MODUL
5
Konvers, Invers dan Kontraposisi
Represented by : Firmansyah, S.Kom
A. TEMA DAN TUJUAN KEGIATAN PEMBELAJARAN 1. Tema
Konvers, Invers dan Kontraposisi
2. Fokus Pembahasan Materi Pokok
1. Konvers, invers dan kontra posisi 2. Ekivalensi Logika 3. Negasi / ingkaran implikasi, konvers, invers dan kontraposisi
3. Tujuan Kegiatan Pembelajaran
1. Mahasiswa memahami pengertian konvers, invers dan kontraposisi dari suatu implikasi. 2. Mahasiswa mampu menunjukkan ekivalensi antara pernyataan implikasi, konvers, invers dan kontraposisi. 3. Mahasiswa mampu menentukan negasi atau ingkaran antara pernyataan implikasi, konvers, invers dan kontraposisi.
Konvers, Invers dan Kontraposisi dari suatu implikasi. Misalkan diketahui implikasi Maka: Konversnya
adalah Inversnya adalah Kontraposisinya adalah
pq
q p ¬p ¬q ¬q ¬p
Hubungan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Implikasi “p q”
Catatan : Bahwa nilai suatu implikasi selalu ekivalen dengan kontraposisi.
p q ¬q ¬p
p
q
¬p
¬q
pq
qp
¬p ¬q
¬q ¬p
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T
Contoh 1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari:
“Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya” (p q) Penyelesaian: Konvers : (q p) Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil Invers : (¬p ¬q) Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya Kontraposisi : (¬q ¬p) Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil
Contoh 2 Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari: Jika suatu bilangan asli berangka satuan 0 maka bilangan tersebut habis dibagi 5. Penyelesaian: Konvers: Jika suatu bilangan asli habis dibagi 5 maka bilangan asli tersebut berangka satuan 0
Invers: Jika suatu bilangan asli tidak berangka satuan 0 maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 5. Kontraposisi: Jika suatu bilangan asli tidak habis dibagi 5 maka bilangan asli tersebut tidak berangka satuan 0
Tugas
1) 2)
3) 4) 5) 6)
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan di bawah ! Jika n bilangan ganjil, maka (-1)n = -1 Jika semua jeruk manis, maka jeruk ini harus manis Jika a3 : a3 = a0 , maka a0 =1 Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi Jika Beijing di RRC, maka Tokyo di Jepang (konvers) Iwan lulus ujian jika ia belajar
Sesi
2
EKUIVALENSI LOGIKA
9
EKUIVALENSI Jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka dapat dipastikan bahwa kedua buah ekspresi logika tersebut adalah ekuivalen secara logis.
Demikian juga jika dua buah ekspresi logika adalah kontradiksi, maka dapat dipasikan kedua buah ekspresi logika tersebut adalah ekuivalen secara logis. 10
EKUIVALENSI
Persoalannya ada pada contingent, karena memiliki semua nilai T dan F. Tetapi jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis. Dalam tabel kebenaran, suatu tautologi selalu bernilai True pada semua barisnya dan kontradiksi selalu bernilai False pada semua baris. Kalau suatu kalimat tautologi diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya akan menghasilkan True, sebaliknya kontradiksi akan selalu bernilai False. 11
EKUIVALENSI Contoh: 1. Dewi sangat cantik dan peramah. 2. Dewi peramah dan sangat cantik.
Dari dua pernyataan di atas, tanpa pikir panjang kita dapat menyimpulkan bahwa kedua pernyataan di atas adalah ekuivalen. Tetapi untuk membuktikan kebenarannya apakah kedua pernyataan tersebut ekuivalen harus dibuktikan dengan tabel kebenaran. 12
EKUIVALENSI Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1.
Ubahlah pernyataan-pernyataan tersebut ke dalam pernyataan atomik dengan simbol logikanya! Dewi sangat cantik dan peramah Untuk pernyataan di atas, kita rubah kedalam pernyataan atomiknya dan kita permisalkan dengan simbol logikanya, yaitu: p = Dewi sangat cantik q = Dewi peramah
13
EKUIVALENSI 2.
Ubahlah pernyataan-pernyataan logikanya.
majemuknya
kedalam
simbol-simbol
1. Dewi sangat cantik dan peramah. 2. Dewi peramah dan sangat cantik. Untuk pernyataan di atas, kita rubah kedalam simbol logikanya, yaitu: 1. p q 2. q p
14
EKUIVALENSI 3.
Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk tersebut!
p
q
pq
qp
B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
S
S
S 15
EKUIVALENSI HASIL AKHIR
B
qp (y) B
pqpq (x y) B
S
S
B
S
S
B
S
S
B
pq (x)
16
EKUIVALENSI Dari hasil tabel kebenaran di atas diperoleh hasil bahwa nilai dari p q sama dengan nilai q p.
Sedangkan jika kedua pernyataan di atas dihubungkan dengan logika biimplikasi diperoleh bukti bahwa: (p q) (q p) Semuanya nilai logikanya bernilai benar atau tautologi.
