KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 6. tanításához

Csahóczi Erzsébet – Csatár Katalin – Kovács Csongorné – Érdemes Tankönyvíró

Érdemes Tankönyvíró

Morvai Éva – Széplaki Györgyné – Szeredi Éva

KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 6. tanításához

Kovács Csongorné a Tankönyvesek Országos Szövetségétől 2008-ban elnyerte az „Érdemes Tankönyvíró” kitüntető címet Csatár Katalin a Tankönyvesek Országos Szövetségétől 2011-ben elnyerte az „Érdemes Tankönyvíró” kitüntető címet Illusztrálta FRIED KATALIN KATONA KATA LÉTAI MÁRTON SZALÓKI DEZSŐ Alkotószerkesztő CSATÁR KATALIN Szerkesztette ACKERMANN RITA Kapcsolódó kerettanterv EMMI Kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet

AP–060834 ISBN 978-963-328-304-2

© Csahóczi Erzsébet – Csatár Katalin – Kovács Csongorné – Morvai Éva – Széplaki Györgyné – Szeredi Éva, 2014 1. kiadás, 2014

A kiadó a kiadói jogot fenntartja. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható. Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft. 9500 Celldömölk, Széchenyi u. 18. Telefon: 95/525-000, fax: 95/525-014 E-mail: [email protected] Internet: www.apaczai.hu Felelős kiadó: Esztergályos Jenő ügyvezető igazgató

Nyomdai előkészítés: Könyv Művek Bt. Terjedelem: 30,90 A/5 ív Tömeg: 618 g

Előszó Ne vágd el azt, amit kibogozhatsz! (Joubert, 19. századi filozófus)

Kedves Kollégák! Könyvünket Joseph Joubert és Varga Tamás szellemében írtuk, vagyis szeretnénk, ha tanulóink gondolkozva, felfedező úton tennének szert matematikai ismereteikre. Mi, a szerzők, legalább 20 éve tanítjuk ezt a korosztályt (is). Azt tapasztaltuk, hogy a játékos felfedeztetés nagy öröm a gyerekek számára, és nincs ennél hatékonyabb módszer. Tudjuk persze, hogy a tanulásnak vannak rögös és fárasztó periódusai is. A játékokkal, a tananyagtartalom játékos feldolgozásával a gyerekek motiválása a célunk. Nagy hangsúlyt fektettünk a matematikai fogalmak szemléletes kialakítására, a tankönyv kidolgozott példái többek között ehhez kívánnak segítséget nyújtani. Feladataink egy része a legalapvetőbb fogalmak és eljárások begyakoroltatását szolgálják. A tankönyv matematikatörténeti érdekességeket is tartalmaz. Az adott témakörrel kapcsolatos internetes kutakodásra is buzdítjuk a gyerekeket.

Könyvünk szerkezetéről Minden témakör 1–3 órás kis egységekből áll, amelyeket bőséges feladatanyag követ. Az egyes tanegységek kidolgozott példákon keresztül mutatják be a legfontosabb ismereteket, melyeket a példák után sárga háttérbe téve meg is fogalmaznak a szerzők. A feladatok sorszámát megkülönböztető jellel láttuk el: 1. Az új ismeretek elsajátítását, megértését igénylő alapfeladat, ezt a diákoknak meg kell tudniuk oldani ahhoz, hogy továbbhaladhassanak. 2. Az új ismeret alkalmazását, a tudás rögzítését, elmélyítését segítő feladat. 3. Többféle ismeret és képesség alkalmazását igénylő feladat. 4. Fejtörők, versenyfeladatok azoknak, akik további érdekes feladatokat szeretnének megoldani. 5. Internettel támogatott feladatok 6. A modellezhető, kivágható feladatokat jelöli ez a piktogram. A matematikát magasabb óraszámban tanuló csoportoknak írt kiegészítő tananyagokhoz tartozó feladatokat is a fent leírt szintekbe soroltuk, de más színnel jelöltük, például: 25. A fentieken kívül, ha egy-egy részfeladat nehezebb, gondolkodtatóbb a többinél, így jelöljük: 123. A tankönyvhöz feladatgyűjteményt is készítettünk, mely munkáltató jellegű feladatokat is tartalmaz.

A kézikönyv szerkezetéről A kézikönyvvel, mely szerkezetében követi a tankönyvet, kollégáink munkáját szeretnénk megkönnyíteni. E kézikönyv tartalmazza a tananyag beosztását az adott tanévre, majd minden fejezet óraszámjavaslattal kezdődik. Leírjuk, hogy milyen korábbi ismeretekre építünk, és meddig kell el3

jutni az adott fejezet feldolgozása során, illetve, hogy mi fogja követni a későbbiekben ezt a témát. Megjelöltük az adott tananyaghoz kapcsolódó feladatok sorszámát, utalva arra, hogy melyek feldolgozása nélkülözhetetlen a továbbhaladáshoz. A feladatok eredményei, illetve azok megoldásai közvetlenül a példák után következnek, a nehezebb feladatoknál azok továbbfejlesztési lehetőségére, általánosítására is utalunk, remélve, hogy ezzel időt takarítunk meg az órákra való felkészüléskor. A módszertani útmutatókat és a tankönyv oldalszámait narancssárga háttérben helyeztük el. A tankönyv fejezeteit Tudáspróba zárja (megoldásuk szintén szerepel a kézikönyvben).

Kiegészítő segédletek Megjelent a 6. évfolyamos matematikai felmérőfüzet, amely minden témához röpdolgozatokat (A és B csoport), valamint értékelő felmérőket tartalmaz (A és B csoport a kétféle óraszámban tanulók részére). Néhány fejezet elején TSZAM (Továbbhaladáshoz Szükséges Alapismeretek Mérése) található. Minden felmérő megoldása és pontozási útmutatója megtalálható a tanári példányban. A tankönyvhöz digitális tananyag is készült, melyet nagy örömmel használnak a gyerekek és a tanárok is. A digitális tananyag segíti a tankönyvi tananyag feldolgozását, alkalmas a tanórai munka támogatására is, és a gyerekek tanári segítség nélkül is tudják használni. A tankönyvcsaládhoz elkészült az évfolyamokra lebontott tanterv is, amely letölthető a kiadó honlapjáról: www.apaczai.hu. Amennyiben könyvünkkel kapcsolatban bármilyen észrevétele van, kérjük, azt juttassa el az Apáczai Kiadónak! Eredményes munkát kívánunk: a Szerzők

4

Kerettanterv

Kerettanterv Bevezető A matematika-kerettanterv a Nemzeti alaptanterv (NAT) 2012 alapelvei szerint készült. A kerettanterv a hagyományosan igényes oktatáson kívül nagy hangsúlyt fektet az alapozó szakaszban (1–6. évfolyam) a felzárkóztatásra, amely hozzájárul az esélyegyenlőtlenség csökkentéséhez is. Továbbá a kerettanterv lehetőséget biztosít a tehetséggondozásra is mind a négy évfolyamon. Így jobban biztosítható a tanulók egyéni képességeinek fejlesztése. Ezért olyan iskolák számára ajánlott, amelyek az oktatás minőségét és hatékonyságát fontosnak tartják. Az óraszámok a törvényben meghatározott lehetséges számokhoz igazodnak. Évfolyam

5.

6.

Heti óraszám

4

3

Éves óraszám

148

108

7.

8.

4

3

3

144

108

108

Célok és feladatok Az általános iskola 5–8. évfolyamán a matematikaoktatás megismerteti a tanulókat az őket körülvevő világ konkrét mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozza a korszerű, gyakorlatban alkalmazható matematikai műveltségüket, és az életkoruknak megfelelő szinten biztosítja a többi tantárgy tanulásához szükséges matematikai ismereteket és eszközöket. Alapvető célunk a gondolkodás képességének folyamatos fejlesztése és a kompetenciák kialakítása. Az általános iskola 5–8. évfolyama egységes rendszert alkot, de – igazodva a gyermeki gondolkodás fejlődéséhez, az életkori sajátosságokhoz – két, pedagógiailag elkülöníthető periódusra tagolódik. Az alapozó szakasz utolsó két évében a tanulók gondolkodása erősen kötődik az érzékelés útján szerzett tapasztalatokhoz, ezért itt az integratív-képi gondolkodás fejlesztése a cél. A 7–8. évfolyamon elkezdődik az elvont fogalmi és elemző gondolkodás kialakítása is. Ez a tanterv a NAT 2012-ben megfogalmazott fejlesztési célokhoz és a kijelölt legfőbb kompetenciaterületekhez kapcsolódó tananyagrendszert tartalmazza a fejlesztésközpontúságot szem előtt tartva. A fejlesztőmunkát a matematikai tevékenységek rendszerébe kell beépíteni. Ezért alapvető fontosságú az alapozó szakaszban a tevékenységek részletes kifejtése, például a mérések, a fogalomalkotást előkészítő játékok, az alapszerkesztések és a geometriai transzformációk tulajdonságainak megtapasztalása. Ezeket egészítik ki a tananyag feldolgozásában megjelenő munkaformák: a páros, illetve csoportmunka, valamint a projektfeladatok. Természetesen az önálló feladatmegoldást, a differenciált munkaformát továbbra is alkalmazzuk. A tevékenységek tárházába tartozik az eszközök használata, különös tekintettel az elektronikus eszközökre, azon belül az oktatási célú honlapokra az interneten. Fejlesztendő a tanulók kommunikációs képessége, saját gondolataik szabatos megfogalmazása szóban és írásban; mások gondolatainak megértése, érvek és ellenérvek logikus használata a vitákban. Az általános iskola felső tagozatán egyre nagyobb szerepet kap az elemző gondolkodás fejlesztése, a problémamegoldások mellett a felvetett kérdések igazságának vagy hamisságának eldöntése, a döntések igazolása. A tanulók legnagyobb része ebben a korban jut el a konkrét gondolkodástól az absztrahálásig. Ezért a legfontosabb cél a konstruktív gondolkodás kialakítása, amelyet a tanulók életkorának megfelelően manipulatív tevékenységek elvégeztetésével, az összefüggések önálló 5

Kerettanterv felfedeztetésével érhetünk el. Az önellenőrzéssel növeljük a tanulók önbizalmát, a változatos módszerekkel, a korosztálynak megfelelő játékos formákkal kis lépéseken keresztül, természetes módon hangoljuk őket a matematika tudományának befogadására. Fontos, hogy a valóságban előforduló problémákra a tanulók meg tudják találni a megfelelő matematikai modellt, azokat helyesen tudják alkalmazni. Ezért nagy hangsúlyt kell fektetnünk a szövegértő, -elemző olvasásra. Ugyanakkor azt is el kell érni, hogy a matematikában tanult ismereteket a tanulók alkalmazni tudják más műveltségi területeken is. Fokozatosan kell kialakítani a matematika szaknyelvének pontos használatát és jelölésrendszerének alkalmazását. Az általános iskolai matematikaoktatás alapvető célja, hogy a megszerzett tudás az élet minden területén, a gyakorlati problémák megoldásában is alkalmazható legyen.

Fejlesztési célok 1. • • •

Tájékozódás Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban

2. • • • • • •

Megismerés Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Az ismeretek rendszerezése Az ismerethordozók használata

3. Az ismeretek alkalmazása 4. Problémakezelés és -megoldás 5. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás 6. • • • •

Akarati, érzelmi, önfejlesztő képességek és együttéléssel kapcsolatos értékek Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás

7. A matematika épülésének elvei Kulcskompetenciák • A matematikai kulcskompetenciák folyamatos fejlesztése: – számlálás, számolás – mennyiségi következtetés, valószínűségi következtetés 6

Kerettanterv

• • • • • • • • •

– becslés, mérés – problémamegoldás, metakogníció – rendszerezés, kombinativitás – deduktív és induktív következtetés A tanulók értelmi képességeinek – logikai készségek, problémamegoldó, helyzetfelismerő képességek – folyamatos fejlesztése A tanulók képzelőerejének, ötletességének fejlesztése A tanulók önellenőrzésének fejlesztése A gyors és helyes döntés képességének kialakítása A problémák egyértelmű és egzakt megfogalmazása, megoldása A tervszerű és célirányos feladatmegoldási készség fejlesztése A kreatív gondolkodás fejlesztése A világról alkotott egyre pontosabb kép kialakítása A tanult ismeretek alkotó alkalmazása más tudományokban, a mindennapi életben

A helyes tanulási szokások, attitűdök kialakítása A tanulók – a számítások, mérések előtt végezzenek becsléseket; – ellenőrizzék a feladatmegoldások helyességét; – a feladatok megoldása előtt készítsenek megoldási tervet; – a geometriai szerkesztések elkészítése előtt készítsenek vázlatrajzot; – a szöveges feladatok megoldásánál a szöveget pontosan értelmezzék, és a választ, valamint az ellenőrzést szabatosan írják le! A tanulók – tudják a gondolataikat pontosan, életkoruknak megfelelően a szaknyelv használatával elmondani; – a számolási készség kialakulása után használják a zsebszámológépet; – szakirodalomból, internetről, egyéb ismerethordozókból önállóan is gyarapítsák tudásukat; – tájékozódjanak a korosztálynak megfelelő újságok, folyóiratok és szaklapok körében; – ismerjék a tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti érdekességeket! A négy év során tudatosan kell fejleszteni a tanulók lényegkiemelő képességét, analizáló- és diszkussziós készségét, átfogó, nagyobb összefüggések felfedezésére is képes gondolkodását. Erre irányul a matematikaoktatásban a sokféle logikai feladat, a felfedeztető tanítás, az ismétlés, a rendszerezés, a szövegelemzés, a megoldások vizsgálata, a matematikai tartalmú játékok, és a tanár egyéniségétől, igényeitől függő, változatos módszertani megoldás. Az utóbbi években kiemelt cél a matematikai kompetenciák megszerzése, amelyeket új módszerek bevezetésével lehet kialakítani. Ilyenek például a pár-, csoport-, illetve a projektmunkák. A közösen, csoportban (vagy párban) végzett munka során ki kell alakítani a tanulók közötti együttműködést, a helyes munkamegosztást, az egyéni és a közösségi felelősségvállalást. A közös eredmény érdekében előtérbe kerül egymás személyének tiszteletben tartása, a szolidaritás, a tolerancia, a segítőkészség. Ebben a szocializációs folyamatban könnyebben fejleszthetők a tanulók egyéni képességei, könnyebben alakul ki az intenzív érdeklődés és a kíváncsiság, amelyek elősegítik a hatékonyabb tanulást. A tanulók matema7

Kerettanterv tikai szemléletének kialakításában nagy segítséget nyújtanak az interaktív tananyagok és az internet rendszeres használata. „A matematikai kompetencia az összeadás, kivonás, szorzás, osztás és arányképzés alkalmazásának képessége a mindennapok problémáinak megoldása érdekében, a fejben és papíron végzett számítások során. A hangsúly a folyamaton és a tevékenységen, valamint a tudáson van. A matematikai kompetencia felöleli – eltérő fokban – a matematikai gondolkodásmód alkalmazásának képességét és az erre irányuló hajlamot (logikus és térbeli gondolkodás), valamint az ilyen jellegű megjelenítést (képletek, modellek, szerkezetek, grafikonok, táblázatok). A matematikai kompetenciához szükséges tudás magában foglalja a számok, a mértékek és szerkezetek, az alapműveletek és alapvető matematikai fogalmak és koncepciók és azon kérdések megértését, amelyekre a matematika válasszal szolgálhat. Az egyénnek rendelkeznie kell azzal a készséggel, hogy alkalmazni tudja az alapvető matematikai elveket és folyamatokat a mindennapok során, otthon és a munkahelyen, valamint hogy követni és értékelni tudja az érvek láncolatát. Képesnek kell lennie arra, hogy matematikai úton indokoljon, megértse a matematikai bizonyítást, és a matematika nyelvén kommunikáljon, valamint hogy megfelelő segédeszközöket is alkalmazzon. A matematika terén a pozitív hozzáállás az igazság tiszteletén és azon a törekvésen alapszik, hogy a dolgok okát és azok érvényességét keressük.” (Részlet a Kulcskompetenciák az élethosszig tartó tanuláshoz – Európai referenciakeret anyagából) 6. évfolyam Heti óraszám: 3, éves óraszám: 108 Heti óraszám: 4, éves óraszám: 144 A témakör feldolgozására javasolt óraszám

Témakör

Heti 3 óra esetén 2 12 + 11 + 17 + 12 + 12 = 64

Heti 4 óra esetén 4 16 + 17 + 21 + 16 + 17 = 87

III. Geometria, mérés

11 + 15 = 26

15 + 20 = 35

IV. Összefüggések, függvények, sorozatok V. Valószínűség, statisztika

Folyamatos

Folyamatos

Folyamatos

Folyamatos

8

8

I. Gondolkodási módszerek II. Számtan, algebra

Négy felmérő dolgozat A • • •

8

szabadon hagyott órák felhasználása: számonkérés tehetséggondozás projektfeladatok elvégzése és megbeszélése

Kerettanterv A kerettanterv beosztása heti 3 (illetve 4) órában tanuló csoportoknak Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás

I. Gondolkodási módszerek

Órakeret heti 3 óra heti 4 óra

2 óra 4 óra Néhány elem sorbarendezése. A rendszerező gondolkodás alkalmazása. Adott tulajdonságú elemek halmazba rendezése. Halmazba tartozó elemek közös tulajdonságainak felismerése, megnevezése. Elemek halmazok metszetébe, uniójába való elhelyezése. A relációjelek ismerete és alkalmazása. Állítások igazságtartalmának eldöntése, az állítások tagadása.

A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai

Ismeretek tudatos memorizálása, felidézése. A megtanulást segítő eszközök és módszerek megismerése, értelmes, interaktív használatának fejlesztése. A rendszerezést segítő eszközök és algoritmusok megismerése. Valószínűségi és statisztikai szemlélet fejlesztése. A tervezés, ellenőrzés, önellenőrzés igényének kialakítása. Kommunikáció fejlesztése.

Ismeretek

Fejlesztési követelmények

Elemek elrendezése, rendszerezése adott szempont(ok) szerint, fadiagram használata. Néhány elem sorba rendezése és kiválasztása. Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján. A részhalmaz fogalma. Két véges halmaz közös része. Két véges halmaz egyesítése. Kulcsfogalmak/ fogalmak

A kombinatorikus gondolkodás, a célirányos figyelem kialakítása, fejlesztése.

A helyes halmazszemlélet fejlesztése. A matematikai logika nyelvének tudatos használata.

Kapcsolódási pontok Magyar nyelvtan.

Számelmélet, geometria.

Sorbarendezés, fadiagram. Halmaz, elem, részhalmaz, egyesítés, közös rész. Logikai faktorok és relációk.

9

Kerettanterv

Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás


Ismeretek A négy alapművelet elvégzése az egész számok körében. Műveleti tulajdonságok, a helyes műveleti sorrend. Műveletek eredményeinek előzetes becslése, ellenőrzése, kerekítése. A törtfogalom egységesítése a közönséges és a tizedes tört esetében. Törtek egyszerűsítése és bővítése. A számok reciprokának fogalma. A négy alapművelet az egészek és a törtek körében. A 0 szerepe a szorzásban, osztásban. 10

II. Számtan, algebra


64 óra 87 óra A természetes számok helyi értéke, alaki értéke, valódi értéke. A négy alapművelet elvégzése és zárójelhasználat a természetes számok körében. Negatív számok ismerete, összeadás, kivonás, természetes számmal való szorzás, osztás elvégzése. Számok abszolút értéke. Törtek kétféle értelmezése, összeadás, kivonás, természetes számmal való szorzás, osztás elvégzése. Számok helye a számegyenesen. Számszomszédok, kerekítés. A tanult számok nagyság szerinti összehasonlítása. A négy alapművelet, a relációjelek és a zárójelek helyes használata. Műveleti sorrend. Biztos számfogalom kialakítása. Számolási készség fejlesztése. A műveleti sorrend használatának fejlesztése, készségszintre emelése. Megoldási terv készítése, becslés, sejtés megfogalmazása; a kapott és a becsült megoldás összevetése. Fegyelmezettség, következetesség, szabálykövető magatartás fejlesztése. Pénzügyi ismeretek alapozása. Ellenőrzés, önellenőrzés. Fejlesztési követelmények

Kapcsolódási pontok A számfogalom mélyítése, a számkör bőví- Történelem, földrajz. tése. Számok ábrázolása számegyenesen. Egyszerű feladatok esetén a műveleti sorrend helyes alkalmazási módjának felismerése, alkalmazása. Az egyértelműség és a következetesség fontossága. Ellenőrzés és becslés. Számolási készség fejlesztése.

Számolási készség fejlesztése. A műveletekhez kapcsolódó ellenőrzés igényének és képességének fejlesztése. Önellenőrzés, önismeret fejlesztése.

Ének-zene: a hangjegyek értékének és a törtszámoknak a kapcsolata.

Kerettanterv

Ismeretek


Kapcsolódási pontok Egyszerű elsőfokú, egyisme- Önálló problémamegoldó képesség kialakí- Magyar irodalom: szöretlenes egyenletek, egyen- tása és fejlesztése. vegértés. lőtlenségek megoldása kö- Az egyenlő, nem egyenlő fogalmának elvetkeztetéssel, lebontogatás- mélyítése. Ellenőrzés. sal. Szövegértés és a szöveg matematikai értelA megoldások ábrázolása mezése. számegyenesen, ellenőrzés behelyettesítéssel. Arányos következtetések. A mindennapi életben felmerülő egyszerű arányossági feladatok megoldása következtetéssel. Egyenes arányosság.

A következtetési képesség fejlesztése. Szövegértés és a szöveg matematikai értelmezése. Az együtt változó mennyiségek kapcsolatának megfigyelése. Arányérzék fejlesztése, a valóságos viszonyok becslése.

Földrajz: Magyarország térképéről méretarányos távolságok meghatározása. Vizuális kultúra: valós tárgyak arányosan kicsinyített vagy nagyított rajza. Technika: makettek. Mindennapi élet: árA százalék fogalmának meg- A következtetési képesség fejlesztése. ismerése gyakorlati példáSzövegértés és a szöveg matematikai értel- leszállítás, egyszerű banki fogalmak. kon keresztül. mezése. Az alap, a százalékérték és a Az eredmény összevetése a feltételekkel, a százalékláb értelmezése. becsült eredménnyel, a valósággal. Egyszerű százalékszámítási feladatok arányos következtetéssel. Az osztó és a többszörös fogalmának kiala- Mindennapi élet: perióMaradékos osztás. dusok, ritmusok. kítása. Az oszthatóság fogalma. Eratosztenész szitája, Két szám közös osztóinak kiválasztása. Prímszám, összetett szám. Egyszerű oszthatósági sza- A legkisebb pozitív közös többszörös meg- prímtéglák. bályok (2-vel, 3-mal, 5-tel, keresése. A bizonyítási igény felkeltése. 9-cel, 10-zel, 100-zal). Két szám közös osztói, közös többszörösei. Kulcsfogalmak/ Elnevezések az alapműveletek körében. Közös osztó, közös többszöfogalmak rös. Egyenes arányosság. Százalék, százalékérték, alap, százalékláb. Negatív szám, előjel, ellentett, abszolútérték. Közönséges tört, számláló, nevező, közös nevező, reciprok, tizedes tört. Egyenlet, egyenlőtlenség.

11

Kerettanterv


Előzetes tudás



26 óra Hosszúság és távolság mérése, mértékegységei. Négyzet, téglalap jellemzői, kerülete, területe. Kör létrehozása, felismerése, jellemzői. A test és a síkidom megkülönböztetése. Kocka, téglatest jellemzői, felszíne, térfogata.

35 óra


Térelemek fogalmának elmélyítése – környezetünk tárgyainak vizsgálata. Távolság szemléletes fogalma, meghatározása. A sík- és térszemlélet fejlesztése. Rendszerező-képesség, halmazszemlélet fejlesztése. Számolási készség fejlesztése. A szaknyelv helyes használatának fejlesztése. A geometriai jelölések pontos használata. A pontos munkavégzésre nevelés. Az esztétikai érzék fejlesztése.

Ismeretek


A tengelyes tükrözés. A két ponttól egyenlő távolságra levő pontok. Szakaszfelező merőleges. Egyszerű alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése. A tengelyes tükrözés tulajdonságai. Nevezetes szögek szerkesztése. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok. Tengelyesen szimmetrikus háromszögek, négyszögek (deltoid, rombusz, húrtrapéz, téglalap, négyzet), sokszögek. A kör. Háromszögek és csoportosításuk szögeik és oldalaik szerint.

Szimmetrikus ábrák készítése. Tükrözés körzővel, vonalzóval. Tükrözés koordináta-rendszerben. A tengelyes tükrözés tulajdonságainak ismerete. Új fogalom a körüljárás. A transzformációs szemlélet fejlesztése.

12

A tengelyes szimmetria vizsgálata hajtogatással, tükörrel. A szimmetria felismerése a természetben és a művészetben.

Kapcsolódási pontok Technika: megfelelő eszközök segítségével figyelmes, pontos munkavégzés.

Vizuális kultúra; természetismeret: tengelyesen szimmetrikus alakzatok megfigyelése, vizsgálata a műalkotásokban.

Tulajdonságok megfigyelése, összehasonlí- Vizuális kultúra: hátása. romszögek a művészetben, építészetben. Halmazba sorolás.

Kerettanterv

Ismeretek


Kapcsolódási pontok Négyszögek, speciális négy- Az alakzatok tulajdonságainak ismerete és Művészet: négyszögek szögek: trapéz, paralelogösszehasonlításuk. az építészetben. ramma, deltoid, rombusz Halmazokba sorolás különféle tulajdonsá- Tangram. megismerése. gok szerint. Háromszög, négyszög, sokszög belső és külső szögeinek összege.

A belső és külső szögeinek összegére vonatkozó ismeretek megszerzése tapasztalati úton.

Háromszögek és speciális négyszögek szerkesztése.

Szerkesztés tervezése, vázlatkészítés. Körző és vonalzó használata. Pontos munkavégzésre törekvés.

Szabályos sokszögek. Testhálók.

Kerület meghatározása méréssel, számolással. Térszemlélet fejlesztése. A felszín fogalmának elmélyítése.

Kulcsfogalmak/ fogalmak

Szakaszfelező merőleges, szögfelező. Síkidom, sokszög, kör, test, csúcs, él, lap, szög, gömb. Kerület, terület, felszín, testek hálója, térfogat. Tengelyes tükrözés, tengelyes szimmetria. Egyenlő szárú háromszög, egyenlő oldalú háromszög, húrtrapéz, deltoid, rombusz.


IV. Függvények, az analízis elemei

Technika: megfelelő eszközök segítségével figyelmes, pontos munkavégzés.

Órakeret heti 3 óra heti 4 óra folyamatos

Előzetes tudás

Szabályfelismerés, szabálykövetés. A szabály megfogalmazása egyszerű formában, a hiányzó elemek pótlása. Tapasztalati adatok lejegyzése, táblázatba rendezése.


Sorozat megadása szabállyal. A koordináta-rendszer biztonságos használata. A függvényszemlélet előkészítése. Összefüggés-felismerő képesség fejlesztése. Szabálykövetés, szabályfelismerés képességének fejlesztése.

Ismeretek


Táblázat hiányzó elemeinek pótlása ismert vagy felismert szabály alapján, ábrázolásuk grafikonon.

Összefüggések felismerése. Együtt változó mennyiségek összetartozó adatpárjainak jegyzése: tapasztalati függvények, sorozatok alkotása.

Kapcsolódási pontok

13

Kerettanterv

Ismeretek


Változó mennyiségek közötti kapcsolatok, ábrázolásuk derékszögű koordinátarendszerben. Gyakorlati példák egyenes arányosságra. Az egyenes arányosság grafikonja.

Egyszerű grafikonok értelmezése. A megfigyelőképesség, az összefüggésfelismerés gyakorlása.

Kapcsolódási pontok Mindennapi élet: vásárlás, háztartás.

Eligazodás a mindennapi élet egyszerű gra- Fizika: út, idő sebesség fikonjaiban. kapcsolata.

Sorozat megadása a képzés Szabálykövetés, szabályfelismerés. szabályával, illetve néhány elemével. Példák konkrét sorozatokra. Sorozatok folytatása adott szabály szerint.

Mindennapi élet: szabályok, periódusok.

Kulcsfogalmak/ fogalmak

Koordináta-rendszer, táblázat, grafikon, egyenes arányosság.


V. Statisztika, valószínűség

Órakeret heti 3 óra heti 4 óra folyamatos

Előzetes tudás

Adatgyűjtés, adatok lejegyzése, diagram leolvasása. Valószínűségi játékok, kísérletek, megfigyelések. Biztos, lehetetlen, lehet, de nem biztos.


A statisztikai gondolkodás fejlesztése. A valószínűségi gondolkodás fejlesztése. Megfigyelőképesség, összefüggés-felismerő képesség, elemzőképesség fejlesztése.

Ismeretek


Kapcsolódási pontok

Valószínűségi játékok és kí- Valószínűségi és statisztikai alapfogalmak sérletek dobókockák, pénz- szemléleti alapon történő kialakítása. érmék segítségével. Kommunikáció és együttműködés. Valószínűségi kísérletek végrehajtása. Adatok tervszerű gyűjtése, rendezése. Egyszerű diagramok, értelmezése, táblázatok olvasása, készítése. Átlagszámítás néhány adat esetén (számtani közép). Kulcsfogalmak/ fogalmak 14

Tudatos és célirányos figyelem gyakorlása. Informatika: adatNapi sajtóban, különböző kiadványokban kezelés, adatfeldoltalálható grafikonok, táblázatok elemzése. gozás, információmegjelenítés. Az átlag lényegének megértése. Számolási Földrajz: időjárási átlakészség fejlődése. gok. Adat, diagram, átlag.

Hány eset van?

1–2. óra: Hány eset van? Heti 4 órában tanuló csoportok esetén a témakör feldolgozására 2 tanórával több áll rendelkezésre. Tk.: 4–6. oldal, 1–11. feladat Mire építünk? Az alsó tagozatban és az 5. évfolyamon is számtalan hasonló típusú logikai feladatot oldottak meg a tanulók. Például: hányféleképpen lehet vázába virágokat elhelyezni, sorba állítani tárgyakat, pontok koordinátáit adott halmaz elemeiből kiválasztani: : : Meddig jutunk el? Érdemes ezzel a rövid fejezettel indítani a tanévet, így az együtt gondolkodás segítségével talán könnyebben belelendülnek a gyerekek a tanulásba a nyári szünet után. Azonban a fejezet feldolgozható a tanév során folyamatosan egy-egy feladat kitűzésével is. Most „megtanuljuk” a független esetek összeszámlálását logikai rend szerint. Megismerkednek a gyerekek a könnyen elkészíthető, de igen munkaigényes fadiagrammal, és az esetek összeszámlálására szolgáló „szorzási szabállyal”. A sorbarendezési feladatok összes esetének meghatározásához egy biztos eljárás megismerése és alkalmazása szükséges feladatokon keresztül. Lényegében az n különböző elem összes permutációjának számát, az n · (n − 1) · (n − 2) · : : : · 2 · 1 = n ! fogalmát ismerik meg a gyerekek konkrét feladatok megoldása kapcsán. Érdeklődőbb osztályban érdemes a feladatok egy részét tovább is kérdezni. Hogyan folytatjuk? Minden év elején hasonló szerkezetű „logikai blokkal” indítunk. A következő tanévben ciklikus és ismétléses permutációra vezető feladatokat fogunk megoldani. Minden feladatnál engedjük a gyerekeket rajzolni, próbálkozni, soha ne erőltessük a logikai megoldást, de beszéljük meg azt is! Feladatok 1. Hányféle úton tud eljutni a kisegér a sajthoz, ha két falon kell átmennie? Az első falon 2, a másodikon pedig 3 olyan lyuk van, amelyen keresztül tud bújni. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az ábrán pirossal megjelölt úton fog haladni a kisegér, ha minden útvonalon azonos eséllyel megy a sajthoz? A gyerekek, akár az összes lehetséges út felrajzolásával és megszámolásával, akár logikai úton (2 · 3 féle eset van) hamar megoldják az ilyen típusú feladatokat. 1 2 · 3 = 6-féle úton jut el a kisegér a sajthoz, ezért a valószínűsége, hogy az előre megjelölt úton megy. 6

2. Hencidából Boncidába 2 út vezet. Boncidából Piripócsra 3, míg Piripócsról Kukutyinba 4 út vezet. Ha mindig kelet felé haladunk, akkor hányféleképpen juthatunk el Hencidából H B P K 15

Hány eset van? a) Piripócsra Boncidán keresztül; 2 · 3 = 6 b) Kukutyinba Boncidán és Piripócson keresztül? 2 · 3 · 4 = 24 3. Az erkélyen lévő beépített virágosládák mindegyikébe egy-egy fehér, rózsaszín és piros begóniát akarunk ültetni. Hány ládát és hány palántát vásároljunk, ha mindegyik ládába más sorrendbe szeretnénk beültetni a virágokat? A fehér, a rózsaszín és a piros virágok lehetséges sorrendjét lerajzolgatják a gyerekek, vagy logikai úton megmondják, hogy 3 · 2 · 1 = 6-féle virágosláda lesz. Ezért 6 ládát és 6 · 3 = 18 palántát kell venni (mindegyik színűből 6-6 darab kell).

4. Ági, Zsuzsi, Marcsi és Jutka moziba mennek. a) Hányféleképpen tudnak leülni egymás melletti székekre? 4 · 3 · 2 · 1 = 24-féle leülési sorrendje van a négy kislánynak.

b) Ha Ági és Zsuzsi mindenképpen egymás mellé szeretne ülni, akkor hányféle sorrend lehetséges? Ha két kislány egymás mellé szeretne kerülni, akkor az összes eset meghatározása egy igen rafinált ötletet igényel. Érdemes eljátszani a feladatot az órán: Ági és Zsuzsi megfogja egymás kezét – ők egy „egységet” alkotnak, ezért csak a Marcsival és Jutkával való sorrendjüket kell meghatározni. Ez 6 lehetséges eset, de Ági ülhet Zsuzsi jobb és bal oldalán is, ezért 2 · 6 = 12 sorrend lesz.

5. Hányféle sorrendben lehet a borítékra felragasztani egymás mellé a) egy 20 Ft-os, egy 50 Ft-os és egy 100 Ft-os, 3 · 2 = 6 b) egy 20 Ft-os, egy 50 Ft-os, egy 100 Ft-os és egy 110 Ft-os bélyeget? 4 · 3 · 2 = 24 6. „A mi családunkban nincs két ember, aki egyformán inná a kávét” – meséli Joli néni. „Van, aki hidegen issza, van, aki melegen szereti; van, aki cukorral, van, aki édesítővel issza; van, aki tesz bele tejet, van, aki nem.” Joli néni 80. születésnapjára összejött a család. Ha még valaki jött volna, akkor már nem ihatott volna mindenki másképpen elkészített kávét. Hányan ittak kávét a születésnapon? tejjel cukorral tej nélkül hidegen tejjel édesítővel tej nélkül kávé tejjel cukorral tej nélkül melegen tejjel édesítővel tej nélkül

Kávét ezen a születésnapon éppen annyian ittak, ahány lehetséges elkészítése van a kávénak az adott feltételek szerint, hiszen ha még egy személy ivott volna kávét, az már új ízesítést nem választhatott volna. Tipikus skatulyaelvre épülő feladat. Ezt a feladatot érdemes fadiagrammal megoldani. Összesen 8-an ihatnak különböző ízesítésű kávét. Jobb képességű gyerekeknél érdemes tovább kérdezni, illetve kérdeztetni. Például: Hogyan módosul a feladat eredménye, ha a) kis és nagy adag közül is lehet választani, b) tejszínhabot kér valaki hozzá vagy nem, c) cukorral, édesítővel és cukor nélkül is lehet inni?

7. A fiúknak testnevelésórán a kötelező bemelegítés után rúdra vagy kötélre kell mászniuk, majd medicinlabdázniuk vagy súlyzózniuk kell, s csak ezután lehet labdajátékot választaniuk: kosár-, zsinórlabda vagy foci közül. Hány edzési lehetősége van egy-egy fiúnak a testnevelésórán? Az edzési lehetőségek száma: 2 · 2 · 3 = 12 (fadiagrammal vagy logikai úton).

16

Hány eset van? 8. a) Hány ötjegyű számot lehet kirakni az 1 , 2 , 3 , 4 , 5 számkártyákból? Hány 5-re végződő lesz a kirakott számok között? Mi a valószínűsége annak, hogy ha véletlenszerűen kirakunk egy ötjegyű számot, akkor az éppen 5-re végződő lesz? A kirakható ötjegyű számok száma: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 – nem érdemes fadiagrammal megoldani. Ha a szám ötre végződik, akkor csak az 1, 2, 3, 4 számkártyák összes lehetséges sorrendjét kell meghatározni, amely 4 · 3 · 2 = 24, mert az 5-ös számkártya helyét a feladat kijelölte. A keresett valószínűség 1 1 24 = . Az -öt úgy is megkaphatjuk, hogy csak 1 jó számjegy kerülhet az 5 közül az utolsó számjegy 120 5 5 helyére.

b) Hány ötjegyű számot lehet kirakni a 0 , 1 , 2 , 3 , 4 számkártyákból? Az első helyre csak 0-tól különböző számkártyát tehetünk. A kirakható ötjegyű számok száma: 4 · 4 · 3 · 2 · 1 = 96.

9. Hat jóbarát biciklitúrára ment. A vita elkerülése érdekében azt találták ki, hogy minden alkalommal más-más sorrendben kerekeznek. Délelőtt és délután is tekertek. a) Megvalósíthatták-e a tervüket, ha 2 hetes volt a túra? b) Hány napos lenne a túra, ha az összes lehetséges sorrendben bicikliznének? A feladat megoldása előtt feltétlenül becsüljenek a gyerekek. Írjuk fel a táblára a véleményeket: elég a 2 hét: x tanuló; nem elég a 2 hét: y tanuló! Döbbenetesen nem érzékelik a gyerekek a nagyságrendjét a sorbarendezési feladatoknak. A hat jóbarát összesen 6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 720-féle sorrendben biciklizhet, ami 360 napot jelent, hiszen egy napon kétszer voltak úton. Így majdnem egy éven át kerekezhetnének, természetesen a két hét nagyon rövid idő a tervük megvalósításához. (Ez 28 biciklizés, azaz legfeljebb 4 gyerek esetén lenne elegendő.)

10. Az iskolai matematikaversenyen 8 kitűzött feladat volt. Jóska végigolvasta azokat, s eldöntötte, hogy az utolsó példát hagyja utoljára, és a harmadik feladatot fogja először megoldani. Hányféle sorrendben oldhatná meg a fennmaradó hat feladatot? A nyolc feladatból kettőnek kötött a helye, ezért a fennmaradó hat feladat lehetséges sorrendjét kell meghatározni. Ez 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720.

11. Tanultátok már ezeket az igekötőket: be, ki, le, fel, meg, el, át, rá, ide, oda, szét, össze, vissza. Illeszd ezeket hozzá a következő igékhez: fog, ír, hív, olvas, megy! Hány szót tudsz így alkotni? Melyik igével kapod a legtöbb olyan szót, amelyet a mindennapi életben is használunk? 2-3 fős csoportokban vitassák meg a feladatot a gyerekek. Bizonyos szavaknál nem lesz teljes az egyetértés (például a „szétolvas” többek szerint nem értelmes magyar szó, míg mások szerint a nagyon sokszor elolvasott, és lapjaira széthulló könyvnél használjuk). Még a magyar szakos kolléga háláját is kiérdemeljük vele, ha a különböző összetételekkel mondatokat is mondanak a gyerekek. Készítsünk táblázatot! Ige fog ír hív olvas megy

Képzett szavak száma 13 13 13 13 13

Mindennapi 11 (nem 12 (nem 11 (nem 10 (nem 11 (nem

életben is használjuk használjuk: ide-, szét-) használjuk: szét-) használjuk: rá-, szét-) használjuk: ide-, oda-, szét-) használjuk: meg-, ide-)

Összesen 5 · 13 = 65 szó képezhető, amelyből 55 használatos is.

17

Műveletek egész számokkal

Műveletek egész számokkal 1. óra: Mit tudunk az egész számokról? 2–3. óra: Egész számok összeadása és kivonása 4–5. óra: Több tag összege, különbsége 6–7. óra: Szorzás és osztás egész számokkal 8. óra: Több egész szám szorzása, osztása 9–10. óra: Műveletek sorrendje 11–12. óra: Gyakorlás 13–14. óra: Felmérő Heti 4 órában tanuló csoportok esetén a témakör feldolgozására 4 tanórával több áll rendelkezésre (ezek további gyakorlásra, tehetséggondozásra, projektek bemutatására, időközi számonkérésre fordíthatók). Mire építünk? A gyerekek már alsó tagozaton megismerkedtek az egész számokkal. Ötödik osztályban megtanulták az abszolút érték és az ellentett fogalmát. Megtanulták kiszámítani egész számok összegét és különbségét az adósság-vagyon modell segítségével. Egy- és kétjegyű számok körében dolgoztak. Meddig jutunk el? • Nagyobb számokra is alkalmazzuk az egész számok összeadásáról és kivonásáról tanultakat. • Tovább mélyítjük a kivonás és összeadás kapcsolatáról korábban szerzett ismereteket. • Megtanítjuk az egész számok szorzásának és osztásának szabályait. • Behelyettesítéssel meghatározzuk algebrai kifejezések előjelét. Ezt számegyenesen is ábrázoljuk. • Koordináta-rendszerben ábrázolunk egyszerű algebrai kifejezésekhez tartozó ponthalmazokat.

1. óra: Mit tudunk az egész számokról? Tk.: 7–9. oldal, 1–10. feladat Az óra célja: a negatív számokról szerzett ismeretek átismétlése. Mielőtt az egész számok összeadását és kivonását ismételni kezdenénk, alaposan gyakoroltassuk be a gyerekekkel az abszolút érték és az ellentett fogalmakat! Győződjünk meg róla, hogy minden gyerek könnyen és biztosan össze tud hasonlítani nagyság szerint két egész számot! Nagyon fontos, hogy természetessé váljék számukra, hogy 0-tól távolodva a negatív számok csökkennek, miközben nő az abszolút értékük. Javasolt eszközök: adósságcédulák és készpénzkorongok, számegyenes.

18

Műveletek egész számokkal Feladatok A fejezetben főleg egész számokkal dolgozunk, de folyamatos ismétlésként tört, illetve tizedes tört alakú számok is megjelennek. 1. Válaszolj a kérdésekre az A halmaz elemeit vizsgálva! A −9 a) Melyik a legnagyobb szám? 133 1 0 5 − b) Melyik a legnagyobb abszolút értékű szám? 133 3 13 13 033 10 c) Melyik a legkisebb szám? −12 0 13 3 d) Melyik a legkisebb abszolút értékű szám? 0 −12 e) Mennyi a legnagyobb és a legkisebb abszolút értékű szám összege? 133 f) Mennyi a legnagyobb és a legkisebb abszolút értékű szám különbsége? 133 2. Az A halmaz elemeiről mondunk állításokat. Döntsd el, melyik igaz, melyik nem! a) A legnagyobb abszolút értékű szám a legkisebb. Hamis. b) A legnagyobb abszolút értékű szám a legnagyobb. Igaz. c) A legkisebb abszolút értékű szám a legkisebb. Hamis. d) A legkisebb abszolút értékű szám a legnagyobb. Hamis. 3. Mely számok helyét jelöltük a számegyenesen?

a b

a)

c d

ef

−12 −8

a = −7, b = −5, c = 2, d = 4, e = 10, f

g

b)

h i

j

k l

10

80

g = −40, h = −20, i = −5, j = 30, k = 60, l = 75

= 11

4. Ábrázold számegyenesen a megadott számokat, majd állítsd azokat növekvő sorrendbe! a) −11

+12

−10 −11

c) +150

−7

−5

0

0 −7 −5

−60

+3

b)

5 4

−

3 4

7 4

1

−2

−

1 4

10

0

+3

−180

+210

+12 −2

−15

+100

− 34 − 14

+10

1

5 4

7 4

−75

0 −180

−75−60

−15

+10

+100

+150

+210

5. Írj a keretek helyére a füzetedbe olyan egész számokat, amelyek igazzá teszik a nyitott mondatokat! a) − 5 = (−5) b) − −5 = (+5) c) − −12 = 12 d) (−3) < − < 7 = 2, 1, 0, −1, −2, −3, −4, −5, −6 e) 0 < −

< 5

= −1, −2, −3, −4

f) (−2) < −

< 3

= 1, 0, −1, −2

19

Műveletek egész számokkal 6. Hol helyezkednek el a számegyenesen azok a számok, amelyek a) kisebbek, mint (−2); −2

0

b) nem kisebbek, mint 5; 0

5

c) nagyobbak, mint (−10); −10

0

d) nem kisebbek, mint (−15), és kisebbek, mint 9? −15

9

A választ nemcsak az egészek körében keressük. Nem akarunk úgy tenni, mintha törtekről még nem tanultunk volna. Fontos és nehéz gondolat, hogy például a −2-nél kisebb számok között nincsen legnagyobb. Mindegyik üres karikával végződő intervallum esetében felvetődhet ez a probléma. 7. Ábrázold számegyenesen azokat a számokat, amelyek abszolút értéke a) nem több, mint 10; b) 4; c) 3 és 4 közé esik; d) (−5); e) minimum 3 és maximum 8; f) legfeljebb 6!

−10

0

10

−4

0

4

−4 −3

0

3 4

Nincs ilyen szám. −8

−3

−6

0

3

0

8 6

Ezeknek a feladatoknak a megoldása sokkal könnyebb, ha engedjük próbálgatni a gyerekeket. Érdemes kezdetben közösen megoldani néhányat közülük. Javasoljon egy gyerek egy számot, és próbálja ki, hogy jó-e! Ha nem jó a szám, vagyis nem felel meg a feltételnek, akkor jelöljük meg feketével a helyét a számegyenesen! Ha megfelel a feltételeknek, akkor jelöljük meg pirossal a helyét! Próbálkozzanak nem egész számokkal is! Egy-egy konkrét szám kipróbálása abban segít, hogy megértsék az összetettebb feltételeket is. Ezután sokkal könnyebb lesz az összes megoldást megtalálni, és kijelölni a számegyenesen. 8. Ábrázold számegyenesen azokat a számokat, amelyek ellentettje a) kisebb, mint (−2); 0

b) legalább 5; c) nagyobb vagy egyenlő 5-tel; 20

−5

0

−5

0

2

Műveletek egész számokkal d) legfeljebb (−6); e) (−6) és 4 közé esik;

−4

0

6

0

6

f) maximum (−10)! 0

10

9. A megadott számokat vagyoni helyzetként kell felírni. Minden esetben megadtuk vagy az adósság, vagy a készpénz mennyiségét. Pótold a hiányzó adatokat! Egész szám

−9

15

−22

−12

Adósságcédula

11 db

13 db

25 db

8 db

34 db

99 db

Készpénzcédula

2 db

28 db

3 db

15 db

22 db

94 db

7

−5

Sokszor van szükség arra, hogy az egész számokat többféle alakban is el tudják képzelni a gyerekek. Mindig egy adott probléma szabja meg azt, hogy egy számnak éppen melyik alakjára van szükségünk. Későbbiekben sokat segíthet, ha ilyen típusú feladatokat gond nélkül tudnak a tanítványaink megoldani. Az ilyen fajta feladat fontos láncszem annak a szemléletmódnak a kialakításában, hogy a számok, majd később az algebrai kifejezések különféle alakjai (bővített alak, egyszerűsített alak, szorzat alak stb.) egyenértékűek egymással, egyiket szabadon kicserélhetjük a másikra. Fontosnak tartjuk, hogy a gyerekek ne az algebrában találkozzanak először ezzel a gondolattal. 10. Szemléltesd a következő számok mindegyikét legalább háromféleképpen vagyoni helyzetként! −6 6

+0

= 10

+4

:::

3 3

=5

+2

:::

0 2

+2

= :::

−1 1

=5

+4

:::

2–3. óra: Egész számok összeadása és kivonása Tk.: 10–16. oldal, 1–20. feladat Ötödik évfolyamon a gyerekek megtanultak egész számokat összeadni, kivonni, természetes számmal szorozni és osztani a százas számkörben. A műveletvégzés során az adósság-vagyon modellre támaszkodhattak. Ez nagyon jó modell, amelyhez mindig vissza lehet térni, és amely ugyanakkor az egész számok egy igen lényeges tulajdonságára irányítja rá a figyelmet. Ebben a részben előjeles számok összeadása és kivonása helyett az előjeles szám hozzáadására és előjeles szám elvételére fektetjük a fő hangsúlyt. Arra irányítjuk a gyerekek figyelmét, mi történik, ha egy akármilyen számhoz hozzáadunk vagy akármilyen számból elveszünk egy pozitív vagy egy negatív számot. Növekszik-e az eredeti szám vagy csökken, és mennyivel? Ehhez nagyon könnyen megérthető, és jól használható kép a séta a számegyenesen. Egyaránt fontos, hogy jól megtanulják és jól megértsék a gyerekek, hogy negatív szám hozzáadása vagy pozitív szám kivonása egyaránt csökkenti az eredeti számot, és ugyanarra az eredményre vezet. Hasonlóan, hogy pozitív szám hozzáadása és negatív szám kivonása egyaránt növelik az eredeti számot, és mindkettő ugyanarra az eredményre vezet.

21


A két modell, az adósság-vagyon és a számegyenesen sétálás alapos megértésére alapozva kezdjünk hozzá az ezres számkörben való műveletvégzéshez! Az előjel megállapítására kicsit egyszerűbbnek gondoltuk az adósság-vagyon modellt, az abszolút érték megállapítására a számegyenesen való mozgás elképzelését. Mindegy, hogy a gyerek melyik modell alapján okoskodik, azt tartjuk lényegesnek, hogy ne mechanikus szabályok, hanem megértett és valóságból szerzett tapasztalatokon alapuló műveletfogalom alapján végezze a számolásokat. Feladatok A tankönyv első három feladata nagyon egyszerű ismétlő gyakorlat. Jó osztályokkal elég egyetegyet megoldani közülük. Gyengébb tanulóknak érdemes többet feladni. 1. Kinek van ugyanannyi vagyona? a) Anna vagyona:

b) Béla vagyona: −3

3

c) Cili vagyona:

d) Dóri vagyona: −3

3

e) Erika vagyona:

f) Ferkó vagyona: −7

3

g) Gábor vagyona:

h) Hugó vagyona: −7

4

Közülük kitől lehet kapni 5 készpénzcédulát? Mennyi vagyona marad, ha elkérünk tőle 5 készpénzcédulát? Anna: −2, Cili: −8, Dóri: −2, Erika: −2, Hugó: −1. 2. Írd le a matematika nyelvén a szövegeket, és számold ki, kinek mennyi vagyona lesz! a) Anna vagyona (+12), és kap (+8)-at.

b) Erika vagyona (+5), és költ 8 készpénzt. 5 − 8 = −3

12 + 8 = 20

c) Böbe vagyona (−2), és kap (+21)-et.

d) Fanni vagyona (−3), és költ (+11) készpénzt.

−2 + 21 = 19

−3 − 11 = −14

e) Csaba vagyona (−8), és szerez 11 adósságcédulát. −8 + (−11) = −19 Nézz utána, mit jelentenek, honnan erednek vagyon és pénz szavaink! Miért a kész szóval kezdődik a készpénz szavunk? 3. Mi történhetett? Írj róla műveletet! a) Ancsának ennyi vagyona volt:

,

és ennyi lett:

.

Elköltött 5 készpénzt vagy szerzett 5 adósságcédulát: 3 − 5 = 3 + (−5).

b) Béci vagyona ennyi volt:

,

és ennyi lett:

.

Bécinek 6 készpénzcédulája és 10 adásságcédulája van. Mennyi a vagyona? 6 − 10 = 6 + (−10) = −4

c) Csongor vagyona ennyi volt:

,

és ennyi lett:

.

Csongor visszafizette 3 adósságcéduláját (−4) − (−3) = (−1), vagy kapott 3 készpénzt valakitől (−4) + + 3 = (−1).

d) Dini vagyona ennyi volt:

,

és ennyi lett:

.

Dini 5 adósságcédulájához kapott 7 készpénzcédulát. Ekkor −5 + 7 = 2 készpénzcédulája lett.

22

Műveletek egész számokkal e) Editke vagyona ennyi volt:

,

és ennyi lett:

.

Editkének egy adósságcédula mutatja a tartozását. Egy munka elvégzése után 9 készpénzcédulát kapott fizetségül. Így vagyona −1 + 9 = 8 készpénzcédula.

4. Végezd el a változtatásokat összeadással és kivonással is! a) Növeld a (−8)-at 3-mal! −8 + 3 = −8 − (−3) b) Növeld a (+6)-ot 7-tel! 6 + 7 = 6 − (−7) c) Csökkentsd a (−12)-t 6-tal! −12 − 6 = −12 + (−6) d) Csökkentsd a (+9)-et 9-cel! 9 − 9 = 9 + (−9) Jól bevált gyakorlat a következő: • Képzeld magad elé a számegyenest! Tedd az ujjadat a +200-ra! (A gyerekek a gondolatbeli számegyenesen a megadott számra mutatnak. Jól látjuk felemelt jobb kezüket.) • Hozzáadtam 300-at. Mutasd, hová jutottál! (A gyerekek nagy mozdulattal jobbra lépnek a mutatóujjukkal.) • Hozzáadtam −600-at. Mutasd, hova jutottam! (Az egész osztály nagyot mozdul balra.) • Kivontam −500-at. (Most jobbra mozdulnak.) Egyszerű kis gyakorlat ez, de ha valaki rossz irányba mozdul, azt azonnal észre lehet venni, és így arra a gyerekre jobban odafigyelünk a következő lépésben. Azért kell elég nagy lépéseket diktálnunk, mert kisebbek esetében a gyerekek apró mozdulatai nem látványosak. A nagy számokra önkéntelenül is szélesebb mozdulatot tesznek. Ha a növekedés, illetve a csökkenés irányát nem tévesztik el, akkor a kiszámolás általában már kisebb gondot okoz. 5. Megadjuk a Föld néhány nagy tavának és tengerének mélységét. Ezt a mélységet természetesen a tó felszínétől számítják. Megadjuk a tavak felszínének tengerszint feletti magasságát is. Számítsd ki minden tó aljának a tengerszint feletti magasságát! Az adatok alapján válaszolj a kérdésekre! Tó neve Bajkál-tó

Tengerszint feletti magassága 455 m

Maximális mélysége 1642 m

Balaton

104 m

125 m

Kaszpi-tenger

−28 m

1025 m

Csorba-tó

1346 m

20 m

176 m

281 m

29 m

37 m

−427 m

387 m

75 m

244 m

Michigan-tó Aral-tó Holt-tenger Ontario-tó

Melyik van magasabban? Mennyivel?

23

Műveletek egész számokkal a) A Balaton felszíne vagy a Bajkál-tó alja?

b) Az Aral-tó feneke vagy a Michigan-tó alja?

Bajkál-tó felszíne

Michigan-tó felszíne

455 m

Balaton felszíne 104 m tengerszint

176 m Aral-tó felszíne tengerszint 29 m 8m alja

1642 m 1187 m

281 m 37 m 105 m

alja

alja

105 − 8 = 97 Az Aral-tó feneke 97 m-rel magasabban van, mint a Michigan-tó alja.

104 + 1187 = 1291 A Balaton felszíne 1291 m-rel magasabban van, mint a Bajkál-tó alja.

c) A Kaszpi-tenger feneke vagy a Holt-tenger felszíne?

d) A Ontario-tó legalja vagy a Csorba-tó felszíne? Csorba-tó felszíne alja

tengerszint 28 m Kaszpi-tenger felszíne 427 m 1346 m 1025 m

1053 m

Holt-tenger felszíne 387 m alja

Ontario-tó felszíne tengerszint 75 m 169 m

244 m

alja

alja

1053 − 427 = 626 A Holt-tenger felszíne 626 m-rel magasabban van, mint a Kaszpi-tenger feneke.

169 + 1346 = 1515 A Csorba-tó fenszíne 1515 m-rel magasabban van, mint az Ontario-tó legalja.

Nézz utána, hogyan nevezik a Csendes-óceán legmélyebb pontját! Találsz-e ennél mélyebb helyet a többi óceánnál? A Csendes-óceán (és egyben az összes óceán) legmélyebb pontja a Mariana-árokban található Challenger Deep. A legfrissebb, 2012-es mérések szerint a 10 994 méteres (±40 m) mélység arról a brit kutatóhajóról kapta a nevét, amely 1875-ben felfedezte.

6. a) Készíts összeadásokat úgy, hogy az egyik összeadandót a {−183; −15; +762} halmazból, a másikat pedig a {−17; +13; −120; +85} halmazból választod! b) Hány eset lehetséges? Végezd el az összes lehetséges összeadást! 12 eset lehetséges.

24

−183 + 13 = −170

−15 + 13 = −2

+762 + 13 = 775

−183 + (−120) = −303

−15 + (−120) = −135

+762 + (−120) = 642

−183 + (−17) = −200

−15 + (−17) = −32

+762 + (−17) = 745

−183 + 85 = −98

−15 + 85 = +70

+762 + 85 = 847


A 6. feladat is illusztrálja azt a gondolatot, hogy minden fejezeten belül lehet és kell is a kombinatorikai gondolkodást fejleszteni. 7. Az a − b különbségben az a értékét a {−42; +27; −13}, a b értékét pedig a {−37; −48; +13; −42} halmazból választjuk. Végezd el a kivonást az összes lehetséges módon! −42 − (−37) = −5

27 − (−37) = 64

−13 − (−37) = 24

−42 − (−48) = 6

27 − (−48) = 75

−13 − (−48) = 35

−42 − (−42) = 0

27 − (−42) = 69

−13 − (−42) = 29

−42 − 13 = −55

27 − (+13) = 14

−13 − (+13) = −26

8. Válassz egy számot a számegyenesen! A feladatok mindegyikében erről a számról indulj! a) Vonj le belőle (−10)-et! b) Vonj ki belőle (−9)-et! c) Lépj jobbra 9-et! d) Lépj balra 18-at! e) Csökkentsd 9-cel! f) Növeld 18-cal! g) Vonj ki belőle (−18)-at! h) Adj hozzá 9-et! i) Növeld 10-zel! j) Csökkentsd 6-tal! k) Vonj ki belőle 6-ot! l) Végy el belőle 6-ot! Csoportosítsd az utasítások betűjeleit aszerint, hogy a kiinduló értéknél nagyobb vagy kisebb számhoz jutottál! Ezek növelnek a), b), c), f), g), h), i)

Ezek csökkentenek d), e), j), k), l)

Válaszd ki az azonos jelentésű utasításokat! a)–i), b)–c)–h), f)–g), j)–k)–l) 9. Egy sorozat első eleme legyen 10, a második elem legyen 5-tel több, a harmadik elem legyen 4-gyel több, mint az előző! Mindig eggyel kisebb legyen a különbség, mint a korábbi két elem különbsége volt! a) Mennyi lesz az 5. elem? 24 b) Mennyi lesz a 8. elem? 24 c) Mennyi lesz a 20. elem? −66 d) Folytasd a sorozatot az első elemtől visszafelé 5 elemmel! Ha visszafelé folytatjuk, az 5. lépés a −30-hoz vezet.

10. A következő műveletek mindegyikében az egyik szám abszolút értéke 663, a másiké 521. Minden lehetséges módon előjeleket adtunk nekik, majd összeadásokat és kivonásokat készítettünk belőlük. Számold ki őket! Gondold meg a számolások elvégzése előtt, hogy hányféle eredményt kapsz, és hogy melyik feladatok vezetnek azonos eredményre! a) (+663) + (−521) = 142 b) (−521) − 663 = −1184 c) (−663) − (−521) = −142 d) (+663) − 521 = 142 e) 521 − 663 = −142 f) (−521) − (−663) = 142 g) (−663) + 521 = −142 h) 521 − (−663) = 1184 i) 663 − (−521) = 1184 j) (−521) + 663 = 142 k) (−663) + (−521) = −1184 l) 663 + 521 = 1184 m) 521 + (−663) = −142 n) (−521) + (−663) = −1184 o) (−663) − 521 = −1184 11. Mi az elrejtett szó? Írd le a füzetedbe a kígyó hátán álló műveletek eredményeinek megfelelően az azokkal egyenlő értékű betűket! B = −738 − 1219 = −1957 K = −1523 + (−749) = −2272 A = 956 − (−611) = 1567 L = −641 + (−49) = −690 25


A

−9

+ −

20

00

06

)

−

90

68

1) 75 (−

−

7)

B

1664

6

0

99 −

43

−9 7+

81

0 +3

19

43

L

A

B

57

8

B

1

1 1+

−51 −

−2 3 1 5 +

K

9

− 67

990 − (−57

−

A 9 90

14 (− A

A

Ezekből a betűkből más szavakat is ki lehet rakni. Készíts egy másik rejtvényt! Nem baj, ha ennél a kígyónál rövidebb lesz. Biztassuk a gyerekeket arra, hogy társaiknak készítsenek új fejtörőt! Megfelelő szavak pl. ABLAKBA, BABALAK, BAKA, BAL, ABBA stb. Olyan műveleteket kell kitalálniuk, amelyeknek előre adott a végeredménye, esetleg nem pusztán műveleteket, hanem egyéb feladatot is meg lehet fogalmazni. A különlegeseket jutalmazzuk! 12. Mi lehet a sorozat szabálya? Folytasd a sorozatod 3-3 elemmel mindkét irányban az általad kitalált szabály szerint! Egy lehetséges megoldás: Mindhárom sorozatnál felírjuk a különbségsorozatot (a másodiktól kezdve minden tagból kivonjuk az előtte állót), és annak szabályát felismerve „visszaépítjük” az eredeti sorozatot.

a)

: : : , 40, 30, 21, 13, 6, : : : :::

76

:::

b)

63 −13

51 −12

: : : , 5, 4, 6, 3, : : : :::

3

:::

7

30

12

13

6

−5

0

−9

:::

−12

−11

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

6

5

5

4

6

3

7

2

8

1

:::

1

:::

4 −3

4

40

−1

2

−1

0

−3

2

−5

4

−7

6

De lehetne ilyen is a különbségsorozat:

:::

7

:::

c)

3 −4

6

4 −2

+3

5 +1

: : : , 66, 67, 68, 55, 56, 57, 44, : : : :::

88

:::

89 +1

90 +1

77

−13

78 +1

+1

5

4

6

0

−1

2

79

66

67

−13

+1

3 −3

68 +1

7 4

55

−13

2

8

−5

56 +1

57 +1

−7

6

44

−13

:::

45 +1

:::

d) Keress szabályt, amellyel akárhanyadik elemet ki tudod számítani! 13. Írd le műveletekkel! a) (−5) és (+3) különbségéhez add hozzá az összegüket! (−5 − 3) + (−5 + 3) = −10 b) (−7) abszolút értékéhez add hozzá a (−8) és a (−3) különbségét! | − 7| + [−8 − (−3)] = 2 c) (−10) és (+10) különbségéhez adj hozzá (−3)-at! (−10 − 10) + (−3) = −23 26

Műveletek egész számokkal d) (−5)-höz add hozzá a (+3) ellentettjét! −5 + (−3) = −8 e) (−5)-ből vedd el az ellentettjét! −5 − [−(−5)] = −10 f) (−5)-höz add hozzá az ellentettjét! −5 + [−(−5)] = 0 14. Tedd igazzá a nyitott mondatokat! a) 17 − (−2) = 17 + 2 b) (−32) − 7 = (−32) + −7

c) 32 + 8 = 32 − −8

15. Tedd igazzá a nyitott mondatokat! a) x − 7 = (−12) x = −5 b)

x − 12 = 7 x = 19

c) 5 − x = (−13)

x = 18

16. Tedd igazzá a nyitott mondatokat! a) x − (−5) = 0 x = −5 b)

x + (−21) = (−3) x = 18

c) 3 + (−x ) = 10

x = −7

17. Kinek az állítása igaz, kié hamis a gyerekek közül? Dávid: Ha egy számhoz hozzáadok valamit, akkor nagyobb számhoz jutok. Hamis. Gyöngyvér: Lehet egy számhoz hozzáadni valamit úgy, hogy kisebb számhoz jussunk. Igaz. Ági: Pozitív szám hozzáadása a számot növeli. Igaz. Juli: Negatív szám hozzáadásával is növelhetjük a számot. Hamis. Pali: Pozitív szám hozzáadásával és negatív szám kivonásával is növelhetünk egy számot. Igaz. Robi: Kivonás helyett mindig végezhetünk összeadást. Igaz. 18. Készíts számpéldát az állításokhoz, állapítsd meg, hogy a választott példádra teljesül, vagy pedig nem teljesül az állítás! Ennek alapján próbáld meg eldönteni, hogy melyik állítás igaz, és melyik nem igaz! Például így: Állítás: Pozitív szám kivonása az ugyanolyan abszolút értékű negatív szám hozzáadásával helyettesíthető. Példa: 10 − (+5) = 10 + (−5), ez teljesül. Az állítás mindig igaz, hiszen egy szám kivonása megegyezik az ellentettjének a hozzáadásával. a) Pozitív szám kivonása az ugyanolyan abszolút értékű negatív szám hozzáadásával helyettesíthető. Igaz. b) Negatív szám hozzáadása az ugyanolyan abszolút értékű pozitív szám kivonásával helyettesíthető. Igaz. c) Pozitív szám kivonása az ugyanolyan abszolút értékű negatív szám kivonásával helyettesíthető. Hamis. d) Pozitív szám kivonása az ellentettjének a kivonásával helyettesíthető. Hamis. e) Negatív szám kivonása az ellentettjének a hozzáadásával helyettesíthető. Igaz. 19. Találd meg az elrejtett szót! Mennyit adjunk hozzá M: (−90)-hez, hogy (+230)-at kapjunk; S: (−90)-hez, hogy (−230)-at kapjunk; R: 124-hez, hogy (−400)-at kapjunk; Z: 124-hez, hogy 400-at kapjunk; K: 5117-hez, hogy (+60)-at kapjunk; A: 5117-hez, hogy (−60)-at kapjunk; U: (−5117)-hez, hogy (+60)-at kapjunk; P: (−5117)-hez, hogy (−60)-at kapjunk? Írd a betűket a füzetedbe az alább megadott eredményeknek megfelelő sorrendben! Mi lett az elrejtett szó? −5057 −524 −5177 +320 +5057 +5177 −140 K

R

A

M

P

U

S

+276 Z

27


20. Helyezd el az 5 , 9 , 0 , 2 , 3 számkártyákat és a körökbe az előjeleket úgy, hogy a megadott végeredményeket kapd! a) + 5 9 0 − − 2 3 = 613

b) + 5 0 + − 9 3 2 = (−882)

d) + 5 9 + − 2 + − 3 0 = 27 c) + 3 0 − + 9 5 2 = (−922) Készíts te is rejtvényeket az osztálytársaidnak!

4–5. óra: Több tag összege, különbsége Tk.: 16–20. oldal, 1–14. feladat A piros-kék korongokkal készített, csupa összeadást és kivonást tartalmazó műveletsorok kiválóan alkalmasak arra, hogy megértessük a műveleti jel és előjel közötti kapcsolatot. A modell abban is segít, hogy ezt megjegyezzék és alkalmazzák. Ennek a korongos modellnek az egyszerűségén kívül több fontos előnye is van. – A korong két oldalán a szám és ellentettje áll, ugyanakkor a korong egyik oldala kivonást, a másik oldala hozzáadást jelent, így ha a korongot megfordítjuk, a műveleti jel és az előjel is ellentétére változik, az eredmény pedig ugyanaz marad. Az ilyenfajta kirakások során kézzelfoghatóvá válik, hogy minden csupa összeadást és kivonást tartalmazó műveletsort felcserélhetünk olyanra, amelyben vagy csak összeadások szerepelnek, vagy csupa pozitív számok szerepelnek, de olyanra is, amelyben csak kivonások vagy csak negatív számok vannak. – A műveletvégzés sorrendje is tetszés szerint cserélgethető, ha a műveletsorban csak összeadások és kivonások szerepelnek. Ezt a tulajdonságot tapasztalják meg a gyerekek azáltal, hogy a korongok sorrendjét tetszés szerint változtatva az eredmény nem változik. Ezeknek a tulajdonságoknak a megtapasztalása a számok világában igen fontos lépés az algebratanítás előkészítésében. Feladatok 1. a) Írj két különböző számot, amelyek összege 0! −5, +5 b) Írj három különböző számot, amelyek összege 0! −5, +3, +2 c) Írj két különböző számot, amelyek különbsége 0! Nincs. 2. Írj egy pozitív és egy negatív számot úgy, hogy az összegük a) pozitív legyen; 19, −7 b) 0 legyen; 21, −21

c) negatív legyen! 771, −1999

3. Három számot összeadtunk, és az összeg a tagok mindegyikénél kisebb lett. Hogyan lehetséges ez? Írj rá példákat! Volt köztük legalább két negatív szám, például: −5, 4, −9. 4. −27 +12 −30 Írj a korongokról műveletsort úgy, ahogyan azt a fejezet bevezető példájában leírtuk! Számítsd ki az eredményét! Forgasd úgy a korongokat, hogy

28

Műveletek egész számokkal a) egy negatív szám legyen felül; c) csak piros legyen felül;

b) csak kék legyen felül; d) csak pozitív szám legyen felül!

5. Készíts korongokat a műveletsornak megfelelően! a) (+73) − (+141) + (−129) − (−27) − (−41) Piros korongra kerül: +73, −129, kék korongra kerül: +141, −27, −41.

b) (−379) + (−17) − (−270) − (−97) + (−21) Piros korongra kerül: −379, −17, −21, kék korongra kerül: −270, −97.

6. Játék – A játékot párban játsszátok! Vegyetek elő 6-6 piros-kék korongot! Egyikőtök tegye le tetszőleges sorba a 6 korongot, például így: kék-kék-piros-kék-piros-piros. Majd írjon rá mindegyik korongra egy-egy pozitív vagy negatív számot! A társa másolja le pontosan ezt a készletet! Ekkor mindkettőtök előtt ugyanaz a korongsor áll. Fordítsátok meg ezután a korongokat, és a másik oldalukra írjátok rá a szám ellentettjét! Tehát például a kék +5-ös korong másik oldalára −5 kerül. Mindketten markoljátok fel a korongjaitokat, rázzátok meg a korongokat, majd dobjátok le, és rendezzétek el véletlenszerű sorrendben! Ezután írjatok róla műveletsort úgy, hogy minden piros korong elé az összeadás jelét, minden kék korong elé a kivonás jelét írjátok! Mivel csak összeadások és kivonások vannak a műveletsoraitokban, mindig indíthatjátok azokat 0-val. Számoljátok ki a kapott műveletsor eredményét, és hasonlítsátok össze padszomszédotok eredményeivel! Ismételjétek meg többször is a játékot! Mit vesztek észre? 7. Végezd el a műveleteket! A feladatokban csak összeadások és kivonások szerepelnek, ezért a műveletvégzés sorrendje tetszőleges, de ne feledd, hogy a számokat csak az előttük álló műveleti jellel együtt szabad cserélgetni! a) (−41) − (−55) + 51 − (−5) = 70 c) (−26) + 32 − 4 − (−18) = 20

b) 18 − 23 + (−17) − (−2) = −20 d) 33 − 128 + 8 − (−13) = −74

e) 7200 − 12 − 399 − (−800) − 1 = 7588

f) 56 + (−479) − (−15) + (−95) + 24 = −479

g) (−1) + 31 − 28 + (−49) + 69 + (−22) = 0

h) 176 − 53 − 16 + 14 − (−53) + 72 = 246

8. A hőmérséklet megváltozásakor a hőmérséklet-különbséget úgy számoljuk ki, hogy a változás után kapott értékből kivonjuk a kezdeti értéket. Ha például hétfőn reggel (−1) fok volt, és kedd reggelre (+7) fok lett, akkor a hőmérsékletkülönbség (+7) − (−1) = (+8) fok. Ha ezután szerda reggel −3 fokot mérnek, akkor a hőmérséklet-különbség (−3) − (+7) = (−10) fok. Így a hőmérséklet-különbségre kapott érték abszolút értéke megmutatja, hogy mennyivel változott a hőmérséklet, az előjele pedig elárulja, hogy melegedett vagy hűlt az idő. Hétfő

Kedd

Szerda Csütörtök Péntek

Szombat Vasárnap

Reggeli hőmérséklet

−1

+7

−3

−3

0

−5

−12

Déli hőmérséklet

+4

+8

0

−1

+6

−9

−11

Esti hőmérséklet

+8

+4

−1

−2

−1

−10

−9 29

Műveletek egész számokkal a) Készíts hőmérséklet-grafikont az adatok alapján! ◦

C 8 7 6 5 4 3 2 1

−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −12

Reggel

Délben

Sz H

Este

Cs

K

Sz

V

P

b) Mennyi a hőmérséklet-különbség hétfő reggel és vasárnap este között? (−9) − (−1) = −8 c) Reggeltől délig általában emelkedett a hőmérséklet. Volt-e olyan nap, amikor csökkent? Igen, szombaton.

d) Déltől estig általában csökkent a hőmérséklet. Volt-e olyan nap, amikor emelkedett? Igen, hétfőn és vasárnap.

e) Melyik időszakban volt a változás abszolút értéke a legnagyobb? Mennyi ez az érték? Kedd estétől szerda reggelig 7 ◦ C-ot csökkent a hőmérséklet. Ugyanígy péntek déltől estig 7 ◦ C-ot csökkent.

f) Melyik időszakban volt a változás abszolút értéke a legkisebb? Mennyi ez az érték? Szerda déltől estig 1 ◦ C.

g) Melyik időszakban volt a hőmérséklet-különbség a legnagyobb? Mennyi ez az érték? Kedd déltől vasárnap reggelig −12 ◦ C − 8 ◦ C = −20 ◦ C.

h) Melyik időszakban volt a hőmérséklet-különbség a legkisebb? Mennyi ez az érték?

Az egymást követő időszakokban több helyen is −1 ◦ C a hőmérséklet-különbség, például szerda déltől estig −1 ◦ C − 0 ◦ C = −1 ◦ C.

9. A következő feladatok megoldása során Panni az 1 -gyel, illetve a 2 -vel jelölt írásbeli összeadást, illetve kivonást végezte el. Találd ki, melyik feladathoz melyik művelet tartozik! a) Mennyivel több a 730 a 174-nél? b) Mennyi (−730) és (−174) összege? c) Mennyi (−730) és 174 különbsége? d) Mennyi (−730) és 174 összege? e) Mennyi (−730) és (−174) különbsége? f) Mennyivel több a 730 a (−174)-nél? g) Mennyi 730 és (−174) távolsága a szám- h) Melyik az a szám, amely éppen 174-gyel egyenesen? kevesebb (−730)-nál? i) Mennyi 174 és (−730) távolsága a számegyenesen? 730 + 174 1 b), c), f), g), h), i) 30

j) Mennyi (−174) és (−730) távolsága a számegyenesen? 730 − 174 2 a), d), e), j)

Műveletek egész számokkal 10. Miklós nagy kiránduló. Minden évben részt vesz a Hanák Kolos-teljesítménytúrán. A 36 km-es túra a Kékes tetőről indul, és Galyatetőn, Ágasváron és Muzslán át Szurdokpüspökibe vezet. A rajzról leolvashatod az egyes pontok tengerszint feletti magasságát (a rajz a túra második felét tartalmazza). m

ellenőrző állomás

célállomás

800

Horka-tető

Nagy-Koncsúr Kis-Koncsúr

Muzsla

Ólom-tető

Szurdokpüspöki, ált. isk.

300

Nyikom-nyereg

400

Nyikom-forrás

500

Mátrakeresztes

600

Szamár-kő Ágasvár Ágasvári turistaház

700

800

200 100

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

700 600 500 400 300 200

100 36

A tengerszint feletti magasságok eltérését szintkülönbségnek nevezzük. Az előjeles szintkülönbség azt is megmutatja, hogy felfelé vagy lefelé vezet az út. Például Mátrakeresztestől Muzsláig az út 391 méterről 805 méter magasra megy fel, a szintkülönbség 805 − 391 = 414 méter. Ágasvártól Mátrakeresztesig 391 méterre ereszkedik le 778 méterről, a szintkülönbség 391 − 778 = −387 méter. a) Olvasd le a rajzról a megjelölt helyek tengerszint feletti magasságát! b) Mennyi az előjeles szintkülönbség Muzsla és Szurdokpüspöki között? −309 m c) Mennyi az előjeles szintkülönbség Mátrakeresztes és Nyikom-nyereg között? 309 m 11. Rajzolj számegyenest, és színezd ki az alábbi szabály szerint a megadott kifejezéseknek megfelelően! Szabály: Adott az x − 3 kifejezés. Ennek az értéke lehet pozitív, negatív vagy nulla, attól függően, milyen számot helyettesítünk az x helyére.

