GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Halmazelmélet
A 3.2
Hányan vannak ilyenek, ha…? Halmazelmélet 2. feladatcsomag Életkor:
13–16 év
Fogalmak, eljárások:
• • • • • • •
halmazok halmazműveletek halmazok számossága Venn-diagram logikai szita 2 halmazra alkalmazva százalékszámítás arányosság
A feladatcsomag célja a halmazműveletek gyakorlása, Venndiagram készítése, helyes kitöltése, illetve szöveges feladatok megoldása Venn-diagram segítségével. Az egyszerű szöveges feladatokon keresztül a gyerekek alapvető számolási készségei is fejlődnek. Vannak olyan feladattípusok a feladatcsomagban, ahol a megadott adatok alapján a gyerekeknek kell megfogalmazniuk a kérdést. Ezzel segítjük az összefüggések elmélyítését, valamint fejlesztjük a gyerekek szövegalkotási készségét.
A feladatok listája 1. Gyorsétterem (összefüggéslátás, szövegértés, számolás) 2. Sport (összefüggéslátás, szövegértés, számolás) 3. Sütés-főzés (összefüggéslátás, szövegértés, számolás) 4. Virágbolt (összefüggéslátás, szövegértés, számolás)
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
1
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Halmazelmélet
A 3.2
5. Cukrászda (összefüggéslátás, szövegértés, számolás) 6. Te gyártod a feladatot I. (szövegalkotás, összefüggéslátás, fantázia) 7. Te gyártod a feladatot II. (szövegalkotás, összefüggéslátás, fantázia) 8. Te gyártod a feladatot III. (szövegalkotás, összefüggéslátás, számolás, fantázia) 9. Szakkör (összefüggéslátás, szövegértés, számolás, logikai készség) 10. Halmazműveletek írása Venn-diagram alapján (összefüggéslátás, számolás, szövegértés) 11. Melyik szöveg tartozik az ábrához? (összefüggéslátás, számolás, szövegértés)
Módszertani tanácsok A feladatlapokban felbukkannak olyan példák, melyekben kell tudni törtekkel műveleteket végezni, százalékot számolni, illetve arányossági feladat is szerepel. Ha vannak olyan gyerekek, akiknek ezek közül valamelyik gondot okoz, akkor a foglalkozások elején ismételjük át a feladatokhoz szükséges ismereteket. Az első – tanári kártyán szereplő – feladat a többi feladatlap előkészítésének tekinthető. Akkor érdemes feldolgozni, ha a tanulók először találkoznak a feladatcsomag témájául szolgáló feladattípussal.
Megoldások, megjegyzések 1. Gyorsétterem 1 fő rendelt csak sült krumplit.
2
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Halmazelmélet
A 3.2
2. Sport a) 9 + 6 – 10 = 5 b) 6 – 5 = 1 c) 9 – 5 = 4 d) 10 – 5 = 5 e) 1 : 5 f) 5 -e 9 Ha szükséges, ezt a feladatot még dolgozzuk fel a tanulókkal közösen, hogy a további feladatokkal párban vagy önállóan is boldogulni tudjanak. Első lépésként a Venn-diagramot készítsük el és töltsük ki, utána válaszoljunk a kérdésekre! 3. Sütés-főzés a) 8 – 3 + 6 – 3 + 3 = 11 b) 8 – 3 = 5 c) 6 – 3 = 3 d) 5 + 3 = 8 e) 5 · 2 = 10 f) 11 + 10 = 21 4. Virágbolt a) 18 – 6 = 12 b) 34 – (18 – 6) – 6 · 2 = 10 c) 12 + 10 = 22 d) 12 : 6 = 2 e) 10 = 5 része 12 6 f) Az összes virág 18 $ 100 . 53 százaléka rózsa, 16 $ 100 . 47 34 34 százaléka tulipán. A rózsák száma 6%-kal több. 5. Cukrászda a) 20 · 3 = 60 b) 60 : 3 · 2 = 40 c) 60 : 3 · 1 = 20 d) 40 – 3 = 37
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
3
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Halmazelmélet
A 3.2
e) 20 – 3 = 17 37 része f) 17 6. Szöveges feladat készítése megadott adatok alapján II. A + B = 37 – 12 – 30 = 5 A = 12 + 5 = 17
B = 20 + 5 = 25 9. Szakkör a)
b) Igaz állítások például: 10-en járnak csak rajzszakkörre. 8-an járnak csak matekszakkörre. 6-an járnak mindkét szakkörre. Többen járnak rajzszakkörre, mint matekra. 10. Halmazműveletek írása Venn-diagram alapján a) A + B , 12 b) A, 65 c) (B / A) , (A / B) , 91 d) A / B, 53 11. Melyik szöveg tartozik az ábrához? a) 1–d 2–c 3–b 4–a b) 6 + 5 + 8 = 19 (vagy számolhatunk így: 14 + 5 = 19)
4
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Összefüggéslátás
Halmazelmélet
A 3.2
