IDENTIFIKASI KARAKTERISTIK HAZARD RATE DISTRIBUSI GENERALIZED EXPONENTIAL (Skripsi)
Oleh MERDA GUSTINA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
ABSTRAK
IDENTIFIKASI KARAKTERISTIK HAZARD RATE DISTRIBUSI GENERALIZED EXPONENTIAL
Oleh
Merda Gustina
Analisis survival (survival analysis) atau kelangsungan hidup atau analisis kesintasan bertujuan menaksir probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan, kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu. Distribusi dari waktu kelangsungan hidup terdiri dari tiga fungsi yaitu Fungsi Kepekatan Peluang (fkp), Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function), dan Fungsi Kegagalan (Hazard). Dari ketiganya dapat dikaji bentuk Hazard Rate pada distribusi Generalized Exponential menggunakan aturan Glaser. Distribusi Generalized Exponential mempunyai empat bentuk hazard rate yaitu meningkat (increasing), menurun (decreasing), konstan, dan upside-down bathtub. Kata Kunci: Distribusi Generalized Exponential, Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function), Laju Kegagalan (Hazard Rate).
ABSTRACT
IDENTIFICATION CHARACTERISTIC HAZARD RATE GENERALIZED EXPONENTIAL DISTRIBUTION
By
Merda Gustina
Survival Analysis is commonly used in predicting the probability of survival, recurrence of disease, death and others event until a certain time period. Survival time is the data that measure time to a certain event. The distribution of survival times is usually described or characterized by three functions: the probability density function, the survival function, and the hazard function. Therefore, Of the three can be studied form of Hazard Rate on Generalized Exponential distribution using rules Glaser. The characteristic Hazard Rate Generalized Exponential distribution are increasing, decreasing, constant and upside-down bathtub.
Key Word: Generalized Exponential Distribution, Survival Function, Hazard Rate.
IDENTIFIKASI KARAKTERISTIK HAZARD RATE DISTRIBUSI GENERALIZED EXPONENTIAL
Oleh MERDA GUSTINA
Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
RIWAYAT HIDUP Penulis di lahirkan di Tanjung Karang, Bandar Lampung tepatnya pada tanggal 26 Agustus 1994, sebagai putri ke pertama dari pasangan Bapak Marzuki dan Ibu Siti Sundari.
Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Al-Azhar 2 Bandar Lampung pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 08 Bandar Lampung pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 13 Bandar Lampung pada tahun 2012.
Pada tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika, melalui jalur SNMPTN Tulis. Selama menjadi mahasiswa, penulis bergabung di Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) yang diamanahkan sebagai Anggota Kesekretariatan periode 2013-2014 dan Himpunan NATURAL yang diamanahkan sebagai Anggota Kaderisasi periode 2013-2014.
Pada bulan Januari 2015 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Badan Pusat Statistika Provinsi Lampung guna mengaplikasikan ilmu yang telah didapatkan sewaktu kuliah. Pada bulan Juli 2015 penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Candra Jaya, Kecamatan Tulang Bawang Tengah, Kabupaten Tulang Bawang Barat.
KATA INSPIRASI
“Do the best, be good, then you will be the best” Lakukan yang terbaik, bersikaplah yang baik maka kau akan menjadi orang yang terbaik
Andai kegagalan adalah bagaikan hujan, dan kesuksesan bagaikan matahari, maka kita butuh keduanya untuk bisa melihat pelangi.
Jika kita memang harus kalah, jangan lebih dari sehari. Rebut kemenangan itu besok
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap Alhamdulillahirobil’alamin serta dengan segala syukur, rahmat, dan hidayah serta karunia Allah SWT dapat memberikanku kesempatan untuk menuntut ilmu di Universitas Lampung.
