Informatieoverdracht en -verwerking: Oefeningen 2de bachelor ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar: 2010-2011
Inhoudsopgave Oefenzitting 1: Discrete informatiebronnen & Broncodering................................................................ 4 Oefening 1 ........................................................................................................................................... 4 Oefening 2 ........................................................................................................................................... 6 Oefening 3 ........................................................................................................................................... 7 Oefening 4 ........................................................................................................................................... 8 Oefening 5 ......................................................................................................................................... 11 Oefening 6 ......................................................................................................................................... 16 Oefening 7 ......................................................................................................................................... 17 Oefening 9 ......................................................................................................................................... 18 Oefening 10: examenvraag ............................................................................................................... 19 Oefening 11: examenvraag ............................................................................................................... 20 Oefening 12: examenvraag ............................................................................................................... 22 Oefening 13: examenvraag ............................................................................................................... 24 Oefenzitting 2: Continue informatiebronnen en discretisatie .............................................................. 25 Oefening 1: computersimulaties met Matlab ................................................................................... 25 Oefening 2 ......................................................................................................................................... 26 Oefening 3 ......................................................................................................................................... 28 Oefening 4 ......................................................................................................................................... 29 Oefening 5 ......................................................................................................................................... 31 Oefening 6: examenvraag ................................................................................................................. 34 Oefening 7: examenvraag ................................................................................................................. 36 Oefening 8: examenvraag ................................................................................................................. 37 Oefening 9: examenvraag ................................................................................................................. 39 Oefenzitting 3: Discrete en continue transmissiekanalen..................................................................... 41 Oefening 1 ......................................................................................................................................... 41 Oefening 2 ......................................................................................................................................... 44 Oefening 3 ......................................................................................................................................... 45 Oefening 4 ......................................................................................................................................... 47 Oefening 5 ......................................................................................................................................... 49 Oefening 6 ......................................................................................................................................... 51 Oefening 7 ......................................................................................................................................... 52 Oefening 8 ......................................................................................................................................... 53 Oefening 9 ......................................................................................................................................... 54
Oefening 10 ....................................................................................................................................... 55 Oefening 11 ....................................................................................................................................... 57 Oefening 12: examenvraag ............................................................................................................... 60 Oefenzitting 4: Fysische transmissiekanalen en Basisbandtransmissie ................................................ 63 Oefening 1 ......................................................................................................................................... 63 Oefening 2 ......................................................................................................................................... 64 Oefening 3 ......................................................................................................................................... 66 Oefening 4 ......................................................................................................................................... 67 Oefening 5 ......................................................................................................................................... 68 Oefening 6 ......................................................................................................................................... 70 Oefening 7 ......................................................................................................................................... 72 Oefening 8 ......................................................................................................................................... 74 Oefening 9: examenvraag ................................................................................................................. 75 Oefening 10: examenvraag ............................................................................................................... 76 Oefenzitting 5: Doorlaatbandtransmissie en Multiplexen ................................................................... 80 Oefening 1 ......................................................................................................................................... 80 Oefening 2 ......................................................................................................................................... 81 Oefening 3 ......................................................................................................................................... 83 Oefening 4 ......................................................................................................................................... 84 Oefening 5: examenvraag ................................................................................................................. 85 Oefening 6: examenvraag ................................................................................................................. 86
Oefenzitting 1: Discrete informatiebronnen & Broncodering Oefening 1 Een Morse-code bestaat uit een sequentie van puntjes en lijntjes en dient voor het overzenden van letters uit het alfabet. Een lijntje wordt voorgesteld door een puls met een lengte van drie eenheden, terwijl een punt wordt voorgesteld door een puls met een lengte van één eenheid. De waarschijnlijkheid van het voorkomen van een lijntje si 1/3 van de waarschijnlijkheid van het voorkomen van een puntje. Er wordt verondersteld dat de symbolen onderling onafhankelijk optreden. Gevraagd: 1. Bereken de hoeveelheid informatie van een puntje en van een lijntje. 2. Bereken de gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool van een uitgezonden sequentie lijntjes/puntjes. 3. Veronderstel dat een puntje 1ms duurt en dat de pauze tussen twee symbolen eveneens gelijk is aan 1ms, bepaal dan het gemiddelde informatiedebiet van de informatiebron Oplossing: 1. Het alfabet A bestaat uit twee symbolen: een puls met lengte één en een puls met een lengte van drie eenheden Eerst worden de waarschijnlijkheden van de verschillende symbolen van het alfabet berekend: ( ) ( )
( ) () ()
Oplossen van bovenstaand stelsel levert volgende kansen op: ( ) () De hoeveelheid informatie per symbool i wordt uitgedrukt volgens onderstaande formule: ()
( )
Dit levert als resultaat voor een lijntje en een punt: ( ) () 2. Aangezien de kansen voor elk symbool reeds berekend werden in het eerste onderdeel van deze oefening, kan de gemiddelde hoeveelheid informatie van een symbool van het alfabet A berekend worden als volgt:
( )
( ) ( )
() ()
(
)
(
)
3. Het informatiedebiet van de informatiebron kan bepaald worden d.m.v. onderstaande uitdrukking: ( )
( )
Eerst wordt het transmissiedebiet rS bepaald. Aangezien men weet dat een streepje 4ms in beslag neemt, nl. een puls met lengte 3 en een pauze en een puntje 2ms, nl. een puls met lengte 1 en een pauze, kan de gemiddelde duur per symbool geschreven worden als: ,(
)
(
) -
Hieruit kan het transmissiedebiet, de inverse van de gemiddelde duur per symbool gehaald worden:
Bijgevolg vindt men dat het informatiedebiet gelijk is aan: ( )
Oefening 2 Een zwart-wit tv-beeld bestaat uit 525 lijnen beeldinformatie. Veronderstel dat elke lijn bestaat uit 525 pixels, dat elk van deze pixels 256 grijsniveaus met een gelijke kans van voorkomen heeft en dat de grijsniveaus van opeenvolgende pixels en van opeenvolgende beelden onafhankelijk optreden. De beeldsnelheid bedraagt 24 beelden/seconde. Bereken het gemiddelde informatiedebiet die ene TV-uitzending levert. Oplossing: Het gemiddelde informatiedebiet die een TV-uitzending levert kan geschreven worden als volgt: ( )
( )
Het transmissiedebiet is reeds gekend. Deze is gelijk aan de beeldsnelheid die 24 beelden/seconde bedraagt. Bijgevolg dient de gemiddelde hoeveelheid informatie per beeld nog berekend te worden. De gemiddelde hoeveelheid informatie per beeld kan geschreven worden door middel van de gemiddelde hoeveelheid informatie per pixel. De gemiddelde hoeveelheid informatie per pixel wordt geschreven door middel van onderstaande uitdrukking: ( )
∑
(
)
Een zwart-wit tv beeld bestaat uit 525 lijnen, die elk bestaan uit 525 pixels. Dit betekent dat de gemiddelde hoeveelheid informatie per beeld kan gevonden worden door de gemiddelde hoeveelheid informatie per pixel te vermenigvuldigen met het aantal pixels per beeld. Dit levert onderstaande uitdrukking op: ( ) Bovenstaand resultaat invullen in de uitdrukking voor het gemiddelde informatiedebiet levert op dat het gemiddelde informatiedebiet die een TV-uitzending levert gelijk is aan: ( )
Oefening 3 Een discrete bron zendt elke milliseconde een symbool uit. De vijf mogelijke symbolen hebben een waarschijnlijkheid 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 en 1/16. Vind de gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool, het informatiedebiet, alsook de waarschijnlijkheidsredundantie van de bron in de veronderstelling dat de opeenvolgende symbolen onafhankelijk optreden. Oplossing: De gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool kan geschreven worden als volgt: ( )
∑
(
) ( )
Het informatiedebiet kan eenvoudig gevonden worden, aangezien het transmissiedebiet gelijk is aan 1 symbool/ms of 1000 symbolen/s. ( )
( )
De waarschijnlijkheidsredundantie van de bron is een maat voor de geschiktheid van de informatiebron voor de informatie die men uit de bron kan halen. Hoe lager de redundantie, des te hoger de nuttige informatie. Deze wordt gegeven door onderstaande uitdrukking: ( ) ( ) De maximale gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool wordt gehaald uit onderstaande uitdrukking: ( ) Invullen van de waarden voor de gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool en de maximale gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool in de uitdrukking voor de waarschijnlijkheidsredundantie geeft als waarde voor de waarschijnlijkheidsredundantie:
Oefening 4 Een bronalfabet a, b, c en d heeft volgende kansen: p(a) = 0.2; p(b)=0.3; p(c)=0.4 en p(d)=0.1. Stel een binaire code op met minimale gemiddelde woordlengte. Wat is de efficiëntie? Gebruik alfabet uitbreiding met uitbreiding tot groepen van twee symbolen. Hoeveel is de efficiëntie nu? Oplossing: 1. Binaire code met minimale gemiddelde woordlengte. De gemiddelde codewoordlengte kan gevonden worden d.m.v. onderstaande uitdrukking, met li de codewoordlengte van codewoord i; (
∑
)
(
)
(
)
In onderstaande uitdrukking wordt de efficiëntie weergegeven met r het aantal symbolen in het broncodealfabet. Aangezien het broncodealfabet binair is, is r gelijk aan 2: ( )
Om de efficiëntie te kunnen bepalen is de gemiddelde hoeveelheid informatie van een symbool nodig. Deze volgt uit onderstaande uitdrukking: ( )
∑
( ( )
Mits invullen van de bekomen gemiddelde hoeveelheid informatie van een symbool, bekomt men dat de efficiëntie gelijk is aan:
2. Alfabetuitbreiding met groepen van twee symbolen
Duo van symbolen dd da ad db bd dc cd aa ab ba ac ca bb bc cb cc
Waarschijnlijkheid 0.01 0.02 0.02 0.03 0.03 0.04 0.04 0.04 0.06 0.06 0.08 0.08 0.09 0.12 0.12 0.16
Code 001110 001111 00110 01110 01111 10110 10111 0010 0110 1010 1110 1111 000 010 100 110
De gemiddelde codewoordlengte kan gevonden worden d.m.v. onderstaande uitdrukking, met li de codewoordlengte van codewoord i; ∑ In onderstaande uitdrukking wordt de efficiëntie weergegeven met r het aantal symbolen in het broncodealfabet. Aangezien het broncodealfabet binair is, is r gelijk aan 2: ( )
Om de efficiëntie te kunnen bepalen is de gemiddelde hoeveelheid informatie van een symbool nodig. Deze volgt uit onderstaande uitdrukking: ( )
∑
Mits invullen van de bekomen gemiddelde hoeveelheid informatie van een symbool, bekomt men dat de efficiëntie gelijk is aan:
Oefening 5 Vind H(X) voor de Markovketen die overeenkomt met een „random walk‟ met een koning over een 3 x 3-schaakbord: 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Wat kun je zeggen over H(X) voor een paard, een toren, een loper (er zijn er twee!), een koningin? Oplossing: Onderstaande afbeelding toont een vereenvoudigde Markovketen van de koning. Men kan eenvoudig zien dat onderstaand diagram symmetrie vertoont. Bijgevolg is er één onderdeel getekend en worden op basis van de subketen de kansen bereken.
