KOMPLEXNÍ ČÍSLA
Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Prostějov 2010
2
Komplexní čísla
Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.
Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.
Komplexní čísla
3
Obsah Komplexní čísla.......................................................................................................................... 5 Základní vlastnosti komplexních čísel ................................................................................... 5 Základní vlastnosti komplexních čísel ............................................................................... 7 Varianta A .......................................................................................................................... 7 Základní vlastnosti komplexních čísel ............................................................................... 8 Varianta B .......................................................................................................................... 8 Základní vlastnosti komplexních čísel ............................................................................. 10 Varianta C ........................................................................................................................ 10 Geometrické znázornění komplexních čísel ........................................................................ 12 Geometrické znázornění komplexních čísel .................................................................... 14 Varianta A ........................................................................................................................ 14 Geometrické znázornění komplexních čísel .................................................................... 17 Varianta B ........................................................................................................................ 17 Geometrické znázornění komplexních čísel .................................................................... 19 Varianta C ........................................................................................................................ 19 Goniometrický tvar komplexního čísla ................................................................................ 21 Komplexní čísla v goniometrickém tvaru ........................................................................ 23 Varianta A ........................................................................................................................ 23 Komplexní čísla v goniometrickém tvaru ........................................................................ 25 Varianta B ........................................................................................................................ 25 Komplexní čísla v goniometrickém tvaru ........................................................................ 27 Varianta C ........................................................................................................................ 27 Rovnice v oboru komplexních čísel ..................................................................................... 29 Rovnice v oboru komplexních čísel ................................................................................. 30 Varianta A ........................................................................................................................ 30 Rovnice v oboru komplexních čísel ................................................................................. 32
4
Komplexní čísla
Varianta B ........................................................................................................................ 32 Rovnice v oboru komplexních čísel ................................................................................. 34 Varianta C ........................................................................................................................ 34
Komplexní čísla
5
Komplexní čísla Základní vlastnosti komplexních čísel
Připomeňme základní vlastnosti reálných čísel: Součet a součin každých dvou reálných čísel je reálné číslo. Sčítání a násobení reálných čísel je komutativní: pro všechna ,
platí:
a
.
Sčítání a násobení reálných čísel je asociativní: pro všechna , ,
platí:
a
Násobení reálných čísel je distributivní vzhledem ke sčítání: pro všechna , , Ke každému reálnému číslu
platí: existuje jediné reálné číslo ´tak, že platí
Ke každému nenulovému reálnému číslu · ´
´
0.
existuje jediné reálné číslo ´ tak, že platí
1.
Je-li součin dvou reálných čísel roven nule, je rovno nule alespoň jedno z nich. V oboru reálných čísel kvadratická rovnice se záporným diskriminantem nemá řešení. Pokud rozšíříme obor reálných čísel
na obor komplexních čísel
, můžeme najít všechny
kořeny algebraické rovnice jakéhokoli stupně. Zavedení komplexních čísel množinu
komplexních čísel získáme z množiny
reálných čísel tak, že k ní přidáme číslo ,
1.
pro které platí Komplexní číslo
je číslo ve tvaru
pro kterou platí
1. Číslo
; ,
, kde je imaginární jednotka,
se nazývá reálná část komplexního čísla , číslo
se nazývá
imaginární část komplexního čísla . Tento zápis komplexního čísla nazýváme algebraický tvar komplexního čísla. Je-li
0
Je-li
0
, pak takové komplexní číslo nazýváme ryze imaginární číslo , pak jde o reálné číslo
6
Komplexní čísla
Operace s komplexními čísly ;
mějme dvě komplexní čísla v algebraickém tvaru
.
Pro součet platí: Pro rozdíl platí:
·
Pro součin platí:
znamená vynásobit číslo
Vydělit komplexní čísla
číslem převráceným k číslu
Dvě komplexní čísla se sobě rovnají, rovnají-li se jejich reálné části rovnají jejich imaginární části
a současně se
.
Číslo komplexně sdružené k číslu
a platí ·
je číslo
;
Platí:
.
;
·
·
;
Pro mocniny imaginární jednotky platí: 1;
·
;
1;
·
;
1;
1;
·
…
;
Absolutní hodnota komplexního čísla se značí | | a je definována vztahem
Absolutní hodnota komplexního čísla | | Obecně: | |
√ ·
Platí: |
·
|
| |·| |
| | , | | | |
|
|
0 | |
Komplexní jednotka je komplexní číslo, jehož absolutní hodnota je 1. V množině komplexních čísel nelze zavést operaci uspořádání.
