ka jed vat pozor, vn mat u ivo a zapisovat si je. Snad kolegyn Bla- ena Sou kov, vynikaj c u itelka na z kladn kole v Hradci Kr lov, m hlavn z sluhu n

MATEMATIKA Tvorba nebo volba? FRANTI EK KUINA Pedagogick fakulta Univerzity Hradec Kr lov

Sestavujeme testy se z mrem zkouet vdomosti k { zaast netu ce, e pitom testujeme svou vlastn inteligenci. Stanislav Komenda

Tento lnek je volnm pokra ovnm mch lnk 1], 2], 3], 4], 5], kter byly uveejnny v poslednch pti letech v asopise Matematika, fyzika, informatika, vychz z prce 6] vytvoen v rmci spoluprce s Evropskm socilnm fondem a bezprostednm podntem k jeho napsn byla dlna, kterou jsem vedl na Dvou dnech s didaktikou matematiky 2007 na Pedagogick fakult Univerzity Karlovy v Praze. Problematika, kterou se zde budeme zabvat, je hodnocen vsledk vyu ovn, zvlt pak testovn.

1. vod

Po zna nou st sv ho pedagogick ho psoben jsem byl pesvd en, e nejdleitj slokou vyu ovn je vklad, kter podle rovn k i student a charakteru t matu me bt rzn dlouh a rzn nro n, u vyspl ho publika pak me pejt v pednku vysokokolsk ho typu. Odpovdalo to m mu implicitnmu pesvd en o transmisivnm charakteru vzdlvn. U itel pedv km srozumitelnou formou, za pomoci vstinch pklad, ppadn model i jinch pomcek, vybran sek matematick teorie. Jestlie ci nerozumj, u itel vklad opakuje. Role Matematika - fyzika - informatika 17 2007/2008

1

ka je dvat pozor, vnmat u ivo a zapisovat si je. Snad kolegyn Blaena Soukov , vynikajc u itelka na zkladn kole v Hradci Krlov , m hlavn zsluhu na posunu m ho didaktick ho pesvd en v t to oblasti. Pan u itelka Sou kov nezanedbvala vklad, vykldala se zaujetm a dobe, respektovala vak skute nost, e argumenty, kter pi vkladu uvd, mus bt pstupn km, e to nemus bt argumenty logick , kter jako jedin uznv matematika. Hlavn pou en z jej prce pro mne vak spo valo v tom, e dal, a patrn dleitj forma jej prce, spovala v organizovn innosti k. Od een loh, kter byly testem pochopen souvislost a porozumn vkladu, pechzela k sloitjm lohm na procvi en u iva a jeho aplikacm. Dal fz vzdlvacho procesu byly samostatn prce k, kter byly hodnocen , nikoliv vak klasikovan a podle charakteru nedostatk, kter ci vykzali, eili dal koly, it na mru a stupovan co do obtnosti. Kolegyn Sou kov byla pesvd ena, e matematika se mus zrodit v myslch k na zklad jejich matematickch innost, matematiku si ci nemohou osvojit memorovnm, ale prac. Z tohoto hlediska je podstatnou slokou vzdlvn syst m cvi en loh a test. V sou asn dob zavme mdu test s vbrovmi odpovmi, jim se chceme vnovat v tomto lnku. Ze svch dtskch let si pipomnm, e jsem ml na zkladn kole (tehdy se nazvala kolou manskou) dva u itele matematiky zcela odlin ho didaktick ho zamen. Pro pana u itele Novka byla matematika eenm sudkovch pklad, pan u itel Slepi ka, s nm jsem se pli neshodl, vidl matematiku jako formln po tn hodnocen nejen podle sprvnosti vsledku, ale i podle pravy. Dnes mm dojem, e dn z tchto u itel nezaazoval do vuky vklad. Pan u itel Novk vysvtloval jak dl eit lohu, teprve kdy ji nkdo eit neuml, pan u itel Slepi ka dval instrukce jak po tat. Tko dnes mohu posoudit, kdo ns nau il vc. Vm pouze, e matematiku sudkovch pklad jsem ml rd. Pan u itel Novk pesvd il vechny venkovsk dti v okol jiho esk ho Bavorova, e matematika je uite n. Je patrn typick a doufm, e to nelze pi st na vrub m krtk pamti, e z u itelsk ho vzdln na matematicko { fyzikln fakult jsem si neodnesl dn pou en o hodnocen a klasikaci v matematice. Nzor, e pro vyu ovn je podstatn vklad, e een loh je dleit pro zkouen, hodnocen a klasikaci, tedy z dvod vcem n spole enskch, nen vak podstatn pro matematick vzdlvn, jsem korigoval a po zkuenostech z praxe. 2

Matematika - fyzika - informatika 17 2007/2008

Dnes jsem pesvd en o nezastupiteln roli loh ve vyu ovn a o tom, e organizace prce je zkladn slokou innosti u itele, dokonce i na kole vysok . V lncch 2] a 3] rozebrm metody een loh klasick ho typu, v tomto pspvku se budeme zabvat lohami s vbrovmi odpovmi, pi em se omezme na lohy typu jedna sprvn odpov. Terminologie v t to oblasti nen jednotn, nkte autoi ozna uj zmnn lohy jako uzaven lohy (nap. M. Chrska 7], s. 212) z tzv. vbrovho testu (option test, 8], s. 620).

