LABORATORNÍ MODULY – katedra fyziky FEL ČVUT v Praze
Sluneční plachetnice Elektrostatický most Magnetické bludiště Dopplerův jev Doppler effect Planckova konstanta Pohyb elektronu Drifty částic
Tyto materiály vznikly v rámci projektu OPPA CZ.2.17/3.1.00/33306 Inovace předmětů a studijních materiálů pro e-learningovou výuku v prezenční a kombinované formě studia.
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
ELEKTROMAGNETICKÉ BLUDIŠTĚ – MOTIVACE
Motivace Ke čtení Návod/Start
Magnetické pole je fenomén, který poznáváme od dětství, kdy jsme si na lednici lepili magnetické obrázky, učili se zacházet s kompasem nebo si jen hráli s magnety a byli fascinováni jejich silou. Na základní škole nám ukázali jednoduchý experiment. Nad tyčový magnet dala paní učitelka papír s železnými pilinami a zatřásla s ním. Piliny se uspořádaly do nádherných obrazců. Vynořily se linie, kterým říkáme magnetické siločáry, přesněji magnetické indukční čáry. Každá zdroj magnetického pole má indukční čáry dvojího druhu. Jedny, které se do zdroje vracejí, těm říkáme uzavřené siločáry a druhé, které se do zdroje nikdy nevrátí, těm říkáme otevřené siločáry. Otevřené siločáry se napojují na siločáry z jiných zdrojů. U tyčového magnetu nebo magnetické střelky kompasu jde o siločáry vycházející z konců. Ty se napojují na siločáry magnetického pole Země. Právě proto střelka kompasu „ví“, kde je sever, a míří k němu.
Otázky Další čtení ↑ ↑ ↑ ↑
Samotné magnetické pole vzniká tam, kde se pohybují nabité částice. Jeho vznik popisují Maxwellovy rovnice elektrodynamiky. V permanentních magnetech není zdrojem pole pohyb částic, ale částice samotné. Jejich nenulový spin vytváří elementární magnetické dipóly, z nichž se skládá makroskopické pole. Nabité částice reagují na magnetické pole a působí na ně tzv. Lorentzova síla. Ta míří kolmo na siločáry magnetického pole a kolmo na rychlost pohybu částic. Právě tento fakt je velmi nezvyklý. U gravitačního i elektrického pole jsme si zvykli, že síly působí na spojnici částic. Zde je tomu zcela jinak. Pokud se nabitá částice pohybuje, působí síla, která je kolmá jak na směr jejího pohybu, tak na magnetické siločáry. Výsledkem je zakřivování trajektorie nabité částice, ta krouží po šroubovici podél magnetických siločar. Magnetické pole nemění energii částic, ale směr jejich pohybu. Nabité částice pohybující se po šroubovicích vyzařují elektromagnetický signál. To umožňuje u astronomických objektů, jako je například Slunce, zviditelnit siločáry za pomoci pohybu elektronů. Místo magnetických pilin nám siločáry zviditelní kroužící elektrony.
Magnetické siločáry slunečního pole zobrazené v UV oboru kroužícími elektrony. Sonda TRACE.
Pohyb nabitých částic v magnetickém poli může být velmi komplikovaný. Nejjednodušším pohybem je krouživý pohyb kolem siločar. Částice se ale v přítomnosti dalšího pole mohou vydat kolmo na obě pole, pak říkáme, že částice driftují. V oblasti silnějšího pole může dojít k odrazu částic, tomuto jevu říkáme magnetické zrcadlo. Výukový modul, který jste právě otevřeli, se Vás pokusí formou hry seznámit s pohyby nabitých částic v magnetických polích. ••• Tyto materiály vznikly v rámci projektu OPPA CZ.2.17/3.1.00/33306 Inovace předmětů a studijních materiálů pro e-learningovou výuku v prezenční a kombinované formě studia.
