KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 6. tanításához

Csahóczi Erzsébet – Csatár Katalin – Kovács Csongorné – Érdemes Tankönyvíró

Érdemes Tankönyvíró

Morvai Éva – Széplaki Györgyné – Szeredi Éva

KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 6. tanításához

Kovács Csongorné a Tankönyvesek Országos Szövetségétől 2008-ban elnyerte az „Érdemes Tankönyvíró” kitüntető címet Csatár Katalin a Tankönyvesek Országos Szövetségétől 2011-ben elnyerte az „Érdemes Tankönyvíró” kitüntető címet Illusztrálta FRIED KATALIN KATONA KATA LÉTAI MÁRTON SZALÓKI DEZSŐ Alkotószerkesztő CSATÁR KATALIN Szerkesztette ACKERMANN RITA Kapcsolódó kerettanterv EMMI Kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet

AP–060834 ISBN 978-963-328-304-2

© Csahóczi Erzsébet – Csatár Katalin – Kovács Csongorné – Morvai Éva – Széplaki Györgyné – Szeredi Éva, 2014 1. kiadás, 2014

A kiadó a kiadói jogot fenntartja. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható. Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft. 9500 Celldömölk, Széchenyi u. 18. Telefon: 95/525-000, fax: 95/525-014 E-mail: [email protected] Internet: www.apaczai.hu Felelős kiadó: Esztergályos Jenő ügyvezető igazgató

Nyomdai előkészítés: Könyv Művek Bt. Terjedelem: 30,90 A/5 ív Tömeg: 618 g

Előszó Ne vágd el azt, amit kibogozhatsz! (Joubert, 19. századi filozófus)

Kedves Kollégák! Könyvünket Joseph Joubert és Varga Tamás szellemében írtuk, vagyis szeretnénk, ha tanulóink gondolkozva, felfedezés útján tennének szert matematikai ismereteikre. Mi, a szerzők legalább húsz éve tanítjuk ezt a korosztályt (is). Azt tapasztaltuk, hogy a játékos felfedezés nagy öröm a gyerekek számára, és nincs ennél hatékonyabb módszer. Tudjuk persze, hogy a tanulásnak vannak rögös és fárasztó periódusai is. A tananyagtartalom játékos feldolgozásával a gyerekek motiválása a célunk.

A feladatgyűjtemény szerkezetéről A feladatgyűjtemény a NAT alapján készült, követi a Matematika 6. tankönyv a 6. évfolyam számára című kiadványunk felépítését, de attól függetlenül is használható. Munkáltató jellegű feladatokat is tartalmaz, melyeket az arra kijelölt helyen oldhatnak meg a tanulók. A differenciált oktatás segítésére a feladatokat nehézségi szintekbe soroltuk, és ezeknek megfelelően az alábbi megkülönböztető jelekkel láttuk el: 1. Az új ismeretek elsajátítását, megértését igénylő alapfeladat; ezt a tanulóknak meg kell tudniuk oldani ahhoz, hogy továbbhaladhassanak. 2. Az új ismeret alkalmazását, a tudás rögzítését, elmélyítését segítő feladat. 3. Többféle ismeret és képesség alkalmazását igénylő feladat. 4. Fejtörők, versenyfeladatok azoknak, akik további érdekes feladatokat szeretnének megoldani. Internettel támogatott feladatok

Modellezhető, kivágható feladat.

A matematikát magasabb órászamban tanuló csoportoknak írt kiegészítő tananyagokhoz tartozó feladatokat is a fent leírt szintek szerint soroltuk, de más színnel jelöltük, így:

1. ,

2. ,

3. .

A fentieken kívül, ha egy-egy részfeladat nehezebb, gondolkodtatóbb a többinél, így jelöljük: 123. A kézikönyv a feladatok megoldásain kívül módszertani megjegyzéseket is tartalmaz.

Kiegészítő segédletek Megjelent a hatodik évfolyamos matematikai felmérőfüzet röpdolgozatokkal, TSZAM- (a továbbhaladáshoz szükséges alapismeretek mérése) felmérőkkel, valamint értékelő felmérőkkel. A tankönyv anyagának feldolgozására és a tanórai munka támogatására digitális tananyag is készült, melyet a gyerekek tanári segítség nélkül is tudnak használni. A tankönyvcsaládhoz tartozó, évfolyamokra bontott tanterv letölthető honlapunkról: www.apaczai.hu. Amennyiben könyvünkkel kapcsolatban bármilyen észrevétele van, kérjük, juttassa el azt az Apáczai Kiadónak! Eredményes munkát kívánunk: a Szerzők 3

Műveletek egész számokkal

Műveletek egész számokkal Mit tudunk az egész számokról? 1. Döntsd el, hogy igazak-e a következő állítások az A halmaz elemeire! a) Az A halmaz elemei között 3 pozitív szám van. Hamis. b) A legkisebb szám abszolút értéke a legnagyobb. Igaz. c) Van közöttük 13-nál nagyobb szám. Hamis. d) Van közöttük 13-nál nagyobb abszolút értékű szám.

−20 0

A

−7

−2

13 −1

3

Igaz.

e) A számokat nagyság szerint sorba állítva a (−1) van középen. Igaz. 2. Állítsd nagyság szerint sorrendbe, és ábrázold számegyenesen a megadott számokat! a) −25, −8, 10, 13, −7, 5, 8, −5, −17, 24 2 egység −17

−25

−7

−8

−16



−5

5

0

8 10

13

24

b) −150, 30, −225, −90, −105, 120, −135, −210 −225

−150

−210

−135

30 egység   

−105 −90

30

−60

90

120

c) 48, −54, 30, 18, 3, 12, −15, 36, −42, −60

12 egység   

18 −60−54

−42

−15

3

−12

12

24

30 36

48

3. A számegyenesen megjelöltük az A és a B számok helyét. Határozd meg a következő kifejezések számértékét! B = 25 A = −5 5 egység A + B = 20, A − B = −30, (A + B ) : 2 = 10,   (A − B ) : 2 = −15, |A + B | = 20, |A − B | = 30, |B − A| = 30 −10 A 20 B 4. Milyen számokat ábrázoltunk a számegyenesen? −230 −195 −170 a) −220

−150

−180 −70

b) −120

−80

10 egység    −125 −110 110

−50

20

40

100 2 egység 

c) −30

4

−26 −23 −20

−95 −70 20 egység   

−16

−10 −7

+4

Műveletek egész számokkal 5. a) Melyek azok a számok, amelyeknek az A-tól való távolsága kétszer akkora, mint a B -től való távolsága? Két ilyen szám van. Először kijelöljük a megfelelő pontokat a számegyenesen, majd kiszámoljuk, milyen számot jelentenek ezek a pontok. −420

−450 A b) Melyek azok a számok, amelyeknek az távolsága?

B

−300 −240 A-tól való távolsága feleakkora, mint a B -től való −360

−420

A

−450

−510

c) Van-e olyan szám, amelynek az volsága?

15 egység   

−330

−330

B

−390

−300

A-tól való távolsága 5-ször akkora, mint a B -től való tá-

−420

−330

A

−345

B

−307 5

A −3075-et nem könnyű kitalálni. Gondolkozhatunk így: 

A

1 rész 



B

C

5 rész

AB távolságot 4 részre kell osztani ahhoz, hogy BC távolságát megkapjuk. AB = 90 egység, tehát BC = 22 5 egység. B pont −330-at jelent, tőle jobbra 22 5 egységgel van a keresett pont. Látható, hogy az

6. Helyezd el a korongokat a halmazábrában a címkéknek megfelelően! −8 a)

+6

−7

−6

+7

A: Az abszolút értéke legfeljebb 6. B : 3-nál nem nagyobb. A +6

−6 +2 −2 −5 0

b)

−2

C

D

−7 −6 −8 −5

−7

0

−2

+8

+6

+7

c)

0

+2

C : Az ellentettje legalább 5. D : Az abszolút értéke egyenlő az ellentettjével.

B

−8

−5

+8

E : Legalább (−4), legfeljebb 5. F : Az ellentettje nagyobb (−2)-nél. G : Az abszolút értéke nagyobb 3-nál.

+8

+2

+7

F

E 0 +2 −8 −6 −7 −5

−2 +7 +6

G

+8

5

Műveletek egész számokkal 7. Hol helyezkednek el a számegyenesen azok a számok, amelyek a) nagyobbak, mint (−5)? −5

0

b) nem kisebbek, mint 7? 0

7

8. Válaszold meg a kérdést, és ábrázold a megoldást számegyenesen! Melyek azok a számok, amelyek a) ellentettje nagyobb, mint (−5)? 5

0

b) ellentettje nagyobb vagy egyenlő 7-tel? −7

0

c) ellentettje kisebb 10-nél? −10

0

d) ellentettje (−15) és +20 közé esik? −20

−15

e) abszolút értéke

15

0

20

< 43?

−43

43

0

f) abszolút értéke 2 és 33 közé esik? −33

−2 0 2

33

g) abszolút értéke (−30) és + 9 közé esik? −30

−9

0

+9

30

(−20)? Nincs ilyen szám. h) abszolút értéke < i) abszolút értéke nem több, mint 60? −60

0

60

9. Írj a keretekbe egész számokat úgy, hogy a nyitott mondat igaz legyen! a) − 6

7

= −7

b) − −100 = +100

c) − −21 = 21

Műveletek egész számokkal 10. Írj a keretekbe egész számokat úgy, hogy a nyitott mondat igaz legyen! a) 6 < −

b) 0 < −

c) −5 < −

< 10 < 13 < 1

lehet: −7; −8; −9. lehet: −1, −2,

: : : , −12.

lehet: 4, 3, 2, 1, 0.

11. Négy számot adtunk meg sokféle különböző alakban. Válogasd össze séges, képzeld el adósság és készpénz segítségével a számokat! a) −14 + 4 b) −10 + 2 · 4 c) 3 · 8 − 22 e) 5 + (−15) f) 12 − 2 · 5 g) 4 − 2 · 7 i) 10 + (−12) j) −8 · 2 + 7 · 2 k) −2 − 8 Egyenlők: a), e), g), k) = −10

b), i), j) = −2

c), f) = 2

12. Válaszd ki az egyenlőket! + 45 + (−13) = 32 −45 + (−13) = −58 −46 − (+12) = −58 −46 + (−14) = −60

az egyenlőket! Ha szükd) −10 − (−13) h) 8 + (−5) l) −6 + 9

d), h), l) = 3

−45 − (−13) = −32 −46 + (−12) = −58

−45 − (+13) = −58 −46 − (+14) = −60

Egész számok összeadása és kivonása 13. Péternek kedden 15 készpénzérméje és 23 adósságcédulája, csütörtökön már 35 készpénze és csupán 4 adósságcédulája volt. Mi történhetett? Írj róla műveletet! 15 + (−23) + 39 = 35 + (−4) Kapott közben 39 készpénzt, amelyből 19 adósságcédulát kiegyenlített.

14. a) Készíts összeadásokat úgy, hogy az egyik tagot az mazból választod!

A halmazból, a másikat pedig a B hal-

A

B −15

15

7 −7

−138 −20

138

20

15 + 7 = 22

(−15) + 7 = −8

(−138) + 7 = −131

138 + 7 = 145

15 + (−7) = 8

(−15) + (−7) = −22

(−138) + (−7) = −145

138 + (−7) = 131

15 + 20 = 35

(−15) + 20 = 5

(−138) + 20 = −118

138 + 20 = 158

15 + (−20) = −5

(−15) + (−20) = −35

(−138) + (−20) = −158 138 + (−20) = 118

b) Hány különböző eredményt kaphatsz? 16 különböző eredményt kapunk.

7

Műveletek egész számokkal 15. A 15-ből a 72-be így juthatunk el kivonással: 15 − (−57) = 72, és így juthatunk el összeadással: 15 + 57 = 72. Hogyan juthatunk el

összeadással,

kivonással?

a)

18-ból

236-ba

18 + 218 = 236

18 − (−218) = 236

b)

837-ből

128-ba

837 + (−709)

837 − 709

c)

−256-ból

5-be

−256 + 261

−256 − (−261)

d)

−5-ből

256-ba

−5 + 261

−5 − (−261)

e)

−111-ből

−82-be

−111 + 29

−111 − (−29)

f)

257-ből

−181-be

257 + (−438)

257 − 438

16. Anyának a hónap 3. napján 500 forint készpénze és 21 470 forint kifizetetlen adóssága volt. A hónap 10. napjára vagyoni helyzete így alakult: 89 125 Ft készpénz és 2800 Ft adósság. Mi történhetett? Lehet-e, hogy Anya bevétele ebben az időszakban A) 100 000 Ft volt; Nem lehet, mert legalább 107 295 Ft bevételének kellett lennie: 500 + (−21 470) +

= 89 125 + (−2800)

= 107 295

B) 107 670 Ft volt; Lehet, ha 375 Ft kiadása is volt. C) 117 670 Ft volt; Lehet, ha 10 375 Ft kiadása is volt. D) 150 000 Ft volt? Lehet, ha 42 705 Ft kiadása is volt. 17. A következő feladatok megoldása során Panni az 1 , illetve a 2 lapocskákkal jelölt írásbeli összeadást, illetve kivonást végezte el. Találd ki, melyik feladathoz melyik művelet tartozik! Írd mellé a sorszámát! 550 550 + 223 − 223 1 b), c), f), g), h), i) 2 a), d), e), j) b) Mennyi (−550) és (−223) összege? Mennyivel több az 550 a 223-nál? d) Mennyi (−550) és 223 összege? Mennyi (−550) és 223 különbsége? f) Mennyivel több az 550 a (−223)-nál? Mennyi (−550) és (−223) különbsége? Mennyi 550 és (−223) távolsága a szám- h) Melyik az a szám, amely éppen 223-mal kevesebb a (−550)-nél? egyenesen? i) Mennyi 223 és (−550) távolsága a szám- j) Mennyi (−223) és (−550) távolsága a számegyenesen? egyenesen?

a) c) e) g)

18. 850 és 115 – ez a két számkártyád és különböző jelkártyáid vannak: ⊕ pozitív előjel,  negatív előjel, + összeadásjel, − kivonásjel, | | abszolútérték-jel. Készíts a két számból a felsorolt jelek felhasználásával műveleteket! Írd egy csoportba azokat, amelyeknek azonos a végeredménye! 850 +

115 = 965

850 − (−115) = 965 | − 850 −

8

115| = 965

850 −

115 = 735

−850 +

115 = −735

|850| + (−115) = 735

−850 + | − 115| = −735

850 + (−115) = 735

−850 − (−115) = −735

Műveletek egész számokkal 19. Pótold az összeadó- és a kivonótáblában a hiányzó számokat! a)

+

−17 +8

−17 −34

21

4

−30

b)

−9 −47 29

−9

−08 58

−7

25

0

5

−12

20

−5

1 6

08

−10

3

35

10

0 2

−06

0 5

111 10 3 169

−0 5 −65 255

−20 −37 −12 −50

c)

−

+



−3

74 −14 −28

6

81

20. Töltsd ki úgy az ábrákat, hogy bűvös négyzetek legyenek! A sorok, az oszlopok és a két főátló összege is ugyanaz a szám. Mennyi a kilenc szám összege? b) a) 1169

−1400

245

−22

−1

−97

14

938

−938

−112

−40

32

−1169

476

707

14

−79

−55

Itt az összeg −360.

A kilenc szám összegét legkönnyebben a 2. sor segítségével számolhatjuk. 14 · 3 = 42 Az átlókat is számolva a négyzetek nem bűvösek.

21. A megadott szavak közül pótold a mondatok hiányzó szavait úgy, hogy igaz állítást kapj! Keress többféle megoldást! pozitív a) Negatív

negatív

növeli

csökkenti

szám hozzáadása csökkenti a számot.

b) Negatív szám kivonása növeli c) Pozitív

a számot.

szám hozzáadása növeli a számot.

d) Pozitív szám kivonása e) Negatív

hozzáadása

csökkenti

kivonása Bármelyik mondatból tudunk újabb igaz állítást készíteni, ha ezeket a cseréket végezzük egyszerre: pozitív

negatív

a számot.

szám hozzáadása csökkenti a számot.

hozzáadása

kivonása

22. Írj a feladatokról nyitott mondatokat, és tedd igazzá azokat! − (−7) = 7 =0 a) Mennyiből kell (−7)-et elvenni, hogy +7-et kapjunk? b) Mennyit kell (−2)-ből elvenni, hogy +6-ot kapjunk? −2 − =6 = −8 c) Mennyit kell (−7) és +6 összegéből elvenni, hogy +3-at kapjunk? −7 + 6 − =3 d) Mennyit kell hozzáadni (−20)-hoz, hogy 12-t kapjunk? −20 + = 12 = 32 e) Mennyit kell elvenni (−20)-ból, hogy 12-t kapjunk? −20 − = 12 = −32 f) Mennyit kell hozzáadni 15-höz, hogy (−3)-at kapjunk? 15 + = −3 = −18 g) Mennyit kell kivonni 15-ből, hogy (−3)-at kapjunk? 15 − = −3 = 18

= −4

9

Műveletek egész számokkal 23. Tedd igazzá a nyitott mondatokat! a) −11 + 15 = 4 d) 46 − −24 = 6 g) 04 + −19 = −15

c) −38 − (−18) = −20 f) −470 − (−970) = 500 i) +10 − (+35) = −25

b) 39 + (−17) = 22 e) −2 − −101 = 81 h) −75 + −45 = −120

24. Tedd igazzá a nyitott mondatokat! Csak az egész számok közül válogass! −4 x : −11, −10, −9, : : : a) 8 + x > c) z + 1 < 1 z : −1, −2, −3, : : :

b) −7 + y < 8 y : 14, 13, 12, : : : d) s + 3 > −4 s : −6, −5, −4, : : :

25. Ábrázold számegyenesen azokat az egész számokat, amelyek igazzá teszik a nyitott mondatokat! a) 13 − x = 7 0

=7 c) 8 < 7 + x 5 19 d) 8 < 7 − x 5 19 b) 13 + x

−6

6

0

0 1

12

−1 0

−12

26. Ábrázold számegyenesen azokat a számokat, amelyek igazzá teszik a nyitott mondatokat!

x + (−4) < 11 −5 b) | − 3| + x > c) |x | + (−3) = 4 d) |x − 2| < 7

a)

e) −x

> 0

−8

0 −7

−5

0

7

9

0

0 1

0 f) −x + | − 2| < g) |x | − (−8) < 0 h) −x − (−2) > 0

15

0

0

1

2

3

Egyetlen szám sem teszi igazzá. 0

2

27. Pótold a hiányzó műveleti jeleket, illetve előjeleket úgy, hogy igaz egyenlőségeket kapj! Keress többféle megoldást! a) ( + 18) − ( + 25) = ( − 7) −18 − (−25) = +7

−18 + (−25) = −43

c) (−7) − ( + 14) = ( − 21)

d) ( + 16) + ( − 13) = ( + 3)

−7 + (−14) = −21 e) ( − 19) + ( − 11) = (−30)

−16 + (+13) = −3 f) ( + 15) + ( − 7) = ( + 8)

−19 − (+11) = −30

10

b) ( + 18) − (−25) = ( + 43)

(−15) + (+7) = −8

Műveletek egész számokkal Több tag összege, különbsége 28. Számítsd ki! a) 0 + (−523) + (−111) − (−215) − (+12) = −431 b) 0 − (+3200) − (−5000) + (−300) − (+83) = +1417 c) 0 − (−13) + (+27) − (+50) + (−21) = −31 Készíts a műveletsorokhoz korongokat! Fordítsd őket úgy, és tedd olyan sorrendbe, hogy minél kényelmesebben számolhass! 29. Írd át olyan alakba a 0 + (−22) − (−35) + (+15) − (−39) műveletsort, hogy a) csak kivonás szerepeljen benne, 0 − 22 − (−35) − (−15) − (−39) b) csak összeadás szerepeljen benne, 0 + (−22) + 35 + 15 + 39 c) csak negatív számok szerepeljenek benne, 0 + (−22) − (−35) − (−15) − (−39) d) csak pozitív számok szerepeljenek benne! 0 − (+22) + 35 + 15 + 39 = 67 Számold ki a végeredményt! Végezd el ugyanezeket az átalakításokat ezekkel a műveletsorokkal is! 0 + (−13) − (+25) + (−70) − (+27) = (−135) 0 + (−515) + (−331) − (−175) − (−107) = (−564) Számold ki a végeredményeket! 30. Végezd el a műveleteket! A feladatokban csak összeadások és kivonások szerepelnek, ezért a műveletvégzés sorrendje tetszőleges, de ne feledd, hogy a számokat csak az előttük álló műveleti jellel együtt szabad cserélgetni! a) −523 − (−517) + 23 + 3 = 20 b) 189 − 24 + (−136) − (−11) = 40 c) −2006 + 305 − 4 − (−105) = −1600 d) −331 − 189 + 9 + 1234 − (−131) − 1234 = −380 e) 25 000 − 1237 − 2199 − (−5000) − 1 = 26 563 f) 548 + (−883) − (−453) + (−170) + 52 = 0 g) −112 + 131 − 24 − (−69) + (−26) = 38 h) 1073 − 416 − 12 + 127 − (−416) + 72 = 1260 31. Keress egyenlőket! Írd egymás mellé a betűjelüket! a) 58 − 96 + 41 = 3

b) 58 + 96 + 41 = 195

c) −96 + (58 − 41) = −79

d) 58 − 41 − 96 = −79

e) 58 − [(−96) − 41] = 195

f) 58 − (96 + 41) = −79

g) 58 − (96 − 41) = 3

h) 58 + 41 + 96 = 195

i) (58 − 96) − 41 = −79

j) 41 − 58 + 96 = 79

k) (58 − 96) + 41 = 3

l) 58 + (96 − 41) = 113

a) = g) = k), b) = e) = h), c) = d) = f) = i),

l)-nek és j)-nek nincs párja.

32. Számítsd ki a műveletsor végeredményét! Helyezz el benne egy zárójelpárt úgy, hogy a végeredmény ne változzon!   a) 0 − 19 + (−23) − (−8) − 12 + (−31) − 40 = −117 



b) 8 + (−10) − (−5) + 12 − 15 + (−12) − 25 = −37 



c) −41 + 17 − (−2) + (−27) − 4 + (−13) = −66 11

Műveletek egész számokkal 33. Írd le a műveletsorokat zárójel nélkül úgy, hogy az eredmény ne változzon meg! Számítsd is ki! a) 83 − (26 − 72) = 83 − 26 + 72 = 129 b) [54 + (−12)] − (26 + 43) = 54 − 12 − 26 − 43 = −27 c) −643 − (518 + 22) = −643 − 518 − 22 = 1183 d) 43 − (56 − 14 + 40) − (−207) = 43 − 56 + 14 − 40 + 207 = 168 34. Két szomszédos téglát egy műveleti jel köt össze. Az eredmény a jel fölötti téglába kerül. Milyen szám illik a kérdőjel helyére? a) b) c) 100 100 100 −43 +

143

−18 + −25 +

138

−

38

−100 + 238 −

? ? = 168

?

135

83

− −17

−

52

−

? ? = 69

? = 200

35. Építs magad is piramist! A műveleti jeleket rögzítettük. A téglákba illő számokat te magad találd ki! a) b) 1848 −534 1849 −

−534 +

1

2000 + −151 − −152 1984 +

16

− 167

+ −319

6

0

7

− 541 − 541

+

1

+

540

−

36. a) Színezd ki a számegyenest az x + 12 kifejezés szerint! Legyen fekete az a szám, amelynél a kifejezés értéke 0! Legyen piros az a szám, amelynél a kifejezés értéke pozitív! Legyen kék az a szám, amelynél a kifejezés értéke negatív! −12 0 Rajzolj számegyenest, és színezd ki a megadott kifejezéseknek megfelelően! b) c)

x + 30

x − 21

d) −x + 3 e) 22 − x f) −x − 10

−30

0

0

21 0

3

0

22 −10

g) −5 − x h) |x | + 7 12

0 −5

0

7

0

−1

Műveletek egész számokkal i) |x | − 13

−13

j) |x | + 6

0

k) |x + 6|

−6

13

0

6

0

6

37. Csoportosítsd az állítások betűjelét aszerint, hogy a megfelelő állítás biztosan igaz; lehetséges, hogy igaz, de nem biztos; sohasem igaz! a) Pozitív számból negatív számot vontunk ki, negatív számot kaptunk. b) Negatív számból negatív számot vontunk ki, pozitív számot kaptunk. c) Negatív számból pozitív számot vontunk ki, 0-t kaptunk. d) Negatív számból az ellentettjét vontuk ki, 0-t kaptunk. e) Pozitív számból az abszolút értékét vontuk ki, 0-t kaptunk. f) Negatív számból az abszolút értékét vontuk ki, negatív számot kaptunk. Biztosan igaz: e), f)

Lehet, hogy igaz, de nem biztos: b)

Sohasem igaz: a), c), d)

38. a) Töltsd ki a táblázatot!

a

b

a +b

|a + b |

|a | + b

a + |b |

|a | + |b |

−8 −2 0 7

6 4 −13 −7

−2

2

14

−2

14

2

2

6

2

6

−13

13

−13

13

13

0

0

0

14

14

b) Adj értéket a -nak és b -nek úgy, hogy a kiszámított értékek mind megegyezzenek egymással! Bármilyen nemnegatív értékpár megfelelő.

Szorzás és osztás egész számokkal 39. Írd át a műveleteket úgy, hogy csak az összeadásjelet használhatod! Számítsd ki, amelyiket tudod! a) −15 · 3 (−15) + (−15) + (−15) = −45 b) −999 · 4

(−999) + (−999) + (−999) + (−999) = −3996

c) −32 · 5

(−32) + (−32) + (−32) + (−32) + (−32) = −160

d) −103 · 6

(−103) + (−103) + (−103) + (−103) + (−103) + (−103) = −618

e)

x +x

f)

x ·2

·5

a ·4 h) b · 3 g)

+

+

+

+

a +a +a +a b+b+b 13

Műveletek egész számokkal 40. Kösd össze az egyenlőket!

(+5) − (+5) − (+5)

5 · (−3) (−5) + (−5) + (−5)

(−3) · 5 (−3) · 2 + (−3) · 3

(−3) + (−3)

+5 (−30) : (+6) (+30) : (−6) (−5) − (−5) − (−5)

−10 2

(−15) : (−3) 15 : (−3)

41. a) Töltsd ki a szorzótáblát! · −5 −4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5

−5

−4

−3

−2

−1

0

+1

+2

+3

+4

+5

25

20

15

10

5

0

−5

−10

−15

−20

−25

20

16

12

8

4

0

−4

−8

−12

−16

−20

15

12

9

6

3

0

−3

−6

−9

−12

−15

10

8

6

4

2

0

−2

−4

−6

−8

−10

5

4

3

2

1

0

−1

−2

−3

−4

−5

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

−15

−12

−9

−6

−3

0

3

6

9

12

15

−20

−16

−12

−8

−4

0

4

8

12

16

20

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

b) Keress szabályosságokat a táblázatban! Vizsgáld meg az egy sorban álló számokat! Figyeld meg az átlókat is! 42. Számold ki fejben! a) d) g) i)

b) (−25) · (−8) = 200 (−5) · (−20) = 100 (−250) · 8 = −2000 e) (−300) · (−200) = 60 000 20 · (−2000) = −40 000 h) 50 000 · (−2) = −100 000 (−10 000) · 300 000 = −3 000 000 000

c) 35 · (−4) = −140 f) 630 : (−70) = −9

43. Számold ki fejben! a) (−900) : 30 = −30 d) (−1500) : 5 = −300 g) (−81 000) : 900 = −90

14

b) (−400) : (−50) = 8 e) 125 : (−25) = −5 h) (−2000) : 8 = −250

c) (−800) : (−25) = 32 f) 630 : (−70) = −9 i) 150 000 : (−30) = −5000

Műveletek egész számokkal 44. Alkoss az A = {−3; +2; +1; 0; −5; −25} halmaz elemeiből kéttényezős szorzatokat! Összesen hány szorzat készíthető? Közülük hány pozitív, negatív, nulla? 6 · 6 = 36-féle szorzat készíthető. Ha a tényezők sorrendjét nem vesszük figyelembe, akkor Ez utóbbiak közül 9 pozitív, 6 nulla, 6 negatív.

6·5 + 6 = 21. 2

−2-szerese

45. A nyíl jelentése:

ez

ennek Pótold a hiányzó számokat! +8·

+ 8 · (−2)

1

46. A nyíl jelentése:

−16 · (−2)

32

· (−2)

−15 · (−18)

+ 3 · 270

+ 3-szorosa ez

ennek Pótold a hiányzó számokat! (−30) · (−1)

−15 · (−6)

47. Töltsd ki a táblázat hiányzó rovatait!

a

−8

b

7

a ·b

−56

0

−13

−2

a

−8

−63

0

0

−2

−21

−2

−9

0

b

−4

−21

−2

nincs ilyen

0

+3

0

+117

0

a:b

+2

+3

0

+7

értelmetlen

−18 :

18

−

1 7

48. A nyíl jelentése: ennek

fele ez

Pótold a hiányzó számokat! −144 : (+18)

−36 : (+9)

−36

: (+18)

49. Hányszorosa (−190) a + 10-nek; (−19)-szerese. (−190) a (−10)-nek; 19-szerese. (−190) a + 19-nek; (−10)-szerese. (−190) a (−19)-nek; 10-szerese. (−190) a + 190-nek? (−1)-szerese. 50. Két szám szorzatát adtuk meg. Mik lehetnek a szorzótényezők, ha a szorzat a) −41, = 1 · (−41) = (−1) · 41 b) −39, = (−39) · 1 = (−13) · 3 = (−3) · 13 = (−1) · 39 c) 38, = 19 · 2 = (−19) · (−2) = (−38) · (−1) = 1 · 38 d) −40? = (−40) · 1 = (−20) · 2 = (−10) · 4 = (−8) · 5 = (−5) · 8 = (−4) · 10 = (−2) · 20 = (−1) · 40 15

Műveletek egész számokkal 51. Írj különböző osztásokat, amelyek hányadosa: a) −12, 36 : (−3) : : : b) + 7, (−63) : (−9) : : :

c) 0! 0 : 19 : : :

52. Mi lehet x , ha a) 13 · x = −13,

x = 1 vagy x = −1

b) 13 · x = 13 : x ?

x = −1

53. A színes kártyára írt művelet azt mutatja meg, hogy hányszorosára, illetve hányad részére mutat a nyíl. Írd az üres kártyákra a megfelelő műveletet! (−2) · 15

−12 · 30 ·4 (−600) · (−150)

:3

·(−1000)

:6

(−6) · 15

·2

3 · (−5)

·(−8) ·(−1)

(−36) · 5

12 · 60

(−2) · (−45) 54. Tedd igazzá a nyitott mondatokat! b) 30 · −1500 = −45 000 e) −6400 : −16 = 400

a) (−5) · −500 = 2500 d) 88 : (−11) = −8

g) 142 857 · x = −428 571 x = −3 i) (−35) · (−x ) = −700 x = −20 k) (−39) : x = 39 x = −1

c) 8181 · (−101) = −909 · 909 f) −1313 : 101 = −13

h) (−x ) · 21 = −42 x = 2 j) 857 142 : x = −142 857 l) x : (−1) = 111 x = −111

x = −6

55. Két szám szorzata −150, hányadosuk −6. Melyik ez a két szám? −30 és 5 vagy 30 és −5. 56. Megadtuk két egész szám szorzatát és a hányadosát is. Mi lehet a két szám? Keress több megoldást!

16

Szorzat

Hányados

Egyik szám

Másik szám

a)

−45

−5

15 vagy −15

−3 vagy 3

b)

48

3

12 vagy −12

4 vagy −4

c)

−25

−1

5 vagy −5

−5 vagy 5

d)

16

−1

e)

100

4

20 vagy −20

5 vagy −5

f)

0

értelmetlen

bármilyen szám

0

g)

0

0

0

bármilyen szám, kivéve 0

h)

−1

−1

1 vagy −1

−1 vagy 1

nincs két ilyen szám

Műveletek egész számokkal 57. Az egy sorban álló téglák között a „malter” a szorzás. Két szomszédos téglában lévő szám szorzata a fölöttük lévő téglán van. Milyen szám van a ?

téglán?

a)

b)

?=0 2024 ·

2

? = −864

0

92 · 22 · 46 ·

c)

−48 ·

0

· 11 ·

16

0

·

350 000

−3

· −3500

−100

18

−6

·

? = −2 ·

·

50

−70

58. Add meg a sorozat néhány további elemét! Próbálj néhány megelőző elemet is megkeresni! a) : : : 12, −36, 108, −324, : : : Szorozzuk −3-mal. 4 4 − , , −4, 12, −36, 108, −324, 972, −2916, 8748 9 3 b) −2, + 3, −6, −18, Minden tag az előző kettő szorzata.

:::

:::

−2, 3, −6, −18, 108, −1944, −209 952

59. A következő táblázatokat egy-egy szorzótáblából vágtuk ki. A táblázat szélein a számok egyesével növekednek vagy csökkennek. Pótold a hiányzó számokat! b) a) · 4 5 6 7 −6 −5 −4 −3 · 12

48

60

72

84

−1

6

5

4

3

13

52

65

78

91

0

0

0

0

0

14

56

70

84

98

1

−6

−5

−4

−3

2

−12

−10

−8

−6

60. Sok-sok művelet rejtőzik a táblázatban az eredményével együtt. A bejelölt műveletek mindegyikében két számot kapcsolunk össze +, −, ·, : jellel. Keress továbbiakat! Tedd ki a megfelelő műveleti jeleket, és a kapott egyenlőségeket írd a füzetedbe!

−27

:

3

=

−9

+ −162 = −171

−46

120

−4

−30

50

6

−71

−1

−71

−44

67

30

47

: −6 :

11

3

= −2

+

0

=

−2

= −3

53

−27

81

58

23

− −2

+ −69 = −71

:

100

29

−11

7

2 96

=

3

= −318

23

·

−5

32

·

3

1

55

−42

−9

−16

5

=

= −106 ·

:

−19 ·

2

= −38

4

−54

= −115

8

110

10

−72

=

96

1

72

−6

−12

· = −11 · =

−5

248

−4

−62

−1

:

−8

−

68

=

12

=

9

−48

−60

10

−10

2

6

5

−7

= ·

: 80

−9

6

=

−33 = 91 + −124

56

=

= 5

64

·

10

=

640

=

−2

· −320

4

−12

17

Műveletek egész számokkal 61. Töltsd ki a szorzótáblát! a) · −3 −7

b) 8

11

25

·

−20

−12

−16

−40

444

20

12

16

40

−444

−9

27

63

−72

−99

−225

−1

9

−27

63

72

99

225

10

−1

3

7

−8

−11

−25

8

−11

33

77

−88

−121 −275

−5

100

60

80

200 −2220

808

1111 2525

9 4

−45

−27

2

−90

101

−303 −707

−200 −120 −160 −400

4440

−160 −96

3552

−128 −320

80

Több egész szám szorzása, osztása 62. A (−390)-et szorzat alakban írtuk fel. Gyűjts minél többféle szorzat alakot a többi számhoz is! −390 = −3 · 130 = 13 · (−30) = 10 · (−39) = −2 · 195 = −78 · 5 a) −9 = (+3) · (−3) = (−1) · 9 = (+1) · (−9) = 1 · 3 · (−3) = (−1) · (−3) · (−3) b) −75 = 3 · 5 · (−5) = (−15) · 5 = (−1) · 75 = (−3) · (−5) · (−5) = : : : c) 24 = 12 · 2 = (−24) · (−1) = 6 · 4 = (−3) · (−8) = : : : d) 36 = 9 · 4 = (−6) · (−6) = 3 · 12 = : : : e) −64 = 4 · (−16) = (−32) · 2 = : : : f) −96 = 24 · 4 · (−1) = (−3) · 32 = : : : g) 72 = 8 · 9 = 2 · 36 = : : : h) 165 = 33 · 5 = (−11) · (−15) = : : : i) −625 = (−25) · 25 = 125 · (−5) = : : : j) −270 = 10 · (−27) = 90 · (−3) = : : : k) 555 = 5 · 111 = (−3) · (−185) = : : : l) −2222 = 1111 · (−2) = (−11) · 202 = (−11) · 101 · 2 = : : : 63. Többet ésszel, mint erővel! Ha ügyesen csoportosítod a műveleteket, könnyen kiszámolhatod a végeredményt. Először azonban az előjelet érdemes megállapítani. a) 7 · (−2500) · (−6) : 50 : (−30) : (−70) = 1 b) 48 · (−250) : (−4000) · (−41) · 8 : 6 = −164 c) −25 : (−10) · (−4) · 390 : 13 = −300 d) 280 : 14 · (−5) : (−25) · (−7) = −28 e) 5 : (−25) · 280 · (−7) : (−14) = −28 f) 6 : (−70) : 50 · 7 · 2500 : (−30) · (−1) = −1

18

Műveletek egész számokkal 64. Írd a nyilakra a hiányzó szorzótényezőt! 20 · 30 · 30

(−9) · (−2)

18 · 5 (−10) · 15 · (−15)

· −5

· −1000

· −1

(−26) · (−9)

· −125

· −13 2 · 3 · (−3)

·

·

0

(−5) · 117 · 0

·

21 · (−6)

· −1

4

6 · (−12)

7

· −7

18

18 · 7 65. A cédulákra írt szorzatok között vannak egyformák. Tedd a betűjelüket a megfelelő dobozba! +4200

+1485

+91 000 c), e)

−4200 d), i)

−1485 g), b)

−92 000 f)

a) 24 · (−7) · 5 · (−5)

b) 11 · 5 · (−3) · 3 · 3

a), b)

d) −84 · 50

e) −2 · (−7) · 13 · (−5) · 5 · (−5) · 2 · 2

g) −45 · 33 66.

180

−12

A rombusz alakú −12 = 180

c) −7 · 13 · (−125) · 8 f) −65 · (−56) · 5 · (−5)

h) −5 · (−5) · 2 · 7 · 3 · (−2) · (−2)

i) −28 · (−15) · (−10)

A 180-ból akarunk a (−12)-be eljutni. műveletkártyák mindegyike osztás- vagy szorzásjelet takar.

:::

:::

:::

Írj egész számokat az üres helyekre, osztás- és szorzásjeleket a kártyákra, mégpedig úgy, hogy az egyenlőség fennálljon, és a műveletek közül a) három osztás legyen, −12 = 180 : 3 : 5 : (−1), : : : b) egy szorzás és két osztás legyen, −12 = 180 : 3 · (−2) : 10, : : : c) két szorzás és egy osztás legyen, −12 = 180 · (−2) · (−3) : (−90), : : : d) három szorzás legyen! Nincs megoldás. 67. Csak egész számokkal számolj! El lehet-e jutni a 260-ból a (−39)-hez a) egyetlen osztással; Nem. b) két osztással; Nem. c) akárhány osztással; Nem. d) egy szorzással és valahány osztással? Igen, pl.: 260 · 3 : (−20). 19

Műveletek egész számokkal 68. Keresd meg a nyitott mondatok összes megoldását! a) x · (x − 2) = 0 x = 0 vagy x = 2 c) 4 · x · (x + 1) = 0 x = 0 vagy x = −1

b)

x · (x − 1) · (x − 2) = 0 x = 0 vagy x = 1 vagy x = 2

69. Keresd meg az összes olyan számhármast, amely igazzá teszi a nyitott mondatot! x · y · z = −8 Az x , y és z is egész szám. Az x · y · z szorzat vagy úgy negatív, ha mindhárom tényezője negatív, vagy úgy, ha két tényezője pozitív, egy pedig negatív. Az x · y · z = 8 egyenlet pozitív megoldásai:

x y z

1 1

1 8

8 1

2 2

1 2

1 4

2 4

2 1

4 1

4 2

8

1

1

2

4

2

1

4

2

1

Ez 10 db számhármas, az eredeti egyenletnek ugyanennyi olyan megoldása van, ahol mindhárom tényező negatív. Ha közülük csak egy negatív, akkor az előbbi 10 db számhármas mindegyikéhez 3 megoldás tartozik, pl.:

x y z

−2 2 4 −4 1

1

2 4 −1

Ezek még 30 megfelelő számhármast adnak. Így 10 + 30 = 40 különböző megoldás van. Ha ugyanezt a kérdést úgy tesszük fel, hogy melyik az a három szám, amelyek szorzata −8, akkor a megoldásokban nem számít másnak a −2; 4; 1 és a 4; −2; 1 számhármas.

70. Tedd igazzá a nyitott mondatot!

x · (−4) · (+2) · 0 = −3

Nincs olyan szám, amely igazzá teszi.

Műveletek sorrendje 71. Számítsd ki! a) −23 + (−3) · 51 = −176

b) 339 : (−3) − 150 = −263

c) 62 · (−100 + 98) = −124

d) [555 − (−333)] : 111 = 8

e) −25 · 8 + (−42) · (−5) = 10

f) 31 · (−20) − 15 · (−73 + 53) = −320

g) [55 − (−291)] · 10 + [−31 + (−12)] = 3417 h) 18 · (−3) − [47 − (−53)] + (−49) : (−7) = −147 72. A műveletek elvégzése előtt gondold meg, melyeknek lesz egyforma a végeredménye! Számold is ki az eredményeket! a) d) g) j)

(−21 − 49) · 7 = −490 (9 + 6) · (−3) = −45 (−21 − 49) : 7 = −10 −21 + 49 : (−7) = −28

b) e) h) k)

9 · (−3) + 6 · (−3) = −45 −21 · 7 − 49 · 7 = −490 9 + 6 · (−3) = −9 −21 − 49 : 7 = −28

c) f) i) l)

−21 : 7 − 49 : 7 = −10 (9 · 6) · (−3) = −162 9 · (−3) · 6 · (−3) = 486 [−9 + (−6)] · 3 = −45

73. Írd le műveleti jelekkel, majd számítsd ki! a) (−112) és (−8) összegének az ötszöröse [−112 + (−8)] · 5 = −600 b) (−112) ötszörösének és (−8)-nak az összege −112 · 5 + (−8) = −568 c) (−112)-nek és (−8) ötszörösének az összege −112 + (−8) · 5 = −152 d) (−112) ötszörösének és (−8) ötszörösének az összege −112 · 5 + (−8) · 5 = −600 20

Műveletek egész számokkal e) f) g) h)

(−99) és 45 összegének a kilencede (−99 + 45) : 9 = −6 (−99)-nek és 45 kilencedének a különbsége −99 − (45 : 9) = −104 (−99) és 45 különbségének a kilencede (−99 − 45) : 9 = −16 (−99) kilencedének és 45 kilencedének az összege (−99 : 9) + (45 : 9) = −6

74. Tedd igazzá a nyitott mondatokat! a)

· (−10) − 1 = −51

5

c) ( 25

b) (22 +

− 25) · (−189) = 0

0

) · (−6) = −132

d) 137 · (−95) ·

e) (25 − ) · (−31 − )=0 f) −1440 : (−12) + (−220) = −100

0

· 28 = 0 = −31

= 25 és/vagy

g) (−800) :

h) (292 + −192 ) : (−100) = −1 ) · (321 − )=0 j) (−12 −

4

− 300 = −500

i) (−225) : (15 + −240 ) = 1 = −12 és/vagy

= 321

75. Gondoltam egy számot. Megszoroztam (−2)-vel, a szorzathoz hozzáadtam (−2)-t, a kapott összeget újra megszoroztam (−2)-vel. 0-t kaptam. Mire gondoltam? A gondolt szám −1. 76. A −25 , −11 , 101 számokból a + , · műveleti jelekkel és zárójelek felhasználásával építettünk számokat. Köztük vannak egyenlőek is. Mielőtt számolnál, válaszd ki ezeket! Hány különböző szám szerepel az a) –r) feladatok között? a) (−25 + (−11)) · 101 = −3636

b) −25 · (−11 + 101) = −2250

c) 101 · (−25) + (−11) · 101 = −3636

d) (−25 · (−11)) · 101 = 27 775

e) (−25 · 101) + (−11 · 101) = −3636

f) (−25 · 101) · (−11) = 27 775

g) −11 · (−25 + 101) = −836

h) −25 + (−11) · 101 = −1136

i) (−25 · (−11)) + (−25 · 101) = −2250

j) (101 · (−25)) · (101 · (−11)) = 28 052 275

k) −25 · (−11 + 101) + 101 · (−11 + 101) = 6840 l) (−25 · 101) · (−11 · 101) = 2 805 275 m) (−25 + 101) + (−25 + 101) = 152

n) −25 + 101 · (−11) = −1136

o) (−25 · (−11)) · 101 = 27 775 q) −25 · 101 + (−11) = −2536

p) (−25 + 101) · (−11 + 101) = 6840 r) (−25 + 101) · (−11) = −836

77. Csoportosítsd a −100 100 −45 5 −1 −11 −16 0 10 számkártyákat aszerint, hogy igazzá teszik a nyitott mondatokat, vagy nem! Tedd mindegyik számkártyát a megfelelő halmazba! · (−3) + (−28) > 20

a) b) (

+ 8) : (−9) = egész szám

a · 3 + a · 7 = −120 d) ·3− ·7> 20 f)

  

·5+

+

 · (−31) + 72

·2=

< −3

H: 100, 5, −1, −11, −16, 0, 10

I: 100, 10

H: −100, −45, 5, −1, −11, −16, 0

I: 100, 5, −1, −11, 0, 10

c)

e)

I: −100, −45

· 10 −

H: −100, −45, −16

I: −100, −45, −11,

H: 100, 5, −1, 0, 10, −16

·2

I: mindegyik

I: –

H: mindegyik

H: –

21

Műveletek egész számokkal 78. Gondolj egy számra! Helyettesítsd be a megadott kifejezésbe! Ha a kifejezés értéke pozitív lett, akkor a szám piros legyen! Ha a kifejezés értéke negatív lett, akkor a szám kék legyen! Ha a kifejezés értéke nulla lett, akkor a szám fekete legyen! Színezz mindegyik kifejezéshez egy-egy számegyenest! a) 2 · x − 2

0

b) (x + (−5)) · 10

0

1

2

1

5

c)

x

5

0

1

d)

x · 15

0

1

e) (x − 11) : (−2)

0 1

f) (10 − x ) · 3

0 1

11 10

79. Péter a nyitott mondatok megoldásait ábrázolta számegyenesen. Olykor hibázott. Melyek a hibás megoldások? Javítsd ki! 6 a) |x | < b) (−2) · x

−6

5 18

helyesen:

c)

0

−10

−5

0 1

−10

−5

0 1

x ·5> −10

d) −4 5 x : 3 5 4

−2 −12

h) |2 · x − 1| = 9

22

12

0

12 f) |x · 3| <

−9 g) (x + 2) · 3 <

0 1 0

x ·4< 40 e) 0 <

helyesen:

6

−4 −5 −4

10

0

4

0

4

0 0

5

Műveletek egész számokkal 80. Egy mondatot rejtettünk el. Keresd meg a műveletekhez tartozó betűket, és írd be a táblázatba! A = (17 + 33) · (−12) = −600 R = 180 : (−9) − (−26) = 6 J = 30 · (−5) · 4 : 10 = −60 M = (−12) · 450 : (−9) = 600 V = −6 K = 58 · 13 + (−3) · 58 = 580 Á = (−120) : (60 : 2) · (−15) = 60 T = −580 623 + (−23) + 5 · 70 + (−350)

M

(−5800) : 50 · (−5)

K

(17 + 33) · (−12)

A

(−580) − 600 : 30

A

600

M

58 · (−13) − 58 · (−3)

T

30 · (−5) · 4

A

(−1800) : (−100) : (−9) · (−30)

Á

(−5800) : 5 : 10 · (−5)

K

(−58) · 13 + 58 · 3

T

(−50) · (−5) : (−25) · 60

A

(−180) : (−9) + 13 · (−2)

V

60 · (8 − (−2)) : [1000 : (8 + 2)]

R

60

Á

−60

J

6

R

(120 + 60) : (−3) · (−1)

Á

(17 + 33) · (−12)

J

(50 + 8) · (−10)

T

(−150) · 4

A

(1000 − 420) · (−1)

T

[83 + (−23)] · 60 : 10 : 6

Á

(36 : 6) · (−1) · (−1)

R

(−50) · (−5) : (−25) · 6

J

−482 + (−2) · 59

A

81. Töltsd ki a táblázat hiányzó sorait! Döntsd el, hogy igazak-e az állítások! a) Az összeg abszolút értéke megegyezik a tagok abszolút értékeinek összegével. Nem. b) A szorzat abszolút értéke megegyezik a tényezők abszolút értékeinek szorzatával. Igen.

x y |x | |y | |x · y | |x | · |y | |x | + |y | |x + y |

−3

+3

−3

+3

−3

−2

−2

+2

+2

0

3

3

3

3

3

2

2

2

2

0

6

6

6

6

0

6

6

6

6

0

5

5

5

5

3

5

1

1

5

3

23

Tengelyes tükrözés

Tengelyes tükrözés Képek és tükörképek 82. Válogasd szét a képeket! Melyik igazi, melyik való Tükörországból? Színezz ki mindkétfajta címerből egy igazit! Nagy Sándor címerében egy aranyoroszlán kék harci bárdot tart. Ezüsttrónja van bíbor háttér előtt.

igazi

tükrörkép

igazi

tükörkép

A magyar címert ismerjük, tudjuk, hogy melyik az igazi. Nagy Sándor címeréről nem tudjuk eldönteni, melyik az eredeti, és melyik a tükörkép. Eláruljuk, hogy az első kép az eredeti. Vele egyező a harmadik is.