2. Tvorba nebo volba?

Jako u itel matematiky vzdlan v tradi nm duchu nemohu mt k lohm s vbrovmi odpovmi zcela kladn vztah. Ped asem jsem tyto lohy dokonce jednozna n odsuzoval. Pro onen zporn vztah k uzavenm lohm? Pro matematiku je typick , e pracuje v konstruovan m svt abstraktnch pojm. Od dob Hilbertovch se matematika zabv pravidly, nikoli realitou (9], s. 202). To je ovem charakteristika hotov matematiky, matematiky monogra a vdeckch lnk. %een probl mu, dkaz vty, vpo et, konstrukce, : : : mus vychzet z danch podmnek, exaktn formulovanch pedpoklad a z teorie, kter je ji sou st matematiky. To, co je dno, je podstatn a na nic jin ho se matematika neohl. Nco zcela jin ho je otzka postupu pi hledn een probl mu, pi hledn dkazu, pi tvorb novch poznatk. Probl m, kter mme eit, mobilizuje nae duevn sil, pi tomto sil je ve dovoleno: dohady, experimenty, zvaovn dsledk, hledn pklad a protipklad, : : : %een lohy tak m charakter tvorby, konstrukce n eho nov ho. V nkterch ppadech me bt takov konstrukce zcela elementrn, me to bt vpo et podle znm ho algoritmu, een probl m znamen ovem obvykle tpn, vznik alternativ a npad. Obvykle se mnoh npady uk jako neplodn , jen dobr npady vedou k cli. %een loh je tvr prce, je to tvorba. Proto je nemon nau it eit probl my. Meme je ovem u it eit { s menm nebo vtm spchem. Ve kole eme adu loh, kter charakter probl m nemaj, a kter jako u itel nau it musme. Zde mm na mysli een typickch loh, nap. zkladnch loh o procentech a funkcch, een ur itch typ rovnic a nerovnic a jejich soustav, zkladn geometrick konstrukce, aplikace vzorc pro rzn vpo ty a vpo ty samotn , a u pomoc vpo etn techniky nebo techniky emesln typu prav algebraickch vraz atp. Z nazna en ho Matematika - fyzika - informatika 17 2007/2008

3

vyplv, e een loh nen vc samotn logiky. Jde zde spe o procesy, v nich se snoub intuice s logikou, npady s jejich pjmnm nebo odmtnm. Generovn npad je charakteristick pro een probl m { a to ne jen v matematice. Jestlie pi een loh zskme nabdku vsledk, z nich mme volit, je nutn chpat to jako pomoc pi een probl mu, jako nabdku npad. Probl m ovem je, e v testovch lohch jde o nabdku hotov ho zbo, nikoliv o nabdku cest, jak vsledky zskat. V prvn a nejdleitj etap, k n by mlo matematick vzdlvn pedevm smovat, nm tak uzaven lohy pli nepomohou. Souvis to ovem s charakterem koly. Znm matematik a litert 18. stolet Georg Christoph Lichtenberg napsal: Mnoz lid vd vecko tak, jako znme hdanku, jej rozlutn jsme si pe etli, nebo nm je nkdo ekl, a to je ten nejhor zpsob vdn, kter by si lovk ml osvojovat co nejm n. Ml by se spe snait zskat takov znalosti, kter mu umon, aby v nutn m ppad sm odhalil mnoh , co si jin musej pe st nebo poslechnout, aby se to dovdli (10], s. 129). Encyklopedick vzdlvn, vzdlvn pro znalostn soute a kvizy meme jist dobe rozvjet syst mem uzavench loh, tedy volbou z nabdnutch alternativ. Problematika m ovem jet dal strnku, kter se budeme vnovat v nsledujcm odstavci.

3. Poznn nebo uznn?

Jestlie vzdlvac proces je proces poznvac, jde v nm o hledn a nal zn pravdy, patrn podobn jako je tomu nap. v prodnch vdch. V matematice je ovem situace jin, zde pravda znamen soulad s pijatmi pedpoklady, s pijatou teori, v jejm rmci odvozujeme dsledky. Vyjdme z pedpokladu, e ve kole, podobn jako ve vd, usilujeme o pravdiv poznn, kter v prodnch vdch je spjato se soustavou pozorovn, experimentovn, : : : a jejich vyhodnocovnm, v matematice pak s logickm usuzovnm. Poznn ovem neme bt omezeno jen na prodn vdy a matematiku. Pro n ivot je mon stejn dleit , neli dleitj, nap. poznn sociologick , ekonomick , politick , : : : , kde nememe dlat experimenty typu nap. experiment fyziklnch a nememe vyut v pln m smyslu ani logiku, nebo neznme dostate n exaktn ani vchoz situaci. 'kola by mla v st ky a studenty k orientaci i v tchto oblastech, kde je poznn pravdy, a chceme nebo nechceme, exaktn vzato nemon . 4


