Horák Péter KÖRÍVPROFILÚ CSIGAHAJTÓPÁROK TRIBOLÓGIAI VIZSGÁLATA. PhD értekezés

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Gépszerkezettani Intézet

Horák Péter

KÖRÍVPROFILÚ CSIGAHAJTÓPÁROK TRIBOLÓGIAI VIZSGÁLATA PhD értekezés

2003 Témavezető: Dr. Bercsey Tibor egyetemi docens

Tartalomjegyzék Nyilatkozat Tartalomjegyzék Jelölésjegyzék 1 Bevezetés ....................................................................................................................... 1 2 Szakirodalmi áttekintés ............................................................................................... 4 2.1 A csigahajtások fejlődése ............................................................................................ 4 2.2 Hazai kutatások a térbeli fogazott hajtópárok területén .............................................. 6 2.3 A csigahajtópárok érintkezési és kenési viszonyaival foglalkozó kutatások fejlődése ....................................................................................................... 8 3 A térbeli fogazatok geometriai és kinematikai viszonyainak vizsgálata.................. 13 3.1 Fogazáselméleti alapok ................................................................................................ 13 3.2 A mozgásleképezés alapelvei, felosztása ..................................................................... 13 3.3 A kapcsolódás és a relatív mozgásinformációk visszaképezhetőségének alaptörvényei ................................................................................................................ 15 3.4 Térbeli fogazatok kapcsolódásának elmélete............................................................... 17 3.4.1 Térbeli koordinátarendszerek.................................................................................... 17 3.4.2 A fogfelület, a felületi normális egyenletei, a pillanatnyi érintkezési vonalak és a kapcsolófelület meghatározása..................................................................................... 18 3.5 A kenési viszonyokat befolyásoló geometriai, kinematikai jellemzők ........................ 20 3.5.1 A viszonylagos mozgás sebességvektora és az érintkezési vonal érintője által bezárt szög.................................................................................................................... 20 3.5.2 A görbületi viszonyok meghatározása ...................................................................... 23 3.6 Tengelymetszetben körív profilú (ZTA) csigahajtópárok geometriai és kinematikai viszonyai................................................................................................... 28 3.6.1 Nem vonalfelületű hengeres csigahajtások ............................................................... 28 3.6.2 A ZTA típusú csiga fogfelületének leírása, a kapcsolódás egyenlete ....................... 28 3.6.3 Sebesség- és görbületi viszonyok.............................................................................. 34 3.6.4 A súrlódási viszonyok szempontjából lényeges sebességviszonyok meghatározása .............................................................................................................. 40 3.6.5 A fogazati paraméterek változtatásának hatása a kinematikai geometriai viszonyokra ......................................................................... 42 4 A hajtópárok fogfelületei között fellépő érintkezési viszonyok vizsgálata............... 48 4.1 Az érintkezési feladatok áttekintése, célkitűzés........................................................... 49 4.2 Csigahajtópárok fogfelületei között fellépő érintkezési nyomáseloszlás meghatározása .............................................................................................................. 50 4.2.1 Érintkezési vonal mentén állandó merevtestszerű közeledés feltételezése az érintkezési viszonyok számítására ............................................................................... 50

4.2.2 Érintkezési viszonyok számítása egy kapcsolódási helyzetben állandó Hertz-féle feszültség feltételezésével ............................................................................................ 60 4.2.3 A fogazati paraméterek változtatásának hatása az érintkezési feszültségre.............. 63 5 Fogazott hajtópárok tribológiai viszonyainak vizsgálata .......................................... 66 5.1 A tribológiai viszonyokat befolyásoló tényezők.......................................................... 66 5.2 Hidrodinamikai (HD) kenéselmélet ............................................................................. 66 5.3 Elaszto-hidrodinamikai (EHD) kenéselmélet............................................................... 68 5.4 Elaszto-termohidrodinamikai (ETHD) kenéselmélet................................................... 70 5.5 Helyettesítő modellek................................................................................................... 71 5.5.1 Érintkező felületek másodrendű közelítése............................................................... 71 5.5.2 Közelítés tóruszpárral................................................................................................ 74 5.5.3 Közelítés hengerpárral .............................................................................................. 75 5.5.4 Közelítés henger–sík, illetve kúp–sík elempárokkal................................................. 76 5.5.5 Közelítés gömb- és tóruszfelület érintkeztetésével ................................................... 78 5.6 Tribológiai vizsgálóberendezés henger-sík, kúp-sík elempárokhoz ............................ 82 5.7 Az ETHD kenési modell alkalmazása csigahajtópárokra ............................................ 88 5.8 Körívprofilú csigahajtópárok kenési viszonyainak vizsgálata az ETHD kenési modell alapján .............................................................................................................. 97 6 Az értekezés új eredményeinek összefoglalása, további lehetséges kutatási irányok felvetése........................................................... 103 Irodalomjegyzék I. Melléklet II. Melléklet III. Melléklet Összefoglalás Summary Címfordítás és angol nyelvű kivonat Köszönetnyilvánítás

Jelölésjegyzék r, r1, r2 a A x , Ay , Az

a kapcsolódó felületek pontjainak helyvektora az S, S1, illetve S2 vonatkoztatási rendszerben érintkezési tartomány félszélessége

dm1

S2 vonatkoztatási rendszer S1 –hez való helyzete az x, y, z irányoknak megfelelően, tengelytáv komponensek csiga középhengerének átmérője

dFn

infinitezimálisan kicsi normálerő

e

felületi normális egységvektor

e r

a felületi normális egységvektor irányváltozási sebessége

EE

redukált rugalmassági modulusz

E1, E2

az 1-es, illetve 2-es jelű test rugalmassági modulusza

E, F, G

elsőrendű főmennyiségek

L, M, N

másodrendű főmennyiségek

Frh

folyadéksúrlódási erő

Fnh

folyadéknyomásból származó normálerő

h

kenőfilm vastagság

hi

kezdeti hézag az érintkező felületek között az i pontban

i21

áttétel

iI, iII

1-es fogfelület főirány vektorai

iIII, iIV

2-es fogfelület főirány vektorai

kH

Stribeck-féle palástnyomás

K

ívsugártáv

dl

az érintkezési vonal infinitézimálisan kis szakasza

M01 , M10 M12, M21 m

S és S1 vonatkoztatási rendszerek között a koordináta transzformáció mátrixai S1 és S2 vonatkoztatási rendszerek között a koordináta transzformáció mátrixai modul

n, n1, n2

felületi normális az S, S1, illetve S2 vonatkoztatási rendszerekben

nx, ny, nz

felületi normális skalár komponensei az S vonatkoztatási rendszerben csavarparaméter (a 3. fejezetben a fogazati geometria tárgyalása során) hidrodinamikai nyomás a kenőanyagfilmben (az 5. fejezetben a kenési viszonyok tárgyalása során) környezeti nyomás

p p p0

pj

érintkezési nyomás a j pontban

pH

Hertz-féle érintkezési feszültség

P0(12), P1(12), P2(12)

transzformációs mátrixok a tagok viszonylagos mozgássebességének meghatározására

RI, RII

1-es fogfelület főgörbületi sugarai

RIII, RIV

2-es fogfelület főgörbületi sugarai

RE S, S1, S2 t T1

redukált normálgörbületi sugár álló, 1-es, illetve 2-es taghoz rögzített forgó vonatkoztatási rendszerek idő paraméter nyomaték az 1-es tag tengelyén

TF, Tm

a fogfelszín-, illetve a közeg hőmérséklete

TF1, TF2

kenőrés peremhőmérsékletek kezdeti értékei

u

felületi paraméter

ui(1), ui(2)

az 1-es, illetve 2-es test rugalmas alakváltozása az i pontban

v(1), v(2)

a kapcsolódó fogfelületek sebességvektora az S vonatkoztatási rendszerben fogfelületek a viszonylagos mozgásának sebességvektora az S, S1, illetve S2 vonatkoztatási rendszerekben az i-jelű tag szállító mozgásának sebességvektora

v(12), v1(12), v2(12) ve(i) vr(i)

vΣ

a kapcsolódási pont vándorlási sebessége az i-jelű tagon az S vonatkoztatási rendszerben az 1-es jelű tag érintkezési vonalra merőleges sebességkomponense az S vonatkoztatási rendszerben az 1-es jelű tag felületi normális irányába eső sebességkomponense az S vonatkoztatási rendszerben az 1-es jelű tag érintkezési vonal irányába eső sebességkomponense az S vonatkoztatási rendszerben hidrodinamikailag hatásos sebesség

vg

csúszási sebesség

wb

vonalterhelés

vm(1) vn(1) vt(1)

Wji(1), Wji(2) x2 x, y, z x1, y1, z1 x2, y2, z2

hatásmátrixok az 1-es, illetve 2-es testre profileltolás tényező a csigakeréken a kapcsolódó fogfelületek helyvektorainak skalár komponensei az S vonatkoztatási rendszerben a kapcsolódó fogfelületek helyvektorainak skalár komponensei az S1 vonatkoztatási rendszerben a kapcsolódó fogfelületek helyvektorainak skalár komponensei az S2 vonatkoztatási rendszerben

zax z1, z2 α α2000 ϑ

körívprofil középpontjának távolsága S1 origójától a csiga tengelymetszetében csiga illetve csigakerék fogszám nyomás-viszkozitás tényező nyomás-viszkozitás tényező 2000 bar túlnyomáson felületi paraméter

Σ1, Σ2

az 1-es és 2-es jelű tagok fogfelülete

χI, χII

az 1-es jelű fogfelület főgörbületei

χIII, χIV χ(P) χmax(P)

a 2-es jelű fogfelület főgörbülete redukált normálgörbület maximális redukált normálgörbület

δi

a relatív sebességvektor és az érintkezési vonal érintője által bezárt szög merevtestszerű közeledés az i pontban

γ

S1 és S2 vonatkoztatási rendszerek z tengelye által bezárt szög

δ

ϕ1, ϕ2 ω(1), ω(2)

mozgásparaméterek az 1-es illetve 2-es tag szögsebessége

ρ

körívprofil sugara a csiga tengelymetszetében

η

kenőanyag dinamikai viszkozitása

ηs

effektív kenőanyag viszkozitás

ηfog

fogazati hatásfok

τ

csúsztató feszültség

λ1, λ2

1-es, illetve 2-es test hővezetési tényezője

ρ1, ρ2

1-es, illetve 2-es test sűrűsége

1

Bevezetés

A mechanikus elven működő hajtóművek veszteségteljesítményét elsősorban a teljesítmény átvitelben résztvevő hajtáselemek csúszó-gördülő mozgása okozza. A cél ennek megfelelően a hajtáselemek hatásfokának javítása, mely függ az elemek közötti érintkezési állapottól, a kinematikai viszonyoktól, az érintkezésben résztvevő szerkezeti anyagpároktól, illetve még egy nagyon fontos „gépelem”-től, a kenőanyagtól. A felsorolt négy legfontosabb jellemző határozza meg tehát egy adott elempár tribológiai viszonyait. Ezek a jellemzők további lényeges tulajdonságokat tartalmaznak, például az érintkezési állapotot az elempárok makro- és mikrogeometriáját, a kenőanyag mértékadó viszkozitását, fizikai és kémiai tulajdonságait és hőmérsékletét. A sokféle befolyásoló tényező miatt a mechanikus hajtóművek veszteségteljesítményének vizsgálata igen bonyolult, ezért a viselkedés szimulációjánál gyakran egyszerűsített számítási és kísérleti modelleket, illetve feltevéseket kell alkalmazni. Az egyszerűsített modellek segítségével kapott eredmények helytállóságát, alkalmazhatóságát az elkészített hajtómű próbapadi és üzemi vizsgálata igazolhatja. Ennél a módszernél a szerkezet valamely elemének megváltoztatása újabb számítást, kísérletet, illetve a berendezés prototípusának költséges legyártását és vizsgálatát igényli. Ezért merült fel az igény olyan új típusú helyettesítő számítási modellek kidolgozására, melyekkel végzett kísérleti vizsgálatok a valós geometriai, kinematikai viszonyokat jobban közelítik és ezzel a kísérleti vizsgálatok mennyiségi hatékonyságát növelik. Az értekezés témaválasztását indokolja, hogy a bonyolult térbeli fogazott hajtópárok, így a széles körben elterjedt csigahajtópárok súrlódási és kenési viszonyainak szimulációja, vizsgálata még nincs kellően kidolgozva. A tengelymetszetben körívprofilú, hengeres csigahajtásokat kedvező hatásfokuk és nagy teherbírásuk miatt elterjedten használják a korszerű hajtástechnikában. Problémát jelent azonban az, hogy ezen nem vonalfelületű hajtópárok geometriai, kinematikai és érintkezési viszonyainak meghatározása egyszerű, zárt alakú összefüggésekkel nem határozhatók meg. Az értekezés célkitűzései: − hengeres csigahajtópárok tribológiai viszonyainak meghatározására alkalmas módszerek, helyettesítő modellek vizsgálata és továbbfejlesztése,

1

− tengelymetszetben körívprofilú hengeres csigahajtópárok súrlódási–kenési viszonyainak meghatározása numerikus módszerekkel, a fogfelületek helyi rugalmas deformációjának és a hőfejlődésnek figyelembevételével, mely vizsgálatokhoz szükséges a geometriai, kinematikai, illetve az érintkezési viszonyok, valamint a kenőanyag jellemzők nyomás- és hőmérsékletfüggésének figyelembevétele, − a fogazati paraméterek változtatásának a kenésállapotra gyakorolt hatásának feltárása, − kísérleti vizsgálatokra alkalmas helyettesítő modellek kidolgozása és modellvizsgálatok végrehajtása a numerikus eredmények alátámasztására. Az értekezés a bevezető és összefoglaló részekkel együtt hat fejezetből áll. A bevezetést követő második fejezet a hazai és a nemzetközi szakirodalomra támaszkodva összefoglalja és értékeli a csigahajtópárok fejlődését, illetve a hozzá kapcsolódó kutatások eredményeit, a fogazati geometria és a kenésállapot leírására alkalmazott modellek, számítási eljárások feldolgozásával. A harmadik fejezet összefoglalja a csigahajtópárok geometriai és kinematikai viszonyainak meghatározásához szükséges alapelveket, módszereket. Ismerteti a kiválasztott hajtópárok fogfelületeinek, érintkezési vonalainak, kapcsolómezőjének, valamint a kapcsolódás során folyamatosan változó görbületi és sebességviszonyok meghatározását. A negyedik fejezet a hajtópár terhelése során kialakuló érintkezési nyomás viszonyokat vizsgálja a Hertz-elmélet alapján adott kapcsolódási helyzetben az érintkezési vonal mentén állandó Stribeck-féle palástnyomást, illetve a végeselemek módszerével és a hatásmátrixos számítási eljárás felhasználásával vonal mentén állandó merevtestszerű közeledést feltételezve. Az ötödik fejezet ismerteti a fogazott hajtópárok vizsgálatára kidolgozott kenéselméleteket és helyettesítő modelleket. A vonal mentén változó görbületi és sebességviszonyok szimulációjára ismert és új típusú helyettesítő modellek, valamint egy vizsgálóberendezés kerülnek bemutatásra. Összefoglalja a kúp-sík helyettesítő modellen végzett kísérleti vizsgálatokat, illetve összehasonlítja a kísérleti és számított eredményeket és értékeli a helyettesítő modellek alkalmazhatóságát. A ZTA típusú csigahajtópárok tribológiai viszonyainak vizsgálatát az előző fejezetekben meghatározott eredmények (geometria, kinematika, terhelés) felhasználásával az elaszto-termohidrodinamikai kenéselmélet alapján mutatja be és elemzi a fogazati paraméterek változtatásának a hatását a kenésállapotra, a fogazati teljesítményveszteség szempontjából. 2

A hatodik fejezet az értekezés új eredményeit foglalja össze tézisek formájában és bemutatja a további lehetséges kutatási irányokat. A kutatás módszerét tekintve a kinematika és differenciálgeometria, a kontakt mechanika és a tribológia elméleti összefüggéseire épülő, az egyes problématerületeknek megfelelően kidolgozott számítógépes szimuláció és modelleken végzett kísérleti vizsgálat. Konkrét eredmények a vizsgált hajtópár típusra az egyes fejezetek végén kerülnek bemutatásra. A mellékletek bizonyos összefüggések részletes levezetését, a kifejlesztett számítógépes algoritmusok folyamatábráit, a vizsgálatok során figyelembe vett anyagjellemzőket és a vizsgált hajtópárok geometriai adatainak összefoglalását tartalmazzák.

3

2

Szakirodalmi áttekintés

2.1 A csigahajtások fejlődése Jóllehet a csigahajtópárok alapgondolata – az egymásra merőleges, kitérő helyzetű tengelyek közötti mozgás átszármaztatására – már Archimedes műveiben is megtalálható az időszámításunk előtti III. században, de valójában csak a XX. század második felében váltak a csigahajtópárok az alapötletből, hosszú kutató–fejlesztő munka eredményeként, nagy teherbírású, kedvező hatásfokú hajtáselemmé. Az első csigahajtóművet az 1500-as években az olasz mérnök Francisco di Giorgio vázolta fel. Hasonló vázlatok találhatók Leonardo da Vinci munkái között is. A csigahajtások tehát a homlokfogaskerék hajtásokhoz képest igen „fiatal” hajtóművek. A XIX. század közepétől egyre több mérnök és matematikus kezdett a csigahajtópárok geometriájával foglalkozni. Viszonylag egyszerű csigageometriából kiindulva szerkesztéssel vagy számítással határozták meg az érintkezési vonalakat, illetve a csigakerék geometriáját. Döntő előrelépést jelentett a fémmegmunkálási technológiák fejlődése, melynek eredményeképpen Pfauter H. 1897-ben szabadalmaztatta az első lefejtő-csigamaró gépet, illetve szerszámot, mely lehetővé tette a csigahajtópárok gyártását. A csigahajtás az 1930-as évekig azonban gyakorlatilag alig terjedt el az iparban, a rossz hatásfok, a hajtómű melegedése, a fogazat nagymértékű kopása, a hajtópárok gyártási és szerelési hibákra való érzékenysége miatt. Mivel a nagy fordulatszámon üzemelő motorok egyre nagyobb áttételű hajtóműveket igényeltek, melyek megvalósítására a csigahajtóművek kis anyag- és helyszükségletük miatt célszerűen felhasználhatók, egyre több kutató kezdett foglalkozni az említett kedvezőtlen tulajdonságok megszüntetésével. A kutatások egyrészt a fogazat- és a gyártásgeometria másrészt pedig a tribológia területére irányultak, a hajtópárok teherbírásának, valamint hatásfokának növelése érdekében. A hengeres csigahajtópárok első, napjainkban is aktuális, tudományos igényű elemzései Niemann és matematikus kollégája Weber nevéhez fűződnek [NieWeb42]. Alkalmazták a hidrodinamikai kenéselmélet összefüggéseit a csigahajtópárokra, és az eredmények alapján kidolgoztak egy új típusú, ívelt profilú hengeres hajtópárt [NieHey53], melyet később az 1950-es évek elején a Flender Bocholt cég „Cavex” néven kezdett gyártani és forgalmazni. A hatásfok és a teherbírás növelésére irányuló kutatások két eltérő irányvonalat követtek. A Niemann és Litvin nevével fémjelzett irányzat szakítva a klasszikus vonalfelületek, valamint

4

az egyenes alkotójú származtató felületek alkalmazásával, a két csomóponti egyenessel rendelkező zárt csomóponti kapcsolófelület és a fogprofil megváltoztatásának gondolatából indult ki. Ezt az alapgondolatot használták fel a homorú, ívelt profilú csigahajtópárok kifejlesztésénél, melyek érintkezési vonalainak elhelyezkedése és alakja a hidrodinamikai kenés szempontjából lényegesen kedvezőbb, mint a vonalfelületű csigahajtásoké [NieHey53], [Lit72].

A Buckingham-Ryffel féle irányzat megtartotta az egyenes alkotójú hengeres csigákat jellemző kapcsolófelületeket, úgy hogy azokat a hajtás kilépő tartományába helyezték át [BucRyf60]. Ezeknél az úgynevezett „all-recess” hajtópároknál, melyeket nagy negatív profileltolással gyártottak, nem zavarják szingularitások a gördülve csúszás kinematikai és dinamikai viszonyait, mivel a csigahajtópár főpontja, illetve gördülő egyenese kiiktatódik a kapcsolódásból.

2.1. ábra. Csigahajtópárok csoportosítása [Dud00] a.) Hengeres csigahajtópár, b.) Globoid csiga – hengeres kerék hajtópár, c.) Globoid csigahajtópár, d.) Spiroid csigahajtópár

Kezdetben a vizsgálatok főleg a legegyszerűbben gyártható evolvens profilú hengeres hajtópárokra irányultak, melyeket manapság a nagyobb teherbírású és kedvezőbb hatásfokú ívelt profilú csigák egyre inkább háttérbe szorítanak. A technika fejlődése, illetve a korszerű csigaköszörű gépek terjedése ugyanis lehetővé tette a bonyolultabb geometriájú csigaprofilok gyártását is. A kedvezőbb kapcsolómező keresése vezetett az aszimmetrikus, síkkerékkel kapcsolódó evolvens csigahajtáshoz, a helikoid hajtáshoz valamint a kúpos (spiroid) csigahajtásokhoz.

5

A hajtópár teherbírás – valamint hatásfok – növelésének másik útját jelentette a toroidhajtások legismertebb fajtájának, a globoid csigahajtásnak a megjelenése. A századunk elején gyártott globoid csigahajtópárok azonban még nem voltak alkalmasak teljesítmény átszármaztatásra. Ipari felhasználásra alkalmas globoid csigahajtópár megalkotása Cone M. amerikai mérnök nevéhez fűződik, akinek 1932-ben benyújtott szabadalma alapján a Michigan Tool Co. fejlesztette ki az Európában gyártott csigahajtópároknál kedvezőbb hatásfokú és teherbírású globoid hajtópárt, melynek geometriáját és gyártási technológiáját még ma is több titokban tartott szabadalom védi. A Cone-féle globoid csigahajtás gyártástechnológiai problémái új típusú globoid, valamint globoid csiga – hengeres kerék, párosítású hajtások kifejlesztésére ösztönözték a kutatókat [Jar59], [Dro68], [Sim89], [Sip90].

2.2 Hazai kutatások a térbeli fogazott hajtópárok területén Magyarországon a csigahajtópárok gyártásgeometriájának kutatását és fejlesztését elsőként Szeniczei Lajos kezdeményezte. Az 1957-ben megjelent “Csigahajtóművek” c. könyve sok elméleti

és

gyakorlati

problémát

tisztázott,

ami

alapján,

illetve

gondolatainak

továbbfejlesztésével több kutató is jelentős eredményeket ért el. Magyar József kandidátusi értekezésében [Magy58] feltárta és általánosította az evolvens és konvolut csavarfelületű elemek kapcsolódásának több törvényszerűségét. Tajnafői József kandidátusi értekezésében [Taj66] a szerszámgépek mozgásleképező elveinek feltárásával, egységes rendszerének kidolgozásával foglalkozott. A kapcsolódó felületek Litvin által megfogalmazott alámetszési feltételeit kiegészítette az axiális alámetszések kritériumával. Akadémiai doktori értekezésében a különböző mechanizmusok származtatás elméletét dolgozta ki [Taj91]. Drahos István kidolgozta a csigahajtópárok gyártásához alkalmas forgácsoló szerszámok gyártásgeometriai alapjait [Dra87], és a konstruktív geometria eszközei segítségével megadta több kapcsolódáselméleti probléma általános megoldását. Lévai Imre a hipoid hajtások vizsgálata mellett [Lév80], a nem köralakú, kitérő tengelyű, hengeres kerekes hajtások kapcsolódásának és gyártásának kutatásával foglalkozott [Lév66]. A köszörülhető egyenes és ívelt profilú hengeres, valamint köszörülhető csigával és kerékkel rendelkező globoidhajtások kutatása és fejlesztése Drobni József nevéhez fűződik [Dro68]. Korszerű csigahajtások elméletét, tervezését, gyártási problémáit taglaló, a szerző több évti-

6

zedes kutatásait napjaink technikai szintjére emelő, összefoglaló könyve rendkívül nagy szakmai értéket képvisel [Dro01]. Bercsey Tibor doktori értekezésében [Ber71] az egyenes fogfelületű globoidcsiga és egy sík fogfelületű hiperbolikus kerék kapcsolódási viszonyait elemezte a kinematikai módszer felhasználásával. Kandidátusi értekezésében [Ber77] a toroid hajtások elméleti vizsgálataival foglalkozott. Dimenziónélküli kinematikai-geometriai jellemző számokat dolgozott ki, melyek mind a HD-, mind az EHD kenéselmélet alapján alkalmasak a fogazat geometriák minőségi összehasonlítására. Dudás Illés a ZTA típusú csigahajtás [Dud73], [Dud82] és a spiroid hajtások elemeinek gyártásgeometriai problémáinak tisztázásával [Dud88] foglalkozott több publikációjában. A csigahajtópárok fogazatkapcsolódásának számítógépes modellezése [DudBanyVar96], és a spiroid hajtópárok optimalizálása terén [Dud99] az irányításával folyó kutatásokról rangos nemzetközi konferenciákon számolt be. Csigahajtópárok kapcsolódáselméletét és gyártásgeometriáját kiemelkedő részletességgel összefoglaló, angol nyelven megjelent könyve [Dud00] nemzetközi szinten is kimagasló értéket képvisel. N. H. Hoang [Hoa87] a csigahajtópárokból leképezhető egyik hajtással, a helikoid hajtásokkal foglalkozott. Összehasonlító elméleti vizsgálatainak eredményeképpen megállapította, hogy a csiga helyzetének változtatása döntően befolyásolja a helikoid hajtásokban kialakuló érintkezési vonalak jellegét, a hajtópárok érintkezését és – kisebb mértékben – görbületi viszonyait is. Kedvező csigahelyzetben kialakul a hidrodinamikai szempontból előnyös kapcsolómező és érintkezési vonal elhelyezkedés. Hegyháti József rendszerező összefoglalást adott [Hegy88] a spiroidhajtások geometriai, kinematikai és tribológiai kutatásának állásáról. Kutatásai során a Hertz-elmélet segítségével a spiroidhajtások teherbírására vonatkozó összefüggéseket határozott meg, melyeket kísérletileg is igazolt. Megállapította, hogy a spiroidhajtások hatásfoka, hidrodinamikai teherbírása és veszteség-teljesítménye kedvezőbb, mint a hasonló geometriai jellemzőkkel rendelkező csigahajtásoké. Körívprofilú szerszámmal, lefejtés nélkül fogazott csigakerékkel rendelkező globoid csigahajtás geometriai viszonyait Siposs István vizsgálta [Sip90]. N. D. Vinh munkája [Vin93] során nagy terhelésű, ferdefogú hengeres kerék–globoid csiga kapcsolódását vizsgálta mind elméleti, mind kísérleti kutatásaiban. Megállapította, hogy terheletlen állapotban korlátozott fogérintkezési mezővel rendelkező hajtópárok kevésbé érzéke7

nyek a gyártási és szerelési hibákra, kedvezőbb fogazatuk terheléseloszlása és nagyobb a teherbírása. Simon Vilmos különböző térbeli fogazott hajtópárok, többek között hengeres és globoid csigahajtópárok geometriai viszonyait vizsgálta, és optimalizálta a súrlódási veszteség és a teherbírás

szempontjából,

numerikus

módszerek

felhasználásával,

a

elaszto-

termohidrodinamikai kenési modell alapján [Sim89], [Sim90], [Sim94]. [Sim96]. Dudás László az általa kifejlesztett úgynevezett „elérés–modellt”, ami a kinematikai módszernek egy sajátos megfogalmazása, alkalmazta kapcsolódó felületpárok gyártásgeometriai feladatának numerikus megoldására [DudL91], [DudL98]. Kolonits Ferenc a fogaskerekek hőigénybevételét vizsgálta doktori dolgozatában [Kol70], kandidátusi értekezésében [Kol74], a Blok–elméletből kiindulva, a fogazathelyesbítés hőtani kérdéseit tárta fel.

2.3 A csigahajtópárok érintkezési és kenési viszonyaival foglalkozó kutatások fejlődése Többféle elmélet ismeretes a fogazott hajtópárok tribológiai vizsgálatára. Ezzel kapcsolatban Niemann és Weber [NieWeb42] valamint Hiersig [Hie54] végezték az első számításokat az 1940–es években. Felállították a hengeres csiga fogkapcsolódására az érintkezési vonalakat, a görbületi- és sebességviszonyokat leíró alapegyenleteket, a kenési viszonyokat pedig a hidrodinamikai (HD) kenéselmélet szerint számították. A hidrodinamikai teherbírást és a teljesítményveszteséget Peppler [Pep38] publikációja alapján, helyettesítő hengerpárok segítségével számították, amelyek görbületei a kapcsolódó fogfelületek görbületeit közelítik az érintkezési vonal mentén. Weber és Maushake [WebMau59] továbbfejlesztették az eljárást, majd Jarchow [Jar59] ugyanezzel a módszerrel a globoid csiga – ferdefogú hengeres kerék kapcsolatát vizsgálta. Megállapította, hogy a hajtópár még az ívelt fogprofilú hengeres csigahajtás hatásfokát és teherbírását is túlszárnyalhatja. Schouten [SchM73] a fogazott hajtások élettartamát, kopását vizsgálta kísérleti úton az elaszto-hidrodinamikai kenéselmélet alapján kéttárcsás vizsgálóberendezés segítségével. Mérései, a súrlódási viszonyok meghatározása mellett, kiterjedtek a kenőfilmben kialakuló nyomás és hőmérsékleti viszonyok meghatározására is. Predki [Pre82] evolvens, körív, és ciklois fogprofilú csigahajtások sebesség, görbületi, és érintkezési viszonyainak elméleti vizsgálatát folytatta, figyelembe véve a csigatengely alakváltozását is. Megállapította, hogy ha a deformálódott csigatengelyt szerszámként kezeljük, 8

amely a csigakereket a bejáratáskor korrigálja, akkor a tengely lehajlásának nincs számottevő hatása a hajtómű futási tulajdonságaira. A hajtópárokat a fellépő Hertz-feszültség, a Dowson és Higginson [DowHig59] által kidolgozott elaszto-hidrodinamikai (EHD) kenéselmélet alapján számított kenőfilm vastagság és a fogazati hatásfok mint összehasonlító paraméterek szempontjából vizsgálta. Kutatásai során elemezte a fogazatkapcsolódási interferenciákat, a fogkihegyesedést a csigakerék esetében, valamint egyéb, gyártás során fellépő problémákat. Megállapította, hogy a csigahajtások élettartamát elsősorban a felszíni kifáradás és a kopás határolja be, ezen kívül bizonyos hőmérsékleti határokat sem szabad túllépni. Az egészen kis terhelésektől eltekintve állandóan vegyessúrlódással és az ezzel járó kopással kell számolni. Dierich [Die89] elvetette azt a feltételezést, hogy az érintkezési vonal mentén állandó a fogfelületek között fellépő érintkezési nyomáseloszlás és a fogazatkapcsolódás során változó terheléseloszlást végeselem-módszerrel számította. Az érintkező felületpárokat tökéletesen simának tételezte fel, és különféle fogprofilú hengeres, valamint globoid hajtópároknál a kialakuló kenőfilm vastagságot és fogazati teljesítményveszteséget az elaszto-termohidrodinamikai (ETHD) kenéselmélet alapján számította. Schoo [SchA85] a homlokfogaskerekek fogazati veszteségteljesítményét és súrlódási számait vizsgálta szintén az ETHD kenéselmélet szerint, amely az energiaegyenlet bevonásával lehetővé teszi az olaj melegedésének számítását a kenőrésben. Dierich és Schoo feltételezték, hogy a kenőfilm az érintkező testeket tökéletesen elválasztja és nem lép fel szilárdtest érintkezés. Bouché [Bou92] figyelembe vette az érintkező testek felületi érdességét és a csigahajtópárok fogazati veszteségteljesítményét vegyessúrlódási állapot feltételezésével számította. A kenőrés modelljében az érintkező testek felületi érdességi csúcsait rugalmas félgömbökkel modellezte, melyek a rugómerevsége megközelíti a valós érintkezési felület rugalmas jellemzőit. Így lehetőség nyílt a szilárdtest érintkezés figyelembevételére az ETHD elméletet leíró egyenletrendszerben. A számított eredményeket összehasonlította a csigahajtópár vizsgáló berendezésen mért fogazati hatásfokokkal. A fogkapcsolódás tribológiai viszonyainak modellezéséhez lényegében valamennyi kutató a már korábban ismertetett helyettesítő hengerpárokat alkalmazta [Pep38]. A felsorolt kutatási eredményeket is felhasználva dolgozták ki az 1998-ban életbe lépett DIN 3996 jelű szabványt, amely a hengeres csigahajtópárok teherbírásának számítását foglalja öszsze, tekintettel a fogfelületek kopására, fogtörésre, felületi kifáradásra, valamint a csigaten-

9

gely lehajlására és a hajtópárok melegedésére. Ez a szabvány tartalmilag, a főbb összefüggések tekintetében, megegyezik az ISO14521 szabványtervezettel. A tribológiai viszonyok vizsgálatához nélkülözhetetlen a fogfelületek között fellépő érintkezési viszonyok meghatározása. Különböző numerikus eljárások találhatók a szakirodalomban, melyek általában speciális, fogérintkezésre kifejlesztett algoritmusokat alkalmaznak. Litvin és munkatársai több publikációjában is megjelenik a térbeli fogazatok kapcsolódási viszonyainak, az ideális illetve a gyártási és szerelési hibát tartalmazó hajtópárok hordképének numerikus meghatározása, pl. [SeoLit86], valamint a hordkép lokalizálása [LitCheSeoKimLuZhaEgeWanHan96]. A numerikus számítási algoritmus, a kapcsolódási pontbeli főgörbületek, valamint főirányok és a fog rugalmas testként való modellezéséből kiindulva, a hordképet a pillanatnyi kapcsolódási pontok környezetében kialakuló érintkezési ellipszisekből határozza meg. Dudás Illés a tengelymetszetben körívprofilú csigahajtópárok hordképlokalizációjával is foglalkozott. A hordképlokalizáció célja, hogy a pillanatnyi érintkezési vonalak minél nagyobb mértékben a tribológiai viszonyok szempontjából kedvező tartományba essenek, ahol tehát az érintkezési vonal adott pontjához tartozó érintő és a relatív sebesség által bezárt szög 70-90° között van. Numerikus összehasonlító vizsgálatai alapján megállapította, hogy ennél a típusú csigahajtópárnál az ívsugár középpontnak a csigatengelytől való távolságának növelése jelentős mértékben, míg a körívsugár növelése lényegesen kisebb mértékben javítja az érintkezési vonalak helyzetét [DudVarBan96]. Végeselemek módszere (VEM) Saját fejlesztésű végeselemes programot alkalmazott különböző térbeli fogazatok érintkezési viszonyainak vizsgálatára Simon [Sim89], [Sim90], [Sim96], valamint Dierich [Die89]. A kereskedelmi végeselem programok felhasználása a meglehetősen bonyolult geometriájú térbeli fogazatok érintkezési viszonyainak vizsgálatára gyakran nehézségekbe ütközik. Problémát jelenthet a geometriai modellezés, különösen akkor, ha a hajtópár egyik tagjának felülete nem adható meg zárt alakban, hanem csak az ismert felületű taggal közös, pillanatnyi érintkezési vonalak burkolófelületeként. Ennek megoldása lehetséges úgy, hogy a kapcsolódási egyenlet segítségével meghatározott érintkezési vonalakra nurbs-felületet illesztünk és így generáljuk az ismeretlen fogfelület modelljét. A másik lehetőség, hogy az ismeretlen fogfelület tengellyel párhuzamos metszeteit határozzuk meg a kapcsolódási vonalak tengelymetszetei

1 0

felhasználásával és így az egyes metszetekkel, mint „szeletekkel” közelítjük az ismeretlen fogfelületet [Die89]. Újabb probléma lehet az érintkezési vonalak mentén a terhelés megadása. Amennyiben nem rendelkezünk olyan végeselemes programcsomaggal mint pl. a MARC, melynek elemkészlete tartalmaz 3D-s kontaktelemet, akkor az elmozdulásmezőt és az érintkezési nyomáseloszlást külön algoritmus (pl. iteráció, hatásmátrix) segítségével kell a hajtó és hajtott tagra meghatározni [Hor99a]. Véges hasábok, véges sávok módszere Gosselin [Gos99] a véges hasábok módszerét (VHM) alkalmazta egyenes és ferde fogú hengeres fogaskerekek vizsgálatára, amely tulajdonképpen a véges elemek módszerén alapul azzal a különbséggel, hogy a VEM esetében mindhárom koordináta irányában polinom függvény közelíti az elmozdulás mezőt, a VHM esetében viszont csak két irányban, a harmadikban (a fogaskerék tengelyének irányában) viszont egy függvénysor. A módszer alkalmazásával, a hagyományos végeselemes futtatáshoz viszonyítva, 80-szor gyorsabb a számítás, és a memóriaigénye hatodára csökken hasonló pontosság mellett. Hátránya a módszernek, hogy bonyolultabb, térbeli fogazati geometria esetén nem alkalmazható. A véges sávok módszerének alkalmazásával a hengeres fogaskerekeken kívül pl. egyenes és ívelt fogú kúpkerék, illetve hipoid fogaskerékpárok érintkezési viszonyai vizsgálhatók [GagGosClo96], [Gos99]. A fog egy konzolosan befogott változó vastagságú lemezként jelenik meg a mechanikai modellben, amelyet kétdimenziós sávelemek segítségével vizsgál. A módszer, az elmozdulás mező közelítésére egy irányban egyszerű polinom függvényt, míg a másik két irányban folytonosan differenciálható, monoton sorozatokat használ. A fogak deformációjának, meghajlásának vizsgálata esetén a módszer lényegesen gyorsabb a VEM-nél, összehasonlító számítások szerint az eredmények eltérése kisebb mint 10%. A fent említett módszerek előnye a fogazat alakváltozásának gyors, viszonylag pontos számítása, így könnyen integrálható különböző fogaskerék geometriát tervező–optimáló szoftvercsomagba. Hátránya viszont, hogy a mechanikai modell a fogakat gyakorlatilag befogott tartóként kezeli, így nem veszi figyelembe a fogaskeréktest és a tengely alakváltozását, lehajlását. Véges szeletek módszere A Drezdai Műszaki Egyetemen kifejlesztett eljárás alkalmas egyenes és ferde fogazatú hengeres és kúpfogaskerekek érintkezési és feszültségviszonyainak numerikus vizsgálatára, a kö-

1 1

vetkező modell felhasználásával [BauBörLinSen96]. A hajtópárt a tengelyre merőlegesen állandó vastagságú képzeletbeli szeletekre bontjuk, az egyes szeleteken belül a terhelést állandónak tételezzük fel. Vizsgáljuk lépésről lépésre az egyes képzeletbeli szeletek rugalmas alakváltozását az összes szelet terhelése esetén. Az így előállítható mátrix a vizsgált hajtópár merevségét jellemzi a hely függvényében. Ebben az esetben a rugalmas alakváltozások meghatározása során kereskedelmi végeselem program helyett hasonló elvű, saját fejlesztésű numerikus algoritmust használnak az előállított mátrixegyenletek megoldására. Csigahajtópárok vizsgálatára ugyanezt az elvet felhasználva fejlesztettek ki számítási algoritmust a Müncheni Műszaki Egyetemen [HöhSteLut2002]. A kapcsolódó fogazott elemeket a modell a csigatengellyel párhuzamos szeletekkel helyettesíti, amely diszkrét szeletek felhasználásával az algoritmus meghatározza az érintkezési és feszültségviszonyokat, figyelembe véve nemcsak a hajtópár, hanem a csapágyazás, sőt a hajtóműház rugalmas alakváltozását is.

