FYZB Termomechanika texty k přednášce

FYZB Termomechanika – texty k přednášce Vítězslav Vydra

Koncept z 2. října 2014 Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika

I – Šíření tepla a vlhkosti

1 / 58

Materiál obsahuje převzaté, neautorizované a necitované obrázky, grafy a texty a je proto určen výhradně pro vnitřní potřebu přednášejícího a studentů předmětu FYZB Termomechanika!!!

Plán přednášek

Mechanismy šíření tepla a hmoty (vodní páry) Energetická bilance solárních systémů Tepelná čerpadla/chladicí stroje

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


3 / 58

Šíření tepla

Mechanismy šíření tepla Vedení 1D: stěna (homogenní + sendvičová) 2D: trubka (válcová symetrie) 3D: koule (sférická symetrie) Proudění přestup místnost – stěna přestup stěna – stěna Záření přestup stěna – stěna

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


4 / 58

Šíření tepla


Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


4 / 58

Šíření tepla


Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


4 / 58

Šíření tepla vedením


Vždy z teplejšího tělesa na chladnější Tělesa musí být v bezprostředním kontaktu Princip: atomy si předávají kinetickou energii: 1 2

3

prostřednictvím srážek (v plynech a kapalinách) prostřednictvím difúze elektronů s různou teplotou (v kovech) prostřednictvím vibrací (v pevných látkách)

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


5 / 58


1D vedení – stěna

Homogenní stěna ΔX

Fourierův zákon J=

∆Q ∆t

Q

−T1 = −Sλ T2∆x = −Sλ ∆T ∆x (W)

J – tepelný tok (W) T1 , T2 – teploty povrchů (°C, K) λ – součinitel tepelné vodivosti

Q

S

Q Q

T

1

Q

2

T >T 1

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika

T

2


6 / 58



Homogenní stěna ΔX

Fourierův zákon J=

∆Q ∆t

Q

−T1 = −Sλ T2∆x = −Sλ ∆T ∆x (W)

Q

J – tepelný tok (W) T1 , T2 – teploty povrchů (°C, K) λ – součinitel tepelné vodivosti

J = −SU∆T = −S U= R=

λ ∆x ∆x λ

∆T R

S

Q (1)

– součinitel prostupu – tepelný odpor stěny (K m2 W−1 )

Vydra (FSv ČVUT )

Q

(W K−1 m−2 )

Termomechanika

T

1

Q

T

2

T >T 1

2


6 / 58



Diferenciální tvar Fourierova zákona

Velmi tenká stěna (∆x → 0) dT J = − lim Sλ ∆T ∆x = −Sλ dx (W) ∆x→0

Měrný tepelný tok (S → 0) -2 j = lim SJ = −λ dT dx (W m ) S→0

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


7 / 58



Diferenciální tvar Fourierova zákona

Velmi tenká stěna (∆x → 0) dT J = − lim Sλ ∆T ∆x = −Sλ dx (W) ∆x→0

Měrný tepelný tok (S → 0) -2 j = lim SJ = −λ dT dx (W m ) S→0

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


7 / 58



Stěna z více vrstev (sendvič) Předpokládáme nekonečnou stěnu (plocha S → ∞), tedy 1D vedení V ustáleném případě platí:

1. vrstva 2. vrstva

T

R2

R1

J1 = S T1

Tx

a samozřejmě také (rovnice kontinuity)

T2 J1

J1 = J2 = J

J2

Δx1

Tx − T2 T1 − Tx a J2 = S (2) R1 R2

Δx2 x

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


8 / 58



Stěna z více vrstev (sendvič)

Vyřešením soustavy rcí z předchozí strany dostaneme: J=S

T1 − T2 R1 + R2

(3)

a porovnáním s rovnicí (1) dostaneme celkový odpor sendviče: Rc = R1 + R2

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


9 / 58


2D vedení – ve válcové symetrii (stěna potrubí)

Potrubí s jednoduchou stěnou Tepelný odpor vztažený na metr délky

Rl =

ln rr21

2πλ

=

1 ln d+r r1

2πλ

(K m−1 W−1 )

Tepelný odpor stěny potrubí roste logaritmicky s její tloušťkou!