Krom ve zmnnch pstup, jimi jsme charakterizovali tvorbu, zde pistupuj aspekty dal, nap. vnmn pedstav, pocit, nlad, dsledk, : : : To ovem nen nic nov ho a je to v souladu s tzv. pragmatismem, jeho zakladatel americk losof Charles Sanders Peirce napsal v r. 1878: Jedinm kolem mylen je vyvolat vru nebo pesvd en ili zditi zvyky pro jednn. Chceme-li dojti poznn, musme uvit, jak jsou praktick vsledky, o nich myslm, e mohou bti pivodny pedmtem na koncepce (citovno podle Pragmatismu Karla apka (11], s. 269). Sm (apek pe: Pragmatism pijm ve) pijm logiku, pijm smysly a ochotn vm si vech zkuenost, i nejpokornjch a nejzvltnjch. : : : Pragmatick teorie pravdy se tk jejho uznn, nikoliv poznn (11], s. 278). Taktika een test s vbrovmi otzkami je podle m ho nzoru spe otzkou pragmatick ho ne matematick ho mylen. Poznn pravdy bychom mohli idealisticky poadovat, uznat nco za pravdu je bn poadavek reality ivota, k jejmu chpn by mla i matematika pispvat. Pi een uzavench loh m spch ten, kdo odhadne, kter vsledek je sprvn, a nen dleit , zda pitom pouval matematickou teorii a postupoval logicky. Vzhledem k tomu, e tento zpsob uvaovn je nkdy pro realitu ivota dleitj ne uvaovn formln logick , uznvm prvo na uplatnn loh s vbrovmi odpovmi i v na kole, a to i v matematice. Tradi n matematika vede studenty k hledn pravdy, americkmi trendy ovlivovan matematika vede k uznn nkter z nabdnutch odpovd za pravdivou. Nen zde analogie s prvn prax? Kontinentln evropsk prvo je zaloeno na premise, e odsouzen je ten, kdo je skute n vinen, : : : zatmco americk prvo : : : k, e o vin rozhoduje to, zda alobce v pm konfrontaci s obhjcem pesvd porotu o vin obalovan ho : : : o pravdu ani tak nejde (12], s. 93). Hodnota pravdy v ivot lovka a spole nosti je znevaovna. Ji nejde o to, zda k rozbil okno, ale o to, zda mu to me nkdo dokzat.

4. P klady

V t to sti uveme po tech pkladech uzavench loh ze ty didakticky rozdlnch prosted: od pijmacch test pro zjemce o slubu v britsk policii, pijmacch zkouek na stedn kolu, maturitnch loh, a Matematika - fyzika - informatika 17 2007/2008

5

po ppravn lohy na matematickou olympidu v USA. *lohy se pirozen od sebe li obtnost, tematikou i metodami een.

lohy policejn

Zdrojem tchto loh je esk vydn knihy How to pass numeracy tests 13]. P1. Policejn stanice je 1 180 m od knihovny. Supermarket je na pli cesty mezi policejn stanic a knihovnou. Kolik metr je supermarket od knihovny? (A) 2 360 (B) 1 200 (C) 590 (D) 600 (E) 1 800. Sprvn odpov (C). P2. Jedu-li rychlost 30 km=h, za jak dlouho v hodin ch ujedu 90 km? (A) 0,5 (B) 3 (C) 6 (D) 9 (E) 12. Sprvn odpov (B). P3. Pokud se policistky lid zeptaj na cestu v prmru tikr t za den, kolikr t se j zeptaj na cestu za sedm dn ? (A) 4 (B) 10 (C) 17 (D) 21 (E) 27. Sprvn odpov (D). *lohy jist nejsou ppravou na prci policisty v ter nu. St si lze pedstavit situaci, e by pslunk policejnho sboru pouval pi kontrole na silnici tahk ve stylu lohy P2. Citovanmi lohami se snad d testovat elementrn gramotnost a minimln rove zdrav ho selsk ho rozumu. Nabdnut odpovdi hraj patrn jistou kladnou psychologickou roli (na kadou otzku je uchaze schopen odpovdt (sprvn nebo patn)). Jsem pesvd en, e i o rovni teoretickch schopnost uchaze e by vce vypovdly lohy bez nabdnutch odpovd.

lohy z p ijmacch zkou ek na prmyslovou kolu

Kdy Ji Sl va nakreslil do na knihy Pozoruhodn svt element rn matematiky obr. 1, povaovali jsme to za vtipnou nadszku. *lohy, kter 6


; Obr. 1

nyn uvedeme, vak ukazuj, e karikaturista pli nepehnl. Citujeme je z knihy Testy z matematiky 2003 14] { lohy byly zadny v Uhersk m Hraditi. 33 + 7 U1. Vypoti 100 100 337 42 a) 100 b) 100 Sprvn odpov c).

c)

2 5

d) 0,2

e)

4 100

.