1. Gyorsétterem Írjuk fel a táblára a következő feladatot: Egy gyorsétterembe betért egy 8 fős baráti társaság. Hatan rendeltek sült krumplit, heten hamburgert. Mindenki rendelt a kétfajta étel közül legalább egyet. Hány gyerek rendelt csak sült krumplit? Először értelmezzük a feladatot közösen, és kérdezzük meg a gyerekeket, hogy szerintük hogyan lehetséges, hogy összesen 8 tagja van a társaságnak, mégis 6-an rendeltek sült krumplit, heten pedig hamburgert! Számíthatunk a helyes válaszra: Vannak olyanok a társaságban, akik kétfélét is rendeltek. Ők szerepelnek a sült krumplit rendelők és a hamburgert rendelők között is. Ezután játsszuk el a feladatot a gyerekekkel! Egy-egy papírlapra még az óra előtt írjuk fel nagy méretben a „sült krumpli”, illetve a „hamburger” szavakat! Még jobb, ha a feliratok helyett képeket nyomtatunk. Válasszunk ki nyolc tanulót az osztályból! Kérjük meg őket, hogy osztozzanak egymás között a sült krumplit és a hamburgert jelképező lapokon úgy, hogy • mindenki kapjon ételt, • ugyanolyan ételből senki se kapjon egynél többet. A papírlapokat maguk elé tartva álljanak szembe osztálytársaikkal. Kérdezzük meg a többieket: Hány csoportot alkothatunk a 8 fős társaságból a rendelt ételek alapján? Három csoport alakítható ki. Az egyikbe azok kerülnek, akiknél két kártya van, egy másikba azok, akiknél csak „sült krumpli” van, míg a harmadikba azok kerülnek, akiknél csak „hamburger” van.
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
5
12–14. év
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Halmazelmélet
Összefüggéslátás
A 3.2
Készítsünk a gyerekekkel közösen Venn-diagramot a feladathoz! Az ábrákba először beírhatjuk az adott gyerekek neveit. Például így: 12–14. év
Az eredeti feladat kérdése máris megválaszolható. Egyvalaki (esetünkben Laci) rendelt csak sült krumplit. Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy az egyes halmaztartományokba hány név került, akkor a nevek helyett célszerű a számosságokat feltüntetni. Ezt is rajzoljuk fel:
Ha egyetlen tanuló sem teszi fel a következő kérdést, fogalmazzuk meg mi: A kezdeti feladat megoldásaként vajon ugyanezt kapnánk akkor is, ha a 8 tanuló másképpen osztozik az ételeken? Tarthatunk „közvélemény-kutatást” a kérdésben. Bizonyára lesznek olyanok, akik úgy vélik, más eredmény is születhet, ha „ügyesen” osztjuk el az ételeket. Kérjünk meg valakit ebből a csoportból, hogy
6
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Összefüggéslátás
Halmazelmélet
A 3.2
a 8 ember között próbálja meg másképpen szétosztani az ételeket szimbolizáló lapokat. Miután pár percig hiába kísérletezett, próbáljuk többféleképpen is megindokolni, miért mindig egyetlen fő lesz, aki csak sült krumplit rendel. Első vizsgálatként induljunk ki egy választott alaphelyzetből. Lehet ez például az első halmazábrán bemutatott elrendezés. Nézzük meg, hogy ebrudalhatnánk ki a Venn-diagramon elfoglalt helyéről Lacit! Vagy hamburgerre cseréljük a sült krumpliját, vagy adunk neki egy hamburgert is a sült krumpli mellé. Ételt cserélni csak Noémivel és Gergővel tud, de ez egyúttal helycserével jár a halmazábrán, azaz továbbra is egy fő marad a „csak sült krumpli” tartományban. Laci hamburgert a metszetben található 5 tanuló valamelyikétől kaphat, de jól látható, hogy ez is csak helycserével jár. Lacit tehát csak úgy tudjuk eltüntetni a helyéről, ha másvalaki kerül oda. Hasonló megfontolással az is belátható, hogy Laci mellé nem kerülhet társ sem. Az indoklás algebrai változata lehet a következő: Jelölje s a csak sült krumplit, h a csak hamburgert választók számát, m pedig legyen azoknak a száma, akik mindkét ételből rendeltek. A feladat szövege alapján a következő egyenletek írhatók fel: (1) s + m = 6 (2) h + m = 7 (3) s + h + m = 8 Az első két egyenlet „összeadásával”: s + h + m + m = 13 Ez azt jelenti, hogy a sült krumplit rendelők és a hamburgert rendelők számának összegébe a mindkét ételt rendelőket kétszer is beleszámoltuk. Ezt a kulcsfontosságú megállapítást az egyenletek felírása nélkül is megállapíthatjuk. Ennek alapján [vagy formálisan: a (3) egyenlettel összevetve kapott egyenletünket] m = 5 adódik, amiből pedig (1) és (2) figyelembevételével azt kapjuk, hogy s = 1, illetve h = 2.