1 2

3

A térbeli fogazatok geometriai és kinematikai viszonyainak vizsgálata

3.1 Fogazáselméleti alapok A fogazáselmélet alapjait a burkolófelületek geometriai tulajdonságainak elemzésével Olivier [Oli1842], Reuleaux [Reu1882], és Gohman [Goh1886] fektették le munkáikban. Olivier a kapcsolódó fogfelületek leírásához bevezette a burkolófelületek általános módszereit, a származtató felület alkalmazásával megalapozta ezen felületek leképezésének lehetőségét. Gohman, a térbeli fogazott kinematikai párok elméletét továbbfejlesztve, már 1886-ban megalkotta a kinematikai geometriára épülő analitikai fogazáselmélet alapjait, amelynek alkalmazása azonban csupán néhány évtizedes múltra tekint vissza. Litvin [Lit72] továbbfejlesztette a fogazott elempárok vizsgálati módszereit a kinematikai módszer kidolgozásával, amely lehetővé teszi a kapcsolódás egyenletének felállítása alapján az érintkezési karakterisztikák és görbületi viszonyok meghatározását.

3.2 A mozgásleképezés alapelvei, felosztása Minden fogazott elempár megmunkálása és kapcsolódása, a kinematikai helyettesítés szempontjából, relatív mozgások, illetve mozgásinformációk leképezésének és visszaképezésének fogható fel. A mozgásleképezésen alapuló tárgyalásmód kialakulása egy zavaró hatásoktól mentes, ideális alakítási mechanizmus, amelyhez elsősorban a származtató felületet kell definiálni. A származtató felület egy általános modell, mely a különböző alakító szerszámokat egy-egy olyan felülettel helyettesíti, amely ugyanazon relatív mozgásokkal ugyanazon munkadarab-felületeket hozza létre, mint a valódi szerszám. A származtató felület és a munkadarab felület kapcsolatát a kölcsönösség, a megfordíthatóság és a teljes kapcsolódás jellemzi. A munkadarab leképezett Σi felületét geometriai szempontból: − a P származtató felület és − a szerszám munkadarabhoz viszonyított relatív mozgásai határozzák meg [Taj65]. A szerszám munkadarabhoz viszonyított relatív mozgása a Σω(PΣi ) szögsebesség vektorrendszerrel jellemezhető. Ennek megfelelően a ΣI munkadarab-felület futópontjainak helyvektora az

r ( ) = r ( ) [P, Σω( i

i

PΣi )

]

(3.1)

egyenlettel adható meg.

13

A paraméterek sorrendjétől függően a megmunkálások geometriai és kinematikai szempontból kétféleképpen tárgyalhatók: a.) a megmunkálás a származtató felület leképezése a munkadarab felületére, adott relatív mozgások mellett, b.) a megmunkálás, a szerszám és a munkadarab közötti relatív mozgások leképezése egy felületpárra, amelynek egyik eleme a szerszámot helyettesítő származtató felület, a másik pedig a munkadarab megmunkált felülete. A felületek ebben az esetben csak eszközök az előírt relatív mozgások leképezésére. Kétféle relatív mozgásinformációt lehet megkülönböztetni:

− a leképezésben és a visszaképezésben ható állandó, úgynevezett statikus relatív mozgásinformációkat, melyek a relatív helyzet biztosítására szolgálnak,

− és a felületre leképezett, úgynevezett dinamikus relatív mozgásinformációkat. A dinamikus relatív mozgásinformációk leképezése közvetlen és közvetett mozgásleképezéssel valósítható meg. A közvetlen leképezésekkel – Olivier második módszerével – előállított felületpárokat konjugált felületpároknak nevezzük. Ez esetben a megmunkált Σi felület P származtató felülete teljes mértékben egybe esik a Σi felülettel kapcsolódó Σm felülettel és a Σi megmunkálása során a P és Σi felületek relatív mozgásinformációi megegyeznek a Σi és Σm felületek kapcsolódása során fellépő relatív mozgásinformációkkal. A közvetlen mozgásleképezések egyszerűségéből adódó előnyök mellett a hátrányai a következők:

− minden különböző méretű kapcsolódó párhoz más-más szerszám szükséges, azaz nagy a fogazószerszám-készlet,

− a gyártható kapcsolódó párok alakját és méreteit korlátozza a szerszámgépek szerszámtér mérete. A fenti hátrányos tulajdonságok miatt a közvetett mozgásleképezések módszere nagy lehetőségeket rejt magában. A közvetett mozgásleképezés során a Σi és Σm felületeket a velük egybe nem eső P származtató felület képezi le, tehát a megmunkálás során egy helyettesítő származtató felület relatív mozgása az eredeti származtató felületet hozza létre határfelületként. Ez a helyettesítő származtató felület csak olyan felület lehet, amely relatív mozgásokkal az eredeti felületből származtatható. Az eredeti származtató felület ilyen leképezés esetén közvetítő származtató felületként jelentkezik, amelyen mint elméleti felületen keresztül kapcsolódnak a munkadarab és a helyettesítő származtató felületek, valamint az így előállított kinematikai

14

párok. E többszörösen végrehajtható felülethelyettesítéssel való leképezés Olivier első módszerének alapja. A közvetett mozgásleképezés tehát két vagy több közvetlen mozgásleképezésből áll. Lehetővé teszi ugyanazon felület előállítását különböző relatív mozgásinformációk mellett, illetve konjugált párok ugyanazzal a szerszámmal való létrehozását. A közvetlen leképezéssel létrehozott kinematikai párok elméletileg vonalmentén kapcsolódnak, tehát a pillanatnyi mozgásinformáció hordozója térgörbe, a felület menti és a pontszerű kapcsolódás csak pillanatnyi, vagy határhelyzetnek tekinthető. A közvetett leképezéssel készített kinematikai párokra mind a térgörbe menti, mind a pontszerű érintkezés általános. Felületmenti kapcsolódás ez esetben is csak elfajuló esetként valósul meg.

3.3 A kapcsolódás és a relatív mozgásinformációk visszaképezhetőségének alaptörvényei A kapcsolódás és a visszaképezhetőség minden konjugált elempárra és mozgásfajtára érvényes alaptörvényei a következők [Taj65]: I. ni vi(mi ) = nm vm(im ) = 0

(3.2)

azaz a kapcsolódó felületpárok sebességkülönbségei a felületek érintősíkjában csúszással egyenlítődnek ki. Vagyis a kapcsolódó fogfelületek bármely kapcsolódási pontjában a felületi normális merőleges a relatív sebesség vektorára. II. nv (i ) = nv (m )

(3.3)

A kapcsolódó pontok sebességvektorainak a közös felületi normális irányú komponensei egyenlők. III. rr(m ) = rr(i ) + v (im ) = rr(i ) − v (mi )

(3.4)

Az u és ϑ paraméterekkel jellemezhető származtató felület bármely D(m) felületi görbéjén értelmezhető a kapcsolódási pont vándorlási sebessége: rr(m ) =

∂rr du ∂rr ∂ϑ + ∂u dt ∂ϑ dt

(3.5)

Figyelembe kell venni, hogy a munkadarab felületén lévő vizsgált kapcsolódási pont a munkadarabhoz kötött rendszerben nyugalomban van, a szerszámhoz (itt a származtató felülethez) kötött rendszerben az érintkezési pont vándorlási sebessége a munkadarabhoz kötött koordinátarendszer szállítósebességével egyenlő. Így a munkadarab valamely felületi görbéjén lévő kapcsolódási pont vándorlási sebessége egyenlő az adott felületi görbével kapcsolódó, származtató felületi görbe kapcsolódási pontjának vándorlási sebességének és a

15

maztató felületi görbe kapcsolódási pontjának vándorlási sebességének és a származtató felület munkadarabhoz viszonyított csúszási sebességének összegével. IV. e r(m ) = e r(i ) + ω(im ) × e (i )

(3.6)

A kapcsolódás bármely pillanatában a kapcsolódó felületek normálisai egybe esnek, és irányváltozási sebességük a munkadarabhoz és a származtató felülethez kötött koordinátarendszerben felírt differenciálhányadosuk közötti kapcsolattal fejezhető ki. V. n nv
 = n nv
i

m

L0

(3.7)

azaz ugyanazon relatív helyzet (statikus relatív mozgásinformációk) biztosítása mellett, a leképezett dinamikus mozgásinformációk csak akkor képezhetők vissza, ha a pillanatnyi mozgásinformációkat hordozó felületi elem kapcsolatban lévő pontjainak a közös érintősíkra merőleges sebességkomponensei nem egyenlők zérussal. A kapcsolódás elmélet alaptörvényeinek ebben a formában történő megfogalmazása és következetes alkalmazása az értekezésben is alkalmazott kinematikai módszer egyik legalapvetőbb jellemzője.

16

3.4 Térbeli fogazatok kapcsolódásának elmélete A fejezetben alkalmazott összefüggések a Litvin által publikált [Lit72], [Lit94] kinematikai módszeren alapulnak. Az irodalomban található összefüggések azonban helyenként hiányosak és nyomdahibával terheltek, ezért merült fel az igény az összefüggéseknek újbóli ellenőrzésére, kiegészítésére. További előrelépésként jelenik meg az említett irodalomhoz képest, hogy az itt levezetett összefüggések teljesen általános helyzetű koordinátarendszerekre érvényesek, így a módszer alkalmazhatóságát tovább általánosítja. A dolgozatban szereplő, helyenként bonyolult összefüggések helyességét a Mathematica 4.0 programcsomaggal ellenőriztük. 3.4.1

Térbeli koordinátarendszerek

A kitérő tengelyek közötti mozgásátszármaztatás vizsgálatához, a fogfelületeket leíró térbeli koordináták megadásához minimum három koordinátarendszer felvétele szükséges, az 1-es S1 (x1, y1, z1) és 2-es S2 (x2, y2, z2) a tagokhoz rögzített forgó, valamint a hajtóműházhoz rögzített álló S (x, y, z) koordinátarendszer, melyhez képest kerül megadásra a forgó koordinátarendszerek helyzete. Az elemek forgástengelye z1 illetve z2, a forgásirány a tengelyek irányából nézve pozitív (az óramutató járásával ellentétes), az elfordulás szöge vagyis a mozgásparaméter ϕ1 illetve ϕ2.

3.1 ábra. Kitérő forgástengelyű koordinátarendszerek a fogfelületek megadására

17

Mivel az S álló koordinátarendszer origója egybeesik az S1 forgó koordinátarendszer origójával, ezért az S2 koordinátarendszer S-hez illetve S1-hez viszonyított relatív helyzetét az

r12 = r02 = A

(12)

ª− A x º = ««− A y »» = állandó «¬− A z »¼

(3.8)

vektor adja meg. A 3.1 ábrának megfelelően a koordinátarendszerek között felírható, a fogfelületeket leíró helyvektor, illetve a mozgás sebességvektorainak meghatározására szolgáló transzformációs mátrixokat az I. számú melléklet tartalmazza. 3.4.2

A fogfelület, a felületi normális egyenletei, a pillanatnyi érintkezési vonalak és a kapcsolófelület meghatározása

A fogfelületeket paraméteres alakban célszerű megadni. Jelöljük a paramétereket u-val illetve ϑ -val, így a fogfelület pl. az S álló koordinátarendszerben r = r (u, ϑ) egyenlettel írható fel.

Tegyük fel, hogy a fogak működő részén a felület folytonos, tehát r = r (u, ϑ) az u és ϑ paraméterek folytonos függvénye. A paramétervonalak

∂r ∂r és érintői által meghatározott sík ∂u ∂ϑ

a felület adott pontbeli érintősíkja. A felületi normális n, merőleges az érintősíkra és az n=

∂r ∂r × ∂u ∂ϑ

(3.9)

összefüggéssel határozható meg. A kapcsolódó tagok fogfelületein – mint egymást kölcsönösen burkoló felületeken – lévő érintkezési vonal a kapcsolódás I. törvényét kifejező

n1v 1(12) = n 2 v (12) = n v (12) = 0 2

(3.10)

kapcsolódási egyenlet és a fogfelületet leíró vektor-skalár függvény egyidejű megoldásával határozható meg. A számítást abban a koordinátarendszerben célszerű elvégezni, melyben az egyenletek a legegyszerűbb alakban írhatók fel. A kapcsolódási egyenlet felírásához az egyes tagok viszonylagos sebességi állapotát az előző fejezetben megadott összefüggésekkel lehet meghatározni. Legyen adott az S1 rendszerben a Σ1 felület r1 = r1 (u, ϑ) egyenlete. A relatív sebességvektor az I. sz. melléklet összefüggései szerint:

18

v1(12)

0 − (1 − i21 cos γ ) − i21 cos ϕ1 sin γ − A xi21 sin ϕ1 cos γ + A yi21 cos ϕ1 º ª « (1 − i cos γ ) 0 i21 sin ϕ1 sin γ − A xi21 cos ϕ1 cos γ − A yi21 sin ϕ1 » 21 »r1 = = P1(12)r1 = « «i21 cos ϕ1 sin γ − i21 sin ϕ1 sin γ » 0 A xi21 sin γ . « » 0 0 0 0 ¬ ¼

(3.11)

ª − y1(1 − i21 cos γ ) − z1i21 cos ϕ1 sin γ − A xi21 sin ϕ1 cos γ + A yi21 cos ϕ1 º « x (1 − i cos γ ) + z i sin ϕ sin γ − A i cos ϕ cos γ − A i sin ϕ » 21 1 21 1 x 21 1 y 21 » =« 1 » « x 1i21 cos ϕ1 sin γ − y1i21 sin ϕ1 sin γ + A xi21 sin γ « » 0 ¼ ¬

A kapcsolódási egyenlet:

n1v 1(12) = 0 ,

(3.12)

amely kifejtve a következő alakba írható:

[

] sin ϕ )] + ,

n x1 − i 21z 1 cos ϕ1 sin γ − y 1 (1 − i 21 cos γ ) − i 21 ( A x sin ϕ1 cos γ − A y cos ϕ1 ) +

[

+ n y1 x 1 (1 − i 21 cos γ ) + i 21z1 sin ϕ1 sin γ − i 21 ( A x cos ϕ1 cos γ + A y + n z1 [i 21 sin γ( x 1 cos ϕ1 − y 1 sin ϕ1 + A x )] = 0

1

(3.13)

ahol nx1, ny1, nz1 a felületi normális vektor skalár komponensei az S1 koordinátarendszerben. A (3.12) kapcsolódási egyenlet kifejezi az u és ϑ felületparaméterek, valamint a ϕ1 mozgásparaméter közötti összefüggést, amely az

F1(u, ϑ , ϕ1)=0

(3.14)

kifejezésre vezethető vissza. A Σ1 és Σ2 fogfelületek érintkezési vonalainak meghatározása az S1 rendszerben az

F1(u, ϑ , ϕ1)=0, r1=r1(u, ϑ )

(3.15)

egyenletek segítségével történik. Az érintkezési vonalsereg burkolófelületeként kialakuló 2. tag fogfelületének egyenletei az S2 rendszerben a fentiek alapján:

F1(u, ϑ , ϕ1)=0, r1=r1(u, ϑ ), r2=M21r1.

(3.16)

A fogazott hajtópár kapcsolófelületét, vagyis az érintkezési vonalak S álló koordinátarendszerbeli vonalseregét az

F1(u, ϑ , ϕ1)=0, r1=r1(u, ϑ ), r=M01r1.

(3.17)

egyenletek határozzák meg.

19

A kapcsolófelület működő része, az úgynevezett kapcsoló mező, melyet a fogazott elemek alaptestjeinek

R(1) = R(1) ( ϑ1, ϑ2 )

és

R(2) = R(2) ( ϑ1, ϑ2 )

(3.18)

fejfelületei metszenek ki a kapcsolófelületből. Néha célszerűbb a kapcsolódási egyenletet az S álló koordinátarendszerben felírni. nv (12 ) = 0

(3.19)

ahol a sebességvektor

v (12 )

0 A yi21 − (1 − i21 cos γ ) − i21 sin γ º ª «(1 − i cos γ ) 0 0 − A xi21 cos γ » 21 »r = = P0(12 )r = « « i21 sin γ 0 0 A xi21 sin γ » » « 0 0 0 0 ¼ ¬

ª − y(1 − i21 cos γ ) − zi21 sin γ + A yi21º « x (1 − i cos γ ) − A i cos γ » 21 x 21 » =« » « xi21 sin γ + A xi21 sin γ » « 0 ¼ ¬

(3.20)

alakba írható, amellyel a kapcsolódási egyenlet az S álló vonatkoztatási rendszerben: nx [− y(1 − i21 cos γ ) − zi21 sin γ + A yi21] + ny [x (1 − i21 cos γ ) − A xi21 cos γ ] + nz [xi21 sin γ + A xi21 sin γ ] = 0 .

(3.21)

3.5 A kenési viszonyokat befolyásoló geometriai, kinematikai jellemzők A kitérő tengelyű hajtások vizsgálatai bebizonyították, hogy a teherbírás, illetve a hatásfok a kapcsolófelület működő részén a teherbíró folyadékfilm kialakulását befolyásoló geometriaikinematikai jellemzőktől, a kapcsolódási pontokban a görbületi viszonyoktól és a viszonylagos mozgás sebességállapotától függ. Ennek megfelelően a súrlódási–kenési viszonyok akkor a legkedvezőbbek, ha az érintkezési vonal érintője és a relatív mozgás sebességvektora merőleges egymásra. 3.5.1

A viszonylagos mozgás sebességvektora és az érintkezési vonal érintője által bezárt szög

Helyettesítsen egy rögzített mozgásparaméterhez tartozó e12 pillanatnyi érintkezési vonalat az érintkezési vonal egy E12 pontjának kis környezetében a vizsgált ponthoz tartozó érintő. A kapcsolódó felületek közös pontjaiban a pontokhoz tartozó érintővektor és a pontokban a relatív sebesség vektora egy síkban, a közös érintősíkban fekszik. Vonalmenti kapcsolódás esetén az érintő irányában a kapcsolódó felületek normálgörbületei azonosak, ezért a redukált normálgörbület nulla. A Σ1 felület E1 pontjának sebességvektora a 3.2 ábra alapján a

20

(1) v (1) = v n(1) + v (1) + vm t

(3.22)

összetevőkre bontható.

3.2 ábra. Kapcsolódó fogfelületek görbületi és sebesség viszonyai

Hasonlóan a Σ2 felület E2 pontjának sebességvektora a ( 2) v ( 2) = v n( 2) + v (t2) + v m

(3.23)

alakban írható fel. Tekintsük az érintőre merőleges m-m metszetet, ahol az érintkező felületeket a kenőanyag részecskéi választják el. Az E1 és E2 pontokban a kenőanyag részecskék sebessége vm(1) és

vm(2), a hidrodinamikailag hatásos sebesség, amellyel a hajtópár hidrodinamikai teherbírása arányos

Σvm= vm(1)+ vm(2)

(3.24)

Tehát egyéb azonos feltételek mellett, a hajtópár teherbírásának növeléséhez olyan alakú e12 érintkezési vonalak szükségesek, amelyek megléte esetén az adott pontban a sebességek érintőre merőleges összetevői a legnagyobbak. A viszonylagos mozgás sebességvektorának felbontásához az érintő irányát kell meghatározni rögzített mozgásparaméter értékek mellett. Mivel a vizsgálat során ϕ1=állandó , az érintkezési pont a Σi felületen végzett

21

ª ∂x (i) « ∂u « (i) (i ) (i ) « ∂y r r ∂ ∂ ϑ du d vr(i) = + = « ∂u ∂u dt ∂ϑ dt « (i) ∂z « « ∂u ¬ i = 1,2

du ∂x (i) + ∂ϑ dt du ∂y(i) + ∂ϑ dt du ∂z(i) + ∂ϑ dt 0

dϑ º dt »» dϑ » dt » , dϑ » » dt » ¼

(3.25)

sebességű viszonylagos mozgása során csak az érintkezési vonal mentén mozdulhat el, így az elmozdulás vr(i) sebességének iránya egybeesik az érintő irányával. A v(12) relatív sebességvektor és az érintő által bezárt δ szög meghatározásához differenciálni kell a kapcsolódás I. alaptörvényét kifejező egyenletet.

∂F1 du ∂F1 dϑ ∂F1 dϕ 1 + + =0 ∂u dt ∂ϑ dt ∂ϕ 1 dt Mivel ϕ1=állandó,

(3.26)

dϕ 1 du dϑ differenciálhányadosok egyi, = 0 . Tetszőlegesen megadva dt dt dt

kének az értékét, a másik differenciálhányadost a (3.26) egyenletből lehet kifejezni. Ezután a (3.25) összefüggéssel meghatározható a vr(i) vektor. A relatív sebességvektor és az érintő által bezárt δ szög pedig a

cos δ =

vr(i) v(12) vr(i) v(12)

(3.27)

képlettel határozható meg. Így az érintkezési vonalra merőleges sebesség komponens v (12) = v(12) sin δ , m

(3.28)

az érintő irányába eső komponens pedig v (12) = v(12) cos δ t

(3.29)

nagyságú. Az egyes sebességkomponensek, illetve a pillanatnyi érintkezési vonal egy adott pontjában a relatív sebességvektor és az érintő által bezárt szög ismeretében lehetőség nyílik az érintkezési vonalak kvalitatív értékelésére, a kedvező, δ≈90°-os szöget bezáró vonalak kiválasztására és a kapcsolómező optimális helyzetének meghatározására.

22

3.5.2

A görbületi viszonyok meghatározása

A felületi görbék χ (i ) görbületei közül a felületi normálist tartalmazó síkkal való metszésvonalhoz tartozót normálgörbületnek nevezzük. A normálgörbületek két egymásra merőleges irányban vett értékeivel szokás a felületet jellemezni. Azon két irány, ahol a normálgörbületeknek szélső értéke van, főirányok, a hozzájuk tartozó legnagyobb, illetve legkisebb görbületek a főgörbületek. A görbületi viszonyok meghatározása történhet differenciálgeometriai összefüggések alapján vagy a kinematikai módszer felhasználásával. A dolgozatban mindkét módszer bemutatásra kerül, egyrészt a meglehetősen bonyolult összefüggések helyességének ellenőrzésére, másrészt

pedig

a

numerikus

számításokhoz

kifejlesztett

algoritmusok

pontosságának,

hatékonyságának meghatározására. Differenciálgeometriai módszer a görbületek meghatározására Jelölje χI , χII és iI, iII az 1-es fogfelület, illetve χIII , χIV és iIII, iIV a 2-es fogfelület főgörbületeit és főirányait. A K = χiχII teljes vagy Gauss-féle görbület értékétől függően a felületi pontok lehetnek elliptikusak (K>0), hiperbolikusak (K<0), illetve parabolikusak (K=0). Tekintsük adottnak az 1-es fogfelületet, melyet az S1 koordinátarendszerben az r1 (u, ϑ) vektor határoz meg. A felület főgörbületeit a következő másodfokú egyenlet gyökei adják: 2

§1 · § 1· ¨ ¸ − 2H¨¨ ¸¸ + K = 0 , ©R¹ ©R¹

(3.30)

amelyben 2H a felület kétszeres átlagos, vagy középgörbülete, K pedig a Gauss-féle vagy teljes görbülete.

H és K az úgynevezett főmennyiségek függvényei: 2H =

K=

1 1 EN − 2FM + GL , + = RI RII EG − F2

(3.31)

1 1 LN − M2 ⋅ = , RI RII EG − F2

(3.32)

ahol az elsőrendű főmennyiségek: 2

§ ∂r · E = ¨ 1¸ , © ∂u ¹

(3.33)

§ ∂r ·§ ∂r · F = ¨ 1 ¸¨ 1 ¸ , © ∂u ¹© ∂ϑ ¹

(3.34)

23

2

§ ∂r · G = ¨ 1¸ , © ∂ϑ ¹

(3.35)

illetve a másodrendű főmennyiségek:

L=

1 § ∂ 2r1 ·§ ∂r1 ·§ ∂r1 · ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ , D ¨© ∂u2 ¸¹© ∂u ¹© ∂ϑ ¹

(3.36)

M=

1 § ∂ 2r1 ·§ ∂r1 ·§ ∂r1 · ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ , D ¨© ∂u∂ϑ ¸¹© ∂u ¹© ∂ϑ ¹

(3.37)

N=

1 § ∂ 2r1 ·§ ∂r1 ·§ ∂r1 · ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ , D ¨© ∂ϑ2 ¸¹© ∂u ¹© ∂ϑ ¹

(3.38)

ahol

D = EG − F2 ,

(3.39)

ami a felületi normálisvektor abszolútértéke. A főirányok meghatározásához írjuk fel a

dϑ dϑ du − dt dt dt E F L M

du dt G =0 N

(3.40)

karakterisztikus egyenletet. A determinánst kifejtve és az egyenletet

dt ≠ 0 értékkel osztva kapjuk: du

2

§ dϑ · § dϑ · (GM − FN) ¨ + (GL − EN) ¨ ¸ ¸ + (FL − EM) = 0 , © du ¹ © du ¹

(3.41)

§ dϑ · amelyből az egyenlet ¨ ¸ megoldásai meghatározhatók. © du ¹I,II Az iI illetve iII főirányok meghatározásához a felületi görbe érintőjét definiáló (3.25) egyenletbe kell behelyettesíteni a (3.41) egyenlet megoldásait. Két felület redukált normálgörbületén a két felület közös normálmetszetében levő görbületeinek különbségét értjük.

χ (P ) = χ (1) − χ ( 2 )

(3.42)

A felületek adott pontbeli normálgörbületei a χI , χII illetve χIII , χIV főgörbületek ismeretében az Euler-féle összefüggéssel számíthatóak: χ(1) = χI cos2 α + χII sin2 α ,

(3.43)

24

ahol α az iI görbületi főirány és a normálmetszet érintősíkkal való metszésvonala által bezárt szög. Ha a 2-es fogfelületet a (3.16) egyenletek segítségével megkaptuk, annak főgörbületei és főirányai, a fenti képletekbe az r2 vektort értelemszerűen behelyettesítve, előállíthatók. Térbeli fogazatoknál azonban a 2-es fogfelület egyenletének meghatározása gyakran nehézségekbe ütközik, ezért célszerű a görbületi viszonyokat is a kinematikai módszer segítségével meghatározni, amelynek alkalmazása ugyan nem vezet mindig zárt alakú kifejezéshez, de lehetővé teszi a burkolófelület görbületének, illetve redukált normálgörbületének meghatározását a burkolt felület görbületének és a mozgásparaméterek segítségével. Így elkerülhető a burkolófelületet leíró egyenletek felállítása. Kinematikai módszer a görbületek meghatározására A módszer alkalmazásához szükséges az érintkezési pont mozgásparamétereinek ismerete. A mozgásparaméterek meghatározásához fel kell használni a kapcsolódás III. és IV. törvényét, valamint a (1) v (1) = v (1) = v (e2) + v r( 2) = v ( 2 ) e + vr

(3.44)

összefüggést, amely szerint az érintkezési pontokban a szállító- és viszonylagos (felület menti) sebességek összegeként értelmezett abszolút mozgás sebességvektora a kapcsolófelület érintősíkjában fekszik és mindkét tag esetében ugyanaz, mint azt a 3.3 ábra mutatja.

vr(1)

ve(1) vr(2)

v(1) = v(2)

ve(2)

3.3 ábra. Az abszolút mozgás sebességvektora az érintkezési pontban

Felhasználva a burkolt felületre már felírt v r(i) sebességvektort és a (3.20) összefüggést, a burkolófelület menti elmozdulás sebessége az alábbi formába írható:

v (r m ) = P0(im ) r (i ) + v (ri ) i = 1, 2

m = 2,1

.

(3.45)

Az S álló koordinátarendszerben az

e=

n n

(3.46)

irányváltozási sebességére

25

ª ∂e(i) x « ∂u « (i) « ∂e y (i) e r = « ∂u « (i) « ∂e z « ∂u « ¬ i = 1, 2

du ∂e(i) + x ∂ϑ dt (i) du ∂e y + ∂ϑ dt du ∂e(i) + z ∂ϑ dt 0

dϑ º dt » » dϑ » dt »» , dϑ » dt » » ¼

(3.47)

és e r(m) = P0(im)e(i) + e r(i) i = 1, 2 ,

m = 2,1

,

(3.48)

összefüggések érvényesek.

3.4 ábra. A felületi normális egységvektor irányváltozási sebessége és a relatív sebesség

A kapcsolódási pont Σ1 illetve Σ2 felülettel való együttmozgásának, a szállítómozgásnak a sebessége a

v (e1)

ª0 − 1 «1 0 (10 ) = P0 r = « «0 0 « ¬0 0

0 0 0 0

0º ª− y º » « x » 0» r = « », «0 » 0» » « » 0¼ ¬0 ¼

(3.49)

valamint a

v (e2 )

0 − i 21 cos γ i 21 sin γ − A y i 21 º ª− yi21 cos γ + zi21 sin γ − A y i 21 º ª » « xi cos γ + A i cos γ » « i cos γ 0 0 A x i 21 cos γ » 21 x 21 » (3.50) r=« = P0( 20 )r = « 21 « − xi21 sin γ − A x i 21 sin γ » «− i 21 sin γ 0 0 − A x i 21 sin γ » » « » « 0 0 0 0 0 ¼ ¬ ¼ ¬

kifejezéssel adható meg. A kapcsolódó pont mozgásparamétereinek meghatározása után, alapul véve a differenciálgeometria normálmetszeti görbületekre vonatkozó megállapításait, az érintősíkhoz tartozó v r(i) vektoron keresztül felvett normálmetszetben a felület görbületére a

26

χ (i) = −

v r(i) e ir

(3.51)

(v )

(i) 2 r

összefüggés vezethető le. A Σi burkolt felület χ I(,iII) főgörbületének kiszámításánál Rodrig képletét célszerű alkalmazni: e r(i) = −χ I,II v r(i) i = 1, 2

,

(3.52)

ahol I és II a görbületi főirányokhoz tartozó indexek. A főirányok meghatározásához fel kell használni, hogy ϕ1=állandó, ezért

dϕ 1 = 0 , valamint a v r(i) és e r(i) vektorok kollineárisak, dt

azaz érvényes az (i) e (xri ) e yr e (zri ) = = v (xri ) v (yri ) v (zri )

(3.53)

kifejezés. Az érintkezési pont mozgásparamétereinek, a felület ezen pontbeli főgörbületeinek, valamint főirányainak ismeretében az 1-es jelű felület χ(1) normálgörbülete előállítható. A χ(P) redukált normálgörbület meghatározásához szükséges χ(2) normálgörbület meghatározása helyett alkalmazzuk a Litvin által publikált [Lit72] módszert. A Σ1 és Σ 2 fogfelületek vonalmenti érintkezése esetén az érintkezési vonalhoz húzott érintő irányában a felületek normálgörbületei egyenlők, így a redukált normálgörbület χ ( p ) = 0 , az érintőre merőleges irányban pedig maximum értéket vesz fel. P) χ (max =−

2 2 + a 32 a 31 , b 3 + a 31v I(12 ) + a 32 v II(12 )

(3.54)

ahol a31 = ( e(1)ω(12)iI ) − χI vI(12) ,

a32 = ( e(1)ω(12)iII ) − χIIv II(12) ,

(3.55)

(1) º b3 = e(1) ª¬( ω(2) × v(1) × v(2) e ) − (ω e )¼

és v(12) = v I(12)iI + v II(12)iII .