83. Illeszd a tükröt a pillangóra úgy, hogy a mellette megadott képet lásd! Rajzold be a tükör helyét! b) a)

c)

24

d)

Tengelyes tükrözés 84. Illeszd a tükröt a háromszögre úgy, hogy a mellette megadott képet lásd! Rajzold be a tükör helyét! a) b) c)

d)

e)

f)

g)

h)

85. Egy ember tükörből látja a háta mögött lévő óralapot! Rajzold meg a hiányzó mutatókat! Írd az órák alá, hány órát mutatnak! Ezt látja a tükörben

Ezt mutatja a valódi óra 2 óra

negyed 11

fél 4

10 perc múlva 4 óra

3 óra

fél 2 lesz 5 perc múlva

86. Változtasd át tükörrel a betűket! Például az F betűből E lesz, ha a tükröt idetesszük: F , és felülről nézünk bele. Hasonló módon lehet átváltoztatni az egyik betűt a másikra. Lehet, hogy a másik elforgatott helyzetben, más méretben látszik a tükörben. Rajzold a betűre a tükör helyét! M V K

Z N R

R Y T

B X H

N P K

M B X

87. Egyetlen kockáról és annak tükörképéről készültek a képek. Válogasd szét az eredeti kockáról és a tükörkockáról készült képeket! Találd ki, hogy melyik betűvel szemben melyik betű van a kockára írva! A kocka lapjain az A, B, C, D, E, F betűk állnak. A – C, B – D, E – F eredeti

eredeti

tükörkép

tükörkép

eredeti

tükörkép

25

Tengelyes tükrözés 88. Egy régi újságban találtuk ezt a rejtvényt: Új olasz fagyizó nyílik a főutcán. A tulajdonos, V. AMATI úr maga is olasz, azt kérte, hogy a kirakatüvegre olaszosan fessék rá a nevét, elöl keresztnevének kezdőbetűjével. Azt szeretné, hogy a feliratot az utcáról is meg bentről, a boltból is el lehessen olvasni. Segíts a címfestőnek! Mit kell tennie, hogy teljesíthesse a fagylaltos kívánságát? A nevet függőlegesen kell felfesteni!

Tükrözés mozgatással 89. Végezd el a tükrözést másolópapírral!

90. Az öreg, elhagyatott, kísértetekkel teli házat ábrázoló kép tükörképén 10 apró hiba található. Melyek ezek?

26

Tengelyes tükrözés 91. Végezd el a tükrözést másolópapírral! a)

b)

c)

C C t t

A

B t B

A

92. Párokat rajzoltunk az egyforma hatszögekből. Tükörképe-e a kék hatszögnek a fehér? Ha igen, rajzold be a tengelyt!

A A

B

A



nem tükörkép

B

D C

C

D D

C F

E E

G E

F F G nem tükörkép



93. Keresd meg az ábrán az összes olyan háromszöget, amelyet tengelyes tükrözéssel kaphattunk meg a fekete háromszögből! Mindegyik esetben keresd meg a tükrözés tengelyét! Jelöld meg a háromszöget és a tengelyt azonos színnel vagy betűvel! Egyet az ábrán példaként bejelöltünk.

e

f a

a b

d c b

d

f e

c 27

Tengelyes tükrözés 94. Az ábrákon a szaggatott vonal fölötti rajzok mutatják, hogyan hajtogattuk össze a papírlapot. Az összehajtogatás után mintákat vágtunk ki. A kivágott részeket a befeketítés jelöli. A szaggatott vonal alatti rajzok közül válaszd ki, melyik mutatja a vágás után kihajtott lap mintáját! a)

A

B

C

B

C

D

b)

A

D

95. Egyetlen violinkulcsból szép mintát készíthetsz a másolópapíron, ha felváltva, hol az egyik, hol a másik egyenesre tükrözöd.

:::

28

t1

t2

:::

Tengelyes tükrözés 96. Válaszd ki az alábbi minták mindegyikéből azt a legkisebb részletet (alapelemet), amelynek ismételgetésével az egész mintát megkaphatjuk! Válaszd ki azokat a mintákat, amelyeket az alapelemből tengelyes tükrözések egymás utáni elvégzésével kaphatsz meg a violinkulcsos sormintához hasonlóan! 1.

2.

3.

1.

t2 t1

2.

t1

t2

3.

Bronz szíjvégdíszek hun–avar sírokból

Szűcs- és szűrszabóhímzések a 19. századból

A bronz szíjvégek esetében: 1. A kijelölt részlet eltolásával épül fel a sor, nem lehet csak tengelyes tükrözéssel előállítani. 2. A 2. és 3. minta a berajzolt t1 és t2 tengelyekre való tengelyes tükrözésekkel megkaphatók. A hímzések esetében: 1., 2. A minta nem tükrös, a kijelölt rész eltolásával rajzolható meg. 3. Mindegyik csigavonal egyformán tekeredik, így nem lehetnek egymás tükörképei. A kijelölt minta eltolásával folytatható a minta.

A tengelyes tükrözés tulajdonságai 97. Keress az ábrán egymásnak megfelelő részleteket! Írd fel a betűjelével a megadott alakzatok megfelelőjét! Gyűjts magad is megfelelő alakzatokat! Színezéssel is kiemelheted azokat! A pont J pont BH szakasz KI szakasz

G

F

E

H A

N M

DO B

t

C

L

DEB FH E  H BC ON szakasz C pont I KN  ABEH négyszög KLM 

ON I  M KN  KI C DE szakasz C pont BH E  JI N K négyszög H GF 

K

I J

29

Tengelyes tükrözés 98. Képet és tükörképét látod együtt. Egy-egy részletet beszíneztünk. Színezd be a megfelelőjét!

M. C. Escher grafikájának felhasználásával

A megfelelő alakzat megkeresésében segíthet a másolópapír.

Tükrözés pontonként 99. Tükrözd a kutyát az adott tengelyre! a)

b)

t

30

t

c)

t

Tengelyes tükrözés d)

t

e)

t

f)

t

g)

h)

t t 100. Két négyzetet adtunk meg a koordináta-rendszerben. Az ABCD négyzetből tengelyes tükrözéssel kaptuk a másikat. Add meg a tükörtengelyt, és betűzd meg az A, B , C , D csúcsok képeit! a)

y

C (4; 4)

D (0; 4)

t D (8; 4) C (12; 4)

y D

b)

D (−2; 2) A (2; 2) 

1 A(0; 0) 1

x

1

A

B (4; 0) B (8; 0) A (12; 0) 



C



Bt x

1

B (2; −2)

C  (−2; −2)

101. Az ABCD négyszöget tengelyesen tükröztük különböző tengelyekre. Mind a három ábrán megadtuk az egyik csúcs képét, és ezt P -vel jelöltük. Rajzold be mindegyik esetben a tengelyt, és a tükörkép többi csúcsának a helyét is!

y

t

1



P = A A1

D

C

B B

C

D

x

C



y

D



1 1

P = B

A B

A

D

t x

y

P = D

C

102. Ebbe a gépbe a pontok jelzőszámait dobjuk be. A gép az első jelzőszámot az ellentettjére változtatja, a másodikat nem változtatja meg. A gép szabályát röviden így írhatjuk le: (x ; y ) → (−x ; y ). Itt x és y jelenti a bedobott pont első, illetve második jelzőszámát.

C

t

1 1

A

D

B B

C

A

x

(x ; y ) → (−x ; y )

a) Dobjunk be a gépbe néhány pontot! Írd a táblázatba a pont párjának a jelzőszámait, majd ábrázold koordináta-rendszerben az eredeti pontokat és a képpontokat is! 31

Tengelyes tükrözés

A(1; 3) B (−5; 4) C (4; −3) D (0; 2) A (−1; 3) B  (5; 4) C  (−4; −3) D  (0; 2)

eredeti képpont

b) A gépbe most a házikó jellegzetes pontjait (A, B , C , : : : ) dobtuk be. Rajzold meg az új házikót! Az

y tengelyre történő tükrözésről van szó.

103. A sík pontjai ezt az utasítást kapták: Fussatok a megadott (piros) egyeneshez a lehető legrövidebb úton! Állapítsátok meg, mekkora utat tettetek meg! Ugyanazon az úton fussatok vissza kétszer annyit! Az A pont az A -be, a B pont a B  -be került. a) Rajzold meg a kutya képét! Az e egyenes a megadott egyenes.

A



 B B A

B

E (1; 2) F (−2; 5) G (3; 0) E (−1; 2) F (2; 5) G (−3; 0) y

B C

C A

A

1 0

x

1

b) Most az f egyenes a megadott egyenes. Rajzold meg a kutya képét, ha a szabály változatlan!

e c) Keress egymásnak megfelelő pontokat az a) és a b) feladatok ábráin! d) Keress egymásnak megfelelő szakaszokat az a) és a b) feladatok ábráin! Hasonlítsd össze azokat! e) Keress egymásnak megfelelő szögeket az a) és a b) feladatok ábráin! Hasonlítsd össze azokat!

f

A szakaszok hossza és a szögek nagysága is változhat, ha a szabály változatlan.

104. A mozgatógépekbe a pontok jelzőszáy mait dobjuk be. A gépre ráírtuk, hogy milyen szabály szerint működik. Hogyan mozgatja el a gép a kiskocsit? Próbáld ki más alakzatokkal is! Használj színes ceruzát! Melyik gép mozgatását tudnád másolópapírral követni? Rajzold másolópapírra a kiskocsit, és mozgasd el a képébe! Mit tapasztalsz? Mindkét gép eltolást jelent, a mozgás másolópapírral követhető. a) eltolás b) (x ; y ) → (x + 3; y + 3)

32

a b

(x ; y ) → (x − 2; y + 1)

x

eltolás

Tengelyes tükrözés Szimmetrikus alakzatok 105. Melyik képnek van szimmetriatengelye, és hány? A rajzokon a : : : azt jelöli, hogy a minta vég nélkül folytatódik. a)

Nincs.

::: b)

::: c)

Nincs.

d)

Nincs.

Van, 3

e)

:::

::: Végtelen sok van.

f)

:::

:::

Végtelen sok van.

106. Egy ábra színezése is lehet szimmetrikus. Színezd ki az ábrát (ha lehet) úgy, hogy a kiszínezett ábrának a) pontosan egy szimmetriab) pontosan két szimmetriac) pontosan három szimtengelye legyen; tengelye legyen; metriatengelye legyen;

Nem lehet.

33

Tengelyes tükrözés d) pontosan négy szimmetria- e) ne legyen szimmetriatentengelye legyen; gelye!

Jóllehet, ez az ábra bármiféle színezés után is szimmetrikus marad, de a színek szimmetriájáról mégis beszélhetünk. A gyerekek szeretik ezt a feladatot, és teret ad a kreativitásnak. 107. Honfoglalás kori szíjvégek, övcsatok és egyéb ruhadíszek rajzait gyűjtöttük ide. Melyik minta tengelyesen szimmetrikus? Rajzold be a tengelyét! Melyiknek van több tengelye?

5 tengelye van. Nincs tengelye. Nincs tengelye. Nincs tengelye.

Nincs tengelye.

1 tengelye van.

2 tengelye van, de elég pontatlan.

108. Helyezd el a nyomtatott nagybetűket egy ilyen halmazábrán! A: van legalább 1 tükörtengelye B : több tükörtengelye is van C : nyomtatott nagybetűk

ABCDEFGHIJKLM NOPQRSTUVXYZ

34

4 tengelye van. 3 tengelye van.

1 tengelye van.

F G J K L N

A

7 tengelye van.

C A B

I O B H X C D E

Y

M

V U T

P Q R S Z

Tengelyes tükrözés 109. Balázs tükrös alakzatokat akart rajzolni. Némelyik nem sikerült. Javítsd a rossz rajzokat! Fogalmazd meg minden esetben, hogy a tükrözés melyik tulajdonságát sértette meg Balázs! A tükrös rajzokba pirossal rajzold be a tengelyt!

távolságtartó távolságtartó

szögtartó

szögtartó

távolságtartó

szögtartó

szögtartó

szögtartó

Mindegyik hibás esetben megsértette a távolság- és a szögtartást is.

110. A tükrös alakzatokat színezd be! Rajzold meg a tengelyüket!

35

Tengelyes tükrözés 111. Egy galambdúcot díszít ez a szép szimmetrikus faragás. Rajzold be a tengelyeit! Melyik az a legkisebb részlete, amelyet egymás után tükrözve megkaphatjuk az egész sort?

t1

t2

112. Megadtuk egy négyszög három csúcspontjának jelzőszámait: A(2; 2), B (3; 5), C (7; 4). Határozd meg a négyszög negyedik csúcspontját úgy, hogy a négyszög tükrös legyen! Keress több megoldást! Másolópapírral lehet megszerkeszteni a hiányzó csúcsokat. 113. Megadtuk egy négyszög három csúcsának jelzőszámait: A(3; 4), B (5; 6), C (7; 4). Határozd meg a négyszög negyedik csúcspontját úgy, hogy b) négy tengelye legyen! (5; 2) a) egy tengelye legyen, például: (5; 0)

Tükörkép szerkesztése 114. Szerkeszd meg az adott alakzat tükörképét! A tengelyt minden feladatban pirossal rajzoltuk meg. a) b) A két végpontot tükrözzük, c) A sugár két végpontját tükrözzük, és és a képeket összekötjük.

A

a

t d) A csúcsokat tükrözzük, majd

t

e)

C

t A

C



B

B

O

A

t

O

A

a képeket összekötjük.



A

a

A

A

a középpont képe köré kört rajzolunk.



t C C

 A

B

B

P

f)

t

Q

Q B  P

A szög csúcsát tükrözzük, illetve a szárairól egy-egy pontot.

36

B 

Tengelyes tükrözés 115. Tükrözd a téglalapot a) az egyik oldalegyenesére,

b) az egyik átlójára, Erősítsük meg a tapasztalatunkat, a téglalap átlója nem szimmetriatengely.

c) a

DE egyenesre, ha AE = AD , C D

A

d) a

PQ egyenesre!

P

B

E

Q

116. Szerkeszd meg a kijelölt pontok mindegyikének távolságát a vastag vonallal rajzolt alakzattól! a)

b)

B A

A

B c)

d)

B C

C

A B

117. Állíts merőlegeseket az a megadott pontokból!

e egyenesre

N

M

A e

O 37

Tengelyes tükrözés Egyszerű szimmetrikus alakzatok 118. Rajzolj a füzetedbe egy pontot, jelöld O -val! a) Színezd sárgára az O -tól legfelb) Színezd kékre az O -tól legalább 1 cm-re, de legjebb 2 cm-re lévő pontokat! Mifeljebb 3 cm-re lévő pontokat! Mi a kékre színelyen alakzat adódott? körlemez zett alakzat neve? körgyűrű

Or =2

cm

O1

cm 3c m

c) Az a) és b) feladatot egy ábrában megrajzolva zöld lesz a sík egy része. Mi a zölddel jelölt alakzat neve, és mit mondhatunk a zöld pontok és az O pont távolságáról? Körgyűrű (zöld), a zöld pontok a 0-tól legalább 1 cm-re, legfeljebb 2 cm-re vannak.

119. Rajzolj a füzetedbe egy pontot, majd szerkessz két olyan pontot, amelyek ettől 3 cm-re, egymástól pedig 2 cm-re vannak! Egy 3 cm sugarú kör tetszőleges pontjából kiindulva illesszünk a körbe egy 2 cm hosszú húrt.

120. A megjelölt szakaszok közül melyik sugara, húrja, átmérője a körnek?

a) sugár: AO , OC , húr: BC , AB átmérő: AB

38

OB

b) sugár: OB , OD húr: AB , BD , AC átmérő: BD

c) sugár: OA, OB , húr: BD , AC átmérő: BD

OC , OD

Tengelyes tükrözés 121. Melyik alakzat körcikk, melyik körszelet, és melyik egyik sem ezek közül? Körcikk:

A, B , K , I , J ; körszelet: A, D , E , I .

122. A rácsnégyzet területe az egység. Hány egység az alakzatok területe?

123. Az ábrák 2 cm sugarú körökből kivágott körcikkekből készültek. Melyik alakzat területe nagyobb? Az A alakzaté.

124. Szerkeszd meg a megjelölt húrok és a középpont távolságát!

125. Szerkessz egy 3 cm sugarú körbe a középponttól 2 cm-re lévő húrt! Végtelen sok ilyen húr szerkeszthető, mindegyik érintője lesz egy 2 cm sugarú körnek, amely koncentrikus a 3 cm sugarú körrel.

39

Tengelyes tükrözés 126. Szerkeszd meg a két húr felezőmerőlegesét! Mit vettél észre?

A húrok felezőmerőlegesei mindig a kör középpontjában metszik egymást.

127. Szerkeszd meg a három húr felezőmerőlegesét! Mit vettél észre?

Éppen a kör középpontájban találkoznak.

128. Szerkeszd meg a körívek középpontját! a)

b)

c)

d)

129. a) Hány olyan húr szerkeszthető, amely átmegy a P ponton? Végtelen sok. b) Szerkeszd meg a P ponton átmenő leghosszabb húrt! Az átmérő. c) Szerkeszd meg azt a húrt, amelynek a P pont a felezőpontja!

40

Tengelyes tükrözés Szimmetriatengelyek szerkesztése 130. a) Másold át az ábrákat másolópapírra! Mindegyik ábrához új papírlapot használj! Csupán a papírlap hajtogatásával állítsd elő mindegyik rajz szimmetriatengelyét!

A körvonalat önmagára hajtjuk.

Nincs tengelye.

A húrt önmagára hajtjuk.

b b

Nincs tengelye.

Egy szög két szárát látjuk az ábrán. Az egyiket a másikra hajtva kapjuk a tengelyt.

a

a

A b szakaszt önmagára hajtjuk.

A b szakasz egyenese a tengely.

Egymásra hajtjuk a szögszárakat.

Úgy hajtjuk a lapot, hogy a kör és az egyenes is önmagára kerüljön.

b) Szerkeszd meg a szimmetriatengelyt az ábrák mindegyikéhez! 41

Tengelyes tükrözés Jancsinak a háromszöget kellett tükröznie a piros tengelyre. A lapra azonban tintapacák estek. Jancsi mégis meg tudta szerkeszteni a háromszög tükörképét. Végezd el te is a szerkesztést!

131.

Minden oldalról ki kell választani 2 pontot, az ezek tükörképeit összekötő egyenesek a tükörháromszög oldalai.

C

a) 132. Tibi az ABC háromszöget tükrözte egy-egy tengelyre. Az a), b) és c) feladatok mindegyikében megadtuk egy-egy csúcs képét is. Keresd meg a másik két csúcs tükörképét! Először

A

C

megszerkesztjük a tükörtengelyt, majd tükrözzük a másik két csúcsot.

A t

B

C

A

B

B

A

c)

B

C

A

t

t

C

A

B

133. Szerkeszd meg az alakzat tükörképét, ha tudjuk, hogy az b)

a)

A

A

A pont tükörképe az A pont!



A

O

  A

O t

42

B

C

b)

t

Tengelyes tükrözés 134. Folytasd a rajzot úgy, hogy a hatszög tengelyesen tükrös képét kapd! Megadtuk az egyik csúcs tükörképét. A képpontot vesszős betűvel jelöltük. Pirossal rajzold meg a tükörtengelyt! a)

A

A F E

B B

C

C D

F E

t

D

b)

BB 

A F

D



C C

E 135. Megadtuk a síkban a P (−2; 3) és a Q (4; 3) pontokat. Írd a felsorolt pontokat a táblázat megfelelő helyére! A(0; 7) B (7; 0) C (−5; 1) D (1; −5) E (−1; 2) F (2; 1)

D

F

A

E G (1; 7) H (1; −6)

Közelebb van a P pont- Közelebb van a Q pont- A P ponttól való távolsága egyenlő a hoz, mint a Q ponthoz. hoz, mint a P ponthoz. Q ponttól való távolságával.

A C E

B F

D G H

Gyűjts a táblázat mindegyik részébe további pontokat! 136. Szerkeszd meg minden oldal felezőmerőlegesét!

Tapasztalatokat gyűjthetünk arról, hogy egy háromszög oldalfelező merőlegesei mindig egy ponton mennek át, a négyszögnél pedig ez általában nem teljesül. 43

Tengelyes tükrözés 137. Keress pontokat a koordináta-rendszerben a táblázatnak megfelelően! Néhány pontot már beírtunk. Gyűjts továbbiakat! Közelebb vannak az x ten- Közelebb vannak az y ten- A két tengelytől egyenlő tágelyhez, mint az y tengely- gelyhez, mint az x tengely- volságra vannak. hez. hez. (7; 4),

(−5; 1)

A beszínezett tartomány pontjai felelnek meg.

(0; 3),

y

x

(2; −4)

y

A beszínezett pontok felelnek meg.

(3; −3),

x

(−5; −5)

Általánosítása: x = y vagy

röviden: |x | = |y |.

x = −y ,

138. Szerkeszd meg a sokszögek minden szögéhez a szögfelezőt! Előkészítjük a gondolatot, hogy a háromszög szögfelezői mindig egy ponton mennek át, a négyszög szögfelezői pedig általában nem.

139. Adottak A, B pontok és az e egyenes! Színezd az e egyenes pontjai közül pirosra azokat, amelyek Atól és B -től egyenlő távolságra vannak, kékre azokat, amelyek A-hoz vannak közelebb, és zöldre azokat, amelyek B -hez vannak közelebb! 140. Adott az

e B A

a és a b egyenes.

A piros pontokat az egyenesek által alkotott szögek szögfelezői metszik ki az f egyenesből.

a b

f Egy f egyenes mindkettőt metszi. Az f egyenes pontjai közül színezd • pirosra azokat, amelyek ugyanolyan távolságra vannak az a egyenestől, mint a b egyenestől; • kékre azokat, amelyek közelebb vannak b -hez, mint a -hoz; • zöldre azokat, amelyek közelebb vannak a -hoz, mint b-hez! 44

Tengelyes tükrözés 141. Kati, Laci és Orsi három jó barát, lakóhelyüket megjelöltük a térképen. Ha kettesben akarnak találkozni, akkor mindig olyan helyet választanak, amely mindkettőjük lakásától egyforma messze van. Persze csak a háztömbök közötti utakon járhatnak. a) Jelöld pirossal, hol találkozhat Kati és Laci! b) Jelöld kékkel, hol találkozhat Kati és Orsi! c) Jelöld zölddel, hol találkozhat Orsi és Laci! d) Van-e olyan hely, amely mind a három jó baráttól egyforma messze esik? Van egy ilyen pont, két és fél

O K

háztömbnyi távolságra mind a három jó baráttól.

L 142. Az ábrán egy térképvázlat látható a falu néhány fontosabb épületével. Ami a valóságban 1 km, az az ábrán 1 cm. Az országutat az s egyenes jelöli, az iskolát az I pont, az óvodát az O pont, I O a postát pedig a P pont. Rajzolj a füzetedbe te is hasonló vázlatot, majd keresd meg, hol lehet a bolt (a B pont), ha tudjuk, hogy: B – az országúttól legfeljebb 1 km-re van; P s – az iskolától ugyanolyan messze van, mint a postától; – az óvodától éppen 2 km távolságra van! Készíts különböző elrendezésben térképvázlatokat, és azokon is szerkeszd meg a B pont helyét! A feltételeket színezzük át a szövegben különböző színekkel, és egymástól függetlenül elégítsük ki azokat. Ezután keressük meg a különböző színű ponthalmazok közös elemeit.

143. Adott egy e egyenes és rajta kívül egy F pont. Szerkessz olyan pontokat, amelyek az egyenestől is, a ponttól is 3 cm-re vannak! Szerkessz olyanokat is, amelyek az egyenestől és a ponttól is 2 cm-re, 5 cm-re, 6 cm-re vannak! Szerkessz még olyan tulajdonságú pontokat, amelyek az egyenestől is, és a ponttól is egyenlő távolságra vannak! A megoldást mindegyik esetben egy kör és egy egyenespár közös pontjai adják. Az ilyen pontok száma 0, 1, 2 lehet, attól függően, hogy F milyen messze van az egyenestől.

Pl.: Ha F az e -től 6 cm távolságra van, akkor pontosan 1 db pont van, amely az egyenestől és az F ponttól is 3 cm távolságra van; 2 pont van, amelyik mindkét alakzattól 5 cm-re van; 2 pont van mindkettőtől 6 cm-re; nincs olyan pont, amely mindkettőtől 2 cm-re lenne.

Azt javasoljuk, hogy a pontok szerkesztése előtt a gyerekek készítsenek vázlatrajzokat, hogy el tudják képzelni, hogyan is állhatnak elő a különböző esetek.

45

Tengelyes tükrözés 144. a) Hol lehet a hajó, ha tudjuk, hogy a parttól 3 km-nél nincs messzebb? (A rajzon 1 cm 1 km-t jelent.) Színezd a hajó lehetséges helyét zölddel! b) Hol lehet a hajó, ha tudjuk, hogy a kikötőtől 3 kmnél nincs messzebb? Színezd a hajó lehetséges helyét pirossal! c) Hol lehet a hajó, ha tudjuk, hogy ugyanolyan távol van a kikötőtől, mint a kilátótoronytól? Színezd a hajó lehetséges helyét kékkel! A felezőmerőleges

kilátótorony

kikö

tő sziget

vízbe eső fele kék.

d) Hol lehet a hajó, ha tudjuk, hogy a sziget partjától éppen 1 km távolságra van? Színezd a hajó lehetséges helyét sárgával! Sárga körvonal. e) Tudjuk, hogy a hajóra a c) és a d) feltételek egyszerre teljesülnek, tehát hogy a hajó ugyanolyan távol van a kikötőtől, mint a kilátótoronytól, és éppen 1 km-re van a sziget partjától. Jelöld meg csillaggal a hajó lehetséges tartózkodási helyeit! 145. a) Ezen a térképvázlaton s jelenti a falu főutcáját, az I pont az iskolát, az O pont az óvodát. Hol lehet most Matyi, ha annyit tudunk róla, hogy ugyanolyan messze van az iskolától, mint az óvodától, és a főutcától éppen 2 méterre áll. A rajzon 1 cm a valóságban 1 métert jelent.

O OI

I

fel

Két feltételnek kell eleget tenni! Egymástól függetlenül elégítsük ki a két feltételt, és a kapott ponthalmazokat jelöljük színessel is. Ugyanezzel a színnel színezzük be a szövegben is a megfelelő feltételt! Fontos, hogy a gyerekek mindkét megoldást megtalálják.

b) Egy másik faluban így helyezkedik el az iskola és az óvoda a főutcához képest. Itt is szerkeszd meg Matyi helyét az előző feltétel szerint!

s ez z a k őm a s erő z leg es

s e

O s I

46

Tengelyes tükrözés c) Szerkeszd meg Matyi helyét ezen a térképvázlaton!

I

Ebben az elrendezésben nincs megfelelő pont.

O

Ezzel a feladattal is előkészítjük a diszkussziót. Fontos megérteni, hogy az adatok felvételétől függ a megoldások száma.

s 146. Szerkessz téglalapot! Adott a téglalap két csúcsa (K és L) és egyik oldalegyenese (e ). Először készítsünk vázlatot.

K

El kell képzelni, milyen lesz, ha készen lesz. Merőlegest kell állítani K -ban e -re (f egyenes), L-ből e -re, majd L-en át f -re.

e

f

L

147. Szerkessz négyzetet! Megadtuk az egyik oldalegyenesét (e ) és a kerületén még két pontot (K és L).

K

és

L lehetnek a négyzetnek szemközti vagy szomszédos oldalpárján.

a)

b)

e

K a L

e

a

Ka

a

f

f

L

K -ból (az egyeneshez közelebbi pontból) e -re, legyen ez az f egyenes. Bocsássunk L-ből merőlegeseket e -re és f -re is. A hosszabbik merőleges szakasz adja meg a négyzet oldaBocsássunk merőlegest

lának hosszát.

B

e ely

A

L

ten g

148. Ezen a mezőn három kút van. Minden állat a hozzá legközelebb lévő kúthoz megy inni. Jelöljék a kutak helyét az A, B és C pontok! Színezd be azt a részt, ahonnan az állatok a C kúthoz járnak inni!

b) Az L-ből az e -re bocsátott merőleges hosszabb, pont az e -vel szemközti oldalon van.

BC

a) Az L-ből az f -re bocsátott merőleges hosszabb, K és L szemközti oldalak pontjai.

AC C

e teng

lye

Ezek a pontok közelebb vannak C -hez, mint Ahoz vagy B -hez.

47

Tengelyes tükrözés 149. Vedd fel a síkon az A, a B és a P pontot! Színezd a sík azon pontjait, amelyek közelebb vannak a P ponthoz, mint az A vagy a B pont bármelyikéhez!

P

Azok a pontok, amelyek közelebb vannak P -hez, mint A-hoz, egy félsík pontjai. A félsík határa (A és P szimmetriatengelye) nem tartozik a ponthalmazhoz.

B P sz

AP

Azok a pontok, amelyek közelebb vannak P -hez, mint B -hez, szintén egy félsík pontjai. A két félsík közös részében vannak a keresett pontok.

n te ria et m im sz

imm etria

A

teng e

B

lye

ge e ly

B

150. Szerkessz négyzetet! A csúcsai mind ezen a körön vannak. Közülük egyet ismerünk, az A csúcsot. Meg kell határozni a kör közeppontját. Ez két tetszőleges húr felező merőlegesének metszéspontja. Ezután az OA egyenes és a kör metszéspontja megadja az csúcsot (C ). Az

AC

átló felezőmerőlegese metszi ki a körvonalból

151. A térképvázlaton a betűk jelentése: p – patak, H – horgászbolt, F – fagyizó, 1 cm.

M

O

A-val szemközti

B és D csúcsokat.

A

C

D

– mozi. Ami a valóságban 100 m, az a térképen

Itt lehetnek a fák

H M

F

p

Egy akadályverseny alkalmával a gyerekek néhány feladatot kaptak, amelyek egy-egy fa tövében voltak elrejtve. A fák helyéről ezeket lehetett tudni: a pataktól pontosan 100 méterre, a fagyizótól pedig 300 méterre találhatod őket, közelebb a horgászbolthoz, mint a mozihoz. Segítsetek a gyerekeknek megtalálni a térképen a fákat! Rajzoljatok különféle térképvázlatokat, és vizsgáljátok meg, melyiken hányféle megoldása van a feladatnak! Készítsetek olyan vázlatot is, amelyen nincs megoldása a feladatnak! 48

Tengelyes tükrözés 152. Szerkessz kört úgy, hogy átmenjen a) az

A ponton,

b) az

A és a B ponton, A

A O2 O1

O2

O3

O1

Végtelen sok megoldás van, az AB húr felezőmerőlegesének bármely pontja megfelel a kör középpontjának.

Végtelen sok megoldás van.

c) az

A, a B és a C

pontokon,

B

d) az

A, a B , a C

B

és a

B A

A C Egyetlen megoldás van, a három szimmetriatengely (szakaszfelező merőleges) egy ponton megy át. (Most még csak tapasztalatnak szánjuk ezt a tényt, nem csinálunk korrekt bizonyítást.)

D pontokon!

C

D

Nincs megoldás. A szimmetriatengelyek nem egy pontban találkoznak, ezért nincs megfelelő pont, amely a kör középpontja lehetne.

Hány megoldást találtál az egyes esetekben? 153. Adott egy kör és a belsejében egy pont. Szerkessz olyan húrt a körben, amelyet az adott pont felez! Hány ilyen húrt lehet szerkeszteni?

P

Ha a megadott P pont felezi a húrt, akkor PO merőleges a húrra. Ezt a tényt felhasználva végezzük a szerkesztést. Egyetlen megoldás van, kivéve azt az esetet, amikor P éppen O -ba esik, ekkor a kör bármelyik átmérője megfelel a feltételnek.

154. Egy négyzet két oldalának felezőpontjait összekötöttük, így egy FG szakaszt kaptunk. Vedd fel az FG szakaszt, és szerkeszd meg a négyzetet! Két eset van. 1.

O

F

◦

45

G

F és G pontok szomszédos oldalak felezőpontjai. Vázlat: Az A csúcsot megkapjuk, ha az FG szakasz mindkét végpontjába 45◦ os szöget szerkesztünk (vagy felmérünk) a szakaszra.

49

Tengelyes tükrözés A

Eljárhatunk másképp is, szögszerkesztés nélkül:

FG szakasz felezőmerőlegesére a Q pontból kiindulva felmérjük a szakasz felét, ezzel az A csúcshoz jutunk.

G

Ekkor az oldalak iránya és nagysága már ismert, a szerkesztés befejezhető.

Q

F

C

2. Az F és a G pontok a szemközti oldalak felezőpontjai. Az FG szakasz felét kell felmérni az FG -re merőleges egyenesekre a felezőpontból kiindulva.

D

a 2

G

F

B A

Két alakzat együttes szimmetriái 155. a) Szerkessz a Q ponton átmenő szelőket! b) Szerkeszd meg a Q ponton átmenő átmérő egyenesét! c) Szerkeszd meg a kört a Q pontban érintő egyenest!

156. Szerkeszd meg a kör a)

e egyenessel párhuzamos érintőit! b)

c)

O -ból e -re merőleges átmérőt szerkesztünk, annak végpontjaiban az átmérőre merőlegeseket állítunk. 157. Rajzolj egy egyenest, és jelöld meg egy pontját! Szerkessz olyan 3 cm sugarú kört, amely az egyenest a megjelölt pontban érinti! Hány megoldás van? 2 megoldás van. Az adott pontban az egyenesre merőlegest állítunk, és erre felmérjük a 3 cm-t, a kör sugarát.

50

Tengelyes tükrözés 158. Vegyél fel egy 3 cm sugarú kört! Jelölj ki rajta két pontot! Szerkessz a körhöz érintőket a kijelölt pontokban! Vizsgáld meg a két érintőegyenesből és a körből álló alakzat szimmetriaviszonyait!

t

t

Az együttes alakzat mindig tengelyesen szimmetrikus a két választott pont szakaszfelező merőlegesére.

159. Szerkessz egymást érintő köröket a megadott sugarakkal! Mérd meg az érintőkörök középpontjainak távolságát, majd töltsd ki a táblázatot! Az egyik A másik A középpontok távolsága, ha A középpontok távolsága, ha az kör sugara kör sugara az érintő elválasztja a két kört érintő nem választja el a két kört a)

4 cm

2 cm

6 cm

2 cm

b)

3 cm

2 cm

5 cm

1 cm

c)

4 cm

4 cm

8 cm

0 cm

a +b

|a − b |

d)

a

b

160. Folytasd a minták rajzolását! Meg lehet-e rajzolni a mintát a ceruza felemelése nélkül úgy, hogy minden vonaldarabon csak egyszer szabad végigmenni? a) Lehet.

b) Nem lehet.

51

Tengelyes tükrözés Szögek összehasonlítása, szerkesztése 161. Csoportosítsd a szögeket fajtájuk szerint!

A: konvex szögek  ,  ,  , " , ' , , , , C : hegyesszögek  ,  ,

D : tompaszögek ' , ,

B : konkáv szögek  E : homorú szögek 

162. A 161. feladatban szereplő szögek közül válassz ki kettőt, amelyeknek az összege b) konkáv szög; Például:  + ,  + a) kisebb a derékszögnél; Például:  +

c) összege nagyobb a teljesszögnél! Például:  +  Keress több megoldást, és másolópapíron egymás mellé rajzolva a két-két szöget, ellenőrizd a válaszaidat! 163. a) Mérd meg a megjelölt szögeket! A szögek nagyságát fejezd ki szögperc egységben is! b) Az ábrán jelöld azonos színnel az egyenlő szögeket!

 = 28◦ = 1680  = 152◦ = 9120

 = 66◦ = 3960  = 90◦ = 5400 " = 114◦ = 6840

 = 63◦ = 3780  = 120◦ = 7200 = 117◦ = 7020  = 60◦ = 3600

164. Szögmásolással szerkessz ekkora szögeket a füzetedben! A szögmásolás pontosságát ellenőrizd méréssel!

52

Tengelyes tükrözés 165. Szögmérő segítségével rajzold meg a szöget, majd szerkeszd meg a szögfelezőjét! Másolópapíron hajtogatással ellenőrizd a szerkesztés pontosságát. a) 68◦

b) 126◦

c) 25◦

d) 310◦

166. a) Mérd meg a körcikkek középponti szögét!

b) Rajzlapból vágd ki a körcikkeket, majd hajlítsd meg őket úgy, hogy tölcsérformát kapj! Melyik tölcsér a legmagasabb? Az A, mert annak a legkisebb a középponti szöge. 167. Másold át szerkesztéssel az ábrán látható szögeket, és szerkeszd meg a szögfelezőjüket!

168. Rajzolj a füzetbe egy hegyesszöget! Szerkeszd meg a szög felét, negyedét, nyolcadát! 169. Szerkeszd meg egy tompaszög felét, háromnegyedét, hétnyolcadát! 170. Adottak  és  szögek az ábra szerint. Szerkeszd meg a(z)

 +  szöget;  +  szöget; c)

a)

2

2

b) 2 +  szöget;

 d) 3 +

2

szöget!





A 170. feladat a szögfelezés, illetve szögmásolás gyakorlására szolgál. 171. Szerkessz az ábrán megadott két szög segítségével 10◦ -os szöget, illetve 58◦ -os szöget! A kisebb szöget a nagyobb belsejébe másolva a különbség 20◦ . Az ezt felező egyenes a 68◦ -os szöget egy 10◦ -os és egy 58◦ -os szögre osztja fel.

172. Szerkeszd meg azt a két szöget, amelyeknek az összege három derékszöggel, különbsége pedig az egyenesszöggel egyenlő!  = 225◦ ,  = 45◦ . 53

Tengelyes tükrözés 173. Mérj és számolj! Melyik szögre, illetve szögekre gondolhattunk a három közül, ha tudjuk, hogy







 = 155◦,  = 25◦,  = 65◦ a) b) c) d) e) f)

az összegük egyenesszög;  és  ,  +  = 180◦ a különbségük derékszög;  és  ,  −  = 90◦ a háromszorosa homorú szög;  , 3 ·  = 195◦ az összegük homorú szög;  és  ,  +  = 220◦ ha az egyik négyszereséhez hozzáadjuk a másikat, tompaszöget kapunk;  és  , 4·  +  = 165◦ az összegük fele tompaszög?  és  , ( +  ) : 2 = 110◦

Először csak ránézésre becsüljük meg a kérdésekre a válaszokat. Ezután lehet szerkesztéssel vagy méréssel megoldani a feladatot. Ha tilos lenne mérni, és a szerkesztéshez sem lennének eszközeink, akkor csupán másolópapír segítségével is válaszolhatnánk. 174. Egy 4 cm sugarú körbe szerkessz 135◦ -os és 225◦ -os középponti szöget! 175. Szögmérő használata nélkül állapítsd meg, hogy a) 45◦ -nál nagyobb-e az szög! Nem.



b) 270◦ nagyobb-e, vagy a  c) 75◦ nagyobb-e, vagy a  szög háromszorosa! A 270◦ . szög fele! A  szög fele.

45◦ -os szöget kell szerkeszteni.





 176. Szerkessz

Elég a  szöget a 675◦ kétszeresével összehasonlítani: 2 · 675 = 135◦ . Továbbá 135◦ = 90◦ + 45◦ .

A 270◦ a 90◦ háromszorosa, < 90◦ , tehát a háromszorosa kevesebb, mint 270◦ .

◦

◦

◦

◦

a) 315 = 180 + 90 + 45 ,



b)

135 2

◦

=

90◦ + 45◦ nagyságú szöget! 2

177. Szerkeszd meg az ábrákat! Mindegyik oldal hossza 25 cm. a)

54

b)

c)

Tengelyes tükrözés 178. Szerkessz olyan tengelyesen szimmetrikus négyszöget, amely négy darab ilyen háromszögből áll! Keress többféle megoldást!

179. Szerkessz négyszöget a) két darab ilyen háromszögből;

b) három darab ilyen háromszögből!

55

Számelmélet

Számelmélet Ritmusok, periódusok 180. Totó – Karikázd be a helyes választ! a) Egy matematikakönyv lapjainak számozása ilyen. Szemközti lap lesz-e a 99. és a 100. oldal? A) igen B) nem C) nem lehet tudni b) Most március 1. van. Milyen évszak lesz 25 hónap múlva? A) tavasz B) nyár C) ősz c) Milyen hangszeren játszik a 35. muzsikáló manó, ha a sorrendjük nem változik a mintán? Karikázd be a megfelelő válasz betűjelét!

A) gitáron B) hegedűn C) zongorán d) Egy női cipőbolt kirakatának üvegére szabályosan ismételgetve matricákat ragasztottak. Milyen lesz a 60. cipő a sorban? Válaszd ki a megfelelő cipő betűjelét!

::: A) B) C) D) e) Az informatika-tanárnő a gyerekek és a saját egészsége védelmében ezt a hat ütemből álló tornagyakorlatot szokta a gyerekekkel együtt elvégezni. Az óra közepén körülbelül 5-6 percig ismételgetik a mozgássort.

Karemelés Előrehajlás Oldalra dőlés Tenyérnyomás Csuklótorna Bokatorna Mi lesz a mozgássor 77. eleme? Válaszd ki a megfelelő válasz betűjelét! D) Az előzőek közül egyik sem. A) karemelés B) előrehajlás C) tenyérnyomás 56

Számelmélet Minden hatodik ütem bokatorna, így a 72. is az lesz. A 77. a mozgássor 5. eleme lesz, csuklótorna. Így a D) válasz a helyes.

f) A „mintás” négyzetek és körök valamilyen szabály szerint követik egymást.

::: Hogyan folytatódik a sor? A)

B)

C)

Minden páratlan sorszámú elem négyzet, a páros sorszámú kör. A fekete rész négyes periódusonként ismétlődik: jobbra körbefordulva színezzük a négyzet következő negyedét, illetve balra körbefordulva a következő körnegyedet feketére.

g) Milyen számjegy áll a tizedesvessző utáni 61. helyen? 1 : 13 = 0076923076923 : : : Válaszd ki a megfelelő válasz betűjelét! A) 0 B) 7 C) 3

D) 9

s péntek zom 1 ba . t

csü tö

rtök

6., 13., 20., 27.

rda

182.

2013. április

kedd

A 26 óra 24-es maradéka 2, ezért 26 óra múlva 2 órát mutat az óra.

7., 14., 21., 28.

3., 10., 17., 24.

tfő

b) Most pontosan 12 óra van. Hova fog mutatni a kismutató 26 óra múlva?

8., 15., 22., 29.

hé

Az olyan napok estek szerdára, melyek sorszámának hetes maradéka 5. Ezek a következők: április 5., 12., 19., 26. Vasárnapra olyan napok estek, melyek sorszámának hetes maradéka 2. Ezek a következők: április 2., 9., 16., 23., 30.

2., 9., 16., 23., 30. vasárnap

4., 11., 18., 25.

sze

181. a) 2013 áprilisában milyen napok estek szerdára, és milyenek vasárnapra, ha április 1-je szombatra esett? Fejezd be a rajzot!

5., 12., 19., 26.

Ezt a forgót a szél az óramutató járásával megegyező irányban forgatja. Színezd a rajzokat a feltételeknek megfelelően! a) 13 derékszöggel fordul el:

b) 35 derékszöggel fordul el:

c) 42 derékszöggel fordul el:

d) 64 derékszöggel fordul el:

57

Számelmélet A számok maradékaival számolunk 183. Kiszíneztük a számegyenes pontjait. 1

9

5

13 6

2

0

4

17

8

10

12

20

33 26

22

24

37

28

30

32

34

36

49

45

41

38

40

46

42

44

50

48

:::

7

3

18

14

16

29

25

21

11

15

19

23

27

31

35

39

43

47

51

a) Milyen színűek a felsorolt számok? Töltsd ki a táblázatot! fekete 29 222 1000

zöld

fehér

szürke

29 222 1000

+ + b) Ha a számokat most csak a színükkel helyettesítjük, akkor ez az összeg biztosan páros. Színezd ki a számkorongokat úgy, hogy igaz legyen az állítás! A nagyon sok lehetőség közül felrajzoltunk néhányat.

Biztosan páratlan.

+

+

+

+

+

+

+

+

Biztosan osztható 4-gyel.

+

+

+

+

+

+

+

+

Biztosan osztható 4-gyel.

+

−

+

−

+

−

+

−

Biztosan páratlan.

+

−

+

−

+

−

+

−

184. A számegyenesen görgetünk (csúszás nélkül) egy egység oldalhosszúságú egyenlő oldalú háromszöget. A számegyenesen lévő számokat a rájuk gördülő csúcs színével megegyezően színezzük. A nullát zöldre, az egyet szürkére, a kettőt fehérre, a hármat zöldre: : : 1.

0

1

2.

2

3.

3

4.

4

5.

6.

5

6

7

a) Milyen színűre színezzük a számegyenesnek a táblázatban megadott számait? Töltsd ki a táblázatot (Z – zöld, SZ – szürke, F – fehér)! Ezt a számot: : : 4 ilyen színűre színezzük SZ

58

5

6

7

8

9

50

51

80

93

94 2013

F

Z

SZ

F

Z

F

Z

F

Z

SZ

Z

Számelmélet b) Sorolj fel 10 olyan számot, amelyiket szürkére, 10 olyat, amelyiket zöldre és 10 olyat, amelyiket fehérre színeztünk! szürke: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31 zöld: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 fehér: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32

c) A háromszög zöld csúcsa az első teljes körbefordulás után a 0-ról a 3-ra kerül, a szürke pedig az 1-ről a 4-re. Melyik számra kerül a szürke csúcs a 10., 20., 35., 40. teljes körbefordulás után? teljes körbefordulások száma erre a számra kerül

10

20

10 · 3 + 1 = 31

20 · 3 + 1 = 61

35

40

35 · 3 + 1 = 106 40 · 3 + 1 = 121

185. Az előző feladatban megszíneztük a számegyenes számait. A színezett számokból kettőt-kettőt összeadunk, kivonunk és összeszorzunk. Írd be a táblázatba, hogy milyen színű szám lesz a megadott színű számok összege, különbsége, illetve szorzata! a)

+

b) k

kisebbítendő

i −

v o n a n d ó

c)

·

186. Keress olyan természetes számokat, amelyek igazzá teszik a következő mondatokat! A szám kétszerese a) 4-gyel osztható: 0, 2, 4, : : : A páros számok. b) 4-gyel osztva 1-et ad maradékul: Nincs ilyen szám. c) 4-gyel osztva 2-t ad maradékul: 1, 3, 5, : : : A páratlan számok. d) 4-gyel osztva 3-at ad maradékul: Nincs ilyen szám. e) 3-mal osztható: 0, 3, 6, : : : A 3 többszörösei. f) 3-mal osztva 1-et ad maradékul: 2, 5, 8, : : : Azok a számok, amelyek 3-as osztási maradéka 2. 187. Matyi megkérte nővérét, a 6. osztályos Kingát, hogy ellenőrizze a matematika-házifeladatát. A feladat így szólt: „Összesen mennyit kell fizetni 5 matricáért és 7 filctollért, ha a matricák darabja 148 Ft, a textilfilceké 665 Ft.” Matyi válasza ez volt: „Összesen 5393 Ft-ot kell fizetni.” Kinga nem számolta ki, hogy mennyi a helyes eredmény, így is pillanatok alatt megállapította, hogy öccse rosszul számolt. Hogyan gondolkodott? Karikázd be a helyes válasz betűjelét! a) Szegény öcsi, eddig még egyetlen szöveges feladattal sem boldogult egyedül, miért pont ez sikerült volna neki? b) A végösszeg nem lehet páratlan. c) A végösszeg nem végződhet 3-ra. Az összeg így írható fel: 5 · 148 + 7 · 665. Az összeg első tagjaként szereplő szorzat utolsó jegye 0, a másiké 5. Így az összeg 5-re végződik.

59

Számelmélet Keressünk osztókat! 188. Csoportosítsd a kártyákon levő művelettel megadott számokat aszerint, hogy teljesül-e rájuk az adott tulajdonság! Írd be a betűjelüket a táblázatba!

A D

B E

2·3·5·7 7 · 15 + 1

Tulajdonság Erre teljesül Erre nem

Páros

A, B , D , E , F C

C F

(1 + 2 + 3 + 4 + 5) · 13

Többszöröse 15-nek

Nem osztható 30-cal

15 + 15 + 15 + 15 13 · 14 · 15

Osztható 7-tel

A, E , F B, C , D

8 · 15 + 6 · 15

A, B , C , E , F D

C, D A, B , E , F

189. Többet ésszel, mint erővel! Melyik osztható 9-cel, melyik nem? Zsebszámológéppel ellenőrizd döntésedet! a) 9 + 48 + 52 Nem. b) 63 + 27 + 999 Igen. c) 9 · 48 + 52 Nem. d) 720 − 113 Nem. e) 11 + 91 + 69 Igen. f) 90 · 98 Igen. g) 90 + 98 Nem. h) 9000 + 90 + 8 Nem. i) 9009 · 8 Igen. j) 15 · 3 · 71 Igen. k) 3 · 5 · 3 · 7 Igen. l) 9 · 1001 · 8 Igen. 190. a) Egy számról tudjuk, hogy a 7 pontosan 19-szer van meg benne. Melyik állítás mond igazat erről a számról? Karikázd be a betűjelét! Ha igaz az állítás, akkor a hányadost is határozd meg! A) A szám osztható 19-cel. Igen, 8. B) A szám osztható 14-gyel. Nem. C) A szám osztható 38-cal. Nem. D) A szám osztható 21-gyel. Nem. b) Egy számról azt tudjuk, hogy megvan benne a 8, mégpedig pontosan 63-szor. Melyik állítás mond igazat erről a számról? Karikázd be a betűjelét! Ha igaz az állítás, akkor a hányadost is határozd meg! A) A szám osztható 63-mal. Igen, 7. B) A szám osztható 9-cel. Igen, 56. C) A szám osztható 7-tel. Igen, 72. D) A szám osztható 4 · 9-cel. Igen, 14. E) A szám osztható 2 · 63-mal, vagyis 126-tal. Igen, 4. 191. Játék A START-ról indulj! Azokra a mezőkre lépj, amelyeknek a 6-tal való osztási maradéka megegyezik a START mezőn álló szám 6-os osztási maradékával! Írd rá a nyilakra az osztási maradékokat! Melyik mezőre értél? Jelöld ∗-gal! START 483

3

3 67 · 3

3

60

12 · 5 + 15

0

1+2+3+4+5+6

3

19 · 5 − 7 − 5

0

6 + 66 + 666

3

6 · 3 + 12 · 3 + 13 · 3

0

3 · (22 + 222) + 333

6000 + 12 001 1

3

3 5

663 − 63 0

0

3 0

10 + 100 + 1000 0

3

0 2 · 222 + 4 · 222

4

4

3 666 · 111

13 + 35 + 4

18 · (2000 + 20 001) 0

3

11 + 22 + 33 + 44 + 55 *

Számelmélet 192. Igaz vagy hamis az állítás? Írd a sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)! Hamis állítások esetén írj ellenpéldát! a) Ha a kéttagú összeg mindkét tagja osztható 6-tal, akkor az összeg is osztható 6-tal. I b) Ha a kéttagú összeg osztható 6-tal, akkor az összeg tagjai is oszthatók 6-tal. H, például: 2 + 4. c) Ha egy szorzat egyik tényezője osztható 6-tal, akkor a szorzat is osztható 6-tal. I d) Ha egy összeg egyik tagja osztható 6-tal, akkor maga az összeg is osztható 6-tal. H, például: 6 + 1.

e) Ha a szorzat osztható 6-tal, akkor az egyik tényezője is osztható 6-tal. H, például: 2 · 3 193. A és a jelek pozitív egész számokat jelölnek. Tudjuk még, hogy + + = 32. Melyik állítás igaz, melyik hamis? Indokold meg a döntéseidet! páros szám. Igaz, mert a + összeg egy pozitív egész szám kétszerese, ehhez csak páros a) számot adva kaphatunk páros összeget.

b) c) d)

páros szám. Hamis, mert a páros és páratlan is lehet, a kétszerese mindenképpen páros lesz. · páros szám. Igaz, mert a csak páros szám lehet. · páros szám. Hamis, mert a páratlan is lehet, így a szorzat páratlan is lehet.