.
Komplexní čísla
Základní vlastnosti komplexních čísel Varianta A Vypočítejte 3 2
2 3
Příklad: Rozšíříme zlomek (vynásobíme čitatele i jmenovatele výrazem) 2 3 2
2 2 · 3 2
3 3
6
9 4
4 9
6
Příklad: Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: 2
3 7
Řešení: 23-2i 2.) Vypočítejte: 1 2 Řešení: 1
3
6
3.) Vypočítejte: 1 Řešení: 5
1
2
1
4
4.) Vypočítejte: 2 Řešení: 4
5
5
3
13 13
3
7
Komplexní čísla
8
Základní vlastnosti komplexních čísel Varianta B Vypočítejte: 1
2 1
2
1
1
Příklad: Upravíme jednotlivé zlomky v čitateli i jmenovateli rozšířením zlomků 2 ·2
2 1
2 6
1
1 ·
1 18 36
2 2 2 4
2
· 1 1 6
5
1
1 2
2 5
1
1 5 2 5
5
5 1
1 3 6 · 6 2 6
1 2
Příklad: Varianta A Výsledek řešení:
Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: 2 Řešení: 3
·
3 2
1
1
2.) Vypočítejte: 2
2 1
Řešení: 1
1 1
2 2
Komplexní čísla
3.) Vypočítejte: 1 1
2
·
2
Řešení: 2 4.) Vypočítejte: 5 Řešení: 1
8
1 : 2
3 2
9
Komplexní čísla
10
Základní vlastnosti komplexních čísel Varianta C Vypočítejte: 3 |2
5
4
1 3 1| | ·
|
Příklad: Nejprve upravíme oba zlomky v čitateli 3
5
4
3
·
|2 1
5
1 3 · 3 3 1| | |
·
5
√5
√5 5
√5
·
|2 5 √5 25 5
5
5
4
·
2
1|
9 25
4 10 | |
√5 20
Příklad: Varianta A Varianta B
Výsledek řešení:
√
Varianta C
Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: | 7
4
Řešení: 25√2 2.) Vypočítejte: 4 2 3 Řešení: √2
3 |
16 4 · 25 100 √4 1 1
16 100
1· √5
1 5 1
Komplexní čísla
3.) Vypočítejte: |4
3| 3 2
Řešení: √2 4.) Vypočítejte: √3 | Řešení: √3
· 1 |
1 2
11
Komplexní čísla
12
Geometrické znázornění komplexních čísel Rovina komplexních čísel neboli Gaussova rovina je rovina, jejíž body považujeme za obrazy komplexních čísel. Číslu
přiřazujeme bod
tvořena kartézskou soustavou souřadnic
, na jejíž ose
znamená čísla 3
2 ;
1,5;
. Gaussova rovina je
jsou zobrazena reálná čísla (to
0 ). Tato osa se nazývá reálná osa. Na ose
imaginární (to znamená čísla 0
;
jsou zobrazena čísla ryze
). Tato osa se nazývá imaginární osa. 2
;
1
Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna vzdálenosti jeho obrazu v Gaussově rovině od počátku soustavy souřadnic. Absolutní hodnota rozdílu komplexních čísel určuje jejich vzdálenost v Gaussově rovině. Komplexní čísla jako vektory Komplexní čísla lze v Gaussově rovině znázornit i jako vektory. Libovolnému komplexnímu číslu přiřadíme vektor
, kde
je počátek a
obraz komplexního čísla . Komplexní
čísla tedy můžeme graficky sčítat a násobit reálným číslem tak, že je zobrazíme v Gaussově rovině jako vektory, s nimiž pak jako s vektory pracujeme. Součin a podíl komplexních čísel v Gaussově rovině znázorníme pomocí geometrických zobrazení otočení a stejnolehlosti což si ukážeme na příkladě.
Komplexní čísla
13
Příklad: Mějme komplexní čísla
1
;
Graficky znázorněme součin
·
a podíl
Součin
1
. :
.
·
Sestrojíme v Gaussově rovině obrazy obou komplexních čísel. Nyní pomocí stejnolehlosti najdeme obraz komplexního čísla
1
· | 2 |. Pak otočíme obraz tohoto čísla o argument čísla
1.
Podíl
1: 2
Převedeme podíl na součin
1
·
1 2
a postupujeme podle předcházející úlohy.