(4)

Růst odporu stěny s tloušťkou 16

r2 d

Tepelný odpor R (K/m2W; K/mW)

r1

14 12

R trubka

10

R stěna

8 6 4 2 0 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

Tloušťka izolace d (m)

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


10 / 58



Potrubí s izolací (~ sendvič) Tx

Pro výpočet tepelného odporu dvouvrstvého pláště trubky použijeme obdobný postup, jaký jsme použili při výpočtu odporu sendvičové stěny.

rx r1

r2

T1

T2

J1 J2

izolace

diz

Tepelný tok vypočteme pro každou vrstvu zvlášť: tr J1 = − 2πlλ (Tx − T1 ) ln rx r1

J2 = − 2πlλr2iz (T2 − Tx ) ln rx

Neznáme teplotu Tx a toky J1 a J2 , vše ostatní je zadáno. Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


11 / 58



Potrubí s izolací

Za předpokladu ustáleného vedení tepla ovšem platí: J1 = J2 Vyloučením neznámé teploty Tx dostaneme −T1 J = l RTtr2+R iz kde r ln rrx ln 2 Rl,tr = 2πλ1tr , Rl,iz = 2πλrxiz , l je délka trubky Tepelný odpor pláště trubky s izolací vztažený na metr délky Rl,c = Rl,tr + Rl,iz

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


12 / 58



Tepelný odpor při přestupech na povrchu Tok tepla J při přestupu z povrchu trubky do okolí můžeme vyjádřit pomocí odporu při přestupu Rse , nebo pomocí součinitele přestupu tepla hse stejně jako jsme to udělali v případě toku tepla stěnou: J = l ∆T Rse = hse S∆T , kde S = 2πr2 l je plocha povrchu,

∆T je rozdíl teploty mezi povrchem a teplotou okolí, r2 je vnější poloměr trubky. Porovnáním dostaneme: Odpor při přestupu tepla vztažený na metr délky 1 Rl,se = Rse 2πr = 2

1 2πhse r2

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


13 / 58



Celkový tepelný odpor na metr délky Rl,T = Rl,tr + Rl,iz + Rl,se =

ln rrx

1 2πλtr

ln

r2

+ 2πλrxiz + 2πh1se r

2

6

Celkový tepelný odpor R (Km/W)

5

4

R celkové

3

R izolace R přestupu

2

1

0 0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

Tloušťka izolace d (m)

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


14 / 58



Optimální tloušťka izolace?

Domácí úloha Nalezněte tloušťku d tepelné izolace trubičky, při které je celkový tepelný odpor minimální: Vnitřní poloměr trubičky: r1 = 1 mm Vnější poloměr (bez izolace): rx = 2 mm Součinitel tepelné vodivosti izolace λiz = 0, 050 W m−1 K−1 Součinitel při přestupu na vnějším povrchu hse = 8 W m−2 K−1 Výsledek požadován s přesností ±0,1 mm!

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


15 / 58



Tepelný odpor závisí na teplotě 1

Součinitel přestupu tepla hse závisí na teplotě!!! Více později.

2

Součinitel tepelné vodivosti λ tepelné izolace závisí na teplotě (příklad je pro skleněné rouno):

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


16 / 58



Cu trubka 12 mm

teplá trubka: 90/15 °C

studená trubka: 5/25 °C

software: URSABIL 2.2 [1] Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


17 / 58


3D vedení – ve sférické symetrii

Tepelný tok ve sférické symetrii Pro ustálené vedení platí (teplo se nikde nehromadí): J(r) = konst. množství tepla procházející kulovou plochou nezávisí na jejím poloměru! J(r) = S(r)j(r) = konst., S(r) = 4πr 2 j(r) = −λ ∂∂Tr (Fourierův zákon) tedy: J(r) = −4πr 2 λ ∂∂Tr = konst. Separací proměnných: −4πλ dT = J dr r2 integrace: −4πλ

R T2 T1

dT = J

r2 r1

d

R r2 dr

r1 r 2

−4πλ (T2 − T1 ) = −J( r12 − r11 ) Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


18 / 58

Šíření tepla zářením

Záření emitované povrchem tělesa

Záření tělesa Povrch každého tělesa vyzařuje energii ve formě záření

= e (λ )

2 2πhc hc λ 5 e kT −1

(W m−2 m-1 )

T=5500K

)

I

dI dλ

) [W/m3]

Planckův zákon

dI dλ

T=5000K

je spektrální hustota záření

e (λ ) je emisivita povrchu tělesa

T=4500K

„černé“ těleso: e (λ ) = 1, ∀λ „šedé“ těleso: e (λ ) = konst. < 1, ∀λ

T=4000K T=3500K

0

500

1000

1500

2000

[nm]

