Gyakorl´o feladatok a 2. dolgozathoz 1. T´ız darab t´ızforintost feldobunk. Mennyi ¡ 1 ¢annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy vagy mindegyiken ´ır´ast, vagy mindegyiken fejet kapunk? 29 2. Egy k¨or alak´u asztal mellett t´ızen eb´edelnek: 5 f´erfi e´ s 5 n˝o. Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy k´et n˝o nem ker¨ul egym´as mell´e, ha a helyeket tal´alomra osztj´ak sz´et, azaz ¢ a ¡ 4!5!mindenki 1 t¨obbiekt˝ol f¨uggetlen¨ul ak´armelyik helyre ugyanolyan val´osz´ın˝us´eggel ker¨ul? 9! = 126 3. Egy dobozban 5 piros goly´o van. Legal´abb h´any feh´er goly´ot kell hozz´atenni ahhoz, hogy feh´er goly´o h´uz´as´anak val´osz´ın˝us´ege nagyobb legyen 0.9-n´el? Legal´abb 46-ot. 4. 20 darab 40 wattos e´ s 30 darab 60 wattos e´ g˝ob˝ol egym´as ut´an kivesz¨unk k´et darabot visszatev´es n´elk¨ul. Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy µ 20 ¶ (2) • mindkett˝o 40 wattos lesz; ≈ 0.155 (502) µ 30 ¶ (2) • egyik sem lesz 40 wattos; ≈ 0.355 (502) µ 20 30 ¶ ( 1 )( 1 ) ≈ 0.489 • csak az egyik lesz 40 wattos? (502) 5. V´eletlenszer˝uen fel´ırunk k´et, egyn´el nem nagyobb nem negat´ıv sz´amot. (Teh´at a sz´amp´ar egyenletes eloszl´as´u a [0, 1] × [0, 1] egys´egn´egyzetben) Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy ¡ ¢ • o¨ sszeg¨uk kisebb 1-n´el; 12 ¡ ¡ ¢¢ • szorzatuk kisebb 29 -n´el; 92 1 − ln 29 ¡ ¢ • o¨ sszeg¨uk kisebb 1-n´el e´ s szorzatuk kisebb 29 -n´el? 13 + 29 ln 2 6. Egys´egsugar´u, k¨or alak´u c´elt´abl´ara l¨ov¨unk. A tal´alat helye a c´elt´abl´an egyenletes eloszl´as´u. A c´elt´abl´at koncentrikus k¨or¨okkel 10 r´eszre akarjuk osztani u´ gy, hogy minden r´e√ szbe ugyan√ olyan val´ o sz´ ı n˝ u s´ e ggel essen a tal´ a lat. Mekkor´ a k legyeneke a k¨ o r¨ o k sugarai? ( 0.1, 0.2, √ √ 0.3, . . . , 0.9, 1) 7. Egy asztaln´al n´egyen k´arty´aznak. A 32 lapos magyar k´arty´at egyenl˝oen sz´etosztj´ak egym´as k¨oz¨ott, azaz mindenki 8 lapot kap. Ha az egyik kiv´alasztott j´at´ekosnak nem jutott a´ sz, akkor mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy az ut´ana k¨ovetkez˝onek sem jutott? µ 20 ¶ (8) 16·15·14·13 = 24·23·22·21 ≈ 0.171 (248) 8. H´arom kock´aval dobunk. Mennyi annak a val´osz´ı¡n˝u¢s´ege, hogy az egyik kock´aval 6-ost dobunk, felt´eve, hogy a dobott sz´amok o¨ sszege 12? 35 9. Egy ¡kock´ ¢ aval k´etszer dobunk. Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy a dobott sz´amok o¨ sszege 7? 61 Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ ¢ hogy a dobott sz´amok o¨ sszege 7, felt´eve, hogy az ¡e1ge, els˝o dob´as eredm´enye p´aros sz´am? 6 10. Bizonyos fajta b´uzavet˝omag o¨ sszet´etel´enek vizsg´alatakor meg´allap´ıtott´ak, hogy az n´egyf´ele magot tartalmaz, m´egpedig 96 %-a az I-es fajt´ab´ol, 1 %-a a II-es fajt´ab´ol, 2 %-a a III-as fajt´ab´ol, 1 %-a a IV-es fajt´ab´ol val´o. Annak val´osz´ın˝us´ege, hogy egy I-es fajta szemb˝ol legal´abb 50 szemet tartamaz´o kal´asz fejl˝odik, 0.5. Ugyanez a val´osz´ın˝us´eg a t¨obbi fajt´an´al rendre 0.15, .2 e´ s 0.05. Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy egy v´eletlenszer˝uen kiv´alasztott magb´ol legal´abb 50 szemet tartalmaz´o kal´asz fejl˝odik? (0.486)
