a v´egtelen ¨osszeget pedig egyel˝ore el´eg intuit´ıvan ¶ a b m´atrixot. ´ertelmezni. Sz´am´ıtsa ki az exp 0 a 13. feladat. Mutassa meg, hogy az ex+y = ex · ey azonoss´ag nem ´erv´enyes a m´atrixok k¨or´eben, de ha A, B ∈ R2×2 ´es AB = BA (azaz A ´es B felcser´elhet˝oek ), akkor eA+B = eA · eB . 14. feladat. Mutassa meg, hogy egy n × n-es m´atrix akkor ´es csak akkor cser´elhet˝o fel minden n × n-es m´atrixszal, ha az egys´egm´atrix konstansszorosa. 15. feladat. Az A = (aij )n×n m´atrix nyoma (trace) nem m´as, mint a f˝o´atl´on ´all´o elemek ¨osszege: Tr (A) = a11 + · · · + ann . Igazolja, hogy tetsz˝oleges Q, R, A ∈ Rn×n m´atrixokra RQ = En =⇒ Tr (QAR) = Tr (A) .
¢ ¡ 16. feladat. Igazolja, hogy b´armely A ∈ Rn×n m´atrixra Tr AAT ≥ 0, ´es egyenl˝os´eg csak A = 0 eset´en ´all fenn. 17. feladat. Mutassa meg, hogy AB − BA soha nem lehet az egys´egm´atrix. 18. feladat. Bizony´ıtsa be, hogy az 1 1 1 1 . .. ¡n¢ 0
al´abbi m´atrix n´egyzete az egys´egm´atrix. 0 0 0 ··· 0 −1 0 0 ··· 0 −2 1 0 ··· 0 −3 3 −1 · · · 0 .. .. .. .. ... .¡ ¢ ¡ . ¢ .¡ ¢ . ¡ ¢ n − n3 · · · (−1)n nn − n1 2
19. feladat. Oldja meg az AX = E m´atrixegyenletet, ahol A az al´abbi n × n-es m´atrix. 1 1 1 ··· 1 0 1 1 · · · 1 0 0 1 · · · 1 . . . . .. .. .. . . ... 0 0 0 ··· 1
20. feladat. Tegy¨ uk fel, hogy az A, B ∈ Rn×n m´atrixokra AB = E teljes¨ ul, tov´abb´a A minden eleme pozit´ıv. Bizony´ıtsa be, hogy B elemei k¨oz¨ott legal´abb n, de legfeljebb n2 −n pozit´ıv sz´am van. Alkalmas p´eld´ak megad´as´aval mutassa meg, hogy ezek a becsl´esek minden n-re ´elesek. 21. feladat. Jel¨olje A1 , . . . , A12 egy ikoza´eder cs´ ucsait, ´es legyen A = (aij )12×12 az al´abbi k´eplettel defini´alt m´atrix: ½ 1, ha Ai ´es Aj az ikoza´eder egy ´el´enek k´et v´egpontja; aij = 0, ha Ai ´es Aj nem szomsz´edos (i = j eset´en is!). Ezt a m´atrixot az ikoza´eder (pontosabban az ikoza´eder gr´afja) adjacenciam´atrix´anak nevezz¨ uk. Igazolja, k hogy van olyan k kitev˝o, melyre A egyetlen eleme sem 0. Melyik a legkisebb ilyen k? Mi a helyzet a kock´aval? 22. feladat. Az el˝oz˝o feladathoz hasonl´oan tetsz˝oleges poli´ederhez (vagy ak´ar gr´afhoz) lehet adjacenciam´atrixot rendelni. Bizony´ıtsa be, hogy b´armely ilyen A m´atrixra Tr (A3 ) oszthat´o 3-mal. (L´asd a 15. feladatot.) ˝ determina ´ ns Az n-edrendu 23. feladat.O Sz´am´ıtsa ki az al´abbi determin´ansokat. ¯ ¯ ¯cos ϕ − sin ϕ¯ ¯ ¯ ¯ sin ϕ cos ϕ ¯
24. feladat.O Sz´am´ıtsa ki a k¨ovetkez˝o determin´anst. ¯ ¯1 4 9 ¯ ¯ 4 9 16 ¯ ¯ 9 16 25 ¯ ¯16 25 36
´ 25. feladat. Altal´ anos´ıtsa az el˝oz˝o feladatot.
¯ ¯ ¯1 1 ¯ 1 ¯ ¯ ¯1 −1 1 ¯ ¯ ¯ ¯1 1 −1¯ ¯ 16¯¯ 25¯¯ 36¯¯ 49¯
A 26.–37. feladatokban a megadott A = (aij )n×n m´atrix determin´ans´at kell kisz´am´ıtani. ½ (−1)|i−j| , ha i 6= j; 26. feladat. aij = 2, ha i = j. 27. feladat. aij = s|i−j| , ahol s0 , s1 , . . . , sn−1 egy d differenci´aj´ u sz´amtani sorozat. 28. feladat. aij = s|i−j| , ahol s0 , s1 , . . . , sn−1 egy q kv´ociens˝ u m´ertani sorozat.
29. feladat. 1 b1 b1 A= b1 . .. b1
1 a1 b2 b2 .. . b2
1 a1 a2 b3 .. . b3
1 a1 a2 a3 .. . b4
··· 1 · · · a1 · · · a2 · · · a3 .. ... . · · · an−1
30. feladat. 1 −1 0 · · · 1 1 −1 · · · 0 1 1 ··· A= .. . . ... ... . . 0 0 0 ··· 0 0 0 ···
0 0 0 .. .
0 0 0 0 1 −1 1 1
31. feladat. aij = min (i, j) 32. feladat. aij = i ´es j k¨oz¨os (pozit´ıv) oszt´oinak sz´ama. 33. feladat.
4 −2 4 −8 16 4 −1 1 −1 1 2 2 A= 8 2 2 12 6 12 24 48 4 −3 9 −27 81
34. feladat. aij = sin−j tij−1 , ahol s1 , . . . , sn , t1 , . . . , tn adott val´os sz´amok. 35. feladat. aij =
n 1−sn i tj , 1−si tj
ahol s1 , . . . , sn , t1 , . . . , tn adott val´os sz´amok, amelyekre si tj 6= 1 (1 ≤ i, j ≤ n).