Például: ha x = 7, akkor az x − 3 kifejezés értéke pozitív, hiszen 7 − 3 = 4, ha x = −1, akkor az x − 3 kifejezés értéke negatív, hiszen −1 − 3 = −4, ha x = 3, akkor az x − 3 kifejezés értéke nulla, hiszen 3 − 3 = 0. Kiszínezzük a számegyenest az x − 3 kifejezés szerint! Legyen fekete az a szám, amelynél a kifejezés értéke 0! Legyen piros az a szám, amelynél a kifejezés értéke pozitív! Legyen kék az a szám, amelynél a kifejezés értéke negatív!

x +5 b) x − 11 c) |x | d) |x | − 3 a)

0

3

−5

0 0

11

0 −3

0

3

31

Műveletek egész számokkal e) |x | + 1

0

f) |x + 1|

−1 0

g) −|x |

0

h) −|x | − 3

0

12. Mindegyik kifejezéshez kiszíneztünk egy számegyenest úgy, hogy pirosra színeztük azokat a számokat, amelyek pozitívvá teszik a kifejezést, kékre azokat, amelyekre a kifejezés értéke negatív, és feketére azokat, amelyekre a helyettesítési érték 0. Melyik számegyenest melyik kifejezéshez színeztük ki? a) −x − 1 f) −|x |

b) x + 4 g) |x − 6|

A)

0

C)

0 1

E)

−2

G) I)

0 0 1

−4

0

c) 5 − x h) |x | − 6

5

c)

B)

j)

D)

e)

F)

d)

H)

b)

J)

d) |x | i) −x

e) −(x + 2) j) x

f)

0 1 −6

0

6

i)

0 1

a)

−1 0 0

h)

6

g)

A számegyenes kiszínezése egy adott kifejezésnek megfelelően alkalmas bevezető feladat több fontos fogalom előkészítéséhez. Ezek: helyettesítési érték, értelmezési tartomány, értékkészlet, független változó, függvényérték. Ezeket a szavakat semmiképp ne említsük, még csak a fogalmakat kezdjük építeni! Konkrét, egyszerű, kis számok kipróbálásával adnak a gyerekek választ a „hol lesz a kifejezés pozitív, negatív, 0?” kérdésekre, és tudatosodik, hogy a „hol” kérdés az „x mely értékére”, „milyen x -re” kérdéseket jelenti. A későbbi években a függvényvizsgálatnál a „hol növekedő a függvény” kérdésre remélhetőleg az x tengely egy intervallumával válaszolnak, nem pedig a felfelé futó grafikonágra mutogatnak. A számegyenes színezésekor minden szám valamilyen színű: piros, kék vagy fekete aszerint, hogy a vele kiszámolt helyettesítési érték milyen előjelű. A későbbiekben lesz olyan kifejezésünk is, amelybe valamelyik számot nem helyettesíthetjük be, mert értelmetlenné teszi a kifejezést. Az ilyen számnál ki kell lyukasztanunk a számegyenest. Ha ránézünk egy kiszínezett számegyenesre, és látjuk, hogy például az 5-ös szám piros, akkor rögtön tudjuk, hogy az 5 pozitívvá teszi a kifejezést. Ha azt is szeretnénk tudni, hogy mennyi ott a kifejezés értéke, akkor számolnunk kell. Ha kiszámoltuk, akár ábrázolhatjuk is, az 5-ös fölött a kiszámolt (helyettesítési) érték magasságában jelet teszünk. Képzelhetjük azt, hogy egy rajzgépbe programoztuk a kifejezéseket, pl. az x − 3 -at, és a gépbe különböző számokat dobunk. A gép rajzolótűje a számegyenes 0 pontján pihen mindaddig, amíg meg nem kapja a beadott számot. Legyen ez 10. Ekkor a számegyenes 10-es helyére ugrik, majd kiszámolja, hogy a 10-nél mekkora a kifejezés értéke, a mi példánkban 10 − 3 = 7, és 7 egység magasra ugorva egy pöttyöt rajzol. Amikor a gépbe a számegyenes piros számát dobjuk, mindig „felfelé” fog rajzolni, a kékeknél viszont „lefelé”.

32


Ha fekete számot kap (amely a kifejezést 0-vá teszi), akkor a számegyenesen odaugrik a fekete szám helyére (példánkban a 3-ra), és se fel, se le nem megy, hanem a számegyenesre rajzolja a pöttyöt. Ha esetleg lyuk is van a számegyenesen, ott a rajzológép biztos, hogy semmit sem fog rajzolni, vagyis sem a lyukas hely felett, sem alatt, sem a számegyenesen nem lesz pötty (ott nincs függvényérték). A most elmondottak többnyire a jövőre vonatkoznak, mégis azért írtuk itt le, hogy érzékeltessük, mennyire fontos feladattípus ez, és ha ügyesen bánunk vele, nagyon jó alapot teremtünk a függvények tanításához. Mellesleg persze számolunk, ami a mostani dolgunk. 13. A gyerekek egy túrán 153 m magasról indultak, és 357 m magasra érkeztek. Azt is tudjuk, hogy összesen 725 méter szintkülönbséget tettek meg felfelé. Mennyi volt a szintkülönbségek összege az ereszkedő szakaszokon? (153 + 725) − 357 = 521 m az ereszkedő. 14. Egy kirándulás 413 méter magasan kezdődött, és 151 méter magasan fejeződött be. Azt is tudjuk, hogy a felfelé és lefelé mászások során a szintkülönbségek abszolút értékeinek összege 1220 méter volt. Meg tudod-e mondani, ebből az 1220 méterből mennyi volt a felfelé kapaszkodás, és mennyi volt a lefelé ereszkedés? Ha igen, számold is ki! 479 m felfelé, 741 m lefelé.

6–7. óra: Szorzás és osztás egész számokkal Tk.: 20–24. oldal, 1–20. feladat Gyűjtsük össze a gyerekekkel közösen azokat az eseteket, amikor tudjuk, hogy milyen előjelű a szorzás vagy az osztás eredménye! Igazából csak arra az esetre nem tudunk ésszerű választ adni, amikor két negatív számot szorzunk össze, vagy amikor egy pozitív számot osztunk egy negatív számmal. Hagyjuk a gyerekeket találgatni, hogyan lehetne, hogyan kellene, hogyan lenne ésszerű ezeknek a műveleteknek értelmet adni! A szorzás és osztás nagy könnyebbsége a kivonás-összeadással szemben az, hogy az eredmény abszolút értéke nyilvánvaló, elég csak az előjellel törődni. Csak azután kezdjük el a gyerekekkel közösen feldolgozni a tankönyv anyagát, miután megértették és megválaszolták vagy megpróbálták megválaszolni azt a kérdést, mi az előjele két negatív szám szorzatának! Az a lényeg, hogy próbáljuk meg kíváncsivá tenni őket. Jobban megragadja őket az az információ, amelyet a kérdéseikre kapnak válaszként. Egyike a legfontosabb – és sokszor elhanyagolt – tanári feladatoknak, hogy a gyerekeket megtanítsuk kérdezni, hogy kíváncsivá tegyük őket. Az előjeles számok szorzatát végül is annak alapján vezetjük be, hogy megfigyeljük, hogyan változik egy szorzat értéke, ha a szorzót egyesével csökkentjük. A könyvben leírt feladatsor megoldása egyszerű és meggyőző választ ad a feltett kérdésre.

33

Műveletek egész számokkal Feladatok 1. Írd fel szorzat alakban, és számítsd ki! a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 · 5 = 25 b) (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = (−3) · 4 = −12 c) (−122) + (−122) + (−122) = (−122) · 3 = −366 2. Írd fel összeg alakban, és számítsd ki! a) (−72) · 2 = (−72) + (−72) = −144 b) (−15) · 4 = (−15) + (−15) + (−15) + (−15) = −60 c) (−99) · 5 = (−99) + (−99) + (−99) + (−99) + (−99) = −495 d) (−33) · 3 = (−33) + (−33) + (−33) = −99 3. Számítsd ki fejben! a) (−25) · (+ 4) = −100 c) (−45) · (+ 20) = −900 e) (+ 250) : (−50) = −5 g) (−1000) : (+ 8) = −125

b) d) f) h)

(−25) · (−8) = 200 (−213) · (+ 1000) = −213 000 (−400) : (+ 80) = −5 (−630) : (−90) = 7

4. Két szám szorzata 60. Mennyi lehet a két tényező, ha tudjuk, hogy mindkettő a) természetes szám; Pl.: 4 · 15; 2 · 30; : : : b) egész szám? Pl.: (−12) · (−5); : : : 5. Két szám hányadosa 5. Mennyi lehet az osztó és az osztandó, ha tudjuk, hogy mindkettő a) természetes szám; Pl.: 10 : 2 = 20 : 4 = 35 : 7 : : : b) egész szám? Pl.: (−20) : (−4) 6. Számítsd ki, mennyi (−15) · (+ 8) ! Hogyan változik a szorzat, ha egyik tényezőjét a) kétszeresére változtatjuk, a másikat nem változtatjuk; Kétszeresére. b) harmadrészére változtatjuk, a másikat nem változtatjuk; Harmadrészére. c) háromszorosára, a másikat kétszeresére változtatjuk; Hatszorosára. d) harmadrészére, a másikat felére változtatjuk? Hatodára. 7. Számítsd ki, mennyi (−48) : (+ 8) ! Hogyan változik a hányados, ha az osztandót a) a felére változtatjuk, és az osztót nem változtatjuk; Felére. b) és az osztót is felére változtatjuk; Nem változik. c) és az osztót is háromszorosára változtatjuk; Nem változik. d) kétszeresére és az osztót negyedrészére változtatjuk; Nyolcszorosára. e) a kétszeresére és az osztót négyszeresére változtatjuk? Felére. 8. Hasonlítsd össze a megadott szorzatokat, illetve hányadosokat! A műveletek elvégzése nélkül próbáld meg kitalálni, melyik hányszorosa a másiknak! · (−1)

a) 5 · (−10) 34

·4

·4

20 · (−10)

b) (−32) · 18

· (−4)

·4

(−8) · (−18)

Műveletek egész számokkal : (−5)

:2 · (−2)

c) 24 · 35

(−6) · 70

d) (−36) · (−55)

· (−4)

· (−2)

(−360) · 11

· 10 · (−1)

e) 100 : (−20)

·2

200 : (−20)

f) 50 : (−25)

·2

·3

· (−1)

(−40) : 5

h) 333 : 37

:7

9.

111 : (−111)

· 3 Gyűjts olyan egész számokat, amelyeket 3-mal megszorozva b) 0-nál nagyobb számot kapunk; 1, 2, : : :

· (−2) Gyűjts olyan egész számokat, amelyeket (−2)-vel megszorozva a) 0-nál kisebb számot kapunk; 1, 2, : : : c) 0-t kapunk! 0

11.

· (−9)

: (−3)

a) 0-nál kisebb számot kapunk; −1, −2, : : : c) 0-t kapunk! 0 10.

(−500) : 25

· (−10)

: (−7)

g) 280 : 35

· 10

b) 0-nál nagyobb számot kapunk; −1, −2, : : :

: (−5) Gyűjts olyan egész számokat, amelyeket (−5)-tel osztva a) 0-nál kisebb számot kapunk; 1, 2, : : : c) 0-t kapunk; 0 e) 50-nél kisebb számot kapunk; −2, 15, : : :

b) 0-nál nagyobb számot kapunk; −1, −2, : : : d) (−8)-nál nagyobb számot kapunk; 1, −3, : : : f) (−8)-nál kisebb számot kapunk! 2, 3, : : :

12. Egy sorozat első eleme 12. Minden elem legyen az előzőnek a (−2)-szerese! a) Mennyi lesz a 3. elem? +144 b) Milyen lesz a 15. elem előjele? Pozitív. 13. a) Egy egész számot megszorozva (−4)-gyel (+ 8)-nál nagyobb számot kapunk. Mi lehet a szám? −2-nél kisebb. b) Egy egész számot elosztva (−4)-gyel (+ 8)-nál kisebb számot kapunk. Mi lehet a szám? −32-nél nagyobb.

14. Számítsd ki! c) (−615) : (+ 75) = −82

a) (−32) · (+ 512) = −16 384 d) (−1218) : (−24) = 5075

b) (−328) · (−45) = 14 760 e) (+ 41) · (−41) = −1681

15. Tedd igazzá a nyitott mondatokat! Lehet, hogy több megoldás is van. a) x · x = 4 x = 2; −2 b) x · x = 100 x = 10; −10 c) x · x = 0 d) x · x = (−100) Nincs. e) x · x = (−4) Nincs.

x =0 35

Műveletek egész számokkal 16. Tedd igazzá a nyitott mondatokat! a) d) g) j) m)

(−2) · −7 = 14 −63 : (−9) = 7 (−x ) · 5 = −50 x = 10 250 : −50 = (−5) (−x ) · (−1) = 50 x = 50

b) e) h) k) n)

3 · −2 = (−6) 23 · −3 = (−69) (−12) · (−x ) = (−60) (−637) : −91 = 7 24 : (−1) = (−24)

c) f) = −5 i) l) o)

x

2 · (−5) = (−10)

(−14) · (−x ) = 28 x = 2 −660 : (−6) = 110 (−x ) : 28 = −1 x = 28 17 : (−17) = (−1)

17. A nyitott mondatok megoldásait számegyenesen ábrázoltuk. Az egész számok között kerestük a megoldásokat. Párosítsd össze a nyitott mondatokat a számegyenesekkel!

< 0

a) (−2) ·

b) (−2) ·

I.

=4

c) 3 · c)

< 10

II.

=6 d)

3 4

III.

d) 5 · 1 2

b)

IV.

a)

−2 −1

0 1

· 18. Játék – Mindenki rajzoljon be a füzetébe egy ilyen ábrát! A játék során ki kell tölteni az üresen hagyott helyeket. A körökbe + vagy − előjelet kell írni, a téglalapokba 1 és 6 közötti számokat. Ilyen módon a kitöltés után két előjeles kétjegyű szám szorzatát fogjátok kapni. Az győz, aki a végén, a számok összeszorzása után a legnagyobb számot kapja eredményül. Az üres helyek kitöltése a következőképpen történik: tanárotok feldob egy piros-kék korongot, ha a piros oldalára esik, akkor válasszátok ki valamelyik üres kört, és írjatok bele egy + előjelet, ha a kék oldalára, akkor pedig egy − előjelet! Ezután megint feldobja a korongot, és ti a másik körbe írjátok bele a korong színének megfelelően a + vagy − előjelet! Most a tanár egy szabályos dobókockával dob, ti pedig válasszatok tetszőlegesen egy üres téglalapot, majd írjátok bele a kapott számot! Tanárotok addig dob a kockával, amíg az összes téglalapotok be nem telik. 19. Helyezd el a 3 , 5 , 2 , 1 számkártyákat és a körökben az előjeleket úgy, hogy a megadott végeredményeket kapd! Keress többféle megoldást! a) + 2 1 · − 5 3 = −1113

b) + 1 5 · + 3 2 = 480

d) + 5 2 · + 1 3 = 676 c) + 5 2 1 · − 3 = −1563 Készíts te is rejtvényeket az osztálytársaidnak! 20. A 6 , 3 , 4 , 5 , 0 számkártyák közül válogass! A körökbe a + vagy − előjelek kerülhetnek. Keress többféle megoldást! a)

− 3 0 − 6 0

=

1 2

c) − 4 5 0 : + 3 0 = −15

36

b) + 5 0 4 : − 4 = −126

d)

+ 4 5 0 + 6 3

=

50 7

Műveletek egész számokkal 8. óra: Több egész szám szorzása, osztása Tk.: 24–25. oldal, 1–6. feladat Többtényezős, csupa szorzást vagy osztást tartalmazó műveletsorok kiszámításakor újdonságot csak az jelent, hogy az eredmény előjelét is meg kell határoznunk. A gyerekeknek az a természetes, hogy a számolást szépen sorban, balról jobbra végezzék. Ilyenkor az előjelek könnyen zavart és kavarodást okoznak. Érdemes ezért egy kis időt szánnunk arra, hogy olyan gyakorlatokat végeztessünk a gyerekekkel, amikor csak az előjelre vagyunk kíváncsiak. Azok is hasznos feladatok, amelyekben egyetlen számot kell többféleképpen egész számok szorzatára bontanunk. A lényeg az, hogy megértsék, az eredmény előjele csak attól függ, hogy a műveletsorban a negatív szereplők – szorzók vagy osztók – száma páros-e vagy páratlan. Itt az alkalom arra is, hogy felelevenítsék a gyerekek mindazt, amit a szorzás és osztás sorrendjének felcserélhetőségéről az elmúlt évben tanultak: csupa szorzást és osztást tartalmazó műveletsorban a szorzás és osztás elvégzésének sorrendje tetszőleges, csak arra kell ügyelni, hogy a számokat az előttük álló műveleti jellel együtt kell mozgatni. Feladatok 1. Írd fel a számokat szorzat alakban! Gyűjts minél többféle szorzat alakot! a) 660 = 33 · 20 = 66 · (−5) · (−2) = : : : b) −6 = 2 · (−3) = (−2) · 3 = (−1) · (−2) · (−3) = : : : c) 21 = 7 · 3 = (−7) · (−3) = (−1) · (−7) · 3 = : : : d) −19 = 1 · (−19) = (−1) · 19 = (−1) · (−19) · (−1) = : : : e) 120 = 12 · 10 = (−2) · (−6) · 5 · 2 = 30 · (−2) · (−2) = 15 · 8 = : : : f) −24 = (−12) · 2 = (−6) · (−2) · (−2) = (−3) · 4 · 2 = 4 · (−6) = : : : 2. Többet ésszel, mint erővel! Ha ügyesen csoportosítod a műveleteket, könnyen kiszámolhatod a végeredményt. a) (−25) · (+ 5) · (+ 4) · (−2) = +(4 · 25) · (5 · 2) = 100 · 10 = 1000 b) (+ 32) · (−8) · (+ 125) = −(8 · 125) · (+32) = (−1000) · (+32) = −32 000 c) (+ 25) · (+ 25) · (−4) · (−4) = −(4 · 25) · −(4 · 25) = (−100) · (−100) = 10 000 d) (+ 55) · (−17) : (−11) : (+ 17) · (−2) = −(55 : 11) · (17 : 17) · 2 = −5 · 1 · 2 = −10 e) (−48) · (+ 15) · (−11) : (+ 24) : (−3) = −(48 : 24) · [15 : (−3)] · (−11) = (−2) · (15 : 3) · 11 = = (−2) · 5 · 11 = (−10) · 11 = −110

f) (+ 39) · (−45) : (−9) : (+ 13) · (+ 2) = (45 : 9) · (39 : 13) · (+2) = 5 · 3 · 2 = 30 g) (−660) · (+ 32) : (+ 22) : (−8) · (+ 2) = −(660 : 22) · [32 : (−8)] · (+2) = 30 · 4 · 2 = 240 h) (−390) · (+ 25) · (+ 37) : (−13) · (−4) = (390 : 13) · [25 · (−4)] · (+37) = (+30) · (−100) · (+37) = = (−1000) · (3 · 37) = (−1000) · (+111) = −111 000

3. A következő műveletekről azt kell megállapítanod, hogy pozitív vagy negatív-e a végeredmény. a) (−3222) : (−2) · (313) · (−25) (= −12 606 075) Negatív. b) (−6666) : 729 : (−11) · (−3) · (−215) (≈ 536 173) Pozitív. c) 7840 : (−7) : (−10) · 523 (= 58 576) Pozitív. 37

Műveletek egész számokkal d) (−5900) · (−39) : (−130) : (−5) (= 354) e) 6428 · (−3) · (−12) · 0 : 52 : (−4) (= 0) f) (−1) · 1 · 1 · 1 · (−1) : (−1) : (−1) (= 1)

Pozitív. Pozitív.

4. Bontsd a −120 -at egész számok szorzatára úgy, hogy a tényezők között a) ne legyen negatív szám; Nem lehet. b) pontosan 1 negatív szám legyen; 3 · 2 · (−20) = (−2) · 5 · 3 · 4 = : : : c) pontosan 2 negatív szám legyen! Nem lehet. d) Hány negatív szám lehet egy ilyen szorzatban? Páratlan számú. 5. Bontsd a +725 -öt egész számok szorzatára úgy, hogy a tényezők között a) ne legyen negatív szám; 725 = 5 · 5 · 29 b) pontosan 1 negatív szám legyen; Nem lehet. c) pontosan 2 negatív szám legyen! 725 = (−25) · (−29) d) Hány negatív szám lehet egy ilyen szorzatban? Páros számú. 6. −36 = ? Minden számnak sok neve van! Keresd a −36 különböző neveit! Például: −36 = −50 + (+14), ez a név azt mutatja meg, hogy a −36 mennyivel több, mint a −50. Olyan nevet keress, amelyből látszik, hogy a −36 a) mennyivel kevesebb, mint 50; −36 = 50 − 86 b) melyik számnál kisebb 16-tal; −36 = (−20) − 16 c) melyik számnak a kétszerese; −36 = (−18) · 2 d) milyen távol van a 0-tól; −36 = 0 − 36 e) hányad része a 3600-nak, −36 = 3600 : (−100) f) osztható 12-vel; −36 = (−3) · 12 g) többszöröse a 9-nek; −36 = 9 · (−4) h) hányszorosa a 18-nak; −36 = 18 · (−2) i) melyik számban van meg 5-ször; −36 = (−180) : 5 j) mely számokkal osztható! −36 = (−1) · 2 · 2 · 3 · 3 Az előző fejezetben is találkozhattunk ezzel a feladattal. Ott összegek és különbségek szerepeltek, itt szorzás és osztás műveletek. Ébren kell tartanunk az „egy számnak sok neve van” gondolatot, hiszen a különböző alakok más és más lényeges tulajdonságát mutatják meg az adott számnak, és ezek a gondolatok fontosak lesznek az algebrai átalakítások tanításában, az azonosságok fogalmának kialakításakor, az azonos átalakítások elvégzésekor. Ott majd mondhatjuk, hogy minden kifejezésnek végtelen sokféle neve van, meg kell találnunk azt, amelyik számunkra a leghasznosabb.

38

Műveletek egész számokkal 9–10. óra: Műveletek sorrendje Tk.: 26–27. oldal, 1–9. feladat Ez a fejezet a negatív számokkal kapcsolatban semmi újat nem tartalmaz. Itt is ismétlünk a negatív számokkal végzett műveletek gyakorlása közben. Nagyon pontosan tudniuk kell a műveletek sorrendjéről tanult szabályokat, mert alkalmazásuk akkor is nehéz, ha a szabályokkal teljesen tisztában vannak a gyerekek. Sok mindenre kell egyszerre figyelniük, ez az oka annak, hogy az itt szereplő feladatokban kicsi számokkal dolgozunk, és egyszerű eredményre vezető feladatokat adtunk. Nem a számolási technikán van a hangsúly, hanem inkább azon, hogy minél otthonosabban mozogjanak a gyerekek az egész számok világában. Ez a munka nem fejeződik be ennek a fejezetnek a megtanításával, óra eleji bemelegítésként később is adhatjuk azokat a feladatokat, amelyek megmaradnak. A másik fontos feladat ennek az anyagrésznek a tanítása során az, hogy a gyerekek figyelmét ráirányítsuk az alapműveletek legfontosabb műveleti szabályaira. Minél több tapasztalatot szereznek ezekről a számok világában, annál könnyebb dolguk lesz az algebrai átalakítások megértésében. Ezért fontosak azok a feladatok, amelyekben kérjük, hogy először válasszák ki azokat, amelyeknek ugyanaz a végeredményük. A zárójeles és zárójel nélküli alakok megfigyelése később nagyon hasznos lehet. Az algebrában segíthetnek az olyan feladatok is, amelyekben szöveget kell műveletek nyelvére lefordítani. Elkezdhetjük használni a szorzat, összeg szavakat is. Ezeket csak azért nem definiáljuk még a könyvben, mert bár azt már tudják, hogy minden kivonás felírható összeadásként, azt még nem tanulták meg, hogy az osztások is felírhatók szorzásként. Ugyanebben a részben folytatjuk a behelyettesítések gyakorlását is egyszerű feladatokkal, amelyekben ráadásul csak az eredmény előjelére kell koncentrálni. Ezek a számegyenes-színezéses feladatok a koordináta-rendszerben való ábrázolást is előkészítik. Feladatok 1. Számítsd ki! a) (−28) : (−7) + 12 · (−4) = −44 c) 231 − 15 · (−19) = 516 e) (−190) − 333 : (−9) = −153 g) [(−120) + 1800] : 6 = 280 i) (−81) : [(−20) + (−7)] − 11 = −8

b) d) f) h) j)

560 : (−28) − (−25) · 120 = 2980 [(−3) + 251] · (−4) + (−211) = −1203 (−6) : [(−10) + 7] = 2 63 + [(−2) · 5 + 20] · (−91) = −847 (−253) − 7 · (125 − 132) = −204

2. Építs számokat a −7, 2 , 6 számokból a + , · műveleti jelekkel és zárójelek felhasználásával! Például így: (−7) · (2 + 6) + 6 · (2 + 6), (−7) · 2 + 6 · 2 + (−7) · 6 + 6 · 6. Építs minél többfélét! Keress ugyanahhoz az értékhez többféle műveletsort is! a) [(−7) + 2] · 6 = −30

b) (−7) · (2 + 6) = −56

c) 6 · (−7) + 2 · 6 = −30

d) [(−7) · 2] · 6 = −84

e) [(−7) · 6] + (2 · 6) = −30

f) [(−7) · 6] · 2 = −84

g) 2 · [(−7) + 6] = −2

h) (−7) + 2 · 6 = 5

i) [(−7) · 2] + [(−7) · 6] = −56

j) [6 · (−7)] · (6 · 2) = −504

k) (−7) · (2 + 6) + 6 · (2 + 6) = −8

l) [(−7) · 6] · (2 · 6) = −504

n) (−7) + 6 · 2 = 5

o) (−7) · (2 · 6) = −84

m) [(−7) + 6] + [(−7) + 6] = −2

39

Műveletek egész számokkal p) [(−7) + 6] · (2 + 6) = −8

q) (−7) · 6 + 2 = −40

r) [(−7) + 6] · 2 = −2

s) (−7) · 2 + 6 · 2 + (−7) · 6 + 6 · 6 = −8 8-féle eredmény lehet: a) = c) = e), g) = m) = r), b) = i), k) = p) = s), d) = f) = o), h) = n), j) = l), q).

3. Írd le műveleti jelekkel, majd számítsd ki! a) a −25 és a 6 összegének a kétszerese (−25 + 6) · 2 = −38 b) a −25 kétszeresének és a 6-nak az összege (−25) · 2 + 6 = −44 c) a −25 kétszeresének és a 6 kétszeresének az összege (−25) · 2 + 6 · 2 = −38 d) a −25-nek és a 6 kétszeresének az összege −25 + 6 · 2 = −13 e) a −39 és a 15 összegének a harmada (−39 + 15) : 3 = −8 f) a −39 harmadának és a 15 harmadának az összege −39 : 3 + 15 : 3 = −8 g) a 15 harmadának és a (−39)-nek a különbsége (15 : 3) − (−39) = 44 h) a −39 és a 15 különbségének a harmada (−39 − 15) : 3 = −18 4. A műveletek elvégzése előtt gondold meg, melyeknek lesz egyforma a végeredménye! Számold is ki az eredményeket! a) [15 − (−75)] · 3 = 270 b) 5 · (−4) + 8 · (−4) = −52 c) 15 : 3 − (−75) : 3 = 30 d) (5 + 8) · (−4) = −52 e) 15 · 3 − (−75) · 3 = 270 f) (5 · 8) · (−4) = −160 g) [15 − (−75)] : 3 = 30 h) 5 + 8 · (−4) = −27 i) 5 · (−4) · 8 · (−4) = 640 j) 15 + (−75) : (−3) = 40 k) 15 − (−75) : 3 = 40 l) [(−5) + (−8)] · 4 = −52 5. Tedd igazzá a nyitott mondatokat! a) 11 · (−4) − 6 = −50

b) (5 + −3 ) · (−8) = −16

d) 13 · (−25) · 0 · 2 = 0

e) (5 −

f)

160

i) (12 −

: (−2) + 20 = −60 ) · (20 −

)=0

) · (3 −

)=0

g) (15 + −5 ) : (−10) = −1 = 12 vagy

c) ( 4 − 4) · (−18) = 0 = 5 vagy

=3

h) (−22) : (15 + −37 ) = 1

= 20

6. Melyik összeg, melyik szorzat? Számítsd ki a műveletsorok végeredményét! a) 13 + (−2) − 18 · (−3) összeg, 65 b) [13 + (−2) − 18] · (−3) szorzat, 21 c) (−42 − 8) · (−23 + 33) szorzat, −500 d) (−42) − 8 · (−23) + 33 összeg, 175 e) (−25) + [−3 − (−13) + 5] · 7 összeg, 80 f) (−25) + (−3) − (−13) + 5 · 7 összeg, 20 7. Számolhatsz vagy okoskodhatsz. Tedd ki az =, a) (−25) + (−3) · 2 c) 110 : (−2) − 28

[−25 + (−3)] · 2 > (110 − 28) : 2 <

e) [−15 + (−25)] · (−3) = 15 · 3 + 25 · 3

< ,> jeleket! (−3) · 5 + 17 > [44 + (−5)] · 20 <

b) (−13) · (−5) + 17 d) 44 + (−5) · 20

f) (−30) : 6 + (−4) · 8 = (−15) : 3 + (−2) · 16

8. Gondolj egy számra! Helyettesítsd be az x · (−5) kifejezésbe! Ha a kifejezés értéke nulla lett, akkor a szám fekete legyen! A 0 fekete, mert 0 · (−5) = 0. Ha a kifejezés értéke pozitív lett, a szám piros legyen! A (−2) piros, mert (−2) · (−5) pozitív. 40

Műveletek egész számokkal Ha a kifejezés értéke negatív lett, akkor a szám kék legyen! A 3 kék, mert 3 · (−5) negatív. Így színezzük a számegyenest: −2

0

3

Színezz mindegyik kifejezéshez egy-egy számegyenest! a) 3 · x − 6

0

b) (x + 4) · 5 c)

x

d)

x −2

−4

0

2

0

5

0

e) (x − 3) : (−1) f) (x − 3) · (−4)

2

10

0

3

0

3

Érdeklődőbb gyerekeinket biztathatjuk arra, hogy „kapcsolják be a rajzológépet”, vagyis az egyes x helyekhez tartozó helyettesítési értéket ábrázolják is, és próbálják megsejteni, hogy milyen kép tartozik a kifejezéshez. Minél több x helyhez tartozó értéket számolnak ki (minél részletesebb értéktáblázatot készítenek), annál pontosabban rajzolódik ki a grafikon. Jó, ha még a számegyenes kiszínezése előtt megbeszéljük, melyek azok az x helyek, ahol valami „érdekesebb” dolog van, nullát kapunk vagy esetleg értelmetlen a kifejezés. 9. Tedd próbára a tudásodat! Keresd meg a helyes utat a 2. mellékletben! Indulj a RAJT-ról! Az egyenlet megoldása után arra a szomszéd mezőre lépj, amelyiknek a színes sarkában a megoldást látod! Itt újabb egyenletet kell megoldanod. Így haladj, amíg a CÉL-ba nem érsz! RAJT

3 · (x + 8) = 15

2−x =8

(−56) : 7 + x = −7

46

x

6

−8 + (−3) = 20

(40 − x) : 7 = 6

5 · x · 20 = −100

6

6

−6

9 · x + 172 = 100 100 − x = 55 2 [7 − (−3)] · x = 100

1

10

−3 (46 + x) : (−8) = −7

2

−10 5 · x + (−15) = −30

−3

(40 − 2 · x) + 2 = 50

−4 + x = 56

10

3 · (80 + x) = 60

−4

28 : x + 8 = 1

7

x

−25 (−58 − x) : 3 = −23

4 · x : (−10) = 10

| − 7| − (−7) = x

18

−60

20

−100 14 3 · x + (−10) = −100 (−4) · 131 · [5 + (−5)] = x

10 + (−9) = 0

27 : x · (−3) = 9

11

−9 (18 − x) · (−8) = 16

(4 − x) : 2 = −13

−13

0 CÉL

41

Műveletek egész számokkal Tudáspróba Tk.: 28. oldal 1. Másold le a füzetedbe a számegyenest, és ábrázold rajta a számokat! −4 −12

10

−8 −6 −4

0

16

−6 +8

− 12 10

22

0

16

22

Válaszolj a kérdésekre! A megadott számok közül válogass! a) Melyik a legnagyobb szám? 22 b) Melyik a legnagyobb abszolút értékű szám? 22 c) Melyik a legkisebb szám? −12 d) Melyik a legkisebb abszolút értékű szám? 0 e) Mennyi a legkisebb szám abszolút értéke? 12 f) Mennyi a legnagyobb szám ellentettje? −22 g) Válaszd ki azokat a számokat, amelyek abszolút értéke kisebb, mint 8! 0, −4, −6 h) Válaszd ki azokat a számokat, amelyek ellentettje több, mint 5! −6, −8, −12 2. Végezd el a műveleteket! a) (−1294) + (−2275) = −3569 c) (−27) · (−82) = 2214

b) (−851) − (−6684) = 5833 d) 357 : (−7) = −51

3. Végezd el a műveleteket! a) 73 − (−113) + (−23) + 7 = 186 + (−16) = 170 b) (−28) · (−3) : 7 · (−5) : 6 = −10 c) 1218 · (−23) : (−6) · 0 : 332 = 0 4. Számítsd ki! a) (−55) : (−5) − 102 · (−5) = 521

b) 35 · (−25) − (−35) + 120 : (−6) = 330

5. Írd le műveleti jelekkel, majd számítsd ki! a) a (−71) és az 51 összegének a (−4)-szerese (−71 + 51) · (−4) = 80 b) a (−31) és a 4 különbségének az ötödrésze (−31 − 4) : 5 = −7 c) a 25 ötödrészének és a −22-nek a különbsége 25 : 5 − (−22) = 27 d) a (−23) (−2)-szeresének és a 4-nek az összege (−23) · (−2) + 4 = 50 e) a −71 (−4)-szeresének és a 15 (−2)-szeresének az összege (−71) · (−4) + 15 · (−2) = 254 6. Tedd igazzá a nyitott mondatokat! a) x · (−8) + (−21) = 11 x = −4 c) (x + 19) : 10 = −6 x = −79

42

b) (12 − x ) · (−7) = −70 x = 2 d) (−99) : (3 − x ) = −11 x = −6

Tengelyes tükrözés

Tengelyes tükrözés 1. óra: Képek és tükörképek 2. óra: Tükrözés mozgatással 3. óra: A tengelyes tükrözés tulajdonságai 4. óra: Tükrözés pontonként 5. óra: Szimmetrikus alakzatok 6. óra: Tükörkép szerkesztése 7. óra: Egyszerű szimmetrikus alakzatok 8. óra: Szimmetriatengelyek szerkesztése 9. óra: Két alakzat együttes szimmetriái 10–11. óra: Szögek összehasonlítása, szerkesztése Heti 4 órában tanuló csoportok esetén a témakör feldolgozására 4 tanórával több áll rendelkezésre. Mire építünk? Alsó tagozatban a gyerekek megfigyelték különféle alakzatok tükörképét. Rajzzal, illetve építéssel képesek voltak arra, hogy rekonstruálják egyszerű síkidomok, illetve térbeli testek tükörképeit. Ötödik évfolyamon megismerkedtek a körző és a vonalzó használatával, és megtanultak megadott oldalakkal háromszöget szerkeszteni. Megtanulták, hogy egy szakasz két végpontjától egyenlő távol levő pontok halmaza a szakaszfelező merőleges. Tudnak derékszögű vonalzó segítségével egy egyenesre merőlegest állítani. Meddig jutunk el? Megtanítjuk, hogyan lehet tengelyes tükörképet előállítani, többféleképpen is: mozgatással, átlátszó papír segítségével, és pontonként, négyzethálós papíron vagy szerkesztéssel. Megismerik a gyerekek a tengelyes tükrözés tulajdonságait. Megtanítunk néhány fontos alapszerkesztést: tükörkép, szakaszfelező merőleges, szögfelező, adott egyenesre merőleges egyenes és más szimmetriatengelyek szerkesztését. Kör és egyenes szimmetriaviszonyaira támaszkodva vezetjük be a kör érintőjére, a húr felező merőlegesére, illetve a két kör érintésére vonatkozó tételeket, és a hozzájuk tartozó szerkesztéseket. Megtanítjuk a szögmásolást, és néhány speciális szög szerkesztését. A 60◦ -os szög szerkesztése itt nem szerepel, erre a háromszögek szögösszegére vonatkozó tétel után kerül sor. Itt csak azokat a szögeket szerkesztjük, amelyek a 180◦ felezésével nyerhetők. Az egybevágóság fogalmát itt még elkerüljük. (Ha valaki akarja, nyugodtan elkezdheti használni ezt a kifejezést, de ennek pontos definiálására csak 7. évfolyamon kerül sor.) Ezt a fontos fogalmat a „helyére mozgatható”, vagy „tükrös helyzetbe hozható”, vagy síkbeli alakzatok esetén a „mozgatással egymásra tehető” kifejezésekkel helyettesítjük. Az egybevágóság fogalmát a későbbiekben a mozgatások fogalmára építjük, ami egyszersmind megfelel a geometria axiomatikus felépítésének és ugyanakkor a gyerekek életkori sajátosságainak is. (Az euklideszi axiómarendszerben, és Hajós György Bevezetés a geometriába c. könyvében is a mozgatás alapfogalom, és ennek alapján definiálják az egybevágóság fogalmát.) 43


A mozgatás a tanítási órán mindeddig elég elhanyagolt szerepet játszott. Jó esetben is csak szemléltetésként fordult elő. A mozgatásokat másolópapír segítségével hajtjuk végre, a másolópapír használata szigorúan követi a mozgási axiómákat, ugyanakkor rendkívül egyszerű a gyerekeknek. Ezzel az eszközzel „két legyet ütünk egy csapásra”, könnyebben taníthatjuk az egybevágósági transzformációkat, ugyanakkor matematikailag pontosabb fogalmakat alakíthatunk ki.

1. óra: Képek és tükörképek Tk.: 29–33. oldal, 1–8. feladat Ennek a fejezetnek többféle funkciója is van. Elsődleges célja, hogy a gyerekek szemléletét fejlessze. Lássák, hogy a tükörkép „ugyanolyan”, minden részletében megegyezik a párjával, de mégsem mozgatható egyik a másik helyére, ha térbeli testekről van szó. Síkbeli képek egymásra mozgathatók, de csak úgy, hogy átfordítjuk a síkot, azaz térmozgás történik. A fejezet másik célja, hogy a gyerekek rácsodálkozzanak, milyen sokféle formában találkozhatnak tükörképekkel. Kedvet kapjanak ahhoz, hogy a matematikaórán kívül is figyeljenek a tükörképekre és az őket körülvevő világ más geometriai tulajdonságaira. Szükséges eszközök: másolópapír, gyufásdobozok Javasolt eszközök: színesrúd-készlet, térbeli modellezőkészlet Feladatok FEJETETEJÉN A VÍZICSIBE-NÉP IS 1. Nézd meg a tükörben a szövegeket! ÉR TÜKRÉBEN LÁTSZIK AZ ÉG IS AKRAT ICOB ICOB RÁDALA ŰLÜFAYTUK ,RÁTAYTUK ,RÁTAYTUK Weöres Sándor KIZSÚK ÓLKIS NODÁN-NERÉ INDULA GÖRÖG A LUDNI GÉ ZA KÉK AZÉG Te is próbálj tükörírással írni! Könnyebb lesz, ha egyszerre próbálsz jobb és bal kézzel írni. A székely-magyar rovásírás hagyományosan jobbról balra halad. Nézz utána, milyen nyelvek írása követi még ezt az irányt! Ilyenek például: az arab, héber, szír, maldív, aveszta, N’Ko (nyugatafrikai)

:::

nyelvek.

2. Tedd a tükröt úgy, hogy a megadott szót lásd benne! Például Ha a RUHA szóban a tükröt a H betű közepére teszed, és hátulról nézel bele, akkor az AHA szót látod a tükörben. A piros egyenes a tükör helyét jelzi. a) OMEGA c) VALAMI

– –

OMO IMI

Te is készíts ilyen rejtvényeket!

44

b) EMMA – AMA d) AVAT – TAVAT

Tengelyes tükrözés 3. Válogasd szét a képeslapokat, melyik igazi, és melyik való Tükörországból! a) b)

tük

eredeti

rö

s

eredeti, de a kocsi visszapillantójában látható kép tükrös

c)

f) tük

rös

e) d)

ered

eti

nem lehet eldönteni

4. Melyik a kép, melyik a tükörkép? a) b)

igazi

c)

tükrös

d)

igazi

tükrös

5. Építsd meg két gyufásdobozból a következő nyolc testet! A)

B)

C)

D)

45

Tengelyes tükrözés E)

F)

G)

H)

a) Melyek azok, amelyek egymás helyére, és melyek azok, amelyek tükrös helyzetbe mozgathatók? Egymásba mozgathatók: A)←→H), B)←→D), E)←→G) tükrös helyzetbe mozgathatók: A)–H), B)–F), C) – E), C) – G), D) – F)

b) Gyűjtsd csoportokba azokat, amelyek közül egyik a másik helyére mozgatható! A) és H), B) és D), E) és G)

c) Keress olyan párokat, amelyek egymás helyére is mozgathatók, ugyanakkor tükrösen is elhelyezhetők! A) és H) d) Keress olyan párokat is, amelyek tükrös helyzetbe elmozgathatók, de egymás helyére nem! C) és E), C) és G)

6. Eláruljuk, hogy a két téglatest tükrös helyzetbe hozható. Azt is eláruljuk, hogy a testnek csak egy citromsárga lapja van. Milyen lehet a képen nem látható lapok színe? A zölddel szemben kék, a citromsárgával szemben narancssárga, a piros lappal szemben lila lap van.

7. A képen látható kockák egymás tükörképei. Párosítsd össze a A) B) kockákat a hálókkal! Van-e olyan háló, amelyikből ezek a kockák nem építhetők meg? A hálókat olyan lapokra rajzoltuk, amelyek másik oldala (a kocka belseje) fehér. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

1. –B), 2. –A), 3. –B), 4. –B), 5. –A), 6. Egyik sem.

8. A busz a megállóban áll. Merre indul el? Balra. Mivel az egyik ajtó sem látható, a busz hozzánk képest az út túloldalán áll.

46

Tengelyes tükrözés 2. óra: Tükrözés mozgatással Tk.: 33–35. oldal, 1–4. feladat Ebben a részben a tengelyes tükrözést mozgásként adjuk meg. Többféleképpen is lehet a tengelyes tükrözést mozgásként szemléltetni: összehajtott papír átszurkálásával és szétnyitásával, szimmetrikus festékpaca készítésével stb. Ezeknek a módszereknek azonban több hibájuk is van. Mindegyik esetben csak az egyik félsík mozog, méghozzá egy kötött pályán. Amennyiben a gyerekeknek jó transzformációfogalmat akarunk adni, nagyon fontos, hogy (alaphelyzetben) a sík minden pontját transzformáljuk, és hogy csak a kezdő és végállapot érdekel minket. Hogy egy pont képéhez milyen úton-módon jutunk el, az teljesen érdektelen. A sík mozgatására kényelmes lehetőség adódik, ha átlátszó papírt használunk. Erre átmásolhatunk a papírunkról bármit – az alakzatunkat, egy tengelyt, annak egy tetszőlegesen kijelölt pontját. Ha ezután az átlátszó papírt úgy tesszük le, hogy a tengely pontjai pontosan fedjék egymást, az általa határolt félsíkok pedig felcserélődjenek, akkor az alakzatot ezzel a módszerrel éppen a tengelyes tükörképébe mozgattuk. Az előbb leírt mozgatási utasítás a tengelyes tükrözés teljesen precíz definíciója, közvetlenül az euklideszi geometria mozgási axiómáin alapszik. Ezt a definíciót a későbbiekben mozgatásos definíciónak fogjuk nevezni a kézikönyvben, megkülönböztetésül a tengelyes tükrözés hagyományos definíciójától, amelyet – ha az egyértelműség miatt erre szükség van – pontonkénti tükrözésnek fogunk nevezni. A másolópapíros eljárást részletesen, fotóval illusztrálva leírtuk a tankönyvi szövegben. Amikor másolópapírral dolgoznak a gyerekek, akkor a teljes sík mozog, és az nem számít, milyen úton mozgatjuk a másolópapírt, csak az számít, hogy a mozgás végén hova tesszük le. Ezáltal a tükörkép egyrészt könnyen előállítható, másrészt a transzformációk egyenlőségét a tanítványaink később sokkal tisztábban fogják érteni. Szükséges eszközök: másolópapír. Jól használható az átütő géppapír, a skiccpausz, a sütőpapír, és igen jó a befőzési celofán, amelyre zselés tollal vagy vékony hegyű filccel kiválóan lehet rajzolni. Fontos, hogy mindig legyen az osztályban másolópapír, hogy ha valakinek elfogy, adhassunk a tartalékkészletből. Feladatok 1. Készítsd el másolópapír segítségével az alakzat tükörképét! Mindegyik képhez megadtuk a tengelyt. A végén a másolópapírodon legyen együtt a kép és a tükörkép is! Azután ezt ragaszd be a füzetedbe!

47

Tengelyes tükrözés 2. Tükrözd másolópapír segítségével a széttördelt ábrákat! Előtte próbáld meg kitalálni, mit fogsz látni a képen!

3. Végezd el a tükrözést másolópapírral! a)

C

b)

c)

C B

B A

A

t

A

A

t

B

t

B 4. Az ábrákat tükrözéssel szétszedtük. Ha a berajzolt tengelyekre tükrözünk, megkapjuk az eredeti ábrát. Próbáld meg kitalálni, mi az eredeti kép, és utána másolópapír segítségével ellenőrizd a tippedet!

3. óra: A tengelyes tükrözés tulajdonságai Tk.: 35–39. oldal, 1–4. feladat A tengelyes tükrözés tulajdonságai a tükrözés szokásos, pontonkénti definíciójából nem következnek, azonban a tükrözés mozgatással megadott definíciója alapján teljesen magától értetődőek. Nagy hangsúlyt fektettünk az egymásnak megfelelő alakzatpárok keresésére. Ez később is igen hasznos lesz a transzformációk tanításánál. Az egyes tulajdonságokat igyekeztünk minél szemléletesebbé tenni. Nem csak geometriai ábrákkal, hanem „igazi” képekkel illusztrálni a matematikai tartalmat. Többről van szó itt, mint a tetszetősség vagy az esztétikum. Minden gyerek látott már lepkét, amint a virágon ülve szétnyitja 48


és összecsukja a szárnyait. A lepke szárnyaira rajzolt szakaszok – kép és tükörkép – képzeletben könnyen fedésbe kerülnek. Ez az a látásmód, amelyet a gyerekek fejében szeretnénk kialakítani. Azt szeretnénk, hogy ezek az egyszerű, szemléletes tulajdonságok ne csak szabályként, hanem képszerűen is éljenek bennük. Hasonlóan könnyen felidézhető képet igyekeztünk társítani az összes többi tulajdonsághoz is. A szokásosnál egy kicsit többet foglalkozunk a körüljárás problémakörével. Érzékeltetni szeretnénk, hogy a körüljárás egy különleges tulajdonság, megkülönböztet olyan tárgyakat, amelyek amúgy minden részletükben megegyeznek. Anélkül, hogy szabályként kimondanánk, összefüggésbe hozzuk a körüljárás irányát a jobb és a bal fogalmakkal, a tér legalapvetőbb szimmetriáival. A bevezető fejezet játékos feladatai többek között ennek a gondolatnak az elmélyítésére szolgáltak. Megmutatjuk, hogy a tükörtengely merőlegesen felezi az egymásnak megfelelő pontokat összekötő szakaszt, és minden pontja egyenlő távolságra van a ponttól és képétől. Hasonlóan, a tükörtengely felezi az egymásnak megfelelő egyenesek szögét, és minden pontja egyenlő távolságra van az egyenestől és a tükörképétől. Szükséges eszközök: másolópapír, szívószál a tengely kijelöléséhez. Feladatok 1. Egymásnak megfelelő részleteket keresünk. a) Például: az a) ábrán: JF szakasz képe CD szakasz. Röviden: JF → CD . Mi lesz a képe a következő részleteknek? GH szakasz képe: GH → EA F pont képe: F → D EDC szög képe: EDC → GFJ

E

G

A C J

D B

b)

e A H

→ → → →

DEF EF egyenes E H

CB egyenes DB szakasz PH C PG egyenes

→ → → →

FD egyenes DB szakasz PH F PG egyenes

2. Nevezd ki az O ponton átmenő egyenesek közül valamelyiket tengelynek, jelöld meg például egy szívószállal! Keress az ábrán egymásnak megfelelő a) pontokat; b) egyeneseket; c) szögeket; d) szakaszokat; e) háromszögeket!

F

t A t

I G

D B

G

B

P F

E M

N H

C e

H

E F

A

H

L

S

R

O P

I

K

Q

D

J C

49

Tengelyes tükrözés Adjunk meg egy tengelyt, és arra vonatkoztatva válaszoljunk! Például az a) feladatban az EB tengelyre: F → D , G → J , S → S ,

R → M stb. c) AC -re: H OP → H BP e) FC -re: OLK → OGH

b) Az AD tengelyre: GJ → H K d) FD -re: OL → EL

Amikor kijelölünk egy tengelyt, a gyerekek tegyenek rá egy szívószálat vagy egy vékony kartonpapír csíkot! Így könnyen leolvashatjuk a megfelelő alakzatokat anélkül, hogy összefirkálnánk az ábrát. Ha valakinek gondot okoz a megfelelő alakzat megkeresése, tegyen másolópapírt az ábrára, rajzolja be a tengelyt és az eredeti alakzatot, fordítsa át a papírt és így látni fogja a tükörkép helyét! A gyerekek többsége már enélkül is – csupán gondolatban végezve el a másolópapír átfordítását – megtalálja a megfelelő alakzatot. 3. A 2. feladatban ábrázolt hatszögről szólnak a következő kérdések is. Lehet-e, hogy az alábbiakban megadott két-két alakzat egymásnak tükörképe valamilyen egyenesre nézve? Ha igen, akkor add meg a tengelyt! Ha nem, indokold meg, miért nem! FGM és LOM Nem, azonos körüljárásúak. FGM és FM L Igen, az FC tengelyre. FGM és SKE Igen, az LI -re. AF és CD Igen, a BE tengelyre. LOM és KOR Igen, az EB tengelyre. FAL és FEG Igen, az FM -re. H I DF és CALK Igen, a GJ tengelyre. AFG és FEL Igen, az M F tengelyre. AGH és KJO Nem, egymás eltolt képei. POK és H OL Nem, szögeik különbözőek. FAL és H AL Nem, azonos körüljárásúak. EKDO és BOCI Igen, a GJ -re. Sokkal könnyebb válaszolni, ha másolópapíron követjük a kérdéseket. Fontos, hogy a másolópapír eléggé átlátszó legyen. Az egyik legjobb a celofánpapír, amelyen zselés tollal kitűnően lehet írni. 4. A következő tükrözések mindegyike hibás. Ezt anélkül is könnyen beláthatod, hogy másolópapírral ellenőriznéd, mivel a rajzoló mindegyik esetben megsértette a tükrözés valamelyik fontos tulajdonságát. a) Keresd meg a hibát! b) Mindegyik esetben fogalmazd meg, mit rontott el a rajzoló! A)

e

B)

t

t

C)

t

e

D)

e

e

t e

e Az e és t egyenesek metszéspontjának képe önmaga.

50

Az egyenes és a tengely metszéspontjának képe önmaga.

Ha az e egyenesnek nincs közös pontja a tengellyel, akkor a képének sincs.

Egy egyenes és a tükörképe ugyanolyan hajlásszöget zárnak be a tengellyel.

Tengelyes tükrözés E)

t

F)

e

G)

t

H)

A

t

e

t B

B A kör és az egyenes közös pontja a tükrözés után is közös pont.

Tengelyre merőleges egyenes képe önmaga.

A tengelyes tükrözés megváltoztatja a körüljárást.

A

Egy pontnak és képének felező merőlegese a tengely.

4. óra: Tükrözés pontonként Tk.: 39–41. oldal, 1–5. feladat Az óra közvetlen célja a tükrözés szokásos megadási módjának a megtanítása. Annak az eljárásnak a megismertetése a gyerekekkel, hogyan lehet mozgatás nélkül egy tetszőleges pont tükörképét meghatároznunk a síkon. A másik dolog, amire itt oda kell figyelnünk, hogy itt kezdődik a geometriai transzformációk bevezetése. Nem mindegy, hogy ezt a nagyon általános fogalmat hogyan alapozzuk meg. Egyik lényeges eleme ennek a fogalomnak a hozzárendelés gondolata, ennek kialakításában segíthet az a kép, hogy a sík pontjai átkerülnek egy másik helyre. Mivel a konkrét feladatokban mindig egy alakzatnak a képét keressük meg, a gyerekek hajlamosak úgy gondolkozni, hogy csak ez az alakzat vesz részt a transzformációban. A jó transzformációfogalom kialakításában segít, ha már most úgy gondolnak a tükrözésre, hogy a sík minden pontja részt vesz benne. Azért csak egy-egy alakzatot tükrözünk, mert csak akkor látunk valamit a transzformációból, ha az összes pont formátlan sokaságából néhányat megjelölünk. Mintha a sík végtelen tornatermében gyakorlatozó pontok megszámlálhatatlan sokaságából egy-egy alakzat pontjai színes sapkát kapnának. Feladatok 1. Másold át az egeret a füzetedbe! (A pirossal jelölt pontok egymáshoz képest pontosan úgy helyezkedjenek el, mint az ábrán, a többi részletet pedig szabad kézzel egészítsd ki!) Másold át a színessel rajzolt tengelyeket is! Mindegyik tengelyhez készíts külön-külön rajzot! Tükrözd a megadott pontok segítségével az egeret a) az e egyenesre, és a kép legyen piros; b) az f egyenesre, és a kép legyen sárga; c) a g egyenesre, és a kép legyen kék!

g

f e

51

Tengelyes tükrözés 2. Add meg az A(2; 2), B (3; 1) és C (−4; −5) pontok tükörképeit, ha a tengely a) a piros egyenes;

y

C

C

A (2; 4), B (3; 5), C (−4; 11)

b) a kék egyenes;

A (0; 2), B (−1; 1), C (6; −5)

c) a zöld egyenes;

A

A (2; 2), B (1; 3), C (−5; −4)

B

B A A A B B

d) a narancs egyenes!

A (3; 3), B (4; 2), C (10; 9)

B

Készíts külön rajzot az a), b), c) és d) feladatrészekhez!

A

1 0

x

1

C C

C

3. Másold a füzetedbe a feliratot és a tengelyeket, majd tükrözd a feliratot a) először a fekete, majd a piros tengelyre; (Az első tükrözés eredményét zölddel rajzoltuk meg.) b) először a piros, majd a fekete tengelyre! (Az első tükrözés eredményét kékkel rajzoltuk meg.)

4. Ábrázold koordináta-rendszerben a megadott pontokat, és kösd össze őket a felsorolás sorrendjében!

A(2; 3), B (4; 5), C (5; 1)

y

B

B

A Keresd meg a pontok képeit a megadott szabályok C C 1 szerint, és azokat is kösd össze! x 0 1 C C 1. szabály: Sík pontjai, figyelem! Fussatok a legrövidebb úton az y tengelyhez, és onnan egyenesen tovább még ugyanannyit! Rajzold meg a képet pirossal! A A 2. szabály: Sík pontjai, figyelem! Fussatok a legrövidebb úton az x tengelyhez, és onnan B B egyenesen tovább kétszer annyit! Rajzold meg a képet kékkel! 3. szabály: Sík pontjai, figyelem! Fussatok a legrövidebb úton a (0; 0) ponthoz, és onnan tovább kétszer annyit! Rajzold meg a képet zölddel! 52

A

Tengelyes tükrözés Melyik tengelyes tükrözés a három szabály közül? Az 1. szabály. Hasonlítsd össze mindegyik szabály szerint az a) AC szakasznak és a képének a hosszát; Az 1. szabálynál egyenlők, a 2.-nál a kép kb. 158-szoros, a 3.-nál a kép kétszer akkora.

b)

ABC szögnek és a képének a nagyságát! Az 1. és 3. szabály szerint a szögek egyenlők, a 2. szabály

esetén eltérnek, a képnél a szög kisebb.

Vegyék észre a gyerekek, hogy míg a mozgatások soha nem változtatják meg a távolságok és szögek nagyságát, addig az olyan utasítások, amelyek minden pontnak egyenként, külön-külön megadják a képét, könnyen torzító transzformációhoz vezetnek. 5. Ábrázold koordináta-rendszerben a megadott pontokat, és kösd össze őket! A(6; −2), B (1; 3), C (4; 6), D (4; 4), E (6; 4), F (3; 1) Keresd meg a pontok képeit a megadott szay bályok szerint, és azokat is kösd össze! a) Minden ponthoz rendeld hozzá azt a ponC C tot, amelyet úgy kapsz, hogy a pont első D D E E jelzőszámát változatlanul hagyod, a másoB B diknak pedig az ellentettjét veszed! RajA F 1 F zold meg pirossal az új alakzatot! 0 1 b) Minden ponthoz rendeld hozzá azt a ponF A A tot, amelyet úgy kapsz, hogy a pont első B E D jelzőszámát szorzod −2-vel, a másodikat pedig változatlanul hagyod! Rajzold meg C zölddel az új alakzatot! c) Hasonlítsd össze mindkét szabály szerint a • BA szakaszt a képével; a) egyenlő hosszú; b) B A kb. 158-szorosa a kép az eredetinek. • CDE szöget a képével! egyenlőek

x

Ebben a feladatban a gyerekek tapasztalatot szereznek arról is, hogy miként függnek össze a különböző műveletek azzal, hogy egy transzformáció torzít-e vagy sem.

5. óra: Szimmetrikus alakzatok Tk.: 42–44. oldal, 1–11. feladat Az alsó tagozatban és a mindennapi életben szerzett tapasztalatok, az előző órákon szereplő soksok kép és játék alapján a tengelyes szimmetria fogalma nem nehéz. A precíz definíció kicsit nehézkes, a szimmetria legáltalánosabb fogalmának a specializálása. Előnye az, hogy később könnyű lesz az általános szimmetriafogalomra áttérni. Tanítsuk meg ezt a definíciót, de használjunk mellette bátran „pongyolább” körülírásokat is a szimmetria fogalmára! Például: tengelyesen szimmetrikus az az alakzat, amelyre nem hat a tükrözés; vagy: amelyik nem érzi meg a tükrözést, vagy: amelynek a tükörképe önmaga. Arról is beszélgethetünk a gyerekekkel – visszalapozhatunk a témakör elején szereplő feladatokra –, hogy éppen azok a tükrös alakzatok, amelyek nem különböztethetők meg a tükörképüktől. 53


Az is egy fontos cél, hogy a gyerekek szemét rányissuk arra, milyen sokféle formában találkozhatnak tükörképekkel. Kedvet kapjanak ahhoz, hogy a matematikaórán kívül is figyeljenek a tükörképekre és az őket körülvevő világ más geometriai tulajdonságaira. Feladatok 1. Keresd ki a „selejtes” hópelyheket! Melyiknek hány szimmetriatengelye van?

6 tengely

6 tengely

6 tengely

6 tengely

2. Válaszd ki a képek közül azokat, amelyek kis hibáktól eltekintve tengelyesen szimmetrikusak! a) J. R. R. Tolkien (ejtsd: tolkín) híres angol író A Gyűrűk Ura című meseregényében olvashatsz a tünde törzsekről, amelyek címerei közül választottunk néhányat.

Finwë b) Híres hősök címerei:

Idril Celebrindal

Gil-galad

Szilmarilok

Trójai Hektór Artúr király Júdás Makkabeus Julius Caesar A címerek vizsgálatával és készítésének szabályaival foglalkozik a heraldika nevű tudományág. Nézz utána, hogy milyen szabályokat kell betartania egy címerkészítőnek! Az interneten számos forrást találhatunk a címertan bonyolult szabályrendszeréről, például a http://hu.wikipedia.org „heraldika” címszavánál, a http://www.heraldika.hu és http://www.nemzetijelkepek.hu/cimer.shtml oldalakon.

3. Készíts címert magadnak, családodnak, osztályodnak!

54

Tengelyes tükrözés 4. Válaszd ki a tárgyak közül azokat, amelyeknek van tükörsíkja! Melyiknek hány tükörsíkja van?

1 2

3

1

1

2

végtelen sok

1

5. Gyűjts képeket tengelyesen szimmetrikus alakzatokról és síkra szimmetrikus testekről! Készíts tablót! 6. Négy pont egy tengelyre szimmetrikusan helyezkedik el. Lehetséges-e, hogy a) közülük egyik sincs a tengelyen; Igen. b) közülük pontosan 3 van a tengelyen; Nem. c) közülük pontosan 2 van a tengelyen; Igen. d) közülük pontosan 1 van a tengelyen? Nem. 7. Öt pont egy tengelyre szimmetrikusan helyezkedik el. Hány pont eshet közülük a tengelyre? 1, 3 vagy 5.

8. Állapítsd meg mindegyik alakzatról, hány szimmetriatengelye van! A)

a

B)

b a

Nincs tengelye. Nincs tengelye.

C)

b

a

a a

D)

a a

2 tengelye van.

a

E)

F)

a

3 tengelye van. 2 tengelye van.

6 tengelye van.

A 8. feladat A) ábrája egy ősi kínai szimbólum, amely a jin és jang jelét olvasztja össze. Nézz utána, mit is jelentenek ezek a fogalmak a kínai bölcsek számára! 9. Vágj ki két egymásra illesztett papírból két egyforma háromszöget! Helyezd el ezeket úgy a füzetlapodon, hogy a kettő együtt tengelyesen szimmetrikus alakzatot alkosson! Rajzold körül ebben a helyzetben az alakzatokat! 10. Vágj ki egy összehajtott lapból két egybevágó formát! Például ilyet: Helyezd el a kivágott alakzatokat úgy, hogy a kettő együtt tengelyesen szimmetrikus alakzatot alkosson! Rajzold körül a füzetedben többféle szimmetrikus helyzetben is a figuráidat! Figyeljék meg a gyerekek, hogy két egybevágó alakzat mindig tengelyesen szimmetrikus helyzetbe hozható, méghozzá végtelen sokféleképpen. Ehhez azonban az egyiket „át kell fordítani”. 11. Játék – Párokban játsszatok! Rajzoljatok egy A4-es négyzethálós lapra két 5 cm sugarú kört úgy, hogy azok ne messék egymást, középpontjaik ugyanazon a vonalon legyenek, egymástól 11 cm távolságra! Ezenkívül egyforma korongokra van még szükségetek. Ezek lehetnek a piros-kék papírkorongok vagy játékpénzek vagy igazi egyforma pénzérmék: : : A játék során felváltva tegyetek le egy-egy korongot a két kör valamelyikébe úgy, hogy a korongok ne fedhessék egymást! Az a győztes, aki az utolsó korongot le tudja rakni. Több 55

Tengelyes tükrözés játékot is játszhattok, váltogassátok, hogy melyikőtök kezd, és melyikőtök tesz másodszorra! Próbáljatok olyan módszert találni, amellyel biztosan nyerhettek! A második játékosnak van nyerőstratégiája: bárhová teszi le az első játékos a korongját, a második mindig annak a tükörképébe tegye le a sajátját. Az első korong tükörképének a helye így mindig biztosítva lesz a második játékos számára.

6. óra: Tükörkép szerkesztése Tk.: 45–47. oldal, 1–13. feladat Feladatok 1. Vegyél fel a füzetedben egy tengelyt és egy szakaszt! Szerkeszd meg a szakasz tükörképét! 2. Rajzolj egy egyenest és egy háromszöget! Tükrözd a háromszöget az egyenesre! 3. Vegyél fel a füzetedben egy egyenest és egy kört! (A körnek jelöld be a középpontját!) Tükrözd a kört az egyenesre! 4. Vegyél fel egy egyenest és egy pontot! Szerkessz a pontból az egyenesre merőlegest!

e egyenest és egy P pontot! Szerkeszd meg P és e távolságát! Vegyél fel három egyenest és egy P pontot! Szerkeszd meg a P pont távolságát mindegyik

5. Vegyél fel egy 6.

egyenestől! Melyikhez van legközelebb, melyiktől a legtávolabb? 7. Szerkessz téglalapot, amelynek oldalai 3 cm és 5 cm hosszúak! 8. Szerkessz 4 cm oldalú négyzetet!

Adott egyenes adott pontjába merőleges egyenes szerkesztését gyakoroljuk a 7. és a 8. feladatban. 9. Szerkessz téglalapot, amelynek egyik oldala háromszor akkora, mint a másik! A gyerekek valószínűleg meglepődnek ezen a feladaton, úgy érzik, az egyik oldal hosszúságát is tudniuk kellene. Azonban itt nem egy konkrét téglalapot kell megszerkeszteniük, hanem annak csupán a fenti feltételnek kell megfelelnie, így ahány gyerek, annyiféle téglalapot szerkeszt, mégsem akármilyet, hiszen mindegyik ugyanolyan alakú. Nyugodtan beszélhetünk arról, hogy hasonló téglalapokat szerkesztettünk. A hasonlóság és az egybevágóság fogalmát éveken át tudatosan ilyen apró feladatokkal készíthetjük elő. 10. Egy téglalap egyik oldala háromszor akkora, mint a másik. Ekkora a kerülete:

Szerkeszd meg a téglalapot! Ez a feladat már kijelöl egyet a végtelen sok hasonló téglalap közül, hiszen egyféle hosszúságadatát megadtuk. Szakaszfelezésekkel megszerkeszthetjük a nyolcadrészét, ez lesz az egyik oldala. Annak háromszorosa pedig a másik oldala.

56

Tengelyes tükrözés 11. Szerkessz négyzetet! Vegyél fel egy egyenest (e ), ez legyen a négyzet egyik oldalegyenese! Vegyél fel egy pontot is (A), ez legyen a négyzet egyik csúcsa! Például úgy, ahogy az ábrán látható.

e

B

C D

A

12.

A

C

P

D

e

A

Az A csúcsból merőlegest állítunk az e egyenesre, így kapjuk a négyzet oldalát. Kétféleképp fejezhetjük be a szerkesztést, de a kapott négyzetek egybevágók. Beszélhetünk róla, hogy ezeket nem szoktuk különböző megoldásoknak tekinteni. Csak egyféle négyzet keletkezett, de két helyen, egymás tükörképeként.

Rajzolj a füzetedbe egy A pontot és rajta átmenő egyeneseket! Vegyél fel egy P pontot, és tükrözd az egyenesekre! Milyen alakzatot adnának a képpontok, ha az A ponton áthaladó összes egyenesre tükröznél? Jelöljük P képét P -vel. PA = P A teljesül, ha az A ponton átmenő bármelyik egyenesre tükrözünk. Ezért P és mindegyik P azonos távolságra van az A ponttól. Az alakzat egy A középpontú PA sugarú kör.

13. Rajzolj a füzetedbe párhuzamos egyeneseket és egy P pontot! Tükrözd a P pontot az egyenesekre! Milyen alakzatot adnának a képpontok, ha az összes párhuzamos egyenesre tükröznél? Az alakzat egy P -ből a tengelyekre állított merőleges egyenes.

P

7. óra: Egyszerű szimmetrikus alakzatok Tk.: 48–52. oldal, 1–9. feladat Szeretnénk, ha a gyerekek a szimmetria fogalmát minél több érzékszervükkel megtapasztalnák. Ebben segít az is, ha maguk állítanak elő egyszerű szimmetrikus alakzatokhoz tengelyeket a papír hajtogatásával. Ez más, mint amikor ceruzával, vonalzóval rajzolunk. Csak a papír lehet a kézben, és csak hajtogatni szabad. A papírra előre rajzoljuk fel az alakzatot, úgy adjuk a gyerekek kezébe! A kör közepe ne látszódjon (körülrajzolhatunk például egy bögrét), és a legjobb átlátszó papírt használni! Megtapasztalhatják a gyerekek, hogy akkor kapunk tengelyt, ha úgy hajtjuk meg a lapot, hogy az alakzat egyik fele pontosan fedje a másikat. A körre vonatkozó ismeretek ismétlése után a körvonal és a körlap további részeit vizsgáljuk a tengelyes tükrözésnél is alkalmazott hajtogatással, másolással. A tengelyesen szimmetrikus körrészekre vonatkozó megállapításokat tapasztalataik alapján a tanulók fogalmazzák meg. A szakaszfelező merőleges és a szögfelező szerkesztését a következő órákon kell majd megtanítanunk és begyakoroltatnunk. A szerkesztéseket a szakasz és a szög szimmetriatulajdonságaira alapozzuk, a szög szimmetriatulajdonságait a körív tulajdonságaira fogjuk visszavezetni. A szakasz és a körív sok szempontból analóg alakzatok, és ennek az analógiának a felfedezése sokat segíthet abban, hogy a szögfelező szerkesztése ne okozzon a gyengébb diákoknak se gondot. 57


A könyvben ezt a folyamatot – az analógiák felfedezését – azzal szeretnénk elősegíteni, hogy egymás mellé, egymás alá olyan alakzatokat teszünk, amelyek között szoros rokonság van, és ezért könnyű köztük analógiákat felfedezni: – Vegyék észre a gyerekek, hogy a kör és a pont hasonlítanak egymásra, mindkettőnek a szimmetriatengelyei egy egyetlen ponton áthaladó egyenessereget alkotnak. A kör olyan, mintha a pontot „felfújnánk”. – Az egyenes és a végtelen sáv között is hasonló a rokonság. Szimmetriatengelyeik egy egyenesből és a rá merőleges egyenesseregből állnak. A végtelen sáv olyan, mint egy kitágított egyenes. Ahogyan messziről nézve a kör egy pontnak látszik, ugyanúgy a sávok messziről vonalnak látszanak. – A következő páros a szakasz és a körív. A szakasz az egyenesnek, a körív a körvonalnak két pont által határolt darabja. Szimmetriatengelyük teljesen hasonló tulajdonságú, egyformán szerkeszthető. A körív szimmetriatengelye egyúttal a hozzá tartozó középponti szög felezője. A háromszög szögeinek összegéről később esik majd szó, ezért a 60 fokos szög szerkesztését itt még nem tanítjuk. A 180 fokos szög felezésével azonban derékszöget már tudunk szerkeszteni. Megbeszélhetjük a gyerekekkel, hogy ezután már nincs akadálya annak sem, hogy párhuzamost szerkesszenek körzővel és egyenes vonalzóval, de arra később – 7. évfolyamon – tanulunk egy egyszerűbb, pontosabb és kényelmesebb módszert is a paralelogramma tulajdonságai alapján. Ezért itt még megengedhetjük, hogy a párhuzamost két vonalzó segítségével rajzolják. Egyébként az sem baj, ha bizonyos feladatokban a merőleges rajzolásánál is használják a derékszögű vonalzót. A lényeg az, hogy már itt megértsék, mit értünk a „szerkeszteni” szó alatt. Éppen ezért javasoljuk, hogy az órákon próbáljuk meg minél következetesebben megkülönböztetni a „szerkeszteni” és a „megrajzolni” kifejezéseket. Szükséges eszközök: körző, vonalzó, másolópapír. Feladatok 1. Rajzolj a füzetedbe egy pontot, jelöld O -val! a) Színezd kékre a sík azon pontjait, amelyek az O ponttól 25 mm-re vannak! b) Zölddel jelöld az O ponttól legfeljebb 15 mm-re lévő pontokat! 25 m m

O

2. Melyik alakzat körgyűrű, körcikk vagy körszelet?

Körgyűrű: I . Körcikk:

A, B , C , H , J , K . Körszelet: A, E , F .

(Vizsgálhatjuk két-két szomszédos alakzat egyesítését is. Például

58

A és C egyesítése körcikk, A és D vagy G és H

egyesítése körszelet.)

15 mm

Tengelyes tükrözés 3. A körnek melyik az a része, amely egyszerre körcikk és körszelet is? A félkör. 4. Szerkessz egy 2 cm sugarú körbe 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm hosszúságú húrt! Megjegyzés: a 4 cm-es húr a kör átmérője, 5 cm-es húr nem szerkeszthető a 2 cm sugarú körbe – a leghosszabb húr az átmérő.

5. Hány körcikkre bontja a körlapot a) három sugara; 3 b) négy sugara; 4

c) 10, 23, 50,

:::

sugara? 10, 23, 55, : : :

6. Hány körívre bontja a körvonalat a) három pontja; 3 b) négy pontja; 4

c) 9, 20, 100,

:::

pontja? 9, 20, 100, : : :

7. Rajzold át másolópapírra az alakzatokat! Hajtogatással keresd meg a szimmetriatengelyeiket! Figyeld meg az A és B pontokat összekötő húrok és a szimmetriatengelyek helyzetét! a)

b)

c)

d)

e)

A húrok felezőmerőlegese szimmetriatengelye az ívnek, a körcikknek és a körszeletnek is.

8. Szerkessz egy 3 cm sugarú körbe egy 2 cm és egy 4 cm hosszúságú húrt! Állíts merőlegest a húrokra a középpontból! Mérd meg a húrok és a középpont távolságát! ≈ 28 cm, illetve 22 cm. 9. Szerkessz egy 4 cm sugarú körbe olyan húrokat, amelyek hossza centiméterben mérve páros szám! Mérd meg a húrok és a középpont távolságát! ≈ 39 cm, 35 cm, 26 cm, 0 cm.

8. óra: Szimmetriatengelyek szerkesztése Tk.: 52–57. oldal, 1–22. feladat A felezőmerőleges és a szögfelező szerkesztése azon alapszik, hogy a szakasz, illetve a szög szimmetriatengelyét keressük. A szög szimmetriatengelyének szerkesztését a körív szimmetriatengelyének szerkesztésére vezetjük vissza. A szakasz és a körív felezése teljesen analóg módon történik, ezért a szögfelező szerkesztését, amely általában nehezebben megy a gyengébb tanulóknak, a felezőmerőleges szerkesztésére vezetjük vissza, mert ez általában könnyebb feladat számukra. Feladatok 1. Rajzolj a füzetedbe tetszőleges sugárral egy kört! A középpontját nevezd O -nak! Vegyél fel rajta két pontot, A-t és B -t! Rajzold be az AB húrt! Szerkeszd meg az a) AB ív felezőpontját; b) AB szakasz felezőmerőlegesét; c) AOB szög szögfelezőjét! Hány szerkesztést kellett elvégezned? Mindhárom feladat megoldásakor ugyanazt a szerkesztést kell elvégeznünk.

59


Az 1. feladat azt a fontos tudnivalót erősíti meg, hogy a szakaszfelező merőleges, a körívet felező sugár és a szögfelező ugyanazzal az eljárással szerkeszthető. Egyszerű és fontos feladat, lehetőleg ne hagyjuk ki! 2. Rajzolj a füzetedbe szögmérő segítségével egy 58◦ -os, egy 150◦ -os és egy 210◦ -os szöget! Mindegyiknek szerkeszd meg a szögfelezőjét! Szögmérővel ellenőrizd szerkesztésed pontosságát! 3. Vegyél fel a füzetedben egy 10 cm hosszúságú szakaszt! Szerkessz olyan pontokat, amelyek a szakaszt négy egyenlő részre osztják! Méréssel ellenőrizd, milyen pontossággal dolgoztál! 4. Vegyél fel egy egyenest! Jelölj ki rajta egy pontot! Állíts merőlegest az egyenesre ebben a pontban! Szerkeszd meg a kapott derékszög negyedrészét! 5. Vegyél fel a füzetedben egy szöget! Szerkeszd meg a szögfelezőjét! Vegyél fel a szögtartományban egy olyan P pontot, amely a szögfelezőn van, és egy olyan Q pontot, amely nincs a szögfelezőn! Szerkeszd meg P és Q távolságát mindkét szögszártól! Melyik szárhoz van közelebb P , és melyik szárhoz van közelebb Q ? Az 5. feladattal tudatosítani akarjuk, hogy a szögfelező pontjai azzal a tulajdonsággal rendelkeznek, hogy mindkét szögszártól egyenlő távolságra vannak, és ha egy pont nincs rajta a szögfelezőn, az nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. 6. Rajzolj a füzetedbe ilyen ábrákat! Szerkeszd meg a megjelölt szögek szögfelezőit! Mekkora szöget zárnak be egymással ezek a szögfelezők? Próbáld meg megindokolni az észrevételedet!