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
ELEKTROMAGNETICKÉ BLUDIŠTĚ – KE ČTENÍ Lorentzova síla
Motivace
Na nabitou částici pohybující se v magnetickém poli působí Loretzova síla, která je pojmenována po holandském fyzikovi Hendriku Antoonu Lorentzovi. Síla je úměrná náboji částice, indukci magnetického pole B, rychlosti pohybu částice v, a je kolmá jak na magnetické pole, tak na rychlost:
Ke čtení Návod/Start Otázky Další čtení
F = Q v×B
(1)
Na nepohybující se částice magnetická síla nepůsobí. Stejně tak nepůsobí, pohybuje-li se částice podél siločar, neboť vektorový součin dvou rovnoběžných vektorů dá nulu. Na částici působí síla pouze tehdy, pohybuje-li se kolmo na magnetické siločáry. Nejpřirozenějším pohybem je kroužení nabitých částic kolem magnetických siločar. Přidá-li se navíc volný pohyb konstantní rychlostí podél siločar, je výsledkem pohyb nabité částice po šroubovici. Takovému základnímu pohybu říkáme gyrační pohyb nebo Larmorův pohyb (podle irského fyzika a matematika Josepha Larmora).
↑ ↑ ↑ ↑
Hendrik Lorentz (1953–1928)
Joseph Larmor (1857–1942)
V homogenním poli se nabitá částice může pohybovat po kružnici (pokud nemá rychlost ve směru siločar). Poloměr a úhlovou frekvenci oběhu můžeme získat z rovnosti odstředivé a Loretzovy síly. Vzhledem ke kolmosti všech vektorů postačí napsat rovnost ve velikostech, tj. mv /R = QvB, kombinací se vztahem v = ωR snadno určíme ω = QB/m,
(2)
R = mv/QB.
(3)
Úhlové frekvenci oběhu se zpravidla říká cyklotronní nebo gyrační frekvence. Cyklotronní proto, že jde o frekvenci pohybu nabité částice v cyklotronu. Poloměr oběhu částice se nazývá Larnmorův poloměr. Roste s rychlostí částice a zmenšuje se se sílícím polem. Orientace šroubovice závisí na znaménku náboje částice (je na něm závislá jak cyklotronní frekvence, tak Larmorův poloměr). Pokud je magnetické pole nehomogenní, mohou být pohyby nabitých částic mnohem složitější, dochází k driftům a k odrazům v místech se silnějším magnetickým polem.
Drifty Typickým pohybem nabitých částic jsou kružnice nebo šroubovice kolem siločar magnetického pole. Tomuto pohybu se říká Larmorova rotace (gyrace, cyklotronní pohyb). Je-li v plazmatu přítomno další pole (například elektrické, gravitační, pole odstředivých sil), které se málo mění v čase a prostoru ve srovnání s periodou a poloměrem Larmorovy rotace, dochází k driftům. Jde o odvalování nabitých částic kolmo na elektrické (nebo jiné) a magnetické pole po křivkách, které nazýváme trochoidy (speciálním příkladem je cykloida). Rychlost odvalování (driftu) je vD = F×B/(QB2).
(4)
Jde o rychlost pohybu gyračního středu. Ze vztahu je jasné, že je tato rychlost kolmá na dodatečné silové pole F a na základní magnetické pole B. Obecně je drift citlivý na znaménko náboje částice a elektrony driftují na jinou stranu než protony. Výjimkou je drift v elektrickém poli, kde je elektrická síla rovna F = QE a ve vztahu (4) se náboj v čitateli zkrátí s nábojem ve jmenovateli. V elektrickém poli driftují elektrony i protony stejným směrem. Velikost této rychlosti je vD = E sin α /B, kde α je úhel mezi elektrickými a magnetickými siločarami. Je známým faktem, že podíl elektrického a magnetického pole je typickou rychlostí v daném systému. V elektromagnetické vlně je například E/B = c. V plazmatu jde o typickou rychlost driftovámí (odvalování) částic. K nejznámějším driftům patří: • E×B drift (napříč elektrickému a magnetickému poli, elektrická síla) • Gravitační drift (napříč gravitačnímu a magnetickému poli, gravitační síla) • Grad B drift (způsobený změnou hustoty silokřivek magnetického pole, sílou grad B) • Drift zakřivení (způsobený zakřivením silokřivek magnetického pole, odstředivá síla) • Polarizační drift (způsobený pomalou změnou elektrického pole s časem, indukovaná síla)
Pohyby nabitých částic nemusí být jen gyrační. Může docházet k driftům, tj. jejich kolmému odvalování v přítomnosti dalšího pole.