194. Biciklis tolvajokat triciklis rendőrök üldöztek. Összesen 31 keréken 12-en gurultak. Hány tolvajt üldöztek a rendőrök? 5 tolvajt 7 rendőr üldöz. 195. Egy szálloda 12 szobájában 32 férőhely van. A szobák két- vagy háromágyasak. Hány háromágyas szoba van ebben a szállodában? 8 háromágyas szoba van. 196. Hogyan dönthetjük el a műveletek elvégzése nélkül, hogy a gyobb vagy kisebb szám?

378 · 436 − 56 tört 1-nél na377 · 436 + 378

378 · 436 = 377 · 436 + 436, ezért a számlálóban ezt kapjuk: 377 · 436 + 436 − 56 = 377 · 436 + 380. 377 · 436 + 380 > 377 · 436 + 378, ezért a tört

> 1.

Milyen oszthatóságokat árulnak el a számok utolsó számjegyei? Oszthatóság 2-vel, 5-tel, 10-zel és 100-zal 197. Londonban készült ez a kép egy új évet köszöntő bolondos kerékpáros felvonuláson. Ha minden biciklisnek volt egy triciklis párja, akkor melyik állítás igaz? a) Az összes kerékpár pedáljainak száma osztható 2-vel. Igaz, mert a pedálok száma 2 többszöröse.

b) Az összes kerékpár kerekeinek száma osztható 5-tel. Igaz, mert a kerekek száma 5 többszöröse.

c) Az összes kerékpár pedáljainak száma osztható 4-gyel. Igaz, mert egy triciklis és egy biciklis pár kerékpárjain összesen 4 pedál van, ezért az összes pedál száma 4 többszöröse.

d) Az összes kerékpár kerekeinek száma osztható 10-zel. Hamis. Ha páratlan a kerékpáros párok száma, akkor a kerekek száma 5 páratlan többszöröse, azaz páratlan szám.

61

Számelmélet 198. a) Írd be a halmazábra megfelelő részébe a 140-nél nagyobb és 160-nál kisebb egész számokat! b) Egészítsd ki a mondatokat úgy, hogy a ka141, 143, 147, 149, 151, 140 < x< 160 pott állítások igazak legyenek! 153, 157, 159

A

A) A 2-vel osztható számok utolsó számjegye csak 0, 2, 4, 6, 8 lehet. B) Az 5-tel osztható számok utolsó számjegye csak 0 vagy 5 lehet. C) Az A és B halmaz közös részébe a 10zel osztható számok kerülnek.

B

142, 144, 146, 148, 152, 154, 156, 158

150

145, 155

A = {2-vel osztható} B = {5-tel osztható}

199. a) Írd fel az összes olyan négyjegyű számot, amelyet ezzel 0 , 0 , 4 , 5 a négy számkártyával ki lehet rakni! 0

5

0

0

4

4

0

0

0

0 5

0

4

5 5

0

0

4

b) Írd be a kapott négyjegyű számokat a megfelelő oszlopokba! osztható 2-vel

5-tel

10-zel

100-zal

4050, 4500, 5004, 5040, 5400

4005, 4050, 4500, 5040, 5400

4050, 4500, 5040, 5400

4500, 5400

c) Melyik címke tartozik ezekhez a halmazokhoz? Színezd a halmazok címkéit a megfelelő színnel! A = {2-vel osztható} B = {5-tel osztható} C = {100-zal osztható} d) Írd be az a) feladatrészben kapott számokat a halmazábra megfelelő részébe! 200. a) Mely számjegyek írhatók a zatban megadott számokkal? osztható lehetséges értékei

62

5004

4005 5040 4500 4050 5400

B C

helyére úgy, hogy a 325

szám osztható legyen a táblá-

2-vel

5-tel

10-zel

100-zal

0, 2, 4, 6, 8

0, 5

0

nincs ilyen

b) Mely számjegyek írhatók a zatban megadott számokkal? osztható lehetséges értékei

A

helyére úgy, hogy a 32

0 szám osztható legyen a táblá-

2-vel

5-tel

10-zel

100-zal

200-zal

bármelyik

bármelyik

bármelyik

0

0

Számelmélet 201. Melyik állítás igaz, melyik hamis? Írd a sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)! A hamis állítások esetén írj ellenpéldát! a) Ha egy szám osztható 2-vel, akkor 10-zel is. H, például a 2. b) Ha egy szám osztható 10-zel, akkor 2-vel is. I c) Ha egy szám számjegyei között csak 5 és 0 van, akkor osztható 5-tel. I d) Ha egy szám osztható 5-tel, akkor a számjegyei között csak 5 és 0 van. H, például a 25. 202. Négyjegyű számok néhány számjegyét letakartuk. Döntsd el az állításokról, hogy igazak-e! Írd a sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)! A hamis állítások esetén írj ellenpéldát! a)

3 4 7 Ez a szám biztosan nem osztható sem 2-vel, sem 5-tel. I

b) 4 7 c)

0 Ez a szám biztosan osztható 2-vel és 5-tel. I Ez a szám lehet, hogy osztható 10-zel. I

5

Ez a szám lehet, hogy osztható 5-tel. I

d) 2 2 2 e)

2

0 Ez a szám biztosan osztható 100-zal. H, például az 1220.

203. Leírtuk az összes kétjegyű természetes számot egy-egy számkártyára. A számkártyák közül kiválogattuk egy dobozba azokat, amelyek oszthatók 2-vel. 90 kétjegyű természetes szám van. a) Hány darab számkártyát tettünk a dobozba? 90 : 2 = 45 b) Hány darab számkártyán van öttel osztható szám a dobozban? 9 c) Legalább hány darab számkártyát kell kivenni becsukott szemmel a dobozból, hogy biztosan legyen a kivettek között olyan, amelyik osztható 5-tel? 37 Legrosszabb esetben kihúzzuk egymás után az 5-tel nem osztható (45 − 9) = 36 számot. A 37. már biztosan osztható lesz 5-tel.

204. Melyik egyszerűsíthető az adott törtek közül 8 10 a) 2-vel; 8 4 , , 10 24 160 800 , 200 1000

15 20

4 24 b) 5-tel;

75 100 c) 10-zel;

15 75 160 160 800 , , , , 20 100 200 200 1000 150 800 200 , , 125 1000 275

160 200

150 125

d) 4-gyel; e) 20-szal; 4 160 , , 24 200 800 1000

160 800 , 200 1000

800 1000

200 275

f) 25-tel; g) 100-zal? 75 150 , , 100 125 800 200 , 1000 275

800 1000

205. Egy autó balesetet okozott, és továbbrobogott. A szemtanúk a rendszámtábla betűire pontosan emlékeztek, de a háromjegyű számról mindenki mást jegyzett meg. A szemtanúk ezt vallották: – A szám osztható volt 2-vel. – Nem volt benne 5-ös. – Ez igaz, de osztható volt 5-tel. – A számjegyek összege 17 volt. Kideríthető-e, hogy mi volt az autó rendszáma, ha minden szemtanú igazat mondott? Egyértelműen nem deríthető ki. Két lehetőség adódik. A szám 0-ra végződik, és a tízesek és százasok helyén álló számok összege 17. Két ilyen szám van: 980 és 890.

63

Számelmélet Milyen oszthatóságokat árulnak el a számok utolsó számjegyei? (Kiegészítő tananyag) Oszthatóság 4-gyel, 8-cal, 125-tel és 1000-rel 206. A következő számoknak letakartuk egy-egy számjegyét. 4 987 5 452 50 64 Pótold a füzetedben a számjegyeket úgy, hogy a számok oszthatók legyenek 64

4

987

5 452

50

a) 4-gyel;

0, 2, 4, 6, 8

2, 6

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 4, 8

b) 25-tel;

–

5

–

0

c) 50-nel;

–

–

–

0

d) 100-zal!

–

–

–

0

207. a) Írd fel az összes olyan négyjegyű számot, amelyet ezzel 0 , 0 , 8 , 5 a négy számkártyával ki lehet rakni! 0

8

0

0

5

5

0

0

0

0 8

0

5

8 8

0

0

5

b) Írd be a kapott négyjegyű számokat a megfelelő oszlopokba! 5-tel

4-gyel;

osztható 20-szal;

5080, 5800, 8005, 8050, 8500

5008, 5080, 5800, 8500

5080, 5800, 8500

c) Melyik címke tartozik ezekhez a halmazokhoz? Színezd a halmazok címkéit a megfelelő színnel! B = {5-tel osztható} A = {4-gyel osztható} C = {25-tel osztható} d) Írd be az a) feladatrészben kapott számokat a halmazábra megfelelő részébe! 208. a) Mely számjegyek írhatók a zatban megadott számokkal? osztható lehetséges értékei

64

25-tel;

100-zal?

5800 8050, 8500

5800, 8500

A 5008

8005 5080 5800 8500

B

8050

C

helyére úgy, hogy a 765

szám osztható legyen a táblá-

4-gyel

20-szal

25-tel

50-nel

100-zal

2, 6

–

0

0

–

Számelmélet b) Mely számjegyek írhatók a zatban megadott számokkal? osztható lehetséges értékei

4-gyel

0 2 4 6 8

c) Mely számjegyek írhatók a zatban megadott számokkal? osztható lehetséges értékei

4-gyel bármi

helyére úgy, hogy a 75 8-cal 2, 6

20-szal

0 2 4 6 8

25-tel

100-zal

0, 5

0

helyére úgy, hogy a 7 8-cal

0 2 4 6 8

0 szám osztható legyen a táblá125-tel 1000-rel 0

–

00 szám osztható legyen a táblá-

20-szal

25-tel

100-zal

bármi

bármi

bármi

125-tel 1000-rel 0, 5

0

209. Melyik állítás igaz, melyik hamis? Írd a sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)! A hamis állítások esetén írj ellenpéldát! a) Ha egy szám osztható 5-tel, akkor 25-tel is. H, például az 5-re nem igaz. b) Ha egy szám osztható 20-szal, akkor 4-gyel is. I c) Ha egy szám utolsó két jegyéből alkotott kétjegyű szám osztható 25-tel, akkor a szám is. I d) Ha egy szám tízesei helyén páratlan szám áll, és 2-re végződik, akkor biztosan osztható 4-gyel. I 210. Négyjegyű számok néhány számjegyét letakartuk. Döntsd el az állításokról, hogy igazak-e! Írd a sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)! A hamis állítások esetén írj ellenpéldát! 5 2 4 Ez a szám biztosan nem osztható sem 4-gyel, sem 8-cal. H, például az 1524 a) osztható 4-gyel.

b) 4 8

0 Ez a szám biztosan osztható 4-gyel és 8-cal. H, például a 4810 sem 4-gyel, sem

8-cal nem osztható.

5

c)

Ez a szám lehet, hogy osztható 25-tel. I

d) 2 2

0 Ez a szám lehet, hogy osztható 125-tel. I

e) 2 0

0 Ez a szám biztosan osztható 1000-rel. H, például 2050 nem osztható 1000-rel.

211. Játék – A START mezőről indulj! Innen csúcsban vagy oldalban szomszédos mezőre léphetsz, ha a mezőbe írt szám nem osztható sem 4-gyel, sem 25-tel. Milyen számokhoz jutottál? Színezd pirossal! Ha a START mezőről indulva sorban összeolvassuk a helyesen megszínezett mezőkre írt betűket, akkor egy híres magyar fejszámoló művész vezetéknevét kapjuk. Ki ő?

START 7575 20 108 111 213 42 530

41 128 V 25

A 4

D –

A –

6174 10 136 45 425 10 975

E 4

P –

B 4

A 25

S 25

3000 4 14 142 5450 81 818 11 132

T 25

61 616

A –

R 25

K –

Z 4

5062 32 370 31 320 46 746

Ő

4

T –

A –

H 4

I –

Pataki Ferenc (1921–) fejszámolóművész évtizedeken keresztül mindenkit elkápráztatott számolási tehetségével. Még ma is (2013-ban) a processzorok sebességével végzi a műveleteket fejben.

212. Melyik egyszerűsíthető az adott törtek közül

16 64

125 500

250 1000

1000 2000

800 3000

a) 8-cal;

b) 125-tel;

c) 1000-rel?

16 1000 800 , , 64 2000 3000

125 250 1000 , , 500 1000 2000

1000 2000

65

Számelmélet

213. Összeszoroztuk a pozitív egész számokat Hány nulla áll a szorzatok végén?

a) 1–50-ig,

b) 1–100-ig.

a) 12 nulla áll a végén, mert tíz 5-tel és két 25-tel osztható van köztük. b) 24 nulla áll a végén, mert négy 25-tel osztható van köztük.

Milyen oszthatóságokról árulkodik a szám számjegyeinek összege? 214. Ebbe a gépbe csak természetes számokat lehet bedobni. A gép három rekeszbe válogatja szét a számokat: a bedobott számot elosztja 3-mal, megállapítja, mennyi a maradék. Ha a maradék 0 (a szám osztható 3-mal), a 0 jelzésű rekeszbe továbbítja a számot, ha a maradék 1, akkor az 1 jelzésű rekeszbe, és ha a maradék 2, akkor a 2 jelzésű rekeszbe továbbítja a bedobott számot.

0

3, 6, 9, 30, 60, 90, 300, 600, 900,

1

13, 16, 1, 4, 7, 10, 40, 70, 100, 400, 700, 742

2

14, 17, 2, 5, 8, 50, 80, 200, 500, 800, 320, 410

Hová kerülnek ezek a számok? Írd be mindegyiket a megfelelő rekeszbe! 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 690, 531, 742, 999

12, 15, 690, 531, 999

30, 700,

215. Helyezd el a számokat a halmazábra megfelelő részébe! 153, 351, 513, 79, 790, 7900, 45, 451, 452, 453, 2013, 2014, 2015, 2016 A = {3-mal osztható} B = {9-cel osztható}

számok 451 452 2013

8

1

A B

80, 410,

2015 79 790 453

153 513 351 45 2016

216. a) Írd fel az összes olyan háromjegyű számot, amelyet ezzel 0 , 1 , 8 a három számkártyával ki lehet rakni! 0

40, 50, 60, 70, 800, 900, 320,

2014 7900

0

1

1

0

8 8

0

b) Írd be a kapott háromjegyű számokat a megfelelő oszlopokba!

66

2-vel

5-tel

osztható 10-zel

108, 180, 810

180, 810

180, 810

9-cel

3-mal

108, 180, 801, 810 108, 180, 801, 810

Számelmélet 217. Melyik címke tartozik ezekhez a halmazokhoz? Színezd ki a halmazok címkéit a megfelelő színnel!

B

2-vel osztható A 5-tel osztható C 3-mal osztható D 9-cel osztható

A

B 180

60 12

15

60 15

C D

12

180

2

218. a) Írd fel az összes olyan háromjegyű számot, amelyet ezzel 0 , 2 , 4 a három számkártyával ki lehet rakni! 0

4

2

0

2

2

0

4 4

0

b) Írd be a kapott háromjegyű számokat a megfelelő oszlopokba! 2-vel

5-tel

osztható 10-zel

204, 240, 402, 420

240, 420

240, 420

9-cel

3-mal

–

204, 240, 402, 420

c) Döntsd el az állításokról, hogy igazak-e! Írd a sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)! A hamis állítások esetén írj ellenpéldát! A) Ha egy szám osztható 10-zel, akkor a szám utolsó számjegye 0. I B) Ha egy szám utolsó számjegye 0, akkor a szám oszható 10-zel. I C) Ha egy szám oszható 3-mal, akkor oszható 9-cel is. H, például a 3. D) Ha egy szám osztható 9-cel, akkor 3-mal is. I E) Ha egy szám osztható 2-vel és 5-tel, akkor osztható 10-zel is. I F) Ha egy szám osztható 3-mal és 9-cel, akkor osztható 27-tel. H, például a 9. 219. A táblázat felső, szürke sorában lévő számokból kihagytunk számjegyeket. Úgy írd be a hiányzó számjegyeket, hogy az így kapott szám osztható legyen a) 2-vel és 10-zel; b) 3-mal és 9-cel! 2

2-vel és 10-zel

3-mal és 9-cel

0

7

7

2

0

2

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

7

7

–

2

33

bármi

33

0

+ =3 vagy + = 12

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

45 16 45 23 45 24

0

–

–

–

+ =3 vagy + = 12 0

2

4

3

67

Számelmélet 220. Melyik az a legkisebb, csupa 0-ból és 1-ből álló szám, amelyik osztható a) 3-mal; 111 b) 9-cel? 111 111 111 221. Igaz-e? Írd a sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)! Válaszodat indokold meg! a) Két egymást követő természetes szám összege mindig osztható 2-vel. H, például 2 + 3 b) Három egymást követő természetes szám összege mindig osztható 3-mal. I Bármely három egymást követő természetes szám 3-mal való osztási maradékai: 0, 1, 2. A maradékok összege (0 + 1 + 2 = 3) osztható 3-mal.

c) Négy egymást követő természetes szám összege mindig osztható 4-gyel. H, például 2+3+4+5 d) Öt egymást követő természetes szám összege mindig osztható 5-tel. I Bármely öt egymást követő természetes szám 5-tel való osztási maradékai: 0, 1, 2, 3, 4. A maradékok összege (0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10) osztható 5-tel.

e) Hat egymást követő természetes szám összege mindig osztható 6-tal. H, például 2+3+4+5+6+7 f) Hét egymást követő természetes szám összege mindig osztható 7-tel. I Hét egymást követő természetes szám 7-tel való osztási maradékai: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. A maradékok összege (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21) osztható 7-tel.

222. Legfeljebb hány természetes számot tudunk leírni úgy, hogy ne legyen osztható 3-mal semelyik kettő a) összege, Négyet (például három olyat, amelynek a 3-as maradéka 2 és egy 3-mal oszthatót). b) különbsége? Hármat, csak különböző lehet a 3-as maradékuk: például 0, 1, 2.

Prímszámok (törzsszámok) (Kiegészítő tananyag) 223. a) Keress olyan többjegyű prímszámokat, amelyeknek a számjegyei is prímszámok! 23, 37, 53, 73, 223, 227, 523

b) Karikázd be a táblázatban az ikerprímeket! (Az ikerprímek olyan prímszámok, amelyek különbsége 2.) (3 5), (5 7), (11 13), (17 19), (29 31), (41 43), (59 61), (71 73), (101 103), (107 109),

(137 139), (149 151), (179 181), (191 193), (197 199), (227 229), (239 241), (269 271), (281 283), (311 313), (347 349), (419 421), (431 433), (461 463), (521 523), (569 571)

29 71 13 173 229 281 349 409 463 541 68

2 31 73 127 179 233 283 353 419 467 547

3 37 79 131 181 239 293 359 421 479 557

A prímszámok 1-től 5 7 11 41 43 47 83 89 97 137 139 149 191 193 197 241 251 257 307 311 313 367 373 379 431 433 439 487 491 499 563 569 571

599-ig 13 53 101 151 199 263 317 383 443 503 577

17 59 103 157 211 269 331 389 449 509 587

19 61 107 163 223 271 337 397 457 521 593

23 67 109 167 227 277 347 401 461 523 599

Számelmélet

Prímszámok száma

224. a) Az előző feladat táblázata segítségével határozd meg az alábbi mondatból hiányzó számokat! 1–100-ig 25 (2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97), 101–200-ig 21 (101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199), 201–300-ig 16 (211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293), 301–400-ig 16 (307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397), 401–500-ig 17 (401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499), 501–600-ig 14 (503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599) darab prímszám van. b) Az a) feladatban kapott adatok felhasználásával készíts oszlopdiagramot!

20 10

1–100-ig

101–200-ig 201–300-ig 301–400-ig 401–500-ig 501–600-ig

c) Igazak-e az állítások? Válaszodat indokold meg! A) Az egyjegyű számok között ugyanannyi prímszám és összetett szám van. Igaz, mert négy prím van (2, 3, 5, 7) és négy összetett (4, 6, 8, 9).

B) 1-től 600-ig a számok

1 1 része prímszám. Hamis. A 600 szám része 120. 1–600-ig 109 5 5

prímszám van, ezért a számok közel 18%-a prím, ami kevesebb

1 résznél (20%-nál). 5

225. Öt prímszám összege 2000. Vajon melyik a legkisebb az öt közül? A 2 az egyetlen páros prím. Öt prímszám összege csak úgy lehet páros, ha szerepel köztük a 2 is. Ezért az öt prímszám közül a legkisebb a 2.

226. Az úgynevezett „gyenge” Goldbach-sejtés szerint bármely 5-nél nagyobb természetes szám felírható három prímszám összegeként. Bontsd fel három prímszám összegére a 30, a 31 és a 32 számokat! 30 = 2 + 11 + 17; 31 = 3 + 5 + 23; 32 = 2 + 13 + 17

Milyen állításokat neveznek a matematikában „sejtés”-nek? A matematikában azokat az állításokat, amelyeket még senki nem bizonyított be és nem is cáfolt meg, sejtésnek nevezik.

Milyen nemzetiségű volt a „gyenge” sejtést megfogalmazó matematikus, Christian Goldbach? Goldbach porosz matematikus volt (1690. márc. 18., Königsberg – 1764. nov. 20., Moszkva) Ki fogalmazta meg az úgynevezett „erős” Goldbach-sejtést? A sejtést Euler átfogalmazta a következőképpen: minden 2-nél nagyobb páros szám előállítható két prímszám összegeként. Ezt nevezzük erős Goldbach-sejtésnek. Sem az erős, sem a gyenge Goldbach-féle sejtést a mai napig nem sikerült sem megcáfolni, sem teljesen bizonyítani. A sejtések bizonyításában fontos részeredményeket ért el többek között Rényi Alfréd. (Forrás: http://tudosnaptar.kfki.hu)

69

Számelmélet Összetett számok felírása prímszámok szorzataként (Kiegészítő tananyag) 227. Írd fel a következő számokat prímszámok szorzataként! Fejben számolj! a) 14 = 2 · 7, 15 = 3 · 5, 33 = 3 · 11 c) 4 = 2 · 2, 9 = 3 · 3, 25 = 5 · 5

b) 12 = 2 · 2 · 3, 18 = 2 · 3 · 3, 50 = 2 · 5 · 5 d) 8 = 2 · 2 · 2, 27 = 3 · 3 · 3, 125 = 5 · 5 · 5

228. Írd be a hiányzó tényezőket! 36 18 ·

2

36 12 ·

2

6

·

3

·

2

·

3

·

3

·

2

3

3

36

3

·

4

·

3

·

2

·

2

·

·

6 3

2

·

3

·

6 2

·

3

229. Írd be a hiányzó tényezőket! 40 ·

4 2

·

2

·

10 2

·

5

5

·

5

·

184 46 2

25 5

·

·

10 5

2

·

5

196

·

· 23 ·

90

125

4 2

·

2

2

·

2

·

3

·

3

330

·

4

·

9

49 7

·

·

10 7

2

·

5

·

33 3

· 11

230. Lehet-e prímszám olyan négyzet területének mérőszáma, amelynek oldalhossza természetes mérőszámú? A négyzetek területének mérőszáma négyzetszám. A négyzetszámoknak páratlan sok osztójuk van, a prímeknek pontosan két osztójuk van, ezért a négyzetszámok nem lehetnek prímek.

231. Van-e olyan téglalap, amely oldalainak mérőszámai természetes számok, kerületének mérőszáma viszont prímszám? Nincs, mert a feltételeknek megfelelő téglalapok kerületének mérőszáma az egyetlen páros prímnél, a 2-nél nagyobb páros szám.

232. Három testvér egészekre kerekített életkorának összege éppen egy prímszám. Ha életkoruk szorzatát vesszük, 24-et kapunk. Hány évesek a gyerekek? A gyerekek 1, 4 és 6 évesek. 233. Melyik az a legkisebb szám, amelynek prímtényezős alakjában a 20-nál kisebb prímszámok mindegyike egyszer fordul elő? 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 = 9 699 690

70

Számelmélet Számok osztói, közös osztók, a legnagyobb közös osztó Többszörös, osztó, osztható 234. a) Osztópárok segítségével keresd meg a következő számok összes osztóját! A) 20 = 1 · 20 = 2 · 10 = 4 · 5. A 20 osztói növekvő sorrendben: 1, 2, 4, 5, 10, 20. B) 40 = 1 · 40 = 2 · 20 = 4 · 10 = 5 · 8. A 40 osztói növekvő sorrendben: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. C) 47 = 1 · 47 D) 84 = 1 · 84 = 2 · 42 = 3 · 28 = 4 · 21 = 6 · 14 = 7 · 12. A 84 osztói növekvő sorrendben: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

E) 100 = 1 · 100 = 2 · 50 = 4 · 25 = 5 · 20 = 10 · 10. A 100 osztói növekvő sorrendben: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

b) Az a) feladatrészben szereplő számok közül melyiknek van pontosan annyi nem valódi osztója, mint a 72-nek? Mindegyiknek ugyanannyi (két) nem valódi osztója van. 235. Megadtuk egy szám összes valódi osztóját. Melyek a nem valódi osztók? a) 2, 7 1, 14 d) 2, 4, 8, 16 1, 32 g) 3, 5, 15, 25 1, 75

b) 2, 3, 4, 6 1, 12 c) 5 1, 25 e) 2, 5, 10, 25 1, 50 f) 3, 5, 9, 15 1, 45 h) 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 1, 140

236. Határozd meg a következő számok összes közös osztóját! Melyik a legnagyobb? Fejben számolj! a) 15 és 20 Közös osztók: 1, 5. (15; 20) = 5 b) 24 és 36 Közös osztók: 1, 2, 3, 4, 6, 12. (24; 36) = 12 c) 36 és 48 Közös osztók: 1, 2, 3, 4, 6, 12. (36; 48) = 12 d) 35 és 37 Közös osztó: 1. (35; 37) = 1 e) 12, 16 és 32 Közös osztók: 1, 2, 4. (12; 16; 32) = 4 f) 25, 35 és 60 Közös osztók: 1, 5. (25; 35; 60) = 5 237. Mit jelenthetnek a nyilak? Írd rá a nyilakra a megfelelő szót! a)

b)

16

1

8

2 ez

osztója

4 ennek

72

2

36

6 12 ennek többszöröse ez

71

Számelmélet 238. Két-két szám közé pontosan annyi vonalat húzunk, ahány közös osztójuk van (az 1 kivételével). Írj minél kisebb számokat az üres keretekbe! Egy-egy lehetséges megoldás. a)

21

b)

33

7

21

35

3 3

3

5

3 39

15

15

55

5

239. Két-két szám közé pontosan annyi vonalat húzunk, ahány közös osztójuk van (az 1 kivételével). a) Írj minél kisebb számokat az üres keretekbe! 5

45

20

9

3

2

63

b) Írd be ezeket a számokat a keretekbe: 99, 117, 44, 52!

4

28

7

11

99

3

44

9

2

117

4

52

13

240. a) Írd a halmazábrák megfelelő részébe az adott számok osztóit! 5 8 10 20 40

A

B

A 7 14 28

1 2 4

A = {40 osztói} B = {28 osztói} A 3 21

B 1 7

5 35

A = {21 osztói} B = {35 osztói}

B 1 3 9

27

2, 5, 6, 10, 15, 18, 30, 45, 90

A = {27 osztói} B = {90 osztói} 7 21 35 105

A

1 3 5 15

B 25 75

A = {105 osztói} B = {75 osztói}

b) Add meg a következő számok legnagyobb közös osztóját! A) 40; 28 (40; 28) = 4 C) 21; 35 (21; 35) = 7

72

B) 27; 90 (27; 90) = 9 D) 105; 75 (105; 75) = 15

Számelmélet c) Add meg a törtek legegyszerűbb alakját! 27 3 = 90 10

40 10 = 28 7

21 3 = 35 5

105 7 = 75 5

241. Alkoss törteket minden lehetséges módon! A számlálókat a 8 , 22, 27 számok közül, a nevezőket a 12, 30, 11 számok közül válaszd! Add meg a kapott törtek legegyszerűbb alakját is! 8

=

12 A

8 11

2 3 és a

22 12 27

=

11 6

27 12

=

9 4

8 30

=

4 15

22 30

=

11 15

27 30

=

9 10

22

=2

11

nem adható meg egyszerűbb alakban.

11

242. Alkoss számpárokat a megadott számokból minden lehetséges módon! Hány olyan számpárt találtál, amelynek a legnagyobb közös osztója az 1? 21, 35, 50, 63 Két olyan számpár van, amelynek a legnagyobb közös osztója az 1: (21; 50) = 1 és (50; 63) = 1.

243. a) Írd be a halmazábrába a halmazok hiányzó 0< x< 31 betűjelét! A 4 B A = {18 osztói} 2 5 6 7 B = {9 osztói} C 9 8 3 18 1 C = {3 osztói} b) Írd be a 30-nál nem nagyobb pozitív egész számokat a halmazábra megfelelő részébe! A sárga részbe elegendő négy számot beírnod. 244. Egy kisvárosban a helyi autóbusztársaság felmérte, hogy Az iskolába való A diákok reggelente a diákok milyen módon jutnak el az iskolákeljutás módja száma ba. A felmérés eredményét a táblázat mutatja. A helyi gyalog 150 újság közzé szeretné tenni a felmérés eredményét egy 125 busszal piktogramon. kerékpárral A piktogramok jelként használt ábrák (képjelek). Szö75 vegeket, utasításokat vagy akár adatokat helyettesítenek autóval 25 velük. Előnyük, hogy felkeltik a figyelmünket, és gyorsan, olvasás nélkül értelmezhetők. Ráadásul bármilyen nyelven, bárki számára érthetők. Te is számos helyen találkozhatsz velük, például a tömegközlekedési járműveken ezekkel jelölik a babakocsik számára fenntartott helyeket. – 1000 – 500 Statisztikai adatokat is gyakran adnak meg különböző nagyságú és A zöld figura 1000 embert, a barna 500-at jelent. számú piktogrammal. Erre példa jobbra a zöld és a barna figura. Az újságíró ezt a piktogramot válaszotta bizonyos számú gyerek helyettesítésére: a) Hány gyerek iskolába jutásának módját célszerű ezzel a figurával helyettesíteni, hogy könnyen áttekinthető legyen az ábra? B) 5 C) 10 D) 25 E) 50 A) 2 73

Számelmélet b) Választásodnak megfelelően készítsd el a piktogramot az iskolába eljutás módjaihoz! Legyen

= 25 diák!

Piktogram:

gyalog

busszal

kerékpárral

autóval

245. Egy madarásztáborba 105 alsós, 60 felsős és 35 gimnazista jelentkezett. A táborvezető úgy akarta szétosztani őket, hogy minden csoportba ugyanannyi gyerek kerüljön mindegyik korosztályból. Az is célja volt, hogy a lehető legnagyobb csoportokat alakítsa így ki. Hány alsós, felsős és gimnazista került így egy-egy csoportba? A legnagyobb közös osztót kell megkeresni, ez az 5. Öt csoportot alkottak. Egy csoportba 21 alsós, 12 felsős és 7 gimnazista került.

246. Döntsd el az állításokról, hogy igazak-e! Írd a sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)! A hamis állítások esetén írj ellenpéldát! a) Két pozitív egész számnak mindig van közös osztója. I b) Két szám legnagyobb közös osztója lehet a kisebbik szám. I c) Két egymás utáni páratlan szám szorzata mindig osztható 3-mal. H, például 5 · 7 = 35, amely nem osztható 3-mal.

d) Két egymás utáni páros szám szorzata osztható 8-cal. I

Többszörösök, közös többszörösök, a legkisebb közös többszörös 247. Színezd a számegyenesen sárgával a 3, kékkel az 5 többszöröseit! Mely számok lettek zöldek? 0 10 20 30 40 A 3 és az 5 közös többszörösei, azaz a 15 többszörösei lettek zöldek: 0, 15, 30, 45.

248. a) A 6, 12, 15, 18, 20, 30, 42 és 45 számok közül melyik szám közös többszöröse B) a 2-nek és a 3-nak? 6, 12, 18, 30, 42 A) a 2-nek és az 5-nek, 20, 30 b) Számítsd ki fejben a következő számok legkisebb közös többszörösét! 7; 14 [7; 14] = 14 13; 20 [13; 20] = 260

6; 15 [6; 15] = 30 8; 30 [8; 30] = 120

5; 9 [5; 9] = 45

249. Határozd meg a megadott két-két szám legkisebb közös többszörösét! a) 32; 48 [32; 48] = 96 c) 50; 75 [50; 75] = 150 74

b) 42; 60 [42; 60] = 420 d) 30; 45 [30; 45] = 90

50

Számelmélet 250. Melyik többszöröse a 6-nak a szorzat alakban megadott számok közül? Hányszorosa? a) 2 · 3 · 5 5-szöröse b) 2 · 2 · 3 · 3 6-szorosa c) 2 · 2 · 5 · 7 d) 2 · 2 · 2 · 11 · 13 251. Határozd meg a megadott három-három szám legkisebb közös többszörösét! a) 4; 5; 6 [4; 5; 6] = 60 c) 22; 3; 6 [22; 3; 6] = 66

b) 3; 4; 15 [3; 4; 15] = 60 d) 24; 15; 8 [24; 15; 8] = 120

252. Az apa egy lépése 80 cm, a fiúé 50 cm hosszú. Induláskor egyszerre lépnek ki. Ha állandóan egymás mellett haladnak, milyen hosszú út megtétele után lépnek megint egyszerre? (A fiú természetesen gyorsabban lépked, hogy az apjával együtt haladjon. Éppen ezért csak bizonyos időpontokban lépnek együtt.) A) 2 méter B) 3 méter C) 4 méter D) 8 méter 253. Egy 102 cm hosszú vezetéket 15 cm és 12 cm hosszú darabokra akarunk szétvágni úgy, hogy hulladék ne legyen. Hány darab 15 cm-es és hány darab 12 cm-es lehet a vezetékdarabok között? 1 db 12 cm-es és 6 db 15 cm-es vagy 6 db 12 cm-es és 2 db 15 cm-es. 254. Matematikaórán számkitalálós páros Tünde kérdései Laci válaszai játékot játszottunk. Laci gondolt egy 1. A gondolt szám osztója a 30-nak? Igen. pozitív egész számra, majd igaz válaNem. szokat adott Tünde kérdéseire. Az el- 2. Páros? Igen. ső válasz alapján Tünde felírta a füze- 3. Többszöröse az 5-nek? tébe az összes olyan számot, amelyre 4. Pontosan két osztója van? Igen. Laci gondolhatott. Ezután minden válasz után áthúzta az összes olyan számot, amely az új válasz után már nem lehetett a Laci által gondolt szám. Melyik számra gondolt Laci? Az 5-re gondolt Laci. 255. Feldobunk két szabályos dobókockát, és a dobott számokat összeszorozzuk. a) A három esemény közül melyik a legvalószínűbb, melyik a legkevésbé valószínű? Választásodat indokold meg! A: A szorzat végén 0 áll. B : A szorzat végén 5 áll. C : A szorzat a 7 többszöröse. Az A) esemény a legvalószínűbb, a C) esemény a legkevésbé valószínű.

b) A táblázatban színezd be a kedvező események bekövetkezésének megfelelő mezőket! Ellenőrizd, jól tippeltél-e!

A esemény

· 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

B esemény

· 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Az A) esemény következik be a legnagyobb valószínűséggel ( A C) esemény valószínűsége a legkisebb (

C

esemény

· 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 5 6 = ), a B) esemény valószínűsége . 36 6 36

0 = 0), lehetetlen esemény. 36

75

Számelmélet 256. Feldobtunk tíz szabályos dobókockát, és a dobott számokat összeszoroztuk. Mi a legvalószínűbb, és mi a legkevésbé valószínű? a) A szorzat végén 0 áll. b) A szorzat végén 5 áll. c) A szorzat a 7 többszöröse. Az a) a legvalószínűbb. Az a) és a b) esemény bekövetkezéséhez is szükséges, hogy a dobott számok között legyen egy 5-ös. Az a) bekövetkezéséhez elég, ha egy párost dobunk, a b)-hez minden további dobott számnak páratlannak kell lennie. Az utóbbinak kisebb a valószínűsége. A c) a legkevésbé valószínű, hiszen lehetetlen esemény.

257. Egy táborban 200-nál kevesebb katona van. Ha kettesével, hármasával, négyesével, ötösével, hatosával vagy nyolcasával sorakoztatják fel őket, akkor mindig kimarad egy katona. Hányasával állítsák sorba őket, hogy minden sorban ugyanannyi katona legyen, és ne maradjon ki egy sem? 11-esével, mert [2; 3; 4; 5; 6; 8] = 120, ezért 121 katonát kell sorakoztatni, és 121 osztói: 1, 11, 121.

76

Műveletek törtekkel

Műveletek törtekkel A tört értelmezése 258. a) Mekkora részét színeztük be a téglalapnak? A) B)

2 1 = részt. 20 10

C)

1 1 rész felét = . 5 10

Két kis háromszög területe egy kis téglalap területével egyenlő, 3 6 = . így 20 10 b) Mekkora részét színeztük be a trapéznak? Célszerű az első ábrán látható segédvonalakat megrajzolni. Ekkor könnyen leolvasható a megoldás. 7 részt. B) 12

A)

5 részt. C) 12

259. Színezd ki pirossal egy 6 cm hosszú szakasz hosszú színes vonalat húztál?

7 részt. 12

3 4 részét, és kékkel a részét! Összesen hány cm 4 3

A piros szakasz hossza 4 5 cm, míg a kéké 8 cm. Összesen 12 5 cm a színes vonal hossza.

260. Megadtuk a beszínezett darabka értékét. Melyik papírcsíknak mennyi az értéke? b) 7 a) 3 3

4

3 4 3 4 3 4

3 4 3 4 3 4

3 3 4 4 3 3 4 4 6 3 = = 4 2

=

7 3 7 3

3 ·4 = 3 4 3 15 = 4 4

7 7 = ·3=7 3 3 14 7 = ·2= 3 3

7 7 , mert a fele 6 3 7 7 7 3 3 3

3 3 , mert a fele 8 4

261. Írd fel az összes olyan pozitív törtet, amelynek számlálója 5, és a nevezője legfeljebb 9! Helyezd el a kapott törteket a halmazábra megfelelő részébe!

7 3 7 3

k is e b b 5 5 9 7 5 8

1-gyel egyenlő

él 1 -n

5 6

7 3

5 5

7 3

7 3

= 14

1 -n é l n ag y o bb 5 5 1 5 3 4 5 2

77

Műveletek törtekkel 262. Állítsd elő hajtogatással az egységet, ha megadjuk, hogy a papírcsík egy darabja mennyit ér! Például:







Ez 3 egész, mert a) Ez a darabka most

3 · 7 = 3. 7

4 -öt ér. 5

Ezt hajtogattuk 3 egyenlő részre.

b) Ez a darabka most

Egymás mellé hajtogatva 5 ilyen darabkát megkapjuk a 4-et, melyből kétszeri felezéssel jutunk az egységhez.

5 -ot ér. 6

Most 6 kis darabot kell egymás mellé hajtani. Így az 5 egységhez jutunk, melyet méréssel tudunk 5 egyenlő részre osztani.

Fogalomépítéshez, a törtek értelmezéséhez hasznos feladatok. 263. Egyszerűsítsd az

5 1 = ; 25 5

48 2 = ; 72 3

−

6 1 =− ; 4 24

240 1 = ; 1200 5

0 = 0 törteket! 9

264. Írd fel az összes olyan törtet, amelynek számlálója a 6 osztója, nevezője pedig a 8 osztója! Van közöttük egész szám? A számláló az {1; 2; 3; 6}, a nevező az {1; 2; 4; 8} halmaz eleme lehet. Elvben 4 · 4 = 16 tört készíthető, de közöttük lesznek egyenlők is. Tudatosan állítsuk elő a törteket, és ne „ad hoc” módszerrel. Törekedjünk arra, hogy az összes esetet tervszerű rendszerrel állítsák elő a tanulók. 1 1 1 2 1 = 2, Például: a számláló egy értékéhez felírjuk a nevező összes lehetséges értékét: = 1, , , ; 1 2 4 8 1 2 1 2 1 3 3 3 3 6 6 6 3 6 3 2 = 1, = , = ; = 3, , , ; = 6, = 3, = , = . 2 4 2 8 4 1 2 4 8 1 2 4 2 8 4 Különböző értékű: 10. Egész: 1, 2, 3, 6. Hasznos feladat az osztók ismétlésére, az összes eset megkeresésére és a törtek egyszerűsítésére.

a és b pozitív egészek, a összegük 8, és 1 5 < b 2!

a b

265. Töltsd ki a táblázatot. Az

Mivel

5

4

3

a = 1, ezért a = b. Ugyanakkor az a < 2b , azaz a b 5 a < 2b összefüggésnek csak két b b 2 miatt a <

számpár felel meg. A gyerekek az összes esetet fel szokták írni, és kihúzzák a rosszakat.

Tört alakban írt szám tizedes tört alakja 266. Keresd meg legalább 5 különböző alakját a 4 1 5 7 = = 0 5 = 0 50 = = 8 2 10 14 78

4

4 6 2 ; ; ; 03; 25; 102 törteknek! 8 9 10 03 = 0 30 =

6 12 15 3 = = = 10 20 40 50

Műveletek törtekkel 25 = 2 50 =

6 2 4 10 12 60 = = = = = 9 3 6 15 18 90 2 1 3 4 = = = 0 2 = 0 20 = 20 10 5 15

25 5 15 20 = = = 10 2 6 8

102 = 1 020 =

102 51 153 255 = = = 100 50 150 250

267. Helyezd el a törteket a megfelelő halmazábrába! 2 6

8 4

9 6

4 8

6 4

Egészek 45 =3 15

3 2

5 10

12 8

15 10

1 -dal egyenlők 3 0 =0 7

8 =2 4

45 15

0 7

3 -del egyenlők 2

2 6

9 6

15 10

3 2

12 8

6 4

268. a) Írd a megjelölt osztópontok fölé a megfelelő értékeket tört és tizedes tört alakban is! −

9 10

−

5 10

−

−1

1 2 10 10

1 10

4 5 6 10 10 10

0 −

1 2

−

−

−1

2

1 2

5 4

0 3 5

15 16 10 10

1

1 4

−1 −

11 10

1 1 5

1 5

3 2

3 5

0

2 6 5

15 10

9 5

1 1 2

b) Keresd meg az azonos értékű törteket! − = −

2

5 2 1 5 1 3 6 3 15 2 1 ; = ; = ; = ; = ; = 10 10 5 10 2 5 10 2 10 10 5

269. Keresd meg a megadott számok helyét a számegyenesen!  

−0 5

−07 −

4 3

−

1 5

= −0 2

0 2

2 =0 4 5

−03 −

2 3



2 1 −05; 02; ; − 5 5 0 1 2 1 =0 = 3 6 6 3

2 4 = 3 6



4 0 2 1 4 ;− ; ; ; 6 3 3 6 6

Először meg kell határozni, hogy egy beosztás mennyit ér: 1 az első számegyenesnél 0 1-et, a másodiknál -ot. 3

79

Műveletek törtekkel A képeken a világ leghosszabb függőhídjainak vázlatos rajzát láthatod. Leolvashatod méterben mérve a két hídfő közötti távolságokat. Írd át ezeket km-re! Kerekítsd a kapott értékeket tizedes pontosságra! Lesznek-e így egyenlő hosszúnak tekinthető hidak? Kerekítsd egészekre a kapott számokat! Milyen érdekességet tapasztalsz?

270.

1280 m = 1 280 km ≈ 1 3 km ≈ 1 km 1385 m = 1 385 km ≈ 1 4 km ≈ 1 km 1410 m = 1 410 km ≈ 1 4 km ≈ 1 km 1991 m = 1 991 km ≈ 2 km = 2 km Tizedesjegy pontossággal két híd, míg egész pontossággal 3 híd hossza egyezik meg.

Melyik hazánk leghosszabb függőhídja, és milyen hosszú? Hazánk leghosszabb függőhídja (azaz olyan hídja, melynek a folyó medrében nincs pillére) a 290 m hosszú Erzsébet híd, amely Budapesten a Duna fölött található. Az új Erzsébet hidat 1964-ben adták át. Magyarország leghosszabb hídja 2014-ben az 1872 m-es Köröshegyi völgyhíd a Balaton közelében.

271. Töltsd ki a táblázatot! Szám 4363

3159 6098 2997

Nagyobb szomszéd

Kerekített érték

század

tized

egyes

századra

tizedre

egyesre

4 37

44

5

4 36

44

4

3 16

32

4

3 16

32

3

6 10

61

7

6 10

61

6

3 00

30

3

3 00

30

3

272. Keress a koordináta-rendszerben olyan pontokat, amelyek az

x tengelytől 85 , az y tengelytől 25

egységnyi távolságra vannak! Írd le a jelzőszámaikat tört és tizedes tört alakban is! Négy  pont  a megoldás.   2 8 A 5 ; 5 = (0 4; 1 6) B − 25 ; 58 = (−0 4; 1 6)

C



2 8 − ;− 5 5



= (−0 4; −1 6)

D



2 8 ;− 5 5

273. Add meg dm-ben a hosszúságokat! 120 m = 30 m = 300 dm 4 30 cm c) = 15 cm = 1 5 dm 2

a)

80

2m 1 = m = 2 5 dm 4 8 100 mm d) = 25 mm = 0 25 dm 4 b)



= (0 4; −1 6)

Műveletek törtekkel 274. Add meg dkg-ban a tömegeket! 10 g 1 = g = 0 5 g = 0 05 dkg 2 20 3 kg 300 dkg = 15 dkg c) = 20 20

38 kg = 0 038 kg = 3 8 dkg 1000 7 kg 700 dkg = 28 dkg d) = 25 25

a)

b)

275. Add meg dm3 -ben a térfogatokat! a)

8l 1 = l = 0 5 dm3 16 2

b)

23 m3 = 23 dm3 1000

c)

3 m3 = 750 dm3 4

d)

120 m3 = 5000 dm3 24

276. Írd át a törteket tizedes tört alakba, majd rendezd őket csökkenő sorrendbe! Melyik szót kaptad a betűk összeolvasásakor? 37 9 5 4 K = 25 = 0 4 T = 50 = 0 74 R = = 0 45 Ö = = 0 4˙ 5˙ Ö = = 0 4˙ Megfejtés: TÖRÖK 20 11 9 277. A rádiófrekvenciák kiosztásakor ügyelni kell arra, hogy az egyes adók ne zavarják egymást, ezért minimum 03 MHz frekvenciatávolságot kell hagyni az egyes adók között. Készíts számegyenest, és jelöld be rajta, hogy 89 és 92 MHz között hogyan lehet kiosztani a frekvenciákat! 89

89 3 89 6 89 9 90 2 90 5 90 8 91 1 91 4 91 7

MHz

92

Törtek összeadása és kivonása 278. Pótold a hiányzó számokat! 3 + 5 7 a) 12 −

b)

71 60

5 11

+

3 4

53 44

3 5 +

+ c)

23 105

7 15

24 35

−

4 105

Részletszámítások: 7 3 35 + 36 71 + = = a) 12 5 60 60 5 3 20 + 33 53 + = = b) 11 4 44 44 9 3 9 + 15 24 + = = c) 35 7 35 35 5 3 10 + 21 31 d) + = = 49 14 98 98

−

3 7

9 35

d)

26 49

−

3 7

5 22

23 44

5 49 −

−

+

3 14

43 44

31 98

3 14

53 3 5 53 − 10 43 5 33 − 10 23 − = = − = = 44 22 44 44 4 22 44 44 24 7 72 − 49 23 7 3 −49 + 45 4 − = = − + = =− 35 15 105 105 15 7 105 105 5 3 5 + 21 26 3 3 −6 + 3 3 + = = − + = =− 49 7 49 49 7 14 14 14

81

Műveletek törtekkel 279. Töltsd ki a táblázatot, ha a szabály: 5 a) y = x + , 12 5 x 36 607 − 123 121 − 17 − 24 12 6 0 7 8 1 y 11 − 12 15 6 12 24 15

b)

y = x − 136 ! x

8 13

−

5 26

63 52

−

11 1 − 13 52

y

2 13

−

17 26

3 4

−

11 7 35 − − 52 13 52

1 4

280. Végezd el a műveleteket! 7 5 21 + 5 26 = a) = + 33 33 11 33 4 8 12 − 8 4 = b) = − 45 45 15 45 1 49 + 10 − 6 53 49 5 = + − c) = 72 72 72 36 12   4 9 2 7 20 + 9 50 50 29 21 − − = = + d) − = = 75 75 75 75 75 25 3 15 75 2 4 9 50 − 20 + 9 39 13 = = e) − = + 75 75 25 3 15 75  4 5 5 12 − 5 5 7 15 − 14 1 5 − = − = = f) = − − 26 39 26 39 78 78 26 13 39 A d) és az e) feladatnál beszéljük meg a zárójel szerepét! Meg lehet beszélni, hogy a két feladat  6 9 18 = -del, mert d)-nél közül biztosan az e) eredménye lesz nagyobb, mégpedig 2 · = 75 75 25 9 -öt, míg az e)-nél hozzáadjuk. kivonjuk a 75 281. Végezd el a műveleteket! Fontoljuk meg, hogy a törteket célszerű-e tizedes törtté alakítani vagy fordítva! 9 13 18 + 58 + 13 89 1 = = 11 = 11 125 a) + 725 + = 8 8 8 4 8 lehetne tizedes tört alakkal is számolni: 2 25 + 7 25 + 1 625 = 11 125.