36. feladat. aij = si+j−1 , ahol sk = xk1 + · · · xkn (1 ≤ k ≤ 2n − 1), ´es x1 , . . . , xn adott val´os sz´amok. ½ t, ha i 6= j; 37. feladat. aij = , ahol s1 , . . . , sn adott nemnulla val´os sz´amok, t pedig tetsz˝oleges t + si , ha i = j val´os sz´am. 38. feladat. Bizony´ıtsa be, hogy ha n p´aros sz´am, ´es az A ∈ Rn×n m´atrix f˝o´atl´oj´aban v´egig null´ak ´allnak, a t¨obbi elem pedig ±1 (tetsz˝olegesen), akkor |A| = 6 0. 39. feladat. Legyen f (x) = (r1 − x) · . . . · (rn − x), ´es legyen a ´es b k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o val´os sz´am. Igazolja, hogy ¯ ¯ ¯ r1 a a · · · a ¯ ¯ ¯ ¯ b r2 a · · · a ¯ ¯ ¯ ¯ b b r3 · · · a ¯ = af (b) − bf (a) . ¯ ¯. . . . a−b ¯ .. .. .. . . ... ¯ ¯ ¯ ¯b b b ··· r ¯ n
40. feladat. Bizony´ıtsa be, hogy poli´eder adjacenciam´atrix´anak determin´ansa nem f¨ ugg att´ol, hogy hogyan sz´amozzuk meg a cs´ ucsokat, ´es sz´amolja ki ezt a determin´anst a tetra´eder ´es az okta´eder eset´en. (L´asd a 21. feladatot.) 41. feladat. Igazolja sz´amol´as n´elk¨ ul, hogy a kocka ´es a dodeka´eder adjacenciam´atrix´anak determin´ansa oszthat´o 3-mal, az ikoza´eder´e pedig oszthat´o 5-tel. 42. feladat. Sorolja fel a n´egyzetet ¨onmag´aba viv˝o egybev´ag´os´agi transzform´aci´okat (4 t¨ ukr¨oz´es ´es 4 forgat´as van, az identit´ast is belesz´am´ıtva), ´es mindegyikre vizsg´alja meg, hogy hogyan v´altozik egy n × n-es determin´ans ´ert´eke, ha ezt a transzform´aci´ot alkalmazzuk r´a. 43. feladat. Ha olyan nemnulla determin´ans´ u n × n-es m´atrixot akarunk fel´ırni, amelyben minden ´ mennyi a null´ak sz´am´anak elem nulla vagy egy, akkor legal´abb h´any egyest kell felhaszn´alnunk? Es minimuma?
44. feladat. Bizony´ıtsa be, hogy b´armely A ∈ R2×2 ´es n ∈ N eset´en An = 0 =⇒ A2 = 0. (Fel lehet haszn´alni a 8. feladatot.) 45. feladat. Mutassa meg, hogy a 3 × 3-as determin´ans Sarrus-szab´aly szerinti kifejt´es´eben nem lehet mind a hat tag pozit´ıv. (A jegyzetben a 10. oldal tetej´en tal´alhat´o k´epletet nevezz¨ uk Sarrus-szab´alynak.) 46. feladat. Mekkora lehet maximum egy olyan 3 × 3-as determin´ans ´ert´eke, amelynek minden eleme ±1? Mi a maximum a 4 × 4-es esetben? 47. feladat. Az n × n-es determin´ansra is fel´ırhat´o egy, a Sarrus-szab´alyhoz hasonl´o (de j´oval bonyolultabb) k´eplet. ´Irja fel ezt a k´epletet, vagy legal´abb pr´ob´alja min´el pontosabban le´ırni, hogy hogyan fest ez a k´eplet. 48. feladat. Tekints¨ uk a s´ıkban azt a paralelogramm´at, amelynek egyik cs´ ucsa az orig´ ¯ o, a¯vele szomsz´e¯a b ¯ ¯ determin´ans dos k´et cs´ ucs koordin´at´ai (a, b) ´es (c, d). Igazolja, hogy a paralelogramma ter¨ ulete az ¯¯ c d¯ abszol´ ut ´ert´eke.
49. feladat. Mutassa meg, hogy ha az A ∈ Rn×n m´atrix minden eleme nemnegat´ıv, ´es az elemek ¨osszege ´eppen n, akkor |A| ≤ 1. (Fel lehet haszn´alni a 47. feladatot.) ´ trix Inverzma 50. feladat.O Hat´arozza meg az al´abbi m´atrix inverz´et az adjung´alt aldetermin´ansok seg´ıts´eg´evel. 1 0 1 2 1 0 3 1 4
51. feladat. Egy m´atrix elemi sor´atalak´ıt´asain a k¨ovetkez˝oket ´ertj¨ uk: • egy sor megszorz´asa egy nemnulla skal´arral; • k´et sor felcser´el´ese; • egy sor skal´arszoros´anak hozz´aad´asa egy m´asik sorhoz. Mutassa meg, hogy b´armely elemi sor´atalak´ıt´as el´erhet˝o u ´gy, hogy az ´atalak´ıtand´o m´atrixot megszorozzuk balr´ol egy alkalmas m´atrixszal. Pontosabban: b´armely n pozit´ıv eg´esz sz´amhoz, ´es b´armely elemi sor´atalak´ıt´ashoz l´etezik olyan P ∈ Rn×n m´atrix, hogy b´armely A ∈ Rn×n m´atrixra P A ´eppen az a m´atrix, amit A-b´ol az adott elemi sor´atalak´ıt´assal kapn´ank. 52. feladat. Tegy¨ uk fel, hogy az A ∈ Rn×n m´atrixb´ol siker¨ ult elemi sor´atalak´ıt´asokkal egys´egm´atrixot csin´alni. Bizony´ıtsa be, hogy ha ugyanezeket az elemi sor´atalak´ıt´asokat (ugyanebben a sorrendben) v´egrehajtjuk az egys´egm´atrixon, akkor ´eppen A inverz´et kapjuk. Ez az adjung´alt aldetermin´ansos k´epletn´el hat´ekonyabb m´odszert ad m´atrix inverz´enek kisz´am´ıt´as´ara: ´Irjuk egym´as mell´e A-t ´es az ugyanolyan m´eret˝ u egys´egm´atrixot, ´ıgy az (A|E) ∈ Rn×2n m´atrixot kapjuk. Hajtsunk ezen v´egre elemi sor´atalak´ıt´asokat u ´gy, hogy a m´atrix bal oldali fel´en az egys´egm´atrix alakuljon ki. Ekkor a jobb oldali f´elen A inverz´et kapjuk, vagyis a v´egeredm´eny az (E|A−1 ) m´atrix. Ezt az elj´ar´ast nevezz¨ uk Gauss– Jordan-elimin´aci´onak. (Node mi t¨ort´enik, ha A-nak nincs is inverze?) 53. feladat.O Gauss–Jordan-elimin´aci´o (elemi m´atrix inverz´et. 1 1 1 1
sor´atalak´ıt´asok) seg´ıts´eg´evel sz´am´ıtsa ki a k¨ovetkez˝o 1 2 2 2
54. feladat. Sz´am´ıtsa ki az al´abbi n × n-es m´atrix 1 1 1 1 2 1 1 1 2 . . . .. .. ..