(3.56)

27

3.6 Tengelymetszetben körív profilú (ZTA) csigahajtópárok geometriai és kinematikai viszonyai 3.6.1

Nem vonalfelületű hengeres csigahajtások

A konvolút, archimedesi és evolvens csavarfelületekkel szemben, amelyek egyenes csavarmozgásával írhatók le, a nem vonalfelületű hengeres csigahajtások egyik jellemző metszetében sincsenek egyenes vonalak. A nem vonalfelületű csavarfelület kialakítható megfelelő profilú késsel, illetve kúpos tárcsa vagy tórusz alakú szerszámmal. A homorú ívelt fogfelület egy körív, mint alkotó görbe csavarmozgása által jön létre. Az alkotógörbe elvileg a csiga tetszőleges metszetében helyezkedhet el. A korszerű, nagy teherbírású hengeres csigahajtások, a későbbiekben részletesen ismertetendő kedvező fogazati hatásfoka és teherbírása miatt ívelt profillal készülnek. A csiga köszörülhetősége miatt az ívelt profilú csigahajtópárokat tórusz alakú szerszámmal készítik. Ez esetben az alkotógörbének a csiga normál vagy tengelymetszetében kell elhelyezkednie, hogy a köszörűkorong lehúzható legyen. A továbbiakban a vizsgálatok tárgyát az olyan homorú, ívelt profilú csigahajtópárok képezik, amelyek tengelymetszete körív profillal jellemezhető. Alapgondolatuk Krivenko-tól származik [Kri69]. Ezt a hajtópár geometriát a szakirodalom ZTA rövidítéssel jelöli. A tengelymetszetben körív profilú csigahajtások gyártásgeometriájának tisztázása, a kapcsolódási viszonyok optimalizálása terén Magyarországon úttörő jellegű munkát végzett Dudás Illés [Dud73], [Dud82] és Drobni József [Dro68], [Dro01]. 3.6.2

A ZTA típusú csiga fogfelületének leírása, a kapcsolódás egyenlete

A csigához rögzített S1 forgó koordinátarendszerben a jobbos menetemelkedésű csiga fogfelületének egyenletei a 3.5 ábrának megfelelően: x1 = u ⋅ cos ϑ, y1 = u ⋅ sin ϑ,

(3.57)

2 z1 = p ⋅ ϑ ± zax * ρax − (K − u)2 ,

t1 = 1, azaz a felületet meghatározó helyvektor ª x1 º «y » r1 ( u, ϑ) = « 1 » . « z1 » « » ¬« t1 ¼»

(3.58)

28

3.5 ábra. Tengelymetszetben körív profilú csiga felületének származtatása

A felső előjelek fog jobb-, az alsó előjelek a baloldali felületre érvényesek. A továbbiakban az összefüggéseket a jobboldali fogfelületre vezetjük le, a másikra vonatkozó egyenletek a fenti előjelszabály figyelembe vételével adódnak. Így a jobbos menetemelkedésű csiga jobb oldali fogfelületét leíró skalár egyenletek: x1 = u ⋅ cos ϑ, y1 = u ⋅ sin ϑ,

(3.59)

z1 = p ⋅ ϑ + zax − ρ2 − (K − u)2 , t1 = 1.

Szükséges a további számításokhoz az r1 helyvektor u és ϑ paraméterek szerinti parciális deriváltjainak az előállítása. cos ϑ ª « sin ϑ ∂r1 « K −u =« ∂u « − 2 2 « ρ − (K − u) « 0 ¬

º » » » , » » » ¼

(3.60)

ª −u ⋅ sin ϑº « » ∂r1 « u ⋅ cos ϑ » = , » p ∂ϑ « « » 0 ¬ ¼

(3.61)

29

0 ª º « » 0 « » 2 2 « » ∂ r1 (K − u ) 1 , = « » + 3 ∂u2 « 2 2 2 · » 2 § ρ − (K − u ) ¨ ρ − (K − u ) ¸ » « © ¹ « » 0 «¬ »¼

(3.62)

ª − sin ϑº « cos ϑ » ∂ r1 » , =« « ∂u∂ϑ 0 » « » ¬ 0 ¼

(3.63)

ª −ucos ϑº « » ∂ 2r1 « −u sin ϑ » = . » ∂ϑ2 « 0 « » ¬ 0 ¼

(3.64)

2

A felületi normális

n1 =

∂r1 ∂r1 × = ∂u ∂ϑ

i

j

cos ϑ

sin ϑ

k −

−u ⋅ sin ϑ u ⋅ cos ϑ

(K − u) ρ2 − (K − u)2

=

p

u(K − u) ª º cos ϑ » « p ⋅ sin ϑ + 2 2 ρ − (K − u) « » « » u(K − u) sin ϑ» . = « −p ⋅ cos ϑ + 2 ρ − (K − u)2 « » « » u « » «¬ »¼ 0

(3.65)

Ortogonális csigahajtások esetén γ=90° és Ay=Az=0, amelyekkel a kapcsolódási egyenlet az

S1 koordinátarendszerben: nx1 [ − y1 − i21z1 cos ϕ1 ] + +ny1 [ x1 + i21z1 sin ϕ1 ] +

(3.66)

+nz1 [i21(x1 cos ϕ1 − y1 sin ϕ1 + A x )] = 0 .

Az S álló koordinátarendszerben a jobbos menetemelkedésű csiga jobboldali fogfelületét leíró helyvektor:

30

ªxº «y» r ( u, ϑ ) = « » , «z» « » ¬t¼

(3.67)

x
u  cos(+  K1), y
u  sin(+  K1),

(3.68)

z
p  +  zax  S 2  (K  u)2 , t
1. A felületi normális: n=

∂r ∂r , × ∂u ∂ϑ

(3.69)

amelyben ª cos(ϑ + ϕ1) º « sin(ϑ + ϕ ) » 1 » ∂r « » , K −u =« ∂u « − 2 2 » « ρ − (K − u) » «¬ »¼ 0

(3.70)

ª −u ⋅ sin(ϑ + ϕ1 )º « » ∂r « u ⋅ cos(ϑ + ϕ1 ) » = , » p ∂ϑ « « » 0 ¬ ¼

(3.71)

n=

∂r ∂r × = ∂u ∂ϑ

i

j

cos(ϑ + ϕ1 )

sin(ϑ + ϕ1 )

k −

−u ⋅ sin(ϑ + ϕ1 ) u ⋅ cos(ϑ + ϕ1 )

(K − u) ρ2 − (K − u)2

=

p

u(K − u) ª º cos(ϑ + ϕ1 ) » « p ⋅ sin(ϑ + ϕ1 ) + 2 2 ρ − (K − u) « » « » u(K − u) sin(ϑ + ϕ1 )» . = « −p ⋅ cos(ϑ + ϕ1 ) + 2 ρ − (K − u)2 « » « » u « » «¬ »¼ 0

(3.72)

Az S álló vonatkoztatási rendszerben a kapcsolódási egyenlet az ny x – nx y +i21[nz(x+Ax)-nx z] = 0

(3.73)

alakba írható.

31

A felületi normális nx, ny és nz komponenseit behelyettesítve a (3.73) kapcsolódási egyenletbe kapjuk a következő összefüggést: ª º u(K − u) cos(ϑ + ϕ1)» ( − y − z ⋅ i21) + «p ⋅ sin(ϑ + ϕ1) + ρ 2 − (K − u)2 «¬ »¼ ª º u(K − u) + « −p ⋅ cos(ϑ + ϕ1) + sin(ϑ + ϕ1)» x + ρ2 − (K − u)2 «¬ »¼ +u(x + A x )i21 = 0 .

(3.74)

Adott ϕ1 elfordulási szög esetén az egyenletet kielégítő (u, ϑ ) koordinátájú pontok alkotják a kapcsolódási vonalakat. Mivel a fenti egyenlet az u és ϑ paramétereket implicit módon tartalmazza, így az egyenletet kielégítő pontpárok csak iterációval határozhatók meg. A pillanatnyi érintkezési vonalak számítására kidolgozott algoritmus folyamatábrája az I. számú mellékletben található. A numerikus számításhoz egy C forrásnyelvű programot fejlesztettem ki, amellyel a pillanatnyi érintkezési vonalak számíthatók. A program bemenetét képező főbb geometriai adatokat egy létező, vizsgált hajtópár típusra [Dud00] a 3.1 táblázat foglalja össze. 3.1 táblázat. A vizsgált ZTA típusú csiga főbb geometriai méretei

tengelytáv

Ax=280 mm

áttétel

i12=11,67

modul

m=12,5 mm

csiga fogszám

z1=3

körívsugár

ρ=50 mm

ívsugártáv

K=69,5 mm

csavarparaméter

p=18,75 mm

közephenger átmérője

dm1=97,5 mm

csigakerék fogszám

z2=35

profileltolás–tényező a csigakeréken

x2=1

A 3.6, 3.7 és 3.8 ábrák a vizsgált hajtópár pillanatnyi érintkezési vonalainak a csiga fejhengere és a csigakerék fejfelülete által meghatározott kapcsolómezőbe eső szakaszait mutatják be. A különböző ϕ1 csigatengely szögelfordulásokhoz tartozó érintkezési vonalakat más-más színek jelölik.

32

x1

y1

3.6 ábra. Pillanatnyi érintkezési vonalak a vizsgált csiga homlokmetszetében különböző kapcsolódási helyzetekben x1

z1

3.7 ábra. A pillanatnyi érintkezési vonalak a csiga tengelymetszetében ábrázolva y1

z1

3.8 ábra. A pillanatnyi érintkezési vonalak a csiga felülnézetében ábrázolva

A csigakerék Σ2 fogfelülete mint az S2, csigakerékhez rögzített koordinátarendszerben felírt pillanatnyi érintkezési vonalak burkolófelülete állítható elő. F1(u, ϑ , ϕ1)=0 , r1=r1(u, ϑ ) ,

33

r2=M21r1 ,

(3.75)

Ortogonális csigahajtópárok esetén γ=90°, és ha Ay=Az=0, valamint az állandó áttétel miatt ϕ2 = i21 ⋅ ϕ1 , így a (I.10) transzformációs mátrix a következő egyszerűbb alakba írható: ª cos ϕ1 cos(i21 ⋅ ϕ1) − sin ϕ1 cos(i21 ⋅ ϕ1) − sin(i21 ⋅ ϕ1) A x cos(i21 ⋅ ϕ1) º « − cos ϕ sin(i ⋅ ϕ ) sin ϕ sin(i ⋅ ϕ ) − cos(i ⋅ ϕ ) − A sin(i ⋅ ϕ )» 1 21 1 1 21 1 21 1 x 21 1 » M21 = « « » sin ϕ1 cos ϕ1 0 0 « » 0 0 0 1 ¬ ¼

3.6.3

(3.76)

Sebesség- és görbületi viszonyok

A relatív mozgás sebességvektora a (3.54) alapján az 1-es fogfelületre az álló S vonatkoztatási rendszerben:

vr(1)

ª ∂x(1) « « ∂u « ∂y(1) 1 1 ∂r ( ) du ∂r ( ) dϑ « = + = ∂u ∂u dt ∂ϑ dt « (1) « ∂z « ∂u « «¬

du ∂x (1) + dt ∂ϑ du ∂y(1) + dt ∂ϑ du ∂z(1) + dt ∂ϑ 0

dϑ º ªcos ϑ + ϕ du − u ⋅ sin ϑ + ϕ dϑ º ( ( 1) 1) » « dt dt » dt » « » dϑ » «sin ( ϑ + ϕ ) du + u ⋅ cos ( ϑ + ϕ ) dϑ » 1 1 « dt dt » dt »» = « » K −u du dϑ » dϑ » « − +p 2 2 dt « » dt » (K u) ρ − − dt a » » « 0 »¼ ¼» «¬

(3.77)

Legyen a továbbiakban a rövidebb írásmód miatt: ∂x (1) ∂u

= xu ,

∂x (1) ∂ϑ

= xϑ ,

∂y (1) ∂u

= yu ,

∂y (1) ∂ϑ

= yϑ ,

∂z (1) ∂u

= zu ,

∂z (1) ∂ϑ

= zϑ ,

amely parciális deriváltakat már korábban a (3.70), (3.71) összefüggésekkel meghatároztunk. Az 1-es fogfelülethez tartozó felületi normális egységvektor az S álló koordinátarendszerben

e(1) =

n(1) n(1)

K −u ª « p ⋅ sin(ϑ + ϕ1 ) + u ⋅ cos(ϑ + ϕ1 ) 2 ρa − (K − u)2 « « K −u 1 « −p ⋅ cos(ϑ + ϕ1 ) + u ⋅ sin(ϑ + ϕ1 ) = 2 « ρa2 − (K − u)2 ρa p 2 + u2 2 « ρa − (K − u)2 « u «¬ 0

º » » » » . » » » »¼

(3.78)

A (3.52) Rodrig-féle képlet alkalmas az 1-es felület χ I,II főgörbületeinek meghatározására. A főirányok meghatározásához fel kell használni, hogy ϕ1=állandó, ezért v r(1) és e r(1) vektorok kollineárisak, azaz érvényes a (3.53) kifejezés.

34

dϕ 1 = 0 , valamint a dt

1 e r( )

du dϑ º ª «e xu dt + e xϑ dt » « » du dϑ » « + e yϑ ∂e du ∂e ∂ϑ «e yu = + = dt dt » ∂u dt ∂ϑ dt « » « ezu du + e zϑ dϑ » « dt dt » « » 0 ¬ ¼

(3.79)

a felületi normális egységvektor végpontjának sebessége a pontnak a felület mentén való mozgásakor. Az r index a felület mentén végzett relatív mozgásra utal. A kollinearitást kifejező (3.53) egyenletet felhasználva xu e xu

du dϑ yu + xϑ dt dt = du dϑ e yu + e xϑ dt dt

amelyet kifejtve és

du dϑ + yϑ dt dt , du dϑ + e yϑ dt dt

(3.80)

dϑ -ra rendezve kapjuk az alábbi másodfokú egyenletet: du 2

(e yϑ x ϑ − e xϑ y ϑ )§¨ dϑ ·¸ + (e yu x ϑ + e yϑ x u − e xϑ y u − e xu y ϑ )§¨ dϑ ·¸ + (e yu x u − e xu y u ) = 0 , © du ¹ © du ¹

(3.81)

§ dϑ · amelynek ¨ ¸ gyökei segítségével – a gyökök (3.25) egyenletbe való behelyettesítésével © du ¹I,II

– a felület iI és iII főirányai meghatározhatóak. A behelyettesítések és a lehetséges egyszerűsítések közlésétől eltekintve a másodfokú egyenlet gyökei a következők:

( )(

)

ρ2u p 2 + uK ρ2 − (K − u ) § dϑ · ± ¨ du ¸ = 2 © ¹I,II 2p ρ2 − (K − u ) −K 2p 2 + p 2ρ2 + 2uKp 2 − p 2u2 + u2ρ2

(

±

(

ρ 4u2 p 2 + uK

)

2

(ρ

2

− (K − u )

(

2

2

(3.82)

)

) + 4pρ (ρ 2

2p ρ2 − (K − u )

2

2

)(

− K 2 + uK ρ2 − (K − u )

) ( −K p 2

2

2

) ( −K p 2

2

+ p 2ρ2 + 2uKp 2 − p 2u2 + u2ρ2

+ p 2ρ2 + 2uKp 2 − p 2u2 + u2ρ2

)

)

Az iI,II görbületi főirányok ∂r (1) ∂r (1) § dϑ · + . iI,II = ∂u ∂ϑ ¨© du ¸¹I,II

(3.83)

A főirányokhoz tartozó főgörbületek a Rodrig-féle képlet alkalmazásával pedig

35

χ I,II

§ dϑ · e xu + e xϑ ¨ ¸ © du ¹ I,II . =− § dϑ · xu + xϑ ¨ ¸ © du ¹ I,II

(3.84)

A csigakerék fogfelület görbületi viszonyainak a meghatározására alapvetően két lehetőség kínálkozik. Az egyik lehetőség, hogy a csigakerék felületét előállítjuk a csiga–csigakerék pillanatnyi érintkezési vonalainak a burkolófelületeként, a másik, hogy a kinematikai módszer alkalmazásával, a csiga görbületi viszonyai és a mozgásparaméterek felhasználásával, a csigakerék fogfelületének felírása nélkül határozzuk meg görbületi viszonyait. A körív profilú csigahajtópárok esetében az utóbbi módszer a célravezető, mivel a csigakerék fogfelületének a (3.75) egyenletrendszerrel való megadása a transzcendens kifejezések miatt komoly nehézségekbe ütközik. A tribológiai viszonyok számításához a fogfelületek redukált normálgörbületére lesz szükség a pillanatnyi érintkezési vonalak pontjaiban. Mivel vonalmenti érintkezés esetén a felületek érintkezési vonalának bármely pontjában, a ponthoz húzott érintő irányában a felületek normálgörbületei egyenlők, így a redukált normálgörbület értéke χ (P ) = 0 , az érintőre merőleges irányban a maximum értéket veszi fel, mely a (3.54), (3.55) és (3.56) összefüggések segítségével számíthatók. A v e(1) és v e(2 ) szállítósebesség vektorok a (3.49), (3.50) egyenletek alapján

v (e1)

ª0 − 1 «1 0 (10 ) = P0 r = « «0 0 « ¬0 0

v (e2 )

ª 0 « 0 ( 20 ) = P0 r = « «− i 21 « ¬ 0

0 0 0 0

0º ª− y º » « x » 0» r=« » , «0 » 0» » « » 0¼ ¬0 ¼

0 i 21 0 0 0 0 0 0

(3.85)

0 º z ⋅ i 21 ª º » « » 0 » 0 « » . r= «− i 21 (x + A x )» − A x i 21 » » « » 0 ¼ 0 ¬ ¼

(3.86)

A szögsebesség vektorok pedig a (I.23), (I.24) és (I.25) egyenletek alapján ω (12) = ω (1) − ω (2) ,

(3.87)

ω(1) = 1 k ,

(3.88)

ω(2) = i21j ,

(3.89)

36

ω(12) = - i21 j + 1 k ,

(3.90)

melyeket felhasználva

v (12 )

− 1 − i 21 0 0 0 0 0 0

ª0 «1 (12 ) = P0 r = « «i 21 « ¬0

0 º ª − y − zi21 º » « » 0 » x « » . r= «i 21 (x + A x )» A x i 21 » » « » 0 ¼ 0 ¬ ¼

(3.91)

Szemléletesebb, ha a normálgörbület helyett annak reciprokát a redukált normálgörbületi sugarat ábrázoljuk, amelynek az érintkezési vonalak menti változását mutatja be a 3.9 ábra a 3.1 táblázatban szereplő hajtópár geometriára. Az ábrán látható eredményeket az I. sz. mellékletben található algoritmus alapján működő saját fejlesztésű program redukált normálgörbületet számító modulja jeleníti meg. A különböző kapcsolódási helyzetekhez tartozó érintkezési vonalak különböző színek jelölik, a függőleges szakaszok hossza a redukált normálgörbületi sugárral arányos. x1

y1 RE [mm] 1500 1000 500

3.9 ábra. Redukált normálgörbületi sugár változása a pillanatnyi érintkezési vonalak mentén különböző kapcsolódási helyzetekben

A csiga fogfelület görbületi viszonyainak meghatározása a differenciálgeometria módszerével

Az elsőrendű főmennyiségek ª « cos ϑ 2 « ª º K −u § ∂r1 · E = ¨ ¸ = «cos ϑ sin ϑ − sin ϑ »« 2 2 « ∂ u © ¹ «¬ ρ − (K − u) »¼ K −u «− « ρ2 − (K − u)2 ¬ 37

º » 2 » K − u) » = 1+ ( , (3.92) » ρ2 − (K − u)2 » » ¼

K −u § ∂r ·§ ∂r · ª F = ¨ 1 ¸¨ 1 ¸ = «cos ϑ sin ϑ − © ∂u ¹© ∂ϑ ¹ «¬ ρ2 − (K − u)2

ª −u ⋅ sin ϑº º« K −u » » « u ⋅ cos ϑ » = −p »¼ « ρ2 − (K − u)2 »¼ p ¬

ª −u ⋅ sin ϑº 2 § ∂r1 · G = ¨ ¸ = [ −u ⋅ sin ϑ u ⋅ cos ϑ p] «« u ⋅ cos ϑ »» = p2 + u2 , © ∂ϑ ¹ «¬ »¼ p

, (3.93) (3.94)

illetve a másodrendű főmennyiségek, a behelyettesítéseket és lehetséges egyszerűsítéseket nem részletezve: § 1 § ∂ 2r1 · § ∂r1 ·§ ∂r1 · 1 ¨ 2 L = ¨ 2 ¸¨ ¸¨ ∂ϑ ¸ = D ¨ ρ D © ∂u ¹ © ∂u ¹© ¹ ¨ ©

M=

· ¸ , 3 ¸ 2 2 ρ − (K − u) ¸ ¹

u

1 § ∂ 2r1 · § ∂r1 · § ∂r1 · 1 = ( −p ) , ¨ ¸ D © ∂u∂ϑ ¹ ¨© ∂u ¸¹ ¨© ∂ϑ ¸¹ D

(3.95)

(3.96)

§ 1 § ∂ 2r1 · § ∂r1 ·§ ∂r1 · 1 ¨ 2 K −u N = ¨ 2 ¸¨ = −u ¸¨ ¸ 2 D © ∂ϑ ¹ © ∂u ¹© ∂ϑ ¹ D ¨¨ ρ2 − ( K − u ) ©

· ¸ , ¸¸ ¹

(3.97)

ahol 2

ρa D = EG − F = p + u 2 , ρa − (K − u)2 2

2

2

(3.98)

ami a felületi normálisvektor abszolútértéke. Az így meghatározott χI =

1 1 , illetve χII = főgörbületekhez tartozó iI illetve iII főirányok RI RII

a 2

§ dϑ · § dϑ · (GM − FN) ¨ + (GL − EN) ¨ ¸ ¸ + (FL − EM) = 0 © du ¹ © du ¹

(3.99)

egyenletből számíthatók ki. 2

§ dϑ · § dϑ · + B¨ A fenti A ¨ ¸ ¸ + C = 0 alakú másodfokú egyenlet együtthatói a behelyettesítések, © du ¹ © du ¹

egyszerűsítések után a következők: 2 ª u2 ( K − u ) º 2 2 » , A = −p «p + u − 2 2 ρ − (K − u ) »¼ «¬

(3.100)

38

B=

C=

(

ρ2u p2 + uK

)

§ ρ2 − K − u 2 · ( ) ¸ ¨ © ¹

(

pρ2 ρ2 − K 2 + uK ρ − (K − u ) 2

2

,

3

2

)

(3.101)

.

(3.102)

Az egyenlet megoldásai pedig ρ 2u ( p 2 + uK ) ρ 2 − (K − u ) § dϑ · = ± ¨ du ¸ 2 © ¹I,II 2p ρ 2 − (K − u ) ( −K 2p 2 + p 2ρ 2 + 2uKp 2 − p 2u2 + u2ρ 2 ) 2

(

ρ 4u2 ( p 2 + uK ) ρ 2 − (K − u ) 2

±

(

)

(

2

) + 4pρ (ρ 2

2p ρ 2 − (K − u )

2

2

(

− K 2 + uK ) ρ 2 − (K − u )

) ( −K p 2

2

(3.103) 2

) ( −K p 2

2

+ p 2ρ 2 + 2uKp 2 − p 2u2 + u2ρ 2 )

+ p 2ρ 2 + 2uKp 2 − p 2u2 + u2ρ 2 )

.

A főgörbületek: 2

1 = RI,II

χI,II =

§ dϑ · § dϑ · + N¨ L + 2M ¨ ¸ ¸ © du ¹I,II © du ¹I,II 2

§ dϑ · § dϑ · + G¨ E + 2F ¨ ¸ ¸ © du ¹I,II © du ¹I,II

.

(3.104)

A főgörbületi irányokat meghatározó vektorok pedig:

iI,II =

∂r1 ∂r1 § dϑ · + . ∂u ∂ϑ ¨© du ¸¹I,II

(3.105)

A levezetett összefüggések helyességét igazolja, hogy a vizsgált körívprofilú csiga fogfelületének főirányait és főgörbületeit meghatározva mindkét módszer ugyanarra az eredményre vezet. A csigakerék görbületi viszonyainak számítása a fenti differenciálgeometriai összefüggéseket alkalmazva nehézkes, mivel a kerék fogfelületének zárt alakú felírása nem lehetséges. Gyakran alkalmazott közelítés [Sze57], [MarKilRoh70], [Pre82], hogy a csiga tengelymetszeti síkjával párhuzamos metszeteket vizsgálunk, melyekre alkalmazva a fogkapcsolódás alaptörvényét a csigakerék adott metszethez tartozó profilja előállítható. Ezen csigatengellyel párhuzamos síkmetszeteknek az érintkezési vonalakkal adódó metszéspontjaiban a kerék görbületi viszonyai az alábbi egyszerűsítő feltevések figyelembe vételével közelítőleg előállíthatók. A csigakerékfog, a koordináta–transzformációval való előállítás során, a helyhez kötött S koordinátarendszerhez képest ϕ2 szöggel elfordul. Kicsi szögelfordulás esetén a szög szinusza közelítőleg a szög radiánban mért nagyságával, a koszinusza pedig 1-gyel egyenlő. Ezeknek a

39

feltevéseknek a figyelembe vételével a trigonometrikus kifejezéseket többszörösen tartalmazó parciális deriváltak lényegesen egyszerűbb alakba írhatók. Így közelítőleg előállíthatóak a csigakerék fogfelületének főgörbületei és a redukált normálgörbület. 1800 Kinematikai módszer

1600 1400 1200

Differ enciálgeometriai

E

1000 800 600 400 200 0 0

20

40

60

80

100

120

ϕ1 [°]

3.10 ábra. A redukált normálgörbületi sugár változásának összehasonlítása

A kétféle számítási módszer pontosságának és hatékonyságának összehasonlítására kifejlesztettem a differenciálgeometriai összefüggéseket felhasználó numerikus algoritmust is. A 3.10 ábrán a vizsgált hajtópár példáján látható, hogy a kétféle módon számított görbületi viszonyok között jelentős eltérés nem mutatkozik. A számítási algoritmusok tekintetében megállapítható, hogy a differenciálgeometriai összefüggéseket felhasználó, tengelymetszettel párhuzamos metszeteket vizsgáló algoritmus hatékonyabb, gyorsabb, mivel a teljes kapcsolódási tartomány vizsgálata helyett csak a tartományba eső metszeteket vizsgálja. További előnyös tulajdonsága, hogy a párhuzamos metszetekben a csigakerék profilját is előállítja, így lehetőség nyílik a csigakerék esetleges fogkihegyesedésének meghatározására is. 3.6.4

A súrlódási viszonyok szempontjából lényeges sebességviszonyok meghatározása

Hidrodinamikailag hatásos sebesség

A (3.28) egyenlet felhasználásával v(12) relatívsebesség vektor hidrodinamikailag hatásos, érintkezési vonalra merőleges sebességkomponense:

v Σ = v (12) = v(12) sin δ = ( − y − z ⋅ i21)2 + x 2 + (i21(x + A x ))2 ⋅ sin δ , m ahol a δ szög a (3.27) egyenletből

40

(3.106)

δ = arc cos(

vr(1) v(12) ). vr(1) v(12)

(3.107)

A 3.11 ábra a csiga homlokmetszetében ábrázolja a hidrodinamikailag hatásos sebesség eloszlását a pillanatnyi érintkezési vonalak mentén, a 3.1 táblázatban szereplő hajtópár– geometriára. Hasonlóan a görbületi viszonyok ábrázolásához, itt is különböző színek jelölik a különböző kapcsolódási helyzeteket, a sebesség értékek pedig a vonalszakaszokkal arányosak. x1

y1

vΣ [m/s] 5 2,5

3.11 ábra. A hidrodinamikailag hatásos sebesség eloszlása a pillanatnyi érintkezési vonalak mentén, különböző kapcsolódási helyzetekben

A 3.11 ábrán jól látható, hogy a kapcsolómező bizonyos tartományaiban, a csiga tengelymetszeti síkjának közelében a hidrodinamikailag hatásos sebesség zérus értékre csökken, mely a kenési viszonyok szempontjából igen kedvezőtlen. Csúszási sebesség

A csúszási sebesség, melynek nagysága a v(12) relatív sebességvektor abszolút értéke, befolyásolja a kenőrésben kialakuló nyírófeszültséget, és ezzel a folyadéksúrlódásból származó veszteséget. A 3.12 ábra a csúszási sebesség változását mutatja be a vizsgált hajtópárra a pillanatnyi érintkezési vonalak mentén.

41

x1

y1

vg [m/s] 8 4

3.12 ábra. A csúszási sebesség eloszlása az érintkezési vonalak mentén, különböző kapcsolódási helyzetekben

Az ábra alapján megállapítható, hogy a csúszási sebesség jelentősen nem változik adott kapcsolódási helyzetben, a pillanatnyi érintkezési vonalak mentén, csupán kismértékű csökkenés figyelhető meg a csiga lábhengere irányában. 3.6.5

A fogazati paraméterek változtatásának hatása a kinematikai, geometriai viszonyokra

A numerikus vizsgálatok kiindulási alapját a 3.1 táblázatban megadott hajtópár geometria képezte. Vizsgáljuk meg a többi fogazati paraméter rögzített értéke mellet az − az x2 profileltolás–tényező, − a ρ körívsugár és − a K ívsugártáv változtatásának hatását, az érintkezési vonalak alakja, elhelyezkedése, valamint a redukált görbületi sugár és a hidrodinamikailag hatásos sebesség változása szempontjából. Az érintkezési vonalakat a kapcsolómezőn kívül is ábrázoltuk, hogy elhelyezkedésük könynyebben értékelhető legyen. Az ábrákon megfigyelhető az érintkezési vonalak metszéspontjaként adódó két csomópont, amely a körívprofilú csigahajtópárok egyik jellegzetessége. A hajtópárok hordképének minősítése gyakran a két csomópont és a homlokmetszetben adódó tengelypont által bezárt β középponti szög alapján történik [DudVarBan96].

42

β

β

x2=0,8

x2=1,0

β

β

x2=1,2

x2=1,5

3.13 ábra. A csigakerék profileltolás–tényező változtatásának hatása a pillanatnyi érintkezési vonalak alakjára, helyzetére

A 3.13 ábra alapján megállapítható, a profileltolás–tényező növelése az érintkezési vonalak alakját, helyzetét kedvezően befolyásolja, ami azt jelenti, hogy egyre több vonal kerül a hidrodinamikai teherbírás szempontjából kedvező sugárirányú helyzet közelébe. Nem célszerű azonban túlságosan nagy értéket sem választani, mert x2=1,5 esetén a kapcsolómező kilépési tartományában már kedvezőtlenül helyezkednek el az érintkezési vonalak. A profileltolás– tényező növelése a hajtópár hordképét minősítő β középponti szöget jelentősen csökkenti. Vizsgáljuk meg a profileltolás–tényezőnek a görbületi és sebességviszonyokra gyakorolt hatását. A 3.14 ábrán a redukált normálgörbületi sugár, egy kapcsolódási helyzeten belül átlagos értékét ábrázoltuk, különböző profileltolás–tényező esetén a ϕ1 mozgásparaméter függvényében. Mivel a vizsgálat tárgyát képező hajtópár esetén a csiga fogszáma z1=3, ezért elegendő a ϕ1=0°-120° tartományt vizsgálni, mert a kapcsolódási viszonyok 120°-onként ismétlődnek. Az ábra megmutatja, hogy a profileltolás–tényező növelése jóllehet jelentősen növeli bizonyos kapcsolódási helyzetekben az átlagos redukált normálgörbületi sugár értékét, azonban a legördülés során, más helyzetekben jelentős mértékben lecsökken. A profileltolás–tényező

43

1,0–1,2 értékei esetén a redukált normálgörbületi sugár átlaga még nem változik jelentősen, de ennél nagyobb érték a vizsgált geometriával rendelkező hajtópárnál nem javasolható. 1600 1400 1200 x2=0,8 x2=1,0 x2=1,2 x2=1,5

1000 E

800 600 400 200 0 0

20

40

60

80

100

120

ϕ1 [°]

3.14 ábra. A redukált görbületi sugár átlagos értékének változása a csiga szögelfordulásának függvényében különböző profileltolás-tényezők esetén

A hidrodinamikailag hatásos sebesség alakulását mutatja be a 3.15 ábra különböző profileltolás–tényezők esetén, a mozgásparaméter függvényében. 6 5 4

x2=0,8 x2=1,0 x2=1,2 x2=1,5

Σ

3 2 1 0 0

20

40

60

80

100

120

ϕ1 [°]

3.15 ábra. A hidrodinamikailag hatásos sebesség átlagos értékének változása(n1=1000 1/min) a csiga szögelfordulásának függvényében, különböző profileltolás–tényező esetén

A sebességviszonyokat tekintetve megállapítható, hogy a profileltolás–tényező növelése csökkenti a hidrodinamikailag hatásos sebesség változásának nagyságát, tehát ebből a szempontból kedvező a nagyobb profileltolás–tényező alkalmazása a csigakeréken.

44

β

ρ=50 mm, K=69,5 mm

β

β

ρ=55 mm, K=69,5 mm

ρ=60 mm, K=69,5 mm

3.16 ábra. A körívsugár változtatásának hatása az érintkezési vonalak alakjára, helyzetére

A 3.16 ábra a ρ körívsugár változtatásának hatását ábrázolja az érintkezési vonalak alakjára, helyzetére. Megállapítható hogy, a körívsugár növelése csak nagyon kis mértékben javítja az érintkezési vonalak elhelyezkedését, kis mértékben növeli a β középponti szöget és ezzel kapcsolómező szélességét. 2000 1500

Rmax, ro=50 mm Rmax, ro=55 mm R_átl, ro=50 mm R_átl, ro=55 mm

E

1000 500 0 0

20

40

60

80

100

120

ϕ1 [°]

3.17 ábra. A redukált normálgörbületi sugár maximális és átlagos értékének változása különböző körívsugár esetén, a csigatengely szögelfordulás függvényében

45

A 3.17 ábrából kitűnik, hogy a körívsugár növelése jelentősen nem növeli sem a normálgörbületi sugár maximális, sem az átlagos értékét. Ugyanerre az eredményre vezet a hidrodimaikailag hatásos sebesség vizsgálata is. A K körívsugár távolságnak változtatását mutatja be a 3.18 ábra.

β

β

K=68 mm

K=71 mm

3.18 ábra. Az ívsugártáv változtatásának hatása az érintkezési vonalak alakjára, helyzetére

Az ívsugártáv növelése sem javítja jelentősen a pillanatnyi érintkezési vonalak helyzetét a kenés hatékonyságának szempontjából. A kapcsolódási vonalak csomópontjainak elhelyezkedését jellemző β középponti szöget és ezzel a hordképet az ívsugártáv növelése nagyobb mértékben növeli, mint a körívsugár, amit a szakirodalomban található adatok is megerősítenek [DudVarBan96]. A redukált normálgörbületi sugár átlagos értékeinek változására szintén nem gyakorol jelentős hatást az ívsugártáv növelése, mint azt a 3.19 ábra bemutatja. Hasonlóan a ρ körívsugár értékének változtatásához, a K körívsugártáv változtatása sem befolyásolja gyakorlatilag a hidrodinamikailag hatásos sebességet, amelynek változását a 3.20 ábra mutatja be. 800 700 600 500 K=68 mm K=69,5 mm K=71 mm

E

400 300 200 100 0 0

20

40

60

80

100

120

ϕ1 [°]

3.19 ábra. A redukált normálgörbületi sugár átlagos értékének változása különböző ívsugártáv esetén, a csigatengely szögelfordulásának függvényében 46

6 5 4 K=68 mm K=69,5 mm K=71 mm

Σ

3 2 1 0 0

20

40

60

80

100

120

ϕ1 [°]

3.20 ábra. A hidrodinamikailag hatásos sebesség átlagos értékének változása különböző ívsugártáv esetén, a csigatengely szögelfordulásának függvényében

A fogazati paraméterek változtatásának hatását vizsgálva összefoglalásképpen megállapítható, hogy a csigakerék profileltolás–tényezőjének növelése kedvezően befolyásolhatja a kenési viszonyokat, míg a körívsugár és az ívsugártáv változtatása gyakorlatilag nem befolyásolja azt. A profileltolás–tényező növelésének a csigakerék fogkihegyesedése szab határt, melynek meghatározásához, az I. számú mellékletben közölt algoritmus jól használható. A kifejlesztett számítógépes programmal meghatározott csiga és csigakerékprofilt két profileltolás érték a 3.21 ábra mutatja be.

x2=1,0

x2=1,5

3.21 ábra. A csigakerék profil két profileltolás érték esetén a csiga tengelymetszetében

47

4

A hajtópárok fogfelületei között fellépő érintkezési viszonyok vizsgálata

Elsőként, mint ismeretes Hertz [Her1895] foglalkozott az érintkezési nyomáseloszlások vizsgálatával. A csigahajtásokban fellépő alakváltozások rendszerező vizsgálatát Hertz eredeti feltételezéseit használva Grubin és Vinograda [GruVin49] végezte el. Az érintkező testek klasszikus érintkezési elmélete alapján számított adatokat mért értékekkel hasonlították össze fogaskerék- és csigahajtópárok esetén. Az érintkezés klasszikus elméletében két teljesen rugalmas, izotróp és homogén körhenger esetén feltételezzük, hogy: − a hengerek végtelen hosszúak; − tengelyeik párhuzamosak; − felületük abszolút sima; − a hengereket két egyenlő nagyságú, ellentétes irányú, hosszuk mentén egyenletesen megoszló, állandó nagyságú erő terheli; − a hengerek érintkezési helyén ébredő feszültségek követik a Hooke-törvényt; − a hengerek sugarai az érintkező felületek méretéhez képest nagyok; − az alakváltozás hatására kialakult érintkező felület sík, amely párhuzamos az alakváltozás előtti érintősíkkal; − az érintkező felületek között nincs súrlódás, a nyomóerők az érintkező felületekre merőlegesek. A klasszikus, vonalmenti érintkezési elmélet eredményeit felhasználva evolvens profilú, hengeres kerekek méretezésekor feltételezzük, hogy a fogfelületek a kapcsolódás bármely helyzetében olyan egyenes körhengerekkel helyettesíthetők, melyek görbületi sugarai megegyeznek az adott érintkezési pontban az evolvensével. Erre a feltételre támaszkodva az evolvens fogfelszín szilárdsági méretezését le lehet egyszerűsíteni két henger klasszikus érintkezési feladatának megoldására az említett feltételek felhasználásával. A valóságban több feltétel nincs kellően megalapozva, mert: − az érintkező fogak hossza véges (azonban a fogak hossza az érintkező felület szélességéhez képest nagy, és a szegélyhatás, vagyis a nyomás hirtelen megnövekedése a fogvégeken csak az érintkezési vonal kis szakaszára terjed ki);

48

− a hengerek tengelyeinek párhuzamosságát a fogaskerék helyzet és alakhibája, valamint tengelyének lehajlása megváltoztatja; − a hengerfelületek abszolút simaságának feltétele, többé-kevésbé csak a nagyon simára megmunkált (szuperfiniselt és finomköszörült), valamint bejáratott fogfelületen teljesül; − a fogak feszültségi állapota nem statikus, hanem időben periodikusan változó, amit a korszerű számítási módszerekben is csak a megengedett feszültségek megállapításakor vesznek figyelembe, a fogak dinamikus feszültségi állapotának sajátosságait az érintkezés körzetében a számítás nem tükrözi; − a hajtóműalkatrészek, főleg a tengelyek alakváltozása, valamint a gyártási és szerelési hibák következtében az érintkezési feszültség a fog hossza mentén egyenlőtlenül oszlik el. A korszerű méretezési módszerekben ezt a körülményt többnyire terheléskorrekciós tényezőkkel veszik figyelembe; − a kenés hatására a közel elliptikus nyomáseloszlás szélein helyi nyomáscsúcs alakul ki, az elaszto-hidrodinamikai kenéselméletnek megfelelően, amely képlékeny alakváltozást idézhet elő (azonban ez helyi jellegű, és hatása a fogak felszíni teherbírására nem bizonyított); − a fogaskerekek érintkező felületén van súrlódás, amelynek feszültségi állapotra gyakorolt hatását figyelembe kell venni. Nem evolvens profilú fogaskerekek felszíni teherbírásának számítását is rendszerint két henger érintkezésének esetére vezetik vissza, és gyakran ezt a módszert választják a csigahajtás méretezéséhez is.