24 3 + 1208 + = 0 96 + 12 08 + 0 6 = 13 64 25 5 12 12 12 =5 . c) 14 + + 36 Célszerű az összeadás előtt csoportosítani: (1 4 + 3 6) + 17 17 17 2 5 2 5 4 5 9 d) + 412 + Ismét célszerű csoportosítani: + + 4 12 = + + 4 12 = + 4 12 = 5 62. 3 6 6 6 6 3 6 4 e) + 1212 7 b)

Pontos értéket csak tört alakkal kaphatunk:

f)

4 1212 4 303 100 + 2121 2221 121 + = + = = = 12 . 7 100 7 25 175 175 175

3 7 + 06 + 5 3 Ismét tört alakkal kell számolni, hogy pontos értéket kapjunk:

82

8 3 3 7 9 + 9 + 35 53 + + = = =3 . 5 5 3 15 15 15

Műveletek törtekkel 282. Végezd el a műveleteket! Mindhárom feladatnál tört alakú számokkal kell dolgozni. 5 512 5 128 5 1536 − 125 1411 211 − = − = = =4 a) 512 − = 100 12 25 12 300 300 300 12 3 28 1 14 1 42 + 5 47 2 + = + = = =3 b) 28 + = 15 15 15 9 10 3 5 3 15 413 15 2891 − 1500 1391 691 − = = =1 c) 413 − = 700 700 700 7 100 7 3 5 283. Gondoltam egy számot, hozzáadtam -et, és -ot kaptam. Melyik számra gondoltam? A gon2 13 dolt szám:

3 10 − 39 29 5 − = = − . Ellenőrizzük a kapott eredményt behelyettesítve az eredeti szövegbe! 13 2 26 26

284. Pótold a bűvös négyzetből hiányzó számokat!

a)

1 4

Az egyes bűvös négyzetek bűvös számai: a) −1 5, b) −4 5.

−1 −075

285. A téglalap egyik oldala 43 cm, a másik oldala

3 − 2

−

1 − 4

1 2

1 2

b) 0 −2 5

0 −

5 4

−2

−

7 2

−1

−15 −0 5 0 5

−3

13 cm. A téglalap oldalai: a = 4 3 cm b = 3 25 cm. 4

a) Mekkora a téglalap kerülete? K = 2(a + b) = 15 1 cm. b) Hogyan változik a téglalap kerülete, ha két párhuzamos oldalát csökkentjük 115 cm-rel? Bármelyik oldal hosszát csökkenjük 1 15 cm-rel, a kerület 2 · 1 15 = 2 3 cm-rel csökken. K = 15 1 − 2 3 = 12 8 cm.

c) Hogyan változik a téglalap kerülete, ha mind a négy oldalát csökkentjük 115 cm-rel? Ismét 2 3 cm-rel csökken a b)-beli kerület.

K = 12 8 − 2 3 = 10 5 cm.

Természetesen a gyerekek készíthetnek új ábrákat a megváltozott adatú téglalapokhoz, és úgy is meghatározhatják az egyes kerületeket. Csak a megbeszéléskor térjünk rá az egyszerűbb megoldásra. 286. Hány méter fémpánttal lehet rögzíteni az ábrán látható ládát? Mennyi fémpántra van szükség 10, illetve 100 ugyanilyen láda rögzítésekor? Célszerű deciméterben számolni.

4 m 5

a = 16 dm, b = 10 3 dm, c = 8 dm. Egy doboznál: 4a +6b +6c = 64+61 8+48 = 173 8 dm = 17 38 m

1 m 3 cm

fémpánt kell. 10 doboznál 1738 dm = 173 8 m; 100 doboznál 17 380 dm = 1738 m.

287. Két szám összege

16 dm

17 11 , az egyik szám a . Mennyi a másik? 5 8

Nagyon fontos logikai gondolat. A két ismeretlen bevezetése kerülhető el ezzel a módszerrel az egyenletek megoldásánál. A másik szám:

1 17 11 136 − 55 81 − = = =2 . 5 8 40 40 40

83

Műveletek törtekkel 288. Keresd meg a nyitott mondatok megoldásait! Mindig visszafelé történő okoskodással oldjuk meg ezeket a nyitott mondatokat. a)

a − 47 = 215 a = 215 + 47 = 17 21

c)

27 28 55 21 +3 =5 =6 c − 3 14 c = 2 27 =2 34 34 34 34 17 34

e) 3 f)

f

b)

b − 59 = 278 b = 278 + 59 = 23 27 d)

9 5 d + 28 d = 57 − 289 = 11 = 28 7

7 1 − 52 19 4 =− = −1 e = 2 51 − 3 157 = 33 15 +e =2 15 15 15 5  2 4 . − f − (0 8 − 0 6) = 23 , innen f = 32 + 15 = 13 − 06 = 15 5 3

77 5 555 5 7 5 7 Először egyszerűsítsünk! 12 − 8 = g − 8 , innen g = 12 . −8 =g −8 8 9 9 8 88 999 9 4 14 4 8 4 24 + 20 44 = =2 h) h − = 16 h = 1 6 + = + = 3 5 3 15 15 15 3 4 19 4 4 4 12 + 28 40 = =1 i) + 13˙ − i = 0 i = + 1 3˙ = + = 7 7 3 21 21 21 7 g) 12

289. Zsófi és Dani új szánkót szeretett volna venni. Zsófi összegyűjtötte a szánkó árának

3 részét, 15

13 részét. Nagymamájuk pótolta a hiányzó 1720 Ft-ot, s így a szánkó ott állt a 27 karácsonyfa alatt. bátyja, Dani a

a) Mennyibe került a szánkó? A gyerekek összegyűjtötték a szánkó árának a részét. Így a nagymama a hiányzó Innen

43 részt adta oda, amely 1720 Ft. 135

3 13 27 + 65 92 + = = 15 27 135 135

1 része a szánkó árának 1720 : 43 = 40 Ft. A szánkó ára 40 · 135 = 5400 Ft. 135

b) Mennyi pénzt gyűjtött össze Zsófi? Ha pontosan 1 éve gyűjti a pénzét egy dobozban, és minden hónapban ugyanannyi pénzt tett félre a szánkóra, akkor mennyi volt havonta ez az összeg? Zsófi 5400 ·

3 = 1080 Ft-ot gyűjtött, havonta 90 Ft-ot tett félre. 15

290. Melyik az a szám, amelyik az

5 1 és az összegénél 13 2

5 1 10 + 13 23 + = = . 13 2 26 26 2 43 23 2 69 + 52 121 + = = =1 a) -dal nagyobb, 26 3 78 78 78 3

Írjuk fel a feladatok megoldás tervét! Az összeg:

b)

2 23 2 69 − 52 17 − = = -dal kisebb? 26 3 78 78 3

c) Mennyi az a)- és b)-beli számok különbsége? A két szám különbsége:

84

2 121 17 104 4 − = = . Ez éppen 2 · . 78 78 78 3 3

Műveletek törtekkel Oszd fel 0-tól 1-ig a számegyenest 7 egyenlő részre! 2 Sajnos a körződ „beragadt” a -nél! 7 Elvégezhető-e a kívánt osztópontok bejelölése?

291.

0

1

2 7

Lerajzoljuk a felosztás lépéseit: először a 0-tól indulva lépünk 2 4 6 háromszor a beragadt körzővel ( ; ; ), 7 7 7 5 3 1 majd az 1-től visszafelé lépünk háromszor ( ; ; ). 7 7 7 Így mind a 6 osztópontot megkaptuk.

292. Határozd meg az

2 7







2 7





1 2 7







2 7





2 7



0

−



1

A

1 = −0 2 és 0 7 között 9 osztópont van, így meghatá5 rozható A = 0 1 és B = 0 9 értéke.



0

A + B , A − B , B − A értékeket!

−

2 7



1 5

0

07

B

A + B = 1, A − B = −0 8, B − A = 0 8. Vegyük észre, hogy A − B és B − A egymás ellentettjei.

2 293. Írd fel a − -öt 5 2 5

a) két tizedes tört összegeként, − = −0 4 = −0 1 + (−0 3) = 0 5 + (−0 9), természetesen végtelen sok megoldás van.

 

2 5

3 5

b) egy egész szám és egy törtszám összegeként, − = (−1) +

8 = −2 + , természetesen itt is 5

végtelen sok megoldás van. 2 5

1 3 1 9 − = − , természetesen itt is végtelen sok megoldás van. 5 5 2 10   2 3 1 d) két tört és egy tizedes tört összegeként! − = + − − 0 8, természetesen itt is végtelen sok 5 5 5 megoldás van.

c) két tört különbségeként, − =

294. Ferkó így szólt a barátjához: „Hétfőn elköltöttem a zsebpénzem

1 1 részét, kedden az részét, 42 7

5 részét. Ma csütörtök van, a maradék pénzemen téged hívlak meg fagyizni.” 6 Okos Ottó így válaszolt: „Jobb, ha nem megyünk sehova.” Miért? szerdán pedig az

1 5 1 + 6 + 35 42 1 + + = = = 1 részét, azaz az összes pénzét, így 42 7 6 42 42 csütörtökön már nincs miből fagyit vennie. Ferkó csütörtökig elköltötte pénzének

295. Gondoltam egy számot, kivontam belőle 13-et, és A gondolt szám:

4 +13=08+13=21 5

4 -öt kaptam. Melyik számra gondoltam? 5

Ellenőrzés: 2 1 − 1 3 = 0 8 =

4 5

296. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! 7 11 4 5 1 +a < a < b) + b > 6 12 12 5 25 1 27 1 91 1 c) c − 03˙ > 27 c > 2 7 + 0 3˙ = 2 7 + = + = =3

a)

3

10

3

30

9 b> − 25

30

85

Műveletek törtekkel

297. Oldd meg a nyitott mondatokat! Ezt a feladatot csak a gyorsan haladóknak adjuk fel! a)

6 9 7 47 =1 x − 13 x = 59 − 131 = 11765− 5 = 112 = − 65 65 5 13

6 2 2 − 10 2 = x = 254 − 152 = 12 75 − −x = 75 25 15 25  1 1 3 − c) − x = 0625 − x = 0 625, átírva: 0 375 − x = 0 625, innen x = 0 375 − 0 625 = −0 25. 8 2 8

b)

298. Hány megoldása van a

4 +a 15

< 3 egyenlőtlenségnek

Először meg kell oldani az egyenlőtlenséget:

11 41 =2 . a< 15 15

a) a természetes számok halmazán; A természetes számok halmazában a 0, az 1 és a 2, azaz három megoldás van.

b) az egész számok halmazán; Minden 3-nál kisebb egész beletartozik a megoldáshalmazba:

: : :, −1, 0, 1, 2, azaz végtelen sok megoldás van.

c) a (−4)-nél nagyobb, de a 3-nál kisebb egész számok között? {−3; −2; −1; 0; 1; 2}, azaz hat megoldás van.

299. Hány megoldása van az

4 a − 23 > egyenlőtlenségnek 5

7 4 2 22 + = =1 a> 5 3 15 15 a természetes számok halmazán; 2, 3, 4, : : : , azaz végtelen sok megoldás van.

Az egyenlőtlenség megoldása:

a) b) a negatív egész számok halmazán; Nincs megoldás. c) a 7-nél nem nagyobb pozitív egész számok között? {2; 3; 4; 5; 6; 7}, azaz hat megoldás van.

Törttel való szorzás 300. Az egységnyi oldalú négyzet oldalait felosztottuk az ábrákon látható módon. Írd le a beszínezett téglalapok oldalainak hosszát, területét és kerületét!

86

a = 34

b = 24

a = 13

b=1

a = 12

b = 35

a = 14

b = 38

T = 38

K = 52

T = 13

K = 83

T = 103

K = 115

T = 323

K = 54

Műveletek törtekkel 301. Végezd el a kijelölt szorzásokat! 3 15 = 4 4 2 5 10 e) · = 3 7 21

5 · 6 = 10 3 3 5 15 f) · = 4 11 44

a) 5 ·

1 2 3 g) 5

b)

c)

2 3 0 h) 7

3 3 = 4 8 10 6 = · 11 11 ·

d)

4 8 = 5 15 4 · =0 3 ·

302. A lehetséges egyszerűsítések elvégzése után szorozd össze a számokat! 4 25 5 11 24 2 = b) = · · 5 32 8 12 33 3 9 3 9 11 9 · = e) ·2 = 11 4 11 4 4 1 2 57 8 · = 19 g) 7 · 2 = 8 3 8 3

73 101 1 1 4 15 4 · =6 = d) 7 · = · 7373 12 12 2 5 2 5 1 3 26 15 39 · = f) 5 · 3 = 2 5 4 5 4 4 2 1 4 9 5 10 h) · 1 · 2 = · · = 9 7 2 9 7 2 7

a)

c)

303. Többet ésszel, mint erővel! Keress egyszerű megoldást! 2 5 2 · = 5 3 3 1 9 e) 4 · = 3 26 1 3 g) 5 · 6 = 3 4 a)

b)

1 2 5 9 1 · · · = 2 5 9 11 11

3 13 9 · = 3 26 2 16 27 · = 36 3 4

7 4 6 8 · · = 3 5 7 5 2 1 7 15 =3 f) 1 · 2 = · 5 7 5 7 1 3 3 16 11 · h) 3 · 2 · 1 = 5 4 22 5 4 c)

d)

·

3 7 4 5 12 · · · = 5 5 5 7 25

25 20 = = 10 22 2

304. Töltsd ki a táblázatokat, ha a szabály:

y = x · 23 ,

y = x · 45 − 1!

x

1 3

2 3

3 5

−

1 2

0

−

6 1 2 5 4

y

2 9

4 9

2 5

−

1 3

0

−

4 5

3 2

x

1 2

y

−

3 5

−

1 2

5 3

−

5 3

3 8

−

7 5

1 3

−

7 7 13 − − −1 3 10 10

−

3 8

0

2 14 2 8 = nem azonos a 4 = -dal, 3 3 3 3 másrészt a műveleti sorrendet gyakran elrontják a gyerekek. Lehetőleg ezt a feladatot ne hagyjuk ki!

305. Számítsd ki! Sok problémát szokott okozni ez a feladatsor. Egyrészt 4 · 2 1 8 1 +4· = + =3 3 3 3 3 1 2 1 14 b) + 4 = + =5 3 3 3 3 2 1 17 3 34 − 9 25 − = = c) 5 − 3 · = 6 6 3 2 3 2 2 1 17 7 34 − 21 13 − = = d) 5 − 3 = 6 6 3 2 3 2 1 3 10 13 6 91 − 24 67 − = = e) 3 − · = 4 7 28 28 4 5 7    1 3 10 13 3 10 65 − 12 10 53 10 53 − = · = · = f) 3 − · = · 4 5 7 20 7 20 7 14 4 5 7 a)

87

Műveletek törtekkel 7 12 7 h) 12 g)

8 7 1 56 7 63 7 + = = + · = 36 36 36 4 3 12 3  8 1 7 7 ·3= · + = 12 4 3 3 ·

306. Töltsd ki az üresen maradt helyeket! 1 6

1 2

2 3

5 6

3 2

·

·

1 12

5 4

4 7

1 3

12 5

3 4

1

·

·

9 5

2 5

·

·

·

1 18

5 7

18 25

1 5

307. Írd le a műveleti jelekkel és számokkal, és számítsd is ki! 1 = 10 3

a) 5 · 6-nak a harmadrésze (5 · 6) ·

b) 5 · 6-nak az

2 2 -szorosa 12 · = 8 3 3 3 3 3 3 9 e) -nek a -szerese · = 4 4 16 4 4

2 2 része 12 · = 8 3 3 3 3 3 3 9 f) -nek a része · = 4 4 16 4 4

c) 12-nek a

308. a)

Mennyi ennek a

Ez a 2

1 1 -szorosa (5 · 6) · = 10 3 3

d) 12-nek a

2 része? (Színezd ki pirossal!) 3

Három egyenlő részre osztjuk, és a kis részből veszünk 2-t.

b)

Ez a 2

Mennyi a

2 ? (Színezd ki kékkel!) Először megkeressük az 1-et, majd azt osztjuk 3

fel 3 egyenlő részre, és a kis részekből veszünk 2-t.

A 308. fontos feladat a tört és a rész fogalmának elkülönítésére. 3 részig volt tele. Miután 11 liter üzemanyagot elhasználtunk, 4 már csak félig van a tank. Hány literes az autó üzemanyagtartálya?

309. Induláskor az autó benzintartálya

Célszerű rajzzal követni a feladat szövegét, a teli tartályt az 1 2

A

 

3 4

rész

 

Induláskor

utazás után

rész 





B

AB jelképezi.



 3 1 1 − = része. 4 2 4 Így 44 l-es az üzemanyagtartály.

11 l éppen a tartály



11 l fogyott el

310. Szerkeszd meg a háromszöget, ha egyik oldala 6 cm, és az ezen az oldalon fekvő szögei a 3 1 derékszög részével, illetve az egyenesszög részével egyenlők! Használj szögmérőt! 5 6 Az oldalon fekvő szögek: 90◦ ·

88

3 1 = 54◦ , illetve 180◦ · = 30◦ . A „szerkesztést” szögmérővel tudjuk elvégezni. 5 6

Műveletek törtekkel

311. Andi a húgának tizenkettedik születésnapján ezt mondta: „Te most

3 -szer olyan idős vagy, 4

mint én.” Hány éves most Andi? Azt a számot keressük, amelynek -szerese a 12: Ez a szám a 16. Andi tehát 16 éves. Ellenőriztessük a megoldást: 16 ·

312. Melyik számhoz jutunk, ha a

3 4

3 = 12. 4

2 1 9 2 1 9 2 3 -öt hozzáadjuk az -nak a részéhez? + · = + = 1 5 3 5 5 5 5 3 5

1 km-t tesz meg. Milyen messzire jut 2 1 3 1 22 31 11 341 km = 7 km · = km (≈ 24 4 km) b) 1 óra, c) 4 óra, 3 3 7 2 14 3 7

313. Egy gyalogos, ha siet, óránként 5 a) 3 óra, 16 5 km

1 3

1 2

d) 2 óra 20 perc alatt? 2 · 5 =

7 11 77 · = km (≈ 12 8 km) 3 2 6

3 része férfi, a többiek pe4 dig gyerekek. A rendezvény résztvevőinek hányad része volt gyerek? Ha 5 gyerek volt a rendezvényen, akkor hány nő és hány férfi volt jelen?

314. Egy rendezvényen a résztvevők fele nő volt, a fennmaradó rész

Ismét célszerű ábrán követni a feladat szövegét, a rendezvényen részt vevőket az

A

Nők





1 2

rész

Férfiak

 1 2



rész 34 -e =

 3 8

Gyer.

B

AB szakasz jelképezi. 

A gyerekek a résztvevők 1 −

1 1 3 + · 2 2 4



=

1 8

részét tették ki.

rész

Ha 5 gyerek volt a rendezvényen, akkor a rendezvényen összesen 40-en voltak, ebből 20 nő és 15 férfi.

1 315. Egy árucikk árát leszállították -szeresére, de még így sem kelt el, ezért megint leszállították 4 1 az árát -szeresére. Így sikerült 1250 Ft-ért eladni. Mennyi volt az eredeti ár? 4 1 1 1 · = -szorosa. Innen az eredeti ár 1250 Ft · 16 = 20 000 Ft. 4 4 16 Ellenőrizzük a megoldás helyességét az eredeti szövegbe való visszahelyettesítéssel! 1 Az első leszállítás után 20 000 Ft · = 5000 Ft-ért árusították, a második leszállítás után 4 1 5000 Ft · = 1250 Ft-ért. 4 Az eladási ár (1250 Ft) az eredeti ár

316. Hány kg-os a gorilla, ha tömegének

A: 280 kg

B : 320 kg

4 része 69 kg-mal több, mint a fele? 5

C:

230 kg

D : 400 kg

E : egyik sem

A gyerekek számára a legegyszerűbb megoldás, ha mindegyik értéket behelyettesítik a feladat szövegébe. 4 4 4 280 · = 224. Nem jó, mert 224 − 69 140. 320 · = 256. Nem jó, mert 256 − 69 160. 230 · = 184. 5 5 5 4 Jó, mert 184 − 69 = 115. 400 · = 320. Nem jó, mert 320 − 69 200. Tehát a C a helyes válasz. 5

89

Műveletek törtekkel 317. Töltsd ki a totót! 1 1. A 057 és a 05˙ 7˙ számok

2

egyenlők

1 1 1 1 -nak az része és az -nek az része egyenlők 3 3 2 2 3 3. 30 véges 3 tört tizedes tört alakja A 12 2.

4.

Az

Az

5 tört tizedes tört alakja 12

véges

az első a nagyobb

a második a nagyobb 3

az első a nagyobb

a második a nagyobb

végtelen és szakaszos

végtelen, de nem szakaszos végtelen, de nem szakaszos

végtelen és szakaszos

3 igen 3

nem

néhány számra igaz

legalább 240

legfeljebb 320

nem lehet eldönteni, kevés az adat 3

104 3

52

312

8. Az a turista gyalogolt többet, aki a 15 km-es az első 3 túrának már a részét megtette, vagy az, 4 aki csak a feléig jutott a 24 km-es útnak?

a második

egyenlő hosszú utat tettek meg

9. Hány nap alatt múlik el 1 millió másodperc? ≈ 116 nap

≈ 224 nap

5. Egy szám negyedrésze azonos a szám 1 -szeresével. 4 6. Hány tanuló végzett a nyolcadik évfolyamon, ha a tanulók több mint a fele gimná1 1 ziumban, részük szakközép- és részük 3 6 szakiskolában tanul tovább? 7. Egy szám kétszeresének és felének az öszszege 26. Mennyi a szám tízszerese?

3

3

5 4 része az ? 5 4 11. 4 1 A derékszög része és az egyenesszög 5 3 része közül 12. Milyen műveletet végeztünk egy számmal, ha a negyedrészével csökkentettük?

10.

Melyik szám

2 2 1 1 -nak a része és a -nek az része 3 5 5 3 közül + 1 Válaszaim közül jó lett

13.

90

x

Az

≈ 136 nap

1

25 16 3 16 25 az első a na- a második a egyenlők nagyobb gyobb 3 megszoroz- megszoroz- elvettük be1 3 lőle a szám tuk -del 3 tuk -del felét 4 4 az első a na- egyenlők 3 a második a nagyobb gyobb legfeljebb a több mint a fele fele

több mint a 3 része 4

Műveletek törtekkel Megjegyzések a totóhoz: 6: Mivel az 7: 8: 9: 10: 11:

1 1 1 + + = 1, nem lehet, hogy a tanulók több mint a fele menjen gimnáziumba. 2 3 6 A szám tízszerese éppen négyszer annyi, mint a kétszeresének és a felének az összege. Így 4 · 26 = 104. 45 48 24 3 km < km = km. 15 km része = 4 4 2 4 1 000 000 ≈ 11 6 nap. 1 millió mp = 24 · 3600 4 4 5 25 . A keresett szám x . A részt szorzással kapjuk, így x · = . Innen x = 5 5 4 16 4 4 1 1 A derékszög része = 90◦ · = 72◦ > egyenesszög része = 180◦ · = 60◦ . 5 5 3 3

Tizedes törttel való szorzás 318. Végezd el a szorzásokat!

b) 07 · 10 = 7 f) 102 · 01 = 10 2

a) 7 · 10 = 70 e) 102 · 10 = 1020

319. Végezd el a szorzásokat! a) 8 · 03 = 2 4 e) 12 · 12 = 144

b) 08 · 03 = 0 24 f) 12 · 12 = 14 4

c) 007 · 10 = 0 7 g) 102 · 01 = 1 02

d) 0007 · 10 = 0 07 h) 102 · 01 = 0 102

c) 08 · 003 = 0 024 g) 12 · 12 = 1 44

d) 0008 · 03 = 0 0024 h) 12 · 012 = 0 144

320. Tedd ki a táblázatban a hiányzó tizedesvesszőket! a)

·

32 17

045 68

32

48

035

85

10,24 15,36 1,12

27,2

5,44

8,16 0,595 14,45

1,44

2,16 0,1575 3,825

21,76 32,64 2,38

26

84

97

232

035

1,3

4,2

4,85

11,6

0,91

2,94 3,395 8,12

205

5,33 17,22 19,885 47,56

·

b)

05

004 0,104 0,336 0,388 0,928

57,8

321. Végezd el a szorzásokat! Ha jól szoroztál, akkor a szorzatok összegeként azt a számot kapod, amelyet leírtunk. a) 03 · 02 =

25 · 08 = 75 · 25 = 04 · 05 = összeg

0 06

b) 035 · 002 =

049 · 015 =

2

204 · 007 =

18 75

0 0735 0 1428

684 · 05 = 3 42 összeg 36433

02

21,01

322. Végezd el a kijelölt szorzásokat! a) 13 · 234 = 30 42 d) 12 · 12 · 12 = 1 728

0 007

b) 205 · 17 = 3 485 e) 312 · 0 = 0

c) 275 · 015 =

045 · 302 = 483 · 025 = 804 · 005 = összeg

0 4125 1 359 1 2075 0 402

3381

c) 912 · 405 = 369 36 f) 4926 · 513 = 2527 038 91

Műveletek törtekkel 323. Végezd el a kijelölt műveleteket! a) 34 + 08 · 12 = 3 4 + 0 96 = 4 36 b) (34 + 08) · 12 = 4 2 · 1 2 = 5 04 c) (293 − 07) · 25 = 2 23 · 2 5 = 5 575 1 16 16 36 400 + 108 508 + 1 44 = + = = (≈ 6 77) d) 5 + 24 · 06 = 3 3 25 75 75 3 e) 023 + 049 · 52 = 0 23 + 2 548 = 2 778 f) 473 + 29 · (−312) = 4 73 − 9 048 = −4 318 324. Angliában a tömeg mértékegysége az 1 font (pound, a jele: lb), 1 font = 0454 kg. Töltsd ki a táblázatot! font kg

1

0454

03

12

24

36

404

0 1362

0 5448

1 0896

1 6344

1 834 16

325. Két szám átlaga 48. Az egyik a 23. Melyik a másik? A másik szám 2 · 4 8 − 2 3 = 7 3.

326. Három szám számtani közepe 24. A három szám közül kettőnek az átlaga 18. Mekkora a harmadik szám? A három szám számtani közepe 2 4, innen az összegük 2 4 · 3 = 7 2. Mivel két szám átlaga 1 8, így az összegük 3 6. A harmadik számot megkapjuk, ha a három szám összegéből kivonjuk a két szám összegét: 7 2 − 3 6 = 3 6. Ellenőrizzük megoldásunkat!

327. A Duna sebessége 56 km=h, egy hajó állóvízben 22 km-t tud megtenni óránként. Milyen messzire jut a hajó a folyás irányában, illetve azzal ellentétes irányban a megadott időtartamok alatt? 1 óra 2

15 perc

1,2 óra

3,4 óra alatt

Folyásirányban

13 8

69

33 12

93 84

Folyással ellentétesen

82

41

19 68

53 76

km km , míg a folyással ellentétes irányban 16 4 . h h A táblázatban szereplő eredmények mindegyike km.

A hajó sebessége a folyás irányában 27 6

328. Egy rúd 32 kg-os szalámiból az első vevő 30 dkg-ot vásárolt, a második a maradék vette meg. Mennyit ér a bolti maradék, ha 10 dkg ára 40 eurócent?

2 részét 5

A szöveges feladat megoldását kövessék rövid szöveggel a tanulók is. Az első vevő után maradt: 3 2 kg − 0 3 kg = 2 9 kg. 2 A második megvett 2 9 kg · = 1 16 kg-ot, tehát maradt 2 9 kg − 1 16 kg = 1 74 kg. (Ügyesebb gyerekek a 5 3 maradéknál rájönnek, hogy az részt jelent.) 5 A bolti maradék értéke: 17 4 · 40 eurócent = 696 eurócent.

329. Mennyi színes kartonpapírra van szükséged, ha édesapád okostelefonjához kartondobozt sze1 retnél készíteni? A telefon vastagsága 14 mm, és a ragasztásokra a kiszámolt terület részét 8 érdemes még hozzávenned. Az ábráról leolvasandó adatok: a = 5 5 cm, b = 10 6 cm. Ragasztó nélküli papírszükséglet:

92

A = 2 · (5 5 · 10 6 + 5 5 · 1 4 + 10 6 · 1 4) = 2 · (58 3 + 7 7 + 14 84) = 161 68 cm2

Műveletek törtekkel

A ragasztáshoz szükséges: 161 68 · Ügyesebb számolás: 161 68 cm2 ·

1 cm2 = 20 21 cm2 . Összesen 81 89 cm2 kartonpapír kell. 8

9 = 181 89 cm2 . (Ezt csak a jobbaktól várhatjuk el.) 8

3 részét szőnyeg fedi. A bútorokat a szőnyegen helyezték el, és annak 5 mindössze a 02 részét fedték. A szoba hányad részére tettek bútorokat? Mekkora ez a terület, ha az iroda 75 m2 -es?

330. Egy iroda területének

3 3 2 3 3 1 -nek a 0 2 része: · = részen vannak a bútorok, ami 75 · m = 9 m2 . 5 5 5 25 25 3 Hagyományos megoldás: A szőnyeggel borított rész területe 75 · m2 = 45 m2 . 5 3 9 2 2 2 2 A bútorral fedett terület 45 · 0 2 m = 9 m . A 9 m a 75 m -nek a = része. 75 25 Ügyesebb megoldás:

1 -át fogyasztotta el a kocsi. 3 Visszafelé másik úton jöttek, ekkor a maradék benzin 075-át fogyasztotta el az autó. Melyik út volt a hosszabb, ha a kocsi egyenletes fogyasztását feltételezzük? Mennyi benzin maradt a tartályban, ha eredetileg 36 l volt benne?

331. Zsuzsiék a Nagymamához utaztak autóval. Odafelé a benzin

2 2 1 része fogyott el, tehát a része megmaradt. Visszafelé a rész 0 75-át fogyasztotta 3 3 3 2 3 1 1 1 el a kocsi: · = rész. Mivel > , ezért a hazafelé vezető út volt a hosszabb. 3 4 2 2 3 1 1 1 5 Elhasználták az + = részét a 36 l benzinnek, azaz az része maradt a tartályban, vagyis 6 l. 3 2 6 6

Odafelé a benzin

Számok reciproka 332. Töltsd ki a táblázatot! Szám

1 2

4 7

8 3

4 5

−

2 3

−

6 5

02

Reciproka

2

7 4

3 8

5 4

−

3 2

−

5 6

5

−

10 13

−13

06

3 2

5 3

06˙

333. Határozd meg a számok reciprokát, és döntsd el, hogy az eredeti szám vagy a reciproka nagyobb-e! A két szám közül a nagyobbat karikázd be színessel! Szám

1 3

5

1

3 7

083

−

2 3

−

5 4

Reciproka

3

1 5

7 10

100 83

−

3 2

−

4 5

−12 −

5 6

504

03˙

06˙

25 126

3

3 2

334. Számold ki a következő kifejezések reciprokát! Hasznos feladat a törtekkel való műveletek újbóli gyakoroltatására is. 93

Műveletek törtekkel 2 3 4 d) 5 a)

5 5 12 → = 5 8 12 5 · =1→1 4 ·

b)

2 5 16 + 15 31 2 5 16 − 15 1 24 = → = → 24 + = c) − = 24 31 24 24 3  8  24 3 8 4 4 16 16 16 − = 0 → Nincs reciproka. e) · − = 5 5 25 25 25 





1 4 3 50 3 15 + 8 3 23 23 = · = → + g) · = · 5 30 5 30 50 23 5 2 15

3 1 4 4 9 + 8 17 30 3 + = = → f) · + = 30 30 17 5 2 15 10 15

4 3 1 7 50 3 15 − 8 3 7 = · = → − h) · = · 5 30 5 30 50 7 5 2 15 335. Mekkora annak a háromszögnek a területe rácsegységben mérve, amelynek csúcspontjai:

A(0; 0),

B





C

1 2 ; az első jelzőszám reciproka , 2





3 a második jelzőszám reciproka; − ? 4

Ebben a feladatban a hosszúság mértékegysége a számegyenesen felvett 1 egység hosszúságú szakasz, ezért válaszodat „rácsegységben” add meg.

y

1 −2

Q N

B R

M

−1 3

A

4

S

C

2 1 1

2

3

P

−1

x

A keresett háromszög csúcspontjai:     A(0; 0) B 2 12 ; 52 C − 43 ; − 34 A CPBQ „befoglaló” téglalap területéből el kell vennünk az 1 , 2 , 3 és 4 területeket.

CPBQ oldalai: CP = 34 + 52 = 236 , T

=

23 23 529 · = 6 20 120

5 2 · 529 8 T 2 4 ARBM 2 5 =1 = = T = T = · = 2 3 240 2 2 2 5 3 15   529 1 1 8 529 529 23 529 − 368 161 − + + + − = = ≈ 0 67 e2 = = 120 240 2 2 15 240 15 240 240

T 1 = T2 T

PB = 43 + 25 = 23 20 = T 4 = TNCSA 2

Ötletet és sok munkát igénylő feladat, otthoni szorgalminak ajánljuk.

Osztás tört alakú számmal 336. Írd a megfelelő számokat a keretekbe, majd számolj! a) 3 : c)

1 =3· 2 =6 2

3 1 3 21 : = · 7 = 5 5 7 5 



5 −5 −3 5 −2 = e) − : = · 2 2 3 3 3 94

b) 4 :

2 3 =4· =6 2 3

1 1 1 15 d) 2 : = 2 · 3 = 2 2 3 2 f) 07 :

4 9 63 = = 07 · 4 40 9

4 3 · 3 4 =1 2 2

Műveletek törtekkel 337. Végezd el a kijelölt osztásokat! 5 4 35 : = 3 7 12 52 13 4 e) = : 27 9 3

a)

1 1 3 : = 2 3 2 4 f) 0 : = 0 5

c)

5 5 7 : = 4 7 4 3 39 4 g) : = 4 16 13

d)

4 8 2 b) 10 : 11 = 9 8 9

5 3 1 c) 31 : 20 = 4 6 2

d)

b)

338. Számítsd ki! 42 2 a) :8 =1 5 5

3 13 9 = : 11 3 143 57 19 3 h) = : 101 1616 16 1575 2025 28 : = 9 49 196

339. Oldd meg az egyenleteket! Karikázd be annak a feladatnak a betűjelét, amelynek eredménye végtelen szakaszos tizedes tört! 5 72 ·a =8 a = 5 9 2 1 c) · c = 3 c = 15 9 3

a)

21 b · 56 = 78 b = 20

b)

−49 5 ·d =4 11 11

d)

d = −1

Mindegyik tört tizedes tört alakja véges tizedes tört.

340. Végezd el a kijelölt műveleteket! Karikázd be annak a feladatnak a betűjelét, amelynek eredménye végtelen szakaszos tizedes tört! 

a) 

c)



1 24 7 3 48 16 ·2= = : = + 15 5 5 15 2 15



b)



3 5 3 37 30 3 7 4 7 − 4 −3 : = : = · = 8 8 4 8 3 6 8 4 4

7 3 1 7 6 9 = + : = + 5 15 2 5 15 5

3 3 37 15 4 37 5 3 − · = −5=− d) 4 − 3 : = 8 4 3 8 8 8 4 4

341. Írd a karikába a hiányzó számokat, és pótold a nyilakról a hiányzó számokat és a műveleti jeleket! 

a)

3 4

6 20 :



1 : 3

2 · 5 b)

−

5 7

2 5

1 · 1 2 −

·

15 7

c)



8 5

16 15

1 3

:1

1 2

342. Pótold a hiányzó számokat!

a)

3 2

2 része 5 5 része 2

3 5

b)

−

4 5

3 része 4 − 4 része 3

3 5

c)

2

4 5

5 része 3 3 része 5

14 3

95

Műveletek törtekkel 343. Pótold a hiányzó számokat! a)

2 3

1 2

b)

3 5

5 2

+ 7 6

22 7

13 6

·

:

3 2

2 3

·

−

2 3

5 6

3

3

1 4

344. Pótold a hiányzó számokat! a) 5 :

1 2 1 1 5 5 = 10 : = : = : 3 2 3 3 9 6

b)

9 4

:

3 3 1 1 21 7 1 = : = : : = 2 6 2 4 2 4 4

345. A nyíl a kétszer akkorára mutat. Pótold a hiányzó számokat! 8 2 2 5 8 : 10 : 5: 10 : 3 3 9 3 3

40 :

4 3

346. Számítsd ki az emeletes törtek értékét! Ne erőltessük az emeletes törtekkel való számolást! Ez a feladat csupán azt a célt szolgálja, hogy a gyerekekben tudatosítsuk, hogy a tört egy kijelölt osztás.

a)

3 18 6 = =3· b) 25 25 25 6

1 11 3 2 11 39 3 13 4 = 11 · 8 = 22 c) 7 = 15 · 2 = 6 d) · = = 3 1 17 4 3 3 7 5 7 13 22 2 2 1− 8 2 39

2

Osztás tizedes tört alakú számmal 347. Töltsd ki az üres helyeket! a) 132 : 04 =

66 : 03 = 85 : 05 = 64 : 08 =

= 33

66 : 3

= 22

85 : 5

= 17

64 : 8

=

8

c) 1532 : 02 = 1532 : 2

= 766

543 6 : 18

= 30 2

304 5 : 15

= 20 3

783 9 : 13

= 60 3

5436 : 18 = 3045 : 15 = 7839 : 13 =

96

132 : 4

b) 122 : 002 =

204 : 006 = 168 : 003 = 224 : 007 =

d) 012 : 03 =

06 : 002 = 023 : 08 =

064 : 016 =

1220 : 2

= 610

2040 : 6

=

340

1680 : 3

=

560

2240 : 7

=

320

12 : 3

= 04

60 : 2

= 30

23:8

= 0 2875

64 : 16

=

4

Műveletek törtekkel 348. Ügyesen számolj! a) 9729 : 23

b) 9729 : 23

c) 9729 : 023

d) 09729 : 0023

Az osztandó és az osztó azonos arányban változott, ezért mindegyik hányados 42 3.

349. Minél kevesebb számolással dolgozz! a) 52836 : 42 b) 26418 : 21

c) 52836 : 042

d) 26418 : 21

Az a), b) és c) feladatoknál az osztandó és az osztó azonos arányban változott, ezért

a = b = c = 125 8.

A d) feladat eredménye a b)-nek a századrésze: 1 258.

350. Végezd el a kijelölt osztásokat! b) 8242 : 013 = 63 4 a) 3618 : 134 = 2 7 d) 542 : 01˙ = 487 8

c) 243712 : 034 = 716 8

1 1 Fel kell ismerni, hogy 0 1˙ = . Így 54 2 : = 54 2 · 9 = 487 8. 9 9

351. Keresd meg a nyitott mondatok megoldását! Differenciált óravezetésre alkalmas feladat. 7 8 x = 638 b) 12 · x = 6552 x = 5 46 c) −003 · x = 0984 ·x = 5 45    2 5 5 7 5 5 150 71 75 d) 1 + 07 · x = · x = , innen + ·x = , x = = . 4 30 4 284 142 3 4 3 10

a)





1 3 − 325 · x = 0 4

e)

f) 92 · x − 168 = 600

x tetszőleges szám lehet.

x = −32 8

x = 65 4

4 352. a) 04 · x + 8 : 4 = 7 0 4x + 2 2 = 7, innen x = 12. 5  1 b) 35 + 2 : x = 23 5 75 : x = 2 3, innen x = 2 5. 4 c) 28 · x 





1 1 = 5 : 1 − 2 · 7 A jobb oldalon lévő műveletsor eredményét kell először kiszámolni: 4 2

     21 21 3 21 2 7 3 : − 2 ·7 = · − 2 ·7 = − 2 ·7 = ·7 = = 10 5. Így 2 8x = 10 5. Innen x = 3 75. 4 2 4 3 2 2 2

353. Oldd meg az egyenlőtlenségeket, és a megoldásodat ábrázold számegyenesen! a) 23 · x

5 2921 x 5 12 7

b) 48 · x

> 7104 x > 14 8

c) 013 · x

< 8502 x < 654

354. Az 1998-as Guinness Rekordok Könyvéből: A világ leggyorsabb szőlőevő embere Jim Ellis (USA). 139 kg szőlőt evett meg 346 másodperc alatt. Feltételezve, hogy egyenletes ütemben csemegézett, töltsd ki a táblázatot! Szőlő (kg) Idő (mp)

139

346

355. Két szám összegének az

0 2 kg

0 08 kg

5

2

012

092

≈ 3 mp ≈ 22 9 mp

1 része 84. Az egyik szám a 32. Melyik a másik? 3

A két szám összege 8 4 · 3 = 25 2. Innen a keresett szám 25 2 − 3 2 = 22.

97

Műveletek törtekkel 356. A világ fagylaltevő rekordere Tony Doweswell (New York), aki 153 kg fagyit evett meg 3167 mp alatt. Ne utánozd, inkább töltsd ki 0765 096 0 386 kg 0 125 kg Fagyi (kg) 153 a rá vonatkozó táblázatot! Idő (mp) 3167 15 835 mp 19 87 mp 8 26 Feltételezzük az egyenletes fagyifogyasztást! A tizedes törttel való szorzást és osztást gyakoroltatja a 354. és 356. feladat. Mindig becsültessük meg a keresett eredményt és csak azután számoljunk! A repülőgépek szárnya fokozatosan keskenyedik az ábrán látható módon. Hányad részére keskenyedik el a MiG–25-ös szárnya, és hányad részére a Boeing–747-esé? a = 288 m c = 385 m b = 588 m d = 1423 m

357.

MiG–25

Boeing–747

a : b = 2 88 : 5 88 ≈ 0 489, azaz körülbelül a felére keskenyedik. Boeing–747: c : d = 3 85 : 14 23 = 0 27, azaz körülbelül a harmadára keskenyedik.

MiG–25:

Nézz utána, hogy napjainkban melyik a leggyorsabb utasszállító repülőgép! Hányszorosa a sebessége a magyar autópályán engedélyezett maximális sebességnek? A hangsebesség feletti utasszállító repülőgépek fejlesztése a hatvanas években volt a figyelem középpontjában, az 1225 km=órás határt először a szovjet Tupoljev Tu–144-nek sikerült átlépni, igazán híressé azonban a második, a francia–brit fejlesztésű Concorde lett, amely három és fél óra alatt szelte át az Atlanti-óceánt. A legnagyobb attrakciója az volt, hogy Londonban napnyugta után szállt fel, aztán az óceán fölött 2000 kilométeres tempóval beérte a Föld tengely körüli forgását, és fényes nappal landolt, az utasok órái szerint még azelőtt, hogy felszállt volna. Nem sokkal az Air France 4590-es járatának 2000. július 25-i balesete után a Concorde-okat kivonták a forgalomból, és azóta nem is készült újabb, hangsebesség felett járó utasszállító. (Forrás: http://index.hu/tech/2010/11/05/a vilag leggyorsabb utasszallito repulojet epiti a nasa)

358. Egy fa életkorára törzsének vastagságából lehet következtetni. Egy kifejlett fa kerülete 15 m magasságban évi 25 cm-t nő (sűrű erdőben csak a felét). a) Egy magányos bükkfa kerülete 15 m magasságban 120 cm. Hány éves ez a fa? Ha ugyanezt az értéket egy sűrű erdőben mérték, akkor hány éves fát mértek meg? A magányos bükk 120 : 2 5 = 48 éven át növekedett, miután már elérte az 1 5 m mérési magasságot, így legalább 50 éves a fa. Sűrű erdőben körülbelül kétszer ilyen idős egy azonos kerületű fa.

b) A jelenlegi legnagyobb tömegű faóriás az USA-ban található, Sherman tábornok névre keresztelt hegyi mamutfenyő. Ez 84 m magas, tömegét 1487 t-ra becsülik, és a kerülete 241 m. Mennyi idős lehet ez a fa? A hegyi mamutfenyő életkora e számítási módszer alapján 2410 : 2 5 = 964 év. (Azonban a fák növekedését sok tényező befolyásolja – például az időjárás, az erdőtüzek –, így ennek a fának a korát 2500 évre becsülik a szakértők.)

98

Műveletek törtekkel 359. Édesanya elküldte két fiát vásárolni: Csabát gyulaiért, Gyulát csabaiért. Csaba 990 Ft-ot fizetett 045 kg gyulaiért, Gyula pedig 1520 Ft-ot 62 dkg csabaiért. Melyik fajta kolbász a drágább? Gyulai kolbászból 1 kg 990 : 0 45 = 2200 Ft, csabai kolbászból 1 kg ára 1520 : 0 62 ≈ 2450 Ft, vagyis ez a drágább.

360. a) Mennyi a 60-nak a 06 része? 60 · 0 6 = 36 b) Melyik az a szám, amelynek a 06 része 60?

x · 0 6 = 60, innen x = 60 : 0 6 = 600 : 6 = 100.

361. A táblázat téglalapok adatait tartalmazza. Töltsd ki az üresen hagyott helyeket! 34 cm 112 cm

Hosszúság Szélesség Kerület Terület

3 06 cm

9 04 cm

24 cm 1092 cm

3 808 cm2

7 344 cm2

803 cm

56 dm

2 4 cm

42 dm

20 86 cm

196 dm

19272 cm2

2352 m2

362. Melyik mosóport célszerű megvásárolni? Mennyi a megtakarításunk 1 kg mosóporra számítva, ha az 500 g-os csomag ára 560 Ft, míg a 36 kg-os családi csomag ára 3600 Ft ugyanabból a mosóporból. Bármilyen tömegegységgel számolhatunk. Például 1 kg esetén az első esetben 1120 Ft, míg a második esetben 3600 : 3 6 = 1000 Ft a fizetendő összeg, vagyis az utóbbi esetben kilogrammonként 120 Ft a megtakarítás.

2 5 363. Melyik az a szám, amelynek a 075 része annyi, mint a 15 -nak a része? 8 7 5 2 125 15 · = 8 7 8 125 Innen x = 28

3 125 2 125 = . A keresett számra felírható: x · = . 7 28 4 28   125 3 125 3 125 4 125 : = · = . Ellenőrizzünk! · = 4 28 3 21 21 4 28

·

364. Mennyibe kerül egy 12 km hosszú út két oldalának fásítása, ha a facsemetéket 52 m távolságra kell egymástól ültetni, és egy csemete ára 1580 Ft? Érdemes rajzolni: 12 000 : 5 2 ≈ 2307 6923 : : :.





52 m





52 m



12 000 m   52 m

De 2307 · 5 2 = 11 996 4 < 12 000. Ha nem is fér el még egy csemete, akkor is 2308 darab kell, mert a szakasz elejére, valamint az utolsó végére is ültetünk egy csemetét. Ezért mindkét oldalra 2308–2308 facsemete kell (ehhez kell a rajz, mert a végponthoz is kell még ültetni). A fizetendő összeg: 2 · 2308 · 1580 = 7 293 280 Ft. Beszélgessünk el a feladat kapcsán a gyerekekkel a faültetés fontosságáról!

365. Kertünk hossza 35 m, szélessége 32 m. Hány deszkát kell a kerítéshez beállítani, ha a deszkák 125 cm szélesek, és a kapuhoz 24 m-t kihagyunk? A kert kerülete:

K = 2(a + b) = 2(35 m + 32 m) = 134 m

A kapu miatt 134 m − 2 4 m = 131 6 m = 13 160 cm deszka kell. A deszkák száma: 13 160 cm : 12 5 cm = 1052 8, azaz 1053 darab kerítésléc kell.

366. Mennyibe kerül 1 kg alma, ha 54 kg-ot vettünk, és a 2000 forintból 470-et kaptunk vissza? A feladatmegoldás terve: (2000 − 470) : 5 4 = 283 3. Tehát 1 kg alma 285 Ft-ba kerül.

99

Műveletek törtekkel 367. Játék Vegyetek elő 1 piros és 2 kék korongot! Ezeket a korongokat kell az egyik játékosnak elhelyeznie a tenyerei alatt (hagyhatod üresen is az egyik kezed). A padtársad rámutat valamelyik kezedre, és kihúz onnan egy korongot. Te nyersz, ha piros korongot húzott, ő nyer, ha kéket. Figyeljétek meg, milyen elrendezésnél nyerhetsz a legnagyobb valószínűséggel! 1 valószínűséggel választja ki társunk azt a kezünket, amely alatt a piros korong van. 2 Lehetőségek: 1p 2k itt 1 a piros választásának az esélye. Így az egyik kézből 0, a másikból 1 · 1 = 1 3 2 3 6 a nyerés valószínűsége. Mindig

1p

1k

1k

1 1 1 1 · , illetve · 0; a nyerési esély . 2 2 2 4

1 1 1 · 1, illetve · 0; a nyerési esély . 2 2 2 Vagyis a harmadik elrendezés esetén a legnagyobb a nyerés valószínűsége. 1p

2k

Érdekes módon ezt az elrendezést nagyon ritkán alkalmazzák a gyerekek.

Legalább 20 játékot érdemes lejátszani a gyerekekkel. Ők gondolják végig, hogy milyen elhelyezési lehetőségek vannak, és húzzák a strigulákat győzelem esetén. Utána a részeredményeket érdemes összesíteni a táblánál; meglehetősen pontosan fogja követni a matematikai valószínűséget, amelyet utána a gyerekekkel együtt határozzuk is meg. 368. Triminó – Padtársaddal együtt dolgozzatok! Vágjátok szét a vonalak mentén kis háromszögekre az egyikőtök tankönyvének mellékletében található triminót, keverjétek össze a darabjait, majd próbáljátok újból összerakni a nagy háromszöget! Az összeillesztendő kis háromszögek oldalain azonos értékű kifejezések vannak. A társad szét nem vágott triminójával tudjátok ellenőrizni, hogy helyesen dolgoztatok-e. Megoldás a túloldalon. 369. Hány km-re lakik a Nagyi az unokától, ha autóval utazva hozzá az út 02 része után tartott a 2 család egy rövid pihenőt, majd a hátralévő út részének megtétele után kávéztak a szülők, 3 és ezután a hátralévő 64 km-t már megállás nélkül tették meg? hátralevő út 23 része 02 rész 64 km Érdemes rajzolni, a teljes út AB .

   B A   1 A 64 km az első pihenő után hátralevő út része, azaz az első pihenő utáni út 64 · 3 = 192 km. Ez a 3 192 km a teljes út 0 8 része. Innen a teljes út 192 : 0 8 = 240 km. Ellenőrizzük szöveg szerint a megoldást!