U2. Uri, kolik pirozench sel je een m nerovnice: ;2 x < 6. a) 5 b) 7 c) 6 d) 9 e) 8. Sprvn odpov a). U3. V m stnosti je stl a idle. Stl m 3 nohy. Kad idle m 4 nohy. Kdy na kad idli sed lovk, je celkov poet nohou 39. Kolik idl je v m stnosti? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7. Sprvn odpov d). *lohami z pijmacch zkouek se kola, a chce nebo nechce, prezentuje i na veejnosti. Co si m pomyslet otec { technik o kole, kter m Matematika - fyzika - informatika 17 2007/2008

7

vychovvat pro praxi, a napovd jak se st dva zlomky se stejnm jmenovatelem (U1)? Hodnota lohy U2 snad spo v jen v terminologick jemnosti, t m pohdkov realita na rovni prvnho stupn zkladn koly nen rovn vhodnou uzavenou lohou (U3). Policejn lohy nebyly pli vynal zav , byly vak, na rozdl od loh z prmyslov koly, aspo z oboru, o kter se uchaze i zajmaj.

lohy testu Scio

I zde jde o lohy z pijmacch zkouek na stedn kolu. *lohy S1 a S2 jsou pevzaty z publikace 15], loha S3 z testu 16]. S1. Maminka chtla vysadit tulip ny do esti, sedmi nebo osmi dk. Kolik mla tulip n, kdy jejich poet je nejmen mon trojcifern slo? a) 100 b) 168 c) 158 d) 148 Jako sprvn je uvedena odpov b). S2. M me pytel oech. Meme je rovnm d lem rozdlit mezi 2, 3, 4, 5, 6, 8 a 10 dt tak, e dn nezbude. Kolik meme m t v pytli nejmn oech? a) vce ne 69 a m n ne 90 b) vce ne 89 a m n ne 110 c) vce ne 109 a m n ne 130 d) vce ne 129. Sprvn odpov je pr c). S3. O kolika slic ch plat , e se nach zej uvnit vdy jen jednoho z obrazc na obr. 2? a) o tech b) o pti c) o esti d) o osmi e) o devti Sprvn odpov je e). Jak je souet vech slic, kter se nach zej ve vech tech obrazc ch najednou? a) 9 b) 13 c) 18 d) 24 e) 31 Sprvn odpov je b).

8


; Obr. 2

V stech P a U jsou uvedena een loh, a koliv byla zejm. V sti S si vimneme een loh podrobnji. Co kdy v loze S1 uvauje eitel nsledujcm zpsobem? Protoe maminka me vysadit tulipny jen do jednoho ur it ho po tu dk z poadovanch esti, sedmi nebo osmi, ne vak zrove do vech, sta j 105 tulipn. V tomto ppad sz tulipny do 7 dk (105 = = 7 15). Sz-li do 8 dk, zbude j 1 tulipn, (105 = 8 13+1), sz-li do 6 dk, zbudou j 3 (105 = 6 17 + 3). Tento sprvn vsledek Scio vbec neuvd. Hodnotme-li odpov 105 jako nesprvnou, vnucujeme kovi nzor, e se m poddit autorit a nepemlet samostatn. Z navrench odpovd ovem pozn, co mli autoi na mysli, ale na jejich een neme pistoupit. 168 je sice nejmen spole n nsobek sel 6, 7 a 8, ale tento vsledek loze z praxe vbec neodpovd. V loze S2 si patrn k uvdom, e po et oech je nejmenm spole nm nsobkem sel 2, 3, 4, 5, 6, 8 a 10, tedy 120, tato odpov vak v uvdnch alternativch nen. M-li bt sprvn odpov c), znamen to, e v pytli me bt nap. 110 oech. V textu publikace 15] se pitom uvd, e u kad lohy je jedin sprvn odpov. Snad bychom mli v st ky k tomu, aby rozliovali formulace: sprvn odpov je : : : a sprvn odpov nen v rozporu s : : : . Matematika - fyzika - informatika 17 2007/2008

9

*loze S3 meme patrn rozumt i takto: (slice 5 a 2 jsou v obd lnku a uvnit elipsy, nejsou tedy jen v jednom z obrazc, slice 9 je v trojhelnku a uvnit elipsy, nen tedy rovn uvnit jen jednoho obrazce, : : : Teprve podle toho, e sprvn odpov je 9, poznme, co mli autoi na mysli. Profesionlov by snad mli rozliovat mezi pojmy slo a slice a vdt, e se slice nes taj, jak poaduj v druh sti lohy. Kad autor dl chyby, to je vc zcela pirozen. Skute nost, e zmnn testy eilo 32 000 uchaze na 302 kolch v republice a nikdo na uveden nepesnosti neupozornil, je znmkou odcizenosti testovac main rie od koly, ka a vzdlvac reality.

Maturitn lohy

Uveme zde ti lohy z materil Maturita naneisto 2004 17].