4.1 Az érintkezési feladatok áttekintése, célkitűzés Általában az érintkezési problémák megoldásakor a következő jellemzőket szükséges meghatározni: − az érintkezési tartomány helyét, − az érintkezési nyomáseloszlást, − az érintkező testek „merevtestszerű” közeledését. Az érintkezési állapot vizsgálatára többféle elmélet ismeretes, melyek közül a Hertz-féle érintkezési elmélet viszonylag sok közelítő, egyszerűsítő feltevést tartalmaz és egyszerűbb 49

problémák elemzésére alkalmas. Napjainkban a számítástechnika fejlődésével egyre nagyobb tért hódítanak a numerikus eljárások, amelyek lényegesen kevesebb egyszerűsítő feltételt alkalmaznak és bonyolultabb érintkezési feladatok megoldására is használhatóak. Ilyen eljárás a végeselemek módszere, melynek alkalmazása érintkezési feladatok megoldására a következőkben kerül bemutatásra. Különböző bonyolultabb érintkezési feladatok megoldásának is a Hertz-elmélet volt az alapja. Ezek egy része iterációs, másik része terhelésnövekményes módszerrel, esetleg variációs elvek vagy a hatásmátrix felhasználásával határozza meg a kialakuló érintkezési állapotot [VárMolKolGar87].

4.2 Csigahajtópárok fogfelületei között fellépő érintkezési nyomáseloszlás meghatározása Az ideális, gyártási és szerelési hibáktól mentes csigahajtópárok elméletileg vonal mentén érintkeznek. Az érintkezési vonalak mentén, a geometriai és kinematikai viszonyokon kívül, az érintkezési nyomáseloszlás is változik. Tekintettel a térbeli érintkezési viszonyokra, az érintkező felületek bonyolult geometriájára, különösen a nem vonalfelületű hajtópárok esetében, az érintkezési feszültség meghatározása csak további egyszerűsítő feltevésekkel lehetséges. − Az egyik lehetséges hipotézis, hogy a térbeli érintkezési vonal mentén a fogfelületek merevtestszerű közeledését állandónak tekintjük és a [VárMolKolGar87]-ben ismertetett hatásmátrixos megoldási algoritmust alkalmazzuk. − A másik hipotézis szerint az egy adott kapcsolódási helyzethez tartozó érintkezési vonalak mentén tekintsük a Hertz-féle nyomáseloszlást állandónak, és a fogak között fellépő súrlódást hagyjuk figyelmen kívül. A következőkben röviden ismertetjük a fenti egyszerűsítő feltevéseket alkalmazó módszereket a csigahajtópárok esetén, és konkrét geometriájú hajtópárok vizsgálatán keresztül elemezzük azok alkalmazhatóságát a kenésállapot értékelésére. 4.2.1 Érintkezési vonal menti állandó merevtestszerű közeledés feltételeinek alkalmazása az érintkezési viszonyok számítására A 4.1 ábra e hipotézist felhasználó, a hajtópárok geometriai modellezésére, a pillanatnyi érintkezési vonalak valamint az érintkezési viszonyok meghatározására kidolgozott algoritmus lépéseit mutatja be [Hor99a].

50

Bemenet: a csiga fogfelületének geometriája

A csiga fogfelület geometriai modelljének előállítása

A pillanatnyi érintkezési vonalak meghatározása a csiga fogfelületén

A pillanatnyi érintkezési vonalak meghatározása a csigakerék fogfelületén

A pillanatnyi érintkezés vonalakra illeszkedő burkolófelület meghatározása

A fogfelületek között fellépő érintkezési viszonyok meghatározása (VEM + hatásmátrix)

Kimenet: deformációk, érintkezési nyomáseloszlás a fogfelületek között

A csigakerék fogfelület geometriai modelljének előállítása

4.1 ábra. A fogfelületek alakváltozásának és az érintkezési nyomáseloszlás meghatározásának algoritmusa

A csiga és a csigakerék fogfelületének, illetve adott ϕ1 elfordulási szöghöz tartozó érintkezési vonalainak meghatározására az I.4. sz. mellékletben ismertetett számítási algoritmust használtam fel. A saját fejlesztésű program egyik modulja a végeselemes modellezéshez állít elő bemenő adatokat: adott geometriájú csiga esetén kiszámítja az elméleti érintkezési vonalakat, s az arra illesztett burkolófelület a csigakerékhez kötött vonatkoztatási rendszerben megadja a csigakerék fogfelületét, így lehetővé teszi a hajtópár geometriai modelljének generálását a végeselemes programrendszer számára. Ezen túlmenően meghatározza az érintkezési vonal pontjaiban a felületi normális irányát, amely a fogfelületre merőleges terhelés megadásához szükséges. Tekintsünk egy adott ϕ1 mozgásparaméterhez tartozó kapcsolódási helyzetet, és tegyük fel, hogy az érintkezési tartomány megegyezik a számított, pillanatnyi érintkezési vonalakkal. Így azzal az egyszerűsítő feltevéssel élünk, hogy az érintkezési vonalak helyzete a terhelés hatására nem változik. A 4.2 ábra pontszerű érintkezés esetén mutatja be a rugalmas testek összenyomódását, vonalszerű érintkezés esetén az ábrán értelmezett hi kezdeti hézag zérus.

51

4.2. ábra. Rugalmas testek összenyomódása és az érintkezési nyomáseloszlás pontszerű érintkezés esetén

Az érintkezési vonalakon lévő csomópontokra ui1 + ui2 = δi = állandó, mivel a kezdeti hézag hi = 0. Keresett a pj érintkezési nyomáseloszlás, amelynek a meghatározása a N

pj = ¦ ( W + W (1) ji

(2) ji

i=1

)

−1

δi

(i=1…N)

(4.1)

egyenlet segítségével történik. Ennek számításához először fel kell venni a δi merevtestszerű közeledés értéket, legyen mondjuk δi = 10 µm. Az érintkezési vonal csomópontjaiban, a felületi normális irányában egységterheléssel háromszög alakú nyomásidomokat működtetve, mindkét testre meghatározzuk a Wji(1) , illetve Wji(2) hatásmárixokat a végeselemek módszere segítségével. A hatásmátrix tulajdonképpen az érintkező testek geometriai és rugalmassági jellemzőit redukálja az érintkezési tartomány csomópontjaiba, így az érintkezési probléma megoldása csupán a tartomány csomópontjaira korlátozódik, ami a számítás időigényét (CPU idő) jelentősen csökkenti. A hatásmátrix, illetve annak inverze felhasználásával a (4.1) összefüggés alapján a felvett δi értékhez tartozó érintkezési nyomáseloszlás számítható [VárMolKolGar87]. Az inverz mátrix előállítása helyett a (4.1) egyenletet általában célszerűbb a N

δi = ¦ Wij( ) + Wij( 1

2)

pj

(j=1…N)

(4.2)

j=1

alakba írni, és iteráció segítségével megoldani. Ha az így kiszámított nyomásértékeknek megfelelő koncentrált erőket működtetjük az érintkezési vonalon lévő csomópontokban, a hajtópár adott kapcsolódási helyzetéhez tartozó alakváltozási és feszültségi állapot a végeselemek módszerével meghatározható. Mivel a mozgás során általában 2-3 fogpár van mindig egyidejűleg kapcsolatban, ezért például 3 fogpár egyidejű kapcsolódása esetén 3x2 hatásmátrix számítása szükséges, amelyekkel a pj érintkezési nyomáseloszlást külön-külön 52

mindhárom fogpár érintkezésére meg kell határozni. Az érintkezési nyomáseloszlást, az adott kapcsolódási helyzethez tartozó érintkezési vonalak mentén integrálva, a felvett merevtestszerű közeledéshez tartozó fogazati erő adódik, melyből az átszármaztatott nyomaték számítható. A feladat általában az, hogy adott hajtópár terheléshez kell az érintkezési nyomáseloszlást meghatározni. Ezért az előre felvett merevtestszerű közeledésből számított hajtópár terhelést össze kell hasonlítani az adott terhelésértékkel, és a felvett merevtestszerű közeledésértéket módosítva, az adott terheléshez tartozó érintkezési nyomáseloszlást iteratív úton lehet meghatározni. Az érintkezési feszültségek és alakváltozások számítása A 4.1 ábra alapján programrendszer került kidolgozásra, amely a következő modulokból áll:

− saját fejlesztésű program a pillanatnyi érintkezési vonalak számítására, valamint az érintkezési vonal pontjaiban a felületi normális irányvektorának előállítására,

− CAD-rendszer (Solid Works 2001) alkalmazása a csiga és a csigakerék testmodelljeinek előállítására és a végeselem háló generálására;

− végeselem programrendszer (Cosmos/M 2.7) felhasználása a feszültségek és alakváltozások meghatározására;

− saját fejlesztésű algoritmus a végeselem program eredményeiből a hatásmártix előállítására, illetve az érintkezési nyomáseloszlás számítására. A hajtópárok testmodelljei 3D-s CAD rendszerben kerültek felépítésre. A végeselem-háló szintén CAD-rendszerben készült, automatikus hálógenerálással, 4 csomópontos tetraéder elemekből, a kapcsolódásban lévő 2 fogpár felületein megfelelő sűrítéssel. A csiga végeselem-modellje 53200 elemet és 13000 csomópontot tartalmaz. A geometriai modellezés és hálógenerálás során felmerült nehézségek ismertetésére a következő alfejezetben, az alkalmazott módszer értékelése kapcsán térek ki. A peremfeltételek a csigán vezetőcsapágyas elrendezésnek megfelelően kerültek megadásra, tehát a csigatengely egyik végén a csomópontokban mind a radiális, mind a tengelyirányú elmozdulás zérus, míg a másik végén csak a radiális irányú elmozdulás van gátolva. Az egységterhelés a hatásmátrix meghatározásához az érintkezési vonalakhoz lehető legközelebb eső csomópontokban, koncentrált erőként lett megadva.

53

4.3 ábra. A vizsgált csiga végeselem modellje

A csigakerék végeselemes modellje a teljes kerék helyett csak 5 fogat vizsgál, mivel a legördülés során 2-3 fogpár van egyidejűleg kapcsolatban, a többi a kapcsolódáson kívül esik, merevítő hatásuk kicsi, és a teljes kerék modellje olyan nagy csomópontszámot eredményezne, amelyet az alkalmazott végeselemes szoftver már nem tud kezelni. Így a kerék végeselem-modellje 32000 elemet és 7000 csomópontot tartalmaz. Peremfeltételként, a csigakerék nem modellezett részéhez kapcsolódó csomópontokban, merev rögzítés került megadásra. A terhelés a kerék esetében is az érintkezési vonalakhoz lehető legközelebb eső csomópontokban, koncentrált erőként lett modellezve. A számítást acél csiga és bronz csigakerék esetére végeztük el, melyek anyagjellemzői a II. számú melléklet II.1. táblázatában találhatók.

4.4 ábra. A vizsgált csigakerék végeselem hálója 54

A vizsgált kapcsolódási helyzetben (ϕ1 = 60°) 2 fogpár kapcsolódik. A terhelés hatására bekövetkező elmozdulásokat illetve a fellépő érintkezési feszültségeket az 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9 ábrák mutatják be.

4.5 ábra. A csiga deformációja a terhelés hatására a terheletlen állapothoz képest (nagyítási tényező: 17 000) maximális lehajlás 25 µm

4.6 ábra. A csiga fogfelületének deformációja

4.7 ábra. Az egyenértékű feszültség eloszlása a csiga fogfelületén

55

4.8 ábra. A csigakerék fogfelület deformációja

4.9 ábra. Az egyenértékű feszültség eloszlása a csigakerék fogfelületén

Az eredményül kapott rugalmas deformációk, illetve egyenértékű feszültségek számszerű értékeit vizsgálva a következőket lehet megállapítani:

− A terheléseloszlás számításához előre megadott δi=10 µm merevtestszerű közeledés hatására az érintkezési tartományban jelentős helyi feszültségek alakulnak ki (300 – 400 N/mm2), amely értékek megközelítik a bronz csigakerék anyagra megengedhető érintkezési feszültség nagyságát. Tehát a hajtópárt körülbelül a maximálisan átvihető nyomatékkal terhelt állapotban vizsgáltuk.

− Az érintkezési vonal csomópontjainak legnagyobb elmozdulása maximum 10 - 11 µm, amelynek jelentősebb része rugalmas összenyomódásból adódik, kisebb része pedig a fogmeghajlásból ered. Az elméleti érintkezési vonalak elmozdulása a terhelés hatására néhány mikrométer.

− A vizsgált hajtópárt maximális teljesítményen (32 kW) és 1500 1/min csiga fordulatszámon üzemeltetve a terhelőnyomaték 204 Nm. Ennek megfelelően

56

meghatároztam a maximális terheléshez tartozó merevtestszerű elmozdulásértéket, mely 7,8 µm. Az ehhez meghatározott érintkezési vonal mentén változó nyomáseloszlásnak megfelelő erőket az érintkezési tartomány csomópontjaiban működtetve határoztam meg a hajtópárok alakváltozási és feszültség állapotát. A kisebb

teherbírású

csigakerék

anyagban

jelentkező

maximális

egyenértékű

feszültségcsúcs ezen a terhelési szinten 270 N/mm2. Ha a fenti számítási eljárást különböző kapcsolódási helyzetekre, tehát más és más ϕ1 mozgásparaméter értékekre elvégezzük, akkor megkapjuk az érintkezési nyomáseloszlás változását a hajtópárok egymáson való legördülése során. Különböző

ϕ1

mozgásparaméterekhez

tartozó

kapcsolódási

helyzeteket

vizsgálva

megállapítható, hogy a pillanatnyi érintkezési vonalsereg által meghatározott kapcsolódási mező szélein található az érintkezési feszültségek maximális értéke, mely kb. 1,5 –szer nagyobb az átlagos érintkezési feszültségnél. A módszer alkalmazásának korlátai, a geometriai- és a végeselem-modell előállítása során felmerült problémák Az állandó, δi értékű merevtestszerű közeledés a hajtópárok fogfelületei között csak a felületek érintkezési vonalra merőleges síkmetszetében teljesül. A térbeli érintkezési vonalak mentén ez a valóságban nem állandó. Így az előző pontban ismertetett hatásmátrixra alapuló érintkezési algoritmus csak közelítőleg alkalmas a térbeli érintkezési probléma kezelésére. Pontosabb eredmények a következőképpen érhetők el: 1. módszer: Végeselemes modellezés esetén, az érintkezési vonal mentén mindkét fogfelületpáron kontakt elemek használata. Ez az eljárás igen jelentős számítógép kapacitást igényel, tekintettel arra, hogy a kapcsolómező tartományában az egy időpillanatban kapcsolatban lévő összes fogfelületpáron (általában 2-3 fogpár kapcsolódik) elég sűrű végeselem hálót kell generálni és a kontakt (GAP) elemeket a megfelelő csomópontok között megadni. 2. módszer: A kontakt elemek használata elkerülhető abban az esetben, ha olyan végeselem programrendszert használunk (pl. MSC Marc), amely képes speciális kontakt elemek nélkül, a testmodelleket felépítő három dimenziós elemek közötti érintkezési probléma megoldására. A fogfelületeket reprezentáló végeselemes modell felépítése a csiga esetében nem okoz problémát, viszont a csigakerék előállítása nem vonalfelületű hajtópárok esetében csak közelítő módszerekkel lehetséges.

57

Egyik ilyen módszer, hogy a különböző kapcsolódási helyzetekhez tartozó pillanatnyi érintkezési vonalakat a csigakerékhez rögzített vonatkoztatási rendszerbe transzformáljuk, és a vonalakra egy közelítő burkolófelületet illesztünk. A 3D-s CAD rendszerek alkalmasak ilyen probléma megoldására, amelyekkel azonban csak a kapcsolómezőnek megfelelő fogfelület

tartományok

állíthatók

elő.

A

kapcsolódáson

kívül

eső

fogfelületek

meghatározásához viszont a szerszámfelületet és annak mozgásviszonyait kell szimulálni, és az így előállt felületet illeszteni a kapcsolómező tartományában előállítotthoz. Ezt gyakorlatilag lehetetlen úgy megoldani, hogy a felületek közötti átmenet szingularitásoktól mentes legyen. Jóllehet a szingularitás mentesség a csigakerék felület esetében a gyakorlatban sem áll fenn, mivel a kapcsolódáson kívül eső felületeket az első és utolsó szerszámél kimetszi a burkolófelületből.

4.10 ábra. Megfelelő burkolófelület illesztése a pillanatnyi érintkezési vonalakra a csigakerék fogfelületének meghatározására

A 4.10 ábra egy a fenti módszer szerint előállított burkolófelületet mutat be. A saját fejlesztésű algoritmus megjeleníti az alkalmazott CAD-rendszerben a pillanatnyi érintkezési vonalakat, melyre CAD-rendszer megfelelő felületet illeszt. Másik lehetséges közelítés a csigakerék fogfelületének előállítására az, hogy a csiga tengelyével párhuzamos síkmetszetekben határozzuk meg a csigakerék fogfelületének metszésvonalait, alkalmazva a fogkapcsolódás alaptörvényét. A csiga tengellyel párhuzamos metszeteihez mint 2 dimenziós fogprofilokhoz megszerkesztjük a kapcsolóvonalat és az ellenprofilt Reuleaux módszerével. Az így előállt csigakerék metszetekből a csigakerék fog 3D-s modellje előállítható. E módszer megvalósítására is kidolgozásra került egy számítási program, amely alkalmas a csigakerék megfelelő pontjainak meghatározására, illetve a pontok CAD-rendszerbe való exportálására, ahol a pontokra a görbe illesztése, majd a görbékre a felület illesztése megvalósítható. Ezen módszer segítségével előállított fogfelületre mutat példát a 4.11 ábra. 58

4.11 ábra. A csiga tengelyével párhuzamos metszetekből generált csigakerék-felület

Harmadik lehetőség az, hogy a csigafog normálmetszeti görbéjét mint a csigakereket megmunkáló ütőkés profilt használjuk fel a megfelelő kinematikai feltételek megadásával, a kerékfog testmodelljének előállítására. Így előállított csigakerék-testmodellt mutat a 4.12 ábra.

4.12 ábra. „Virtuális ütőkés”-sel generált csigakerék testmodell

Gyakorlati alkalmazhatóság tekintetében az utóbbi módszer javasolható a csigakerék testmodelljének generálására, ugyanis a különböző, görbékre illesztett felületekkel gyakran pontossági problémák adódnak. Ha az így előállított testmodelleket a CAD-rendszerben az adott tengelytávnak megfelelően „összeszereljük” („assembly” építése a generált „part” fájlokból) gyakran a fogfelületek egymásba metszenek, a nem megfelelő pontosságú kerékfelület miatt. Amennyiben a végeselem modell előállításához 3D CAD rendszerben készült testmodellt használunk, a végeselem rendszerben csak automatikus hálógenerálás alkalmazható 4 vagy 10 csomópontos tetraéder-elemek felhasználásával. Azonban szükséges lehet a kapcsolómező területén a háló sűrítése, amely abban az esetben, ha nagyon nagy a különbség a globális és a sűrített hálóhoz tartozó lokális elemméret között, nem mindig konvergál. Ez a probléma,

59

illetve az alkalmazott végeselem program kapacitása (maximum 256 000 csomópontot vagy elemet tartalmazó probléma megoldása) korlátozza. Ha a végeselem programrendszerek geometriai modellező rendszerét alkalmazzuk, lehetséges a parametrikus hálógenerálás 8 csomópontos tégla -elemekkel. Ebben az esetben a hálósűrítés a kapcsolómező tartományában egyszerűbben megoldható. A 4.13 ábrán a vizsgált ZTA csiga végeselem modelljének paraméteres hálógenerálására látható példa.

4.13 ábra. Paraméteres hálógenerálás 8 csomópontos SOLID elemekből

Parametrikus hálógenerálás esetén a csigakerék modellje célszerűen a csiga tengelyével párhuzamos metszetekből állítható elő. 4.2.2 Érintkezési viszonyok számítása egy kapcsolódási helyzetben állandó Hertzféle nyomáseloszlás feltételezésével Tekintsük egy adott kapcsolódási helyzethez tartozó érintkezési vonalak mentén a Hertz-féle nyomáseloszlást állandónak, és hagyjuk figyelmen kívül a fogazatok között fellépő súrlódást. Ebben az esetben a hajtópárokat terhelő nyomaték, valamint a geometriai viszonyok és az anyagjellemzők ismeretében az állandó érintkezési feszültség az alábbiak szerint számítható. A hajtópárok közötti erőátadás a fog felületi normálisa irányában történik. Ennek megfelelően az érintkezési vonal egy dl hosszúságú szakasza mentén átadódó dFn erő a wb vonalmenti terhelés segítségével felírva: dFn = e ⋅ w b ⋅ dl ,

(4.3)

60

ahol e a felületi normális egységvektor a dl szakasz felezőpontjában, az S álló koordinátarendszerben értelmezve. A fellépő nyomaték a normális irányú erő és kapcsolódási pontba mutató helyvektor vektorszorzataként áll elő.

dT = dFn × r

(4.4)

A nyomatéknak az 1-es tag forgástengelye (z1) irányába mutató komponense T1 = ³ ( e x ⋅ y − e y ⋅ x ) w b dl

(4.5)

l

alakba írható. Az I. számú mellékletben közölt számítógépes algoritmus az érintkezési vonal diszkrét pontjaiban számítja a fenti egyenletben szereplő mennyiségeket egy adott kapcsolódási helyzetben. Tegyük fel, hogy az adott kapcsolódási helyzetben az érintkezési vonal mentén n darab egymástól ∆l távolságra fekvő ponttal számolunk. Ennek felhasználásával a fenti integrál közelítésére alkalmas egyenlet a következő: n

T1 = ¦ e x ( j) ⋅ y( j) − e y( j) ⋅ x ( j) w b( j) ⋅ ∆l( j)

(4.6)

j=1

Fel kell használnunk a feltételezést, hogy a Hertz-féle nyomás adott kapcsolódási helyzetben állandó. Célszerű bevezetni a kH Stribeck-féle palástnyomást, amely arányos a vonalmenti terheléssel, azon kívül csak a redukált normálgörbülettől függ. Vonalérintkezés esetén kH =

wb , 2 ⋅ RE

(4.7)

ahol RE =

1

(4.8)

χPmax

a redukált görbületi sugár. Adott T1 nyomaték esetén kH =

T1 n

2 ⋅ RE ⋅ ¦ e x ( j) ⋅ y ( j) − e y( j) ⋅ x ( j) ⋅ ∆l( j)

.

(4.9)

j=1

A Hertz-féle nyomás maximális értéke pedig

pHmax =

kH ⋅ EE , π

(4.10)

61

ahol EE =

2

(4.11)

2 1

1− ν 1 − ν 22 + E1 E2

a redukált rugalmassági modulusz, E1, ν1, illetve E2, ν2 rugalmassági jellemzőkkel rendelkező anyagpárok esetén. Ez esetben a modell nem veszi figyelembe a globális alakváltozásokat, a csiga tengely deformációját, csak lokálisan a fogfelületek között fellépő alakváltozásokkal számol. Az érintkezési vonalra merőlegesen a fogfelületek deformációja, illetve az érintkezési tartomány 2a szélessége

a=

8 ⋅ RE ⋅ w b , π ⋅ EE

(4.12)

a 4.14 ábrának megfelelően.

4.14 ábra. Hertz-féle nyomáseloszlás redukált normálgörbületű henger–sík elempár esetén

A számított Hertz-feszültség természetesen csak egy adott kapcsolódási helyzetben állandó, a

ϕ1 csigatengely szögelfordulás függvényében változik. Ezt a változást mutatja be a vizsgált hajtópárra a 4.15 ábra. A változás 120°-ként periódikusan ismétlődik, mivel a csiga fogszáma z1=3. Az ábra alapján megállapítható, hogy a változás jelentős, így jelentős lüktető igénybevétel jelentkezik a fogkapcsolódás során az érintkező felületpárok között.

62

250 2

200

H

150 100 50 0 0

20

40

60

80

100

120

ϕ 1 [°]

4.15 ábra. Érintkezési vonal mentén állandó Hertz-feszültség a különböző kapcsolódási helyzetekben a vizsgált hajtópárra

Összefoglalásképpen megállapítható, hogy a hatásmátrixon alapuló érintkezési algoritmus a végeselemek módszerének felhasználásával gyorsan konvergál, jól használható a hajtópárok globális alakváltozásának, a csigatengely lehajlásának, a fogak deformációjának, valamint a fogtő feszültség vizsgálatához. Ahhoz azonban, hogy a tribológiai viszonyok elemzéséhez az érintkezési vonalra merőleges metszetben is meghatározzuk az érintkezési nyomáseloszlást, a bonyolult geometriájú térbeli fogazatok esetében nehéz megfelelő sűrűségű elemfelosztást előállítani. A nagy csomópontszám rendkívül nagy számítógépes háttérkapacitást és számítási időt igényel. További nehézséget okoz, hogy a különböző kapcsolódási helyzetekhez tartozó, különböző alakú érintkezési vonalakhoz mindig új hálót kell generálni. Mivel a nagy teherbírású csigahajtópárok esetében a csigakerék általában bronzból, a csiga pedig edzett, köszörült acélból készül, így a hajtópárok rugalmassági modulusza jelentős mértékben különbözik. Ennek a különbségnek következtében a bejáratás során a lényegesen merevebb csiga gyakorlatilag utánmunkálja a csigakereket, amint azt a bejáratott hajtópárokon megfigyelhető kopásnyomok bizonyítják. Mivel a nagyobb terhelésű érintkezési vonalszakaszok erősebben kopnak, ezért bejáratás után, adott kapcsolódási helyzetben, az érintkezési vonalak mentén a kialakuló érintkezési nyomást közelítőleg állandónak lehet tekinteni, továbbiakban a kenésállapot vizsgálata során ezt a modellt fogjuk alkalmazni.

4.2.3 A fogazati paraméterek változtatásának hatása az érintkezési feszültségre Hasonlóan a 3. fejezetben végzett paramétervizsgálatokhoz, meghatároztuk az érintkezési vonalak kapcsolómező tartományába eső szakaszainak összegét, amely a 120°-os csiga szögelfordulás során számítható átlagos Hertz-féle érintkezési nyomást befolyásolja.

63

A 3. fejezetben megállapítottak szerint az érintkezési vonalak elhelyezkedését, alakját leginkább a csigakerék profileltolás tényezőjének változtatása befolyásolja, ezért vizsgáljuk

200 150

2

450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

100 Hátl

Σ∆

először, azt hogy ennek növelése hogyan befolyásolja az átlagos érintkezési feszültséget.

50 0

0,8 0,9

1

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

0,8 0,9

x2 [-]

1

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 x2 [-]

4.16 ábra. A csigakerék profileltolás tényező változtatásának hatása az érintkezési vonalhossz összegére és az átlagos Hertz-féle érintkezési nyomásra

A 4.16 ábra alapján megállapítható, hogy a csigakerék profileltolás tényezőjének növelése az érintkezési feszültséget kedvezőtlenül befolyásolja, mivel egyre kisebb a kapcsolómező tartományába eső érintkezési vonalhosszak összege. A körívsugár változtatásának hatását a különböző kapcsolódási helyzetekben fellépő érintkezési nyomásra, illetve a 120°- os kapcsolódási perióduson belüli átlagos nyomásra a 4.17 és 4.18 ábra mutatja be, melyek alapján megállapítható, hogy a körívprofil sugarának növelése, ha csekély mértékben is, de kedvezően befolyásolja a fogfelületek között fellépő érintkezési nyomást.

2

250 200 Ro=50 mm Ro=55 mm Ro=60 mm

H

150 100 50 0 0

20

40

60

80

100

120

ϕ 1 [°]

4.17 ábra. Érintkezési vonal mentén állandó érintkezési feszültség a kapcsolódási helyzet függvényében, különböző körívsugár esetén

64

Ugyanezt állapíthatjuk meg az ívsugártáv változtatásának az érintkezési nyomásra gyakorolt hatásáról. A számított Hertz-féle nyomás a 4.19 és a 4.20 ábra ábra tanúsága szerint az

Hátl

2

ívsugártáv növelésével kismértékben csökken. 144 143 142 141 140 139 138 137 50

52

54

56

58

60

ρ [mm]

4.18 ábra. Átlagos érintkezési feszültség változása a körívsugár függvényében

250 2

200 K=68 mm K=69,5 mm K=71 mm

H

150 100 50 0 0

20

40

60

80

100 120

ϕ1 [°]

Hátl

2

4.19 ábra. Érintkezési vonal mentén állandó érintkezési feszültség a kapcsolódási helyzet függvényében, különböző körívsugár esetén 152 150 148 146 144 142 140 67

68

69

70

71

72

K [mm]

4.20 ábra. Átlagos érintkezési feszültség változása az ívsugártáv függvényében

65

5

Fogazott hajtópárok tribológiai viszonyainak vizsgálata

5.1 A súrlódási-kenési viszonyokat befolyásoló tényezők Az egymáson elmozduló elempárok tribológiai viszonyait alapvetően az alábbi tényezők befolyásolják: az elempárok geometriája, beleértve a makro- és mikrogeometriai jellemzőket; − szerkezeti anyaguk fizikai és kémiai tulajdonságai, valamint amennyiben kenőanyag is jelen van az elempárok között, akkor a kenőanyag fizikai és kémiai tulajdonságai is; − az elempárok kinematikai viszonyai; − az elempárok terhelése és terheléseloszlása és − a hőmérséklet. Ezen tényezők nem függetlenek egymástól, például az elempárok terhelése, kinematikai viszonyai és hőmérséklete jelentősen befolyásolja a kenőanyag tulajdonságait, és a kezdeti ideálisnak tekintett geometria is megváltozik a terhelés, a súrlódás és a kopás hatására. A fenti összefüggéseket leíró egyenletek komplexitása miatt a tribológiai viszonyok egzakt meghatározása még egyszerű geometriájú elempárok esetén is nehéz feladat, ezért a gyakorlatban különböző egyszerűsítő feltételeket alkalmaznak, amelyek alapján különböző egyszerűbb, vagy bonyolultabb kenéselméleteket fogalmaztak meg. A továbbiakban feltételezzük, hogy az elempárok között a kenőanyagfilm a testeket tökéletesen elválasztja, azaz szilárdtest érintkezés nem lép fel.

5.2 Hidrodinamikai (HD) kenéselmélet A HD kenéselmélet alapján az elempárok egymáshoz képest tangenciális és/vagy normális irányú mozgást végeznek, és a hozzájuk tapadt viszkózus kenőanyagot a szűkülő résbe kényszerítve hidrodinamikai nyomást hoznak létre. A hidrodinamikai nyomás csak akkor alakulhat ki, ha a kenőanyag viszkózus, és tapad a súrlódó felületekhez. A kenőanyagfilm-vastagság számításának megkönnyítése érdekében több egyszerűsítő feltételt vezettek be: − a kenőanyag dinamikai viszkozitása állandó; − a kenőanyag összenyomhatatlan newtoni folyadék;

66

− a kenőfilm vastagsága a súrlódó felületek méreteihez képest kicsi; − a súrlódó felület alakja a terhelés hatására nem változik; − a súrlódó felületek geometriailag és fizikailag is ideálisan sima felületek; − a rést teljesen kitölti a kenőanyag. Ezen feltételek figyelembevételével a Navier-Stokes egyenletet a kontinuitási egyenlettel öszszevonva kapjuk az úgynevezett Reynolds-egyenlet: ∂ § 3 ∂p · ∂ § 3 ∂p · ∂h ª º (2) h + ¨h − 6η ⋅ «( v (1) − 2Vn » = 0 m + vm ) ⋅ ¨ ¸ ¸ ∂x © ∂x ¹ ∂z © ∂z ¹ ∂x ¬ ¼

(5.1)

amelyben az egyes paraméterek jelentése az 5.1 ábrán látható [Koz94].

5.1 ábra. Geometriai, kinematikai paraméterek értelmezése a felületpárok között

A műszaki gyakorlatban nagyon sokszor alakul ki folyadéksúrlódási állapot a siklócsapágyakban, bizonyos üzemállapotokban a gördülőcsapágyak, a fogaskerekek, csigahajtások, toroid és spiroid hajtások terhelésátadó súrlódó felületein, ahol rendszerint két különböző görbületi sugarú felület érintkezik egymással. Ezen felületek között a résalakot gyakran parabolikus függvénnyel írják le: h = h0 +

x2 , 2RE

(5.2)

ahol RE =

R1R 2 R1 + R 2

(5.3)

67

a felületek egyenértékű görbületi sugara. Állandósult üzemállapotban, végtelen szélesnek tekintve a súrlódó felületeket, állandó tangenciális mozgás esetén a Reynolds-egyenlet a következő alakban írható fel: d § 3 dp · dh ⋅ ¨h − 6η ⋅ v Σ ⋅ = 0, ¸ dx © dx ¹ dx

(5.4)

amelyben vΣ=vm(1)+vm(2).