11. K´et dobozban goly´ok vannak. Az egyikben 5 feh´er e´ s 4 piros, a m´asikban 5 piros e´ s 7 feh´er. Az egyik dobozb´ol kivesz¨unk k´et goly´ot visszatev´es n´elk¨ul. Felt´etelezve, hogy a dobozok k¨oz¨ott egyforma val´osz´ın˝us´eggel v´alasztottunk, mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy ¡ ¢ 7·6 • mindk´et goly´o feh´er sz´ın˝u lesz; 12 · 5·4 + 12 · 12·11 9·8 ¡ ¢ 28 • legal´abb az egyik feh´er sz´ın˝u lesz? 12 · 56 + 12 · 33 12. Egy dobozban 1-t˝ol 4-ig sz´amozott, 4 darab pap´ırlap van. V´eletlenszer˝uen kih´uzunk egy lapot. Az A, B e´ s C esem´enyek jelent´ese legyen: • A : a kivett lapon 1 vagy 4 van; • B : a kivett lapon 2-n´el nem nagyobb sz´am a´ ll; • C : a kivett lapon 3-n´al nem kisebb sz´am a´ ll. Igazoljuk, hogy az A, B e´ s C esem´enyek p´aronk´ent f¨uggetlenek, de nem (teljesen) f¨uggetlenek. 13. Egy dobozban 1-t˝ol 8-ig sz´amozott, 8 darab pap´ırlap van. V´eletlenszer˝uen kih´uzunk egy lapot. Az A, B e´ s C esem´enyek jelent´ese legyen: • A : a kivett lapon p´aros sz´am van; • B : a kivett lapon 4-n´el nem nagyobb sz´am a´ ll; • C : a kivett lap 2, vagy 5-n´el nagyobb. Igazoljuk, hogy P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B) P(C), de az adott esem´enyek nem (p´aronk´ent) f¨uggetlenek. 14. Egy ξ val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o s˝ur˝us´egf¨uggv´enye: ha x 6 2, 0, A fξ (x) = , ha x > 2. (1 − x)2 Mekkora az A e´ rt´ek? Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy ξ a (2, 3) intervallumba esik? ´Irjuk fel ξ eloszl´asf¨uggv´eny´et is. (A = 1, P(2 < ξ < 3) = 1 , 2 ( 0, ha x 6 2, 2−x Fξ (x) = , ha x > 2.) 1−x 15. Egy ξ val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o s˝ur˝us´egf¨uggv´enye: ½ A cos x2 , ha 0 < x < π, fξ (x) = 0 egy´ebk´ent. Mekkora az A e´ rt´ek? Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy ξ e´ rt´eke nagyobb, mint ¡ ¢ ´Irjuk fel ξ eloszl´asf¨uggv´eny´et is. (A = 1 , P ξ > π = 1 − √1 , 2 2 2 ha x 6 0, 0, sin x2 , ha 0 < x 6 π, Fξ (x) = 1, ha x > π.)
π 2
?
16. Legyen a ξ val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o eloszl´asf¨uggv´enye ha x ≤ 0, 0 1 − cos x ha 0 < x ≤ π/2, Fξ (x) = 1 ha π/2 < x. Hat´arozzuk meg az η = 2ξ + 1 val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o eloszl´as- e´ s s˝ur˝us´egf¨uggv´eny´et.
0 1 − cos x−1 Fη (x) = 2 1
ha x ≤ 1, ha 1 < x ≤ π + 1, , ha π + 1 < x,
fη (x) = Fη0 (x)
17. Legyen a ξ val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o eloszl´asf¨uggv´enye 1 1 arctg x + (x ∈ R). π 2 Hat´arozzuk meg az η = 3ξ − 1 val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o eloszl´as- e´ s s˝ur˝us´egf¨uggv´eny´et. Fξ (x) =
µ
¶
1 x+1 1 Fη (x) = arctg + π 3 2
(x ∈ R),
fη (x) =
Fη0 (x)
18. Legyen a ξ val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o s˝ur˝us´egf¨uggv´enye 1 ha 0 < x < 1/4, √ x fξ (x) = 0 egy´ebk´ent. (a) Hat´arozzuk meg ξ eloszl´asf¨uggv´eny´et, v´arhat´o e´ rt´ek´et e´ s varianci´aj´at. (b) Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy ξ-nek a 0-t´ol val´o elt´er´ese kisebb mint 0, 1.