Teruntuk Ayah dan Bunda ku tercinta Setulus hatimu Bunda, searif arahanmu Ayah Doamu hadirkan keridhaan untukku, petuahmu tuntunkan jalanku Pelukmu berkahi hidupku, diantara perjuangan dan tetesan doa malam mu Dan sebait doa telah merangkul diriku, menuju hari depan yang cerah Kini diriku telah selesai dalam studi sarjana Dengan kerendahan hati yang tulus, bersama keridhaan-Mu ya Allah, Kupersembahkan karya tulis ini untuk yang termulia, Ayah... Bunda...Mungkin tak dapat selalu terucap, namun hati ini selalu bicara,sungguh ku sayang kalian
Dan yang terkasih adikku (Rido Kurniawan) walaupun sering bertengkar namun hal itu akan selalu menjadi warna yang tak tergantikan dan terima kasih dukungan yang selalu diberikan untukku.
“Tanpa keluarga, manusia, sendiri di dunia, gemetar dalam dingin.”
SANWACANA
Alhamdulilahirabbil’alamin dengan rasa syukur kehadirat Allah SWT serta rahmat dan karunia Nya skripsi ini dapat diselesaikan. Skripsi dengan judul “IDENTIFIKASI
KARAKTERISTIK
HAZARD
RATE
DISTRIBUSI
GENERALIZED EXPONENTIAL” disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) di Universitas Lampung.
Selesainya
skripsi ini, adalah juga berkat motivasi dan pengarahan serta bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan banyak terima kasih kepada: 1.
Ibu Dian Kurniasari S.Si., M.Sc., selaku Dosen Pembimbing 1 yang telah meluangkan waktu dan membimbing penulis selama menyusun skripsi.
2.
Bapak Warsono Ph.D, selaku Dosen Pembimbing 2 yang telah memberi banyak masukan dan arahan kepada penulis selama menyusun skripsi.
3.
Bapak Amanto, S.Si., M.Si, selaku Dosen Pembahas yang memberi masukan dan evaluasi kepada penulis selama menyusun skripsi.
4.
Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D, selaku Pembimbing Akademik yang telah mengarahkan penulis dari awal sampai lulus kuliah.
5.
Bapak Drs. Tiryono Rubby, M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
6.
Bapak Prof. Warsito, S.Si., DEA., Ph.D, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas lampung
7.
Dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung yang telah memberikan ilmu serta bantuan kepada penulis.
8.
Ayah, Bunda dan Adik ku tersayang yang telah memberikan motivasi, do’a, dan kasih sayang yang begitu besar serta dukungan moril maupun materil kepada penulis.
9.
Sahabat yang sudah seperti keluarga Lina Nur Baiti, Anisa Rahmawati, Grita Tumpi Nagari, Naelu Rasyida, Hana Ayu Masha, Sella Nofriska dan Citra Anggana yang selalu ada dan setia menemani saat suka maupun duka penulis saat menempuh pendidikan di Universitas Lampung.
10. Sahabat sedari dulu hingga sekarang Anisa Rahmawati, Nina Rosita, Rizky Samty, Devi Anggraini, Nida Amalia yang selalu memberikan motivasi kepada penulis. 11. Sahabat sekaligus teman seperjuanganku selama mengerjakan skripsi Mutia Adillah atas kebersamaan dalam susah senang disaat proses pembuatan skripsi. 12. Sahabatku Maria Reni Harnani dan Putri Mulia Lestari yang selalu memberikan dukungan baik suka maupun duka selama menyelesaikan skripsi ini. 13. Teman-teman angkatan 2012 yaitu Gery, Yefta, Ernia, Putri, Elva, Dwi, Erni serta teman-teman yang lain yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang selalu memberikan motivasi dan dukungan dalam menyelesaikan skripsi ini. 14. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu, atas peran dan dukungannya dalam menyusun skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kata sempurna, sehingga kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat berguna bagi pembaca sebagai acuan di penelitian selanjutnya.
Bandar Lampung, 28 April 2016 Penulis
Merda Gustina
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR GAMBAR .......................................................................
I.
PENDAHULUAN 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
II.
iii
Latar Belakang dan Masalah .................................................... Tujuan Penelitian...................................................................... Batasan Masalah....................................................................... Manfaat Penelitian....................................................................
1 2 3 3
TINJAUAN PUSTAKA 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Analisis Survival ...................................................................... Fungsi Kepekatan Peluang ....................................................... Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function).................... Fungsi Laju Kegagalan (Hazard Rate)..................................... Distribusi Eksponensial............................................................ Sifat-sifat Distribusi Eksponensial ........................................... Distribusi Generalized Exponential ......................................... 2.7.1 Nilai Harapan Distibusi Generalized Exponential........ 2.7.2 Ragam Distribusi Generalized Exponential..................