Bovenstaand diagram levert volgende vergelijkingen op: ( ( ( (
) ) ) )
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )
| ( ( (
) ( ) ( | ) | ) ( ) ( | ) | ) ( ) ( | ) | ) ( ) ( | ) ( )
Oplossen van bovenstaand stelsel levert op als kansen: P(1)=P(3)=P(7)=P(9)=3/40, P(2)=P(8)=1/8, P(4)=P(6)=1/8 en P(5)=1/5. De gemiddelde hoeveelheid informatie per positie kan als volgt bepaald worden: ( )
∑
Een random walk veronderstelt een oneindig aantal stappen wat tot gevolg heeft dat: 𝐻𝑔 (𝑋)
𝐻 𝑠𝑞
𝑛− 𝑖
𝐻(𝑠𝑖+ |𝑠𝑖 )
𝑛
≈ 𝐻 𝑠𝑞+ 𝑠𝑞
∑ ∑ 𝑃𝑗 𝑃(𝑖|𝑗) 𝑖
𝑃(𝑖|𝑗)
𝑗
( ) Veralgemeend stelt men in elk geval dus een overgangsmatrix op met de kolom die aangeeft uit welk punt er vertrokken wordt en de rij in welk punt men aankomt. Zo is Cij=P(i|j). Om de coëfficiëntenmatrix A op te stellen voor het stelsel dat dient opgelost te worden voor het berekenen van de kansen, dient men eerst de eenheidsmatrix af te trekken van de overgangsmatrix :
Nu heeft men de matrix D opgesteld, die echter lineair afhankelijke rijen heeft. Dit heeft tot gevolg dat er een extra vergelijking nodig is om het stelsel dat dient opgesteld te worden om de kansen te berekenen, één oplossing heeft. Hiertoe kan men één van de axioma‟s van Kolmogorov toepassen die ons vertelt dat de som van de kansen gelijk is aan 1: Men schrijft de coëfficiëntenmatrix bijgevolg als een gepartitioneerde matrix van de matrix D en een rijmatrix B met n elementen die elk gelijk zijn aan 1. 0 1 Het stelsel dat dan uiteindelijk dient opgelost te worden om de kansen te berekenen is: [ ]
Uitbreiding: -Paard: Een paard kan enkel L bewegingen maken. Dit levert onderstaande 9x9 overgangsmatrix op
(|)
[
]
Oplossen van het stelsel dat op analoge wijze als bij de koning kan bekomen worden, levert volgende kansen op: ,
-
Bijgevolg kan de gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool berekend worden als: ( )
∑ ( )
-Toren: De toren kan enkel in horizontale en verticale richting bewegen. Dit levert onderstaande overgangsmatrix op:
(|)
[
]
Oplossen van het stelsel dat op analoge wijze als bij de koning kan bekomen worden, levert volgende kansen op: ,
-
Bijgevolg kan de gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool berekend worden als: ( )
∑ ( )
-Loper: Er zijn twee lopers in het spel: een loper in 1 en een loper in 2. Een loper kan enkel diagonaal bewegen. Beide gevallen worden hieronder behandeld: Loper 1: (enkel bewegen op oneven plaatsen)
(|)
[
]
Oplossen van het stelsel dat op analoge wijze als bij de koning kan bekomen worden, levert volgende kansen op: ,
-
Bijgevolg kan de gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool berekend worden als: ( )
∑ ( )
Loper 2: (enkel bewegen op even plaatsen)
(|)
[
]
Oplossen van het stelsel dat op analoge wijze als bij de koning kan bekomen worden, levert volgende kansen op: ,
-
Bijgevolg kan de gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool berekend worden als: ( )
∑ ( )
Koningin: deze kan zowel horizontaal, verticaal en diagonaal bewegen. Dit levert onderstaande overgangsmatrix op:
(|)
[
]
Oplossen van het stelsel dat op analoge wijze als bij de koning kan bekomen worden, levert volgende kansen op: ,
-
Bijgevolg kan de gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool berekend worden als: ( )
∑ ( )
Oefening 6 Welke van de volgende codes kan nooit een Huffman-code zijn? Oplossing:
{0, 10, 11}=> OK {00, 01, 10, 110} => onvolledige Huffmanboom én niet direct decodeerbaar {01, 10} =>onmogelijk: takken niet volledig én niet direct decodeerbaar
De tweede en derde code leveren geen Huffmancode op, aangezien elke tak een tegenhanger moet hebben, indien er sprake is van een Huffmancodering.
Oefening 7 Er zijn zes flessen wijn, waarvan je weet dat er precies 1 is die slecht geworden is (verschrikkelijk slecht smaakt). De kans dat fles i slecht geworden is, is pi, met 26(p1,p2,p3,p4,p5,p6) = (7,5,4,4,3,3).
Je wil de slechte fles vinden. In welke volgorde moet je de flessen proeven om het aantal proeverijen te minimaliseren? (Denk eraan dat je de laatste niet meer moet testen als de eerste 5 goed waren.) Stel nu dat je wijn mag mengen vooraleer te proeven. Wat is nu het minimum gemiddeld aantal proeverijen nodig om de slechte fles te vinden? Welke mengeling moet je eerst proeven?
Oplossing:
1-2-3-4-5: op basis van de grootste kans op slecht naar de kleinste. Eerste proeven: 11, 12, 21, 32, 23, 24, 42, … Minimum gemiddeld aantal proeverijen nodig om de slechte fles te vinden, wordt gevonden door het bepalen van een Huffmanboom.
De gemiddelde codewoordlengte geeft de maat weer voor het minimum gemiddeld aantal proeverijen nodig na menging.
Oefening 9 De waarschijnlijkheid van voorkomen van de letters in het Engelse alfabet is gegeven door tabel 1.1 in de cursustekst. Welke letter bevat de grootste hoeveelheid informatie? Welke letter bevat de kleinste hoeveelheid informatie? Een bestand bevat een Engelse test van 100 bladzijden met gemiddeld 2000 karkaters (=letters, spaties) per bladzijden. Bereken de gemiddelde hoeveelheid informatie in dit bestand als we veronderstellen dat opeenvolgende karakters onderling onafhankelijk optreden. Veronderstel dat we dit bestand overbrengen met een ASCII-karaktercodering van 8bit*/karakter met een debiet van 1200 symbolen/s, vergelijk dan het transmissiedebiet met het informatiedebiet. Wanneer ik je een woord wil laten raden en i vertel je de eerste letter, welk is dan de beste hint: T of X? Waarom? Oplossing: De hoeveelheid informatie van een letter wordt gegeven door onderstaande uitdrukking ( ) Hieruit volgt dat de letter met de kleinste waarschijnlijkheid de grootste hoeveelheid informatie heeft. Dit is m.a.w. de Z. De letter met de grootste waarschijnlijkheid heeft de kleinste hoeveelheid informatie. Dit is m.a.w. de spatie. De gemiddelde hoeveelheid informatie van dit bestand kan berekend worden door eerste de gemiddelde hoeveelheid informatie per letter te berekenen en die ter vermenigvuldigen met het aantal letters per bestand. De gemiddelde hoeveelheid informatie voor één letter is gelijk aan 4.0786 bit/symbool.
(
)
(
)
Het informatiedebiet kan geschreven worden door onderstaande uitdrukking en geeft als resultaat: (
)
(
)
Het transmissiedebiet is gelijk aan het volgende : ( ) X is een betere hint, omdat deze minder vaak voorkomt dan de T en bijgevolg er ook minder woorden zijn die met een X beginnen, dan dat er woorden zijn die met een T beginnen.
Oefening 10: examenvraag Een discrete informatiebron met geheugen, heeft een alfabet A met 16 symbolen en een totale redundantie van 40%. De bron levert 1000 symbolen/s. We passen broncodering toe met een binair broncode-alfabet B en we bekomen een gemiddelde codewoordlengte van de broncodering van 2.75 bit*symbool uit A. De codewoordlengtes voldoen aan de uitdrukking li=-log2(pi) met pi de kans tot optreden van een symbool ai uit A. Gevraagd 1. Bereken de gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool uit B na de broncodering? 2. Hoeveel symbolen (uit B) worden er per tijdseenheid geleverd? 3. Is het mogelijk het aantal geleverde symbolen (uit B) per tijdseenheid nog verder te verminderen? Zo neen: waarom? Zo ja: hoe? (zonder uit te werken). Oplossing: 1. De gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool kan geschreven worden, d.m.v. het herschrijven van de uitdrukking van de totale redundantie naar de gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool. ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
Aangezien de gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool uit A gegeven wordt door ( ) en dit gecodeerd wordt met gemiddelde lengte L, geldt er : ( )
( )
( )
2. Het transmissiedebiet van B kan geschreven worden als volgt: ( )
( )
3. Wanneer men het transmissiedebiet uit B zou willen verminderen, is het nodig dat de gemiddelde codewoordlengte L wordt verminderd. Wanneer men dit poogt te doen bekomt men het volgende redenering Volgens het broncoderingstheorema geldt: ( )
Hieruit kan men concluderen dat L reeds zijn minimale waarde heeft. Bijgevolg is het onmogelijk om het transmissiedebiet van B te verminderen.
Oefening 11: examenvraag Een rat wordt in een Skinnerbox geplaatst. Een Skinnerbox is een proefopstelling om het leergedrag van proefdieren te onderzoeken: ze is uitgerust met een rode lamp, een groene lamp, een pedaaltje, een toevoergootje voor lekkere hapjes en een sirene. Na een groot aantal proefnemingen noteren we volgende resultaten: 1. Als de groene lamp brandt, duwt de rat gemiddeld in 80% der gevallen binnen de 30s op het pedaaltje en in 20% der gevallen reageert de rat niet binnen de 30S en gaat de rode lamp branden. 2. Als de rode lamp brandt reageert de rat in 80% der gevallen niet binnen de 30s en gaat de groene lamp branden en in 20% der gevallen duwt de rat binnen de 30s op het pedaaltje (rode lamp dooft) 3. Als de rat op het pedaaltje geduwd heeft komt in 30% der gevallen een leker hapje tevoorschijn en loeit de sirene in 20% der gevallen (deze kansverdeling is ingesteld door de onderzoeker die wil nagaan hoe de rat hierop inspeelt). 4. Na het lekkere hapje gaat de groene lamp branden. 5. Na het loeien van de sirene gaat steeds de rode lamp branden. De opeenvolgende toestanden van de Skinnerbox worden automatisch geregistreerd. Gevraagd: 1. Teken het toestandsdiagram. Bereken de kans van elke toestand. 2. Bereken de gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool, de afhankelijkheidsredundantie en de totale redundantie van deze discrete informatiebron met geheugen. 3. Zoek een direct decodeerbare broncodering met de kortst mogelijke codewoordlengte op basis van een binair broncode-alfabet B om de waarschijnlijkheidsredundantie en afhankelijkheidsredundantie zoveel mogelijk weg te werken. 4. Bereken de gemiddelde codewoordlengte L en de efficiëntie van de gevonden broncodering. Waarom is de gevonden efficiëntie zo laag/zo hoog naargelang u minder/meer dan 90% bekomt? Oplossing: 1. Onderstaand diagram toont het toestandsdiagram met de waarschijnlijkheden. G= Groen lampje H= Hapje P= Pedaal S= Schok R= Rood lampje
2. De gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool kan berekend worden door middel van onderstaande uitdrukking. Wanneer men de kansen die men heeft afgeleid uit bovenstaande figuur, invult in onderstaande formule, bekomt men als gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool: ( )
uit A ( | ) ( )[
( ), ( | ) ( | ) ( ) ( | ) ] ( | ) ( | ) ]
( ), ( )[
( | )
( | )-
( | ) ] ( | ) ]
( )[ ( )
De afhankelijkheidsredundantie kan geschreven worden met behulp van onderstaande uitdrukking ( )
( ) ( )
De totale redundantie kan geschreven worden als volgt: ( )
3. Huffmancodering ( ( ( ( ( ( ( (
) ) ) ) ) ) ) )
( ) ( )
( )
Oefening 12: examenvraag Een prof is tijdens de proclamatie op een conferentie, maar wenst via zijn gsm de resultaten te ontvangen van zijn 200 studenten in een zo kort mogelijk bericht. De mogelijke uitslagen en de kans tot optreden zijn: A= niet-geslaagd: p(A)=0.5 B=geslaagd op voldoende wijze: p(B)=0.2 C=onderscheiding: p(C)=0.2 D=grote of grootste onderscheiding: p(D) Gevraagd: 1. Het assistententeam onderzoekt twee broncoderingsmethodes: - Huffmancodering met alfabetuitbreiding naar twee symbolen met een binair broncodealfabet - Huffmancodering met alfabetuitbreiding naar twee symbolen met een ternair broncodealfabet. Zij vergelijken de prestaties van deze twee broncoderingen met de situatie zonder broncodering waarin elk symbool wordt weergegeven door zijn binaire code: A=00, B=01, C=10 en D=11. Bereken voor de twee methodes de gemiddelde codewoordlengte, de efficiëntie en de compressiefactor. Welke methode kies je en waarom? Huffmancodering naar 2 symbolen met een binair broncodealfabet: DD DC DB CD BD CC CB BC BB DA AD CA BA AC AB AA
0.01 0.02 0.02 0.02 0.02 0.04 0.04 0.04 0.04 0.05 0.05 0.10 0.10 0.10 0.10 0.25
Strategie Huffmanboom: trek eerst verbindingen in tabelvorm die “exploderen”, teken nadien Huffmanboom vertrekkende van onder naar boven totdat een tertiaire takstructuur opgebouwd dient te worden om verbinding te maken.
2. De prof analyseert de ontvangen resultaten en ontdekt een afhankelijkheidsredundantie gelijk aan 0.25. Tot welke minimale lengte (bit*) zijn deze 200 resultaten theoretisch te comprimeren? De prof is overtuigd dat zijn studenten niet gefraudeerd hebben; wat denkt hij over de jury als je weet dat de studenten alfabetisch gedelibereerd werden?