370. Egy üzletbe 4 egyforma láda alma érkezett. Ha mindegyik ládából kiveszünk 135 kg-ot, akkor összesen annyi marad, amennyi egy-egy ládában eredetileg volt. Mennyi alma volt egyegy ládában? Mindegyik ládából 13 5 kg-ot kivéve 13 5 · 4 = 54 kg-ot vettünk ki. Az alma mennyisége állandó. Mivel eddig 4 ládányi almánk volt, s most a 4 maradék ládányi alma összetölthető egyetlen ládába, ezért a kivett mennyiség 3 ládányi almának felel meg. Így egy ládában 54 : 3 = 18 kg alma volt eredetileg. Ellenőrizzünk!

A Nyitott mondatok, egyenletek, egyenlőtlenségek című témakör után érdemes egyenlettel is megoldani a feladatot. Ha az eredeti alma mennyisége egy ládában x , akkor az x = 4 · (x −135) egyenletet kapjuk. 100



 3 2 3 · 1 1 5

24

á tl

aga



5

4 4

és

2 9 3 5

1 2  3 :

1

2 12 · 3 25

4 4 5

2 14

7 ·2 33

1168 + 06

+3  2 ·1 5 2: 01

2

2 1 12 + 0 

5

23 ·0 ·1 7

2+ 1 2

1 reciproka 12 10 7

3 5 1 : − 2 4 5

3

ele af ak kán pro 2 reci

07

Műveletek törtekkel

101 3 5 + 11 33

Háromszögek, négyszögek, sokszögek

Háromszögek, négyszögek, sokszögek A háromszögek fajtái 371. a) Szögeik szerint csoportosítsd a háromszögeket! B , E : hegyesszögű háromszög; A, D : derékszögű

C : tompaszögű háromszög. b) Jelöld a háromszögek oldalai közül a befogókat pirossal, az átfogókat kékkel, a szárakat zölddel, az alapokat sárgával! Az A és a B háromszög egyenlő szárú. háromszög;

372. Színezd ki az ábrán lévő háromszögekből álló mozaikmintát, – a hegyesszögű háromszögeket pirosra, – a derékszögű háromszögeket kékre, – a tompaszögű háromszögeket sárgára!

373. A háromszögek kétféle csoportosítását szemléltetik a halmazábrák. A megadott címkék közül válassz a halmazábrákba illő feliratokat! A: derékszögű háromszögek B : egyenlő szárú háromszögek C : tompaszögű háromszögek D : egyenlő oldalú háromszögek E : hegyesszögű háromszögek F : szimmetrikus háromszögek G : háromszögek Melyik két meghatározás adja meg ugyanazt a halmazt? B és F

B =F

A

G

C

D

E 102

Háromszögek, négyszögek, sokszögek Szimmetrikus háromszögek 374. a) Rajzolj a rácsra 3 db különböző egyenlő szárú háromszöget! A háromszögeknek csak két oldala legyen egyenlő. b) Rajzolj a rácsra 4 db olyan háromszöget, amelynek minden oldala egyenlő! a)

b)

375. Színezd pirosra az ábrán az egyenlő szárú háromszögeket, kékre a derékszögű háromszögeket! Van-e olyan háromszög, amelyet mindkét színnel be kell színezni? Igen, vannak ilyenek, az egyenlő szárú derékszögű három-

*

szögek.

A ∗-gal jelölt háromszög szárainak egyenlőségét ellenőrizzük méréssel! A többi esetben a meredekségek összehasonlításával eldönthetjük a szakaszok hosszának egyenlőségét. 376. Keress a sokszögben olyan háromszögeket, amelyek közül egyet-egyet már berajzoltunk! Milyen fajtájú háromszögek ezek? Add meg a háromszögek szögeit is! Egyenlő szárú háromszögek, b) Egyenlő oldalú háromszögek, a) melyek csúcsszöge 72◦ , alapon fekvő szögeik 52◦ -osak.

melyeknek szögei 60◦ -osak.

377. Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, amelynek a) alapja 4 cm, szárai 5 cm hosszúak;

b) alapja 3 cm, szárai 45 mm c) alapja 56 mm, szárai 4 cm hosszúak; hosszúak!

A 377. feladatnál gyorsan ellenőrizhetjük a megoldást, a szerkesztés pontosságát, ha a diákok a másolópapírra rajzolt háromszögeket ráillesztik saját megoldásukra. 103

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 378. Megrajzoltuk néhány tükrös háromszög egy-egy részét. Az oldalakat vagy egy részüket fekete, a szimmetriatengelyeket sárga vonallal rajzoltuk. A csúcsokat nagybetűk jelzik. Egészítsd ki a rajzokat! b)

c)

C A

B t

A

B

d)

A

m

a)



B

t

A t

t

B

B

Fogalmazzák meg a tanulók, hogy a szimmetrikus háromszög mely tulajdonságát használták! Például a(z): a) feladatban azt, hogy a tengely felezi az alakzatot. b) feladatban azt, hogy a tengely felezi a szárszöget, vagy azt, hogy a szárak egyenlő hosszúak. c) feladatban azt, hogy a hiányzó csúcs

B tükörképe.

d) feladatban azt, hogy a magasság felezi az alakzatot.

379. Az alábbi derékszögű háromszögek közül melyik lehet egyenlő oldalú háromszög „egyik fele”? Amelyik lehet, azt egészítsd ki egyenlő oldalú háromszöggé úgy, hogy az általad megrajzolt tengelyre végezd el a tükrözést! b) m

1c m

2c

2 cm

a)

2 cm

c)

d) 24 cm

3 cm

12 cm

1 cm

380. Szerkessz tükrös háromszöget! Néhány részletét már lerajzoltuk. Szerkesztéssel fejezd be a rajzot! Hányféle háromszög szerkeszthető ezekből az adatokból? Hol helyezkednek el a hiányzó csúcsok? a) Adott a tengelye (t ) és egyik csúcsa (B ).

B  egyértelmű, de a harmadik csúcs a t tengely bármelyik pontja lehet, kivéve BB  felezőpontját.

104

C

C

B

C C B = A

t

Háromszögek, négyszögek, sokszögek b) Adott két csúcs (A és B ), közülük A csúcs c) Adott két szárának egyenese (a és b) és egy a tengelyen van. csúcsa (B ).

C

C

b B  = A1

B

B

C

B a= A2

t2

A

C

C

t1 A szárak szögének a szögfelezője a háromszög tükörtengelye (t1 és t2 ). A szárak metszéspontja adott, ez a háromszög egyik csúcsa. A B pont és a tükörképe a másik két csúcs.

B =C 

A csúcson átmenő bármelyik egyenes (kivéve AB -t) lehet a háromszög szimmetriatengelye. A tengelyre tükrözve a B csúcsot a háromszög harmadik csúcsát kapjuk. A B  = C csúcsra mindig teljesül, hogy AB = AC . Így ezek a csúcsok mind egy A középpontú AB sugarú körön van-

Kétféle háromszög rajzolható:

nak. Ennek a körnek bármelyik pontja megfelel a C csúcsnak, kivéve az AB egyenesre eső pontot.

d) Adott a tengelye (t ) és egyik szárának az egyenese (a ). A tengely és a szár metszéspontja meghatározza az egyik csúcsot. A másik szár az a szár tükörképe. A tengelyre bárhol merőlegest állítva (kivéve a C pontot) kijelöljük a szárakon a másik két csúcsot.

BC A1 és BC A2 .

a B

t A a = b

C

A

B

A háromszögek belső szögei 381. Rajzold le, majd vágd ki a háromszöget! Az ábra szerint hajtsd be a vonalkázott részeket a szaggatott vonalak mentén, és jelöld a csúcsoknál a háromszög szögeit! Mit tapasztalsz? A három csúcsnál levő szög együtt egyenesszöget alkot.

a)

b)

c)

d)

105

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 382. a) Mérd meg a háromszög belső szögeit, majd számítsd ki a három belső szög összegét! b) Rajzold be azokat a vonalakat, amelyek mentén behajtva a csúcsokat téglalapot kapunk! A téglalap előállítását a 381. feladatban láthatod. 82,9°

45° 65,6° 90° 45°

33,7°

63,4° 66°

48,4°

105,3°

34°

40,7°

Közelítő eredményt adhatunk csak meg. 383. Rajzolj „parkettamintákat” egybevágó háromszögekből négyzethálós, illetve sima lapra! a)

d)

b)

c)

e)

Sokféle ábra készülhet. A megoldásokból készítsünk bemutatót!

106

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 384. Judit az ábrán látható kártyavárat építette. Rajzold le elölnézetből a várat! Rajzodon a kis háromszögek szára 3 cm, a szárak szöge pedig 40◦ legyen! a) Mekkora a kis háromszög másik két belső szöge? = 70◦

b) Jelöld egyforma színnel az egyenlő szögeket az egész ábrán! = 40◦

385. Szerkeszd meg a háromszöget a megadott adatokkal, majd másold egymás mellé a belső szögeit egy körbe úgy, hogy azok szomszédos középponti szögek legyenek! a) A háromszög oldalai 45 cm hosszúak. b) A háromszög oldalai 4 cm, 4 cm és 5 cm hosszúak. Szabályos háromszög. g 4,5 cm

4,5 cm

g

b

4 cm

a

g

4 cm

b

a

b

a

b

a

g

5 cm

4,5 cm

c) Az egyenlő szárú háromszög oldalai 4 cm és 8 cm hosszúak.

g 8 cm

8 cm

g

b a

b

a 4 cm

386. Számítsd ki az egyenlő szárú háromszög hiányzó szögeinek nagyságát!

 = 61◦  = 61◦

a)

 = 35◦  = 35◦

b)

 = 46◦  = 88◦

c)

 = 33◦  = 114◦

d)

107

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 387. Mekkorák az egyenlő szárú háromszög szögei, ha a) szárszögének nagysága kétszerese az alapon fekvő szögeinek; 45◦ , 45◦ , 80◦ b) alapon fekvő szögeinek nagysága kétszerese a szárszögnek? 72◦ , 72◦ , 36◦ 388. Számítsd ki a derékszögű háromszög ismeretlen szögeinek nagyságát! a) A háromszög egyik szöge 47◦ -os. 90◦ , 47◦ , 43◦ b) A háromszög legnagyobb szöge kétszerese az egyik szögnek. 90◦ , 45◦ , 45◦ c) A háromszög legkisebb szöge ötöde a legnagyobb szögének. 90◦ , 18◦ , 72◦ d) A legkisebb és a legnagyobb szög összege 120◦ . 90◦ , 30◦ , 60◦ 389. Számítsd ki a háromszög szögeinek nagyságát! a) 56◦ , 62◦ , 62◦

b) 56◦ , 70◦ , 54◦

c) 60◦ , 60◦ , 60◦

34◦ 28 62◦ 56◦

A

C 

C

C

34◦

◦

20◦ ő lez gfe 65◦ szö

28◦ 28◦

62◦

B

A

70◦

B

A





B

A háromszögek külső szögei 390. Parkettázz a sávban a megadott háromszöggel! a) Színezd ugyanolyan színnel az egyenlő szögeket! C

A

B

b) Mérd meg az adott háromszög belső szögeit!  = 63◦ ,  = 45◦ ,  = 72◦ c) Mérd meg az A és a B csúcsnál lévő külső szögeket!   = 117◦ ,   = 135◦ d) Mit tapasztalsz, milyen kapcsolat van a háromszög belső és külső szögei között? A háromszög egy csúcsához tartozó külső és belső szögének összege 180◦ .

391. Másold le a teljes ábrát másolópapírra, majd vágd ki a határvonal mentén! Ezután az egyenes szakaszok mentén vágd be a kört, illetve a négyzetet a háromszög távolabbi csúcsáig! Ha jól dolgoztál, az ábra egy háromszögre és három szögtartományra esik szét. Rakd egymás mellé a három szögtartományt úgy, hogy a csúcsuk közös legyen! Mit tapasztalsz? Másold egymás mellé másolópapíron a három külső szöget úgy, hogy a csúcsuk közös legyen! Mit tapasztalsz? A három külső szög teljesszöget alkot, a három külső szög összege 360◦ .

108

Háromszögek, négyszögek, sokszögek

a)

b)

c)

392. Számítsd ki a háromszög külső szögeinek nagyságát! a)

b)

c)

a)

 = 125   = 125◦   = 110◦ 

◦

b)

 = 74   = 152◦   = 134◦ 

◦

c)

 = 128   = 142◦   = 90◦ 

◦

393. Számítsd ki a háromszög belső szögeinek nagyságát, ha adott két külső szöge!

a) 65◦ és 118◦ 115◦ , 62◦ , 3◦ b) 150◦ és 425◦ 30◦ , 1375◦ , 125◦ c) 29◦ 11 és 31◦ 59 Nincs olyan háromszög, amelynek két tompaszöge lenne. 109

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 394. Mekkorák a belső szögei annak a háromszögnek, amelynek minden külső szöge kétszerese a mellette lévő belső szögnek?  + 2 = 180◦ =⇒  = 60◦ . A háromszög szögei 60◦ -osak. A megoldáshoz készíthetünk rajzot.

395. Számítsd ki a háromszög belső szögeinek nagyságát, ha a) az egyik külső szöge háromszorosa a hozzá tartozó belső szögnek, a másik külső szöge 50◦ -kal nagyobb a megfelelő belső szögnél! 45◦ , 65◦ , 70◦ b) külső szögei közül az egyik 30◦ -kal kisebb, a másik 30◦ -kal nagyobb a harmadiknál! A háromszög külső szögei 90◦ , 150◦ , 120◦ , belső szögei: 90◦ , 30◦ , 60◦ .

396. Egy egyenlő szárú háromszög szárszögének és a hozzá tartozó külső szögének a különbsége 40◦ . Mekkorák a háromszög szögei? 55◦ , 55◦ , 70◦ vagy 35◦ , 35◦ , 110◦ 397. Számítsd ki a megjelölt szögek nagyságát!

 = 64◦ ,  = 80◦   = 116◦ ,   = 144◦

 = 41◦ ,  = 90◦ =   ,  = 49◦ = "   = 139◦ ,   = 131◦

 = 63◦ ,  = 80◦ ,  = 37◦   = 143◦

398. Lehet-e a 110◦ és az 50◦ egy háromszög a) két belső szöge; Igen, 110◦ , 50◦ , 20◦ a belső szögek. b) két külső szöge; Nem, a harmadik külső szög nem lehet 200◦ . c) egy belső és egy külső szöge? Igen, a 110◦ a külső szög, a belső szögek: 70◦ , 50◦ , 60◦ . 399. Igazak vagy hamisak az állítások? Válaszaidat indokold! A: Nincs olyan háromszög, amelynek két külső szöge 60◦ és 50◦. Igaz. Nem lehet két belső szög tompaszög.

B : A háromszög belső szögeinek összege fele a három külső szöge összegének. Igaz. A belső szögek összege 180◦ , a külső szögek összege 360◦ .

C : A tompaszögű háromszög külső szögei hegyesszögek. Hamis. A belső szögek közül csak egy a tompaszög, csak az ehhez tartozó külső szög hegyesszög.

D : Ha egy egyenlő szárú háromszög egyik külső szöge 150◦ , akkor a szárszöge 120◦ . Hamis. A szárszög lehet 30◦ is.

110

Háromszögek, négyszögek, sokszögek Szerkesztések körzővel és egyenes vonalzóval Nevezetes szögek szerkesztése körzővel, egyenes vonalzóval 400. Szerkessz 2 cm sugarú körbe egymáshoz csatlakozva egyenlő nagyságú középponti szögeket! Egy középponti szög nagysága a) 60◦ ;

b) 120◦ ;

c) 30◦ ;

d) 90◦ .

45°

401. Szerkessz 2 cm sugarú körbe 45◦ -os középponti szöget! 402. Az adott, párhuzamos egyenesekkel határolt sávba rajzolt szakaszok 60◦ -os szöget zárnak be egymással. Folytasd a szakaszok rajzolását a sávban legalább három 60◦ -os szög szerkesztésével! 60°

60°

60°

403. 60◦ -os szögből kiindulva szerkessz a) 30◦ , 30◦ = 60◦ : 2 d) 300◦ , 300◦ = 60◦ · 5

b) 150◦ , 150◦ = 60◦ + 60◦ + 60◦ : 2 c) 240◦ , 240◦ = 180◦ + 60◦ e) 330◦ -os szöget! 330◦ = 60◦ · 5 + 60◦ : 2

111

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 404. A berajzolt középponti szög egyik szárától kezdve egymás után szerkessz a megadott szöggel egyenlő középponti szögeket! Szögmásolással is szerkesztheted a szögeket. Hány szög összege lesz a teljesszög többszöröse? a)

b)

 = 30◦

c)

d)

 = 15◦

középponti szög

db

ennyi teljes kör

a)

30◦

12

1

b)

15◦

24

1

c)

75

◦

24

5

d)

165◦

24

11

 = 75◦

 = 165◦

Számolással ellenőrizzünk!

405. Szerkeszd meg az ábrákat! Mindegyik oldal hossza 2 cm, az egyformán jelölt szögek egyenlők. b) a)

Rajzoljuk másolópapírra a 2 cm oldalú sokszöget, a diákok ellenőrizzék szerkesztésüket! 406. Szerkeszd meg egy a) 60◦ -os szög

5 -ét; 72◦ 4

b) 120◦ -os szög

1 -át; 15◦ 8

c) 240◦ -os szög

3 -ét! 180◦ -os a szög 4

407. 90◦ -os és 60◦ -os szögből indulunk ki. A 360◦ -nál kisebb szögek közül melyeket szerkeszthetjük meg, ha a keresett szögek mérőszáma fokban mérve egész szám? 15◦ , 30◦ , 45◦ , 60◦ , 75◦ , 90◦ , 105◦ , 120◦ , 135◦ , 150◦ , 165◦ , 180◦ , 195◦ , 210◦ , 225◦ , 240◦ , 255◦ , 270◦ , 285◦ , 300◦ , 315◦ , 330◦ , 345◦ A megszerkeszthető szögek 15◦ többszörösei.

112

Háromszögek, négyszögek, sokszögek

408. Készíts hajtogatással egyenlő oldalú háromszöget egy téglalapból!

409. a) Az ábrák alapján hajtogass olyan hatszöget, amelynek oldalai és szögei egyenlők! b) Egy 6 cm oldalú szabályos háromszögben szerkeszd meg az utolsó ábrán látható hatszöget!

Háromszögek szerkesztése körzővel, egyenes vonalzóval 410. Szerkeszd meg a háromszöget!

Rajzoljuk másolópapírra a megfelelő méretre nagyított háromszögeket! A diákok ellenőrizzék szerkesztésüket! 411. Melyik három szakasz lehet egy háromszög három oldala? a) 1 dm, 2 dm, 3 cm 5 7 d) cm, cm, 2 cm 6 4

b) 3 m, 8 m, 6 m

c) 2 dm, 11 cm, 03 m

e) 73 mm, 006 m, 8 cm

f)

Az a) 10 cm, 20 cm, 3 cm esetben a három szakasz nem alkot háromszöget. A b), c), d), e) és f) esetben a megadott három szakasz lehet egy-egy háromszög három oldala.

113

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 412. Szerkeszd meg a háromszöget, ha adott három oldalának hossza! a)

a = 2 cm b = 4 cm c = 5 cm

a

c)

b

b)

a = 5 cm b = 5 cm c = 3 cm

c

Rajzoljuk másolópapírra a valós méretre felnagyított háromszögeket! A diákok ellenőrizzék szerkesztésüket! 413. Szerkeszd meg a háromszöget!

Rajzoljuk másolópapírra a valós méretre felnagyított háromszögeket! A diákok ellenőrizzék szerkesztésüket! 414. Szerkeszd meg a háromszöget, ha adott két oldala és az általuk bezárt szög! a) 27 mm, 36 mm, 30◦

c)

b 

114

a

b) 38 cm, 4

1 cm, 120◦ 2

Háromszögek, négyszögek, sokszögek

Rajzoljuk másolópapírra a valós méretre felnagyított háromszögeket! A diákok ellenőrizzék szerkesztésüket! 415. Szerkeszd meg a háromszöget, ha adott egy oldala és az arra illeszkedő két szöge! b) 48 cm, 30◦ , 120◦

a) 7 cm, 90◦ , 30◦

90°

30°

120°

30° 4,8 cm

7 cm

c)

Rajzoljuk másolópapírra a a valós méretre felnagyított háromszögeket! A diákok ellenőrizzék szerkesztésüket! 416. Szerkessz olyan derékszögű háromszöget, amelyben a befogók hosszúsága az alábbi! a) 14 mm és 28 mm

c)

b) 3 cm és

7 cm 2

a b

Rajzoljuk másolópapírra a valós méretre felnagyított háromszögeket! A diákok ellenőrizzék szerkesztésüket! 115

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 417. Szerkeszd meg a tetőtéri ablak ábráját a feltüntetett méretekkel!

4,5 cm 0,5 cm

Rajzoljuk másolópapírra a valós méretű háromszöget! A diákok ellenőrizzék szerkesztésüket! 418. Szerkessz olyan egyenlő szárú háromszöget, amelynek a) 42 mm-es szárai 60◦ -os szöget zárnak be; b) szárszöge 120◦ , szára 5 cm;

c) szára

szárszöge

;

!

Rajzoljuk másolópapírra a valós méretre felnagyított háromszögeket! A diákok ellenőrizzék szerkesztésüket!

419. Szerkessz olyan egyenlő szárú háromszöget, amelynek szára 3 cm, az alapja pedig centiméterben mérve egész szám! Hányféle háromszög szerkeszthető? Öt megoldás van.

116

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 420. Hányféle háromszög szerkeszthető, ha a megadott négy szakaszból hármat kiválaszthatunk? Szerkeszd meg a legkisebb kerületűt! a) 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm b) 2 cm, 2 cm, 4 cm, 5 cm c) 8 cm, 10 cm, 8 cm, 1 dm a) négyféle háromszög: 4 cm, 5 cm, 6 cm 4 cm, 5 cm, 7 cm 4 cm, 6 cm, 7 cm 5 cm, 6 cm, 7 cm

b) egyféle háromszög: 2 cm, 4 cm, 5 cm

c) kétféle háromszög: 8 cm, 8 cm, 10 cm 8 cm, 10 cm, 1 dm = 10 cm

b)

c)

A legkisebb kerületű háromszögek:

4 cm

4 cm

5

cm

8

5 cm

m

cm

6c

8

cm

a)

2 cm

10 cm = 1 dm

421. Szerkessz háromszöget, ha a háromszög a) derékszögű, átfogója 55 cm, egyik hegyesszöge 60◦ ; Másik szöge 30◦ . b) derékszögű, egyik befogója 29 cm, átfogója 56 cm; c) egyenlő szárú, alapja 6 cm, egyik szöge 30◦ ! Kétféle háromszög lehet. b)

5,5 cm

a)

c)

30°

60°

422. Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, ha a háromszög a) alapja 46 cm, és szárainak metszéspontja 3 cm-re van az alaptól; Oldalai 46 cm, 38 cm, 38 cm.

b) szára 7 cm, és az alappal szemközti csúcs 6 cm-re van az alaptól; Ilyen háromszög nincs. c) kerülete 18 cm, és szára 25-szer akkora, mint az alapja! Oldalai 3 cm, 75 cm, 75 cm. 423. Szerkessz olyan háromszöget, amelynek két oldala 45 cm és 6 cm, egyik szöge pedig 45◦ -os! Háromféle háromszög szerkeszthető.

117

Háromszögek, négyszögek, sokszögek

424. Három egybevágó egyenlő szárú háromszögből egyenlő oldalú háromszög rakható ki. Szerkeszd meg az egyenlő szárú háromszöget, ha az egyenlő oldalú háromszög oldalai 4 cm hosszúak!

További nevezetes szögek szerkesztése (Kiegészítő tananyag) 425. 60◦ -os szögből kiindulva szerkessz 345◦ -os szöget! 345◦ = 360◦ − (60◦ : 2) : 2

426. Szerkeszd meg a „virágot”, majd tetszés szerint színezd ki! A szögszerkesztésen kívül végezz szakasz- és szögmásolást is!

45°

2c m

30°

427. Szögmérő nélkül állapítsd meg a következőket! a) 15◦ -nál nagyobb-e az szög negyede?



 4



b) A 150◦ nagyobb-e, vagy a  szög kétszerese?

c) A 75◦ nagyobb-e, vagy a  és a  szög összege?

 + > 75◦ > 15◦

◦ 2  150 >





428. Szerkeszd meg a háromszöget! Mérd meg a háromszög oldalait, és számítsd ki a kerületét! a)

b)

7,9 cm

11,6 cm

11,6 cm

7,7 cm K = 17,6 cm K = 29,2 cm

118

Háromszögek, négyszögek, sokszögek c)

d) 6 cm

5,5 cm

2 cm

K = 14,5 cm K = 15 cm Mind a négy esetben egyértelmű a szerkesztés, hiszen a hosszabb oldallal szemközti szög adott. A c) háromszög szögei egész fokokban mérve 75◦ , 76◦ , 29◦ , a háromszög szárai körülbelül egyenlők.

429. Szerkessz egyenlő szárú háromszöget!

5

b)

cm

3,

K » 12 cm

5

45°

3,

a)

cm

b) alapja 8 cm, szárszöge 105◦ a) alapja 05 dm, alapon fekvő szöge 45◦ Mérd meg a háromszög oldalait, és számítsd ki a háromszög kerületét!

45° 5 cm

430. Szerkeszd meg a háromszöget! Mérd meg a háromszög oldalait, és számítsd ki a kerületét! a)

b) 5,2 cm

5,6 cm

K = 16,8 cm 8,1 cm

d) 2,4 cm

7,9 cm

3,3 cm

6,6 cm K = 17,1 cm

b) egyenlő szárú háromszöget, ha szára 75 cm, egyik szöge 75◦ ! Kétféle háromszög lehet.

75°

cm 7,5

75°

m 7,5 c

7,5 c m

431. Szerkessz a) derékszögű háromszöget, ha egyik befogója 5 cm, a befogóra illeszkedő szöge 67◦ 30 ; A másik szöge 90◦ .

8,6 cm K = 19,8 cm

7,5 cm

c)

75°

119

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 432. Szerkeszd meg a háromszöget! a) A derékszögű háromszög 52 cm-es befogójával szemben 375◦ -os szög van. A másik szög 525◦ .

b) Egyik oldala 4 cm, az oldallal szemközti szöge 120◦ , egy másik szöge 15◦ . A harmadik szög 45◦ .

120° 15° 4 cm

5,2 cm 37,5°

A négyszögek fajtái 433. Csoportosítsd a négyszögeket, majd írd a sorszámukat a megfelelő helyre!

3 6

2

1

8 7

9

4 10

14

13 11

12

5

15

16 17 18

Négyzet: – Téglalap: 5, 14, 17 Rombusz: 9 Paralelogramma: 5, 9, 13, 14, 17 Deltoid: 8, 9, 11 Trapéz: 3, 5, 6, 9, 13, 14, 16, 17, 18 Húrtrapéz: 3, 5, 6, 14, 16, 17

434. Rajzolj húrtrapézokat úgy, hogy az egyik csúcsuk az megrajzolt pontokra essen, például így:

A pont legyen, és a többi csúcsuk is a

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

a) Hány különböző (nem egybevágó) húrtrapézt találtál? 8-féle húrtrapéz b) Keresd meg közöttük a téglalapokat, és színezd ki őket zölddel! 5 téglalap van.

120

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 435. Rajzolj olyan négyszögeket, amelyekben a szimmetriatengelyek száma pontosan a) négy; négyzet

b) három; c) kettő; –

d) egy!

nem egyenlő oldalú téglalap, nem egyenlő szögű rombusz

deltoid, húrtrapéz, amely nem derékszögű

436. Szerkessz négy darab egybevágó háromszögből tengelyesen szimmetrikus négyszöget! Keress többféle megoldást! I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

A III. és IV. négyszögek egybevágók, tehát ötféle tengelyesen szimmetrikus négyszöget kaptunk.

121

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 437. Rajzolj egy-egy sokszöget a halmazábra minden tartományába! Ha valamelyik tartományba nem kerülhet semmi, azt satírozd be! a) b) négyszög négyszög té glala p

té glala p

tra p é z

c)

négyszög

d)

négyszög ro m b us z

té glala p

h ú rt ra p é z

d e lt oi d

d e lt oi d

438. Rajzolj négyszöget a halmazábra minden tartományába! Fogalmazz meg igaz állításokat az ábra alapján! a) né

d el

g

ro m b

h ú rt la

u

ra p

éz

mb

u sz

té g

la la p

té g la

d

d) ro

c)

toi

sz

zög

húrtrapéz

p

122

b) ys

tr a

húr

péz

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 439. Mely négyszögek tartoznak az egyes csoportokba? (A húrnégyszögek oldalai egy 5 Ft-osnak megfelelő kör húrjai.) konvex: A, B , C , D , E , F , G , H , I , J , K , M , N , O , P konkáv: L trapéz: A, C , D , E , F , I , J , K , M , O húrtrapéz: D , E rombusz: O téglalap: – paralelogramma: C , F , I , O húrnégyszög: B , D , E , G , N , P

440. Négyzetlapból sótartót hajtogathatsz. a) Eszter beszínezte a sótartót. A kiterített lapon hol vannak a színes tartományok? Az I J K , K ST , F GO , OQP háromszögeket lila színnel jelöltük a lapon.

b) Keress a hajtogatás után kiterített, megbetűzött lapon szimmetrikus sokszögeket! Írd a megfelelő sorba a csúcsainak betűjelét! Néhány sokszöget mi is megadtunk. Hegyesszögű háromszög: X Z G , Y Z G , : : : Derékszögű háromszög: I GM , I SR, : : : Tompaszögű háromszög: I M N , I SC , : : : Konvex deltoid: H LX N , H LN R , : : : Konkáv deltoid: SH QM , AF K I , : : : Húrtrapéz: SM N P , SLOP , : : : Rombusz: LX N C , LSRM , : : : Téglalap: LSQN , C LQF , : : : Négyzet: KI M S , I GQS , : : : Másféle háromszög: Nincs. 123

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 441. Az állítások a megadott sokszögekre vonatkoznak. Döntsd el, melyik igaz (I), melyik hamis (H), és írd a megfelelő betűt az állítások után!

a) c) d) e) f) g)

Amelyik négyszög, az tükrös. Igaz. b) Amelyik tükrös, az négyszög. Hamis. Mindegyik négyszögnek legalább két tengelye van. Hamis. Van olyan sokszög, amelyiknek hat szimmetriatengelye van. Igaz. Mindegyik hatszögnek hat szimmetriatengelye van. Hamis. Van olyan sokszög, amelynek három szimmetriatengelye van. Hamis. Mindegyik sokszög tükrös. Igaz.

442. Készíts szimmetrikus alakzatokat csak hajtogatással írólapból! Mindegyik feladathoz külön papírt használj! Hajtogass a) tükrös háromszöget, b) konvex deltoidot, c) nem konvex deltoidot, d) téglalapot, e) négyszöget, f) rombuszt, g) párhuzamos egyenespárt, h) szimmetrikus ötszöget, i) húrtrapézt!

AU X C téglalap a 440. b) feladat ábráján. A megoldás lehet: a) BU X b) BJ V H c) AV C I d) AJ H C e) BK SC f) BK V M g) J S és BM az egyenespár egy része h) I K SRH i) C J T X

Az írólapot szemléltetheti például az

Az a), b), d), e), f), h), i) konvex sokszögek esetén a felesleges részek hátrahajtása után csak a sokszöglap látható. A c) konkáv négyszögnek az oldalait mutatják a hajtásélek, de a felesleg nem hajtogatható hátra.

A felsorolt alakzatok mindegyikét előállíthatjuk csupán egy üres papírlap hajtogatásával. Nagyon fontos gyakorlat ez, hiszen az adott alakzat speciális tulajdonságait tudatosan végig kell gondolni ahhoz, hogy hajtogatással elő tudjuk állítani a kívánt alakzatot. Máshogy, mélyebben értik meg a gyerekek azt, amit a kezükkel is végigcsináltak. Minél több érzékszervüket bevonjuk a tanulásba, annál eredményesebbek leszünk a tanításban. A tükrös alakzatoknál először a tükörtengelyt hajtsuk meg! A d) vagy a g) feladatban merőleges egyeneseket kell hajtogatással előállítani. Ez már tavaly is előfordult, jó ha felelevenítjük. 443. Döntsd el, melyik igaz (I), melyik hamis (H), és írd a megfelelő betűt az állítások után! b) Van olyan deltoid, amelyik trapéz. Igaz. a) Minden deltoid négyszög. Igaz. c) Minden négyzet téglalap. Igaz. d) Minden húrtrapéz téglalap. Hamis. e) Minden téglalap húrtrapéz. Igaz. f) Minden rombusz trapéz. Igaz. g) Van olyan húrtrapéz, amelynek minden oldala egyenlő. Igaz. h) Van olyan trapéz, amelynek az átlói egyenlő hosszúak. Igaz. 124

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 444. Tedd igazzá a nyitott mondatokat! A trapéz , deltoid , húrtrapéz , téglalap , rombusz , négyzet elnevezések közül válogass! Minden húrtrapéz trapéz . Van olyan téglalap, amely deltoid . Nincs olyan négyzet, amely ne lenne téglalap . Ha egy négyszög rombusz , akkor az átlói merőlegesek egymásra. Ha egy téglalap négyzet , akkor az átlói merőlegesek egymásra. Ha egy deltoid téglalap , akkor az négyzet. Van olyan deltoid, amely nem rombusz . Nincs olyan rombusz, amely ne lenne deltoid . Sok más megoldás is adható.

445. Döntsd el, melyik igaz (I), melyik hamis (H), és írd a megfelelő betűt az állítások után! a) A húrtrapéz átlói egyenlő hosszúak. I b) A négyzet nem deltoid. H c) Van olyan deltoid, amelyik rombusz. I d) Minden deltoid rombusz. H e) Van olyan téglalap, amelynek az oldalai egyenlő hosszúak. I f) Minden húrtrapéz alapjai különböző hosszúságúak. H g) Nincs olyan húrtrapéz, amelynek minden oldala különböző hosszúságú. I h) Van olyan deltoid, amelynek pontosan három egyenlő hosszúságú oldala van. H i) Van olyan húrtrapéz, amelynek pontosan három egyenlő hosszúságú oldala van. I j) Van olyan paralelogramma, amely nem trapéz. H k) Minden téglalap húrtrapéz. I 446. Rajzolj olyan sokszögeket, amelyekre egyszerre teljesülnek az alábbi állítások! (1) Mindegyik háromszög tükrös. (2) Mindegyik négyszögnek legalább két szimmetriatengelye van. (3) Van közöttük olyan, amelyiknek nincs tengelye. (4) Mindegyik hatszög tükrös. Például ez a sokszöghalmaz megfelel:

125

Háromszögek, négyszögek, sokszögek A négyszögek szögei 447. a) Hány négyzet van az ábrán? 6 négyzet

b) Hány négyzet van az ábrán? 10 négyzet Hány téglalap van az ábrán? 18 téglalap

448. a) Hány téglalap van az ábrán? 9 téglalap b) Hány rombusz van az ábrán? 5 rombusz

449. Bontsd fel egy egyenessel egy háromszögre és egy négyszögre az alábbi sokszögeket!

450. Hány oldalú lehet az a sokszög, amelyet egy egyenes két háromszögre bont? három-, négy-, öt-, hatoldalú sokszög.

451. Parkettázz egybevágó négyszögekkel, majd színezd ki az ábrádat! a)

126

b)

c)

d)

e)

f)

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 452. Mérd meg a négyszög belső szögeit, majd add meg ezek összegét! A belső szögek összege 360◦ .

 = 90◦  = 123◦

 = 57◦  = 90◦

 = 41◦  = 50◦

 = 131◦  = 138◦

 = 23◦  = 33◦

 = 34◦  = 270◦

453. Másold egymás mellé a négyszög négy belső szögét úgy, hogy a szögek csúcsa megegyezzen! Mit tapasztalsz? A négy belső szög együtt teljesszöget alkot.

 = 1264◦  = 536◦  = 64◦  = 116◦

 = 67◦  = 113◦  = 67◦  = 113◦

 = 111◦  = 79◦  = 111◦  = 59◦

454. Számítsd ki a négyszög ismeretlen belső szögeinek nagyságát! a) A rombusz egyik szöge 73◦ . 107◦ , 73◦ , 107◦ b) A tengelyesen szimmetrikus trapéz egyik szöge 110◦ 47 . 110◦ 47 , 110◦ 47 , 69◦ 13 , 69◦ 13 c) A deltoid két szemközti szöge 30◦ és 70◦ . 30◦ , 130◦ , 70◦ , 130◦ d) A deltoid két szomszédos szöge 60◦ és 100◦ . 100◦ , 60◦ , 140◦ , 60◦ vagy 60◦ , 100◦ , 100◦ , 100◦ e) A deltoid két szomszédos szöge 42◦ és 106◦ . 42◦ , 106◦ , 42◦ , 170◦ vagy 42◦ , 106◦ , 106◦ , 106◦ f) A rombusz egyik szöge 40◦ -kal nagyobb a másiknál. 70◦ , 110◦ , 70◦ , 110◦ 455. Számítsd ki az ismeretlen belső szögek nagyságát! a)

b)

c) 36°

127

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 456. Másold le a teljes ábrát másolópapírra, majd vágd ki az ábrát a határvonal mentén! Ezután az egyenes szakaszok mentén vágd be a kört, illetve a négyzetet a négyszög távolabbi csúcsáig! Ha jól dolgoztál, az ábra egy négyszögre és négy szögtartományra esik szét. Rakd egymás mellé a négy szögtartományt úgy, hogy a csúcsuk közös legyen! Mit tapasztalsz? A négy külső szög teljesszöget alkot, a négy külső szög összege 360◦ .

a)

b)

457. Mekkorák a rombusz a) külső szögei, ha egyik belső szöge 675◦ ; 1125◦ , 675◦ , 1125◦ , 675◦ b) külső szögei, ha egyik külső szöge 105◦ ; 105◦ , 75◦ , 105◦ , 75◦ c) belső szögei, ha egyik belső szöge 463◦ ; 463◦ , 1337◦ , 463◦ , 1337◦ d) belső szögei, ha egyik külső szöge 357◦ ? 357◦ , 1443◦ , 357◦ , 1443◦ 458. Mekkorák a deltoid belső és külső szögei, ha a) két belső szöge 72◦ , a harmadik szöge 150◦ ; A deltoid belső szögei: 72◦ , 150◦ , 72◦ , 66◦ . A deltoid külső szögei: 108◦ , 30◦ , 108◦ , 114◦ .

b) két belső szöge 72◦ , a harmadik szöge 108◦ ; A belső szögek nagysága: 72◦ , 108◦ , 72◦ , 108◦ . A külső szögeké: 108◦ , 72◦ , 108◦ , 72◦ . Ez a deltoid rombusz.

c) két belső szögének összege 180◦ , a harmadik belső szöge 48◦ ; A deltoid belső szögei: 90◦ , 48◦ , 90◦ , 132◦ . A deltoid külső szögei: 90◦ , 132◦ , 90◦ , 48◦ .

d) két belső szöge 45◦ , a harmadik belső szöge 235◦ ? A deltoid belső szögei: 45◦ , 235◦ , 45◦ , 35◦ . Konkáv szög külső szögét nem értelmeztük.

128

Háromszögek, négyszögek, sokszögek Négyszögek szerkesztése 459. Szerkeszd meg a rombuszt! a)

b)

460. Szerkeszd meg a deltoidot! b)

2

cm

a)

461. Szerkeszd meg a húrtrapézt! a)

b) m 3c 9 cm

c)

d)

129

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 462. Szerkessz rombuszt! a) Átlóinak hossza 62 mm és 31 mm.

b) Oldala 25 cm, és két egyenlő oldalú háromszögre bontható.

c) Oldala 4 cm, és egyik belső szöge 120◦ .

d) Egyik átlója 3 cm, oldala ennek kétszerese.

463. Szerkeszd meg a deltoidot, ha a) oldalai 5 cm és 3 cm hosszúak, és az 5 cm-es oldalak 60◦ -os szöget zárnak be; Konvex és konkáv deltoid a megoldás. Szerk.: AB = = BC = 5 cm, ABC

= 60◦ , AD = C D = 3 cm

3 cm

3 cm

A 5 cm

b) a szimmetriaátlója 7 cm, és 60◦ -os, illetve 240◦ -os szöget felez ez az átló! Egyértelmű a megoldás. Szerk.: BD = 7 cm, DBA = 120◦ , tükrözés BD -re C = A

D

A

C

60°

5 cm

3 cm 3 cm D

5 cm

60° B

B

C

5 cm A

BDA = 30◦ ,

464. Ábrázold derékszögű koordináta-rendszerben az A(4; 4), B (6; 10), C (10; 10) pontokat! Határozd meg a D pont koordinátáit, ha ABCD négyszög tengelyesen szimmetrikus! Keress többféle megoldást! 3 húrtrapéz és 3 deltoid a

B

60°

7 cm

240° D

megoldás.

C

130

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 465. Ábrázold derékszögű koordináta-rendszerben a (3; 4), (5; 6), (7; 4) pontokat! Szerkessz olyan negyedik pontot, amellyel együtt egy szimmetriatengelye van a négy pont által meghatározott négyszögnek! Lehet-e négy szimmetriatengelye a négyszögnek? Egy szimmetriatengelye van a négyszögnek, ha a negyedik csúcs első koordinátája 5, és a második koordináta nem 2, 4 vagy 6. Négy szimmetriatengely is lehet: (5; 2) pontnál.

466. Szerkessz húrtrapézt, ha az a) egyik alapja 6 cm, szára 2 cm, és egyik belső szöge 60◦ ; Kétféle húrtrapéz lehet. b) alapjai 4 cm és 25 cm hosszúak, az alapok távolsága 5 cm; Egy megoldás van. c) 5 cm-es átlója 60◦ -os szöget zár be a 3 cm-es alapjával! Egy megoldás van. a)

b)

467. Egy húrtrapéz átlója merőleges a szárára. Rövidebb alapja egyenlő a szárával. Mekkorák a belső szögei? Szerkeszd meg a trapézt, ha a rövidebb alapja 3 cm!

c)

120° 30° 30°

30°

60°

468. A négyzetlapból hiányzik a szürkével jelölt rész. Megfelelő hajtogatással és egy, illetve a d) feladatban két egyenes vágással készítsd el a „lyukas” négyzetet!

131

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 469. Szerkeszd meg a rombuszt! a)

b)

470. Szerkeszd meg a deltoidot! a)

b)

471. Szerkessz a) deltoidot, ha a szimmetriatengelyre merőleges átlója 4 cm, és ez az átló 60◦ -os és 45◦ -os szögre bontja a végpontjánál lévő szöget; Egyértelmű a megoldás. Szerk.:

AT = T C = 2 cm, BD ⊥ AC , T AB = 45◦ , T AD = 60◦

45° 4 cm 60°

b) deltoidot, ha a 9 cm-es szimmetriátlója 75◦ -os szöget zár be a 4 cm-es oldalával; Konvex és konkáv deltoid is megoldás. Szerk.: BD = 9 cm, ABD = 75◦ , BA = 4 cm, illetve BD = = 9 cm, ABD

= 180◦ − 75◦ = 105◦ , BA = 4 cm, BD tengelyre tükrözve C = A

4 cm

c) húrtrapézt, ha a hosszabb alapja 7 cm, szára 4 cm, és egyik belső szöge 675◦ -os! Egy megoldás van.

9 cm

75°

4 cm 67,5°

132

7 cm

Háromszögek, négyszögek, sokszögek Derékszögű háromszögek kerülete, területe 472. a) Váltsd át centiméterre! 234 dm = 234 cm

1 dm = 25 cm 4

2

7 mm = 07 cm

125 mm = 125 cm

200 mm = 2 dm

19 m = 190 dm

5 m = 625 dm 8

63 mm = 063 dm

4

31 dm = 310 cm 1 dm = 22 cm 5 b) Váltsd át deciméterre!

218 cm = 218 dm

3 m = 46 dm 5

c) Váltsd át négyzetdeciméterre! 7000 cm2 = 70 dm2 29 000 mm2 = 29 dm2

86 m2 = 860 dm2

21 m2 = 2100 dm2 7 2 m = 350 dm2 2

13 km2 = 130 000 000 dm2

d) Váltsd át négyzetcentiméterre! 100 mm2 = 1 cm2 10 500 mm2 = 105 cm2

17 dm2 = 1700 cm2 5 dm2 = 125 cm2 4

2 m2 = 20 000 cm2 28 m2 = 28 000 cm2

473. Számítsd ki a téglalapok kerületét és területét!

K = 8 cm T = 3 cm2

K = 152 m T = 1408 m2

K = 606 cm T = 20 300 cm2

K = 282 dm T = 486 dm2

2 részén virágot ültettek, 3 a többi füves terület. Mekkora az egyes részek területe?

474. Egy 45 m×81 m méretű téglalap alakú kert

A 81 méter hosszú oldal mentén harmadoltuk a téglalapot. A füves rész terü81 = 45 · 27 = 1215 m2 , a virágos rész: T = 45 · 54 = 2430 m2 . lete: T = 45 · 3

475. Egy téglalap alakú parkot átlósan egy út választ ketté. A téglalap oldalai 150 m és 210 m hosszúak. Mekkora az út által létrehozott részek területe? A téglalap területét felezi az átlóegyenese. A két rész területe:

T = 150 · 210 : 2 = 15 750 m2 . 133

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 476. Mely sokszögek területe egyenlő? A, D , F , H , illetve B , C , E , G sokszögek területe egyenlő.

477. Rajzolj a háromszöggel egyenlő területű téglalapot! Számítsd ki a háromszög területét!

Az egyik befogó középvonalát használhatjuk a téglalap kijelölésére.

Tengelyesen szimmetrikus háromszögek kerülete, területe 478. Hány egység a háromszögek területe?

134

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 479. Melyik sokszög területe egyenlő az egyenlő szárú háromszög területével? 1 A

B C

D F E

A C , D , E , F sokszögek mindegyike egyenlő területű az A jelű egyenlő szárú háromszög területével, a jelű téglalap területe kétszerese a többi sokszög területének.

B

480. Az alábbi sokszögeket olyan egyenlő szárú háromszögekből építettük, amelyek alapja 5 cm, magassága 6 cm, szára 65 cm hosszú. Határozd meg a sokszögek kerületét és területét! a)

b)

c)

d)

Jelölje az alap hosszát a , a szár hosszát s , az alaphoz tartozó magasságot

m!

a = 5 cm, s = 65 cm, m = 6 cm. Egy egyenlő szárú háromszög területe, t = a)

K = 3a + 2s = 28 cm b) K = 4s = 26 cm T = 3t = 45 cm2 T = 2t = 30 cm2

c)

am

= 15 cm2 . 2 = 2s + 2a = 23 cm d) K = 4s + 2a = 36 cm

K T = 2t = 30 cm2

T = 4t = 60 cm2

481. Szerkeszd meg a háromszögeket, mérd meg a szükséges adatokat, majd számítsd ki a kerületüket, területüket! Hasonlítsd össze a b), c) és d) háromszögek kerületét és területét az a) háromszög kerületével és területével! a) b) c) d)

135

Háromszögek, négyszögek, sokszögek

a) Kerület Terület Hányszor akkora kerületű, mint az a)?

b)

c)

d)

K = 8 cm K = 16 cm K = 24 cm K = 32 cm T ≈ 28 cm2 T ≈ 114 cm2 T ≈ 255 cm2 T ≈ 452 cm2

Hányszor akkora területű, mint az a)?

2-szeres

3-szoros

4-szeres

4-szeres

9-szeres

16-szoros

Hány egység a háromszögek területe?

482.

A: 4, B : 25, C : 75, D : 12

A: 4 B: 2,5

D: 12 C: 7,5

1

483. Szerkeszd meg a háromszöget! Mérd meg a szükséges adatokat, és számítsd ki a háromszög kerületét, területét! a) b) c)

K ≈ 15 cm T = 9 cm2

K ≈ 105 cm T = 43 cm2

Melyik sokszög területe egyenlő 12 rácsnégyzet területével? Az A, B és C sokszögeké.

484. 1

K ≈ 179 cm T = 14 cm2

A: 12

C: 12

B: 12 D: 6

E: 13

485. Egy 1 m3 -es kocka alakú tartályt az egyik élére állítottak. A színessel jelölt részen víz van benne. Mennyi víz fér még a tartályba? A keresztmetszeten F betűvel az oldal felezőpontját jelöltük. Negyedrész, azaz

136

1 3 m = 250 dm3 ≈ 250 liter 4

Háromszögek, négyszögek, sokszögek Tengelyesen szimmetrikus négyszögek kerülete, területe 486. Számítsd ki a téglalapba írt négyszög területét!

T = 912 mm2

T = 520 cm2

T = 12 cm2

487. Melyik sokszög területe egyenlő 6 rácsegységgel? Az A, B és D sokszögé. 1 A: 6

B: 6

C: 5

E: 7 D: 6

488. a) Számítsd ki, hogy hány rácsnégyzet területével egyenlő a sokszögek területe!

b) Területük nagysága szerint állítsd növekvő sorrendbe a négyszögeket!

D< B =E < A=C =F

137

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 489. A szükséges adatokat megmérve számítsd ki a négyszögek kerületét, területét! b)

c)

8

2,5 cm

2,5 cm

8 2,

6 cm

2,3 cm

m 4c

cm

4 cm

2,4 cm

2,5 cm

2,

cm

a)

4,6

cm

2 cm

4,6

cm

2,5 cm

3 cm

5 cm

d) 3

cm

3c

m

2 cm

9,5 cm a)

K = 148 cm T = 12 cm2

b)

K = 10 cm T = 575 cm2

c)

K = 12 cm T = 36 cm2

d)

K = 205 cm T = 145 cm2

490. Hányad része a színes négyzet területe az eredeti négyzet területének? b) c) a)

17 -e 25

13 -e 25

491. Az ábrán egy paralelogramma és egy trapéz látható. Hány egység a paralelogramma területe, ha a trapéz területe 1 egység? 6 egység a paralelogramma területe.

138

25 -e 81

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 492. A Tangram játék elemeit felhasználva készültek a húrtrapézok. Helyezd át az elemeket úgy, hogy téglalapot kapj!