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


19 / 58



Vlnová délka maxima vyzařování λm – vlnová délka, při které povrch tělesa vyzařuje s největší spektrální hustotou záření Lze určit jako maximum Planckova zákona (derivací podle λ ) Wienův zákon λmax =

b (m) (5) T

b = 2,8978 10-3 (m K) je Wienova konstanta Příklad těleso teplota λmax /nm Vydra (FSv ČVUT )

povrch Slunce 5780 K 500 (modro-zelené světlo) Termomechanika

lidské tělo 310 K 9300 (IR) I – Šíření tepla a vlhkosti

20 / 58



Celkový vyzařovaný výkon z jednoho m2 Jaká je intenzita záření z povrchu tělesa o teplotě T ? Lze určit integrací Planckova zákona podle λ Stefan-Boltzmanův zákon I=

Z∞ 0

dI dλ = e (T ) σ T 4 (W/m2 ) dλ

σ = 5, 67 10−8 W m−2 K−4

(6)

je Boltzmanova konstanta

e (T ) je emisivita, tentokrát jako funkce teploty povrchu absolutně černé těleso: e (λ ) = 1, ∀λ =⇒ e (T ) = e (λ ) = 1 „šedé“ těleso: e (λ ) = konst. < 1, ∀λ =⇒ e (T ) = e (λ ) = konst.

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


21 / 58




Z∞ 0

dI dλ = e (T ) σ T 4 (W/m2 ) dλ

σ = 5, 67 10−8 W m−2 K−4

(6)



Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


21 / 58




Z∞ 0

dI dλ = e (T ) σ T 4 (W/m2 ) dλ

σ = 5, 67 10−8 W m−2 K−4

(6)



Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


21 / 58




Z∞ 0

dI dλ = e (T ) σ T 4 (W/m2 ) dλ

σ = 5, 67 10−8 W m−2 K−4

(6)



Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


21 / 58


Záření pohlcované povrchem tělesa

Pohltivost povrchu tělesa a – pohltivost, vyjadřuje jakou část dopadajícího záření povrch tělesa pohlcuje

a (T ) =

Ip I0

I0 je intenzita dopadajícího záření Ip je záření pohlcované povrchem T je teplota záření (= teplota toho tělesa, které záření vyzařuje, nikoliv teplota tělesa, na které záření dopadá) např. teplota slunečního záření je ≈ 6000 K teplota záření vyzařovaného slunečním kolektorem je ≈ 320 K Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


22 / 58



Pohltivost povrchu tělesa a – pohltivost, vyjadřuje jakou část dopadajícího záření povrch tělesa pohlcuje

a (T ) =

Ip I0

I0 je intenzita dopadajícího záření Ip je záření pohlcované povrchem T je teplota záření (= teplota toho tělesa, které záření vyzařuje, nikoliv teplota tělesa, na které záření dopadá) např. teplota slunečního záření je ≈ 6000 K teplota záření vyzařovaného slunečním kolektorem je ≈ 320 K Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


22 / 58



Kirchhoffův zákon pro pohltivost a emisivitu platí tzv. Kirchhoffův zákon a (T1 ) = e (T2 ) pro |T1 − T2 | < 1000 K Emisivita a pohltivost různých materiálů při různých teplotách Teplota typ záření materiál bílá barva leštěný kov sklo černá barva selektivní absorbéry Vydra (FSv ČVUT )

≈ 300 K IR ≈ 0,8 < 0,1 0,94 ≈ 0,8 ≈ 0,05 Termomechanika

≈ 6000 K UV + viditelné + IR a (T ) = e (T ) < 0,1 ≈ 0,1 transparentní > 0,9 ≈ 0,95 I – Šíření tepla a vlhkosti

23 / 58



Selektivní absorbéry pro solární kolektory materiály, které mají vysokou pohltivost pro sluneční záření ⇒ vysoké využití slunečního záření nízkou pohltivost (a emisivitu!!!) pro infračervené záření ⇒ nízké tepelné ztráty Emisivita a pohltivost některých selektivních absorbérů teplota typ záření materiál Nix Aly Oz Crystal Clear™ TiNOX Vydra (FSv ČVUT )

≈ 350 K IR

≈ 6000 K UV + viditelné + IR a (T ) = e (T ) ≈ 0,1 0,92 - 0,97 0,04 - 0,09 0,94 – 0,96 ≈ 0,05 ≈ 0,91 Termomechanika