1 2 3 3
1 2 3 4
inverz´et. ··· 1 · · · 1 · · · 1 . . . .. .
1 1 1 ··· 2
55. feladat. Sz´am´ıtsa ki az al´abbi n × n-es 1 0 0 . ..
m´atrix inverz´et. 2 3 ··· n 1 2 · · · n − 1 0 1 · · · n − 2 .. .. . . .. . . . .
56. feladat. Sz´am´ıtsa ki az al´abbi n × n-es 1 1 1 2 1 2 1 2 . . .. ..
m´atrix inverz´et. 1 1 ··· 1 2 2 ··· 2 1 1 ··· 1 1 2 ··· 2 .. .. . . .. . . . .
0 0 0 ···
1 2 1 2 ···
1
3+(−1)n 2
57. feladat. Oldja meg az AX −1 B − C = AX −1 m´atrixegyenletet, ahol A, B, C az al´abbi m´atrixok. 1 0 0 0 1 −1 1 1 2 A = 0 1 2 , B = 3 −3 2 , C = 2 1 0 0 −1 1 1 −3 0 0 2 1
58. feladat. Bizony´ıtsa be, hogy tetsz˝oleges A, B ∈ Rn×n eset´en AB − BA = A =⇒ |A| = 0.
59. feladat. Bizony´ıtsa be, hogy tetsz˝oleges A, B ∈ Rn×n eset´en AB + A + B = 0 =⇒ AB = BA. 60. feladat. Bizony´ıtsa be, hogy tetsz˝oleges A, B ∈ Rn×n eset´en ha A ´es B k¨oz¨ ul legal´abb az egyiknek van inverze, akkor AB ´es BA hasonl´oak. Mutasson p´eld´at arra, hogy AB ´es BA nem mindig hasonl´oak. 61. feladat. Gondoltam k´et m´atrixot: az A m´atrix 4×2-es, a B m´atrix 2×4-es. Mi lehet a BA szorzat, ha 1 0 −1 0 0 1 0 −1 ? AB = −1 0 1 0 0 −1 0 1 ´ ris egyenletrendszerek Linea 62. feladat.O Oldja meg a k¨ovetkez˝o egyenletrendszert. 2x1 + x2 + x3 x1 + 3x2 + x3 x1 + x2 + 5x3 2x1 + 3x2 − 3x3
=2 =5 = −7 = 14
63. feladat.O Oldja meg a k¨ovetkez˝o egyenletrendszert a = 23, illetve a = 24 eset´en. x1 + x2 + x3 + x4 = 7 3x1 + 2x2 + x3 + x4 = −2 x2 + 2x3 + 2x4 = a 64. feladat. Oldja meg a k¨ovetkez˝o egyenletrendszert, ahol a, b, c val´os param´eterek. x1 − 2x2 + x3 + x4 = a x1 − 2x2 + x3 − x4 = b x1 − 2x2 + x3 + 5x4 = c 65. feladat. Oldja meg a k¨ovetkez˝o egyenletrendszert, ahol a val´os param´eter. x 1 + x 2 − x3 = 1 2x1 + 3x2 + ax3 = 3 x1 + ax2 + 3x3 = 2
66. feladat. Vizsg´alja meg, hogy az a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 , c val´os parem´eterekt˝ol f¨ ugg˝oen hogyan alakul az al´abbi (kib˝ov´ıtett m´atrix´aval megadott) line´aris egyenletrendszer megold´asainak sz´ama. 0 −a3 a2 b 1 a3 0 −a1 b2 −a2 a1 0 b3 a1 a2 a3 c
utt67. feladat. Tekints¨ unk egy tetsz˝oleges Ax = b line´aris egyenletrendszert, ahol az A ∈ Rm×n egy¨ m hat´om´atrixot r¨ogz´ıtettnek tekintj¨ uk, a b ∈ R oszlopvektort viszont v´altoztat(hat)juk. Tetsz˝oleges b-re M (b)-vel jel¨olve a megold´asok sz´am´at egy M : Rm → N ∪ {0, ∞} lek´epez´est kapunk. Mi lehet ennek a lek´epez´esnek az ´ert´ekk´eszlete?
68. feladat. A line´aris egyenletrendszereket h´arom csoportba sorolhatjuk aszerint, hogy az egyenletek sz´ama ´es az ismeretlenek sz´ama milyen nagys´agrendi viszonyban van (<,=,>). Vizsg´alja meg mind a h´arom esetben, hogy mekkora lehet a megold´ashalmaz sz´amoss´aga. 69. feladat. Bizony´ıtsa be, hogy az (a1 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a3 , b3 ) ∈ R2 pontok akkor ´es csak akkor esnek egy egyenesre, ha ¯ ¯ ¯ 1 a1 b 1 ¯ ¯ ¯ ¯1 a2 b2 ¯ = 0. ¯ ¯ ¯ 1 a3 b 3 ¯
70. feladat. Bizony´ıtsa be, hogy az (a1 , b1 , c1 ) , (a2 , b2 , c2 ) , (a3 , b3 , c3 ) , (a4 , b4 , c4 ) ∈ R3 pontok akkor ´es csak akkor esnek egy k¨orre (amely elfajul´o esetben lehet egyenes is), ha ¯ ¯ ¯ 1 a1 b 1 a2 + b 2 ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯1 a2 b2 a22 + b22 ¯ ¯ ¯ ¯1 a3 b3 a23 + b23 ¯ = 0. ¯ ¯ ¯1 a4 b4 a24 + b24 ¯
71. feladat. Adott 13 s´ uly. B´arhogyan is vesz¨ unk el egyet, a marad´ek 12 s´ ulyt fel lehet u ´gy pakolni a (k´etkar´ u) m´erlegre, hogy az ki legyen egyens´ ulyozva. Mutassa meg, hogy ez csak u ´gy lehets´eges, ha a s´ ulyok mind egyform´ak. (Fel lehet haszn´alni a 38. feladatot.) 72. feladat. Egyszer volt, hol nem volt, volt egyszer h´et kicsi kecske. A mam´ajuk hozott nekik 2, 1 liter tejecsk´et, ´es sz´etosztotta a h´et kicsi b¨ogr´ecsk´ebe, de nem siker¨ ult igazs´agosan elosztania. Az els˝o ´ annyira szeretem a testv´erk´eimet, hogy ink´abb lemondok a tejecsk´emr˝ol a kicsi kecske ´ıgy sz´olt: – En javukra. – Azzal egyenl˝oen sz´et is osztotta a tejecsk´ej´et a hat testv´erk´eje k¨oz¨ott. A m´asodik kicsi kecske is nagyon j´osz´ıv˝ u volt, ˝o is sz´etosztotta a b¨ogr´ecsk´ej´eben l´ev˝o tejcsk´et hat testv´erk´eje k¨oz¨ott. ´Igy tett ´ – l´assatok csud´at! – a v´eg´en minden kicsi b¨ogr´ecsk´eben ugyanannyi sorban a t¨obbi kicsi kecske is. Es tejecske volt, mint a legelej´en. Azaz mennyi? 