0√ 2 x Fξ (x) = 1 1
1
Z4 Eξ =
ha x ≤ 0, ha 0 < x ≤ 14 , , ha 14 < x,
1 1 x √ dx = , 12 x
Z4 var ξ =
0
1 x √ dx − x 2
0
P(ξ < 0, 1) = Fξ (0, 1) = 2
p
µ
1 12
¶2 =
1 1 − . 80 144
´ 0, 1 ≈ 0, 62
19. 19, Legyenek a ξ val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o lehets´eges e´ rt´ekei:1, 2, 3 e´ s a megfelel˝o val´osz´ın˝us´egek P(ξ = 1) = 1/3,
P(ξ = 2) = 1/2,
P(ξ = 3) = 1/6.
(a) ´Irjuk fel e´ s a´ br´azoljuk ξ eloszl´asf¨uggv´eny´et! (b) Sz´am´ıtsuk ki ξ v´arhat´o e´ rt´ek´et e´ s varianci´aj´at! 0 1
Fξ (x) =
1 1 11 1 Eξ = 1 · + 2 · + 3 · = , 3 2 6 6
ha x ≤ 1, ha 1 < x ≤ 2, , ha 2 < x ≤ 3, ha 3 < x,
3
5 16
1 1 1 17 var ξ = 1 · + 22 · + 32 · − (E ξ)2 = 3 2 6 36 2
¶
20. Sz´am´ıtsuk ki ξ v´arhat´o e´ rt´ek´et e´ s varianci´aj´at, ha s˝ur˝us´egf¨uggv´enye ½ |x| ha − 1 < x < 1, fξ (x) = 0 egy´ebk´ent. ¡
E ξ = 0, var ξ =
1 2
¢
21. A (ξ, η) val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o lehets´eges e´ rt´ekeit e´ s a megfelel˝o val´osz´ın˝us´egeket az al´abbi t´abl´azatban adjuk meg HH η H 0 1 HH ξ H 1 p= . 0 p p 12 1 p 3p 2 2p 4p Sz´am´ıtsuk ki a ξ, η (perem)eloszl´asokat, ξ e´ s η v´arhat´o e´ rt´ek´et e´ s varianci´aj´at, tov´abb´a cov(ξ, η), corr(ξ, η) e´ rt´ekeket. (A peremeloszl´asok, v´arhat´o e´ rt´ek¨uk e´ s varianci´ajuk: P(ξ = 0) =
2 , 12
P(ξ = 1) =
4 , 12
P(η = 0) =
4 , 12
P(η = 1) =
8 , 12
Legyen ζ = ξ · η akkor 5 P(ζ = 0) = 12 , P(ζ = 1) =
3 , 12
P(ξ = 2) =
P(ζ = 2) =
cov(ξ, η) = E(ξ · η) − E ξ E η =
1 , 36
6 , 12
E ξ = 34 , var ξ =
5 9
E η = 32 , var η = 29 . 4 , 12
Eζ =
corr(ξ, η) =
11 ; 12
√1 .) 4 10
22. A (ξ, η) val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o ugyanaz, mint az el˝oz˝o feladatban. Hat´arozzuk meg a ζ1 = ξ + η, ζ3 = |ξ − η|,
ζ2 = ξ − η, ζ4 = ξ · η
val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ok eloszl´as´at. (Legyen pij = P(ξ = i, η = j) akkor 1 (a) P(ζ1 = 0) = p00 = 12 , P(ζ1 = 1) = p10 + p01 = 4 3) = p21 = 12 (b) P(ζ2 = −1) = p01 = 5 2 , P(ζ2 = 2) = p20 = 12 12 (c) P(ζ3 = 0) =
4 , 12
1 , 12
2 , 12
P(ζ1 = 2) = p11 + p20 =
P(ζ2 = 0) = p00 + p11 =
P(ζ3 = 1) =
6 , 12
P(ζ3 = 2) =
(d) P(ζ4 = 0) = p00 + p01 + p10 + p20 =
5 , 12
ξ
η
HH
HH
-1
0
1
-1 p 3p 6p 1 5p 15p 30p (a) Mennyi p e´ rt´eke? F¨uggetlen-e ξ e´ s η? (b) Sz´am´ıtsuk ki ξ + η sz´or´as´at!