Magnetické zrcadlo Pokud se částice pohybuje pomalu proměnným magnetickým polem, bude se měnit sklon gyrační kružnice vzhledem k magnetickým indukčním čarám. Označme úhel mezi rychlostí částice a indukčními čarami α:
Pohyb nabité částice popisuje tzv. zrcadlová rovnice: sin2 α /B = const.
(5)
Sklon pohybu částice k siločarám se tedy dynamicky nastavuje podle síly pole. Rovnici lze také přepsat do tvaru sin2 α /B = sin2 α0 /B0.
(6)
Index 0 označuje hodnoty pole a úhlu v místě nástřelu částice. Do čím silnějšího pole se dostane částice, tím kolměji je postavena její Larmorova šroubovice. Pokud bude rovina gyrace kolmá k poli (α = 90°), částice se odrazí. Z rovnice (6) plyne, že částice nastřelená pod úhlem α0 v místě s polem B0, bude obrácena zpět, vzroste-li velikost pole na kritickou hodnotu Bc = B0/sin2 α0.
(7)
Nedosáhne-li magnetické pole této hodnoty, částice oblastí hustých indukčních čar prolétne. Máme-li naopak zadáno maximální pole Bc, potom ze systému v místě s polem B uniknou všechny částice s úhlem α < α0 (tzv. únikový kužel).
V oblasti hustších siločar (intenzivnějšího magnetického pole) může dojít k odrazu gyrující částice. Některé částice ale touto oblastí proniknou.
Pohyb v magnetickém dipólu V magnetickém dipólu (například v dipólovém poli Země) koná nabitá částice tři periodické pohyby. Prvním je gyrační pohyb kolem siločar. Druhým pohybem je pendlování částic od pólu k pólu. V polárních oblastech je pole silnější a částice se zde odrážejí efektem magnetického zrcadla. Třetí periodický pohyb souvisí s drifty. Nabité částice se pohybují podél siločar Země, které jsou zakřivené. Na gyrační střed tak působí obdoba odstředivé síly, která způsobí drift v azimutálním (rovníkovém) směru. Částice pendlující mezi póly se tak současně pohybuje v azimutálním směru, přeskakuje ze siločáry na siločáru a obíhá dipól ve směru magnetického rovníku.
Pohyb nabitých částic v magnetickém dipólu Země
ELEKTROMAGNETICKÉ BLUDIŠTĚ – NÁVOD/START
Motivace Ke čtení Návod/Start
Magnetické bludiště je tříúrovňová úloha, ve které se formou hry seznámíte s pohyby nabitých částic v magnetických polích. Vaším cílem je projít klikatou cestou, na které můžete k ovlivnění pohybu částice používat elektrické a magnetické pole a současně měnit náboj částice. V první úrovni se pokusíte projít homogenním magnetickým polem. Naučíte se, jak probíhá gyrace nabitých částic v homogenním pole. Ve druhé úrovni se budete potýkat s polem nehomogenním, kde v silnějším poli bude docházet k odrazu nabitých částic (jevu magnetického zrcadla). Pokud chcete projít oblastí silného pole, musíte porozumět základním principům magnetického zrcadla. V třetí úrovni se setkáte s kombinací magnetického a dalšího pole. Tato kombinace vede k driftům a pro úspěšné dokončení této úrovně musíte pochopit, jak drifty fungují.
Otázky Další čtení ↑ ↑ ↑ ↑
Doporučené rozlišení: 1680 na 1050. Doporučený procesor: Intel pentium M 2GHz a lepší. Doporučená grafická karta: ATI Radeon X700 a lepší. Microsoft Silverlight: Je potřeba udělit oprávnění aplikaci v nabídce Start → Všechny programy → Microsoft Silverlight → Microsoft Silverlight. Na záložce Oprávnění je třeba povolit 3D grafika: použít blokované ovladače zobrazení pro aplikaci http://www.aldebaran.cz/lab/most/StrukturyWeb.html.