A szögfelezők merőlegesek egymásra.

7. Színezd a síkot! Vegyél fel a síkon két pontot, A-t és B -t! Legyenek pirosak azok a P pontok, amelyek A-tól és B -től is egyenlő távolságra vannak! Röviden: PA = PB Legyenek kékek azok a K pontok, amelyekre KA < KB ! Legyenek zöldek azok a Z pontok, amelyekre ZA > ZB !

A kék pontok

zöld pontok

B

A szakaszfelező merőleges és a szögfelező mértani hely tulajdonságainak mélyebb megértését segíti, ha nemcsak A-tól és B -től egyenlő távolságra levő pontokat kerestetünk a gyerekekkel, hanem olyanokat is, amelyek A-hoz, illetve B -hez vannak közelebb. Ez a számok világában ahhoz hasonlít, mikor az egyenlő mellett megvizsgáljuk a kisebb, nagyobb lehetőségeket is (például: x + 3 = 5, x + 3 < 5, x + 3 > 5). 60

Tengelyes tükrözés 8. Színezd a szögtartományt! Vegyél fel egy AOB szögtartományt! Legyenek pirosak azok a A távolságra vannak!

O

kék pontok

B

zöld pontok

Legyenek kékek azok a közelebb! Legyenek zöldek azok a közelebb!

P

pontok, amelyek mindkét szártól egyenlő

K

pontok, amelyek az

OA

szárhoz vannak

Z

pontok, amelyek az

OB

szárhoz vannak

9. Rajzolj a füzetedbe egy háromszöget! Szerkeszd meg mindhárom oldalának a felezőmerőlegesét! Mit tapasztalsz? Egy ponton haladnak át a felezőmerőlegesek. 10. A gyerekek golyót gurítanak célba. Az A, B és C pontokban térdelnek. A gödröcske, amelybe bele kell gurítani a golyókat, mindegyik gyerektől egyforma messze van. Készíts a feladat szövegének megfelelő rajzot, amelyen a gyerekek helyét egy-egy ponttal jelölöd! Szerkeszd meg a gödör helyét! A háromszög oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja a gödör helye. A három pontot a gyerekek szabadon veszik fel a füzetükben. Ez jobb osztályokban egy kis diszkusszióra is lehetőséget adhat.

Nézz utána, hol áll, és mit ábrázol Szanyi Péter Einstand című szobra! Budapest VIII. kerületében, a Práter utca 11-nél álló szoborcsoport Molnár Ferenc A Pál utcai fiúk című regényének azt a jelenetét ábrázolja, amikor a Pál utcaiak (Nemecsek, Richter és Weisz) golyóznak, a Pásztor fivérek pedig figyelik őket. (Ez a jelenet a regény szerint a Múzeumkertben játszódik.)

11. Ezen a térképvázlaton s jelenti a falu főutcáját, I pont az iskola, O pedig az óvoda helyét. Matyi a főutcában lakik, éppen egyenlő távolságra az óvodától és az iskolától. Rajzolj hasonló térképvázlatot a füzetedbe, és szerkeszd meg rajta Matyiék házának helyét!

I O

L

s

Matyi lakásának két feltételnek kell eleget tennie. Az egyik az, hogy illeszkedik az s egyenesre, a másik pedig, hogy O -tól való távolsága ugyanannyi, mint I -től való távolsága. Röviden OL = I L (L jelöli a házát). A két feltétel egyidejűleg teljesül arra a pontra, ahol az OI szakasz felezőmerőlegese metszi az s egyenest. Az ilyen egyszerű feladatokkal készítjük elő az összetettebb szerkesztési feladatokat és – ami igen nehéz szokott lenni – a diszkussziót. Azt ugyanis könnyű elképzelni, hogy az O és az I pontoknak hogyan kell elhelyezkedniük ahhoz, hogy a felezőmerőleges éppen párhuzamos legyen az s egyenessel.

12. Rajzolj a füzetedbe egy háromszöget! Szerkeszd meg mindhárom szögének a szögfelezőjét! Mit tapasztalsz? Egy ponton haladnak át a szögfelezők.

61

Tengelyes tükrözés 13. Hol a kincs? A kincsről annyit tudunk, hogy egyforma messze van az omladozó kőfaltól és a folyótól, továbbá hogy egyenlő távolságra van a két öreg fenyőtől is. Rajzolj térképvázlatot a füzetedbe, és szerkeszd meg a kincs helyét! A gyerekek rajzoljanak a füzetükbe a feladathoz egy térképvázlatot! Egy szögfelező és egy felezőmerőleges metszéspontja adja a megoldást.

14. Vegyél fel egy

AC

szakaszt! Szerkessz négyzetet, amelynek ez a szakasz átlója!

Összefüggések: a négyzet átlói merőlegesen felezik egymást, és egyenlő hosszúak. A szerkesztés lépései: 1. Szerkesszük meg az

AC szakasz felezőmerőlegesét!

2. A szakasz felezőpontjából mérjük fel a szakasz felét a felezőmerőlegesre! Így kapjuk meg a négyzet hiányzó csúcsait.

15. Vegyél fel egy PQ szakaszt! Szerkessz négyzetet, amelyben PQ a négyzet oldalfelező pontjait összekötő szakasz! Hány lehetőség van? Két eset van: 1.

2.

P és Q a szemközti oldalak felezőpontjai. Ekkor PQ hossza egyenlő a négyzet oldalának hosszával, és merőleges két szemközti oldalra. Ekkor a P és a Q pontban PQ -ra merőleges egyenest állítunk, és ezekre mindkét irányban felmérjük a PQ felét. Így kapjuk a négyzet csúcsait. A PQ szakasz a szomszédos oldal felezőpontjait köti össze. Egyenlő szárú derékszögű háromszöget szerkesztünk, amelynek alapja PQ . Ennek a háromszögnek a szárait megduplázva a négyzet további csúcsaihoz jutunk.

16. Vegyél fel egy egyenest és két pontot, az egyik pont legyen az egyenesen, a másik pedig az egyenesen kívül! Szerkessz téglalapot, melynek az adott pontok csúcsai, az adott egyenes pedig a téglalap

Nevezzük az egyenest e -nek, az egyenesre illeszkedő pontot P -nek, az egyenesre nem illeszkedő pontot pedig Q -nak! Elég a téglalapnak az e egyenesre illeszkedő csúcsát megszerkeszteni, ekkor már három csúcsból a negyedik könnyen szerkeszthető. Összefüggések: A téglalap szomszédos oldalai merőlegesek egymásra, de nem merőlegesek az átlóra.

a) egyik oldalegyenese; Mivel e oldalegyenes, ezért ha PQ ⊥ e , akkor PQ is oldalegyenes, és a téglalap

e egyenesen bárhol választhatjuk. Ilyenkor végtelen sok megoldás van. Ha e nem merőleges PQ -ra, akkor PQ átló, és a Q -ból e -re bocsátott merőleges talppontja lesz a keresett harmadik csúcsát az

csúcs.

b) egyik átlóegyenese! Mivel e átlóegyenes és Q nincs rajta e -n, P és Q szomszédos csúcspontok, tehát

PQ nem lehet merőleges e -re. Ha mégis, akkor nincs megoldás. Ha PQ nem merőleges e -re, akkor a Q csúcsban a PQ -ra állított merőleges metszi ki e -ből a keresett harmadik csúcsot.

17. Ismerd meg hazádat! Fektess az 1. mellékletben lévő Magyarország-térképre egy átlátszó papírt! Jelöld be rajta Szeged és Veszprém helyét! 62

Tengelyes tükrözés Szerkeszd meg az átlátszó papíron a két pont által alkotott szakasz felezőmerőlegesét! Ennek segítségével keress olyan pontokat, amelyek Szegedtől és Veszprémtől egyenlő távolságra vannak! Például: Bátaszék, Ózd, Pétervására, Jászfényszaru. A Szegedtől és Veszprémtől egyenlő távolságra lévő pontok közül melyik van közelebb Miskolchoz, mint Budapesthez? Például: Ózd és Pétervására. Jártál-e már ezekben a városokban? Tudsz-e valamit róluk? Ha nem, akkor kutass fel mindegyik városról legalább egy nevezetességet! A 17. és 18. feladat is rokona a térképvázlatos 11. feladatnak. Ezek mindegyikében egyszerű mértani helyek közös részét kell megkeresni, a gyerekeknek mégis könnyebbséget jelenthet, hogy egyes adatok jelentést kapnak benne. A pontokat és egyeneseket nem pusztán betűk különböztetik meg, hanem ezek városokat, vagy egy iskolát, utakat, patakot stb. jelentenek. A gyerekek képzeletét bevonhatjuk a munkába, és ez az alapja annak, hogy bármit valóban megértsenek. 18. A képeken egy város valamelyik nevezetes épülete látható. A város nevét kell kitalálnod.

Azt tudjuk róla, hogy a távolsága Szekszárdtól ugyanannyi, mint Székesfehérvártól, valamint Szegedtől és Budapesttől való távolsága is egyenlő. Másolópapíron dolgozz az 1. mellékletben található Magyarország-térképen! Kecskemét. A kép a Cifrapalotát ábrázolja.

Melyik híres magyar porcelángyárban készültek az épület majolikadíszei? A Zsolnay porcelángyárban.

19. Szerkessz a térképen! Az 1. mellékletben található Magyarország-térkép segítségével készíts magad is a 17–18. feladathoz hasonló rejtvényeket! Legyen a zöld mondat a szöveg, ahova neked kell megfelelő városokat, illetve számot találnod, és ha sikerült, akkor feladhatod osztálytársaidnak. A mellékletben lévő térképen 1 cm-nek 20 km felel meg, így 1 mm-nek 2 km felel meg. Ezek alapján szerkeszthetünk a térképen. Egy lehetséges megoldás például:

Gondoltam egy városra. Elárulom, hogy Pécs és Szolnok városoktól egyenlő távolságra van, és Kecskemét várostól éppen 54 km távol fekszik. Melyik városra gondoltam? Kiskunhalasra. 63

Tengelyes tükrözés 20. A 19. feladat mintájára lehet ilyen rejtvényt is csinálni, ha megfelelő városokat és távolságokat találsz a térképen: Egy lehetséges megoldás például:

Melyik az a város, amelyik 130 km-re fekszik Kaposvártól -tól, és 200 km-re fekszik Siklós tól? Szombathely. 21. Rajzolj egy négyzetet! Vegyél fel a belsejében egy P pontot! Színezd a négyzetlapnak azokat a pontjait, amelyek közelebb vannak a P ponthoz, mint a négyzet bármelyik csúcsához! Nevezzük ezeket a P pont rokonainak! a) Milyen alakzatot alkotnak a P pont rokonai?

D

Ebben az esetben hatszöget. Szerkesszük meg sorban P és a csúcsok szimmetriatengelyeit (a szakaszfelező merőlegeseket). Sorban kiváA lasztjuk azt a félsíkot, amelyik P -t tartalmazza (az így kiválasztott félsíkok közös része egy hatszög, ennek a belső pontjai a P pont rokonai).

t3

t4

C

P

t2

t1

B

b) Oldd meg a feladatot úgy is, hogy egy háromszögben veszed fel a P pontot, és a háromszöglapon keresed a P pont rokonait! A háromszögben felvett P pont rokonai vagy egy ötszöget, vagy egy hatszöget alkotnak a

P helyzetétől függően.

22. Bizonyítsd be, hogy két metsző egyenes szögeinek szögfelezői merőlegesek egymásra! Metsző egyenesek szomszédos szögeinek összege 180◦ , tehát ezen szögek felének az összege 90◦ .

9. óra: Két alakzat együttes szimmetriái Tk.: 58–63. oldal, 1–11. feladat Szokatlan feladattal kezdődik az óra, 2 külön-külön tengelyesen szimmetrikus alakzatot kell egymásra mozgatni úgy, hogy az együttes alakzat tengelyesen szimmetrikus legyen. Ha a két alakzatot úgy tesszük egymásra, hogy szimmetriatengelyeik egybeesnek, akkor az együttes alakzat is tengelyesen szimmetrikus. Ha két alakzat mindegyikének végtelen sok szimmetriatengelye van, akkor előfordulhat, hogy bárhogy tesszük le őket, mindenképpen van közös szimmetriatengelyük. Ez a helyzet a kör és egyenes, illetve két kör esetében is. Kör és egyenes együttes alakzata mindenképp tengelyesen szimmetrikus, a közös szimmetriatengely a kör középpontjából az egyenesre bocsátott merőleges. Kör és kör együttes alakzata is mindig tengelyesen szimmetrikus, közös tengelyük a körök középpontjait összekötő egyenes. Ebből közvetlenül következnek a kör érintőjére vonatkozó tételek.

64

Tengelyes tükrözés Feladatok 1. Válassz ki kettőt a képen látható alakzatokból! (Keménypapírból kivághatod magadnak az alakzatokat, vagy dolgozhatsz másolópapírral is.) A)

B)

C)

D)

E)

F)

G)

Helyezd el ezeket úgy, hogy az együttes alakzat a) szimmetrikus legyen! Melyiket tudod, melyiket nem tudod így elhelyezni? A paralelogramma egyikkel sem alkothat tengelyesen szimmetrikus alakzatot. A többiek közül bármely kettő.

b) ne legyen szimmetrikus! Melyiket tudod, melyiket nem tudod így elhelyezni? A két kör nem helyezhető el így, egyébként bármely kettő igen.

2. Rajzold meg a két kör közös szimmetriatengelyét! a)

b)

c)

d)

3. a) Keresd meg az alakzatok szimmetriatengelyét! b) Meg tudod-e egy vonallal rajzolni az ábrákat úgy, hogy nem emeled fel a ceruzát, és minden vonalat pontosan egyszer húzol meg? A vonalak keresztezhetik egymást. A)

B)

C)

D)

4. Rajzolj vonalzóval egy egyenest, jelöld meg egy pontját! Szerkessz olyan 2 cm sugarú kört, amely a megjelölt pontban érinti az egyenest! Hány kört szerkeszthetsz? Két kör szerkeszthető. 5. Rajzolj körzővel egy 3 cm sugarú kört, jelöld meg a körvonal egy pontját! Szerkessz olyan egyenest, amely a kört a megjelölt pontban érinti! Merőlegest kell állítani a megjelölt pontba húzott sugárra.

65

Tengelyes tükrözés 6. Rajzolj egy 3 cm átmérőjű kört és a középpontjától 4 cm távolságra lévő egyenest! Szerkeszd meg a kör azon érintőit, amelyek párhuzamosak a felrajzolt egyenessel! Merőlegest kell állítani a középpontból az egyenesre, majd a körrel való metszéspontokban újra merőlegeseket kell állítani.

7. Rajzolj három 5 cm sugarú körvonalat! Vegyél fel az egyiken egy pontot, a harmadikon pedig egy C pontot! Szerkessz a) 2 cm sugarú kört, amely A pontban érinti az első kört; b) 4 cm sugarú kört, amely B pontban érinti a második kört; c) 6 cm sugarú kört, amely C pontban érinti a harmadik kört! Keress több megoldást! Mindegyik esetben 2 kör szerkeszthető.

A pontot, a másikon egy B

8. Szerkessz egy 3 cm, egy 5 cm és egy 6 cm sugarú kört úgy, hogy közülük legalább kettő érintse egymást, és a középpontjaik egy egyenesre essenek! Keress többféle megoldást! Csak úgy érinthetik egymást, ha egyetlen érintési pont van. Vegyük fel a középpontokat tartalmazó egyenest és rajta az érintési pontot, az E -t! Ehhez képest kell a középpontokat 3, 5, illetve 6 cm távolságban elhelyezni. Ez négyféleképpen lehetséges, ha az egybevágó eseteket nem tekintjük különbözőnek.

9. Vegyél fel egy kört, szerkessz köré olyan négyzetet, amelynek oldalai érintik a kört! Húzzunk két merőleges átmérőt, és a körrel alkotott metszéspontjaikból szerkesszünk érintőt a körhöz!

10. a) Egy 3 cm sugarú körbe szerkessz egymással párhuzamos, 3 cm hosszú húrokat! b) Szerkeszd meg a kört a húrok végpontjaiban érintő egyeneseket! c) Milyen négyszöget határoznak meg az érintők metszéspontjai? Egyenlő oldalú négyszöget, azaz rombuszt. 11. a) Egy 3 cm sugarú körbe szerkessz egymással párhuzamos 3 cm és 5 cm hosszú húrt! Hány eset lehetséges? 2

b) Szerkeszd meg azokat az egyeneseket, amelyek a kört a húrok végpontjaiban érintik! c) Milyen négyszöget határoznak meg a szomszédos végpontokhoz tartozó érintők metszéspontjai? A négyszög konvex, illetve konkáv deltoid, de ezt az elnevezést még nem kell tudniuk a gyerekeknek.

66

Tengelyes tükrözés 10–11. óra: Szögek összehasonlítása, szerkesztése Tk.: 63–69. oldal, 1–20. feladat Ha egy szögtartományba egy körívet rajzolunk, akkor körcikket készítünk belőle, amelynek a szögünk középponti szöge. Ez a lépés már korábban is segített nekünk, a szögfelező szerkesztésénél. A szögmásolásnál ismét ehhez a „trükkhöz” folyamodunk, a szögtartományt egy körívvel egészítjük ki. Tanítványainknak azt kell tisztán látniuk, hogy ha két szögtartományba egyforma köríveket rajzolunk, akkor egyenlő szögekhez egyenlő körív, nagyobb szöghöz nagyobb körív tartozik. A körívek hosszát pedig a végpontjaik távolsága alapján hasonlíthatjuk össze. Ezért tartottuk célszerűnek, hogy a szögmásolást megelőzze annak megtanítása, hogy hogyan lehet szögeket összehasonlítani. Feladatok 1. a) Mérd meg a megjelölt szögeket!

= 45◦, " = 200◦

= 83◦ ,

= 22◦ ,

= 78◦ ,

b) Keress a hídszerkezet rajzán egyenlő szögeket! Az ábra tengelyesen szimmetrikus, minden szögnek van egy vele egyenlő párja.

2. Mérd meg a körcikkek sugarát, húrját, középponti szögét! Foglald táblázatba az adatokat!

Sugár Húr Középponti szög

A

B

C

D

E

F

4 cm

2 cm

4 cm

2 cm

2 cm

2 cm

34 cm

17 cm

61 cm

34 cm

37 cm

17 cm

50◦

50◦

100◦

120◦

220◦

310◦

67

Tengelyes tükrözés 3. Válassz a megadott körcikkek közül! Szerkessz 2-szer, 3-szor, 4-szer akkora szögű körcikket! A körcikk hányszorosa éri el vagy lépi túl a teljesszöget? Becsüld meg az egyes körcikkek középponti szögeit!

A: B: C: D: E:

40◦ , 9 db lefed egy kört 60◦ , 6 db lefed egy kört

B

150◦ , 2 db fér a körbe, kimarad 60◦ 45◦ , 8 db lefed egy kört 25◦ , 14 db fér a körbe, kimarad 10◦

B

B B

B 4. Másold át a füzetedbe a körcikkeket, és szerkeszd meg a szimmetriatengelyüket!

5. a) Egy 3 cm sugarú körbe szerkessz olyan körcikket, amelynek a húrja 3 cm hosszú! Mérd meg a körcikk középponti szögét! 60◦ , mivel szabályos háromszöget kapunk. b) Egy 5 cm sugarú körbe szerkessz olyan körcikket, amelynek a húrja 5 cm hosszú! Mérd meg a körcikk középponti szögét! 60◦ c) Próbálkozz más hosszúságokkal is! Mindenhol szabályos háromszöget kapunk, így 60◦ lesz mindig. 6. Szerkeszd meg egy 180◦ -os és egy 360◦ -os szög szögfelezőjét! 7. Körző és egyenes vonalzó segítségével másold át a szögeket a füzetedbe! Szerkesztésedet ellenőrizd méréssel!

68

Tengelyes tükrözés 8. A rajzon C Csikóvár helyét, A az Alsókikötőt, B a Belső-kikötőt jelöli. Csikóvár az Alsó-kikötőtől 12 km, a Belső-kikötőtől 25 km távolságra van. A CA és CB szakaszok által bezárt szög 68◦ -os. Készíts méretarányos ábrát, mérd meg az AB szakasz hosszát a rajzodon, majd számítsd ki a valódi távolságot! ≈ 23 km A gyerekeknek 2 oldalból és a közrefogott szögből háromszöget kell szerkeszteniük.

9. Adott egy és egy szög. Szerkeszd meg a következő szögeket! a)

+

e) 90◦ +

b)

−

f) 45◦ + 2

c) 3 ·

g) 225◦ +

d) 3 +

10. Egy 3 cm sugarú körbe szerkessz 3 cm hosszú húrt! Szerkessz érintőket a körhöz a húr végpontjaiban, majd szerkeszd meg az érintők szögfelezőjét! A húr végpontjaiba vezető sugarakra merőlegeseket kell állítanunk. Azt tapasztaljuk, hogy az érintők által bezárt szög szögfelezője átmegy a kör középpontján. Ez a szögfelező szimmetriatengelye az egész ábrának.

11. Egy 3 cm sugarú körbe szerkessz egy 90◦ -os és egy 45◦ -os középponti szöget! 12. Másold át az , és szöget a füzetedbe! Szerkessz 45◦ -os szöget, és hasonlítsd össze és szöggel! Mekkora az , és szög?

,

13. Szerkessz a) 90◦ 180◦ fele, b) 270◦ 90◦ háromszorosa, c) 45◦ 90◦ fele, d) 135◦ 90◦ + 45◦ = 135◦ nagyságú szöget! 14. Szögmérő használata nélkül állapítsd meg! a) Nagyobb-e 90◦ -nál a szög kétszerese? igen b) Melyik nagyobb? A 135◦ -os szög vagy az " szög fele? ugyanakkorák

1 3 5 -ét, -ét, -ét! 4 4 4 Mekkora szögek ezek? Add meg az eredményt tizedes tört alakban, és szögpercek segítségével, egész számokkal is! 225◦ = 22◦ 30 , 675◦ = 67◦ 30 , 1125◦ = 112◦ 30

15. Szerkessz 90◦ -os szöget! Szerkeszd meg az

16. Szerkessz egy 4 cm sugarú körbe olyan négyzetet, amelynek csúcsai a körvonalon vannak! Két merőleges átmérő végpontjai a négyzet csúcsai.

69

Tengelyes tükrözés 17. Szerkessz egy 3 cm sugarú körbe olyan téglalapot, amelynek az átlói 60◦ -os szöget zárnak be! Két, egymással 60◦ -os szöget bezáró átmérő végpontjai a téglalap csúcsai.

18. Szerkessz egy 4 cm sugarú körbe egymáshoz csatolva 45◦ os és 225◦ -os középponti szöget! a) Hány fokos a harmadik középponti szög? 90◦ b) Szerkessz érintőegyeneseket az ívek végpontjaiban a körhöz! 19. Készítsd el a „füles kockát” hat darab körlapból! 1. Szerkeszd meg a körlapokra a négyzeteket! 2. A körszeleteket ragaszd egymáshoz! (A húroknál meg kell hajtogatni a lapokat!)

6 db

20. Kétféle körcikkből – összesen nyolc darabból – kirakható egy kör. Az egyik fajtából 12 ad ki egy kört, a másikból csak öt fér egy körbe, de még marad 10◦ . Melyik fajta körcikkből hány darab van? Öt 30◦ -os és három 70◦ -os körcikk van, mert 360◦ : 12 = 30◦ , (360◦ − 10◦ ) : 5 = 70◦ . Ezekből kell összeválogatnunk nyolcat úgy, hogy egy kört kapjunk. Ha mind a nyolc 30◦ -os lenne, az összesen csak 240◦ . A további 120◦ a 70◦ -os szögeknek a 30◦ -os szögekhez képest számított többletéből (40◦ ) adódik, azaz 120◦ : 40◦ = 3 darab szög 70◦ -os.

Tudáspróba Tk.: 70. oldal 1. Készítsd el a tükörképét másolópapír segítségével!

70

Tengelyes tükrözés D

2. Mi a képe a következő részleteknek? AC szakasz EG szakasz

BAC szög FEG szög EF szakasz AB szakasz FGH szög BCD szög

H

B

C

A

G

F

t

E

3. Egy négyszög csúcsainak koordinátái: A(−2; 5); B (−6; −1); C (0; 6); Ábrázold a négyszöget! a) Tükrözd a négyszöget az y tengelyre! b) Tükrözd a négyszöget az AD átlójára, és ábrázold a tükörképet pirossal!

D (1; 2).

4. Hány szimmetriatengelye van a) egy félkörnek, 1 d) egy téglalapnak, 2

b) egy szakasznak, 2 e) egy körnek? Végtelen sok.

c) egy körívnek, 1

5. Rajzolj egy egyenest és egy szakaszt! Tükrözd a szakaszt az egyenesre! 6. Szerkeszd meg az egyenesnek azt a pontját, amelyik az A és a B ponttól egyenlő távolságra van! 7. Szerkessz egy 3 cm sugarú körbe 60◦ -os középponti szöget! Szerkeszd meg a szögfelezőjét!

A

B

e

8. Vegyél fel egy kört, jelölj ki a körvonalon egy pontot! Szerkessz érintőt a körhöz a felvett pontban! Írd le röviden a szerkesztés menetét! 9. Megadtunk egy háromszöget! Szögmásolással szerkeszd meg a háromszög szögeinek összegét, az + + szöget!

71

Számelmélet

Számelmélet 1. 2. 3–4. 5. 6. 7–8. 9–11. 12–13.

óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra:

Ritmusok, periódusok A számok maradékaival számolunk Keressünk osztókat! Milyen oszthatóságokat árulnak el a számok utolsó számjegyei? Milyen oszthatóságokról árulkodik a szám számjegyeinek összege? Számok osztói, közös osztók, a legnagyobb közös osztó Többszörösök, közös többszörösök, a legkisebb közös többszörös Felmérő

Heti 4 órában tanuló csoportok esetén 6 tanórával több áll rendelkezésre a kiegészítő tananyagok feldolgozására: Milyen oszthatóságokat árulnak el a számok utolsó jegyei? (2 óra); Prímszámok (törzsszámok) (2 óra); Összetett számok felírása prímszámok szorzataként (2 óra). Mire építünk? Sokszor találkoztak már a gyerekek az alsóbb évfolyamokon, így az 5. évfolyamon is az „osztója, többszöröse” relációkkal. Közös osztók megkeresésével egyszerűsítették a törteket, a közös többszörösök segítségével adták össze a törteket és vonták ki azokat, az egy- és többjegyűvel való osztás során is használták ezeket a fogalmakat. Periodikus sorozatok készítésénél és vizsgálatánál tapasztalatokat szereztek arról, hogy a természetes számok az egy rögzített számmal való oszthatóságuk alapján különböző osztályokba sorolhatók. Meddig jutunk el? Normál tananyag Vizsgáljuk összeg, különbség és szorzat rögzített számmal való oszthatóságát. Elmélyítjük a már megismert, illetve felismert oszthatósági szabályokat, megfogalmazzuk az oszthatósági szabályokat, és igazoljuk azokat: 2, 5, 10, 100, 9 és 3. Átismételjük és elmélyítjük az osztó, közös osztó, többszörös, közös többszörös fogalmát és rögzítjük ezeket. Bevezetjük a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös fogalmakat, alkalmazzuk is ezeket a törtek egyszerűsítésekor, illetve a közös nevező megkeresése során. Megfogalmazunk és bizonyítunk egyszerű számelméleti tételeket. Kiegészítő tananyag Megfogalmazzuk az oszthatósági szabályokat, és elemi módon igazoljuk azokat a 4, 20, 25, 50, 8, 125, 200, 250, 500, 1000 számok esetén. Definiáljuk a prímszám fogalmát. Megismerkednek a gyerekek a prímtényezős felbontással és annak alkalmazásával is. Hogyan tovább? A törtekkel végzett összeadások és kivonások során a közös nevezőre hozáshoz a nevezők valamilyen közös többszörösére van szükség. Az előző évhez képest nagyobb számokkal végezzük ezeket a műveleteket, ezért érdemes a gyerekeknek az itt tanultakat alkalmazni a műveletek gyorsabb elvégzése érdekében. Tudatosítjuk, hogy a két nevező szorzata mindig jó közös nevezőnek, de nem mindig célszerű azzal dolgozni. A törtek szorzása, osztása, az arány tanulása során nagy hasznát vesszük, ha a gyerekek könnyen, gyorsan megtalálják a közös osztókat.

72

Számelmélet

A fejlesztés várt eredményei az 5–6. évfolyamos ciklus végén Számtan, algebra Osztó, többszörös fogalmának ismerete. Oszthatósági szabályok formai jegyeinek ismerete és alkalmazása (2, 3, 5, 9, 10, 100). Számok osztóinak, többszöröseinek megadása. Közös osztók, közös többszörösök kiválasztása. Egyszerű esetben a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös meghatározása. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének és uniójának felírása, ábrázolása. Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. Állítások igazságának eldöntése, igaz és hamis állítások megfogalmazása. Néhány elem összes sorrendjének felsorolása. Két-három műveletet tartalmazó műveletsor eredményének kiszámítása, a műveleti sorrendre vonatkozó szabályok ismerete, alkalmazása. Zárójelek alkalmazása. Mi lesz a folytatás 7. évfolyamon? A 6. évfolyamon tanultak elmélyítése. Számok prímtényezős alakjának felírása prímek hatványainak a szorzataként. Összetett számokkal való oszthatósági szabályok megfogalmazása, igazolása. Az összes osztó meghatározása a szám prímtényezős alakjából. A legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös meghatározása a számok prímtényezős alakjából is. Egyszerű számelméleti tételek megfogalmazása és bizonyítása.

1. óra: Ritmusok, periódusok Tk.: 71–75. oldal, 1–9. feladat Javasolt eszközök: a 6. évfolyam számára készült digitális tananyag Az óra célja: változatos példákon keresztül megmutatni, hogy a matematika átszövi az élet szinte minden területét. Az oszthatóság fogalmát a maradékos osztásból vezetjük le. Átismételjük és elmélyítjük az osztó és a többszörös fogalmát. A maradékos osztás a természetes számok körében értelmezett művelet: ha adott a = 0 és b > 0, akkor a -nak b -vel való maradékos osztása olyan q és r meghatározását jelenti, amelyre a = b · q + r és 0 5 r < b. Akkor mondjuk, hogy az a szám osztható a b-vel, ha az a számnak a b számmal való maradékos osztásakor a maradék 0. A magasabb matematikában ez a definíció így hangzik: akkor mondjuk, hogy az a pozitív egész számnak osztója a b pozitív egész szám, ha van olyan c pozitív egész szám, amelyre b = a · c . Ezt hatodikban természetesen még így nem mondjuk ki. A hatodikos gyereknek azt kell felismernie, hogy az „a szám osztója b -nek” két természetes szám közötti kapcsolatot fejez ki. Az előzőekből az is következik, hogy b többszöröse a -nak, azaz egy szám többszöröseit megkapjuk, ha természetes számokkal megszorozzuk. A gyerekek nehezen fogadják el, hogy a 0-szorost és az 1-szerest is többszörösnek hívjuk. Ez jó alkalom arra, hogy felhívjuk a gyerekek figyelmét arra, hogy a matematikai szóhasználat olykor eltér a hétköznapi nyelvben megszokott értelmezéstől.

73

Számelmélet Feladatok 1. Zsuzsának és Anikónak is Samu tetszik, aki minderről persze semmit sem tud. A lányok egy-egy akácfalevelet „faggatnak” szívük választottjának érzelmei felől. Miközben a levélkéket tépegetik, ezt a mondókát mondják: „Szeret, nem szeret, szívből, színből, igazán, szeret, nem szeret: : : ” Anikó akácfalevelén 21 levélke van, Zsuzsién 17. Kit „szeret” Samu? Anikót szereti Samu. A két akácfalevél levélkéinek 5-ös maradékát kell meghatározni. A 21-nek 1, a 17-nek pedig 2 az 5-ös maradéka. A 21. levélke letépésekor Anikó a „szeret”, a 17. levélke letépésekor Zsuzsi a „nem szeret” szót mondja ki.

Ennek az egyszerű feladatnak a megbeszélése során is alkalom nyílik arra, hogy tudatosítsuk a gyerekekben azt, hogy egy természetes szám 5-tel osztva 5-féle maradékot adhat. Hívjuk fel a figyelmüket itt is a hétköznapi nyelvtől eltérő szóhasználatra: azt, hogy egy szám 5-tel osztható, úgy is mondhatjuk, hogy az 5-tel való osztási maradéka 0. Nyíldiagrammal is érdemes ábrázolni a feladat megoldását: a levelek számának 5-ös maradéka Samu érzései szeret 1 2 nem szeret szívből 3 színből 4 igazán 0

2. A szív működéséhez szokták hasonlítani a motorok működését. A kétütemű motorok két szakaszban nyernek az üzemanyagból energiát: szívás és sűrítés – robbanás és kipufogás. A négyütemű motorok ugyanezt négy szakaszban végzik: szívás – sűrítés – robbanás – kipufogás. Mi lesz egy kétütemű és mi lesz egy négyütemű motor 33. és 100. üteme? Kétütemű motor

Négyütemű motor

33. ütem

a 33 páratlan, szívás-sűrítés

33 = 8 · 4 + 1, szívás

100. ütem

a 100 páros, robbanás-kipufogás

100 = 25 · 4 + 0, kipufogás

Nézz utána, milyen találmányával írta be nevét Bánki Donát és Csonka János magyar fizikus az autógyártás történetébe! A karburátort, más néven porlasztót 1893-ban Bánki Donát és Csonka János találta fel.

3. A szökőév 366 napos év, amelyben egy nap hozzáadódik a február hónaphoz. Bármely év, amelynek évszáma osztható 4-gyel, szökőév. A két nullára végződőek közül csak azokat az éveket tekintjük szökőéveknek, amelyek oszthatók 400-zal. a) Szökőév volt-e 1222, 1514, 1848, 2000, 2012? 1848 és 2012 szökőév volt, mert osztható 4-gyel. A 2000 is szökőév volt, mert osztható 400-zal.

b) Milyen nevezetes esemény fűződik ezekhez az évszámokhoz? Melyik évszám a „kakukktojás”? A) magyar forradalom és szabadságharc B) az egyik londoni olimpia éve C) Dózsa György-féle parasztfelkelés D) az Aranybulla kiadásának éve A 2000 a „kakukktojás”. London eddig háromszor volt az olimpiai játékok helyszíne: 1908-ban, 1948ban és 2012-ben rendezték meg itt. A) magyar szabadságharc és forradalom: 1848, B) az egyik londoni olimpia éve: 2012, C) Dózsa György-féle parasztfelkelés: 1514, D) az Aranybulla kiadásának éve: 1222.

Keress még olyan nevezetes évszámokat, amelyek szökőévek voltak! Néhány példa: 1996: Dolly bárány, az első sikeresen klónozott emlős megszületett. 2000: Megjelent a Windows 2000. 2004: A két MER marsautó víz nyomait fedezi fel a Mars bolygón. 2008: A svájci Genf városában kísérletet indítanak el a Nagy Hadronütköztetővel annak érdekében, hogy megtudják az univerzum

74

Számelmélet keletkezésének történéseit. 2012: Az ausztriai Innsbruckban első alkalommal rendezik meg a téli ifjúsági olimpiai játékokat. 2016: Rio de Janeiro rendezi a 2016-os nyári olimpiát.

4. A vetésforgó olyan földművelési rendszer, amelynek lényege, hogy egyazon területen évente és periodikusan váltogatják a termesztett növényfajokat. Ennek módja országonként és tájanként változik. Ma is sok gazda használja ezt a 18. század óta ismert vetésforgót: kapásnövények árpa lóhere búza Egy gazda 2011-ben ezt a vetésforgót alkalmazta a négy részre osztott szántóföldjén. Az első évben földje első negyedébe kapásnövényeket ültetett. A következő évben a vetésforgó szerint így veteményezett: árpa lóhere búza kapásnövények Mit ültet a 3., 5., 10., 20. évben földje első negyedébe, ha továbbra is ezt a vetésforgót használja? A nyíldiagrammal való ábrázolás segítheti a gyerekeket az összefüggések felismerésében és az általánosításban. Az évszámok 4-es osztási maradéka alapján könnyen megadható a válasz: Ha az évszám 4-es maradéka 0, ha 1, ha 2, ha 3,

1. 2. 3. 4. 5.

év év év év év

az évszám 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

akkor árpa, lóhere, búza, kapásnövény a sorrend; akkor lóhere, búza, kapásnövény, árpa, akkor árpa, lóhere, búza, kapásnövény, akkor kapásnövény, árpa, lóhere, búza. az évszám 4-es maradéka 0 1 2 3 0 1 2 3

termesztett növényfaj árpa lóhere búza kapásnövény árpa lóhere búza kapásnövény

A 3. évben lóherét ültet vagy fog ültetni a földje első negyedébe, mert 2013-nak a 4-es maradéka 1; az 5. évben kapásnövényt, mert 2015-nek a 4-es maradéka 3; a 10. évben árpát, mert 2020-nak a 4-es maradéka 0; a 20. évben búzát, mert 2030-nak a 4-es maradéka 2.

Ezeknek a nagy számoknak a 4-es maradékát érdemes a számok összeg vagy különbség alakjával meghatározni. Például: 1884 = (1800 + 80 + 4) minden tag osztható 4-gyel, így a szám is az. Az 1891 = (1800 + 80 + 8 + 3) az első három tag osztható 4-gyel, a negyedik nem, így a szám négyes maradéka 3. Barabás Miklós festményének részlete arról a haladó szellemű grófról készült, akit Kossuth Lajos nevezett el „a legnagyobb magyarnak”. Ő volt az, aki nagybirtokosként elsőként szorgalmazta a vetésforgó alkalmazását az ország növénytermesztésében. Saját birtokain sikerrel valósította meg elképzeléseit. Ki ő? Gróf Széchenyi István (Bécs, 1791. szeptember 21.–Bécs, Döbling, 1860. április 8.). A magyar politika egyik legkiemelkedőbb és legjelentősebb alakja. Nevéhez fűződik többek között a magyar gazdaság, a közlekedés, a külpolitika és a sport megreformálása.

75

Számelmélet

.

szerda 20.

c sü

21.

va sá rn 24 ap .

dd

19

at sz omb 23.

ke

5. Határozd meg, hogy a hét milyen napjára estek 2012-ben a következő nevezetes napok! a) június 23. (1868-ban ezen a napon nyújtotta be az általáhétfő nos tankötelezettségről szóló törvényjavaslatát Eötvös József 18. vallás- és közoktatásügyi miniszter.) szombat b) június 15. (ezen a napon határozták el 1876-ban, hogy hazánk 2012. áttér a méterrendszerre), péntek június c) június 1. (nemzetközi gyermeknap) péntek d) április 1. („bolondok napja”) vasárnap e) egy márciusi születésű osztálytársad születésnapja f) A hét melyik napjára esnek idén a feladatban szereplő dátumok? Hány éves kortól hány éves korig kötelezte az 1868-as törvény a szülőket gyermekeik elemi iskolába való járatására? Idézet az 1868. évi XXXVIII. törvénycikk I. fejezetéből:

ök p é n t ek tört 22.

„A tanítás kötelezettsége és szabadsága 1. § Minden szülő vagy gyám, ide értve azokat is, kiknek házában gyermekek mint mestertanítványok vagy házi szolgák tartatnak, kötelesek gyermekeiket vagy gyámoltjaikat (ha nevelésökről a háznál vagy magán tanintézetben nem gondoskodtak) nyilvános iskolába járatni, életidejök 6-ik évének betöltésétől egész a 12ik, illetőleg 15-ik év betöltéséig.” Forrás: http://www.1000ev.hu/index.php

6. Az egyes sorokban a majmok állását és a mezük színét változtattuk valamilyen szabály szerint. a) Mi lehet a szabály? A)

Az A) sorban a szabály a következő: ha a sorszám 3-as maradéka 1, akkor kék a majom meze; ha a maradék 2, akkor zöld; ha 3-mal osztható, akkor piros.

B)

A B) sorban a szabály a következő: ha a sorszám páros, akkor álló a majom, ha páratlan, akkor kézen álló. Ha a sorszám 2-nek páros többszöröse vagy egy páros többszörösnél 1-gyel nagyobb, akkor kék a majom meze, különben piros. Másképpen: Ha a sorszám osztható 4-gyel, akkor álló piros mezes, ha a 4-es maradéka 1, akkor kézen álló piros mezes, ha a 4-es maradéka 2, akkor álló kék mezes, ha a 4-es maradéka 3, akkor kézen álló kék mezes.

76

Számelmélet b) Milyen lesz a 12., a 20., a 35. és a 100. majom az egyes sorokban? Táblázatba foglalva a megoldást ezt kapjuk:

7.

12. majom

20. majom

35. majom

100. majom

A)

piros

zöld

zöld

kék

B)

álló, piros

álló, piros

kézen álló, kék

álló, piros

Ezt a forgót a szél az óramutató járásával megegyező irányban 450 fokkal elforgatta. Melyik ábra mutatja helyesen a forgó elforgatás utáni képét? A)

C)

D)

E)

F)

A helyes válasz: E). (450◦ − 360◦ = 90◦ )

8. Ha ma délelőtt esett a hó Sopronban, 84 órával később lehet-e napos idő? Nem lehet napos idő, mert 84 = 3 · 24 + 12 óra múlva legalább este 8 óra és legfeljebb éjfél lesz. Este, illetve éjjel nem süt Sopronban a nap.

9. Hajnalkáék ebben az évben kezdtek el számítógépen dolgozni. Az elmúlt órán a szöveg vagy minta átmásolását tanulták. Hajnalka ezt a mintát másolgatta úgy, hogy közben a színt is váltogatta.

Faa(((XXXXFaa(((XXXXFaa(((XXXXFaa : : : Milyen lesz az 1222., az 1848. és a 2000. minta? Az 1222. kék virág, az 1848. piros csillag, a 2000. kék csillag. A minták formáját a sorszám 10-es maradéka határozza meg. A minták színét a sorszámuk tízeseinek a 3-as maradéka. Például: 1222 = 122 · 10 + 2, a 122 tízes 3-as maradéka 2, ezért kék lesz a minta.

2. óra: A számok maradékaival számolunk Tk.: 76–79. oldal, 1–10. feladat Az óra célja: a lehető legkevesebb számolással megállapítani egy-egy nagyobb számról, két vagy több szám összegéről, illetve különbségéről, hogy osztható-e egy konkrét számmal, illetve azt, hogy mennyi az osztási maradék. Olyan hétköznapi példákat oldunk meg, ahol nem a hányadosra, hanem a maradékra vagyunk kíváncsiak. Az ilyen feladatok megoldásához a kis számok körében megvizsgáljuk az összeg és a különbség konkrét számokkal való oszthatóságának a feltételeit. Ezzel egyúttal előkészítjük a konkrét számokkal való oszthatósági szabályok megértését, és azok igazolására is képessé tesszük a gyerekeket.

77

Számelmélet Feladatok 1. Feltekertük a számegyenest. 1

5

9 6

2 0

13

8

4 3

17 10 16

12 7

11

18

14 20 15

piros

25

21

22

szürke

24 19

kék

23

zöld

a) Milyen tulajdonságúak a szürke, a piros, a kék és a zöld számok? A szürkék 4 többszörösei, vagyis 4-es maradékuk 0, a pirosak 4-es maradéka 1, a kékeké 2, a zöldeké 3.

b) Milyen színűek lennének ezek a számok? 50 kék, 60 szürke, 100 szürke, 120 szürke, 130 kék, 222 kék, 555 zöld, 666 kék, 777 piros, 999 zöld, 1010 kék c) Milyen színűek lennének ezek az összegek, illetve különbségek? A műveletek elvégzése nélkül próbáld megválaszolni! 50 + 60 kék, 100 + 120 + 777 piros, 1010 + 555 piros, 999 − 777 kék, 999 − 666 − 100 piros Már ennek a feladatnak a megbeszélése során leszögezhetjük (ha eddig még nem került rá sor), hogy minden 100-as osztható 4-gyel, így azok a 4-gyel való oszthatóságot nem „rontják el”. Ügyesen felbonthatjuk a nagy számokat összeadandókra úgy, hogy legalább egy tag osztható legyen 4-gyel. Az összegnek ezt a tagját „eldobhatjuk”, mert nem rontja el a 4-gyel való oszthatóságot, és a maradékot sem változtatja meg az elhagyása. Például: 777 = 700 + 60 + 17. Az első két tag osztható 4-gyel, „eldobható”, csak a 17-et vizsgáljuk tovább: 17 = 16 + 1, ezért a 777-nek a 4-gyel való osztási maradéka is 1. Különbségként is felírhatjuk a nagy számokat. Például: 999 = 1000 − 1, ha 1-gyel nagyobb lenne, osztható lenne 4-gyel, ezért a 4-es maradéka 3. A gyerekek megoldásai általában nagyon ötletesek szoktak lenni. A 4-gyel való oszthatósági szabály megfogalmazását és igazolását remekül előkészíti ez a feladat. 2. Három számkártyánk van, de egyet lefordítottunk. Milyen 1001 8008 egyjegyű szám lehet az egyes esetekben ezen a kártyán, ha igazak az állítások? a) Ki lehet közülük kettőt választani úgy, hogy azok összege osztható legyen 4-gyel. Osztható legyen 4-gyel (0, 4, 8) vagy a 4-es maradéka 3 legyen (3, 7).

b) A három szám összege osztható 4-gyel. 4-es maradéka 3 (3, 7). c) Bármely kettő szorzata osztható 4-gyel. Osztható legyen 4-gyel (0, 4, 8). d) Ki lehet közülük kettőt választani úgy, hogy azok különbsége osztható 4-gyel. Osztható legyen 4-gyel vagy a 4-es maradéka 1 legyen (0, 1, 4, 5, 8, 9).

3. Három szám közül kettő osztható 3-mal, egy pedig nem. Melyik igaz és melyik hamis a következő állítások közül? a) Lehet, hogy a három szám összege osztható 3-mal. Hamis. b) Biztos, hogy a három szám összege osztható 3-mal. Hamis. 78

Számelmélet c) Lehet, hogy a három szám összege nem osztható 3-mal. Igaz. d) Biztos, hogy a három szám összege nem osztható 3-mal. Igaz. 4. Három szám egyike sem osztható 3-mal. Döntsd el, hogy igazak-e a következő állítások! a) Lehet, hogy a három szám összege osztható 3-mal. Igaz. b) Biztos, hogy a három szám összege osztható 3-mal. Hamis. c) Lehet, hogy a három szám összege nem osztható 3-mal. Igaz. d) Biztos, hogy a három szám összege nem osztható 3-mal. Hamis. 5. a) A Sástón táborozó gyerekek, egy 32 fős, egy 24 fős és egy 16 fős csoport, csónakázni mentek. El lehet-e osztani őket négyszemélyes csónakokba úgy, hogy minden csónak tele legyen? Igen, mert a (32 + 24 + 16) összeg minden tagja osztható 4-gyel, így azok összege is. b) Az ebédlőben 6 fős asztalokhoz ültették le ugyanezeket a gyerekeket. Csak akkor lehetett új asztalhoz leülni, ha az előző asztalnál már minden széket elfoglaltak. Hány gyerek ült az utolsó, még nem üres asztalnál? A két 6-tal nem osztható szám 6-os maradékának összegét elegendő megállapítani: 2 + 4 = 6. Hat gyerek ült az utolsó asztalnál is.

6. Róza asszonyék a húsvéti vásárra hímes tojásokat készítettek. Hétfőn 100, kedden 93, szerdán 185 db tojást festettek. Marad-e ki hímes tojás, ha azokat kilencesével kis kosarakba rakják? Nem. A (100 + 93 + 185) összeg tagjainak 9-cel való osztási maradékainak összege éppen 9.

7. Négy szám összege osztható 4-gyel. Lehet-e, hogy közülük a) egyik sem osztható 4-gyel, Igen, például: 2 + 6 + 10 + 14, minden tag 4-es maradéka 2. b) egyik osztható 4-gyel, a másik három nem, Igen, például: 4 + 1 + 5 + 6, két tag 4-es maradéka 1, a harmadiké 2.

c) kettő osztható 4-gyel, kettő nem, Igen, például: 4 + 8 + 2 + 6, két tag 4-és maradéka 2. d) három osztható 4-gyel, egy nem? Nem lehetséges. 8. Tóth úr, a zöldséges, öt láda almából 3 kg-os csomagokat akar készíteni. Sikerülhet-e neki, ha a ládákban egyenként 15 kg, 9 kg, 12 kg, 8 kg és 18 kg alma van? Nem. Az összegnek csak egy tagja nem osztható 3-mal, a 8.

9. Tekintsük a természetes számokat 20-tól 30-ig! Páros vagy páratlan az összegük? Páratlan. Szét lehet-e osztani két csoportra ezeket a számokat úgy, hogy az egy csoportban lévő számok összege egyenlő legyen? Nem. A (20 + 21 + : : : + 29 + 30 összeg páratlan, mert 11 darab számból öt páratlan, így az összeg páratlan lesz, és annak a fele nem egész szám.

10. a) Keress szabályt, és folytasd! A következő sor tagjai: 1

6

1 15

20

15

6

1

1

A következő sor elemeit úgy kaphatjuk meg, hogy a sor elejére 1-et írunk, majd minden további tagot úgy kapunk meg, hogy az őt megelőző sorban lévő két szomszédos tag összegét vesszük. A sor végére 1-et írunk.

1

1

2 3

1 1

1 3

6

4 5

1

10

1 4

10

1 5

1

79

Számelmélet

b) A számokat színeztük. Mi lehet a színezés szabálya?

1

A számokat a 4-es maradékuk szerint színeztük: piros, ha 1; kék, ha 2; zöld, ha 3, és szürke, ha 0 a szám 4-es maradéka.

1 1 1

Az ábrákon a Pascal-háromszög első hat sorát láthatod. Ki volt Pascal? Blaise Pascal (1623–1662): francia matematikus, fizikus, író.

1 1

1 2

3 4

5

1 3

6 10

1 4

10

1 5

1

3–4. óra: Keressünk osztókat! Tk.: 79–83. oldal, 1–18. feladat Az órák célja: a számok osztóinak leolvasása a szám különböző alakjaiból (összeg, különbség, szorzat). A szorzatok összegéből a közös tényező kiemelése. Jó alapozása a következő évfolyamok tananyagában szereplő algebrai kifejezésekkel elvégzendő azonos átalakításoknak. A szorzatok oszthatóságával kapcsolatos törvényszerűségek megfogalmazása: egy szorzat minden tényezőjével osztható és azok osztóival is; ha egy szám osztható egy másikkal, akkor annak minden osztójával is osztható. Az órák jól előkészítik az oszthatósági szabályok felfedezését, megértését és igazolását. Megalapozzák az összetett számok prímtényezős felbontását. A témakör elején szereplő játék célja számok osztóinak leolvasása a szám szorzat alakjából. Itt előkerül, hogy a 0-nak minden szám osztója. Érdemes megvizsgálni, hogy melyik esemény bekövetkezésének nagyobb az esélye, újra feleleveníteni a biztos és lehetetlen események fogalmát. Feladatok 1. Egy számról tudjuk, hogy a 6 pontosan 122-szer van meg benne. a) Osztható-e ez a szám A) 122-vel, Igen, 6-szor. B) 12-vel, Igen, 61-szer. C) 3-mal, Igen, 244-szer. D) 61-gyel? Igen, 12-szer. b) Ha osztható, akkor hányszor van meg benne? 2. A következő kártyákra kéttényezős szorzatokat írtunk. A feladatokban ezek közül válogathatunk. 2·3

5·7

3·5

3·7

5 · 11

a) Kéttényezős szorzatok összegét adtuk meg. Az összegekről három állítást írtunk a színes cédulákra. Melyik igaz közülük? A) 2 · 3 + 5 · 7

B) 3 · 5 + 3 · 7

C) 5 · 11 + 5 · 7

Az A) összeg osztható 2-vel, mert az összeg mindkét tagja páratlan szám. Hamis, mert az első tagja páros szám, ezért a két tag összege páratlan, így nem osztható 2-vel.

80

Számelmélet A B) összeg osztható 12-vel, mert 3 · 5 + 3 · 7 = 3 · (5 + 7) = 3 · 12. Igaz, mert olyan szorzattá lehet alakítani az összeget, amelynek az egyik tényezője 12.

A C) összeg osztható 5-tel, mert mindkét tagja többszöröse az 5-nek. Az összeg 18-szorosa az 5-nek.

Igaz.

b) Ti is válasszatok ki a megadott szorzatok közül kettőt-kettőt! 2·3

5·7

3·5

3·7

Úgy válasszatok, hogy az összegük osztható legyen A) 2-vel, B) 3-mal, C) 5-tel, D) 7-tel, Az összes lehetőség

5 · 11

E) 9-cel,

F) 30-cal!

2 · 3 + 3 · 5 = 3 · (2 + 5) = 3 · 7

Osztható 3-mal igen

Osztható 5-tel nem

Osztható 9-cel nem

Osztható 7-tel igen

Osztható 30-cal nem

2 · 3 + 3 · 7 = 3 · (2 + 7) = 3 · 9

igen

nem

igen

nem

nem

5 · 7 + 3 · 5 = 5 · (3 + 7) = 5 · 10

nem

igen

nem

nem

nem

5 · 7 + 3 · 7 = 7 · (5 + 3) = 7 · 8

nem

nem

nem

igen

nem

5 · 7 + 5 · 11 = 5 · (11 + 7) = 5 · 18

igen

igen

igen

nem

igen

3 · 5 + 5 · 11 = 5 · (3 + 11) = 5 · 14

nem

igen

nem

igen

nem

3 · 5 + 3 · 7 = 3 · (5 + 7) = 3 · 12

igen

nem

igen

nem

nem

A 2 · 3 + 5 · 7 = 41, a 2 · 3 + 5 · 11 = 61, a 3 · 7 + 5 · 11 = 76 szorzatokból nem tudunk közös tényezőt kiemelni, ezért egyik sem osztható az adott számokkal. Konkrét példákkal tehetjük „láthatóvá” a kiemelést. Például: 2 · 3 + 3 · 5 = 3 · (2 + 5) = 3 · 7-re ezt a szöveget mondhatjuk: 2 háromlábú székhez 5 háromlábú széket rakva, (2 + 5) = 7 háromlábú széket kapunk.

3. A szorzás elvégzése nélkül válaszolj a kérdésekre! Osztható-e a 12 · 15 szorzat a) 2-vel, igen, 90-szer b) 3-mal, igen, 60-szor d) 7-tel, nem e) 9-cel, igen, 20-szor Ha osztható, hányszor van meg benne az adott szám?

c) 5-tel, igen, 36-szor f) 30-cal? igen, 6-szor

A kérdések megválaszolásához írjuk fel szorzat alakban mindkét tényezőt, majd megfelelően csoportosítsuk azokat! Például: d) 12 · 15 = 3 · 4 · 3 · 5 = 3 · 3 · 4 · 5 = 9 · 20. Így felírva könnyen látható, hogy osztható 9-cel és 20-szorosa a 9-nek. 4. A következő kártyákra négytényezős szorzatokat írtunk. 5·n·s·2

3·z·2·«

3·©·4·ª

5·7·t·¨

A hiányzó tényezők pozitív egyjegyű számok. Pótold a hiányzó tényezőket úgy, hogy a szorzatok a) 10, b) 6, c) 12, d) 15, e) 100 többszörösei legyenek!

81

Számelmélet

5·n·s·2

3·z·2·«

3·©·4·ª

5·7·t·¨

a) 10

bármilyen számjegy legalább az egyik az 5 legalább az egyik az 5 legalább az egyik a 2 kerülhet a jelek helyére legyen legyen többszöröse legyen

b) 6

legalább az egyik a 3 többszöröse legyen

c) 12

az egyik 6 legyen; legalább az egyik a 2 az egyik 3, a másik a 2 többszöröse legyen többszöröse legyen

d) 15

legalább az egyik a 3 többszöröse legyen

bármilyen számjegy bármilyen számjegy az egyik 6 legyen; kerülhet a jelek helyére kerülhet a jelek helyére az egyik a 3, a másik a 2 többszöröse legyen bármilyen számjegy az egyik a 3, a másik a kerülhet a jelek helyére 4 többszöröse; az egyik 6, a másik 2

legalább az egyik az 5 legalább az egyik az 5 legalább az egyik a 3 legyen legyen többszöröse legyen

e) 100 az egyik a 2 többszörö- nem lehetséges se, a másik 5 legyen

mindkét szám 5 legyen az egyik tényező 5 legyen, a másik a 4 többszöröse

5. Keresd meg a 380 osztóit a szám különböző alakjaiból! 38 · 10

190 + 190 2 · 2 · 5 · 19

2 · 38 · 5

380

95 + 95 + 95 + 95 76 · 5

320 + 40 + 20 19 · 20

Ezekből az alakokból

Ezek az osztók olvashatók le könnyen

190 + 190

190, 2, 19, 10

38 · 10

38, 10, 2, 5, 19

2 · 38 · 5

2, 38, 5, 19, 10, 76, 190

320 + 40 + 20

10, 2, 4, 5, 20

19 · 20

19, 20, 2, 4, 5, 10

76 · 5

76, 5, 2, 4, 19, 38

95 + 95 + 95 + 95

95, 4, 5

2 · 2 · 5 · 19

az összes osztót leolvashatjuk

Hasonlítsuk össze, hogy összegről, különbségről vagy a szorzatról könnyebb-e megállapítani, hogy mivel osztható. Tudatosítsuk, hogy egy szorzat minden tényezőjével osztható, míg az öszszegre és különbségre többféle összefüggés igaz. Ennek megbeszélése során érdemes a szükséges és elégséges feltételről beszélni. Ha az összeg, különbség minden tagja osztható egy számmal, akkor az összeg is. Az oszthatóságnak ez nem szükséges feltétele, de elégséges. A szükséges és elégséges feltétel az, hogy az egyes tagok maradékának összege, illetve különbsége osztható legyen az adott számmal. Ebben bent foglaltatik az az eset is, amikor minden tag osztási maradé82

Számelmélet

ka nulla. Az összeg, illetve különbség szorzattá alakításával egyszerűbbé tehetjük az oszthatóság megállapítását. Itt alkalmazzuk az 5. évfolyamon tanult és ebben az évben átismételt disztributív tulajdonságot. A gyerekek várhatóan kimondják, hogy a szám legtöbb tényezős alakjából olvasható le a legtöbb osztó. Arra csak kevés gyerek jön rá, hogy az összes osztó leolvasható, és nem is érdemes még erőltetni ezt a gondolatot. Egy újabb játékötlet: – Írjunk fel egy megadott számot minél többféleképpen szorzat alakban! Minden szorzat annyi pontot ér, ahány tényezője van. Az 1-et zárjuk ki a tényezők közül! Az nyer, aki a legtöbb pontot gyűjti össze. 6. Szorzattá alakítás segítségével keresd a következő összegek osztóit! Például: 48 + 36 = 2 · 24 + 2 · 18 = 2 · (24 + 18) = 2 · 42 A a) b) c) d)

48 + 36 összegnek ebből a szorzatból kiolvasható osztói: 2, 42 14 + 48 = 2 · 7 + 2 · 24 = 2 · (7 + 24) = 2 · 31, osztók: 2, 31 13 + 39 + 26 = 13 · (1 + 3 + 2) = 13 · 6, osztók: 13, 6, 3, 2 45 + 75 = 15 · (3 + 5) = 15 · 8, osztók: 15, 8, 3, 5, 4, 2 11 + 77 + 121 = 11 · (1 + 7 + 11) = 11 · 19, osztók: 11, 19

A szorzatokat tovább bontva több osztóját is megkaphatjuk a számoknak.

60 · 7 Nem osztható 8-cal Osztható 7-tel

8 nem osztója

osztója a 7

60 · 7

2·2·3·5·7

Nem osztható 41-gyel

Osztható 35-tel Osztható 28-cal Többszöröse Többszöröse 140-nek 140-nek

osztója a 35

420 410 + 10

140 · 3

11 nem osztója

Nem osztható 41-gyel

410 + 10

osztója a 15

2·2·3·5·7 140 · 3 Nem osztható 8-cal Osztható 7-tel Osztható 7-tel Osztható 15-tel Nem osztható 11-gyel

osztója a 28

7. A 420 különböző alakjait és számtulajdonságait adtuk meg az ábrán. Minden alak valamilyen tulajdonságát fedi fel a számnak. Párosítsd össze a szám tulajdonságait azokkal az alakjaival, amelyekről azok könnyen leolvashatók!

140 többszöröse nem osztója a 41

8. Többet ésszel, mint erővel! Fejben számolj! Melyik műveletsor eredménye osztható 8-cal, melyik nem? a) 8888 + 888 + 88 + 8 Igen. c) 10 · 88 + 5 · 88 − 2 · 88 Igen. e) 16 · 27 + 11 · 24 + 9 · 31 Nem.

b) 8888 − 888 + 88 − 8 Igen. d) 1008 · (777 + 222) Igen. f) 33 · (899 − 419) Igen.

Az a), b), c) osztható, mert minden tagja osztható 8-cal. A d) is az, mert egyik tényezője osztható 8-cal. Az e) nem osztható, mert csak az egyik tag nem osztható 8-cal. Az f) igen, mert a (899 − 419) különbség osztható 8-cal.

83

Számelmélet 9. Négy szám egyike sem osztható 4-gyel. Döntsd el, hogy igazak-e a következő állítások! a) Lehet, hogy a négy szám összege osztható 4-gyel. Igaz. b) Biztos, hogy a négy szám összege osztható 4-gyel. Hamis. c) Lehet, hogy a négy szám szorzata osztható 4-gyel. Igaz. d) Biztos, hogy a négy szám szorzata osztható 4-gyel. Hamis. 10. Korai cseresznyét árultak a piacon kicsi kupacokban. Egy-egy kupacban 11-11 szem cseresznye volt. Apa tíz, anya hat kupacot vett a négy gyerekének egymás tudta nélkül. Szét tudták-e osztani a cseresznyét úgy, hogy minden gyereknek ugyanannyi szem jusson? Igen, mert 10 · 11 + 6 · 11 = 16 · 11, ami osztható 4-gyel.

11. Igaz-e? a) Ha egy kéttényezős szorzat osztható 5-tel, akkor mindkét tényezője osztható 5-tel. Hamis. b) Ha egy szorzat osztható 5-tel, akkor legalább az egyik tényezője osztható 5-tel. Igaz. c) Ha egy szorzat osztható 20-szal, akkor legalább az egyik tényezője osztható 20-szal. Hamis. d) Ha egy kéttényezős szorzat osztható 4-gyel, akkor mindkét tényezője páros. Hamis. 12. Többet ésszel, mint erővel! Ugyanazokat a számokat többféle alakban is megadtuk. Válaszd ki az egyenlőeket! Például: A3 = D 1 3

5 · (17 + 21)

2 · 2 · 3 · 3 · 11

55 + 55 + 55

2 · 6 · 33

2

8 · (100 − 1)

50 · 3 + 5 · 3

8 · 99

5 · (11 + 11 + 11)

1

8 · 19 + 8 · 80

11 · 5 · 3

4 · 9 · 11

5 · 17 + 5 · 21

A

A2 = C 2 = A1 = 8 · 99,

B

C

B 1 = B 2 = C 3 = D 2 = 3 · 55,

D

B 3 = C 1 = D 3 = 4 · 9 · 11

13. a) Mennyi a 7 tizenháromszorosának és tizenhétszeresének az összege? 7 · 13 + 7 · 17 = 7 · 30 = 210 b) Mennyi az 5 tizenhatszorosának és ötszörösének a különbsége? 5 · 16 − 5 · 5 = 5 · 11 = 55 14. Melyik megoldási terv helyes az egyes feladatokban? (Lehet több is!) Oldd is meg a feladatot! Fejben számolj! a) A nyári vándortáborra hétfőn tizenhárom gyerek fizette be a 7000 Ft-os részvételi díjat, kedden a maradék tizenhét gyerek is behozta a pénzt. Hány forintot fizettek be a gyerekek összesen? A) 13 · 7000 Ft + 17 · 7000 Ft B) 7000 Ft · 13 + 17 C) 7000 Ft · (13 + 17) Helyes megoldási tervek: A) és C). Megoldás: 7000 Ft · 30 = 210 000 Ft. Válasz: Összesen 210 000 Ft-ot fizettek be a gyerekek.

b) Béla általában nem tart magánál készpénzt. Ma is a bankautomatából vett fel 16 darab 5000 Ft-os bankjegyet. Ebből a pénzből megadta tartozását barátjának: 5 db 5000 Ft-ossal fizette ki. Hány forintja maradt Bélának ezután készpénzben? A) 5000 Ft · 16 − 5 B) 5000 Ft · (16 − 5) C) 16 · 5000 Ft − 5 · 5000 Ft Helyes megoldási tervek: B) és C). Megoldás: 5000 Ft · 11 = 55 000 Ft. Válasz: 55 000 Ft-ja maradt Bélának.

84

Számelmélet c) A képen azt látjuk, amikor egy családi tojásüzemben átvizsgálják és nagyság szerint szétválogatják a tojásokat, majd a méretüknek megfelelő tojástartókba rakják azokat. Ma délelőtt az XL-es tojásokat készítették elő a szállításra. Az XL-lel jelzett tojások 73 grammnál nehezebbek. Az ennek a szabványnak megfelelő tojásokat 10 darabos dobozokba és 30 darabos tálcákra rakták. Összesen 25 tálca tojást készítettek elő a szállításra. Hány dobozt kellett még teletölteni, ha összesen 1050 tojást szállítottak el? Melyik megoldási terv helyes? Az egyenlőségekben d -vel jelöltük a dobozok számát. A) 25 · 30 + d · 10 = 1050 B) d = (1050 − 25 · 30) : 10 C) 10 · (75 + d ) = 1050 Mindegyik megoldási terv helyes. Megoldás: 1050 : 10 − 75 = 30. Válasz: 30 teli dobozt kellett előkészíteni.

Mekkora a tömege az L betűvel jelzett tojásoknak? 63–73 gramm a tömege. 15. Az idei farsangon nyolcszor annyi alsós indult a jelmezversenyen, mint felsős. Összesen 108 gyerek közül kellett kiválasztania a zsűrinek a tíz legjobbat. Hány felsős indult a jelmezversenyen? 12 felsős indult a veresenyen. A felsősök száma: 108 : (8 + 1) = 12, az alsósok száma: 8 · 12 = 96. Ellenőrzés: 96 + 12 = 108 és 96 : 12 = 8.

16. Két természetes szám összege 15 257. Az egyik szám végén nulla áll. Ha ezt a nullát elhagyjuk, akkor éppen a másik számot kapjuk. Melyik ez a két szám? A kisebbik szám 11-szeresét kapjuk így, ezért a (15 257 : 11) hányados lesz a kisebbik szám. A két szám 1387 és 13 870.

17. Igaz-e, hogy ha egy tetszőleges pozitív egész számot kétszer egymás mellé írunk, akkor az így kapott szám osztható lesz az eredeti számmal? Igen, mert ha egyjegyű a szám, akkor a 11-szeresét, ha kétjegyű, akkor a 101-szeresét, ha háromjegyű, az 1001-szeresét, ha négyjegyű, a 10 001-szeresét, : : : kapjuk a számoknak.

18. A 10-nél nem nagyobb pozitív egész számokat két csoportba lehet-e rakni úgy, hogy az egy csoportban lévő számok a) összege egyenlő legyen; Nem, mert az összege páratlan (1 + 2 + 3 + : : : + 10 = 55), így a fele nem lesz egész szám.

b) szorzata egyenlő legyen? Nem, mert a két csoportba osztandó számok között csak egy darab 7es van, így ha kettéosztanánk a számokat, az egyik csoportban lévők szorzata osztható lenne 7-tel, a másikban lévőké nem, akkor pedig nem lehet egyenlő a két szorzat.

5. óra: Milyen oszthatóságokat árulnak el a számok utolsó számjegyei? Tk.: 84–87. oldal, 1–9. feladat Az óra célja: az eddigi tapasztalatok alapján oszthatósági szabályok megfogalmazása, igazolása az összeg és különbség oszthatóságáról tanultak felhasználásával. Az oszthatósági szabályok alkalmazása feladatok megoldásában. Stratégiai játék: a nyerő stratégia fogalma. Kombinatorikai eljárások alkalmazása a feladatok megoldása során.

85

Számelmélet Játék Ketten játsszatok! a) A START-ról indítsátok a közös bábut! A játékosok felváltva lépjenek a bábuval legalább egyet, legfeljebb 4-et! Az a játékos nyer, aki rálép a 40-es mezőre. (Csak előre lehet lépni!) b) Módosítjuk a játékszabályt így: a játékosok legalább 1-et és legfeljebb 9-et léphetnek. A többi feltétel változatlan. c) Módosítjuk a játékszabályt így: az veszít, aki rálép a 40-es mezőre.

35 36 37

23

38

22

33

21

20

24 39 25

32

3

31

19

10

11 12

13

40

34

9

4

18 30

START 2 8 17 29 1 7 6 14 16 28 15 5

27

26

A stratégiai játékok nyerő stratégiájának kitalálásához a gyerekek egy részének hosszabb időre van szüksége, mint amennyit a tanóra keretei között arra szánni tudunk. Célszerű ezeket otthoni továbbgondolásra feladni, és akár egy-két hét múlva visszatérni a nyerő stratégia megbeszélésére. Az a) esetben a nyerő stratégia: a második játékos nyer, ha az öttel osztható számokra lép. A b) esetben is a második játékos nyer, ha a 10-zel osztható számokra lép. A c) esetben a kezdő játékos nyer, ha az a) játékban az 5k − 1 alakú, a b) esetben a 10k − 1 alakú mezőkre lép. Feladatok 1. Lehet-e sok-sok ugyanilyen a) elefántnak 101 agyara vagy 608 lába; Az agyarak száma csak páros szám lehet, ezért nem lehetséges, hogy 101 agyara van akárhány elefántnak. 608 lába lehet, mert a 608 osztható 4-gyel.

b) zöld gyíknak összesen 62 lába vagy 420 lábujja; A lábak száma 4 többszöröse lehet csak, ezért nem lehetséges, hogy 62 lába van akárhány gyíknak. Az ujjak száma 5 és 4 közös többszöröse, azaz 20 többszöröse, ezért 420 lábujja lehet valahány zöld gyíknak.

c) hóembernek összesen 106 szeme vagy 1005 gombja? A 106 osztható 2-vel, ezért 106 szeme lehet sok ilyen hóembernek. A gombok száma 5 többszöröse, ezért lehet sok ilyen hóembernek 1005 gombja.

Védett állat-e hazánkban a zöld gyík? Igen, védett. 2. A következő számoknak letakartuk egy-egy számjegyét. 4, 457 , 3 472, 30 34 A füzetedben pótold a számjegyeket úgy, hogy a számok oszthatók legyenek a) 2-vel; b) 5-tel; c) 10-zel; d) 100-zal! 34

86

4

457

3 472

30

2-vel

bármilyen szám

0, 2, 4, 6, 8

a 0 kivételével bármely szám

0, 2, 4, 6, 8

5-tel

nincs ilyen szám

0, 5

nincs ilyen szám

0, 5

10-zel

nincs ilyen szám

0

nincs ilyen szám

0

100-zal

nincs ilyen szám

nincs ilyen szám

nincs ilyen szám

0

Számelmélet

Az oszthatósági szabályokat általában csak konkrét számok konkrét osztóival kapcsolatban fogalmaztassuk meg! Sőt a bizonyítást is először csak konkrét számokkal érdemes elvégezni. Az általánosságokat csak ott mutassuk meg, ahol igény van rá, és ne is kérjük kötelező jelleggel számon! E feladat megoldása során javasoljuk az oszthatósági szabályok feltételeinek kimondását és igazolását: 10 minden többszöröse osztható annak osztóival is, a 2-vel és az 5-tel. Minden szám felírható így: a szám = (egy másik szám) · 10 + (a szám utolsó számjegye). Mivel az első tag többszöröse a 2-nek is és az 5-nek is, ezért, ha a második tag is többszöröse a 2-nek, illetve az 5-nek, akkor az összegük is az lesz. Ebből következik, ha egy szám utolsó jegye osztható 2-vel, illetve 5-tel, akkor a szám is. Az állítás megfordítása is igaz: ha egy szám utolsó jegye osztható 2-vel, illetve 5-tel, akkor a szám is az. Minden szám utolsó jegye felírható így: a szám utolsó jegye = a szám − (egy másik szám · 10). Ha a különbség mindkét tagja osztható 2-vel, illetve 5-tel, akkor a különbség is az. A 100 és 1000 osztóival való oszthatóság igazolását hasonló módon végezhetjük el. 3. Ezek a számkártyáink vannak, mindegyikből egy: 0 , 1 , 4 , Készítsd el belőlük a lehetséges összes háromjegyű számot!

5

Célszerű az összes esetet fadiagrammal összegyűjteni, amelyről leolvasható a 3 · 3 · 2 = 18 szám.

0

a) Hány lesz közülük páros? 10 lehetőség (

0 → 3 · 2 = 6 lehetőség,

1

4 → 2 · 2 = 4 lehetőség)

4

b) Hány lesz közülük 5-tel osztható? 0 → 3 · 2 = 6 lehetőség,

10 lehetőség (

c) Hány lesz közülük 10-zel osztható? 6 lehetőség ( 0 → 3 · 2 = 6 lehetőség)

d) A füzetedbe másold le a halmazábrát! Írd be a számokat a halmazábra megfelelő részébe! e) Milyen tulajdonságú számok kerülnek a két halmaz metszetébe? A 10-zel oszthatók kerülnek a metszetbe.

A

5

5 → 2 · 2 = 4 lehetőség)

4 5 0 5 0 4

stb.

C

B 104, 154, 504 514

401, 451, 501, 541

140 150, 410 450, 510 540 105, 145, 405, 415

A = {Háromjegyű számok} B = {2-vel osztható} C = {5-tel osztható}

4. Hogyan címkéznéd meg ezeket a halmazokat? A halmazábrákat másold le a füzetedbe, és írj a halmazábra minden részébe 3-3 odaillő számot, ha van olyan! a) A = {5-tel oszható számok} b) A = {2-vel oszható számok} B = {10-zel oszható számok} B = {5-tel oszható számok} C = {100-zal oszható számok} C = {10-zel oszható számok}

A

B

10, 30 50

A

C

1000, 100 400

5, 15 25

10 100 1000

B 25, 75

C

2, 14, 128

125

87

Számelmélet 5. a) Egy állítást és annak megfordítását írtuk le. Az állítás: Ha a szám osztható 10-zel , akkor a szám osztható 5-tel. Az állítás megfordítása: Ha a szám osztható 5-tel , akkor a szám osztható 10-zel. Négy gyerek véleményét írtuk le ezekről az állításokról. Kivel értesz egyet? Adél: „Az állítás és a megfordítása is igaz.” Benő: „Csak az állítás igaz.” Csongor: „Az állítás és a megfordítása is hamis.” Dani: „Csak az állítás megfordítása igaz.” Benő véleménye helyes.

b) Ha az üres cédulákat kicserélitek egy-egy megírt cédulával, akkor a számok oszthatóságával kapcsolatos állításokat kaptok. Készítsetek igaz állításokat! Ha

, akkor

.

Ezek közül a megírt cédulák közül választhattok: a szám osztható 2-vel a szám vége 5

a szám osztható 10-zel

a szám osztható 100-zal

a szám végén pontosan két nulla áll

a szám osztható 5-tel

a szám vége 8

a szám vége 555

a szám végén pontosan egy nulla áll

a szám számjegyei között csak 5-ös és 0 van A lehetséges igaz állítások közül tízet adtunk meg. Ha a szám osztható 100-zal , akkor a szám osztható 2-vel . Ha a szám osztható 100-zal , akkor a szám osztható 5-tel . Ha a szám osztható 100-zal , akkor a szám osztható 10-zel . Ha a szám végén pontosan két nulla áll , akkor a szám osztható 2-vel . Ha a szám végén pontosan két nulla áll , akkor a szám osztható 5-tel . Ha a szám végén pontosan két nulla áll , akkor a szám osztható 10-zel . Ha a szám végén pontosan két nulla áll , akkor a szám osztható 100-zal . Ha a szám vége 555 , akkor a szám osztható 5-tel . Ha a szám vége 555 , akkor a szám vége 5 . Ha a szám vége 8 , akkor a szám osztható 2-vel .