24 / 58



TiNOX – selektivní absorbér pro sluneční kolektory

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


25 / 58


Výměna tepla zářením mezi dvěma povrchy

Dva protilehlé rovinné povrchy

geometricky nejjednodušší případ: nekonečně velké rovinné rovnoběžné povrchy

povrch č.1 má teplou T1 , emisivitu a pohltivost a1 = e1 povrch č.2 má teplou T2 , emisivitu a pohltivost a2 = e2 předpokládáme blízké teploty, proto dle Kirchhoffova zákona a1 = e1 , a2 = e2

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


26 / 58



Dva protilehlé rovinné povrchy celkem pohlceno = součet nekonečné geometrické řady Ia = a2 I0 1 + q + q2 + ... q = (1 − a1 ) (1 − a2 ) 1 ∑ qn = 1 − q n=0 a1 a2 σT4 Ia2 = a1 + a2 − a1 a2 1 ∞

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


27 / 58




Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


27 / 58




Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


27 / 58




Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


27 / 58




Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


27 / 58




Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


27 / 58



Dva protilehlé rovinné povrchy máme tedy záření pohlcené pravým povrchem:: Ia2 =

a1 a2 σT4 a1 + a2 − a1 a2 1

zcela analogicky (levý povrch pohlcuje záření emitované pravým povrchem) záření pohlcené levým povrchem: Ia1 =

a1 a2 σT4 a1 + a2 − a1 a2 2

celkem tok tepla (zleva doprava): I = Ia2 − Ia1 = −

Vydra (FSv ČVUT )

a1 a2 σ T24 − T14 a1 + a2 − a1 a2

Termomechanika


28 / 58



Linearizace Rozdíl čtvrtých mocnin teplot není pro výpočty praktický proto výraz linearizujeme např. s použitím Taylorova rozvoje f (x) = f (a) +

f 0 (a) f 00 (a) f (3) (a) (x − a) + (x − a)2 + (x − a)3 + ... 1! 2! 3!

V našem případě je f (x) = T 4 a když použijeme jen první lineární člen rozvoje máme 3 . . T24 − T14 = 4T 3 (T2 − T1 ) nebo přesněji*) T24 − T14 = 4T (T2 − T1 ), 1 kde T = T2 +T 2 *) Zde bude ilustrační obrázek

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


29 / 58



Linearizace

Konečně tok tepla můžeme vyjádřit: I = −hr (T2 − T1 ) , kde hr je radiační část součinitele přestupu tepla hr = 4

Vydra (FSv ČVUT )

a1 a2 3 σT a1 + a2 − a1 a2

Termomechanika

(7)


30 / 58

Šíření tepla prouděním

Úvod

Šíření tepla prouděním (konvekcí) je komplexní děj, k jehož modelování se používá několik přístupů. 1

Numerické řešení diferenciálních rovnic popisujících konvekci (pomocí specializovaného softwaru).

2

Použití „teorie podobnosti“. Přenos tepla se experimentálně určí jen v určitých případech a pomocí teorie podobnosti přepočte na jiné geometricky a fyzikálně „podobné“ případy. Zda jsou si situace podobné, lze určit pomocí podobnostních čísel (kritérií).

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


31 / 58


Teorie podobnosti při přestupu tepla

Nusseltovo číslo Situace můžeme považovat za geometricky a fyzikálně podobné v případě, že se rovnají jejich Nusseltova čísla, definovaná jako: Nu =

hc l λ

kde λ je součinitel tepelné vodivosti tekutiny a l je „charakteristický rozměr“ obtékaného povrchu. Známe-li tedy Nusseltovo číslo pro danou situaci, pak součinitel přestupu tepla při konvekci (hc ) určíme ze vtahu: Určení hc ze známého Nusseltova čísla hc =

Vydra (FSv ČVUT )

Nu λ (W m−2 K−1 ) l

Termomechanika

(8)


32 / 58



Rayghleiovo číslo

Empirické vztahy pro Nusseltovo číslo (9, 10) obsahují Rayghleiovo číslo Ra =

g4Tl 3 T νa

,

ve kterém g je gravitační zrychlení, 4T je rozdíl teploty mezi povrchem a tekutinou, T je střední teplota mezní vrstvy (průměrná teplota určená z teploty povrchu a tekutiny), l je výška stěny (světlost místnosti), ν kinematická viskozita a a součinitel teplotní vodivosti proudící tekutiny, tedy vzduchu.