Oefening 13: examenvraag We ontleden de examenresultaten in juni 2000 van de studenten 2de kan. Burgerlijk Ingenieur en gebruiken de volgende notaties: N=niet geslaagd of onvolledige zittijd V=geslaagd op voldoende wijze O=geslaagd met odnerscheiding of met hogere graad In de alfabetische deliberatielijst vinden we: 66 studenten N na een student N 37 studenten N na een student V 27 studenten N na een student O 33 V na N, 26 V na V, 29 V na O; 31 O na N, 25 O na V, 24 O na O. Om het probleem eenvoudig te houden zeggen we niets over de uitslag van de eerste student in de rij; we laten hem buiten beschouwing en tellen hem niet mee in het totaal aantal studenten. We beschouwen deze resultatenlijst als een discrete informatiebron met 3 symbolen (N, V en O) en we gaan na of er afhankelijkheid optreedt van een symbool met het vorige symbool. De toestand van de informatiebron die overeenstemt met de uitslag van de eerste student wordt zoals afgesproken buien beschouwing gelaten. 1. Bereken de kansen waarmee de bron overgaat van de ene naar de ander toestand. Bereken de kans waarmee elke toestand optreedt. (hint: het is het gemakkelijkst de kansen zolang mogelijk in breukvorm te houden.) Verifieer je resultaten aan de hand van de vergelijkingen die tussen deze grootheden bestaan. Als je geen correct resultaten kan vinden, kies dan zelf eenvoudige numerieke waarden voor de overgangs-en toestandskansen waarmee je de rest van de vraag oplost. 2. Teken het toestandsdiagram van deze informatiebron met aanduiding van alle kansen. 3. Bereken de waarschijnlijkheidsredundantie en de afhankelijkheidsredundantie van deze bron. Welke conclusie trek je uit de gevonden waarde van de afhankelijkheidsredundantie? 4. We passen Huffmancodering toe met alfabetuitbreiding tot twee symbolen en een binair broncodealfabet. Teken de Huffmanboom en bereken de efficiëntie van deze broncodering.
Oefenzitting 2: Continue informatiebronnen en discretisatie Oefening 1: computersimulaties met Matlab Bij deze oefenzitting hoort een elektronische computersimulatie. Je kan deze vinden op de Toledo-website: http://toledo.kuleuven.ac.be (inloggen met je m-nummer en paswoord-bedien zoals met je mailaccount). Er wordt daar gebruik gemaakt van Matlab (een krachtig rekenprogramma op basis van matrices en vectoren). Dit impliceert dat continue signalen gediscretiseerd en gequantiseerd worden. We verwachten niet dat je Matlab leert programmeren (je zal immers de code niet zien), maar wel dat je de resultaten juist interpreteert. Om deze demo tot een goed einde te brengen heb je best een multimedia pc ter beschikking (met geluidskaart en luidsprekers). De standaard PC die je nu kan kopen, voldoet aan deze eigenschappen. Ook een browser met java-ondersteuning (vanaf Netscape 4.0 en vanaf Internet Explorer 4.0) kunnen handig zijn. Heb je dit niet, dan kan je toch nog de visuele berekeningen zien ,maar kan je je resultaten niet beluisteren. Met deze demo proberen we je de invloed van een faseverschuiving en/of amplitudeverandering op verschillende signalen duidelijk te maken in het tijdsdomein en in het frequentiedomein. Je kan de resultaten visueel interpreteren, maar ook auditief vergelijken.
Probeer eens de uiterste grens van het menselijk gehoor af te tasten. Opgelet dit verschilt van persoon tot persoon! Vergelijk eens met je collega‟s… Wie heeft er het grootste auditief spectrum? Wie kan er vlot hoge tonen horen? Hou rekening met de offset van 430 Hz.
Oefening 2 Bereken de gemiddelde hoeveelheid informatie per bemonstering, het informatievermogen en de waarschijnlijkheidsredundantie van de volgende continue informatiebronnen, waarvan het uitgangssignaal een waarde aanneemt met als verdeling:
− De exponentiële verdeling: ( ) De verdeling p(x) met ,waarbij x1 en x2 onafhankelijke normale stochastische variabelen zijn met gemiddelden en spreiding met i=1,2.
We nemen aan dat opeenvolgende bemonsteringen geen onderlinge afhankelijkheid vertonen Oplossing:
−
De exponentiële verdeling: ( )
Onderstaande uitdrukking geeft de gemiddelde hoeveelheid informatie geleverd door een continue informatiebron X weer. ∫
( )
( )
−
Toegepast op dit geval levert onderstaande integraal op die als resultaat voor de gemiddelde hoeveelheid informatie geleverd door een continue informatiebron X volgend resultaat oplevert: ∫
−
−
−
Het informatievermogen voor een continue informatiebron X, kan als volgt uitgedrukt worden: ( )
De waarschijnlijkheidsredundantie kan geschreven worden als volgt: ( )
( ) ( )
. / (
√
)
− .
De kansverdeling kan geschreven worden als: ( )
/
√
met
en Onderstaande uitdrukking geeft de gemiddelde hoeveelheid informatie geleverd door een continue informatiebron X weer. ∫
( )
( )
−
Dit levert als gemiddelde hoeveelheid informatie geleverd door deze informatiebron: ( )
√
Het informatievermogen voor een continue informatiebron X, kan als volgt uitgedrukt worden: ( )
√
De waarschijnlijkheidsredundantie kan geschreven worden als volgt: ( )
( ) ( )
√ √
(
)
Oefening 3 Veronderstel dat we onderstaande continue signalen willen overbrengen. Bereken het frequentiespectrum, de nul-tot-nulbandbreedte en schets de signalen in het tijdsdomein en in het frequentiedomein. ( ) ( )
( )
( ( )
) (
| |
( )
| |
( )
| |
)
Oplossing: De Fouriertransformatie wordt beschreven door onderstaande integraal: +
( )
∫
( )
−
Dit levert onderstaande integraal op voor het eerste signaal: +
( )
(
∫
)
−
Deze kan herschreven worden door de polaire vorm van het complex getal te schrijven naar de cartesische vorm, dit levert onderstaande uitdrukking op: +
( )
(
∫
)
( )
(
)
(
)
−
+
( )
∫
+
(
)
(
)
(
∫
−
)
(
)
−
( )
∫
( )
(
∫ )
(
(
)
)
Het derde signaal kan dan in het frequentiedomein geschreven worden als: ( )
( )
( ) (
( )
(
( )
( ) ) )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
Oefening 4 1. Een continue informatiebron genereert een analoog signaal x(t) met een frequentiespectrum X(f). Dit signaal wordt bemonsterd aan:
Teken het frequentiespectrum X(f) na bemonstering voor elk geval. Kan het originele signaal gereconstrueerd worden? 2. Elke bemonstering wordt gequantiseerd in één van 256 even waarschijnlijke niveaus. Veronderstel dat opeenvolgende bemonsteringen onafhankelijk zijn van elkaar. Wat is de gemiddelde hoeveelheid informatie per bemonstering? Hoeveel bedraagt het informatiedebiet van de bron? Hoeveel bedraagt het transmissiedebiet van de bron? Oplossing: 1. De Nyquistfrequentie is de minimale frequentie waaraan men moet bemonsteren, opdat er geen informatieverlies is. Het spectrum wordt verschoven en periodisch herhaald in het frequentiedomein a)
b)
c)
2. De Nyquistfrequentie is een minimumfrequentie is de minimale waarde voor de bemonsteringsfrequentie. De gemiddelde hoeveelheid informatie per bemonstering kan geschreven worden als volgt: (
)
( )
( )
Het informatiedebiet is de informatie die doorgegeven wordt per tijdseenheid. Deze kan geschreven worden als het product van de gemiddelde hoeveelheid informatie per bemonstering en de bemonsteringsfrequentie. ( )
(
)
Op bovenstaande wijze kan voor de eerste twee gevallen het informatiedebiet berekend worden: ( ) ( ) Voor het derde geval dient het informatiedebiet berekend te worden via het maximale informatiedebiet: ( )
(
)
Het transmissiedebiet kan uitgedrukt worden door middel van onderstaande formule.
Oefening 5 We vergelijken twee continue informatiebronnen die bestaan uit het spraaksignaal van twee verschillende sprekers, beschouwd aan de uitgang van een microfoon. Het frequentiespectrum van beide spreker sen de kansverdeling voor de amplitude zijn gegeven in onderstaande figuren.
Bereken de hoeveelheid informatie per bemonstering en het maximale informatiedebiet voor beide informatiebronnen, als de quantisatiestap Bereken het vermogen en het informatievermogen van beide signalen. Welke compressieverhouding is er mogelijk als we beide signalen aan 44 kHz bemonsteren en quantiseren met 5bit*/bemonstering? Maak een vergelijking tussen de twee sprekers: gebruikte toonhoogtes en geluidssterkte, monotoon of niet-monotoon en de hoeveelheid informatie per tijdseenheid en het aantal bit*/s. Oplossing: De gemiddelde hoeveelheid informatie kan berekend worden als volgt: ( )
( )
∫
( )
−
Dit levert respectievelijk voor spreker A en spreker B volgende resultaten op: (
)
(
)
De gemiddelde hoeveelheid informatie per bemonstering kan geschreven worden als: (
)
( )
Dit levert respectievelijk voor spreker A en spreker B onderstaande uitdrukkingen op en de respectievelijke resultaten: ( (
) )
( ) ( )
Het maximale informatiedebiet wordt gegeven door onderstaande uitdrukking: ( )
(
)
Dit geeft als maximale informatiedebiet voor A respectievelijk B, volgende uitdrukking: (
) (
(
)
)
(
)
Het vermogen van een continu signaal kan berekend worden als volgt: ( )
∫ −
Dit levert als vermogen voor spreker A, resp. spreker B: *
+
* *
+
*
+
+
Het informatievermogen van een continue informatiebron wordt gegeven door onderstaande uitdrukking: ( )
Uit bovenstaande uitdrukking kan het informatievermogen voor A respectievelijk voor B gehaald worden. ( (
) )
De compressieverhouding kan gezien worden als de verhouding van de hoeveelheid bit* die worden geproduceerd per seconde tot de hoeveelheid informatie in bit per seconde. Er wordt met andere woorden de verhouding van de informatiedebieten, respectievelijk in bit* en bit. Dit levert onderstaande uitdrukking op:
( ) Dit levert voor spreker A, respectievelijk B volgende verhoudingen op:
Oefening 6: examenvraag We beschouwen een analoog muzieksignaal (mono, geen stereo) met frequenties tot 20 kHz. De amplitude van het signaal heeft een kansdichtheid p(x) zoals getekend in de figuur. Figuur We bemonsteren dit signaal met een bemonsteringsfrequentie in overeenstemming met de vuistregel . Het aantal bit*/bemonstering wordt zo gekozen dat de gemiddelde signaal tot quantisatieruis-vermogenverhouding minimum 70 dB bedraagt. Bereken het transmissiedebiet in bit*/s en het informatiedebiet in bit/s. Oplossing: De signaal-tot-kwantisatieruis-vermogenverhouding dient minimum 70dB te bedragen. Onderstaande uitdrukking geeft de signaal-tot-wantisatieruis-vermogenverhouding in functie van het aantal kwantisatieniveaus: ( ) Het transmissiedebiet kan als volgt geschreven worden:
Aangezien de bemonsteringsfrequentie voldoet aan de vuistregel en fm gegeven is, kan men met behulp van het bekomen aantal kwantisatieniveaus, het transmissiedebiet bepalen. √ Het informatiedebiet kan geschreven worden in functie van de bemonsteringsfrequentie en de gemiddelde hoeveelheid informatie per bemonstering. ( )
(
)
De gemiddelde hoeveelheid informatie per bemonstering kan gevonden worden door middel van onderstaande uitdrukking: (
)
( )
Waarbij de kwantisatiestap gevonden kan worden door de verhouding te nemen van het bereik van x bij de kansdichtheid over het aantal niveaus:
En de gemiddelde hoeveelheid informatie kan beschreven worden d.m.v. onderstaande integraal: ( )
∫
( )
( )
−
Dit levert na uitwerken onderstaande oplossing voor H(X): ( )
Invullen van de bekomen tussenresultaten, geeft dat het informatiedebiet gelijk is aan: ( )
(
)
Oefening 7: examenvraag In een digitale camera wordt de invallende lichtsterkte bemonsterd in een rooster van punten (pixels). Bij het bemonsteren wordt de lichtsterkte omgezet in een continue elektrische spanning. Deze spanning heeft een uniforme kansdichtheidsverdeling gaande van 0 tot 250 mV. de gemiddelde hoeveelheid informatie per bemonstering (per pixel) van deze continue informatiebron is bijgevolg 7.97 bit. Verklaar hoe het komt dat deze camera na kwantisatie een transmissiedebiet levert van 12 bit* per bemonstering. (
)
De gemiddelde hoeveelheid informatie na kwantisatie kan geschreven worden als: (
)
( )
De gemiddelde hoeveelheid informatie kan bijgevolg geschreven worden als: ( )
(
)
Een verklaring kan enerzijds gezocht worden in de signaal tot ruisvermogenverhouding: ( )
√
√
Deze is echter hoog, wat betekent dat het effect van de ruis op de gemiddelde hoeveelheid informatie verwaarloosbaar is. Anderzijds kan redundantie zorgen voor waarschijnlijkheidsredundantie is de volgende: ( )
(
het
)
Deze grote redundantie is de verklaring voor dit verschil.
waargenomen
fenomeen.