73. feladat. Adott 11 pozit´ıv eg´esz, amelyek egyike sem oszthat´o 30-n´al nagyobb pr´ımsz´ammal. Bizony´ıtsa be, hogy kiv´alaszthat´o k¨oz¨ ul¨ uk n´eh´any (ak´ar csak egy, ak´ar az ¨osszes), amelyek szorzata n´egyzetsz´am. ´r, alte ´r, genera ´ la ´s Vektorte 74. feladat. Igazolja, hogy a pozit´ıv val´os sz´amok halmaza vektorteret alkot a val´os sz´amok teste felett, ha az ¨osszead´ast” ´es a skal´arral val´o szorz´ast” a k¨ovetkez˝ok´eppen defini´aljuk: ” ” u ⊕ v = uv, λ ¯ v = v λ . 75. feladat. Igazolja, hogy b´armely halmaz hatv´anyhalmaza vektorteret alkot Z2 felett, ha ¨osszea” d´asnak” a szimmetrikus differencia k´epz´es´et tekintj¨ uk. (A skal´arral val´o szorz´ast mi´ert nem kell k¨ ul¨on defini´alni?) ´ 76. feladat.O Allap´ ıtsa meg, hogy az U1 , U2 , U3 , U4 .U5 , U6 ben. U1 = {(x, y) : x = 0 ´es y = 0} U4 U2 = {(x, y) : x = 0 vagy y = 0} U5 U3 = {(x, y) : x, y ≥ 0} U6
halmazok alteret alkotnak-e az R2 vektort´er= {(x, y) : x + y = 0} = {(x, y) : x + y = 1} = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}
´ ıtsa meg, hogy az U1 , U2 , U3 , U4 halmazok alteret alkotnak-e az R100 vektort´erben. 77. feladat.O Allap´ U1 = {(x1 , . . . , x100 ) : x1 = x3 = · · · = x99 = 0} U2 = {(x1 , . . . , x100 ) : x1 = x3 = · · · = x99 } U3 = {(x1 , . . . , x100 ) : x1 + x2 + · · · + x50 = x51 + x52 + · · · + x100 } U4 = {(x1 , . . . , x100 ) : x1 · x2 · . . . · x50 = x51 · x52 · . . . · x100 } 78. feladat. ´Irja le a s´ık, illetve a t´er (azaz R2 , illetve R3 ) altereit. 79. feladat. ´Irja le (azaz elemeik felsorol´as´aval adja meg) a Z22 , illetve a Z32 vektort´er altereit. 80. feladat. Alteret alkotnak-e a val´os sz´amsorozatok (RN ) vektorter´eben az al´abbi halmazok? U1 : U2 : U3 : U4 : U5 : U6 :
korl´atos sorozatok halmaza monoton sorozatok halmaza sz´amtani sorozatok halmaza m´ertani sorozatok halmaza azon sorozatok halmaza, amelyek csak v´eges sok nemnulla elemet tartalmaznak azon sorozatok halmaza, amelyek v´egtelen sok null´at tartalmaznak
81. feladat. Alteret alkotnak-e az Rn×n vektort´erben az al´abbi halmazok? U1 = {A : |A| = 0} U2 = {A 6 0}ª © : |A| = U3 = A : AT = A
U4 = {A : AB = BA}, ahol B egy adott m´atrix U5 = {A : AB = A}, ahol B egy adott m´atrix U6 = {A : AB = B}, ahol B egy adott m´atrix
82. feladat. Mutassa meg, hogy az {α cos (x − β) : α, β ∈ R} halmaz alteret alkot a val´os f¨ uggv´enyek R R vektorter´eben. 83. feladat. Igazolja, hogy egy vektort´er soha nem ´allhat el˝o k´et val´odi alter´enek egyes´ıt´esek´ent. 84. feladat. Igazolja, hogy n ≥ 2 eset´en a Zn2 vektort´er el˝o´all h´arom val´odi alter´enek egyes´ıt´esek´ent. 85. feladat. Igazolja, hogy n ≥ 2 eset´en az Rn vektort´er nem ´all el˝o v´eges sok val´odi alter´enek egyes´ıt´esek´ent. 86. feladat.O Hat´arozza meg az R3 vektort´er (1, 1, 1) ´es (1, −1, 5) vektorok ´altal kifesz´ıtett alter´et, vagyis adja meg, hogy milyen ¨osszef¨ ugg´esnek kell teljes¨ ulnie az a, b, c sz´amokra, hogy az (a, b, c) vektor benne legyen ebben az alt´erben. 87. feladat. Tekints¨ uk azokat a val´os f¨ uggv´enyeket, amelyeknek van z´erushely¨ uk. Mi az ezen f¨ uggv´eR nyek ´altal gener´alt alt´er R -ben? Mi a helyzet, ha a folytonos f¨ uggv´enyek vektorter´ere szor´ıtkozunk? 88. feladat. Tekints¨ uk a val´os sz´amok halmaz´at vektort´ernek Q felett, a szok´asos m˝ uveletekkel (mit is jelent ez?). Mi lesz a {log p : p pr´ımsz´am} halmaz ´altal gener´alt alt´er ebben a vektort´erben? 89. feladat. Legyen u, v, w h´arom vektor egy tetsz˝oleges vektort´erben. Mit lehet mondani az u vektorr´ol, ha tudjuk, hogy w ∈ / [u, v], v ∈ / [u, w], de u ∈ [v, w]? 90. feladat. A V vektort´er S r´eszhalmaz´at line´aris sokas´agnak nevezz¨ uk, ha van olyan U alt´er ´es v0 vektor V -ben, hogy S = U + v0 = {u + v0 : u ∈ U }. Ez szeml´eletesen azt jelenti, hogy az U alteret a v0 vektorral eltoljuk. Mutassa meg, hogy b´armely S ⊆ V r´eszhalmazra ekvivalensek az al´abbiak: (1) S line´aris sokas´ag; (2) ∀k ∈ N ∀s1 , . . . , sk ∈ S ∀λ1 , . . . , λk ∈ R : λ1 + · · · + λk = 1 =⇒ λ1 s1 + · · · + λk sk ∈ S; (3) ∀s1 , s2 ∈ S ∀λ ∈ R : λs1 + (1 − λ) s2 ∈ S. 91. feladat. Igazolja, hogy line´aris sokas´agok metszete is line´aris sokas´ag (amennyiben a metszet nem u ures r´eszhalmazhoz l´etezik egy legsz˝ ukebb line´aris sokas´ag, ami S-et ¨res). ´Igy minden S ⊆ V nem¨ tartalmazza. Ezt nevezz¨ uk az S ´altal gener´alt line´aris sokas´agnak. Bizony´ıtsa be, hogy az S ´altal gener´alt line´aris sokas´ag elemei pontosan a λ1 s1 + · · · + λk sk alak´ u vektorok, ahol s1 , . . . , sk ∈ S, λ1 , . . . , λk ∈ R, λ1 + · · · + λk = 1.