(5.5)

Integrálással meghatározható a nyomásfüggvény, majd az érintkezési felület mentén újabb integrálással a minimális kenőfilmvastagság és a teherbírás közötti összefüggés. A hidrodinamikai kenéselmélet viszonylag kis nyomások esetén, például siklócsapágyaknál, a valóságot jól közelítő eredményeket szolgáltat. A fogazott hajtópárokat tekintve a hidrodinamikai kenéselméletet először Niemann és Weber alkalmazta hengeres csigahajtópárok tribológiai viszonyainak számítására [NieWeb42]. Jarchow kiterjesztette a számításokat a globoid csigahajtásokra [Jar59]. Wilkesmann [Wil74] és Zosel [Zos76] a Weber és Maushake által ismertetett [WebMau59] módszerre alapozott számítógépes algoritmust fejlesztettek ki, melynek segítségével különböző profilú csigahajtópárokat vizsgáltak a hidrodinamikus kenési modell felhasználásával.

5.3 Elaszto-hidrodinamikai (EHD) kenéselmélet Egyes nagyterhelésű, súrlódó felületeknél (gördülőcsapágyak, fogaskerekek, csigahajtópárok) a terhelést átadó súrlódó felületek görbületi sugara egymástól gyakran jelentős mértékben eltér, a felületek simulása kedvezőtlen, és a hidrodinamikai kenéselmélet alapján számított kenőanyagfilm olyan kicsi, hogy feltételezhetnénk a terhelést gyakorlatilag a szilárdtest érintkezés adja át. A gyakorlati tapasztalatok ellenben azt bizonyítják, hogy a terhelést átadó súrlódó felületek között ilyen körülmények között is folyadéksúrlódási állapot alakulhat ki. Az elméleti és a gyakorlati tapasztalatok közti ellentmondás okainak kutatása során megállapították, hogy a rosszul simuló, nagyterhelésű kapcsolatok hidrodinamikai teherbírásának számításakor nem hanyagolható el a kenőanyag nyomásnövekedés hatására fellépő viszkozitás-változása és az érintkező felületek rugalmas alakváltozása. Ezen tényezők figyelembevétele vezetett az elaszto-hidrodinamikai (EHD) kenéselmélethez. A kenőanyag viszkozitás-nyomás függvényének felírására alkalmas a Barus-féle összefüggés:

68

η = η(p 0 , T)e [α (p−p0 )] ,

(5.6)

ahol α a nyomás-viszkozitás tényező. Meghatározása részletesebben a III. számú mellékletben található. A viszkozitás-növekedés és a rugalmas belapulás hatását figyelembe véve a kenőfilm vastagságának számítására, végtelen széles súrlódó felületeket feltételezve, állandósult üzemállapotban, a Reynolds-egyenlet felhasználásával, először Ertel és Grubin tettek kísérletet. Megállapították, hogy az érintkező felületek úgy deformálódnak, hogy közöttük a kenőrésben a kenőanyagfilm vastagsága állandó lesz, és így a Hertz-elmélet szerint számítható az érintkezési felületen kialakuló nyomáseloszlás és az érintkezési felület mérete, amelyeket a kenőanyagfilm jelenléte nem befolyásol. A valóságban azonban a kenőanyagfilm megváltoztatja a rés alakját, és ezzel a nyomáseloszlást is. Egymásra hatásuk csak sorozatos közelítéssel határozható meg úgy, hogy első lépésben ismertnek tekintjük a nyomáseloszlást, amellyel megoldjuk a hidrodinamikai egyenleteket és a rugalmas elmozdulás egyenleteit. Kiszámítjuk a kenőfilm vastagságot, a rugalmas elmozdulásokat, és összehasonlítjuk a számított résalakhoz tartozó nyomáseloszlást a felvett nyomáseloszlással. Ha jelentős az eltérés, a felvett nyomáseloszlás függvényt módosítjuk, és a számítást addig folytatjuk, amíg az eltérés elfogadható értékre csökken. Dowson és Higginson a rugalmas alakváltozást és a kenőanyag viszkozitásának növekedését figyelembe véve a fenti iterációs módszerrel oldották meg a Reynolds-egyenletet [DowHig59], és megállapították, hogy a kenőfilm vastagsága az érintkezési zónában valóban közel állandó, a kilépő élnél azonban beszűkül, ami a kenőfilmben kialakuló nyomáseloszlást megváltoztatja, egy második nyomáscsúcsot alakít ki (5.2 ábra). Megállapították, hogy a résméret a kilépő élnél kb. 25%-kal kisebb mint a párhuzamos szakaszon.

5.2 ábra. A kenőanyagfilm alakja és a nyomáseloszlás az EHD-kenéselmélet alapján

69

Kutatási eredményeik alapján a minimális kenőfilm vastagságának számítására szolgáló öszszefüggés izotermikus állapotban: h0min = 1,63

0,7 0,7 α0,54 ⋅ RE0,43 2000 ⋅ v Σ ⋅ η(p0 ,T) . w b0,13 ⋅ EE0,03

(5.7)

A fenti összefüggésből kiszámítható a fogazott hajtópárok fogfelületei között kialakuló h0 kenőfilm vastagsága is azzal a feltételezéssel, hogy a vizsgált pontban az érintkező fogakat egy EE rugalmassági modulusú, b hosszúságú, F erővel terhelt hengerpár képviseli, amelyből wb vonalterhelés számítható. A hengerpárok RE redukált görbületi sugara megegyezik a fogfelületek érintkezési vonalára merőleges síkban levő egyenértékű görbületi sugarával. A kenőanyag viszkozitás nyomásfüggését az α2000 tényezővel vesszük figyelembe. Az EHD-kenéselméletet is több kutató alkalmazta térbeli fogazott hajtópárok tribológiai viszonyainak vizsgálatára, pl. [Pre82], [Ost82].

5.4 Elaszto-termohidrodinamikai (ETHD) kenéselmélet Predki [Pre82] kimutatta, hogy a fogazati teljesítményveszteség számítása a kenőfilm hőmérsékletváltozásának figyelembevétele nélkül, a valóságtól jelentősen eltérő értékeket eredményez. Empirikus összefüggést alkalmazott a viszkozitás hőmérséklettől való függésének figyelembevételére a számításai során. Jobban közelíthetjük a valós viszonyokat, ha figyelembe vesszük a kenőanyag nyírásából származó hőfejlődést a kenőfilmben. Az így létrejövő hőmérsékletemelkedés csökkenti a kenőanyagfilm viszkozitását, szemben a nyomásnöveléssel. Ezen befolyásoló tényezőket veszi figyelembe az elaszto-termohidrodinamikai kenési modell. Jóllehet a hőmérséklet növekedés csak csekély mértékben befolyásolja a nyomáseloszlást és a kenőrés alakját, viszont annál jelentősebben a kenőanyag viszkozitását, ezzel a fellépő folyadéksúrlódási erőt és a kenőanyagfilm hidrodinamikai teherbírását. Így egy izotermikus számítási eljárás nem a valós viszonyoknak megfelelő eredményekre vezet a súrlódási tényező tekintetében. A Bouché [Bou91] által megfogalmazott elméleti alapokra épülő számítási eljárás, az energiaegyenlet numerikus megoldásával alkalmas, a hőmérsékletváltozás hatását is figyelembe véve, a fogfelületek közötti súrlódási tényező meghatározására folyadéksúrlódás esetén. Az energiaegyenlet a kenőrésben a súrlódás miatt létrejövő hőfejlődés és a kenőrésből a határoló szilárd testek felé történő hővezetés egyensúlyát írja le.

70

A folyadéksúrlódás számítása egy adott nyomáseloszlást és kenőrés alakot tételez fel. Az energiaegyenlet megoldása a kenőrésben való hőmérsékleteloszlást és a rést határoló felületeken a csúsztatófeszültségeket adja eredményként. Az így kapott csúsztatófeszültségeket a határoló felületeken integrálva az eredő folyadéksúrlódási erőt kapjuk. A fogfelületek érintkezési vonalra merőleges metszetében adódó kenőrésperemek hőmérsékletváltozását így figyelembe lehet venni a számítás során. Az elaszto-termo-hidrodinamikai kenési modellt alkalmazta Dierich [Die89], Bouché [Bou91], [Bou92], valamint Simon [Sim90] különböző fogprofilú csigahajtások tribológiai viszonyainak számításánál.

5.5 Helyettesítő modellek Az ismertetett kenéselméletekre a szakirodalomban csak egyszerűsítő feltevések, a valós felületek modellel való helyettesítése esetén találunk kidolgozott, zárt alakú megoldásokat. A kapcsolódó fogfelületek vonalszerű érintkezése esetén a helyettesítő modell a geometriai és kinematikai viszonyok közelítését az érintkezési vonalra merőleges metszetben valósítja meg megfelelő görbületi sugarú és szögsebességű hengerpárok segítségével. Ennek a modellnek az ismertetésére a későbbiekben részletesebben kitérek, de előbb tekintsük át milyen további lehetőségek vannak a kapcsolódó fogfelületek geometria-, kinematikai viszonyainak közelítésére. A helyettesítő modellek kidolgozása egyrészt a kenésállapotot leíró egyenletrendszerek megoldásának egyszerűsítésére, másrészt pedig a kísérleti modellvizsgálatokhoz a numerikus számítások helyességének igazolására szükségesek. Ilyen jellegű modellvizsgálatokhoz eddig csak a széles körben elterjedt kéttárcsás tribológiai vizsgálóberendezés állt rendelkezésre. Mivel az ilyen típusú berendezés – egy próbatest-pár esetén – az érintkezési vonal görbületi és sebességviszonyainak csak nagyon rövid szakasz mentén való közelítésére alkalmas, fel merült az igény egy új típusú vizsgálóberendezés kifejlesztésére, mely a vonal mentén változó sebesség és görbületi viszonyokat jobban figyelembe veszi [BerHor96], [BerHor02]. 5.5.1 Érintkező felületek másodrendű közelítése A görbületi és sebességviszonyok modellezéséhez a valós fogfelületeket a helyettesítő felületeknek minimum másodrendben kell közelítenie [BerHor96]. Ennek bizonyítására helyettesítsük az u és ϑ paraméterekkel meghatározott Σ1 fogfelületet az érintkezési pont környezetében a Σ1′ = Σ1′ (h,k) felülettel.

71

A Σ 2 fogfelülete a koordináta transzformációt megvalósító M21 mátrix segítségével: Σ 2 = M21Σ1 (u, ϑ) , ahol Σ 2 = Σ 2 (v, Θ) . Hasonló módon felírható a Σ 2′ helyettesítő felület egyenlete az M21 és Σ1′ segítségével. Ha a Σ 2′ helyettesítő felület a Σ 2 fogfelületet (n)-ed rendben közelíti, akkor maximum (n-1)-ed

rendben érintkeznek és a különbségük pedig Taylor-sorral közelíthető [Ber77]:

Σ2 (v, Θ) − Σ2′ (v, Θ) = n ª§ ∂ ∂n ∂ · = n M21(ϕ0 ) ⋅ Σ1(u0 , ϑ0 ) «¨ v + Θ ¸ ϕ1 ( u0 , ϑ0 ) − ∂ϕ ∂ϑ ¹ «¬© ∂u n º ∂ · ′ § ∂ − ¨ v + Θ ¸ ϕ1 (0,0)» + ∂k ¹ © ∂h »¼ q

(5.8)

i

1§ ∂ ∂ · v + Θ ¸ M21 ( ϕ0 ) ⋅ Σ1(u0 , ϑ0 ). + ¨ ∂ϑ ¹ i=n+1 i! © ∂u Így n=2, azaz másodrendű közelítés esetén a felületek n-1=1 rendben érintkeznek, tehát közös érintősíkkal rendelkeznek. A felületek másodrendű közelítésének módszereihez Drahos [Dra93] kézirata szolgál alapul. A Σ1 és Σ2 felületek érintkezzenek az E12 pontban n(1)=n(2) normálissal, amely merőleges az ε12 érintősíkra. Rendelkezzék a két felület χI, χII, χIII, χIV főgörbületekkel, rendre iI, iII, iIII, iIV főgörbületi irányokban. Az E12 pont lehet egy e12 érintkezési vonal pontja. A normálgörbületi viszonyok szemléletesen ábrázolhatók az úgynevezett Dupin-féle indikátrix segítségével, amelyet úgy kapunk, ha az érintkezési síkra E12 pontból rendre felmérjük az egyes irányokhoz tartozó

(R )

távolságokat, ahol R=1/χ. Ha χI, χII, illetve χIII,

χIV egyidejűleg azonos előjelűek, akkor az indikátrix ellipszis, ha különbözőek, akkor konjugált hiperbolapár, vagy ha valamelyik görbületi sugár értéke nulla, akkor egyenespár. Az indikátrixok az e12 érintkezési vonal mentén közös átmérőjükkel érintkeznek. A Σ1, Σ2 felület az érintkezési pontban helyettesíthető egy olyan paraboloidpárral, amelyek csúcsgörbületi viszonyai megegyeznek az M pontbeli főgörbületi viszonyokkal. Ebbe a modellbe a v(12) relatív sebesség nem helyettesíthető be, azaz ez csupán statikus érintkezési mo-

72

dell. Levezethető belőle azonban egy másik, mozgatható modell. A Dupin- féle indikátrixokat kiemelve ε12 -beli helyzetükből ±1/2 távolságra, a paraboloidnak egy metszetét kapjuk, amely a főgörbületi síkokban fekvő főgörbületi sugarakkal együtt meghatározza a paraboloidokat. Ennek igazolására a fejezet végén térünk ki. A paraboloidpárt síkra redukálhatjuk a következő eljárással. Mozgassuk pontjaikat egymástól való távolságukat megtartva n(1) irányában addig, míg az egyik paraboloid síkká nem válik. A létrejött új paraboloidot redukált csúcsgörbületű paraboloidnak hívjuk. A Σ1 és Σ2 vonalmenti érintkezése esetén a redukált paraboloidnak parabolikusnak kell lennie, amely az ε12 síkot az e12 vonal mentén érinti. Ekkor elegendő a redukálást az e12 vonalra merőleges síkban elvégezni, amiből RE sugarú kör származik. Pontbeli érintkezésnél a redukció nem egyszerűsíthető. Ekkor a redukció során elliptikus paraboloid keletkezik, amelyet tórusz felülettel helyettesíthetünk. A redukált csúcsgörbületű paraboloidok az érintkezési pontokban azonos görbületű hengerekkel pótolhatók, amiből a legegyszerűbb mozgatható érintkezési modell adódik. n12 n12

R21 E12

P21

P12

P21

Σ2´ ε12

RE

Σ1´

P12

ε12

E12

5.3 ábra. Paraboloidpár síkhoz való redukálása

Bizonyítható az alábbiak szerint, hogy a fogfelületek redukált görbülete azonos a paraboloidok redukálásával kapható görbületekkel. Legyen adott az érintkező felületek tetszőleges normálmetszetében a két helyettesítő parabola egyenlete:

y(1) = ax 2 ,

(5.9)

y(2) = −bx 2 . Görbületük a következőképpen számítható ki:

73

χ=

 y 2a = , 2 3/2 (1 + y ) (1 + 4a 2 x 2 )3 / 2

χ(1) (0) = 2a ,

(5.10)

χ(2) (0) = −2b . A redukálás eredményeképpen a paraboloid metszetének egyenlete a következőképpen alakul: yred = y(1) − y(2) = (a + b)x 2 ,

(5.11)

amelynek görbülete

χred = 2(a + b) = 2a − ( −2b) ,

(5.12)

ami megegyezik a két görbületi kör görbületének összegével. Hasonlóképpen bebizonyítható ez azokra az esetekre, mikor a helyettesítő parabolák az előzőektől eltérő állásúak. Tekintsük a paraboloid tetszőleges normálmetszetének egyenletét:

y(1) = ax 2

(5.13)

Ennek y=1/2 síkkal való metszéspontjai valóban § 1 · § 1 · x = ¨ ¸ = ¨ (1) ¸ , © 2a ¹ ©χ ¹

(5.14)

azaz elliptikus pont esetében a kiemelt indikátrix egybeesik a helyettesítő paraboloid pontjaival. Hasonlóképpen belátható ugyanez hiperbolikus és parabolikus pontoknál is.

5.5.2 Közelítés tóruszpárral Drahos [Dra93] χI, χII, χIII, χIV, főgörbületekkel érintkező tóruszpárt javasolt az érintkezés modellezésére. A tóruszpárok érintkezhetnek külső felületükkel, illetve külső-belső érintkezés is lehetséges, mint azt az 5.4 ábra mutatja.

R21 R12 R11 R22

5.4 ábra. Tóruszpárok

74

Habár az E12 érintkezési pontban ez mindkét felületen előállítja a főgörbületi viszonyokat, figyelmen kívül hagyja a következő tényezőket:

− a főgörbületek síkjai nem feltétlenül esnek páronként egybe; − az előző tétel miatt, és mivel az érintkezési ponttól távol a felületek alakja tetszőlegesen változhat, előállhat a legyártott külső (elliptikus)- vagy belső (hiperbolikus) tóruszfelületek egymásba metszése;

− a relatív sebesség csak kis valószínűséggel esik a főgörbületek irányába. A modell tartós érintkezés közben csak kevés irányban mozgatható;

− a modell csupán egyetlen pontbeli görbületi viszonyokat közelít, így egyetlen érintkező párral elő kell állítani a teljes érintkezési felületen fellépő átlagos viszonyokat;

− vonalmenti érintkezés csak különleges tengelyállások esetén jöhet létre, mégpedig, ha a tóruszok tengelyei párhuzamosak, és nagyobbik főgörbületük egyforma, vagy merőleges tengelyek esetén, ha az egyik tórusz kisebbik főgörbülete megegyezik a másik nagyobbik főgörbületével;

− nem megoldott a tóruszpár valamely egyszerű testre való redukciója, így minden kísérlethez egyedi próbatestpárt kellene legyártani. A tóruszpár-modell mindezek miatt jelen állapotában nem alkalmas az adott probléma megoldására.

5.5.3 Közelítés hengerpárral A csúszva gördülés kopásra és súrlódási tényezőre gyakorolt hatása vizsgálható egy olyan párhuzamos tengelyű hengerpáron, amelyek szögsebességei külön beállíthatók. A kerületi sebességek különbsége egyenlő a csúszási sebességgel, míg a sebességek összege a hidrodinamikailag hatásos sebesség. A hengerek átmérőjének megválasztásával modellezhetők a görbületi viszonyok. Vonalmenti érintkezés esetét vizsgálva olyan hengersokaságot kapunk, amelyben az érintkezési vonal mentén haladva a sugár, a sebesség, a gördülési sebesség és a terhelés egyaránt változik. Az egyik lehetőség az érintkezési vonal megfelelően kis szakaszokra való felbontása. Figyelembe kell vennünk azonban, hogy nem csupán egyetlen érintkezési vonalról van szó, hanem a ϕ1 mozgásparaméter szerinti érintkezési vonal függvényről, amelyet megközelíthetünk annak átlagos értékével. Az 5.5 ábra csak az alkalmazott modell elvét mutatja be, a hengerek különböző átmérőjéből adódó különböző tengelytávolságok és az egymástól füg-

75

getlen hajtása miatt gyakorlati megvalósításra, vizsgálóberendezés építésére ebben a formában nem alkalmas.

5.5 ábra. Érintkezési vonal mentén változó görbületi viszonyok modellezése különböző sugarú hengerpárokkal

5.5.4 Közelítés henger–sík, illetve kúp–sík elempárokkal A sík–paraboloid helyettesítő modellből levezethető egy geometriailag és kinematikailag nagyon egyszerű helyettesítő modell, ha a redukált paraboloidot a síkkal érintkező csúcspontjában a csúcsgörbülettel egyező görbületű hengerrel helyettesítjük. Tekintsük ennek a hengernek és a vele érintkező síktárcsának a mozgásviszonyait az alábbiak szerint. Forogjon az r sugarú henger a saját tengelye körül ω szögsebességgel, a síktárcsán való helyzetét az r2 sugár és a tárcsa forgástengelyétől való e távolság adja meg. A tárcsa forgását ω2 szögsebesség jellemzi. Az elempárok érintkezési vonala mentén a hidrodinamikailag hatásos

vΣ és a vg csúszási sebesség a fenti paraméterek függvényében előállítható. A henger–sík elempár egy lehetséges közelítése a görbületi és sebességviszonyoknak az érintkezési vonalnak a hengerrel megegyező hosszúságú szakaszán. A görbületi viszonyok változásának függvényét az adott szakasz átlagával helyettesíti. Az általános helyzetű henger–síktárcsa elempár mozgásviszonyait az 5.6 ábra mutatja be.

76

5.6 ábra. Forgó síktárcsa – hengeres görgő elempár mozgásviszonyai

Ha a henger helyett kúpot választunk, akkor megfelelően választott kúpszög esetén a görbületi függvényt az érintőjének megfelelő lineáris függvény közelíti az érintkezési vonal egy szakasza mentén. Az elempárok helyzetének és szögsebességének megfelelő beállításával az érintkező fogfelületek között fellépő sebességviszonyok lineáris közelítését teszi lehetővé, az 5.8 ábrán bemutatott módon, mind a henger, mind a kúp helyettesítő modell. Az 5.7 ábra az általános helyzetű kúp–tárcsa elempár mozgásviszonyait ábrázolja.

5.7 ábra. Forgó síktárcsa – kúpos görgő elempár mozgásviszonyai

77

Kúp-sík helyettesítő modell

Henger-sík helyettesítő modell

5.8 ábra. A görbületi viszonyok lineáris közelítése az érintkezési vonal egy-egy szakasza mentén

A redukált görbületi sugár az érintkezési vonalak mentén valamilyen függvény szerint változik, amelyhez lineáris regresszióval egyenest rendelhetünk. Az egyenesek átlagos hajlásszögével kúpot képezhetünk a következő módon. Legyen a kúp alkotója az átlagos érintkezési vonalhossz, közepes sugara pedig az átlagos normálgörbület reciproka. Így olyan körkúpot képezhetünk, amely síkkal vonal mentén érintkeztethető, és egyszerű hajtással mozgatható.

5.5.5 Közelítés gömb- és tóruszfelület érintkeztetésével A csigahajtások vizsgálata során kiderült, hogy mind a redukált normálgörbület, mind a sebességviszonyok változásának lineáris modellel való közelítése nehézkes. Tekintsük a következő gömb–tórusz elempárok geometriai és kinematikai viszonyait. Ha a tóruszfelület a gömböt főkörének egy, a fogazat átlagos érintkezési vonalhosszának megfelelő ívén érinti (5.9 ábra), a terhelő erő azonos a számított normálfogerővel. Az átlagos vonalhosszon létrejövő görbületi, terhelési és sebességi viszonyokat leképezhetjük a modellezett vonalhosszra. A megfelelő mozgási viszonyok a gömb forgástengelyének és szögsebességének beállításával érhetők el. Az e12 vonal mentén állandó tangenciális csúszás érhető el az ωy komponenssel, az ωx szögsebességgel pedig jól megközelíthető a hajtópárok pillanatnyi érintkezési vonalai mentén közel irányt váltó normális sebességi összetevő, míg ωz ennek nulla pontját tetszőleges irányban eltolja.

78

Rϑ e12

A-Rgcosϑ ϑg

ωz

ωy ωx

5.9 ábra. Gömb–tórusz elempár mozgásviszonyai

Legyen a koordinátarendszer kezdőpontja a gömb középpontja. Ekkor az érintkezési vonal pontjaiba mutató vektor xz síkban van, és abszolútértéke a gömb sugarával azonos. Mivel a másik tag ehhez a koordinátarendszerhez képest nyugalomban van, a relatív sebesség egyenlő a mozgó gömb érintkezési vonalra eső pontjainak sebességével.

v(12)

ª º ωy sin ϑg ª ωy z º « » « » = ω × r = « ωz x − ωx z » = R g « ωz cos ϑg − ωx sin ϑg » « » « −ωy x » −ωy cos ϑg ¬ ¼ ¬ ¼

(5.15)

A normálgörbület és a normálvektorral ϑ szöget bezáró vektorhoz tartozó görbületet a Meusnier tétellel számíthatjuk, míg Rϑ könnyen számítható síkgeometriai összefüggések alapján. ‘A’ a tórusz és a gömb párhuzamos tengelyeinek távolsága. R ϑ = Rn cos ϑg

(5.16)

R ϑ = A − R g cos ϑg

Rn =

A − R g cos ϑg

Rred =

cos ϑg (5.17)

1 1 1 − Rn −R g

Ezek alapján Rred a tengelytáv és a gömb sugarának függvényében az alábbi képlettel számítható ki:

79

2

Rred

R 1 = = R g − g cos ϑg . cos ϑg 1 A + A − R g cos ϑg R g

(5.18)

Ezzel a görbületi függvénnyel közelíthető a csigahajtás χred(ϑ) redukált normálgörbületi függvénye, ha a két függvény különbségének négyzetéből képzett kifejezés minimumából a geometriai paramétereket meghatározzuk. Ehhez fel kell írni a görbületek változását az ívhossz függvényében: 2

b

d Rredcsiga (b) − Rredmodell (b) db = 0 db ³0 d2 db2

2

b

³

.

(5.19)

Rredcsiga (b) − Rredmodell (b) db > 0

0

Egyszerűbb, ha a bonyolult integrálások helyett a görbületi értékek egyes pontokon kiszámított átlagos értékeire illesztjük a modell görbületi függvényét. Ehhez az átlagosb vonalhossz kiszámítása után minden egyes görbedarab bi ívhossza mentén érvényes értékeket ab/bi arány felhasználásával rávetítjükb vonalra, és ott a megfelelő pontokon összegezzük. A görbeszámmal való osztás után ezekben a pontokban kiszámíthatók az átlagos értékek. Csigahajtásnál jellemzőek ab elején és végén számított átlagok, valamintb közepéhez közel elhelyezkedő minimumok átlaga. Hogy a tóruszt ne kelljen aszimmetrikusan megmunkálni, a két szélső átlagot számtani közepükkel helyettesíthetjük.

R g2 −L 1 R R R cos g + = − ( 0 2) g 2 A 2R g R1 = R g −

R g2

(5.20)

A

R g2 L 1 R0 + R 2 ) = R g − cos g ( 2 A 2R g Az átlagos görbületeket a vonalon való előrehaladás sorrendjében 0,1 és 2 indexekkel látjuk el. Lg a gömbön érintett körív hossza. Az első és a harmadik egyenlet azonos. Egyszerűsítés után:

L 1 R0 + R 2 ) = R g − (R g − R1 ) cos g , ( 2 2R g

(5.21)

80

cos

Lg 2R g

=

1 (R + R 2 ) 2 0 . R g − R1

Rg −

(5.22)

Mivel a két szélső átlagos görbület számtani közepe nagyobb, mint a középső átlagos görbület, az (5.22) egyenletnek mindig van megoldása. A két ismeretlen közül Rg értékét megköthetjük, majd ha ekkor (5.22)-nek nincs megoldása, növelhetjük. A golyóméret növelésével csökken annak átfogása, azaz kerületének a tórusz által érintett hányada. Maximális értékét a mozgathatóság határolja be. A sebességviszonyok leképezése a geometriához hasonló módon történik. Az érintkezési vonal elején és végén létrejövő, a vonalra merőleges csúszási sebességkomponenst, abszolútértékének átlagával közelíthetjük, majd tekintetbe véve, hogy a közöttük lévő szög közel 180°, az 5.10 ábrán látható modellt alkalmazzuk. A valóságban ez az eloszlás nem szimmetrikus.

Rgsin(Lg/Rg)

x

vn vt

ωx z

vt

z

ωy

5.10 ábra. A gömb mozgásviszonyai

Az alábbi képletek segítségével meghatározható a szögsebesség és a gömb z normálisú síkba eső forgástengelyének y tengellyel bezárt szöge.

ωy = ωx =

vt Rg vn R g sin

Lg 2R g

(5.23)

ω = ω2x + ω2y αg = arctan

ωx ωy

81

A tórusz–gömb helyettesítő modell a konvex–konkáv felületű elempárok miatt különösen alkalmas a hasonló érintkezési viszonyokkal rendelkező fogazatok, pl. az ívelt profilú csigahajtópárok tribológiai viszonyainak modellezésére. A helyettesítő modell mozgásviszonyainak megvalósítására megtervezésre került egy vizsgálóberendezés [Cse95], amelynek megvalósítása még várat magára. A bemutatott helyettesítő modellek közül a tribológiai viszonyok számítására a hengerpár modellre találhatóak a szakirodalomban kidolgozott megoldások, ezért a kapcsolódó fogazatok közötti kenési viszonyok meghatározására ezt a modellt fogjuk az 5.7 alfejezetben alkalmazni.

5.6 Tribológiai vizsgálóberendezés henger-sík, kúp-sík elempárokhoz A csigahajtópárok modellvizsgálatához megépítésre került a henger–sík, illetve kúp – sík elempárokon alapuló tribológiai vizsgálóberendezés. A berendezés a Német-Magyar Tudományos és Technológiai Együttműködés által is támogatott pályázat keretében készült a Kaiserslauterni Egyetem Gépelemek és Hajtástechnika Tanszékén [Mül94], [BerHor96a]. A mérőberendezéshez felhasználtuk egy meglévő műanyag kopásvizsgáló állványát, a tárcsa hajtását és a laprugós erőmérő berendezést. Megtervezendő volt a terhelő egység és a görgő hajtása, illetve állíthatóságának biztosítása. A beállítható mozgásviszonyok a következők:

− a tárcsa tengelye körüli forgása; − a görgő tárcsához viszonyított helyzetének állítása, mind a tárcsa sugarának, mind érintőjének irányában;

− a görgő saját tengelye körüli forgásának biztosítása; − illetve speciális viszonyok szimulálására a görgő a tárcsára merőleges tengely körül is forgatható, függetlenül a saját tengelye körüli forgástól. A görgő terhelését csavarorsós terhelőegység biztosítja, a terhelés mérésére erőmérő cellát építettünk be. A görgő egyszerűen cserélhető, ami lehetővé teszi különböző anyagú, illetve felületi érdességű elempárok vizsgálatát. A görgő és a tárcsa közötti súrlódási erő a laprugó deformációjából határozható meg, amelyet az alapra rögzített induktív–útadó mér.

82

A tárcsa szélén perem biztosítja, hogy a mérés során kenőanyag ne folyjon le a tárcsáról. A tárcsa forgás hatására a folyadék a tárcsa kerülete irányába áramlik, így a görgő környezetében gyakran nincs elegendő kenőanyag. Ezt elkerülendő egy sugárirányban elhelyezett kenőanyag terelő filcet építettünk be. A berendezés műszaki paraméterei a III sz. mellékletben találhatóak. A lehetséges mozgásviszonyok a 5.11 ábrán láthatók. A megépített berendezésről készült fotókat a 5.12 ábra mutatja be. 6

5

ω3

1. Görgő

3

2. Tárcsa 1

4 ω1

2

3. Görgő meghajtás 4. Laprugó

ω2

5. Induktív útadó 6. Terhelő egység

5.11 ábra. Görgő–tárcsa vizsgálóberendezés vázlata

5.12 ábra. Görgő–tárcsa vizsgálóberendezés

Kísérleti vizsgálatok A vizsgálóberendezés viszonylag kis terhelhetősége miatt a kísérleti vizsgálatokhoz egy a korábbiaktól eltérő hajtópár geometriát választottunk. Mivel a körív profilú hajtópárok esetén az átlagos redukált normálgörbületi sugár a rendkívül kedvezően simuló felületek miatt még 50 mm-es tengelytávolság esetén is több mint 100 mm, amelynek megfelelő próbatest görgő a vizsgálóberendezésre már nem fogható fel, ezért a vizsgálatok során evolvens csigahajtópár

83

görbületi és sebességviszonyainak szimulációját végeztük. Evolvens és körívprofilú csigahajtópárok átlagos normálgörbületi sugár értékeinek viszonya kb. 1:8 [Wil74]. A vizsgált hajtópár főbb geometriai adatai a következők: tengelytáv 50 mm, áttétel 83,3 , a normálgörbületi sugarak átlaga 21 mm. Az érintkezési vonal menti görbületi és sebességviszonyokat erre a hajtópárra az 5.8 ábra mutatta be. A görbületi viszonyokat leíró függvényt lineáris függvénnyel helyettesítve egy kiválasztott érintkezési vonal egy-egy szakasza mentén az alábbi geometriájú kúpos próbatestek közelítik a görbületi és sebesség viszonyokat. 1. próbatest legkisebb átmérője: dk= 15 mm legnagyobb átmérője: Dk= 30 mm lk=21,3 mm

2. próbatest dk= 30 Dk= 45 mm lk=21,3 mm

A kúp–tárcsa próbatest párok közös érintkezési vonala irányába, és arra merőleges csúszási sebesség szimulálásához a görgőt az 5.8 ábrán bemutatott módon a tárcsa középpontjától megfelelő e távolságra és rk sugárra kell beállítani. A kísérleti vizsgálatok célja, a teljesítményveszteség, illetve az átlagos súrlódási tényező meghatározása az érintkezési vonal mentén lineárisan változó görbületi és sebességviszonyok esetén, különböző terhelésszinteken. A vizsgálatokhoz használt kenőolaj fizikai tulajdonságai a III. sz. mellékletben találhatóak. Mivel a fogkapcsolódás során a csúszási és a hidrodinamikailag hatásos sebesség aránya folyamatosan változik, a vizsgálóberendezésen ennek megfelelően különböző helyzetekbe állítottuk a kúpos próbatestet. A vizsgálóberendezésen mért súrlódási tényező értékeket összehasonlítottuk az 5.7 alfejezetben a későbbiekben ismertetendő számítási algoritmussal meghatározott értékekkel. Az 5.13, 5.14, 5.15 ábrák alapján megállapítható, hogy a csúszási, hidrodinamikailag hatásos sebesség hányados növelésével a súrlódási tényező is növekszik, amely növekedést az ETHD-kenéselméletre alapuló numerikus számítás is bizonyít. A vizsgálóberendezés terhelhetősége nem tesz lehetővé 20 N/mm-nél nagyobb vonalterhelést a görgő–tárcsa próbatest pár között, így a mérési eredmények a súrlódási tényező vonalterheléstől való függését egyértelműen nem bizonyítják (5.16 ábra), mivel ahhoz nagyobb terhelési szintek vizsgálata is szükséges lenne. Az ETHD kenéselmélet alapján a számított súrlódási tényezőnek a vonalterheléstől való függését az 5.17 és 5.18 ábra mutatja. A számítás alapján létezik minden sebesség viszonyhoz és próbatest geometriához egy optimális vonalterhelés, ahol a súrlódási tényező minimum értéket vesz fel. Ez a vizsgált próbatest geometriák esetében, a számítások alapján 20-50 N/mm vonalterhelés esetén jelentkezik, ami a vizsgálóberendezés terhelhetőségét meghaladja, ezért a kísérletek ezt nem tudták iga-

84

zolni. Problémaként jelentkezett a mérések során, hogy bizonyos sebességtartományokban, főleg a próbatestek ellentétes irányú forgása esetén, lengések alakultak ki a súrlódási erő mérése során, ezért ezeket az eredményeket nem tudtuk figyelembe venni. A mérési eredmények alapján megállapítható, hogy a modellvizsgálatból származó kísérleti eredmények a vizsgált tartományban jól korrelálnak a számítási eredményekkel. A kísérleti vizsgálatok esetében a számítottnál nagyobb súrlódási tényező érték azzal magyarázható, hogy a számítási modell nem veszi figyelembe az érintkező felületek érdességét és tiszta folyadék súrlódási állapot

µ [−]

kialakulásával számol.