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


33 / 58



Příklady 1

Přestup svislá stěna-interiér

2

Přestup stěna-stěna (vzduchová mezera)

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


34 / 58



Přestup svislá stěna → vzduch Nusseltovo číslo bylo určeno experimentálně mnoha autory. Experimentální hodnoty bývají proloženy (fitovány) nějakou vhodnou funkcí. V literatuře lze najít různé tvary těchto funkcí, zde uvedeme jeden z nejjednodušších tvarů pro přestup tepla z povrchu do tekutiny: Empirické vztahy pro Nusseltovo číslo 1

Nu = 1, 18 · Ra 8 , pro 10−3 ≤ Ra < 500 1

Nu = 0, 54 · Ra 4 , pro 500 ≤ Ra < 2 · 107

(9)

1 3

Nu = 0, 135 · Ra , pro 2 · 107 ≤ Ra < 1013

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


35 / 58



Příklad vypočtených součinitelů hc

software:

koeficientPrestupuNaSteneaVeVzduchoveMezere.xls [1] Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


36 / 58



Přestup stěna → stěna (vzduchová mezera) Pro přestup tepla mezi dvěma svislými stěnami oddělenými vzduchovou mezerou platí jiné empirické vztahy Empirické vztahy pro Nusseltovo číslo a a h 0, 952 + ν ν l 1 1 l 9 Nu = 0, 19 · Ra 4 · , pro 15000 ≤ Ra < 150000 (10) h 1 1 l 9 , pro 150000 ≤ Ra < 7200000 Nu = 0, 071 · Ra 3 · h Nu = 1, pro Ra < 124

V rovnicích je l šířka, h výška vzduchové mezery. Součinitel přestupu hc určíme z Nusseltova čísla opět pomocí vztahu (8). Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


37 / 58



Příklad vypočtených součinitelů hc

software:

koeficientPrestupuNaSteneaVeVzduchoveMezere.xls [1]

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


38 / 58

Šíření vlhkosti

Šíření vodní páry

Šíření hmoty difúzí Při difúzi proniká hmota hmotou (složka směsi proniká směsí). Hmota se šíří bez pozorovatelného makroskopického pohybu. Hnací silou difúze je spád počtu molekul v jednotce objemu (koncentrace, parciálního tlaku).

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


39 / 58

Šíření vlhkosti


Fickův zákon původně empirický zákon později odvozen v rámci statistické termodynamiky ~j = −D gradφ ~j je tok materiálu (množství m-2 s−1 ) D je součinitel difúze (m2 /s), podle statistické fyziky D =

kB T 6πηr

φ je množství materiálu v jednotce objemu (množství/m3 ) množství je prakticky v libovolných jednotkách (v kg, v molech. . . )

závislost D na teplotě určuje známá Arrheniova rovnice EA

D = D0 e− RT EA je aktivaˇcní energie (J/mol). Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


40 / 58

Šíření vlhkosti


Difúze vodní páry ve vzduchu Množství materiálu lze vyjádřit např. jako 1

n – látkové množství (v molech)

2

m – hmotnost (v kg)

Pro difúzi v plynech (vodní pára ve vzduchu) použijeme stavovou rovnici ideálního plynu pV = nRT , (11) zavedeme parciální tlak vodní páry: pv (v jako vapour), pv =

nv p, n

(12)

p je tlak a n je látkové množství směsi, tedy vzduchu.

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


41 / 58

Šíření vlhkosti


Difúze vodní páry ve vzduchu 1

množství vyjádříme v molech, pak φv =

dnv dV

a Fickův zákon:

~jv = −Dgradφv (mol m−2 s−1 ) 2

z praktických důvodů tok páry vyjádříme v kg/m2 s: rovnici z bodu 1 upravíme přenásobením molární hmotností µv vody ~jv = −Dµv gradφv (kg m−2 s−1 )

(13) pv p n

látkové množství nv vyjádříme pomocí parciálního tlaku nv = pak s pomocí stavové rovnice ideálního plynu (11) lze množství pv v páry v jednotce objemu vyjádřit φv = dn dV = RT

Fickův zákon pro vodní páru ve vzduchu ~jv = −δ gradpv (kg m−2 s−1 ) kde δ = Vydra (FSv ČVUT )