14
Komplexní čísla
Geometrické znázornění komplexních čísel Varianta A Nakreslete obrazy komplexních čísel a)
Příklad:
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
b) ´
1
2 ;
3
. Potom graficky určete
Komplexní čísla
15
Příklady k procvičení: 1.) Nakreslete obrazy komplexních čísel 2
2
;
2
4 . Potom graficky určete
1
2 ;
2
. Potom graficky určete
.
Řešení:
2.) Nakreslete obrazy komplexních čísel · Řešení:
.
Komplexní čísla
16
1
3.) Nakreslete obrazy komplexních čísel :
2 ;
2
. Potom graficky určete
.
4.) Nakreslete obraz komplexního čísla
2
3 . Potom graficky určete · .
Komplexní čísla
Geometrické znázornění komplexních čísel Varianta B Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel , pro která platí |
2
|
4
Příklad: Nerovnici upravíme na tvar |
2
|
4
Hledáme tedy všechna komplexní čísla, jejichž obrazy v Gaussově rovině mají od obrazu komplexního čísla 2
vzdálenost větší než 4.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: vnější oblast kruhu o poloměru 4 a středu o souřadnicích 2;
17
18
Komplexní čísla
Příklady k procvičení: 1.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel , pro která platí | |
3
Řešení: kružnice, střed 0; 0 , poloměr 3 2.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel , pro která platí |
|
1
Řešení: kružnice, střed 0; , poloměr 1 3.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel , pro která platí | Řešení: kružnice, střed 1;
|
1
2
, poloměr 2
4.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel , pro která platí | Řešení: kruh, střed 2; 0 , poloměr 3
2|
3
Komplexní čísla
Geometrické znázornění komplexních čísel Varianta C Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel , pro která platí 1
|
3
2|
4
Příklad: výpočet v editoru rovnic
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: mezikruží,
; 1,
;
; 4
;
2; 3 ;
19
20
Komplexní čísla
Příklady k procvičení: 1.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel , pro která platí | |
|
|
2
Řešení: osa úsečky s krajními body 0; 0 , 2; 2.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel , pro která platí |
1
3|
|
2|
Řešení: polorovina, hraniční přímkou je osa úsečky s krajními body 1; 3 , 0; 2 3.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel , pro která platí |
1|
|
2 | |
2|
4
Řešení: průnik poloroviny, jejíž hraniční přímkou je osa úsečky s krajními body 1; 0 , 0; 2 , a kruhu bez hraniční kružnice se středem 2; 0 a poloměrem 4 4.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel , pro která platí 2 Řešení: mezikruží kružnic kružnic
a
,
|
1
1; 2 ;
2| 2 ,
7 1; 2 ;
7 bez hraničních
Komplexní čísla
21
Goniometrický tvar komplexního čísla
0 je jeho zápis ve tvaru
Goniometrický tvar komplexního čísla Číslo
| |
.
je argument komplexního čísla , | | je jeho absolutní hodnota.
V Gaussově rovině můžeme znázornit komplexní číslo na základě znalosti jeho algebraického tvaru
nebo pomocí jeho vzdálenosti od počátku Gaussovy roviny
orientovaného úhlu
a velikosti
(argumentu), jehož počáteční rameno je kladná reálná poloosa a
koncové rameno polopřímka
.
Pro převod algebraického tvaru | |
komplexního čísla na tvar goniometrický platí: ,
| |
,
| |
Operace s komplexními čísly v goniometrickém tvaru Komplexní čísla v goniometrickém tvaru lze velmi snadno násobit, dělit, umocňovat a odmocňovat. Sčítat a odčítat je výhodnější v algebraickém tvaru. Součin: ·
| |·| |·
Větu o násobení lze rozšířit pro libovolný počet činitelů.
·
22
Komplexní čísla
Podíl: ·
Umocnění pro
·
: | | ·
| |
Speciálním případem je Moivreova věta platná pro komplexní jednotky:
Odmocnění: Nechť
| |
je libovolné nenulové komplexní číslo a
Pak existuje právě
je přirozené číslo.
různých hodnot komplexní -té odmocniny čísla . Jsou jimi komplexní
čísla vyjádřená v goniometrickém tvaru vzorcem √
2
| |
·
2
,
Všechny -té odmocniny čísla mají stejnou absolutní hodnotu násobky čísla
0; 1; … ,
1
| |, ale liší se o celistvé
. Proto pro jejich obrazy v Gaussově rovině platí, že leží ve vrcholech
pravidelného -úhelníku, který je vepsaný do kružnice se středem v počátku Gaussovy roviny a o poloměru
| |.