B

B

B B

c)

E

D

B

B

E

d)

B

B

E

D

B

E

A

B B

B

B

B

D

E

A

B , illetve az A jelű háromszöget kell csak áthelyezni.

B

A

b)

D

A

a)

E

A

B 493. Négy ilyen négyszög felhasználásával rakj ki tengelyesen szimmetrikus hatszöget! Az elkészített hatszöget rajzold le!

6 cm

494. a) Szerkeszd meg a húrtrapézt! b) Számítsd ki a trapéz területét!

T = 16 cm2

2,8 cm

2,8 cm

2 cm

10 cm

495. Igaz-e, hogy az ABC háromszög területe egyenlő a CDEF négyszög területével? 6·2 3·4 Igaz. TABF = = 6 területegység, TADE = = 6 területegység. 2 2 TABC = TABF − TACF , TDEFC = TADE − TACF . Az ABC háromszög és a C DEF négyszög területe a 6 területegységnél az AC F háromszög területével kisebb, vagyis egyenlő a területük.

E

D

F C A

B

139

Háromszögek, négyszögek, sokszögek Testhálók 496. a) Hány dm2 ? 4350 cm2 = 4350 dm2 b) Hány cm3 ? 197 500 mm3 = 1975 cm3 c) Hány liter? 1870 cl = 187 l

0163 m2 = 163 dm2

53 200 mm2 = 532 dm2

81 dm3 = 81 000 cm3 39 000 mm3 = 39 cm3 7 3 m = 1750 dm3 = 1 750 000 cm3 4 27 dl = 27 l

91 hl = 9100 l

63 dm3 = 63 l

970 cm3 = 097 dm3 = 097 l

497. Rajzold le annak a téglatestnek a hálóját, amelynek élei 2 egység, 45 egység és 6 egység hosszúak! 1 egység az ábrádon a rácsnégyzet egy oldalának hossza legyen. Számítsd ki a téglatest felszínét és térfogatát rácsegységben!

A = 96 e2

2e

4,5 e

V = 54 e3 2e 6e

4,5 e 4,5 e

498. a) Rajzold le annak a téglatestnek a hálóját, amelynek élei 2 egység, 2 egység és 5 egység hosszúak! 1 egység az ábrádon a rácsnégyzet egy oldalának hossza legyen! Milyen speciális tulajdonsága van ennek a téglatestnek? Rajzolj többféle hálót a füzetedbe! A téglatest négyzetes hasáb (négyzetes oszlop).

b) Számítsd ki a téglatest felszínét és térfogatát rácsegységben! A téglatest felszíne:

140

A = 2 · 2 · 2 + 2 · 5 · 4 = 48 e2 . A téglatest térfogata: V = 2 · 2 · 5 = 20 e3 .

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 499. a) Rajzold le annak a téglatestnek a hálóját, amelynek minden éle 3 egység hosszú! 1 egység az ábrádon a rácsnégyzet egy oldalának hossza legyen! Milyen speciális tulajdonsága van ennek a téglatestnek? Rajzolj többféle hálót a füzetedbe! A téglatest kocka.

b) Számítsd ki a téglatest felszínét és térfogatát rácsegységben! A kocka felszíne:

A = 3 · 3 · 6 = 54 e2 . A kocka térfogata: V = 3 · 3 · 3 = 27 e3 .

500. Folytasd a gúla hálójának megrajzolását négyzethálós lapon! Számítsd ki a gúla felszínét rácsegységben! A = 85 e2

501. Egy 4 cm élű tömör kocka egyik lapjára kétféleképpen illesztünk egy 2 cm magasságú szabályos négyoldalú gúlát. Az egyik esetben hozzáragasztjuk, a másikban pedig kivágjuk belőle a gúlát.

141

Háromszögek, négyszögek, sokszögek a) Rajzold le a keletkezett új testek hálóját! A két test hálója ugyanazokból a sokszögekből áll, a két testháló lehet egyforma.

b) Hasonlítsd össze a két új test felszínét! A két test felszíne egyenlő. Megjegyzés: A ≈ 4 · 4 · 5 + (4 · 28 : 2) · 4 = = 1024 cm2 , mivel a gúla oldallapjainak magassága egy 2 cm oldalú négyzet átlója.

502. Rajzold le, majd vágd ki a 4 db háromszöget, és készítsd el belőlük egy háromszög alapú gúla két különböző hálóját! Mekkora a kapott gúlák felszíne rácsegységben?

A gúlák felszíne

A = 24 rácsnégyzet területével egyenlő.

503. a) Négyzethálós lapra rajzold le az ábrán látható test hálójának kétszeresre nagyított rajzát! Vágd ki ollóval a hálót, és készíts belőle egy testet! Milyen testet kaptál? A test paralelogramma alapú hasáb.

b) Számítsd ki rácsegységben az eredeti és a nagyított test felszínét!

A = (6 · 5 + 6 · 4 + 25) · 2 = 158 rácsnégyzet.

142

Háromszögek, négyszögek, sokszögek Szabályos sokszögek 504. Készíts parkettát a pontrácson ugyanolyan szabályos sokszögekkel! Ezen a pontrácson melyik sokszöggel lehetséges ez? Szabályos háromszögekkel és szabályos hatszögekkel lehet parkettázni a háromszögrácson.

505. Készíts olyan négyzet alakú faliképet a mozaikminta folytatásával, amelynek színezése alapján két szimmetriatengelye van!

506. Egy 9 cm oldalú négyzetből mind a négy csúcsánál levágunk egy-egy 3 cm befogójú, egyenlő szárú derékszögű háromszöget. a) Hány oldalú sokszöget kapunk? Nyolcszöget kapunk. b) Szabályos-e a sokszög? Nem szabályos sokszög. A vágás után keletkezett szakaszok hosszabbak 3 centiméternél.

c) Mekkora a területe?

A nyolcszög területe: T = 9·9−(3·3 : 2)·4 = 63 cm2 . Másképp: T = 3 · 3 · 5 + (3 · 3 : 2) · 4 = 63 cm2 .

507. Készítsd el olyan egyenlő élű szabályos gúláknak a hálóját, melyek alaplapja a) szabályos háromszög;

b) négyzet;

143

Háromszögek, négyszögek, sokszögek c) szabályos ötszög;

d) szabályos hatszög! nincs ilyen gúla

508. Készíts hat darab egybevágó szabályos háromszögből egy-egy oldaluk egymáshoz illesztésével sokszögeket! Válaszd ki közülük azokat, amelyeknek egy, kettő… hat szimmetriatengelyük van! Van-e közöttük szabályos sokszög? Az ábrán bemutatunk két különböző sokszöget. Rajzold fel a többit! (Összesen 12 különböző sokszög létezik.) Azokat tekintjük különböző sokszögeknek, amelyek semmilyen mozgatással nem hozhatók fedésbe.

144

Nyitott mondatok

:::

Nyitott mondatok, egyenletek, egyenlőtlenségek 509. Igazak-e az alábbi állítások? Írd a megfelelő betűt (Igaz/Hamis) a sorok végére! A) Egy gyereknek legfeljebb huszonkét tejfoga lehet. H, 24 a tejfogak maximális száma (4-gyel osztható).

B) C) D) E)

Nem minden deltoid rombusz. I 1 kbyte = 1000 byte H, 1024 a váltószám. Az arab zifr szóból ered a mi cifra szavunk is, amely régen nullát is jelentett. I Bolyai János, a világhírű magyar matematikus Petőfi Sándor kortársa volt. I

510. Melyik szót kell beírni a három közül a nyitott mondatba, ha azt akarjuk, hogy igaz legyen? Karikázd be a betűjelét! a) A még ma is használatos golyós számológépeknek, más nevükön abakuszoknak nagy előnyük, hogy az írástudatlanok is tudják használni. Az abakuszoknál használt kalkulus majelent.

gyarul A) kövecskét

B) műveleti jelet

C) számot

b) A kalkulátor latin szó jelentése is módosult az idők során. A szó eredeti jelentése volt. B) számvetést végző ember C) kőfejtő A) számológép c) Az 1940-es években készített, első elektronikus ENIAC számítógép elhelyezéséhez méternél hosszabb teremre volt szükség. C) 30 A) 2 B) 20 d) A napjainkban használatos hordozható számítógép, a tablet PC (magyar nyelvre lefordítva: marokkészülék) tárolásához használt doboz minimális hosszúsága körülbelül A) 1 m

C) 20 cm

B) 50 cm

magyar matematikus is beírta a nevét.

e) A számítógépek történetébe A) Neumann János

.

B) Kalmár László

C) Bolyai János

f) A mai számítógépek egy műveletet körülbelül másodperc alatt tudnak elvégezni. C) 0 0001 A) 1 B) 0 01 A feladatban szereplő három kiváló magyar matematikus közül kinek a nevéhez fűződik a szegedi Kibernetikai Laboratórium létrehozása? A Kalmár László által 1962-ben létrehozott Kibernetikai Laboratóriumot ma Kalmár László Informatikai Intézetnek hívják.

511. A számegyeneseken piros színnel jelöltük azokat az x számokat, amelyek igazzá teszik az egyenlőtlenségek valamelyikét. Add meg a párok betűjelét! a)–B), b)–D), c)–A), d)–C) x 1 c) = 3 5 d) −4 5 · x a) x < −6 b) x : 3 > 2 2 2 A) B) C) D) 01

x

01

x

01

x

01

x

145

Nyitott mondatok

:::

512. Ezekről a sokszögekről írtunk nyitott mondatokat. Helyezd el a cédulákon lévő szavakat a nyitott mondatokba úgy, hogy igaz állításokat kapj!

deltoid/téglalap/rombusz/hatszög a) Minden tengelyesen tükrös. háromszög tengelyeb) Nem minden sen szimmetrikus. c) Amelyiknek van csúcson át nem menő szimmetriatengehatszög/téglalap

lye, az

.

d) Amelyik konkáv, az

deltoid téglalap rombusz hatszög

.

deltoid

háromszög/téglalap

e) Van olyan atengelye.

háromszög

, amelynek nincs csúcson átmenő szimmetri-

513. a) Hány szám teszi igazzá a következő egyenleteket, illetve egyenlőtlenségeket az egyes alaphalmazokon? Alaphalmaz Egyenlőség, egyenlőtlenség A)

+8=0

C) −1 5

Természetes számok

6 pozitív osztói

nincs ilyen szám nincs ilyen szám nincs ilyen szám

−05< −1

B)

10 pozitív osztói

10 +1

52

négy ilyen szám végtelen sok: van: 1, 2, 5, 10 az összes szám* az összes osztó* két ilyen szám van: 5, 10

végtelen sok: 4, 5, 6, 7, : : :

Az összes szám

egy ilyen szám van: −8

végtelen sok: az összes többszörös*

végtelen sok: −05-nél nagyobb számok

végtelen sok: az összes többszörös*

végtelen sok: a −11-nél nem nagyobb vagy 4-nél nem kisebb

b) Melyik azonosság, illetve azonos egyenlőtlenség? A *-gal jelöltek azonos egyenlőtlenségek. 514. Ábrázold a számegyenesen azokat az Ügyesen válassz egységet! a) −3 5 x −3

146

53

01 3

x

számokat, amelyek igazzá teszik az egyenlőtlenséget!

b) −3 5 3 · x x

−1

0

x

3 c) −3 << 3

3

<

1

x

−9 −3 0 3 9

x

Nyitott mondatok

:::

515. Mely egyenlőtlenségek tartoznak a számegyenesek színessel megjelölt pontjaihoz? Add meg a párok betűjelét! Melyik számegyenesnek nincs párja? A)–c); B) Nincs párja. C)–b); D)–a) a) −3 5 x + 3 < 3 A)

b) −3 5 x − 3 < 3 B)

C)

x

01

c) 3 = |x | D)

x

01

x

01

x

01

516. Ábrázold számegyeneseken azokat az x értékeket, amelyekre teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek! Ügyesen válassz egységet! a)

−8

b)

x <

−8

x <

+2< −8 −10

d) −4 < x < 8

e) −4 < 2·x

−4 < x < 8 0

−6

x <

x

−6

0

8

<

−2 0

8

−2 < −8

0

−2 < x < 4

x

x

x

−10

0

−4

c)

x <

x

−8

x

x

4

517. Ábrázold számegyeneseken azokat az x értékeket, amelyekre teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek! b) −0 2 5 x + 3 5 2 4

x : 2 < 6 a) −4 <

−8 < x < 12 −8

0

−32 5 x

x

x

d) −

−21 < x 5 21 0

2

− 2

=6

· ·

1

· 3 4

=7

5 4 · 5 12 x

x

21

−

3

=1

+ −

+ ·

1 2

−

5

1 8

5 5 18

−

1 0 1 8 8

6

8 − 1

=2

1

·

=2

x

x

1

b) Írj az ábra üres mezőibe −5-nél nagyobb és 8-nál kisebb számokat úgy, hogy igaz állításokat kapj!

=1

−

x

−06 0

−

518. a) Írj az ábra üres mezőibe 10-nél kisebb természetes számokat úgy, hogy igaz állításokat kapj! 4 ·



−32

12

c) −10 5 <5 10 5 2

−21

5 −0 6

= 7

:

2

−

+ 6 :

·

−

3

+

= 4

+

3

=7

: 1

= −5

· 4 =2 = 12

519. Az alábbi feladatokban a betűk helyére egy-egy számjegyet kell beírni úgy, hogy helyes összefüggésekhez jussunk. A megegyező betűk egy-egy feladaton belül ugyanazt a számjegyet jelentik, a különbözők különbözőket. a) AA · ABA = AAAA 11 · 101 = 1111 c) AB − BA = A 98 − 89 = 9

b) AB · AB = CAB 25 · 25 = 625

147

Nyitott mondatok

:::

d) ÖT + ÖT = TÍZ A T csak 1 lehet, ezért Z = 2. Az Ö = 5, de Ö 6, mert akkor Í = Z = 2 lenne. Így ezek a lehetőségek vannak:

Ö 5 7 8 9 Í 0 4 6 8

Egyenletek megoldása lebontogatással, szöveges feladatok 520. Papírcsíkok barna és sárga felére egy műveletsort írtunk fel kétféle alakban. Például:

(9 + 6) : 3

9:3+6:3

Miközben a papírcsíkokat kettévágtuk, az egyiknek elkallódott a barna fele. Kösd össze azokat a papírcsíkokat, amelyek egy darabban voltak eredetileg! (6 − 9) : 3

(9 + 3) · 6

9·3−6·9

6 :3−9 : 3

9·6+3·6 9:3+6:3

6·9−9·3 6+9 3

9 · (6 − 3)

521. A körökben szorzatok és hányadosok, a téglalapokban összegek és különbségek állnak. Kösd össze az egyenlőket! (x + 8) · 3 x

3

−

8 3

8:3−x :3

8−x 3

(3 − x ) · 8

x

·3+8·3

(3 + x ) : 8 3 +x :8 8

3·8−x ·8

522. Melyik feladathoz melyik egyenlet tartozhat? Oldd is meg az egyenleteket! a) b) c) d)

Melyik az a szám, amelynek 4-szerese 8-cal több, mint 60? Melyik az a szám, amelyik 8 híján 4-szerese a 60-nak? Melyik az a szám, amelyik 8-cal több, mint 60? Melyik az a szám, amelyiknél 8-cal kisebb szám 4-szerese éppen 60? e) Melyik az a szám, amelyiknél 8-cal nagyobb szám a 60-nak négyszerese? a)–A) és a)–C), b)–E) és b)–F), c)–G), d)–D), e)–E) és e)–F)

148

A) x · 4 − 8 = 60 x = 17 B) x · 4 + 8 = 60 x = 13 C) x · 4 = 68 x = 17 D) (x − 8) · 4 = 60 x = 23 E) x = 60 · 4 − 8 x = 232 F) x + 8 = 60 · 4 x = 232 G) x − 8 = 60 x = 68

Nyitott mondatok

:::

523. Oldd meg az egyenleteket! a) 8 + x · 5 = 30 x = 44 c) 12 · (x + 4) = 36 x = −1

b) 6 · x − 7 = 53 x = 10 d) (7 − x ) · 9 = 36 x = 3

524. Tamás bácsi feladványa: Gondoltam egy számot. Kivontam belőle 5-öt. Vettem a különbség 4-szeresét. A szorzatot növeltem 12-vel. Eredményül 80-at kaptam. Milyen számra gondoltam? a) Találd ki a folyamatábra segítségével, milyen számra gondolt Tamás bácsi! A folyamatábrában g betű jelöli a gondolt számot. −5

g

g



·4

−5 

+5

22

+12

4g − 20 

:4

17

4g − 8 

− 12

68

80

A 22-re gondolt Tamás bácsi.

b) Melyik egyenlet írja le helyesen Tamás bácsi feladványát? B) (g − 5) · (4 + 12) = 80 C) (g − 5) · 4 + 12 = 80 A) g − 5 · 4 + 12 = 80 c) Oldd meg a helyesnek ítélt egyenletet! Vesd össze a kapott eredményt a feladvány szövegével! (g − 5) · 4 + 12 = 80 (g − 5) · 4 = 68 g − 5 = 17 g = 22 Válasz: Tamás bácsi a 22-re gondolt. Ellenőrzés: (22 − 5) · 4 + 12 = 17 · 4 + 12 = 68 + 12 = 80. Helyes a megoldás.

d) Igaz-e? Ha Tamás bácsi a 110-re gondolt volna, akkor 408-at kapott volna eredményül. Nem igaz, 432 lett volna az eredmény. (110 − 5) · 4 + 12 = 105 · 4 + 12 = 420 + 12 = 432.

525. Az osztályunkban a gyerekek az előző feladatban lévőhöz hasonló feladványokat mondtak a társaiknak. Ezekről készültek a folyamatábrák. a) Mondd el szavakkal a folyamatábra alapján a feladványt a társadnak! b) Írd be a hiányzó kifejezéseket a téglalapokba! Írj egyenletet, és oldd is meg! g

+ 12 g

=

+ 12

=

g

925

2125

− 12

−5

g

85

− 12

·4

g

· 4 + 48

:4

85

·4+7 80

+5

−5

g

+5

g

· 4 + 12 − 5 = 80 g · 4 + 7 = 80 g · 4 = 73 g = 1825

· 4 + 43 =

73

:4

· 4 + 12

=

+ 12

=

1825

B)

·4

=

g

=

A)

·4

=

g

80

(g + 12) · 4 − 5 = 80 g · 4 + 12 · 4 − 5 = 80 g · 4 + 43 = 80 g · 4 = 37 g = 925

149

Nyitott mondatok

:::

g

1825

73

:4

+ 12

·4−5

g

68

+5

·4+7 =

−5

·4

=

=

C)

g

=

·4

g

− 12

g

80

· 4 − 5 + 12 = 80 g · 4 + 7 = 80 g · 4 = 73 g = 1825

526. Írd be a hiányzó kifejezéseket a téglalapokba! Írj a folyamatábra alapján egyenletet, és oldd is meg!

−24

:5

21875

·5

x

·8

− 25

+ 2 5 4375

=

=

·2

−32

5 =

5

=

c)

+8

− 2 5

x

x

:2

4·x −8

2·x −4

+6 −6

−16

8 · x − 20 5

2·x +2

: (−10)

:8

1875

x

=

:4

−8

=−

3 5

−2

=

4·x

:2

−1

x

= −6

− 10

−

8 ·x +2 50 =

−6

·4

−2

10 · x + 4

=

=

b)

−3

·2

5·x +2

=

x

:5

+2

=

− 35

5·x =

=

a)

·5

=

x

· (−10)

15

−

3 2

x

= 21875

A c) feladat megoldása során érdemes az algebrai kifejezések sokféle alakját felsorolni. x x 1 1 1 8 Például: = · x = x : 5 vagy · 8 = x : 5 · 8 = x · 8 : 5 = · x · 8 = 8 · · x = · x . 5 5 5 5 5 5 527. Oldd meg az egyenleteket! a)

3+x +4= 6 10

x

= 17

b)

x

+8 −4=6 5

x

= 42

c) (4 · x − 2) · 13 = 39

x

= 125

528. Oldd meg az egyenleteket! 



5 · x − 10 a) + 1 · 3 = 0 9 x = 1 3 5 c) {(x − 9) · 2 + 1} : 11 = −1 x = 3

b) (10 · x + 5) : 5 = 5

x

=2

529. Tamás bácsi újabb feladványa: Gondolj egy pozitív számot! Én adok még hozzá háromszor annyit és még 6-ot. A kapott szám felét és még hármat dobd a Dunába! Ha megmondod, hogy mit kaptál eredményül, én villámgyorsan megmondom, hogy milyen számra gondoltál!

150

Nyitott mondatok

:::

a) Hogyan tudja Tamás bácsi villámgyorsan kiszámítani, hogy milyen számra gondoltak a gyerekek? A kapott eredmény fele lesz mindig a gondolt szám. Jelöljük a gondolt számot g -vel! Így írhatjuk le a feladványban szereplő összefüggéseket: (g +3g +6)−(4g +6) : 2−3 = 4g +6−2g −3−3 = 2g . A műveletek elvégzése után egyszerű megállapítani, hogy mindig a gondolt szám 2-szeresét kapjuk az utasítások eredményeképpen.

b) Éva a 100-ra gondolt. A megadott műveletek elvégzése után mit kapott eredményül? Éva 200-at kapott eredményül, mert (100 + 306) − (203 + 3) = 200.

c) Kázmér az 1-re gondolt. Milyen számot kapott eredményül? Kázmér 2-t kapott eredményül, mert (1 + 9) − (5 + 3) = 2.

d) Bence gondolt egy számot, és a fenti gondolatolvasó trükk minden lépését elvégezte vele. Hatot kapott eredményül. Milyen számra gondolt? Bence a 3-ra gondolt. e) Zita 25-öt kapott eredményül. Milyen számra gondolt? Zita a 125-re gondolt, mert annak kétszerese a 25.

530. Ezen a 100-as táblán (100 szám szerepel az átfordítható négyzeteken) három számot fordítottunk át a fehér felére az ábrán látható módon. Eláruljuk, hogy mennyi a három fehér mezőn álló szám összege. Találd ki, melyik ez a három szám, és írd be a fehér mezőkbe! Az a) és b) feladatokban a középső fehér mezőben lévő szám a másik kettő számtani közepe.

a) Az összeg 198. (x − 12) + x + (x + 12) = 198 3 · x = 198 x = 66 A három szám: 54, 66, 78.

x

−12

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99

x

x

b) Az összeg 216. x

−19

+12

c) Az összeg 149. x

−29

x

x

x

+19

(x − 19) + x + (x + 19) = 216 3 · x = 216 x = 72 A három szám: 53, 72, 91.

x

+13

(x − 29) + x + (x + 13) = 149 3 · x − 16 = 149 3 · x = 165 x = 55 A három szám: 26, 55, 68.

151

Nyitott mondatok

:::

531. Sokszögeket és egy hasáb élvázát raktuk ki szívószáldarabkákból úgy, hogy a megegyező jelűek ugyanolyan hosszúak. Írj egyenleteket az egyes síkidomok kerületéről, illetve az élváz hosszáról! Számítsd ki a különböző jelű szívószáldarabkák hosszát! a)

b)

k

= 36 cm

3 · p + 6 cm = 36 cm p = 10 cm

c)

A húrtrapéz alapjainak különbsége 6 cm. k = 48 cm

A deltoid oldalainak különbsége 5 cm. k = 36 cm

4s + (2s − 6) = 48 2 · f + 2 · (f − 5) = 36 f = 115 cm s = 9 cm Az egyik alap 18 cm, b = 65 cm a másik alap 12 cm.

d)

A szabályos hatszög alapú hasáb oldalélei 0 8 cm-rel hosszabbak az alapéleknél. k = 40 8 cm 12 · x + 6 · (x + 08) = 408 x = 2 Az alapél 2 cm, az oldalél 28 cm.

532. Oldd meg az egyenleteket! b) x + 3 · x + 2 = 40 x = 95 d) x + 4 · x − 4 = 26 x = 6 f) 10 + 2 · x − 6 + x = 16 x = 4

a) x + x + x + 4 = 5 5 x = 05 c) 4 · x − x + 9 = 21 x = 4 e) 6 · x + 9 − 4 · x = 25 x = 8

533. Az Airbus jelenleg a világ legnagyobb repülőgépgyártó vállalatai közé tartozik. A vállalat folyamatos fejlesztésekkel igyekszik versenyben maradni. A gépcsaládokat betűvel és számokkal különböztetik meg egymástól. Például az Airbus A320 egy régebbi gyártású gépcsalád jelzése, az Airbus A340 jelű egy újabb gyártásúé. A gépcsaládon belül az egymástól valamiben eltérő gépeket egy további háromjegyű számmal azonosítják, például: Airbus A320–200 . a) Egy A320 -as gépen 2-szer annyi légiutas-kísérő és 90-szer annyi utashely van, mint pilóta. Összesen 186 személy utazhat a repülőgépen. Hány utashely van a gépen? Jelöljük a pilóták számát p -vel! A légikísérők száma: 2p. Az utasok száma: 90p . Az összes utazó személy száma:

+ 2p + 90p = 186 93p = 186 p = 2 2 pilóta, 4 légikísérő és 180 utashely van a gépen. Válasz: 180 utashely van a gépen. Ellenőrzés: 2 pilóta + 4 légikísérő + 180 utashely = 186 utazó személy, 2-szer annyi a légikísérő és 90-szer annyi az utashely, mint a pilóták száma. p

b) Egy újabb fejlesztésű A340 -es gépen 2 pilóta teljesít szolgálatot. Ezen 29-szer annyi utashely van, mint légiutas-kísérő. Összesen 422 személy utazhat a repülőgépen. Hány utashely van a gépen? Jelöljük a légikísérők számát s -sel! Az összes utazó személy száma: 2 + s + 29s = 422 2 + 30s = 422 30s = 420 s = 14 2 pilóta, 14 légikísérő és 406 utashely van a gépen. Válasz: 406 utashely van a gépen.

152

Nyitott mondatok

:::

Ellenőrzés: Az utasok száma 29-szerese az utaskísérőknek (29 · 14 = 406), összesen 2 + 14 + 406 = 422 az összes utazó száma.

Volt-e valaha Magyarországon repülőgépgyár? 1913-ban alapították Budapesten a Magyar Repülőgépgyár Rt.-t, melyet az I. világháború után bezártak. 1927-ben a Weiss Manfréd Műveket bízta meg a magyar kormány repülőgépgyár létrehozásával. Ezt a gyárat a II. világháborúban semmisítették meg.

534. Öt egymást követő természetes szám összege 310. Melyek ezek a számok? Jelöljük a középső számot x -szel! Ezt az egyenletet írhatjuk fel: (x − 2) + (x − 1) + x + (x + 1) + (x + 2) = 310. Az összevonás után ezt az egyenletet kapjuk: 5x = 310 x = 62 Az öt szám: 60, 61, 62, 63, 64.

535. A ma élő legnagyobb termetű emberszabású majom a gorilla. Egy gorillacsalád hímjénél 30 kgmal „soványabb” a nősténye, a kölyök tizedannyit nyom, mint a mamája. Ha együtt ráállnának a mérlegre, az 492 kg-ot mutatna. Milyen nehezek külön-külön? a) Három gyerek háromféle egyenletet írt a feladat szövege alapján. Mi a különbség oka? Bence egyenlete: x + (x − 30) + (x − 30) : 10 = 492 Zita egyenlete: (x + 30) + x + Lajos egyenlete:

x

+x

x

= 492 10 · 10 + (x · 10 + 30) = 492

A gyerekek más-más ismeretlent jelöltek x -szel. Zita például a nőstény tömegét jelölte x -szel.

b) Oldd meg az egyenleteket! Válaszolj a feladatban szereplő kérdésre! Bence A hím tömege [kg]

x

A nőstény tömege [kg]

(x − 30)

A kölyök tömege [kg]

(x − 30) : 10

Egyenlet Az egyenlet gyöke

Zita

x

+ (x − 30) + (x − 30) : 10 = 492 x

= 250

x

Lajos (10 · x + 30)

+ 30

10 · x

x

x x

10 x

+ 30 + x + x

x

10

= 492 (10 · x + 30) + 10 · x + x = 492

= 220

x

= 22

Válasz: a hím 250 kg, a nősténye 220 kg, kölykük 22 kg tömegű. Ellenőrzés: Ha együtt ráállnának a mérlegre, az 492 kg-ot mutatna: 250 + 220 + 22 = 492 (kg). Egy gorillacsalád hímjénél 30 kg-mal „soványabb” a nősténye: 250 − 220 = 30 (kg). A kölyök tizedannyit nyom, mint a mamája: 220 : 10 = 22 (kg).

153

Nyitott mondatok

:::

536. Mekkorák a háromszög szögei?



◦

= 40 ,



◦

+ 10 = 50

◦



◦

= 55 ◦  + 5 = 60 ◦ ◦  + 10 = 65 



◦

2· 4·

 180 ◦ = 7   360 ◦ = 7   720 ◦ = 7

537. Mekkorák a háromszög szögei, ha a legnagyobb 15◦ -kal nagyobb a legkisebbnél, és 10◦ -kal a középsőnél? 

1 53 3

◦ 

◦ 

,

,

1 58 3

1 68 3

◦

538. Egy jégkocka magasságának 1 tizede látszik ki a limonádéból, éppen 0 35 cm. Milyen magas a jégkocka? Melyik egyenlet írja le helyesen a szöveges feladatot? a)

x

−

1 = 0 35 10

b)

x

−

1 · x = 0 35 10

c)

x

:

1 = 0 35 10

d)

x

·

1 = 0 35 10

A jégkocka magassága 3 5 cm, a d) egyenlet írja le helyesen.

539. Mi a közös ezekben a feladatokban? a) Gondoltam egy számot, kivontam belőle 50-et, a különbséget megszoroztam 1 2-del, így 600-at kaptam. Milyen számra gondoltam? b) A karácsonyi díszcsomagolású bonbonokat az ünnepek után 50 Ft-tal olcsóbban adták, januárban pedig a csökkentett árat ötödével megemelték, így 600 Ft-ért árulták. Mennyibe került a bonbon karácsonykor? 6 c) Egy iskolában az év végére 50 szék tönkrement. A maradék székek -szörösére tudnák az 5 új tanévet kezdő 600 gyereket leültetni. Hány székkel kezdték ezt a tanévet? Mind a három feladatot ugyanazzal az egyenlettel lehet megoldani: 6 g = p = s z = 550. (g − 50) · 12 = (p − 50) · 12 = (s z − 50) · = 600 5 550 a gondolt szám, 550 Ft a bonbon karácsonyi ára és 550 a székek száma a tanév kezdetén.

540. Oldd meg az egyenleteket! 5·x −8 = −6 x = −2 3 −4 · x + 5 1 =15x = d) 2 2

a)

154

b)

x

· 2 1 = 0 84

e) 7 2 : x = 3 6

x

x

= 04

=2

c) 1 5 · x − 2 = 13 f) 60 :

x

−5 = 15 4

x

= 10

x

= 21

Nyitott mondatok

:::

541. Oldd meg az egyenleteket! 1 4 ·x − =2 4 5

a)

x

= 11

c) 1 6 · x − 0 8 = 2 4

4 3 1 ·x + = 3 4 4

1 5

b)

=2

d) (x − 1 75) : 2 − 3 25 = −2 75

x

x

=−

3 8 x

= 275

542. Egy kétjegyű szám számjegyeit fölcseréltük, a kapott számhoz 21-et adtunk, majd az összeg felét vettük. Az így kapott szám számjegyeit fölcseréltük, így 82-t kaptunk. Melyik az eredeti szám? Visszafelé göngyölgetve célszerű megoldani. Az eredeti szám: 53. ab

csere

− 21

(ba +21) · 2=cd

·2

56

csere

dc

=

35

:2

+ 21

=

csere

ba

=

=

= 53

+ 21

ba

csere

28

82

543. Egy kártyajátékos hétfőn néhány ezer forinttal leült játszani, és megduplázta a pénzét. Kedden elvesztett 8 ezer forintot, szerdán megint megduplázta a pénzét, csütörtökön megint elvesztett 8 ezer forintot. Pénteken megint megduplázta a pénzét, és szombaton vesztett 8 ezer forintot. Így esett, hogy vasárnapra üres lett a zsebe. Mennyi pénzzel ült le játszani hétfőn? A kártyajátékos 7000 Ft-tal ült le játszani. „Visszafelé okoskodva” oldhatjuk meg ezt is vagy így: ·2 x

2·x

:2

− 8000

·2

2 · x − 8000

:2

+ 8000 8 · x − 48 000

4 · x − 16 000

− 8000

− 8000

4 · x − 24 000

+ 8000

·2 :2

8 · x − 56 000 = 0

+ 8000 Ebből: 8 · x − 56 000 = 0 x = 56 000 : 8 = 7000

544. Egy lovasgazda négy fiára összesen 45 lovat hagyott. A legidősebb szerzett még kettőt, a második fiú kettőt eladott, a harmadik megduplázta a lóállományát, a legkisebb eladta lovainak a felét. Így mindannyiuknak ugyanannyi lova lett. Mennyi lovuk volt külön-külön? Visszafelé göngyölgetve célszerű a feladatot megoldani. A fiúknak 8, 12, 5 és 20 lovuk volt.

ennyi volt

1. fiú x − 2

2. fiú x + 2

−2

a végén ennyi lovuk lett x

3. fiú x : 2

+2 x

4. fiú x · 2 ·2

:2 x

x

az így felírható egyenlet  − 2 + x + 2+ x : 2 + x · 2 = 45 x

45 · x = 45 x = 10

155

Nyitott mondatok

:::

Egyenlőtlenségek megoldása, szöveges feladatok 545. Mennyi pénz lehet egy borítékban, ha egy-egy feladatban az ugyanolyan színűekben ugyanannyi pénz van? Minden képről írj egy egyenlőtlenséget, és oldd is meg! a)

5

x

62 + x x

5 10 538 

Legfeljebb 3 euró és 80 eurócent van a borítékban.

b)

=

x x

2 · x + 23 = 50 2 · x = 27 x = 135

Legalább 15 euró és 50 eurócent van a borítékban.

c)

x

x

x

x

4 · x + 200 < 500 4·x < 300 x < 75

<

75 eurónál kevesebb összeg van a borítékban.

d) x x

>

x

3 · x + 1096 > 100 3·x > 8904 x > 2968

156

29 euró és 68 eurócentnél nagyobb összeg van a borítékban.

Nyitott mondatok

:::

546. 5 · x + 6 : 3 − 4 < 8 5·x +6:3−4< 8 5·x +2−4< 8 5·x −2< 8 10 5·x < x < 2

Mely számok teszik igazzá az egyenlőtlenséget, ha a) x a 9-nek pozitív osztója; x = 1 b) x negatív egész szám; x bármilyen negatív egész szám lehet. c) x nagyobb 10-nél? Nincs ilyen x szám. Ábrázold számegyenesen is az a), b) és c) feladatok megoldását! a)

b)

x

01

x

−10

10

10

547. Tegnapelőtt hidegebb volt, mint tegnap, tegnap melegebb volt, mint ma. A három napot tekintve mikor volt a legmelegebb? Tegnap volt a legmelegebb.

548. Az alábbi egyenlőtlenségek megoldását számegyenesen is ábrázoltuk. Add meg az összetartozók betűjelét! a)–B); b)–D); c)–A); d)–C) a) 3 · (x − 6) < 9

5 · x + 10 < 5 2 B)

b) 3 · x − 6 < 9

c)

A) 0

x

10

C)

d)

5 · (x + 10) < 5 2

0

10

0

10

x

D) −10

x

0

x

549. Oldd meg a szöveges feladatokat! A megoldási tervedet írd fel egyenlőtlenséggel is! a) 1 kg alma ára 400 és 500 Ft között mozog ma a piacon. Hány kg almát vehetek, ha 2000 Ftom van almára? Jelöljük x -szel 1 kg alma árát! 400 5

2000 x

5 500. Legalább 4 kg, legfeljebb 5 kg almát vehetünk.

b) Ha 8 szelet mogyorós csokit vennék, 2000 Ft-nál kevesebbet fizetnék, de ha 10 szeletet vennék, akkor 2000 Ft-nál többet fizetnék. Mennyibe kerülhet egy szelet csoki? Jelöljük x

-szel 1 szelet csoki árát! 8 · x

2000 és 10 · x

<

2000, azaz 200 < x < 250.

>

1 szelet csoki ára 200 Ft-nál több, 250 Ft-nál kevesebb.

c) Egy kolibri szívdobbanásainak száma percenként 500 és 1200 között van. Mennyit dobbanhat egy másodperc alatt? Jelöljük x -szel a kolibri 1 másodperc alatti szívdobbanásainak számát! 500 60

, 8-nál többet, maximum 20-at dobbanhat a szíve 1 másodperc alatt. 5 5 1200 60 x

Átlagosan mennyit csap a szárnyaival a kolibri 1 másodperc alatt? A kolibri átlagosan 80-at csap a szárnyaival 1 másodperc alatt.

157

Nyitott mondatok

:::

550. Egy halkereskedő mai árajánlata a következő:

820 Ft

760 Ft

960 Ft

Ft

Az ugyanolyan halak ára ugyanannyi. a) Melyik fajta hal a legolcsóbb? A sárga a legolcsóbb, darabja 140 Ft. b) Melyik a legdrágább? A lila a legdrágább, darabja 280 Ft. c) Összesen mennyibe kerülnek a 4. akváriumban lévő halak? A 3. akváriumról leolvasható, hogy 1 kék és 1 lila hal ára összesen 480 Ft. A 2. akváriumban lévő halak árából levonva 1 kék és 1 lila hal árát, azt kapjuk, hogy 1 sárga hal ára (760 Ft − 480 Ft) : 2 = 140 Ft. A 4. akváriumban lévő halakért (960 + 140) Ft = 1100 Ft-ot kell fizetni.

551. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! a)

x

·5+3< 8x

b)

1

<

x

· 4 − 11 > −3

2

11 c) 2 · x + 3 < x 3

5 −1

c) (x + 5) : 3 − 2 = 8

x >

1 3

<

552. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! a) 5 · (x + 3) 5 8

x

5 −1 25

b) 5 · (x + 3) − 2 5 8

x

x

= 25

553. Többet ésszel, mint erővel! Írj megfelelő (< ,> ) jelet az alábbi két-két szám közé! a) 8 + 2 · 8 + 5 · 8 + 3

10 · 8 + 5

<

b) 5 +

5 5 + 3 6

2·5

c) 7 −

<

7 7 − 2 4

554. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! a)

x

+ 2 · x + 5 · x + 18 < 58 x

c)

x

−

x

3

−

x

6

x <

2

Nincs ilyen

5

<

x

b)

x

+

x

2

+

x

3

+

x

6

2·

>x

Nincs ilyen

szám.

555. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! 58 x a) 5 · x + x + 4 < c) x + 5 + x · 4 < 58 x

9

<

b) 5 · 4 + x + x

58

10 6

< 

556. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! a) c)

158

x

6 x

+ 3 5 −9

x

5 −72

+3 − 3 5 −12 6

x

5 −57

b)

x

+3 6

19

<x <

5 −9 5 −57 x

x

7 8

>

szám.

Nyitott mondatok

:::

557. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! 1 3

5 103 5 10

a)

x

·

c)

x

:05> 0 25

x

0 125

x > 

b)

x

d)

x

5 5 20 x 5 16 4 3 : 5 12 x 5 8 2

·

558. Mi ér többet: 1 kg ötforintos vagy fél kg tízforintos, ha a tízforintos kicsivel nehezebb az ötforintosnál? Válasz: Az 1 kg ötforintos ér többet. Indoklás: Ha egy ötforintos tömege éppen fele lenne egy tízforintosénak, akkor egyenlő lenne 1 kg ötforintos és fél kg tízforintos értéke. Mivel egy tízforintos csak kicsivel nehezebb egy ötforintosnál, azaz nem kétszerese annak, ezért a fél kg tömegű tízforintos értéke nem kétszerese az 1 kg tömegű ötforintosnak, hanem annál kevesebb.

559. Van hat, külsőre egyforma, de csupa különböző tömegű bőröndünk. Rendelkezésünkre áll egy kétkarú mérleg, de nincsenek hozzá mérőtesteink. a) Legalább hány méréssel tudjuk kiválasztani a legnehezebbet? Kiválasztjuk bármelyik kettőt, és rátesszük a mérlegre. A nehezebbet rajtahagyjuk, és egy újabbat teszünk a könnyebb helyére. Ezt az eljárást folytatva 5 méréssel kiválasztható a legnehezebb.

b) Legalább hány méréssel tudjuk kiválasztani a legkönnyebbet és a legnehezebbet? A bőröndöket kettesével mérlegeljük. A párok közül egy csoportba kerülnek a könnyebbek, és egy másik csoportba a nehezebbek. Ezek közül az a)-ban ismertetett eljárással kiválasztjuk 2-2 méréssel a legkönnyebbet, illetve a legnehezebbet. Összesen 7 mérés szükséges.

c) Hány különböző tömegű bőrönd közül tudjuk legkevesebb 9 méréssel kiválasztani a legkönnyebbet? Tíz. d) Hány különböző tömegű bőrönd közül tudjuk kiválasztani a legkönnyebbet és a legnehezebbet legalább 16 méréssel? Tizenkettő.

Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel, szöveges feladatok (Kiegészítő tananyag) 560. A kétkarú mérlegek egyensúlyban vannak. A bal oldali mérlegen lévő bögrék tömege megegyező. A mérőtesteken csak a mérőszámuk szerepel, a mértékegységük kg. Add meg a tárgyak tömegét! Írj a mérlegekről egyenleteket! Oldd is meg azokat! a) 3 + 2b = 2 + 4b = − 2b 3 = 2 + 2b 1 = 2b 1 b = 2

=

−2

Egy bögre tömege fél kg. 159

Nyitott mondatok

:::

b)

2 + t = 6 5 t = 45

=

−2

A gyümölcsöstál tömege 45 kg. 561. Egy-egy mérleg mindkét serpenyőjébe ugyanolyan kinézetű és tömegű tárgyakat tettünk. A kétkarú mérlegek egyensúlyban vannak. A mérőtestekre a tömegük mérőszámát írtuk rá, mindegyik egysége kg. Add meg a színessel rajzolt testek tömegét! Írj a mérlegekről egyenleteket! Oldd is meg azokat! a)

b)

=5

c)

=7

d)

=6

e)

=4

f)

= A golyó tömege bármek-

=4

kora lehet, azonosság.

562. Válaszd ki azokat az egyenleteket, amelyeket ugyanazok a számok tesznek igazzá, mint a sor elején állót! Karikázd be a megfelelő egyenletek betűjelét! Az egyenletek megoldásával ellenőrizd választásod helyességét! a) 3 · x = 6

A) 3 · x − 2 = 4

B) 3 · x + 4 = 10

C) 4 · x = 6 + x

b) 2 · x = −4

A) 6 · x = 4 · x − 4 B) 4 · x + 2 = 2 · x − 2

c) 10 · x + 4 = 7 · x + 10

A) 3 · x = 6

C) 10 · x = −12

B) 10 · x − 2 = 7 · x + 4 C) 9 · x = 18

563. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! Írd be a megfelelő halmazábrába az egyenlőtlenségek betűjelét! 10 + x a) 3 · x + 2 > d) 9 · x + 3 > 12 + 6 · x

b) 2 · x < 4·x e) 5 · x + 2 > 5·x

c) x + 5 > x + 6 f) 2 · x + 3 > 4·x +3

Minden szám igazzá teszi

Van olyan szám, amely igazzá teszi, de nem mindegyik

Nincs olyan szám, amely igazzá teszi

e)

a) b) d) f)

c)

564. Pali 4 kg-mal nehezebb, mint Kati, Kati 6 kg-mal könnyebb, mint Gábor. Édesanyjuk 70 kg, édesapjuk 81 kg. Hány kg lehet Pali, ha mindnyájan beszállhatnak abba a liftbe, amelyen ez a kiírás áll: „Maximális terhelés 260 kg”? Válasz: Pali tömege maximum 37 kg lehet. Indoklás: Jelöljük Kati tömegét k -val! Pali tömege: k + 4, Gábor tömege: k + 6. A szöveg alapján felírható egyenlőtlenség: 70 + 81 + k + (k + 4) + (k + 6) 5 260

160

Nyitott mondatok

:::

Összevonás után ezt kapjuk: 161 + 3 · k k

5 260 5 33

Kati tömege maximum 33 kg, Palié maximum 37 kg, Gáboré maximum 39 kg lehet.

565. Zoli minden álma egy új, 24 sebességes kerékpár. Ezt csak akkor kapja meg, ha az év végi bizonyítványa legalább 4 8 átlagú lesz. Hat tantárgyból ötösre áll, egy tantárgyból biztosan hármas lesz. A többi három osztályzat még sokféleképpen alakulhat. Hányast kellene kapnia ezekből a tantárgyakból, hogy a vágya valóra váljon? Válasz: Mindhárom jegynek 5-ösnek kell lennie. Indoklás: Jelöljük a három nem ismert osztályzat összegét x -szel! A szöveg alapján ez az egyenlet írható fel: (6 · 5 + 3 + x ) : 10 = 48 x = 48 · 10 − 33 = 15 A három nem ismert jegy összege 15, ezért mindháromnak ötös osztályzatnak kell lennie.

566. A 6. b osztály az osztálykirándulás mindkét napján 1-1 órát vízibiciklizett a Balatonon. Az első napon 2 db csúszdás és 4 normál vízibiciklit béreltek. A második napon mindenki csúszdással akart menni, ezért 6 db csúszdásat béreltek, így 800 Ft-tal többet fizettek. a) Hány forinttal drágább a csúszdás vízibicikli 1 órás kölcsönzői díja? Válasz: Egy csúszdás vízibicikli 1 órás kölcsönzési díja 200 Ft-tal drágább. Indoklás: Írjuk fel egyenlettel az összefüggéseket! Jelöljük cs -vel egy csúszdás és n -nel egy normál vízibicikli kölcsönzési díját! 2 · cs + 4 · n + 800 = 6 · cs . Az egyenletet megoldva ezt kapjuk: n + 200 = cs

b) Mennyiért lehetett bérelni a csúszdás vízibiciklit, ha az első napon 10 ezer forintot fizettek? Válasz: Egy csúszdás vízibiciklit 1800 Ft-ért lehetett bérelni. Indoklás: Az a) feladatrész egyenletébe behelyettesítve a csúszdás vízibiciklire kapott értéket ezt kapjuk: 2 · (n + 200) + 4 · n = 10 000 Ezt az egyenletet megoldva arra az eredményre jutunk, hogy a normál vízibiciklit 1600 Ft-ért, a csúszdást 1800 Ft-ért lehet bérelni. A szövegnek megfelel az eredményünk.

567. Hogyan lehet 57 eurót 15 pénzérmével kifizetni, ha csak 2 és 5 eurósokkal rendelkezünk? Válasz: 9 db 5 eurós és 6 db 2 eurós pénzérmével lehet 57 eurót kifizetni. · 5 + (15 − x ) · 2 = 57 x · 5 + 30 − x · 2 = 57 x · 3 + 30 = 57 x · 3 = 27 x = 9 Ellenőrzés: 9 db 5 eurós értéke 45 euró, 6 db 2 eurós értéke 12 euró. A kettő összege éppen 57 euró.

Megoldás: Jelöljük az 5 eurósok számát x -szel!

x

568. Egy tízezrest felváltottunk 100 és 200 forintosokra, és éppen 90 pénzérmét kaptunk érte. Hány 100-as pénzérme volt köztük? Válasz: 80 db 100-as és 10 db 200-as pénzérme volt köztük. x · 200 + (90 − x ) · 100 = 10 000 · 200 + 90 · 100 − x · 100 = 10 000 x · 100 + 9000 = 10 000 x · 100 = 1000 x = 10 Ellenőrzés: 80 db 100-as értéke 8000 Ft. 10 db 200-as értéke 2000 Ft. A kettő összege éppen 10 000 Ft.

Indoklás: Jelöljük a 200 forintosok számát x -szel!

x

161

Nyitott mondatok

:::

569. Mindkét mérleg egyensúlyban van.

a) Hány golyó tömegével egyenlő egy kúp tömege? 1 kúp = 4 golyó b) Hány golyó tömegével egyenlő egy henger tömege? 1 henger = 8 golyó c) Hány kúp tömegével egyenlő egy henger tömege? 2 kúp = 1 henger 570. Hét teherautóval, amelyek teherbírása egyenként 3 t, 50 db kőtömböt szeretnénk elszállítani. A kövek rendre 370, 372, : : : , 468 kg-osak, azaz mindegyik 2 kg-mal nehezebb a sorban előtte állónál. El lehet-e egy fordulóval szállítani a köveket? A kőtömbök nem szállíthatók el egy fordulóval, mert a 7 teherautó közül legalább egyre 8 db kőtömböt kellene feltenni. A 8 db legkönnyebb kőtömb is túlterhelné az autót, mert 370 + 372 + : : : + 384 = 3016 (kg) > 3 t.

162

Arányos következtetések, százalék

Arányos következtetések, százalék 571. Egy csomagban lévő 5 db rágógumi 210 Ft-ba kerül. Mennyit kell fizetni 17 db rágóért? 1 db 17 db

42 Ft 714 Ft

572. Egy dobozos gyümölcslé 240 Ft-ba kerül. Hány ilyen gyümölcslét tudunk vásárolni 1000 Ft-ból? 4 dobozzal tudunk vásárolni, és megmarad 40 Ft.

573. Egy db 1 eurós érme magassága 1 2 mm. Milyen magas lenne az 1 millió db 1 eurós érméből épített henger alakú torony? (Számolás előtt becsüld meg a várható magasságot!) 1 200 000 mm = 1200 m = 1 2 km

574. A táblázatban szereplő adatok 1 5 literes palackokra vonatkoznak. Töltsd ki a táblázat üres ablakait! Ásványvíz (palack) Ár (Ft)

5

7

450

630

1

6

12

18

90 540 1080 1620

575. A mobiltelefonálás percdíja a VILLÁM szolgáltatónál 48 Ft. Józsi ezzel nincs megelégedve, ezért a GONDOS szolgáltatót választja. Ők 5 perc beszélgetésért 160 Ft-ot kérnek. Többet vagy kevesebbet fog fizetni Józsi 20 perc beszélgetésért? VILLÁM: 20 perc 960 Ft; GONDOS: 20 perc 640 Ft, itt 320 Ft-tal olcsóbb a telefonálás.