De
Oefening 8: examenvraag We willen de „Lessen voor de Eenentwintigste Eeuw‟ uitzenden via KotNet. In dit kader onderzoeken we de overbrenging van het spraaksignaal naar de campus KULAK te Kortrijk. We leggen onze kwaliteitseisen vrij hoog omdat we de intonaties en de stemnuances van de sprekers belangrij vinden. Het gemiddeld spraaksignaal is gekarakteriseerd door het frequentiespectrum en door de kansdichtheid op de figuur op p 23. 1. Bereken de gemiddelde hoeveelheid informatie per bemonstering van het in amplitude begrensd spraaksignaal. 2. Bepaal de kwantisatiestap opdat de pieksignaal-tot-kwantisatieruisvermogenverhouding minstens 77 dB zou bedragen. Bereken de gemiddelde hoeveelheid informatie per bemonstering na kwantisatie: vergelijk met het resultaat van punt 1 en verklaar het verschil. 3. Bereken het informatiedebiet en het transmissiedebiet van het gedigitaliseerde spraaksignaal als de bemonsteringsfrequentie gelijk is aan 1.1 maal de minimale bemonsteringsfrequentie. Oplossing:
1. De gemiddelde hoeveelheid informatie per bemonstering kan berekend worden a.d.h.v. onderstaande uitdrukking: ( )
( )
∫
( )
−
Dit levert voor de gegeven kansverdeling onderstaande integraal en het volgende resultaat op: ( )
∫ −
2. De kwantisatiestap opdat de pieksignaal-tot-kwantisatieruis-vermogenverhouding minstens 77 dB zou bedragen, kan op analoge wijze berekend worden als in oefening 6. Het enige verschil is dat men hier de pieksignaal-tot-kwantisatieruisvermogenverhouding heeft. ( ) Eerst dient de pieksignaal-tot-kwantisatieruis-vermogenverhouding geschreven te worden als een getal, met andere woorden de dB wordt weggewerkt:
Bijgevolg kan het aantal kwantisatieniveaus bepaald worden door eerst K te bepalen en de tweedelige logaritme van K te nemen. Dit levert volgend resultaat uit voor het aantal kwantisatieniveaus:
Het bereik van x in de kansverdeling kan afgelezen worden in de gegeven grafiek en is gelijk aan 2. Bijgevolg kan de kwantisatiestap geschreven worden als:
3. De minimale bemonsteringsfrequentie is gelijk aan het dubbele van de bandbreedte die in dit geval gelijk is aan 7 kHz. De bemonsteringsfrequentie kan bijgevolg geschreven worden als:
Het informatiedebiet kan geschreven worden als: ( )
(
)
( ( )
)
Het transmissiedebiet wordt gegeven door onderstaande uitdrukking en is bijgevolg gelijk aan het volgende:
Oefening 9: examenvraag Tijdens EURO 2000 wil de VRT een uitstekende service leveren aan andere T.V.-stations. Alle ideeën zijn welkom. Wij onderzoeken volgend voorstel. De videobeelden worden doorgestuurd met gesproken commentaar in zes talen(Nederlands, Frans, Engels, Duits, Spaans en Italiaans), samen met een getrouwe klankweergave van de sfeer in het stadion. 1. De zes spraaksignalen van de gesproken commentaar worden beperkt tot een maximale frequentie van 4545 Hz. Ze worden zo gedigitaliseerd dat de pieksignaaltot-kwantisatieruis-vermogenverhouding minstens 50dB bedraagt. Bereken het transmissiedebiet dat we theoretisch minimaal nodig hebben om 1 commentatorstem weer te geven! Welk transmissiedebiet zou je hier als ingenieur in de praktijk gebruiken? 2. Het sfeergeluid krijgt een bandbreedte van 0 Hz tot een maximale frequentie fm; Het wordt zo gedigitaliseerd dat de gemiddelde signaal-tot-ruisvermogenverhouding minstens 96 dB bedraagt. We geven aan het sfeergeluid hetzelfde transmissiedebiet als het debiet dat je in de praktijk toepast voor de zes commentatorstemmen samen (vorig onderdeel). Tot welke waarde fm kunnen we het sfeergeluid weergeven? Oplossing: 1. Door middel van de uitdrukking van vermogenverhouding, kan K bepaald worden:
de
pieksignaal-tot-kwantisatieruis-
( ) Het transmissiedebiet kan geschreven worden d.m.v. onderstaande uitdrukking. Aangezien de maximale frequentie gegeven is (4545Hz), kan d.m.v. de vuistregel de bemonsteringsfrequentie bepaald worden. Bijgevolg bekomt men als transmissiedebiet: ( Als ingenieur hanteert men de vuistregel dat dus stel dat:
)
en voor K een geheel getal, (
)
2. In dit geval dient de gemiddelde signaal-tot-ruisvermogenverhouding minimaal 96 dB te bedragen. Dit leidt tot onderstaande uitdrukking: ( ) Aangezien het transmissiedebiet nu zes maal het transmissiedebiet dient te zijn, dat berekend werd in vorige deelvraag, bekomt men volgende uitdrukking voor de bemonsteringsfrequentie:
Bovenstaande bemonsteringsfrequentie invullen in de vuistregel, betreffende het verband tussen bemonsteringsfrequentie en maximale frequentie, levert onderstaande maximale frequentie op:
Oefenzitting 3: Discrete en continue transmissiekanalen Oefening 1 Veronderstel een bron die 4 symbolen A,B,C en, D genereert, aan een tempo van 100 symbolen/s. De symbolen worden gegenereerd met een even grote waarschijnlijkheid: ( )
( )
( )
( )
We zullen van een dergelijk communicatiesysteem eerst een aantal karakteristieken berekenen, zoals het informatiedebiet van de bron, de symboolfoutenkans en de kanaalmatrix, de kanaalcapaciteit, de equivocatie (of twijfel) en de irrelevantie bij de informatieoverdracht en de maximale hoeveelheid overgebrachte informatie. Oplossing: De gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool gegenereerd door de bron, wordt gegeven door: ( )
(
∑
)
(
)
Het informatiedebiet van de bron is bijgevolg gelijk aan: ( )
( )
De modulator zorgt ervoor dat de discrete symbolen worden omgezet in discrete golfvormen die over het kanaal worden verzonden. Bij ontvangst worden de discrete golfvormen terug herkend als symbolen door de demodulator. Door ruis in het kanaal is er echter een verschil tussen de golfvormen die door de modulator over het kanaal worden verzonden en de golfvormen die door de demodulator worden ontvangen. Hierdoor kan de demodulator een ander symbool “herkennen” dan de modulator gemoduleerd had.. Dit resulteert in een foutenkans per symbool, die wiskundig wordt voorgesteld door voorwardelijke waarschijnlijkheden. Eigenlijk zijn dit „overgangswaarschijnlijkheden‟ van een verzonden symbool x(aantal m) nar een ontvangen symbool y (aantal n) die gerangschikt worden in de kanaalmatrix Q die gekend wordt verondersteld:
,
-
[
]
De irrelevantie is de gemiddelde onzekerheid over het ontvangen symbool yj als we weten welk symbool xi we versturen (de onzekerheid vanuit de zender): ( | )
∑∑ ( )
(
)
De equivocatie of twijfel is de gemiddelde onzekerheid over het verstuurde symbool x i als we een symbool yj ontvangen. (de onzekerheid vanuit de ontvanger) ( | )
( | )
∑∑
Om dit te kunnen evalueren, moet de stochastiek van de uitgangssymbolen q(yj) gekend zijn:
∑ ( )
*
+
Evenals de kans dat een symbool xi werd uitgezonden als yj ontvangen wordt, pij: ( ) ( ) De matrix die de blokcode specifieert, wordt dan geschreven als:
[
]
Dit geeft voor de equivocatie: ( | )
(
)
De gemiddelde hoeveelheid overgebrachte informatie R kan op twee manieren berekend worden: -Vanuit de bron, volgens R=gemiddelde hoeveelheid informatie door de bron gegenereerd – equivocatie ( )
( | )
(
)
-Vanuit de ontvanger, volgens 4=gemiddelde hoeveelheid informatie van de ontvangen informatiestroom-irrelevantie. ( )
∑
(
)
De berekening van R vanuit de ontvanger wordt bijgevolg: ( )
( | )
(
)
Afgerond wordt er dus 1627 bit/s informatie van zender naar ontvanger overgebracht. Vergeleken met het informatiedebiet van de bron, die potentieel zou overgebracht kunnen worden, is dit 81%. De overige 19% gaat verloren door onzekerheid in de overbrenging via het kanaal. De symboolfoutenkans voor de verbinding, kan eveneens op twee manieren berekend worden -vanuit de ontvanger: ∑
,
( | )-
∑ ( ),
( | )-
-vanuit de zender:
Oefening 2 We wensen de binaire symbolen over te brengen langs een analoog telefoonkanaal met een − transmissiedebiet van 900 symbolen/s en een symboolfoutkans Ps We beschikken over een modem die discrete golfvormen genereert die kunnen overgebracht worden langs het telefoonkanaal. De modem biedt drie verschillende transmissiedebieten van 900,1800, 2700 golfvormen/s met respectievelijk een kans op foutieve detectie van ontvangen golfvorm: −
−
−
We kiezen een eenvoudige herhalingscode: elke golfvorm wordt driemaal herhaald, k=1, n=3, . De mogelijke codewoorden zijn 00, 001, 010, 100, 011, 101, 110, 111. Terwijl de geldige kanaalcodewoorden beperkt zijn tot 000 en 111. We decoderen met een eenvoudige meerderheidsregel: twee of meer nullen in een codewoord is gelijk aan nul, twee of meer enen in een codewoord is gelijk aan één. Deze decodering leidt tot een juiste beslissing als niet meer dan één golfvorm door de ruis foutief ontvangen wordt. De waarschijnlijkheid van een foute beslissing, is de symboolfoutkans Ps: (
) −
−
−
− −
−
Terwijl het netto-transmissiedebiet repsectievelijk gelijk is aan 300;600.900 symbolen/s. De werking van de kanaalcodering is duidelijk; we voegen controlesymbolen toe, het nettotransmissiedebiet neemt af met de coderingsefficiëntie, maar de symboolfoutkans wordt gereduceerd beneden de drempelwaarde terwijl het nettotransmissiedebiet de vereiste 900 symbolen/s haalt. Het is duidelijk dat niet alle fouten gedetecteerd en gecorrigeerd worden. We kunnen ook het onderscheid maken tussen foutdetectie en foutcorrectie. We hebben gepoogd de fouten te detecteren en te corrigeren. Dit leidt tot onjuiste beslissingen als meer − dan één golfvorm fout ontvangen werd en tot een symboolfoutkans van bij een nettotransmissiedebiet van 900 symbolen/s. Het volstaat ook de fouten proberen te detecteren en bij detectie van fouten om heruitzending te vragen. Hier worden enkel 000 en 111 geaccepteerd; in alle andere gevallen wordt een fout gedetecteerde en wordt heruitzending gevraagd. Men komt enkel tot een onjuiste beslissing als de drie symbolen foutief zouden ontvangen zijn: (
−
)
−
Bij een brutotransmissiedebiet van 2700 symbolen/s. Het nettotransmissiedebiet is moeilijker te berekenen. De ontvanger heeft tijd nodig om heruitzending te vragen bij ontdekking van fouten, waardoor het uitzenden vertraging oploopt.
Oefening 3 We beschouwen een (6,3)-blokcode met als generatormatrix: | | |
[
]
Oplossing: De symbolen gegenereerd door de bron worden verdeeld in blokken van k=3 symbolen. De codevectoren tellen n=6 symbolen. Er zijn 2k=23=8 mogelijke boodschappen: (000),(001), (010), (011), (100), (110), (111). De codevector horend bij de boodschap U=(011) wordt bepaald met: (
| | |
)[
]
(
)
Op analoge manier kunnen de andere 7 codevectoren berekend worden: ( ( ( ( ( (
) ) ) ) ) )
( ( ( ( ( (
) ) ) ) ) )
Het voorbeeld illustreert de generatie van codevectoren. In de praktijk bewaart de encoder de G-matrix in zijn geheugen en voert modulo-2bewerkingen uit op de blokken van k symbolen om de (n-k) controle symbolen te genereren. Er kan gemakkelijk nagegaan worden dat een codewoord C, gegenereerd door de generatormatrix G voldoet aan de vergelijking . De pariteitscontrolematrix wordt gebruikt in de decoder. Veronderstel dat we de codevector langs een kanaal overbrengen. De ruis veroorzaakt eventueel fouten en we ontvangen de vector Y=C+F met F een foutvector. De ontvanger kent noch C, noch F. Maar we verwachten dat C uit Y wordt opgevist en dat we uit C de oorspronkelijke boodschap U kunnen terugvinden. De decoder bepaalt de foutsyndroomvector van Y, dit is een (n-k) rijvector, gegeven door: (
)
Als Y een geldige codevector is vinden we een foutsyndroomvector gelijk aan nul. =De codevector horend bij de boodschap U=(011) is C=(011110). Voor deze codevector is de foutsyndroomvector S= (000). Als we C zonder fout ontvangen beslist dat C een geldige codevector is.