M1. Obrazem krunice k: x2 + y2 + 2y = 3 v osov soumrnosti s osou o je krunice l: (x ; 2)2 + (y ; 3)2 = 4. 1) Na kter p mce le sted krunice k? A) a: x ; 2y + 1 = 0 C) c: 2x + y ; 3 = 0 B) b: x + 2y ; 3 = 0 D) d: 2x ; y ; 1 = 0 Sprvn odpov je D). 2) Kter z n sleduj c ch vztah je rovnic osy soumrnosti o obou krunic? A) x ; 2y + 1 = 0 C) 2x + y ; 3 = 0 B) x + 2y ; 3 = 0 D) 2x ; y ; 1 = 0 Sprvn odpov je B). M2. Trojheln k ABC m vepsanou krunici l se stedem O, kter se dotk strany AB v bod P , strany BC v bod Q, strany AC v bod R. hel ACB m velikost 66 . 1. Jak je velikost hlu ROQ? A) 66 B) 114 Sprvn odpov je B). 10

C) 132 D) 156


2. Jak je velikost hlu RPQ? A) 33 B) 132 Sprvn odpov je C).

C) 57 D) 66

M3. Cukr sk kornout m tvar rotan ho kuele (bez podstavy) a je obr cen vrcholem dol. Kornout je v doln sti do poloviny vky naplnn okol dou a v horn sti je a po okraj dorovn n zmrzlinovm krmem. Kolik procent obejmu kornoutu zab r zmrzlina? A) 50 % C) 83,3 % B) 75 % D) 87,5 % Sprvn odpov je D). Maturitn lohy, kter jsme zde pipomnli, jsou dokladem toho, e i geometrie je dobe pstupn uzaven mu testovn. V prvn sti lohy M1 se provuj zkladn vlastnosti z analytick geometrie (ur en souadnic stedu krunice a incidence bodu a pmky), v druh sti pak i kolmost dvou pmek. Vpo et lze z sti nahradit n rtem. *loha M2 provuje znalosti obvodov ho a stedov ho hlu. *loha M3 je nejzajmavj. Vsledek lze (a na nesprvnost odpovdi A) st odhadnout bez vpo tu. 'koda, e se u loh tohoto typu nehodnot postup een, nebo bezprostedn zdvodnn, e objem komol ho kuele je 78 objemu cel ho kuele ukazuje na dobr porozumn stereometrickm souvislostem.

P pravn lohy na matematickou olympidu

*lohy z t to ukzky jsou pirozen podstatn nro nj, ne v pedchozch stech a byly pevzaty z knihy 18].

pp5 + 2 + pp5 ; 2 q p pp5 + 1 ; 3 ; 2 3 je rovno O1. slo N = p

(C) (A) 1 (B) 2 2 (E) nen rovno dnmu z tchto sel. Sprvn odpov je (A).


p 5 2

(D)

q

5 2

11

x = sin x je O2. Poet re lnch een rovnice 100 (A) 61 (B) 62 (C) 63 (D) 64 Sprvn odpov je (C).

(E) 65.

O3. Jsou-li p, q a M kladn sla, q < 100, pak slo, kter z sk me vzrstem M o p % a poklesem vsledku o q %, pevyuje M tehdy a jen tehdy, jestlie 100q 100q (A) p > q (B) p > 100q;q (C) p > 1;q q (D) p > 100+ q (E) p > 100;q . Sprvn je odpov (E). Podle m ho nzoru lze zde st nal zt uspokojiv motivy pro nalezen sprvnch odpovd, ani bychom eili lohy od za tku do konce. V loze O1 je vhodn ur it nejdve druhou mocninu zlomku, nebo lze odhadnout, e se iracionality p pzjednodu, k dokon en lohy je teba si uvdomit, e 3 ; 2 2 = (1 ; 2)2 . Student, kter nem dobr vhled do aritmetickch struktur, patrn nem anci lohu vyeit. V loze O2 je eln pedstavit si grack een rovnice, z nho je vidt, e po et jejch een je lich) kter z lichch sel uvedench ve vsledcch je sprvn asi musme detailn vypo tat. *loha 03 nen mylenkov nro n. Text je nutno pev st do algebraick symboliky a pak eit pslunou nerovnici. Npovda p > q v sti (A) je svdn pro studenta, kter si neuvdom, e pi po tn s procenty je nejdleitj ur en zkladu.

5. Zvr

Vimnme si dvou pl orientace koly. Pedstavme si kolu jako pleitost k poznvn, jako servis, kde se studentovi pedkld v uspodan form souhrn ur it sti lidsk ho vdn a je na studentovi, zda se chce nebo mus tuto sumu vdn nau it a soubor s tm spojench kompetenc zvldnout. V takov kole slou hodnocen jako mra spchu jednotlivce v dan etap, na konci jedn nebo na za tku dal sti vzdlvacho cyklu. O to, jak se k u , jak rozum u ivu, jak je dovede aplikovat, : : : se kola pli nestar: zajm ji pedevm, jak je jej absolvent spn. A spch se dnes asto m v testech, ktermi podnik, instituce nebo kola vyho typu uchaze e provuje. Je zde vn nebezpe , e koly budou upravovat 12