4 4 5 6 10 11 12 13 14
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 3.2
Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. Metode Penelitian.....................................................................
16 16
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 4.2 4.3
Penentuan Nilai Turunan Pertama Fungsi Kepekatan Generalized Exponential............................................................................... 18 Mencari Nilai ( ) dan ′( ) ................................................... 19 Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival) dan Hazard ............... 20
ii
4.4 4.5
V.
Analisa Bentuk Kurva Hazard Rate......................................... Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponential...............................................................................
KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
22 25
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponential saat α = 1,1 dan λ > 0 ................................................................ 2. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponential saat α = 2 dan λ > 0 ................................................................... 3. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponential saat α = 0,1 dan λ > 0 ................................................................ 4. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponential saat α = 0,9 dan λ > 0 ................................................................ 5. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponential saat α = 1 dan λ > 0 ................................................................... 6. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponential saat α = 6 dan λ > 0 ................................................................... 7. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponential .....................................................................................................
Halaman
25 26 27 28 29 30 31
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Setiap kehidupan pastinya terdapat masalah yang berhubungan dengan waktu ketahanan hidup, seperti waktu kematian atau kesembuhan penyakit seseorang. Dalam statistika, masalah ketahanan hidup disebut juga analisis survival. Analisis survival (survival analysis) atau kelangsungan hidup atau analisis kesintasan bertujuan menaksir probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan, kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu. Analisis survival juga terdiri dari fungsi survival dan hazard rate.
Dalam analisis kelangsungan hidup tingkat probabilitas kegagalan juga diperhitungkan yang dinamakan laju kegagalan (hazard rate). Laju kegagalan (hazard rate) diperlukan untuk mengetahui apakah distribusi dari data dalam fungsi kelangsungan hidup yang diasumsikan telah menggambarkan keadaan yang sesungguhnya. Secara spesifik laju kegagalan dihitung sebagai jumlah kegagalan pada kurun waktu dalam rentang interval dibagi dengan rata-rata jumlah kejadian yang sukses pada nilai tengah interval. Laju kegagalan (hazard rate) mempunyai bentuk-bentuk kurva yaitu increasing (I), decreasing (D), bathtub (∪), upsidedown bathtub (∩) dan konstan. Model peluang laju kegagalan memiliki bentuk yang berbeda-beda untuk setiap distribusi yang berbeda.
2
Salah satunya yaitu fungsi distribusi Generalized Exponential. Distribusi Generalized Exponential merupakan perluasan dari distribusi Exponential yang memiliki bentuk kurva hazard konstan. Sedangkan distribusi Generalized Exponential mempunyai bentuk kurva yang spesifik, kurva naik dari nol mencapai titik maksimum kemudian turun dan pada saat tertentu relatif konstan mendekati nol. Fungsi ini dapat dipergunakan untuk menggambarkan model kurva pertumbuhan. Gupta dan Kundu (1999) memperkenalkan distribusi eksponensial tergeneral (Generalized Exponential / GE) sebagai alternatif dari distribusi gamma atau weibull. Fungsi distribusi dari eksponensial tergeneral adalah :
dengan
( ; , λ) = αλ
(1 −
)
merupakan parameter bentuk dan λ merupakan parameter skala.
Berdasarkan latar belakang diatas akan dikaji lebih mendalam bagaimana bentuk kurva hazard rate pada distribusi Generalized Exponential.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah: 1. Mendapatkan fungsi kelangsungan hidup distribusi Generalized Exponential dan fungsi hazard distribusi Generalized Exponential 2. Mengidentifikasi karakteristik hazard rate dalam bentuk increasing, decreasing, bathtub, upside-down bathtub atau yang terjadi pada distribusi Generalized Exponential 3. Menggambarkan grafik fungsi hazard distribusi Generalized Exponential
3
1.3 Batasan Masalah
Agar tidak memperluas pembahasan maka penelitian ini dibatasi pada hal-hal berikut: 1. Distibusi yang digunakan adalah distribusi Generalized Exponential dengan 2 parameter ( , ).