Uit C=(011110) leidt de decoder de boodschap af U=(011). Veronderstel dat er tijdens de overdracht een fout optreedt in het laatste symbool van C: (
)
De foutsyndroomvector S=(001) is verschillend van nul en stemt overeen met de zede rij uit als de fout optreedt in het zesde symbool van C. In dit geval kan de fout gedetecteerd en gecorrigeerd worden!
Oefening 4 Een bron genereert de symbolen x1 en x2, met waarschijnlijkheid p(x1) =0.3 en p(x2)=0.7. Het transmissiedebiet bedraagt 1.25x106 symbolen/s. De informatiestroom wordt over een transmissiekanaal gestuurd met kanaalmatrix: [ Bereken: -
]
0
1
De stochastiek van de ontvangen informatiestroom Het informatiedebiet van de bron en van de ontvangen informatiestroom De irrelevantie en de equivocatie van de informatieoverdracht De gemiddelde foutenkans voor de symbolen y1 en y2 De gemiddelde hoeveelheid overgebrachte informatie, zowel absoluut als procentueel ten opzichte van de gemiddelde hoeveelheid informatie van de bron en ten opzichte van de gemiddelde hoeveelheid informatie van de ontvangen informatiestroom.
Oplossing: -
De stochastiek van de ontvangen informatiestroom wordt gegeven door onderstaande uitdrukking: ∑ ( ) Bijgevolg kan dit geschreven worden als: ( ) ( )
-
( ) ( )
( ) ( )
De gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool gegeneerd door de bron: ( )
∑
Het informatiedebiet gegenereerd door de bron kan geschreven worden als: ( )
-
( )
−
De gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool van de ontvangen informatiestroom: ( ) ( )
∑ ( )
−
-
De irrelevantie is de gemiddelde onzekerheid over het ontvangen symbool yj als we weten welk symbool xi we versturen (de onzekerheid vanuit de zender): ( | )
-
∑∑ ( )
De equivocatie kan geschreven worden als: ( | )
∑∑
En aangezien geldt dat:
( ) ( )
Bijgevolg is de equivocatie gelijk aan 0.5508 bit/symbool.
-
De gemiddelde foutenkans voor de symbolen y1 en y2, kan gevonden worden op twee manieren: ∑
-
,
( | )-
∑ ( ),
( | )-
De gemiddelde hoeveelheid overgebrachte informatie kan geschreven worden als: ( )
( | )
( )
( | )
Procentueel voor de bron: ( ) Procentueel voor de ontvangen informatiestroom: ( )
Oefening 5 1.) Beschouw de discrete informatiebron “gooien met een dobbelsteen”, en het discrete transmissiekanaal met als ingang de bovenkant van de dobbelsteen en als uitgang de onderkant. Wat zijn H(X), H(Y|X), R en de capaciteit van dit kanaal? Eerst wordt de kanaalmatrix geschreven voor het beschouwde kanaal:
[
]
De gemiddelde hoeveelheid informatie aan de ingang: ( )
∑
De gemiddelde hoeveelheid informatie van een uitgang Y gegeven ingang X, wordt gegeven door onderstaande uitdrukking en is gelijk aan nul, aangezien wanneer men de ingang (de bovenkant van de dobbelsteen) kent, er geen twijfel bestaat over het resultaat aan de uitgang (de onderkant van de dobbelsteen), aangezien hier slechts één mogelijkheid voor is.. : ∑∑
De gemiddelde hoeveelheid informatie aan de uitgang kan geschreven worden als: ( )
∑
De gemiddelde hoeveelheid overgebrachte informatie wordt gegeven door: ( )
( | )
( )
Aangezien voor elke kansverdeling geldt dat ( | ) ook Dit betekent dat de capaciteit gelijk is aan: ( )
( ) maximaal is, is
2.) Idem voor het kanaal met als ingang de bovenkant van de dobbelsteen en als uitgang de voorkant Eveneens wordt de kanaalmatrix voor dit kanaal opgesteld:
[
]
De gemiddelde hoeveelheid informatie aan de ingang: ( )
∑
De irrelevantie wordt gegeven door onderstaande uitdrukking en is gelijk aan nul, aangezien wanneer men de ingang (de bovenkant van de dobbelsteen) kent, er geen twijfel bestaat over het resultaat aan de uitgang (de onderkant van de dobbelsteen), aangezien hier slechts één mogelijkheid voor is. : ( | )
∑∑
De gemiddelde hoeveelheid informatie aan de uitgang kan geschreven worden als: ( )
∑
De gemiddelde hoeveelheid overgebrachte informatie wordt gegeven door: ( )
( | )
( )
Aangezien voor elke kansverdeling geldt dat ( | ) ook Dit betekent dat de capaciteit gelijk is aan: ( )
( ) maximaal is, is
Oefening 6 Stel je hebt n munten waaronder er misschien 1 vals is, d.w.z. dat hetzij lichter hetzij zwaarder is dan een “goede”. De munten kunnen met een balans gewogen worden. 1. In hoeveel mogelijke toestanden kan zo een set munten zich bevinden? Tel anderzijds ook hoeveel verschillende uitkomsten een opeenvolging van k wegingen kan geven. Vergelijk deze te tellen en leid hieruit een bovengrens af op n zodat k wegingen volstaan om een eventuele valse munt te vinden. 2. Vind een wegingsstrategie voor k=3 en n=12 (doordenkertje)
Oefening 7 Gegeven p(x,y)=1/3 voor (x,y)=(0,0), (1, 0), (0,1) en p(1,1)=0. Bereken H(X), H(Y), H(Y|X), H(X,Y), H(Y)-H(Y|X). Er wordt gebruik gemaakt van volgende formules: (
)
( ) ( | )
( )
∑ (
)
Dit leidt tot volgende kansen: ( Aangezien (
)
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( | ), kan de kanaalmatrix als volgt opgesteld worden: ( ) ( )
( | )
[
]
Bijgevolg kan de gemiddelde hoeveelheid informatie aan in en uitgang geschreven worden als: ( )
( )
De irrelevantie wordt dan geschreven als: ( | )
(
)
∑∑ ( )
∑ (
)
(
)
De gemiddelde hoeveelheid overgebrachte informatie per symbool kan dan geschreven worden als:; ( )
( | )
Oefening 8 Er wordt gevraagd om de informatieoverdracht in bit/s te maximaliseren in functie van het transmissiedebiet f: ( ) ( ) Hierin stelt R(f) de gemiddelde hoeveelheid overgebrachte informatie voor. De grafiek van ( ) leert ons dat R maximaal is, als f=0. Alle symbolen worden dan foutloos voergedragen. De factor f wordt maximaal als f gaat naar fmax. Het maximum van ( ) dient een compromis te vormen tussen deze twee factoren. Deze gegevens worden gebruikt om de kanaalmatrix Q(f) op te stellen: -
De grafiek leert ons dat: ( )
-
Foutief ontvangen symbolen zijn allen even waarschijnlijk: ( )
Dit levert ons onderstaande kanaalmatrix op:
[
]
Het informatiedebiet is gegeven door: ( ( )
( | ))
Eerst worden de kansen ( ) berekend: ∑ ( ) Bijgevolg kan H(Y) bepaald worden, deze is gelijk aan bepaald worden. Dit doet men als volgt: ( | )
∑∑ ( )
. Eveneens kan de irrelevantie
(
(
)
Bijgevolg kan dit ingevuld worden in de formule voor het informatiedebiet: ( )
(
(
)
)
)
Oefening 9 We willen een continu signaal doorzenden en we vergelijken tee draadloze verbindingen -
Verbinding „SAT‟ verbindt 2 satellieten met elkaar en de verbinding situeert zich dus volledig in de ruimte. De omgevingstemperatuur is er 4 K en de verzwakking tussen verzonden en ontvangen signaal is 130 dB.
-
Verbinding „RAD‟ verbindt twee radiostations po aarde en de verbinding verloopt volledig door de atmosfeer. De temperatuur op aarde bedraagt 300K de signaalverzwakking over de verbinding bedraagt 30 dB.
Beide verbindingen benutten een bandbreedte van 10 MHz en een zendvermoen van 2 W. Bereken de capaciteit van beide verbindingen; Oplossing:; In het schema voor continue transmissiekanalen onderscheiden we de volgende signalen: ( )
( )
( )
( )
Het begrip signaalverzwakking duidt op de verhouding tussen het vermogen van het uitgezonden signaal x en het vermogen van het uitgangssignaal u.
Om de capaciteit te berekenen, wordt er gebruik gemaakt van de formule van Shannon: (
)
Voor de verbinding „SAT‟ levert dit volgende capaciteit op: (
)
(
)
(
)
Voor de verbinding „RAD‟: (
)
Oefening 10 We beschikken over een verbinding met een oneindige bandbreedte, een zendvermogen van 1mW, een signaalverzwakking van 30 dB. De benodigde energie per bit informatieoverdracht is Tot welke bandbreedte mogen we de oneindige bandbreedte reduceren om nog 1% van de kanaalcapaciteit te benutten? Maak hierbij de veronderstelling dat de signaaltot-ruis-verhouding bij ontvangst groot is… Hint: de vergelijking geeft als numerieke oplossing ≈ Oplossing: Er is gegeven dat de capaciteit van het kanaal met gereduceerde bandbreedte 1% is van de capaciteit van het kanaal met een oneindige bandbreedte. Dit levert onderstaande uitdrukking op: ( ) Op beide leden kan de formule van Shannon toegepast worden. Voor de oneindige bandbreedte geldt dat:
Dit leidt tot onderstaande uitdrukking: (
)
Verandering naar de ln levert: : ( Stel
)
en aangezien r>>1: ≈
Uit de hint volgt dan dat:
Aangezien men voor het gemiddelde ruisvermogen kan stellen dat: −
−
Het zendvermogen is gegeven en is gelijk aan:
Eveneens de signaalverzwakking is gegeven: −
De bandbreedte kan dus bepaald worden als:
Dit levert de minimale bandbreedte op die volstaat om 1% van de kanaalcapaciteit te benutten:
Oefening 11 We beschikken over een kanaal met bandbreedte B, ruistemperatuur T (met resulterende ruisvermogendichtheid n0 =k.T) en ontvangen signaalvermogen Pu. Noem C de capaciteit van het kanaal met beperkte bandbreedte B, en de capaciteit bij onbeperkte bandbreedte: (
)
Definieer nu ηB als de verhouding van C en , dit wil zeggen als een soort rendement van kanaalcapaciteit die we halen bij een beperkte bandbreedte ten opzichte van de maximaal haalbare kanaalcapaciteit bij onbeperkte bandbreedte: .
/
Bemerk dat enkel afhangt van de signaal-tot-ruisvermogenverhouding bij ontvangst. Schets als functie van de signaal-tot-ruisvermogenverhouding en als functie van de ruistot-signaalvermogenverhouding. Is het logisch dat klein wordt als de signaal-tot-ruisvermogenverhouding groot wordt? Interpreteer in de ene grafiek de grootheid ( ).B als cte.B, waarbij cte de eenheid van s heeft. Het lijkt zo dat, als we groot willen maken, we ofwel een grote bandbreedte B dienen te nemen of dat de constante groot moet zijn. Hieruit kunnen we concluderen dat, hoe meer het kanaal ruis toevoegt aan het signaal, hoe kleiner de bandbreedte dient te zijn om als oneindige bandbreedte beschouwd te worden. Kan je dit logisch en/of gevoelsmatig verklaren? Oplossing: Indien
: ( )
(
)
(
)
In het eerste geval geldt dus dat: ( ) ( ) Wat dus ook gestaafd wordt door de grafiek voor het eerste geval:
Indien
: ( )
(
)
In het tweede geval geldt dus dat: ( ) ( ) Wat gestaafd wordt door onderstaande grafiek:
(
)
Het is logisch dat
daalt als de signaal-tot-ruis-vermogenverhouding daalt, want (
Aangezien als
steiler is dan
.
)
/ , kan men besluiten dat
domineert en dat
daalt,
stijgt.
De capaciteit kan geschreven worden door de formule van Shannon: (
)
(
)
-
Als naar oneindig gaat, dan wordt de capaciteit ( gebeurt bij ofwel een zeer grote bandbreedte, ofwel bij een zeer grote ruis.
). Dit
-
is de ondergrens voor de capaciteit van het kanaal. Als de ruis groot is, dan is de capaciteit kleiner. De capaciteit is dan dichter bij de ondergrens, war betekent dat de bandbreedte kleiner dient te zijn!