17
EKUIVALENSI
Dengan demikian karena kedua logika jika dihubungkan dengan logika biimplikasi adalah tautologi maka dapat disimpulkan bahwa kedua logika tersebut adalah ekuivalen. Maka pernyataan yang menyatakan: 1. Dewi sangat cantik dan peramah. 2. Dewi peramah dan sangat cantik. adalah pernyataan yang ekuivalen secara logis.
18
HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA Identitas Ikatan Idempoten Negasi Negasi Ganda Komutatif Asosiatif Distributif De Morgan’s Aborbsi
p11 p11 ppp p p 1 (p) p pqqp
p0p p00 ppp p p 0
p(qr) (pq)(pr)
(pq)r (pq)(pr)
(pq) r p(qr)
(pq) pq p(pq) p
pqqp
(pq)r q(pr)
(pq) pq p(pq) p 19
HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA
Selain dengan menggunkan tabel kebenaran, untuk menentukan dua buah argumen adalah ekuivalen secara logis atau tidak, dapat juga digunakan hukum-hukum ekuivalensi logika, yang akan kita bahas secara aplikatif di materi Penyederhanaan Aljabar Boolean CARA INI LEBIH SINGKAT TETAPI....!!!?
20
BINTANG KECIL DILANGIT YANG BIRU
GIMANA YA .... X, Y, Z ATAU P, Q, R, ATAU... ATAU... ATAU X 200
TAPI JANGAN KAWATIR COY, YAKINKAN DIRI ANDA UNTUK BISA, SEBAB KEMUDAHAN ITU ADANYA DIBALIK KESUSAHAN....!
21
EKUIVALEN LOGIKA
Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan tabel kebenaran. (pq) (pq) p
TABEL KEBENARAN 22
EKUIVALEN LOGIKA
TABEL KEBENARAN
23
EKUIVALEN LOGIKA (pq) (pq) p p
q
p
q
pq
(pq)
B
B
S
S
B
S
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
S
B
B
B
S
B
B
pq
(pq)(pq)
Dari tabel kebenaran diperoleh hasil bahwa p sama dengan (pq)(pq) p. Untuk membuktikan lebih lanjut maka p dan (pq)(pq) dihubungkan dengan logika biimplikasi.
24
EKUIVALEN LOGIKA (pq) (pq) p p
(pq)(pq)
(pq) (pq) p
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
B
Dari tabel tabel di atas diperoleh hasil bahwa (pq)(pq) p bernilai benar untuk setiap nilai p dan q, Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa terbukti (pq) (pq) p adalah ekuivalen secara logis.
25
EKUIVALEN LOGIKA
Latihan Soal !!!
26
EKUIVALEN LOGIKA
Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan tabel kebenaran ! 1) (p → r) (q → r) p → (q → r) 2) (p v q) → (r v p) ¬p → (r v p) 3) A → (¬A → B) 1 4) ¬( ¬(A B) B) 0 5) a. Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah dan jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah . b. Jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.
27
Sesi
3
Negasi / Ingkaran Implikasi, Konvers, Invers dan Kontraposisi
HUKUM EKUIVALEN LOGIKA (p q) Perhatikan hukum Morgan’s Dimana: (p q) p q Maka: (p q) p (q) (p q)
Ekivalensi Pernyataan implikasi : (p → q) p v q 29
Negasi suatu implikasi Untuk
memperoleh negasi dari suatu implikasi, kita dapat
mengubah bentuknya ke dalam bentuk disjungsi kemudian
dinegasikan, yaitu:
pq p q
maka negasinya adalah (p q)
( p q) p q
Negasi suatu Biimplikasi Biimplikasi
atau bikondisional adalah pernyataan
majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan
p
q (p q) (q p)
sehingga, (p q)
[ (p q) (q p) ]
[ ( p q) ( q p) ]
( p q) ( q p)
(p
q) (q p)
Ingkaran konvers, invers dan kontraposisi Tentukan ingkaran atau negasi konvers, invers dan kontraposisi
dari implikasi berikut: “Jika suatu bendera adalah bendera RI, maka bendera
tersebut berwarna merah putih” Penyelesaian : Misal,
p : Suatu bendera adalah bendera RI q : Bendera tersebut berwarna merah putih
maka kalimatnya menjadi p q atau jika menggunakan operator or, maka p q ekuivalen (sebanding) dengan p q . Sehingga
1).
Negasi dari Konvers : q p q p
Konvers
Negasinya
Kalimatnya : “Terdapat bendera berwarna merah putih tetapi bendera tersebut bukan bendera RI”
2).
: ( q p) q p
Negasi dari Invers : p q ( p ) q p q
Invers
Negasinya
: ( p q ) p q
Kalimatnya
: “Suatu bendera bukan bendera RI tetapi
bendera tersebut berwarna merah putih”
3).
Negasi dari Kontraposisi Kontraposisi Negasinya
: q p (q) p q p : (q p) q p
Kalimatnya : “Suatu bendera tidak berwarna merah putih dan bendera tersebut adalah bendera RI”