2. Mencari karakterisik dari hazard rate yang meliputi increasing, decreasing, bathub, upside-down bathub dan konstan pada distribusi Generalized Exponential menggunakan aturan Glaser.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah hasil dari penelitian ini dapat diterapkan pada kasus ketahanan hidup yang berdistribusi Generalized Exponential (GE).
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Survival
Analisis survival adalah salah satu metode statistik yang digunakan untuk menjawab pertanyaan apakah dan kapan suatu kejadian (event) menarik terjadi. Analisis survival (survival analysis) atau waktu kelangsungan hidup atau analisis kesintasan bertujuan menaksir probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan, kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu.
Distribusi dari waktu kelangsungan hidup biasanya digambarkan dan difokuskan pada tiga fungsi yaitu: 1.
Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function)
2.
Fungsi Kepekatan Peluang (fkp)
3.
Fungsi Hazard
Ketiga fungsi ini equivalen, artinya jika satu dari ketiganya diberikan maka dua lainnya bias diperoleh. (Xian Liu, 2012)
2.2 Fungsi Kepekatan Peluang
Seperti peubah acak kontinu lainnya, waktu kelangsungan hidup T mempunyai fungsi kepekatan peluang (fkp) yang didefinisikan sebagai limit dari peluang
5
suatu individu yang gagal dalam interval pendek t ke t + ∆ , atau peluang kegagalan dalam interval kecil per satuan waktu. Hal itu dapat dijelaskan sebagai: ( ) = lim ∆ →
= lim ∆ →
( Pr( <
< +∆ ) ∆
( , +∆ )
∆
(2.1)
( ) adalah fungsi non negatif, yaitu: ( )≥0 =0
untuk semua t ≥ 0 untuk t < 0
(Xian Liu, 2012)
2.3 Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function)
Fungsi survival adalah probabilitas bahwa suatu individu akan tetap hidup sampai waktu t ( > 0). Jadi jika x variabel random yang menotasikan waktu bertahan
hidup dari seorang individu, maka ( ) adalah probabilitas bahwa T lebih besar dari . Dalam statistik fungsi kumulatif distribusi ( ) didefinisikan: ( )= ( ≤ ) =
( )
Karena > 0 maka ( ) = ∫
( )
(2.2)
Fungsi kelangsungan hidup menyatakan peluang suatu sistem tidak mengalami kegagalan sampai batas waktu t. Fungsi ini didefinisikan sebagai: ( ) = P(
ℎ
ℎ
ℎ
)
6
= P( > ) ( )
=
(2.3)
Dengan menggunakan definisi fungsi distribusi kumulatif fungsi survival dapat dituliskan sebagai berikut :
( ) = ( ≤ ), maka
( ) = ( > )
=1− ( ≤ ) =1− ( )
(2.4)
Sifat-sifat dari kelangsungan hidup S(t): 1. Fungsi tidak naik ( non-increasing) dengan (∞) = 0 dan (0) = 1
Yaitu bahwa probabilitas suatu individu bertahan hidup pada waktu 0 adalah 1 dan probabilitas bertahan hidup sampai waktu mendekati tak berhingga adalah nol.
2. Jika T peubah acak kontinu, maka S(t) kontinu. (Xian Liu, 2012)
2.4 Fungsi Laju Kegagalan (Hazard Rate)
Laju kegagalan (Hazard Rate) atau fungsi hazard menyatakan peluang sesaat kemudian (next-instan) antara (t,t + ∆ ), kemudian diketahui bahwa suatu sistem telah berumur t. Hazard didefinisikan sebagai: ℎ( ) = lim ∆ →
= lim ∆ →
Pr( < Pr[( <
< +∆ | ≥ ) ∆
< + ∆ ) ∩ ( ≥ )] /( ≥ ) ∆
7
= lim ∆ →
= lim ∆ →
= lim ∆ →
=
ℎ( ) =
Pr[( <
Pr( < < + ∆ ) ∆ (1 − ( )) F(t + ∆t) − F(t) ∆ (1 − ( )) 1
lim
(1 − ( )) ∆
(
≥ )]
< +∆ ∩ ∆ Pr( ≥ )
( ) ( ))
=
→
( )
( )
F(t + ∆t) − F(t) ∆
(2.5)
dimana f(t) adalah fungsi kepekatan (density function) dan s(t) adalah fungsi kelangsungan hidup (survival function).