92. feladat. Jel¨olje S a p´aros, T a p´aratlan f¨ uggv´enyek halmaz´at. Igazolja, hogy S ´es T is alt´er a val´os f¨ uggv´enyek vektorter´eben, ´es hat´arozza meg az S + T ´es az S ∩ T altereket. 93. feladat. Bizony´ıtsa be, hogy tetsz˝oleges vektort´er tetsz˝oleges U, V, W altereire U ⊆ W =⇒ (U + V ) ∩ W = (U ∩ W ) + (V ∩ W ) . 94. feladat. Melyek azok a vektorterek, amelyekben b´armely U, V, W alt´erre (U + V ) ∩ W = (U ∩ W ) + (V ∩ W )?
´ risan f¨ ´s f¨ ˝ vektorrendszerek Linea uggetlen e uggo ´ a v1 , v2 , v4 vektorrendszer? 95. feladat.O Line´arisan f¨ uggetlen-e a v1 , v2 , v3 vektorrendszer? Es v1 = (1, −3, 2) , v2 = (2, −2, 4) , v3 = (5, −3, 10) , v4 = (−4, 0, −6) 96. feladat. Line´arisan f¨ uggetlen-e az 1, sin x, cos x vektorrendszer a val´os f¨ uggv´enyek vektorter´eben? 97. feladat. Line´arisan f¨ uggetlen-e a 2x , 4x , 8x , . . . vektorrendszer a val´os f¨ uggv´enyek vektorter´eben? 98. feladat. Line´arisan f¨ uggetlen-e a {log p : p pr´ımsz´am} halmaz a val´os sz´amok Q feletti vektorter´eben? (L´asd a 88. feladatot.) 99. feladat. Az Rn vektorteret tekinthetj¨ uk Q feletti vektort´ernek is (ugye?). Milyen logikai kapcsolat van egy tetsz˝oleges vektorrendszer R feletti, illetve Q feletti f¨ uggetlens´ege k¨oz¨ott? Mi a helyzet, ha feltessz¨ uk, hogy a vektorrendszer elemei mind Qn -b˝ol ker¨ ulnek ki? 100. feladat. L´etezik-e olyan v´egtelen vektorrendszer az Rn vektort´erben, amelynek minden n elem˝ u r´eszrendszere line´arisan f¨ uggetlen? 101. feladat. Legyen v1 , v2 , . . . , vk egy line´arisan f¨ uggetlen vektorrendszer a V val´os vektort´erben, ´es legyenek µij (1 ≤ i, j ≤ k) tetsz˝oleges val´os sz´amok. Defini´aljuk a wi vektorokat a k¨ovetkez˝ok´eppen: wi = µ1i v1 + µ2i v2 + · · · + µki vk (1 ≤ i ≤ k) . Bizony´ıtsa be, hogy a w1 , w2 , . . . , wk vektorrendszer akkor ´es csak akkor line´arisan f¨ uggetlen, ha a (µij ) ∈ Rk×k m´atrix determin´ansa nem nulla. Mit lehet mondani a w1 , w2 , . . . , wk vektorrendszer f¨ uggetlens´eg´er˝ol, ha azt tessz¨ uk fel, hogy v1 , v2 , . . . , vk line´arisan f¨ ugg˝o? 102. feladat. Tekints¨ uk a v1 , . . . , vk vektorokat a V val´os vektort´erben. Minden w ∈ V vektorra sz´amoljuk meg, hogy w h´anyf´elek´eppen ´all el˝o a vi vektorok line´aris kombin´aci´ojak´ent. Jel¨olj¨ uk f (w)vel az ´ıgy kapott sz´amoss´agot (amely lehet nulla vagy v´egtelen is): ¯© ª¯ f (w) = ¯ (λ1 , . . . , λk ) ∈ Rk : λ1 v1 + · · · + λk vk = w ¯ .
Ily m´odon egy f : Rk → N ∪ {0, ∞} lek´epez´est kapunk. Mi lehet ennek a lek´epez´esnek az ´ert´ekk´eszlete? Mi k¨oze van ennek ahhoz, hogy v1 , . . . , vk f¨ uggetlen-e vagy sem, illetve, hogy gener´atorrendszer-e vagy ´ sem? Es mi k¨oze ennek az eg´esznek a line´aris egyenletrendszerekhez?
´ges dimenzio ´ s vektorterek Ve 103. feladat.O B´azisa-e az R3 vektort´ernek az v1 , v2 , v3 vektorrendszer? Ha igen, akkor adja meg a (0, 5, −4) vektor koordin´at´ait ebben a b´azisban. Oldja meg a feladatot a v1 , v2 , v4 vektorrendszerre is. v1 = (1, 2, 0) , v2 = (0, 1, −1) , v3 = (2, 0, 1) , v4 = (2, 7, −3) 104. feladat.O Adjon meg egy b´azist az U = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 = x2 + 2x3 , x2 = x1 − x4 } vektort´erben. H´any dimenzi´os ez a t´er? 105. feladat. Adjon meg b´azist a 77. feladatban szerepl˝o alterekben ´es ´allap´ıtsa meg a dimenzi´ojukat.
106. feladat. Adjon meg b´azist a 81. feladatban ha B az al´abbi m´atrix. 0 0 1 0 0 1 B= ... ... 0 0
szerepl˝o alterekben ´es ´allap´ıtsa meg a dimenzi´ojukat, 0 0 0 .. .