0,055 0,05 0,045 0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0

1-es próbatest, számított 1-es próbatest, mért 2-es próbatest, számított 2-es próbatest, mért

0

0,5

1

1,5

2

vg/vΣ [-]

µ

5.13 ábra. Számított és mért súrlódási tényező 5 N/mm vonalterhelés esetén 0,05 0,045 0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0

1-es próbatest, számított 1-es próbatest, mért 2-es próbatest, számított 2-es próbatest, mért

0

0,5

1

1,5

2

vg/vΣ [-]

5.14 ábra. Számított és mért súrlódási tényező 10 N/mm vonalterhelés esetén

85

0,045 0,04 1-es próbatest, számított 1-es próbatest, mért 2-es próbatest, számított 2-es próbatest, mért

0,035 0,03 µ

0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0 0

0,5

1

1,5

2

vg/vΣ [-]

5.15 ábra. Számított és mért súrlódási tényező 20 N/mm vonalterhelés esetén 0,06 vg/vsum=0,5 (1-es próbatest) vg/vsum=1,0 (1-es próbatest) vg/vsum=1,67 (1-es próbatest) vg/vsum=0,5 (2-es próbatest) vg/vsum=1,0 (2-es próbatest) vg/vsum=1,67 (2-es próbatest)

0,05

µ [−]

0,04 0,03 0,02 0,01 0 0

5

10

15

20

25

wb [N/mm]

5.16 ábra. Mért súrlódási tényező a vonalterhelés függvényében, különböző sebességviszonyok esetén

86

0,06 0,05

µ

0,04 vg/vsum=0,5 vg/vsum=1,0 vg/vsum=1,67

0,03 0,02 0,01 0 0

20

40

60

80

wb [N/mm]

5.17 ábra. Számított súrlódási tényező a vonalterhelés függvényében, különböző sebességviszonyok esetén, az 1-es próbatestre

0,06 0,05 0,04 vg/vsum=0,5 0,03

vg/vsum=1,0 vg/vsum=1,67

0,02 0,01 0 0

20

40

60

80

100

120

w b [N/mm]

5.18 ábra. Számított súrlódási tényező a vonalterhelés függvényében, különböző sebességviszonyok esetén, a 2-es próbatestre

87

5.7 Az ETHD kenési modell alkalmazása csigahajtópárokra Az ETHD kenési modell szerint, amely feltételez egy, a felületeket tökéletesen elválasztó kenőanyagfilmet, a súrlódási tényező a geometriai jellemzők mellett jelentős mértékben az alkalmazott kenőanyag fizikai tulajdonságaitól függ. A kenőanyag kémiai tulajdonságai, amelyek elsősorban a vegyes- illetve szilárdtest súrlódás állapotában játszanak szerepet, a további számítások során nem vesszük figyelembe. A kenőanyag fizikai tulajdonságai A kenőanyag fizikai tulajdonságai, azaz a viszkozitás, a hővezető képesség és a sűrűség határozzák meg a folyadéksúrlódást és a hidrodinamikai nyomás kialakulását a fogkapcsolódás során [SchA85]. Mivel napjainkban a kenőanyag kémiai összetétele alapján a fizikai tulajdonságok pontos meghatározása még nem lehetséges, ezért laboratóriumi vizsgálatok szükségesek azok meghatározásához. A számítások során figyelembe vett kenőanyag jellemzők összefoglalása a III sz. melléklet III.1. táblázatában található. Hőmérséklet- és nyírófeszültség eloszlás a kenőfilmben Az 5.19 ábra egy helyettesítő hengerpárt mutat be, a lokális koordinátarendszer origója a kenőrés középpontjában helyezkedik el.

5.19 ábra. Helyettesítő hengerpár és a lokális koordinátarendszer elhelyezése a kenőrésben

A továbbiakban a kenési viszonyok meghatározásánál a különböző mennyiségeket ebben a vonatkoztatási rendszerben értelmezzük. A folyadéksúrlódás számítása feltételez egy adott nyomáseloszlást és kenőrés alakot. Az energiaegyenlet megoldása a kenőrésben hőmérsékletés nyírófeszültség eloszlásokat ad eredményképpen. Bouché szerint [Bou91] kb. 40, az 5.20 ábrán bemutatott, az x tengely mentén egymástól egyenlő távolságra elhelyezkedő hőmérsékleteloszlás figyelembevételével, a folyadéksúrlódási erő már nagy számítási pontossággal meghatározható.

88

5.20 ábra. Hőmérsékleteloszlások a kenőrésben

A mozgásegyenlet (5.24) tekinthető a hőmérsékletszámítás kiindulópontjának [Bou91]. dp ∂ § ∂v x = ⋅ ¨η dx ∂y ¨© ∂y

· ¸¸ ¹

(5.24)

A differenciálegyenlet y szerinti integrálása után ∂v dp y + Cx = η x . dx ∂y

(5.25)

A Cx integrálási állandó meghatározásához kihasználjuk, hogy legalább egy ys hely létezik, ahol a sebességgradiens az átlagos sebességgradienssel egyenlő a h kenőfilm vastagsága mentén. ∂v x ∂y

=

v gx

y = ys

(5.26)

h

vgx jelöli a csúszási sebesség x irányú összetevőjét. Az ys helyen lévő ηs effektív viszkozitást bevezetve a fenti egyenletet az (5.25) egyenletbe behelyettesítve következik, hogy C x = ηs

v gx h

− ys

dp . dx

(5.27)

A Cx állandót behelyettesítve az alábbi összefüggést kapjuk: η

v gx dp ∂v x (y − y s ) . = ηs + h dx ∂y

(5.28)

Az így kapott egyenlet első tagja a csúszó-, a második a nyomásváltozásból adódó jellemzi. Schoo [SchA85] és Eller [Ell87] bebizonyították, hogy a fogfelületeknél a nyomásváltozásból adódó súrlódása a csúszó súrlódáshoz képest jelentéktelen nagyságú. Ezért ezt az összetevőt a további számítások során figyelmen kívül hagyjuk, mivel tekintettel a csigahajtópárok fogfelületei között fellépő jelentős csúszó súrlódásra, elhanyagolásuk csak rendkívül kis hibát eredményez. A csúszási sebesség x irányú összetevőjének változását a vizsgált hajtópárra az 5.21 ábra mutatja be.

89

5.21 ábra. A vgx csúszási sebességkomponens változása a vizsgált körív profilú hajtópárra

A Newton-féle csúsztatófeszültségekre vonatkozó törvény alapján a fenti egyenlet a τx csúsztatófeszültséget eredményezi a kenőrésben, illetve annak határán. τx = η

v gx ∂v x = ηs h ∂y

(5.29)

A fenti egyenlet segítségével az ηs effektív viszkozitás ismeretében a csúsztatófeszültség és így a folyadéksúrlódás számítható. A következő levezetések ezért az effektív viszkozitás meghatározásának egy lehetséges módját mutatják be. A fenti egyenlet y szerinti integrálása a h kenőfilm vastagság mentén +h / 2

1 ∂v ³ ηs ⋅ ∂yx dy = −h / 2

+h / 2

1 v gx ⋅ dy η h −h / 2

³

(5.30)

az effektív viszkozitást meghatározó egyenletet eredményezi: +h / 2

1 1 1 = ⋅ ³ dy ηs h −h / 2 η

(5.31)

Csigahajtópárok esetén az érintkezési vonal irányában, azaz axiális irányban is nagy csúszási sebességek léphetnek fel. A hőmérsékleteloszlás számítása figyelembe veszi az axiális csúszás következtében fellépő teljesítményveszteséget is. Ezen számítás kiindulópontja a mozgásegyenlet z irányú (5.32) felírása [Bou91]: 0=

∂ § ∂v z · ⋅ ¨η ¸, ∂y ¨© ∂y ¸¹

(5.32)

amelyet y szerint integrálva:

90

Cz = η

∂v z . ∂y

(5.33)

A Cz integrálási állandó meghatározásánál is kihasználjuk, hogy létezik egy yt hely, ahol érvényes, hogy: ∂v z ∂y

= y=yt

v gz h

,

(5.34)

amely megadja az ηt effektív viszkozitást az yt helyen. A fenti két egyenletből következik, hogy η

v gz ∂v z = ηt . h ∂y

(5.35)

Az (5.28) és (5.35) egyenletek összehasonlítása alapján látható, hogy a helyettesítő hengerpárok axiális csúszásánál csak csúszási súrlódással kell számolnunk, nyomásváltozásból származó súrlódás nem lép fel. A vgz csúszási sebességkomponens változását a vizsgált hajtópár típusra a 5.22 ábra mutatja be. A Newton-féle csúsztatófeszültségekre vonatkozó törvény alapján a τz csúszatófeszültség a kenőrésben és a határain: τz = η

v gz ∂v z = ηt . h ∂y

(5.36)

Az (5.36) egyenlet integrálása a kenőfilm h vastagsága mentén, az (5.29), (5.30) és az (5.31) egyenletekhez hasonlóan definiálja az ηt effektív viszkozitást: +h / 2

1 1 1 = ⋅ dy . ηt h −h³/ 2 y

(5.37)

Az (5.31) és az (5.37) egyenleteket összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy ηs = η t .

91

5.22 ábra. A vgz csúszási sebesség komponens változása a vizsgált hajtópárra

Peremhőmérsékletek Az 5.20 ábrán bemutatott hőmérsékleteloszlások feltételezik az érintkező felületek peremhőmérsékleteinek ismeretét. A peremhőmérsékletek számításának alapjait Carslaw és Jaeger fektette le. Egy végtelen féltérnek tekintett fog, amelyben a kapcsolódás előtt mindenhol Tm a hőmérséklet, az xs helyen a q(t) hőáram hatására melegedni fog a fogkapcsolódás során. A fogfelszín TF hőmérséklete egy bizonyos ts idejű hőhatás után a következő egyenlettel számítható [CarJae71]: s q(t − t ) 1 ⋅³ e dt . π ⋅ ρF ⋅ c F ⋅ λ F 0 t

t

TF = Tm +

(5.38)

A számítási modell feltételezi, hogy a fogpár hőmérséklete a kapcsolódás előtt mind a fog belsejében, mind azok felületén Tm1 illetve Tm2. Ezek meghatározásához gyakorlatilag a teljes hajtómű hőmérsékleteloszlásának számítása szükséges, így ez meglehetősen bonyolult. Ezt elkerülendő kísérleti úron meghatározott hőmérsékletekkel lehet számolni. Például Neupert ad ilyen empirikus megoldást a csigahajtóművek átlagos hőmérsékletének meghatározására [Neu90]. Mivel a helyettesítő hengerpárok, amelyek a fogpár érintkezést közelítik, állandó szögsebességgel forognak, így a hengerfelület pontjai állandó sebességgel mozognak az érintkezési tartományban. Azt a ∆t időt, amely alatt egy felületi pont az n darab egymástól egyenlő távolságra lévő hőmérsékleteloszlás közül egy osztásközzel tovább jut, az alábbi összefüggések adják meg az 1 és 2 fogfelületekre a belapulási szélesség 2a és a hengerpárok sebességeinek felhasználásával.

92

∆t 1 =

2a n ⋅ v 1bn

(5.39)

∆t 2 =

2a n ⋅ v 2bn

(5.40)

Az (5.38) egyenletben szereplő integrál összegképzéssel közelíthető. Ehhez a hőhatás te időtartamát ∆t időintervallumokra osszuk fel, melyekben a q1(j), illetve q2(j) fogfelületekhez áramló hő állandó. Így az 1-es és 2-es fogfelület peremhőmérsékletei az i-edik hőmérsékletprofilnál az alábbi összegekkel határozhatók meg: TF1(i) = Tm1 +

TF 2(i) = Tm2 +

j=i 1 ⋅¦ π ⋅ ρ F1 ⋅ c F1 ⋅ λ F1 j=1

π ⋅ ρF2

j=i 1 ⋅¦ ⋅ c F 2 ⋅ λ F 2 j=1

∆t 1 ⋅ q1( j)

(i − j + 1)∆t1 ∆t 2 ⋅ q 2( j)

,

(i − j + 1)∆t 2

(5.41)

.

(5.42)

A kenőrésből a fogfelületek irányában kialakuló hőáramok meghatározására szolgáló modellt mutatja be az 5.23 ábra.

5.23 ábra. Hőáramok a kenőrésben

Az integrál részösszegekkel való közelítésének hibája a hőmérsékletprofilok számának növekedésével csökken. Minél több viszont a hőmérsékletprofil, annál hosszabb lesz a számítási idő. Összehasonlító számítások bizonyítják [Bou91], hogy a peremhőmérsékletek pontossága, különösen kis számú hőmérsékletprofil alkalmazása esetén, korrekcióval növelhető. Ez figyelembe veszi, hogy az i-edik hőmérsékletprofilnál nem áll rendelkezésre egy teljes időegység a hőátvitelre. A korrekciós tényezővel pontosított egyenletek:

93

TF1(i) = Tm1 +

j=i 1 ⋅¦ π ⋅ ρF1 ⋅ cF1 ⋅ λF1 j=1

TF 2(i) = Tm2 +

j =i 1 ⋅¦ π ⋅ ρF2 ⋅ c F2 ⋅ λF2 j=1

∆t1 ⋅ q1( j)

(5.43)

(i − j + 0,35 ) ∆t1 ∆t 2 ⋅ q2( j)

(5.44)

(i − j + 0,35 ) ∆t 2

A vizsgált körívprofilú hajtópár fogfelületi hőmérsékletének a fenti módszer alkalmazásával számított értékeit mutatja be az 5.24 ábra a pillanatnyi érintkezési vonalak mentén. A kenőfilmben, bizonyos feltételek mellett, ennél magasabb hőmérsékletértékek is várhatóak.

T [C°] 100 50

5.24 ábra. A csigafog felszíni hőmérséklet–eloszlása az érintkezési vonalak mentén

Folyadéksúrlódási tényező Az (5.29) és az (5.36) összefüggések megadják a csúsztató feszültségeket x és z irányban a kenőrésben. Vektoriális összegük az eredő csúsztató feszültség: τ = τ2x + τ2z

(5.45)

Egy ∆l hosszúságú helyettesítő hengerpárra ható Frh folyadéksúrlódási erőt a τ csúsztatófeszültség 2a belapulási szélesség feletti integrálja adja meg. +a

Frh = ∆l³ τ dx

(5.46)

−a

Az összes hőmérsékletprofilhoz tartozó csúsztatófeszültségek összege közelíti az (5.46) integrált.

Frh = ∆l

2a n ¦ τ( j) n j=1

(5.47)

94

A folyadéksúrlódási tényező µh megadja a folyadéksúrlódási erő és a folyadéknyomásból származó normálerő viszonyát: µh =

Frh , Fnh

(5.48)

amely összefüggésben a normálerő

Fnh = w b ⋅ ∆l

(5.49)

A számított folyadéksúrlódási tényezők csupán csekély mértékben függnek a nyomástól, a testhőmérsékletektől, a kenőfilm vastagságtól és a csúszási sebességtől. A kenőfilm vastagság csökkenése vagy a csúszásisebesség növelése az (5.29) és az (5.36) összefüggések alapján közvetlenül nagyobb csúsztatófeszültségeket eredményez. Az ezzel összefüggő súrlódási teljesítmény növeli a kenőanyag hőmérsékletét, és ezzel csökkenti az ηs effektív viszkozitást. Így a csúsztatófeszültség–növekedés nem lesz olyan jelentős, és a folyadéksúrlódási tényező is csak kis mértékben növekszik. A III. sz. mellékletben található III.10 folyamatábra a folyadéksúrlódási tényező számításának lépéseit foglalja össze. A folyadéksúrlódási tényező ismeretében a kapcsolódó fogfelületeket tökéletesen elválasztó kenőanyagfilmet feltételezve a fogazati teljesítményveszteség az érintkezési vonal ∆l hosszúságú szakasza mentén: dPv = µh ⋅ w b ⋅ ∆l ⋅ v g .

(5.50)

Egy adott kapcsolódási helyzethez tartozó fogazati teljesítményveszteség a fenti összefüggésből: Pv (ϕ1) = ³ dPv ,

(5.51)

l

amely felhasználásával a hajtópár átlagos fogazati teljesítményvesztesége

Pvátl =

Pv (ϕ1) . nϕ1

(5.52)

A fenti egyenletben nϕ1 a vizsgált különböző kapcsolódási helyzetek számát jelenti. A hajtópár fogazati hatásfoka pedig

95

ηfog =

Pbe − Pvátl , Pbe

(5.53)

ahol Pbe a hajtómű bemenő teljesítménye. Egyszerűsítő feltevések az ETHD modell alkalmazásához A csiga – csigakerék érintkezési viszonyainak hengerpárokkal való közelítéséhez kapcsolódási helyzetenként kb. 100 hengerpár szükséges, amelyekre egyidejűleg kell alkalmazni az ETHD kenési modellt leíró egyenleteket. Az egyenletrendszer megoldása még a mai kor számítástechnikai eszközeinek felhasználásával is meglehetősen hosszú időt vesz igénybe. A bevezetendő közelítő feltevések jelentősen csökkentik a számítási időt, ugyanakkor a csigahajtópárok fogsúrlódási tényezőjét a gyakorlat számára is kezelhető módon lehet velük meghatározni. A kenőrés alakját párhuzamos felületekkel közelítjük, a kenőfilm vastagság az átlagos kenőfilmvastagság, a belapulás szélessége megegyezik a Hertz-féle összenyomódásból származó belapulási szélességgel. A belapulási szélesség 2a mérete a wb vonalmenti terhelésből, a hengerpárok RE egyenértékű görbületi sugarából és az EE egyenértékű rugalmassági moduluszából a (4.11) és (4.12) összefüggések segítségével számítható. A folyadéknyomás maximális értéke és p(x) Hertz-féle eloszlása:

pHmax =

w b ⋅ EE , 2π ⋅ R E

(5.54)

és a

ph (x) = p0 + pHmax

x2 1− 2 a

(5.55)

egyenletekkel határozható meg. Dowson és Higginson [DowHig59] közelítő összefüggést (5.7) állított fel a minimális kenőfilmvastagság számítására, hengerpárok izoterm és stacioner érintkezése esetén. A fenti összefüggés pontossága változó hőmérséklet esetén a Murch és Wilson által kidolgozott hőmérsékletkorrekciós tényező segítségével növelhető [MurWil75]: c th =

3,94 , 3,94 + 0,62L th

(5.56)

96

ahol L th = és α T =

η(p 0 , Tm ) ⋅ α T ⋅ v 2Σ λ

(5.57)

ln[η(p 0 , Tm ) / η(p 0 , T0 )] . Tm − T0

(5.58)

Az átlagos kenőfilmvastagság tökéletesen sima felületeket feltételezve, [SchA85] alapján kb. 1,2–szerese a minimális kenőfilmvastagságnak.

h 0 = 1,2 ⋅ c th ⋅ h 0 min

(5.59)

A fenti egyszerűsítő feltevésekkel számítható ph(x), h0, a szükséges bemenő adatai a III.4. mellékletben közölt algoritmusnak. Az algoritmus alapján kifejlesztett C forrásnyelvű programmal számított tribológiai jellemzőket a vizsgált hajtópár geometriára ismerteti a következő alfejezet.

5.8 Körívprofilú csigahajtópárok kenési viszonyainak vizsgálata az ETHD kenési modell alapján A kenési viszonyok vizsgálata során a felhasználjuk a 3. fejezet kinematika és geometriai viszonyokra, valamint a 4. fejezet érintkezési feszültségre vonatkozó eredményeit. A kifejlesztett számítási algoritmus a pillanatnyi érintkezési vonalak egy-egy ∆l hosszúságú szakaszán az adott szakaszra érvényes átlagos görbületi, sebesség- és terhelésértékeket használja fel. Az 5.25 ábra a 3.1 táblázatban közölt hajtópár geometriára ábrázolja a folyadéksúrlódási tényező változását a pillanatnyi érintkezési vonalak mentén, különböző kapcsolódási helyzetekben. Az 5.26 ábra a minimális kenőfilmvastagság változását ábrázolja. A számítási algoritmus bemenő adataként szükséges megadni a hajtómű olaj hőmérsékletét, amely mérési eredmények [Dud00] alapján 50°C. Ez a hőmérsékletérték a kiindulópont a fogfelületek kapcsolódás közbeni hőmérsékletének meghatározásához, amelynek figyelembevételével történik a kenőolaj effektív viszkozitásának meghatározása az előző alfejezetben ismertetett módon. Az ábrák alapján megállapítható, hogy a csiga középsíkjának tartományában a kenési viszonyok kedvezőtlenek, mivel a hidrodinamikailag hatásos sebesség az érintkezési vonalak ezen pontjaiban zérusra csökken. Amint a kenőfilm vastagság kisebb lesz, mint az érintkező felületek érdességi középvonalától mért egyenetlenség magasság összege, vegyessúrlódási állapot kialakulása várható.

97

µ[−] 0,03 0,02 0,01

5.25 ábra. A folyadéksúrlódási tényező változása a pillanatnyi érintkezési vonalak mentén

hmin [µm] 2 1

5.26 ábra. A minimális kenőrésméret változása a pillanatnyi érintkezési vonalak mentén

A numerikus vizsgálatok további célja a fogazati teljesítményveszteség, illetve a hajtópár hatásfokának meghatározása. Az 5.27 ábra alapján megállapítható, hogy a fogsúrlódási tényező a fordulatszám növekedésével jelentősen csökken, viszont a csigakerék tengelyén a terhelő nyomaték gyakorlatilag nem befolyásolja azt. A számítási eredmények tanúsága szerint a fogazati hatásfok a terhelőnyomaték növelésével csökken. A jelenség magyarázata, hogy a terhelés növekedésével jóllehet a fogsúrlódási tényező jelentősen nem változik, de a veszteségteljesítmény az (5.50) összefüggés alapján az érintkezési vonal terhelésével arányosan növekszik.

98

µfog [−]

0,05 0,045 0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0

T2=1750 [Nm] T2=2330 [Nm]

0

500

1000

1500

2000

n1 [1/min]

5.27 ábra. A fogsúrlódási tényező a csiga fordulatszámának függvényében, különböző terhelő nyomaték esetén

A fogazati hatásfok vizsgálatának eredményeit a 3.1 táblázatban közölt hajtópár geometriára különböző terhelő nyomaték esetén az 5.28 ábra mutatja be. 1

η fog

0,9 0,8

T2=2330 [Nm]

0,7

T2=1750 [Nm]

0,6 0,5 0

500

1000

1500

2000

a hajtópáron mért fogazati hatásfok 2330 Nm terhelés esetén

n1 [1/min]

5.28 ábra. A hajtópár számított fogazati hatásfoka a csigatengely fordulatszámának függvényében, különböző terhelő nyomaték esetén

A szakirodalom [Dud00] a vizsgált hajtópár geometriára 1450 1/min csiga fordulatszám esetén maximális terheléskor 82,5% hajtómű hatásfokot közöl. Ez a hatásfok érték tartalmazza az olajkeverésből és a csapágysúrlódásból származó teljesítményveszteséget is, jóllehet ezek a fogazati veszteségteljesítménynek csak a töredékét teszik ki. Az ETHD kenési modell alkalmazásával ugyanezen teljesítményszinten meghatározott 88%-os fogazati hatásfok, amelyet még az olajkeverési és csapágysúrlódási veszteség tovább csökkent, jó közelítésnek tekinthető. A számítási modell szerint a kenőanyag a fogfelületeket tökéletesen elválasztja, a valóság-

99

ban azonban a kapcsolómező azon részein, ahol a hidrodinamikailag hatásos sebesség kicsi, vegyessúrlódási állapot alakul ki. A mért és számított hatásfok közötti különbség ezzel magyarázható. Fogazati paraméterek változtatásának hatása A 3. fejezethez hasonlóan a numerikus vizsgálatok kiindulási alapját a 3.1 táblázatban ismertetett hajtópár geometria képezte. Vizsgáljuk a többi fogazati paraméter változatlanul hagyása mellet az

− x2 profileltolás tényező, − a ρ körívsugár és − a K ívsugártáv

η

fog[-]

változtatásának hatását a hajtópár fogazati hatásfokára.

0,93 0,92 0,91 0,9 0,89 0,88 0,87 0,86 0,8

1

1,2

1,4

X2 [-]

5.29 ábra. A fogazati hatásfok változása a csigakerék profileltolás tényezőjének függvényében

A csigakerék profileltolás tényezőjének növelésével a fogazati hatásfok is növekszik, mint azt az 5.29 ábra bemutatja. A jelenség jellege már a 3. fejezetben bemutatott görbületi és sebességviszonyok elemzése során is bebizonyosodott, számszerű értékek meghatározásához szükséges azonban a fogazati hatásfok numerikus meghatározása. Az 5.30 ábra és 5.31 ábra a fogazati hatásfok változását ábrázolja a körívsugár, illetve az ívsugártáv függvényében. Megállapítható, hogy ezek a fogazati hatásfokot lényegesen nem befolyásolják. Ezen paraméterek növelésének hatására kismértékben nő a csúszási sebesség, mely növeli a fogazati teljesítményveszteséget, a hatásfok kismértékű csökkenése így magyarázható.

100

ηfog

0,9 0,895 0,89 0,885 0,88 0,875 0,87 0,865 45

50

55

60

65

ρ [mm]

5.30 ábra. Fogazati hatásfok változása a körívsugár függvényében 0,9 0,895 0,89

ηfog

0,885 0,88 0,875 0,87 0,865 67

68

69

70

71

72

K [mm]

5.31 ábra. Fogazati hatásfok változása az ívsugártáv függvényében

A fogazati hatásfok vizsgálatát kiterjesztettük egy nagyobb áttételű, szintén 280 mm-es tengelytávú hajtópárra. A fogazat geometriai adatait részletesen az I.5 melléklet tartalmazza.

0,9 0,85

η fog

0,8 i=11,67

0,75

i=25,5

0,7 0,65 0,6 0

500

1000

1500

2000

n1 [1/min]

5.32 ábra. Fogazati hatásfok különböző áttételű, azonos tengelytávú hajtópárok esetén

101

Az 5.32 ábra a vizsgált különböző fogazatgeometriájú, azonos teljesítményen üzemelő hajtópárok számított veszteségteljesítményét ábrázolja a csiga fordulatszámának függvényében. Az áttétel növelésével a számított fogazati hatásfok a vizsgált teljes fordulatszám tartományban csökken, de még így is jónak mondható. Az eredmények alapján megállapítható, hogy a tengelymetszetben körívprofilú hajtópárok fogazati hatásfoka rendkívül kedvező, még nagyobb áttételi tartományban is.

102

6

Az értekezés új eredményeinek összefoglalása, további lehetséges kutatási irányok felvetése

A tengelymetszetben körívprofilú csigahajtópárok kedvező hatásfokuk és nagy teherbírásuk miatt fontos helyet foglalnak el a korszerű hajtástechnikában. A dolgozat a hajtópárok között fellépő kenési viszonyokat – a geometriai–kinematikai viszonyok, az érintkezési viszonyok, és a hőmérséklet, valamint a nyomás hatására változó kenőanyag jellemzők figyelembe vételével – numerikus és kísérleti vizsgálatokra támaszkodva elemzi. Az elért eredmények az alábbi tézisekbe foglalhatók össze. 1. A fogazat geometria és kinematika vizsgálata területén: A kifejlesztett, kinematikai módszerre alapuló, numerikus algoritmus alkalmas nem vonalfelületű, térbeli fogazatok görbületi és sebességviszonyainak meghatározására. 1.a.

A

tengelymetszetben

körívprofilú

hajtópárokra

igazoltam,

hogy

a

redukált

normálgörbület és az érintkezési vonalra merőleges, hidrodinamikailag hatásos sebesség a kapcsolódás során olyan mértékben változik a pillanatnyi érintkezési vonalak mentén, amely a súrlódási–kenési viszonyok számításánál nem hagyható figyelmen kívül. 1.b.

A

numerikus

számítások

igazolták,

hogy

a

kinematikai

módszer

és

a

differenciálgeometria összefüggések alkalmazása a fogfelületek redukált normálgörbületének meghatározására azonos eredményt ad. A szeletelős differenciálgeometriai módszeren alapuló algoritmus gyorsabb, mivel a teljes kapcsolómező helyett, csak a csiga tengelyével párhuzamos metszetekben vizsgálja a geometriai viszonyokat, egyidejűleg alkalmas a csigakerék fogkihegyesedésének meghatározására is. 2. Az érintkezési viszonyok vizsgálata területén: Ideális, gyártási és szerelési hibáktól mentes hajtópárok esetén az elméletileg vonalmentén érintkező fogfelületek között az érintkezési nyomáseloszlás változik az érintkezési vonalak mentén, a kapcsolódási helyzettől függően. 2.a. A kidolgozott, hatásmátrixot felhasználó végeselemes számítási algoritmus elsősorban a hajtópárok

globális

alakváltozásainak

(csigatengely

lehajlás,

fogmeghajlás)

gyors

meghatározására alkalmas, segítségével a lokális alakváltozások számítása az érintkezési vonalra merőleges metszetben igen nagy számítógépes háttérkapacitást és időt igényel. 2.b. A tapasztalatok és a szakirodalom alapján a lágyabb csigakerék fogfelületének bejáratás alatti kopása következtében az érintkezési feszültség változása csökken az érintkezési vonalak

103

mentén, ezért a tribológiai viszonyok számítására a vonal mentén állandó Hertz-féle nyomás feltevés jó közelítésnek tekinthető. 3. A kenési viszonyok vizsgálata területén: A nagy terhelésű, térbeli fogazatok kenési viszonyainak számítása során az elaszto-termohidrodinamikai kenési modellel végzett numerikus számítások eredményei közelítik legjobban a valós hajtópárokon mérhető értékeket. 3.a. A kifejlesztett algoritmus alkalmas az érintkezési vonal mentén változó sebesség- és görbületi viszonyok figyelembevételére, állandó Stribeck-féle vonalnyomás esetén a fogfelületek között a súrlódási-kenési viszonyok meghatározására. 3.b. Különböző geometriájú tengelymetszetben körívprofilú csigahajtópárokon végzett numerikus vizsgálatok bizonyítják, hogy a kenési viszonyok a csigakerék középsíkja környékén kedvezőtlenek, vegyessúrlódási állapot alakulhat ki, a hatásfok ennek a tartománynak a fogkapcsolatból való kiiktatásával növelhető. 3.c. A fogazati paraméterek változtatásának hatását vizsgálva megállapítható, hogy a csigakeréken alkalmazott pozitív profileltolás jelentősen javítja a kenési viszonyokat, míg a körívsugár, illetve az ívsugártáv változtatása csak csekély mértékben befolyásolja azt. 3.d. Az ETHD kenéselmélet alapján végzett numerikus vizsgálatok alapján megállapítható, hogy a fogazati paraméterek hatásának vizsgálatát, a fogazat geometria optimalizálását elegendő

a

geometriai-kinematikai

jellemzők

–

a

redukált

normálgörbület,

a

hidrodinamikailag hatásos sebesség - alapján végezni, jóllehet ezekkel a súrlódási tényező és a veszteségteljesítmény számszerű értékei nem határozhatók meg, viszont a hajtópárok összehasonlítására hatékonyan használhatók. 4. A helyettesítő modellek területén: Térbeli fogazatok tribológiai modellvizsgálatához elméletileg a fogfelületeket legalább másodrendben közelítő helyettesítő felületeket kell alkalmazni. 4.a. A kúp–sík elempárból álló helyettesítő modellek alkalmasak a sebesség- és görbületi viszonyok lineáris közelítésére a pillanatnyi érintkezési vonal egy-egy szakasza mentén. 4.b. Az ETHD kenési modellen alapuló számítási eljárás alkalmazásával meghatározott folyadéksúrlódási tényező a helyettesítő elempárok között, jól közelíti a vizsgálóberendezésen a próbatest párok közt mért értékeket, ezért a számítási módszer alkalmas a fogazott hajtópárok között a súrlódási viszonyok számítására.

104

4.c. A körívprofilú csigahajtópárok érintkezési viszonyait a konvex–konkáv érintkezés miatt a gömb–tórusz modell jobban közelíti, mint a kúp–, illetve henger–tárcsa elempárok, amelyek a kisebb redukált görbületi sugarú fogfelületekkel rendelkező, például evolvens fogazatú csigahajtópárok kísérleti vizsgálatára alkalmas. Az eredmények hasznosíthatósága, további lehetséges kutatási irányok A kidolgozott számítógépi programok felhasználásával lehetőség nyílik a fogazati paraméterek gyakorlati szempontból fontos tartományának feltérképezésére, és a tervezők számára kedvező tulajdonságú hajtópárok előtervezéséhez szükséges adatok lerögzítésére, illetve a programok optimáló körbe való beépítésével a teherbírás és a veszteség szempontjából legmegfelelőbb fogazati paraméterek meghatározására. A vizsgálatok kiterjesztéséhez megoldandó feladatok egyrészt az alkalmazott geometriai és tribológiai modellek, illetve algoritmusok, másrészt a helyettesítő elempárok kísérleti vizsgálatának továbbfejlesztése területén jelentkeznek. A valós érintkezési viszonyok jobb megközelítése érdekében első lépésként a gyártási és szerelési hibák kapcsolódásra gyakorolt hatásának elemzése, második lépésként a mikrogeometriai sajátosságok, a felületi érdesség, a vegyessúrlódás és a szilárdtest érintkezés figyelembevétele jelentheti az előrelépést. Az eredmények kísérleti igazolásához azonban a csigahajtópárok valós érintkezési viszonyainak jobban megfelelő, másodrendben simuló helyettesítő felületeket alkalmazó, már megtervezett vizsgálóberendezés megépítése és a valóságos hajtópárok próbapadi mérése is szükséges.

105

I. melléklet. A fogfelületek geometriai, kinematikai viszonyainak meghatározása I.1 Koordináta-transzformációs mátrixok meghatározása Feltételezzük, hogy a viszonylagos mozgást egy paraméter határozza meg, a tagok elfordulási szögei végtelenül kicsinyek, valamint azok szögsebességei a következő összefüggéssel fejezhetők ki: i12 =

dϕ1 ω(1) = , dϕ2 ω(2)

(I.1)

i21 =

dϕ2 ω(2) = , dϕ1 ω(1)

(I.2)

ahol i12 és i21 a megfelelő áttételek. Legyen adott a forgó tagok egyikének pl. az 1-esnek, (a csigának) a Σ1 fogfelülete. Elő kell állítani a 2. tagnak, (a csigakeréknek) közvetlen mozgásleképezéssel létrehozható Σ2 felületét. Másképpen fogalmazva: meghatározandó a 2. tag Σ2 fogfelülete, amely a szerszámnak tekinthető 1. tag Σ1 felületének burkoló felületeként jelenik meg. A mozgásleképezés során a Σ1 és Σ2 felületek vonal menti érintkezéssel folyamatosan kapcsolódnak egymással és a mozgás átadására érvényes a (3.2) egyenlet szerinti mozgástörvény. A S1 koordinátarendszerbeli r1 helyvektor transzformációját az S, illetve S2 rendszerbe az M01, valamint az M21 transzformációs mátrixokkal hajthatjuk végre. A szükséges koordináta-transzformációk – forgatás illetve kezdőpont áthelyezés – miatt, a számításokat homogén koordinátákkal célszerű elvégezni. Ennek értelmében egy Q pont két tetszőleges koordinátarendszerben megadható az alábbiak szerint:

Q(xi ,yi ,zi ,t i ) és Q(x j ,y j ,z j ,t j ) , *

*

*

*

*

(I.3) *

*

*

amelyek az xi ,yi ,zi ,t i és x j ,y j ,z j ,t j homogén koordinátákkal

xi* xi = * ; ti xj =

x *j t *j

;

yi* yi = * ; ti yj =

y *j t *j

;

zi* zi = * ti zj =

és

z*j

(I.4)

(I.5)

t *j

i

kapcsolatban állnak. Mivel az alkalmazandó koordináta–transzformációk merevtestszerű forgatások illetve eltolások sorozatából állnak, így feltételezhető, hogy t i* = t *j = 1, és t i = t j = 1. Ha a kitérő tengelyek szöge γ, akkor a transzformációs mátrixok a következők:

M 01

ªcos ϕ1 « sin ϕ 1 =« « 0 « ¬ 0

− sin ϕ1 0 0º cos ϕ1 0 0»» . 0 1 0» » 0 0 1¼

(I.6)

A koordináta-transzformációhoz szükséges további transzformációs mátrixok felírásához vezessük be az Sp (xp, yp, zp) segéd-koordinátarendszert, melyhez tartozó transzformációs mátrixok a következők:

Mp0

0 0 Ax º ª1 «0 cos γ − sin γ A » y» =« , «0 sin γ cos γ A z » » « 0 0 1¼ ¬0

(I.7)

M2p

ª cos ϕ2 « − sin ϕ 2 =« « 0 « ¬ 0

(I.8)

sin ϕ2 cos ϕ2 0 0

0 0 1 0

0º 0 »» . 0» » 1¼

Ezek segítségével

M 20 = M2p Mp0

ª cos ϕ 2 «− sin ϕ 2 =« « 0 « ¬ 0

sin ϕ 2 cos γ − sin ϕ 2 sin γ A x cos ϕ 2 + A y sin ϕ 2 º cos ϕ 2 cos γ − cos ϕ 2 sin γ − A x sin ϕ 2 + A y cos ϕ 2 »» » sin γ cos γ Az » 0 0 1 ¼

(I.9)

és M21 = M20M01 = ª cos ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2 cos γ − sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2 cos γ − sin ϕ2 sin γ A x cos ϕ2 + A y sin ϕ2 º «− cos ϕ sin ϕ + sin ϕ cos ϕ cos γ sin ϕ sin ϕ + cos ϕ cos ϕ cos γ − cos ϕ sin γ − A sin ϕ + A cos ϕ » 1 2 1 2 1 2 1 2 2 x 2 y 2» =« « » sin ϕ1 sin γ cos ϕ1 sin γ cos γ Az « » 0 0 0 1 ¬ ¼

alakba írhatók. A fenti mátrixokból meghatározható inverz mátrixok a következők:

ii

(I.10)

0 − sin ϕ2 −A x ª cos ϕ2 º « sin ϕ cos γ cos ϕ cos γ sin γ − A cos γ − A sin γ » 2 2 y z » M02 = « « − sin ϕ2 sin γ − cos ϕ2 sin γ cos γ A y sin γ − A z cos γ » « » 0 0 0 1 ¬ ¼

M10

(I.11)

ª cos ϕ1 sin ϕ1 0 0º «− sin ϕ cos ϕ 0 0» 1 1 » , =« « 0 0 1 0» « » 0 0 1¼ ¬ 0

(I.12)

M12 = ª cos ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2 cos γ − cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 cos ϕ2 cos γ sin γ sin ϕ1 − A x cos ϕ1 − A y sin ϕ1 cos γ − A z sin ϕ1 sin γ º « − sin ϕ cos ϕ + cos ϕ sin ϕ cos γ sin ϕ sin ϕ + cos ϕ cos ϕ cos γ sin γ cos ϕ A sin ϕ − A cos ϕ cos γ − A cos ϕ sin γ » 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x 1 y 1 z 1 » =« « » − sin ϕ2 sin γ − cos ϕ2 sin γ cos γ A y sin γ − A z cos γ « » 0 0 0 1 ¬ ¼

,

(I.13)

amelyek segítségével a koordináta-transzformációk fordítva is elvégezhetők.