Dari persamaan ( ) = Pr( ≤ ) = ∫ ( )=
( )=
ℎ( ) =
− ( ) = ( )
[1 − ( )] = −
Maka persamaan (2.5) dapat diperoleh:
sehingga diperoleh: ln ( )| = −
( )
( )
=−
( )
, karena:
( )
[ln ( )]
ℎ( )
Karena s(0)= 1, maka ln ( )| = −
ℎ( )
Dan diperoleh persamaan untuk fungsi kelangsungan hidup yaitu: ( ) = exp − ∫ ℎ( )
(2.6)
8
Dimana, s(t) : Fungsi kelangsungan hidup (survival function) h(t) : Fungsi hazard (hazard rate/ hazard function) Hazard rate h(t) untuk model distribusi laju kegagalan kontinu mempunyai sifat : a. h(t) > 0 b. ∫ ℎ( )
= ∞
Dari persamaan (2.5) dihubungkan dengan persamaan (2.6) akan diperoleh : ( ) = ℎ( )
− ∫ ℎ( )
; ≥0
(2.7)
(John and Melvin, 2005)
Menurut McDonald dan Richard (1987) untuk mengetahui karakteristik fungsi hazardnya h(t) diturunkan terhadap t sehingga: ℎ( ) ℎ( ) ℎ( )
= = =
( ) ( ) − ( )(− ( )) ( ) ( )+ ( ) + ( )
( )
( ) ( )
Setelah diperoleh turunan pertama dari h(t), untuk mengetahui kapan h(t) naik, turun atau konstan maka langkah selanjutnya adalah membuat, dh(t)
=0
( ) + ( )
( ) =0 ( )
( ) ( ) = − ( ) ( )
( ) =− ( ) ( )
9
Dari persamaan di atas sekarang dapat diketahui bahwa sebuah distribusi akan ( )
1.
Memiliki laju hazard naik (increasing) jika
2.
Memiliki laju hazard turun (decreasing) jika
3.
Memiliki laju hazard konstan jika
( )
( )
( )
> − ( ),
( )
( )
= − ( ).
<− ( )
Syarat cukup sebuah fungsi kepekatan bukan merupakan suatu kondisi yang diperlukan untuk menentukan karakteristik laju hazardnya.
Menurut Glaser (1980) untuk menentukan bentuk laju hazard dengan menggunakan metode satu turning point (titik belok). Dalam metodenya, Glaser menggunakan fungsi kepekatan peluang. Titik belok (turning point) dari suatu fungsi adalah suatu titik maksimum atau minimum dalam suatu fungsi atau kurva dan didefinisikan sebagai berikut : ( )=−
( )
(2.8)
( )
Fungsi ini memiliki peranan penting dalam mengkaji karakteristik fungsi dan bentuk laju hazard. Aturan Glaser (1980) sendiri adalah sebagai berikut : a. Jika ′( ) > 0 untuk semua > 0, maka increasing (I)
b. Jika ′( ) < 0 untuk semua > 0, maka decreasing (D) c. Misal
terdapat
> 0,
sehingga ′( ) < 0
є (0, ), ′( ) = 0, ′( ) > 0 untuk semua >
Jika lim Jika lim
→ →
d. Misalkan terdapat
untuk
semua
, dan
( ) = 0, maka increasing (I) ( ) → ∞, maka bathub (U)
> 0, sehingga
( ) < 0 untuk semua >
, dan
( ) > 0 untuk semua
є (0, ),
10
Jika lim Jika lim
( ) = 0, maka upside-down bathub (∩)
→
( ) → ∞, maka decreasing (D)
→
2.5 Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial merupakan salah satu distribusi kontinu pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi eksponensial adalah suatu fungsi special dari distribusi gamma yang berperan penting dalam statistika. Berikut akan dijelaskan definisi PDF (Probability Density Function) distribusi eksponensial.