Komplexní čísla
Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Varianta A Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo 30°
30°
Příklad: Převedeme číslo na algebraický tvar √3 2
1 2 Nyní budeme převádět na tvar goniometrický. | |
1 4
3 4
1 2 1
1;
√3 2 1
1 ; 2
Hledaný tvar komplexního čísla tedy je 1
3
3
Příklad: Varianta A Varianta B
Výsledek řešení:
1
Varianta C
Příklady k procvičení: 1.) Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo 2
2 √3
Řešení: 4 2.) Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo √3 Řešení: 2
√3 2
3
23
24
Komplexní čísla
3.) Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo 7
7
Řešení: 7√2 4.) Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo 10 Řešení: 10√2
10
Komplexní čísla
Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Varianta B Upravte a výsledek zapište v goniometrickém tvaru 3 2 Příklad: Rozšíříme zlomek výrazem 2 3 2 · 2 2
2
1 4
6 1
3
5
5 5
1
Nyní toto komplexní číslo převedeme na goniometrický tvar | |√1
1
√2;
1
1
√2 ; 2
√2
√2
Hledaný goniometrický tvar zadaného komplexního čísla je √2
3 4
Příklad: Varianta A Výsledek řešení:
Varianta B
√2
Varianta C
Příklady k procvičení: 1.) Upravte a výsledek zapište v goniometrickém tvaru 1 2 1 3 Řešení:
√
2.) Upravte a výsledek zapište v goniometrickém tvaru 1 1 Řešení:
1
3 4
√2 2
3 4
25
26
Komplexní čísla
3.) Upravte a výsledek zapište v goniometrickém tvaru 4 0
Řešení:
2 8
0
4.) Upravte a výsledek zapište v goniometrickém tvaru 3 1 3 Řešení:
1
Komplexní čísla
27
Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Varianta C a) Užitím Moivreovy věty umocněte a výsledek převeďte do algebraického tvaru 1
√3
b) Vypočítejte všechny druhé komplexní odmocniny z čísla 4.
Příklad: a) převedeme komplexní číslo v závorce na goniometrický tvar | |
√1
1 ; 2
3
2;
1
√3
2·
√3 ; 2 5 3
5 3
5 3
a použijeme Moivreovu větu
2 ·
5·
5 3
5· 16
5 3
25 3
32 ·
25 3
32 ·
3
3
16√3
b) Číslo 4 nejprve převedeme na goniometrický tvar Číslo 4 leží v Gaussově rovině na ose počítání víme, že argument
v bodě o souřadnicích 4; 0 , proto bez dlouhého
. 4
4·
Nyní hledáme všechny druhé odmocniny komplexního čísla 4 Použijeme vzorec √
| |·
2
2
;
0; 1; … ,
1
Takže √4 √4
2·0· 2 2 2·1· 2 2
2·0· 2 2 2·1· 2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
2 2
28
Komplexní čísla
Příklad: Varianta A
Výsledek řešení:a) 16
Varianta B
16√3 ; b)
,
2
Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Užitím Moivreovy věty umocněte a výsledek převeďte do algebraického tvaru 2√3
2
Řešení: 2 2.) Užitím Moivreovy věty umocněte a výsledek převeďte do algebraického tvaru 1 Řešení: 8 3.) Vypočítejte všechny páté komplexní odmocniny z čísla 32. Řešení:
, , , ,
2
,
0; 1; 2; 3; 4
4.) Vypočítejte součet všech třetích komplexních odmocnin z čísla 2. Řešení: 0
Komplexní čísla
29
Rovnice v oboru komplexních čísel
Binomická rovnice 0, kde je komplexní číslo,
Binomická rovnice je rovnice ve tvaru z oboru
a
je neznámá
je přirozený exponent.
Kořeny binomické rovnice získáme jako -té odmocniny komplexního čísla . Binomická rovnice | | má v oboru komplexních čísel právě
různých kořenů:
2
√
0 2
·
,
0; 1; … ;
1
Kvadratické rovnice s reálnými kořeny a záporným diskriminantem 0, , ,
,
0
tato rovnice má v oboru komplexních čísel právě dva kořeny, a to komplexně sdružená imaginární čísla: √ 2
√
;
2
Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty 0, , ,
,
0
tato rovnice má v oboru komplexních čísel právě dva kořeny pro diskriminant čísla | |· ,
kde
2
je argument jejího diskriminantu, a pouze jeden kořen 2
pro
2
0.