··· 0 1 · · · 0 0 · · · 0 0 . . . .. .. . . 0 · · · 0 0 0 0 0 ··· 1 0
107. feladat. H´any dimenzi´os a sz´amtani sorozatok vektortere? Adjon meg benne egy b´azist. 108. feladat. Ellen˝orizze, hogy az an = an−1 + an−2 (n = 3, 4, . . .) rekurzi´ot kiel´eg´ıt˝o val´os sz´amsorozatok vektorteret alkotnak. Hat´arozza meg ezen t´er dimenzi´oj´at, ´es adjon meg benne m´ertani sorozatokb´ol ´all´o b´azist. Fejezze ki a Fibonacci-sorozatot (amelyre a1 = a2 = 1) a b´azisvektorok line´aris kombin´aci´ojak´ent. ´Irjon fel ennek alapj´an explicit k´epletet az n-edik Fibonacci-sz´amra. 109. feladat. Legyen V azon val´os sz´amsorozatok vektortere, amelyek egy legfeljebb m´asodfok´ u poli2 nommal megadhat´ok (vagyis az an = pn + qn + r (p, q, r ∈ R) alak´ u sorozatok halmaza). Ellen˝orizze, hogy V val´oban vektort´er, hat´arozza meg a dimenzi´oj´at, majd bizony´ıtsa be, hogy V pontosan az an = 3an−1 − 3an−2 + an−3 (n = 4, 5, . . .) rekurzi´ot kiel´eg´ıt˝o sorozatokat tartalmazza. 110. feladat. Mutassa meg, hogy az al´abbi polinomok b´azist alkotnak a legfeljebb ¨ot¨odfok´ u polinomok vektorter´eben. f1 = (x − 2) (x − 3) (x − 4) (x − 5) (x − 6)
f2 = (x − 1) (x − 3) (x − 4) (x − 5) (x − 6)
f3 = (x − 1) (x − 2) (x − 4) (x − 5) (x − 6)
f4 = (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 5) (x − 6)
f5 = (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 4) (x − 6)
f6 = (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 4) (x − 5)
111. feladat. Legyen u1 , . . . , un b´azis a V vektort´erben, ´es legyen v = λ1 u1 + · · · + λn un . Bizony´ıtsa be, hogy az u1 + v, . . . , un + v vektorrendszer akkor ´es csak akkor b´azisa V -nek, ha λ1 + · · · + λn 6= −1. 112. feladat. Mekkora lehet egy t´ızdimenzi´os vektort´erben egy nyolcdimenzi´os ´es egy kilencdimenzi´os alt´er metszet´enek dimenzi´oja? Adjon p´eld´at az ¨osszes lehets´eges ´ert´ekre (a t¨obbir˝ol meg bizony´ıtsa be, hogy nem lehets´eges). 113. feladat. Tekints¨ unk egy v1 , . . . , vk vektorrendszert egy n-dimenzi´os V vektort´erben. A vektorrendszert h´arom aspektusb´ol vizsg´aljuk: k ´es n viszonya szerint (k < n, k = n, vagy k > n); line´aris f¨ uggetlens´eg szempontj´ab´ol (f¨ uggetlen-e vagy nem); ´es gener´al´as szempontj´ab´ol (gener´atorrendszer-e vagy sem). Ez elm´eletileg 12 lehet˝os´eg, de ezek nem mind fordulhatnak el˝o. Vizsg´alja meg, hogy mely esetek lehets´egesek: a lehets´egesekre mutasson p´eld´at, a lehetetlenekr˝ol pedig igazolja, hogy val´oban nem fordulhatnak el˝o. 114. feladat. H´any nemnulla determin´ans´ u n × n-es m´atrix van Z2 felett? 115. feladat. Legyen B ∈ Rn×n egy diagon´alis m´atrix, amelynek f˝o´atl´oj´an a c1 , . . . , ck sz´amok l´epnek fel, rendre m1 , . . . , mk multiplicit´assal. (Teh´at m1 +· · ·+mk = n.) H´any dimenzi´os a B-vel felcser´elhet˝o m´atrixok vektortere? 116. feladat. Mekkora lehet maximum az U ≤ Rn×n alt´er dimenzi´oja, ha minden A, B ∈ U eset´en Tr (AB) = 0? (Fel lehet haszn´alni a 16. feladatot.) 117. feladat. L´etezik-e az Rn×n vektort´erben csupa invert´alhat´o m´atrixb´ol ´all´o b´azis? 118. feladat. Line´aris sokas´ag (l´asd a 90.feladatot) dimenzi´oj´an annak az alt´ernek a dimenzi´oj´at ´ertj¨ uk, aminek az eltoltjak´ent a sokas´ag el˝o´all. A nulladimenzi´os line´aris sokas´agot pontnak, az egydimenzi´osat egyenesnek, a k´etdimenzi´osat s´ıknak nevezz¨ uk. Bizony´ıtsa be, hogy b´armely vektort´erben b´armely k´et egyeneshez lehet tal´alni olyan legfeljebb h´aromdimenzi´os sokas´agot, amely mindk´et egyenest tartalmazza. Hasonl´ok´eppen igazolja, hogy k´et s´ık mindig belef´er” egy legfeljebb ¨otdimenzi´os sokas´agba. ” 119. feladat. K´et egyenes k¨olcs¨on¨os helyzete n´egyf´ele lehet: vagy egybeesnek, vagy p´arhuzamosak (de nem esnek egybe), vagy metszik egym´ast, vagy kit´er˝oek. Ezeket az elhelyezked´eseket k´et sz´ammal tudjuk jellemezni: a k´et egyenes metszet´enek dimenzi´oj´aval (jel¨olj¨ uk ezt m-mel), ´es a k´et egyenest tartalmaz´o legkisebb sokas´ag dimenzi´oj´aval (jel¨olj¨ uk ezt t-vel; az el˝oz˝o feladat szerint t ≤ 3). Az egys´egess´eg
kedv´e´ert rendelj¨ unk az u ¨reshalmazhoz is dimenzi´ot, mondjuk −1-et. A fenti n´egyf´ele elhelyezked´esn´el m ´es t ´ert´eke rendre a k¨ovetkez˝o: m = 1, t = 1; m = −1, t = 2; m = 0, t = 2; m = −1, t = 3. Jellemezze hasonl´o m´odon k´et s´ık lehets´eges k¨olcs¨on¨os helyzeteit. H´any lehet˝os´eg van? Mindegyikre mutasson p´eld´at a lehet˝o legkisebb dimenzi´oj´ u t´erben. (Az el˝oz˝o feladat szerint o¨t dimenzi´oban m´ar minden lehets´eges, de egyetlen eset kiv´etel´evel n´egy dimenzi´o is el´eg.) 120. feladat.O H´any dimenzi´os az R5 vektort´er U = [v1 , v2 , v3 , v4 ] altere? Sz˝ uk´ıtse a v1 , v2 , v3 , v4 vektorrendszert U b´azis´av´a. v1 = (2, 0, 1, 3, −1) , v2 = (1, 1, 0, −1, 1) , v3 = (0, −2, 1, 5, −3) , v4 = (1, −3, 2, 8, −5) 121. feladat.O B˝ov´ıtse az u, v vektorrendszert R4 b´azis´av´a. Lehet-e a v, w vektorrendszert b´aziss´a b˝ov´ıteni? u = (1, −1, 1, −1) , v = (1, 1, −1, 1) , w = (−2, −2, 2, −2) 122. feladat. Egy alteret k´etf´elek´eppen is le lehet ´ırni: megadhatjuk egy b´azis´at, vagy megmondhatjuk, hogy milyen tulajdons´ag´ u vektorok tartoznak az alt´erbe. A k´etf´ele megad´asi m´od k¨oz¨otti ´atv´alt´ast mutatja a 86. ´es a 104. feladat. Hogyan sz´am´ıtan´a ki k´et alt´er ¨osszeg´et illetve metszet´et, ha azok az egyik, vagy a m´asik m´odon vannak megadva? P´eldak´ent hat´arozza meg R4 al´abbi k´et alter´enek o¨sszeg´et ´es metszet´et: S = {(a, b, c, d) : b + c + d = 0} ,
T = {(a, b, c, d) : a + b = 0, c = 2d} .