Definisi 2.5.1 (Probability Density Function) PDF distribusi eksponensial Suatu peubah acak kontinu X berdistribusi eksponensial dengan peubah acak eksponensial jika dan hanya jika kepekatan peluang (probability density), mempunyai fungsi kepekatan peluang dalam bentuk: ( )= λ
Dengan λ merupakan parameter skala.
λ,
0,
> 0, λ > 0
(2.9)
Sedangkan fungsi distribusi kumulatifnya adalah: ( ; λ) = 1 −
2.6 Sifat-Sifat Distribusi Eksponensial
,
>0
(2.10) (Gupta dan Kundu, 1999)
11
Adapun sifat-sifat distribusi eksponensial menurut Gupta dan Kundu pada tahun 1999 sebagai berikut: 1) Bukti :
( ) = lim ∫
( ) = lim = lim λ →
− e λ
= lim −te →
= lim −te →
1 = lim 0 − e → λ
2)
=
λe
→
=
λe
→
= lim λ 1 e λ
+ +
e
1 − e λ
1 λ
( )= (
−
λe −
→
= lim
λe
→
= lim λ →
= lim
1 λ
|
) − ( ( ))
= lim
→
e
→
− λ −
1 λ − +
+2
1 λ 1 e λ te
2
− −
1 λ
1 λ
12
= lim − →
3)
=0+
( ) = lim
→
Bukti :
( ) = lim →
2 1 1 − = λ λ λ
∫ λe
λe
1 = lim λ − e → λ = lim −e →
= lim −e
4)
=e
ℎ( ) =
→
( )
( )
+
=
|
2 λ
−
1 λ
=
= lim λ
|
→
e
+e
= , maka nilai hazard konstan
2.7 Distribusi Generalized Exponential
Distribusi Eksponensial pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi Eksponensial diambil dari salah satu fungsi distribusi kumulatif yang digunakan pada pertengahan abad 19 (Gompertz-Verhulst) untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk, yang didefinisikan sebagai berikut: ( ) = (1 −
−λ
)
(2.11)
Kemudian dengan menstandarisasikan ρ = 1 dan x = t, diperoleh distribusi ekponensial satu variabel (Univariate Exponential Distribution) dengan fungsi distribusi kumulatif dan x > 0, adalah sebagai berikut:
13
( ; , λ) = (1 −
)
(2.12)
dari turunan fungsi distribusi kumulatif di atas, juga didapat fungsi kepekatan peluangnya (fkp) adalah sebagai berikut:
Keterangan:
( ; , λ) = αλ
(1 −
)
(2.13)
: Peubah acak : Parameter Bentuk λ
: Parameter Skala
e
: 2,7183
Untuk α > 0 dan λ > 0 masing–masing adalah parameter bentuk dan parameter skala. Jika α = 1 merupakan distribusi eksponensial. Maka pada kajian parameter α dan λ = 1 merupakan distribusi Generalized Exponential dengan parameter bentuk di notasikan dengan GE (α). (Dobson, 2002)
2.7.1 Nilai Harapan distribusi Generalized Exponential ( , λ)
Nilai harapan dari suatu distribusi akan dijelaskan pada definisi 2.1 yaitu: Definisi 2.1 (Nilai Harapan) Misalkan x variabel acak, jika x variabel acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f(x) dan | | ( )
<∞
Maka nilai harapan x adalah : ( )=
( )
14
(2.14) (Hogg and Craig, 1995) Adapun nilai harapan distribusi Generalized Exponential ( , λ) menurut Gupta dan Kundu tahun 2003 adalah: ( )=
Dimana
( ( + 1) − ( (1))
(2.15)
adalah fungsi digamma.