I.2 Mátrix módszer a tagok viszonylagos sebességi állapotának meghatározására A sebességi állapot meghatározására alapvetően két módszer kínálkozik [Lit72], a vektoros illetve a mátrixos módszer. A következőkben a mátrixos módszer segítségével határozzuk meg a térbeli fogazott hajtópárok sebesség viszonyait. Legyen adott az álló térben az Sn rögzített koordinátarendszer, amelyhez képest az Sm koordinátarendszer mozog. Kiválasztunk az Sm rendszerben egy tetszőleges a rendszerrel mereven összekötött pontot (rm=állandó) és meghatározzuk annak sebességét Sn-hez képest.

rn = Mnmrm , rn = v (nmn ) =

(I.14)

dMnm rm , dt

(I.15)

ahol az (mn) felső index mutatja, hogy Sm mozgását vizsgáljuk Sn-hez viszonyítva, n alsó index arra utal, hogy a sebességkomponenseket az Sn rendszerben írjuk fel. (mn) vm = Mmn v n(mn) , (mn) vm = Mmn

(I.16)

dMnm rm = Pm(mn)rm , dt

(I.17)

és

iii

Pm(mn)

ª 0 «ω = « zm «− ω ym « ¬ 0

− ω zm 0 ω xm 0

ω ym − ω xm 0 0

d14 º d 24 »» , d34 » » 0 ¼

(I.18)

ahol ω xm , ω ym , ω zm az Sm rendszerben a viszonylagos mozgás szögsebesség fővektorának skalár komponensei, ( nm ) º ª da14 » « ª d14 º « dt ( nm ) » «d24 » « da 24 » » = Mmn « « dt » , «d34 » « da ( nm ) » » « « 34 » ¬ 0 ¼ « dt » «¬ 0 »¼

(I.19)

amely kifejezésben az egyenlet jobb oldalán lévő oszlopvektor az Mnm mátrix 4. oszlopának idő szerinti deriváltja. A

fentiekben

levezetett

általános

érvényű

összefüggést

a

korábban

bevezetett

koordinátarendszerekre alkalmazva n=2 (az S2 rendszer rögzített), illetve m=1 (az S1 rendszer mozog) meghatározzuk a v 1(12 ) relatív sebességvektort.

Az S1 rendszer S2-höz viszonyított relatív mozgása r2 = v (212 ) =

dM 21 r1 , dt

(I.20)

illetve

v 1(12) = M12 v (12) , 2

(I.21)

ami az r1 helyvektorral kifejezve:

v 1(12) = P1(12)r1 .

(I.22)

Az S álló koordinátarendszerben a viszonylagos mozgás szögsebesség vektora (2) ω (12) = ω (1) 0 0 − ω0 ,

(I.23)

ahol

ω0(1) = ω(1) k ,

(I.24)

ω0(2) = ω(2) sinγ j + ω(2) cosγ k.

(I.25)

Legyen ω(1) = 1 rad/s, így ω(2) = i21 rad/s

és

iv

ω0(12) = -ω(2) sinγ j + (ω(1) − ω(2) cosγ)k = - i21 sinγ j + (1-i21 cosγ) k.

(I.26)

A hosszabb levezetést mellőzve a transzformációs mátrixra a következő kifejezés adódik: 0 − (1 − i 21 cos γ ) − i 21 cos ϕ1 sin γ − A x i 21 sin ϕ1 cos γ + A y i 21 cos ϕ1 º ª « (1 − i cos γ ) 0 i 21 sin ϕ1 sin γ − A x i 21 cos ϕ1 cos γ − A y i 21 sin ϕ1 »» . (I.27) 21 =« «i 21 cos ϕ1 sin γ − i 21 sin ϕ1 sin γ » 0 A x i 21 sin γ « » 0 0 0 0 ¬ ¼

P1(12 )

Hasonlóan levezethető az S koordinátarendszerbeli transzformációs mátrix:

P0(12 )

0 − (1 − i 21 cos γ ) − i 21 sin γ A y i 21 ª º «(1 − i cos γ ) 0 0 − A x i 21 cos γ »» 21 « = « i 21 sin γ 0 0 A x i 21 sin γ » « » 0 0 0 0 ¬ ¼

(I.28)

és az S2 rendszerbeli

P2(12)

0 − cos γ + i21 − cos ϕ2 sin γ i21(A x sin ϕ2 cos γ − A y cos ϕ2 cos γ − A z cos ϕ2 sin γ )º ª « » cos γ − i21 0 sin ϕ2 sin γ i21 ( A x cos ϕ2 cos γ + A y sin ϕ2 cos γ + A z sin ϕ2 sin γ ) » « = « » 0 A xi21 sin γ «cos ϕ2 sin γ − sin ϕ2 sin γ » «¬ »¼ 0 0 0 0

transzformációs mátrix is.

v

(I.29)

I.3 A geometriai-kinematikai viszonyok számítására alkalmas számítógépes algoritmus folyamatábrája, a kinematikai módszer alkalmazásával bemenet: csigageometria (3.58), Ax, i21, z1 ϕ1 kezdő érték ϕ1 mozgásparaméter rögzített értéke mellett n1 előállítása az (u,ϑ) által meghatározott kapcsolódási tartományban

(3.66) kapcsolódási egyenlet megoldása iterációval

a kapcsolódási vonalak (u,ϑ) paraméterek által meghatározott pontjaiban az RE számítása a kinematikai módszer alapján

vΣ hidrodinamikailag hatásos sebesség, vg csúszási sebesség meghatározása

kimenet: kinematikai, görbületi viszonyok adatfájlban való tárolása, megjelenítés a képernyőn

igen

ϕ1 < ϕ1 max. új kapcsolódási helyzet?

STOP

vi

I. 4 A geometriai-kinematikai viszonyok számítására alkalmas számítógépes algoritmus folyamatábrája, a differenciálgeometriai módszer alkalmazásával

bemenet: csigageometria (3.58), Ax, i21, z1 ϕ1 kezdő érték

y1 felvétele (tengellyel párhuzamos metszet helyzete)

ϕ1 mozgásparaméter és y1 rögzített értéke mellett n1 előállítása az (u,ϑ) által meghatározott kapcsolódási tartományban

kapcsolódási egyenlet tengelymetszetben érvényes 2D-s formájának megoldása iterációval → síkmetszet és érintkezési vonal metszéspontja

a csigakerék profil meghatározása az y1=állandó tengelymetszetben

az érintkezési vonalak (u,ϑ) paraméterek által meghatározott pontjaiban a főgörbületi sugarak és irányok meghatározása a csiga, illetve a csigakerék síkmetszetében a differenciálgeometria módszerével

RE redukált normálgörbületi sugár meghatározása

vΣ hidrodinamikailag hatásos sebesség, vg csúszási sebesség meghatározása

C

B

A vii

C

A

B

igen y1
kimenet: kinematikai, görbületi viszonyok adatfájlban való tárolása, megjelenítés a képernyőn

igen

ϕ1 < ϕ1 max. új kapcsolódási helyzet?

STOP

viii

I.5 A vizsgált hajtópárok geometriai adatai Geometriai jellemző

Jelölés, számításra szolgáló összefüggés

1. hajtópár

2. hajtópár

csiga fogszáma:

z1

3

2

modul:

m

12,5 mm

9 mm

tengelytáv:

a

280 mm

280 mm

profilszög:

α

23°03`40``

22°28`30``

körívsugár:

ρ

50 mm

36,6 mm

átmérőhányados:

q

7,8

9,333

áttétel:

i

11,67

25,5

középhenger átmérője:

dm1 = m q

97,5 mm

84 mm

69,5 mm

55,5 mm

35

51

1

0,944

21°2`15``

12°5`41``

ívsugár táv:

K=

dm1 + ρk sin α 2

csigakerék fogszáma:

z2=i z1

profileltolás tényező a csigakeréken:

x=

középhengeri menetemelkedési szög:

γ m = arctan

axiális osztás:

px = m π

39,27 mm

28,2743 mm

menetemelkedés a középhengeren:

pz = m z1 π

117,8097 mm

56,5486 mm

18,75 mm

8,9999 mm

csavarparaméter:

p=

a q + z2 − m 2

mz1 dm1

pz mz1π mz1 = = 2π 2π 2

fejhenger átmérő:

da1 = dm1 + 2m

117,5 mm

102 mm

lábhenger átmérő:

df1 = dm1 - 2(1 + c1) m

72,5 mm

66 mm

4

3,97

1,04

1,111

ívsugár együttható:

axiális együttható:

ψ=

ρk m

2 J = 0,5 + 2 ª ψ2 − ( sin α − 1) − ψ cos αº «¬ »¼

ix

fogvastagság a középhengeren:

s=Jm

13 mm

10 mm

csiga fogazott hossza:

lmin = 2m 2z2 + 4x 2

180 mm

180 mm

csigakerék-osztókör átmérő:

d2 = z2 m

437,5 mm

459 mm

csigakerék-gördülőkör átmérő:

dw2 = d2 + 2 x2 m

462,5 mm

476 mm

csigakerék-fejkör átmérő:

da2 = d2 + 2(x2 + 1)m

482,5 mm

494 mm

csigakerék-lábkör átmérő:

df2 = d2 + 2(x2 - 1 -c2)m

437,5 mm

454,4 mm

csigakerék külső átmérő: de2 = da2 + (7 - z1)(2 - x2)m

504 mm

498 mm

fejívsugár:

39,5 mm

36 mm

90 mm

75 mm

fogszélesség:

rek =

df1 2cos2 γ m

b2 = 0,48 m (q + 6)

x

II. melléklet. Az érintkezési viszonyok meghatározása A II.1 táblázat a kapcsolódó fogfelületek érintkezési viszonyainak számításához szükséges anyagjellemzőit foglalja össze egy adott csigahajtópár esetére. II.1 táblázat. A kapcsolódó fogfelületek anyagjellemzői

Anyagjellemző [mértékegység]

Csiga (acél) 16 MnCr5

Csigakerék (bronz) GZCuSn12

Sűrűség ρF [kg/m3]

7850

8000

Hővezetési tényező λF [W/m°C]

52

48

Fajlagos hőkapacitás cF [J/kg°C]

461

380

Rugalmassági modulus E [N/m2]

2,1.1011

8,85.1010

Poisson- tényező ν [-]

0,30

0,33

xi

II.1 Számítási algoritmus az érintkezési feszültség számítására, érintkezési vonal mentén állandó Hertz-féle feszültség feltételezésével

bemenet: terhelő nyomaték, redukált normálgörbület, érintkezési vonalak pontjai a geometriai számításból

ϕ1 mozgásparaméter rögzített értéke mellett a kH Stribeck-féle palástnyomás, pH Hertz-féle érintkezési feszültség, wb vonalterhelés számítása az érintkezési vonalak mentén

kimenet:érintkezési feszültég, vonal menti terheléseloszlás adatfájlban való tárolása, megjelenítése a képernyőn

igen

ϕ1 < ϕ1 max. új kapcsolódási helyzet?

STOP

xii

III. melléklet A kenési viszonyok számítása III.1 A kenőanyag fizikai tulajdonságai A kenőanyag fizikai tulajdonságai, azaz a viszkozitás, a hővezető képesség és a sűrűség határozzák meg a folyadéksúrlódást és a hidrodinamikus nyomás kialakulását a fogkapcsolódás során [SchA85]. Mivel napjainkban a kenőanyag kémiai összetétele alapján a fizikai tulajdonságok pontos meghatározása még nem lehetséges, ezért laboratóriumi vizsgálatok szükségesek azok meghatározásához. Viszkozitás A viszkozitás ismeretének a folyadéksúrlódás számítása során különleges jelentősége van, mivel függ a hőmérséklettől, a nyomástól, a folyadékréteget határán a határoló felületek sebességétől és a nyíró igénybevételtől is. A terhelősebesség és a nyíró igénybevétel hatását a számítások során nem vesszük figyelembe, mivel ilyen jellegű adatok a vizsgálatok során alkalmazott kenőolajokról nem állnak rendelkezésre. A terhelősebesség elhanyagolása csigahajtópároknál lényegesen kisebb hibát okoz, mint hengeresfogaskerék párok esetében, mivel rendszerint a csigahajtásoknál fellépő kisebb nyomások és sebességek lassabb nyomásemelkedést okoznak, mivel a nagy kapcsolószám miatt gyakorlatilag nincs belső terhelésingadozás. A Schoo által publikált számítási eljárás [SchA85] szerint a csigahajtópárok sebességtartományában a viszkozitás gyakorlatilag független a terhelősebességtől. A nyíró igénybevétel elhanyagolása azt jelenti, hogy a kenőanyagot a vizsgálatok során newtoni kenőanyagként kezeljük. Kísérletek bizonyítják, hogy az ismertetendő vizsgálatok során alkalmazott kenőanyagok, enyhén adalékolt ásványolajok és poliglikolok, newtoni kenőanyagként viselkednek. A mérési adatokból álló adatmező, amely a kenőanyag viszkozitását a teljes hőmérsékleti és nyomástartományban megadja, alkalmas a viszkozitás meghatározására a kenőrés minden egyes pontjában, nehezen kezelhető ellenben a numerikus algoritmusok számára. Egy közelítő képlet, amely a kenőanyag dinamikai viszkozitását a hőmérséklet és nyomás függvényében jól közelíti, jobban kezelhető a számítógépes program számára. Például jól használható erre a célra a Rodermund [Rod80] által felállított összefüggés, amely a viszkozitás hőmérséklet és nyomásfüggését jól extrapolálhatóan fejezi ki. xiii

η = Ae

B º ª D +E T +C » · « B § p −p 0 ¸ ¨ 1 + « T +C ¨ 2000p » ¸ 0 ¹ © « » ¬ ¼

(III.1)

Az A…E tényezők mérési eredményekből határozhatók meg. Minimum három mért viszkozitás érték szükséges p0 környezeti nyomáson, három különböző hőmérsékleten az A, B és C állandók meghatározásához. A D és E tényezők magasabb nyomáson, legalább két mért izobár viszkozitás értékből határozhatók meg. A III.1 táblázat a vizsgálatokhoz használt kenőolajokra adja meg az A…E tényezők értékeit. A Barus-féle öszefüggés a viszkozitás nyomásfüggését fejezi ki a nyomás-viszkozitás tényező α, segítségével. η = η(p 0 , T)e [α (p−p0 )]

(III.2)

A Dowson és Higginson által kidolgozott kenőfilm vastagság meghatározására szolgáló egyenlethez szükséges az α2000 nyomás-viszkozitás tényező ismerete. α 2000 =

ln η(p, T) − ln η(p 0 , T) 2000 ⋅ 10 5 N / mm 2

(III.3)

ahol η(p 0 , T ) a környezeti nyomáson mért, η(p, T) pedig a 2000 bar túlnyomáson mért kenőanyagviszkozitás. A következő polinom a nyomás-viszkozitás tényező hőmérsékletfüggésének közelítésére szolgál. α 2000 = A 0 + A 1T + A 2 T 2

(III.4)

Az energiaegyenlet megoldásához szükség van egy matematikailag jól kezelhető összefüggésre, amely a kenőanyagviszkozitás izobár hőmérsékletfüggését írja le. Schoo [SchA85], Dierich [Die89] valamint Bouché [Bou91], a Reynolds-féle összefüggést alkalmazta erre a célra: η = η(p, T1 )e [−β (T −T1 )]

(III.5)

amelyben β két viszkozitás-hőmérséklet értékpárból állandó nyomáson a β=

ln η(p, T2 ) − ln η(p, T1 ) T1 − T2

(III.6)

összefüggéssel számítható. Jóllehet, a Reynolds-féle összefüggés a T1 és T2 hőmérsékletek esetén a viszkozitás értékeket egzaktul megadja, ezektől eltérő hőmérsékleti értékeknél hibá-

xiv

val kell számolnunk. A következő Bouché által alkalmazott exponenciális függvény ugyan matematikailag nehezebben kezelhető, viszont nagyobb pontosságú: −κ

η = η(p, T1 ) ⋅ T1

⋅ Tκ

(III.7)

A fenti egyenlet a hőmérséklet-viszkozitás diagramban, ha mindkét tengely logaritmikus beosztású, egyenesekként ábrázolható. A κ kitevő két izobár η(p, T1 ) és η(p, T2 ) értékből számítható, amelyet azután az előző egyenlet egzaktul visszaad. κ=

ln[η(p, T2 ) / η(p, T1 )] ln[T2 / T1 ]

(III.8)

A III.1 ábra az (III.5) és (III.7) közelítőképleteket hasonlítja össze mért adatokkal.

III.1. ábra. Kenőanyagviszkozitás izobár hőmérséklet függése mérési eredményekből és közelítő képletek [Bou91] alapján

Hővezetési tényező A hővezetési tényező a kenőanyagfilmből a határoló szilárdtestek felé irányuló hőáramot határozza meg. A hővezetési tényező nyomásfüggését megfelelő mérési adatok hiányában kénytelenek vagyunk elhanyagolni. A hőmérsékletfüggése az alábbi egyenlettel közelíthető: λ = λ 0 + λ 1T + λ 2 T 2 .

(III.9)

Sűrűség A sűrűség ismerete a Reynolds-egyenlethez szükséges. A Spilker [Spi81] által kidolgozott összefüggés a kenőanyag-sűrűség nyomásfüggését hivatott kifejezni:

xv

ρ = C 0 + C1 ⋅ p + C 2 ⋅ p .

(III.10)

A III.1 táblázat egy csigahajtóművekben alkalmazott olajnak a számításokhoz szükséges jellemzőit foglalja össze. III.1 táblázat. Számításokhoz szükséges kenőanyag-jellemzők

Megnevezés

FVA-Refernzöl Nr.4. adatok [N.N.85] alapján

Típus:

ásványolaj

A [Pas]

2,4953.10-5

B [°C]

1,4451.103

C [°C]

1,0874.102

D [-]

5,6712.10-1

E [-]

-4,8741.10-3

A0 [m2/N]

2,5329.10-8

A1 [m2/N°C]

-1,1635.10-10

A2 [m2/N°C]

1,5152.10-13

λ0 [W/m°C]

1,3000.10-1

λ1 [W/m°C2]

-7,1100.10-5

λ2 [W/m°C3]

0,0000

C0 [kg/m3]

8,8540.102

C1 [kg/mN]

2,0348.10-7

C2 [kg/m2N1/2]

2,1452.10-3

III.2 Hőmérsékleteloszlás a kenőfilmben Az 5. fejezetben ismertetett effektív viszkozitás számítására meg kell határozni a hőmérsékleteloszlást a kenőrésben. Az energiaegyenlet a folyadéksúrlódás következtében a kenőfilmben keletkező hő, és a kenőrésből a fogfelületekhez való hővezetés egyensúlyát írja le. A Schoo által alkalmazott összexvi

függéssel szemben ez a kibővített energiaegyenlet tartalmazza a helyettesítő hengerpárok axiális csúszásából fejlődő hő figyelembevételét is. § ∂v ∂ § ∂T · ¸¸ + 稨 x ¨¨ λ ∂y © ∂y ¹ © ∂y

2

2

§ ∂v · · ¸¸ + 稨 z ¸¸ = 0 © ∂y ¹ ¹

(III.11)

Az (5.29) és (5.35) egyenleteket az energiaegyenletbe helyettesítve: η2 ∂ § ∂T · 2 2 + v gz = 0. ¨¨ λ ¸¸ + s 2 v gx ∂y © ∂y ¹ η ⋅ h

(

)

(III.12)

Az a feltevés, hogy a kenőfilm vastagsága mentén a hővezetési tényező állandó és a (III.9) egyenletből a közepes kenőfilm hőmérséklet alapján számítható, valamint az, hogy a vgx illetve vgz csúszási sebességek vektoriális összege az eredő vg csúszási sebességet eredményezi, az alábbi egyenlethez vezet: λ

2 2 ∂ 2 T ηs ⋅ v g + = 0. ∂y 2 η ⋅ h2

(III.13)

A továbbiakban a feladat a fenti egyensúlyi egyenlet megoldása, mely során a következő eseteket célszerű megkülönböztetni: a hőmérséklet eloszlásnak (III.2 ábra) van, a hőmérséklet eloszlásnak nincs maximumértéke a kenőfilmvastagság mentén.

III.2 ábra. Maximum értékkel rendelkező hőmérséklet eloszlás a kenőrésben [Bou91]

A III.2 ábra egy számított hőmérséklet eloszlást mutat be, melynek maximuma van a kenőrésben. Mivel y irányban állandó a nyomás, a hőegyensúlyt leíró egyenletbe behelyettesíthető a hőmérsékletfüggő viszkozitás η .

xvii

λ

ηs2 v g2 ∂ 2T + = 0, ∂y 2 h2 ⋅ η(p, T1 )T1− κ ⋅ T κ

(III.14)

amelynek T szerinti határozatlan integrálja: 2

ηs2 v g2 1 § ∂T · 1 ⋅ T (1− κ ) = C s . ¨¨ ¸¸ + 2 −κ 2 © ∂y ¹ h ⋅ λ ⋅ η(p, T1 )T1 1 − κ

(III.15)

Átalakítások illetve a hőmérséklet profil mentén állandó R=

ηs2 ⋅ v g2

h2 ⋅ λ ⋅ η(p, T1 )T1− κ

,

(III.16)

β = 1− κ .

(III.17)

mennyiségek bevezetése után az egyenlet az alábbi alakba írható: ∂T 1 = ± 2C s − 2R T β . ∂y β

(III.18)

A fenti differenciálegyenlet leírja a hőmérséklet eloszlást a kenőfilm vastagsága mentén. Numerikus megoldása pl. az Euler-Cauchy-féle poligon szabállyal lehetséges, amely a III.2 ábrán bemutatott hőmérséklet profilt eredményezi. Ehhez azonban szükség van az eddig még ismeretlen Cs integrálási állandóra. Mivel a hőmérsékletmaximumnál a hőmérsékletgradiens nulla, az egyenletből következik, hogy 0 = 2C s − 2R

1 β Tmax . β

(III.19)

A (III.13) hőmérsékletegyensúlyi egyenlet határozott integrálja ηs2 v g2 ∂ 2T dy = − ³ ∂y 2 h2 −h / 2

+h / 2

λ⋅

+h / 2

1 dy . η −h / 2

³

(III.20)

Behelyettesítve az ηs effektív viszkozitásra az 5. fejezetben ismertetett összefüggést: ∂T ∂y

y= +h / 2

=− y = −h / 2

ηs v g2 h⋅λ

.

(III.21)

A (III.18) egyenlet meghatározza a hőmérsékletgradienseket a kenőrés határán adott peremhőmérsékleteknél. TF1 peremhőmérséklet y=-h/2, TF2 peremhőmérséklet pedig y=+h/2 helyen lép fel. Az a tény, hogy a kenőrésben a hőmérsékleteloszlásnak maximuma van, segít meghatározni a (III.18) egyenlet előjelét. A III.2 ábra alapján egyértelmű, hogy

xviii

∂T ∂y

>0> y = −h / 2

∂T ∂y

.

(III.22)

y =+h / 2

A (III.18) egyenlet a fenti egyenlet szerinti előjel figyelembevételével és a peremhőmérsékletek (III.21) egyenletbe való helyettesítésével: ηs v g2 1 β 1 β 2C s − 2R TF1 + 2C s − 2R TF 2 = . β β h⋅λ

(III.23)

Cs értékét a (III.19) egyenletből kifejezve és a (III.23) egyenletbe behelyettesítve az ismeretlen integrálási állandó és az ηs effektív viszkozitás eliminálható. vg 2 β β ⋅ §¨ Tmax − TFβ1 + Tmax − TFβ2 ·¸ − =0 −κ © ¹ λ β ⋅ λ ⋅ η(p, T1 )T1

(III.24)

A (III.24) egyetlen ismeretlenje a Tmax hőmérsékletmaximum, amely iterációval meghatározható. A TF1 és TF2 peremhőmérsékletek közül az alacsonyabb a T1 hőmérséklet, a becsült Tmax hőmérsékletmaximum pedig a T2 hőmérséklet kiindulópontja a κ (III.8) összefüggés alapján történő iteratív meghatározása során. Az így kiszámított hőmérsékletmaximum csak egy részeredmény a peremen fellépő csúsztatófeszültségek számítása során. A következő, a (III.18) egyenletből integrálással származó öszszefüggés újabb feltételt jelent: +h / 2

TF 2

−h / 2

TF1

³ dy = ³

dT ± 2C s − 2(R / β)T β

.

(III.25)

A hőmérsékletmaximumon való áthaladás során való előjelváltás miatt a jobb oldalon szereplő integrált fel kell osztani. A (III.22) egyenlet szerinti előjelekkel: Tmax

h=

³

TF1

dT 2C s − 2(R / β)T β

TF1

−

³

Tmax

dT 2C s − 2(R / β)T β

.

(III.26)

A (III.19) egyenletet R-re kifejezve és a fenti egyenletbe behelyettesítve Cs kifejezhető: § T T 1 ¨ 1 max dT 1 max dT Cs = + ³ ³ 2 ¨¨ h TF1 1 − ( T / T )β h TF 2 1 − ( T / T )β max max ©

2

· ¸ . ¸¸ ¹

(III.27)

A fenti egyenlet integráljai improprius integrálok, mivel az integrálandó függvény a Tmax határon a végtelenbe tart, viszont az integrál ennek ellenére véges értékekhez konvergál. Az in-

xix

tegrálok numerikusan pl. Newton-Cotess-féle kvadratúrával oldhatók meg és a Cs meghatározható, mivel az egyenlet jobb oldalán ismert mennyiségek szerepelnek. A numerikus számítás során egy már előállított és tárolt eredményekből álló megoldásmező, amit az algoritmus felhasznál és ezzel jelentős számítási időt takarít meg. 1

I1,2 =

³

x u1, 2

ahol x u1 =

1 1 − xβ

(III.28)

dx

TF1 , Tmax

(III.29)

és x u2 =

TF 2 , Tmax

(III.30)

amelyek felhasználásával 2

1§ T · C s = ¨ max (I1 + I2 ) ¸ . 2© h ¹

(III.31)

A (III.16) egyenletet a (III.19) egyenletbe helyettesítve az effektív viszkozitás meghatározható: ηs =

h 2 ⋅ λ ⋅ η(p, T ) ⋅ C s ⋅ β β v g2 ⋅ T1κ ⋅ Tmax

.

(III.32)

Az így kapott ηs effektív viszkozitás értékét az 5. fejezetben ismertetett összefüggésekbe helyettesítve kiszámíthatjuk a peremen fellépő csúsztatófeszültségeket és ezzel a folyadéksúrlódást egy hőmérsékleteloszlás mentén a kenőrésben. A III.3 ábra a számítás lépéseit mutatja be, abban az esetben ha a hőmérsékleteloszlásnak maximuma van a kenőrésben.

xx

Adott bemenő mennyiségek: p nyomás h kenőfilm vastagság vg csúszási sebesség TF1, TF2 peremhőmérsékletek

((III.1) egyenlet): η(p,T1) T1 = minimális peremhőmérséklet

Tmax = maximális hőmérséklet becslése

((III.1) egyenlet): η(p, T2) T2=Tmax ((III.8) egyenlet): κ ((III.17) egyenlet): β ((III.9) egyenlet): λ T=(Tmax-T1)/2

nem

((III.24)egyenlet iterálással) Gyök?

igen ((III.29) egyenlet): xu1 ((III.30) egyenlet): xu2 ((III.28) egyenlet): I1; I2 numerikus megoldás ((III.31) egyenlet): Cs ((III.32) egyenlet): ηs ((III.16) egyenlet): R

Csúsztatófeszültségek (5.29 egyenlet): τx (5.36 egyenlet): τz

Peremhőmérséklet gradiensek ((III.18) egyenlet): ∂T ∂y TF1 és TF2 -nél

Hőmérsékletprofil ((III.18) egyenlet): ∂T ∂y

numerikus integrálás

III.3 ábra. A hőmérsékleteloszlás számításának folyamatábrája (hőmérséklet maximum értékkel a kenőrésben)

xxi

Hőmérsékleteloszlás maximumérték nélkül A III.4 ábra egy olyan hőmérsékleteloszlást mutat, melynek nincs maximuma a kenőrésben. A kenőrésben hőáramlás figyelhető meg. A kenőrés szélein a hőmérsékletgradiensek azonos előjelűek.

III.4 ábra. Számított hőmérsékleteloszlás a kenőrésben maximumérték nélkül [Bou91] ∂T ∂y

= y = −h / 2

∂T ∂y

> 0 ha TF1
(III.33)

y = +h / 2

A következő levezetések az egyszerűség kedvéért csak a TF1TF2 eset ezekre visszavezethető. A hőmérsékletgradienst meghatározó (III.18) egyenletet a (III.21) egyenletbe behelyettesítve a (III.33) egyenlet szerinti előjel figyelembe vételével a következőt kapjuk: ηs v g2 1 β 1 β . 2C s − 2R TF1 − 2C s − 2R TF 2 = β β h⋅λ

(III.34)

Bevezetve az 2v g2 2R S= = β ⋅ ηs2 β ⋅ h 2 ⋅ λ ⋅ η(p, T1 )T1− κ

(III.35)

és V=

2C s

(III.36)

ηs2

mennyiségeket a (III.34) egyenlet az alábbiak szerint alakul: V − S ⋅ TFβ2 − V − S ⋅ TFβ1 +

v g2 h⋅λ

=0 .

(III.37)

xxii

A fenti egyenletben V az egyetlen ismeretlen, amely iterációval meghatározható. Legkisebb értéke, melynél a gyökjel alatti kifejezés még nem lesz negatív: Vmin = S ⋅ TFβ2 .

(III.38)

A fenti egyenletet behelyettesítve az (III.37) egyenletbe megkapjuk azt a feltételt, amely meghatározza, hogy a hőmérsékleteloszlásnak létezik-e maximuma vagy sem. Létezik hőmérsékletmaximum a kenőrésben, ha érvényes az alábbi feltétel: v g2 h⋅λ

− S ⋅ TFβ2 − S ⋅ TFβ1 > 0 .

(III.39)

Az ηs effektív viszkozitás az így már ismert V és S mennyiségek (III.25) egyenletbe való behelyettesítésével számítható. ηs =

1 h⋅ V

TF 2

³

TF1

dT

(III.40)

1 − ( S / V ) ⋅ Tβ

A fenti integrál numerikusan pl. a Newton-Cotess-féle kvadratúrával megoldható és az ηs effektív viszkozitás meghatározható. Jelentős számítási idő csökkenés érhető el a számítógépben tárolt, előző számításból származó I1,2 eredménymező felhasználásával. §S· x u1 = TF1 ¨ ¸ ©V¹ x u2

(1/ β )

§S· = TF 2 ¨ ¸ ©V¹

,

(III.41)

(1/ β )

(III.42)

amelyekkel a (III.40) egyenlet a következő alakba írható: 1 §S· ηs = ¨ ¸ h v ©V¹

(−1/ β )

1

⋅(

³

X u1

1

1 1− x

β

dx −

³

Xu 2

1 1 − xβ

dx ) .

(III.43)

A (III.28) egyenletet a (III.43) egyenletbe behelyettesítve lehetőség van a tárolt I1 és I2 felhasználásával az effektív viszkozitást meghatározására. 1

§S· ηs = ¨ ¸ h⋅ V © V ¹

( −1/ β )

⋅ (I1 − I2 ) ,

(III.44)

amelyet behelyettesítve az 5. fejezetben ismertetett egyenletekbe megkapjuk a peremen fellépő csúsztatófeszültségeket, amelyből a folyadéksúrlódási tényező a kenőrés egy adott hőmérsékletprofilja mentén meghatározható. A hőmérsékleti gradiensek a kenőrésben és a rés perexxiii

mén a (III.18) egyenletből számíthatók. Az egyenlet Euler-Cauchy-féle poligonszabállyal való numerikus megoldása a hőmérsékleteloszlást adja. A III.5 ábra a számítás lépéseit foglalja össze arra az esetre, amikor a hőmérséklet eloszlásnak nincs maximuma a kenőrésben.

xxiv

Hőmérsékletprofil maximummal számítási algoritmus

Adott bemenő mennyiségek: p nyomás h kenőfilm vastagság vg csúszási sebesség TF1, TF2 peremhőmérsékletek

((III.1) egyenlet): η(p, T1) T1=TF1 ((III.1) egyenlet): η(p, T2) T2=TF2 ((III.8) egyenlet): κ ((III.17)egyenlet): β ((III.9) egyenlet): λ T=(Tmax-T1)/2 ((III.35) egyenlet): S

((III.39) egyenlet): hőmérsékletmaximum? nem V becslése; ((III.38) egyenlet): kezdőérték

nem

((III.37) egyenlet iterálással) Gyök ?

igen ((III.41) egyenlet): xu1 ((III.42) egyenlet): xu2 ((III.28) egyenlet): I1; I2 numerikus megoldás ((III.44) egyenlet): ηs ((III.36) egyenlet): Cs ((III.16) egyenlet): R

Csúsztató feszültségek ((5.29) egyenlet): τx ((5.36) egyenlet): τz

Peremhőmérséklet gradiensek ((III.18) egyenlet): ∂T ∂y TF1 és TF2 -nél

Hőmérsékletprofil ((III.18) egyenlet): ∂T ∂y numerikus integrálás

III.5 ábra. A hőmérsékleteloszlás számításának folyamatábrája (hőmérsékletmaximum nélkül a kenőrésben)

xxv

III.3 A kenőrés peremhőmérsékleteinek meghatározása Az 5. fejezetben ismertetett számítási módszer a kenőrés peremhőmérsékletek meghatározására kiegészítendő a következő megfontolásokkal. A számítási algoritmushoz a bemenő adatok értelmezését a fogfelületek érintkezési vonalának egyes pontjaiban a III.6 ábra mutatja be. A pontbeli érintkezési vonalra merőleges v1En, v2En , és a vg csúszási sebesség értékek szolgálnak a hengerpár modellen alapuló számítási algoritmus bemenő adataiként a kinematikai viszonyok tekintetében.