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
7
12–14. év
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Halmazelmélet
Összefüggéslátás
A 3.2
Végül rögzítsük az eredeti feladat megoldáshoz vezető gondolatmenetet, amely a hasonló feladatoknál is jól alkalmazható: 12–14. év
Összeadjuk a sült krumplit rendelők és a hamburgert rendelők számát (6 + 7), megnézzük, hogy ez mennyivel több a baráti társaság létszámánál (13 – 8 = 5). Amennyivel több, annyian kértek mindkét fajta ételből. Ezután Venn-diagramot készítünk: középre kerül az 5, majd a sült krumplit rendelők számából kivonjuk az 5-öt, így megkapjuk, hogy hányan ettek csak sült krumplit (6 – 5 = 1). Hasonlóan kapjuk meg a csak hamburgert rendelők számát is (7 – 5 = 2).
8
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Összefüggéslátás
Halmazelmélet
A 3.2
2. Sport Egy 10 fős baráti társaságban 6-an szeretnek focizni, 9-en kosarazni. A baráti társaság minden tagja szereti a két sport legalább egyikét. a) Hányan szeretik mindkét sportot? .................................................................................................................. b) Hányan szeretnek csak focizni? .................................................................................................................. c) Hányan szeretnek csak kosarazni? .................................................................................................................. d) Hányan űznek pontosan egy sportot a felsoroltak közül? .................................................................................................................. e) Hogyan aránylik egymáshoz a csak focizók, illetve a focizók és kosarazók száma? .................................................................................................................. f) A kosárlabdázók hányadrésze kosarazik és focizik is? .................................................................................................................. Készíts halmazábrát a feladathoz!
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
9
12–16. év
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Összefüggéslátás
Halmazelmélet
A 3.2
3. Sütés-főzés Társaddal közösen dolgozva válaszoljatok a következő kérdésekre! 12–16. év
Egy osztályban 8 lány szeret palacsintát sütni, 6 pedig muffint. Minden lány szereti elkészíteni a két sütemény közül legalább az egyiket. a) Hány lány jár az osztályba, ha 3 lány szereti mindkét süteményt elkészíteni? .................................................................................................................. b) Hány lány szeret csak palacsintát sütni? .................................................................................................................. c) Hány lány szeret csak muffint készíteni? .................................................................................................................. d) Hányan szeretnek csak egyféle sütit sütni a felsoroltak közül? .................................................................................................................. e) Hány fiú jár az osztályba, ha a fiúk száma kétszerese azon lányok számának, akik csak palacsintát szeretnek sütni? .................................................................................................................. f) Hányan járnak az osztályba? .................................................................................................................. Készítsetek halmazábrát a feladathoz!
10
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Összefüggéslátás
Halmazelmélet
A 3.2
4. Virágbolt Egy virágboltban a két legnépszerűbb virág a rózsa és a tulipán. Egyik nap 18 vevő vett rózsát, 6 vevő pedig rózsát és tulipánt is. A két virágból összesen 34-et vettek. a) Hány vevő vett csak rózsát? .................................................................................................................. b) Hány vevő vett csak tulipánt? .................................................................................................................. c) Hányan vettek csak egyféle virágot a felsoroltak közül? .................................................................................................................. d) Hányszorosa a csak rózsát vásárlók száma a rózsát és tulipánt is vásárlók számának? .................................................................................................................. e) Hányadrésze a csak tulipánt vásárlók száma a csak rózsát vásárlók számának? .................................................................................................................. f) Hány százalékkal vettek több rózsát, mint tulipánt? (Az öszszesen eladott virágok számát vedd 100 százaléknak!) .................................................................................................................. Készíts halmazábrát a feladathoz!