sv kurzy pedevm podle pevldajc mdy testovacch otzek, co me znamenat sklon k povrchnmu, nap. faktograck mu a encyklopedick mu charakteru vzdlvn. Takovto styl nem v dnen dob, kdy jsou voln k dispozici vemon informace, valn vznam. Co kdy m kola vzneenj cle? Me bt nap. instituc, kter pispv spolu s rodinou a spole nost k utven osobnosti ka. Takovto kola ct odpovdnost za rst ka a hodnocen v n realizovan je od sam ho za tku nedlnou slokou jej prce. Mlo by to bt hodnocen individuln, laskav a pomhajc, samozejm e slovn. Je ovem teba si uvdomit, e slovn hodnocen je nstroj psoben na ka a st me bt zprvou pro veejnost i dal instituce. Takovou zprvou je koln klasikace. O t to problematice jsem se zmnil v lnku 5]. Hodnocen m v st ka k porozumn u ivu, k poznn nutnosti zvldnout ur itou sumu poznatk a dovednost, mlo by pispvat k rstu tvoivosti ka, k aplikacm u iva, k prci. Hledn cest k een probl m je jednm z nejtch kol v rozvjen osobnosti ka a jemu by ml bt podzen syst m loh, kter ve kole eme. Nejde tedy o to, e probl m ji nkdo vyeil a nam clem je se do jeho een tret. Uzaven lohy pinej z tohoto hlediska deformovan pohled, maj spe charakter ppravy na vdomostn sout a k hlubok mu vdn nevedou. Je-li ovem tvoivost spjata s generovnm npad, jejich hodnocenm a orientac na npady dobr , mohou bt lohy s vbrovmi odpovmi vhodnm pspvkem k tomu, jak u it orientaci v een probl m. Tvorba a volba nejsou tedy dichotomick procesy: v procesu tvorby musme volit, sprvn volba me v st k tvorb. V praxi koly bychom tedy mli zaazovat lohy uzaven i oteven . V tomto smyslu se patrn sprvnm smrem testovn u ns ubr, nap. v projektech Scio a Maturita naneisto. 'kole s pevaujcmi rysy transmise a instrukce odpovd spe testovn s nabdnutmi odpovmi, kola konstruktivnho typu rozehrv celou klu hodnocen. Zd se, e testovn me bt dobrm sluhou, ale zlm pnem. Dolome to dvma pohledy z historie. Po tkem 60. let minul ho stolet byl J. B. Conant jako prezident Harvardsk univerzity znepokojen tm, e by se v Americe mohla vyvinout statick ddi n aristokracie, a tak angaoval H. Chaunceye, mue posedl ho testovnm osobnosti, aby vyvinul syst m, kter by nahradil dvj elitu pvodu elitou schopnost : : : Harvard a po nm dal univerzity se tak zmnily ze koly pro ky s dobrmi konexemi na koly pro nadan d e. Prmrn student z roku 1952 by na Harvardu Matematika - fyzika - informatika 17 2007/2008

13

v roce 1960 patil mezi poslednch 10 % k (19], s. 144). Za 50 let nato pe R. B. Reich: : : : standardizovan testy jsou jedinou a nejvt vc, kter zashla americk vzdlvn od dob Sputniku. V odpovdi na pochopiteln poadavky na vt zodpovdnost se t m vechny koly v zemi promnily ve fabriky na testy. Vytvme jednorozmrn syst m, do nho maj vichni zapadat, kter zbyte n stigmatizuje mnoho mladch lid jako nespn , zatmco by mohli bt spn, pokud by se jim nabdlo jin vzdln, v nm by se pokrok mil odlin. Paradoxn jsme zavedli standardizovan testy prv v dob, kdy nov ekonomika vylu uje standardizovan msta. *spch nezvis od zvldnut jednotn ho korpusu vdn, jak se m pomoc jedin ho rozhodujcho standardizovan ho testu : : : nov kari ry msto toho vyaduj schopnost se v prci u it { odhalit, o kterch potebch by bylo potebn vdt a rychle je najt pout. Nkter zvisej na kreativit { na mylen, kter pesahuje jednotnou ablonu, na originalit a talentu (20], s. 68, 69). Nemli bychom se nechat nerozumn ovlivnit bezduchm testovnm v dob, kdy i v USA si uvdomuj vnost a sloitost problematiky, jak o tom zasvcen pe D. Stein ve studii Matematick v lky v USA: Hodnocen mus bt pln v souladu s metodami a cli vyu ovn. Celkov hodnocen mus bt zaloeno nejen na testech a domcch kolech, ale i na mnoha dalch zdrojch: na pohovorech se ky, na pozorovn k pi vuce, na studentskch projektech, portfolich a refertech. Hodnoceny maj bt nejen konkr tn znalosti a dovednosti, ale t obecn schopnosti, pstupy a vlastnosti. Role a vznam standardizovanch test a jejich vliv na kolstv mus bt oslabena. Omezeno m bt pouvn otzek, pi nich ci jen vol sprvnou odpov z nkolika nabzench, naopak astji se maj od ka vyadovat odpovdi, v etn dlouhch slovnch odpovd, kter mus sm vytvet. Pouvny maj bt i takov otzky, na kter neexistuj jednozna n odpovdi nebo kter povoluj rzn interpretace (21], s. 40). Zamysleme se nad tm, kde na pomysln stupnici S { O (kola jako servis a kola rozvjejc osobnost ka) je nae sou asn kola. Podle m ho nzoru by se mla blit idelu O, formln orientace koly k sepisovn kolnch vzdlvacch program msto soustedn se ke zmn klimatu koln innosti k odpovdnosti a k prci, a orientace na pizpsoben obsahu koln prce mstnm podmnkm, me znamenat pro budoucnost na vzdlanosti vn nebezpe . Bume rozumn a nepodl hejme mdnm vlnm, a u maj charakter rmcovch vzdlvacch program nebo vbrovch test. 14