´ trixok rangja Ma 123. feladat.O Hat´arozza meg az al´abbi A m´atrix rangj´at. 0 −1 3 0 2 A = 2 −4 1 5 3 −4 5 7 −10 0
124. feladat. Mennyi az (aij ) ∈ Rn×n m´atrix rangja, ahol aij = i + j?
125. feladat. Az 1, 2, . . . , n2 sz´amokat valamilyen sorrendben be´ırjuk egy n × n-es m´atrixba. Mi az ilyen m´odon megkaphat´o m´atrixok rangj´anak legkisebb, illetve legnagyobb ´ert´eke? 126. feladat. Bizony´ıtsa be, hogy tetsz˝oleges A, B ∈ Rn×n m´atrixokra r (AB − BA) = 1 =⇒ (AB − BA)2 = 0. 127. feladat. Egy adott (nem felt´etlen¨ ul n´egyzetes) A m´atrixot szeretn´enk k´et min´el kisebb m´atrix szorzat´ara felbontani. Az A = BC felbont´as m´eret´en B ´es C m´eretei (soraik, ill. oszlopaik sz´ama) k¨oz¨ ul a legkisebbet ´ertj¨ uk. Bizony´ıtsa be, hogy a legkisebb m´eret˝ u felbont´as m´erete ´eppen A rangja. 128. feladat. Legyenek C1 , C2 , . . . , Cm k¨ ul¨onb¨oz˝o nem¨ ures r´eszhalmazai egy n-elem˝ u halmaznak, ´es tegy¨ uk fel, hogy b´armely kett˝onek ugyanakkora a metszete. Bizony´ıtsa be, hogy m ≤ n. (Fel lehet haszn´alni a 37. feladatot.) ´ ris leke ´peze ´sek e ´s linea ´ ris transzforma ´ cio ´k Linea 129. feladat.O Melyek line´arisak az al´abbi lek´epez´esek k¨oz¨ ul? Amelyik line´aris, annak hat´arozza meg a k´epter´et ´es a magter´et, illetve ezek dimenzi´oj´at. ϕ : R2 → R2 , (x, y) 7→ (x + y, xy) χ : R3 → R2 , (x, y, z) 7→ (x − y, x + y) ψ : R2 → R3 , (x, y) 7→ (x + y, y + 1, x) ω : R3 → R4 , (x, y, z) 7→ (x − y, y − z, x − z, z − x) 130. feladat. Legyen V ´es W k´et vektort´er, ´es legyen X ⊆ V . Bizony´ıtsa be, hogy ha X b´azis, akkor b´armely ϕ0 : X → W lek´epez´es egy´ertelm˝ uen kiterjeszthet˝o egy ϕ : V → W line´aris lek´epez´ess´e. (Teh´at minden X-beli vektorhoz ϕ-nek ugyanazt kell rendelnie, mint ϕ0 -nak.) Igaz-e az ´all´ıt´as megford´ıt´asa? 131. feladat. M´odos´ıtsuk a 18. feladatbeli m´atrixot: hagyjuk el mindenhol a negat´ıv el˝ojeleket. Mi lesz az ´ıgy kapott m´atrix inverze?
132. feladat. Mekkora lehet egy ϕ : R9 → R5 line´aris lek´epez´es magj´anak dimenzi´oja? Adjon egy-egy p´eld´at az ¨osszes lehets´eges ´ert´ekre. 133. feladat. A s´ıkbeli forgat´asok, t¨ ukr¨oz´esek, eltol´asok ´es mer˝oleges vet´ıt´esek k¨oz¨ ul melyek line´aris transzform´aci´ok? Amelyik line´aris, annak adja meg a magter´et ´es a k´epter´et. 134. feladat. Tekints¨ uk R2 -ben az U = {(x, x) : x ∈ R} ´es a W = {(x, −x) : x ∈ R} altereket. Adjon meg olyan ϕ line´aris transzform´aci´ot, amelyre Ker ϕ = U ´es Im ϕ = W . Adjon meg olyan ψ line´aris transzform´aci´ot is, amelyre Ker ψ = W ´es Im ψ = U . 135. feladat. Adottak a V vektort´erben az U ´es W alterek. Mi a sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele annak, hogy l´etezz´ek olyan ϕ line´aris transzform´aci´o, amelyre Ker ϕ = U ´es Im ϕ = W ? 136. feladat. Igazolja, hogy minden ϕ : Rn×n → R line´aris lek´epez´eshez l´etezik egy egy´ertelm˝ uen n×n n×n meghat´arozott F ∈ R m´atrix, hogy minden A ∈ R m´atrixra Aϕ = Tr (AF ). (L´asd a 15. feladatot.) 137. feladat. Legyenek α : U → W ´es β : U → V line´aris lek´epez´esek. Mutassa meg, hogy akkor ´es csak akkor l´etezik olyan γ : V → W line´aris lek´epez´es, amelyre α = βγ, ha Ker β ⊆ Ker α. 138. feladat. Legyenek α : U → W ´es β : V → W line´aris lek´epez´esek.Az el˝oz˝o feladat szellem´eben adjon sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etelt arra, hogy l´etezz´ek olyan γ : U → V line´aris lek´epez´es, amelyre α = γβ. 139. feladat. Bizony´ıtsa be, hogy b´armely α line´aris transzform´aci´ohoz lehet tal´alni olyan β line´aris transzform´aci´ot, amelyre αβα = α ´es βαβ = β teljes¨ ul. 140. feladat. Legyenek α : U → V ´es β : V → W line´aris lek´epez´esek. Igazolja, hogy r (αβ) = r (α) − dim (Ker β ∩ Im α) . (Line´aris lek´epez´es rangj´an a k´eptere dimenzi´osz´am´at ´ertj¨ uk.) 141. feladat. Legyenek α : U → V, β : V → W ´es γ : W → Z line´aris lek´epez´esek. Bizony´ıtsa be, hogy r (αβ) + r (βγ) ≤ r (αβγ) + r (β) . ˝ veletek linea ´ ris leke ´peze ´sekkel Mu 142. feladat. Legyen ϕ egy k´etdimenzi´os vektort´er line´aris transzform´aci´oja. Bizony´ıtsa be, hogy minden n term´eszetes sz´amra ϕn = 0 =⇒ ϕ2 = 0. Mi k¨oze ennek a 44. feladathoz? Hogyan lehetne ´altal´anos´ıtani tetsz˝oleges dimenzi´ora? 143. feladat. Bizony´ıtsa be, hogy tetsz˝oleges π : V → V line´aris transzform´aci´ora ekvivalensek az al´abbiak (ι az identikus transzform´aci´ot jel¨oli): (1) π 2 = π; (2) (ι − π)2 = ι − π; (3) π (ι − π) = 0; (4) Im π = Ker (ι − π); (5) l´eteznek olyan K ´es I alterek, amelyekre K ∩ I = {0} , K + I = V , ´es tetsz˝oleges u ∈ K, v ∈ I eset´en (u + v) π = v. Ha a fentiek teljes¨ ulnek, akkor π-t projekci´onak (vet´ıt´esnek) nevezz¨ uk. Vajon mi´ert? 144. feladat. Igazolja, hogy ha k´et projekci´o egym´assal felcser´elhet˝o, akkor szorzatuk is projekci´o. Igaz-e az ´all´ıt´as megford´ıt´asa? 145. feladat. Igazolja, hogy k´et projekci´o o¨sszege akkor ´es csak akkor projekci´o, ha szorzatuk mindk´et sorrendben 0. 146. feladat. Bizony´ıtsa be, hogy tetsz˝oleges ϕ, ϕ1 , . . . , ϕk : Rn → R line´aris lek´epez´esekre ϕ ∈ [ϕ1 , . . . , ϕk ] ⇐⇒ Ker ϕ1 ∩ · · · ∩ Ker ϕk ⊆ Ker ϕ. 147. feladat. Jel¨olje Rn [x] a legfeljebb n-edfok´ u val´os polinomok vektorter´et. Mutassa meg, hogy az al´abbi ϕ lek´epez´es line´aris, ´es hat´arozza meg a k´epter´et ´es a magter´et. Igazolja, hogy ϕn+1 = 0. ϕ : Rn [x] → Rn [x] , f (x) 7→ f (x + 1) − f (x) .
