HIMPUNAN A. Pendahuluan
Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (1845-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman. Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan, namun th 1920-an menjadi landasan matematika. Kata lain dari himpunan yaitu: set, gugus, kelompok, kumpulan.
B. Pengertian Himpunan
Dalam matematika, himpunan merupakan pengertian pangkal (tidak didefinisikan, undefined term). Untuk memahaminya, himpunan sering diartikan sebagai kumpulan objek-objek (abstrak atau konkret) yang didefinisikan dengan jelas (well defined), jadi keanggotaannya harus jelas. Didefinisikan dengan jelas, berarti himpunan dapat mengklasifikasikan objek kedalam anggota atau bukan anggota himpunan itu.
Contoh himpunan: Kumpulan hewan-hewan berkaki empat Kumpulan bilangan bulat antara 3 dan 8 Kumpulan nama-nama mahasiswa PGSD yang berusia di bawah 3 tahun
Kumpulan berikut ini bukan himpunan: Kumpulan bunga-bunga yang indah Kumpulan lukisan yang indah Kumpulan nama-nama mhs PGSD yang cantik.
C. Deskripsi Himpunan
Nama himpunan ditulis sebagai huruf capital, seperti: A, B, G, H, S, C. Notasi himpunan ditulis sebagai kurung kurawal , seperti: W : { d, m, p, t }. Objek yang dibicarakan dalam himpunan, seperti: d, m, p, t disebut anggota (elemen, unsur) dan ditulis di dalam kurung kurawal tersebut.
D. Keanggotaan Himpunan
Relasi anggota dengan himpunan menggunakan notasi ““ dan yang bukan anggota menggunakan notasi “”, seperti contoh berikut. W : { d, m, p, t } p { d, m, p, t } atau p W b { d, m, p, t } atau b W Banyaknya anggota W dinotasikan dengan n(W), jadi n(W) = 4.
E. Menyatakan Himpunan
1. Cara tabulasi (rooster method, pendaftaran), yaitu dengan menuliskan anggotanya satu per satu di dalam kurung kurawal, seperti contoh berikut. A : {merah, kuning, hijau} H : {ayam, itik, bebek, angsa} Anggota-anggota yang sama dianggap sebagai satu anggota. {6, 4, 7, 9, 6, 9, 2} = {2, 4, 6, 7, 9} Himpunan B : {p, c, a, m, p, m, h} memiliki 5 anggota.
2. Cara deskriptif (rule method, cara aturan/metode pembentukan himpunan), yaitu dengan menuliskan aturan atau perumusan tentang sifat keanggotaannya, seperti contoh berikut. M : {x3 x 16, x bilangan genap} H : {x x nama-nama hewan berkaki dua} P : {xx bilangan prima kurang dari 15}.
F. Macam-macam Himpunan
Berikut ini adalah macam-macam himpunan, yaitu:
a) Himpunan kosong
Suatu himpunan H disebut himpunan kosong jika n(H) = 0. Notasi untuk himpunan kosong adalah Ø atau { }. Berikut adalah contoh himpunan kosong: Himp nama-nama hewan berkaki tiga
Himp bilangan asli kurang dari satu Himp bilangan prima genap antara 10 dan 20 Himp nama-nama dosen unila yg berusia lebih dari 500 tahun.
b) Himpunan bagian
Himpunan A disebut himpunan bagian (Subset) dari himpunan B jika setiap anggota A juga menjadi anggota B •
Himpunan bagian dari {a, d, t} adalah Ø, {a}, {d}, {t}, {a, d}, {a, t}, {d,t}, dan {a, d, t}. Dengan demikian terdapat delapan himpunan bagian
•
Himpunan bagian sejati dari {a, d, t} adalah Ø, {a}, {d}, {t}, {a, d}, {a, t}, {d,t}.
c) Himpunan semesta
Himpunan semesta S adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta dari {1,2,3,4,5} antara lain adalah: {0,1,2,3,4,5,6}
{x|x bilangan asli}
Himpunan bilangan cacah kurang dari 20
d) Himpunan terhinga dan himpunan takhingga
•
Himpunan H disebut himpunan terhingga (finite set) jika n(H) = c, c bilangan cacah. Berikut adalah contoh himpunan terhingga. G : Himpunan nama-nama hari dalam seminggu N : {7,8,9,10, …, 2015}
•
Himpunan D disebut himpunan takhingga (infinite set, transfinite set) jika n(D) = ~. Berikut adalah contoh himpunan takhingga. F = {2, 3, 4, 5, …} M : {x2 x 4, x bilangan real}.
e) Himpunan terbilang dan himpunan tak terbilang
Himpunan terbilang yaitu himpunan dengan anggota yang dapat ditunjukkan satu per satu, seperti berikut. P = {4,5,6, …} Q = {r, s, t, v, w, k, d, a} R = {1, 2, 3, …, 138}.