576. A tej ára nem azonos a különböző üzletekben. A táblázatban négy különböző élelmiszerbolt árai szerepelnek. Töltsd ki a hiányzó adatokat! JÓLJÁRSZ Tej menyTej ára nyisége (Ft) (liter)

GYEREBE Tej menyTej ára nyisége (Ft) (liter)

1 3

180 540

1 2

5

900

4

TUTI Tej menyTej ára nyisége (Ft) (liter)

140

6

280 560

2

1800 600

4

1200

RENDES Tej menyTej ára nyisége (Ft) (liter) 1 10 3

240 2400

720

Hol a legolcsóbb és hol a legdrágább 1 liter tej? A GYERE BE üzletben a legolcsóbb, a TUTI üzletben a legdrágább a tej.

577. Panni napi időbeosztása a táblázatban olvasható. Egy egész nap hányad részét teszik ki Panni elfoglaltságai? Töltsd ki a táblázatot! 120 perc = 2 óra, 90 perc = 1 5 óra, 30 perc = 0 5 óra Elfoglaltság

Iskola Utazás Tanulás

Idő

6 óra

2 óra

1 4

1 12

A nap hányad része?

120 perc 3 óra 1 12

Játék

Alvás

1 óra

Étkezés, tisztálkodás 90 perc

30 perc

8 óra

1 24

1 16

1 48

1 3

Sport Olvasás

1 8

163

Arányos következtetések, százalék 578. Sajtos rakott zöldség hat személy részére. Hozzávalók: 1 kg vegyes zöldség (zöldbab, sárgarépa, spárga, karalábé, kelbimbó, karfiol), 3 dkg vaj, 3 dl tej, 3 dkg liszt, 2 dl tejföl, 15 dkg reszelt edami sajt, 1 evőkanál olaj, 1 csapott kávéskanál só. Határozd meg a szükséges alapanyagok mennyiségét 8 személy részére! vegyes zöldség 1 személy 8 személy

1 kg 6 4 kg 3

vaj

tej

liszt

tejföl

edami sajt

olaj

só

1 dkg 2

1 dl 2

1 dkg 2

5 dkg 2

4 dkg

4 dl

4 dkg

1 dl 3 8 dl 3

1 evők. 6 4 evők. 3

1 kávésk. 6 4 kávésk. 3

20 dkg

579. 1 5 literes, teli üdítősüvegből hány 3 deciliteres poharat tölthetünk meg? Hányad része a pohár térfogata az üvegének? Egy 20 tagú társaságnak hány üveg üdítőt kell venni, ha mindenki 3 decilitert szeretne inni? 1 5 l = 15 dl, tehát 5 db 3 dl-es poharat tölthetünk meg. 1 3 = része az üvegének. Vagyis a pohár térfogata 15 5 20 · 3 dl = 60 dl = 6 l-t szeretne inni egy 20 tagú társaság. Ehhez

6 = 4 üveg üdítőt kell venni. 15

580. Lóri gyalogosan 5 óra alatt tesz meg 15 km utat. Kerékpárral hatszor olyan gyorsan, motorral pedig hússzor olyan gyorsan halad. Mennyi idő alatt teszi meg ugyanezt az utat kerékpárral, illetve motorral? Gyalogosan:

1 km-t

Kerékpárral:

1 km-t így

Motorral:

15 km-t 1 km-t

így

15 km-t

1 5 óra = óra alatt tesz meg Lóri. 15 3 1 1 1 · óra = óra alatt, 6 3 18 5 1 óra = óra = 50 perc alatt tesz meg. 15 · 18 6 1 1 1 · óra = óra alatt, 20 3 60 1 1 15 · óra = óra = 15 perc alatt tesz meg. 60 4

581. A legkisebb emlősállat a thaiföldi dongódenevér. Hossza 2 5 cm, tömege 2 g. A legnagyobb emlősállat pedig a kék bálna. Hossza 26 m, tömege 120 t. Írd fel, hányad része a legkisebb emlősállat hossza és tömege a legnagyobb emlősállaténak! 1 2 5 cm = része a kék bálna hosszának. 2600 cm 1040 1 2g = , vagyis 60 milliomodnyi része a kék bálna tömegének. A dongódenevér tömege 120 000 000 g 60 000 000

A dongódenevér hossza

582. A tavaszi áradáskor egy folyó menti községben, Rétfaluban naponta megmérték a vízszint emelkedését. Április 20-án a víz szintje 260 cm-re volt az 5 méter magas gát tetejétől. Az ezt követő napokon a folyó vízszintjének emelkedése közelítőleg egyenletes, napi 15 cm volt. Átlépte-e a folyó május 4-én a föld szintjétől (0 méter) 5 méterre emelkedő gátat? Április 20-tól május 4-ig 14 nap telik el. Ezalatt 14 · 15 cm = 210 cm-t emelkedik a víz szintje. 260 cm + 210 cm = 470 cm. Az 5 m magas gát teteje ettől 30 cm-re van, a folyó nem lépte át a gátat.

164

Arányos következtetések, százalék 583. 120 cm széles vászon 1 méter hosszú darabjából 8 db 30 cm széles kis terítőt tudunk készíteni. Mekkora a hossza ezeknek a kis terítőknek? Ha 5 méter anyagunk van, jut-e az ebédlő mind a 75 asztalára? Az ábrán látható elrendezés szerint 8 db egyforma hosszúságú terítőt készítünk az 1 m hosszú vászonból, 1 így m a kis terítők hossza. 2 1 m hosszú vásznon 8 db kis terítő fér el. 5 m hosszú vásznon 40 db kis terítő fér el.

1 m 2 1m 1 m 2

120 cm

Tehát nem jut az ebédlő mind a 75 asztalára.

584. Egy téglalap oldalai 5 4 cm és 3 6 cm hosszúak. Egy másik téglalap minden megfelelő oldala 2 -a az előzőnek. Határozd meg mindkét téglalap kerületét és területét! 3 Oldalak

Kerület [cm]

Terület [cm2 ]

Első téglalap

5 4 cm, 3 6 cm

2 · 5 4 + 2 · 3 6 = 18

5 4 · 3 6 = 19 44

Második téglalap

3 6 cm, 2 4 cm

2 · 3 6 + 2 · 2 4 = 12

3 6 · 2 4 = 8 64

a b

585. Hogyan változik a tört értéke, ha Az eredeti tört értéke: . a) a számlálóját kétszeresére növeljük, a nevezőjét pedig nem változtatjuk; 2·a

b

 

=2·

a b

, tehát a tört értéke kétszeresére növekszik.

b) a nevezőjét háromszorosára növeljük, számlálóját pedig nem változtatjuk;

a = 1 ·  a , tehát a tört értéke egyharmadszorosára változik. 3b 3 b

c) a számlálóját kétszeresére, a nevezőjét pedig háromszorosára növeljük? 2·a 2 = · 3·b 3

 

a b

, tehát a tört értéke kétharmadszorosára változik.

Egyenes arányosság 586. A piacon 1 db jércetojás 38 Ft, 1 db tyúktojás 45 Ft. Töltsd ki a táblázatot! Mennyiség Jércetojások ára (Ft) Tyúktojások ára (Ft)

10 db

20 db

25 db

30 db

380 450

760 900

950 1125

1140 1350

587. Negyed kg azonnal oldódó kakaóporból 40 csésze kakaóitalt tudunk készíteni. Hány csésze ugyanilyen keverékű ital készíthető 800 g kakaóporból? 800 g kakaóporból 128 csésze kakaóital készíthető.

588. Nyári magánnapköziben 6 gyerek napi étkeztetése 10 800 Ft. Mennyibe kerül 15 gyerek étkeztetése?

1 gyerek 15 gyerek

1 800 Ft 27 000 Ft

165

Arányos következtetések, százalék 589. Panni születésnapjára 3 barátnőjét hívta meg. Anyukája 12 db palacsintát sütött nekik, és meghagyta, hogy mindenki ugyanannyit egyen. Hány palacsintát kell még sütnie, ha 2 vendéggel több érkezik, és mindenki szeretné megenni az eredetileg neki szánt mennyiséget? 12 = 3 db palacsintát eszik. 4 Ha még 2 vendég érkezik, akkor 2 · 3 = 6 db palacsintát kell még készítenie. Mindenki

Fogyasztás (l)

590. Egy személygépkocsi 100 km út megtételekor 6 8 liter benzint fogyaszt. Ezt az egyenletes fogyasztást feltételezve mennyit fogyaszt 10 km, 28 km, 40 km, 56 km, 80 km, 250 km és 400 km út megtétele alatt? Készíts kilométer-liter tábláza- Út (km) 100 10 28 40 56 80 250 400 tot, és megfelelő beosztást váFogyasztás (l) 6 8 0 68 1 904 2 72 3 808 5 44 17 27 2 lasztva a koordinátatengelyeken ábrázold a fenti számpárokhoz tartozó pontokat! 30 25 20 15 10 5 0 0

100

200

300

400 Út (km)

591. Elek egyenletes tempóban kerékpározik a Tisza-tó partján, egy óra alatt 16 km-t tesz meg. Hány óra alatt ér vissza kiindulási helyére, ha tudjuk, hogy a Tisza-tó körüli kerékpárút 80 km? Hány km-t tesz meg 2 óra, 3 óra, 4 óra alatt? Eltelt idő [óra] Készíts értéktáblázatot, majd ábrázold a 5 megtett út és az eltelt idő közti összefüg4 gést derékszögű koordináta-rendszerben! 3 Idő

1

2

3

4

[óra]

Út

16

32

48

64

[km]

2 1

Megtett út [km] 10 20 30 40 50 60 70 80

80 km-t 5 óra alatt tesz meg.

592. Egy háromnapos tanulmányi kirándulás bérelt autóbusszal fejenként 12 000 Ft-ba került. Hány diák ment kirándulni, ha az összköltség 384 000 Ft volt? 384 000 : 12 000 = 32 diák ment kirándulni. 593. Hanyag Józsi edzésre sietve nem zárta el rendesen a vízcsapot. Anyukája, aki 14 perc múlva jött haza, már 8 4 dl vizet talált a csap alatt álló kancsóban. Hány liter vizet pocsékolt volna el Józsi, ha csak 2 5 óra múlva jött volna haza valaki a családból? 2 5 óra = 150 perc alatt 90 dl = 9 l víz gyűlik össze a kancsóban. Tehát 9 litert pocsékolt volna el Józsi.

594. Egy babákat készítő automata gép 3 óra alatt 110 db babát készít. Mennyi idő alatt készít el 500 db babát, ha a teljesítménye állandó?

110 db baba ≈ 36 6 baba 500 db baba

3 óra alatt 1 óra alatt ≈ 13 6 óra alatt készül el.

Hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hogy a valóságban nem minden mennyiség adható meg egész számmal. A ≈ 36 6 baba arra utal, hogy a babakészítés művelete folyamatos. 166

Arányos következtetések, százalék 595. Apuka az 580 m2 -es telkét rotációs kapával 1 75 óra alatt gyomtalanítja. Mennyi időbe telik, ha ugyanezt a műveletet elvégzi (ugyanilyen feltételekkel) testvére 800 m2 -es kertjében? A 800 m2 -es kertet

800 · 1 75 óra ≈ 2 41 óra, tehát körülbelül 2 óra 24 perc alatt kapálja fel. 580

A tanulók nézzenek utána az interneten, hogy milyen eszköz a rotációs kapa, és hogy ezen kívül milyen földművelő gépekkel dolgoznak a falusi gazdák. 596. Két mennyiség között olyan egyenes arányosság van, amelynek grafikonja áthalad az (5; 4) koordinátájú ponton. Add meg az arányosságot leíró képletet! Írj szöveget a feladathoz! A képlet többféle alakban is elfogadható. Néhány példa:

y = 54 · x , y = 0 8 · x

Pisti gyufaszálakból 5 óra alatt 4 vitorlás hajót készít el. Mennyi idő alatt készül el 2 db ugyanilyen hajó, ha Pisti ugyanolyan tempóban dolgozik?

597. Repülőn történő utazáskor minden utas csak a szabályban meghatározott tömegű poggyászt adhatja fel külön díjazás nélkül. A LÉGHAJÓ társaságnál a szabály legfeljebb 20 kg-ot ír elő. Efelett az utasnak minden kg után 6 zsetont kell bedobni az automatába, mert a futószalag csak így engedi át a csomagot a bejáratnál. Egy zseton 150 Ft-ba kerül. Hány Ft-ot kell fizetni annak az utasnak ezen a repülőn, aki 34 kg-os csomagot visz magával? Egyenes arányosság van-e a csomag tömege és a fizetendő összeg között? 34 kg − 20 kg = 14 kg a többlet. 1 kg többlet ára 6 · 150 Ft = 900 Ft. 14 kg többlet ára 12 600 Ft. A csomag tömege és a fizetendő összeg között nincs egyenes arányosság, mert pl: A csomag tömege (kg) A csomag ára (Ft)

20

21

22

0

900

1800

Százalékszámítás 598. Mennyi 350-nek a a) 10%-a,

350 · 0 1 = 35,

c) 40%-a,

350 · 0 4 = 140,

e) 120%-a, 350 · 1 2 = 420,

10 1 = 100 10 2 40 = 100 5 120 6 = 100 5

b) 25%-a,

350 · 0 25 = 87 5,

d) 75%-a,

350 · 0 75 = 262 5,

f) 200%-a? 350 · 2 = 700,

25 1 = 100 4 3 75 = 100 4 200 =2 100

A megadott százaléklábakat fejezd ki a lehető legegyszerűbb törtrésszel is! 599. Mennyi 1530-nak a a) 0 1%-a, 1 53

b) 2 25%-a, 34 425

c) 42 7%-a, 653 31

d)

100 %-a? 510 3

600. Fejezd ki az alábbi törtrészeket százalék alakban! 1 rész 20% 5

2 rész 50% 4

25 rész 125% 20

12 rész 80% 15

33 rész 330% 10

14 rész 1 4% 1000

167

Arányos következtetések, százalék 601. Írd fel az alábbi, százalékban kifejezett részeket a lehető legegyszerűbb törtrész alakban! 1 10 5 125% 4

1 50 3 12% 25

10%

9 20 7 140% 5

2%

45%

120%

6 5

90%

9 10

100% 1

602. Kösd össze az egyenlőket! 0 01 1 2

6 5

5%

1 = 50% 2

5% =

5 100

120% =

140%

14 6 5

3 4

1% 50%

2 5

120%

5 100

40%

75% 2 = 40% 5

0 01 = 1%

1 4 = 140%

3 4

75% =

603. Melyek egyenlők? 750 750 ·

1 -e 4

450

4 -e 5

250 75%-a

75 1 = 250 · = 187 5 4 100

450 ·

610

5 -e 2

3050 50%-a

8 4 = 4500 · = 360 5 100

610 ·

4500 8%-a

5 50 = 3050 · = 1525 2 100

604. A táblázatba rajzolt körök területe legyen egységnyi. a) Rajzold be a megadott részeknek megfelelően a körcikkeket, és színezd ki azokat! b) Fejezd ki a törtrészeket százalék alakban, a százalék alakban megadott részeket pedig törtrészben! c) Az így kapott kördiagramokhoz készíts szöveges feladatokat! 4 2 1 3 Törtrész 5 4 5 3 28

8◦

◦

0

90◦

24

◦

216

Kördiagramok



Százalék alak

60%

25%

80%

 2 66 % 3

605. A 6. a osztály egy háromnapos, 50 km-es gyalogtúrát szervezett. Az első napon megtették a tervezett út 36%-át. A második napon a maradék út 50%-át. Hány km maradt a harmadik napra? Ez hányad része az egész útnak? Az első nap után 50 km − 0 36 · 50 km = 32 km, a második nap után 32 km − 0 5 · 32 km = 16 km maradt hátra. Ez

32 8 16 = = része, vagyis 32%-a az egész útnak. 50 100 25

606. Iskolánkban a 96 hatodikos tanuló 56 25%-a lány. Hány fiú és hány lány jár a hatodik év 1 10 folyamba? A lányok 33 %-a az A osztályba, része a B osztályba, a többi a C-be jár. 3 27 Mennyi a lányok száma az egyes osztályokban? A hatodik évfolyamba járó lányok száma: 96 · 0 5625 = 54, fiúk száma: 96 − 54 = 42. 1 10 = 20, a C osztályba Az A osztályba járó lányok száma: 54 · = 18, a B osztályba járó lányok száma: 54 · 3 27 járó lányok száma: 54 − (18 + 20) = 16.

168

Arányos következtetések, százalék 607. A hideg éghajlatú zónában élő állatok közül például a rénszarvas −31 ◦ C-os hidegben képes a testének kevésbé védett területeire történő véráramlást meggátolni. Ezért szájának és lábának hőmérséklete jóval alacsonyabb, mint 38 ◦ C-os testhőmérséklete. Milyen lehet a rénszarvas szájának és lábának hőmérséklete, ha az előbbi a testhőmérsékletnek 53%-a, az utóbbi pedig 24%-a? A rénszarvas szájának hőmérséklete: 0 53 · 38 ◦ C = 20 14 ◦ C, lábának hőmérséklete: 0 24 · 38 ◦ C = 9 12 ◦ C.

608. Védett természeti értékeink a nemzeti parkok. Ezek területi megoszlását adtuk meg a táblázatban. a) A Hortobágyi Nemzeti Park területe 80 600 ha. Az Aggteleki Nemzeti Park területe ennek 25%-a. Mekkora területű az aggteleki park? Írd be a táblázatba!

Megnevezés Aggteleki Balaton-felvidéki Bükki Duna–Dráva Duna–Ipoly Az Aggteleki Nemzeti Park területe 20 150 ha. Fertő–Hanság b) Hány százaléka a nemzeti parkok területe az Hortobágyi egész ország területének? (Magyarország terüKiskunsági lete 93 ezer km2 .) Körös–Maros A nemzeti parkok összterülete: 508 150 ha = 5081 5 km2 . Őrségi Ez az ország terütének

Terület (ezer ha)

5081 5 · 100 ≈ 5 5 százaléka. 93 000

20 15

57 43 1 49 5 60 3 46 7 80 6 56 7 50 1 44

A 100% meghatározása 609. Melyik számnak a 47 b) 49%-a 101, ≈ 206 122 c) 72 5%-a 1570, ≈ 2165 52 = 313 3˙ 0 15 d) 63 2%-a 183 97, ≈ 291 184 e) 124%-a 295 1? ≈ 237 98

a) 15%-a 47,

610. Az ábrán látható szőnyeget különböző méretekben készítik a szövőgépek. Ehhez a tervezők a középső, téglalap alakú csík méretét és annak az egész szőnyeghez viszonyított területarányát adták meg. Számítsd ki az adatokból, mekkorák a szőnyegek! A bordó csík

A szőnyeg területe

területe

%-os aránya

a)

300 cm2

20%

1500 cm2

b)

120 cm2

30%

400 cm2

c)

400 cm2

25%

1600 cm2

d)

200 cm2

40%

500 cm2

611. Mekkora az a tömeg, amelynek a) 18%-a 35 kg, b) 45%-a 125 dkg,

125 dkg = 277 7˙ dkg 0 45

35 kg = 194 4˙ kg 0 18

c) 67%-a 4551 g?

4551 g = 6792 54 g 0 67

169

Arányos következtetések, százalék

612. Hány liternek az a) 51%-a 371 dl, b) 0,5%-a 5872 cl,

371 dl ≈ 727 45 dl ≈ 72 745 l 0 51

5872 cl = 1 174 400 cl = 11 744 l 0 005

c) 67%-a 453 l?

453 l ≈ 676 12 l 0 67

613. Egy egyenlő szárú háromszög szárszöge az alapon fekvő szögnek Az alapokon fekvő szög  , a szárszög:



a) kétszerese,  = 2 , ekkor  + 2 = 180◦ , 4 = 180◦ , akkor  = 45◦ és  = 90◦ . ◦  = 2 , ekkor 2 5 = 180◦, tehát  = 72◦ és  = 722 = 36◦. 60%-a,  = 0 6 , 2 6 = 180◦ , innen  ≈ 69 23◦ és  ≈ 41 54◦ . 120%-a.  = 1 2 , ekkor 3 2 = 180◦ , innen  = 56 25◦ és  = 67 5◦ .

b) fele,

c) d) Mekkorák a háromszög szögei?

614. A 6. a osztály év végi tanulmányi átlaga 4 21, amely 13%-kal magasabb a félévinél. Mennyi volt félévkor ez az átlag?

4 21 ≈ 3 726 volt félévkor az átlag. 1 13

615. A hathetes nyári olasznyelv-tanfolyam tandíja most 10%-kal kevesebb az eredetinél, így 36 500 Ft-ba kerül. Hány forint volt a tandíj eredetileg?

36 500 ≈ 40 556 Ft volt a tandíj eredetileg. 09

616. Janó és Bea szeretnének egy számítógépes játékprogramot venni. Janónak hiányzik a vételár 30%-a, Beának pedig a 40%-a. Ha pénzüket összerakják, akkor az összeg 1200 Ft-tal több lesz a vételárnál. Mennyibe kerül a program? Janó a vételár 70%-ával, Bea annak 60%-ával rendelkezik. Ketten együtt a vételár 130%-át képesek kifizetni. A vételár 30%-a pedig 1200 Ft. Így

1200 Ft = 4000 Ft-ba 03

kerül a program.

617. Infó Márió új számítógépének üzembe helyezésekor a meghajtót két részre osztották. A D meghajtón 112 5 GB (gigabájt) tárhelyet alakítottak ki, amely a teljes tárolókapacitás 75%-a. Mekkora rész jut a C meghajtóra, és hány GB méretű a gép teljes tárhelye? 112 5 GB ≈ 150 GB méretű. 0 75 Ennek 25%-a 150 GB · 0 25 = 37 5 GB a C meghajtó tárolókapacitása. A gép teljes tárolókapacitása

Törtrészek meghatározása százalék alakban 618. Hány százaléka a) 52 a 73-nak;

52 = 0 7123, így 71 23%-a az 52 a 73-nak. Ehhez hasonlóan számolva: 73

b) 132 a 65-nek; 203 08%-a

c) 15 a 42 6-nek; 35 21%-a

619. Írd fel a törteket százalék alakban! 4 5 8 80% 125% 0 1 10% 400% 5 4 2

170

2 ˙ 66 6% 3

d) 57 8 az 1270 2-nek? 4 55%-a

2 5 250%

9 180% 5

102 102% 100

Arányos következtetések, százalék 620. Töltsd ki a mellékelt táblázatot!

Alap 46 128

621. a) 472 m-nek a 2350 cm hány %-a? 2350 cm 23 5 m = = 0 049 79. 472 m 472 m Tehát (0 049 79 · 100)% ≈ 5%-a a 2350 cm a 472 m-nek.

1237 105 0 047

79,03 8002,34

b) 25 perc a 2 órának hány %-a?

Százalékláb Százalékérték 17 7 82 76 56 98 38 470,1 25,5 0,012 1274 2 1007 2616 765 32,7

25 perc 25 perc ˙ Vagyis 20 83%-a. ˙ = = 0 2083. 2 óra 120 perc 46 7 l 467 dl c) 46 7 l a 279 dl-nek hány %-a? = = 1 6738. Vagyis 167 38%-a. 279 dl 279 dl 525 t 525 000 kg = = 107 723. d) 525 t a 4873 6 kg-nak hány %-a? 4873 6 kg 4873 6 kg Vagyis 1 077 23% ≈ 1 1%-a.

622. A kínai eredetű, tangram nevű kirakójáték darabjait kiszíneztük. Hány százaléka a) a kirakott négyzet területének az egyes részek területe; Színkód

Százalékos arány

Citromsárga Rózsaszín 6 25%

Piros Zöld Barna 12 5%

Kék Narancssárga 25%

b) a piros színű darab területe a sárga színű területének; 200%-a c) a rózsaszín darab területe a zöld színű területének; 50%-a d) a készletben szereplő háromszögek összterülete a kirakott négyzet területének? A háromszögek összterülete a teljes négyzet területének 75%-a.

623. Hány százalékát színeztük ki az alakzatoknak? Állítsd növekvő sorrendbe a három alakzatot a színezett területek nagysága alapján! Növekvő sorrend: c), b), a)

624. Ákos vacsorára megette a szilvás gombócok meg?

a)

c)

b)

5 = 62 5% 8

4 = 40% 10

1 = 33 3% 3

3 részét. Az összes gombóc hány százaléka maradt 5

3 rész = 60%. Így az összes gombóc 40%-a maradt meg. 5

625. Az alábbiak közül melyik változás százalékos aránya a legnagyobb? a) Egy fa 6 méteresről 12 méteresre nőtt. 100%-os növekedés b) Egy akvárium ára 8000 forintról 6000 forintra csökkent. 25%-os csökkenés c) Egy ember fizetése 100 000 forintról 120 000 forintra növekedett. 20%-os növekedés d) Egy 4 kilogrammal született kisbaba 9 kilogramm tömegű lett. 125%-os növekedés A d)-ben megadott változás százalékos aránya a legnagyobb.

(Országos kompetenciamérés, 2008) 171

Arányos következtetések, százalék 626. Kata ezt mondta Hédinek: az én pénzem 60%-ához még 70 Ft-ot kell adni, hogy annyi forintom legyen, mint neked. Hédi így válaszolt: neked csak 30 Ft-tal van több pénzed, mint nekem. Hány forintjuk van a lányoknak külön-külön? Kata pénze: k Ft, Hédi pénze: h Ft. Kata állítása szerint: 0 6 · k + 70 = h ; Hédi állítása szerint: h + 30 = k , vagyis h = k − 30. A két állítást együtt vesszük figyelembe: 0 6k + 70 = k − 30, amiből k = 250 következik. Katának tehát 250 Ft-ja, Hédinek 220 Ft-ja van.

627. Egy 8 cm oldalú négyzet területéből elhagyjuk a negyedét, majd a negyedének a negyedét, és így tovább. Ezt a műveletet az eredeti négyzettel összesen négyszer végezzük el. Hány százaléka a maradék sokszög területe az eredeti négyzet területének? Az I. művelet után

A maradék sokszög területe (cm2 -ben) 1 8 · 8 − · 8 · 8 = 48 4 

 16  1 1 · 8 · 8 = 44 A II. művelet után 48 − 4 4    4  1 1 1 A III. művelet után 44 − · · 8 · 8 = 43 4 4 4   1   1 1 1 1 · · · 8 · 8 = 42 75 A IV. művelet után 43 − 4 4 4 4   

A maradék sokszög területe így

1 4

 42 75 · 100 % = 66 8%-a az eredeti négyzetnek. 64

Bevezetés a statisztikába A 628-as feladatban szereplő betűstatisztika azt mutatja be, hogy ugyanannak a szövegrésznek három különböző nyelvű változatában milyen az egyes betűk (nem a hangok!) előfordulásának a gyakorisága. Az angol nyelv miatt ékezetek nélküli magánhangzók szerepelnek a táblázatban, ezért a magyar nyelv ékezetes, rövid és hosszú magánhangzói egy kategóriába tartoznak. Hasonló okok miatt a kétjegyű mássalhangzók listázása egyenként történt. Ez egy kicsit elbillenti a magyar nyelvben megszokott arányokat (például az o-hoz számoltuk az ó-t, az ö-t és az ő-t). A lényeg itt nem a feltétlen nyelvi pontosság, hanem az összehasonlítás, amely ebben az elég nagy elemszámú mintában megfelelő szinten elvégezhető. A listázáshoz a kötet végén található mellékletből kimásolható a tanulók számára az előre elkészített betűtáblázat. A feladat háromfős csapatokat említ. A listázásnál ajánlatos két háromfős csapatnak összefognia, mert így mindhárom részletet 2 tanuló vizsgálhatja (egyik diktál, másik ír). Érdemes megvizsgálni a szavak hosszát, a szavak számát, illetve a szóközök számát is ebben a három mintában.

172

Arányos következtetések, százalék

A táblázatnál áttekinthetőbb képet kapunk, ha az adatokat grafikonon ábrázoljuk. (Lásd a kitöltött táblázat alatt.) Sok érdekes dolgot lehet olvasni az interneten arról, hogy a szavak hangrendje (magas/mély) milyen érzelmi üzeneteket hordoz. 628. Háromfős csoportban dolgozzatok! Készítsetek betűstatisztikát A. A. Milne Micimackó című meseregényének kiemelt részletéből! Hasonlítsátok össze a különböző nyelveken kapott adatokat! (A német ábécében a ß vagy ss esetén sz hangot ejtünk, a¨ esetén pedig é hangot.) Micimackó Egy napon, mikor kint sétált az erdőben, egy tisztásra ért, és a tisztás közepén állt egy jókora magyarul tölgy, és a tölgy koronájából hangos döngicsélés és zümmögés ütötte meg a fülét. Micimackó letelepedett a fa alá; mancsai közé fogta a fejét, és gondolkozni kezdett. Így kezdte: „Ez a döngicsélés jelent valamit. Olyan nincs, hogy csak döngicsélés van meg zümmögés, és az nem jelent semmit. Ha döngicsélés van meg zümmögés, akkor ez azt jelenti, hogy valaki vagy valami döngicsél, illetve zümmög, és amennyire az én műveltségem futja, az egyetlen elképzelhető ok, ami valakit döngicsélésre, illetve zümmögésre indíthat, abban a tényben leli magyarázatát, hogy az illető egy méhecske.” Azután még hosszasan gondolkozott, és így fejezte be: „Ami pedig azt illeti, ha valaki már méh, ezt a minőségét arra szokta felhasználni, hogy mézet készítsen.” Micimackó One day when he was out walking, he came to an open place in the middle of the forest, and angolul in the middle of this place was a large oak-tree, and, from the top of the tree, there came a loud buzzing-noise. Winnie-the-Pooh sat down at the foot of the tree, put his head between his paws and began to think. First of all he said to himself: “That buzzing noise means something. You don’t get a buzzing noise like that, just buzzing and buzzing, without it meaning something. If there’s a buzzingnoise, somebody’s making a buzzing-noise, and the only reason for making a buzzing-noise that I know of is because you’re a bee.” Then he thought another long time, and said: “And the only reason for being a bee that I know of is making honey.” Micimackó Eines Tages, als er einen Spaziergang machte, kam er an eine freie Stelle inmitten des Waldes, németül und inmitten dieser Stelle stand eine große Eiche, und vom Wipfel des Baumes kam ein lautes Summger¨ausch. Winnie-der-Pu setzte sich an den Fuß des Baumes, steckte den Kopf zwischen die Pfoten und begann zu denken. Zuallererst sagte er sich: »Dieses Summger¨ausch hat etwas zu bedeuten. Es gibt doch nicht so ein Summger¨ausch, dass so einfach summt und summt, ohne dass es etwas bedeutet. Wenn es ein Summger¨ausch gibt, dann macht jemand ein Summger¨ausch, und der einzige Grund dafür, ein Summger¨ausch zu machen, den ich kenne, ist, dass man eine Biene ist.« Dann dachte er wieder lange nach und sagte: »Und der einzige Grund dafür, eine Biene zu sein, den ich kenne, ist, Honig zu machen.« Magyar:

a b

c

d

e

f

g h

i

j

k

l m n o p q

71 6 12 14 99 7 37 13 39 8 22 43 34 39 46 5

r

s

t

u v w x y

0 14 42 52 10 11 0

z

0 18 31

173

Arányos következtetések, százalék Angol:

a

b

c

d

e

f

g h

i

j

47 15 5 18 69 15 21 35 45 1

k

l m n o p q

9 14 15 53 48 7

r

s

t

u v w x y

0 15 29 51 17 0 11 0

z

7 16

Német:

a

b

c

d

e

f

g h

i

j

k

l m n o p q

38 8 21 38 113 8 21 22 47 1

9

9 28 66 9

5

r

s

t

u v w x y

0 23 59 34 38 1

8

0

z

0 13

115 110 105 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 a magyar 71 angol 47 német 38

b 6 15 8

c 12 5 21

d e f 14 99 7 18 69 15 38 113 8

g 37 21 21

h 13 35 22

i 39 45 47

j 8 1 1

k 22 9 9

l 43 14 9

m 34 15 28

n 39 53 66

o 46 48 9

p 5 7 5

q r s t 0 14 42 52 0 15 29 51 0 23 59 34

u 10 17 38

v 11 0 1

w 0 11 8

x 0 0 0

y 18 7 0

z 31 16 13

A betűk összeszámlálásához használható fénymásolható táblázat a mellékletben található.

629. A 6. osztályos tanulókat a tanórán kívüli elfoglaltságaikról kérdeztük. Mindenki csak a számára legfontosabb elfoglaltságot mondhatta. a) Készíts oszlopdiagramot a táblázat alapján! 10 Tanulók száma

Sport Zene Nyelv Kézműves Egyéb Semmi szakkör 5 3 8 2 2 0

8 6 4 2 0

174

Sport

Zene Nyelv Kézm. Egyéb Elfoglatság

Arányos következtetések, százalék b) Válaszd ki, melyik kördiagramon ábrázoltuk a táblázat adatait! A)

B)

C)

Az A) kördiagram ábrázolja az adatsort.

630. Készíts felmérést osztálytársaid körében, majd az adatokat ábrázold kettős oszlopdiagramon! (Legalább 10 tanulót kérdezz meg!) Hányan nézik a televízió adásai közül a táblázatban felsorolt műsorokat, különválasztva a fiúkat és a lányokat? Délutáni Ismeret- Sportgyerek- terjesztő adás műsor filmek

Esti mese

Sorozat Akciófilmek

Lányok Fiúk A megoldás az osztályban végzett felméréstől függ.

631. Egy nyári hét minden napján pontosan délben megmértük, hány fokot mutat a hőmérő. Ábrázold vonalgrafikonon az adatokat, és számítsd ki a heti átlaghőmérsékletet! 33 C

◦

35 C

Vasárnap 29 ◦ C

34 C

ap Va sá rn

om

k

ek Sz

K

H

ba t

35 30 25 20 15 10 5 0 Pé nt

C =

31 C

Szombat

◦

rtö

◦

Péntek

◦

ét fõ

A heti átlaghőmérséklet:   21 + 27 + 31 + 33 + 35 + 34 + 29 7 = 30 ◦ C

Csütörtök

◦

tö

27 C

Szerda

a

◦

Cs ü

21 C

Kedd

Sz er d

◦

ed d

Hőmérséklet

Hétfő

Déli hõmérséklet (°C)

Nap

632. Egy iskolai sportkörbe 10, 11 és 12 éves lányok és fiúk járnak. Arról kérdeztük őket, hogy kiket érdekel a foci. A táblázatban az igen válaszokat gyűjtöttük össze. Ábrázold az adatokat kettős téglalapú oszlopgrafikonon! 10 éves 11 éves 12 éves Fiúk 6 10 8 Lányok 5 9 11

Igen válaszok száma

A hét napjai 12 10 8 6 4 2 0

fiúk lányok

10 év

11 év Életkor

12 év

175

Arányos következtetések, százalék 633. Egy felmérés eredményét kördiagramon és oszlopdiagramon is ábrázolták. Mely oszlopdiagram ábrázolja ugyanazokat az adatokat, mint a fenti kördiagram? D) A) B) C)

(Országos kompetenciamérés, 2008.) 634. Megkérdeztük a tanulókat, hogy melyik a kedvenc mesefigurájuk. A válaszokat a táblázatba foglaltuk. Melyik diagram mutatja a táblázat adatait? Kedvenc Spongya- Jerry mesefigura Mouse Bob Szavazatok 11 12 száma

Villám McQueen

Micimackó

Garfield

Frakk

Snoopy

Tom Cat

22

13

17

9

7

9

B)

A)

25 20 15 10 5

20 15 10 5 1

2

3

4

5

6

7

8

C)

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

D) 12 10 8 6 4 2

12 10 8 6 4 2 1

2

3

4

5

6

7

8

635. Egy felmérés alkalmával 81 gyereket kérdeztek meg, hogy melyik állatot szeretik a legjobban. A válaszok alapján készült a piktogram, amelyen az egyes állatok száma arányos az adott válaszok számával. Határozd meg a piktogram segítségével, hogy a megkérdezettek közül hányan választották kedvencüknek az egyes állatokat!

176

Arányos következtetések, százalék

Állatok

Ló Kutya Macska Madár

Állatok száma Szavazatok száma

8 24

6 18

9 27

4 12

636. A kóbor állatokat begyűjtő és azokat ellátó menhelyek száma egyre szaporodik. Néhány menhelyen tartott állat száma olvasható a táblázatban. Számítsd ki mind a négy esetben a menhelyi és a gazdához került kutyák számának az összlétszámhoz viszonyított százalékos arányát! Készíts az adatokból oszlopdiagramot! A tartott állatok száma

Ebből gazdához került

Szent Ferenc Állatotthon Elek-Ágh Menhely

673 230

214 175

Veszprémi Állatvédő Egyesület Rex Kutyaotthon Alapítvány

295 346

240 294

673

Tartott állatok

Szent Ferenc Állatotthon Veszprémi Állatvédõ Egyesület

294

19%

240

15,5%

175 11,33%

214

13,86%

19,1%

230

346

22,4%

295

14,9%

700 600 500 400 300 200 100 0

43,6%

Kutyák száma

Menhely neve

Ebbõl gazdához került állatok Elek-Ágh Menhely Rex Kutyaotthon Alapítvány

A tartott kutyák száma összesen: 1544. Az ebből gazdához került állatok száma: 923. A számolást úgy ellenőrizhetjük, hogy a második oszlopdiagramban szereplő százaléklábak összege a 923-nak az 1544-hez viszonyított százalékos arányát adja.

Fontos, hogy a két oszlopdiagram oszlopainak magassága tükrözze a menhelyeken tartott és az ebből gazdához került állatok számának egymáshoz viszonyított nagyságát. Az oszlopdiagramokat másféleképpen is el lehet készíteni (vizsgálhatjuk pédául menhelyenként a gazdához került állatok részarányát).

177

Arányos következtetések, százalék 637. Egy hatodikos fiú és egy lány napi időbeosztását adjuk meg. Kálmán 9 óra alvás 6 óra az iskolában 15 perc utazásra fordított idő 75 perc otthoni tanulás 1,5 óra étkezés, tisztálkodás 5 és fél óra tv- vagy videónézés

9 óra 6 óra 1,5 óra 1 óra 1 és fél óra 1 óra 40 perc 2 és negyed óra 45 perc

Panni alvás az iskolában délutáni különóra utazásra fordított idő otthoni tanulás étkezés és tisztálkodás kikapcsolódás segítés az otthoni munkákban

Ábrázold külön-külön oszlopgrafikonon a két gyerek időbeosztását!

segítség

kikapcsolódás

étk., tiszt.

tanulás

utazás

különórák

Panni

iskola

óra 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

alvás

tévé, videó

étk., tiszt.

tanulás

utazás

iskola

Kálmán

alvás

óra 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

638. Petra 5 könyvet olvas el fél év alatt, Joli 3-at, Hédi 5-öt, Liza 6-ot, Nóri egyet sem. Számítsd ki, hogy átlag hány könyvet olvas el az öt lány egy félév alatt! Az öt lány egy félév alatt átlagosan

5+3+5+6+0 = 3 8 könyvet olvas el. 5

639. Lali hétvégén összesen 6 órát töltött békamentéssel, mikor is a tóhoz igyekvő békákat átsegítette a forgalmas főúton. Az első órában 9 békát mentett meg, a következő órában 2-t, a harmadik órában 4-gyel többet, mint a másodikban, a negyedik órában pedig harmadannyit, mint az elsőben. Végül az utolsó két órában óránként 11-et kapott el. Hány békát mentett meg óránként átlagosan a békamentő akción töltött 6 óra alatt? Lali átlagosan

9 + 2 + 6 + 3 + 11 + 11 = 7 békát mentett meg. 6

640. Három fiú átlagos zsebpénze heti 400 Ft, öt lányé pedig 350 Ft. Mennyi a 8 főből álló társaság heti átlagos zsebpénze? 

3 · 400 + 5 · 350 8



Ft = 368 75 Ft a társaság heti átlagos zsebpénze.

641. Az idei focibajnokságon a hatodikos fiúk válogatott csapata a lejátszott mérkőzéseken az alábbi eredményeket érte el: 6. o. – 5. o.: 3:2 6. o. – 7. o.: 4:3 6. o. – 8. o.: 2:5 Átlagosan hány gólt rúgtak és hány gólt kaptak a hatodikosok a három meccsen? Átlagosan

178

2+3+5 3+4+2 = 3 gólt rúgtak, és = 3 3 gólt kaptak a hatodikosok. 3 3

Arányos következtetések, százalék 642. A {2, 4, 9, 12, 0, 5, x , 9, 7} adatsokaság átlaga 8. Add meg a hiányzó elemet! 2 + 4 + 9 + 12 + 0 + 5 + x + 9 + 7 = 8, ebből 9

x = 24.

643. Határozd meg a táblázat segítségével a prímszámok gyakoriságát a megadott számközökben, majd ábrázold az adatokat grafikonon! a) 1–100

b) 101–500

c) 501–1000

25

95

73

1-től 10-ig 4 prímszám van,

1-től 100-ig 25 prímszám van,

1-től 1 000-ig 168 prímszám van,

11-től 20-ig 4 prímszám van,

101-től 200-ig 21 prímszám van,

1001-től 2 000-ig 135 prímszám van,

21-től 30-ig 2 prímszám van,

201-től 300-ig 16 prímszám van,

2001-től 3 000-ig 127 prímszám van,

31-től 40-ig 2 prímszám van,

301-től 400-ig 16 prímszám van,

3001-től 4 000-ig 120 prímszám van,

41-től 50-ig 3 prímszám van,

401-től 500-ig 17 prímszám van,

4001-től 5 000-ig 119 prímszám van,

51-től 60-ig 2 prímszám van,

501-től 600-ig 14 prímszám van,

5001-től 6 000-ig 114 prímszám van,

61-től 70-ig 2 prímszám van,

601-től 700-ig 16 prímszám van,

6001-től 7 000-ig 117 prímszám van,

71-től 80-ig 3 prímszám van,

701-től 800-ig 14 prímszám van,

7001-től 8 000-ig 107 prímszám van,

81-től 90-ig 2 prímszám van,

801-től 900-ig 15 prímszám van,

8001-től 9 000-ig 110 prímszám van,

91-től 100-ig 1 prímszám van,

901-től 1000-ig 14 prímszám van,

9001-től 10 000-ig 112 prímszám van.

Prímek száma

Oszlopdiagram

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Kördiagram A prímek száma 1-tõl 1000-ig összesen 193.

25 95

1-100

73 95 73

25 1-100

101-500 501-1000

101-500 501-1000 Számköz

Sávdiagram 25

95

73

1-100

101-500

501-1000

179

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet

Műveletek egész számokkal A csoport 1. Helyezd el a felsorolt számokat a címkéknek megfelelő halmazokba! –12, 8, 0, –7, 12, 6, –8, –6, 5, 3, –18, 7 A –8 8 –18

–6

A: abszolút értéke legalább 8 B: azok a számok, amelyeknek az ellentettje is szerepel a felsoroltak között

2 2 3 2 3 3 15

a b c d

3 3 4 2 12

–7 7

0 3

–18 beírása –12, 12, –8, 8 beírása –6, 6, –7, 7 beírása 0, 3, 5 beírása

2 pont 2 pont 2 pont 2 pont

2. Számítsd ki! a) (–623) + (–412) = –1035

b) (–846) – (–1234) = 388

c) (–47) · (–34) = 1598

d) 536 : (–8) = –67

e) (–612) + 35 – (–312) + 65 = –200

f ) (–12) · 45 : 15 = –36

2 pont. A kitűzött pontszámok bonthatók, ha egy helyi értéken tévedett a tanuló. 3 pont (–612) + 35 – (–312) + 65 = –300 + 100 = –200 (–12) · 45 : 15 = (–12) · 3 = –36 vagy (–12) · 45 : 15 = –36

3. Végezd el a műveleteket! Állítsd növekvő sorrendbe a feladatok eredményeit! B = [(–13) + (–7)] : (–5) · 4 = 16 A = (–123) · (–3) + (–7) · 0 · 8 = 369 C = 12 · [–17 – (–38)] + (–168) : 24 = 245 a b c d

a b c d e f

6

5

a, b, d c e f

2 2 2 2 8

–12

12

a b c d

B

a b c d

(–123) · (–3) + (–7) · 0 · 8 = 369 + 0 = 369 [(–13) + (–7)] : (–5) · 4 = (–20) : (–5) · 4 = 4 · 4 = 16 12 · [–17 – (–38)] + (–168) : 24 = 12 · 21 + (–7) = 252 – 7 = 245 B
6 pont 3 pont 3 pont 3 pont

3 pont 3 pont 4 pont 2 pont

181

matek6_felmeroKK.indd 1

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 4. Írd le műveleti jelekkel, és számítsd ki! a) Mennyit adjunk a (–236)-hoz, hogy 567-et kapjunk? 803-at b) Mennyit adjunk az 589-hez, hogy (–42)-t kapjunk? –631-et c) (–43) és 157 összegének a háromszorosa. 342 d) (–208) fele és a 756 különbsége. –860

a b c d

a

(–236) + A = 567

b

3 pont

c

589 + B = (–42) [(–43) + 157] · 3 = 114 · 3 = 342

d

(–208) : 2 – 756 = (–104) – 756 = –860

4 pont

A = 803 B = –631

3 3 4 4 14

3 pont 4 pont összesen 49

Műveletek egész számokkal B csoport 1. Helyezd el a felsorolt számokat a címkéknek megfelelő halmazokba! –14, 9, 0, –7, 14, 5, –6, –5, 3, –18, 7, 6 A

B

–5 9

–18

–14

A: abszolút értéke legalább 9 B: azok a számok, amelyeknek az ellentettje is szerepel a felsoroltak között

5

a b c d

2 2 2 2 8

a b c d e f

2 2 3 2 3 3 15

–6 6

14

7 –7

0 3

a

9 és –18 beírása

2 pont

b

–14 és 14 beírása

2 pont

c

–5, 5, –6, 6, –7, 7 beírása

2 pont

d

0 és 3 beírása

2 pont

2. Számítsd ki! a) (–534) + (–242) = –776

b) (–756) – (–1321) = 565

c) (–38) · (–43) = 1634

d) 504 : (–8) = –63

e) (–543) + 45 – (–343) + 55 = –100

f ) (–14) · 75 : 15 = –70

a, b, d

2 pont. A kitűzött pontszámok bonthatók, ha egy helyi értéken tévedett a tanuló.

6 pont

c

3 pont

3 pont

e

(–543) + 45 – (–343) + 55 = –200 + 100 = –100

3 pont

f

(–14) · 75 : 15 = (–14) · 5 = –70 vagy –1050 : 15 = –70

3 pont

182

matek6_felmeroKK.indd 2

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 3. Végezd el a műveleteket! Állítsd növekvő sorrendbe a feladatok eredményeit! B = [(–17) + (–3)] : (–4) · 5 = 25 A = (–132) · (–4) + (–9) · 0 · 7 = 528 C = 14 · [–23 – (–58)] + (–144) : 24 = 484 a

(–132) · (–4) + (–9) · 0 · 7 = 528 + 0 = 528

3 pont

b

[(–17) + (–3)] : (–4) · 5 = (–20) : (–4) · 5 = 5 · 5 = 25

3 pont

c

14 · [–23 – (–58)] + (–144) : 24 = 14 · 35 + (–6) = 490 – 6 = 484

4 pont

d

B
2 pont

4. Írd le műveleti jelekkel, és számítsd ki! a) Mennyit adjunk a (–244)-hez, hogy 562-t kapjunk? 806-ot b) Mennyit adjunk a 369-hez, hogy (–38)-at kapjunk? –407-et c) (–46) és 175 összegének a háromszorosa. 387 d) (–304) felének és a 654-nek a különbsége. –806 a

(–244) + A = 562

b

3 pont

c

369 + B = (–38) B = –407 [(–46) + 175] · 3 = 129 · 3 = 387

d

(–304) : 2 – 654 = (–152) – 654 = –806

4 pont

a b c d

3 3 4 2 12

a b c d

3 3 4 4 14

3 pont

A = 806

4 pont összesen 49

Tengelyes tükrözés A csoport 1. Az ABCDE konkáv ötszög t tengelyre vonatkozó tükörképe az FGHIJ konkáv ötszög.

a b c

t A

I

K

a) Mi a képe az AE szakasznak? Az IJ szakasz.

D

b) Mi a képe az F pontnak? A D pont. c) Mi a képe a K pontnak? A K pont.

F

J

E B

1 1 1 3

C

G

a

A helyes szakasz megadása

1 pont

b

A helyes pont megadása

1 pont

c

A helyes pont megadása

1 pont

H

183

matek6_felmeroKK.indd 3

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 2. Tükrözd az egyenest a megadott t tengelyre!

a b c

1 3 1 5

a b c

3 4 3 10

A B

A’

B’

t

a

A tükörtengelyen lévő pont képe

1 pont

b

Tetszőlegesen felvett pont képének szerkesztése

3 pont

c

A tükörkép egyenes megrajzolása

1 pont

3. a) Rajzold meg az A (0; –2), B (7; –3), C (3; 2) csúcsaival adott háromszöget a koordinátarendszerbe! b) Tükrözd a háromszöget az y tengelyre! c) Írd fel a tükrözés után kapott háromszög csúcsainak koordinátáit!

y

C

C’ 1

A tükörképpontok koordinátái: A’(0; –2), B’(–7; –3), C’(–3; 2).

0 B’

x

1

A’ A

B

a

Az A, B, C pontok felvétele, a háromszög megrajzolása

3 pont

b

A pontok tükrözése, a tükörkép megrajzolása

4 pont

c

A tükörképpontok koordinátái

3 pont

184

matek6_felmeroKK.indd 4

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet a

Az A, B, C pontok felvétele, a háromszög megrajzolása

3 pont

b

A pontok tükrözése, a tükörkép megrajzolása

4 pont

c

A tükörképpontok koordinátái

3 pont

4. Tudjuk, hogy a kör A pontjának tengelyre vonatkozó tükörképe A’. a) Szerkeszd meg a tükörtengelyt! b) Szerkeszd meg a kör tükörképét erre a tengelyre!

a b

2 5 7

A’ A O’ O

t

a b

Az AA’ szakasz felezőmerőlegese, ez a t tengely Az O pont tükrözése a t tengelyre: 3 pont; a kör megrajzolása: 2 pont

2 pont 5 pont

összesen 25

Tengelyes tükrözés B csoport 1. Az ABCDE konkáv ötszög t tengelyre vonatkozó tükörképe az FGHIJ konkáv ötszög.

t A D

b) Mi a képe a H pontnak? A B pont. c) Mi a képe a K pontnak? A K pont.