Literatura 1] Kuina, F.: Porozumn matematice, matematick emeslo a tvo ivost. MFI, ro. 12, 2002/03, . 1. 2] Kuina, F.: Matematika je een loh. MFI, ro. 13, 2003/04, . 3. 3] Kuina, F.: Logika a intuice p i een loh. MFI, ro. 13, 2003/04, . 4. 4] Kuina, F.: Matematick gramotnost a kongres ICME10, MFI, ro. 15 2005/06, . 1. 5] Kuina, F.: Vyuov n matematice a realita koly. MFI, ro. 16, 2006/2007, . 2. 6] Kuina, F.: Geometrie jako p leitost k rozvjen kompetenc. In: Podl uitele matematiky Z na tvorb VP. JMF Praha, 2006. 7] Kalous, Z., Obst, O. a kol.: koln didaktika. Port l, Praha 2002. 8] Hartl, P. { Hartlov, H.: Psychologick slovnk. Port l, Praha 2000. 9] Mlodinow, L.: Euklidovo okno. Slovart, Praha 2007. 10] Lichtenberg, G. Ch.: Mylenky, post ehy, n pady. Odeon, Praha 1986. 11] apek, K.: Universitn studie. eskoslovensk spisovatel, Praha 1987. 12] tern, J.: lovk pot ebuje poznat s m sebe. Prostor 71, . 3, 2006. 13] Tolley, H. { Thomas, K.: Numerick testy. Ikar, Praha 2002. 14] Testy z matematiky. Didaktis, Brno 2002. 15] Testy z matematiky. Didaktis. Brno 2006. 16] Test obecnch studijnch p edpoklad pro p ijmac zkouky na S.scio.cz. Lidov noviny 15. 1. 2007. 17] Maturita naneisto 2004. Cermat, Praha 2004. 18] The Contest Problem Book IV. The Mathematical Association of America. Washington 1983. 19] C lek, V.: Hippies a co bylo potom. Makom, Doko n, Praha 2004. 20] Reich, R. B.: Slun spolenost. Vize 97. Moraviapress, Praha 2005. 21] Stein, D.: Matematick v lky v USA. Uitel matematiky . 1, 2006.

Upozornn pro u itele matematiky Na konci roku 2006 vyla nov ro enka

54. ronk matematick olympidy na st ednch kolch,

kter na 180ti stranch obsahuje een vech loh matematick olympidy v kategorich A, B, C a P, dle texty vech loh kategori Z9 { Z5, podrobn zprvy o mezinrodnch soutch a pprav naich olympionik na 46. MMO, 17. MOI a 12. Stedoevropskou olympidu v informatice. Ro enku si mete objednat (i pro vae koln knihovny) na adrese: Prodejna u ebnic a skript Univerzity Palack ho, Biskupsk nm. 1, 771 11 Olomouc. Cena ro enky v etn DPH je 79 K . Pipravuje se tak tak ro enka 55. ro nku MO (k. rok 2005/06). O jejm vydn budeme tene MFI informovat. Matematika - fyzika - informatika 17 2007/2008

15

57. ronk matematick olympidy lohy I. kola KATEGORIE Z6

Z6{I{1

Jirka koupil dv okoldy v obchod naproti kole. Michal si koupil stejn dv okoldy v obchod za kolou a Ivan si koupil jednu takovou okoldu, ale ve kolnm bufetu. Potom zjistili, e prmrn je vyla jedna okolda na 19,70 K . Cena zakoupench okold je o 6 K vy, ne kdyby chlapci nakoupili vech 5 okold v obchod naproti kole, a o 6,50 K ni, ne kdyby nakupovali jen v obchod za kolou. Za kolik korun prodvaj okoldu v jednotlivch obchodech? Monika Dillingerov

Z6{I{2

Michal ml barevn nlepky dvou druh ve tvaru pravohlch rovnoramennch trojhelnk. Prvn nlepka mla ramena d lky 5 cm, tch bylo 9. Druh mla nejdel stranu dlouhou 10 cm a tchto nlepek bylo 17. Kolik nlepek prvnho druhu si m Michal jet dokoupit, aby vemi svmi nlepkami mohl oblepit (pokrt) stny krychle s hranou d lky 10 cm? Monika Dillingerov