88

Számelmélet c) A megírt cédulákból válogassatok! Amennyiben lehetséges, írjatok olyan állításokat, amelyeknek a megfordítása is igaz! Ha nem találtok két ilyen kártyát, akkor ti készítsetek ilyeneket! Ezekből a cédulákból nem lehet kettőt úgy kiválasztani, hogy az állítás megfordítása is igaz legyen. Megadtunk egy olyan cédulát, amelynek segítségével már alkothatunk egy olyan állítást a meglévő cédulák felhasználásával, amelynek a megfordítása is igaz: Ha a szám osztható 5-tel , akkor a szám utolsó jegye 0 vagy 5 . Ha a szám utolsó jegye 0 vagy 5 , akkor a szám osztható 5-tel .

Az 5. feladat megbeszélése során is javasoljuk a szükséges és elégséges feltételek keresését: egy-egy ellenpéldánál jöjjenek rá a tanulók, hogy a 2-vel való oszthatóság szükséges, de nem elégséges feltétele a 10-zel vagy 100-zal való oszthatóságnak. Annak viszont, hogy egy szám osztható legyen 2-vel, elégséges, de nem szükséges feltétele, hogy a szám osztható legyen 10zel vagy 100-zal. Ugyanezek megfogalmazhatók az 5-tel, 10-zel és 100-zal való oszthatóságok vizsgálatánál. 6. Melyik egyszerűsíthető az adott törtek közül 4 10

10 15

8 24

105 100

4 8 140 1008 400 , , , , 10 24 200 1000 1000 140 400 c) 10-zel; , 200 1000 140 400 e) 20-szal; , 200 1000

a) 2-vel;

125 200

140 200

75 125

1008 1000

400 1000

150 275

10 105 125 140 75 400 150 , , , , , , 15 100 200 200 125 1000 275 8 140 1008 400 d) 4-gyel; , , , 24 200 1000 1000 125 75 400 150 400 f) 25-tel; g) 100-zal? , , , 200 125 1000 275 1000

b) 5-tel;

7. Képezz sorozatot, amelynek elemei az 5-nek pozitív többszörösei! Írd le a sorozat néhány elemét! Biztos, lehetséges vagy lehetetlen, hogy ebben a sorozatban két tetszőleges elem a) összege osztható 5-tel; Biztos. b) különbsége osztható 5-tel; Biztos. c) szorzata osztható 5-tel; Biztos. d) összege osztható 10-zel; Lehet. e) különbsége osztható 10-zel; Lehet. f) szorzata osztható 10-zel? Lehet. 8. Hány nulla áll a szorzat végén, ha összeszoroztuk a pozitív egész számokat a) 1-től 10-ig, 2 b) 1-től 20-ig, 4 c) 1-től 30-ig? 7 A megoldás során elegendő azokat a tényezőket vizsgálni, amelyek az 5 többszörösei, mert a 2 többszöröseiből biztosan több van, mint az 5 többszöröseiből. a) 1–10-ig két 5-többszörös szerepel a szorzatban: 5 és 10 = 2 · 5. Ezek szorzatában kétszer szerepel az 5-ös tényező. b) 1–20-ig négy 5-többszörös szerepel: 5, 10 = 2 · 5, 15 = 3 · 5, 20 = 4 · 5. Ezek szorzatában négyszer szerepel az 5-ös tényező. c) 1–30-ig hat 5 többszörös szerepel: 5, 10 = 2 · 5, 15 = 3 · 5, 20 = 4 · 5, 25 = 5 · 5, 30 = 5 · 6. Ezek szorzatában hétszer szerepel az 5-ös tényező.

9. Egy teremben, ahol csak gyerekek és háromlábú székek vannak, 20 fejet és 130 lábat számoltunk meg. Hány széken nem ül gyerek, ha minden gyerek széken ül, és egy széken sem ül több gyerek? Tíz széken nem ül gyerek: (130 − 20 · 2) : 3 −20 = 10. székek száma

89

Számelmélet Milyen oszthatóságokat árulnak el a számok utolsó számjegyei? (Kiegészítő tananyag) Tk.: 87–90. oldal, 1–7. feladat A nagyobb óraszámban tanuló vagy gyorsabban haladó csoportok számára ajánljuk a kiegészítő tananyag feldolgozását. Feladatok 1. A következő számoknak letakartuk egy-egy számjegyét. 34 4, 457 , 3 472, 30 A füzetedben pótold a számjegyeket úgy, hogy a számok oszthatók legyenek a) 4-gyel; b) 25-tel; c) 50-nel; d) 100-zal! 4-gyel 25-tel 50-nel 100-zal

34 4 0, 2, 4, 6, 8 nincs ilyen szám nincs ilyen szám nincs ilyen szám

457 2, 6 5 nincs ilyen szám nincs ilyen szám

3 472 30 bármilyen szám a 0 kivételével 0, 4, 8 nincs ilyen szám 0 nincs ilyen szám 0 nincs ilyen szám 0

2. Fogalmazz meg szabályt a 20-szal és az 50-nel való oszthatóságra! Szóban egészítsd ki a mondatokat úgy, hogy igazak legyenek az állítások! Azok és csak azok a számok oszthatók 20-szal, amelyek utolsó két jegyéből képzett kétjegyű szám osztható 20-szal. Azok és csak azok a számok oszthatók 50-nel, amelyek utolsó két jegyéből képzett kétjegyű szám osztható 50-nel. 3. Ezek a számkártyáink vannak, mindegyikből egy: 0 , 1 , 2 , 5 Készíts belőlük háromjegyű számokat az összes lehetséges módon! a) Hány lesz közülük 4-gyel osztható? A 4 lehetőség

b) Hány lesz közülük 5-tel osztható? 10 lehetőség

C

B

152, 512

120

105, 125, 150 205, 210

520 c) Hány lesz közülük 20-szal osztha215, 250, 510 tó? 2 lehetőség d) Másold le a füzetedbe a halmazáb102, 201, 251, 501, 502, 521 rát! Írd be a számokat a halmazábra A = {Háromjegyű számok} megfelelő részébe! B = {4-gyel osztható} C = {5-tel osztható} e) Milyen tulajdonságú számok kerülnek a két halmaz metszetébe? A 20-szal osztható számok kerülnek a két halmaz metszetébe.

4. a) Egy állítást és annak megfordítását írtuk le. Az állítás: Ha a szám osztható 25-tel , akkor a szám osztható 5-tel.

90

Számelmélet Az állítás megfordítása: Ha a szám osztható 5-tel , akkor a szám osztható 25-tel. Négy gyerek véleményét írtuk le ezekről az állításokról. Kivel értesz egyet? Adél: „Az állítás és a megfordítása is igaz.” Benő: „Csak az állítás igaz.” Csongor: „Az állítás és a megfordítása is hamis.” Dani: „Csak az állítás megfordítása igaz.” Benő véleménye helyes.

b) Ha az üres cédulákat kicserélitek egy-egy megírt cédulával, akkor a számok oszthatóságával kapcsolatos állításokat kaptok. Készítsetek igaz állításokat! Ha

, akkor

.

Ezek közül a megírt cédulák közül választhattok: a szám osztható 1000-rel a szám vége 125


a szám osztható 4-gyel

a szám végén pontosan két nulla áll


a szám vége 25

a szám vége 555

a szám végén pontosan három nulla áll

a szám számjegyei között csak 5-ös és 0 van A lehetséges igaz állítások közül tízet adtunk meg. Ha a szám osztható 1000-rel , akkor a szám osztható 5-tel . Ha a szám osztható 1000-rel , akkor a szám osztható 4-gyel . Ha a szám osztható 1000-rel , akkor a szám osztható 25-tel . Ha a szám végén pontosan három nulla áll , akkor a szám osztható 5-tel . Ha a szám végén pontosan három nulla áll , akkor a szám osztható 4-gyel . Ha a szám végén pontosan három nulla áll , akkor a szám osztható 25-tel . Ha a szám végén pontosan három nulla áll , akkor a szám osztható 1000-rel . Ha a szám vége 125 , akkor a szám osztható 5-tel . Ha a szám vége 125 , akkor a szám osztható 25-tel . Ha a szám végén pontosan két nulla áll , akkor a szám osztható 4-gyel .

c) A megírt cédulákból válogassatok! Amennyiben lehetséges, írjatok olyan állításokat, amelyeknek a megfordítása is igaz! Ha nem találtok két ilyen kártyát, akkor ti készítsetek ilyeneket! Ezekből a cédulákból nem lehet kettőt úgy kiválasztani, hogy az állítás megfordítása is igaz legyen. Megadtunk egy cédulát, ennek segítségével már alkothatunk egy olyan állítást a meglévő cédulák felhasználásával, amelynek a megfordítása is igaz:

91

Számelmélet

Ha a szám utolsó három jegye 0 , akkor a szám osztható 1000-rel . Ha a szám osztható 1000-rel , akkor a szám utolsó három jegye 0 .

5. Hogyan címkéznéd meg ezeket a halmazokat? A halmazábrákat másold le a füzetedbe, és ha lehetséges, írj a halmazábra minden részébe 3-3 odaillő számot! a)

A = {25-tel oszható számok} B = {100-zal oszható számok} C = {1000-rel oszható számok} A

B

100, 200

b)

A = {25-tel oszható számok} B = {4-gyel oszható számok} C = {100-zal oszható számok} A

C

1000, 2000 5000

800

25, 50 75

B

100 200 500 4, 8, 16

C

25, 75, 125

6. Képezz sorozatot, amelynek elemei az 5-nek pozitív többszörösei! Írd le a sorozat néhány elemét! Biztos, lehetséges vagy lehetetlen, hogy ebben a sorozatban két tetszőleges elem b) szorzata osztható 125-tel? Lehet. a) szorzata osztható 25-tel; Biztos. 7. Hány olyan háromjegyű 5-tel osztható szám van, amely nem osztható 25-tel? 180 − 36 = 144 ilyen szám van. Minden ötödik háromjegyű szám 5 többszöröse (900 : 5 = 180), ezek közül minden ötödik 25 többszöröse (180 : 5 = 36).

6. óra: Milyen oszthatóságokról árulkodik a szám számjegyeinek összege? Tk.: 90–94. oldal, 1–11. feladat Az óra célja: konkrét esetekben (az osztás elvégzése nélkül) annak eldöntése, hogy egy szám osztható-e 9-cel vagy sem. Itt használjuk fel az előző órákon tanultakat: – számok sokféle alakban való megadását (összeg, szorzat), – az „eldobós” módszert. 10 hatványaiból „eldobva” a 9-cel osztható részt (9-et, 99-et, 999-et, : : : ), megkaphatjuk a szám kilences maradékát. Szándékosan tárgyaljuk először a 9-cel való oszthatóság szabályát, mert viszonylag könnyen átlátható a gyerekek számára, valamint segítséget ad a 3-mal való oszthatósági szabály felfedezéséhez és megfogalmazásához.

92

Számelmélet Játék Ketten játsszátok ezt a játékot! A két játékost nevezzük A-nak és B -nek! A és B felírnak egy 12 jegyű számot úgy, hogy az egyes számjegyeit felváltva írják egymás után. A szám számjegyeit csak az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek közül válogathatják. A B játékos azt akarja, hogy osztható legyen a 12 jegyű szám 9-cel, az A játékos azt akarja, hogy ne. Elérheti-e célját B , ha A kezd? Ha igen, hogyan? Igen, nyerhet B , ha az A játékos által írt számokat minden esetben 6-ra egészíti ki. Az így kapott hat számpár összege 6 · 6 = 36 lesz, amely osztható 9-cel.

Feladatok 1. a) A négyzetben lévő számok 9-cel való osztási maradékát mutató nyíl irányában haladj! Melyik sárga nyílon lévő számhoz jutottál? 2→8000→1 millió→6000→1234→500→100 ezer→1 b) Hová jutsz, ha a 3-mal való osztási maradékok szerint haladsz? 1 millió→6000→100 ezer→1 Mindkét esetben az 1-hez jutunk.

5

1

2

3

300

8000

8

1millió

0

0

1234

2

0

2

1

3

START

1

6

6

4

5

6000

1

500

0

100 ezer

1

6

2

2. A következő számok mindegyikének letakartuk egy számjegyét. 32 1, 457 , 3 973, Pótold a számjegyeket úgy, hogy a számok oszthatók legyenek a) 3-mal, b) 9-cel! 32 3-mal

1

457

4 122 30

3 973

4 122 30

0, 3, 6, 9

2, 5, 8

2, 5, 8

0, 3, 6, 9

3

2

5

6

9-cel

3. a) Melyek oszthatók 3-mal, illetve 9-cel a felsorolt számok közül? 38 766,

24 345,

2332,

100 008,

8888,

133 100,

9-cel oszthatók

24 345, 100 008, 4554

3-mal oszthatók

38 766, 24 345, 100 008, 4554, 777 777

6626,

3192,

4554,

777 777

93

Számelmélet b) Rajzolj egy ilyen halmazábrát a füzetedbe! Írd a számokat a halmazábra megfelelő részébe! Milyen tulajdonságú számok kerülnek a két halmaz közös részébe? A 9-cel oszthatók. c) Van-e olyan része a halmazábrának, ahova nem kerülhet szám? Igen, mert minden 9-cel osztható szám osztható 3mal.

2332

6626

8888

A

B

3192 777 777 100 008 24 345 4554 38 766

133 100

A = {9-cel osztható számok} B = {3-mal osztható számok}

4. A műveleteknek csak a 9-cel való osztási maradékát határozd meg! Arra a kártyára lépj, amelynek az elején a kapott maradékot látod! Ha jól oldottad meg a feladatot, a kártyákon lévő betűket összeolvasva egy világhírű magyar matematikus nevét kapod meg. Erdős Pál START

3003 + 604

E

5

(1234 + 567) · 89

P

6

9112 + 721

S

7

7594 − 42

R

1

333 · 2001

D

8

100 000 + 1000 + 10

Á

3

99 · 100 + 101

L

0

2000 + 200 + 20

Ő

Ki volt ő? Búvárkodjatok! Erdős Pál (1913–1996) a 20. század egyik legkiemelkedőbb matematikusa. Tagja volt a Magyar Tudományos Akadémiának és még sok más tudományos akadémiának (angol, amerikai, indiai: : : ). Többek között számelmélettel, kombinatorikával és valószínűség-számítással foglalkozott, de a matematika szinte minden ágában alkotott. 1983-ban megkapta a legmagasabb nemzetközi elismerést, a Nobel-díjjal egyenértékű Wolf-díjat. (Forrás: Wikipédia)

5. Ezek a számkártyáid vannak: 1 , 1 , 0 , 4 Készítsd el belőlük az összes lehetséges négyjegyű számot! Fadiagrammal is összegyűjthetjük a lehetőségeket: 1014, 1041, 1104, 1140, 1410, 1401, 4011, 4101, 4110.

A

1014 1104, 1140 1410, 4110

B

1041, 1401 a) Hány lesz a számok közül páros? Öt. 4101, 4011 b) Hány lesz a számok közül 3-mal osztható? Mindegyik. c) Hány lesz a számok közül 6-tal osztA = {2 többszörösei} B = {3 többszörösei} ható? Ugyanaz az öt, mint az a)-ban. d) Hány lesz a számok közül olyan, amely sem 2-vel, sem 3-mal nem osztható? Nincs olyan. e) Rajzolj egy ilyen halmazábrát a füzetedbe! Helyezd el a számokat a halmazábra megfelelő részébe! f) Milyen tulajdonságú számok kerülnek a két halmaz közös részébe? 6 többszörösei.

94

Számelmélet 6. A hindu matematika annak idején nagy hatással volt az európai matematika fejlődésére. Az indiai iskolai oktatásban pedig sok európai módszer honosodott meg, hiszen India hosszú ideig angol gyarmat volt. A hinduk régen a számításaikat nem papíron, hanem porral és homokkal meghintett táblákon végezték, és letörölték azokat a számjegyeket, amelyekre már nem volt szükségük. A számjegyek törlése lehetetlenné tette a részeredmények ellenőrzését. Ezért többféle módszert dolgoztak ki a számítások utólagos ellenőrzésére. A legnépszerűbb ezek közül a „kilences próba” volt. Ennek alapja az, hogy ha egy számot elosztunk 9-cel, akkor az osztási maradék megegyezik a szám (osztandó) számjegyei összegének 9-cel való osztási maradékával. Válaszd ki a „kilences próba” használatával a biztosan hibás eredményt! A) 777 : 9 = 86, maradék 3. B) 8182 : 9 = 909, maradék 2. C) 12 345 : 9 = 1371, maradék 8. A B) és a C) hibás.

7. Ezek a számkártyáid vannak: 3 , 0 , 0 , 7 a) Készítsd el belőlük az összes lehetséges négyjegyű számot! 3007, 3070, 3700, 7003, 7030, 7300 b) Hány lesz közülük 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, illetve 9-cel osztható? 4, 0, 2, 0, 0 8. A 2001 szám végére írj még egy számjegyet úgy, hogy a) a 4-es, 3, 7 b) a 3-as, 0, 3, 6, 9 c) a 9-es 0, 9

maradéka ne változzon!

9. Írj olyan számokat, amelyek minden számjegye csupa 1-es, és osztható a) 3-mal, 111, 111 111, 111 111 111, : : : A számban az egyesek száma osztható legyen 3-mal. b) 9-cel! 111 111 111, 111 111: : : 111, : : : A számban az egyesek száma osztható legyen 9-cel. 18 db 1-es

10. Írj a) b) d)

olyan számokat, amelyek minden számjegye 2-es, és osztható 3-mal, 222, 222 222, 222 222 222, : : : A számban a kettesek száma osztható legyen 3-mal. 4-gyel, Nincs ilyen. c) 6-tal, Ugyanazok, mint az a)-ban. 9-cel! 222 222 222, 222 222 : : :222, : : : A számban a 2-esek száma osztható legyen 9-cel. 18 db 2-es

11. Egy háromjegyű szám kilences maradéka 4. A számjegyeket felcseréljük. Mennyi lesz az így kapott szám kilences maradéka? Az eredeti és a felcserélt számot összeadjuk. Mennyi lesz az összeg kilences maradéka? Az eredeti és a felcserélésével kapott számok nagyobbikából kivonjuk a kisebbiket. Mennyi lesz a különbség kilences maradéka? A számjegyek felcserélése nem változtatja meg a szám 9-es maradékát, a felcserélt szám 9-es maradéka 4 marad. Az összeg 9-es maradéka 8 lesz. A különbség 9-es maradéka 0 lesz.

95

Számelmélet Prímszámok (törzsszámok) (Kiegészítő tananyag) Tk.: 94–95. oldal, 1–7. feladat A nagyobb óraszámban tanuló vagy gyorsabban haladó csoportok számára ajánljuk a kiegészítő tananyag feldolgozását. Az óra célja: a prímszám és az összetett szám fogalma, prímek keresése az eratoszthenészi algoritmussal; a ritmusok, szabályosságok segítenek a „szitálásban”, és egyszerű sejtések megfogalmazására is ihletik a gyerekeket. Meghatározzuk az összetett számok osztóinak számát. A prímek végtelen számosságának megsejtetése a prímtáblázat elemzése során. Az adatok grafikus ábrázolása. Feladatok 1. Szitáld ki a prímszámokat 49-től 100-ig! 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. a) A 2 többszöröseivel együtt milyen más számok többszörösei esnek ki? Például a 4 és a 6 minden többszöröse kiesik, az 5-nek, a 7-nek és a 11-nek minden páros többszöröse stb.

b) A három többszöröseivel együtt milyen más számok többszörösei esnek ki? A 9 minden többszöröse, a 7-nek, a 11-nek és a 13-nak néhány többszöröse stb.

2. A táblázatba a sárga mezőben lévő számok osztóit kell beírni, és azt, hogy összesen hány darab pozitív osztója van egy-egy számnak. A 6-os szám oszlopát kitöltöttük. Másold le a táblázatot a füzetedbe, és töltsd ki! A szám 7 6 8 10 13 15 28 32 49 12 A szám osztói

1, 2, 3, 6

1, 7

1, 2, 4, 8

1, 2, 5, 10

1, 2, 3, 4, 6, 12

1, 13

4

2

4

4

6

2

Az osztók száma

1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 3, 5, 7, 14, 8, 16, 15 28 32

1, 7, 49

6

3

4

6

3. Vannak-e olyan szomszédos számok, amelyek mindegyike prímszám? Igen, a 2 és a 3. 4. Gyűjts olyan szólásokat, közmondásokat vagy irodalmi példákat, amelyekben prímszámok szerepelnek! Néhány példa: 2: Kétszer ad, ki gyorsan ad. Két legyet üt egy csapásra. Kettőn áll a vásár. Két bolond: egy pár. 3: Három a kívánság! Minden csoda három napig tart. 7: A hetedik mennyországban érzi magát. Heten, mint a gonoszok. Hetet egy csapásra.

5. Folytasd a következő sorozatokat 5-5 elemmel! Húzd alá a kapott sorozatok tagjai közül a prímszámokat! a) 1, 11, 21, 31, 41, : : : Az egyesek helyén mindig 1-es áll, eléje írjuk az előző szám számjegyeinek összegét. 51, 61, 71, 81, 91. Ezek közül prímek a 11, 31, 41, 61 és a 71.

b) 1, 11, 111, 1111, : : : A sorozat minden további elemét úgy kapjuk meg, hogy az előző tag végére egy 1-est írunk. 11 111, 111 111, 1 111 111, 11 111 111, 111 111 111. Prím a 11.

c) 3, 23, 43, 63,

:::

A sorozat minden további elemét úgy kapjuk meg, hogy az előző elemet 20-szal növeljük. 83, 103, 123, 143, 163. Prímek: 3, 23, 43, 83, 103 és a 163.

96

Számelmélet 6. Ha két egymást követő páratlan szám mindegyike prímszám, akkor a két számot ikerprímeknek nevezik. Ilyen például a 3 és az 5. Keresd meg az 50-nél kisebb ikerprímeket! 5–7, 11–13, 17–19, 29–31, 41–43, 59–61, 71–73.

7. Az első száz prímszám a) összege, Páratlan, mert 99 darab páratlan prím összege páratlan, a 2-t hozzáadva az összeg páratlan marad.

b) szorzata páros vagy páratlan? Páros, mert van egy páros szám köztük, a 2.

Összetett számok felírása prímszámok szorzataként (Kiegészítő tananyag) Tk.: 96–97. oldal, 1–6. feladat Az óra célja: a prímszámoknak a számok építőköveiként való értelmezése. Az összetett számok felírása prímek szorzataként. Az összetett számok összes osztójának meghatározása osztópárokkal. Az osztó definíciójából következik, hogy a számok osztóit párokban fel tudjuk írni. Mielőtt a prímtényezős felbontással foglalkoznánk, játékos formában fedeztessük fel a gyerekekkel mindezeket. Feladatok 1. Bontsd prímszámok szorzatára a következő számokat! a) 70 = 2 · 5 · 7 d) 140 = 2 · 2 · 5 · 7

b) 84 = 2 · 2 · 3 · 7 e) 810 = 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 5

c) 125 = 5 · 5 · 5 f) 1000 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5

2. Ezekből a prímkártyákból választhatsz az üres helyre: 2 , 3 , 5 , 7 2 · 2 · 5 · Melyiket teheted az üres helyre, ha azt szeretnéd, hogy a szorzat osztható legyen a következő számokkal? a) 10-zel Bármelyiket. b) 15-tel 3 c) 100-zal 5 d) 8-cal 2 e) 11-gyel Nincs megoldás. f) 140-nel 7 3. Bontsd fel prímszámok szorzatára a 450-et! A prímtényezős felbontásból állapítsd meg, hogy a 450 osztható-e a) 6-tal, b) 7-tel, c) 8-cal, d) 9-cel! 450 = 2 · 3 · 3 · 5 · 5. Osztható 6-tal és 9-cel, nem osztható 7-tel és 8-cal.

4. Totó – Prímtéglákból építettünk szorzással egy számot. Az egyik prímtéglát nem ismerjük. Döntsd el, és írd le a füzetedbe, hogy a számozott állítások közül melyikre melyik igaz az alábbiak közül! 1 – biztos 2 – lehet, de nem biztos X – lehetetlen 97

Számelmélet

A szám:

·

3

·

5

1. Ez a szám páros. 2

2. A szám osztható 3-mal. 1

3. A szám 0-ra végződik. 2

4. A szám a 15 többszöröse. 1

5. Ez a szám a 60. X

6. Ez a szám a 45. 2

7. Ez a szám kisebb 30-nál. X

8. Ez a szám osztható 13-mal. 2

9. Ez a szám egyjegyű. X

10. Ez a szám nagyobb, mint 1 millió. 2

11. Ez a szám osztható 14-gyel. X

12. Ez a szám osztható 6-tal. 2

13. Ennek a számnak négy osztója van. X +1 Ennek a számnak legalább hat osztója van. 1 A totó helyesen kitöltve: 2, 1, 2, 1, X, 2, X, 2, X, 2, X, 2, X, 1

5. A 6 azzal az érdekes tulajdonsággal rendelkezik, hogy osztóit összeadva (a 6-on kívül) eredményként az eredeti számot kapjuk. 1 + 2 + 3 = 6. Az ilyen tulajdonságú számokat tökéletes számoknak nevezzük. Az ókorban azért érdeklődtek annyira a tökéletes számok iránt, mert a harmónia megtestesülését látták bennük. a) Keress kétjegyű tökéletes számot! 28 b) A 496 és a 498 közül melyik tökéletes szám? 496 6. Egy hajó hosszának, a hajóskapitány évei számának és gyermekei számának szorzata 11 877. Mindhárom egész szám. Hány éves a kapitány? 37 éves a kapitány, lehetne még 107 éves is, de ez kevéssé valószínű.

7–8. óra: Számok osztói, közös osztók, a legnagyobb közös osztó Tk.: 97–101. oldal, 1–17. feladat Az órák célja: számok közös osztói, a legnagyobb közös osztó fogalma, megkeresése konkrét esetekben. A tanultak alkalmazása feladatok megoldásában. Törtek egyszerűsítésének ismétlése. Egyszerű kombinatorikai feladatok. A közös osztók, a közös többszörösök keresésével kapcsolatban már vannak a gyerekeknek tapasztalataik. A legnagyobb közös osztó megkeresésénél a gyerekek a közös osztók közül választják ki a legnagyobbat, a legkisebb közös többszörös keresésénél a közös többszörösök közül a legkisebbet. Az osztó definíciójából következik, hogy a számok osztóit párokban fel tudjuk írni. E témakör feldolgozásához javasoljuk a következő játékos vetélkedőket. – Képezzünk osztóláncot! Induljunk ki egy számból, írjuk le egy osztóját, majd annak is egy osztóját, majd annak is egy osztóját stb., csak az 1-et nem szabad leírnunk! Az a gyerek nyer, aki a leghosszabb láncot írja. Például: 60 – 30 – 5 vagy 60 – 30 – 15 – 3. A második játékos nyert. 98

Számelmélet

– Keressünk egy megadott számhoz osztókat! Az nyer, aki a legtöbbet találja. – Írjunk fel egy számot a lehető legtöbb tényezős szorzattal, és írjuk le az osztóit is! A gyerekek számára e játék közben válhat világossá, hogy ugyanazok a tényezők bukkannak fel, csak más sorrendben. – Válasszunk egy számot! Építsük fel minél kisebb számok szorzataként! Az győz, akinél a tényezők összege a legkisebb. Több ilyen játék során kiderül, hogy a tényezők összege sohasem lesz kisebb, mint akkor, ha a számot a lehető legtöbb tényező szorzatára bontottuk. Feladatok 1. a) Osztópárok segítségével keresd meg a következő számok összes osztóját! A) 45 = 1 · 45 = 3 · 15 = 5 · 9, osztói: 1, 3, 5, 9, 15, 45. B) 66 = 1 · 66 = 2 · 33 = 3 · 22 = 6 · 11, osztói: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66. C) 72 = 1 · 72 = 2 · 36 = 3 · 24 = 4 · 18 = 6 · 12 = 8 · 9, osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. D) 112 = 1 · 112 = 2 · 56 = 4 · 28 = 7 · 16 = 8 · 14, osztói: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112. E) 119 = 1 · 119 = 7 · 17, osztói: 1, 7, 17, 119. b) Az a) feladatban szereplő számok közül melyiknek van pontosan annyi nem valódi osztója, mint a 60-nak? Minden pozitív egész számnak (az 1 kivételével) két nem valódi osztója van: az 1 és maga a szám.

c) Melyiknek van ugyanannyi valódi osztója, mint a 60-nak? A 72-nek is tíz valódi osztója van. Milyen nyomait találjuk napjainkban a hatvanas számrendszernek? A babiloni hatvanas számrendszer nyomai napjainkban is felfedezhetők: egy perc 60 másodperc, 60 perc egy óra, a kört (6 · 60 =) 360 egyenlő részre felosztva kapunk 1◦ -ot.

2. Megadtuk egy szám összes valódi osztóját. Melyek a nem valódi osztók? a) 2, 5, 1, 10 d) 2, 4, 8, 1, 16 g) 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 1, 36

b) 2, 4, 5, 10, 1, 20 e) 3, 9, 1, 27 h) 5, 25, 125, 1, 625

c) 3, 1, 9 f) 2, 3, 5, 6, 10, 15, 1, 30

3. Melyik az a legnagyobb szám, a) amellyel az összes páros szám osztható, 2 b) amellyel az összes nullára végződő szám osztható? 10 4. Határozd meg a következő számok összes közös osztóját! Melyik a legnagyobb? Fejben számolj! A bekarikázottak a legnagyobbak. a) 16 és 20 1, 2, 4 d) 33 és 35 1

b) 20 és 36 1, 2, 4 e) 16, 20 és 32 1, 2, 4

c) 32 és 40 1, 2, 4, 8 f) 20, 32 és 40 1, 2, 4

5. A megadott számokból alkoss számpárokat minden lehetséges módon! 15 , 18 , 27 , 40 , 63 Összesen 10 számpár kapható. Hány olyan számpárt találtál, amelyeknek a legnagyobb közös osztója az 1? Két ilyen számpár van: (27; 40) = 1 és (40; 63) = 1.

99

Számelmélet 6. Alkoss törteket minden lehetséges módon! A számlálókat a 18 , 25 , 40 számok közül, a nevezőket a 8 , 18 , 30 , 100 közül válaszd! Add meg a legegyszerűbb alakját is a kapott törteknek! Összesen 3 · 4 = 12 törtet lehet alkotni. 18

8 18

=

8 18

25 30 100

18

=1

18

30

25

25

25

8

18

30

40

40

18

9 4

40

=5

8

=

18

7. Két számnak egy híján az összes osztóját beírtuk a halmazábrákba. Mi a hiányzó címke, és mi a hiányzó szám?

40

20 9

=

=

=

30

18

3 5

A hiányzó címke: 20 osztói, a hiányzó szám: 20.

?

8. a) Hova írnád a címkéket? C ⊂ B ⊂ A. A = {24 osztói} A \ B = {8 24}. B = {12 osztói} B \ C = {4 12}. C = {6 osztói} C = {1 2 3 6}. b) Másold le a füzetedbe a halmazábrát, és írd be a megfelelő részébe a 30-nál nem nagyobb számokat! A sárga részbe elegendő négy számot beírnod.

5 10 2

25

5 6

=

1 4

=

2 5

100 40

4 3

100 30 osztói

1 4

9 50

100

3 ?

=

15

6 30

0< x< 31 5, 7, 9, 10, 24 11, 13, A B 14, 15, C 16, 17, 1, 2 18, 19, 3, 6 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30

4

8

12

9. Határozd meg a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját! Add meg a tört legegyszerűbb alakját! a) (70; 90) = 10 70 7 = 90 9

b) (63; 42) = 21 63 3 = 42 2

c) (120; 160) = 40 d) (60; 84) = 12 120 3 = 160 4

60 5 = 84 7

e) (16; 64) = 16 16 1 = 64 4

10. Egyforma csomókba kötöttek 60 sárgarépát és 84 fehérrépát úgy, hogy egy sem maradt ki. a) Legfeljebb hány csomó vegyes zöldséget kaptak ilyen módszerrel? b) Hány fehérrépa és hány sárgarépa lesz egy csomagban? Legfeljebb 12 csomót kaptak, 5 sárgarépával és 7 fehérrépával.

11. Egy esküvőn 416 poharat és 224 tányért tettek ki az asztalokra. Minden ünneplőnek ugyanannyi pohárral és ugyanannyi tányérral terítettek. Hányan lehettek az esküvői vacsorán, ha tudjuk, hogy 30-nál többen fogadták el a meghívást? 32-en lehettek, mert a két számnak a legnagyobb közös osztója 32.

100

Számelmélet 12. Egy ballagó osztály diákjainak 72 fehér és 96 piros rózsából készítettek ugyanolyan csokrokat. Hányan ballaghattak, ha ebben az iskolában legfeljebb 30 gyerek jár egy osztályba? A ballagó osztályban legfeljebb 24-en lehettek, mert (72; 96) = 24.

13. Melyik igaz és melyik hamis a következő állítások közül? Két pozitív egész szám legnagyobb közös osztója a) kisebb mindkét számnál; Hamis. c) osztója a két szám összegének; Igaz. e) osztója a két szám szorzatának; Igaz.

b) kisebb a nagyobbik számnál; Igaz. d) osztója a két szám különbségének; Igaz. f) nagyobb 1-nél. Hamis.

14. Két szám legnagyobb osztója 12, az egyik szám 48. Mennyi lehet a másik?

Végtelen sok ilyen szám van. Ilyenek: 12, 3 · 12 = 36, 5 · 12 = 60, 7 · 12, : : : A 12-nek minden páratlan többszöröse jó, mert így nem kaphatunk olyan számot, amelynek osztója a 2 · 12 = 24 vagy a 48.

15. Három természetes szám közül az első és a második legnagyobb közös osztója a 6, a második és a harmadik legnagyobb közös osztója a 10. Mi lehet ez a három szám? A végtelen sok lehetőség közül néhány ilyen számhármas: (6; 30; 10), (6; 60; 10), (6; 120; 10)

16. Hány olyan, tovább már nem egyszerűsíthető, 0 és 1 közötti tört van, amelynek 100 a nevezője? Az összes olyan tört, amely egyszerűsíthető, osztható 2-vel vagy 5-tel. Ezek utolsó számjegye 0, 2, 4, 5, 6, 8. Így csak azok a törtek nem egyszerűsíthetők, amelyek utolsó számjegye 1, 3, 7, 9. Ezekből éppen 40 van.

17. Lucának két testvére van. Hármójuk életkorának szorzata 30, összege 14. Hány évesek különkülön? (A három gyerek életkora egész szám.) A gyerekek életkora: 1, 3 és 10 év. A lehetséges szorzatok: 1 · 1 · 30, 1 · 2 · 15, 1 · 3 · 10, 1 · 5 · 6, 2 · 3 · 5. Ezek között csak egy olyan van, amelyben a tényezők összege 14.

9–11. óra: Többszörösök, közös többszörösök, a legkisebb közös többszörös Tk.: 101–103. oldal, 1–11. feladat Az órák célja: többszörösök, közös többszörösök keresése, a legkisebb közös többszörös fogalma. A tanultak alkalmazása feladatok megoldásában. Törtek összeadásának és kivonásának ismétlése. Feladatok 1. Színezd a számegyenesen sárgával a 3, kékkel a 4 többszöröseit! Mely számok lettek zöldek? A 12 többszörösei lesznek zöldek (0, 12, 24, 36,

: : : ).

101

Számelmélet 2. Számítsd ki fejben a következő számpárok legkisebb közös többszörösét! a) 2 és 10 10 e) 9 és 10 90

b) 18 és 9 18 f) 6 és 14 42

c) 4 és 10 20 g) 25 és 30 150

d) 6 és 7 42

3. Melyik többszöröse a 6-nak a szorzat alakban megadott számok közül? Hányszorosa? a) 2 · 2 · 3 2-szerese. d) 2 · 2 · 5 Nem többszöröse. g) 2 · 7 · 11 · 3 77-szerese.

b) 2 · 3 · 5 5-szöröse. e) 2 · 2 · 3 · 5 10-szerese.

c) 3 · 3 · 5 Nem többszöröse. f) 2 · 3 · 3 3-szorosa.

4. Határozd meg a megadott három-három szám legkisebb közös többszörösét! a) 2, 3, 5 30 e) 4, 9, 72 72

b) 2, 4, 5 20 f) 2, 6, 8 24

c) 3, 6, 12 12 g) 5, 7, 9 315

d) 3, 5, 30 30

5. Az udvaron 12 gyerek labdázik. Körben állva mindig ugyanannyiadik szomszédnak dobják a labdát. Hányadik szomszédnak kell dobni a labdát, hogy senki se maradjon ki? A) 3. B) 4. C) 5. D) 6. 6. Kati tyúklépése 30 cm, Zoli arasza 16 cm. Az erdei iskolában felállított sátor hossza mindkettővel pontosan lemérhető. Milyen hosszú lehet a sátor? Minimum 24 m hosszú a sátor, mert [30; 16] = 240. Lehetne még 24 m bármely egész számú többszöröse, de persze csak reális határokon belül.

A gyerekek a 30 és 16 legkisebb közös többszörösét sokféleképpen keresik meg: – sorra veszik mindkét szám többszöröseit mindaddig, amíg a legkisebb közös többszörösig el nem jutnak, – 30 többszörösei közül kiválasztják azt, amelyik 16-nak is többszöröse. 7. Feldobunk két szabályos dobókockát, és a dobott számokat összeszorozzuk. Mi a legvalószínűbb, és mi a legkevésbé valószínű? 27 3 = a valószínűsége. 36 4 B) A szorzat 7 többszöröse. Nulla a valószínűsége. 6 1 C) A szorzat 10 többszöröse. = a valószínűsége. 36 6

A) A szorzat 2 többszöröse.

Célszerű feleleveníteni az 5. évfolyamon már használt megoldási módot. Az ábráról könnyen leolvasható a megoldás. X-szel jelöljük a táblázatban a feltételeknek megfelelő dobásokat. A) · 1 2 3 1 X 2 X X X 3 X 4 X X X 5 X 6 X X X Az A) esemény a

102

B) · 1 2 3 4 5 6 C) · 1 2 3 4 4 5 6 1 X X 1 2 X X X 2 3 X X 3 4 X X X 4 5 X X X X 5 6 X X X 6 legvalószínűbb, a B) esemény a legkevésbé valószínű, lehetetlen esemény.

5 6 X X X X

Számelmélet 8. A kikötőben 4 hajó horgonyoz. Egyszerre indulnak útnak. Az első hajó 2 hetenként, a második 4 hetenként, a harmadik 8 és a negyedik 12 hetenként tér vissza. Hány hét múlva találkozik újra legközelebb mind a négy hajó a kikötőben? 24 hét múlva, mert [2; 4; 8; 12] = 24.

9. Egy 3×3-as táblázat mezőibe 1-től 9-ig beírtuk a pozitív egész számokat, majd soronként és oszloponként összeszoroztuk azokat. Minden sor és oszlop végére odaírtuk a megfelelő szorzatokat. Találd ki a szorzatokból, milyen számok állnak a táblázat mezőiben!

5

1

3

15

7

4

6

168

2

8

9

144

70

32 162

10. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amely az első tíz pozitív egésznek többszöröse? A 2520 (2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7) az első tíz pozitív egész legkisebb pozitív közös többszöröse.

11. Egy iskolában 1000-nél kevesebb diák tanult. A millenniumi iskolai ünnepélyre készülődve a testnevelő tanár kiszámította, hogy ha a diákokat kettes, hármas, négyes, ötös, hatos, hetes vagy nyolcas sorokba sorakoztatná fel, az utolsó sorból mindig hiányozna egy gyerek. Az ünnepélyen a tanár úr is beállt a diákok közé, így minden sor teljes lett. Hány diák sorakozott fel az ünnepélyen? Az udvaron 839 gyerek sorakozott, mert [2; 3; 4; 5; 6; 7; 8] − 1 = 839.

11. A juhász a nyáját legeltette. Arra ment egy vándor, és megkérdezte tőle, hogy hány juha van. Ő így felelt: „Kevesebben vannak, mint 500. Ha kettesével, hármasával, négyesével, ötösével vagy hatosával ereszteném ki a juhokat az akolból, mindig bent maradna egy. Ha hetesével ereszteném ki a juhaimat, egy sem maradna bent.” Hány juha van a juhásznak? 301 juha van a juhásznak. A [2; 3; 4; 5; 6] = 60 és ennek 500-nál kisebb többszöröseit kell megnövelni 1-gyel: 61, 121, 181, 241, 301, 361, 421, 484. Ezek közül csak a 301 többszöröse a 7-nek.

Tudáspróba Tk.: 103. oldal 1. Testnevelésórán egy páros nyújtógyakorlat öt ütemét kell ismételgetniük a 6. osztályos gyerekeknek. Milyen lesz az 58. ütem? Add meg a betűjelét! D) A) B) C)

1.

2.

3.

4.

5.

A helyes válasz a D), mert az 58 öttel való osztási maradéka 3.

103

Számelmélet 2. a) Osztópárok segítségével sorold fel a 150 összes osztóját! Osztópárok: 1 · 150, 2 · 75, 3 · 50, 5 · 30, 6 · 25, 10 · 15. Osztók: 1 , 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150 .

b) Karikázd be az osztók közül a nem valódi osztókat! 3. Osztható-e? Készíts táblázatot a füzetedbe a minta alapján, és igennel vagy nemmel válaszolj! Ha nem osztható, írd oda a maradékot is!

2000 234 1675

2-vel

5-tel

10-zel

100-zal

3-mal

9-cel

i

i

i

i

n, 2

n, 2

i

n, 4

n, 4

n, 34

i

i

n, 1

i

n, 5

n, 75

n, 1

n, 1

4. Döntsd el, hogy igaz vagy hamis az állítás! A hamis állítások esetén véleményedet ellenpéldával igazold! a) Minden 9-cel osztható szám osztható 3-mal is. Igaz. b) Ha egy szám osztható 3-mal, akkor 9-cel is. Hamis, például 3. c) Ha egy szám osztható 10-zel, akkor osztható 2-vel és 5-tel is. Igaz. d) Ha egy kéttagú összeg osztható 10-zel, akkor mindkét tagja osztható 5-tel és 2-vel is. Hamis, például 3 + 7.

e) Ha egy szorzat osztható 10-zel, akkor legalább az egyik tényezője osztható 5-tel. Igaz. 5. Milyen számjegyet írhatunk a oldást keresd meg! a) 413 c) 5

helyébe, hogy a szám osztható legyen 3-mal? Az összes meg-

= 1, 4, 7

5

= 2, 5, 8

b) 1 d)

23

= 0, 3, 6, 9

27

= 3, 6, 9

6. a) Osztópárok segítségével keresd meg a 32 és a 48 összes osztóját!

A = {32 osztói} B = {48 osztói}

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 1 , 2 , 3, 4 , 6, 8 , 12, 16 , 24, 48

b) Másold le a füzetedbe a halmazábrát! Írd be a kapott osztókat a halmazábra megfelelő részébe! c) Melyik szám a 32 és a 48 legnagyobb közös osztója? 16 a két szám legnagyobb közös osztója.

A 32

B 1, 2, 4, 8, 16

3, 6, 12, 24, 48

(32; 48) = 16

d) Add meg a törtek legegyszerűbb alakját! 32 16 48 3 48 24 = = = 50 25 32 2 50 25

A = {32 osztói}

B = {48 osztói}

e) Határozd meg a 32 és a 48 legkisebb közös többszörösét! [32; 48] = 96 7. Petiék karácsonyi ajándékot gyűjtöttek a városuk kórházában fekvő beteg gyerekeknek. Összesen 96 kisautó, 120 tábla csoki és 168 darab mandarin gyűlt össze. Mindezt csomagokba szeretnék rakni úgy, hogy minden csomag egyforma legyen, és minden ajándék belekerüljön a csomagokba. 104

Számelmélet a) Legfeljebb hány csomagot tudnak így készíteni? Mi kerül bele ebben az esetben egy-egy ilyen csomagba? (96; 120; 168) = 24. 24 csomagot tudtak készíteni. 4 kisautó, 5 tábla csoki és 7 mandarin kerül bele egy-egy csomagba.

b) Lehet-e 20 egyforma csomagot készíteni? Lehet-e 12 egyforma csomagot készíteni? 20 egyforma csomagot nem, mert nem közös osztója a három számnak a 20. 12 egyforma csomagot lehet készíteni, mert közös osztója a három számnak.

c) Hány egyforma csomag lenne, ha egy-egy csomagba a következőket raknák a gyerekek? 16 kisautó, 20 tábla csoki, 28 mandarin 6 egyforma csomag lenne.

8. a) Két óra közül az egyiket 4 naponként, a másikat 16 naponként kell felhúzni. Hány naponként húzzák fel a két órát egyszerre? 16 nap múlva, mert a két szám legkisebb közös többszöröse a nagyobbik szám.

b) Két gőzkalapács közül az egyik 8 másodpercenként, a másik 12 másodpercenként koppant egyet. Milyen időközönként hallatszik a két koppantás egynek? 24 másodpercenként, mert a két szám legkisebb közös többszöröse a 24.

105

Műveletek törtekkel

Műveletek törtekkel 1. óra: A tört értelmezése 2–3. óra: Tört alakban írt szám tizedes tört alakja 4–5. óra: Törtek összeadása és kivonása 6–7. óra: Törttel való szorzás 8–10. óra: Tizedes törttel való szorzás 11. óra: Számok reciproka 12–13. óra: Osztás tört alakú számmal 14–15. óra: Osztás tizedes tört alakú számmal 16. óra: Mi a valószínűbb? 17. óra: Összefoglalás Heti 4 órában tanuló csoportok esetén a témakör feldolgozására 4 tanórával több áll rendelkezésre (ezek további gyakorlásra, tehetséggondozásra, projektek bemutatására, időközi számonkérésre fordíthatók). Mire építünk? 2 jelentheti azt, hogy 3 az egészet 3 egyenlő részre osztjuk, és 2 részt veszünk belőle, vagy jelentheti a 2 egésznek a3 2 =2:3 . egyenlő részre osztását). Azonosnak tekintettük a tört alakokat és a hányadost 3 Ismerik a gyerekek a negatív törteket is mint a pozitív törtek ellentettjét. Tudják, hogy egy törtnek több alakja is van: bővítés, egyszerűsítés, tizedes tört alak. Ötödik évfolyamon szándékosan külön fejezetben foglalkoztunk a tizedes tört alakú számokkal, hogy legyen idő a tört fogalmának érésére, és rövid ismétlés után és közben is a homályos részeket újra taníthassuk. A törtekkel műveleteket végeztünk: összeadtunk és kivontunk azonos nevezőjű törteket vagy olyanokat, amelyek könnyen azonos nevezőjűvé alakíthatóak. Pozitív egész számokkal szoroztunk és osztottunk törteket. Szöveges feladatokat oldottunk meg, táblázatokat és grafikonokat elemeztünk. Valószínűségi játékok relatív gyakoriságának meghatározásakor a tört fogalmát tovább mélyítettük. Hatodik évfolyamon a Számelmélet című témakörben megismerik a gyerekek az osztó fogalmát. A legnagyobb közös osztó meghatározása megkönnyíti a törtek egyszerűsítését, míg a legkisebb közös többszörös ismeretében a közös nevező megkeresése már taníthatóvá válik. Ötödik évfolyamon a gyerekek megismerték a tört kétféle értelmezését (a

Meddig jutunk el? Ebben az évben már egységesebb törtfogalmat használunk. A törteknek többféle arcát fejezzük ki: tört alakú, tizedes tört alakú és százalék alakú számokkal is dolgozunk még ebben a tanévben. Összeadás és kivonás esetén az eredeti törtek nevezői már kétjegyűek, de a közös nevező a legritkább esetben több 250-nél, hogy azt próbálkozással is meg tudják találni a gyerekek. Megtanuljuk a törttel való szorzást és a rész kiszámítását. A reciprok fogalmának elsajátítása után megtanulnak a gyerekek törttel osztani is. 106


A műveleti tulajdonságokat rendszeresen használjuk (gondoljunk a hányados változására tizedes tört alakú számmal való osztásnál). A zárójel szerepére, a műveletek sorrendjére ebben a fejezetben is nagy hangsúlyt fektettünk. Szöveges feladatokban lebontogatásos vagy rajzzal követett megoldás során alkalmazzuk a törtekről tanultakat. Grafikonokat értelmezünk, azokból következtetéseket vonunk le. Minimumkövetelmény • Tört alakú számok átírása tizedes tört alakú számokká. Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása (az egyik összeadandó tört alakú, a másik tizedes tört alakú is lehet). • Pozitív törtek szorzása és osztása. • Műveletek sorrendjének helyes alkalmazása, a zárójel szerepének ismerete. • Egyszerűbb, következtetésekkel megoldható szöveges feladatok megoldása. Mi lesz a folytatása 6. évfolyamon? • A százalékszámítás című fejezetben százaléklábat, -alapot és -értéket számolunk. • A törteket már tudják alkalmazni a tanulók geometriai tárgyú feladatok megoldásakor (pl. háromszögek kerületének, területének meghatározásakor). Mi lesz a folytatás 7. évfolyamon? • Negatív törtekkel szorzunk és osztunk. • Zsebszámológép használatával is elvégezzük a törtes feladatokat a nevező nagyságától függetlenül. • Kamatszámítási problémák.

1. óra: A tört értelmezése Tk.: 105–108. oldal, 1–21. feladat Javasolt eszközök: papírcsíkok és olló, almák és kés Minden új fogalom elsajátításához érlelési időre van szükség, így van ez a törteknél is. Ezenkívül ne lepődjünk meg, ha a gyerekek elfelejtették a törtekről tanultakat. Ebben a korban gyorsan felejtenek, de gyorsan felidézhetők ismereteik. Éppen ezért tudatosan használjuk az ötödikes 2 könyv ábráját a felírásakor, a bővítés és az egyszerűsítés felelevenítésekor. 3 Az elnevezések gyakoroltatására játsszunk kopogtatóst, azaz a kívánt feltételnek eleget tevő számokat kigondolják a gyerekek és koppintás után írhatják le! Például: 1. Írd fel azt a törtet a lehető legegyszerűbb alakban, amelynek nevezője 8, a számlálója 4 4 1 = ! 8 2

107


2. Írd le azt a törtet, amelynél az egészet felosztottuk 5 egyenlő részre és 3 ilyen részt vettünk 3 ! 5

5 20 3. Írd le 12 nevezőjű törtként azt a törtet, amelynél a számláló 5, a nevező pedig 3 = ! 3 12 4. Írd le azt a törtet, amelynek számlálója a legkisebb prímszám, nevezője pedig a legnagyobb 2 egyjegyű prím ! 7 5. Írd le azta törtet, amelynek számlálója 1 híján 20, a nevezője pedig a (−5) és a számláló 19 összege ! 14 A vegyes törteket célszerű maradékos osztással is felíratni, hasznos lehet majd a szöveges egyenletek felírásakor. Feladatok 1. Az ábrákon látható háromszögek mekkora részét színeztük ki, ha a háromszögek minden oldala egyenlő hosszúságú, és P , Q , R pontok felezik az oldalakat? a)

b)

c)

P

1 3

R Q

R

P

1 2

Q

1 3

2. Rajzolj a füzetedbe egy 5 cm hosszú szakaszt! 2 3 Színezd pirosra a szakasz részét! Mekkora részét nem színezted ki a szakasznak? részét. 5 5 3. Rajzolj a füzetedbe 3 egyforma téglalapot! Színezd ki a

3 részüket úgy, hogy minden ábra 4

másként legyen kiszínezve! Végtelen sok ötletes megoldást szoktak készíteni a gyerekek. Most csak néhányat rajzoltunk le:

4. Rajzold le a füzetedbe a területegységet, ha a lerajzolt téglalap területének értéke az alábbi: a)

ez

1 4

b)

ez

3 5

c)

ez

6 5

A 4. feladat hasznos a részből az egészre való következtetésre. 5. Írd fel az összes olyan törtet, melynek számlálója egyjegyű páros szám, nevezője pedig a 2, 3, 5 vagy 7 számok valamelyike! Számláló ∈ {2, 4, 6, 8}. Nevező ∈ {2, 3, 5, 7}. 108

Műveletek törtekkel 2 2 2 2 = 1, , , ; 2 3 5 7

8 8 8 8 = 4, , , . 2 3 5 7 4 6 a) Van köztük egész szám? A 16 tört között 5 egész szám van, és közülük kettő egyenlő. ( = = 2) 2 3

A keletkezett törtek:

4 4 4 4 = 2, , , ; 2 3 5 7

6 6 6 6 = 3, = 2, , ; 2 3 5 7

b) Van köztük olyan tört, amelyet átírhatsz vegyes törtté? Vegyes törtté átírhatók:

4 1 6 1 8 2 8 3 8 1 =1 , =1 , =2 , =1 , =1 . 3 3 5 5 3 3 5 5 7 7

6. Írd fel az összes olyan törtet, amelynek a számlálója az S = {0; 4; 5}, a nevezője pedig az N = {2; 3; 7} halmaz valamelyik eleme! Hány különböző törtet kaptál? Hasonló kombinatorikaifeladat, mint az előző volt, de a 0 számlálójú törtek értéke mindig 0, ezért csak a 4 4 5 5 5 0; 2; ; ; ; ; törtek különbözőek (7 darab). 3 7 2 3 7

7. Írd fel az összes olyan törtet, amelynek a számlálója az S = {2; 3; 7}, a nevezője pedig az N = {0; 4; 5} halmaz valamelyik eleme! Hány különböző törtet kaptál? Mivela tört nevezője nem lehet 0, így csak 2 különböző nevező van. A keresett törtek:

2 1 2 3 3 7 7 = ; , azaz 3 · 2 = 6 4 2 5 4 5 4 5

megoldás van.

a a és b pozitív egész számok. Írd fel az összes olyan törtet, amelyre teljesül, hogy a + b = 7 és b a a 1 2 3 < a) 1; = b 6 5 4 b a b) = 1; Nincs ilyen tört, hiszen a számlálónak és a nevezőnek egyenlőnek kell lennie, de így az összeb

8. Az

güknek páros számnak kellene lennie. Érdemes a gyerekekkel módosíttatni úgy a feladatot, hogy legyen megoldása. a a 6 5 4 c) > 1! = , keressünk kapcsolatot az a) feladattal! b 1 2 3 b

9. Írj fel tört alakban 5-5 olyan pozitív számot, hogy a) mindegyik kisebb legyen 1-nél; Végtelen sok megoldása van a feladatnak: a számláló < nevező szabályt a gyerekek meg szokták fogalmazni.

b) a számláló valódi osztója legyen a nevezőnek; Ezek az egyszerűsíthető törtek, végtelen sok van belőlük, például:

7 1 = , 14 2

30 2 = . 45 3

c) mindegyik nevezője 5 és 9 közé essen, és a tört átírható legyen vegyes törtté; A tört számlálója ebben az esetben nagyobb a nevezőjénél, ezért ismét végtelen sok megoldás van, például: 2 =1 , 7

8 1 9 =1 , = 7 7 7

:::

d) a törtet ne lehessen egyszerűsíteni; Végtelen sok ilyen törtet lehet felírni. A gyerekek is rájönnek bizonyos szabályokra, például: minden 1 számlálójú; ha a számláló és a nevező is prímszám, a tört nem 1 5 5 . egyszerűsíthető, például: ; ; 3 7 12 e) a törtet ne lehessen bővíteni! Nincs megoldása a feladatnak, hiszen minden tört végtelen sok törtté bővíthető.

A 8. és 9. feladatot a gyorsabban haladóknak javasoljuk. 109

Műveletek törtekkel 10. Írj fel mindegyik törthöz 3-3 olyan törtet, amely vele egyenlő! 3 5

4 6

6 7

11 9

20 6

Egyszerűsítésre és bővítésre is alkalmat ad a feladat.

11. Bővítsd a

2 törtet úgy, hogy 9

a) a számlálója 20 legyen;

20 90

b) a nevezője 20-nál kisebb legyen;

c) a nevezője kétjegyű szám legyen!

4 18

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 , , , , , , , , , 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99

12. Keress olyan törtet, amely nem egyszerűsíthető, és egyenlő a)

45 3 -dal; 4 60

b)

32 1 -dal! 4 128

13. Helyezd el halmazábrába a felsorolt törteket úgy, hogy az

5 4

A halmazba az -del egyenlőket, a

2 3

B halmazba pedig a -dal egyenlőket teszed! 15 12

A=

16 24

8 12

20 16

5 15 20 75 30 , = = = = 4 12 16 60 24

B=

6 9

75 60

10 12

40 60

20 24

50 60

10 15

30 24

8 6 40 10 2 16 . = = = = = 3 24 12 9 60 15

14. Másold le a feladatot a füzetedbe, majd írj számokat a keretbe, hogy az egyenlőség igaz legyen! a)

12 8 16 4 = = = 28 21 7 14

b)

15. Írd fel növekvő sorrendben a törteket! 3 4 2 5 5 4 3 2 5 5 a) − , − , , , − < − <<< 3 4 3 6 4 4 3 3 6 4 25 3 5 9 45 9 3 45 25 5 c) , , , , <= < = 15 5 3 45 75 45 5 75 15 3

625 5 = 5 : 8 = 10 : 16 = 15 : 24 = 8 1000

2 3 3 1 7 1 3 2 3 7 , , ,− , − < <<< 7 14 7 5 10 7 5 14 7 10

b)

16. Rendezd csökkenő sorrendbe a következő törtek ellentettjeit! Milyen szót kaptál a betűk összeolvasásakor? 3 3 3 4 2 0 S =− K= Á=− O = − M= Z = − 2 3 5 4 7 4 3 2

3 4

2 5

3 4

4 3

>>> 0> − > −

17. Milyen számot lehet az

A keresett szó: SZÁMOK

n helyébe írni, hogy az

n −3 2

tört értéke

a) nulla, n = 3, mert így lesz a tört számlálója és egyben a tört értéke is 0. b) természetes szám, A tört természetes szám lesz, ha nem negatív (n > 3), és a számlálója többszöröse a nevezőjének (a számláló páros szám). Így végtelen sok megoldást kapunk 1-nél nagyobb páratlan szám.

110

n ∈ {3 5 7 9 : : :} minden

Műveletek törtekkel c) pozitív egész legyen, Azonos a b) feladattal, csak n > 3. d) ne legyen egész szám? Ha a tört számlálója nem osztható 2-vel, akkor törtet kapunk eredményül, így az összes páros szám adja a megoldást a negatív egészek köréből is.

n ∈ {: : : −4 −2 0 2 4 : : :} 3

18. Számkártyákból kiraktuk a

a

alakú, tovább nem egyszerűsíthető törtet. Milyen számok

2 0 állhatnak az a helyén? A gyerekek próbálkozással is meg szokták találni a megoldást: a ∈ {1, 3, 7, 9}:

a alakú, 3-mal egyszerűsíthető törtet. 3 4 b Milyen számok állhatnak az a és a b helyén? Egy törtet akkor tudunk 3-mal egyszerűsíteni, ha a

19. Számkártyákból kiraktuk a

2 3

számlálója és a nevezője is többszöröse a 3-nak. Így a számlálóban

a = {1 4 7}, míg a nevezőben b = {2 5 8} lehet.

231 77 = . 345 115 A gyerekek próbálgatással is eljuthatnak a megoldáshoz. Egy konkrét számlálóhoz végig kell nézni az összes lehetséges nevezőt (10 db) és kiderül, hogy melyik esetben lehet 3-mal egyszerűsíteni.

Bármelyik

a értékhez bármelyik b értékét vehetjük, így 3 · 3 = 9 ilyen tört van, például:

20. Ezen a rajzon egy telek alaprajza látható 4 kúttal. Hogyan lehet a telket 4 ugyanakkora és ugyanolyan alakú részre osztani úgy, hogy mindegyiken egy-egy kút legyen?

21. Keresd meg az összes olyan

n természetes számot, amelynél a

7 , 2+n

n +8

,

5 törtek 11 − n

12 értéke a) egynél kisebb; A (pozitív nevezőjű) tört értéke 1-nél kisebb, ha a számláló kisebb a nevezőnél. 7 < 1, ha 7 < 2 + n . Innen n > 5, azaz végtelen sok ilyen tört van. 2+n n +8 < 1, ha n + 8 < 12. Innen n < 4, azaz n ∈ {0, 1, 2, 3}. 12 5 1, ha n < 6, akkor a tört értéke pozitív és 1-nél kisebb. < 11 − n

11, akkor a tört értéke negatív, így szükségképpen kisebb 1-nél, azaz végtelen ha n > sok ilyen tört van. b) vegyes törtté alakítható! Az a) feladat kiegészítő halmaza adja a megoldást. 7 5 n +8 > 1, ha n ∈ {0; 1; 2; 3; 4}; > 1, ha n > 4; > 1, ha n ∈ {7; 8; 9; 10}. 2+n 12 11 − n

A 17–21. feladatokat a gyakorlóórára javasoljuk a gyorsabban haladóknak. A lassabban haladókkal gyakoroltassuk a tananyagot a tankönyv példáival!

111

Műveletek törtekkel 2–3. óra: Tört alakban írt szám tizedes tört alakja Tk.: 109–112. oldal, 1–13. feladat Hatodik évfolyamon már a tört és tizedes tört alakú számokat együtt használjuk. Érdekes módon a tizedes törtekről tanultakat kevésbé szokták elfelejteni a gyerekek. A helyiérték-táblázat és az elnevezések átismétlése után a tört alakú számok átírása tizedes tört alakú számokká is jól szokott menni, még a végtelen szakaszos tizedes törtre is szoktak emlékezni. Az érdeklődőbb gyerekek néhány tört alakú szám átírása után maguk fogalmazzák meg a kitekintő részben leírtakat. Feladatok 1. Írd le tizedes tört alakban a táblázat számait!

100

10

1

3 4

2 0

4 2 3

1 10 5 0 1

1 1 100 1000 4 5

2

324,5 402,04 3,152

2. Az Akadémiai kislexikon ezt írja az asztaliteniszről: „Az asztalitenisz 1525 cm magas hálóval két egyenlő térfélre osztott 2743 cm hosszú, 1525 cm széles, 762 cm magas asztalnál, kéziütővel, celluloidlabdával játszott játék.” Add meg az asztal méreteit (a , b, m ) tovább nem egyszerűsíthető tört alakban!

a=

2743 , 10

b=

1525 305 = , 10 2

m=

762 381 = 10 5

Ismersz-e híres magyar asztaliteniszezőket? Bátorfi Csilla (1969–) öt olimpián vett részt, Európa bajnok; Klampár Tibor (1953–) 1988-ban olimpiai 4. hely; világ- és Európa-bajnok; Gergely Gábor (1953–); Jónyer István (1950–); Tóth Krisztina (1974–) világ- és Európa-bajnokok. 3. Add meg centiméterben a hosszúságokat! Például:

2 m 200 cm = = 50 cm 4 4 42 dm c) = 60 cm 7

1m 3m = 20 cm b) = 37 5 cm 5 8 1 km 7 dm 5 d) = 5000 cm e) = cm 3 20 42 A fentiek közül hány hosszúságérték van 3 dm és 10 dm között? A: 0 B: 1 C: 2 D: 3 E: mindegyik a)

4. Add meg cm2 -ben a területeket! Például:

2 m2 20 000 cm2 = = 4000 cm2 5 5

5 dm2 3 dm2 500 mm2 5 2 = 5 cm2 b) = 25 cm2 c) = cm 4 100 12 4 2 2 7m 4m d) = 7777 7˙ cm2 e) = 200 cm2 9 200 Az átváltás után a kapott mérőszámok tizedes tört alakjai közül a végtelen szakaszos tizedes törtek száma: A: 0; B: 1; C: 2; D: 3; E: mindegyik. a)

112

Műveletek törtekkel 5. Add meg km-ben a következő hat épület magasságát! Írd le századra, majd tizedre kerekítve is az eredményt! Kapsz-e a kerekítés után „azonos magasságú” épületeket? Készíts számegyenest a tizedre kerekített toronymagasságokról! Mit vettél észre? 1. Eiffel-torony (Párizs, 1889) 321 m = 0 321 km ≈ 0 32 km ≈ 0 3 km

828

2. Empire State Building (New York, 1931) 381 m = 0 381 km ≈ 0 38 km ≈ 0 4 km

634 553

3. Willis Tower (2003-ig Sears Tower) (Chicago, 1974) 442 m = 0 442 km ≈ 0 44 km ≈ 0 4 km

442 321

381

4. CN Tower (Toronto, 1975) 553 m = 0 553 km ≈ 0 55 km ≈ 0 6 km 5. Skytree (Tokió, 2013) 634 m = 0 634 km ≈ 0 63 km ≈ 0 6 km

1.

2.

3.

4.

5.

6.

6. Burdzs Kalifa (Dubaj, 2004) 828 m = 0 828 km ≈ 0 83 km ≈ 0 8 km Tizedekre való kerekítésnél a 2. és a 3., illetve a 4. és 5. épület azonos magasságú lesz.

Nézz utána a híres épületek építési érdekességének, különlegességeiknek! A tanulók tartsanak társaiknak beszámolót az internet segítségével felfedezett érdekességekről!

6. Add meg dkg-ban a tömegeket! 3 kg = 75 dkg 4 3 kg d) ≈ 42 86 dkg 7

a)

6 kg = 60 dkg 10 40 kg e) ≈ 363 6˙ 3˙ dkg 11

b)

c)

5 kg = 25 dkg 20

c)

80 dm3 =08 l 100

7. Add meg literben a térfogatokat! a) 47 dm3 = 4 7 l d)

120 cm3 = 0 06 l 2

3 m3 = 750 l 4 330 cm3 e) = 0 11 l 3

b)

8. A világ leghosszabb gyíkja egy 475 méteres pápuavaránusz. A nevét élőhelyéről, Pápua ÚjGuineáról kapta. Bár léteznek nála sokkal testesebb gyíkfélék, igen hosszú farkának köszönhetően nyerte el a „leghosszabb gyík” címet. A világ legrövidebb gyíkja 18 mm hosszú (törpegekkó a neve, és a Brit Virgin-szigeteken él). a) Írd fel mindkét gyík hosszát először mm-ben, majd cm-ben és m-ben! A varánusz hossza: 4750 mm = 475 cm = 4 75 m. A gekkó hossza: 18 mm = 1 8 cm = 0 018 m.

b) Először becsüld meg, majd számold ki, hogy mennyivel hosszabb, illetve hányszor hosszabb a varánusz a gekkónál! 4750 − 18 = 4732 mm ≈ 4 732 m-rel, illetve 4750 : 18 ≈ 264-szer hosszabb a varánusz a gekkónál.

A 9–13. feladatokat a gyakorlóórára javasoljuk.

113

Műveletek törtekkel 9. Állítsd nagyság szerinti sorrendbe a törteket, és tizedes tört alakba való átírással ellenőrizz! 3 2 7 3 7 3 2 3 a) , , , = 0 25 < = 0 2˙ 7˙ <= 0 6˙ <= 1 5 28 11 3 2 2 3 28 11 5 3 22 6 6 3 5 22 b) = 0 2˙ 7˙ <= 0 6 <= 1:6˙ < = 3 6˙ 22 5 3 6 3 5 6 22 10. Írd fel a törteket tizedes tört alakban! 1 2 3 4 ˙ ˙ ˙ 0 42857 ˙ ˙ 0 57142 ˙ ˙ 0 28571 a) , , , 0 14285 7, 4, 1, 8˙ 7 7 7 7 1 2 3 4 ˙ 0 2, ˙ 0 3, ˙ 0 4. ˙ b) , , , 0 1, 9 9 9 9 Milyen érdekességet vettél észre? Néhány észrevétel: – a 7 nevezőjű törtek ismétlődő szakasza 6 hosszúságú, – a 9 nevezőjű törtek ismétlődő szakasza 1 hosszúságú.

11. Rendezd növekvő sorrendbe a törteket! a) 03; 023; 032; 0320; 0032 0 032 < 0 23 < 03< 0 32 = 0 320 1 1 ˙ 04444 b) ; 04; 04; < 04< 0 4444 < 0 4˙ 4 4 1 1 ˙ 03333 c) ; 03; 03; 03< 0 3333 <= 0 3˙ 3 3 30 30 ; 1055; 150; 15˙ d) 15; 1 055 < 1 5 = 1 50 = < 1 5˙ 20 20 Ezeknél a feladatoknál mindig lehet rossz megoldásokra számítani. Például: 0032 > 023 rendszeresen előfordul – térjünk vissza a helyiérték-táblázathoz. 04444 = 04˙ rendszeresen előfordul – beszéljük meg a „végtelen” sok 4-es számjegy szerepét. 12. Melyik a 2000. tizedesjegy az

5 tizedes tört alakjában? 13

5 ˙ = 0 38461 5˙ vagyis 6 jegyű az ismétlődő szakasz hossza. 13 A 2000 számjegyből álló számban 333 ismétlődő szakasz van, és még a következő szakasz első két számjegyét lehet leírni. Így a 2000-edik tizedesjegy a 8-as.

13. Melyik szám a nagyobb:

1313 131313 vagy ? 1717 171717

Türelmesebb gyerekek elvégzik az osztást, és azonos eredményt kapnak. Ügyesebb gyerekek pedig észreveszik az egyszerűsítést: 1313 13 · 101 13 131313 13 · 10101 13 = = = = 1717 17 · 101 17 171717 17 · 10101 17

114

Műveletek törtekkel 4–5. óra: Törtek összeadása és kivonása Tk.: 112–117. oldal, 1–25. feladat Feladatok 1. Végezd el a kijelölt műveleteket! 11 3 17 1 2 3 + = b) 3 + = 3 5 8 4 8 5 5 3 4 17 8 119 17 d) + + + = = =17 7 5 70 35 70 10

11 5 1 − = 12 6 12 5 4 2 1 9 e) − + − = 10 6 5 3 5

a)

c)

2. Végezd el a kijelölt műveleteket! a) c) e) g) i)

3 9 1 35 − 36 + 27 + 10 3 7 = − + + = 60 5 12 5 20 6 3 3 − 26 = 1 d) 5 2 1 17 5 31 7 2 + 425 − 4 = − = =2 4 3 12 12 3 3 2 2 3 19 + 06 = + = 3 5 15 3 7 132 7 571 46 528 + 23˙ = 5 28 + = + = =7 3

25

3

75

1 5 3 1 43 31 − =1 +1 b) 2 + 1 − = 12 12 3 4 4 6 3 1 1 5 035 + + − = 0 35 + = 0 35 + 0 625 = 0 975 8 8 2 4 2 1 2 22 9 17 f) 1 − − 04 + = − = 15 10 30 3 5 4 2 2 2 4 1 h) + 06˙ = + = = 1 3 3 3 3 3

75

A h), illetve i) feladatokat csak a matematika iránt fogékonyabb tanulókkal oldassuk meg! Vegyük észre, hogy a végtelen szakaszos tizedes törteket át kell írni tört alakú számokká, mert egyébként nem tudunk velük számolni. 3. A szemüvegek erősségét dioptriában mérik. A rövidlátó szemüvegek (−) dioptriásak, míg a távollátók (+) dioptriásak. Elvileg a tökéletesen látók „ablaküveg”, azaz 0 dioptriás szemüveget viselhetnek. a) Zsófi szemüvege −225 dioptriás, Taráé pedig 075 dioptriás. Hány dioptria az eltérés a két kislány szemüvege között? A = 155 B = 15 C =3 D = 355 E = egyik sem A C megoldás a helyes, mert 0 75 − (−2 25) = 3.

b) Zsófi szemüvege −225 dioptriás volt, és lézeres szemműtéte után 15 dioptriát javult a szeme. Milyen szemüveget fog ezentúl viselni? A = 075 B = −075 C = 125 D = −125 E = egyiket sem A B megoldás a helyes, mert −2 25 + 1 5 = −0 75.

3 -et 4 a) két különböző pozitív szám összegeként;

4. Írd fel a

Végtelen sok megoldása van a feladatnak. Például:

1 1 + = 0 3 + 0 45 : : : 4 2

115

Műveletek törtekkel 3 3 + 8 8 3 3 3 3 + + + c) négy egyenlő pozitív szám összegeként; 16 16 16 16

b) két egyenlő pozitív szám összegeként;

d) két tizedes tört összegeként! Végtelen sok megoldása van a feladatnak. Például: 0 1 + 0 65 = 0 15 + 0 6: : :

5. Többet ésszel, mint erővel! Keress egyszerű megoldást! Szeretni szokták a gyerekek – csoportosítani és egyszerűsíteni kell. 5 9 2 93 1 5 93 2 9 1 a) + =2− =1 − + + + − 49 49 14 14 2 2 49 14 14 49 19 63 9 1 6 1 1 3 3 6 1 63 19 9 − + − + b) + = − + = + − − 12 36 36 144 144 2 2 8 8 12 36 144 144 36 5 2 8 175 − 126 + 360 409 − + = = 9 5 7 315 315 62 39 85 9 − +5= +5=7 19 38 38 38

555 222 888 − + 999 555 777 39 20 5 d) 3 − + 19 38 4 c)

6. Oldd meg az alábbi egyenleteket!

5 7 8 a) + − =a 6 8 9

62 b 4 b) − + =0 35 5 7

b

5 63 − 64 5 −1 60 − 1 59 + = + = = 6 72 6 72 72 72

A két kifejezés különbsége 0, így azok egymással egyenlőek:

62 4 b 62 − 20 − , azaz = = 5 5 35 7 5 35 55 77 c 7 5 7 c − − c) + =1 − + − 3 6 5 33 66 5 8 +

4 62 = 7 35

b

a=

=

42 6 = , tehát b = 6. 35 5 7 c 7 1 c 1 7 = 1, innen − = , azaz = + , 8 5 8 2 5 2 8

c=

55 . 8

A feladat b) és c) része nem könnyű. Eltehetjük a 9–10. gyakorlóórára, vagy csak a jobbaktól várjuk el a megoldást. 7. Mekkora a háromszög kerülete, ha oldalai 2

5 dm, 13 cm és 14 dm hosszúak? 12

Ügyeljünk az azonos mértékegységekre; ellenőrizzük, hogy az oldalakkal szerkeszthető háromszög! 5 a = 2 dm b = 1 3 dm c = 1 4 dm 12 29 13 7 145 + 78 + 84 307 7 K =a +b+c = + + = = =5 [dm] 12 10 5 60 60 60

8. Végezd el a füzetedben a kijelölt műveleteket! a) 305 b) 20812 c) 10843 121 − 5784 + 5759 + 453 150,28 166,02

d) 4213 −5842 − 16,29

19,68

9. Végezd el a kijelölt műveleteket! a) 458 + 1912 + 1046 = 128 3 b) 237 − 1243 = 11 27 c) (4205 + 715) − (361 − 843) = 49 2 − 27 67 = 21 53 116

Műveletek törtekkel 10. Hány dm drótra van szükség a téglatest élvázának elkészítéséhez? 1 a) a = 34 dm, b = 2 dm = 2 2 dm, c = 28 cm = 2 8 dm 5

c

É = 4 · (3 4 + 2 2 + 2 8) = 4 · 8 4 = 33 6 (dm)

b

a

5 1 19 25 43 43 b) a = 038 m = dm, b = m = dm, c = 14 cm = cm = dm 5 3 3 30 6 3 114 + 250 + 43 814 4 19 25 43 =4· + + = = 54 (dm) É=4· 5 3 30 30 15 15

11. Az 57 m mély folyóba függőlegesen bevert cölöpökön áll a horgászok stégje. A cölöp mélyen van a földben, és

4 m-re emelkedik ki a vízből. 5

4 5

4 m 3

m víz teteje

Milyen hosszú a cölöp? Érdemes lerajzolni a feladatot: 4 4 4 57 4 24 + 171 + 40 235 5 A cölöp hossza: + 5 7 + = + + = = = 7 (m). 5 3 5 10 3 30 30 6

57m

4 3

12. Oldd meg az alábbi egyenleteket! 3 4 5 7 7 = = a= b) b − 11 11 11 13 39 1 4 5 3 1 = c) c − 2 = 3 c=5 d) d + 5 15 30 54 27 3 4 1 4 4 13 40 − 39 = e) e + 07 + = e = −13= − = 3 3 10 30 30 5 3

a)

a−

víz alja m

b=

22 39

d=

1 54

1 5 f) 03˙ + f = 2 f = 2 − = 3

3

13. Keresd meg a nyitott mondatok megoldásait! 8 6 3 1 6 7 1 8 4 2 10 6 10 8 a) − +x = x= − = b) − x = + −x = , innen x = − = . 9 6 9 21 7 21 21 6 2 9 7 7 21 7

c)

x

5 3 − − + = 015 6 5

14. Mennyivel változik az

x

−7 − 30

= 0 15, innen

7 9 − 14 1 3 − = =− . 20 30 60 12

5 értéke, ha a számlálóhoz és a nevezőhöz is hozzáadunk 2-t, illetve ha 8

7 , illetve 10 5 25 7 28 3 5 1 <= = nőtt -del, míg >= 8 40 10 40 40 8 2

kivonunk belőlük 2-t? Az új tört

15. Gondoltam egy számot, kivontam belőle Visszafelé okoskodva a gondolt szám:

16. Melyik az a szám, amelyik 1 a) -del nagyobb; 2

x=

3 1 = lesz. 6 2 4 1 csökkent -dal. 8 8

4 7 -et, és -öt kaptam. Mire gondoltam? 7 15

7 4 49 + 60 109 + = = . 15 7 105 105

3 4 és összegénél 4 5

1 15 + 16 + 10 41 3 4 + = + = 4 5 2 20 20

117


b)

1 -del kisebb? 2

c) Mennyi az

1 15 + 16 − 10 21 3 4 − = + = 4 5 2 20 20

a és a b eredményének a különbsége?