2.7.2 Ragam Distribusi Generalized Exponential ( , λ)
Sebaran dari distribusi Generalized Eksponential ditentukan oleh standar deviasi, .Kuadrat dari standar deviasi merupakan ragam dari distribusi GE. Definisi dan bentuk rumus umum dari nilai ragam adapun penjelasannya sebagai berikut:
Definisi 2.2 ragam Misalkan x merupakan sampel acak dengan rata-rata terbatas
dan sedemikian
sehingga ([ − ] ) terbatas, maka ragam dari X didefinisikan sebagai ] ). ([ − ] ) dinotasikan dengan
atau Var (X)
([ −
Sehingga didefinisikan sebgai berikut : ( )=
([ − ] ) = (
) − ( ( ))
(2.16) (Hogg and Craig, 1995)
Adapun menurut Gupta dan Kundu tahun 2003 nilai ragam distribusi GE ( , λ) adalah:
( )=
([ − ] ) = (
( )= −
) − ( ( ))
( ′( + 1) − ( ′(1))
(2.17)
15
Dimana
adalah derivative dari fungsi digamma.
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian dilakukan di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung tahun ajaran 2015/2016.
3.2 Metode Penelitian
Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara sistematis yang diperoleh dari buku-buku atau media lain untuk mendapatkan informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1.
Mencari turunan pertama dan fungsi kepekatan distribusi Generalized Exponential
2.
Mencari nilai η(t) =
dan turunan pertama dari distribusi Generalized
Exponential 3.
Mencari fungsi kelangsungan hidup dari distribusi Generalized Exponential
4.
Mencari fungsi hazard dari distribusi Generalized Exponential
5.
Melakukan analisis fungsi hazard dengan dengan menggunakan aturan Glaser (1980) sebagai berikut: a. Jika
untuk semua t > 0, maka increasing (I)
17
b. Jika
untuk semua t > 0, maka decreasing (D)
c. Misalkan terdapat
sehingga untuk semua
untuk semua dan
-
Jika
, maka increasing (I)
-
Jika
, maka bathtub ( )
d. Misalkan terdapat
sehingga untuk semua
-
Jika
-
Jika
untuk semua dan
, maka upside-down bathtub , maka decreasing (D)
Dimana:
6.
Membuat grafik fungsi hazard dari distribusi Generalized Exponential dengan menggunakan program R
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut: 1.
Fungsi Kelangsungan hidup distribusi Generalized Exponential adalah 1 − (1 − adalah
−λ
) sedangkan fungsi hazard distribusi Generalized Exponential
α λ −λ (1− −λ ) −1
(1−
−λ
)
3.
Hazard rate berbentuk konstan untuk α =1 dan λ > 0 untuk semua > 0
4.
untuk semua > 0
5.
untuk semua > 0
6.
semua > 0
2.
Hazard rate berbentuk increasing (I) atau naik untuk 1 < α < 2,2 dan λ > 0 Hazard rate berbentuk decreasing (D) atau turun untuk 0 < α < 1 dan λ > 0 Hazard rate berbentuk upside-down bathtub (∩)untuk α > 3 dan λ > 0 untuk Hasil analisis dengan mengunakan teorema Glaser ternyata sebanding dengan bentuk grafik dari hazard function menggunakan software R yaitu berbentuk increasing, decreasing, upside-down bathtub dan juga konstan
DAFTAR PUSTAKA
John P. Klein and Melvin L.M.. 2005. Survival Analysis : Techniques for Censored and Truncated Data. Second edition. Springer, New York.
Glaser,R.E. 1980. Bathtub and Related Failur Rate Characterizations. J. American Statistical Association, Vol 75, pp 667-672.
Dobson, A.J. 2002. An Introduction to Generalized Linear Models. Chapman & Hall, USA. Mc. Donald, J.B and Richards, D.O. 1987. Hazard Rate and Generalized Beta Distribution. IEEE Transaction Realibility. R-36, 463-466.
Gupta, R.D., Kundu, D., 1999. Generalized Exponential Distributions. Austral. New Zealand J. Statist. 41 (2), 173–188.
Gupta, R. D. and Kundu, D. 2003. Discriminating between the Weibull and the GE distributions. Computational Statistics and Data Analysis, vol. 43, 179 -196.
Hogg, R.V. and Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth edition. Prentice-hall Inc., New Jersey.
Liu, Xian. 2012. Survival Analysis : Models and Applications. First edition. John Wiley & Sons, USA.