Dµv RT

(14)

je součinitel difúzní vodivosti Termomechanika


42 / 58

Šíření vlhkosti


Bilance páry v elementární krychli (1-dimenzionální tok) difúze jen ve směru osy x ⇒ Fickův zákon (rce (14)) má tvar: jv (x) = −δ

dpv dx

jv je funkcí souřadnice x: jv = jv (x) za čas ∆τ plochou S do krychle přiteče zleva: jv (x)∆τS zprava: −jv (x + ∆x) ∆τS ve vrstvě zůstane:

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


43 / 58

Šíření vlhkosti



dpv dx


Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


43 / 58

Šíření vlhkosti



dpv dx


Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


43 / 58

Šíření vlhkosti



dpv dx

jv je funkcí souřadnice x: jv = jv (x) za čas ∆τ plochou S do krychle přiteče zleva: jv (x)∆τS zprava: −jv (x + ∆x) ∆τS ve vrstvě zůstane: ∆mv ∆τ Vydra (FSv ČVUT )

= −S (jv (x + ∆x) − jv (x)) = −S∆jv Termomechanika


43 / 58

Šíření vlhkosti


Bilance páry v elementární krychli 1

Bilance hmotnosti vodní páry v elementární krychli ∆mv −S∆τ∆jv = ∆τ ∆τ

2

použijeme vztah: ∆jv =

djv dx ∆x,

⇒

djv ∆mv = −S ∆x ∆τ dx 3

použijeme vztah ∆V = S∆x, ⇒ ∆mv djv =− ∆τ∆V dx

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


44 / 58

Šíření vlhkosti




2


djv dx ∆x,

⇒



Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


44 / 58

Šíření vlhkosti




2


djv dx ∆x,

⇒



Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


44 / 58

Šíření vlhkosti


V limitě pro ∆x → 0 a ∆τ → 0

Difúzní rovnice dρv dτ dρv dτ

Vydra (FSv ČVUT )

djv dx d dpv = − −δ (15) dx dx = −

Termomechanika


45 / 58

Šíření vlhkosti

Šíření kapalné vlhkosti

Fickův zákon pro kapalinu Množství kapalné vody ve vzorku materiálu se vyjadřuje pomocí hmotnostní vlhkosti u (% kg/kg) u=

mw ρw nw µv = = ms ρs V ρs

(16)

mw je hmotnost vody ve vzorku ms je hmotnost suchého vzorku, V je jeho objem Ze vztahu (16) vyjádříme látkové množství vody ve vzorku nw =

ρs uV µv

dosadíme do Fickova zákona ve tvaru rovnice č. (13) a dostaneme: ~jw = −Dρs gradu (kg m-2 s−1 ) Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


46 / 58

Šíření vlhkosti


Šíření vlhkosti v kapiláře (pára + kapalina)

kapilára difuse páry

V suchém materiálu se vodní pára šíří difúzí. . . Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


47 / 58

Šíření vlhkosti



kapilára

oblast kondenzace

difuse páry

V místě, kde tlak je vyšší než sytý, dochází ke kondenzaci. . . Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


48 / 58

Šíření vlhkosti



kapilára

oblast kondenzace

difuse páry

transport kapaliny

Z místa kondenzace se voda šíří v kapalné formě. . . Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


49 / 58

Šíření vlhkosti



kapilára

oblast kondenzace

difuse páry

transport kapaliny odpar kapaliny V místě, kde tlak je nižší než sytý, dochází k odparu. Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


50 / 58

Šíření vlhkosti



Výsledkem je snížení množství páry vstupující do konstrukce a snížení kondenzující vlhkosti. Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


51 / 58

Šíření vlhkosti

Šíření tepla a vlhkosti – obecné vztahy

Zobecněné síly

Fouriérův a Fickův zákon jsou přibližné, empirické vztahy. Pomocí zobecněných sil lze transport hmoty a tepla vyjádřit obecně. Zobecněné síly spád teploty (gradT ) spád elektrochemického potenciálu (gradµ) Elektrochemický potenciál – kolik energie je potřeba na přidání 1 kg dané látky do daného místa

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


52 / 58

Šíření vlhkosti


Tok tepla a hmoty obecně Analogie – gravitační síla: ~G = −m gradϕ potenciál gravitační síly ϕ = gh Podobně: Tok tepla~jQ , tok hmoty~jm ~jQ = −L11 gradT − L12 gradµ ~jm = −L21 gradµ − L22 gradT Zřejmě platí L11 = λ Elektrochemický potenciál je funkcí stavových veličin (p, V , c, T . . . ) ⇒ gradµ = ∂∂ Tµ gradT + ∂∂ µp gradp + ∑j ∂∂ cµj gradcj Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