17. Melyik az a szám, amelyik a 8 -del nagyobb, 15 8 b) -del kisebb? 15 c) Mennyi az a és a

a)

A két szám különbsége 1 (éppen

7 14 és különbségénél 5 6

84 − 35 + 16 65 13 8 14 7 − = = = + 5 6 15 30 30 6 84 − 35 − 16 33 11 8 14 7 − = = = − 5 6 15 30 30 10

b eredményének a különbsége?

A két szám különbsége:

65 33 32 16 8 − = = ; (éppen · 2). 30 30 30 15 15

3 5 18. a) Melyik számból vettük el a + -et, ha az eredmény − 4 16

gondolt szám

1 · 2). 2

3 5 3 5 -nál: -del több a − + − 4 16 4 16

=

lett? Visszafelé okoskodva a

7 . 16

b) Melyik számból vettük el a (−07)-et, ha az eredmény 03 lett? −0 4 az a szám, amelyik (−0 7)del „több” a 0 3-nél.

19. „Hány diákja volt Püthagorasznak, ha fele matézist tanult, negyede fizikát, hetede hallgatást, meg még van közöttük 3 kiskölyök?” 3 1 1 1 25 + + = -ad része a tanítványoknak tanult valamilyen tudományt, így a fennmaradó -ad rész a 3 2 4 7 28 28 kiskölyök. Tehát 28 tanítvány volt összesen.

Nézz utána, hogy mit köszönhet az utókor Püthagorasz (görög tudós, i. e. 582–496) tanítványainak! Püthagorasz tanítványaival megalapította a püthagoreus testvériségnek nevezett közösséget. Fő törekvésük a világ rendezettségének bizonyítása volt a számok segítségével, melyeknek misztikus jelentőséget tulajdonítottak. Kutatásaiknak köszönhetően értékes matematikai elvekre jöttek rá (például a háromszögszámokról és négyzetszámokról), ezáltal megalapozva a számelméletet. Az irracionális számok felfedezése is hozzájuk köthető, azonban ezeknek létezését igyekeztek eltitkolni, mivel ellentétben álltak azzal a rendezett világképpel, melynek bizonyítására törekedtek.

20. Egy háromszög két oldala 153 dm és 189 dm, kerülete 468 dm. Mekkora a harmadik oldal hossza? A háromszög kerülete: K = a + b + c. Beírva az adatokat: 46 8 = 15 3 + 18 8 + c, innen c = 12 6 dm. Ellenőrizzük, hogy a háromszög hosszúságból háromszög szerkeszthető!

2 2 része, a másikban a része, a többit a 3 5 markomban tartom.” Hány forintot tarthat Pista a markában?

21. Pista mesélte: „Egyik zsebemben van a pénzem

16 része egyenlő az összes pénzével, ha nincs pénze. Így biztos, 15 2 2 hogy Pista marka üres. Az állítása pedig igaz, mert a semmi (azaz nulla) része és része is nulla. 3 5 2 2 16 + = 3 5 15

> 1. Csak úgy lehet a pénze

22. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! a) 118

a

4 − 3

5

13 a 3

5

17 3

3 b) b − − 7

5 21

4 >b> − 21


c)

7 −c 5

5 154

21 −c 15

2 d) 3 − d 3

5 154 , innen c = 17 . 15

4 7 21

12 65 >77 − d > , innen d <. 21

21

2 23 7 23 −49 − 575 624 e) 028 + 3 + e > 0e> −0 28 − =− − = =− 7 25 7 175 175 7 5 12 29 29 29 f) |f | − < |f | < < f <. , innen − 34 34 34 17 34 1 23. Decemberig az egyik tankönyv részét dolgozták fel a gyerekek az iskolában. Ha még 40 3 oldalt megtanulnak, már csak 10 oldallal van több hátra, mint amennyit elvégeztek. Hány oldalas a tankönyv? Célszerű rajzzal követni a feladat szövegét. 1 2 3 rész 3 rész van hátra

2 1

rész + 40 oldal = rész − 10 oldal 3 3 40 oldal 1 Innen a könyv része 50 oldal, azaz a könyv 150 oldalas. 3 Ellenőrizzük a megoldásunkat a szöveg szerint! 1 A 150 oldalas könyv részét, azaz 50 oldalt tanultak meg decemberig. Ha még 40 oldalt megtanultak 3 volna, akkor a 90.-nél tartanának, amely éppen 10-zel kevesebb a hátralévő 100 oldalnál.

24. Egy horgász így dicsekedett a kifogott zsákmányról: „Csak a hal feje 30 cm volt. A farka olyan hosszú volt, mint a feje és a fél teste. A teste olyan hosszú volt, mint a feje és a farka együtt.” Milyen hosszú halat fogott a horgász? Érdemes rajzon követni a feladat szövegét. Fej

30 cm

Test

Farok + 30 cm

Farok

Test fele

30 cm

A hal testéről a következőt tudjuk: Test = (Test fele + 30 cm) + 30 cm Test = Test fele + 60 cm, azaz a hiányzó test fele 60 cm. A test = 120 cm. A hal hossza = 30 cm + 120 cm + 90 cm = 240 cm.

25. Mekkora az

a és a b pozitív egészek értéke, ha

3 5

7

9

5

16

<<<< ? a 4 b a +b

3a 7 35 < . Innen közös nevezőre hozás után <, azaz 3a < 35, amiből a 5 11. a 5a 5a 9 28 9a < <, azaz 28 < 9a , amiből a = 4. , hasonlóan a 4 4a 4a 9 5 9b 20 < . Innen 20, amiből b < 3. <, azaz 9b < 4 b 4b 4b Tehát b ∈ {1 2} lehet, és a ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. 5 5(a + b ) 16 16b < 16b < , innen , azaz 5a + 5b < b a +b b(a + b) b(a + b) 5a < 11b Mivel b maximális értéke 2, így 5a < 22, azaz a 5 4. Összevetve az a előzőleg kapott lehetséges értékeivel: a = 4. 3 5 7

119


Visszaírva az

5

16

< egyenlőtlenségbe b a+b

5 16 < nem megoldás, 1 4+1 5 16 – ha b = 2, akkor < jó megoldást ad. 2 4+2 Tehát a = 4 és b = 2. 3 7 9 5 16 Ellenőrzés: <<<<, valóban igaz az egyenlőtlenséglánc. 5 4 4 2 6 – ha

b = 1, akkor

A bővítést szolgáló nehéz feladat.

6–7. óra: Törttel való szorzás Tk.: 117–123. oldal, 1–23. feladat A törteket pozitív egész számokkal már 5. évfolyamon szoroztuk. A törttel való szorzás új értelmezését kétféle úton is célszerű megmutatni a gyerekeknek. Szoktassuk rá őket a művelet elvégzése előtt az egyszerűsítési lehetőség megkeresésére. Erre a „többet ésszel, mint erővel” felszólítással fel is hívjuk a tanulók figyelmét. Javasolt eszközök: színes korongok, melyeken a szorzás, illetve az osztás jele után számokat írunk fel (mágneses táblára felhelyezhetők vagy ragaszthatóak legyenek) Feladatok 1. A Földön az 1 kg tömegű tárgy súlya 10 N (N = newton; olvasd: nyúton). 1 A Holdon a tárgyak súlya -szorosa a Földön mért súlyuknak. 6 a) Pótold a füzetedben a hiányzó értékeket! Súly

Ember

Könyv

Káposzta

Földön mért

780 N

25 N 4

40 N

Holdon mért

130 N

25 N 24

20 N 3

Kalapács 10

2 N 7

12 N 7

b) Mennyi lenne a te súlyod, illetve a tömeged a Holdon? 2. Végezd el a kijelölt szorzásokat! 4 8 = 5 5 1 2 2 e) · = 3 5 15 2 63 3 i) · = 8 21 16

a) 2 ·

120

7 = 14 4 4 5 10 f) · = 3 2 3 5 72 2 j) · = 5 12 75

b) 8 ·

5 10 = 12 3 5 7 7 g) · = 3 10 6 17 155 5 k) · = 4 31 68 c) 8 ·

13 · 24 = 78 4 12 26 8 h) · = 13 27 9 12 65 39 l) · = 100 125 16 d)

Műveletek törtekkel 3. Végezd el a kijelölt szorzásokat! A kapott szorzatokat jelöld egy számegyenesen! 1 1 13 a) 4 · = 6 3 2

1 10 b) 1 · =4 5 3

1 4 2 c) 2 · = 3 2 15

4 1 9 ·2 = 5 4 5

d)

e)

7 1 49 ·3 = 18 9 2

4. Többet ésszel, mint erővel! Keress egyszerű megoldást! 2 3 2 d) 3

a)

3 2 4 · 5 ·

2 3 4 5 6 7 · · · · · =1 3 2 5 4 7 6 3 1 e) 1 · 5 = 9 4 7

·

3 1 1 · = 5 4 2

5. Melyik nagyobb, és mennyivel? 1 1 a) 1 · 2 2 3 1 3 b) 3 · 3 5 2 3 c) − · 5 4 d)

1 − · 2

8 3

3 1 5 1 · · = 5 2 3 2 9 11 f) 11 · 9 = 117 12 11

b)

=1

1 1 2 ·1 2 3 3 7 ·0· 4 5 3 −1 · 5 4

vagy vagy vagy

1 − · 2

vagy

c)

> > < >

3 7 7 21 · = = 2 3 2 6 10 3 · =2 3 5 −

8 3

2

3 6 =− 10 20

4 3

−

8 3

5 4 10 20 · = = 2 3 3 6

1 6

0

3 20

−

3 20

4 3

6. Írd le a füzetedbe a keretből hiányzó számot! a)

9 3 · 3 = 4 4

b)

6 2 · 1 = 3 9

c)

8 4 2 = · 3 5 15

7. Melyik számot osztottuk el Az osztás próbája a szorzás, vegyük észre az osztó és a hányados szerepének szimmetriáját!

a)

3 8 8 3 8 -del, ha a hányados lett; a = · = 3 5 5 5 3

8. Melyek egyenlőek a szorzatok közül

A 8 3 5 2

E

C 5 1

·

5 2 ·3 · ·3 8 3

8 3 3 8 8 -dal, ha a hányados lett? b = · = 5 3 5 3 5

5 2 · -dal? 8 3

B 5 2

·

b)

D 5 : 8 :3·2

·

3 8

F

3 4

5 2 ·3 · :3 8 3

G 5 8

· 06˙

B, C , D, F , G 9. Írd fel műveleti jelekkel, és azután számítsd is ki az értékét! 1 3 1 3 3 -nek a -e · = 2 4 2 4 8 3 1 3 1 3 c) -nek az -e · = 4 2 4 2 8 5 3 5 3 5 e) -nak a -e · = 6 2 6 2 4

a)

1 3 1 3 3 -nek a -szerese · = 2 4 8 2 4 3 1 3 1 3 d) -nek az -szerese · = 4 2 8 4 2 3 5 3 5 5 f) -nek az -szorosa · = 2 6 4 2 6 b)

121

Műveletek törtekkel 10. Keresd meg az egyenlő értékűeket!

A 2 3

D 1 4

-nek a

A=C =D

B 2

1 része 4

-nak az

1 4

C 2 1

E 2·4:3

F 2+1

3

2 része 3

+

· 3 4 3·4

1 = 6

11. Számítsd ki a következő szorzatot! 1 1 1 1 1 1 1+ · 1+ · 1+ · 1+ · 1+ · 1+ 5 6 7 8 9 10 Elvégezzük a zárójelekben álló műveleteket: 6 7 8 9 10 11 11 · · · · · = . 5 6 7 8 9 10 5 Lehet folytatni is a sort a gyerekekkel. Mindig meg lehet „jósolni” a szorzat értékét.

12. Játék Padtársaddal együtt vegyetek elő egy-egy csomag számkártyát, melyeken az egyjegyű számok vannak! Véletlenszerűen üssetek fel négy, a c) kérdésnél pedig öt számkártyát, és ügyesen helyezzétek el azokat úgy, hogy a legnagyobb, majd a legkisebb szorzatot kapjátok! Jegyezzétek fel a nyertes elrendezéseket! A játékot érdemes többször megismételni! Jó szórakozást! a)

·

, ha csak a páratlan számkártyákat használhatjátok.

b)

·

, ha bármelyik számkártyát felhasználhatjátok.

c)

·

, ha bármelyik számkártyát felhasználhatjátok. (Vegyes számot szorzunk tört

számmal.) 1 része oxigén. Hány m3 oxigén van abban az osztályteremben, amely5 2 nek hossza 12 m, szélessége a hosszának része, magassága pedig 3 m? 3

13. A levegőnek körülbelül

2 m = 8 m, 3 A terem térfogata: V = a · b · c = 12 · 8 · 3 = 288 m3 . 1 1 Az oxigén térfogata: V · = 288 · = 57 6 m3 . 5 5 Az osztályterem adatai:

a = 12 m, b = 12 ·

c = 3 m.

14. Körző, vonalzó és szögmérő segítségével rajzold meg azt a háromszöget, amelynek egyik oldala 2 5 cm, és ezen az oldalon fekvő szögei a derékszög részével, illetve a derékszög felével 3 2 egyenlőek! A háromszög szögei: 90◦ · = 60◦ , illetve 45◦ . Ügyeljünk, hogy a gyerekek készítsenek vázlatot a szerkesztés megkezdése előtt!

122

3

Műveletek törtekkel 15. Egy csövön óránként 22 hl víz folyik ki. Mennyi marad megtöltetlenül a 250 hl-es medencéből, 3 ha a csap folyamatosan üzemel 8 órán át? 4 B: 575 hl C: 486 hl A: 554 hl 1 D: a medence része E: egyik válasz sem helyes 4 A feladat megoldási terve: 250 − 22 · 8

3 = 250 − 192 5 = 57 5 hl a megtöltetlen rész. 4

16. Keress a koordináta-rendszerben olyan pontokat, amelyek koordinátái 20-nál kisebb természetes számok, és 3 a) a második jelzőszám az elsőnek -szerese, ezeket rajzold pirossal; 4 4 b) az első jelzőszám a másodiknak a -szorosa, ezeket rajzold kékkel! 3 3 x egyenesek pontjait kapjuk mindkét esetben. A feladat 4 a 8. évfolyamos tananyagban szereplő lineáris függvények előkészítésére is szolgál. Jelenleg elég, ha az összes pontpárt megtalálják a gyerekek, és észreveszik, hogy egyenesen helyezkednek el. A képezhető pontokat ábrázolva az y =

A lehetséges pontok: (0; 0) (4; 3) (8; 6) (12; 9) (16; 12)

17. Milyen messze lesz András Timitől, ha otthonról indulnak egy időben kerékpározni, mindketten 4 45 percet tekernek folyamatosan, és András 32 km-t tesz meg óránként, míg Timi ennek a 5 részét, továbbá a) azonos irányba, Timi sebessége 32 ·

4 128 = = 25 6 5 5

km . h

Ha azonos irányba mennek, akkor a sebességek különbsége miatt lesz közöttük távolság.

32 3 96 · = = 4 8 (km) 5 4 20

9 3 864 · = = 43 2 [km]. 5 4 20 3 3 Másik számolási lehetőség: Kiszámítjuk, hogy milyen messze jutnak óra alatt. András 32· = 24 km-t, 4 4 128 3 96 · = = 19 2 km-t tesz meg. Timi 5 4 5 Azonos irányban a köztük lévő távolság: 24 km − 19 2 km = 4 8 km.

b) ellenkező irányba haladnak? Ellenkező irányban a távolság 32 ·

Ellenkező irányban a köztük lévő távolság: 24 km + 19 2 km = 43 2 km.

18. Írd fel a sorozatok első öt tagját! Mennyi a legkisebb és a legnagyobb tag összege, illetve szorzata? A sorozatok képzése nagyon fontos része a matematikának, ezért ezt a feladatot lehetőleg ne hagyjuk ki.

a) A sorozat első tagja 8. Minden tag az előtte lévőnek 8; 6;

9 27 81 ; ; 2 8 32

8+

81 17 = 10 32 32

8·

3 -szerese. 4

81 81 = 32 4

123


b) A sorozat első tagja 5. Minden tag az előtte lévőnek 15 45 135 405 ; ; ; 2 4 8 16

5;

5+

c) A sorozat első tagja

405 5 = 30 16 16

5·

3 -szerese. 2

405 2025 9 = = 126 16 16 16

1 2 . Minden tag az előtte lévőnek − -szorosa. 2 3

1 2 4 8 1 ;− ; ;− ; 2 3 9 27 81

1 1 1 − + =− 3 2 6

−

1 1 1 · =− 3 2 6

19. Egy használtautó-kereskedő 850 E Ft-ért (850 000 Ft-ért) adott el egy autót. 1 Mennyiért vette ugyanezt az autót, ha a haszna az eladási ár része volt? 4 1 része, azaz 4

Az eladási ár 850 000 Ft, a haszna az eladási ár 850 000 ·

1 = 212 500 Ft. Így a vételár 637 500 Ft volt. 4

A 13–19. feladatokat a gyakorlóórára javasoljuk. 20. Egy város két iskolájába összesen 1240 tanuló jár. Az egyik iskola tanulói létszámának 3 részével. 4 Hány tanuló jár az egyik, és mennyi a másik iskolába? Kísérjük rajzzal a feladat szövegét:

4 5

része egyenlő a másik iskola tanulói létszámának első iskola

y

Az egyenlő létszámú csoportokba

második iskola

y

y y y tanuló tartozik. Így az első iskolába y + , míg a másodikba y + 4

tanuló jár.

3

31y = 1240, innen y = 480. 4 3 12 Az első iskolába 480 + 120 = 600, a másodikba 480 + 160 = 640 tanuló jár, ezek összege valóban 1240.

Tehát

y y y + + y + = 1240,

A Nyitott mondatok, egyenletek, egyenlőtlenségek témakör feldolgozásánál érdemes újra visszatérni a feladathoz. Ha az első iskolába x tanuló jár, akkor a másodikba (1240 − x ). A feladatot leíró egyenlet 4 3 x = (1240 − x ), innen x = 600. 5 4

21.

F

t4

Egy egységnyi oldalhosszúságú négyzet oldalait 2, 3, 4, illetve 5 egyenlő részre osztottuk, és összekötöttük a megjelölt osztópontokat. Hányad része az így nyert színes terület az eredeti négyzet területének? Elég meghatározni az ábrán megjelölt négy derékszögű háromszög

t3

H t1

N

t2

O

területét.

A keresett négyszög területe: T

124

1 2 1 = 2

1 3 1 1 1 3 t2 = · · = ; = ; 4 12 2 4 5 40 1 1 1 1 1 1 t3 t4 = · · = . · = ; 2 5 2 2 3 12 53 3 1 1 67 1 = 1−(t1 + t2 + t3 + t4 ) = 1− = 1− + + + = (egység). 12 40 5 12 120 120

t1 =

2 3 4 · 5 ·

·


22. Három vödröm van, mindhárom térfogata literben mérve egész szám. Az első vödör a legkisebb, ennek térfogata a másodikénak kétharmada, a harmadikénak háromnegyede. Mindhárom vödör tele van vízzel. Ha mindegyiket beleöntöm egy 30 literes tartályba, akkor a tartály még nem lesz tele. Hány liter víz fér még a tartályba? 3 4 x ; x (ez a felírás a nehéz része a feladatnak). Mivel mindegyik egész 2 3 többszöröse a 2-nek és a 3-nak is, azaz többszöröse a 6-nak.

Az egyes vödrök térfogata: x ; szám, így

x

x = 6, akkor 6 + 9 + 8 < 30, jó megoldás. Még 7 l víz fér a tartályba. Ha x = 12, akkor 12 + 18 + 16 > 30, már túlcsordult a tartály, tehát nincs több megoldása a feladatnak. Ha

3 23. Andris azt mondta Tominak: „Az én pénzem -éhez még 70 forintot kell adni, és akkor annyi 5 pénzem lesz, mint neked.” Tomi így válaszolt: „Neked csak 30 Ft-tal van több pénzed, mint nekem.” Mennyi pénzük van összesen a fiúknak? Talán a nyitott mondat felírása a legegyszerűbb. Célszerű András pénzét a -val. Tomiét t -vel jelölni: 3 3 a + 70 = t , viszont t = a − 30, tehát a + 70 = a − 30. Innen a = 250 és t = 220. 5 5 Összesen 470 Ft-ja van a fiúnak.

8–10. óra: Tizedes törttel való szorzás Tk.: 123–125. oldal, 1–13. feladat A törttel való szorzás megértése után a tizedes törttel való szorzás nem szokott gondot jelenteni a gyerekeknek. Sokan a törttel való szorzásra vezetik vissza, és úgy számolnak. Ne erőltessük a „szabály” szerinti szorzást, előbb-utóbb minden gyerek majd áttér rá! A törtes formátumú szorzásnak az az előnye, hogy nem feledkezik meg a gyerek a tizedesvessző beiktatásáról a szorzás elvégzése után. Feladatok 1. Végezd el a kijelölt szorzásokat! a) 5 · 03 = 1 5 b) 12 · 04 = 4 8 d) 03 · 02 = 0 06 e) 524 · 100 = 5240 g) 72 · 002 = 0 144 h) 34 · 08 = 2 72 2. Végezd el a kijelölt szorzásokat! a) 12 · 45 = 54 b) 12 · 45 = 5 4 d) 12 · 405 = 4 86

e) 538 · 126 = 677 88

c) 24 · 01 = 0 24 f) 524 · 0001 = 0 0524

c) 12 · 045 = 0 54 3 f) 1 · 06 = 0 96 5

2 2 8 3 9 14 9 g) 2 · 15 = · = 4 h) 1 · 14 = · = =18 3 2 7 10 5 3 7 Melyik szorzás eredménye „kakukktojás”, azaz egész szám? Az a) és a g) szorzásé. 125

Műveletek törtekkel 3. Számítsd ki fejben a) 300 · 15; 300-nak a másfélszeresét; 300 felének a háromszorosát; 300-nak a b) 12-nek a 03-szeresét; 12-nek a rosának a tizedrészét! 3 6

3 részét! 450 2

3 részét; 12 tizedrészének a háromszorosát; 12 háromszo10

4. Édesanya a piacon szeret vásárolni, mert ott maga válogathatja ki azt, amit venni szeretne. a) Mennyit fizetett 24 kg almáért? (2 4 · 240) Ft = 576 Ft.

b) Leveszöldséget is válogatott, és a mérleg azt mutatta, hogy a sárgarépa 78 dkg, a fehérrépa 37 dkg, míg a zeller negyed kg volt. Mennyit fizetett a zöldségekért, ha egy karalábét is választott? [(0 78 · 180 + 0 37 · 460 + 0 25 · 520) + 150] Ft = = 590 6 Ft ≈ 590 Ft.

c) 2000 Ft-tal fizetett, mennyi pénzt kapott vissza? (2000 − 576 − 590) Ft = 834 Ft-ot kellett volna visszakapjon, ám a kerekítés miatt 835 Ft-ot kapott vissza.

5. Végezd el a kijelölt műveleteket, majd rendezd növekvő sorrendbe az eredményeknek megfelelő betűket! Milyen szót kaptál?

O

1 3 5 3 3 = + · 03 = · = = 0 375 4 10 8 2 4

1 2

3 4

Z = + · 03 = 12 + 0 225 = 0 725

1 1 1 7 12 7 T = + 025 · 24 = 3 + 4 · 12 = · = =14 5 12 5 5 3 1 A = + 025 · 24 = 13 + 0 6 = 13 + 53 = 14 15 3 1 5 1 1 Sz = 0375 · 025 + = 0 375 · 4 + 6 = 0 375 · 12 = 0 15 625 6 R = 02 + 002 · 10 + 03 · 06 = 0 2 + 0 2 + 0 18 = 0 58

A válasz: SZORZAT

6. Egy téglalap alakú szoba hossza 68 m, szélessége 37 m. A szoba Hány m2 -es ez a szőnyeg? 6 8 · 3 7 ·

3 3 = 25 16 · = 15 096 5 5

3 részét szőnyeg borítja. 5

A szőnyeg ≈ 15 m2 -es.

2 része angolt tanul első idegen nyelvként, közülük a haladó 3 angolcsoportba a gyerekek 04-szeresét lehetett besorolni. Hány kezdő és hány haladó csoportot kell szervezni, ha a csoportok létszáma 15–20 fő?

7. Egy iskola 1215 tanulójának

2 = 810 tanuló, közülük haladó szinten van 810 · 0 4 = 324 tanuló. Így minimum 17, 3 maximum 21 csoportot kell szervezni. Angolul tanul 1215 ·

Kezdő angolos 810 − 324 = 486. Őket 15–20 fős csoportokba sorolva a csoportok száma 25 és 33 között van.

126

Műveletek törtekkel 8. Melyik az a szám, amelyet 2342-dal osztva a hányados 205? A keresett szám 20 5 · 23 42 = 480 11. Kombinatorikai feladat, csak a jobbak töltsék vele az idejüket – nekik viszont megéri. 9. Válassz szorzandót és szorzót a halmazábra megfelelő halmazaiból! szorzandó

szorzó 116 00116

5 5 4

4 5

0

1

5 4

08

1 2

2

0

1

a) Hányféle szorzatot lehet felírni? Bármelyik szorzandót bármelyik szorzóval szorozhatjuk, így 5 · 8 = 40 szorzat képezhető. Érdemes megnézni, hogy a kapott szorzatok között hány azonos lesz! 12-szer lesz a szorzat értéke 0 (8 + 4 esetben); 4 5 5 5 5 5 3-szor 1 az eredmény (1 · 1; · ; · 0 8); 2-szer kapunk -et (1 · ; · 1). 5 4 4 4 4 4 Tehát 26 különböző szorzat van a 40-ből.

b) Hányféle esetben lesz a szorzat kisebb a szorzandónál? A szorzat kisebb a szorzandónál, ha a szorzó kisebb 1-nél. Ez akkor lehet, ha 0-val; 0 0116-del szorozzuk az 1,

4 5 , , 5 számok valamelyikét. 4 · 4 = 16 esetet kaptunk. 5 4

1 -del; 0 8-del vagy 2

c) Hányféle esetben lesz a szorzat 0? A szorzat 0, ha valamelyik tényezője 0. 1 5 4 Így 0-t szorozhatjuk a 0; 1; 2; ; ; 0 8; 1 16; 0 0116 számok bármelyikével (8 eset) vagy az 1; ; 2 4 5 5 ; 5 számokat szorozzuk 0-val (4 eset), összesen 12 eset. 4

1 km óra; 20 perc; 24 óra alatt, ha az átlagsebessége 645 ? 2 óra A világ leggyorsabb klasszikus értelemben vett (nem mágneses) vonatának sikeres rekordkísérkm letét a francia TGV hajtotta végre 2007-ben, ahol a végsebesség 5748 volt. óra Milyen távolságra juthatna ez a vonat a fenti időtartamok alatt?

10. Milyen messzire jut egy vonat

1 óra 64 5 km

1 óra 2 32 25 km

1 óra 3 21 5 km

2 4 óra 154 8 km

574 8 km; 287 4 km; 191 6 km; 1379 52 km

Nézz utána, mit jelent a „mágneses vonat” kifejezés, és hol üzemeltetnek ilyen vonatokat! Először az 1970-es évek elején próbálkoztak azzal, hogy a gyorsabb mozdonyok mellett a teljes járművet és a pályatestet is modernizálják. Ekkor született a mágneses függővasút terve. Az ilyen vasútnak nincsenek kerekei, mivel az elektromágneses erők felhasználásával mozog. A pályatesten és a vonaton is erős mágnesek vannak, amelyek kölcsönösen taszítják egymást, és így lebegtetik a járművet. A vonat tehát nem érinti a pályatestet. Beindításához áramot vezetnek végig a pályatesten, amely vándorló mágneses mezőt hoz létre. Ez végigfut a pálya teljes hosszán, maga után húzza a pálya talaján lévő mágnest és így előrelendül. A mágneses lebegtetésű vasút „motorja” tehát a jármű alatti pályatestben van, a vonatnak értelemszerűen nincs saját

127

Műveletek törtekkel km h sebességet is elérheti. A mágneses vasútnak saját pályát kell építeni, hiszen a meglévő vasúti sínek nem felelnek meg erre a célra. Emiatt a mágneses lebegtetésű vasút nagyon drága. (Forrás: Mi micsoda sorozat 68. kötet, A vasút, Tessloff Babilon, 2011) hajtóműve. A mágneses függővasút a francia nagysebességű vonathoz, a TGV-hez hasonlóan akár az 500

11. Számold ki a 6132 12. Számítsd ki a

3 613 2 · 3 3 3 4 = = 183 96. részének a 04-szeresét! 613 2 · · 0 4 = 613 2 · · 4 4 10 10 4

01 + 02 + 03 + 04 + 05 + 06 + 07 + 08 tört értékét! 001 + 002 + 003 + 004 + 005 + 006 + 007 + 008

Vegyük észre, hogy a számlálóban szereplő összes számnak éppen a tizedrésze szerepel a nevezőben. A számlálónak és a nevezőnek is a tízszeresét véve a tört értéke nem változik: 10 · (0 1 + 0 2 + : : : + 0 8) = 10. 0 1+0 2+ :::+0 8

13. Kenyérsütéskor a liszt tömege 06 részének megfelelő víz szükséges. Sütéskor a kenyértészta 3 tömegének részét veszti el. Hány kg kenyeret lehet sütni 2 tonna lisztből? 25 Hány darab 75 dkg-os kenyér készülhet ebből a mennyiségből? 2000 kg liszthez 2000 · 0 6 = 1200 kg víz kell. A kenyértészta tömege 3200 kg, amelynek sütés után

22 25

3 22 részét). A kenyér tömege 3200 kg · = 2816 kg, amelyből 3754 darab 25 25 75 dkg-os kenyér készül (281 600 : 75).

része lesz kenyér (elveszíti a

11. óra: Számok reciproka Tk.: 126–127. oldal, 1–5. feladat A törttel való osztást készíti elő ez az óra. A reciprok fogalma nem nehéz, arra ügyeljünk, hogy a vegyes törteket mindig írják át a tanulók tört alakú számokká, mielőtt a reciprokukat képeznék! Szintén hibaforrás szokott lenni, hogy összeg reciprokát is tagonként veszik a gyerekek. Feladatok 1. Keresd meg a számok reciprokát! 1 7 7 1 3 =1 3 4

1 3

b = −2 − 12

c=

d=

e=−

3 8 − 8 3

f = 02 5

g

h = −201 − 100 201

2. Oldd meg az alábbi egyenleteket! 2 3 a) · a = 1 a = 2 3 d) 03 · d = 1 d 128

8 5 5 8

a=3

10 = 3

b) 4 · b = 1 b

e)

1 = 4

4 7 − ·e =1 e =3 5 15

c)

3 4 − ·c =1 c=− 3 4

Műveletek törtekkel 3. Keresd meg az összes olyan számot, amely megegyezik a reciprokával! Ábrázold koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyek jelzőszámait az általad talált számok alkotják! Hány pontot kaptál? 1 és (−1). Négy ilyen pont van:

A(1; 1), B (1; −1), C (−1; 1), D (−1; −1).

4. Gondoltam egy számra. Megszoroztam visszakapjam az eredeti számot?

5 3

5. Milyen számot írhatsz a keretbe, illetve

3 -del. Mivel szorozzam meg a kapott szorzatot, hogy 5

a és b helyére? (A számokat a füzetedbe írd le!)

2 5 = 32 · 5 2 c) 23 · a · b = 23 a és b egymás reciprokai.

a) 32 ·

5 9 = 45 · 9 5 d) −12 · a · b = 12 a és b egymás negatív reciprokai.

b) 45 ·

12–13. óra: Osztás tört alakú számmal Tk.: 127–129. oldal, 1–10. feladat Ne sajnáljuk az időt attól, hogy a gyerekek megértsék, mit is jelent törttel osztani! Eddigi tanulmányaikban, ha természetes számmal osztottak, a hányados kisebb lett, mint az osztandó volt. Az 1-nél kisebb pozitív törttel való osztáskor a hányados lesz a nagyobb – ez zavarni szokta a gyerekeket. Ezért célszerű az 1. példa szemléletes bennfoglaló osztásával kezdeni az osztás tanítását, és csak ezután a szorzás inverz műveleteként kezelni, amelyből a reciprokkal való szorzás szabályát a gyerekek maguk is szépen meg tudják fogalmazni. Ne a szabály megtanulására törekedjünk, hanem a felfedeztető megértésre! Ha csak a szabályt tanulja meg a gyerek, akkor egy-két hónap múlva képes az osztandó reciprokával szorozni. A kevésbé jó matematikus gyerekek gyakran közös nevezőre hozás után a törtek számlálóit osztják el egymással. Ne erőltessük rájuk a gyorsabb módszert – az ő megoldásuk is jó eljárás, az angolszász országokban ezt így is tanítják. Feladatok 1. Végezd el a kijelölt műveleteket! a) 3 :

1 =9 3

2. Számítsd ki! 5 3 5 a) : = 4 4 3 4 2 d) : = 2 5 5

b)

1 1 :3= 9 3

c) 2 :

2 =3 3

1 1 7 : = 2 7 2 4 7 8 e) : = 5 10 7

b)

d)

2 1 :2= 3 3

e) 5 :

6 25 = 5 6

f)

6 6 :5= 25 5

2 1 4 : = 9 2 9 21 15 14 f) : = 5 2 4

c)

129

Műveletek törtekkel 3. Végezd el az osztásokat! 1 1 a) 5 : 7 2 2 1 2 c) 3 : 7 8 9

11 2 25 8

9 2 :1 20 5 1 5 d) 3 : 2 7 14

2 11 = 15 15 9 45 · = 65 104 ·

b) 2

4. Végezd el a kijelölt műveleteket!

7 4 2 − a) : 3 3 5

c)

49 20 22 7

4 4 2 − b) : 5 5 3

7 14 5 : = 3 15 2

1 22 22 22 15 3 24 − : 22: = · = 15 10 22 2 5 15

d) 24 −

5 7 = 7 4 14 4 · = 33 3

·

4 2 : =6 5 15

1 22 12 3 249 : − = 5 15 5 22 110

5. Keresd a párját!

A 1 1 3

:

A=F =

B 15

C 1 1

2 2 3

2

B =C =

3 2

D =E =

:

3

D 1

E 1

6

3

-nak az

1 része 2

F 2 3

1 6

6. Számítsd ki az emeletes törtek értékét! 1 1 1 3 1 a) 15 = b) = c) = 15 45 15 5 3 3 1 1 1 1 2 +1 3 4 4 7 = 95 · 6 = 57 2 = · =2 d) e) 3 2 1 2 3 28 25 70 1 +2 4 3 2

9 14 5 2

=

9 2 9 · = 14 5 35

Az emeletes tört csak egy kijelölt osztást jelent, ennek ellenére kevésbé jó csoportokban nyugodtan kihagyhatjuk a 6. feladatot. 7. Figyelj a műveletek elvégzésének sorrendjére, és számold ki a műveletek eredményét! 1 1 1 1 1 2 1 1 11 a) 17 + : 1 17 + · = 17 + = 17 5 6 30 5 4 2 5 4 3 7 4 3 7 4 10 7 8 31 b) + : + · = + = 9 5 10 9 5 3 9 3 9 1 7 1 1 1 7 7 1 6 7 3 : · = · · = c) : · + 2 6 2 5 2 6 10 2 7 10 10

5 1 3 d) 4 : 2 + 1 7 2 5

33 : 7

5 8 + 2 5

=

33 10 330 · = 7 41 287

8. Melyik az a legnagyobb szám, amelyet az 1 : 2 : 3 : 4 osztásnál a zárójelek beillesztése után elő tudsz állítani? Ha az 1-et a lehető legkisebb számmal osztjuk, akkor lesz a hányados a legnagyobb. 1 : (2 : 3 : 4) = 1 :

130

2 =6 12


9. Határozd meg a következő, úgynevezett lánctörtek értékét! 1

a)

1+

1 2

=

1 2 = 3 3 2

1

b)

1

1+

10. Mennyi a tört értéke?

1 1+ 2

=

1 1 3 = = 5 5 1+a 3

1

c)

1

1+

1 1 5 = = 1+b 8 8 5

=

1

1+

1+

1 2

2

2 1 1 2 3 3 2 3 2 3 16 2 2 + : 1 − + : + · + 3 8 4 2 4 3 3 8 4 3 8 9 = = 3 3 = · =4 = 25 25 5 5 1 4 1 1 3 1 2 3 1 1 : − · − − :1 − + 24 4 2 24 5 2 6 2 3 8 4 2


14–15. óra: Osztás tizedes tört alakú számmal Tk.: 130–134. oldal, 1–20. feladat A tizedes tört alakú számokkal való osztás nem teljesen új művelet a gyerekek számára, hiszen mértékegység-átváltásos feladatoknál számtalanszor alkalmazták. (Például: Egy téglalap területe 24 dm2 , és az egyik oldala 08 dm hosszú. Mekkora a téglalap kerülete? Centiméterrel dolgozva könnyen megoldható feladat.) Mivel a tizedes tört alakú számokkal való szorzást így vezettük be, nem akartuk megismételni ugyanazt a gondolatmenetet. Természetesen kevésbé erős osztálynál alkalmazható ismét ez a bevezetés is. A bevezető 1. példánál fokozatosan osztunk egésszel, tizeddel, századdal és ezreddel, és megtapasztaljuk, hogy teljesen azonos eljárást kell alkalmazni. A kijelölt osztások elvégzése előtt a hányadost célszerű először becsléssel meghatározni (jövőre már zsebszámológéppel is elvégezhetik a gyerekek az osztást, s egy-egy nyomógomb észrevétlen félreütése miatt a leglehetetlenebb eredményeket is képesek elfogadni becslés nélkül). Feladatok 1. Hányszorosára nőtt a párizsi olimpiához képest a részt vevő országok, a sportolók, a sportágak száma 2012-re? Az országok száma: 205 : 21 ≈ 9 76; a sportolók száma: 11 060 : 1077 ≈ 10 23; a sportágak száma: 32 : 14 ≈ 2 29-szeresére nőtt.

OLIMPIAI JÁTÉKOK 1900 Párizs Részt vevő országok Sportolók Sportágak száma

2012 London

21

205

1077

11 060

14

32

Nézz utána, hogy melyik országban rendeztek legtöbbször nyári olimpiai játékokat, és mely években voltak ezek! Angliában, Londonban háromszor rendeztek nyári olimpiát: 1908-ban, 1948-ban és 2012-ben. Két olimpia volt: Athénban: 1896, 2004; Berlinben: 1916, 1936; Párizsban: 1900, 1924.

2. A lehető legkevesebb számolással dolgozz! a) 06 : 2 = 0 3 b) 06 : 02 = 3 e) 3348 : 62 = 5 4 f) 3348 : 62 = 5 4

c) 12 : 6 = 0 2 g) 3348 : 062 = 5 4

d) 12 : 012 = 10 h) 03348 : 0062 = 5 4 131

Műveletek törtekkel 3. Ügyesen számolj! a) 420 : 35 = 12

b) 42 : 35 = 12

c) 420 : 35 = 120

4. Végezd el a kijelölt osztásokat! a) 26523 : 63 = 42 1 b) 8874 : 017 = 52 2

d) 42 : 35 = 1 2

c) 14238 : 126 = 11 3

5. Oldd meg az egyenleteket! 3 21 7 x= b) 08 · x = 104 x = 1 3 c) 602 · x = 18361 x = 3 05 ·x = 3 4 12 1 1 5 d) x · 2 = 3 x = e) −17 · x = 2108 x = −12 4 f) 48 : x = 96 x = 0 05 4 2 8 6. Keresd meg az egyenlőtlenségek megoldásait, és ábrázold azokat számegyenesen! a) x · 32 < 1248 x < 39 b) x · 58 > 1276 x > 22 c) 03 · x − 1 5 3216 x 5 14 053˙ a)

7. 12 éves korodra mennyivel nőtt és hányszorosára nőtt meg a születési tömeged? 8. Az Egyenlítő hossza körülbelül 40 000 km. Hány lépéssel lehetne körbejárni, ha egy lépés kb. 80 cm hosszú? Feltételezve, hogy egyenletes ütemben sétálunk, és 1 másodperc alatt 1 lépést teszünk meg, akkor hány óra, nap, illetve év alatt lehetne végigmenni az Egyenlítőn? (Ez a valóságban természetesen nem kivitelezhető séta.) Az órát egész, a napot tized, az évet század pontossággal számold! A feladat eredménye igen izgalmas, ezért érdemes megoldani az órán. Természetesen először mindenki írja fel a füzetébe a becslését az egyes kérdésekre. Lépések száma: 40 000 km : 80 cm = 40 000 000 m : 0 8 m = 50 000 000 Szükséges idő: 50 000 000 másodperc : 3600 = 13 889 óra 13 889 óra : 24 = 578 7 nap 578 7 nap : 365 = 1 59 év (ekkor pihenés nélkül gyalogolnánk)

9. Tudod-e? Szeretni szokták a gyerekek az ilyen típusú feladatokat, ezért nem érdemes kihagyni! a) Az emberi test egyik „legértékesebb” területének a szemben található úgynevezett sárgafoltot, az éles látás területét tartják. Ez mindössze 5 mm2 . A szaglásért felelős terület nagysága 5 cm2 . Hányszor nagyobb ez a terület? 5 cm2 : 5 mm2 = 500 mm2 : 5 mm2 = 100-szor nagyobb a szaglási testfelületünk a látásinál.

b) Az ember bélrendszerének hossza 75 m, míg a növényevő juhnak 24 m. Hányszor hosszabb és mennyivel hosszabb a juh bélrendszere az emberénél, és vajon miért? 24 : 7 5 = 3 2-szer hosszabb, illetve 24−7 5 = 16 5 m-rel hosszabb a juh bélrendszere. Az emberek vegyes táplálkozásúak, míg a juhok csak növényevők. A növényekben lévő cellulóz lebontását, felszívódását segíti a hosszabb tápcsatorna.

c) Az emberi bélrendszernek megfelelő hosszúságú és szélességű henger felülete 033 m2 . A bél belső felületén található bolyhocskák ezt a felületet megnövelik 200 m2 -re. Hányszorosára nőtt a bélcsatorna felülete a táplálék felszívhatósága érdekében? 200 : 0 33 ≈ 606

132

Műveletek törtekkel 10. Padtársaddal tanulmányozzátok a magyarországi vízfogyasztásról készült grafikont, és beszélgessetek a látottakról! a) Hány m3 -rel csökkent az egy lakosra jutó vízfogyasztás 1990-től 2010-re? Hányszor több vizet fogyasztottunk 1990-ben, mint 2010-ben? 55 8 − 34 1 = 21 7 m3 a csökkenés, ami 55 8 : 34 1 ≈ 1 64-szoros csökkenés.

b) Milyen változást olvastok le 1991 és 2001 között? Hányad részére csökkent a vízfogyasztás ez alatt a tíz év alatt? Lényegében csökkent a vízfogyasztás. 36 6 : 49 4 ≈ 0 74-ed részére csökkent. c) Hány m3 vizet fogyasztott a családotok a grafikon adatai szerint 2010-ben, ha feltételezzük, hogy átlagos vízfogyasztók vagytok? Mennyit kellett fizetni ezért, ha csatornázási díjjal együtt 1 m3 vízért a ti helységetekben a vízművek 715 Ft-ot számol fel? d) Tegyetek fel felváltva hasonló kérdéseket egymásnak, és válaszoljátok meg azokat! Vízfogyasztás Magyarországon Egy lakosra jutó évi vízfogyasztás, m3 60

55 8 49 4

50

51 5

43 0 45 8

40

38 4

38 0

36 7

40 8 37 0

36 8

39 0

36 6

36 0

30

37 5

36 8

36 0

37 4

36 8

34 1

35 9

34 1

20

2011

2010

2009

2008

2007

2006

2005

2004

2003

2002

2001

2000

1999

1998

1997

1996

1995

1994

1993

1992

1991

0

1990

10

Forrás: piackutatas.blogspot.hu

11. Egy téglalap területe 5904 cm2 . Egyik oldala 48 cm hosszú. Mekkora a téglalap kerülete? Az eredményt add meg dm-ben és m-ben is!

b = 59 04 : 4 8 = 12 3 cm

K = 2 · (a + b) = 34 2 cm = 3 42 dm = 0 342 m 3 12. Egy szoba tapétázásához m szélességű tapétából 50 m szükséges. 4 Hány méter tapétát kell vásárolni, ha csak 12 m szélességűt lehet kapni?

3 · 50 : 1 2 = 31 25 m tapétát elég venni a szélesebből. 4

13. Egy kifejlett kuvasz 52 kg, míg egy kifejlett tacskó mindössze 35 kg tömegű. Hányszor nehezebb a kuvasz a tacskónál? Mennyivel nehezebb a kuvasz a tacskónál? 52 : 3 5 = 14 86, azaz kb. 15-ször nehezebb a kuvasz a tacskónál. 52 − 3 5 = 48 5 kg-mal nehezebb.

14. Egy angol mérföld 16 km. Hány km-es volt a 12 mérföldes kirándulás? Hány mérföld a 12 km-es gyalogtúra? 12 · 1 6 = 19 2 (km); 12 : 1 6 = 7 5 (mérföld); 12 mérföld = 19 2 km; 12 km = 7 5 mérföld.

133

Műveletek törtekkel 5 15. Egy csavar tömege 4 g. Hány csavar van abban a dobozban, amelynek tömege csomagolással 6 együtt 125 kg? (A doboz tömege 02 kg.) Érdemes grammban számolni. A feladat megoldási terve: (1250 − 200) : 4

5 ≈ 217 darab csavar van a dobozban. 6

16. Egy vonat 1 óra 15 perc alatt 82 km-t, míg egy másik 13 óra alatt 78 km-t tesz meg. Melyik a km km , a másodiké: 78 : 1 3 = 60 , azaz gyorsabb vonat? Az első vonat sebessége: 82 : 1 25 = 65 6 óra

óra

az első vonat a gyorsabb.

Hasznos feladat az eddig tanultak felfrissítésére, ezért a gyakorlóórára célszerű tartalékolni. 17.

3 =? 5

Minden számnak sok neve van. Olyan nevet keress, amelyből látszik, hogy a

a) mennyivel kevesebb, mint a c) hányad része az

4 4 1 3 ; − = 5 5 5 5

1 1 3 5 -nek; : = 2 5 6 2

e) hányszorosa a 02-nek; 0 2 ·

3 1 3 3 = · = 5 5 5 25

3 5

6 3 :2= 5 5 3 3 3 6 d) mennyivel több, mint a ; − = 7 5 7 35 3 1 3 1 f) hányad része a 02-nek! 0 2 : = : = 5 5 5 3

b) melyik számnak a fele;

18. Karácsonyi sütés előtt 4 kg diót vásároltunk, kilóját 680 Ft-ért (2012-ben). A diót megtisztítása 2 után lemértük, és észrevettük, hogy a dióhéj súlya a dióbél súlyának a része. Mennyibe kerül 3 a dióbél kilója? Érdemes rajzzal követni a megoldást! 3 Vagyis a diónak csak a része értékes. 5 3 Így a 680 Ft-ot kg dióbélért fizetjük. Innen 1 kg tiszta dió ára 1135 Ft. 5

Dióbél

Dióhéj

19. Egy téglatest alakú akvárium alapélei 18 cm és 34 dm hosszúak. Mennyivel emelkedik meg a benne lévő víz szintje, ha beleteszünk egy 300 cm3 -es követ, és az teljesen elsüllyed? Az akvárium alapterülete: T = 18 · 34 = 612 (cm2 ). A víz szintjének emelkedése: h = 300 : 612 ≈ 0 5 (cm).

20. Jutka és Éva édesanyjuk születésnapjára ugyanolyan kézimunkát készítenek. Egy idő múlva összehasonlítják munkájukat, és megállapítják, hogy Éva feleannyit készített, mint amennyi Jutkának még hátravan. Jutkának viszont még feleannyi van hátra, mint amennyit már elkészített. Hányszorosára kell növelnie Évának az eddigi napi teljesítményét, hogy Jutkával egyszerre legyen készen? Ennél a feladatnál is sokat segít a rajz! 1 2 részét, tehát az része Jutka elkészítette a terítő 3 3 van még hátra. Mivel Éva az utóbbi felét készítette 1 5 csak el, így Éva az résszel van készen, és rész 6 6 1 5 5 : = -szer kell van még hátra neki. Évának 6 3 2 többet dolgoznia.

134

Jutka: Éva:

kész

kész

hátravan


Az eddigi teljesítményeik aránya: kell növelnie a teljesítményét.

2 1 5 : = 4-szer többet dolgozott Jutka. Ezért Évának · 4 = 10-szeresére 3 6 2


16. óra: Mi a valószínűbb? Tk.: 134–135. oldal, 1–2. kísérlet Gyakorlóóra, amely a differenciált munkát teszi lehetővé. Esetleg a Tudáspróbát is meg lehet íratni valamelyik órán, vagy házi feladatnak feladni, és csak az eredmények egyeztetése után a kritikus feladatokat beszéljük meg. Nagyon hasznos mindkét kísérlet elvégzése. A törtekről tanultakat is alkalmazni kell a táblázat kitöltendő oszlopainál, és az osztást is gyakoroltatjuk. Ha marad idő, akkor célszerű az 50 kísérletszámnál kapott értékeket felírni a táblára, ezeket összegezve így remekül megközelítjük a keresett események valószínűségét.

Tudáspróba Tk.: 135. oldal

2 1 13 11 35 4 21 ; ; ; ; ; ; halmaz elemeiből válaszd ki azokat a törteket, amelyek 1. Az A = 5 8 6 25 18 14 84 tizedes tört alakja véges, és azokat, amelyeké végtelen! Írd fel az így kapott mindkét halmaz legkisebb elemének a tizedes tört alakját!

2 1 Véges tizedes tört alakúak: ; ; 5 8 13 Végtelen tizedes tört alakúak: ; 6

2. Számítsd ki! 2 5 5 a) − · = − 6 3 4

b)

11 ; 25 35 ; 18

21 , 84 4 , 14

21 7 3 : = 5 20 4

3. a) Melyik nagyobb, és mennyivel?

< >

1 = 0 125. 8 4 2 ˙ ˙ a legkisebb: = = 0 28571 4. 14 7

a legkisebb:

c) 11 1 5 + · 14 7 2

3 · 08 = 0 48 5

vagy

d) 19968 : 32 = 62 4

11 1 5 + · 14 7 2

A tanulók többsége kiszámítja mindkét kifejezés értékét, s azután válaszol, így mi is ezt a megoldást írjuk le: 11 5 16 32 33 13 5 65 + = = · = 14 14 14 28 28 14 2 28

b) Melyik nagyobb, és hányszor? 36·

1 = 0 72 5

42·

1 =07 6

36-nek az

1 1 része vagy 42-nek az része. 5 6

0 72 : 0 7 ≈ 1 03, azaz a 0 72 kb. 1 03-szorosa a 0 7-nek.

135

Műveletek törtekkel 4. Egy autó 0016 liter benzint fogyaszt 200 m úton. Mennyit fogyaszt 100 km-en? Ötszázszor hosszabb úton ötszázszor több benzin kell: 0 016 l · 500 = 8 l.

5. Oldd meg az egyenleteket! 5 3 2 5 7 2 3 5 1 1 2 3 9 b) · x + = ·x = x = : = · x = , innen x = : = . 4 3 20 2 2 3 4 3 4 3 4 4 3 3 1 4 3 11 11 3 55 c) · x − = ·x = , innen x = : = . 6 6 5 18 5 2 3 5

a)

1 4 részéért édesanyjának vett könyvet, a maradék 3 5 részéért édesapjának nyakkendőt, a fennmaradó 620 Ft-ját pedig kishúgára költötte. Mennyi pénze volt Csabának a vásárlás kezdetekor? a 23 rész Mennyiért vette az egyes ajándékokat?

6. Csaba a karácsonyi bevásárláskor pénze

Rajzzal követve a feladat szövegét:

1 3

rész

könyv

A húg ajándéka tehát Csaba pénzének

a maradék

4 5

része = a teljes összeg

4 5

nyakkendő 2 2 része volt, azaz rész = 620 Ft, 15 15

·

2 3

=

8 15

része

1 5

része =

= =

2 1 3 · 5 = 2 15 rész

a húg ajándéka 620 Ft

15 = 4650 Ft. 2 A könyv ára: 4650 Ft : 3 = 1550 Ft. 8 A nyakkendő ára: 4650 Ft · = 2480 Ft. 15 Ellenőrzés: Az ajándékokra Csaba 1550 + 2480 + 620 = 4650 Ft-ot költött, amit a feladat elején már kiszámoltunk. innen az eredeti összeg: 620 ·

136

Háromszögek, négyszögek, sokszögek

Háromszögek, négyszögek, sokszögek A háromszögek fajtái A háromszögek szögei Szerkesztések körzővel és egyenes vonalzóval Szerkesztések körzővel és egyenes vonalzóval: Háromszögek szerkesztése körzővel, egyenes vonalzóval 6. óra: A négyszögek fajtái 7. óra: A négyszögek szögei 8–9. óra: Négyszögek szerkesztése 10. óra: Derékszögű háromszögek kerülete, területe 11. óra: Tengelyesen szimmetrikus háromszögek kerülete, területe 12–13. óra: Tengelyesen szimmetrikus négyszögek kerülete, területe 14. óra: Testhálók 15. óra: Szabályos sokszögek 16–17. óra: Felmérő Heti 4 órában tanuló csoportok esetén a témakör feldolgozására 5 tanórával több áll rendelkezésre. Ezeket gyakorlásra (elsősorban a testhálók és a szabályos sokszögek manipulatív feladatai), továbbá időközi számonkérésre lehet fordítani. 1. 2. 3. 4–5.

óra: óra: óra: óra:

Mire építünk? • Az 5. évfolyamon vizsgált alakzatok közül a téglalap, a téglatest, a szögtartomány, a körvonal és a körlap ismerete szükséges. • Távolság- és szögmérés. • Téglalap kerületének, területének, illetve téglatest felszínének, térfogatának kiszámítása racionális mérőszámok esetén, átváltás. • Használjuk a szerkesztésekben a szakaszmásolást és a szakaszfelezést, a hatodikban megismert szögmásolást és szögfelezést. • A tengelyes tükrözés tulajdonságaira is építünk. Meddig jutunk el? • Csoportosítjuk a háromszögeket szögeik nagysága és szimmetriáik alapján, bevezetjük az egyenlő szárú és az egyenlő oldalú háromszög fogalmát. • Szimmetriáik alapján csoportosítjuk a négyszögeket, és a már korábbról ismert téglalapot és négyzetet is besoroljuk közéjük. Bevezetjük a deltoid, a húrtrapéz és a rombusz fogalmát. A tengelyes tükrözés törvényszerűségeiből következtetve olvassuk le a tulajdonságaikat. • A szimmetrikus alakzatok tulajdonságai között összefüggéseket keresünk, „ha: : : akkor: : : ” típusú egyszerű tételeket fogalmazunk meg róluk. Ezek közül némelyiket valójában be is bizonyítjuk anélkül, hogy a bizonyítás szót használnánk, ugyanis a szimmetriából való okoskodás teljesen precíz – és nagyon hatékony – bizonyítási módszer. A tétel, bizonyítás, definíció igen elvont matematikai fogalmak, ezeket csak később tanítjuk, de jó, ha már korábban elkezdjük előkészíteni.

137

Háromszögek, négyszögek, sokszögek • A számítási feladatokban derékszögű háromszögek, tengelyesen szimmetrikus háromszögek, négyszögek kerületét, területét határozzuk meg, néhány hasáb és gúla felszínét adjuk meg. • Szerkesztéseket végzünk körzővel, vonalzóval (euklideszi szerkesztés). Például: 60◦ felezése, többszöröse, háromszög szerkesztése alapesetekben, tengelyesen szimmetrikus négyszögek szerkesztése. • Tapasztalatok alapján megadjuk a háromszög és a négyszög belső szögeinek összegét. Hogyan folytatjuk? • Hetedik évfolyamon bővítjük a vizsgált alakzatok körét: – szögpárok (transzformációk megismerése) – paralelogramma (középpontos tükrözés és szimmetria alapján) – trapézok – szabályos sokszögek (tengelyes és középpontos szimmetria) – háromszögek néhány nevezetes vonala (magasságvonal, középvonal) – egyenes hasábok – körhengerek Definiáljuk az egybevágóságot. Foglalkozunk a háromszögek egybevágóságának alapeseteivel. Bizonyítjuk a belső, illetve külső szögek összegéről hatodikban kimondott állításokat, kiterjesztjük más sokszögekre is. Megadjuk a sokszögek átlóinak számát, a szabályos sokszögek belső szögét, középponti szögét. Az euklideszi szerkesztés alaplépéseit alkalmazva szerkesztünk paralelogrammát, trapézt, szabályos sokszöget. Kiszámítjuk tetszőleges háromszög, trapéz, szabályos sokszög kerületét, területét megadott vagy mért adatokból. Kör kerületét, területét becsüljük meg, illetve közelítjük szabályos sokszög kerületének kiszámításával. Egyenes hasábok, körhengerek hálóját vizsgáljuk, felszínt és térfogatot számolunk. Szükséges és ajánlott eszközök Tanulói Körző, vonalzó, szögmérő Háromszög és négyzet pontrácsos lapok,

Tanári Körző, vonalzó, szögmérő Síkgeometriai modellezőkészlet Írólap, kartonpapír, másolópapír, olló, ragasz- Parkettaminták képeken vagy az internetről tó Szívószálból damillal összefűzött sokszögek és testek Szívószálak, damil vagy cérna Testek és hálók Síkgeometriai modellezőkészlet vagy Számítógép, projektor, aktív tábla vagy írásháromszög-, négyszög-, sokszöglapok karvetítő, elkészített egymásra helyezhető fóliáktonból kal Azonos, illetve különböző szélességű papírHozzáférés az interaktív tananyaghoz csíkok Hatodikos felmérőfüzet

138

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 1. óra: A háromszögek fajtái Tk.: 136–140. oldal, 1–11. feladat Az óra célja: a háromszögek csoportosítása oldalaik egyenlősége és szögeik nagysága alapján, a szimmetrikus háromszögek tulajdonságainak felismerése. A szimmetrikus háromszög tulajdonságait a tükrözés tulajdonságaiból olvassuk le. Ezzel nem csak az egyenlő szárú háromszög tulajdonságait tanítjuk meg, hanem egy ennél sokkal általánosabb készséget fejlesztünk a gyerekekben. Arra tanítjuk őket, hogy szimmetrikus alakzatokban képesek legyenek minél több megfelelő alakzatpárt észrevenni, és ennek alapján megfogalmazni egy szimmetrikus alakzat tulajdonságait. Hasznos, ha a tulajdonságokat igazi cédulákra (kartonlapocskákra) leírják a gyerekek, továbbá más színűekre a „ha”, „akkor” szavakat, és ezeket rakosgatva maguk állítanak össze igaz és hamis mondatokat. Ugyanezt a tanár a táblán vagy az írásvetítőn is megteheti. Ezzel abban segítünk a diákjainknak, hogy megértsék a matematikai tételek szerkezetét, illetve külön tudják választani az azokban szereplő különböző tulajdonságokat, és lássák, hogy a kötőszavak a tulajdonságok közötti összefüggések kifejezésére szolgálnak. Javasolt eszközök: körző, vonalzó, másolópapír, kartonlapocskák Feladatok 1. a) Válogasd ki azokat a háromszögeket, amelyeknek van derékszögük!

Van derékszöge (derékszögű háromszög):

B, E.

b) Sorold fel azoknak a háromszögeknek a betűjelét, amelyeknek van derékszögnél nagyobb szögük! Van derékszögnél nagyobb szöge (tompaszögű háromszög): D , F , G . c) Milyen tulajdonságú háromszögek maradtak ki? A többi hegyesszögű háromszög: A, C , H . 2. a) Válaszd ki az egyenlő szárú háromszögeket az ábrán! 1.

2., 5., 6., 8., 9., 10., 12., 13., 14., 16., 17., 20.

b) Válaszd ki a derékszögű háromszögeket az ábrán! 1., 2., 9., 10., 14., 17.

c) Hány olyan háromszög van, amelyik az előző két feltételnek egyaránt megfelel? Öt ilyen háromszög van: 2., 9., 10., 14., 17.

2.

4. 9.

8. 12.

3.

5.

13.

17. 18.

10. 14. 19.

6. 11. 15.

7.

16. 20.

139

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 3. Rajzold le az ábrát a füzetedbe, és színezd ki az egyenlő szárú háromszögeket! Az egyformák azonos színűek legyenek! 4. Szerkeszd meg egy 7 cm-es szakasz a) felezőmerőlegesét; b) felezőpontját! 5. Szerkessz háromszöget, amelynek oldalai 5 cm hosszúak! 6. Marcsinak olyan háromszög alakú virágoskertje van az udvaron, amelynek minden oldala 2 méter. Szerkeszd meg a háromszög alakú kert ábráját úgy, hogy 2 méternek a rajzodon 4 cm feleljen meg!

4 cm

4 cm

4 cm

7. Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, amelynek a) alapja 5 cm, szárai 6 cm hosszúak;

6 cm

6 cm

5 cm

8. Másold le a háromszögeket a füzetedbe! a) Szerkeszd meg körzővel és vonalzóval a szimmetriatengelyét!

140

b) alapja 6 cm, szárai 5 cm hosszúak!

5 cm

5 cm

6 cm

b) Szerkeszd meg körzővel és vonalzóval a szimmetriatengelyeit!

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. Vegyél fel a füzetedben egy AB szakaszt tetszőlegesen! Tudjuk, hogy az ABC háromszög egyenlő szárú. Keresd meg, hogy hol lehet a C csúcs, ha az AB szakasz a háromszög a) alapja, b) szára! A kapott pontok közül jelöld pirossal azokat, amelyek hegyesszögű, kékkel azokat, amelyek derékszögű, és zölddel azokat, amelyek tompaszögű ABC háromszög csúcsai! Ha az AB szakasz az alap, akkor a szakaszfelező merőleges bármelyik pontja megfelel a C csúcs helyének, kivéve az AB szakaszra eső pontot. Ezt lyukas karikával jelöltük. A gyerekek többnyire csak erre a megoldásra fognak gondolni. Hívjuk fel a figyelmet arra, hogy a betűzés önmagában B még nem rögzíti az adatokat, az AB szakasz nem feltétlenül alapja az egyenlő szárú háromszögnek. A A szakaszfelező merőleges két pontját kell kékkel jelölni, ezek A-val és B -vel együtt egy négyzet csúcsai. A kékkel jelölt pontok közötti részt kell zöldre színezni, a többi pont piros lesz. b) Ha az AB szakasz a háromszög szára, akkor a C csúcs vagy egy B közepű AB sugarú körön van, vagy egy A közepű AB sugarú körön. A körvonalak pontjai közül ki kell zárni az A-t, a B -t, illetve a velük átellenes pontokat. a)

C

B C

C

C

B A

A

Néhány megoldás, itt B csúcsot választottunk a szárszög csúcsának. Négy pontot kell kékkel jelölni, ezek az pontjai.

Az összes megoldás.

AB -re A-ban és B -ben állított merőlegeseknek a körökkel való metszés-

Segít a megoldásban, ha eljátsszuk a feladatot. Vegyünk két egyforma hosszú szívószáldarabot, ezek lesznek a szárak! Az egyiket rögzítettnek tekintjük, végeihez A, B betűket írunk, és nem mozdítjuk el a füzetlapról. A másik szívószálat az előző végpontjához illesztve kapunk egy megfelelő háromszöget. (Az alapot lelki szemeinkkel is jól látjuk.) A füzetlapon lerajzoljuk a kapott harmadik csúcsot, ezt C -vel jelöljük. Néhány újabb háromszög megépítése után már jól látszik a C csúcsok lehetséges helye. 10. Szerkessz szimmetrikus háromszöget, melynek oldalai a) 4 cm és 3 cm, b) 2 5 cm és 6 cm, c) 3 cm és 5 cm! Hányféle háromszöget kaptál az egyes esetekben? Mely esetekben kaphattál hegyesszögű, derékszögű és tompaszögű háromszöget? A két adott oldalhosszúság közül nem mindegy, hogy melyik az alap, és melyik a szárak mérete. A megoldásban az egyenlő szárú háromszög definíciója mellett fel kell használni a háromszögegyenlőtlenséget is. Ilyenfajta feladatok megoldása diszkusszióra – vagyis a feladat feltételeinek elemzésére – és kombinatorikus gondolkodásra is nevel. 141

Háromszögek, négyszögek, sokszögek a) Bármelyik szakasz a kettő közül lehet alap, kétféle háromszög szerkeszthető, mindkettő hegyesszögű. b) Csak a 25 cm-es lehet alap. Egyféle megoldás van, a háromszög hegyesszögű. c) Itt is kétféle megoldás van, egyik hegyesszögű, a másik derékszögű háromszög.

11. Vegyél fel a füzetedben egy e egyenest, valamint A és B pontokat az ábrához hasonlóan! Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, amelynek C csúcsa az e egyenesen van, és a) a háromszög alapja az AB szakasz, b) a háromszög szára az AB szakasz!

B

B A

e

C3 e

A C 1

C4

C2

a) A megoldást az AB szakaszfelező merőlegese és az e egyenes közös pontja adja. Ha van ilyen pont, akkor csakis egy lehet. További kérdések is adódnak: Hogyan vegyük fel az A és B pontokat, hogy ne kapjunk megoldást? A nulla, illetve egy megoldáson kívül más eset is elképzelhető? Igen, ha az AB szimmetriatengelye egybeesik az e egyenessel, akkor végtelen sok megoldás van. b) Az A, illetve B középpontú, AB sugarú körök metszik ki e -ből a keresett C csúcsot. Maximum négy háromszög adódhat.

A szerkesztési feladatban nagy könnyítést jelent, ha egyetlen konkrét esetben kell megoldást keresni. Ezért adjuk meg rajzzal az adatokat! Mégis sok tanuló képes arra, hogy más adatfelvétellel is elképzelje a feladatot, és így valamilyen mélységben diszkussziót végezzen. Erre nekünk kell megteremteni a lehetőséget, és biztatni a jobbakat a továbblépésre!

2. óra: A háromszögek szögei A háromszögek belső szögei Tk.: 141–144. oldal, 1–15. feladat Az óra célja: a háromszög belső szögei összegének megállapítása. Több egybevágó háromszöget, egy teljes oldaluk érintkezésével egymáshoz illesztünk, amit bemutatunk a táblán, a kivetítőn, illetve különböző színes képeken. Használható az interaktív tananyag is. A tanulók maguk is rakják ki a „parkettát” saját háromszöglapjaikkal! A parkettázást többféle egyenlő szárú háromszöglappal is elvégezzük. Megfogalmazzuk a szögek összegére vonatkozó tapasztalatainkat, amelyeket majd 7. évfolyamon be is bizonyítunk. Feladatok 1. a) Készíts parkettázást egybevágó háromszögekből! A háromszögek csúcsai csak csúcspontokkal találkozzanak! b) A füzetedben nagyítsd kétszeresére a háromszögek oldalait, és mérd meg a háromszög belső szögeit! 142


A

C B

A: ≈ 34◦ , ≈ 34◦ , ≈ 112◦ B: ≈ 72◦ , ≈ 72◦ , ≈ 36◦

D

C: ≈ 22◦ , ≈ 113◦ , ≈ 45◦ D: ≈ 27◦ , ≈ 98◦ , ≈ 55◦

A méréssel kapott értékek összege eltérhet a 180◦ -tól, csak becslésre alkalmas ez a mérés. 2. Számítsd ki a háromszög harmadik szögének nagyságát, ha a háromszög szögei a) 79◦ és 30◦ , 71◦ b) 26◦ és 102◦ , 52◦ c) 45◦ 20 és 60◦ , 74◦ 40 Szögei szerint milyen fajta a háromszög?

d) 653◦ és 482◦ ! 665◦

a), c) és d): hegyesszögű háromszög, b): tompaszögű háromszög

3. Számítsd ki a háromszög ismeretlen szögének nagyságát! a)

b)

65◦

c)

20◦

90◦

4. Szerkeszd meg a háromszöget, ha oldalainak hossza a) 4 cm, 5 cm, 5 cm, egyenlő szárú hegyesszögű háromszög b) 4 cm, 7 cm, 10 cm, tompaszögű háromszög c) 25 cm, 6 cm, 65 cm! derékszögű háromszög Szögei és oldalai szerint milyen háromszög keletkezett? Szögmásolással szerkeszd meg a belső szögek összegét! 5. Mekkorák az egyenlő szárú háromszög szögei? A háromszög a) szárszöge 48◦ ; 48◦ , 66◦ , 66◦ , hegyesszögű b) alapon fekvő szöge 68◦ ; 68◦ , 68◦ , 44◦ , hegyesszögű c) egyik szöge 30◦ . 30◦ , 30◦ , 120◦ tompaszögű vagy 30◦ , 75◦ , 75◦ hegyesszögű Szögei szerint milyen fajta a háromszög? 6. Szerkeszd meg a háromszöget, ha oldalainak hossza a) 4 cm, 5 cm, 6 cm, hegyesszögű b) 5 cm, 3 cm, 3 cm, tompaszögű egyenlő szárú c) 3 cm, 4 cm, 5 cm! derékszögű Szögei és oldalai szerint milyen háromszög adódott? Szögmásolással szerkeszd meg a belső szögek összegét! 143

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 7. Számítsd ki a háromszög harmadik szögének nagyságát, ha a háromszög szögei a) 40◦ 20 és 60◦ , 79◦ 40 , hegyesszögű b) 653◦ és 482◦ , 665◦ , hegyesszögű c) 36◦ és 29◦ , 115◦ , tompaszögű d) 1053◦ és 20◦ 12 ! 20◦ 12 = 202◦ , így 545◦ = 54◦ 30 , tompaszögű Szögei szerint milyen fajta a háromszög? 8. Mekkora szöget zár be az egyenlő oldalú háromszög két belső szögének szögfelezője? 60◦ (vagy 120◦ ) a két belső szögfelező szöge.

9. Számítsd ki a háromszög szögeit! C

a)

b)

a

B 2a

2a

a

2a B

A 36◦ , 72◦ , 72◦

C

A

30◦ , 60◦ , 90◦

10. Számítsd ki a derékszögű háromszög ismeretlen szögeinek nagyságát, ha a háromszög a) egyik szöge 51◦ , 90◦ , 51◦ , 39◦ b) legkisebb szöge 28◦ , 90◦ , 28◦ , 62◦ c) legkisebb szöge harmada a legnagyobb szögnek, 90◦ , 30◦ , 60◦ d) egyik hegyesszöge ötször akkora, mint a másik hegyesszög! 90◦ , 15◦ , 75◦ 11. Mekkorák az egyenlő szárú háromszög szögei? A háromszög a) szárszöge 15◦ -kal nagyobb az alapon fekvő szögeinél, 55◦ , 55◦ , 70◦ b) az alapon fekvő szöge kétszerese a szárszögnek. 72◦ , 72◦ , 36◦ 12. Mekkorák a háromszög szögei, ha a legkisebb szöge fele a legnagyobbnak, a középső szöge pedig 12◦ -kal nagyobb a legkisebb szögnél? 42◦ , 84◦ , 54◦ A megoldáshoz készítsünk ábrát 2 , ,

+ 12◦ szögekkel.

13. Döntsd el, igazak-e vagy hamisak az alábbi megállapítások! Válaszaidat indokold! A: Egy háromszögnek nem lehet két derékszöge. Igaz. Két derékszög összege 180◦ , a harmadik szög 0◦ lenne.

B: Minden háromszögnek van két hegyesszöge. Igaz. Ha csak 0 vagy 1 hegyesszöge lenne, akkor a másik két szög összege legalább 180◦ lenne, ami lehetetlen.

C: Tompaszögű háromszögnek lehet derékszöge. Hamis. Egy derékszög és egy tompaszög összege már nagyobb, mint 180◦ .

D: Derékszögű háromszög hegyesszögeinek összege tompaszög. Hamis. Két hegyesszög összege 90◦ .

144

Háromszögek, négyszögek, sokszögek E: Hegyesszögű háromszög két hegyesszögének összege mindig tompaszög. Igaz. Ha két hegyesszög összege legfeljebb 90◦ , akkor a harmadik szöge legalább 90◦ lenne, nem lehetne háromszög.

14. Hány centiméter a kék vonal hossza? 20 cm, mert a téglalapok átlói 4 cm hosszúak. A téglalapot egy átló két olyan háromszögre bontja, amelyekből szabályos háromszöget rakhatunk össze.

15. a) Készítsd el a „füles tetraédert” négy körlapból úgy, hogy a felesleges körszeleteket egymáshoz ragasztod!

b) Oktaédert is készíthetsz nyolc körlapból.

Ha a füleket befele hajtod, és úgy ragasztod össze a lapokat, akkor egy-egy szabályos test modelljét készítheted el.

A háromszögek külső szögei Tk.: 145–147. oldal, 1–15. feladat Az óra célja: a háromszög külső szögei összegének meghatározása. Ezen az órán a háromszög külső szögeinek összegét határozzuk meg többféleképpen (egymás mellé helyezés, mérés-számolás, következtetés a belső szögek összegéből). E könyvben a sokszög szögén belső szöget értünk. Szöveges feladatokat oldunk meg következtetéssel. Mivel nem szerkesztünk, több feladatra jut idő, mint a korábbi órákon. Javasolt eszközök: síkgeometriai modellezőkészlet háromszöglapjai

145

Háromszögek, négyszögek, sokszögek Feladatok 1. Van-e olyan háromszög, amelynek valamelyik csúcsánál a belső és külső szög megegyezik? Igen, a derékszögű háromszög 90◦ -os szöge ilyen.

2. Mérd meg szögmérővel a megjelölt szögeket! Melyik nem külső szöge a háromszögnek? a)

b)

= ' = 90◦ nem külső szög

c)

= 42◦, = 138◦ nem külső szög

3. Számold ki a hiányzó szögek nagyságát! a) b)

= 74◦, = 62◦, = 136◦, " = 286◦ , és " nem külső szög

c)

d)

4. Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, amelynek alapja 4 cm, szárai 6 cm hosszúak! Szerkeszd meg a szárszögének szögfelezőjét, majd a szárszöghöz tartozó egyik külső szög szögfelezőjét is! Figyeld meg a belső szög és a külső szög szögfelezőjének kölcsönös helyzetét! A külső szögfelező párhuzamos az alappal, a szárszög szögfelezője merőleges rá.

5. Szerkessz derékszögű háromszöget, amelynek befogói 6 cm és 4 cm hosszúak! Szerkeszd meg a legkisebb belső szög szögfelezőjét és a legkisebb szöghöz tartozó külső szög szögfelezőjét! Figyeld meg a belső szög és a külső szög szögfelezőjének kölcsönös helyzetét! A 4 cm-es oldallal szemközti szög szögfelezője és a külső szög szögfelezője merőleges egymásra.