Oefening 12: examenvraag Een discrete informatiebron A genereert vier verschillende symbolen a,b,c en d met als kans tot optreden respectievelijk 0.1, 0.2, 0.3 en 0.4. Elk symbool wordtvoorgesteld door 2 bit*, namelijk a=00, b=01, c=10 en d=11. 1. De totale redundantie van de bron A bedraagt 0.2. Verklaar hoe dit mogelijk is! Bereken de gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool geleverd door de bron. 2. Veronderstel dat de bit* worden overgebracht langs een discreet transmissiekanaal waarbij de kans dat een 0 omslaat in een 1 gelijk is aan 0.05 en de kans dat een 1 omslaat in een 0 gelijk is aan 0.03. Bepaal de kanaalmatrix van dit kanaal voor de vier symbolen a,b,c en d. De numerieke uitwerkingen voor de elementen van de eerste rij volstaat. 3. De gemiddelde hoeveelheid overgebrachte informatie per symbool kan bepaald worden via 2 verschillende uitdrukkingen. Zijn ze hier beide toepasbaar? Waarom wel of niet? Schrijf de uitdrukking uit die u wenst te gebruiken en geef aan hoe elke term berekend wordt en vul alle symbolen van het probleem in. U hoeft dit niet verder numeriek uit te rekenen. 4. Hoeveel bedraagt de gemiddelde bit*foutkans en de gemiddelde symboolfoutkans bij overdracht langs het discreet transmissiekanaal uit punt 3? Is de symboolfoutkans het dubbele van de bit*foutkans of niet? Waarom? Oplossing: 1. De totale redundantie van de bron A bedraagt 0.2 en wordt gegevend oor onderstaande uitdrukking. ( )
( ) ( )
De gemiddelde hoeveelheid informatie per symbool van de informatiebron en de maximale hoeveelheid informatie per symbool kunnen zo geschreven worden dat de totale redundantie gelijk is aan : ( )
( ) ( )
Hieruit kan men halen dat: ( )
De totale redundantie kan geschreven worden in functie waarschijnlijkheidsredundantie en de afhankelijkheidsredundantie. (
)(
van
de
)
De waarschijnlijkheidsredundantie kan geschreven worden als: ( ) Bijgevolg kan de afhankelijkheidsredundantie bepaald worden: ( ) (|)
2. De kanaalmatrix ziet er als volgt uit:
[
]
3. De gemiddelde hoeveelheid overgebrachte informatie per symbool kan volgens onderstaande uitdrukkingen bepaald worden: ( )
( | )
( )
( | )
De twee uitdrukkingen zijn toepasbaar. Voor de eerste uitdrukking geldt het volgende: ( )
)
( | )
∑∑ ( ) , ( ) ( ) ( )-
( ) ( ) Voor de tweede uitdrukking geldt: ( )
∑ ( )
( | )
∑∑ ( )
4. De gemiddelde bit*foutkans kan geschreven worden als: ̅
( ) ( | )
( ) ( | )
De gemiddelde symboolfoutkans kan geschreven worden als: ∑ ( ), ( ), ,
( | )-
( | )( ), ,
( | )-
( ), ,
( | )-
( ), ,
( | )-
Dit komt niet overeen met twee keer de gemiddelde bit*foutkans. Want de gemiddelde bit*foutkans is de fout die het kanaal in het algemeen dat op een bit onafhankelijk van de waarschijnlijkheid waarmee de 1 en 0 komen. De gemiddelde symboolfoutkans geeft de kans dat een symbool uitgezonden wordt en dat men een van de drie anderen ontvangt! Als men bv a=00 uitzendt en b=01 krijgt, dan is het totaal fout als men het symbool bekijkt maar enkel “half” fout als men de bit* bekijkt (de eerste bit* van het symbool is juist).
Oefenzitting 4: Fysische transmissiekanalen en Basisbandtransmissie Oefening 1 Ook deze oefenzitting wordt elektronisch ondersteund met een computersimulatie die je vindt op Toledo: http://toledo.kuleuven.ac.be (inloggen met je s-nummer en paswoord). Net zoals de vorige computersimulatie wordt er gebruik gemaakt van Matlab. In deze demo laten we de invloed van filtering op verschillende signalen zien. Ook auditief kan je de verschillende signalen vergelijken.
Het menselijk oor is eigenlijk ook een filter, waarbij de sart- en de stopfrequentie niet nauwkeurig gedefinieerd zijn. Kan je de ontstane vervorming, ontstaan door de filtering, eigenlijk wel horen? Waaraan kan je horen dat het signaal vervormd is?
In de telefooncentrale wordt het signaal op een soortgelijke manier gefilterd om de bandbreedte te beperken en signalen te kunnen multiplexen. De grenzen van deze filter zijn al vele tientallen jaren geleden vastgelegd. Moest je mogen kiezen, zou je dezelfde grenzen nemen? Hou er rekening mee dat te kleine bandbreedte het signaal te veel vervormt, en dat te grote bandbreedte een te groot verlies is (bij multiplexing bijvoorbeeld).
Oefening 2 1.Vergelijk een radioverbinding met een coaxiale kabel voor gegevensoverdracht tussen twee vaste punten, i.f.v. de afstand. De radioverbinding wordt gerealiseerd met isotrope antennes. Voor de karakteristieken van de kabel wordt naar de cursus verwezen. De draaggolffrequentie is in beide gevallen 50 MHz. De verzwakking A kan geschreven worden als: | ( )| Voor de coaxiale kabel levert dit het volgende op: (
)
Voor de radioverbinding wordt verondersteld dat deze gerealiseerd wordt met een isotrope straler: (
)
(
)
Aangezien voor een isotrope straler het ontvangvermogen wordt geschreven als:
kan de verzwakking voor de radioverbinding als volgt geschreven worden: (
)
De golflengte kan bepaald worden door het toepassen van het verband tussen frequentie en golflengte voor een elektromagnetische golf:
Zo kan de verzwakking van de radioverbinding uiteindelijk geschreven worden als: (
)
(
)
2.Stel dat we twee antennes met een maximale winst van 10 dB elk ter beschikking hebben, wat is het effect op het ontvangen vermogen?
Het ontvangvermogen kan dan geschreven worden als:
De verzwakking voor de radioverbinding kan geschreven worden als: (
)
De curve wordt 20 dB naar beneden verschoven. De snijding tussen radio en coax is bijgevolg verder. 3.Interpreteer uw resultaten fysisch:
Welke verbinding is het beste voor zeer grote afstanden? Bij grote afstand is de verzwakking van de coaxkabel groter dan die van een radioverbinding. Daarom is voor hogere frequenties een radioverbinding te verkiezen boven een coaxiale kabel. Aradio<0 voor zeer kleine R. Wat betekent dit? R kan niet te klein zijn.
Oefening 3 Vergelijk een radioverbinding met een coaxiale kabel voor gegevensoverdracht tussen twee vaste punten, in functie van de frequentie. De radioverbinding wordt gerealiseerd met twee isotrope antennes. Voor de karakteristieken van de coaxiale kabel wordt naar de cursus verwezen. De afstand tussen zender en ontvanger is 7km. Verklaar uw antwoord aan de hand van de verzwakkingsfunctie van beide kanalen. Oplossing: Zie figuur p „7 voor coaxiale kabel. Voor de radioverbinding kan de verzwakkingsfunctie geschreven worden als volgt: (
)
(
)
Aangezien voor een isotrope straler het ontvangvermogen wordt geschreven als:
kan de verzwakking voor de radioverbinding als volgt geschreven worden: (
)
(
)
Aangezien R=7km, kan dit geschreven worden als:
De golflengte kan bepaald worden door het toepassen van het verband tussen frequentie en golflengte voor een elektromagnetische golf:
Zo kan de verzwakking van de radioverbinding uiteindelijk geschreven worden als: (
)
(
−
)
Bij lage frequenties is de coaxiale kabel beter dan de radioverbinding<. Bij hoge frequenties is de radioverbinding te kiezen De kantelfrequentie kan iteratief bepaald worden, deze is ongeveer gelijk aan 20 MHz.
Oefening 4 Een continu analoog signaal x(t) wordt overgebracht langs een kanaal met overdrachtsfunctie H(f). Welk signaal u(t) krijgt de ontvanger? ( )
(
| ( )|
)
(
)
| |
| ( )|
| |
| ( )|
| |
Oplossing: De sinusfunctie is een onevenfunctie, wat betekent dat de oorsprong het symmetriecentrum is. De Fouriergetransformeerde van een sinusimpuls dient genomen te worden. Er zijn twee frequenties in x(t): Aangezien 400 Hz<600 Hz, wordt het signaal niet verzwakt op deze frequentie. De component aan 400 Hz van het ingangssignaal wordt onverzwakt doorgezonden. Er geldt echter dat 600Hz<800Hz<1000Hz. Bijgevolg wordt de component aan 800Hz wel verzwakt. Het uitgangssignaal kan geschreven worden als: ( )
(
)
( )
(
)
(
(
) (
)
)
Oefening 5 Een continue informatiebron produceert een uitgangssignaal x(t) met een frequentiespectrum X(f) zoals in de figuur, waarbij fm=20 kHz. We wensen dit signaal over te brengen via een kabel over een afstand van 12 km. De kabel heeft een verzwakkingskarakteristiek zoals in de figuur p49. Kunnen we het analoge signaal x(t) langs deze kabel overbrengen in basisband, dus zonder modulatie? Het zendvermogen is 1mW en de ruistemperatuur bij ontvangst is 300K. Is de capaciteit van dit basisbandkanaal voldoende om het signaal x(t) over te brengen na digitalisatie als we kwantiseren met 4 bit*/bemonstering? Waaraan is de gemiddelde signaal-tot-ruis-verhouding na ontvangst gelijk, indien de transmissie op de kabel foutloos verondersteld wordt. Oplossing; Analoge basisbandtransmissie is onmogelijk, aangezien het signaal verzwakt wordt tot 18 kHz en geen componenten met grotere frequentie dan 18 kHz. Vervolgens wordt de digitale transmissie nagegaan. De maximale capaciteit van het kanaal wordt gegeven door de formule van Shannon: (
)
De bandbreedte is gegeven in de figuur op p 49 en is gelijk aan:
Het ruisvermogen voor thermische ruis wordt gegeven door onderstaande uitdrukking: −
−
De verzwakking wordt als volgt geschreven: (
)
−
(
−
)
De maximale capaciteit is bijgevolg gelijk aan het volgende:
Aangezien het aantal bit* per golfvorm n gelijk is aan 4 bit*/bemonstering, kan het transmissiedebiet geschreven worden als volgt:
Daar worden.
is, kan het transmissiedebiet berekend
Aangezien het transmissiedebiet kleiner is dan de maximale capaciteit, kan men besluiten dat digitalisering mogelijk is. De gemiddelde signaal-tot-ruis-verhouding kan bepaald worden door onderstaande uitdrukking: ( ) ( )
Oefening 6 Via een radioverbinding willen we het telefoonboek Herentals-Leuven-Mechelen foutvrij doorsturen van Brussel naar Leuven. Wat is de minimale tijd waarin we onze informatie zonder codering doorgestuurd krijgen? Vergelijk het bekomen resultaat met de tidj die een typische modem op een telefoonkanaal zou nodig hebben, en interpreteer. Gegevens over de radioverbinding: 2 antennes met
Gegevens over het telefoonboek:
Veronderstel dat we een 64-tal symbolen moeten kunnen doorsturen (cijfers, letters, hoofdletters, spatie,/) die met een even grote waarschijnlijkheid voorkomen. Vereenvoudigd kunnen we het telefoonboek beschouwen als een bron zonder geheugen. Oplossing: De capaciteit bij ideaal gedrag wordt gegeven door de capaciteit van Shannon: (
)
Het ruisvermogen kan geschreven worden in termen van thermische ruis als: −
−
Het ontvangen vermogen kan geschreven worden in termen van de winstfactoren, gegeven in de probleemstelling: (
)
−
De maximale capaciteit is dus gelijk aan:
Aangezien men te maken heeft met 64 verschillende symbolen, dus 64 verschillende golfvormen, kan het aantal bit*/symbool geschreven worden als:
De gemiddelde hoeveelheid informatie per boek kan geschreven worden als volgt: (
)
De tijd nodig om een boek te verzenden kan dan bepaald worden als:
In een typische modem is de capaciteit lager dan de bekomen capaciteit (28.8 kbit/s). Dit levert volgende tijd op: ≈ Dit kan geïnterpreteerd worden als volgt. Aangezien de capaciteit lager is bij een modem is dit te verklaren door ofwel een bandbreedte die lager is, ofwel de signaal-tot-ruisvermogenverhouding die lager is, ofwel een combinatie van de twee. De signaal-tot-ruisverhouding is zeker kleiner, want bij een typische modem is er extra ruis aanwezig. Ook dient er opgemerkt te worden dat een codering met 46 tekens per abonnee weinig efficiënt is.
Oefening 7 Een parabolische radarantenne (frequentie 10 GHz, diameter D = 3m, efficiëntie = 90% en opgenomen vermogen = 10 kW) straalt naar een vliegtuig op 10km afstand. Dit vliegtuig met een effectief ontvangoppervlak Ae = 20m² weerkaatst het ontvangen vermogen zoals een isotrope straler. Welk vermogen ontvangt de radarantenne van de weerkaatsing van het vliegtuig? Indien de ruistemperatuur bij ontvangst 300 K is, hoeveel informatie kan via het vliegtuig weerkaatst worden in 1 kHz bandbreedte? Oplossing: Eerst wordt de radiovergelijking toegepast op de eerste stap van de informatieoverdracht: het signaal wordt nl. verzonden van de grondantenne naar het vliegtuig:
De winstfactor voor het verzenden kan geschreven worden als:
De winstfactor voor het ontvangen kan geschreven worde als:
Bijgevolg kan het ontvangvermogen aan het vliegtuig geschreven worden als:
Vervolgens wordt de radiovergelijking toegepast op de tweede stap van de informatieoverdracht: het signaal wordt nl. verzonden van het vliegtuig naar de grondantenne. Aangezien men te maken heeft met twee evenwijdige isotrope antennes, is de winstfactor bij het verzenden gelijk aan 1 en het ontvangvermogen in de eerste fase is gelijk aan het zendvermogen in de tweede fase.