I

K

a) Mi a képe a DE szakasznak? Az FJ szakasz.

F

1 1 1 3

J

E B

a b c

C

G

a

A helyes szakasz

1 pont

b

A helyes pont

1 pont

c

A helyes pont

1 pont

H

185

matek6_felmeroKK.indd 5

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 2. Tükrözd az egyenest a megadott t tengelyre!

a b c

1 3 1 5

a b c

3 4 3 10

B’

t

A’ A B

a

A tükörtengelyen lévő pont képe

1 pont

b

Tetszőlegesen felvett pont képének szerkesztése

3 pont

c

Az egyenes tükörképének megrajzolása

1 pont

3. a) Rajzold meg az A (4; –1), B (5; 7), C (0; 3) csúcsaival adott háromszöget a koordináta-rendszerbe! b) Tükrözd a háromszöget az y tengelyre! c) Írd fel a tükrözés után kapott háromszög csúcsainak koordinátáit! A tükörképpontok koordinátái: A’(–4; –1), B’(–5; 7), C’(0; 3).

y

B

B’

C’

C

1 0 A’

1

A

a

Az A, B, C pontok felvétele, a háromszög megrajzolása

3 pont

b

A pontok tükrözése, a tükörkép megrajzolása

4 pont

c

A tükörképpontok koordinátái

3 pont

x

186

matek6_felmeroKK.indd 6

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 4. Tudjuk, hogy a kör A pontjának tengelyre vonatkozó tükörképe A’. a) Szerkeszd meg a tükörtengelyt! b) Szerkeszd meg a kör tükörképét erre a tengelyre!

a b

2 5 7

t O

A

O’ A’

a

Az AA’ szakasz felezőmerőlegese, ez a t tengely

2 pont

b

Az O pont tükrözése a t tengelyre: 3 pont; a kör megrajzolása: 2 pont

5 pont

összesen 25

Számelmélet A csoport 1. Írd le a 3-mal való oszthatóság szabályát!

a

3 3

a b c d

3 5 3 3 14

Azok és csak azok a számok oszthatók 3-mal, amelyek számjegyeinek összege osztható 3-mal. a

Helyes definíció

3 pont

2. a) Írd le az összes olyan négyjegyű számot, amelyet ezzel a négy számkártyával ki lehet rakni! 0

0

1

8

1008, 1080, 1800, 8001, 8010, 8100

187

matek6_felmeroKK.indd 7

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet b) Írd be a kapott négyjegyű számokat a megfelelő oszlopokba!

a

b

2-vel

3-mal

1008 1080 1800 8010 8100

mind a hat szám

A szám osztható 5-tel 9-cel

10-zel

100-zal

1080 1800 8010 8100

1080 1800 8010 8100

1800 8100

mind a hat szám

a) A (J – R) : 2 képlettel kapott hányados egészrészét vesszük. J-vel a jó, R-rel a rossz válaszok számát jelöljük. Nulla pontnál kevesebbet nem kaphat a tanuló.

3 pont

b) Helyesen adja meg a 2-vel, 5-tel, 10-zel és 100-zal osztható számokat. A (J – R) : 3 képlettel kapott hányados egész részét vesszük. J-vel a jó, R-rel a rossz válaszok számát jelöljük. Nulla pontnál kevesebbet nem kaphat a tanuló.

5 pont

c

b) Ha a 3-mal osztható számok oszlopában a tanuló válasza „mind a hat szám”: 3 pont. Ha a tanuló a válaszában felsorolással adja meg a számokat, akkor a (J – R) : 2 3 pont képlettel kapott hányados egész részét vesszük. J-vel a jó, R-rel a rossz válaszok számát jelöljük. Nulla pontnál kevesebbet nem kaphat a tanuló.

d

b) A 9-cel osztható oszlop válaszainál a c-nél leírtakkal megegyező a pontozás módja.

3 pont

3. Döntsd el az állításról, hogy igaz-e! Írd utána a megfelelő betűt (I/H)! Hamis állítás esetén írj ellenpéldát! a) Ha egy szám osztható 2-vel, akkor a számjegyei felcserélésével kapott összes szám osztható 2-vel. H Például: 12. b) Ha egy szám osztható 3-mal, akkor a számjegyei felcserélésével kapott összes szám osztható 3-mal. I

a b c d e f

2 1 2 1 2 2 10

c) Minden 5-tel osztható szám osztható 25-tel is. H Például: 15. d) Van olyan 3-mal osztható szám, amelyik nem osztható 9-cel. I e) Ha egy szám osztható 2-vel és 100-zal, akkor osztható 200-zal is. H Például: 100. f ) Ha egy szám osztható 3-mal és 9-cel, akkor osztható 27-tel is. H Például: 18. a

Helyes válasz: 1 pont, helyes ellenpélda: 1 pont

2 pont

b

Helyes válasz: 1 pont

1 pont

c

Helyes válasz: 1 pont, helyes ellenpélda: 1 pont

2 pont

d

Helyes válasz: 1 pont

1 pont

e

Helyes válasz: 1 pont, helyes ellenpélda: 1 pont

2 pont

f

Helyes válasz: 1 pont, helyes ellenpélda: 1 pont

2 pont

188

matek6_felmeroKK.indd 8

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 4. a) Karikázz be a felsoroltak közül minden olyan számot, amelyikkel az adott tört egyszerűsíthető! b) Add meg a tört legegyszerűbb alakját! Írd az = jel mögé! A) 8 = 1 24 3 B) 18 = 1 36 2 C) 200 = 8 125 5 D) 300 = 3 1000 10

2

3

4

5

9

10

20

25

100

2

3

4

5

9

10

20

25

100

2

3

4

5

9

10

20

25

100

2

3

4

5

9

10

20

25

100

a

A pontozás részfeladatonként történik, a (9 – R) : 3 képlettel kapott szám egész részét vesszük. R-rel a rosszul bekarikázott számok számát jelöljük. Ha nem jelölt meg egyetlen számot sem, vagy mindet bekarikázza, akkor 12 pont 0 pontot kap.

b

A helyes válasz feladatonként 1 pont

4 pont

a 12 b 4 16

összesen 43

Számelmélet B csoport 1. Írd le a 5-tel való oszthatóság szabályát!

a

3 3

a b c d

3 5 3 3 14

Azok és csak azok a számok oszthatók 5-tel, amelyek utolsó számjegye 0 vagy 5. a

Helyes definíció

3 pont

2. a) Írd le az összes olyan négyjegyű számot, amelyet ezzel a négy számkártyával ki lehet rakni! 0

0

3

6

3006, 3060, 3600, 6003, 6030, 6300

b) Írd be a kapott négyjegyű számokat a megfelelő oszlopokba! 2-vel

3-mal

3006 3060 3600 6030 6300

mind a hat szám

A szám osztható 5-tel 9-cel

10-zel

100-zal

3060 3600 6030 6300

3060 3600 6030 6300

3600 6300

mind a hat szám

189

matek6_felmeroKK.indd 9

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet a

b

a) A (J – R) : 2 képlettel kapott hányados egész részét vesszük. J-vel a jó, R-rel a rossz válaszok számát jelöljük. Nulla pontnál kevesebbet nem kaphat a tanuló.

3 pont

b) Helyesen adja meg a 2-vel, 5-tel, 10-zel és 100-zal osztható számokat. A (J – R) : 3 képlettel kapott hányados egész részét vesszük. J-vel a jó, R-rel a rossz válaszok számát jelöljük. Nulla pontnál kevesebbet nem kaphat a tanuló.

5 pont

c

b) Ha a 3-mal osztható számok oszlopában a tanuló válasza „mind a hat szám”: 3 pont. Ha a tanuló a válaszában felsorolással adja meg a számokat, akkor a (J – R) : 2 3 pont képlettel kapott hányados egész részét vesszük. J-vel a jó, R-rel a rossz válaszok számát jelöljük. Nulla pontnál kevesebbet nem kaphat a tanuló.

d

b) A 9-cel osztható oszlop válaszainál a c-nél leírtakkal megegyező a pontozás módja

3 pont

3. Döntsd el az állításról, hogy igaz-e! Írd utána a megfelelő betűt (I/H)! Hamis állítás esetén írj ellenpéldát! a) Ha egy szám osztható 25-tel, akkor a számjegyei felcserélésével kapott összes szám osztható 25-tel. H Például: a 25 jegyeit felcserélve 52-t kapunk, nem osztható 25-tel. b) Ha egy szám osztható 9-cel, akkor a számjegyei felcserélésével kapott összes szám osztható 9-cel. I

a b c d e f

2 1 2 1 2 2 10

c) Minden 10-zel osztható szám osztható 100-zal is. H Például: a 10 sem osztható 100-zal. d) Van olyan 5-tel osztható szám, amelyik nem osztható 25-tel. I e) Ha egy szám osztható 3-mal és 5-tel, akkor osztható 15-tel is. I f ) Ha egy szám osztható 2-vel és 10-zel, akkor osztható 20-szal is. H Például: a 10. a

Helyes válasz: 1 pont, helyes ellenpélda: 1 pont

2 pont

b

Helyes válasz: 1 pont

1 pont

c

Helyes válasz: 1 pont, helyes ellenpélda: 1 pont

2 pont

d

Helyes válasz: 1 pont

1 pont

e

Helyes válasz: 2 pont

2 pont

f

Helyes válasz: 1 pont, helyes ellenpélda: 1 pont

2 pont

190

matek6_felmeroKK.indd 10

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 4. a) Karikázz be a felsoroltak közül minden olyan számot, amelyikkel az adott tört egyszerűsíthető! b) Add meg a tört legegyszerűbb alakját! Írd az = jel mögé! A) 12 = 3 20 5 B) 36 = 2 18 C) 125 = 5 200 8 D) 700 = 7 1000 10

2

3

4

5

9

10

20

25

100

2

3

4

5

9

10

20

25

100

2

3

4

5

9

10

20

25

100

2

3

4

5

9

10

20

25

100

a

A pontozás részfeladatonként történik, a (9 – R) : 3 képlettel kapott szám egész részét vesszük. R-rel a rosszul bekarikázott számok számát jelöljük. Ha nem jelölt meg egyetlen számot sem, vagy mindet bekarikázza, akkor 12 pont 0 pontot kap.

b

A helyes válasz feladatonként 1 pont

4 pont

a 12 b 4 16

összesen 43

Műveletek törtekkel A csoport 1. a) Kösd össze az egyenlő számokat! b) Amelyiknek nincsen párja, azt add meg két, 1-nél kisebb szám összegeként! c) Kerekítsd a legkisebb számot tizedre! d) Kerekítsd a legnagyobb számot egyesre! e) A számegyenesen melyik van a legmesszebb az 1-től? 4 5

1,125

0,08

0,8

9 8

11 3

20 15

· · 1,142857

3 2

2 25

a b c d e

5 2 2 2 1 12

8 7

191

matek6_felmeroKK.indd 11

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet a b c d e

Számpáronként 1-1 pont

5 pont

1-nél kisebbek a tagok: 1 pont. Az összegük A legkisebbet választja: 1 pont. Kerekítés:

3 (1 pont) 2

2 pont

2 = 0,08 ≈ 0,1 (1 pont) 25

2 pont

3 =1,5 ≈ 2 (1 pont) 2

2 pont

A legnagyobbat választja: 1 pont. Kerekítés A 0,08

1 pont

2. Számítsd ki a műveletek eredményét, egyszerűsíts, ahol lehet! Az eredményt írd az egyenlőségjel után! a) 3 · – 5 = – 5 4 2 6 d) – 2 · (– 1,8) = 18 = 0,72 25 5

( )

a–f

b) 21,4 · 3,82 = 81,748

c) 7 : 8 = 63 4 9 32

e) 2,5 : 1 = 10 4

f ) 85,34 : 3,4 = 25,1

( )

a)

3 5 = – 1 5 = – 5 · – 2 1 2 4 6

c)

7 : 8 7 · 8 = = 4 9 4 9

e)

a b c d e f

6 3 3 2

2,5 : 1 = 2,5 : 0,25 = 10 4

b)

2 4 1 7 1 + 6 4 2 8 1, 7

1, 2 2 0 4

3 3 3 3 3 3 18

4 . 3, 8 2 8 0 0 8

d) – 2 · (–1,8) = 1 8 = 0,72 5 2 5 f)

8 5 3, 4 : 3 4 = 2 5, 1 1 7 3 3 4

Tudja, hogyan kell elvégezni a műveletet: feladatonként 1 pont. A helyes eredmény feladatonként 2 pont.

18 pont

192

matek6_felmeroKK.indd 12

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 3. Melyik állítás hamis? Írd ide a betűjelét!

b)

a

3 3

a b

5 5 10

a) 5 méternek a 3 tizede = 5 m · 0,3 b) 12 kg-nak az 5 része = 12 kg : 5 3 3 c) 35 liternek a 7 -szöröse = (35 liter : 5) · 7 5 a

Helyes válasz

3 pont

4. a) Peti magassága a nagypapája magasságának 5 része. A nagypapa 175 cm magas. 7 Milyen magas Peti? 1 7 5 ·

Megoldási terv: Számítás:

5 7

vagy

1 7 5 : 7 = 2 5

1 7 5 : 7 · 5 2 5 · 5 = 1 2 5

Szöveges válasz:

Peti 125 cm magas.

Ellenőrzés:

1 2 5 : 5 · 7 = 2 5 · 7 = 1 7 5

b) Egy medvebocs 0,4 kg-mal született. Szépen gyarapodott, és most már 192 kg. Ez az anyamedve tömegének 2 része. 3 Hány kg az anyamedve? Megoldási terv: Számítás:

1 9 2 ·

2 3

vagy

1 9 2 : 2 = 9 6

1 9 2 : 2 · 3 9 6 · 3 = 2 8 8

Szöveges válasz:

Az anyamedve 288 kg.

Ellenőrzés:

2 8 8 : 3 · 2 = 9 6 · 2 = 1 9 2

a–b Feladatonként: megoldási terv: 1 pont; számítások: 2 pont; szöveges válasz: 10 pont 1 pont; ellenőrzés: 1 pont, de csak akkor, ha javítja a téves eredményét.

193

matek6_felmeroKK.indd 13

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 5. Mennyibe került 1 kg alma, ha 3,5 kg-ot vettünk, és ezer forintból 160 Ft-ot kaptunk vissza? a) Melyik megoldási terv helyes? Írd ide a betűjelét! B) A) 1000 – 160 : 3,5 B) (1000 – 160) : 3,5 C) 1000 : 3,5 – 160

a b

1 4 5

a b c d e

1 1 2 2 1 7

b) Oldd meg a feladatot! Számítások

1 0 0 0 – 1 6 0 = 8 4 0 8 4 0 : 3, 5 = 8 4 0 0 : 3 5 = 2 4 0

Szöveges válasz: Ellenőrzés:

240 Ft-ba került 1 kg alma. 2 4 0 . 3, 5 = 8 4 0

1 0 0 0 – 8 4 0 = 1 6 0

a

Jó döntés

1 pont

b

Számítások 2 pont; szöveges válasz 1 pont, ellenőrzés 1 pont, de csak akkor, ha javítja a téves eredményét.

4 pont

6. Rozalinda és Léna nevű kutyáinknak karácsonykor összesen 15 kicsinye született. Rozalinda kicsinyei feketék, Lénáé foltosak lettek. A fekete kutyuskák felét barátaink, a foltosak 2 -át 3 pedig vevők vitték el. Így ugyanannyi foltos és fekete kutyust tartottunk meg. a) Mekkora része maradt meg a fekete kutyusoknak? fele b) Mekkora része maradt meg a foltosaknak? 1 harmada c) Mekkora része maradt meg az összes kutyusnak?

6 2 –e = -e 12 5

d) Hány fekete kutyus született összesen? 6 e) Hány kutyust tartottunk meg? 6-ot Egy a lehetséges megoldási mód: A fekete kutyák száma csak páros lehet, a foltosaké 3-mal osztható. A 15-öt ilyen kéttagú összegekre felbontva két lehetőség adódik: a második feltétel a (6 + 9) összegre teljesül: a 6 fekete kutya fele 3, és a 9 foltos kutya harmada is 3.

fekete 12 6

foltos 3 9

a, b, e

Minden helyes válasz 1 pont

3 pont

c–d

Minden helyes válasz 2 pont

4 pont

összesen 55

194

matek6_felmeroKK.indd 14

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet

Műveletek törtekkel B csoport 1. a) Kösd össze az egyenlő számokat! b) Amelyiknek nincsen párja, azt add meg két, 2-nél kisebb szám összegeként! c) Kerekítsd a legkisebb számot tizedre! d) Kerekítsd a legnagyobb számot egyesre! e) A számegyenesen melyik van a legmesszebb a 2-től? 3 5

1,375

0,06

0,6

11 8

11 4

25 20

· · 1,285714

5 2

3 50

a b c d e

5 2 2 2 1 12

a b c d e f

3 3 3 3 3 3 18

9 7 a b c

Számpáronként 1-1 pont

5 pont

5 (1 pont) 2

2-nél kisebbek a tagok: 1 pont. Az összegük A legkisebbet választja: 1 pont. Kerekítés 3

50

d

2 pont

= 0,06 ≈ 0,1 (1 pont)

A legnagyobbat választja: 1 pont. Kerekítés 5 = 2,5 ≈ 3 1 pont

2 pont

A 0,06

1 pont

2

e

2 pont

2. Számítsd ki a műveletek eredményét, egyszerűsíts, ahol lehet! Az eredményt írd az egyenlőségjel után!

( )

a) 4 · – 5 = – 5 2 3 8

b) 31,2 · 2,74 = 85,488

c) 6 : 7 = 18 5 3 35

24 d) – 4 · (– 1,2) = 25 5

e) 2,4 : 1 = 12 5

f ) 95,38 : 3,8 = 25,1

195

matek6_felmeroKK.indd 15

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet

5 a) 4 2 0 = – 5 . – = – 3 6 8 2 4

( )

b) 1 2 1 + 6 2 8 5,

3 6 c) 6 : 7 = = 1 8 . 5 3 7 5 3 5 d) e)

2, 4 =

1 = 5

2 . 2, 7 4 8 0 0 8

9 5, 3 8 : 3 8 = 2 5, 1 1 9 3 3 8

f)

Tudja, hogyan kell elvégezni a műveletet: feladatonként 1 pont. Helyes eredmény feladatonként 2 pont.

3. Melyik állítás hamis? Írd ide a betűjelét!

1, 4 4 0 8

6 4 2 4 . (–1, 2) = – = 5 5 2 5

–

= 2, 4 : 0, 2 = 1 2

a–f

3 2 8 4 4

18 pont

c)

a

3 3

a b

5 5 10

a) 8 órának a 7 tizede = 8 óra · 0,7 b) 25 liternek a 7 -szöröse = (25 liter : 5) · 7 5 c) 15 méternek a 4 része = 15 m : 4 3 3 a

Helyes válasz

3 pont

4. a) Peti havi zsebpénzének elköltötte a 7 részét. 10 Mennyi pénzt költött, ha havonta 1500 Ft zsebpénzt kap? 1 5 0 0 ·

Megoldási terv: Számítás:

vagy

1 5 0 0 : 1 0 = 1 5 0

Szöveges válasz: Ellenőrzés:

7 1 0

1 5 0 0 : 1 0 · 7 1 5 0 · 7 = 1 0 5 0

Peti 1050 Ft -ot költött el. 1 0 5 0 : 7 = 1 5 0

1 5 0 · 1 0 = 1 5 0 0

196

matek6_felmeroKK.indd 16

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet

b) Egy csimpánz 1,8 kg-mal született. Szépen gyarapodott, és most már 56 kg. Ez a csimpánzmama tömegének 7 része. 8 Hány kg a csimpánzmama? 5 6 :

Megoldási terv: Számítás:

7 8

vagy

5 6 : 7 = 8

Szöveges válasz:

5 6 : 7 · 8 8 · 8 = 6 4

A csimpánzmama 64 kg. 6 4 : 8 · 7 = 8 · 7 = 5 6

Ellenőrzés:

a–b Feladatonként: megoldási terv: 1 pont; számítások: 2 pont; szöveges válasz: 1 pont; ellenőrzés: 1 pont, de csak akkor, ha javítja a téves 10 pont eredményét.

5. Mennyibe került 1 kg mandarin, ha 2,5 kg-ot vettünk, és ezer forintból 50 Ft-ot kaptunk vissza?

a b

a) Melyik megoldási terv helyes? Írd ide a betűjelét! C) A) 1000 – 50 : 2,5 B) 1000 : 2,5 – 50 C) (1000 – 50) : 2,5

1 4 5

b) Oldd meg a feladatot! Számítások

1 0 0 0 – 5 0 = 9 5 0 9 5 0 : 2, 5 = 9 5 0 0 : 2 5 = 3 8 0

Szöveges válasz:

380 Ft-ba kerül 1 kg mandarin.

Ellenőrzés:

3 8 0 . 2, 5 = 9 5 0

1 0 0 0 – 9 5 0 = 5 0

a

Jó döntés

1 pont

b

Számítások: 2 pont; szöveges válasz: 1 pont; ellenőrzés: 1 pont, de csak akkor, ha javítja a téves eredményét.

4 pont

197

matek6_felmeroKK.indd 17

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 6. Bence és Piroska nagyi összesen 16 palacsintát sütöttek és töltöttek meg lekvárral vagy kakaóval. Az ebédnél a lekváros fele, a kakaós négyötöde fogyott el. Így éppen 1-gyel több lekváros palacsinta maradt a tálon. a) Mekkora része maradt meg a lekváros palacsintáknak? fele b) Mekkora része maradt meg a kakaósoknak? 1 ötöde

a b c d e

1 1 2 2 1 7

5

c) Mekkora része maradt meg az összes palacsintának? 16 d) Hány kakaós palacsinta készült összesen? 10 e) Hány palacsinta maradt? 5 Egy a lehetséges megoldási módok közül: A lekvárosok száma csak páros lehet, a kakaósoké 5-tel osztható. A 16-ot ilyen kéttagú összegekre felbontva egy olyan lehetőség adódik, amely a feltételeknek megfelel. Lekváros: 6, kakaós: 10. Így éppen 1-gyel több lekváros marad a tálon: 3 lekváros és 2 kakaós. a, b, e

Minden helyes válasz 1 pont

3 pont

c–d

Minden helyes válasz 2 pont

4 pont

összesen 55

Háromszögek, négyszögek, sokszögek A csoport 1. a) Húzd alá azokat a felsorolt négy hosszúság közül, amelyek nem egyenlők 75 cm-rel! 0,75 m

7,5 m

7,5 dm

7500 mm

b) Melyik nagyobb? 50 cm2

vagy

0,5 dm2

24 mm2

vagy

2,4 cm2

a b c

4 3 4 11

50 cm2 = 0,5 dm2 Egyik sem nagyobb a másiknál, mert egyenlők. 24 mm2 = 0,24 cm2 < 2,4 cm2 Az első mennyiség kisebb, mint a második. a

A helyes választások: 2-2 pont, a rosszakért 1-1 pont levonás

4 pont

b

Átváltás: 2 pont; helyes válasz: 1 pont

3 pont

c

Átváltás: 2 pont; helyes válasz: 2 pont

4 pont

198

matek6_felmeroKK.indd 18

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 2. a) Vedd fel a koordináta-rendszerben az A(–1; 3) és a B(3; 3) pontokat! b) Rajzolj olyan ABC tükrös háromszöget, amelynek az AB szakasz az alapja, a C csúcsa pedig rácspontra esik! y c) Hány ilyen pontot találtál? d) Add meg a C csúcs koordinátáit! A(– 1;3)

a b c d

2 1 2 4 9

a b c

2 6 4 12

B (3;3) 1 x

0 1

a

Az A, B pontok felvétele

2 pont

b

Háromszög rajzolása

1 pont

c

Minden pont, vagy annak megállapítása, hogy végtelen sok ilyen pont van: 2 pont 1-1 pont, legfeljebb 2 pont (az általánosításért dicséret jár)

d

A C pontok megadása koordinátákkal: pontonként 2-2 pont, legfeljebb 4 pont

4 pont

3. Három egyforma, egyenlő szárú háromszögből raktuk ki az ábrán látható négyszöget. a) Milyen négyszöget kaptunk? ¡ a a ¡ 1

Húrtrapézt.

b) Mekkorák a négyszög belső szögei?

40°

2

40°

40° A kis háromszögek egyenlő szárúak, ezért az alapon fekvő szögeik egyenlők. b _1 `2 b _2 `1 _1 = _2 = `1 = `2 = a1 = a2 Egy ilyen szög 180° – 40° = 70°. 2 A trapéz hosszabbik alapon lévő szögei 70°-osak, a rövidebb alapon lévő szögei pedig 40° + 70° = 110°-osak.

c) Mekkorák a négyszög külső szögei?

A trapéz külső szögei: b = 110°, ¡ = 70°.

a

Helyes válasz

2 pont

b

A szögek meghatározása: 3-3 pont

6 pont

c

A külső szögek megadása: 2-2 pont

4 pont

199

matek6_felmeroKK.indd 19

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 4. Szerkessz rombuszt, melynek átlói 6 cm és 3,6 cm hosszúak!

a b c d

Vázlat:

Adatok: e = 6 cm

1 1 5 2 9

e

f = 3,6 cm

f

Szerkesztés:

f e

f 2

f 2

Összefüggés: a rombusz átlói merőlegesen felezik egymást. A szerkesztés lépései: 1. Az e átló felvétele. 2. Az e átló felezőmerőlegese. 3. Az f átló felezőmerőlegese. 4. Az e átló felezőmerőlegesére az f szakaszok felmérése. 2 5. A rombusz oldalainak megrajzolása. a

Az adatok felvétele

1 pont

b

A vázlat

1 pont

c

A szerkesztés lépésenként 1-1 pont, összesen 5 pont

5 pont

d

A szerkesztés lépéseinek leírása

2 pont

200

matek6_felmeroKK.indd 20

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 5. Egy téglalap alakú kert kerületén 12 karót szúrtunk le egymástól 1 méter távolságra úgy, hogy a kertnek mind a négy sarkába tettünk egy-egy karót. Tudjuk, hogy a kert hosszúsága nagyobb, mint a szélessége. a) Rajzold le a kert alaprajzát a leszúrt karókkal! Indokold meg, miért így készítetted el a rajzod!

5 3 2 10

a b c

A 12 karóból 4-et a sarkokban szúrunk le, marad 8 db. Ezek felét kell a két szomszédos oldalra szétosztanunk. 4 = 2 + 2 vagy 4 = 1 + 3 osztás lehetséges. A feltétel szerint a téglalap oldalai nem egyenlők, ezért csak a második eset fordulhat elő.

b) Mekkora a kert kerülete?

Az ábráról leolvasható, hogy a téglalap oldalainak hossza 4 m és 2 m.

c) Mekkora a kert területe?

A kert területe T = 4 m · 2 m = 8 m2.

a

Indoklás: 4 pont, rajz: 1 pont

5 pont

b

Az oldalak hossza: 1 pont, kerület: 2 pont

3 pont

c

Terület: 2 pont

2 pont

összesen 51

Háromszögek, négyszögek, sokszögek B csoport 1. a) Húzd alá azokat a felsorolt négy hosszúság közül, amelyek nem egyenlők 25 cm-rel! 2,5 m

0,25 m

2500 mm

2,5 dm

a b c

b) Melyik nagyobb? 30 cm2

vagy

0,3 dm2

45 mm2

vagy

4,5 cm2

4 3 4 11

30 cm = 0,3 dm Egyik sem nagyobb a másiknál, mert egyenlők. 45 mm2 = 0,45 cm2 < 4,5 cm2 Az első mennyiség kisebb, mint a második. 2

2

a

A helyes választások 2-2 pont, a rosszakért 1-1 pont levonás

4 pont

b

Átváltás 2 pont, helyes válasz 1 pont

3 pont

c

Átváltás 2 pont, helyes válasz 2 pont

4 pont

201

matek6_felmeroKK.indd 21

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 2. a) Vedd fel a koordináta-rendszerben az A (–2; 3) és a B (4; 3) pontokat! b) Rajzolj olyan ABC tükrös háromszöget, amelynek az AB szakasz az alapja, a C csúcsa pedig rácspontra esik! y c) Hány ilyen pontot találtál? d) Add meg a C csúcs koordinátáit! A(– 2;3)

a b c d

2 1 2 4 9

a b c

2 6 4 12

B (4;3) 1 x

0 1

a

Az A, B pontok felvétele

2 pont

b

Háromszög rajzolása

1 pont

c

Minden pont, vagy annak megállapítása, hogy végtelen sok ilyen pont van: 2 pont 1-1 pont, legfeljebb 2 pont (az általánosításért dicséret jár)

d

A C pontok megadása koordinátákkal: pontonként 2-2 pont, legfeljebb 4 pont

4 pont

3. Három egyforma, egyenlő szárú háromszögből raktuk ki az ábrán látható négyszöget. a) Milyen négyszöget kaptunk? ¡ a ¡ a Húrtrapézt.

1

50°

2

50°

b) Mekkorák a négyszög belső szögei?

A kis háromszögek egyenlő szárúak, ezért 50° az alapon fekvő szögeik egyenlők. `2 b _ `1 _ b 1 2 _1 = _2 = `1 = `2 = a1 = a2 Egy ilyen szög 180° – 50° = 65°. 2 A trapéz hosszabbik alapon lévő szögei 65°-osak, rövidebb alapon lévő szögei pedig 50°+ 65° = 115°-osak.

c) Mekkorák a négyszög külső szögei?

A trapéz külső szögei: b = 115°, ¡ = 65°.

a

Helyes válasz

2 pont

b

A szögek meghatározása: 3-3 pont

6 pont

c

A külső szögek megadása: 2-2 pont

4 pont

202

matek6_felmeroKK.indd 22

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 4. Szerkessz rombuszt, melynek átlói 4 cm és 6,2 cm hosszúak! Adatok: Vázlat: e = 4 cm

a b c d

1 1 5 2 9

a b c

5 3 2 10

e

f = 6,2 cm Szerkesztés:

f

f e f 2

f 2

Összefüggés: A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást. A szerkesztés lépései: 1. Az e átló felvétele. 2. Az e átló felezőmerőlegese. 3. Az f átló felezőmerőlegese. 4. Az e átló felezőmerőlegesére az f szakaszok felmérése. 2 5. A rombusz oldalainak megrajzolása.

a

Az adatok felvétele

1 pont

b

A vázlat

1 pont

c

A szerkesztés lépésenként 1-1 pont, összesen 5 pont

5 pont

d

A szerkesztés lépéseinek leírása

2 pont

5. Egy téglalap alakú kert kerületén 10 karót szúrtunk le egymástól 1 méter távolságra úgy, hogy a kertnek mind a négy sarkába tettünk egy-egy karót. Tudjuk, hogy a kert hosszúsága nagyobb, mint a szélessége. a) Rajzold le a kert alaprajzát a leszúrt karókkal! Indokold meg, miért így készítetted el a rajzod! A 10 karóból 4-et a sarkokban szúrunk le, marad 6 db. Ezek felét kell a két szomszédos oldalra szétosztani. 3 = 1 + 2 osztás lehetséges.

203

matek6_felmeroKK.indd 23

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet b) Mekkora a kert kerülete? Az ábráról leolvasható, hogy a téglalap oldalainak hossza 3 m és 2 m. A kert kerülete K = 2 · (3 m + 2 m) = 10 m

c) Mekkora a kert területe? A kert területe T = 3 m · 2 m = 6 m a

Indoklás: 4 pont, rajz: 1 pont

5 pont

b

Az oldalak hossza: 1 pont, kerület: 2 pont

3 pont

c

Terület: 2 pont

2 pont

összesen 51

Nyitott mondatok, egyenletek, egyenlőtlenségek A csoport 1. Írd be a hiányzó kifejezéseket a folyamatábra szürke mezőibe! Oldd is meg az egyenleteket a folyamatábrák segítségével! ·2

(x + 4) ∙ 2

–4

:2

–8

·2

x∙2

+4

x∙2+4

:2

– 12

–4

–8

10

+ 10

0

d) x

:4

x:4

– 0,5

x : 4 – 0,5

∙4

1,5

∙2

1

0

(x ∙ 5 – 10) : 2 + 8

–8

8

· 4 (x : 4 – 0,5) ∙ 4 : 10 (x : 4 – 0,5) ∙ 4 : 10

=

= + 0,5

(x ∙ 5 – 10) : 2 + 8

=

:5

=

x ∙ 5 – 10 : 2

=

2

6

– 10

=

x∙5

=

·5

=

c) x

=

–6

=

=

b) x

:4

4

=

–4

=

–8

5 5 9 9 28

=

x+4

=

+4

=

a) x

a b c d

∙ 10

0,4

204

matek6_felmeroKK.indd 24

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet a

Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont

5 pont

b

Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont

5 pont

c

Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont

9 pont

d

Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont

9 pont

2. Oldd meg az egyenleteket, egyenlőtlenségeket! A megoldásod lépéseit is írd le! Ellenőrizz! a) a · 4 + 9 ≥ 27

b) 3 · b – 4 < 11

a · 4 ≥ 18 a ≥ 4,5

3 · b < 15 b<5

c) c + 3 + 9 = –4 6

d) 9 · (d – 4) = 18

(c + 3) : 6 = –13 c + 3 = –78 c = –81

e) [(e – 2) · 8 + 20] : 4 = 25 (e – 2) · 8 + 20 = 100 (e – 2) · 8 = 80 e – 2 = 10 e = 12

a b c d e f

3 3 4 3 5 3 21

a b c

4 5 7 16

d–4=2 d=6

f ) 10 : (10 – f) = 5 10 – f = 2 f=8

a

Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont

3 pont

b

Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont

3 pont

c

Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont

4 pont

d

Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont

3 pont

e

Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont

5 pont

f

Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont

3 pont

3. Oldd meg a szöveges feladatokat! A gondolatmenetedet követhetően írd le! Az eredményt ellenőrizd! a) Gondoltam egy számot. Megszoroztam 6-tal, majd elvettem belőle 15-öt, így 21-et kaptam. Melyik számra gondoltam? a · 6 – 15 = 21 a = (21 + 15) : 6 = 6 A 6 a gondolt szám. Ellenőrzés: 6 · 6 – 15 = 36 – 15 = 21

205

matek6_felmeroKK.indd 25

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet b) Gondoltam egy számot. Az ennél 15-tel kisebb szám 6-szorosából elvettem 12-t, így 30-at kaptam eredményül. Melyik számra gondoltam? (b – 15) · 6 – 12 = 30 b = (30 + 12) : 6 + 15 = 7 + 15 = 22 A 22 a gondolt szám. Ellenőrzés: 22 – 15 = 7; 7 · 6 = 42; 42 – 12 = 30

c) A falunkban egy beteg kisfiú gyógyíttatására gyűjtöttünk pénzt. Összesen 360 ezer forint gyűlt össze az iskolások papírgyűjtéséből, a felnőttek és az önkormányzat adományaiból. A felnőttek adománya kétszerese volt az iskolásokénak. Az önkormányzat 40 ezer forinttal kevesebbet tudott adni, mint a felnőttek. Mennyi pénzt gyűjtöttek az iskolások? Jelölje x azt az összeget ezer forintban, amennyit a gyerekek gyűjtöttek! 2 · x jelöli azt az összeget ezer forintban, amennyit a felnőttek gyűjtöttek. 2 · x – 40 jelöli azt az összeget ezer forintban, amennyit az önkormányzat adott. x + 2 · x + 2 · x – 40 = 360 5 · x – 40 = 360 5 · x = 400 x = 80 80 ezer forintot gyűjtöttek az iskolások. Ellenőrzés: A felnőttek 160 ezer forintot adtak, az önkormányzat 120 ezret. 80 ezer + 160 ezer + 120 ezer = 360 ezer Ft

a

b

c

A helyes eredmény: 3 pont; ellenőrzés: 1 pont. Bármilyen módon jut el a gyerek a helyes eredményhez, megadjuk a 3 pontot.

4 pont

A helyes eredmény: 4 pont, ellenőrzés: 1 pont. Bármilyen módon jut el a gyerek a helyes eredményhez, megadjuk a 4 pontot.

5 pont

A helyes eredmény: 6 pont, ellenőrzés: 1 pont. Bármilyen módon jut el a gyerek a helyes eredményhez, megadjuk a 6 pontot.

7 pont összesen 65

206

matek6_felmeroKK.indd 26

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet

Nyitott mondatok, egyenletek, egyenlőtlenségek B csoport 1. Írd be a hiányzó kifejezéseket a folyamatábra szürke mezőibe! Oldd is meg az egyenleteket a folyamatábrák segítségével!

–2

b) x

·2

x∙2

+6

x∙2+6

–6

–4

=

–4

=

=

–8

=

x∙4

8

+8

d) x

:5

x:5

– 0,4

1,4

=

:2

0

∙2

x : 5 – 0,4 · 5

=

:4

=

2

∙5

x∙4–8

+ 0,4

1

(x ∙ 4 – 8) : 2

+6

=

·4

0

x : 5 – 0,4 ∙ 5

–6

:5

5

(x ∙ 4 – 8) : 2 + 6

6

: 10 x : 5 – 0,4 ∙ 5 : 10

=

c) x

–10

=

:2

=

–5

7

:2

=

–6

(x + 6) ∙ 2

=

–8

· 2

=

x+6

=

+6

5 5 9 9 28

=

a) x

a b c d

∙ 10

0,5

a

Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont

5 pont

b

Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont

5 pont

c

Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont

9 pont

d

Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont

9 pont

207

matek6_felmeroKK.indd 27

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 2. Oldd meg az egyenleteket, egyenlőtlenségeket! A megoldásod lépéseit is írd le! Ellenőrizz! a) a · 6 + 7 ≥ 31

b) 4 · b – 5 < 13

a · 6 ≥ 24 a≥4

4 · b < 18 b < 4,5

c) c + 4 + 6 = –5 8 c + 4 = –11 8 c + 4 = –88

a b c d e f

3 3 4 3 5 3 21

a b c

4 5 7 16

d) 4 · (d – 9) = 18 d – 9 = 4,5 d = 13,5

c = –92

e) [(e – 2) · 9 + 10] : 4 = 25 (e – 2) · 9 + 10 = 100 (e – 2) · 9 = 90 e – 2 = 10 e = 12

f ) 20 : (20 – f) = 10 20 – f = 2 f = 18

a

Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont

3 pont

b

Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont

3 pont

c

Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont

4 pont

d

Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont

3 pont

e

Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont

5 pont

f

Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont

3 pont

3. Oldd meg a szöveges feladatokat! A gondolatmenetedet követhetően írd le! Az eredményt ellenőrizd! a) Gondoltam egy számot. Elosztottam 6-tal, majd hozzáadtam 15-öt, így 21-et kaptam. Melyik számra gondoltam? a : 6 + 15 = 21 a = (21 – 15) · 6 = 36 A 36 a gondolt szám. Ellenőrzés: 36 : 6 + 15 = 6 + 15 = 21

b) Gondoltam egy számot. Az ennél 15-tel nagyobb szám hatodából elvettem 12-t, így 3-at kaptam eredményül. Melyik számra gondoltam? (b + 15) : 6 – 12 = 3 b = (3 + 12) · 6 – 15 = 90 –15 = 75 A 75 a gondolt szám. Ellenőrzés: 75 + 15 = 90; 90 : 6 = 15; 15 – 12 = 3

208

matek6_felmeroKK.indd 28

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet c) A városunkban az árvízkárosultak javára gyűjtöttünk pénzt. Összesen 520 ezer forint gyűlt össze az iskolások papírgyűjtéséből, a lakosság és a városunkban működő üzemek adományaiból. A lakosság adománya háromszorosa volt az iskolásokénak. Az üzemek 40 ezer forinttal kevesebbet tudtak adni, mint a lakosok. Mennyi pénzt gyűjtöttek az iskolások? Jelölje x azt az összeget ezer forintban, amennyit a gyerekek gyűjtöttek! 3 · x jelöli azt az összeget ezer forintban, amennyit a lakosság adott. 3 · x – 40 jelöli azt az összeget ezer forintban, amennyit az üzemek adtak. x + 3 · x + 3 · x – 40 = 520 7 · x – 40 = 520 7 · x = 560 x = 80 80 ezer forintot gyűjtöttek az iskolások. Ellenőrzés: A felnőttek 240 ezer forintot adtak, az üzemek 200 ezret. 80 ezer Ft + 240 ezer Ft + 200 ezer Ft = 520 ezer Ft a

b

c

A helyes eredmény: 3 pont; ellenőrzés: 1 pont. Bármilyen módon jut el a gyerek a helyes eredményhez, megadjuk a 3 pontot.

4 pont

A helyes eredmény: 4 pont, ellenőrzés: 1 pont. Bármilyen módon jut el a gyerek a helyes eredményhez, megadjuk a 4 pontot.

5 pont

A helyes eredmény: 6 pont, ellenőrzés: 1 pont. Bármilyen módon jut el a gyerek a helyes eredményhez, megadjuk a 6 pontot.

7 pont összesen 65

Arányos következtetések, százalék A csoport 1. Réka egy baráti összejövetelre palacsintát süt. Úgy tervezi, hogy mindenki két palacsintát kap. a) Hány darabot kell sütnie, ha a társaság 3, 4, 5, 6 tagú?

12

3 tagú társaságnak 3 · 2 db = 6 db, 4 tagú társaságnak 4 · 2 db = 8 db, 5 tagú társaságnak 5 · 2 db = 10 db, 6 tagú társaságnak 6 · 2 db = 12 db palacsintát kell sütnie.

8

Palacsinták száma

10

a b c

4 1 5 10

6

b) Milyen összefüggés van a társaság létszáma és a palacsinták száma között? Egyenes arányosság áll fenn köztük. c) Ábrázold grafikonon az összetartozó értékeket!

1

Az összetartozó értékeknek megfelelő pontok egy origón áthaladó félegyenesen vannak.

0

1

3 4 5 6 Vendégek száma

209

matek6_felmeroKK.indd 29

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet a

A palacsinták számának helyes megadása: 1-1 pont

4 pont

b

Helyes válasz

1 pont

c

Minden helyesen ábrázolt pont: 1-1 pont; az alakzat megadása: 1 pont

5 pont

2. A világ energiafogyasztásának összetétele napjainkban a következő: Nem megújuló energiaforrások: Megújuló energiaforrások: kőolaj, gáz szén nukleáris

51 rész 100 13 rész 50 33 rész 1000

a b

6 2 8

a b c

3 1 2 6

víz, szél, nap, biomassza 19,7%

a) Add meg a nem megújuló erőforrások összetételét százalék alakban! kőolaj, gáz: 51%

szén: 26%

nukleáris: 3,3%

b) Az összes energiafelhasználás hány százalékát adják a nem megújuló energiaforrások? 80,3%

a

Minden jó válasz 2 pont

6 pont

b

Helyes összeg

2 pont

3. Béla bácsi eddig 27 m2 területet ásott fel, ez a veteményeskertjének 60%-a. Mekkora a veteményeskert területe? 60% 27 m2 100% 27 m2 : 0,6 = 45 m2 A veteményeskert területe 45 m2.

A teljes veteményeskert hányad része van még hátra? Hátra van még 45 m2 – 27 m2 = 18 m2. Ez a teljes kert

2 része. 5

a

A 100% meghatározása

3 pont

b

Helyes válasz a kert területére

1 pont

c

A hátralévő hányad meghatározása

2 pont

210

matek6_felmeroKK.indd 30

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 4. Egy városi kisautó benzinfogyasztása 6,3 liter, egy nagy, családi autóé 9 liter. Hány százaléka a kisautó fogyasztása a nagyénak? (A fogyasztást 100 km út megtétele alatt mérik.) 100% 1% ?%

9 liter 0,09 liter 6,3 liter

a b c

3 3 1 7

6,3 : 0,09 = 70 A kisautó fogyasztása 70%-a a nagy autó fogyasztásának. a

Következtetés

3 pont

b

A művelet helyes felírása: 2 pont; jó számolás: 1 pont

3 pont

c

Helyes válasz

1 pont

összesen 31

Arányos következtetések, százalék B csoport 1. Lili egy baráti összejövetelre fánkot süt. Úgy tervezi, hogy mindenki három fánkot kap. a) Hány darabot kell sütnie, ha a társaság 2, 3, 4, 5 tagú? 2 tagú társaságnak 2 · 3 db = 6 db, 3 tagú társaságnak 3 · 3 db = 9 db, 4 tagú társaságnak 4 · 3 db = 12 db, 5 tagú társaságnak 5 · 3 db = 15 db fánkot kell sütnie.

b) Milyen összefüggés van a társaság létszáma és a fánkok száma között? Egyenes arányosság áll fenn köztük.

15

Fánkok száma

a b c

4 1 5 10

12

9

6

c) Ábrázold grafikonon az összetartozó értékeket!

Az összetartozó értékeknek megfelelő pontok egy origón áthaladó félegyenesen vannak. 1 0

1 2 3 4 5 Vendégek száma

a

A fánkok számának helyes megadása: 1-1 pont

4 pont

b

Helyes válasz

1 pont

c

Minden helyesen ábrázolt pont: 1-1 pont; az alakzat megadása: 1 pont

5 pont

211

matek6_felmeroKK.indd 31

5/18/14 12:13 PM

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet 2. A világon beszélt nyelvek megoszlása napjainkban a következő: A világ három legelterjedtebb nyelve: A többi nyelv: mandarin-kínai hindi spanyol

15 rész 100

a b

6 2 8

a b c

3 1 2 6

a b c

3 3 1 7

angol, arab, portugál, orosz stb. 72,5%

65 rész 1000 3 rész 50

a) Add meg a világ három legelterjedtebb nyelvét százalék alakban! mandarin-kínai: 15%

hindi: 6,5%

spanyol: 6%

b) Az összes nyelv hány százalékát adja a három legelterjedtebb nyelv? 27,5% a

Minden jó válasz 2 pont

6 pont

b

Helyes összeg

2 pont

3. Árpi bácsi eddig 36 m2 területet ásott fel, ez a veteményeskertjének 75%-a. Mekkora a veteményeskert területe? 75 % 36 m2 100% 36 m2 : 0,75 = 48 m2 A veteményeskert területe 48 m2.

A teljes veteményeskert hányad része van még hátra? Hátra van még 48 m2 – 36 m2 = 12 m2. Ez a teljes kert

1 része. 4

a

A 100% meghatározása

3 pont

b

Helyes válasz a kert területére

1 pont

c

A hátralévő hányad meghatározása

2 pont

4. Egy városi kisautó benzinfogyasztása 5,1 liter, egy nagy, családi autóé 8,5 liter. Hány százaléka a kisautó fogyasztása a nagyénak? (A fogyasztást 100 km út megtétele alatt mérik.) 100% 1% ?%

8,5 liter 0,085 liter 5,1 liter

5,1 : 0,085 = 60 A kisautó fogyasztása 60%-a a nagy autó fogyasztásának. a

Következtetés

3 pont

b

Művelet helyes felírása: 2 pont; jó számolás: 1 pont

3 pont

c

Helyes válasz

1 pont

összesen 31

212

matek6_felmeroKK.indd 32

5/18/14 12:13 PM

Tartalom

Tartalom ELŐSZÓ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

3

MŰVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Mit tudunk az egész számokról? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Egész számok összeadása és kivonása : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Több tag összege, különbsége : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Szorzás és osztás egész számokkal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Több egész szám szorzása, osztása : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Műveletek sorrendje : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

4 4 7 11 13 18 20

TENGELYES TÜKRÖZÉS : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Képek és tükörképek : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tükrözés mozgatással : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A tengelyes tükrözés tulajdonságai : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tükrözés pontonként : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Szimmetrikus alakzatok : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tükörkép szerkesztése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Egyszerű szimmetrikus alakzatok : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Szimmetriatengelyek szerkesztése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Két alakzat együttes szimmetriái : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Szögek összehasonlítása, szerkesztése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

24 24 26 29 30 33 36 38 41 50 52

SZÁMELMÉLET : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Ritmusok, periódusok : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A számok maradékaival számolunk : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Keressünk osztókat! : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Milyen oszthatóságokat árulnak el a számok utolsó számjegyei? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Milyen oszthatóságokat árulnak el a számok utolsó számjegyei? (Kiegészítő tananyag) : : : : Milyen oszthatóságokról árulkodik a szám számjegyeinek összege? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Prímszámok (törzsszámok) (Kiegészítő tananyag) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Összetett számok felírása prímszámok szorzataként (Kiegészítő tananyag) : : : : : : : : : : : : : : : : Számok osztói, közös osztók, a legnagyobb közös osztó : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Többszörösök, közös többszörösök, a legkisebb közös többszörös : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

56 56 58 60 61 64 66 68 70 71 74

MŰVELETEK TÖRTEKKEL : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A tört értelmezése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tört alakban írt szám tizedes tört alakja : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Törtek összeadása és kivonása : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Törttel való szorzás : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tizedes törttel való szorzás : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

77 77 78 81 86 91 213

Tartalom Számok reciproka : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Osztás tört alakú számmal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Osztás tizedes tört alakú számmal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

93 94 96

HÁROMSZÖGEK, NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A háromszögek fajtái : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A háromszögek belső szögei : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A háromszögek külső szögei : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Szerkesztések körzővel és egyenes vonalzóval : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A négyszögek fajtái : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A négyszögek szögei : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Négyszögek szerkesztése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Derékszögű háromszögek kerülete, területe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tengelyesen szimmetrikus háromszögek kerülete, területe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tengelyesen szimmetrikus négyszögek kerülete, területe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Testhálók : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Szabályos sokszögek : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

102 102 105 108 111 120 126 129 133 134 137 140 143

NYITOTT MONDATOK, EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Egyenletek megoldása lebontogatással, szöveges feladatok : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Egyenlőtlenségek megoldása, szöveges feladatok : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel, szöveges feladatok (Kiegészítő tananyag) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

145 148 156

ARÁNYOS KÖVETKEZTETÉSEK, SZÁZALÉK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Egyenes arányosság : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Százalékszámítás : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A 100% meghatározása : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Törtrészek meghatározása százalék alakban : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Bevezetés a statisztikába : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

163 165 167 169 170 172

MEGOLDÁSOK – MATEMATIKA 6. FELMÉRŐFÜZET : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

180

159

Melléklet a 628. feladathoz a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z