6. Mekkorák az egyenlő szárú háromszög szögei, ha az egyik külső szöge a) 66◦ , 114◦ , 33◦ , 33◦ d) 120◦ , 60◦ , 60◦ , 60◦

b) 114◦ , 66◦ , 57◦ , 57◦ vagy 66◦ , 66◦ , 48◦ c) 90◦ , 90◦ , 45◦ , 45◦ e) 98◦ ? 82◦ , 49◦ , 49◦ vagy 82◦ , 82◦ , 16◦

Ha a megadott külső szög 90◦ vagy annál kisebb, akkor a szárszög külső szöge lehet csak, vagyis egy megoldás van. Ha a külső szög 120◦ -tól különböző tompaszög, akkor két megoldás van, ha éppen 120◦ , akkor a szabályos háromszög a megoldás. 7. Egy háromszög belső szöge háromszorosa a hozzá tartozó külső szögnek. Mekkora ennél a csúcsnál a belső és a külső szög nagysága? A külső szög 45◦ , a belső szög 135◦ . Rajzoljunk vázlatot, ahol 3 + = 180◦ .

146

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 8. Mekkorák a háromszög belső szögei, ha két külső szöge a) 45◦ és 170◦ , 135◦ , 10◦ , 35◦ b) 60◦ és 90◦ , – c) 825◦ és 1403◦ , 97 5◦ , 39 7◦ , 42 8◦ d) 125◦ 42 és 113◦ , 54◦ 18 , 67◦ , 58◦ 42 e) 45◦ és 70◦ ? – Bármely két külső szög összege 180◦ -nál nagyobb kell, hogy legyen.

9. Egy háromszög egyik belső szöge két és félszerese a másiknak. A harmadik szöghöz tartozó külső szög 140◦ . Mekkorák a háromszög szögei? 40◦ , 100◦ , 40◦ 10. Egyforma gyufaszálakból raktuk ki az ábrát. Hány fokos a szög? Az egyenlő szárú háromszög és a külső szögek tulajdonságait felhasználva

= 40◦.

11. A szög szárai között keletkező háromszögek egyenlő szárúak. a) Hány háromszög rajzolható így? 5 háromszög b) Mekkorák a szögei az utolsó háromszögnek? 30◦ , 75◦ , 75◦ 12. Egy háromszög egyik belső szöge 150◦ . Másik két belső szögének különbsége 12◦ . Mekkorák a háromszög belső szögei? 9◦ , 21◦ , 150◦ 13. Egy egyenlő szárú háromszög szárszöge 50◦ . Mekkora szöget zár be az alapon fekvő két belső szög szögfelezője? 65◦ , illetve 115◦ 14. Egy háromszög egyik szöge 82◦ . Mekkora szöget zár be a másik két szög szögfelezője? 49◦ , illetve 131◦

15. Igaz-e, hogy a háromszög bármely két külső szögének összege nagyobb 180◦ -nál? Igaz, mert ha + 5 180◦ lenne, akkor a külső szögek szögösszege miatt ilyen háromszög pedig nincs.

= 180◦ és 5 0◦ lenne,

3. óra: Szerkesztések körzővel és egyenes vonalzóval Tk.: 147–149. oldal, a 154–155. oldalon az 1–4. feladat Az óra célja: a szerkesztőeszközök használatának gyakorlása, és az euklideszi szerkesztés megengedett lépéseinek megismerése. Alkalmazzuk a tengelyes tükrözésnél megismert szerkesztéseket is. Kiszámítjuk az egyenlő oldalú háromszög belső szögeinek nagyságát, így válik lehetővé a 60◦ -os szög szerkesztési eljárásának indoklása. Hajtogathatunk 60◦ -os és 30◦ -os szöget. 60◦ felezésével, többszörözésével „nevezetes” szögeket szerkesztünk. Érdekes, hogy így megszerkeszthetjük 90◦ harmadát, de 60◦ harmadát nem lehet euklideszi szerkesztéssel megadni. A kiegészítő tananyagban szereplő szögek mindegyike nevezetes szögek segítségével, szögösszegzéssel, szögfelezéssel és szögmásolással szerkeszthető meg. Ajánlott néhányat bemutatni ezek közül is.

147

Háromszögek, négyszögek, sokszögek Feladatok Szögek szerkesztése 1. Készítsd el az ábrákat egy-egy 4 cm sugarú körben! Tetszés szerint színezd az ábráidat!

a)

b)

2. Szerkessz 60◦ -os szöget! Szerkessz szögmásolással, szögfelezéssel 30◦ , 90◦ , 120◦ , 240◦ nagyságú szöget! 30◦ = 60◦ : 2, 90◦ = 60◦ + 30◦ , 120◦ = 2 · 60◦ , 240◦ = 2 · 120◦ 3. Szerkessz szögmásolással, szögfelezéssel 15◦ , 75◦ , 210◦ , 225◦ nagyságú szöget! 15◦ = (60◦ : 2) : 2 , 75◦ = 60◦ + 15◦ , 210◦ = 180◦ + 30◦ , 225◦ = 180◦ + (90◦ : 2)

4. Szerkeszd meg a a) 120◦ -os szög

5 5 -át, 120◦ -os szög -a = 75◦ , 75◦ = 60◦ + 15◦ 8 8

3 3 -ét, 75◦ -os szög -e = 45◦ , 45◦ = 90◦ : 2 5 5 5 5 c) 180◦ -os szög -át! 180◦ -os szög -a = 150◦ , 150◦ = 180◦ − 30◦ 6 6

b) 75◦ -os szög

4–5. óra: Szerkesztések körzővel és egyenes vonalzóval: Háromszögek szerkesztése körzővel, egyenes vonalzóval Tk.: 150–153. oldal, a 155–156. oldalon az 5–16. feladat Az órák célja: háromszög szerkesztése euklideszi módon. A megengedett alaplépéseket korábban begyakorolt szerkesztések elvégzése közben figyeljük meg. A szerkesztési feladatok diszkussziója során tudatosodik a háromszögek oldalai, illetve belső szögei közt fennálló összefüggés. Megismerkedünk a szerkesztés alapvetően szükséges lépéseivel: • adatok felvétele, • vázlatrajz készítése, • a szerkesztéshez szükséges összefüggések megállapítása, • a szerkesztés elvégzése, a szerkesztési lépések indoklása, • a kapott alakzat helyességének ellenőrzése, • a megoldások számának vizsgálata (diszkusszió). A vázlat készülhet szabadkézi rajzzal. Azon színessel emeljük ki az ismert adatokat! Ez a rajz legyen olyan méretű, hogy segítségével be tudjuk mutatni a fennálló összefüggéseket és be tudjuk bizonyítani a tervezett lépések helyességét. Hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hogy a szerkesztési vonalakat halványabban, grafittal rajzolják, a kész alakzatot erősebben (esetleg színessel), vastagabb vonalakkal emeljék ki! Így az ábra áttekinthető lesz. Ezzel nevelhetjük őket pontos és esztétikus munkára. 148


A megszerkesztett alakzatokat akkor tekintjük különbözőnek, ha azok nem egybevágók. A kör és az egyenes metszéspontja 0, 1, vagy 2 lehet, de ha a kapott metszéspontokkal szerkesztett alakzatok egybevágók, azok ugyanazok a megoldások akkor is, ha nem esnek egybe. A tk. 151– 153. oldalán szerepel a „két oldal és a kisebbikkel szemközti szög” esete. Ez a példa bemutatja a diszkusszió lehetőségét. A következő szerkesztési feladatok megoldását könnyen ellenőrizhetjük, vagy a tanulók végezhetnek önellenőrzést, ha pauszpapírra (átütőpapírra) szerkesztett ábránkat a megoldásukra helyezik. Feladatok 5. Egy háromszög két oldala 3 dm és 5 dm. Igaz-e, hogy a harmadik oldal hossza A válaszokat ez az összefüggés indokolja: 2 dm < c< 8 dm (|a − b | < c< a + b)

a) nem lehet nagyobb 7 dm-nél; Hamis. c) kisebb lehet, mint 3 dm; Igaz. e) nagyobb lehet, mint 8 dm; Hamis.

b) kisebb lehet, mint 5 dm; Igaz. d) kisebb lehet, mint 8 dm; Igaz. f) kisebb lehet, mint 2 dm? Hamis.

6. Szerkessz háromszöget a megadott szakaszokból! a) 3 cm, 45 cm, 55 cm

b) 4 cm, 75 cm, 85 cm

tompaszögű háromszög alig több 90◦-nál

tompaszögű háromszög

d)

a

b

c) 3 cm, 6 cm, 10 cm nincs ilyen háromszög

c

tompaszögű háromszög

7. Szerkessz háromszöget, ha adott két oldala és az általuk közrezárt szög! A szögeket szögmérő nélkül szerkeszd! a) 4 cm, 7 cm, 60◦ b) 4 cm, 5 cm, 120◦ c) 55 cm, 55 cm, 150◦ Mindig van megoldás, ha a közrezárt szögre teljesül a 0◦

< < 180◦ feltétel.

8. Szerkessz háromszöget, ha adott egy oldala (c ) és azon az oldalon lévő két szöge ( , )!

c = 85 mm, = 30◦, = 60◦ derékszögű 9. Egy 12 km × 08 km oldalhosszúságú, a)

b)

c = 70 mm, = 30◦ , = 120◦ tompaszögű

téglalap alakú szántóföldet átlója mentén úttal kettévágnak. Szerkeszd meg az így létrejött egyik derékszögű háromszög alakú földrész ábráját 20 000szeres kicsinyítéssel! 20 000-szeres kicsinyítéssel 6 cm és 4 cm befogójú derékszögű háromszöget kapunk.

10. Szerkessz derékszögű háromszöget, amelynek adott a) két befogója, b) az egyik befogója és az átfogója!

a a

b

c

A megadott adatokkal a háromszögek egyértelműen megszerkeszthetők.

149

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 11. Egy háromszögnek adott két oldala, és csúcsai egy 2 cm sugarú körvonalon vannak. Szerkeszd meg a háromszöget! Mérd meg a háromszög harmadik oldalának hosszát, és számítsd ki a háromszög kerületét, ha az adott oldalak hossza a) 3 cm és 35 cm; K ≈ 10 3 cm, a háromszög hegyesszögű, oldalai: 3 cm, 3 5 cm, ≈ 3 8 cm. b) 2 cm és 2 cm; K ≈ 7 5 cm, a háromszög tompaszögű, oldalai: 2 cm, 2 cm, ≈ 3 5 cm. c) 2 cm és 4 cm; K ≈ 9 5 cm, a háromszög derékszögű, oldalai: 2 cm, 4 cm, ≈ 3 5 cm. d) 3 cm és 5 cm! Nem lehet a körbe 5 cm-es húrt szerkeszteni, nincs az átmérőnél hosszabb húr. 12. A „VIGYÁZZ RÁM” Nemzeti Park védett növényekkel borított területére sem gyalogosan, sem járművel nem szabad rámenni, ezért köré egy egyenlő szárú háromszög alakú utat terveznek. Szerkeszd meg az utak ábráját 100 000-szeres kicsinyítéssel! Mekkora az út hossza a valóságban? A szükséges adatokat mérd meg! a) A háromszög szárainak metszéspontjából induló utak hossza 4 km, az ezek által bezárt szög nagysága 30◦ . (A szöget teodolittal mérik meg.) b) A háromszög alapjának hossza 5 km, ezen fekvő szögei 60◦ -osak. 100 000-szeres kicsinyítéssel a háromszög szárai 4 cm hosszúak.

Nézz utána az interneten, hány nemzeti park van Magyarországon! Hány km2 e parkok összterülete? Magyarország 10 nemzeti parkjának összterülete 508 150 ha = 50815 km2 . 13. Adj meg négy olyan egész számot, hogy bármely három lehessen egy háromszög három oldalának mérőszáma azonos egységekben mérve! Például: 5, 6, 7, 8. 14. Adj meg négy olyan szakaszt, hogy semelyik háromból ne lehessen háromszöget szerkeszteni! Például: 2, 5, 7, 12.

15. Szerkessz olyan háromszöget, amelynek a) két oldala 45 cm és 65 cm, egyik szöge pedig 75◦ ! Hány megoldás lehetséges? 75°

Három eset lehetséges 1. A megadott szöget a két oldal zárja be:

2. A megadott szög a hosszabb oldallal szemközti:

6,5 cm

4,5 cm 75°

75° 6,5 cm

150

3. A megadott szög a rövidebb oldallal szemközti – ilyen háromszög nincs:

4,5 cm

4,5 cm 75° 6,5 cm


b) két szöge 30◦ és 75◦ , egyik oldala 4 cm! Hány megoldás lehetséges? A háromszög harmadik szöge 75◦ , tehát a háromszög egyenlő szárú. Két eset lehetséges:

1. A háromszög alapjának hossza 4 cm, az alapon 2. A háromszög szárának hossza 4 cm, az alapon fekvő szögek 75◦ -osak. fekvő szögek 75◦ -osak.

30°

75°

4 cm

30°

4 cm

75°

75°

4 cm

16. Igaz-e, hogy a háromszög bármely oldala kisebb a háromszög kerületének felénél? Igaz, mert

a< b+c a háromszög-egyenlőtlenség szerint, amiből a +a < a +b+c a< (a + b + c ) : 2

6. óra: A négyszögek fajtái Tk.: 156–162. oldal, 1–10. feladat Az óra célja: a négyszögek csoportosítása. A háromszögekhez hasonlóan a négyszögeket is csoportosíthatjuk néhány különböző szempont szerint. Definiáljuk a trapézokat és a húrnégyszögeket. A szimmetriák szerinti osztályozásnál több szempontot is figyelembe veszünk: • csúcsokon átmenő szimmetriatengelye van-e, • csúcsokon át nem menő szimmetriatengelye van-e, • hány szimmetriatengelye van? A trapéz és a húrnégyszög fogalmak egyelőre érintőlegesen szerepelnek itt, többek között azzal a céllal, hogy a húrtrapéz elnevezésre tudjunk némi magyarázatot adni a gyerekeknek. A húrtrapézokat szokás szimmetrikus trapézoknak vagy egyenlő szárú trapézoknak is nevezni, de egyik elnevezés sem szerencsés, mert a paralelogrammák például egyenlő szárúak is, és szimmetrikusak is, tehát mindkét elnevezés illene azokra is. A tengelyesen szimmetrikus trapéz elnevezés sem elég jó, mert ezek közé tartoznának a rombuszok is. A háromszögekhez hasonlóan itt is a szimmetriákból vezetjük le a négyszögek tulajdonságait. A legfontosabb feladat az, hogy a gyerekek lássák, melyek a megfelelő csúcsok, a megfelelő oldalak és szögek az egyes négyszögtípusokban. A hangsúly nem az egyes tulajdonságok megtanításán van, hanem azon, hogy hogyan lehet ezeket a tulajdonságokat a szimmetriából következtetéssel megkapni. Javasolt eszközök: derékszögű vonalzó, olló, papír 151

Háromszögek, négyszögek, sokszögek Feladatok 1. Vágj ki két-két 1 cm, illetve 2 cm széles papírcsíkot! Illessz egymásra közülük két csíkot! Milyen négyszögeket alkothat a két csík közös része? Párhuzamos sávok közös része üres halmaz, egy egyenes vagy egy sáv. Nem párhuzamos, azonos szélességű két csík közös része egy rombusz, speciális esetben négyzet. Nem párhuzamos, különböző szélességű két csík közös része egy paralelogramma, speciális esetben téglalap.

2. Rajzolj a füzetedbe két párhuzamos egyenest egymástól 2 cm távolságban! Rajzolj olyan négyszögeket, amelyeknek csúcsai az egyeneseken vannak, és a négyszögnek a) van derékszöge, derékszögű trapéz, téglalap, négyzet b) van két egyenlő oldala, trapéz, húrtrapéz, paralelogramma, rombusz, téglalap, négyzet c) van két szimmetriatengelye, rombusz, téglalap, négyzet d) két szomszédos szöge tompaszög, trapéz, húrtrapéz (de nem paralelogramma) e) két szemközti szöge hegyesszög, trapéz, paralelogramma (de nem húrtrapéz) f) van homorú szöge! Nincs ilyen négyszög. Ha rajzolható négyszög, az minden esetben trapéz.

3. Rajzolj egy 2 cm sugarú körbe olyan négyszöget, amelynek csúcsai a körön vannak, és a) van derékszöge, Két szemközti szöge derékszög. b) van két egyenlő oldala, Lehet húrtrapéz, deltoid is. c) van két szimmetriatengelye, téglalap d) két szomszédos szöge tompaszög, Lehet húrtrapéz is. e) két szemközti szöge hegyesszög, Nincs ilyen négyszög. f) van homorú szöge, Nincs ilyen négyszög. g) van párhuzamos oldalpárja, húrtrapéz h) van szimmetriatengelye! deltoid, húrtrapéz A megrajzolt négyszög minden esetben húrnégyszög.

Melyik esetben lehet a négyszög négyzet, téglalap, rombusz, deltoid vagy húrtrapéz? Négyzet, téglalap lehet a négyszög az a), b), c) g), h) esetben. Nem derékszögű rombuszt nem lehet körbe rajzolni. Nem egyenlő oldalú deltoid lehet a négyszög az a), b), h) esetben. Nem derékszögű húrtrapéz lehet a négyszög a b), d), g), h) esetben. (A derékszögű rombusz és az egyenlő oldalú deltoid négyzet, a derékszögű húrtrapéz pedig téglalap.)

4. Válaszd ki a négyzetrácson lévő ábráról a trapézokat! Trapézok: 1., 2., 4., 5., 6., 7., 8., 14. 5

6

11

13 12

152

7

9

8 10

4

3

2

1

14

Háromszögek, négyszögek, sokszögek Vágj ki az ábrán látható méretű háromszögeket, és építs deltoidokat a háromszögekből! Az ábrákon lévő számok a háromszögek oldalhosszainak mérőszámai.

5.

4

A

4 3

2

4

3

3

4

4

4 A

B

2

D

2

2

D

3

2

2

E 3

2

Ha mindegyik háromszögből egyet vágunk ki, akkor csak az alapjuk mentén összeillesztve kapunk deltoidot. A–B , A–D , B –D , C –E 3

3

3

2

D

3 C

B

2

3

C

2

A

3

B

2

2

E

2

3

Alapjuk mentén például: Száruk mentén például: Ha mindegyik háromszögből kettőt vágunk ki, akkor a fentieken kívül ezeket a deltoidokat is kirakhatjuk: A C és D szabályos háromszögek esetén a fenti kétféle illesztéssel egybevágó deltoidokat kapunk.

Megjegyzés: a középpontos szimmetria itt még nem tananyag, de elfogadhatjuk a tanulók szemléleten alapuló megoldásait. Természetesen ezt nem kell elvárni tőlük.

3 3

3 B

3 B

B 2

2

B 3

3

6. Párban dolgozzatok! Vágjatok ki két egymásra illesztett papírból két azonos méretű hegyesszögű, két azonos méretű tompaszögű és két azonos méretű derékszögű háromszöget! Az egymásnak megfelelő csúcsokat jelöljétek azonos betűvel! Válasszátok ki valamelyik párt, és illesszétek össze valamelyik azonos méretű oldala mentén a két háromszöget! Rajzoljátok körül a füzetetekben a keletkezett alakzatot! a) Milyen fajta sokszögeket kaphattok ezzel a módszerrel? b) Melyik háromszögpárból lehet konkáv alakzatot készíteni? c) Melyik háromszögpárból lehet háromszöget készíteni? Milyen fajta háromszög lesz ez? d) Lehet-e bármelyik párból tengelyesen tükrös négyszöget készíteni? e) Lehet-e bármelyik párból olyan négyszöget készíteni, amelyik nem tengelyesen tükrös? f) Melyik párból lehet téglalapot készíteni? g) Milyen háromszögpárból lehet rombuszt készíteni? Két hegyesszögű háromszög esetén:

153

Háromszögek, négyszögek, sokszögek – egyenlő oldalú háromszögekből egyféle rombusz lesz, – nem szabályos, egyenlő szárú háromszögekből egyféle rombusz, egyféle nem egyenlő oldalú deltoid vagy egyféle nem egyenlő oldalú paralelogramma lesz, – nem egyenlő szárú háromszögekből háromféle deltoid és háromféle paralelogramma lehet, például:

c

b

c

b

a = a c

b

c

b

a

c = c

b

a

a

a = a

b

c

b

c

a b = b

c a

a

a c

b

b

c = c a

Két derékszögű háromszög esetén: – egyenlő szárú derékszögű háromszögekből egyféle egyenlő szárú derékszögű háromszög, egyféle négyzet, egyféle paralelogramma lesz, – nem egyenlő szárú derékszögű háromszögekből hegyesszögű, illetve tompaszögű egyenlő szárú háromszög, körbe írható deltoid, téglalap, kétféle paralelogramma lehet (30◦ és 60◦ -os vonalzók esetén a hegyesszögű egyenlő szárú háromszög egyenlő oldalú is). Két tompaszögű háromszög esetén: – egyenlő szárú tompaszögű háromszögekből egyféle konkáv deltoid, egyféle rombusz vagy egyféle nem egyenlő oldalú paralelogramma lesz, – nem egyenlő szárú tompaszögű háromszögekből konvex deltoid, kétféle konkáv deltoid, háromféle paralelogramma lehet.

Az 5. és a 6. feladat egyszerű és fontos feladattípus. Egybevágó háromszögpárokból körző és vonalzó nélkül készítjük a deltoidokat, így a tanulóknak nem kell a szerkesztés lépéseire figyelni, tudnak koncentrálni a keletkezett négyszögek tulajdonságaira. Paralelogrammák is megjelennek az előállított alakzatok között, ezeket megnevezhetjük, kicsit ismerkedhetünk velük, ha úgy látjuk jónak, de részletesebben 7. évfolyamon foglalkozunk azokkal a középpontos szimmetria tanításakor.

154


Az órára való készüléskor próbáljuk meg magunk is elkészíteni a sokszögeket! Így érzékelhetjük, hogy más az, ha a kezünkkel mozgatva végzünk forgatásokat, tükrözéseket a háromszögekkel, mintha mindezt rajzban végeznénk el. Két nem egyenlő szárú derékszögű vonalzóval, illetve két egyenlő szárú vonalzóval is próbáljuk ki a feladatot, nézzük meg újra a parkettázásnál rajzolt ábrákat! Ha van síkgeometriai modellezőkészlet, akkor a tanulók azzal dolgozhatnak, a tanárnak pedig segít az interaktív tananyag, illetve az aktív tábla. 7. Vágj ki két egymásra illesztett papírból négyszögpárokat! Legyen közöttük olyan négyszög is, amelyben van két szomszédos derékszög! A megfelelő csúcsokat jelöld azonos betűvel! Például ilyen négyszögeket vághatsz ki:

Válaszd ki valamelyik párt, és illeszd össze valamelyik azonos méretű oldala mentén a két négyszöget! Rajzold körül a füzetedben a keletkezett alakzatot! a) Milyen fajta sokszögeket kaphatsz ezzel a módszerrel? b) Melyik párból lehet konkáv alakzatot készíteni? c) Melyik párból lehet négyszöget készíteni? Milyen fajta négyszögeket kaphatunk így? d) Kaphatunk-e szimmetrikus négyszöget? A két derékszögű trapézból húrtrapéz, paralelogramma, téglalap, tengelyesen szimmetrikus konvex, illetve konkáv ötszög, tengelyesen szimmetrikus konkáv hatszög (L alak), középpontosan szimmetrikus konvex hatszög és középpontosan szimmetrikus konkáv hatszög (Z alak) lehet. A két téglalapból kétféle téglalap lesz. A két paralelogrammából kétféle paralelogramma és kétféle tengelyesen szimmetrikus konkáv hatszög (V alak) lesz. A két deltoidból kétféle tengelyesen szimmetrikus konkáv hatszög (nincsenek párhuzamos oldalaik) és egy középpontosan szimmetrikus konvex, valamint egy konkáv hatszög (három párhuzamos oldalpárral) lesz.

Megjegyzés: a középpontos szimmetria miatt itt még nem tananyag, de elfogadhatjuk a tanulók szemléleten alapuló megoldásait. Természetesen ezt nem kell elvárni tőlük. 8. Döntsd el, igazak-e az állítások! A: A húrtrapézok szárai egyenlők. Igaz, mert az alapokat megfelező szimmetriatengelye van. B: Van olyan paralelogramma, amelyik deltoid. Igaz, például a rombusz. C: A trapézok szomszédos szögei egyenlők. Hamis, az ilyen

trapézoknak nem egyenlők

a szomszédos szögei.

D: Minden trapéz tengelyesen szimmetrikus. Hamis, az ilyen

trapéznak nincs szimmet-

riatengelye.

E: Az A, B, C, D állítások mindegyike igaz. Hamis, mert a C és a D nem igaz. 155

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. Az A pont és a B pont egy négyszög csúcsai, a le az ábrákat a füzetedbe! I. II. t

A

t tengely pedig a szimmetriatengelye. Rajzold t

A

t

III.

A

B B

B

a) Szerkessz konkáv deltoidot mindhárom esetben! Hány megoldás lehet? b) Szerkessz rombuszt mindhárom esetben! Hány megoldás lehet? c) Szerkessz négyzetet mindhárom esetben! Hány megoldás lehet?

A

t

I. A négyszög két adott csúcsán kívül a harmadik csúcs is meghatározott, hiszen az A pont tükörképe is csúcs. A negyedik csúcs a tengelyen bárhol A lehet, kivéve két pontot: a B -t és a karikával jelöltet. A megszerkeszthető négyszög deltoid. a) Végtelen sokféle konkáv deltoid szerkeszthető. A negyedik csúcs a kariB kával jelölt kezdőpontú B -n átmenő félegyenes bármely más pontja lehet. b) Rombusz a megoldás, ha a negyedik csúcs a B pont tükörképe AA tengelyre nézve. Egyféle rombusz szerkeszthető. t c) Négyzet nem lehet a megoldás, mivel a B csúcsnál keletkező szög nem A derékszög. II. Csak egyféleképp lehet befejezni a rajzot, mivel az A és a B csúcs képei A B is csúcsok. Húrtrapéz keletkezik. a), b), c) Nincs megoldás. III. A = B és B = A, így a hiányzó két csúcsra nagyobb szabadságunk van, mint az I., II. esetekben. B a) A harmadik csúcs AB és t metszéspontját kivéve a tengely bármely pontja lehet, a negyedik csúcs az I. a)-hoz hasonlóan megadható. b) A hiányzó két csúcs a t tengelyen az AB -re nézve szimmetrikusan végtelen sokféleképp megadható. c) Három négyzet (ebből kettő egybevágó) szerkeszthető, mert az AB szakasz lehet átló és lehet oldal is.

10. A cédulákon tulajdonságok szerepelnek. 1. deltoid

2. az egyik átló merőlegesen felezi a másikat

4. van két egyenlő szöge, amelyek nem tükrösek 6. van két egyenlő szöge

3. szemközti szögei egyenlőek

5. az egyik átló merőleges a másikra

7. tengelyesen szimmetrikus

8. egyik átlója két tükrös háromszögre bontja

9. átlói felezik egymást

10. egyik átlója felezi a négyszög két szemközti szögét 12. két-két szomszédos oldala egyenlő hosszú

11. az egyik átló felezi a másikat

13. mindkét átlója szimmetriatengely

Ha elhelyezed a cédulákat az alábbi mondatban, akkor négyszögekről szóló állításokat kapsz. 156


Ha

, akkor

.

a) Keress igaz állításokat! b) Keress megfordítható állításokat, azaz olyan cédulapárokat, amelyek mindkét lehetséges sorrendben igaz állítást adnak! c) Keress nem megfordítható állításokat, azaz olyan cédulapárokat, amelyek az egyik sorrendben igaz, a másikban hamis állítást eredményeznek! d) Keress olyan cédulapárokat is, amelyek mindkét sorrendben hamis állítást adnak! Nagyon sokféle állítás rakható össze. A táblázatban a cédulák sorszámait helyettesítettük be a megadott nyitott mondatba. Az állításokat csoportosítottuk. Vannak, amelyek mindkét irányban igazak, ezeket így jelöljük: oda I, vissza I; vannak olyanok, amelyek igazak, de a megfordításuk nem az, röviden: oda I, vissza H. Néhány példát írtunk: Oda I, vissza I (ezek a megfordítható állítások)

Oda I, vissza H

Oda H, vissza H

Ha 1. , akkor 2.

Ha 1. , akkor 5.

Ha 1. , akkor 4.

Ha 1. , akkor 8.

Ha 2. , akkor 6.

Ha 9. , akkor 1.

Ha 1. , akkor 7.

Ha 1. , akkor 11.

Ha 1. , akkor 3.

Ha 1. , akkor 12.

Ha 1. , akkor 6.

Ha 2. , akkor 9.

Ha 10. , akkor 1.

Ha 13. , akkor 1.

Ha 7. , akkor 11.

Ha 2. , akkor 8.

Ha 13. , akkor 9.

Ha 5. , akkor 9.

A négyszögek tulajdonságai között kell kapcsolatokat keresni, ha-akkor típusú állításokat készíteni róluk, majd eldönteni, melyik igaz, melyik nem. A feladat egyik célja, hogy alkalmazzák a szimmetrikus négyszögekről szerzett tapasztalataikat, a másik cél a logikai ismereteik mélyítése. Ha az egyes tulajdonságokat cédulára írják – vagy cédulára írva képzelik el –, akkor nagyon egyszerűen tudják egy állításhoz a megfordítását elkészíteni. Természetes, hogy ha két tulajdonság bármelyikéből következik a másik, akkor a két tulajdonság egyenértékű – vagyis ekvivalens. Ha csak az egyikből következik a másik, de a másodikból már nem következik az első, akkor az első tulajdonság erősebb a másodiknál. Fontosnak tartjuk, hogy ezek a cédulák mozgathatóan megjelenjenek a táblán (vagy az írásvetítőn), és a gyerekek maguk cserélgessék azokat. A cédulákat készítsük elő: a tanulók kapják meg a fénymásolt lapokat, amelyekből a cédulákat ki tudják vágni a feladat megoldása előtt. A tanárnak pedig segít az interaktív tananyag, illetve az aktív tábla.

157

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 7. óra: A négyszögek szögei Tk.: 163–167. oldal, 1–13. feladat Az óra célja: a négyszögek belső, illetve külső szögei összegének meghatározása. A háromszögre alkalmazott módszerekkel a négyszög belső szögeit és konvex négyszög külső szögeit megfigyelve a tanulók fogalmaznak meg állításokat. Számítási feladatok gyakorlására is van alkalom. A tengelyesen szimmetrikus négyszögek belső szögei közötti összefüggéseket a szimmetriatulajdonságokból és a szögösszegből vezetjük le. Hetedik évfolyamon bizonyítjuk is az állításokat és általánosítjuk sokszögekre. Javasolt eszközök: modellezőkészlet négyszög lapjai, mozaikképek Feladatok 1. Készíts „parkettamintákat” egybevágó négyszögekből négyzethálós lapon! a) b) c) d)

e)

A szépen kiszínezett, nagyobb méretű mintákat érdemes kiállítani az osztály falán. 2. Számítsd ki a négyszögek ismeretlen belső szögeit! a) Egy rombusz egyik szöge 114◦ . 114◦ , 66◦ , 114◦ , 66◦ b) Egy paralelogramma egyik szöge 48◦ . 48◦ , 132◦ , 48◦ , 132◦ c) A húrtrapéz egyik szöge 65◦ . 65◦ , 115◦ , 115◦ , 65◦ 3. Számítsd ki a négyszög ismeretlen külső szögeit! a) Egy húrtrapéz egyik külső szöge 90◦ . A húrtrapéz minden külső szöge 90◦ . b) Egy paralelogramma egyik külső szöge 120◦ . A paralelogramma külső szögei 120◦ , 60◦ , 120◦ , 60◦ . 4. A téglalapból papírsárkányt készítünk, ezért levágjuk a sarkait a berajzolt szakaszok mentén. a) Hányad részét vágjuk le a téglalapnak? A felét. b) Az így kapott deltoid legkisebb szöge kerekítve 53◦ -os. Mekkora a deltoid többi szöge? A deltoid jobb oldali csúcsánál az oldalak 90◦ -os szöget zárnak be. (Segít a négyzetrács.) A másik két ismeretlen szög egyenlő. A deltoid szögei: 53◦ , 1085◦ , 90◦ , 1085◦ .

5. Számítsd ki a négyszög ismeretlen belső és külső szögeit! a) Egy tengelyesen szimmetrikus trapéz egyik szöge 474◦ . 474◦ , 474◦ , 1326◦ , 1326◦ b) A deltoid két szomszédos szöge 60◦ és 100◦ . 60◦ , 100◦ , 100◦ , 100◦ vagy 60◦ , 100◦ , 60◦ , 140◦ c) A deltoid két szemközti szöge 143◦ és 110◦ . 143◦ , 535◦ , 110◦ , 535◦ 158

Háromszögek, négyszögek, sokszögek d) A rombusz egyik szöge háromszorosa a másik szögnek. 45◦ , 135◦ , 45◦ , 135◦ 6. Milyen négyszögekből készítették a képen látható medál keretét? Mekkorák ennek a négyszögnek a szögei?

A medál négy egybevágó húrtrapéz egymáshoz illesztésével készült. A négyszög szögeinek nagysága a négyzetrács segítségével adható meg: 45◦ , 45◦ , 135◦ , 135◦ .

7. Határozd meg a négyszögek ismeretlen belső és külső szögeit, ha az ábra szerint adottak a) a deltoid szögei; b) a négyszög szögei! 85° 84° 96°

96°

108°

72°

74°

72° 108°

19° 95° 85°

72° 48°

140°

132°

161° 106° 74°

40° 140°

. 8. Teri néni az ábrán látható díszítőcsíkot választotta fürdőszobájának csempézésekor. Mekkorák a csíkban megjelenő sokszögek szögei?

50°

A sötétkék kis paralelogramma szögei: 25◦ , 155◦ , 25◦ , 155◦ . A világoskék egyenlő szárú háromszög szögei: 50◦ , 55◦ , 55◦ . A világoskék derékszögű háromszög szögei: 25◦ , 65◦ , 90◦ . A (konkáv hatszög) „V alakú” sötétkék sokszög szögei: 50◦ , 155◦ , 25◦ , 310◦ , 25◦ , 155◦ . A motívum ismétlődése miatt lehet további sokszögeket is találni az ábrán, de azok szögei nem térnek el az itt felsoroltaktól.

9. Milyen négyszöget határoz meg a megadott négy pont a derékszögű koordináta-rendszerben? A tengelyesen szimmetrikus négyszögek tengelyeit rajzold meg! Minden részfeladathoz rajzolj újabb koordináta-rendszert! a) A(−3; 1) B (7; 1) C (4; 5) D (2; 5) Trapéz (nem húrtrapéz), AB CD . b) A(−3; −1) B (−4; −4) C (−1; 5) D (0; −2) Nem négyszög (nem egyszerű sokszög, A, B ,

C

kollineáris).

159

Háromszögek, négyszögek, sokszögek c) d) e) f) g)

A(6; 6) A(−4; −2) A(3; 3) A(2; 0) A(−3; −1)

B (0; 0) B (1; −2) B (−2; 3) B (0; −1) B (−8; −6)

C (4; −4) C (4; 2) C (−2; −2) C (2; −4) C (−1; 5)

D (10; 2) Téglalap, két szimmetriatengelye van. D (−1; 2) Rombusz, két szimmetriatengelye van. D (3; −2) Négyzet, négy szimmetriatengelye van. D (4; −1) Deltoid, egy szimmetriatengelye van. D (3; 1) ADBC sorrendben konkáv deltoid,

egy

szimmetriatengelye van.

10. Egy négyszög rövidebb átlója 13 cm hosszú, a hosszabbik átlója minden oldallal 30◦ -os szöget zár be. Milyen négyszög ez? Mekkora a kerülete? A négyszög tengelyesen szimmetrikus a hosszabbik átlójára ⇒ deltoid.

11. Rajzolj olyan deltoidokat, amelyeknek egy, kettő, három, négy hegyesszögük van!

Egy,

kettő,

három

hegyesszöge van.

◦

Négy hegyesszöge nem lehet, mert azok összege 360 -nál kisebb lenne.

12. Rajzolj olyan húrtrapézokat, amelyeknek egy, kettő, három vagy négy hegyesszögük van! A szimmetria miatt nem lehet páratlan számú hegyesszöge a húrtrapéznak. A belső szögek összege pedig nem lehet 360◦ -nál kevesebb, ezért nem lehet négy hegyesszöge. Csak két hegyesszöge lehet egy húrtrapéznak.

13. Hány homorú szöge lehet egy négyszögnek? Legfeljebb egy homorúszöge lehet egy négyszögnek, mert két homorú szög összege 360◦ -nál több lenne.

160

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 8–9. óra: Négyszögek szerkesztése Tk.: 167–173. oldal, 1–13. feladat Az órák célja: négyszög szerkesztése euklideszi módon. A négyszöget nem határozza meg négy oldala (tapasztalat például szívószáloldalakkal), speciális esetben viszont kevesebb adat is elegendő a megszerkesztéséhez (például rombusz). A háromszögszerkesztéseknél tanultakat és a tengelyes tükrözés tulajdonságait összekapcsolva különböző esetekben sokféle jó megoldás születhet. Alkalmazzuk és gyakoroljuk a háromszögszerkesztésnél megismert alapvető szerkesztési lépéseket: • adatok felvétele, • vázlatrajz készítése, • a szerkesztéshez szükséges összefüggések megállapítása, • a szerkesztés elvégzése, a szerkesztési lépések indoklása, • a kapott alakzat helyességének ellenőrzése, • a megoldások számának vizsgálata (diszkusszió). A vázlat készülhet szabadkézi rajzzal. Azon színessel emeljük ki az ismert adatokat! Ez a rajz legyen olyan méretű, hogy annak segítségével be tudjuk mutatni a fennálló összefüggéseket, és be tudjuk bizonyítani a tervezett lépések helyességét! Hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hogy a szerkesztési vonalakat halványabban, grafittal rajzolják, a kész alakzatot erősebben (esetleg színessel) vastagabb vonalakkal emeljék ki! Így az ábra áttekinthető lesz. Ezzel nevelhetjük őket pontos és esztétikus munkára. A megszerkesztett alakzatokat akkor tekintjük különbözőknek, ha azok nem egybevágók. A kör és az egyenes metszéspontja 0, 1, vagy 2 lehet, de ha a kapott metszéspontokkal szerkesztett alakzatok egybevágók, azok ugyanazok a megoldások akkor is, ha nem esnek egybe. A következő szerkesztési feladatok megoldását könnyen ellenőrizhetjük, vagy a tanulók végezhetnek önellenőrzést, ha pauszpapírra (átütőpapírra) szerkesztett ábránkat a megoldásukra helyezik. Az Euklides számítógépes szerkesztőprogrammal bemutathatjuk a szerkesztés minden lépését. Feladatok 1. Szerkeszd meg azt a rombuszt, amelynek a) oldala 35 cm hosszú, egyik szöge 30◦ ; b) egyik átlója 4 cm, másik átlója 60 mm hosszú; c) ezek a részei adottak:

d) ezek a részei adottak:

oldal

egyik szög

egyik szög

oldal

Például a b) szerkesztés lépéseinek leírása. 1. A 4 cm hosszú átló felvétele, → a két végpont a rombusz A és C csúcsai. 2. Az AC szakasz felezőmerőlegesének szerkesztései → f , f és AC metszéspontja 3. A 60 mm = 6 cm hosszú átló fele 3 cm.

F. 161

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 4. Az F középpontú, 3 cm sugarú (k ) kör felrajzolása. 5. A k kör és az f egyenes metszéspontjai adják a rombusz 6. Az A, B , C , D pontok összekötése → rombusz.

B és D csúcsait.

2. Szerkessz 3 cm sugarú körbe húrtrapézt, ha egyik alapja 55 mm, szára 28 mm! Két megoldás van, az egyik húrtrapéz tartalmazza a kör középpontját, a másik nem.

28 mm 28 mm

3. Szerkessz deltoidot, amelynek szimmetriaátlója 7 cm, és az átló a deltoid 120◦ -os és 60◦ -os szögének csúcsát köti össze! Egy megoldás van.

55 mm 28 mm

Az egyik szög szögfelezőjére felmérjük a szimmetriaátlót, az átló másik végpontjában megszerkesztjük a másik szög felét mindkét félsíkban.

28 mm

4. Egy négyszög három csúcsa (−2; 0), (8; 0), (0; 4). Tengelyes tükrözéssel határozd meg a negyedik csúcsot, ha a négyszög a) húrtrapéz, A négyszög lehet húrtrapéz, b) deltoid, A négyszög deltoid, ha a negyedik csúcsa

D1 (6; 4) pont.

ha a negyedik csúcsa

A négyszög lehet téglalap (speciális húrtrapéz), ha a negyedik csúcsa D2 (6; −4) pont. y

D3 (0; −4) pont.

A négyszög rombusz nem lehet. y

D1

1

1

0

x

1

0

D2

x

1

D3

c) rombusz! A megadott pontok nem lehetnek egy rombusz csúcsai, mert semelyik két szakasz nem egyenlő. 5. Szerkeszd meg azt a rombuszt, amelyben a) az 5 cm-es oldalak távolsága 2 cm; 5

4

b) az egyik átló 5 cm, az oldal pedig 3 cm hosszú; 2

6

3

c) az egyik átló 4 cm hosszú, az egyik szög pedig 30◦ -os! 5

2

3 1

4

1

3

2 1

162

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 6. Szerkeszd meg azt a húrtrapézt, amelynek a) hosszabbik alapja 45 cm, szára 25 cm, egyik szöge 60◦ ; A rövidebb alap hossza 2 cm. b) alapjai 4 cm és 25 cm, az alapok távolsága 2 cm; A húrtrapéz szárai ≈ 21 cm hosszúak lesznek. c D C c) alapjai 3 cm és 5 cm hosszúak, kerülete 16 cm; Vázlat:

A húrtrapéz tulajdonságai miatt b1 = b2 = b3 = b , a + 2b + c = 16 → b = 4 és f = 5 − 3 = 2 (cm) b1 b2 b3 A szerkesztés lépései: f 1. Az EBC egyenlő szárú háromszög szerkesztése, oldalai: E B A a 2 cm, 4 cm, 4 cm. → B és C csúcs. 2. Az EB szakasz E -n túli meghosszabbítására EA = c hosszúságú szakasz felmérése → A csúcs. 3. A BEC szög átmásolása az A csúcsba → AD félegyenes. 4. Az A középpontú b = 4 cm sugarú kör kimetszi az AD félegyenesből a D csúcsot. 5. A D és a C pont összekötése. Egyféle húrtrapéz szerkeszthető.

d) alapja 6 cm, átlója 5 cm, szára 3 cm; Egyféle megoldás van. Háromszöget szerkesztünk, majd az alap felezőmerőlegesére tükrözünk.

e) 4 cm-es átlója 30◦ -os szöget zár be az 55 cm-es alapjával!

Háromszöget szerkesztünk, majd az 5 5 cm-es alap felezőmerőlegesére tükrözünk.

7. Szerkessz deltoidot az alábbi adatokból: a) a 2 cm-es és 4 cm-es oldala derékszöget zár be; 2 cm és 4 cm befogójú derékszögű háromszöget szerkesztünk, és azt az átfogójára tükrözzük. D

b) az egyik átlója 4 cm, a szimmetriaátló ennek másfélszerese, egyik oldala 35 cm! A szimmetriaátló f = 4 · 15 = 6 (cm). Vázlat: A szerkesztés lépései: 1. Az AC = 4 cm szakasz felvétele → A és C csúcsok. 2. Az AC szakasz felezőmerőlegese: f . 3. Az A középpontú 35 cm sugarú kör kimetszi f -ből a D csúcsot. 4. A D középpontú 6 cm sugarú kör kimetszi f -ből a B csúcsot. 5. Az A, B , C , D pontok összekötése. Egy megoldás van.

c A

8. Szerkessz húrtrapézt az alábbi adatokkal!

F b

C

f

B

alapja szára

egyik szöge

Kétféle trapéz a megoldás, mert a megadott alap lehet a rövidebbik és a hosszabbik is.

9. Szerkeszd meg azt a deltoidot, amelynek a) 6 cm-es szimmetriaátlója 30◦ -os és 45◦ -os szöget zár be az oldalakkal; A 6 cm-es átlóra szerkesztett 30◦ -os és 45◦ -os szögszárak metszik ki a deltoid csúcsát, s ennek az átlóra vonatkozó tükörképe a negyedik csúcs.

b) 5 cm-es szimmetriaátlója 15◦ -os szöget zár be az egyik oldallal, a másik oldala pedig 3 cm! Kétféle megoldás lesz (egyik konvex, másik konkáv). Az átló végpontjába szerkesztett 15◦ -os szögszárakat a másik végpont körül rajzolt 3 cm sugarú körrel metsszük.

163

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 10. A kihúzható lámpakar öt rombuszból áll. A rombuszok oldala 15 cm, és az összeillesztések miatt 45◦ -nál kisebb szöget nem zárhat be két oldal. Legfeljebb mekkora lehet az ábrán jelölt távolság? Készíts ötödére kicsinyített ábrát! A kicsinyített ábrán a rombusz oldala 3 cm, hosszabbik átlója 5 5 cm, a valóságban 27 5 cm. A lámpakar ≈ 137 5 cm, vagyis ≈ 1 4 m távolságra húzható ki.

27 5 cm

45◦

27 m 25 m

11. Tüköri asszony és Kereki úr olyan birtokot örökölt, ahol három hatalmas fenyő áll. Mindketten szeretnének néhány fiatal csemetét is ültetni. Tüköri asszony kívánsága az, hogy az új fa és a három régi tengelyesen tükrös négyszög csúcsaiban legyen. Kereki úr vágya, hogy kör alakú úton sétálhasson az új és a három régi fa mellett. Hány fát ültethetnek mindkettőjük megelégedésére? Készíts rajzot, 10 méternek 2 cm feleljen meg!

15 cm

15

m

a = 27 m, b = 25 m, c = 15 m, kicsinyítve 5 4 cm, 5 cm, 3 cm.

A negyedik pont a háromszög köré írt körön van, és egy húrtrapéz csúcsa. (Ezekkel az adatokkal a másik fajta tükrös négyszög, vagyis deltoid nem szerkeszthető.)

12.

A titkos Sárkányrend lovagjai deltoid alakú jelvényt viselnek. Mindannyiuk jelvényének a fele látható a rajzon, de nincs két egyforma jelvény. Hány tagja van a rendnek?

Szerkeszd meg a jelvényeket, és találd ki a lovagok nevének kezdőbetűit! A kezdőbetűk: M, H, A. Nézzük meg tükörrel is a három esetet!

164

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 13. Háromfős csoportban dolgozzatok! A tangram nevű kirakójátékot 1903-ban kínai játékként írta le Sam Lloyd, aki sok logikai feladványt készített. Készítsétek el, és vágjátok szét az ábrán látható tangramot, majd oldjátok meg a feladatokat! Nem kell minden elemet felhasználnotok. a) Rakjatok ki húrtrapézokat! b) Rakjatok ki deltoidokat! c) Rakjatok ki téglalapokat! d) Rakjatok ki paralelogrammákat! e) Milyen fajta négyszöget tudtok kirakni, ha az összes elemet felhasználjátok? a) Például:

Az egymás alatt levő négyszögek területe egyenlő. Az eredeti négyzet, illetve az A jelű lapok áthelyezésével adódó húrtrapéz is megoldás. b) Csak speciális deltoid (négyzet) rakható ki. c), d) Az eredeti négyzetből a két A jelű elem áthelyezésével kirakható téglalap is, paralelogramma is.

10. óra: Derékszögű háromszögek kerülete, területe Tk.: 174–176. oldal, 1–10. feladat Az óra célja: a kerületről és területről korábban tanult ismeretek felelevenítése, alkalmazása derékszögű háromszögre. Átismételjük a kerület és a terület mértékegységeit, gyakoroljuk az átváltást. Felelevenítjük a téglalap kerületének, területének kiszámítási módját. A téglalappá kiegészítést, s abból a derékszögű háromszög területének meghatározását a gyerekek maguk szokták javasolni, sok tapasztalatuk van az ilyen feladatok megoldásában. Alapkövetelmény a kerület és terület közötti különbség felismerése, a fogalmak helyes értelmezése és alkalmazása. A területfogalom épülésének erősítését szolgálják a négyzetrácson megoldható területszámítási feladatok, és segít ebben az átdarabolás, illetve a téglalappá történő kiegészítés is. Feladatok 1. a) Váltsd át mm-re!

125 cm = 125 mm;

b) Váltsd át méterre! 15 km = 1500 m;

3 m = 750 mm; 4

1

3 dm = 160 mm 5

3 dm 4 mm = 0304 m;

7 3 m = 1 m = 175 m 4 4 165


2. a) Váltsd át cm2 -re! b) Váltsd át dm2 -re!

31 m2 = 31 000 cm2 ;

3 dm2 = 375 cm2 ; 8

47 m2 = 470 dm2 ;

1995 cm2 = 1995 dm2 ; 2

49 mm2 = 049 cm2 4 2 m = 280 dm2 5

3. a) Hány területegység a háromszögek területe? A területegység egy rácsnégyzet területe.

b) Rajzolj a háromszöggel egyenlő területű téglalapot! Keress többféle megoldást! A téglalap oldalai például az

A esetben: 1 és 12; 2 és 6; 3 és 4; 5 és 24 : : :

lehetnek.

4. Mérd meg a háromszög oldalait! Számítsd ki a kerületét, területét! a)

b)

oldalak: 18 cm, 37 cm, 41 cm

c)

13 cm, 29 cm, 32 cm

d)

31 cm, 31 cm, 44 cm

3 cm, 3 cm, 42 cm

K = 96 cm K = 74 cm K = 106 cm K = 102 cm 2 2 2 2 2 2 T = 333 cm ≈ 33 cm T = 1885 cm ≈ 19 cm T = 4805 cm ≈ 48 cm T = 45 cm2

5. Hányad része a téglalap területének a négyszög területe? a)

b)

c)

d)

Mind a négy esetben fele a négyszög területe a téglalap területének.

6. Az ábrán látható négyzetek közül válaszd ki azt, amelynek pontosan a fele van kiszínezve! a)

b)

c)

d)

(Országos kompetenciamérés, 2009) 166

Háromszögek, négyszögek, sokszögek T = 25 e2. A b) színezett terület a fele a négyzetének. ta = 12 e2 , tb = 25 e2 − (3 + 45 + 5) e2 = 125 e2 , tc = 25 e2 − 4 · 3 e2 = 13 e2 , td = 25 e2 − 4 · 2 e2 = 17 e2 7. Hány m2 zöld felületet alakítottak ki az útkereszteződés építésekor? 924 m2

8. Hány m2 üveget használunk fel az ábrán látható díszes bejárathoz? 1 rácsegység a valóságban 2 dm.

T = 160 négyzet területe, T = 160 · 4 dm2 = 640 dm2 = 6 4 m2 . 8m

9. 2m 25 m

8m

25 m oldalú, négyzet alakú medence köré virágokat ültetnek a vázlatrajz szerint. a) Mekkora területet ültetnek be? Több lesz-e a virágos rész területe 02 hektárnál? 928 m2 a beültetett terület. 928 m2

< 1 ha = 10 000 m2 .

b) Mennyibe kerül a virágültetés, ha 1 m2 parkosítása 1200 Ft? 1 113 600 Ft a parkosítás költsége. c) Mekkora a 2 méter széles utak területe összesen? 344 m2 . A háromszögek mellett 8 · (8 · 2) m2 , középen (29 · 29 − 25 · 25) m2 az utak területe.

10. a) Számítsd ki az

AB oldal hosszát!

A C csúcs távolsága az AB szakasztól 4 cm ⇒ a 20 cm2 területű háromszög befogói 4 cm és 10 cm. A háromszög AB oldala 13 cm hosszú.

b) Szerkeszd meg a háromszöget! A szerkesztés lépései:

AB szakasz felvétele → A és B csúcs. Az AB szakaszra A-tól 3 cm felmérése → D pont. Az AB szakaszra a D pontban merőleges szerkesztése. Ebből a merőleges félegyenesből a D középpontú 4 cm sugarú kör kimetszi a C csúcsot. A CA és a CB oldalak megrajzolása → ABC háromszög.

1. A 13 cm hosszú 2. 3. 4. 5.

167

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 11. óra: Tengelyesen szimmetrikus háromszögek kerülete, területe Tk.: 176–179. oldal, 1–14. feladat Az óra célja: szimmetrikus háromszögek kerületének, területének kiszámítása. Téglalapba foglalással (tompaszögű háromszög esetén ez a célszerű, ha nem a leghosszabb oldallal párhuzamos a téglalap oldala), illetve téglalappá átdarabolva számíthatjuk ki a háromszögek területét. Vigyázzunk, mert a kétféle téglalap összekeverhető! A könyvben a téglalapba foglalást választottuk, mert az később a konkáv deltoid esetén is könnyen alkalmazható. Feladatok 1. Egy rácsnégyzet területe a területegység. Mekkora a háromszögek területe?

2. Számítsd ki az egyenlő szárú háromszögek területét! a)

T = 40 cm2

b)

T = 24 cm2

c)

12 cm

10

T = 25 cm2 5 cm

cm

10 cm

4 cm

8 cm

3. Mérd meg a háromszög oldalait, és szerkeszd meg a háromszöget! Szerkeszd meg a szimmetriatengelyét, és határozd meg a háromszög kerületét és területét!

K ≈ 91 cm T ≈ 39 cm2 168

K ≈ 85 cm T ≈ 32 cm2

K ≈ 93 cm T ≈ 26 cm2

K = 9 cm T ≈ 39 cm2

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 4. Julika a kézművesszakkörön foltvarrással készít falvédőt. Ennek méretei 100 cm × 250 cm. a) Mekkora a nagyobb fehér háromszög területe? A nagyobb fehér háromszög területe: 1250 cm2 .

b) Mekkora a kisebb fehér háromszög területe? A kisebb fehér háromszög területe: 625 cm2 .

c) Mekkora együtt a fehér háromszögek területe, és mekkora része ez a falvédő területének? A falvédő területe:

T = 25 000 cm2, a fehér háromszögek területe összesen:

t = 4 · 625 cm2 + 3 · 1250 cm2 = 6250 cm2 . Ez 14 része az egész falvédő területének. Ezt megkaphatjuk, ha a fehér háromszögeket egymáshoz illesztjük. Így 25 négyzetnyi terület lesz fehér, ez negyede a 10 négyzetnyi területnek.

5. a) Hány tükrös háromszög van az ábrán? 13 b) A legkisebb háromszög kerületének hányszorosa a legnagyobb háromszög kerülete? Háromszorosa. c) A különböző tükrös háromszögek területe hányszorosa a legkisebb háromszög területének? A „közepes méretű” háromszög területe 4-szerese, a „legnagyobb méretű” háromszög területe 9-szerese a legkisebb háromszög területének.

d) Ha folytatjuk az ábrát, hány új háromszög kerül a következő, negyedik sorba? A negyedik sorba 7 db háromszög kerülhet, de lehet máshogyan is folytatni az ábra kirakását, ezért lehet a következő sorban például 5 db háromszög stb.

6. Szerkessz 3 cm sugarú körbe egyenlő szárú háromszöget úgy, hogy a háromszög csúcsai a körvonalon legyenek! Számítsd ki a háromszög kerületét és területét! A szükséges adatokat mérd meg! A háromszög alapja a) 6 cm; b) 3 cm; c) 4 cm.

a) Egyféle háromszög szerkeszthető, T = 9 cm2 , K ≈ 145 cm. b) Két különböző háromszög szerkeszthető, T1 ≈ 84 cm2 , K1 ≈ 146 cm,

T2 ≈ 06 cm2 , K2 ≈ 62 cm. c) Két különböző háromszög szerkeszthető, T1 ≈ 105 cm2 , K1 ≈ 152 cm, T2 ≈ 15 cm2 , K2 ≈ 83 cm.

7. Mekkora az egyenlő szárú háromszög kerülete, illetve területe, ha a) alapja 7 cm, alapon fekvő szögei 30◦ -osak, K ≈ 10 8 cm, T ≈ 3 5 cm2 b) alapja és az alaphoz tartozó magassága 4 cm? K ≈ 13 cm, T = 8 cm2 A háromszöget megszerkesztve a szükséges adatok mérhetők.

169

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 8. Szerkeszd meg a 10 cm oldalú négyzetet és a P pontot! Számítsd ki a keletkezett egyenlő szárú háromszögek területét a hiányzó adatok megmérése után! A nagyobb egyenlő szárú háromszög magassága: ≈ 86 cm, területe ≈ 433 cm2 .

A kisebb egyenlő szárú háromszög magassága: 10 cm − 86 cm = 14 cm, területe ≈ 7 cm2 .

9. Egy egyenlő szárú háromszög egyik oldala 4 cm, a másik két oldala sem hosszabb 5 cm-nél. Oldalainak mérőszáma centiméterben mérve egész szám. a) Hány háromszög felel meg a feltételeknek? Hét. A háromszög oldala lehet: 4 cm, 5 cm, 5 cm; 4 cm, 4 cm, 3 cm;

4 cm, 4 cm, 5 cm; 4 cm, 4 cm, 1 cm;

4 cm, 4 cm, 2 cm; 4 cm, 3 cm, 3 cm.

4 cm, 4 cm, 4 cm;

b) Szerkeszd meg a legkisebb kerületű háromszöget, és számítsd ki a területét! A legkisebb kerületű háromszög oldalai 4 cm, 4 cm, 1 cm, területe ≈ 1 9 cm2 .

10. Hány egyenlő szárú háromszög van az ábrán? Határozd meg ezek területét! (A hosszúság egysége a rácsnégyzet oldalának a hossza.) 5 db egyenlő szárú háromszög van az ábrán: 1: 3: 5: 7: 8:

t1

= 2 e2 , t3 = t7 = 3 e2 , t5 = 4 e2 foglaljuk 4 × 3-as rácstéglalapba.

t8

= 5 e2 , a 8. háromszöget

11. Egy egyenlő szárú háromszög kerülete 10 cm, oldalainak mérőszáma centiméterekben mérve egész szám. Hány ilyen háromszög van? Szerkesztés és mérés után számítsd ki a területüket! A háromszög oldala lehet:

2 cm, 4 cm, 4 cm, 3 cm, 3 cm, 4 cm,

T ≈ 3 9 cm2 T ≈ 4 4 cm2

12. Egy egyenlő szárú háromszög egyik oldala 3 cm, a másik ennek kétszerese. Ha a szárak 3 cm-esek, akkor az alap 6 cm, ilyen háromszög nincs; ha az alap 3 cm, akkor a szárak 6-6 cm-esek, ez lehetséges.

a) Szerkeszd meg a háromszöget, és tükrözd mindhárom oldalára! A háromszög oldalai 3 cm, 6 cm, 6 cm.

b) Az eredeti és a három tükörképháromszög hatszöget alkot. Számítsd ki a hatszög kerületét és területét! K = 30 cm, T ≈ 34 8 cm2 13. Egy egyenlő szárú háromszöget mindhárom oldalára tükrözve a négy háromszög egy újabb háromszöget alkot. Mekkorák az eredeti háromszög szögei? Az eredeti háromszög egyenlő oldalú, szögei 60◦ -osak.

14. Egy egyenlő szárú háromszöget mindhárom oldalára tükröztünk, így jött létre az ábrázolt konvex deltoid. Mekkorák a háromszög szögei, kerülete és területe? A háromszög szögei: 120◦ , 30◦ , 30◦ . Kerülete és területe 4 cm-es alap esetén

170

K = 86 cm, T ≈ 22 cm2 .

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 12–13. óra: Tengelyesen szimmetrikus négyszögek kerülete, területe Tk.: 179–183. oldal, 1–10. feladat Az órák célja: deltoid és húrtrapéz területének meghatározása. A 2. példa alapján másfajta egybevágó alakzatokra is feltehetjük a kérdést, érdemes időt hagyni a tanulók próbálkozásaira, és megbeszélni indoklásaikat. A 3. példában felhasználjuk a tengelyesen szimmetrikus háromszög területéről tanultakat. A c) részben a konkáv deltoid területét téglalapba foglalással adjuk meg. Ez a módszer mindig alkalmazható. A téglalappá történő átdarabolás az ábrázolt esetben könnyen sikerül, míg a külső átlóhoz képest igen rövid belső átló esetén paralelogrammává érdemes átdarabolni. A trapéz területével hetedikben általánosan foglalkozunk. Feladatok 1. Határozd meg a négyszögek területét! Egy rácsnégyzet területe a területegység.

B: 15

A: 9

E: 15 C: 18 G: 16

F: 18 D: 12

H: 15

I: 8

2. Számítsd ki a téglalapba írt négyszögek területét! Az egyes szakaszok hosszát jelöltük a vázlatrajzokon. 2 cm 4 cm

5 cm 6 cm

T = 12 cm

2

10 cm

6 cm

T = 36 cm

T = 75 cm2

T = 30 cm2

4 cm

3 cm 2 cm 5 cm

2

4 cm

T = 12 cm2 2 cm

6 cm

171

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 3. Írólapból hajtogattuk a háromszöget és a négyszögeket.

a) Mérés után számítsd ki a háromszög és a négyszögek területét! Az írólap oldalai 205 cm és

15 cm, területe 3075 cm2 . A háromszög és a négyszögek területe egyaránt fele a téglalap területének, vagyis T = 15375 cm2 ≈ 154 cm2 .

b) Melyik a legnagyobb területű négyszög? Egyenlő területűek, nincs közöttük legnagyobb. c) 30 tanuló tud-e csupa egymástól különböző négyszöget hajtogatni? Igen. Végtelen sok különböző négyszög hajtogatható.

4. Egy múzeum körfolyosóját 2 méter szélességű futószőnyeggel borították be. Ennek felülnézetét látod az ábrán. Mekkora területű a szőnyeg? Hány liter folyékony szőnyegtisztító szert kell használni a takarításához, ha 1 dl 4 m2 területű szőnyeg tisztítására elég?

12 m

8m

4m 8m

A szőnyeget két-két egybevágó húrtrapéz alkotja. A trapézok magassága mindenütt megegyezik a szőnyeg szélességével: 2 méterrel.

A nagyobb trapéz területét megkapjuk, ha a (12 m × 2 m) méretű téglalap területéből levonjuk a két 2 m-es befogójú, egyenlő szárú derékszögű háromszög területét: T = 12 · 2 − 2 · 2 = 20 (m2 ). Ennek kétszerese: 40 m2 . A kisebb trapéz területét megkapjuk, ha a (4 m × 2 m) méretű téglalap területéhez hozzáadjuk a két 2 m-es befogójú, egyenlő szárú derékszögű háromszög területét: T = 4 · 2 + 2 · 2 = 12 (m2 ). Ennek kétszerese: 24 m2 .

A szőnyeg területe: 64 m2 . A szőnyeg tisztításához 64 : 4 = 16 dl = 16 l szőnyegtisztító kell.

5. Egy templomi mozaikablak részletét látod az ábrán. Megadtuk az egyes részek területének nagyságát rácsegységben. Válaszd ki, melyik területérték melyik részhez tartozik! a) 1 1, 3, 8, 9

b) 2 2

c) 35 5, 6

d) 4 4, 7

1. 4. 8.

2.

3.

5. 6.

7. 9.

6. Péter névjegykártyát szeretne nyomtatni A4-es méretű (210 mm×297 mm) lapra. A névjegykártya szokásos mérete 55 mm×85 mm, ezt az A4-es méretű lapon kétféleképpen lehet elhelyezni: vagy mindet vízszintes, vagy mindet függőleges elrendezésben, a következő ábrán látható módon. Maximum hány névjegykártyát tud nyomtatni Péter 10 db A4-es méretű lapra? 172

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 210 mm

210 mm

297 mm

névjegykártya

297 mm

névjegykártya 85 mm

55 mm 85 mm

55 mm

(Országos kompetenciamérés, 2012) Ha vízszintesen helyezzük el a névjegykártyákat, akkor 100 db készíthető 10 db A4-es lapból, ha függőlegesen, akkor 90 db. Tehát az első elhelyezés adja a maximumot.

7. Számítsd ki a négyszögek területét! Segíthet, ha téglalapba foglalod a sokszögeket. A szükséges adatokat mérd meg!

T = 4 cm2

T = 45 cm2

T = 525 cm2

T = 4 cm2

8. Szerkeszd meg a négyszöget! Számítsd ki a kerületét, területét! a) A rombusz átlói 4 cm és 7 cm hosszúak. a ≈ 4 cm, K ≈ 16 cm, T = 14 cm2 b) A húrtrapéz alapjai 5 cm és 7 cm, az alapok távolsága 2 cm. szár ≈ 22 cm,

T = 12 cm

2

K

≈ 164 cm,

c) A deltoid egyik átlója 8 cm, oldalai 3 cm és 9 cm hosszúak. Csak a szimmetriaátló lehet 8 cm, a másik átló ≈ 6 cm,

K = 24 cm, T ≈ 24 cm2.

A szükséges adatokat mérd meg! 9. Mekkora a beszínezett négyszögek területe? A négyzetek oldala 6 cm, az oldalakon felezőpontokat jelöltünk meg.

T = 9 m2

T = 18 m2

T = 135 m2

T = 18 m2

173


10. Egy rácsháromszög területe a területegység. Mekkora a négyszögek területe?

14. óra: Testhálók Tk.: 183–186. oldal, 1–10. feladat Az óra célja: a téglatest felszínének, térfogatának kiszámítása, az átváltás, a testháló rajzolása. Feladatokon keresztül rendszerezzük az e fejezetben tanultakat. A testhálókat tengelyesen szimmetrikus négyszögekből, egyenlő szárú vagy derékszögű háromszögekből szerkesztjük. Időigényes feladatok ezek, ezért inkább keveset végezzünk el, de precízen és megindokolva oldjuk meg. A Testhálók és a Szabályos sokszögek című fejezetek jó képességű csoportban alkalmasak a számonkérés előtti összefoglalásra, más csoportban a korábbi feladatok közül válogatva gyakorolhatunk. Az egyenes hasáb felszínével, térfogatával, valamint a szabályos sokszögek vizsgálatával hetedikben bővebben foglalkozunk. Feladatok 1. Váltsd át cm3 -re! a) 6 dm3 = 6000 cm3 d) 45 000 mm3 = 45 cm3

b) 3 m3 = 3 000 000 cm3 e) 120 dm3 = 120 000 cm3

c) 520 000 mm3 = 520 cm3 f) 2 dm3 78 cm3 = 2078 cm3

g) 1800 mm3 = 18 cm3 5 j) m3 = 625 000 cm3 8

h) 26 dm3 = 26 000 cm3

i) 72 dm3 = 7200 cm3

2. Váltsd át dm3 -re! a) 4 m3 = 4000 dm3

b) 23 m3 = 23 000 dm3

c) 71 000 cm3 = 71 dm3 1 d) 170 000 mm3 = 017 dm3 e) 412 000 cm3 = 412 dm3 f) m3 = 250 dm3 4 1 g) 28 m3 5 cm3 = 28 000005 dm3 h) 27651 cm3 = 27651 dm3 i) 2 m3 = 2200 dm3 5 3. Számítsd ki egy a) 8 cm, 174

A = 384 cm2 , V

= 512 cm3

b) 6 m,

A = 216 m2 , V

= 216 m3

Háromszögek, négyszögek, sokszögek c) 29 dm, A = 5046 dm2 , V = 24 389 dm3 élű kocka felszínét és térfogatát!

d) 72 cm

A = 31104 cm2, V

= 373248 cm3

4. Hány dm2 a felszíne, és hány liter a térfogata annak a kockának, amelynek élei b) 2 m, A = 24 000 dm2 , V = 8000 l a) 9 dm, A = 486 dm2 , V = 729 l c) 16 m, A = 1536 dm2 , V = 4096 l d) 32 cm, A = 6144 dm2 , V = 32768 l 4 e) dm A = 384 dm2 , V = 0512 dm3 = 0512 l ≈ 05 l 5 hosszúak? 5. Számítsd ki a téglatest felszínét és térfogatát, ha adott egy csúcsba futó három éle! a) 4 cm, 3 cm, 5 cm A = 94 cm2 , V = 60 cm3 b) 7 dm, 14 cm, 3 cm A = 2464 cm2 , V = 2940 cm3 c) 21 dm, 3 dm, 06 dm A = 1872 dm2 , V = 378 dm3 6. Az építőkészletben olyan négyzetes oszlopok vannak, amelyeknek magassága hatszorosa az alapéleknek, egy-egy oszlop felszíne 416 cm2 . Ilyen hasábokból 2304 cm3 térfogatú téglatest épült. Hány négyzetes oszlop kellett a téglatesthez? Egy négyzetlap területe 16 cm2 , az alapél 4 cm, a magasság 24 cm. Egy oszlop térfogata 96 cm3 . 24 oszlop térfogata 2304 cm3 . A téglatest 24 oszlopból készülhetett.

7. Az alábbi rajz egy téglatest hálóját ábrázolja. Mekkorák a téglatest élei? (Országos kompetenciamérés, 2004) A téglatest élei az ismert adatokból meghatározhatók: a = 3 cm, b = 2 cm, c = 1 cm.

5 cm

3 cm

3 cm

8. Vágj ki papírból egy négyzetet és négy szabályos háromszöget! Készítsd el belőlük a négyzet alapú gúla hálóit!

175

Háromszögek, négyszögek, sokszögek Gúlahálók:

9. Megszerkesztettük egy négyzet alapú gúla és egy deltoid alapú hasáb hálóját. a) Másold át az ábrákat egy-egy négyzethálós lapra! Nagyítsd kétszeresre az oldalakat a négyzethálós lapokon! b) Számítsd ki az eredeti, majd a nagyított gúla és hasáb felszínét! c) Szerkeszd meg kartonpapírra a nagyított méretű testek hálóját, vágd ki azokat, és készítsd el a testeket!

A) B)

A(eredeti) = 64 e2 A(nagyítás után) = 256 e2 A(eredeti) = 50 e2 A(nagyítás után) = 200 e2

10. Szerkeszd meg a test hálóját, a határoló lapok méretét olvasd le az ábráról! Számítsd ki a test felszínét! Az a) test térfogatát is határozd meg!

A = 1134 cm2 V = 702 cm3

a)

T = 36 cm2

176

T = 18 cm2

T ≈ 117 cm2


A = 918 cm2

b)

T = 9 cm2

T = 36 cm2

T ≈ 117 cm2

15. óra: Szabályos sokszögek Tk.: 187–189. oldal, 1–11. feladat Az óra célja: szabályos sokszögek létrehozása tengelyesen szimmetrikus háromszögekből. Egybevágó, egyenlő szárú háromszögekkel fedjük le a kört, esetleg több teljes fordulat után ér vissza a kiindulási helyzetbe a háromszög. Bár ezek a feladatok alkalmat adnak a rendszerezésre is, fő célunk a tapasztalatgyűjtés. A sokszögek többféle csoportosítását a tanulók a síkgeometriai modellezőkészlet alakzataival vagy kartonlapból saját készítésű alakzatokkal végezhetik el. A tanári bemutatókat pedig sokoldalúan segítik az interaktív tananyag idetartozó fejezetei. Feladatok 1. a) Szerkessz 2 cm oldalú szabályos hatszöget, és rajzold be a szimmetriatengelyeit! A szerkesztést 2 cm sugarú kör segítségével végezzük el.

b) Szerkessz 15 cm oldalú szabályos nyolcszöget, és rajzold be a szimmetriatengelyeit! A szabályos nyolcszög oldalai által bezárt szög 135◦ . Megszerkesztjük a nyolcszög 15 cm-es, egymással 135◦ -os szöget bezáró két oldalát, majd a többi szögét és oldalát szög- és szakaszmásolással készítjük el.

2. Tükrözd az egyenlő szárú háromszöget az egyik szárára! Ismételd meg a tükrözést a tükörképpel addig, amíg az utolsó tükörkép fedésbe nem kerül az eredeti háromszöggel vagy annak egy részével! Hány tükrözés után értél a feladat végére az egyes esetekben? a)

e)

b)

c)

f)

d)

g)

Szabályos sokszög lesz: a) nyolcszög, b) hatszög, c) ötszög, e) négyzet, g) háromszög.

h)

177

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 3. Válaszd ki a) a szabályos sokszögeket; 1., 8. b) a tengelyesen szimmetrikus sokszögeket! 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7. 8.

4.

3.

1. 2. 5.

8.

7.

6.

4. Válaszd ki a a) szabályos sokszögeket; 2., 4., 7. b) a tengelyesen szimmetrikus sokszögeket! 1., 2., 3., 4., 6., 7., 8.

4.

3.

1. 2.

7.

5.

6.

8.

5. a) Szabályos-e a díszcsempén lévő minta által határolt sokszög? Válaszodat indokold! Nem szabályos, mert sem az oldalai, sem a szögei nem egyenlők.

b) Van-e szimmetriatengelye? Ha igen, akkor hány? 4 szimmetriatengelye van.

6. a) Milyen szimmetrikus háromszög tükrözésével kaphatunk szabályos három-, négy-, öt-, hat-, tíz-, tizenkétszöget? b) Hány szimmetriatengelye van a szabályos három-, négy-, öt-, hat-, tíz-, tizenkétszögnek? c) Számítsd ki egy szabályos három-, négy-, öt-, hat-, tíz-, tizenkétszög belső szögeit! d) Hány átlója van egy szabályos három-, négy-, öt-, hat-, tíz-, tizenkétszögnek? a szabályos sokszög oldalainak száma a) a tükrözött háromszög szárszöge b) szimmetriatengelyek száma c) egy belső szöge d) átlók száma

178

3

4

5

6

10

12

120◦

90◦

72◦

60◦

36◦

30◦

3

4

5

6

10

12

60◦

90◦

108◦

120◦

144◦

150◦

0

2

5

9

35

54

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 7. a) Minden szabályos sokszög megkapható-e valamilyen szimmetrikus háromszög egymás utáni tükrözésével? Igen. b) Bármely szimmetrikus háromszög tükrözésével szabályos sokszöget kapunk? Nem, például a 100◦ , 40◦ , 40◦ -os szögekkel nem lehet szabályos sokszöget kapni.

8. Van-e olyan sokszög, amelynek minden oldala egyenlő, de szögei nem egyenlőek? Ha van, rajzolj ilyen a) háromszöget; Nincs ilyen háromszög.

b) négyszöget; Van, pl. a rombusz

c) hatszöget; Van, pl.:

d) nyolcszöget! Van, pl.:

.

.

.

9. Van-e olyan sokszög, amelynek minden szöge egyenlő, de oldalai nem egyenlőek? Ha van, rajzolj ilyen a) háromszöget; Nincs ilyen háromszög.

b) négyszöget; Van, pl. a téglalap.

c) hatszöget; Van, pl.:

d) nyolcszöget! Van, pl.:

10. A hagyományos focilabda olyan test, amelyet 32 lap határol, s minden lapja szabályos ötszög vagy szabályos hatszög. Megszámoltuk, hogy egy ilyen labdán 12 darab ötszög van. 12 ötszög és 20 hatszög határolja a testet.

Hány éle és hány csúcsa van ennek a testnek? 90 éle, 62 csúcsa van. A lapok egy focilabdán megszámolhatók. A számítás nehezebb: 1 ötszög körül 5 hatszög és 1 hatszög körül 3 ötszög van, összesen k db ötszög és l db hatszög. k · 5 = l és l · 3 = k ⇒ l = 5 3 5 k 3 lapok száma k +l Euler-féle összefüggés szerint k ·5+l ·6 élek száma k + l + k · 5 3+ l · 6 = k · 5 2+ l · 6 + 2 2 k ·5+l ·6 csúcsok száma tehát: k = 12 és l = 20 3

11. a) Az ábrák alapján hajtogass egy négyzetlapból szabályos nyolcszöget!

179


b) Egy 6 cm oldalú négyzetben szerkeszd meg az utolsó ábrán látható nyolcszöget!

A négyzet középpontjából az egyik átló mindkét „oldalára” szerkesztünk egy-egy 225◦ -os szöget. Ezek a szögszárak kimetszik a négyzet oldalából a szabályos nyolcszög egy oldalát. A többi oldalt szakaszmásolással szerkeszthetjük.

Tudáspróba Tk.: 190. oldal 1. Számítsd ki a betűvel jelölt szögeket! a)

= 82◦

b) a

b

56°

c)

= 55◦

35°

42°

= 725◦

d)

= 135◦

35°

g

d g

45°

d

45°

2. Hány területegység a sokszögek területe? A területegység legyen egy rácsnégyzet területe!

T = 10

T =8

T = 75

T = 12

T =6

3. Szerkessz derékszögű háromszöget, ha a befogói 6 cm és 8 cm hosszúak! Mekkora az átfogó? Számítsd ki a háromszög kerületét és területét! átfogó = 10 cm, K = 24 cm, T = 24 cm2

180

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 4. a) Szerkessz tükrös háromszöget, ha a szárszöge 30◦ , és szárai 6 cm hosszúak! 6 cm 30° 6 cm

b) Tükrözd a háromszöget az alapjára! Milyen négyszöget alkot a háromszög a képével együtt? Rombuszt kaptunk. 6 cm 6 cm

30° 6 cm

30° 6 cm

c) Számítsd ki a kapott négyszög kerületét és területét!