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
11
12–16. év
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Összefüggéslátás
Halmazelmélet
A 3.2
5. Cukrászda
12–16. év
Egy cukrászdában a két legnépszerűbb sütemény a csokitorta és a dobostorta. A csokitortából kétszer annyi fogyott, mint a dobostortából. Hárman vettek mindkét süteményből. Nem volt olyan vevő, aki valamelyik süteményből többet is vett volna. a) Hány sütemény fogyott összesen, ha 20-szor annyi, mint amennyien mindkettőből vettek? .................................................................................................................. b) Hányan vettek a csokitortából? .................................................................................................................. c) Hányan vettek a dobostortából? .................................................................................................................. d) Hányan vettek csak csokitortát? .................................................................................................................. e) Hányan vettek csak dobostortát? .................................................................................................................. f) Hányadrésze a csak csokitortát vásárlók száma a csak dobostortát vásárlók számának? .................................................................................................................. Készíts halmazábrát a feladathoz!
12
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Összefüggéslátás
Halmazelmélet
A 3.2
6. Te gyártod a feladatot I. Készíts szöveges feladatot az ábrához! A feladatod 5 kérdést tartalmazzon!
13–16. év
1. kérdésem: .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 2. kérdésem: .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 3. kérdésem: .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 4. kérdésem: .................................................................................................................. .................................................................................................................. 5. kérdésem: .................................................................................................................. .................................................................................................................. Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
13
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Összefüggéslátás
Halmazelmélet
A 3.2
7. Te gyártod a feladatot II.
13–16. év
Készíts szöveges feladatot, amelyhez illeszkednek a megadott összefüggések! (Az „A” és a „B” betűk halmazokat jelölnek.) A feladat 5 kérdést tartalmazzon! A = 23 B = 25
A / B = 17 B / A = 19 A+B = 6
1. kérdésem: .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 2. kérdésem: .................................................................................................................. .................................................................................................................. 3. kérdésem: .................................................................................................................. .................................................................................................................. 4. kérdésem: .................................................................................................................. .................................................................................................................. 5. kérdésem: .................................................................................................................. .................................................................................................................. 14
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Halmazelmélet
Összefüggéslátás
A 3.2
8. Te gyártod a feladatot III. Számold ki a hiányzó adatokat, majd készíts szöveges feladatot! (Az „A” és a „B” betűk halmazokat jelölnek.) A feladat 5 kérdést tartalmazzon! A / B = 12
A + B = .............
B / A = 20
A = .............
A , B = 37
B = .............
1. kérdésem: .................................................................................................................. .................................................................................................................. 2. kérdésem: .................................................................................................................. .................................................................................................................. 3. kérdésem: .................................................................................................................. .................................................................................................................. 4. kérdésem: .................................................................................................................. .................................................................................................................. 5. kérdésem: .................................................................................................................. ..................................................................................................................
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
15
13–16. év
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Összefüggéslátás
Halmazelmélet
A 3.2
9. Szakkör Egy osztály létszáma 24 fő. 16-an járnak rajzszakkörre, 14-en matekszakkörre. Minden tanuló legalább az egyik szakkörre jár. 13–16. év
a) Készíts halmazábrát a feladathoz!
b) Írj 2 igaz és 2 hamis állítást a feladathoz! Olvasd fel őket, és a társad döntse el, hogy az állításod igaz-e! Igaz állítások: • ............................................................................................................ ............................................................................................................ • ............................................................................................................ ............................................................................................................ Hamis állítások: • ............................................................................................................ ............................................................................................................ • ............................................................................................................ ............................................................................................................
16
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Összefüggéslátás
Halmazelmélet
A 3.2
10. Halmazműveletek írása Venn-diagram alapján Írj a szürke tartományokra vonatkozó halmazműveleteket a rajzok alá! a)
b)
c)
d)
13–16. év
Ha az A halmaz egy iskolában a szőke hajú tanulókat jelöli, a B halmaz pedig a kék szemű tanulókat, akkor az egyes ábrákon hány diák tartozik a sötéttel jelölt részekbe, ha az alábbiakat tudjuk? Szőke hajúak száma: 65 Kék szeműek száma: 50 Szőke hajúak és kék szeműek száma: 12 Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
17
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Összefüggéslátás
Halmazelmélet
A 3.2
11. Melyik szöveg tartozik az ábrához? 1. Párosítsd össze a szövegrészleteket a halmazábrákkal! a) Egy osztályban két nyelvet tanulnak a diákok, angolt és németet. A csak németet tanulók száma 8. b) A pontosan egy nyelvet tanulók száma 14. c) Angolt 11-en tanulnak. d) Mindkét nyelven 5 diák tanul.
13–16. év
I.
II.
III.
IV.
2. Hányan járnak az előző feladatban szereplő osztályba, ha mindenki tanul legalább az egyik nyelven, és más nyelven nem tanul senki a felsoroltakon kívül?
18
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