Z6{I{3

V rovin maj leet body A B C D tak, aby platilo: jAB j = 7 cm, jBC j = 8 cm, jCDj = 5 cm a jDAj = 9 cm. a) Ur i nejvt monou vzdlenost bod A a C . b) Ur i nejmen monou vzdlenost bod A a C . Libor imnek

Z6{I{4

Pi chudokrevnosti se doporu uje pt sms vy z mrkve a erven epy. (erven epa vak m tvoit pouze 15 z objemu npoje. Ze dvou kilogram 16


mrkve zskme v odavova i 7,5 dl vy. Z jednoho kilogramu erven epy zskme 6 dl vy. a) Jak mnostv mrkve potebujeme na 250 gram erven epy, abychom zskali sprvn namchanou sms vy? b) Jak mnostv vy takto zskme? Svtlana Bedn ov

Z6{I{5

%ekne-li mimozeman v rozhovoru o Vnocch haf quin lina, znamen to velk zlat hvzdy) kdy kari lina mejk, znamen to blikav zlat koleka) kdy esca haf kari, znamen to erven velk koleka. Jak se ekne blikav hvzdy? (Zapi svou vahu.) Marta Volfov

Z6{I{6

Z sel 532 a 179 vykrtni dohromady dv slice, aby sou in takto vzniklch sel byl co mon nejvt. Monika Dillingerov KATEGORIE Z5

Z5{I{1

Kuchysk stl m tvar obd lnku o rozmrech 90 cm 140 cm. Chceme na nj ut ubrus tak, aby na vech okrajch stolu pesahoval stejn. a) Kolik ltky ky 140 cm je teba koupit, abychom ji nemuseli ltku sthat? b) Kolik centimetr bude tento ubrus na kad stran pesahovat? Svtlana Bedn ov

Z5{I{2

Dopl na przdn cihli ky pyramidy z obrzku chybjc sla tak, aby platilo: na kad cihli ce (krom spodn ady) je napsan slo, kter se rovn polovin sou tu sel napsanch na dvou sousednch cihli kch z niho dku. Matematika - fyzika - informatika 17 2007/2008

17

Z5{I{3

;

Svtlana Bedn ov

Ve kolce maj stavebnici ze stejn velkch molitanovch kvdr. Kdy je dti vechny polo na sebe, vdy je pokldaj tak, aby na sob kvdry leely stejnmi stnami. Takto se jim podailo postavit ti rzn vysok ve. Prvn mla vku 120 cm, druh 130 cm a tet 150 cm. Kolik kvdr mohly dti ve kolce mt? Svtlana Bedn ov

Z5{I{4

Troj ata prv oslavila sv tet narozeniny. Za pt let bude sou et jejich vk roven dnenmu st jejich matky. Kolik let bude jejich matce za pt let? Marie Krejov

Z5{I{5

(slo se nazv mazan, jestlie po naje od jeho tet slice zleva plat: Kad jeho slice je sou tem vech slic lec nalevo od nj. a) Uve dv nejvt mazan sla. b) Kolik je vech tymstnch mazanch sel? Svtlana Bedn ov

Z5{I{6

Dopl do przdnch pol ek pirozen sla od 1 do 16 (kad slo me pout jen jednou) tak, aby platily matematick vztahy: 18


;

Miroslava Smitkov

Zajmav matematick lohy Otevrme ji 15. ro nk na pravideln eitelsk rubriky Zajmav matematick lohy. V kad m ro nku bylo dosud publikovno vdy deset loh. V pedchozch slech naeho asopisu tak najdete ji 140 zajmavch loh. Upozorujeme sou asn nae tene, e kompletn soubor prvnch 130 loh t to rubriky (v etn jejich plnch een je mono nal zt v nov publikaci nakladatelstv Prometheus Sbrka netradi nch matematickch loh autor J. vrka a P. Cal bka. %een prvn dvojice loh nov ho ro nku mete zaslat nejpozdji do 20. 10. 2007 na adresu: Redakce asopisu MFI, t. Svobody 26, 771 46 Olomouc. Jejich een lze zaslat tak elektronickou cestou (pouze vak v TEXovskch verzch, pp. v MS Wordu) na emailovou adresu: [email protected]. Zajmav a originln een loh rdi uveejnme.

loha 141

Z devn ho kvdru o rozmrech abc, kde a, b, c jsou pirozen sla vt ne 1, vyeeme u nkterch dvou protilehch vrchol dan ho kvdru dv rohov jednotkov krychli ky. Ur ete vechny trojice a, b, c, pro kter lze takto vytvoen tleso rozezat na dvojkrychle 211. Jozef Cmar

loha 142 Ur ete po et vech pirozench sel n mench ne 2008, pro n je slo 2n ; n2 dliteln sedmi. Peter Novotn


19

ka jed vat pozor, vn mat u ivo a zapisovat si je. Snad kolegyn Bla- ena Sou kov, vynikaj c u itelka na z kladn kole v Hradci Kr lov, m hlavn z sluhu n

Recommend Documents