K = 4 · 6 cm = 24 cm, T ≈ (31 cm · 116) : 2 ≈ 179 cm2 ≈ 18 cm2

7 m = 35 dm, 34 cm = 34 dm 2 b) Váltsd át cm2 -re! 5 dm2 = 500 cm2 , 25 000 mm2 = 250 cm2 , 005 m2 = 500 cm2 3 cm3 = 750 mm3 c) Váltsd át mm3 -re! 3 cm3 = 3000 mm3 , 05 dm3 = 500 000 mm3 , 4

5. a) Váltsd át dm-re! 510 mm = 51 dm,

6. Igazak-e az állítások? A: Minden háromszögnek pontosan két hegyesszöge van. Hamis. B : A szabályos háromszög egy középponti szöge 120◦ . Igaz. C : Nem minden négyzet deltoid. Hamis. D : Minden rombusz téglalap. Hamis.

181

Nyitott mondatok

:::

Nyitott mondatok, egyenletek, egyenlőtlenségek 1–3. 4–7. 8–9. 10–11. 12.

óra: óra: óra: óra: óra:

Nyitott mondatok, egyenletek, egyenlőtlenségek Egyenletek megoldása lebontogatással, szöveges feladatok Egyenlőtlenségek megoldása, szöveges feladatok Gyakorlóóra Vegyes gyakorlófeladatok

Heti 4 órában tanuló csoportok esetén 4 tanórával több áll rendelkezésre a kiegészítő tananyag feldolgozására: Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel, szöveges feladatok. Mire építünk? A különböző témakörök feldolgozása során a tanulók találkoztak már nyitott mondatokkal, egyenletekkel, egyenlőtlenségekkel. Adott alaphalmazokon keresték azok megoldását. Egyszerű szöveges feladatok adatait önállóan feljegyezték, és nyitott mondattal, egyenlettel, egyenlőtlenséggel felírták a megoldási tervet. A legegyszerűbbeket lebontogatással, a nehezebbeket módszeres próbálgatással meg is tudták oldani. A kapott eredményeket ellenőrizték. Meddig jutunk el? Normál tananyag Ismerkedünk az egyenletekkel, egyenlőtlenségekkel kapcsolatos fogalomrendszerrel: nyitott mondat, alaphalmaz, igazsághalmaz, egyenlet, egyenlőtlenség, azonosság, azonos egyenlőtlenség. Elsőfokú egyenleteket és egyenlőtlenségeket oldunk meg tervszerű próbálgatással, a műveletek közötti összefüggések alkalmazásával, illetve lebontogatással. Tudatosítjuk, hogy a nyitott mondatok, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során végzett átalakítások az igazsághalmazt nem változtatják meg. Erősítjük az ellenőrzés igényét. Kiemeljük az alaphalmaz szerepét. Bevezetjük az azonosság, illetve azonos egyenlőtlenség fogalmát, eljutunk ehhez a megfogalmazáshoz is: azonosságnak, illetve azonos egyenlőtlenségnek az olyan nyitott mondatot nevezzük, amelynek alaphalmaza megegyezik az igazsághalmazával. Szöveges feladatok megoldási tervét egyenlettel vagy egyenlőtlenséggel felírjuk. A feladatokat logikai úton, módszeres próbálgatással, a tanult műveleti tulajdonságok felhasználásával, lebontogatással megoldjuk. Az eredményeket egybevetjük a feltételekkel és a valósággal, illetve ábrázoljuk számegyenesen. Kiegészítő tananyag Elsőfokú egyenleteket és egyenlőtlenségeket oldunk meg mérlegelvvel. Szöveges feladatok megoldási tervét felírjuk egyenlettel vagy egyenlőtlenséggel, mérlegelvvel megoldjuk azokat. A fejlesztés várt eredményei az 5–6. évfolyamos ciklus végén Számtan, algebra • Két-három műveletet tartalmazó műveletsor eredményének kiszámítása, a műveleti sorrendre vonatkozó szabályok ismerete, alkalmazása. Zárójelek alkalmazása. Algebrai kifejezések gyakorlati használata a terület, kerület, felszín és térfogat számítása során.

182

Nyitott mondatok

:::

• Két-három lépésben megoldható elsőfokú egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása szabadon választott módszerrel. A megoldás ábrázolása számegyenesen. • Szöveges feladatok megoldása következtetéssel, összefüggések felírása a szöveges feladatok adatai között szimbólumok segítségével. • Becslés, ellenőrzés segítségével a kapott eredmények helyességének megítélése. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok • Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. • Állítások igazságának eldöntésére, igaz és hamis állítások megfogalmazása. • Összehasonlításhoz szükséges kifejezések helyes használata. Mi lesz a folytatás 7. évfolyamon? Bevezetjük az algebrai kifejezés fogalmát. Egyszerű algebrai egész kifejezésekben az egyneműek összevonása, helyettesítési értékük kiszámítása. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel és az előző évfolyamokon tanult módszerekkel. Szöveges feladatok megoldása szabadon választott módszerrel.

1–3. óra: Nyitott mondatok, egyenletek, egyenlőtlenségek Tk.: 191–195. oldal, 1–9. feladat Javasolt eszközök: játéktáblák, dobókockák, melyek lapjain a +3, +2, +1, −1, −2, −3 számok szerepelnek, a játékosoknak különböző színű bábuk, a 6. évfolyam számára készült digitális tananyag Az órák célja: a nyitott mondat, az egyenlet, az egyenlőtlenség fogalmának pontosabbá tétele. Az alaphalmaz és igazsághalmaz kapcsolatának tisztázása. A változó, az azonosság és azonos egyenlőtlenség fogalmának bevezetése. Feladatok 1. Az 1 , 3 , 4 és 6 számkártyákat helyezd el a nyitott mondatokba úgy, hogy igaz állításokat kapj! a)

1 3

+

4 6

=1

b) A(z) 1 · 3 + 4 · 6 összeg osztható 3-mal.

c) Adj meg másik négy számkártyát úgy, hogy azokkal is igazzá lehessen tenni mindkét nyitott mondatot! Péládul: 3 , 6 , 4 , 8 vagy 2 , 12 , 20 , 24 . Az 1. feladattal kettős célunk van: tisztázni, hogy a nyitott mondatot az alaphalmaz több eleme is igazzá teheti, másrészt az igazsághalmaz függ az alaphalmaz megválasztásától.

183

Nyitott mondatok

:::

2. Ezekről a sokszögekről írtunk nyitott mondatokat. Helyezd el a cédulákon lévő szavakat a nyitott mondatokba úgy, hogy igaz állításokat kapj!

a) Minden zöld. négyszög, deltoid b) Amelyik háromszög tengelyesen szimmetrikus, az . háromszög, nem kék c) Minden szabályos sokszög . piros, nem kék

d) Amelyik négyszög konkáv, az . deltoid, nem kék e) Van olyan , amelynek nincs csúcson átmenő szimmetriatengelye. háromszög, négyszög, nem kék

3. Válaszd ki azokat a nyitott mondatokat, amelyek a pirossal jelölt pontokhoz tartozó számpárokra igazak! a) x · y páros szám b) x + y páros szám c) x > y d) x = y

y B

A D H

A b) nyitott mondat igaz az összes piros pont jelzőszámaira.

E

1

I M

Q

C F

J N

R

G 1

L x

K

O

P

4. a) Hány szám teszi igazzá a következő egyenleteket, illetve egyenlőtlenségeket az egyes alaphalmazokon? Alaphalmaz 0, 2, 4, 6, 8 Egyenlőség/ egyenlőtlenség 2 − x = −4 x

−8 5 0 x

−4 << 4 2

egy: a 6

Természetes Egész számok A 3 pozitív számok többszörösei

egy: a 6

egy: a 6

egy: a 6

*mind az öt szám

kilenc: 0, 1, 2, :::, 8

végtelen sok: a 8-nál nem nagyobb egészek

kettő: 3, 6

négy: 0, 2, 4, 6

nyolc: 0, 1, : : : , 7

tizenöt: −7, −6, : : : , 7

kettő: 3, 6

b) Melyik azonosság, illetve azonos egyenlőtlenség? *-gal jelöltük. 184

Nyitott mondatok

:::

5. Mely egyenlőtlenségek tartoznak a számegyenesek piros színnel megjelölt pontjaihoz? Add meg a párok betűjelét! 3 a) x < 0 b) x > 3 c) x = d) −1 < x 5 3 2 B) C) D) A)

x 01 a)–B), b)–D), c)–A), d)–C)

01

x

x

01

x

01

6. Ábrázold számegyeneseken azokat az x számokat, amelyek igazzá teszik az egyenlőtlenségeket! a) −4 5 x

54 01

b) −4 5 4 · x

x

54

x

c) −4 << 4 4

x

01

−16

02

16

x

7. Mely egyenlőtlenségek tartoznak a számegyenesek színessel megjelölt pontjaihoz? Add meg a párok betűjelét! Melyik számegyenesnek nincs párja? a) −4 5 x + 4 < 4 A) 01 a)–D), b)–B), c)–A)

x

b) −4 5 x − 4 < 4 B)

c) 4 = |x |

C)

x 01 A C) számegyenesnek nincs párja.

01

x

D)

x

01

8. Füllentő elhatározta, hogy ezentúl hétfőn, szerdán, pénteken mindig igazat mond, más napokon mindig hazudik. Egyik este így szólt: „Holnap igazat fogok mondani!” A hét mely napján mondhatta ezt? A „Holnap igazat fogok mondani” állítás nem lehet igaz, mert akkor két egymás utáni napon mondana igazat. Ezért ezt csak egy hazudós napján mondhatta, és a rákövetkező napjának is hazudósnak kell lennie. Ilyen csak a szombat, ezért csak szombaton mondhatta.

9. Írj nyitott mondatot az 1, 3, 5, 7, 9 számokból álló alaphalmazhoz úgy, hogy

< 0 három tegye igazzá, −1 < |x | < 6

x =1 9 x mind igazzá tegye! 0 <5 3 3

a) egyik se tegye igazzá, x

b) egy tegye igazzá,

c)

d)

Mindegyikre írtunk egy-egy példát.

4–7. óra: Egyenletek megoldása lebontogatással, szöveges feladatok Tk.: 195–203. oldal, 1–25. feladat Az órák célja: a műveletek közötti kapcsolatok felelevenítése, az összeg és különbség szorzásáról, osztásáról tanultak felelevenítése, s ezek alkalmazása az egyenletek megoldásakor. Szöveges feladatok megoldása egyenlettel, egyenlőtlenséggel. A műveletek tulajdonságaival kapcsolatban sok azonosság szerepelt már eddig is, még akkor is, ha nem mondtuk, hogy ezek azonosságok. Érdemes a gyerekekkel összegyűjtetni a műveletek tulajdonságait kifejező azonosságokat, természetesen csak konkrét számokkal. 185

Nyitott mondatok

:::

+b = b+a a · b = b · a (a · b) · c = a · (b · c ) (a + b) + c = a + (b + c ) (a + b) · c = a · c + b · c (a − b) · c = a · c − b · c (a + b) : c = a : c + b : c , ha c 0 (a − b) : c = a : c − b : c , ha c 0 a

+ (b − c ) = a + b − c a − (b + c ) = a − b − c a − (b − c ) = a − b + c a + 0 = a a · 0 = 0 a · 1 = a a : 1 = a 0 : a = 0, ha a 0 a

Eleinte alkalmasabb jelölésmód az ismeretlenek jelölésére a keret. A betűvel szemben előnye az is, hogy szinte szuggerálja a behelyettesítés gondolatát: minden ilyen jel fenntartja a helyet valamilyen szám vagy számok részére. Az, hogy az egyező jelek helyére egyező számokat írhatunk csak, nem szokott problémát okozni. Az viszont már igen, hogy különböző keretekbe is kerülhetnek egyenlő számok. A gyerekek megértik ennek okát, csak jó példával kell indokolnunk. Ilyen például ez az azonosság: − ( − ♥) = − + ♥ Ha nem engednénk meg, hogy a különböző keretekbe egyenlő számok is kerülhessenek, akkor az általános törvényszerűség ilyen esetben nem volna alkalmazható, azaz azt az esetet, amikor minden szám megegyező, külön kellene megvizsgálnunk. A matematikakönyvek nem használják következetesen ezeket a jeleket, mi sem. Gyakran csak a számjegy helyett áll a keret, és ilyenkor az ugyanolyan keretbe különböző számokat is szoktunk írni. Ilyenkor a négyzetek a számtanfüzet egy-egy „kockáját” jelenítik meg. Erre, ha szükséges, hívjuk is fel a gyerekek figyelmét. A kerettel való jelölés persze csak átmeneti, fokozatosan át kell adnia a helyét a betűjelölésnek. A betűk használata azonban e tekintetben már egyértelmű: megegyező betűk csak megegyező számot jelenthetnek, a különböző betűk megegyező számokat is jelenthetnek. Egyenleteket és egyenlőtlenségeket oldunk meg a műveletek tulajdonságainak felhasználásával, illetve lebontogatással. Szöveges feladatok megoldásában alkalmazzuk a tanultakat. A feladatok nyitott mondattal történő megoldásában két dolog okozhat nehézséget: az egyik probléma a matematika nyelvére való lefordítása, a nyitott mondat felírása; a másik pedig annak megoldása. Továbbra is szorgalmazzuk a rajzok készítését, amelyek sokat segíthetnek az egyenletek felírásában. Az eredmény becslése ösztönző hatással lehet az eredmény ellenőrzésére. Egyre nagyobb hangsúlyt helyezünk arra, hogy az igazsághalmaz minden elemét megkaptuk-e. Mi a különbség a műveletek tulajdonságainak alkalmazása és a lebontogatás között? Varga Tamás okfejtését idézzük ennek megvilágítására: „Egészen másképp gondolkodunk két ilyen egyenlet megoldásakor, mint például 3x = 6 és 23x = 851. Azt mondhatnánk, hogy az elsőt szorzással oldjuk meg (hányszor 3 hat), a másodikat viszont osztással (nem tudjuk az előző kérdésre a választ fejből, ezért elosztjuk a 851-et 23-mal). Az első egyenlet megoldására emlékeztető lépésekben oldhatjuk meg ezt az egyenletet is: 3(x − 2) = 15. A különbség helyére 5-öt írunk, a többivel tovább nem törődünk. Ha x − 2 = 5, akkor x = 7. A most megfigyelt megoldási mód a lebontás.

186

Nyitott mondatok

:::

A következő egyenlet szerkezete ugyanaz, mégsem ugyanolyan lépésekben oldjuk meg, hacsak nem vagyunk számolóművészek. Itt már kénytelenek vagyunk tekintetbe venni a műveletek összefüggéseit. 365(36 − x ) = 4380: 4380 : 365 = 12 innen 36 − x = 12 ezért x = 24: Megfordítjuk a műveleteket: az összeadásnak és a szorzásnak két egyező megfordítása van (az összeadásnak két kivonás, a szorzásnak két osztás), a kivonásnak és az osztásnak, mivel nem kommutatív, két különböző megfordítása van: s kivonásnak összeadás és ismét kivonás, az osztásnak szorzás és ismét osztás. A most megfigyelt egyenletmegoldási lépéseket a megfordítás szóval lehetne jellemezni. Pontosabban, de hosszabban azt mondhatjuk: az egymással inverz műveletek közötti összefüggések alkalmazása. A következő példa különösen jól mutatja, hogy a lebontásnak semmi köze sincs a műveletek inverzének ismeretéhez, ami pedig a megfordításban alapvető: 10x +2 = 10 000 000: Itt a megoldáshoz a hatványozás fogalma kell, de a logaritmusé nem. A hatványozás fogalmának megszilárdítására egyébként nagyon alkalmasak az efféle feladatok. A lebontogatás gondolatát csak olyankor lehet alkalmazni, ha az ismeretlen csupán egy helyen szerepel. A megfordítás alkalmazására nincs ilyen korlátozás. A lebontás, a megfordítás és a mérlegelv más-más szemlélet alapján magyarázzák ugyanazokat a műveleti lépéseket. Néha az egyik alkalmazható, vagy kínálkozik inkább, néha a másik, néha több is egyformán. Uniformizálásra, az egyes lépések egyöntetű magyarázatára utólag esetleg sort kerítünk, ha ez a tudatosítás érdekében szükségesnek látszik.” A szöveges feladatok egyenlettel való megoldását készíti elő a feladatsor első fele. Feladatok 1. A sor elején lévő műveletsort írtuk le többféle alakban. Lehet, hogy az egyik hibás közülük. Ha hibás alakot találsz, add meg a betűjelét! a)

(8 + 5) · 4

A) 8 + 5 · 4

B) 8 · 4 + 5 · 4

C) 5 · 4 + 4 · 8

b)

15 + 9 3

A) 15 : 3 + 9 : 3

B) (15 + 9) : 3

C) 3 +

c)

5 · (7 − 2)

A) 5 · 7 − 2 · 5

B) 5 · 7 − 5 · 2

C) 5 · (2 − 7)

d)

3 · (2 · 4 + 5)

A) 3 · 2 · 4 + 3 · 5

B) 3 · 8 + 3 · 5

C) 3 · 2 · 4 + 5

15 3

2. A sor elején lévő műveletsort írtuk le többféle alakban. Lehet, hogy az egyik hibás közülük. Keresd meg! Add meg a betűjelét! a)

(x + 9) · 6

A)

b)

6·3−x ·3

A) (6 − x ) · 3

x

·6+9·6

B)

x

+9·6

B) 3 · (x − 6)

C) 6 · 9 + x · 6 C) 18 − 3 · x 187

Nyitott mondatok

:::

c)

8+x 4

A)

8 x + 4 4

d)

6 · (3 · x + 5)

A) 6 · 3 · x + 5

:4+2

C) (x + 8) : 4

B) 6 · 3 · x + 6 · 5

C) 18 · x + 30

B)

x

3. Oldd meg az egyenleteket! Segíthet a folyamatábra.

x

a) (x + 4) · 2 = 16

b)

x

x

· 2 + 4 = 16

−4

4

x ·2

x

c) (x · 10 − 4) : 2 = 20

:2 · 10

44

x

−4

x −4

x

e) (x : 2 − 4) · 10 = 20

:2

12

x :2

·2

40

−4

x :2−4

·2

20

· 10 (x − 4) · 10 : 2 (x − 4) · 10 : 2 : 10

4

·2

40

+4

16

+4

44

: 2 (x · 10 − 4) : 2

x · 10 − 4

: 10

8

−4

x ·2+4

−4

12

x · 10

16

+4

d) (x − 4) · 10 : 2 = 20

:2

8

·2

6

(x + 4) · 2

·2

x +4

+4

20

· 10 (x : 2 − 4) · 10

+4

6

: 10

2

20

4. Oldd meg az egyenleteket! a) g · 4 + 5 = 27 g = 55 c) (g + 3) : 6 + 3 = 15 g = 69

b) g + 3 · g − 4 = 16 g = 5 d) (g − 5) · 8 + 10 : 4 = 25

g=5

5. Írj egyenleteket a megkezdett folyamatábrákról, és oldd is meg azokat! a) b) c)

d) 188

+4 x

x

x

x

·2 · 10

·2

10x

x :3

x

x

+4

3

·2 +4 −5 − 05

2x + 8 2x + 4 10x − 5

x − 05 3

2x

−8

=7

x = 55

5x − 25 x

·4

x = 35

2x − 4

−8 :2

=7

3

− 0 5 · 4

+ 10 x

: 10 3

5x + 75

= 10 − 05 · 04

=

2 5

x = 05 x = 45

Nyitott mondatok

:::

6. a) Gondolj egy számra, a szomszéd hozzáad még háromszor annyit és még 10-et. Dobd a felét és még 5-öt a Dunába! A gondolt szám kétszeresét kaptad, ugye? Miért? 4 · g + 10

2·g

Dobd a felét és még 5-öt a Dunába!

Te is írj hasonló feladványt! b) Gondolj egy számot, adj hozzá 3-at! A kapott számot szorozd meg 4-gyel, az eredményből vond ki a gondolt szám kétszeresét és még 6-ot! Amit kaptál, felezd meg, és vond ki belőle a gondolt számot! Ha nem mondod meg, hogy mire gondoltál, akkor is meg tudom mondani, hogy mit kaptál eredményül. Hogyan? A gondolt számtól függetlenül 3-at kapunk eredményül. Te is készíts hasonló feladatot! 7. Tamás bácsi ezt a trükköt találta ki: Gondolj egy számot! Én adok még egyszer annyit és még 6-ot. A felét és még 1-et dobd a Dunába! Ha megmondod, mit kaptál eredményül, én megmondom, hogy milyen számra gondoltál. Hogyan tudja Tamás bácsi kitalálni, milyen számra gondoltak a gyerekek? Jelöljük g -vel a gondolt számot! Így is lejegyezhetjük, hogy mit kell tennünk: +g

g

g +g

+6

2·g +6

g +3

:2

−1

g +2

Látjuk, hogy Tamás bácsi a gyerekek eredményeiből 2-t levonva a gyerekek által gondolt számot kapja. Másképp is lejegyezhetjük ezt a feladványt: (g + g + 6) : 2 − 1 = (2 · g + 6) : 2 − 1 = g + 3 − 1 = g + 2. Így is látható, hogy 2-vel többet kapunk a gondolt számnál. Ezért ha a kapott számot csökkentjük 2-vel, a gondolt számot kapjuk.

A szöveges feladatok tárgyalása előtt célszerű a rutinfeladatok megoldását gyakoroltatni. Erre szántuk az alábbi feladatsort. I. a)

x

+ 6 = 20

e) 27 = 12 + x

b)

+ 7 = 18

c)

x

f) 012 + x = 13

g)

x

k) −15 = x + 03

x

i)

x

+ 4 = −10

j) 9 + x = −4

II. a)

x

− 20 = −60

b)

x

e)

x

− 1936 = 22

f)

x

b)

x

III. a) 2 · x = 54

− 18 = 50 3 − = −2 2 · 3 = 81

e) 19 · x = 38

f) 43 · x = 86

i) 51 · x = 306

j) 144 = 012 · x

+ 47 = 90 2 2 + = 3 3

d) 225 + x = 1000 8 h) + x = 0 5 5 1 l) + x = − 7 7

c) 52 = x − 22

d)

x

g) 513 = x − 312

h)

x

c) 5 · x = 25 39 g) x · 6 = 5 3 k) · x = 9 2

d)

x

− 31 = 33 3 3 − = 2 4 · 16 = 96

h) 305 · x = 0 l)

5 3 ·x = 7 4

189

Nyitott mondatok

:::

IV. a) 2 · x = −6

b) 3 · x = −54

e) (−3) · x = 9

f) (−4) · x = −12

i) 8 · x = −96

j) −396 − x · (−3)

V. a)

x

:5=9

b)

x

e)

x

: (−4) = 7

f)

x

i)

x

: 13 = −15

VI. a) 60 : x = 12 e) −128 : x = −4

j)

x

: 13 = 2 2 : =3 5 : (−2) = −40

b) 350 : x = 35 15 5 f) :x = 3 3

VII. a) 3 · x = 15 d) 03 · x = 15 4 1 g) · x = 3 5

c)

x

· 7 = −28 21 g) (−3) · x = 5 5 k) − · x = −5 3

d) −220 = 40 · x 7 h) = x · (−2) 5 5 l) − ·x =1 4

c)

x

: 956 = 239

d)

x

g)

x

: 007 = 5

h)

x

l)

x

k)

x

:

−

1 = −2 2

c) −21 : x = 3 7 7 g) : x = 2 8

b) 3 · x + 2 = 17 e) 03 · x + 02 = 17 1 4 1 h) · x + = 3 2 5

: 35 = 17 13 : =0 7 7 3 : =− 4 5

d) −64 : x = 4 h) 96 : x = 32 c) 3 · x − 2 = 13 f) 03 · x − 02 = 13 1 2 1 i) · x − = 3 2 3

8. A 100-as táblán (lásd a 197. oldal 2. példáját) három számot a piros felére fordítottunk. Eláruljuk a piros mezőkön lévő számok összegét. Add meg a rajtuk szereplő számokat! a) A feladatot sokféleképpen meg lehet oldani. Egyik lehetőség: Jelölje a középső számot x ! A három szám összege egyenlettel felírva: (x − 10) + x + (x + 10) = 69. Összevonás után ezt kapjuk: 3x = 69, ebből x = 23. A három szám rendre: 13, 23, 33. Egy másik lehetőség: a három szám számtani közepe a középső szám. A másik kettő ennél 10-zel kisebb, illetve 10-zel nagyobb.

b)

Összegük: 69

c)

c)

Összegük: 126 Összegük: 195 Összegük: 159 Az előzőhöz hasonló gondolatmenetet követve: (x − 9) + x + (x + 9) = 126. Összevonás után ezt kapjuk: 3x = 126. Ebből x = 42. A három szám rendre: 33, 42, 51.

190

Az előzőkhöz hasonló gondolatmenetet követve: (x − 21) + x + (x + 21) = 159. Összevonás után ezt kapjuk: 3x = 159. Ebből x = 53. A három szám rendre: 32, 53, 74.

Az előzőkhöz hasonló gondolatmenetet követve: (x − 13) + x + (x + 19) = 195. Összevonás után ezt kapjuk: 3x + 6 = 195. Ebből x = 63. A három szám rendre: 50, 63, 82.

Nyitott mondatok

:::

9. Sokszögeket és egy kocka élvázát színes szívószáldarabkákból raktuk ki úgy, hogy a megegyező színűek ugyanakkorák. Írj egyenleteket az egyes síkidomok kerületéről, illetve az élváz hosszáról! Számítsd ki a különböző színű szívószáldarabkák hosszát! a) A kerülete 27 cm.

b) A kerülete 32 cm.

6s + 2k = 32 18 + 2k = 32 k = 7 [cm]

9x = 27 s = 3 [cm]

c) A kerülete 36 cm.

d) Az élváz hossza 78 cm.

4s + 2k + 2p = 36 12 + 14 + 2p = 36 2p = 10 p = 5 [cm]

12p + 12f = 78 60 + 12f = 78 12f = 18 f = 15 [cm]

10. Az idei horgásztáborban Kristóf az első és a második éjszaka ugyanannyi halat fogott, a harmadik éjszakán 8-at. Az utolsó éjszakán az első három éjszakai fogás felénél 1-gyel kevesebbet, éppen 3 pontyocskát. a) Melyik egyenlet nem írja le helyesen a feladatot, ha az első éjjel fogott halak számát h -val jelöltük? A)

h

+h+8 −1=3 2

B) 2 · h + 8 : 2 − 1 = 3

C) (2 · h + 8) : 2 − 1 = 3

A B) egyenlet nem írja le helyesen a feladatot.

b) Mennyi halat fogott Kristóf az első két éjszakán? Egyetlen halat sem fogott. 11. A mi városi kórusunkban 2-vel több tenor van, mint basszus. A szoprán és az alt éppen háromszor annyi sorban fér el, mint a két férfiszólam. A kórus egy 50 fős busszal utazik a fellépésekre. Ha a karvezető és a felesége is velük utazik, akkor éppen tele van a busz. Melyik egyenlet nem írja le helyesen a feladatot? Hány tagja van a tenor szólamnak? A) (x + x + 2) + (x + x + 2) · 3 + 2 = 50

B)

C) 2 · x + 2 + (2 · x + 2) · 3 = 48

D) 8 · x + 8 = 48

x

+ x + 2 + x + x + 2 · 3 + 2 = 50

A B) egyenlet nem írja le helyesen a feladatot. Hét tagja van a tenor szólamnak.

191

Nyitott mondatok

:::

12. Oldd meg az egyenleteket! + x + x + 2 = 35 x = 05 5+2·x −3+x =8 x =2 5 · x + 8 − 3 · x = 24 x = 8 10 + 3 · (x + 4) = 46 x = 8 (2 · x − 1) · 9 + 7 = 70 x = 4 7+x k) + 4 = 5 x = −2 5

a) c) e) g) i)

+ 4 · x + 2 = 42 x = 8 4 · x − x + 3 = 27 x = 8 (9 − x ) · 4 + 6 = 42 x = 0 (8 · x + 4) : 4 − 6 = 3 x = 4 (4 + x ) : 3 − 1 = 2 x = 5 4·x −2 l) + 1 · 2 = 05 x = −00625 3

b) d) f) h) j)

x

x

13. Ennek a régimódi kerékpárnak a kisebbik kereke ötször fordul addig, míg a nagy egyet. A nagyobbik kerülete 1256 cm-rel nagyobb. Mekkora a kerületük külön-külön? Rajzzal is segítsük a megoldást!

x

x

x

x

125 6 cm

x jelölje a kicsi kerék kerületének mérőszámát: x 5 · x − x = 1256

5x

4 · x = 1256

x = 314 [cm]

A kisebbik kerék kerülete 31 4 cm, a nagyobbiké 157 cm.

A szöveges feladatok megoldásának megbeszélése során érdemes összevetni a gyerekek megoldásainak sokféle módozatát. Érdemes megvitatni, hogy melyiknek mi az előnye. Más-más egyenletet kaphatnak, ha mást választanak ismeretlennek. Érdekes kérdés az is, hogy melyik esetben jutunk egyszerűbb egyenlethez. 14. Egy kiránduláson a befizetett összegből 5550 Ft megmaradt. A visszajáró pénzt egyenlő számú 50 és 100 forintosokkal tudtuk visszafizetni. Hány darab 50 és 100 forintosunk volt? Jelöljük x -szel az 50 forintos érmék számát!

x · 50 + x · 100 = 5550. Ebből x = 37.

37 db 50, illetve 100 forintosuk volt. Ellenőrzés: 37 · 150 = 5550.

15. Gondoltam egy természetes számra, ha a végéhez hozzáírok egy nullát, és ezt hozzáadom a gondolt számhoz, 1551-et kapok. Melyik számra gondoltam? A gondolt szám 11-szerese 1551. A 141 a gondolt szám.

16. Három egymást követő természetes szám összege 57. Melyek ezek a számok? 18, 19, 20 17. Egy gúnyolódó férfi szamarakat látott legelni a réten. Így szólt hozzájuk: – Jó napot, száz szamár! Az egyik szamár azonban így válaszolt: – Mi már régen nem vagyunk százan. De ha még kétszer annyian volnánk, mint amennyien vagyunk, és Te lennél közöttünk a vezérszamár, éppen 100-an lennénk. Hányan voltak a szamarak? 33 szamár volt. 18. Ádám, Bori és Gergő egyenként mérlegre álltak. Gergő Ádámnál 3 kg-mal könnyebb volt, Borinál viszont 3 kg-mal nehezebb. Ha mindhárman ráálltak a mérlegre, egy híján 100 kg-ot nyomtak. Hány kg a három gyerek külön-külön? Ádám 36 kg, Gergő 33 kg, Bori 30 kg. 192

Nyitott mondatok

:::

19. Mekkorák a háromszögek szögei? a) b)

= 30◦

= 50◦

c)

= 20◦

20. Mekkorák a háromszög szögei, ha a legnagyobb 8◦ -kal nagyobb a legkisebbnél, és 7◦ -kal a középsőnél? 65◦ , 58◦ , 57◦ 21. a) Melyik egyenlet írja le helyesen a szöveges feladatot? „Péter elköltötte zsebpénzének részét, 450 Ft-ot.” 3 3 3 A) x − = 450 B) x − · x = 450 C) x : = 450 8 8 8 b) Mennyi pénze volt Péternek? 1200 Ft-ja volt Péternek.

D)

x

·

3 8

3 = 450 8

22. Mi a közös ezekben a feladatokban? a) Gondoltam egy számot, kivontam belőle 2-t, a különbséget megszoroztam 02-del, így 6-ot kaptam. Milyen számra gondoltam? b) A gyalogtúránk első napján a nagy zuhé miatt csak 2 km-t tettünk meg. A második napon 2 részét, 6 km-t. Hány km-es utat terveztünk? a megmaradt út 10 c) A 6. a osztály minden tagja az osztálykiránduláson 2 dl-es joghurtot kapott tízóraira. Ketten nem kértek, így összesen 6 liter joghurt fogyott el. Mennyi az osztály létszáma? Ugyanazzal az egyenlettel lehet leírni a feladatok megoldási tervét: (x − 2) · 0 2 = 6.

A válasz minden esetben 32.

23. Oldd meg az egyenleteket! 2·x −2 = −6 x = −11 4 −2 · x + 3 d) = 8 x = −185 5 a)

· 11 = 75

75 x = 11

c) 02 · x − 2 = 8

e) 75 : x = 75

x = 01

f)

b)

x

x

: 05 − 25 =

x = 50 3 2

x =2

24. Egy könyvsorozat kötetei 7 évenként jelennek meg. Amikor a 7. kötet megjelent, akkor a megjelenési évszámok összege 13 727 volt. Melyik évben jelent meg a sorozat első kötete? Jelölje

x a megjelenés első évét: 7x + 21 · 7 = 13 727.

x = 1940. 1940-ben jelent meg a könyv első kötete.

25. Egy piaci árus reggel 8-tól 10-ig eladta dinnyéinek a felét és még egy dinnyét. Tíz órától délig a maradék felét és még egy dinnyét. Összesen hat dinnyéje maradt. Hány dinnyéje volt eredetileg? 30 dinnyéje volt eredetileg. Rajzzal vagy visszafelé göngyölgetve érdemes megoldani a feladatot. Egyenlettel sokkal bonyolultabb a megoldás.

193

Nyitott mondatok

:::

8–9. óra: Egyenlőtlenségek megoldása, szöveges feladatok Tk.: 204–209. oldal, 1–10. feladat Az órák célja: az egyenleteknél tanult megoldási módok alkalmazhatóságának megmutatása az egyenlőtlenségek megoldásában. Az azonos egyenlőtlenség fogalmának elmélyítése. A megoldás ábrázolása számegyenesen. Szöveges feladatok megoldása egyenlőtlenséggel. Javasolt eszközök: különböző beosztású számegyenesek Feladatok 1. Mennyi pénz lehet egy borítékban, ha egy-egy feladatban az ugyanolyan színűekben ugyannyi pénz van? Minden képről írj egy egyenlőtlenséget, és oldd is meg azt! a)

5

x

x + 110 5 200, x 5 90, azaz legfeljebb 90 Ft lehet a borítékban. b)

=

x x

2x + 520 = 1000,

x = 240, azaz legalább 240 Ft lehet egy-egy borítékban.

c) x

x

x

x

4x + 5100 = 10 000,

=

x = 1225, azaz legalább 1225 Ft lehet egy-egy borítékban.

d) x x

5

x

3x + 12 300 5 20 000, x 5 25666 : : : Egy-egy borítékban a 2013-ban forgalomban lévő pénzérmék figyelembevételével legfeljebb 2565 Ft lehet.

194

Nyitott mondatok

:::

2. (6 · x − 5) : 3 + 4 < 8 Mely számok teszik igazzá az egyenlőtlenséget, ha Az egyenlőtlenség megoldása:

a)

x

természetes szám;

17 5 x< [(8 − 4) · 3 + 5] : 6, vagyis x < = 2 + . 6 6

b)

x = 0, 1, 2

x

a 10-nek pozitív osztója; c)

x = 1, 2 0 1 2

x

x

tetszőleges szám?

5 x< 2+ 6 0 1 2

x

2+ 0 1 2

5 6

x

Ábrázold számegyenesen is az a), b) és c) feladatok megoldását! 3. Az alábbi egyenlőtlenségek megoldását számegyenesen ábrázoltuk. Add meg az összetartozók betűjelét! 3 3 a) 5 · (x − 10) < 15 b) 5 · x − 10 < 15 c) · x + 6 < 9 d) · (x + 6) < 9 2 2 A) x B) x C) x 0

10

0

10

D)

0

x

10

0 10 a)–B); b)–D); c)–A); d)–C)

4. A Titanic nevű hajó kora egyik legnagyobb utasszállító óceánjárója volt. 1912. április 1-jén indult első útjára. A hajót az egyik leghíresebb észak-írországi gyárban építették. Hossza 269 m, szélessége 28 m, árbocmagassága 5334 m és merülési mélysége 105 m volt. A hajó első útját megörökítő film forgatásához elkészítették a hajó 227 méteres modelljét. a) Hányszorosa az eredeti hajó hossza a filmben használt modellnek? Add meg a helyes válasz vagy válaszok betűjelét! A) a 08-szeresénél több B) az 12-szeresénél több C) a 119%-ánál kevesebb 2 b) A hajón utazóknak több mint a része a személyzethez tartozott (matrózok, pincérek, 5 zenészek: : : ), és több mint a huszada gyerek volt. A hajó utaslistáján 1224 felnőtt szerepelt, a valóságban azonban csak 1223-an voltak. Mennyi lehetett a hajón utazók száma? Add meg a helyes válasz vagy válaszok betűjelét! A) 2223 B) 2224 C) 2225 D) 2226 E) Az előzőek közül egyik sem. c) Melyik egyenlet, illetve egyenlőtlenség nem felel meg A helyes egyenlet megoldása: x a b) rész szövegében leírt összefüggéseknek, ha az x − 1223 < x · 52 + 20 összes utazó (beleértve a személyzetet is) számát x x szel jelöltük? Add meg a betűjelét! A helyesnek ítélt x − 1223 < x · 208 + 20 egyenletet vagy egyenlőtlenséget oldd meg! x − 1223 < x · 209 2 x A) x : + < x − 1223 5 20 x − x · 209 < 1223 2 x B) x − 1223 < x · + 5 20 x · 11 < 1223 20 2 C) 1223 + · x + x : 20 = x 20 5 x< 1223 ·

x

11 < 22236363: : :

A feladat csak pozitív egész számokra van értelmezve.

195

Nyitott mondatok

:::

Az egyenlőtlenség megoldására azt kapjuk, hogy a hajón utazók száma 2223 vagy annál kevesebb volt. A korabeli források szerint a valóságban a hajón utazók száma 2223 volt. A szöveggel egybevetve a kapott eredményt, helyesnek találjuk azt.

Mi lett a Titanic hajó sorsa? Gyűjts a Titanichoz kötődő érdekes adatokat az interneten, és készíts egy feladatot azok felhasználásával! Elsüllyeszthetetlennek hitték, mégis elsüllyedt az első útján, miután egy jéghegynek ütközött 1912. április 14-én.

5. A képen egy háromfokozatú hordozórakéta vázlatos rajzát látjuk. Ilyen rakétákkal állítják például a mesterséges holdakat Föld körüli pályára. Mesterséges hold segítségével jutnak el hozzánk többek között bizonyos tévécsatornák adásai.

A rakétafokozatok a többfokozatú rakéták részei, amelyek a röppálya egy meghatározott részén tolóerőt állítanak elő, majd leválnak. Ez azért gazdaságos, mert a tetemes mennyiségű tüzelőanyagot tartalmazó fokozatokat, leválasztásuk után, már nem kell tovább gyorsítani. Űrhajózási hordozórakéták esetében a fokozatok száma rendszerint kettő és öt közötti. Az első fokozat az, amelyiket először gyújtják be, az utolsó fokozat rendszerint a hasznos teherrel (például műholddal) közel megegyező pályára áll. Az égitest (például a Föld) felszínéről indulva az alsó fokozatok visszahullanak a felszínre. Egy mesterséges hold tömege mindössze 120 kg. A 2. fokozat 9-szer, az 1. fokozat 50-szer nehezebb a 3. fokozat tömegénél. (A mesterséges hold tömegét ebbe nem számítottuk bele.) A rakéta tömege nem lehet több, mint 120 tonna. a) Milyen céllal juttat az emberiség mesterséges holdakat az űrbe? Mesterséges hold segítségével jutnak el hozzánk többek között bizonyos tévécsatornák adásai.

b) Miért gazdaságosak a többfokozatú rakéták? Mert a tetemes mennyiségű tüzelőanyagot tartalmazó fokozatokat, leválasztásuk után, már nem kell tovább gyorsítani.

c) Mi történik a rakétafokozatokkal, miután leválnak a hasznos teherről? Az égitestek felszínéről indulva az alsó fokozatok visszahullanak a felszínre.

d) Legfeljebb hány kg-osak lehetnek a feladatban szereplő rakéta egyes fokozatai? Írjuk fel egyenlőtlenséggel az adatok közötti összefüggéseket, ahol x -szel célszerű jelölni a rakéta legkisebb tömegű fokozatát! A 3. fokozat tömege: x , a 2. fokozaté: 9 · x , az 1. fokozaté: 50 · x . a 3. fokozat tömege 5 1998 kg, a 2. fokozaté 5 9 · 1998 kg, az 1. fokozaté 5 50 · 1998 kg.

x + 9 · x + 50 · x + 120 5 120 000 60 · x + 120 5 120 000 60 · x 5 119 880 x 5 119 880 : 60 x 5 1998

Válasz: az 1. fokozat tömege nem több, mint 99 900 kg, a 2. fokozaté nem több 17 982 kg-nál, a 3. fokozaté 1998 kg-nál. Ellenőrzés: 120 + 1998 + 17 982 + 99 900 = 120 000, ha az utolsó három tag egyike sem nagyobb a kapott tömegnél, akkor az összegük sem lesz nagyobb 120 000-nél.

196

Nyitott mondatok

:::

Megközelítőleg milyen pontossággal lehet a műholdas GPS (Global Positioning System) rendszer segítségével meghatározni a helyzetünket a Föld bármelyik pontján, ha jók a vételi körülmények? Mi a neve és mekkora a tömege az első magyar műholdnak? A GPS (Global Positioning System) az USA Védelmi Minisztériumának megbízására kifejlesztett és általa működtetett globális műholdas helymeghatározó rendszer, melynek segítségével a Föld bármely pontján bármikor meghatározhatjuk pozíciónkat megközelítőleg 5-10 méteres pontossággal. Az első magyar műhold neve Masat–1, tömege 125 kilogramm.

Forrás: http://www.erdekesvilag.hu

6. Egy 12 km hosszú viadukt aszfaltozását két munkacsoport végzi. Az első napon együtt dolgoznak, és elkészítenek 16 métert. A második napon különválnak, és egymás felé haladva folytatják a munkát. Az egyik csoport maximum 17 méteres, a másik 15 méteres útszakaszt képes elkészíteni egy nap alatt. Legalább hány napra van szükségük az aszfaltozás befejezéséhez? Jelölje n az aszfaltozáshoz szükséges napok számát! n · 32 5 1200 − 16, Legalább 37 napra van szükségük a munka befejezéséhez.

n 5 1184 : 32, n 5 37.

Melyik európai viadukt a leghosszabb? Magasabb-e, mint az Eiffel-torony? A Millau-i (ejtsd: mijói) völgyhíd vagy Millau-i viadukt a franciaországi Tarn folyó völgyét hidalja át, az autópálya-építés és a hídépítés egyik kiváló remekműve, 2004 végén adták át. (Völgyhíd vagy viadukt, mely a híd hosszának csak kisebb részében vagy egyáltalán nem hidal át vízfolyást vagy valamely közlekedési eszközt, és elsősorban azért létesítik, hogy egy mély völgy fölötti magas töltés építését elkerüljék.) A Millau-i viadukt Európában (2013-ig) a leghosszabb völgyhíd, 2460 méter hosszúságú. Az átadás idején a világ legmagasabb hídja volt, a víztől a pilon tetejéig 343 m. Az Eiffel-torony az 1889. évi világkiállításra készült, a torony összmagassága 324 m. A Millau-i völgyhíd magasabb az Eiffel-toronynál. Forrás: http://www.erdekesvilag.hu

7. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! 14 x a) 3 · x + x + 2 < c)

x

·3−9> −12

e)

x

·

g)

x

i)

x

x> −1

3 5 15 x 5 20 4 3 27 : 59x5 4 4

·3+5< 8x

o)

x

2 x

+ 5 5 −8

x 5 − 53

x 5 −15

x

: 02 > 1x

> 0 2

5 0 5 x 5 075 7 j) 3 · ( + 5) 5 8 x 5 − 3 l) ( + 5) : 3 − 2 = 8 x = 25

h)

x 5 −26

+5 − 3 5 −8 2

10 7 b) 5 · x + 1 < x < 15 3 1 10 d) x · 5 x 5 10 3 3 f)

< 1

k) 3 · (x + 5) − 2 5 8 m)

< 3

x

:

3 2

x

x

+5 5 −8 x 5 −21 2 2·x +5 p) − 3 5 −8 x 2 n)

x

5 −75

197

Nyitott mondatok

:::

8. Gergő és barátai ötnapos evezőstúrát terveztek a Tiszán. Úgy tervezték, hogy az első napon megteszik az egész távolság felét. A második napra a maradék felének, a harmadik napra is a maradék felének, a negyedik napra szintén a maradék felének teljesítését tűzték ki célul. Azt szerették volna, hogy az utolsó napra az egész út tizedénél kevesebb maradjon. Milyen hosszú volt az ötnapos út, ha sikerült a tervüket megvalósítaniuk? Készítsünk rajzot, és írjuk fel a megoldási tervet egyenlőtlenséggel, amelyben

1. nap x = 8·x 2 16

2. nap x = 4·x 4 16

x jelölje a teljes utat!

3. nap 4. nap 5. nap

x = 2·x x ? 16 8 16

A rajzról leolvasható, hogy az 5. napra a teljes út 1 tizenhatoda marad, és a gyerekek azt szeretnék, ha ez az x. x < út tizedénél kevesebb lenne. Egyenlőtlenséggel felírva ezeket ezt kapjuk: 16 10 Minden pozitív számra igaz, hogy a tizenhatoda kisebb, mint a tizede, ezért Gergőék akármilyen hosszú utat terveztek, kívánságuk mindig teljesül, azaz az 5. napra az út tizedénél kevesebb jut.

9. Fizikaórán testek tömegét mértük. A mérleg egyik serpenyőjébe 8 cm élű alumíniumkockát tettünk, a másikba egy 4 cm alapélű, alumíniumból készült négyzetes hasábot. Milyen magas lehetett a négyzetes hasáb, ha felé billent a mérleg? 8·8·8< 4 · 4 · x,

x> 32. A négyzetes hasáb magassága 32 cm-nél nagyobb.

10. Nyolc szakaszt és két pontot határoztunk meg x és y koordinátáikkal. A szakaszok és a pontok együtt egy egyszerű figurát alkotnak. Ábrázold azokat! A szakaszok pontjainak koordinátái: {0 5 x 5 10 és y = 0} {0 5 x 5 10 és y = 10} {3 5 x 5 7 és y = 2} {x = 7 és 2 5 y 5 3} A két pont koordinátái: (3; 7) és (7; 7).

{x {x {x {x

=0 = 10 =3 =5

és és és és

0 5 y 5 10} 0 5 y 5 10} 2 5 y 5 3} 4 5 y 5 6}

y

10

7 6 4 3 2 1 0

1

3

5

7

10

x

Te is tervezz egyszerű figurákat, és add meg az azokat alkotó szakaszok és pontok koordinátáit! 198

Nyitott mondatok

:::

Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel, szöveges feladatok (Kiegészítő tananyag) Tk.: 210–212. oldal, 1–10. feladat Az óra célja: az egyenletek és egyenlőtlenségek mérlegelvvel való megoldásának bevezetése, elmélyítése egyszerű esetekben. Rajzokról egyenletek, egyenlőtlenségek felírása, azok egyszerűbb alakban való felírása (azonos átalakítások), a mérlegelv alkalmazása (ekvivalens átalakítások). Szöveges feladatok megoldása. Az egyenletek megoldása során már eddig is használtunk ekvivalens átalakításokat és azonos átalakításokat. Ezektől az átalakításoktól azt kívánjuk meg, hogy bármely egymást követő egyenletpárnak az igazsághalmaza egyenlő legyen. Az ekvivalens átalakítások speciális esetei az azonos átalakítások. Ilyenkor az egyenlet bal vagy jobb oldalán álló kifejezést más alakban írjuk fel; például: az (x + 3) · 5 = 20 egyenlet ugyanaz, mint az 5x + 15 = 20 egyenlet, csak a bal oldalnak egy másik alakját („másik nevét”) írtuk fel. Hatodikban kezdjük el gyűjtögetni az algebrai kifejezések más-más alakját, ami a „számoknak sok neve van” gondolat szerves folytatása. Az azonos átalakítások közben a helyettesítési értékek nem változtak meg. A 3., 4., 5. és 6. feladatok vetik fel ezeket a gondolatokat, melyekkel mélyebben csak 7. és 8. évfolyamon foglalkozunk. Az 1. példa már igényli a forgatónyomaték elemi ismeretét. A 2. példa e fizikai ismeretek nélkül is érthetővé teszi a mérlegelv lényegét. Az egyenlőtlenség mindkét oldalának negatív számmal való szorzását 7. évfolyamon tárgyaljuk. Javasolt eszköszök: kétkarú mérlegek, mérőtestek, egyenlő vastagságú könyvek 1. A kétkarú mérlegek egyensúlyban vannak. A mérőtestekre a tömegük mérőszámát írtuk rá, mindegyik egysége kg. Add meg a színessel rajzolt testek tömegét! Írj a mérlegekről egyenleteket! Oldd is meg azokat! (A kinézetre ugyanolyan tárgyak tömege megegyező.) a)

b)

s + 20 = 2 · s + 12

A zsírosbödön 8 kg.

Egy súlyzó 8 kg.

2. A mérlegeken mérőtestek és kockák vannak. Nem minden kocka készült ugyanabból az anyagból, ezért a kockák nem ugyanolyan nehezek, de ugyanannak a mérlegnek mindkét serpenyőjére ugyanolyan anyagból készült kockákat raktunk. Melyek azok a mérlegek, amelyeken ugyanolyan anyagból készült kockák vannak? a)

b)

c)

d)

e)

f)

Az a), b), d) és f), valamint a c) és e) mérlegeken ugyanolyan anyagból készült kockák vannak. Az első esetben 10 kg tömegű egy kocka, a második esetben 25 kg egy kocka tömege.

199

Nyitott mondatok

:::

3. Készíts rajzot az egyenletekről! Oldd is meg az egyenleteket! a) 15 · x + 6 = 9 · x + 12 x = 1 b) 10 · x + 4 = 6 · x + 8

x =1

4. Válaszd ki azokat az egyenleteket, amelyeket ugyanazok a számok teszik igazzá! a) 5 · x = 4 x = 5 d) 2 · x − 6 = x + 1 4

g) 10 · x = 45

x =7

x = 45

b) 3 · x − 6 = 2 · x + 1 e) 2 · x = 9 x = 45 h) 3 · x = 2 · x + 7

x =7

x =7

c) 10 · x + 3 = 8 · x + 6 x = 15 f) 10 · x = 8 · x + 9 x = 45 i) 10 · x = 8

x = 45

a) = i), b) = d) = h), e) = f) = g)

Az egyenlőtlenségek megoldásának tárgyalása előtt a lassabban haladókkal célszerű a rutinfeladatok megoldását gyakoroltatni. Erre szántuk az alábbi feladatsort. I. a) x + 6 = 2 · x d) 2 · x = x − 3 II. a) 5 · x + 14 = 7 · x d) 10 · x + 5 = 10 · x

b) e)

x x

+ 18 = 4 · x =3·x −8

c) 10 + x = 3 · x f) 5 · x − 6 = 3 · x

b) 8 − 4 · x = 4 · x e) 2 · x − 1 = 3 · x

c) 12 · x + 8 = 14 · x f) 2 · x − 4 = 3 · x

III. a) x + 3 = 2 · x + 1 d) 4 · x + 2 = x + 26

b) 4 · x + 5 = 1 + 3 · x e) 2 · x + 36 = 6 · x + 24

c) 7 · x + 2 = 4 · x + 14 f) 11 · x + 60 = 20 · x + 51

IV. a) 3 · x − 2 = x + 6 d) x + 1 = 3 · x − 5

b) 3 · x − 2 = 2 · x + 1 e) 2 · x − 7 = 7 · x − 17

c) 2 · x − 3 = 4 · x − 6 f) 5 · x − 4 = 3 · x − 10

b) 2 · x + 4 = 4 − 2 · x e) x − 5 = 4 − x

c) 21 − 5 · x = 9 + 7 · x f) 7 · x − 9 = 2 − 4 · x

V. a) 1 + x = 1 − x d) 5 − x = 4 − x

Az egyenletek gyökei rendre a következők: I. 6, 6, 5, −3, 4, 3; II. 7, 1, 4, nincs ilyen x , −1, −4; III. 2, −4, 4, 8, 3, 1; IV. 4, 3, 15, 3, 2, −3; V. 0, 0, 1, nincs ilyen x , 45, 1

5. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! Ne feledkezz meg az ellenőrzésről! a) 5 · x + 2 > 10 + x x > 2 c) 4 · x + 10 > 8 · x + 10 x < 0 e) x + 2 > x − 2 Azonos egyenlőtlenség.

b) 4 · x > 8·x x < 0 d) 4 · x − 5 > 8·x −5 x < 0 f) x + 2 < x − 2 Nincs ilyen x .

6. Az asztalosnak 120 cm-es deszkákat kell elfűrészelnie. Hogyan fűrészelje ketté, ha a megrendelők azt kérik, hogy a) az egyik ötször olyan hosszú legyen, mint a másik; 20 cm, 1 méter b) az egyik rész 5 cm-rel legyen hosszabb, mint a másik; 575 cm és 625 cm c) az egyik rész 12 cm-rel legyen hosszabb a másik kétszeresénél? 36 cm és 84 cm 7. Csónakosnak ötször több üveggolyója volt, mint Gerébnek. A délutáni játékban Geréb elnyert Csónakostól 6 golyót, így mindkettőjüknek ugyanannyi üveggolyója lett. Hány üveggolyójuk volt külön-külön? Jelölje x Geréb üveggolyóinak a számát! Csónakos üveggolyóinak a száma: 5x . A szöveg alapján felírható egyenlet: 5x − 6 = x + 6 =−x 4x − 6 = 6 x = (6 + 6) : 4 = 3:

Gerébnek 3, Csónakosnak 15 üveggolyója volt.

Melyik ifjúsági regény szereplőiről szól a feladat? Molnár Ferenc: A Pál utcai fiúk 200

Nyitott mondatok

:::

8. Egy kisváros egyik boltjába beállít egy ismeretlen ember, 6 euróért vásárol. Tízeuróssal fizet, de a pénztáros nem tud visszaadni, ezért a szomszédos üzletben felváltja a tízest, és a vevőnek visszaad 4 eurót. Másnap jön a szomszéd kereskedő: a tízes hamis volt! A pénztáros kénytelen egy valódi tízeuróst adni helyette a szomszédnak. Mennyi volt a pénztáros kára? A kereskedő elesett a hamis 10 eurós értékétől, ennyi tehát a kára. Másképp is gondolkodhatunk. Keressük meg, hogy „ki vitte el a hasznot”! A vevő elvitt (érvényes fizetés nélkül) egy 6 eurót érő árucikket, ez biztos a kereskedő kára. A vevő a visszajáró 4 eurót is elvitte, pedig az nem illette volna meg őt. A szomszéd kereskedő a hamis 10 eurósért a 10 eurót apróban, helyes pénzben adta oda, de másnap a hamis pénzt visszaadta, helyette érvényes pénzt kapott, tehát neki sem kára, sem haszna nem volt. Úgy is elképzelhetjük, hogy a vevő elvitt (érvényes fizetés nélkül) egy 6 eurót érő árucikket, és elvitte (jogtalanul) a visszajáró 4 eurót, akkor 10 euró kárt okozott, amely mind az eladóé, hiszen a szomszéd kereskedőnek sem kára, sem haszna nem származott a pénzváltásból.

9. Egy udvarban nyulak és csirkék sütkéreztek a napon. Összesen 35 fejet és 94 lábat tudtam megszámolni. Hány csirke és hány nyúl volt az udvarban? 12 nyúl és 23 csirke volt az udvarban. 10. Négy barlangász gyerek egy sötét, szűk alagúton akar áthaladni. A sötétben félnek, és csak egyiküknél van barlangászlámpa, amely 12 percig világít még. A szűk alagútban egyszerre csak ketten haladhatnak. Az egyik fiú 1 perc alatt, a másik 4 perc alatt, az idősebb lány 2 perc alatt, a fiatalabb 5 perc alatt képes megtenni a távolságot. Átjuthatnak-e mindnyájan? Igen, átjuthatnak: A gyorsabb fiú és a gyorsabb lány átmegy (2 perc). A fiú visszajön a lámpával (1 perc). A lassabb lány és a lassabb fiú átmegy (5 perc). A gyorsabb lány visszajön (2 perc). A gyorsabb fiú és lány átmegy (2 perc). 2 + 1 + 5 + 2 + 2 = 12

Tudáspróba Tk.: 213. oldal 1. A folyamatábra segítségével oldd meg az egyenleteket!

115

·4 :4

−6

(x + 2) · 4

+6

46

(x + 2) · 4 − 6 =

−2

+2

=

=

9 5

x

=

+2 x

40

2. A feladatokról írj egyenleteket, és oldd is meg azokat! Az ellenőrzésről ne feledkezz meg! a) Gondoltam egy számot, hozzáadtam 4-et, a kapott szám kétszeresét vettem, így 20-at kaptam eredményül. Milyen számra gondoltam? (g + 4) · 2 = 20. A gondolt szám a 6. b) Gondoltam egy számot. Az ennél 5-tel kisebb szám 2-szereséhez 3-at adva, 20-at kaptam eredményül. Milyen számra gondoltam? (g − 5) · 2 + 3 = 20. A gondolt szám a 135. c) Egy szám kétszereséhez a háromszorosát hozzáadva 3-mal kisebb számot kapunk, mint 12. Melyik ez a szám? 2 · g + 3 · g + 3 = 12. A gondolt szám a . 9 5

3. Oldd meg az egyenleteket! A megoldásod lépéseit is írd le! Ellenőrizz! a) g · 5 + 4 = 27 g = (27 − 4) : 5 = 46 b) 5 · g − g − 4 = −12 g = (−12 + 4) : 4 = −2 201

Nyitott mondatok

:::

−4 d) (g + 3) : 6 + 8 = 20 g = (20 − 8) · 6 − 3 = 69 + 5 = 10 g = (10 − 5) · 8 + 4 = 44 8 4. a) Mekkorák a háromszög szögei? b) Mekkorák a téglalap oldalai, ha a kerülete 46 cm? c)

g

4 · + 4◦ = 180◦ = 44◦

(a + a + 10) · 2 = 46 a = 65 cm b = 165 cm

A háromszög szögei 44◦ , 48◦ , 88◦

c) Mekkorák a háromszög szögei, ha a legnagyobb 40◦ -kal nagyobb a középsőnél, és kétszerese a legkisebbnek? 2 · + (2 · − 40◦ ) + = 180◦ ◦

◦

A háromszög szögei 88 , 48 , 44

d) Mekkorák a téglalap oldalai, ha az egyik oldala a másik oldal kétszeresénél 3 cm-rel kisebb, és a kerülete 126 cm?

a + (a · 2 − 3) = 126 : 2 a = 31 cm és b = 32 cm

◦

1 2 részét a nagyszüleitől, a részét a 5 3 szüleitől kapta. A fennmaradó 7600 Ft-ot a zsebpénzéből fizette ki. Megoldás következtetéssel: a) A részvételi díj mekkora részét fizette ki Marci a zsebpénzéből?

5. Marci nyáron evezőstáborba készült. A részvételi díj

3 10 13 1 2 + = + = 5 3 15 15 15 13 2 1− = 15 15

A részvételi díj

2 részét fizette ki Marci. 15

b) Hány forint volt a részvételi díj? 2 1 15 rész 7600 Ft, rész 3800 Ft, rész 57 000 Ft, 57 000 Ft volt a részvételi díj. 15 15 15

c) Hány forintot kapott a nagyszüleitől? 57 000 Ft : 5 = 11 400 Ft. 11 400 Ft-ot fizettek Marci nagyszülei.

d) Hány forintot kapott a szüleitől? 2 = 38 000 Ft. 38 000 Ft-ot fizettek Marci szülei. 3 Ellenőrzés: 7600 Ft + 11 400 Ft + 38 000 Ft = 57 000 Ft 57 000 Ft ·

Megoldás egyenlettel: Jelölje x a részvételi díj összegét! A szövegnek megfelelő egyenlet és megoldása: x − 15 · x + 32 · x = 7600 10 x − 153 · x + 15 · x = 7600 2 · x = 7600 15 x = 7600 · 152 x = 57 000

202

Arányos következtetések, százalék

Arányos következtetések, százalék 1. óra: Arányos következtetések 2–3. óra: Egyenes arányosság 4–5. óra: Százalékszámítás 6–7. óra: A 100% meghatározása 8–9. óra: Törtrészek meghatározása százalék alakban 10. óra: Vegyes százalékszámítási feladatok 11–12. óra: Bevezetés a statisztikába 13–14. óra: Felmérő Heti 4 órában tanuló csoportok esetén a témakör feldolgozására (vegyes százalékszámítási feladatokra, időközi számonkérésre) 5 tanórával több áll rendelkezésre. Mire építünk? A tanulók korábbi tanulmányaiban rendszeresen szerepeltek arányos következtetések. Az egész számok körében már alsó tagozatban is gyakran oldottak meg ilyen jellegű feladatokat, mégpedig az egységen keresztül léptetve a gondolkodást. Például: ha 5 szál rózsa 400 Ft, akkor 1 szál rózsa 80 Ft, és 7 szál rózsa 560 Ft. Többször kellett értéktáblázatokat kitölteni egy adott szabály felismerése után. A különböző mennyiségek más mértékegységre történő átváltása is alapvető követelmény volt. Ezekben a példákban is ott rejlik az „ahányszorosára, annyiszorosára” logikai gondolatmenet. A 6. évfolyamos tananyag Műveletek törtekkel című fejezetében, a valahányad rész kiszámításánál már megjelenik a százalék fogalma és jelölése is. Milyen előrelépést teszünk? Megismerkedünk a folytonosan változó mennyiségek közötti összefüggésekkel, amelyek segítségével pontosabban le tudjuk írni a környezetünkben lezajló folyamatokat. A százalék jele, az azzal való értő számolás, az arányos és a nem arányos következtetések nap mint nap előkerülnek életünkben. Egyszerűbb esetekben megtanuljuk a folyamatok grafikus ábrázolását is. Megismerjük a leíró statisztika alapfogalmait, a grafikonok készítését és olvasását. Meddig jutunk el? Alapkövetelmény: a tanulóknak fel kell ismerniük, hogy egy egyszerű szöveges feladványban egyenes arányosságról vagy egyéb összefüggésről van-e szó. A racionális számok halmazán készség szinten kell alkalmazniuk az egyenes arányosságot az egységen át arányos következtetéssel (például a százalékérték meghatározását). Más tantárgyakban, például a fizikában is használniuk kell ezeket az ismereteiket. Ismeret szintjén kell alkalmazniuk a százalékszámításban az inverz gondolatmeneteket, az alap és a százalékláb kiszámításánál. Ugyancsak ezen a szinten kívánjuk meg a grafikonok olvasását és készítését. Tudatosan törekedjünk arra, hogy minden esetben emeljük ki a gondolkodási módszerek fejlesztését. Ebben a témakörben a „ha, akkor” kapcsolat használatának domináns a szerepe.

203


Hogyan folytatjuk? A következő években az arány fogalmának bevezetésével bővítjük ismereteinket. Összetett százalék- és kamatszámítási feladatokat végzünk majd, amikor újra felfrissítjük és a mindennapi élet adta problémák leírására használjuk a százalékszámításról tanultakat. Szükséges és ajánlott eszközök Tanulói Olló, kartonpapír, arányos méretű alakzatok, tárgyak kivágásához

Tanári Olló, színes kartonpapír, arányos méretű alakzatok, tárgyak kivágásához

Árukatalógusok, reklámújságok a százalékszámításhoz Grafikonokat, táblázatokat tartalmazó újságok a statisztikához

Árukatalógusok, reklámújságok a százalékszámításhoz Letöltött KSH adatok a statisztikához Számítógép, projektor Hozzáférés az interaktív tananyaghoz 6-os felmérő füzet

1. óra: Arányos következtetések Tk.: 214–218. oldal, 1–15. feladat A 2. kidolgozott példa nevelési értékű, ezért mindenképp szükséges ennek, vagy ehhez hasonló feladatnak a kidolgozása. Adjuk fel otthoni mérési feladatként, hogy ők körülbelül mennyi vizet használnak! A kád helyett zuhanyzótál vagy egyéb fürdőedény méreteit lemérve számítsuk ki azok közelítő térfogatértékeit és a meleg vízre átszámított becsült árát (a helyi adatokkal). Adjunk segítséget a henger alakú vagy görbült felülettel határolt edények térfogatának téglatesttel való közelítéssel történő meghatározásához. Itt nem a pontos eredmény számít, hanem az, hogy körülbelül mennyit fogyasztunk, ha pocsékolunk, és mennyit, ha takarékosabbak vagyunk. A 3. kidolgozott példa a következtetés belső logikáját szemlélteti, előreutal az aránypárra, és ismétli a tört egyszerűsítését. Figyeljünk a számegyenesen megfelelő színnel jelölt szakaszokra! Ez az ábrázolás alkalmas az egyenesen arányos következtetések szemléltetésére, a nagyságrendi viszonyok megfigyelésére és az összetartozó értékpárok megmutatására. Segítségünkre lehetnek a színesrúd-készlet megfelelő nagyságú elemei. Rajzoljunk a 6 baba magasságának megfelelő magasságú szakaszt különböző színekkel egy koordináta-rendszerbe úgy, hogy az x tengely 1, 2, 3, 4, 5, 6 pontjainál rendre a 2, 4, 6, 8, 10, 12 magas szakaszok álljanak! A szakaszok végpontjain át húzzunk egy origóból kiinduló vékony fekete egyenest! Feladatok 1. a) 5 kg alma 1300 Ft. Mennyibe kerül ebből az almából 2 kg? 520 Ft b) 15 kg burgonya ára 2400 Ft. Mennyibe kerül 4 kg ugyanilyen burgonya? 640 Ft c) 2 csomag narancs 420 Ft. Mennyi az ára 7 ilyen csomag narancsnak? 1470 Ft

204

Arányos következtetések, százalék 2. Jocó a könyvespolcát takarítja. Nagyon lassan halad a munkával. Egy könyvről 2 perc alatt törli le a port. Hány óra alatt végez 124 könyvvel, ha egyenletesen ilyen lassú tempóban dolgozik? 1 könyv 2 perc; 124 könyv 248 perc = 4 óra 8 perc.

3. 15 db egyforma ceruzát veszünk 675 Ft-ért. Számítsd ki, mennyit fizetünk ugyanebből a ceruzából 7 darabért! 15 db ceruza 675 Ft; 1 db ceruza 45 Ft; 7 db ceruza 315 Ft. 4. Egy számítástechnikai tanfolyamon nyolc óráért 28 000 Ft-ot kell fizetni fejenként. Mennyibe kerül a tanfolyam annak a tanulónak, aki négy órával többet szeretne tanulni? 42 000 Ft-ba kerül.

5. A 6. a osztály 35 tanulója színházba készül. 12 db jegy ára 18 000 Ft. Mennyibe kerül a színházlátogatás a teljes csoportnak? 52 500 Ft-ba kerül. 6. 84 m2 falfelületre 56 kg festéket vásároltunk. Hány kg festék szükséges 90 m2 felületre? 84 m2 5 6 kg 90 m2 5 6 kg ·

90 15 = 5 6 kg · = 6 kg 84 14

7. Szorgos Gizi néni kenyeret és sajtot vásárol a családjának. Az egyes árucikkek közül mindig a legolcsóbbat szeretné választani. A csomagolásokon csak a csomag ára szerepel, az egységár nem. Határozd meg a táblázatban feltüntetett árak alapján, hogy Gizi néni melyik kenyeret és melyik sajtot válassza a kínálatból! Kenyérfélék Sajtok 2 kg-os félbarna

290 Ft

25 dkg-os csomag

375 Ft

15 kg-os rozsos

210 Ft

60 dkg-os csomag

1320 Ft

05 kg-os teljes kiőrlésű

120 Ft

100 g-os csomag

180 Ft

75 dkg-os fehér

135 Ft

12 kg-os csomag

3000 Ft

Kenyérfélék Félbarna

Rozsos

Teljes kiőrlésű

Fehér

2 kg

290 Ft

1,5 kg

210 Ft

0,5 kg

120 Ft

75 dkg

135 Ft

1 kg

145 Ft

1 kg

140 Ft

1 kg

240 Ft

1 kg

180 Ft

25 dkg

375 Ft

60 dkg

1320 Ft

100 g

180 Ft

1 2 kg

3000 Ft

1 kg

1500 Ft

1 kg

2200 Ft

1 kg

1800 Ft

1 kg

2500 Ft

Sajtok

Gizi néninek a rozsos kenyeret és a 25 dkg-os sajtot kell választania.

8. 250 ml banánturmixhoz 200 g banán szükséges. Ilyen töménységű turmixot készítünk. a) Mennyi banán szükséges 600 ml turmixhoz? 250 ml turmixhoz 200 g banán, 200 g 600 ml turmixhoz · 600 = 200 g · 2 4 = 480 g banán szükséges. 250

b) Hány ml turmixot készíthetünk 700 g banánnal? 200 g banánnal 250 ml turmix, 250 ml 700 g banánnal · 700 = 250 ml · 3 5 = 875 ml turmix készíthető. 200

205

Arányos következtetések, százalék 9. Egy személyautó 100 km megtétele közben átlagosan 86 l benzint fogyaszt. Mennyi az autó fogyasztása, ha Budapestről Debrecenbe utazunk vele? (A Budapest–Debrecen-távolság 226 km.) 100 km

8 6 l benzin

226 km

(8 6 : 100) · 226 l = 19 436 l

10. Egy valódi narancslé dobozán a táblázatban látható adatokat olvashatjuk. Mennyi energiát, fehérjét, szénhidrátot és zsírt tartalmaz egy 25 dl-es pohárnyi narancslé? Tápérték

100 ml = 1 dl termékben 2 5 dl termékben

Energia

185 kJ*

Fehérje

0,7 g

1 75 g

Szénhidrát

9,0 g

22 5 g

Zsír

0,2 g

05 g

462 5 kJ

*„Alap anyagcserének” nevezzük azt a minimális energiatermelést, amelyet az emberi testben 20 Celsius-fokon, 10–12 óra „éhezés” után, izommunka és érzelmi ingadozások nélkül mérhetünk. A táplálékok energiája akkor mérhető kilojoule-ban (kJ), ha azok a szervezetünkben már átalakultak hővé. Az energia mérőszámai pedig megmutatják, hogy a különböző tápanyagok elfogyasztásával a szervezetben mennyi energia keletkezik. További információkat találsz erről az interneten. Nézz utána! Hívjuk fel a tanulók figyelmét az egészséges táplálkozás lehetőségére! Adjunk internetcímeket, ahol erről olvashatnak! Ebből a gyűjtött anyagból képekkel illusztrált kiselőadást tarthatnak. 11. Egy 15 m hosszú, 10 m széles és 15 m mély fürdőmedencébe egyenletes erősséggel folyik a víz, mégpedig 3 perc alatt 20 hl. Mennyi idő alatt telik meg a medence? A medence térfogata 15 m · 10 m · 1 5 m = 225 m3 = 225 000 dm3 = 225 000 l = 2250 hl. Ha 3 perc alatt 20 hl víz folyik a medencébe, akkor hány perc alatt folyik a medencébe 2250 hl víz? 2250 : (20 : 3) = 337 5 perc = 5 625 óra = 5 óra 37 5 perc ≈ 5 óra 40 perc

12. Egy személyautó 3 m3 kipufogógázával 45 mg korom kerül a levegőbe. Hány mg korommal szennyezi a levegőt 10 m3 kipufogógáz? 3 m3 10 m3

4 5 mg korom 4 5 mg · 10 = 15 mg 3

13. A túrógombóc elkészítéséhez 4 személy részére a következő alapanyagok szükségesek: 50 dkg tehéntúró, 4 egész tojás, 2 dl búzadara, egy csipet só, 2 evőkanál olaj, 10 dkg zsemlemorzsa, 10 dkg porcukor, 2 dl tejföl. Határozd meg az egyes alapanyagok mennyiségét, ha ugyanezt a gombócot 6 személyre szeretnéd elkészíteni! 6 személy részére

206

6 -szer = 1 5-szer annyi kell az egyes alapanyagokból: 4

Arányos következtetések, százalék tehéntúró tojás búzadara olaj

50 dkg · 1 5 = 75 dkg 4 db · 1 5 = 6 db 2 dl · 1 5 = 3 dl 2 ek · 1 5 = 3 ek

zsemlemorzsa porcukor tejföl csipet só

10 dkg · 1 5 = 15 dkg 10 dkg · 1 5 = 15 dkg 2 dl · 1 5 = 3 dl másfélszer annyi

14. Egy 200 m-es síkfutáson öt fiú állt rajthoz. Amikor felharsant a társak buzdítása, Péter már 3 5 3 7 megtette a táv -ét, Zoli a felét, Zsolt a -ét, Laci az -át és Feri a -ét. 10 4 8 5 a) Hány méter volt még hátra a fiúknak? Péter Zoli Zsolt 7 1 3 Megtett út rész rész rész 10 2 4 3 1 1 Hátralevő út rész = 60 m rész = 100 m rész = 50 m 10 2 4

Laci 5 rész 8 3 rész = 75 m 8

Feri 3 rész 5 2 rész = 80 m 5

b) Milyen sorrendben érkeztek a célba a fiúk, ha a verseny végéig ez a sorrend nem változott? Befutási sorrend: I. Zsolt, II. Péter, III. Laci, IV. Feri, V. Zoli

c) Ha mindegyikük gratulált az összes előtte befutónak, akkor ki hány társának gratulált? Zoli 4 társának, Feri 3-nak, Laci 2-nek, Péter 1-nek gratulált.

11 részét, az alsóra 24 a többit. Hány könyve volt Lilinek, ha így az egyik polcra 6-tal több könyv került, mint a másikra?

15. Lili két polcon helyezte el a könyveit. A felső polcra rakta könyveinek

1: polc:

11 rész 24

2: polc:

13 rész 24

A 2: polcon 1 rész 3 db 24

2 rész 6 db 24

2 rész a többlet, ami éppen 6 db könyv. 24 24 rész 72 db 24

Lilinek 72 db könyve volt.

2–3. óra: Egyenes arányosság Tk.: 219–223. oldal, 1–15. feladat Az arányos következtetések széles körű alkalmazásával találkozunk a 2. órától a 12. óráig, az egyenes arányosság, valamint a százalékszámítás témakörben. Itt számtalan „életszerű” probléma áll rendelkezésünkre, ezért ne oldassunk meg „száraz”, csak algoritmusokat tartalmazó feladatokat, hanem tűzzük ki a mintapéldákat, vagy azok alapján bármilyen ide kapcsolódó problémát! Mindig mondjuk meg a megoldás gyakorlati hasznát, alkalmazhatóságát például az otthonunkban, az iskolában, a közlekedésben, a sportban vagy a tudományokban! A kitűzött feladatok mindegyike szorosan kapcsolódik a valósághoz. Adjunk olyan házi feladatokat, amelyben ők is gyűjtenek adatokat, és azokból készítenek feladatokat! Az 1. példa adatainak segítségével ismételjük át, hogyan ábrázoljuk a számpároknak megfelelő pontokat a koordináta-rendszerben! Jó, ha a gyerekek is milliméterpapíron ábrázolják a grafiko-

207


nokat, és azt beragasztják a füzetbe. A grafikonok összekötése előtt feltétlenül beszéljünk arról is, hogy az x tengelyen felvett bármely értékhez tartozhat megfelelő y érték, ezért lehet összekötni azt a néhány pontot, amelyeket megjelöltünk! Emeljük ki a négyzet oldala és területe közötti összefüggést, hogy a tanulókban tudatosodjon, nemcsak egyenes arányosság létezik, hanem számtalan egyéb összefüggés is! Feladatok 1. Egy áruházban egy csomag sportzokni, amelyben 4 pár zokni van, 1700 Ft-ba kerül. Mennyit kell fizetni 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 pár ilyen zokniért? Pár (db)

1

2

3

4

5

6

7

8

Ár (Ft)

425

850

1275

1700

2125

2250

2975

3400

2. Egy kerékpáros egyenletesen haladva 1 óra alatt 18 km-t tesz meg. 1 1 2 5 9 Hány km utat tesz meg 1, 2, 3, 4, 5, , , , , , 15 óra alatt? 2 3 3 4 2 A kapott értékpároknak megfelelő pontokat ábrázold a koordináta-rendszerben! Hogyan helyezkednek el ezek a pontok? A pontok egy origóból kiinduló félegyenesen vannak. Idő [óra]

1

2

3

4

5

Megtett út [km]

18

36

54

72

90

1 2 9

1 3 6

2 5 9 3 4 2 12 22 5 81

15 27

3. Egy angolnyelv-tanár óradíja 3500 Ft. Mennyit fizet a tanítvány 15; 3; 5; 9; 21 óráért? Órák száma Órák díja (Ft)

1

1,5

3

5

9

21

3500

5250

10 500

17 500

31 000

73 500

4. Az egyik mobiltelefon-szolgáltató percenként 46 forintot számít fel ügyfeleinek egy-egy belföldi hívás esetén. A számlázás másodperc alapú, tehát mindenki annyi másodpercért fizet, amennyit telefonált. Hány forintot kell fizetnie egy belföldi hívás után annak az ügyfélnek, aki 5 perc 24 másodpercet telefonált? 1 perc = 60 mp 1 mp 5 perc 24 mp = 324 mp

46 Ft 46 Ft 60 248 4 Ft

5. Eszter a digitális fényképezőgépével 158 db fényképet készített az osztálykiránduláson. Átmásolta a képeket a számítógépére, majd szeretné azokat CD-re is elmenteni. Elfér-e az összes kép egy CD-n, ha egy fénykép átlagosan 3900 kB (kilobájt) nagyságú, és a CD-n 700 MB (megabájt) méretű adat fér el? 1024 kB = 1 MB 1 kép 158 kép

3900 kB 616 200 kB

A CD-n 700 MB = 716 800 kB nagyságú hely van, ezért a 158 db kép elfér a CD-n.