Bijgevolg is het ontvangen vermogen gelijk aan: −
Het ruisvermogen voor thermische ruis kan geschreven worden als: −
De maximale capaciteit wordt gegeven door: (
)
Oefening 8 Een bitstroom * + wordt in basisband doorgezonden. De golfvormen zijn van de vorm u‟(t), met . Het transmissiedebiet is . De generator levert golfvormen met amplitude +1 of -1 V, respectievelijk bij een binaire 1 of 0. Schets de puls in tijds-en drequentiedomein. Schets het signaal x(t) dat de generator levert om het codewoord c uit te zenden in tijds-en frequentiedomein. Wat is de vereiste bandbreedte? (
( )
)
( (
) )
Oplossing: Figuren: zie p 51! Het aantal bit*/golfvorm is gelijk aan 1, bijgevolg is het transmissiedebiet in golfvormen /seconde of in baud, kan geschreven worden als:
De bemonsteringsfrequentie is gelijk aan het dubbele van de maximale frequentie en kan geschreven worden als:
De bandbreedte kan geschreven worden als: (
)
Oefening 9: examenvraag Van het transmissiekanaal tussen de Mars Pathfinder en een grondstation op aarde zijn de volgende gegevens bekend: de afstand is 192.106 km, de winst van de zendantenne aan boord van de Mars Pathfinder is 25 dB, de frequentie van de draaggolf is 8.43 GHz, de diameter van de ontvangantenne op aarde is 70m en de efficiëntie is 0.9. De effectieve ruistemperatuur bij ontvangst in het grondstation is 20K en het transmissiedebiet is 11.06 kbit*/s. De modulatie heeft een efficiëntie van 1.5 (bit*/S)/Hz. Met welk vermogen moet de zender aan boord van de satelliet het gemoduleerde signaal uitzenden opdat bij ontvangst een gemiddelde signaal-tot-ruis-vermogenverhouding van 10 dB gehaald wordt?
Oefening 10: examenvraag Een muziekuitvoering wordt opgenomen met een microfoon die aan de uitgang een elektrische spanning levert. Het microfoonsignaal bevat ook additieve witte ruis, in vermogen begrensd en Gaussisch verdeeld. Het muzieksignaal is eveneens in vermogen begrensd, heeft een Gaussisch verdeelde kansdichtheid (met ) en bezit een frequentiespectrum met frequenties van 0 tot en met 15 kHz. De totale redundantie van deze continue bron x is 0.2. De signaal-tot-ruis-vermogenverhouding is 90 dB. 1. Bereken de gemiddelde hoeveelheid informatie per bemonstering van het microfoonsignaal, de waarschijnlijkheidsredundantie en de afhankelijkheidsredundantie. Hebben de berekende hoeveelheden informatie per bemonstering een absolute of een relatieve waarde? Waarom? 2. Bereken het maximale informatiedebiet per seconde van dit continue signaal als de kwantisatiestap 1mV bedraagt. 3. Het continue microfoonsignaal wordt analoog overgebracht via een kanaal van de overdrachtsfunctie (inclusief filters aan zend- en ontvangstzijde) gegeven is in bijgaande figuur. Het kanaal introduceert additieve witte Gaussische ruis met een equivalente ruistemperatuur van 1000K. Bereken de versterking van de ideale versterker (die zelf helemaal geen ruis toevoegt) die nodig is aan zendzijde om aan ontvangstzijde een signaal-tot-ruisvermogenverhouding van 70 dB te bekomen. Mag deze versterking ook aan ontvangstzijde worden toegepast in plaats van aan zendzijde? Geef een argumentatie voor uw antwoord. 4. Ter vergelijking bestuderen we de overbrenging van hetzelfde signaal onder digitale vorm langs hetzelfde kanaal. -
-
-
Bepaal de bemonsteringsfrequentie die u als ingenieur zou toepassen Bepaal het aantal bit*/bemonstering dat nodig is om een pieksignaal-totkwantisatieruis-vermogenverhouding te bekomen aan bronzijde van minstens 70 dB, in de veronderstelling dat alle kwantisatiewaarden met dezelfde waarschijnlijkheid optreden. Heeft het beschikbare kanaal, met dezelfde bandbreedte en met dezelfde signaaltot-ruis-vermogenverhouding als onder 3 (zonder versterker), voldoende capaciteit om deze bitstroom over te brengen? Zo ja, dan gebruiken we deze bandbreedte, o neen, dan gebruiken we de maximale bandbreedte die volgens u kan gebruikt worden. We vetrekken van een golfvorm met factor en berekenen het vereiste aantal bit*/golfvorm en ronden dit getal af naar boven. Bereken met deze keuzes de vereiste signaal-tot-ruis-vermogenverhouding aan de uitgang opdat de kans op foutieve detectie van een golfvorm kleiner zou zijn dan − .
Oplossing Gaussisch verdeelde ruis met standaarddeviatie van 10 mV en de frequentie begrepen tussen de 0 en 15 Hz. De totale redundantie is eveneens gegeven en is gelijk aan 0.2. de signaal-totruisvermogenverhouding is gelijk aan 90 dB, wat overeenkomt met 109 1. De maximale gemiddelde hoeveelheid informatie per bemonstering kan geschreven worden als: ( )
√
√
De totale redundantie kan geschreven worden d.m.v. onderstaande uitdrukking: ( ) ( )
( )
( )
De gemiddelde hoeveelheid informatie per bemonstering kan geschreven worden als: +
( )
( )
∫
( )
−
De gemiddelde hoeveelheid informatie na kwantisatie daarenboven wordt gegeven door: . (
)
( )
De waarschijnlijkheidsredundantie uitdrukking:
kan
bepaald (
worden
door
onderstaande
) ( )
De afhankelijkheidsredundantie is dan: .
Deze waarden zijn relatieve waarden, aangezien de redundantie geen echte eenheid heeft. 2. Het maximale informatiedebiet wordt bepaald door onderstaande uitdrukking: (
)
(
)
3. Het ruisvermogen kan geschreven worden als: −
De bandbreedte is gelijk aan de maximale frequentie bij dit basisbandkanaal. Bijgevolg geldt:
Het vermogen van het signaal kan bepaald worden door de uitdrukking van de signaaltot-ruis-vermogenverhouding te herschrijven. −
Het zendvermogen is gelijk aan de variantie: −
Het ontvangvermogen kan geschreven worden als, zodat de versterking kan bepaald worden:
De versterking is dus gelijk aan ongeveer 13 dB, waaruit volgt dat de versterking aan beide zijden mag gebeuren voor de vermogens. Er dient wel opgemerkt te worden dat als het aan de ontvangstzijde gebeurt, het ook de ruis zal versterken. 4. Eerst wordt de bemonsteringsfrequentie bepaald a.d.h.v. de ingenieursvuistregel:
De pieksignaal-tot-kwantiisatieruis-vermogenverhouding dient minstens 70 dB te bedragen en wordt bepaald door onderstaande uitdrukking: √
( )
Vervolgens wordt bepaald hoeveel bit*/bemonstering er nodig is. Dit doet men als volgt:
De maximale capaciteit vastegelegd door Shannong is gelijk aan: (
)
Het transmissiedebiet dat volgens ons “design” zou bereikt worden is het volgende:
De capaciteit van het kanaal is te laag voor dit transmissiedebiet. Dit betekent dat ons “design” te veeleisend is en men de maximale bandbreedte dient te gebruiken voor het design: stel n=10 bit*/bemonstering, dan zal de capaciteit van het kanaal wel volstaan! Het aantal bit* /golfvorm met factor
:
De signaal-tot-ruisvermogenverhouding dient zo bepaald te worden zodat de symboolfoutkans kleiner is dan − . De symboolfoutkans kan geschreven worden als: (
)
(
√
)
√
( ) Vervolgens kan men de signaal-tot-ruisverhouding bepalen door onderstaande transcendente vergelijking numeriek op te lossen: ( )
−
Oefenzitting 5: Doorlaatbandtransmissie en Multiplexen Oefening 1 De computersimulatie die deze laatste oefenzitting ondersteunt, vind je op Toedo: http://toledo.kuleuven.ac.be . Ook hier maken we gebruik van Matlab. We tonen de invloed aan van modulatie en demodulatie op de verschillende signalen; niet alleen met figuren in tijdsdomein en frequentiedomein maar ook door de resultaten te laten horen. -
Is de vervorming groot bij kleine verschillen tussen modulatie- en demodulatiefrequentie? Hoe neem je de ontstane vervorming waar? Denk je dat het zinvol is om vermogen uit te sparen door de draaggolf niet mee te sturen?
-
Is het nuttig om de signalen te moduleren en achteraf te demoduleren? Kan je een of meerdere toepassingen verzinnen voor deze demodulatie?
-
Oefening 2 Een analoog signaal heeft een bandbreedte van 18 kHz. Dit signaal moet overgebracht worden zodat een gemiddelde signaal-tot-ruisvermogenverhouding gehaald wordt van 50 dB. Het basisbandkanaal dat ter beschikking staat heeft een nuttige bandbreedte van 100 kHz met een signaal-tot-ruis-verhouding van 20 dB. Wat stelt u voor? Geef ook een verantwoording. Oplossing: Eerst wordt nagegaan of het mogelijk is het signaal analoog te versturen. Dit betekent dat er eerst moet nagegaan worden of het signaal binnen de band breedte van het kanaal past. Aangezien de bandbreedte van het signaal 18 kHz is en dat van het kanaal 100 kHz, past het signaal in het kanaal en is aan deze voorwaarde voldaan. Anderzijds dient er nagegaan te worden of het kanaal de signaal-tot-ruisverhouding kan garanderen die nodig is voor het signaal. De gemiddelde signaal-tot-ruisverhouding van het signaal is 50dB, terwijl dat van het kanaal 20dB bedraagt. Dit betekent dat het kanaal slechts een verhouding van 20 dB kan garanderen en dat dit dus niet volstaat om het signaal volledig over te brengen. Er kan besloten worden dat het niet mogelijk is om het signaal analoog over te brengen. Vervolgens wordt er nagegaan hoe het signaal discreet, dus gedigitaliseerd, kan overgebracht worden. Dit houdt het bemonsteren en kwantiseren van het analoog signaal in. Een van de meest belangrijke factoren is de gemiddelde signaal-tot-ruis-vermogenverhouding, die voor het signaal gelijk is aan 105.. De gemiddelde signaal-tot-ruisvermogenverhouding wordt gegeven door onderstaande uitdrukking. ( ) Er zijn dus 316 kwantisatieniveaus en de hoeveelheid bit*/bemonstering is dan gelijk aan 9bit*/bemonstering. De bemonsteringsfrequentie wordt bepaald d.m.v. de ingenieursvuistregel:
Het transmissiedebiet kan geschreven worden als volgt:
Vervolgens wordt nagegaan hoe het signaal dient gemoduleerd te worden. Hiertoe worden n en gebruikt als ontwerpparameters. Eerst wordt n gekozen, zodanig dat aan de formules voldaan wordt (n zo klein mogelijk en een geheel getal). Nadien wordt zo groot mogelijk gekozen. Zo geldt voor het transmissiedebiet met n=2 dat:
Voor de bandbreedte van het basisbandkanaal betekent dit dat:
Als verantwoording wordt de bitfoutkans bij 20dB SNR genomen. De bitfoutkans kan geschreven worden als: (
)
(√
)
Aangezien geldt dat:
kan de bitfoutkans geschreven worden als:
(√
)
Daarenboven kan Q(z) geschreven worden als: −
( )
√
Zodat men voor de bitfoutkans het volgende bekomt . √ Deze bitfoutkans is verwaarloosbaar.