ELEKTROMAGNETICKÉ BLUDIŠTĚ – OTÁZKY Vyplňte prosím následující jednoduchý test, který ověří, zda jste porozuměli problematice pohybu nabitých částic v magnetickém poli. V jedné otázce může být i několik správných odpovědí nebo nemusí být správná žádná. Po vyplnění stiskněte tlačítko Odeslat. Motivace Ke čtení
1. Lorentzova síla působí na všechny částice působí jen na nabité částice působí na elektrony
Návod/Start
2. Lorentzova síla Otázky Další čtení ↑ ↑ ↑ ↑
je kolmá na magnetické siločáry působí na spojnici nabitých částic míří podél magnetických siločar 3. Lorentzova síla míří ve směru pohybu částice je nulová pro nepohybující se částici je nepřímo úměrná druhé mocnině rychlosti částice 4. Drifty jsou kolmé na magnetické pole a rovnoběžné s dalším polem jsou kolmé na magnetické a další pole 5. Drifty probíhají vždy probíhají, pokud se pole mění málo na Larmorově otočce jsou pohyby, při kterých plazma unáší nabitou částici 6. K jevu magnetického zrcadla dochází v kombinaci elektrického a magnetického pole může dojít v oblasti slabšího magnetického pole může dojít v oblasti silnějšího magnetického pole 7. K driftu může dojít v magnetickém a elektrickém poli v magnetickém a gravitačním poli pokud jsou siločáry magnetického pole zakřivené 8. Magnetické zrcadlo odrazí všechny nabité částice odrazí všechny částice odrazí jen některé nabité částice 9. Pohyb těles se počítá z Drakeovy rovnice za pomoci diferenciálních rovnic většinou numericky 10. V zemském magnetickém dipólu koná nabitá částice jeden periodický pohyb dva periodické pohyby tři periodické pohyby čtyři periodické pohyby Odeslat
Obnovit
ELEKTROMAGNETICKÉ BLUDIŠTĚ – DALŠÍ ČTENÍ Algoritmus pohybu nabitých částic
Motivace
Pro částici sestavíme pohybovou rovnici. Na částici bude působit Lorentzova síla způsobená magnetickým polem B, síla způsobená elektrickým polem E a další silové pole F. Výsledná pohybová rovnice nabité částice bude
Ke čtení Návod/Start
(1) což je soustava tří obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu pro polohy x(t), y(t), a z(t) nabité částice. Výhodnější je ale řešení soustavy šesti rovnic prvního řádu ve tvaru
Otázky
(2)
Další čtení ↑ ↑ ↑ ↑
Známe-li počáteční polohu a rychlost částice, můžeme použít některou standardní metodu na řešení diferenciálních rovnic, například Rungeovu-Kuttovu metodu 4. řádu, která je implementovaná v každém programovém celku pro numerické výpočty (například Mathematica, MATLAB atd.). Pro jistotu zde uvádíme příslušný diferenční předpis: Označme ξ = (r, v) šestici poloh a rychlostí částice, tedy budeme hledat hodnoty ξ1 až ξ6. První tři hodnoty jsou polohy, další tři jsou rychlosti. Námi hledané funkce ξk(t); k = 1, ... 6 splňují soustavu rovnic (2), kterou přepíšeme do tvaru (3) Časovou osu rozdělíme na dílky s intervalem Δt. Předpokládejme, že známe polohu a rychlost v počátečním čase t0. Potom určíme
(4)
a přibližné řešení v čase t + Δt dostaneme ze vztahů (5) Tím známe řešení v čase t + Δt a postup můžeme opakovat. Otázky přesnosti výpočtu, konvergence a případně další metody lze nalézt v odborné literatuře. Materiály souvisící s tématem Na serveru Aldebaran jsme k tématu elektromagnetické interakce připravili materiály, ve kterých si prosím vyhledejte příslušné pasáže: [1] Petr Kulhánek: Teoretická mechanika; Praha 2012, [2] Petr Kulhánek: Úvod do teorie plazmatu; Praha 2011, [3] MIT: Kurz elektřiny a magnetizmu 8.02T; lokalizace AGA, 2007.