208

Arányos következtetések, százalék 6. a) 600 kg cukorrépából körülbelül 100 kg cukrot állítanak elő. Másold le a táblázatot a füzetedbe, és pótold a táblázat hiányzó adatait! Cukorrépa (kg)

100

150

300

600

850

900

1200

50 3

25

50

100

425 3

150

200

Cukor (kg)

b) Hány kg cukrot vonhatunk ki 1 kg cukorrépából

A) 7500 kg

cukorrépából

B)

113 t = 11 300 kg cukorrépából

C)

23 t = 23 000 kg cukorrépából

D) 245 kg

cukorrépából

1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

kg cukor vonható ki. · 7500 kg = 1250 kg. 5650 kg = 1883 3˙ kg ≈ 1880 kg. 3 11 500 · 23 000 kg = kg = 3833 3˙ kg ≈ 3830 kg. 3 49 · 24 5 kg = kg = 4 083˙ kg ≈ 4 kg cukor vonható ki. 12 · 11 300 kg =

cukorrépából? c) Hány kg cukorrépa szükséges 100 kg

cukorhoz

600 kg cukorrépa,

1 kg

cukorhoz

6 kg cukorrépa kell.

cukorhoz

59 000 · 6 kg = 354 000 kg.

cukorhoz

7000 · 6 kg = 42 000 kg.

cukorhoz

2500 · 6 kg = 15 000 kg.

cukorhoz

40 300 · 6 kg = 241 800 kg cukorrépa szükséges.

A) 59 t = 59 000 kg B) 7000 kg C) 2500 kg D) 403 t = 40 300 kg cukorhoz?

7. 12 kg lisztből 15 kg kenyeret süt a pék. Hány ugyanilyen kenyeret tud sütni 20 kg, 27 kg, 75 kg, 365 kg lisztből? Készíts táblázatot! 12 kg lisztből 15 kg kenyér készül,

1 kg-ból

15 5 kg = kg. 12 4

5 kg = 25 kg kenyér, 4 5 27 kg lisztből 27 · kg = 33 75 kg kenyér, 4 5 7 5 kg lisztből 7 5 · kg = 9 375 kg kenyér, 4 5 18 25 3 65 kg lisztből 3 65 · kg = kg = 4 5625 kg kenyér készül. 4 4

Ennek alapján: 20 kg lisztből 20 ·

Liszt [kg]

20

27

7,5

3,65

Kenyér [kg]

25

33 75

9 375

4 5625

209

Arányos következtetések, százalék 8. Egy pohár joghurt 100 grammja a táblázatban leírt tápanyagmennyiségeket tartalmazza. Számítsd ki, hogy hány gramm van az egyes tápanyagokból a) 500 g b) 260 g ilyen joghurtban! 100 g-ban 1 g-ban 500 g-ban 260 g-ban

Energia

440 kJ

4 4 kJ

2200 kJ

1144 kJ

Fehérje

40 g

0 04 g

20 g

10 4 g

Szénhidrát

150 g

0 15 g

75 g

39 g

28 g 0 028 g

14 g

7 28 g

Zsír

* A kJ-ról a tankönyv 218. oldal 10. feladatánál olvashatsz. 9. Válaszd ki az alábbi példák közül az egyenes arányosságokat! a) egy futópálya területe és a beterítéséhez szükséges vörös salak mennyisége Egyenes arányosság (feltételezzük, hogy mindenütt egyenlő vastagságú salaktakaró kerül a földre).

b) c) d) e) f)

egy kocka élének hossza és a kocka felszínének nagysága Nem egyenes arányosság. egy kocka élének hossza és a kocka térfogatának nagysága Nem egyenes arányosság. a fejlődő gyermek életkora és magassága Nem egyenes arányosság. az adott idő alatt elvégzett munka és az érte fizetett órabér Egyenes arányosság. egy téglalap alakú telek területe és a bekerítéséhez szükséges kerítés hossza Nem egyenes arányosság.

10. a) A következő táblázat alapján számítsd ki, hogy egységnyi idő alatt mekkora a megtett út (a sebesség)! Gyalogos Kerékpár Út Idő Sebesség

15 km 3 óra 5

km óra

30 km 15 óra 20

m óra

Gyorsvonat

Személyautó

Hang

280 km 4 óra

210 km 35 óra

666 m 2 másodperc

70

km óra

60

km óra

333

Repülő

m mperc

Fény

600 km 1 500 000 km 55 perc 5 másodperc ≈ 10 91

km km 300 000 perc mperc

A sebesség fogalmát csak akkor használjuk, ha azt már tanulták fizikaórán a diákok!

b) Ábrázold derékszögű koordináta-rendszerben a kerékpáros és a személyautó út-idő grafikonját 1 órától 5 óráig!

Út (km) személyautó 200 100

kerékpáros

0 1 2

2

3

4

5 Idõ (óra)

11. A 16 m alapterületű ebédlő négyzet alakú padlóját 10 cm oldalú, négyzet alakú mozaiklapokkal borítják be. Hány darab mozaiklapra lesz szükség? Hány ilyen lapot kell vásárolni, ha az ebédlő alapterülete 9 m2 , 25 m2 , 36 m2 , 64 m2 ? Készíts táblázatot!

210

Arányos következtetések, százalék 1 db mozaiklap területe 10 cm · 10 cm = 100 cm2

Terület [m2 ]

2

1 m -hez 100 db mozaiklap szükséges.

Darab

9

25

36

64

900

2500

3600

6400

16 m2 -hez 1600 db mozaiklap szükséges.

12. Budapest lakossága, gyárai, intézményei 45 millió m3 hulladékot termelnek évente. Ehhez hozzáadódik a lomtalanításkor 170 ezer m3 vegyes szemét. a) Számítsd ki, hány m3 hulladékot, illetve hány m3 vegyes szemetet jelent ez átlagosan egy napra nézve! 4 5 millió m3 hulladék

1 év = 365 nap alatt 1 nap alatt 1 év = 365 nap alatt 1 nap alatt

4 500 000 3 m = 12 328 77 m3 hulladék átlagosan 365 170 000 m3 vegyes szemét jut 170 000 3 m ≈ 465 75 m3 vegyes szemét jut 365

b) Számítsd ki, hogy hány m3 esik átlagosan egy napra, ha összeadjuk a lomtalanítás és az állandó hulladék mennyiségét! Ha ezeket összeadjuk: 465 75 + 12 328 77 = 12 794 52 m3 hulladék jut átlagosan egy napra.

c) Budapest lakossága 17 millió fő. Hány dm3 hulladékot termel egy ember naponta átlagosan? Budapest lakossága: 1 7 millió (ember) 12 794 52 m3 hulladékot termel naponta. 12 794 52 3 1 emberre: m ≈ 7 526 dm3 hulladék jut átlagosan. 1 700 000

13. A következő összefüggések közül melyek egyenes arányosságok? a) ha egy edényben lévő vizet egyenletesen melegítünk, akkor a melegítésre fordított idő és a víz hőmérséklete Egyenes arányosság. b) a téglalap területének nagysága és egyik oldalának hossza, ha a másik oldalának hossza állandó Egyenes arányosság. c) egy mozielőadásra ugyanolyan árú jegyet váltó emberek száma és az e jegyekért fizetendő összeg Egyenes arányosság. d) a növekedő gyermek magassága és tömege Nem egyenes arányosság. e) a télire eltett alma tárolási ideje és nedvességtartalma Nem egyenes arányosság. 14. Egy 1 m hosszú, henger alakú hasábfát 20 cm-es darabokra kell elfűrészelni. 2 vágás 2 percig tart. Mennyi ideig tart 15 ilyen hasábfa elfűrészelése?

2 3

1 m hasábfa 100 cm. Ez 4 vágással elkészül. 15 ilyen hasábja 15 · 4 = 60 vágással készül el. 2 8 16 240 2 vágás 2 = perc, akkor 4 vágás perc és 60 vágás perc = 80 perc = 1 óra 20 perc 3 3 3 3

15. Egy óra 5 másodperc alatt üti el a 6 órát. Hány másodperc alatt üti el a 12 órát? A 6 ütés között 5 szünet van. A 12 ütés között 11 szünet van. Ha a 6 ütés 5 mp-ig tart, akkor a 12 ütés 11 mp-ig.

211

Arányos következtetések, százalék 4–5. óra: Százalékszámítás Tk.: 223–227. oldal, 1–20. feladat Az 5. órától a 11. óráig tervezzük a témakör súlyponti részét, a százalékszámítást. Fontos, hogy a tanulók ne féljenek ettől. Oldjuk fel a rossz hagyományt, miszerint: „A százalékszámításból egyetlen szót sem értek!” „A szüleim is azt mondták, hogy ez nagyon nehéz!” A legfontosabb, hogy a százalékszámítás „ne éljen külön életet” a tanításban, a tanulásban. Mindössze egy speciális egyenes arányosságról, egy arányos következtetésről van szó. Ezt tudatosítani kell magunkban is és a tanulókban is. Ugyanakkor kevés olyan témakör van a matematikában, ami ennyire egyértelműen megtalálható a mindennapi életben és más tantárgyakban is. A témakör feldolgozásában nem kell ragaszkodni ehhez a sorrendhez, nem kell erőltetni az elnevezéseket, a jelöléseket, és főleg nem szabad kiszámolási szabályokat tanítani! Hetedik évfolyamon is visszatérünk a százalékszámításra például az aránypár tanulásánál vagy az egyenletek megoldásánál. Akkor tanulunk majd összetett, többlépéses százalékszámítási feladatokat is. A százalékszámítás alapfogalmai addig beérnek. Feladatok 1. Hány százaléka az egész területnek a téglalap kék, piros és sárga része?

kék 50%, piros 25%, sárga 25% kék 37 5%, piros 25%, sárga 37 5%

2. Írd fel százalék alakban a törtrészeket! 3 7 9 = 30% = 35% = 36% 10 20 25 12 4 24 3 15 1 = = 80% = = 60% = = 25% 15 5 40 5 60 4

5 = 125% 4 18 3 = = 75% 24 4

kék 50%, piros 25%, sárga 25%

3 = 150% 2 150 = 2 = 200% 75

5 = 100% 5 99 3 = = 150% 66 2

3. Írd fel százalék alakban a tizedes törtekkel megadott törtrészeket! 026 = 26% 245 = 245%

070 = 70% 125 = 125%

005 = 5% 100 = 100%

0124 = 12 4% 384 = 384%

4. Írd a százalékokat tört alakba! 40% =

2 5

150% =

212

3 2

75% =

3 4

5% =

1 20

12% =

3 250

1 1 33 % = 3 3

4% =

1 25

1 91 45 % = 200 2

Arányos következtetések, százalék 5. Az ábrán látható mobiltelefon kijelzőjéről leolvasható, milyen arányban van feltöltve a telefon akkumulátora. A fehér rész az „elfogyasztott” töltést jelzi. Hány százalékos a telefon feltöltöttsége? Az akkumulátor 62 5%-a.

5 625 = része áll rendelkezésre, ez a teljes feltöltöttség 8 1000

6. Válaszd ki az egyenlőket! 3 5

25%

06 : 03

4 2 50%

1 4

6 8

0 2

32 : 96

150%

4 = 200% = 0 6 : 0 3; 2 : 4 = 50%; 2 3 6 6 Nincs párja a -nek, a -nak és a -nek. 5 8 5 25% =

1 ; 4

20%

200%

6 5 32:96=

1 3 1 ; 3

2:4

15 : 1 150% = 1 5 : 1;

0 2 = 20%

7. Hány dkg meggyet és hány dkg cukrot tartalmaz 1 kg meggyes joghurt, ha 20% a gyümölcsés 8% a cukortartalma? 1 kg = 100 dkg meggyes joghurt, a 100 dkg 8%-a: 100 · 0 08 = 8 dkg a cukor, a 100 dkg 20%-a: 100 · 0 2 = 20 dkg a meggy.

8. Egy szörp üvegén ez áll: 9-szeres hígításban ajánlott. a) Hány liter hígított szörpöt tudunk egy liter tömény szörpből készíteni? A 9-szeres hígítás azt jelenti, hogy 9-szer annyi víz van benne, mint amennyi szörp. Tehát 1 l szörphöz 9 l vizet kell adni.

b) A hígított szörp hány %-a víz? A hígított szörp 10 l lesz, és ennek 90%-a víz. 9. Határozd meg, hogy a teljes kert hányad része A teljes kert területe: 12 e · 10 e = 120 e2 1 a) a virág; A virágoskert: 6 e2 , része, 5%-a a teljes kert 20 területének. 1 b) a konyhakert; A konyhakert: 24 e2 , része, 20%-a a teljes 5 kert területének. 1 c) a házikó; A házikó: 12 e2 , része, 10%-a a teljes kert 10 területének. 13 rész, 65%. d) a pázsit! A pázsit: a fennmaradó rész, 78 e2 , 20

virág házikó

pázsit

konyhakert

A kapott részeket minden esetben add meg százalékban is!

213

Arányos következtetések, százalék 10. A felsorolt növények víztartalma: Fejes saláta: 95% Alma: 84%

Érett paradicsom: 94% Burgonya: 78%

Számítsd ki, mennyi víz van

a) 2 kg = 2000 g Fejes saláta Érett paradicsom Retek Alma Burgonya Földimogyoró

1900 1880 1840 1680 1560 100

g g g g g g

Retek: 92% Földimogyoró: 5% b)

1 kg = 500 g ilyen növényben 2 475 470 460 420 390 25

g g g g g g

11. Hány liter 2 hl (= 200 l) a) 20%-a; 40 l b) 75%-a; 150 l

c) 90%-a; 180 l

d) 01%-a? 0 2 l

12. Hány gramm 4 kg a) 10%-a; 400 g

b) 50%-a; 2000 g

c) 60%-a; 2400 g

d) 90%-a? 3600 g

13. Hány perc 1 óra a) 20%-a; 12 perc

b) 60%-a; 36 perc

c) 125%-a; 75 perc

d) 5%-a? 3 perc

14. Hány fok a derékszög a) 10%-a; 9◦

b) 30%-a; 27◦ c) 80%-a; 72◦ d) 120%-a; 108◦ 1 e) 150%-a; 135◦ f) 33 %-a? 30◦ 3 Szerkeszd meg ezek közül azokat a szögeket, amelyek vonalzóval és körzővel megszerkeszthetők! Az e) és az f) szerkeszthető körzővel és vonalzóval. Ha ismerjük az aranymetszés szakaszainak euklideszi szerkesztését, akkor a többi szög is szerkeszthető ilyen módon. Az aranymetszési arányt tartalmazó 72◦ -, 72◦ -, 36◦ -os egyenlő szárú háromszögből szerkeszthető a 72◦ , ebből többszöri szögfelezéssel kapható a 18◦ -os és a 9◦ -os szög. Ezek segítségével 27◦ = 9◦ · 3, 108◦ = 90◦ + 18◦ . A hasonlóság alkalmazásaként 8. osztályban érdekes kutatómunka, illetve projektfeladat lehet az euklideszi szerkesztés ilyen alkalmazása. 15. Az ember szervezetének 60%-a víz, 15%-a zsír, 6%-a ásványi anyag, 18%-a fehérje, 1%-a szénhidrát. 3 5

a) Írd át a százalékokat törtrészekre! 60% = , 15% = =

3 9 1 , 18% = , 1% = 50 50 100

3 , 6% = 20

b) Hány kg víz és hány kg zsír van egy 65 kg-os ember szervezetében? 39 kg víz, 9 75 kg zsír c) Számítsd ki, hogy a te szervezetedben körülbelül hány kg víz és hány kg fehérje van! A tanuló saját tömegétől függ a megoldás. Nézz utána az interneten, hogyan változik a korral az emberi szervezet víztartalma! 214

1% szénhidrát 18% fehérje 6% ásványi anyag 15% zsír

60% víz

Arányos következtetések, százalék 16. Az emberi szervezetben lévő 5 liter vér eloszlása: 10%-a a szívbe, 15%-a az agyba, 25%-a a vesébe, 20%-a a májba és a bélrendszerekbe, 30%-a a bőrbe és az izmokba kerül. Számítsd ki, hogy hány liter vér kerül az egyes szervekhez! Készíts kördiagramot! 5 liter vér 10%-a 0 5 l a szívbe 15%-a 0 75 l az agyba 25%-a 1 25 l a vesébe 20%-a 1 l a májba és a bélrendszerbe 30%-a 1 5 l a bőrbe és az izmokba kerül

A kördiagramhoz meghatározzuk a középponti szögeket. 10% ↔ 36◦ 10% 15% ↔ 54◦ ◦ 30% 25% ↔ 90 15% ◦ 20% ↔ 72 30% ↔ 108◦ 25%

20%

17. Mézga Géza telhetetlen családja a havi 430 000 Ft összjövedelmének a 115%-át költi el. Hány forint adósságot jelent ez a családnak havonta? Az elköltött pénz: 430 000 Ft · 1 15 = 494 500 Ft Az adósság: 494 500 Ft − 430 000 Ft = 64 500 Ft

18. Egy város napi hulladékmennyiségének az eloszlását szemlélteti a kördiagram. Hány fokosak a körcikkek középponti szögei? 50% 180

◦

20% 72

◦

10% 36

◦

13%

1%

◦

◦

46 8

36

6% 21 6%

19. Hány óra van most, ha a nap hátralévő része az elmúlt időnek 140%-a? (A nap 0 órától 24 óráig tart.) 7 A hátralévő idő 140%-a = -e az eltelt időnek, ezért a 24 órát 5 5 + 7 = 12 részre kell osztani. 1 rész 24 ó : 12 = 2 ó 5 rész 2 ó · 5 = 10 óra, ez az eltelt idő. 7 rész 2 ó · 7 = 14 óra, ez a hátralévő idő. Tehát most 10 óra van.

eltelt

hátra van

most

20. Lóci mindennap ugyanazon az úton gyalog jár iskolába. Egyik alkalommal odafelé menet csak 3 akkor vette észre, hogy otthon hagyta az uzsonnáját, amikor már megtette az egész út -ének 4 a 60%-át, így onnan kellett visszafordulnia. Másik alkalommal pedig az ellenőrzőjéért kellett 2 visszamennie akkor, amikor már megtette az egész út -ának a 80%-át. 3 Mikor kellett többet gyalogolnia? 3 3 60 3 3 9 9 -ének 60%-ánál fordult vissza. · = · = . Az út részénél fordult 4 4 100 4 5 20 20 11 vissza, ezért ezt a részt 3-szor tette meg, a maradék részt egyszer. 20 9 11 27 11 38 18 9 3· + = + = =1 =1 20 20 20 20 20 20 10 Az első alkalommal az út

215


2 2 80 2 4 8 -ának 80%-ánál fordult vissza. · = · = . Ezt a részt 3-szor tette 3 3 100 3 5 15 7 8 7 24 7 31 1 meg, a maradék részt egyszer: 3· + = + = =2 15 15 15 15 15 15 15 9 1 > 1 , így a második alkalommal kellett többet gyalogolnia Lócinak. 2 15 10 A második alkalommal az út

6–7. óra: A 100% meghatározása Tk.: 228–230. oldal, 1–10. feladat A mennyiségek, számok 100%-ának meghatározásakor is kövessük a korábban alkalmazott módszert, miszerint ezeket a számításokat is az egyenes arányossági következtetések logikájával végezzük el! Itt a törtrészről következtetünk az egészre. Utalhatunk az inverz gondolatmenetre is. Ezeket a módszereket megtaláljuk az 1. példa megoldásánál. Fontos, hogy ne szabályokat és képleteket tanítsunk! Feladatok 1. Készítsd el a táblázatot a füzetedbe, és töltsd ki a hiányzó adatait!

A színezett rész tört alakban

1 2

2 5

3 4

3 8

A színezett rész százalékban

50%

40%

75%

37 5%

12 területegység

15 területegység

72 területegység

1,8 területegység

24

37 5

96

48

A színezett rész területe Az egész területe

2. Lóri az osztályfarsangon készített képek közül 70 db-ot kitörölt, ez az általa készített képek 35%-a. Hány képet készített ezen a délutánon Lóri? 0 35 · x = 70, x = 70 : 0 35 = 200. Lóri 200 db képet készített.

3. A garázs elölnézeti ábráján látható ajtó mérete 25%-a, az ablaké pedig 10%-a a téglalap alakú falfelületnek. Az ajtó 6 m2 -es. Mekkora területű a téglalap alakú fal és az ablak? A fal: 6 m2 · 4 = 24 m2

216

Az ablak: 24 m2 : 10 = 2 4 m2

Arányos következtetések, százalék 4. A raktárban tárolt almákból átválogatás után 32%-ot, 64 kg-ot hibásnak találtak. Hány tonna volt a raktárban? 3 2% 64 kg 100% 2000 kg A raktárban 2 t alma volt. 5. Egy autópiacon már 30%-os előleg, 1 050 000 Ft kifizetése után átvehetjük a vásárolt személyautót. A fennmaradó összeget részletekben törlesztjük. Mennyi az autó teljes ára? 0 3 · x = 1 050 000 Ft, az autó ára: 3 500 000 Ft. 6. Egy rendszeresen sportoló fiatalember tüdejének vitálkapacitása 72 liter. (Vitálkapacitás: egy erőltetett belégzés után erőltetett kilégzéssel kifújt levegő térfogata.) a) Ez a 72 liter egy átlagos férfi vitálkapacitásának körülbelül a 150%-a. Mennyi egy átlagos férfi tüdejének vitálkapacitása? 150% 7 2 l 100% 4 8 l Az átlagos férfi tüdejének vitálkapacitása 4 8 l.

b) Ez a 72 liter egy átlagos nő vitálkapacitásának körülbelül a 232%-a. Mennyi egy átlagos nő tüdejének vitálkapacitása? 232% 7 2 l 100% 3 1 l Az átlagos nő tüdejének vitálkapacitása 3 1 l.

Nézz utána az interneten, hogy mekkora a vitálkapacitása egy fúvós hangszeren játszó zenésznek! Elérheti a 6-7 litert is. 7. a) Hány km az autóbuszos kirándulás tervezett útvonala, ha az első napon megtettük annak 25%-át, 60 km-t? A tervezett út hossza: 4 · 60 km = 240 km, maradt 180 km.

b) A második napon a maradék út 30%-át, a harmadik napon a maradék út 50%-át, míg végül a negyedik napon a megmaradt utat tettük meg. Hány km utat tettünk meg egy-egy nap? A megtett út km-ben

középponti szög maradék út

1. nap:

60 km,

90◦ ,

maradt 180 km

2. nap:

54 km,

81◦ ,

maradt 126 km

3. nap:

63 km,

94 5◦ ,

4. nap:

63 km,

◦

94 5 ,

54 km

60 km

1. nap 2. nap 3. nap

63 km

63 km

4. nap

maradt 63 km maradt 63 km

4. nap: 63 km

Készíts kördiagramot úgy, hogy az egész kör jelentse a négy napra tervezett teljes utat! 8. Okos Tóbiás a következőképpen számol be barátjának előző napi bevásárlásáról: „Először elköltöttem a pénzem 60%-át könyvekre, majd a 30%-át DVD-re, így csak 250 Ft-om maradt fagyira. De arra már nem emlékszem, mennyi pénzem volt.” Határozd meg, mennyi pénze volt eredetileg Tóbiásnak! Készíts kördiagramot is a vásárlásról úgy, hogy a teljes kör jelentse Tóbiás összes pénzét! Az összes pénz 60% + 30% = 90%-át költötte el Tóbiás. 10% maradt fagyira, ez 250 Ft. Tóbiásnak 2500 Ft-ja volt.

217

Arányos következtetések, százalék A kördiagram készítéséhez meghatározzuk a középponti szögeket, amelyek egyenesen arányosak a százaléklábakkal. 3 1 10 6 + + = 10 10 10 10 A középponti szögek: 360◦ : 10 = 36◦ 6 · 36◦ = 216◦ 3 · 36◦ = 108◦

1 rész 10 6 rész 10 3 rész 10

60%

10% 30%

9. Egy matematikaversenyen, melyen összesen két feladatot tűztek ki, az iskola tanulóinak 20%a indult. Minden tanuló megoldott legalább egy feladatot. Az első feladatot a versenyzők 60%-a, a másodikat a versenyzők 65%-a oldotta meg. Csak a másodikat 80-an oldották meg. Hányan járnak az iskolába? Az iskolába

x

tanuló jár, ezek 20%-a = 0 2 · x indult a versenyen.

Az I. feladatot 60%, a II. feladatot 65% oldotta meg. Ez összesen 125%. Mivel minden tanuló megoldotta legalább az egyik feladatot, az indulók 25%-a oldotta meg mind a két feladatot. Csak a másodikat az indulók 65% − 25% = 40%-a oldotta meg. Ők 80-an voltak: (0 2 · x ) · 0 4 = 80 Az iskolába 1000 tanuló jár. x = 1000

10. Egy számban a tizedesvesszőt két helyi értékkel balra vittük, majd ehhez a számhoz hozzáadtuk az eredeti szám 80%-át. Így az 161757 számot kaptuk. Mi volt az eredeti szám? Ha egy x számban a tizedesvesszőt két helyi értékkel balra visszük, az 100-zal való osztást jelent. Az szám 80%-a pedig 0 8x . Így a feladatot leíró egyenlet: x

100

x

+ 0 8 · x = 1617 57 81 · x = 161 757 x = 1997

Az eredeti szám az 1997.

8–9. óra: Törtrészek meghatározása százalék alakban Tk.: 230–233. oldal, 1–12. feladat A százalékláb meghatározásakor nehezebb logikai lépéseket kell végezni, mint a korábbi két százalékszámítási feladattípusnál. Az első példában háromféle megoldási módot is bemutatunk. Azt válasszuk ki, amelyik a tanulócsoport tudásszintjéhez a legjobban illeszthető! Nem kell szabályokat tanítani! A százalékszámítás a további évfolyamokban is gyakran előkerül. Hagyjuk érni a fogalmat! Hagyjunk időt a feladatsor végén lévő valószínűség-számítási feladatokra is, mivel a valószínűség értékeit gyakran százalék alakban adják meg! Ezzel itt találkozhatnak először a tanulók.

218

Arányos következtetések, százalék Feladatok 1. Hány százaléka színes a téglalapok területének? a)

b)

50%

f)

c)

25%

60%

g)

h)

75%

d)

33

1 % 3

e)

50%

75%

i)

80%

j)

20%

100% 12 m

2. Négyzet alakú kertünkből a szomszéd kertésznek átadtunk egy részt. (Alaprajzát az ábrán láthatod.) a) Hány százaléka maradt meg kertünk területének? A kert területének 75%-a maradt meg.

24 m

b) Hány százaléka lesz a kert új kerülete a réginek, ha a levágott résznél is elkerítjük? Az új kert kerülete megegyezik a régiével, tehát 100%.

12 m 24 m

3. Egy arany karkötő tömegének 666%-a réz, a többi színarany. Hány karátos ez a karkötő? (Segít a feladat megoldásában a 225. oldal 4. példája.) A karkötő anyagának 33 3%-a ≈

1 8 1 része tiszta arany. = , 8 karátos az arany. 3 3 24

4. Vajas-sajtos pogácsához való alapanyagok: 50 dkg finomliszt, 3 dkg élesztő, 25 dkg margarin, 5 dkg reszelt ementáli sajt, 2 dl tejföl (tömege 150 g), só, 2 tojássárgája (tömege 3 g) a) Hány dkg az összegyúrt tészta tömege? 98 3 dkg (150 g = 15 dkg; 3 g = 0 3 dkg) b) Hány százaléka a sajt tömege a teljes tészta tömegének? 5 1%-a c) Hány százaléka a tejföl tömege a liszt tömegének? 30%-a d) Hány százaléka a margarin tömege az élesztő tömegének? 833 3%-a 5. A tengervíz általában 4% sót tartalmaz. A Holt-tengerből 5 kg tömegű vízmintát véve megállapították, hogy abban 155 kg a sótartalom. Hány százalék a Holt-tenger sótartalma? A Holt-tenger sótartalma kb. 33%. Nézz utána, miért hívják ezt a tengert „holt” tengernek! Nagy sótartalma miatt magasabbrendű élőlények nem élnek benne.

6. Földünk növényzettel fedett szárazföldi része 1334 millió km2 . Ebből 403 millió km2 -t foglalnak el az erdők. a) Hány százaléka ez a teljes növénytakarónak? Az erdők területe 30 21%-a a növényzettel fedett szárazföldi résznek.

b) Az erdők 8%-a őserdő. Hány km2 területet jelent ez? Az őserdők területe: 3 224 millió km2 . 219

Arányos következtetések, százalék 7. Egy paralelogramma egyik külső szöge 40◦ . Ennek a szögnek hány százaléka a paralelogramma két különböző belső szöge? Az A

belső szög 100%-a a

belső szög 350%-a a

= 40◦ -os külső szögnek.

= = 40◦ = 180◦ − = 140◦

◦

= 40 -os külső szögnek.

8. A mozgásszegény életmód miatt már óvodáskortól kezdve nagy számban, a gyerekek 62%-ánál jelentkeznek a testtartásért felelős izmok zsugorodásával és gyengülésével járó rendellenességek, a tartáshibák. Ezek iskoláskorban még gyakrabban, 70%-ban észlelhetők. Másold át a táblázatot a füzetedbe, és töltsd ki az üres celláit! (Szükség esetén kerekíts!) Csoportlétszám az óvodában Tartáshibás gyerekek száma Csoportlétszám az iskolában Tartáshibás gyerekek száma

14

22

≈ 10

≈6

12

≈9

≈ 14

4

≈7

22

≈9

6 26

≈ 16

32

≈ 15

6

≈ 18

11

≈ 22

9. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a) a 4 színű lapon, 1 = 25% a valószínűsége 4

b) a 6 színű lapon,

1 ˙ a valószínűsége = 16 6% 6

c) a 10 színű lapon

1 = 10% a valószínűsége 10

megpörgetett mutató a piros színű részen áll meg? Fejezd ki a kapott valószínűségeket %-ban is! 10. A rulett szerencsejátékban a 0-val együtt 37 helyre gurulhat a golyó. A 0-n kívüli 36 felosztás fele piros színű, fele fekete. a) Hány % a valószínűsége annak, hogy a golyó a 6-os számra gurul? b) Hány % az esélye annak, hogy piros számra gurul?

18 ≈ 48 65% 37

11.

sz

a) Hány százaléka színes a négyzetnek?

e p

b) Hány százaléka a fehér résznek a piros rész? c) Hány százaléka a kék résznek a sárga rész? d) Hány százaléka a piros résznek a zöld rész?

220

1 ≈ 2 7% 37

f s k

A) = 96% = 500%

≈ 128 6% z p

= 60%

sz e p f s k z p

B) = 96% ≈ 42%

≈ 133% = 100%


12. Lali elköltötte februári zsebpénzének felét és még 100 Ft-ot, így a zsebpénzének csak a 30%-a maradt meg. Hány forint az egész éves zsebpénze, ha minden hónapban ugyanannyit kap? Lali februári zsebpénze

Ft.

x

0 5x − 100 = 0 3x , innen

x

= 500. Egész évi zsebpénze 6000 Ft.

10. óra: Vegyes százalékszámítási feladatok Játék A változatos, szöveges feladatok megoldása mellett ajánlott a következő játék: Találós kérdés kitalálása Kellékek: az osztály létszámával megegyező, előre elkészített kártyák, melyek felső részén egy betű, alsó részén egy törtrész áll. A tanár a táblán elkészíti az alábbi táblázatot, majd felteszi a kérdést: MI AZ, AMI LEGJOBBAN HASONLÍT EGY FÉL SAJTRA? A választ úgy kapjuk meg, hogy a kártyák összekeverése után a tanulók mindegyike húz egyet és akkor jelentkezik, ha az ő kártyáján álló törtrész megegyezik a táblázatban lévő törtrészek valamelyikével. Ezután e szám fölé bediktálja a kártyáján lévő betűt. Mihelyt a betűk a helyükre kerülnek, a feltett kérdésre megkapjuk a választ. A táblázat:

3 2

1 4

120%

0 4

3 : 4 10%

45

50%

4 5

6 15

másfél

6 2

2 66 % 3

A kártyák

A

S

T

L

É

F

J

K

M

15 10

40%

2 3

80%

5 10

9 2

300%

01

6 5

Á

A

S

I

Sz

V

E

P

C

25%

150%

2 5

0 75

9 4

110%

10 4

14

14 15

N

B

R

Ű

Z

H

O

Ú

Ty

8 5

90%

07

9 5

15 2

10 5

5:3

30%

1 3 221


G

Ny

D

U

Cs

24

3 5

18

5 6

1 20

Az első 13 kártyát megfelelő helyre téve kapjuk a választ: A MÁSIK FÉL SAJT. A feltett kérdés bármilyen lehet. Ha a kártyákat úgy készítjük, hogy az előre kivágott kartonokra ragasztós szélű papírokat teszünk, akkor kevés munkával állandóan cserélhetők a betűk, és ezzel a kérdések is.

11–12. óra: Bevezetés a statisztikába Tk.: 234–240. oldal, 1–12. feladat

Adatsokaságok jellemzése, grafikonok olvasása A statisztika fogalmaival, grafikonokkal, diagramokkal, táblázatokkal matematikai tanulmányaik során korábban is találkoztak a tanulók. Gyakran ábrázolnak adatokat oszlopdiagramokon, kördiagramokon más tantárgyakban is, például történelemben, földrajzban. Az újságokban, a tudományos ismeretterjesztő könyvekben, az interneten, a televízióban pedig naponta megjelennek ilyen ábrák. Ezek értő elemzése alapvetően fontos része életünknek. Legyen ez a témakör játékos, könnyed, itt inkább a gyűjtött adatok, az érdekes megfigyelések és a látvány dominálnak! Csak a leíró statisztika alapelemeit tanítjuk, azt is csak az ismeret szintjéig. Hívjuk fel a figyelmet, hogy ugyanazt a problémakört más-más szempontból értékelve, ugyanarról az eseményről teljesen különböző képet adhatunk! Például a 4. példában a fagylaltárus ha ugyanannyi üzletembert kérdez meg, mint amennyi gyereket, egészen más eredményre jut. Biztassuk a gyerekeket, hogy készítsenek felméréseket szűkebb környezetükben, például az osztályban, a sportkörön, az énekkarban, a játszótéren stb.! A szépen sikerült diagramokat kitehetjük az osztály falára is. Hozzanak példákat, grafikonokat újságokból, más tantárgyakból, és értelmezzük azokat is! Ez a témakör szorosan kapcsolódik sok egyéb matematikai területhez: • A kördiagramok ábrázolásánál a törtekhez, a szögekhez, a százalékszámításhoz. Az oszlopdiagramok ábrázolásánál a területszámításhoz, az egybevágósághoz. • A pont- és vonaldiagramok rajzolása a grafikonok koordináta-rendszerben való ábrázolásához kapcsolódik. • Az adatgyűjtésnél és azok értékelésénél a valószínűség-számításhoz. • A közepek keresésénél a számtani közép meghatározásához stb.

222

Arányos következtetések, százalék Feladatok 1. A kerekdombi általános iskola felső tagozatán minden évfolyamban egyetlen osztály van. Az osztálylétszámokat tartalmazza a táblázat. Hány tanuló jár átlagosan egy osztályba?

Osztály

5

6

7

8

Létszám 22 31 18 20

Az iskolának 91 tanulója van.

2. A 6. évfolyam tanulói közül az a osztályban 4-en, a b-ben 9-en, a c-ben 11-en, a d-ben 7en tanulnak valamilyen hangszeres zenét. A négy osztályból átlagosan hányan járnak zenei 4 + 9 + 11 + 7 = 7 75 4 Értelmezzük, mit jelent az átlagos szó ebben az esetben, és ilyen esetben miért fogadható el eredményként a nem egész szám is!

különórára? Átlag =

3. A táblázat egy 40 fős osztály év végi matematikajegyeinek százalékos megoszlását tartalmazza. Mennyi lett az osztály átlaga matematikából az év végén? Osztályzat

5

4

3

2

1

Osztályzatok száma

4

18

16

2

0

Osztályátlag =

Osztályzat Százalékos arány 5 4 3 2

10% 45% 40% 5%

4 · 5 + 18 · 4 + 16 · 3 + 2 · 2 + 0 · 1 =36 40

4. Készítsetek felmérést osztálytársaitok vagy iskolatársaitok között a következő témákról! a) Melyik fagylaltot kedvelik legjobban az általatok választott 6-féle közül? b) Az előző héten a menzán melyik volt a kedvenc ételük? c) Hányas cipőt hordanak? d) Ki a kedvenc zeneszerzőjük? e) Általatok megjelölt tetszőleges témában kérdezzetek! Az adatokat foglaljátok táblázatba, és ábrázoljátok olyan grafikonon, amely az adott adatsokaságot a legjobban szemlélteti! A megoldás a tanulók által gyűjtött adatoktól függ.

5. Az elmúlt évtizedekben a magyar úszók kiemelkedő eredményeket értek el a nemzetközi versenyeken. A diagramon a megszerzett magyar érmek száma látható a 2001–2009 között megrendezett úszó-világbajnokságokon. Érmek száma

4 3

Arany

2

Ezüst

1

Bronz

0

2001

2003

2005 Évek

2007

2009

A diagram alapján döntsd el, hogy az ábrázolt időszakra vonatkozóan melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! a) 2003-ban szerezték a magyar versenyzők a legtöbb ezüstérmet. Igaz. 223

Arányos következtetések, százalék b) 2001-ben szerezték a magyar versenyzők a legkevesebb aranyérmet. Hamis. c) 2001-ben szerezték a magyar versenyzők a legkevesebb érmet. Igaz. d) Három olyan világbajnokság volt, amelyen legalább öt érmet szereztek a magyar versenyzők. Igaz. (Országos kompetenciamérés, 2011)

6. A diákszínjátszók iskolai rendezvényén nyolc osztály bemutatója szerepelt. Az osztályonkénti résztvevők számát a táblázatból olvashatjuk le.

Résztvevők

11

5

23

7

19

0

5

9

a) Készítsd el a táblázat adatainak megfelelő oszlopdiagramot! b) Mennyi az egyes évfolyamokon a résztvevők átlagos száma? Átlagok: Az 5. évfolyamon: 8 fő. A 6. évfolyamon: 15 fő. A 7. évfolyamon: 9 5 fő. A 8. évfolyamon: 7 fő.

25 20 15 10 5 0

7. Végezz közvélemény-kutatást az osztályban arról, hogy ki melyik állatot kedveli a legjobban a felsoroltak közül! kutya, macska, hörcsög, ugróegér, papagáj, hal

8. b

8. b

8. a

8. a

7. b

7. b

7. a

7. a

6. b

6. b

6. a

6. a

5. b

5. b

5. a

5. a

résztvevõk száma

Osztály

osztály

a) Az adatokat foglald táblázatba, majd számítsd ki az osztály létszámához viszonyított százalékos arányukat! b) Készítsd el az adatoknak megfelelő kördiagramot! A feladat megoldása a tanulók által gyűjtött adatok alapján lehetséges.

8. Az iskolai sportkörben kézilabda-, kosárlabda-, foci-, pingpong- és röplabdaszakosztály működik. Szakosztály Fiúk Lányok

Kézilabda

Kosárlabda

Foci

Pingpong

Röplabda

25 23

9 15

27 7

8 5

16 13

a) Készíts kettős oszlopdiagramot a táblázat adatai szerint!

b) Fejezd ki az egyes szakosztályokon belül a fiú, illetve a lány résztvevők összlétszámhoz viszonyított százalékos arányát! Kézilabda: összes résztvevő: 48, ebből fiú 52 08%, lány 47 92%.

224

Arányos következtetések, százalék Kosárlabda: összes résztvevő: 24, ebből fiú 37 5%, lány 62 5%. Foci: összes résztvevő: 34, ebből fiú 79 41%, lány 20 59%. Pingpong: összes résztvevő: 13, ebből fiú 61 54%, lány 38 46%. Röplabda: összes résztvevő: 29, ebből fiú 55 17%, lány 44 83%.

9. A táblázatban a 6.-os tanulók év végi természetismeret- és történelemosztályzatai láthatók. A színessel kiemelt szám például azt jelenti, hogy 3 olyan tanuló volt, akinek természetismeretből hármasa, történelemből kettese volt. A 6. évfolyamba összesen 80 tanuló jár.

a) Az évfolyam tanulóinak hány százaléka kapott mindkét tárgyból 5-öst? 9 tanuló kapott

Történelemosztályzat

Természetismeretosztályzat

mindkét tárgyból 5-öst, ez a teljes tanulói létszám 11,25%-a.

1 2 3 4 5

1 0 0 0 0 0

2 1 2 3 4 3

3 4 3 9 6 1

4 3 1 8 7 6

5 0 2 2 6 9

b) Hányan kaptak mindkét tárgyból legalább 3-ast? 54-en kaptak mindkét tárgyból legalább 3-ast. c) Az évfolyam tanulóinak hányad része kapott mindkét tárgyból 3-asnál rosszabb osztályzatot? Az évfolyam tanulóinak

3 része kapott mindkét tárgyból 3-asnál rosszabb osztályzatot. 80

10. Az ebédlőben 200 tanulót kérdeztünk meg arról, hogy a menüben előforduló ételek közül melyiket eszi a legszívesebben. A válaszokat tartalmazza az alábbi táblázat.

Étel Szavazat

Sült Krumpli- Tejbe- Spenót Milánói Paradi- Rizses Rántott Borsógríz tészta csom hús leves csirke főzelék hal 52 30 5 18 8 20 29 24 14

a) Ábrázold kördiagrammal a megadott értékeket! Sült csirke Krumplifõzelék Tejbegríz Spenót Milánói tészta Paradicsom Rizses hús Rántott hal Borsóleves

b) A megkérdezett tanulók hány %-a szereti a legjobban a spenótot, a rántott halat és a tejbegrízt? A spenótot a tanulók 2 5%-a, a rántott halat a tanulók 10%-a, a tejbegrízt a tanulók 15%-a szereti a legjobban.

c) Ha a tanulók közül találomra kiválasztunk egyvalakit, mekkora a valószínűsége annak, hogy ő a borsólevest szereti a legjobban? A borsólevest kedvelők kiválasztásának valószínűsége

29 = 0 145 = 14 5%. 200

225

Arányos következtetések, százalék 11. A prímszámok táblázatából 500-ig állapítsd meg, hány 1-re, hány 3-ra, hány 7-re és hány 9re végződő szám van köztük! Az adatok alapján készíts oszlopdiagramot! Van-e ezeken kívül egyéb szám a táblázatban? Válaszodat indokold! 3 71 163 263 373 479 601 719 839 971 1091

5 73 167 269 379 487 607 727 853 977 1093

1 22

7 79 173 271 383 491 613 733 857 983 1097

3 24

11 83 179 277 389 499 617 739 859 991 1103

13 89 181 281 397 503 619 743 863 997 1109

7 24

17 97 191 283 401 509 631 751 877 1009 1117

19 101 193 293 409 521 641 757 881 1013 1123

23 103 197 307 419 523 643 761 883 1019 1129

29 107 199 311 421 541 647 769 887 1021 1151

31 109 211 313 431 547 653 773 907 1031 1153

37 113 223 317 433 557 659 787 911 1033 1163

41 127 227 331 439 563 661 797 919 1039 1171

43 131 229 337 443 569 673 809 929 1049 1181

47 137 233 347 449 571 677 811 937 1051 1187

53 139 239 349 457 577 683 821 941 1061 1193

59 149 241 353 461 587 691 823 947 1063 1201

61 151 251 359 463 593 701 827 953 1069 1213

67 157 257 367 467 599 709 829 967 1087 1217

darabszám

9 23

24 23

Ezeken kívül egyetlen 5-re végződő szám van. Több azért nincs, mert a többi 5-re végződő szám osztható 5-tel. Egyéb végződések nem lehetnek, mert a 2 kivételével a páros számok nem prímek.

22 21 20

1

3 7 végzõdések

9

12. Egy röplabdacsapat tagjainak életkora 20, 21, 17, 30, 32, 18 év. Egyvalaki átigazolt egy másik egyesülethez, így az öt játékos átlagéletkora 216-re változott. Hány éves játékos távozott? Hány évest kell hívni a csapatba, hogy az átlagéletkor 22 év legyen? Az életkorok összege eredeti állapotban:

S

= 138. A játékos távozása után:

S

5

Ezért a 30 éves játékos igazolt át. Ahhoz, hogy az átlagéletkor 22 év legyen, a kell teljesülnie. Innen:

x

= 24 az új játékos életkora.

= 21 6.

S

= 108

108 + x = 22 egyenletnek 6

Tudáspróba Tk.: 241. oldal 1. 15 db kisméretű csokoládé 180 Ft-ba kerül. Mennyit fizetünk a) 10 db, b) 18 db, c) 24 db, d) 42 db, e) 50 db ilyen csokiért?

226

Mennyiség (db)

10

15

18

24

42

50

Ár (Ft)

120

180

216

288

504

600

Arányos következtetések, százalék 2. Írd át a törteket százalék alakba! 1 3 3 = 50% = 30% = 75% 2 10 4 9 5 ≈ 20 9% = 120% 02 = 20% 43 4

4 = 80% 5

5 = 5% 100

7 = 43 75% 16

0183 = 18 3% 212 = 212%

3. Írd át a százalék alakban megadott számokat a lehető legegyszerűbb tört alakú számokká! 3 25 6 24% = 25

12% =

50% =

1 2

132% =

33 25

75% =

3 4

03% =

3 1000

3% =

3 100

4. A pulzusszám az egy perc alatti szívösszehúzódások számát jelenti. Rékának reggel, ébredés után a pulzusszáma három egymást követő napon 75, 60 és 71 volt. Mennyi Réka reggeli pulzusszámátlaga? Átlag:

75 + 60 + 71 ≈ 68 6 3

5. Foglald táblázatba a grafikonról leolvasott értékeket! %

Év 2007 2008 2009 2010 2011 Asztali (%) 50 54 58 60 64 Laptop (%)

60

10

14

22

28

30

50 Asztali számítógéppel rendelkezõ háztartások százalékos aránya

40 30

Laptoppal rendelkezõ háztartások százalékos aránya

20 10 0

2007

2008

2009

2010

2011

a) A tanulóknak átlagosan hány százaléka étkezik az iskolai menzákon? 65 5 + 67 5 + 71 + 73 Átlag: = 69 2(%) 4

b) Készíts a táblázat alapján oszlopdiagramot! Ügyelj arra, hogy minden információ és minden érték leolvasható legyen a grafikonodról!

Százalékos arány (%)

6. A táblázatban a közétkeztetésben részesülő általános iskolai tanulók százalékos megoszlását tüntettük fel. Tanév 2008/2009 2009/2010 2010/2011 2011/2012 Százalékos arány 655% 675% 71% 73% 74 72 70 68 66 64 62 60 2008/2009 2009/2010 2010/2011 2011/2012

Tanév

227

228 Folyamatos

V. Valószínűség, statisztika

8

Folyamatos

Folyamatos

15 + 20 = 35

• Javasolt projektfeladatok: Például: – a negatív szám fogalmának alakulása a matematika története során – Földünk/Magyarország legmélyebb és legmagasabb pontjai – a nulla szerepe a számírásban és a matematikai műveletekben – a tízes számrendszeren kívüli számrendszerek – képek és tükörképek bemutatása, elemzése képeken, illetve egyéb prezentációkkal – szimmetrikus jelképek, jelvények, érmék, logók gyűjtése – periodicitás a mindennapi életünkben (például a bioritmus) – matematikatörténeti érdekességek a prímszámokról

Ajánlás: • Javasoljuk a taneszközcsomaghoz tartozó kiadványok használatát: tanári kézikönyv a tankönyvhöz, feladatgyűjtemény és a hozzá tartozó tanári kézikönyv, digitális tananyag, felmérőfüzetek. Ez utóbbi nagy segítséget nyújt a tanárnak a számonkérésnél, mivel ezek a füzetek diagnosztizáló és témazáró felmérőket tartalmaznak, amelyekhez részletes megoldás és pontozás is készült.

8

Folyamatos

IV. Összefüggések, függvények, sorozatok

Négy felmérő dolgozat

11 + 15 = 26

Témakör feldolgozására javasolt óraszám Heti 3 óra esetén Heti 4 óra esetén 2 4 12 + 11 + 17 + 12 + 12 = 64 16 + 17 + 21 + 16 + 17 = 87


I. Gondolkodási módszerek II Számtan, algebra

Témakör

Heti 3 óra esetén, 36 tanítási hétre összesen 108 óra áll rendelkezésre. A tanmenetben beosztott órák száma 100. A fennmaradó órákat a tanulócsoport igényének megfelelően gyakorlásra és tehetséggondozásra, illetve projektfeladatok elvégzésére lehet fordítani. Heti 4 óra esetén a rendelkezésre álló 144 órából összesen 134 beosztott órát tartalmaz a tanmenet.

6. évfolyam

TANMENETJAVASLAT

229

4 óra 1–4.

2 óra

1–2.

HÁNY ESET VAN? Kombinatorikai feladatok

Tanári, tanulói taneszközök

Projektfeladatok, kutatómunka, játékok

Heti 4 óra esetén a +2 óra további gyakorlásra, tehetséggondozásra, projektek bemutatására, időközi számonkérésekre fordítható. Feladatmegoldás pár- Számolás, számlálás, Feladatlapok. Sorbarendezés, kivámunkában. analizálóképesség fej- Különböző színű golasztás játékkal. lesztése. lyók, pálcikák, színes lapok.

Tevékenységformák, Kompetenciák: módszertani készségek, képességek javaslatok fejlesztése

3.

4–5.

Mit tudunk az egész számokról?

Egész számok összeadása és kivonása

5.

Összehasonlító képesség fejlesztése, a számok nagysági viszonyainak biztos ismerete. Készpénz- és adósság- Absztrakciós képesség cédulák kirakása. Ta- fejlesztése. Analógiák nulói manipulatív tevé- felismerése. kenység.

A számok abszolút értékének gyakorlása frontálisan.

Minden tanulónál készpénz- és adósságcédulák. Tanári eszközök: piros és kék mágneses cédulák, mágnestábla vagy számítógép, projektor és digitális tábla. Játékpénzek.

Hőmérő, demonstrációs méretű számegyenesek, öntapadós vagy mágneses színes cédulák.

A negatív szám fogalmának alakulása a matematika története során, kutatás az interneten. Földünk/Magyarország legmélyebb és legmagasabb pontjai.

MŰVELETEK 12 óra 16 óra Heti 4 óra esetén a +4 óra további gyakorlásra, tehetséggondozásra, projektek bemutatására, EGÉSZ +2 óra +2 óra időközi számonkérésekre fordítható. SZÁMOKKAL felmérő felmérő

Óraszám Heti Heti 3 óra 4 óra

véges, illetve végtelen tizedes törtek, érdekes osztások foltvarráshoz hasonló minták készítése szimmetrikus háromszögekből és négyszögekből szabályos sokszögekből készített (szerkesztett) síkbeli és térbeli alakzatok kiállítása a tanteremben mozaikablakok, parkettaminták bemutatása, elemzése képeken, illetve egyéb prezentációkkal régi szöveges feladatok gyűjtése, megoldása nyitott mondatokkal százalékszámítás a mindennapi életünkben, gyűjtőmunka statisztikai adatok gyűjtése egyéb tantárgyak tankönyveiből, újságokból, internetről

Téma, tananyag

– – – – – – –

230 23.

10.

11–12.

13–14.

15–16. 11 óra

17.

Több egész szám szorzása, osztása

Műveletek sorrendje

Gyakorlás

I. felmérő TENGELYES TÜKRÖZÉS Képek és tükörképek

Tükrözés mozgatással

18.

21–22. 15 óra

8–9.

Szorzás és osztás egész számokkal

Több tag összege, különbsége

Óraszám Heti Heti 3 óra 4 óra 6–7.

Téma, tananyag

Sorozatok képzése az új számkörben.

Számok és műveleti jelek kártyákon. Digitális tananyag.

Számolási és becslési készség fejlesztése.

Feladatlapok.

Szabálykövetés fejlesz- Szöveges feladatok. tése. Digitális tananyag. Szövegértelmezés.

Heti 4 óra esetén a +4 óra további gyakorlásra, tehetséggondozásra, időközi számonkérésekre fordítható. Képek, tükörképek Analógiák síkban, tér- Képek, fotók. megfigyelése. ben. Térbeli alakzatok, Térbeli alakzatok szimPolydron építőjáték. metriáinak megkeresése. Játék másolópapírral: A megfigyelőképesség Olló, papír, másolópaa kép és a tükörkép fejlesztése. pír. elkészítése a félkész ábra alapján.

„Összeg szorzása, szorzatok összege” típusú szöveges feladatok műveleti leírása. Csoportmunka: feladatlapok kitöltése.

Zárójeles és zárójel Műveletek „szimmetri- Előjeles számkártyák. nélküli feladatok meg- ája”, az új számkörben Digitális tananyag oldása frontálisan. végzett műveletek tulajdonságainak megismerése.

Feladatok megoldása pármunkában.

Tevékenységformák, Kompetenciák: Tanári, tanulói módszertani készségek, képességek taneszközök javaslatok fejlesztése Modellezés műveleti Csoportosítás, a legMozgatható számejeles számkártyákkal. egyszerűbb kiszámolási gyenes, számkártyák mód megkeresése. műveleti jellel. Digitális tananyag.

Kiállítás a tanulók által készített tükrös alakzatokból.

Tükörképek bemutatása PowerPoint programmal.

projektek bemutatására,

Játék párban: a műveleti jelek véletlenszerű elhelyezése a számkártyák között.


231

20.

21.

22.

23.

24.

25.

Tükrözés pontonként

Szimmetrikus alakzatok

Tükörkép szerkesztése

Egyszerű szimmetrikus alakzatok

Szimmetriatengelyek szerkesztése

Két alakzat együttes szimmetriái

A tengelyes tükrözés tulajdonságai

Óraszám Heti Heti 3 óra 4 óra 19.

Téma, tananyag

Szerkesztőeszközök készségszintű használata.

Tanulói manipuláció: szimmetrikus alakzatok összeállítása több alakzatból.

Analizáló és szintetizáló gondolkodás fejlesztése.

Poszter készítése: a tükrözés tulajdonságainak bemutatása.


Írólapok, szerkesztőeszközök.

Olló, papír, szerkesztőeszközök. GeoGebra program használata. Számítógép, projektor.

Számítógép, projektor. Szimmetrikus jelkéDigitális tábla vagy pek, jelvények, érmék, mágnestábla, mágneses logók gyűjtése. színes korongokkal.

Szerkesztőeszközök. GeoGebra program használata. Számítógép, projektor.

Szerkesztőeszközök. Digitális tananyag. GeoGebra program használata.


Síkgeometriai modellezőkészlet, körlapok, szimmetrikus sokszögek, hurkapálcikák.

Szerkesztési feladatok A halmazszemlélet fej- Szerkesztőeszközök, elvégzése, az alakzatok lesztése, induktív gon- szívószál, hurkapálcika. ponthalmazként való dolkodás kialakítása. Színes körcikkek. megismerése.

Hajtogatás írólappal,. Analógiák síkban, térA kör részeinek szer- ben. kesztése, tulajdonságainak megfigyelése.

Alakzatok pontos szer- Szerkesztőeszközök kesztése szerkesztőesz- készségszintű használata, a kapott képalakközökkel önállóan. zatok helyességének ellenőrzése.

Páros játék: piros, kék A valóság tárgyainak korongok szimmetrikus szimmetriái. elhelyezése az írólapon.

Alakzatok pontjainak tükrözése szerkesztőeszközökkel.

Tevékenységformák, Kompetenciák: módszertani készségek, képességek javaslatok fejlesztése A tükrözés tulajdonSzabályalkotás, általáságainak önálló felfe- nosítás. dezése manipulációs tevékenységgel.

232 Tevékenységformák, módszertani javaslatok A szögszerkesztés és másolás alapvető lépéseinek elsajátítása a frontális tanári bemutatás követésével.

Kompetenciák: Tanári, tanulói készségek, képességek taneszközök fejlesztése A szög mértékének és Szerkesztőeszközök. mértani megjelenítésének kapcsolata. Pontos munkára törekvés.


28.

29.

30–31.

32.

33.

A számok maradékaival számolunk

Keressünk osztókat!

Milyen oszthatóságokat árulnak el a számok utolsó számjegyei?

Milyen oszthatóságokról árulkodik a szám számjegyeinek összege?

38.

Logikai kérdésekkel a döntési képesség fejlesztése.

Számok halmazba sorolása oszthatóság szempontjából.

Halmazszemlélet fejlesztése.

Logikai állítások igaz- A tízes számrendszer hamis voltának eldön- helyiértékeinek értő tése csoportmunkában. alkalmazása.

Játékok csoportban, tapasztalatszerzés.

Mágneses számkártyák, mágnestábla, számítógép, projektor, aktív tábla. Digitális tananyag.

Színes számkártyák. Digitális tananyag.

Színes kártyák a játékhoz. Digitális tananyag.

A periodicitás felfede- Kompetenciafejlesztés: EKG-görbe, népdalok zése, periodikus minták periódusok mindenütt. kottái, versek. készítése. Színes korongok, cédulák. A számegyenes színe- A figyelemkoncentDemonstrációs méretű zése, frontális munka. ráció, a számolási számegyenes. Mágneskészség fejlesztése. tábla, színes korongok. Digitális tananyag.

Poszterek készítése színezett számegyenesekből

Periodicitás a mindennapi életünkben, gyűjtőmunka.

11 óra 17 óra Heti 4 óra esetén a +6 óra a tankönyvben szereplő három kiegészítő fejezetre (Milyen oszthatósá+2 óra +2 óra gokat árulnak el a számok utolsó számjegyei?, Prímszámok, Összetett számok felírása prímszámok felmérő felmérő szorzataként), tehetséggondozásra, projektek bemutatására, időközi számonkérésekre fordítható.

Óraszám Heti Heti 3 óra 4 óra 26–27. 37.

Ritmusok, periódusok

SZÁMELMÉLET

Szögek összehasonlítása, szerkesztése

Téma, tananyag

233

Tizedes törttel való szorzás

48–50.

Törttel való szor- 46–47. zás

44–45.

Törtek összeadása és kivonása

57.

41.

42–43.

21 óra

17 óra

Tört alakban írt szám tizedes tört alakja

MŰVELETEK TÖRTEKKEL A tört értelmezése

36–38.

Többszörösök, közös többszörösök, a legkisebb közös többszörös II. felmérő 55–56.

34–35.

Számok osztói, közös osztók, a legnagyobb közös osztó

39–40.

Óraszám Heti Heti 3 óra 4 óra

Téma, tananyag


Téglalapmodell, számítógép, projektor. Digitális tananyag.

Feladatlapok, tankönyv, feladatgyűjtemény.

Feladatok megoldása Számolási készség fej- Feladatlapok, tanpárban vagy egyénileg. lesztése. könyv, feladatgyűjteBecslési készség fejmény. lesztése.

Feladatok megoldása A közös nevező megpárban vagy egyénileg. keresésének oszthatósági alapja, az analizáló gondolkodás fejlesztése. Páros játék számkárMűveleti tulajdonsátyákkal. gok megismerése az új számkörben.

Heti 4 óra esetén a +4 óra további gyakorlásra, tehetséggondozásra, időközi számonkérésekre fordítható. A korábbi ismeretek Törtek nagyságrendje, Alma, kés, körlap, olló alkalmazása közös gon- az összehasonlítási ké- színes körcikkek. dolkodással, frontális pesség fejlesztése. munkaformában. Osztások elvégzése, A folytonosság érzéke- Helyiérték-táblázat, tapasztalatgyűjtés. lése. számítógép, projektor. Digitális tananyag.

Feladatlapok kitöltése Összefüggések felfede- Feladatlapok, számípárban vagy egyénileg. zése szabályok bővítése tógép, projektor, aktív kapcsán. tábla.

Feladatlapok kitöltése Összefüggések felfede- Feladatlapok, számítógép, projektor, aktív párban vagy egyénileg. zése, szabályok megtábla. fogalmazása a törtek egyszerűsítése kapcsán.

Tevékenységformák, Kompetenciák: módszertani készségek, képességek javaslatok fejlesztése

Véges, illetve végtelen tizedes törtek, érdekes osztások.

projektek bemutatására,


234

54–55.

Osztás tizedes tört alakú számmal

Kompetenciák: Tanári, tanulói Projektfeladatok, készségek, képességek taneszközök kutatómunka, játékok fejlesztése Az új fogalom illeszFeladatlapok, tantése a korábbi ismere- könyv, feladatgyűjtekhez. temény. Számítógép, projektor. Digitális tananyag.

Az arányérzék fejlesztése.

A becslési és a számolási készség fejlesztése. Szövegértés a valóságközeli feladatok megoldása kapcsán.

A tudáspróba feladata- Ellenőrzés, önellenőrinak megoldása önál- zés képességének fejlóan, ellenőrzés a tanári lesztése. útmutató alapján párban.

Valószínűségi kísérletek elvégzése, jegyzőkönyv készítése csoportmunkában.

Szöveges feladatok értelmezése közös gondolkodással, majd önállóan.

Tankönyv.

Dobótestek, kártyák, számkártyák minden tanulónál.

Feladatlapok, tankönyv, feladatgyűjtemény. Digitális tananyag.

Feladatok megoldása Az inverz gondolatme- Feladatlapok, tankönyv, feladatgyűjtepárban vagy egyénileg. net alakítása. mény.

Tevékenységformák, módszertani javaslatok Az új fogalom megismerése tanári irányítással frontálisan.

58.

78.

Egyenlő szárú három- Halmazszemlélet fejszögek tulajdonságai- lesztése. nak megfigyelése tanulói eszközökkel.

Mágneses háromszöglapok, mágnestábla. Számítógép, projektor. Digitális tananyag.

15 óra 20 óra Heti 4 óra esetén a +5 óra további gyakorlásra (kiemelten a térbeli alakzatok elkészítésére), +2 óra +2 óra tehetséggondozásra, projektek bemutatására, időközi számonkérésekre fordítható. felmérő felmérő

57.

Összefoglalás

HÁROMSZÖGEK, NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK A háromszögek fajtái

56.

Mi a valószínűbb?

77.

52–53.

Osztás tört alakú számmal

Számok reciproka


Téma, tananyag

235

Szerkesztési feladatok bemutatása frontális munkaformában. Tanulói manipulatív tevékenység: különböző négyszöglapok halmazba rendezése.

61–62.

63.

67.

65–66.

Négyszögek szerkesztése

Derékszögű háromszögek kerülete, területe

64.

A négyszögek szögei

A kombinatív készség fejlesztése.

A szerkesztési lépések logikájának követése, ponthalmazok közös részének alkalmazása. A rendszerezőképesség fejlesztése.

Pontos munkára nevelés.

A szerkesztőeszközök biztos használata. A pontos, esztétikus munka igényének kialakítása. A téglalap és a derék- A számolási készség szögű háromszög terü- fejlesztése a hosszúságletének összehasonlíés területmérés tása kivágott lapokon. mennyiségei körében.

Gyakorlófeladatok megoldása párban, majd önállóan.

Parkettázás négyszögekből pármunkában.

Szerkesztőeszközök pontos használata, önálló munka.

60.

Szerkesztések körzővel és egyenes vonalzóval Szerkesztések körzővel és egyenes vonalzóval A négyszögek fajtái

A háromszögek szögei

Négyzethálós tábla, illetve négyzethálós lapok, olló, másolópapír. Számítógép, projektor, digitális tananyag.

Szerkesztőeszközök, szívószál, fonal vagy pálcika. GeoGebra szerkesztőprogram.

Sokféle négyszöglap parkettázáshoz.

Síkgeometriai modellezőkészlet. Számítógép, projektor, digitális tananyag.

Számítógép, projektor, Euklides geometriai szerkesztőprogram.

Szerkesztőeszközök, szívószál, damil vagy pálcika.

Tevékenységformák, Kompetenciák: Tanári, tanulói módszertani készségek, képességek taneszközök javaslatok fejlesztése Parkettázás háromszö- A sík kitöltésének Sokféle háromszöglap, gekből pármunkában. megfigyelése, az eszté- másolópapír. Számítótikai érzék fejlesztése. gép, projektor. Digitális tananyag.


Téma, tananyag

Foltvarráshoz hasonló minták készítése szimmetrikus háromszögekből és négyszögekből.

Poszterkészítés: parkettaminták különböző színes háromszögekből.


236

72.

Szabályos sokszögek

III. felmérő 73–74. NYITOTT 12 óra MONDATOK, EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Nyitott monda75–77. tok, egyenletek, egyenlőtlenségek

71.

Testhálók

100.

98–99. 16 óra

69–70.

Tengelyesen szimmetrikus négyszögek kerülete, területe

Tengelyesen szimmetrikus háromszögek kerülete, területe


Téma, tananyag

A térszemlélet és a kombinatív készség fejlesztése.

Az egybevágóság és az egyenlő terület különbözőségének megértése. Olló, papír, testek hálói, síkgeometriai modellezőkészlet, vagy Polydron építőjáték.





Játék csoportban, párban. Tapasztalatgyűjtés.

A négy alapművelet elvégzése „visszafelé”, műveletek hiányzó elemeinek kitalálása, az inverz gondolkodásmód fejlesztése.

Dobókockák, lapjaikon a 3, 2, 1, –1, –2, –3 számokkal. Számkártyák. Digitális tananyag.

Heti 4 óra esetén a +4 óra a tankönyvben szereplő kiegészítő anyagra (Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel, szöveges feladatok), tehetséggondozásra, projektek bemutatására, időközi számonkérésekre fordítható.

Szabályos sokszögek Az analizáló- és szinte- Körlap, sokféle három- Szabályos sokszögekkirakása egyenlő szárú tizálóképesség fejlesz- szöglap és sokszöglap ből szerkesztett, illetve háromszögekből. tése. a modellezéshez. készített síkbeli és térbeli alakzatok kiállítása a tanteremben.

Különböző testek hálóinak elkészítése csoportmunkában.

Területmérés rácson, pármunkában.

Tevékenységformák, Kompetenciák: módszertani készségek, képességek javaslatok fejlesztése Háromszögek átdaBecslési készség fejrabolása, különböző lesztése. területek kirakása csoportmunkában.

237

Egyenes arányosság

ARÁNYOS KÖVETKEZTETÉSEK, SZÁZALÉK Arányos következtetések, százalék

Vegyes gyakorló feladatok

Gyakorlóóra

Kompetenciák: Tanári, tanulói készségek, képességek taneszközök fejlesztése Tankönyv, feladatgyűjAz inverz gondolkodásmód és az absztrak- temény. 100-as tábla. ciós készség fejlesztése. Szövegértés fejlesztése, a szövegben szereplő problémák leírása matematikai jelekkel. Szóegyenletek készítése, gyűjtése, játékos bemutatása.


A Tudáspróba feladata- Önellenőrzési képesség inak megoldása. fejlesztése.

Nyitott mondatok meg- Nagysági viszonyok is- Tankönyv, feladatgyűj- Régi szöveges feladaoldása tanári irányítás- meretének alkalmazása. temény, játékpénzek. tok gyűjtése, megolsal, modellalkotás. dása nyitott mondatokkal. Nyitott mondatok meg- Az ellenőrzés szüksé- Feladatlapok, digitális oldása egyénileg. gessége. tananyag. A szöveges válaszok megfogalmazása.

Tevékenységformák, módszertani javaslatok Nyitott mondatok megoldása tanári irányítással, majd pármunkában.

88–89.

87.

116.

Szöveges feladatok megoldása következtetéssel az egységen keresztül. Többféle arányossági probléma jellemzése tanári irányítással, majd önálló feladatmegoldás.

Kitekintés a folytonosság felé, az induktív gondolkodás fejlesztése.

Az arányérzék fejlesztése. Modellek alkotása.

Demonstrációs méretű koordináta-rendszer, öntapadós színes korongok. Számítógép, projektor, digitális tananyag.

Olló, kartonpapír, arányos méretű alakzatok, tárgyak kivágásához.

12 óra 17 óra Heti 4 óra esetén a +5 óra további gyakorlásra (kiemelten a vegyes százalékszámítási feladatok +2 óra +2 óra megoldására), tehetséggondozásra, projektek bemutatására, időközi számonkérésekre fordítható. felmérő felmérő

86.

84–85.

115.

Óraszám Heti Heti 3 óra 4 óra 78–81.

Egyenlőtlenségek 82–83. megoldása, szöveges feladatok

Egyenletek megoldása lebontogatással, szöveges feladatok

Téma, tananyag

238

2014. január

Készítette: Széplaki Györgyné

99–100. 133–134.

Grafikonokat, tartalmazó újságok, kitöltendő, illetve kitöltött táblázatok.

Felmérések, grafikonok A becslési képesség készítése csoportmun- fejlesztése. Grafikonok, kában. táblázatok értő olvasása.

IV. felmérő

Kártyák a kézikönyvben szereplő játékhoz.

Játék frontális formá- Szintetizáló gondolkoban, tanári irányítással. dás fejlesztése.

Vegyes százalék96. számítási feladatok Bevezetés a sta- 97–98. tisztikába

Árukatalógusok, reklámújságok, feladatlapok. Digitális tananyag.

Szöveges feladatok megoldása párban. Ellenőrzés közösen.

Feladatlap, feladatgyűjtemény. Számítógép, projektor, digitális tananyag.

Törtrészek meg- 94–95. határozása százalék alakban

Becslési képesség fejlesztése. Szövegértelmezés, a probléma leírása matematikai jelekkel.

Szöveges feladatok A szövegértés és az modellezése alakzatok- inverz gondolkodás kal, tanári irányítással. fejlesztése. Századrészek kiszámítása.

92–93.

A 100% meghatározása

Kompetenciák: Tanári, tanulói készségek, képességek taneszközök fejlesztése Törtrészek színes alakAbsztrakciós készség fejlesztése, az új jelölé- zatokkal. Árukatalógusok, reksek megértése. lámújságok.

Tevékenységformák, módszertani javaslatok Szöveges feladatok modellezése alakzatokkal. Századrészek kiszámítása.

Óraszám Heti Heti 3 óra 4 óra Százalékszámítás 90–91.

Téma, tananyag

Statisztikai adatok gyűjtése egyéb tantárgyak tankönyveiből, újságokból, az internetről, kiállításuk az osztályteremben.

PowerPoint bemutató a tanulók által készített, árleszállításokat megjelenítő képekből.

Százalékszámítás alkalmazása a mindennapi életben, gyűjtőmunka.


Tartalom

Tartalom ELŐSZÓ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

3

KERETTANTERV : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1–2. ÓRA: HÁNY ESET VAN? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

5 15

MŰVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1. óra: Mit tudunk az egész számokról? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2–3. óra: Egész számok összeadása és kivonása : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4–5. óra: Több tag összege, különbsége : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6–7. óra: Szorzás és osztás egész számokkal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8. óra: Több egész szám szorzása, osztása : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9–10. óra: Műveletek sorrendje : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tudáspróba : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

18 18 21 28 33 37 39 42

TENGELYES TÜKRÖZÉS : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1. óra: Képek és tükörképek : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2. óra: Tükrözés mozgatással : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3. óra: A tengelyes tükrözés tulajdonságai : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4. óra: Tükrözés pontonként : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5. óra: Szimmetrikus alakzatok : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6. óra: Tükörkép szerkesztése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7. óra: Egyszerű szimmetrikus alakzatok : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8. óra: Szimmetriatengelyek szerkesztése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9. óra: Két alakzat együttes szimmetriái : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10–11. óra: Szögek összehasonlítása, szerkesztése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tudáspróba : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

43 44 47 48 51 53 56 57 59 64 67 70

SZÁMELMÉLET : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72 1. óra: Ritmusok, periódusok : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73 2. óra: A számok maradékaival számolunk : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77 3–4. óra: Keressünk osztókat! : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 80 5. óra: Milyen oszthatóságokat árulnak el a számok utolsó számjegyei? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85 Milyen oszthatóságokat árulnak el a számok utolsó számjegyei? (Kiegészítő tananyag) : : : : 90 6. óra: Milyen oszthatóságokról árulkodik a szám számjegyeinek összege? : : : : : : : : : : : : : : : : 92 Prímszámok (törzsszámok) (Kiegészítő tananyag) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 96 Összetett számok felírása prímszámok szorzataként (Kiegészítő tananyag) : : : : : : : : : : : : : : : : 97 7–8. óra: Számok osztói, közös osztók, a legnagyobb közös osztó : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98 9–11. óra: Többszörösök, közös többszörösök, a legkisebb közös többszörös : : : : : : : : : : : : : : 101 Tudáspróba : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 103 MŰVELETEK TÖRTEKKEL : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1. óra: A tört értelmezése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2–3. óra: Tört alakban írt szám tizedes tört alakja : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4–5. óra: Törtek összeadása és kivonása : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

106 107 112 115 239

Tartalom 6–7. óra: Törttel való szorzás : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8–10. óra: Tizedes törttel való szorzás : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11. óra: Számok reciproka : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12–13. óra: Osztás tört alakú számmal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14–15. óra: Osztás tizedes tört alakú számmal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16. óra: Mi a valószínűbb? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tudáspróba : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

120 125 128 129 131 135 135

HÁROMSZÖGEK, NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1. óra: A háromszögek fajtái : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2. óra: A háromszögek szögei : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3. óra: Szerkesztések körzővel és egyenes vonalzóval : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4–5. óra: Szerkesztések körzővel és egyenes vonalzóval: Háromszögek szerkesztése körzővel, egyenes vonalzóval : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6. óra: A négyszögek fajtái : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7. óra: A négyszögek szögei : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8–9. óra: Négyszögek szerkesztése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10. óra: Derékszögű háromszögek kerülete, területe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11. óra: Tengelyesen szimmetrikus háromszögek kerülete, területe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12–13. óra: Tengelyesen szimmetrikus négyszögek kerülete, területe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14. óra: Testhálók : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15. óra: Szabályos sokszögek : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tudáspróba : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

137 139 142 147 148 151 158 161 165 168 171 174 177 180

NYITOTT MONDATOK, EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1–3. óra: Nyitott mondatok, egyenletek, egyenlőtlenségek : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4–7. óra: Egyenletek megoldása lebontogatással, szöveges feladatok : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8–9. óra: Egyenlőtlenségek megoldása, szöveges feladatok : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel, szöveges feladatok (Kiegészítő tananyag) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tudáspróba : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

182 183 185 194

ARÁNYOS KÖVETKEZTETÉSEK, SZÁZALÉK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1. óra: Arányos következtetések : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2–3. óra: Egyenes arányosság : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4–5. óra: Százalékszámítás : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6–7. óra: A 100% meghatározása : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8–9. óra: Törtrészek meghatározása százalék alakban : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10. óra: Vegyes százalékszámítási feladatok : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11–12. óra: Bevezetés a statisztikába : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tudáspróba : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

203 204 207 212 216 218 221 222 226

TANMENETJAVASLAT

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

199 201

228

KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 6. tanításához

Recommend Documents