Himpunan tak terbilang yaitu himpunan yang anggotanya tidak dapat ditunjukkan satu per satu (kontinu), seperti contoh berikut. D = {x0 x 7, x bilangan rasional} F = {xx 4, x bilangan real positip}. Khusus untuk bil real, himpunan tak terbilang (kontinu) bisa dinyatakan dengan interval atau selang, seperti berikut. {x | 2 x 7} = (2,7] {x | 2 x 7} = [2,7) {x | 2 x 7} = (2,7) {x | 2 x 7} = [2,7].
f)
Himpunan terbatas dan himpunan tak terbatas.
Himpunan terbatas yaitu Himpunan yangg mempunyai batas, seperti contoh berikut: K = {4, 1, 3, 8, 6} L = {0 x 7, x bilangan asli} B = {0 x 7, x bilangan bulat}.
Himpunan terbatas biasanya beranggotakan bilangan. Batas sebelah kiri disebut batas bawah, dan batas sebelah kanan disebut batas atas. Unsur yang menjadi batas itu tidak harus menjadi anggota himpunan. Pada himpunan terhingga yang ditulis secara tabulasi, anggota terkecil menjadi batas bawah, dan anggota terbesar menjadi batas atas.
Himpunan Takterbatas (Unbounded Set) yaitu himpunan yang tidak mempunyai batas di sebelah kiri maupun kanan Contoh: R = {- ~ x + ~, x bilangan real}.
G. Relasi Himpunan
Relasi himpunan meliputi berikut ini. a) Dua Himpunan Sama
Dua Himpunan, A dan B dikatakan sama jika setiap anggota A adalah anggota B dan setiap anggota B menjadi aggota A. A = B AB dan BA Contoh: A = {5, 2, 7, 2, 9, 8, 7} B = {8, 8, 2, 7, 5, 9, 8, 5} maka A = B.
b) Dua himpunan Saling Lepas (Disjoin)
Dua himpunan dikatakan saling Lepas (Disjoin) jika kedua himpunan itu tidak mempunyai anggota yang sama. Contoh: P = {a,b,c,d} Q = {e,f,g,h,i,j} Himpunan P dan Q dikatakan saling lepas
c) Dua himpunan saling berpotongan
Dua himpunan dikatakan saling berpotongan jika antar kedua himpunan itu ada anggota yang sama dan ada anggota yang berbeda, seperti contoh berikut. A = {5, 8, 2, 9} B = {14, 2, 8, 7, 26} Himpunan A dan B saling berpotongan (saling beririsan)
d) Dua himpunan, yang satu bagian dari himpunan kedua
Himpunan A disebut himpunan bagian (Subset) dari himpunan B jika setiap anggota A juga menjadi anggota B.
e) Dua himpunan yang Ekivalen.
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika n(A) = n(B). Contoh: A = { 4,6,3,2,2,6} B = { r, k, d, w} Maka A~B
H. Operasi Himpunan
a) Union (gabungan) dua himpunan
•
AB = {x|xA atau xB}
•
Gabungan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota A atau anggota B.
•
Contoh: A = {a,c,e} B = {b, c, d} maka AB = {a, b, c, d, e}
b) Intersection (Irisan) dua himpunan
•
AB = {x|xA dan xB}
•
Irisan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota A dan sekaligus juga anggota B.
•
Contoh: A = {a,c,d,e}
B = {a, b, e, f, g} maka A B = {a, e}
c) Pengurangan himpunan
•
A – B = {x|xA dan xB}
•
A – B berarti suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota A tetapi tidak menjadi anggota B.
•
Contoh: A = {a,c,d,e} B = {a, b, e, k, g} A – B = {c, d} B – A = {b, k, g}
d) Penjumlahan himpunan
•
A + B = (A – B) (B – A)
•
A + B berarti suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota A saja atau anggota B saja.
•
Contoh: A = {a,c,d,e} B = {a, b, e, k, g} A + B = {b, c, d, k, g} B + A = {b, c, d, k, g}
e) Perkalian (persilangan) himpunan
•
A X B = {(x,y) | xA dan yB}
•
Persilangan dari himpunan A ke B adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah (x,y) di mana x anggota A dan y anggota B.
•
Contoh: A = {a,b,c} B = {1, 2} maka A X B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c, 2)} B X A = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2, c)} .