P(ζ1 =
P(ζ2 = 1) = p10 + p21 =
2 12
P(ζ4 = 1) = p11 =
23. A (ξ, η) egy¨uttes eloszl´as´at az al´abbi t´abl´azatban adjuk meg: HH
4 , 12
5 , 12
3 , 12
P(ζ4 = 2) = p21 =
4 ) 12
(c) Mekkora P(η ≥ 0)? 1 ( (a) p = 60 , ξ e´ s η f¨uggetlenek, (b) var(ξ + η) = var(ξ) + var(η) =
181 , D(ξ 180
(c) P(η ≥ 0) = P(η = 0) + P(η = 1) =
3 10
+
q + η) = 6 10
=
9 10
181 180
≈ 1,
)
24. Legyen a ξ eloszl´asf¨uggv´enye 0 2 2x Fξ (x) = 1 − 2(1 − x)2 1
ha x 6 0, ha 0 < x 6 21 , ha 12 < x 6 1, ha x > 1.
Hat´arozza meg az eloszl´as medi´anj´at e´ s interkvartilis´et! (m = 12 , interkvartilis c3/4 − c1/4 = 1 − 2 √18 ≈ 0, 3) 25. Legyen ξ s˝ur˝us´egf¨uggv´enye 0 ha x 6 2, fξ (x) = 8 ha x > 2. x3 Hat´arozza meg az eloszl´as medi´anj´at, q-kvantilis´et e´ s interkvartilis´et! √ √ 2 (cq = √1−q , m = c1/2 = 2 2, c3/4 − c1/4 = 4(3−3 3) ) 26. Egy r´eszv´eny kiindul´o a´ ra k´et US doll´ar. Egy e´ v m´ulva vagy k´etszeres´ere n¨ovekszik az a´ ra, vagy fel´ere cs¨okken, mindk´et lehet˝os´eg ugyanolyan val´osz´ın˝us´eg˝u. A k¨ovetkez˝o k´et e´ vben vagy 50%-kal n¨ovekszik az a´ ra, vagy 25%-kal cs¨okken, vagy pedig v´altozatlan marad, mindegyik lehet˝os´eg ugyanolyan val´osz´ın˝us´eg˝u. Mi lesz h´arom e´ v m´ulva a r´eszv´eny´ar eloszl´asa? (Azaz milyen e´ rt´ekeket vehet fel milyen val´osz´ın˝us´eggel?) Mennyi h´arom e´ v m´ulva a r´eszv´eny´ar v´arhat´o e´ rt´eke? (Legyen ξ a r´eszv´eny a´ ra h´arom e´ v m´ulva, akkor ξ lehets´eges e´ rt´ekei 9; 6; 4, 5; 4; 3; 2, 25; 1, 5; 1, 125; 1; 0, 75; 0, 5625 a megfelel˝o val´osz´ın˝us´egek rendre 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 a r´eszv´eny´ar v´arhat´o e´ rt´eke 1 2 2 1 2 2 2 2 E ξ = 9 18 + 6 18 + 4, 5 18 + 4 18 + 3 18 + 2, 25 18 + 1, 5 18 + 1, 125 18 + 2 1 +0, 75 18 + 0, 5625 18 =
52,8135 18
1 18
≈ 2, 9)
27. Egy augusztusi e´ jszak´an a´ tlagosan 10 percenk´ent l´atunk csillaghull´ast. Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy egy f´el´ora alatt hat csillaghull´ast l´atunk (felt´etelezz¨uk, hogy a csillaghull´asok sz´ama Poisson eloszl´as´u). (Legyen ξ a f´el´ora alatt hull´o csillagok sz´ama, akkor f´el´ora alatt a´ tlagosan 3 csillaghull´ast 6 l´atunk, ´ıgy E ξ = λ = 3, P(ξ = 6) = 36! e−3 ≈ 0, 050)