√
/
−
Oefening 3 Stel we willen 100 kbit*/s over een doorlaatband kanaal doorzenden, gebruik makend van een modulator, die de golfvormen met moduleert via 4-QAM op een draaggolf van 100 MHz. Wat is de vereiste bandbreedte? Wat is de golffoutkans bij 10 dB signaal-tot-ruisverhouding? Oplossing: De signaal tot ruisverhouding is gelijk aan 10 W wat overeenkomt met 10dB. Men wil 4 golfvormen moduleren, zodat M = 4=2n, zodat n=2 bit*/golfvorm. Het transmissiedebiet in baud kan geschreven worden als:
De bandbreedte voor een doorlaatbandkanaal kan geschreven wordan als: (
)
De golffoutkans kan eveneens geschreven worden d.m.v. de Q-functie:
(√
)
Of uitgewerkt voor de Q-functie: −
√
−
Oefening 4 Een ISDN aansluiting bevat 2B kanalen en 1D kanaal. Elk B kanaal levert 64 kbit*/s en het D kanaal 16 kbit*/s. Omwille van fysische realiseerbaarheid moeten er nog eens 48 kbit*/s extra code toegevoegd worden. Van deze bitstroom wordt één tijdsmultiplex signaal gemaakt: de bit* van beide B kanalen worden byte per byte afwisselend doorgezonden en na elke byte data van een B volgt 1bit* D kanaal data en 3 bit* extra code. Schets dit tijdsmultiplex signaal. Een binaire 1 wordt voorgesteld als een signaal van 0 V, een binaire 0 door afwisselend positieve en een negatieve puls (pseudo ternaire code). Welke bandbreedte is nodig om het bekomen signaal in basisband met door te zenden? De netwerkoperator wenst van verschillende lijnen de B kanalen te multiplexen en in doorlaatband over te brengen. Hij gebruikt hiervoor 16-QAM op een draaggolf van 100 MHz. Welke bandbreedte is nodig om 32 B kanalen over te brengen ( )? Oplossing: B1
B1
B1
B1
B1
B1
B1
B1
D
E
E
E
B2
B2
B2
B2
B2
B2
B2
125 𝜇𝑠𝑒𝑐
Bovenstaand tijdsmultiplexsignaal levert onderstaand transmissiedebiet op:
De bandbreedte kan geschreven worden als:
Voor 32B kanalen geldt:
De bandbreedte kan geschreven worden als:
B2
D
E
E
E
B1
B1
Oefening 5: examenvraag We ontwerpen een glasvezelverbinding voor een transmissiedebiet van 622 Mbit*/s. We gebruiken een monomode glasvezel met een verzwakking gelijk aan 0.2 dB/km. De laser in de zender produceert licht met een golflengte van 1588 nm. De informatie wordt overgebracht door middel van aan-uitmodulatie; we gebruiken golfvormen met factor . Er wordt een − bit*foutkans kleiner of gelijk aan gevraagd. De uitdrukking van de bit*foutkans is bij aan-uitmodulatie dezelfde als bij overdracht in basisband. De ruistemperatuur is bepaald door de fysische temperatuur van het aardoppervlak. We veronderstellen de temperatuur van het aardoppervlak gelijk aan 20°C. Veronderstel dat de verbinding wordt opgebouwd uit drie segmenten, elk met een lengte van 30 km. Op het einde van het eerste en het tweede segment wordt een versterkeer geplaatst met een versterking gelijk aan de verzwakking in het vorige segment. De ruis die het signaal na ontvangst vergezelt , wordt mee versterkt en mee uitgezonden. We veronderstellen dat elke versterker ideaal is en zelf geen ruis toevoegt. Bereken het vereiste zendvermogen. Wat is de capaciteit? Oplossing: Het ruisvermogen kan geschreven worden als: (
)
( (
−
Stel V=A=0.2 dB/km .30km=4, dan geldt het volgende:
(
)
(
)
(
)
) )
Oefening 6: examenvraag Tijdens EURO 2000 worden vanuit elk voetbalstadion televisie-en audiosignalen gedigitaliseerd doorgestuurd naar Amsterdam. In elk stadion staan 4 TV-camera‟s, 14 microfoons voor achtergrondgeluid en 30 microfoons voor commentatoren. Elke TV-camera heeft een transmissiedebiet van 20Mbit*/s na compressie. Elke microfoon levert een audiosignaal dat 26400 maal per s bemonsterd wordt en waarbij 16 bit*/bemonstering worden toegepast bij de kwantisatie. 1. Leg uit hoe u de 44 audiosignalen zou multiplexen in de tijd tot één enkele bitstroom. Laat hier de T.V.-signalen buiten beschouwing. 2. We analyseren de overbrenging van de totale bitstroom (T.V.- en audiosignalen) van Brussel naar Amsterdam via een straalverbinding van 150 km. De draaggolffrequentie is 3 GHz. Aan zend -en ontvangstzijde hebben we telkens een paraboolantenne met een diameter van 3m en een efficiëntie van 0.8. Het uitgezonden vermogen is in elke sprong 5 W. We gebruiken een bandbreedte van 20 MHz en een 64 QAM modulatie. Neem aan dat er additieve witte Gaussische ruis is met een equivalente ruistemperatuur van 300 K. -
-
Bepaal de maximale waarde van de factor die in de golfvorm kan aangewend worden. Schets de golfvorm zo nauwkeurig mogelijk in tijdsdomein en frequentiedomein. Bepaal de signaal-tot-ruis-vermogenverhouding en verifieer of de kans op foutieve detectie van de ontvangen golfvorm beter is dan 10-6.
3. Als alternatief beschikken we over een monomode glasvezel (lengte 150 km) met 100 MHz beschikbare bandbreedte en een vezwakking van 0.35 dB/km. -
Kan de globale bitstroom van dit kanaal worden overgebracht met aanuitmodulatie? Verklaar uw antwoord! Verifieer of 2mW zendvermogen voldoende is als de golflengte 1.25 m bedraagt en we een bitfoutkans van 10-9 wensen?
Oplossing: 1. Er worden 44 signalen beschouwd. De bemonsteringsfrequentie kan geschreven worden als: −
Het tijdsverschil (multiplexen in de tijd) kan geschreven worden als volgt: −
2. - Het totale transmissiedebiet kan geschreven worden als de som van dat van de camera‟s en dat van de microfonen: (
)
Aangezien men te maken heeft met 64 QAM modulatie is M=64 en n=6, zodat het transmissiedebiet gelijk is aan:
Eveneens kan uit de uitdrukking voor de bandbreedte, ( -
bepaald worden:
)
De draaggolffrequentie bedraagt 3 GHz, de golflengte kan als volgt bepaald worden:
Het oppervlak kan bepaald worden als:
De winstfactor is dan:
Aangezien het zendvermogen gelijk is aan 5 watt, de straal gelijk aan 150 km en het ruisvermogen beschreven kan worden door de formule voor de thermische ruis ( ), geldt : −
De signaal-tot-ruisverhouding kan geschreven worden als: − −
De foutkans is dan: ( )
(√
Aangezien geldt dat: −
−
Daar gegeven is dat er gewerkt wordt met 64 QAM, is z gelijk aan 704, waaruit volgt dat de foutkans ongeveer gelijk is aan nul. 3. -Monomode glasvezel heeft als straal 150dm, oppervlakte 0.35 dB/km en een bandbreedte van 100MHz. Aangezien deze monomode is, is n=1 bij aan-uit-modulatie. Het transmissiedebiet wordt dan geschreven als:
Theoretisch geldt dan dat :
-Het zendvermogen is gelijk aan 2 mW en dit staat tegenover een symboolfoutkans van − De symboolfoutkans is gelijk aan (cursustekst 9.9).
−
er
zijn
De energie van een foton kan geschreven worden als: −
De frequentie kan geschreven worden d.m.v. de dispersierelatie:
Het ontvangvermogen kan geschreven worden als: −
Het totale oppervlak kan geschreven worden als:
Het zendvermogen kan genslotte geschreven worden als:
Oefening 7: examenvraag TETRA5+Terrestrial Trunked Radio) is de nieuwe Europese standaard voor private draadloze telecommunicatiesystemen, te vergelijken met GSM voor de purblieke mobiele telefonie. Het systeem bestaat essentieel uit één of meerdere basisstations en een aantal mobiele terminals (b.v. taxi‟s). Er zijn verschillende frequentiebanden gestandaardiseerd, b.v. van 410 tot 420 MHz voor de verbinding van de mobiele terminals naar het basistation en van 420 tot 430 MHz voor de verbinding van het basisstation naar de mobiele terminals. We ontleden de verbinding van een mobiele terminal naar het basisstation. IN de frequentieband van 410 tot 420 MHz wordt frequentie-multiplexing toegepast. De informatiesignalen worden gemoduleerd op draaggolffrequenties die 25 kHz uit elkaar liggen. Het zendvermogen is 1 W per draaggolf en de zendantenne is te beschouwen als een isotrope straler. De antenne van het basisstation heeft een winst van 1.76 dB in de richting van de mobiele terminal. De maximale afstand is 25km. De antenneruistemperatuur is 293 K. De modulatie is een 4-QAM, gebaseerd op faseverschuivingen over 90°. Het informatiesignaal voor één draaggolf bestaat iot vier gedigitaliseerde spraaksignalen die via tijdsmultiplexing zijn samengevoegd. Elk spraaksingaal krijgt om de beurt een tijdslot toegewezen met een duur van 14.16665…. ms waarin 510 bit* doorgestuurd worden. Van de 510 bit* zijn er 288 echte spraakbit*, 144 toegevoegde bit* voor kanaalcodering en 78 toegevoegde bit* voor synchronisatie, e.d. Elk spraaksignaal moet 1 op 18 van zijn tijdslots volledig afstaan voor controle- en signaleringsdoeleinden. Als transmissiekanaal beschouwen we in de volgende vragen het kanaal dat wordt ingenomen door 1 gemoduleerde draaggolf als we de frequentiebanden van de verschillende gemoduleerde draaggolven tegen elkaar laten aansluiten. Kies de meest ongunsstig gelegen draaggolf. 1. Bereken d e theoretische capaciteit, het bruto en het nettotransmissiedebiet van het transmissiekanaal. 2. Bepaaln de factor van de golfvorm die de beschikbare bandbreedte van het transmissiekanaal volledig opvult. Teken de golfvorm in het tijdsdomein en in het frequentiedomein (vermeld duidelijk de karakteristieke grootheden op de figuren). 3. Bereken de coderingsefficiëntie van de kanaalcodering en het nettotransmissiedebiet per spraaksignaal. 4. Met hoeveel dB mag het signaal extra verzwakt worden opdat de kans op een foutieve golfvorm kleiner zou blijven dan − 5. Schets de tijdsmultiplexing van de vier spraaksignalen en vergelijk met de tijdsmultiplexing die we uitgelegd hebben in de theorielessen: wat is het belangrijkste verschil? Ziet u een reden voor dit verschil?
Oefening 8: examenvraag Wij onderzoeken of het haalbaar is een nieuw faxnetwerk te configureren waarmee we figuren in kleur kunnen doorsturen. 1. We rekenen met 1140 lijnen per A4 pagina en 1731 punten per lijn. Het faxtoestel kan acht verschillende kleuren onderscheiden per punt; we vermelden tussen haakjes de kans tot optreden van elke kleur: wit(0,47), zwart (0,47), vermiljoenrood(0,01), karmijnrood(0,01),grasgroen(0,01), kanariegeel(0,01), oker(0,01) en marineblauw(0,01). We veronderstellen dat deze discrete informatiebron geen geheugen heeft. Het faxtoestel detecteert in elk punt(=pixel) de juiste kleur en zet dit om naar een bitstroom. Bereken het aantal bit* per pagina dat we theoretisch minimaal nodig heben als we er in slagen alle redundantie weg te werken. In het verdere verhaal passen we geen broncodering en geen kanaalcodering toe: hoeveel bit* per pagina moeten we doorsturen? 2. De eigenschappen van een digitale telefoonlijn zijn gekend: een bitstroom van 64000 bit*/s in basisband. Voor een vlotte detectie zonder problemen met intersymboolinterferentie kiezen we de factor .
Bereken de tijd nodig om één A4-pagina door te sturen. Bereken de benodigde bandbreedte. Teken de golfvormin tijds- en frequentiedomein: vermeld alle relevante grootheden bij de figuur en benoem de assen
3. In de opwaartse verbinding van een kabelnet vinden we kanalen met een bandbreedte van 600 kHz in doorlaatband met een signaal-tot-ruis-vermogenverhouding van 20dB; golfvormen met een factor worden er met 4-QAM gemoduleerd op een draaggolf.
Bereken de theoretische maximale capaciteit van een dergelijk kanaal. Bereken de tijd die nodig is voor de transmissie van één A4-pagina met het beschikbare transmissiedebiet. Bereken de kans dat een golfvorm foutief ontvangen wordt.
4. Tenslotte onderzoeken we een draadloos toegangsnetwerk. We beschikken over een zendvermogen van 1 mW, de antennewinst aan ontvangstzijde is 3dB, aan zendzijde 0 dB. De maximale afstand tussen gebruiker en basisstation is 5 km, de draaggolffrequentie is 1.8 GHz. De beschikbare bandbreedte is 5 kHz en de systeemruistemperatuur is 293K.
Bereken het ontvangen vermogen, bereken het ruisvermogen. Bereken de minimale tijd die vereist is om één A4-pagina door te sturen als we de theoretisch maximale capaciteit zouden benutten.
5. Welke configuratie heeft je voorkeur als je weet dat je in het kabelnetwerk eht beschikbare kanaal deelt op een faire basis met andere gebruikers (gemiddeld 50 actieve gebruikers, hetgeen betekent dat je gemiddeld slechts gedurende één vijftigste van de tijd aan de beurt komt)? Graag enige toelichting.