53 / 58

Šíření vlhkosti


Tok tepla a hmoty obecně Analogie – gravitační síla: ~G = −m gradϕ potenciál gravitační síly ϕ = gh Podobně: Tok tepla~jQ , tok hmoty~jm ~jQ = −L11 gradT − L12 gradµ ~jm = −L21 gradµ − L22 gradT Zřejmě platí L11 = λ Elektrochemický potenciál je funkcí stavových veličin (p, V , c, T . . . ) ⇒ gradµ = ∂∂ Tµ gradT + ∂∂ µp gradp + ∑j ∂∂ cµj gradcj Termodifúze Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


53 / 58

Šíření vlhkosti


Tok tepla a hmoty obecně Analogie – gravitační síla: ~G = −m gradϕ potenciál gravitační síly ϕ = gh Podobně: Tok tepla~jQ , tok hmoty~jm ~jQ = −L11 gradT − L12 gradµ ~jm = −L21 gradµ − L22 gradT Zřejmě platí L11 = λ Elektrochemický potenciál je funkcí stavových veličin (p, V , c, T . . . ) ⇒ gradµ = ∂∂ Tµ gradT + ∂∂ µp gradp + ∑j ∂∂ cµj gradcj Barodifúze Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


53 / 58

Šíření vlhkosti


Tok tepla a hmoty obecně Analogie – gravitační síla: ~G = −m gradϕ potenciál gravitační síly ϕ = gh Podobně: Tok tepla~jQ , tok hmoty~jm ~jQ = −L11 gradT − L12 gradµ ~jm = −L21 gradµ − L22 gradT Zřejmě platí L11 = λ Elektrochemický potenciál je funkcí stavových veličin (p, V , c, T . . . ) ⇒ gradµ = ∂∂ Tµ gradT + ∂∂ µp gradp + ∑j ∂∂ cµj gradcj Difúze způsobená gradientem koncentrace (difundující látky nebo i jiných látek) Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


53 / 58

Šíření vlhkosti

Rovnováha páry a kapalné vlhkosti

Kelvinova rovnice V tenkých kapilárách (pórech) vodní pára kondenzuje při nižších hodnotách parciálního tlaku vodní páry pr než je tlak nasycených par ps na volném povrchu. Platí takzvaná Kelvinova rovnice, ve které σ je povrchové napětí vody, Vm je molární objem vodní páry a r je poloměr kapiláry. Kelvinova rovnice 2σ Vm pr = e RTr ps Proto i při nízkých hodnotách relativní vlhkosti vzduchu porézní materiál obsahuje kapalnou vlhkost a nevysychá. Tento jev nazýváme sorpcí. Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


54 / 58

Šíření vlhkosti


Sorpce Rovnovážnou vlhkost materiálu při určité relativní vlhkosti a teplotě okolního vzduchu určují sorpční izotermy. Pro smrk vypadají takto:

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


55 / 58

Šíření vlhkosti


Výpočet rovnovážné vlhkosti dřeva v konstrukci

software: 1DWoodSorption09.xls [1] Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


56 / 58

Šíření vlhkosti


Použité zkratky I zkratka

veličina

definice

~j

specifický tok veličiny

jednotky množství/m2 s

~ ~ S j • dS

J

celkový tok veličiny přes plochu S

ms

hmotnost suchého materiálu

mw

hmotnost kapalné vody

kg

µ

faktor difúzního odporu

[–]

µw

molární hmotnost vody

t

teplota

T

absolutní teplota

J=

RR

množství/s kg

0,018 kg/mol

kg/mol °C

τ

čas

u

vlhkost materiálu

T = t + 273, 15

K s

u=

mw ms

– nebo %

v (index)

vodní pára

–

w (index)

kapalná voda

–

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


57 / 58

Šíření vlhkosti


Literatura I

[1] Demonstrační software pro výuku http://people.fsv.cvut.cz/~vydra/fyzb.html [2] John H. Lienhard: A Heat Transfer Textbook http://web.mit.edu/lienhard/www/ahttv131.pdf

Vydra (FSv ČVUT )

Termomechanika


58 / 58

FYZB Termomechanika texty k přednášce

Recommend Documents