2
0, a to
30
Komplexní čísla
Rovnice v oboru komplexních čísel Varianta A Řešte rovnice a) , 2
2
b) 3 c) 2
3
5
Příklad: a) upravíme pravou stranu rovnice a budeme porovnávat (dvě komplexní čísla se sobě rovnají, pokud mají stejnou reálnou a stejnou imaginární část) 2 2
2
2
2
Odtud plyne 2
2
2
2
2
0
3
2
1
0
3
Z první rovnice plyne 0
1
0
Úloha má tedy dvě řešení 0
3
1
b) roznásobíme členy 2
3 3 3 3
·
3
,
c) do rovnice dosadíme 2
3 5
5 5
Komplexní čísla
31
Dvě komplexní čísla se sobě rovnají, pokud se rovnají jejich reálné části i jejich imaginární části. Proto platí 5
5
1
1
1
Řešení rovnice tedy je 1
Příklad: Varianta A
0
Výsledek řešení:a)
Varianta B
1
c)
Varianta C
0
Příklady k procvičení: 1.) Určete reálná čísla ,
tak, aby platilo 2
Řešení:
2
4
3
3
2.) Řešte rovnici s neznámou 3
5
Řešení: 3.) Řešte rovnici s neznámou 2 Řešení:
13
1
13
2 6,5
39
4.) Řešte rovnici s neznámou 4 Řešení:
1
2 ;
3
2
1
8
3
1 b)
3 ,
32
Komplexní čísla
Rovnice v oboru komplexních čísel Varianta B Řešte kvadratickou rovnici s neznámou 3
3
Příklad: Roznásobíme levou stranu a převedeme všechny členy rovnice doleva 3 3
3
3
0 3
4·1· 3 2·1
,
√4 2
3
Vyřešíme nejprve odmocninu 3
√4
Rovnici umocníme a dále budeme řešit porovnáváním dvou komplexních čísel 4
3
2
Dvě komplexní čísla se sobě rovnají, pokud mají stejnou reálnou část a stejnou imaginární část. 3 2
4
Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Z druhé rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme do rovnice první 2 2
3
4 Zavedeme substituci
3
a dostaneme rovnici 3
4
0
4;
1
Komplexní čísla
Protože ,
4. Dopočítáme tedy , .
, přichází v úvahu pouze řešení 1,
2
Dosadíme tedy do vzorce pro výpočet kořenů 3 ,
3
1 2 1 2
3
1,
2
,
1 2 2 2
2 2 1
Příklad: Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
2
;
2
1
1
Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Řešte kvadratickou rovnici s neznámou 3 Řešení:
0
√
2.) Řešte kvadratickou rovnici s neznámou 2 Řešení: 1
3
0
2 ; 1
3.) Řešte kvadratickou rovnici s neznámou 3
4
Řešení: 4 ; 4.) Řešte kvadratickou rovnici s neznámou 20 Řešení: 3
; 4
2
2
0
33
34
Komplexní čísla
Rovnice v oboru komplexních čísel Varianta C Řešte rovnici s neznámou
. Výsledky zapište v goniometrickém tvaru. 0
√3
Příklad: Vyjádříme z rovnice √3 Hledáme tedy všechny čtvrté komplexní odmocniny z čísla
√3
.
Převedeme toto komplexní číslo na goniometrický tvar | |
√3
1
√4
√3 ; 2
2; 5 6
2
1 2
5 6
5 6
Čtvrté komplexní odmocniny z tohoto čísla jsou 5 24 17 24 29 24 41 24
√2 √2 √2 √2
5 24 17 24 29 24 41 24
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: 0; 1; 2; 3
, , ,
√2
;
Komplexní čísla
Příklady k procvičení: 1.) Řešte rovnici s neznámou
. Výsledky zapište v goniometrickém tvaru. 64
Řešení:
, ,
4
;
2.) Řešte rovnici s neznámou
, ,
3
;
3.) Řešte rovnici s neznámou
, ,
. Výsledky zapište v goniometrickém tvaru.
;
1·
0; 1; 2
. Výsledky zapište v goniometrickém tvaru. 2
, , , ,
0
√2
4.) Řešte rovnici s neznámou
Řešení:
0
0; 1; 2
1 Řešení:
0; 1; 2
. Výsledky zapište v goniometrickém tvaru. 27
Řešení:
0
16
16 √3 ;
0; 1; 2; 3; 4
35