III. 6 ábra. A sebesség viszonyok értelmezése az érintkezési vonal egy pontjában

A hengeres csigahajtások fogfelületein létezik egy olyan tartomány, melyen a v1En érintkezési vonalra merőleges relatívsebesség nagyon kicsi, sőt akár nulla is lehet. A valójában háromdimenziós fogérintkezésnek kétdimenzióssá való redukálása a helyettesítő hengerpárok segítségével, nagyon kis relatívsebesség értékek esetén az (5.39), illetve (5.40) összefüggések alapján értelmezhetetlenül hosszú érintkezési időket okoz. Dierich [Die89] ezért a fogfelületek ezen kis tartományán a valóságnak nem megfelelő, magas hőmérsékleteket kapott eredményül, amelyek extrém esetben a végtelenhez tartanak. Az a feltevés, miszerint az időtartam, amely alatt egy fogfelületen lévő pont érintkezésben van a másik fogfelülettel, korlátos, segít elkerülni ezt. Válasszuk maximális érintkezési időnek azt az időtartamot, amely alatt a csiga tengelye körül 20°-ot elfordul. ∆t 1max =

20° ⋅ 2π 360° ⋅ ω1 ⋅ n

(III.45)

A peremhőmérsékletek kiszámításához szükség van a q1(j) illetve q2(j) hőáramok ismeretére, melyek minden egyes hőmérsékletprofilnál az érintkező testek felé vagy azoktól áramlanak. A (III.18) egyenlettel számított hőmérsékletgradiensek a rés szélein megadják kenőanyagból származó hőáramokat. xxvi

q1(j) = λ

∂T ( j) ∂y y =−h / 2

(III.46)

q2 (j) = λ

∂T ( j) ∂y y =−h / 2

(III.47)

A peremhőmérsékletek számításánál nehézséget okoz, hogy a (III.46) és a (III.47) egyenletekben szereplő hőmérsékletgradiensek maguk is a peremhőmérséklettől függenek. Ezért két alapvető esetet szükséges megkülönböztetni: a helyettesítő hengerpárok azonos irányban és a helyettesítő hengerpárok ellentétes irányban forognak. A III.7 ábra a helyettesítő hengerpárok közötti számított peremhőmérsékletek változásának a jellegét ábrázolja azonos, illetve ellentétes irányú mozgás esetén.

III.7 ábra. Azonos, illetve ellentétes irányba forgó helyettesítő hengerpárok peremhőmérsékletének változása

xxvii

III. 8 ábra. Helyettesítő hengerpárok egyirányú (zöld szín) és ellentétes irányú (lila szín) forgásának tartománya a vizsgált hajtópár típusra

A helyettesítő hengerpárok egyirányú forgása Azonos irányú forgás esetén a v1En és v2En sebességek azonos előjelűek. Mindkét hengerfelület pontjai a kenőrés egyazon végén lépnek be, és ugyanabban az x irányba mozognak. Ilyen típusú mozgás esetén a peremhőmérséklet probléma iteratív megoldása lehetséges. Az (i-1) – dik hőmérsékletgradiens már kiszámított peremhőmérsékletei képezik az i -edik kiszámításához a kezdőértékeket. Az így kiszámított q1(i) és q2(i) hőáramok az 5. fejezetben közölt egyenletekkel megadják az új TF1(i) és TF2(i) peremhőmérsékleteket. Ezek az i-edik hőmérsékletprofil ismételt átszámítására szolgálnak. Mivel ez az iteráció gyorsan konvergál, már a második közelítés esetében kielégítő pontosságot eredményez. Rövid számítási időt kis számú hőmérsékletprofillal kaphatunk. Viszont kevés hőmérsékletprofil esetén a peremhőmérséklet számítás instabilitásra hajlamos. Különböző peremhőmérsékletek hatására hőáram alakul ki a kenőrésben, amely túl hosszú ∆t1 és ∆t 2 érintkezési idők esetén ahhoz vezethet, hogy a következő hőmérsékletprofilnál az eredetileg magasabb hőmérsékletű perem a valóságosnál alacsonyabb hőmérsékletű lesz, amely hatására újabb hőáram alakul ki. A következő ábra az így előálló instabilitási problémát mutatja be.

xxviii

III.9 ábra. Peremhőmérséklet-számítás instabilitási problémája

Schoo [SchA85] megkerülte ezt az instabilitási problémát, mivel a kenőrésben szimmetrikus hőmérsékleteloszlást tételezett fel, amelyben így nem alakul ki hőáram. Dierich [Die89] úgy akadályozta meg ezt az instabilitást, hogy csak egyetlen hőárammal számolt a kenőrésben. Ezek a feltételezések jóllehet nagyon pragmatikusak, viszont sajnos fizikailag nem megalapozottak. Az a tény, hogy a kenőrésben egy hőmérsékletprofil mentén maximum qdm hőáram alakulhat ki, amely a következő hőmérsékletprofilig ugyanazon TF1(i) és TF2(i) peremhőmérsékleteket produkálja, a kiindulási pontja egy fizikailag megindokolható hőmérsékletszámításnak, amely kiküszöböli az instabilitási problémákat. Az (5.43) és (5.44) összefüggések egyenlővé tételével megkapjuk a maximálisan lehetséges qdm(i) hőáramot, amely a kenőrésben hőközlés nélkül kialakulhat.

Tm1 + T¦ 1(i) − Tm2 − T¦ 2(i)

qdm(i) =

2

1 ∆t1 1 + π ⋅ ρF2 ⋅ c F2 ⋅ λF2 π ⋅ ρF1 ⋅ c F1 ⋅ λF1 0,35∆t1

2

∆t 2 0,35∆t 2

,

(III.48)

amelyben

T¦1(i) =

j=i−1 1 ⋅¦ π ⋅ ρF1 ⋅ c F1 ⋅ λF1 j=1

T¦ 2(i) =

j=i−1 1 ⋅¦ π ⋅ ρF2 ⋅ c F2 ⋅ λF2 j=1

∆t1 ⋅ q1( j)

(i − j + 0,35 ) ∆t1

,

∆t 2 ⋅ q2( j)

(i − j + 0,35 ) ∆t 2

(III.49)

.

(III.50)

A qdm(i) maximális hőáram mint felső határ jelenik meg a következők szerint: −qdm(i) < q1(i) − qössz / 2

ha

q1(i) > q2(i) ,

xxix

(III.51)

+ qdm(i) < q2(i) − qössz / 2

ha

q1(i) ≤ q2(i) ,

(III.52)

ahol qössz = q1(i) + q2(i) .

(III.53)

Amennyiben a (III.51) vagy a (III.52) összefüggések nem teljesülnek, az instabilitás kiküszöbölése érdekében az alábbiak szerint kell eljárni: q1(i) = −qdm(i) + qössz / 2

(III.54)

q2(i) = +qdm(i) + qössz / 2 .

(III.55)

Összehasonlító számítások igazolják, az így kapott eredmények azonosak azokkal az eredményekkel, amelyeket olyan magas hőmérsékletprofil szám esetén kapunk, melynél az instabilitás már nem lép fel. A helyettesítő hengerpárok ellentétes irányú forgása Hengeres csigahajtások esetében létezik olyan tartomány a kapcsolódás során, ahol a helyettesítő hengerpárok ellentétes irányban forognak. A hengerpárok ellentétes irányú forgása esetén a felületi pontok a kenőrés két ellentétes oldalán lépnek be és egymással ellentétes irányban mozognak. Emiatt a peremhőmérséklet probléma nem oldható meg olyan egyszerűen, mint az egyirányú forgás esetén, hanem csak iteráció segítségével. A q2(j) hőáramok a mindenkori megelőző iterációból szolgálnak a 2-es jelű ellentétes irányban forgó fogfelület peremhőmérsékletének számítására. Az alábbi összefüggés helyettesíti ellentétes irányú forgás esetén az (5.44) összefüggést:

TF 2új(i)

j =n 1 = Tm2 + ⋅¦ π ⋅ ρF2 ⋅ c F2 ⋅ λF2 j=i

∆t 2 ⋅ q2( j)

(i − j + 0,35 ) ∆t 2

.

(III.56)

Az (III.56) iteráció konvergenciáját segíti a git súlyozó tényező bevezetése. TF2(i) = (1 − git )TF2előző(i) + git TF2új(i) ,

(III.57)

0 < git < 1 .

(III.58)

Kis számú hőmérsékletprofil esetén a peremhőmérséklet számítás ebben az esetben sem oldható meg az instabilitás kiküszöbölése nélkül. Ekkor az (III.59) összefüggést alkalmazzuk az (III.48) helyett.

xxx

qdm(i)

§ ¨ j=i−1 TF2(i) − Tm1 =¨ −¦ ¨ 1 j=1 ¨¨ © π ⋅ ρF1 ⋅ c F1 ⋅ λF1

· ¸ ∆t1 ⋅ q1( j) ¸ 0,35∆t1 2 (i − j + 0,35 ) ∆t1 ¸¸ ∆t1 ¸ ¹

(III.59)

A (III.51) - (III.55) összefüggések változatlanul érvényesek a helyettesítő hengerpárok ellentétes irányú forgásakor is.

III.4 A folyadéksúrlódási tényező számításának algoritmusa az ETHD kenési modell alapján A következő folyamatábra (III.10. ábra) a folyadéksúrlódási tényező számításának lépéseit foglalja össze a hengerpár helyettesítő modellre.

xxxi

a helyettesítő hengerpárok adatai: vg, v1En, v2En sebességek ph(i), nyomáseloszlások kenőrésalak h(i) közeghőmérsékletek, Tm1, Tm2 belapulási szélesség 2a szilárdtest súrlódási tényező µF

egyirányú mozgás

ellentétes irányú mozgás sig(v1bn) = sig (v2bn)

a számítási ciklus kezdete: az összes n hőmérsékleti profil számítása i=1…n

peremhőmérsékletek kezdőértékei TF1(i) = TF1(i-1) illetve TF1(1) = Tm1 TF1(i) = TF1(i-1) illetve TF1(1) = Tm1

nem

((III.39) egyenlet): Hőmérsékletmaximum van?

az i-dik hőmérsékletprofil számítása a III.3 ábra alapján

igen

az i-dik hőmérsékletprofil számítása a III.5 ábra alapján

((III.46),(III.47) egyenletek): q1(i); q2(i) ((5.39), (5.40) egyenletek): ∆t1; ∆t2 ((III.45) egyenlet): ∆t1max ((III.49),(III.50) egyenletek): TΣ1(i), TΣ2(i) ((III.48) egyenlet): qdm(i) ((III.53) egyenlet): qössz(i)

B A

C

xxxii

A

B

nem

C

((III.51), (III.52) egyenletek): instabilitás kiküszöbölése?

igen

((III.54) egyenlet): q1(i) ((III.55) egyenlet): q2(i)

((5.41), (5.42). egyenletek): TF1(i); TF2(i)

igen

egyirányú mozgás

újabb iteráció?

nem

a számítási ciklus vége ellentétes irányú mozgás

az összes peremhőmérséklet becslése TF2(j) j=1... n a 2-es fogfelületre ((III.57) egyenlet): git; TF2(j) vagy TF2(j) = Tm2 kezdőértékek

a számítási ciklus kezdete: az összes n hőméréskletprofil számítása i=1... n

az 1-es fogfelület i- edik hőmérsékletprofiljának becslése TF1(i)=TF1(i-1) illetve TF1(1) = Tm2

nem

D

((III.39) egyenlet): hőmérsékletmaximum?

E

igen

F xxxiii

G

D

E

F

az i-dik hőmérsékletprofil számítása a III.3. ábra alapján

az i-dik hőmérsékletprofil számítása a III.5. ábra alapján

((III.46),(III.47) egyenletek): q1(i); q2(i) ((5.39), (5.40) egyenletek): ∆t1; ∆t2 ((III.45) egyenlet): ∆t1max ((III.49),(III.50) egyenletek): TΣ1(i), TΣ2(i) ((III.48) egyenlet): qdm(i) ((III.53) egyenlet): qössz(i)

nem

igen

((III.51), (III.52) egyenletek): instabilitás kiküszöbölése?

(III.54 egyenlet): q1(i)

((5.41) egyenlet): TF1(i)

a számítási ciklus vége

((III.56) j=1...n

egyenlet):

TF2új(j)

nem

igen Újabb iteráció? TF2

((5.45) egyenlet): τ ((5.46) egyenlet): Frh Eredmény: folyadéksúrlódási tényező ((5.48) egyenlet): µh

xxxiv

G

III.5 A kifejlesztett görgő-tárcsa vizsgálóberendezés műszaki adatai Tárcsa effektív átmérője:

∅ 30-190 mm

Fordulatszáma:

0 – 500 ford/min

Beállítható maximális hőmérséklet:

60 °C

Görgő próbatest mérettartománya görgő (kúp, henger): legkisebb átmérő:

∅ 12 – 30 mm

legnagyobb átmérő:

∅ 32 – 48 mm

max. hossz:

l=20 mm

Fordulatszáma:

0 – 600 ford/min

Próbatest terhelhetősége:

0 – 400 N fokozatmentesen

Beállítható maximális kerületi sebességek: tárcsa max.

4,5 m/s

görgő max.

0,38 – 1,5 m/s (mérettől függ)

xxxv

Irodalomjegyzék [Bau85] Baumann, H.: Druck- und Temperaturmessungen mittels aufgedampfter Dünnschichtaufnehmer in einem elastohydrodynamischen Linienkontakt. Dissertation Universität Karlsruhe, 1985. [BauBörLinSen96] Baumann, V.; Börner, J.; Linke, H.; Senf, M.: Genaue und kostengünstige Berechnung der Last-, Pressungs- und Spannungsverteilung an Stirn- und Kegelradgetrieben. VDI Berichte Nr. 1230, 1996. pp. 213-225. [Ber71] Bercsey, T.: Globoid csiga és sík fogfelületű hengeres kerék kapcsolódási viszonyainak vizsgálata. Egyetemi doktori értekezés, Budapest, 1971. [Ber77] Bercsey, T.: Toroidhajtások elmélete. Kandidátusi értekezés, Budapest, 1977. [Ber90] Bercsey, T.: Csigahajtópárok kapcsolódási viszonyainak számítógépes szimulációja és optimálása. MicroCAD ’90, Miskolc, 1990. [BerHor96a] Bercsey, T.; Horák, P.: A new tribological moldel of worm gear teeth contact. ASME 7th International Power Transmission and Gearing Conference, San Diego, 1996. Proceedings, pp.: 147-152. [BerHor96b] Bercsey, T.; Horák, P.: Tribologische Modellierung von räumlichen Verzahnungen. Periodica Polytechnika, ser. Mechanical Engineering Vol. 40. No.1. 1996, pp.:5-14. [BerHor02] Bercsey, T.; Horák, P.: Modelling of the contact- and tribological relations of spatial gear pairs. International Conference on Gears, March 13-15, 2002, Munich. VDI-Berichte Nr. 1665, 2002. pp.: 91105. [Bou91] Bouché, B.: Reibungszahlen von Schneckengetriebeverzahnungen im Mischreibungsgebiet. Disseration Ruhr-Universität Bochum, 1991.

I

[Bou92] Bouché, B.: Theorie der Schmierung, Mischreibung. VDI Berichte Nr. 977. 1992. pp. 1-22. [Böh91] Böhmer, T.: Entwicklung eines Standardtestes für Schneckengetriebe zur Erprobung von Schmier- und Werkstoffen. Dissertation, Ruhr-Universität Bochum, 1991. [BucRyf60] Buckingham, E.; Ryffel, H.: Design of Worm and Spiral Gears. A Manual for the Design and Manufacture of AllRecess-Action Worm and Spiral Gear Drives. The Industrial Press. New York, 1960. [CarJae71] Carslaw, H. S.; Jaeger, J. C.: Conduction of heat in solids. Oxford at the Clarendon Press, sec. ed., 1971. [Cse95] Cserhalmi, Gy.: Térbeli fogazatok tribológiai vizsgálatára és szimulációjára alkalmas próbapad tervezése. Diplomaterv, BME Gépszerkezettani Intézet, 1995. [Die89] Dierich, H.: Weiterentwicklung der Theorie zur Ermittlung von Hertzschen Drücken und Reibungszahlen in Verzahnungen von Schneckengetrieben. Dissertation Ruhr-Universität Bochum, 1989. DIN 3974 Toleranzen für Schneckengetriebe-Verzahnungen, November 1995. DIN 3975 Begriffe und Bestimmgrößen für Zylinder-Schneckengetriebe mit sich rechtwinklig kreuzenden Achsen. Juli 2002. DIN 3976 Zylinderschnecken; Maße, Zuordnung von Achsabständen und Übersetzungen in Schneckenradsätzen. November 1980. DIN 3996: Tragfähigkeitsberechnung von Zylinder-Schneckengetrieben mit Achsenwinkel Σ=90°, September 1998.

II

[DowHig59] Dowson, D.; Higginson, G. R.: A numerical solution to the elasto-hydrodynamic problem. Journal Mechanical Engineering Science. Vol. No. 1, 1959. pp.6-15. [Dra87] Drahos, I.: A kinematikai gyártásgeometria alapjai. Akadémiai doktori értekezés, Budapest, 1987. [Dra93] Drahos, I.: Annäherungsmodell zweiter Ordnung zum Kontakt konjugierten Zahnflächen für Berechnung, Versuch und Prüfung. Unveröffentlichte Kurzfassung zum Forschungsprojekt OTKA 5-326, Miskolc, 1993 [Dro68] Drobni, J.: Az ívelt profilú hengeres csigahajtások számítása. NME Gépelemek Tanszékének Közleményei, 194. szám 1968. [Dro68] Drobni, J.: Köszörülhető globoid csigahajtások. Kandidátusi értekezés, Budapest, 1968. [Dro01] Drobni, J.: Korszerű csigahajtások. Tenzor Kft., Miskolc, 2001. (ISBN: 963-00-4505-2) [Dud73] Dudás, I.: Ívelt profilú hengeres csigahajtások egyszerűsített gyártása és minősítése. Egyetemi doktori értekezés, Miskolc, 1973. [Dud82] Dudás, I.: Ívelt profilú csigahajtások szerszámozásának és gyártásának fejlesztése. Kandidátusi értekezés, Budapest, 1982. [Dud88] Dudás, I.: Csavarfelületek gyártásának elmélete. Akadémiai doktori értekezés, Budapest, 1988. [DudVarBan96] Dudás, I.; Varga, Gy; Bányai, K.: Bearing pattern localization of worm gearing. International Conference on Gears, Dresden, 22-24 April, 1996. VDI Berichte Nr. 1230, 1996. pp. 427-441.

III

[DudBanVar96] Dudás, I.; Bányai, K.; Varga, Gy.: Simulation of meshing of worm gearing. ASME 7th International Power Transmission and Gearing Conference, San Diego, 1996. Proceedings, pp. 141-146. [Dud99] Dudás, I.: Optimization and manufacturing of the spiroid gearing. 4th World Congress on Gearing and Power Transmission, Párizs, 16-18 March, 1999. pp. 377-390. [Dud00] Dudás, I.: The Theory and Practice of Worm Gear Drives. Penton Press, London, 2000. (ISBN 1 8571 8027 5) [DudL91] Dudás, L.: Kapcsolódó felületpárok gyártásgeometriai feladatainak megoldása az elérés modell alapján. Kandidátusi értekezés, Miskolc, 1991. [DudL98] Dudás, L.: Development of a multi-purpose design tool for investigation and modelling of conjugate kinematical surfaces. Miskolci Egyetem Közleményei, Miskolc, 1998. [Ell87] Eller, G.: Ein Beitrag zur Berechnung des stationären, nichtisothermen elastohydrodynamischen Schmierfilms. Dissertation Universität Karlsruhe, 1987. [Ern68] Erney, Gy.: Az egyenes alkotójú csigahajtások geometriájának hazai kutatási eredményei. MTA Műszaki Tudományok Osztályának Közleményei 41. (1968), pp. 123-143. [Ern83] Erney, Gy: Fogaskerekek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1983. [GagGosClo96] Gagnon, Ph.; Gosselin, C.; Cloutier, R.: Analysis of Spur, Helical and Straight Bevel Gear Teeth Deflection by the Finite Strip Method. VDI Berichte 1230, International Conference on Gears, 22-24 April 1996, Dresden, pp. 909-921.

IV

[Gar87] Garamvölgyi, T.: Ívelt profilú csigahajtás geometriai méretezése. Gép XXXIX. évf. 1987. 11. szám November, pp. 404-410. [Goh1886] Gohman, H.: Teorija zaceplenij, obobshennaja i razvitija putem analiza. Odessa, 1886. [Gos99] Gosselin, C.: Loaded tooth contact analysis of spur, helical and hypoid gears based on the finite strips and finite prisms models. 4th World Congress on Gearing and Power Transmission, Párizs, 16-18 March, 1999. pp. 29-41. [GruVin] Grubin, N.A.; Vinograda, I.E.: Investigation of the contact of machine components. Central Scientific Research Institute for Technology and Mechanical Engineering Moskau, 1949. [Haa91] Haag, P.: Anlaufwirkungsgrade und Selbsthemmungsfähigkeit von ruhenden Schneckengetrieben. Dissertation, Ruhr-Universität Bochum, 1991. [Hegy88] Hegyháti, J.: Untersuchungen zur Anwendung von Spiroidgetrieben. Dissertation, TU Dresden, 1988. [Her1895] Hertz, H.: Über die Berührung fester elastischer Körper. Ges. Werke, Bd. 1, Lepzig, 1895. [Hie54] Hiersig, H. M.: Geometrie und Kinematik der Evolventenschnecke. Forschung 20. Bd./Heft 6, Düsseldorf, 1954. [Hoa87] Hoang, N. H.: Nem vonalfelületű helicoid-hajtások vizsgálata és optimalizálása a hidrodinamikai teherbírás szempontjából. Egyetemi doktori értekezés, Budapest, 1987. [Hor99a] Horák, P.: Computer model of the contact relations of worm gear pairs. 4th World Congress on Gearing and Power Transmission, Paris, 16-18 March, 1999. pp. 483-488.

V

[Hor99b] Horák, P.: Csigahajtópárok geometriai, kinematikai és érintkezési viszonyainak numerikus modellezése. Géptervezők és Termékfejlesztők XV. Országos Szemináriuma, Miskolc, 1999. / GÉP L. évfolyam 11. szám, pp.: 37-40. [HöhSteLut2002] Höhn, B.-R.; Steingröver, K.; Lutz, M.: Determination and optimization of the contact pattern of worm gears. International Conference on Gears, March 13-15, 2002, Munich. VDI-Berichte Nr. 1665, 2002. pp.: 341-352. [Jar59] Jarchow, F.: Versuche an Stirnrad-Globoid-Schneckengetrieben. Dissertation TU München, 1959. [Kol70] Kolonits, F.: Fogaskerék–fogprofil hőokozta igénybevétele. Műszaki doktori értekezés, Budapest, 1970. [Kol74] Kolonits, F.: Fogazathelyesbítési vizsgálatok. Kandidátusi értekezés, Budapest, 1974. [Koz94] Kozma M.: Tribológia. Műegyetemi Kiadó, Budapest 1994 [Kri67] Krivenko, I.Sz.: Novüe tipü cservjacsnüh peredacs na szudah. Izd. Szudoszrovenie, Leningrad 1967. [Lév66] Lévai, I.: Kitérő tengelyek közt változó mozgásátvitelt megvalósító – egyenesélű szerszámmal lefejthető – fogazott kerekek. Kandidátusi értekezés, Budapest, 1966. [Lév80] Lévai, I.: Néhány alapvető szempont a hipoid hajtások tervezéséhez. Akadémiai doktori értekezés, Budapest, 1980. [Lév60] Lévai, I.: Nem köralakú hengeres kerekek fogazásgeometriájának és gyártásának alapelve. Egyetemi doktori értekezés, Miskolc, 1960.

VI

[Lit72] Litvin, F. L.: A fogaskerékkapcsolás elmélete. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972. [Lit94] Litvin, F. L.: Gear geometry and applied theory. Englewood Cliffs, Prentice Hall, NJ., 1994. [Lit89] Litvin, F. L.: Theory of Gearing. NASA Reference Publication 1212. 1989. [LitCheSeoKimLuZhaEgeWanHan96] Livin, F. L.; Chen, J. S.; Seol, I. H.;Kim, D.; Lu, J.; Zhao, X.; Egelja, A.; Wang, A. G.; Handschuh, R. F.: Computerized Design and Generation of Gear Drives with Localized Bearing Contact and Low Level of Transmission Errors. VDI Berichte 1230, International Conference on Gears, 22-24 April 1996, Dresden, pp. 63-82. [Magy58] Magyar, J: Csavarfelületű elemek kapcsolódása. Kandidátusi értekezés, Budapest, 1958. [Magy60] Magyar, J.: A gyorsító csigahajtás tervezésének néhány szempontja. Gép, 1960. No. 9. pp. 348-356. [MarKilRoh70] Maros,D; Killmann, V.; Rohonyi, V.: Csigahajtások. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1970. [Mat84] Mathiak, D.: Untersuchungen über Flankentragfähigkeit, Zahnfußtragfähigkeit und Wirkungsgrad von Zylinderschneckengetrieben (Evolventenschnecken). Dissertation, TU München, 1984. [Mau50] Maushake, W.: Theoretische Untersuchung von Schneckengetriebe mit Globoidschnecke und Strinrad. Bericht 126 der Forschungstelle für Zahnräder und Getriebebau. TH München, 1950. [MurWil75] Murch, L. E.; Wilson, W. R. D.: A Thermal Elastohydrodynamic inlet Zone Analysis. Trans. ASME, Journal of Lubrication, Band 97, 1975. [Mül94] Müller, M.: Umbau eines Stift-Scheibe-Prüfstandes zur tribologischen Untersuchung von Schneckengetriebeverzahnungen. Studeinarbeit, Universität Kaiserslautern Lehrstuhl für Maschinenelemente und Getriebetechnik, 1994.

VII

[Neu90] Neupert, K.: Verschleißtragfähigkeit und Wirkungsgrad von Zylinderschneckengetrieben. Dissertation, TU München, 1990. [Nie83] Niemann, G. Winter, H.: Maschinenelemente Band III. 2.Aufl. Springer Verlag, 1983 [NieWeb42] Niemann, G.; Weber, C.: Schneckentriebe mit flüssiger Reibung. VDI-Forscungsheft, 412., Berlin, 1942. [NieHey53] Niemann, G.; Heyer, E: Investigation of Worm Gears. VDI Vol. 95. No. 6. pp. 141-157. [N.N.85] N.N.: Referenzöle für Wälz- und Gleitlager-, Zahnrad- und Kupplungsversuche – Datensammlung für Mineralöle - , Forschungsheft 180 der Forschungsvereinigung Antriebstechnik e.V., 1985. [Oli1842] Olivier, T. Theorie geometrique des engrenages. Paris, 1842. [Ost82] Oster, P.: Beanspruchungen der Zahnflanken unter Bedingungen der Elastohyrodynamik. Dissertation, TU München, 1982. [Pep38] Peppler, W.: Druckübertragung an geschmierten zylindrischen Gleit- und Wälzflächen. VDIForschungsheft 391, 1938. [Pre82] Predki, W.: Hertzsche Drücke, Schmierspalthöhen und Wirkungsgrade von Schneckengetrieben. Dissertation Ruhr-Universität Bochum, 1982. [Pre91] Predki, W.: Stand der Schneckengetriebeentwicklung. Konstruktion 43 (1991) pp. 233-238. [PreHol95] Predki, W.; Holdschlag, A.: Vorausberechnung von Tragbildern für Schneckentriebe. Konstruktion 47 (1995), pp. 137-142.

VIII

[Reu1882] Reuleaux, F.: Der Konstrukteur. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1882. [Rod80] Rodermund, H.: Extrapolierende Berechnung des Viskositätsverlaufes unter hohen Drücken. Schmiertechnik und Tribologie, 27. Jg. Nr. 1. 1980. [Roh80] Rohonyi, V.: Fogaskerékhajtások. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980. [SchU85] Schmidt, U.: Die Schmierfilmbildung in elastohydrodynamisch beanspruchten Wälzkontakten unter Berücksichtigung der Oberflächenrauheit. Dissertation, Universität Hannover, 1985. [SchA85] Schoo, A.: Verzahnungsverlustleistungen in Planetenradgetrieben. Dissertation Ruhr-Universität Bochum, 1985. [SchM73] Schouten, M. J. W.: Einfluss elastohydrodynamischer Schmierung auf Reibung, Verschleiss und Lebensdauer von Getrieben. Dissertation, Eindhoven, 1973. [SeoLit96] Seol, I. H.; Litvin, F. L.: Computerized design, generation and simulation of meshing and contact of modified involute, Klingelnberg and Flender type worm-gear drives. ASME 6th International Power Transmission and Gearing Conference, San Diego, 1996. Proceedings, pp. 125-132. [Sim89] Simon, V.: A new type of ground double enveloping worm gear drive. ASME 5th International Power Transmission and Gearing Conference, Chicago, 1989. Proceedings, pp. 281-288. [Sim96] Simon, V.: Characteristics of a new type of cylindrial worm gear drive. ASME 6th International Power Transmission and Gearing Conference, San Diego, 1996. Proceedings, pp. 133140.

IX

[Sim94] Simon, V.: Egy új típusú globoid csigahajtás jellemzői. Akadémiai doktori értekezés, Budapest, 1994. [Sim90] Simon, V.: EHD Lubrication of double enveloping worm gears. Japan International Tribology Conference, Nagoya, 1990. Proceedings, pp. 1527-1532. [Sip90] Siposs, I.: Globoid hajtások lefejtés nélkül készített csigakerékkel. Kandidátusi értekezés, Budapest, 1990. [Spi81] Spilker M.: Druck- und Temperaturabhängige Eigenschaften von Schmierstoffen und Hydraulikflüssigkeiten. Dissertation RWTH Aachen, 1981. [Sze57] Szeniczei, L.: Csigahajtóművek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1957. [Taj91] Tajnafői, J.: Mechanizmusok származtatáselméletének alapjai és hatása a kreatív gondolkodásra. Akadémiai doktori értékezés, Miskolc, 1991. [Taj66] Tajnafői, J.: Szerszámgépek mozgásleképező tulajdonságának elvei és néhány alkalmazása. Kandidátusi értekezés, Budapest, 1966. [VárMolKolGar87] Váradi, K.; Molnár, L.; Kollár, Gy.; Gara, P.: Néhány gépészeti érintkezési feladat végeselemes megoldása. GÉP XXXIX. évf. 1987. 1. szám, Január, pp. 10-16. [VárPol88] Váradi, K.; Poller, R.: Analysis of gear teeth contact by the finite element method. Acta Technica Acad. Sci. Hung., 101(4), pp. 397-416 (1988). [Vil89] Vill, D.: Schneckengetriebe zur Leistungsübetragung mit Laufpaarung Stahl und Grauguß. Dissertation, Ruhr-Universität Bochum, 1989.

X

[Vin93] Vinh, N. D.: Evolvens fogazatú hengeres kerék - globoid csiga kapcsolódási viszonyainak vizsgálata és optimálása. Kandidátusi értekezés, Budapest, 1993. [WebMau59] Weber, C.; Maushake, W.: Untersuchungen von Zylinderschneckentrieben mit rechtwinklig sich kreuzenden Achsen. Schriftenreihe Antriebstechnik, Band 7. Vieweg & Sohn Verlag, Braunschweig, 1959. [Wil74] Wilkesmann, H.: Berechnung von Schneckengetrieben mit unterschiedlichen Zahnprofilformen. Dissertation TU München, 1974. [Zos76] Zosel, F.: Zylinderschneckengetrieben mit Epizykloidenprofil im Schneckenstirnschnitt. Dissertation Ruhr-Universität Bochum, 1976.

XI

Összefoglalás A kutatómunka a hengeres, tengelymetszetben körívprofilú csigahajtópárok súrlódási–kenési viszonyainak feltárására irányult. A súrlódási–kenési viszonyokat alapvetően a hajtópárok geometria–kinematikai viszonyai, a közöttük fellépő érintkezési nyomáseloszlás, a szerkezeti anyagpár és a felületek között a kenőanyag befolyásolja. Az értekezés a geometriai– kinematikai viszonyok meghatározásának módszereit mind általánosan, a hengeres csigahajtópárokra, mind speciálisan a tengelymetszetben körívprofilú (ZTA) típusú hajtópárokra tárgyalja. Ismerteti a kiválasztott hajtópárok fogfelületeinek, érintkezési vonalainak, kapcsolómezőjének, valamint a kapcsolódás során folyamatosan változó görbületi és sebességviszonyok meghatározását. A redukált normálgörbület számítására két numerikus számítási algoritmus került kifejlesztésre , hogy azok hatékonyságát összehasonlíthassuk. A fogfelületek között fellépő érintkezési nyomáseloszlás vizsgálatára is két különböző módszer – a Hertz-elmélet alapján adott kapcsolódási helyzetben az érintkezési vonal mentén állandó Stribeck-féle palástnyomás, illetve a végeselemek módszerével és a hatásmátrixos számítási eljárás felhasználásával vonal mentén állandó merevtestszerű közeledés feltételezése – került alkalmazásra. A súrlódási–kenési viszonyok számítására az ismert – hidrodinamikai, elasztohidrodinamikai, elaszto-termohidrodinamikai

–

kenéselméletek

összehasonlítását

és

térbeli

fogazott

hajtópárokra való alkalmazhatóságát, valamint lehetséges helyettesítő modelleket mutat be a dolgozat. A vonal mentén változó görbületi és sebességviszonyok szimulációjára ismert és új típusú közelítő modellek, valamint egy új típusú vizsgálóberendezés került kifejlesztésre. Összefoglalja a kúp-sík helyettesítő modellen végzett kísérleti vizsgálatokat, illetve összehasonlítja a mért és számított eredményeket és minősíti a helyettesítő modellek alkalmazhatóságát. A ZTA típusú csigahajtópárok tribológiai viszonyainak vizsgálatát az előzőekben meghatározott eredmények (geometria, kinematika, terhelés) felhasználásával az elaszto-termohidrodinamikai kenéselmélet alapján mutatja be és elemzi a fogazati paraméterek változtatásának a hatását a kenésállapotra, a fogazati teljesítményveszteség szempontjából.

Summary This research was focussed on the explore of the friction and lubrication condition of cylindrical worm gear pairs having circular arch profile in axial section. The friction– lubrication conditions are basically influenced on the geometrical–kinematical relations, the contact pressure distribution, the material and the lubricant between the tooth pairs. The thesis deals with both methods for the determination of geometrical–kinematical relations of cylindrical worm gear pairs generally, and specially of worm gear pairs having circular arch profile in axial section (ZTA-type worm gear pairs). The tooth flanks, contact lines, and the curvature and velocity relations – changing continuously during the meshing – for the selected worm gear pairs were described. For the calculation of reduced normal curvature two different numerical algorithms were developed to compare their efficiency. Similarly for the investigation of the contact pressure distribution between the tooth flanks, two different methods – on the base of Hertzian-theory assuming constant Stribeckian-pressure along the contact line in the given meshing position, and an other by means of the finite element method and the coefficient matrix assuming a constant solid body approach – were used. The comparison of the known – hydrodynamically, elasto–hydrodynamically and elastothermohydrodynamically – lubrication theories and their applicability on spatial gear pairs as well as possible substituting models were described. For the simulation of the curvature and velocity relations changing along the contact line new approximating models and a new test rig were developed. The thesis summarizes the experimental investigation performed on the cone–disc substituting model, or compares the measured and calculated results and qualifies the applicability of the models. The tribological conditions of ZTA–type worm gear pairs were investigated – applied the results determined in the foregoing (geometry, kinematics, load) – and the effect of different tooth parameters on the lubrication condition were analysed from the point of view of power loss.

Címfordítás és angol nyelvű kivonat Titel of the thesis: Tribological investigation of worm gear pairs having circular arch profile Abstract The friction and lubrication condition of cylindrical worm gear pairs having circular arch profile in axial section were investigated by means of numerical algorithms and measurements on the developed roller-disc test rig. The investigations have proved, that the results of the calculation – on the base of the elasto–thermohydrodynamically lubrication theory – very well approximate the measured values. The developed numerical algorithms allow the calculation of the geometry, kinematics and contact pressure – influencing the friction and lubrication – of cylindrical worm gear pairs. New approximating models were developed for the simulation of the curvature and velocity relations changing along the contact line, and a new type of test rig was built.