148. feladat. Tekints¨ uk az Rn [x] vektort´eren a σ : f (x) 7→ f (x + 1) ´es ι : f (x) 7→ f (x) line´aris transzform´aci´okat. Az el˝oz˝o feladatban defini´alt ϕ line´aris transzform´aci´o fel´ırhat´o ϕ = σ − ι alakban. Ennek seg´ıts´eg´evel ´ırja fel ϕk k´eplet´et. (P´eld´aul ϕ2 : f (x) 7→ f (x + 2) − 2f (x + 1) + f (x) .) Ezt a k´epletet ´es az el˝oz˝o feladatot felhaszn´alva ´altal´anos´ıtsa a 109. feladatot. ´ ris leke ´peze ´sek ma ´ trixa Linea 149. feladat.O Hat´arozza meg az al´abbi ϕ line´aris transzform´aci´o m´atrix´at R3 standard E : e1 , e2 , e3 0 0 b´azis´aban, illetve az E 0 : e01 , e02 , e03 b´azisban. (Vagyis az AE,E ´es az AEϕ ,E m´atrixokat kell kisz´am´ıtani.) ϕ Sz´am´ıtsa ki a (2, 2, 0) vektor ϕ melletti k´ep´enek koordin´at´ait mindk´et b´azisban. ϕ : R3 → R3 , (x, y, z) 7→ (2x − y, x + z, 3x − 2y − z) e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) e01 = (2, 0, 0) , e02 = (0, 1, 1) , e03 = (0, 1, −1) 150. feladat. Tekints¨ uk R3 -ban az el˝oz˝o feladatban szerepl˝o E, illetve E 0 b´azisokat, ´es legyen F egy 2 ismeretlen b´azis R -ben. Egy ϕ : R3 → R2 line´aris lek´epez´es m´atrixa az E ´es F b´azisokban a k¨ovetkez˝o: 2 −1 AϕE,F = 4 3 . 0 1 0
Hat´arozza meg az AEϕ ,F m´atrixot.
151. feladat. Adja meg az orig´o k¨or¨ uli α sz¨og˝ u forgat´as m´atrix´at R2 standard b´azis´aban. 152. feladat. V´alasszon R2 -ben tetsz´ese szerint egy b´azist, amelynek egyik eleme sem skal´arszorosa a standard b´azisvektoroknak. ´Irja fel az al´abbi t1 , t2 , t3 , t4 egyenesekre val´o t¨ ukr¨oz´es m´atrix´at ebben a b´azisban, valamint a standard b´azisban (¨osszesen 8 m´atrix). t1 = {(x, 0) : x ∈ R} ,
t2 = {(x, x) : x ∈ R} ,
t3 = {(x, −x) : x ∈ R} ,
t4 = {(x, 2x) : x ∈ R}
153. feladat. Oldja meg az el˝oz˝o feladatot t¨ ukr¨oz´esek helyett mer˝oleges vet´ıt´esekkel. 154. feladat. V´alasszon R3 -ben tetsz´ese szerint egy b´azist, amelynek egyik eleme sem skal´arszorosa a standard b´azisvektoroknak. ´Irja fel az al´abbi S1 , S2 s´ıkokra val´o t¨ ukr¨oz´es m´atrix´at ebben a b´azisban, valamint a standard b´azisban (¨osszesen 4 m´atrix). S1 = {(x, y, 0) : x, y ∈ R} ,
S2 = {(x, y, z) : x + y + z = 0}
155. feladat. Oldja meg az el˝oz˝o feladatot t¨ ukr¨oz´esek helyett mer˝oleges vet´ıt´esekkel. 156. feladat. Legyen V egy t´ızdimenzi´os vektort´er, ´es legyen U1 ≤ U2 ≤ V , ahol U1 h´aromdimenzi´os, U2 pedig hatdimenzi´os alt´er. Ellen˝orizze, hogy vektorteret alkotnak azon line´aris transzform´aci´ok, amelyekre n´ezve U1 ´es U2 is invari´ans. H´any dimenzi´os ez a vektort´er? 157. feladat. Legyenek ϕ ´es ψ line´aris transzform´aci´oi egy v´egesdimenzi´os vektort´ernek, ´es tegy¨ uk fel, hogy ψϕ − ϕψ = λϕ alkalmas λ 6= 0 val´os sz´amra. Igazolja, hogy minden k pozit´ıv eg´eszre ψϕk − ϕk ψ = kλϕk . Bizony´ıtsa be, hogy van olyan k kitev˝o, amelyre ϕk = 0. 158. feladat. Melyik az a legkisebb n, amelyre megadhat´oak olyan A1 , . . . , Ak ∈ Rn×n m´atrixok, amelyekre teljes¨ ulnek az al´abbiak? (1) A2i = 0 (i = 1, . . . , k) (2) Ai Aj = Aj Ai (i, j = 1, . . . , k) (3) A1 · . . . · Ak 6= 0
