FUNGSI DAN SIFATNYA. Penyusun: Bevina D. Handari. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

FUNGSI DAN SIFATNYA

Penyusun: Bevina D. Handari

Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

DAFTAR ISI

1. Mengapa karakteristik grafik penting? 2. Fungsi Naik, Fungsi Turun 3. Titik Maksimum, Titik Minimum 4. Titik Maksimum Relatif, Titik Minimum Relatif 5. Titik Balik 6. Rasio Laju Perubahan 7. Fungsi Cekung


KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1

Fungsi berguna untuk memodelkan relasi antara dua peubah. Misalnya relasi antara waktu dan jumlah penduduk. Dengan menggunakan fungsi, kita dapat mengetahui sifat spesifik dari sebuah relasi, bahkan dengan fungsi kita mungkin dapat melakukan prediksi dari sebuah perubahan. Seringkali data divisualisasikan dalam bentuk grafik garis. Informasi yang dapat kita amati secara langsung dari grafik garis misalnya: titik maksimum, titik minimum, laju perubahan dan lain-lain. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Representasi grafik garis (grafik) dari fungsi merupakan alat yang penting untuk dapat menganalisis karateristik fungsi yang mungkin dijumpai pada masalah. Karena itu lingkup subpokok bahasan adalah mengenai karakteristik grafik dan fungsi, khususnya karakteristik grafik. Pada pembahasan yang lalu telah dipelajari visualisasi informasi dengan grafik, sebagai contoh:



Representasi fungsi dengan grafik Tabel Pengaruh Kedalaman Bumi (x) pada Temperatur (T) T

1

30

2

60

3

90

4

120

5

150

Temeratur (Celcius)

x

Pengaruh Kedalaman Bumi pada Temperatur 160 140 120 100 80 60 40 20 0 1

2

3

4

5


Grafik dari fungsi terdiri dari semua titik koordinat (a,b) dimana b adalah nilai peubah terikat dan a adalah nilai peubah bebas yang terkait dengan b.

Temeratur (Celcius)

Pengaruh Kedalaman Bumi pada Temperatur 160 140 120 100 80 60 40 20 0

(3,90)

1

2

3

4

5

Kedalaman Bumi (km)

Titik (3,90) adalah salah satu titik pada grafik. Grafik terdiri dari sejumlah tak hingga titik. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Kenapa karakteristik grafik penting?

Jika kita memahami karakteristik grafik, akan memudahkan kita mengidentifikasi sifat-sifat penting sebuah fungsi. Misalnya kapan fungsi naik atau turun, mencapai nilai maksimum, dan lain-lain. Tingkat Inflasi Tahun 2005-2010 18 16 14

Fungsi naik Tahun 2007-2008

12

Titik absolut maksimum

10 Tingkat inflasi

8

6 4

Fungsi Turun Tahun 2005-2006

Titik absolut minimum

2 0 2005

2006

2007

2008

2009

2010



Jika diberikan sebuah grafik fungsi, dapatkah anda menentukan dengan cepat apakah grafik tersebut merepresentasikan sebuah fungsi atau bukan? Untuk menentukan suatu grafik adalah sebuah fungsi gunakan tes garis vertikal

Jika sebarang garis vertikal pada fungsi memotong grafik hanya di satu titik

Tingkat Inflasi Tahun 2005-2010 18 16 14 12 10 8

Tingkat inflasi

6 4 2 0 2005

2006

2007

2008

2009

2010

Fungsi Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Fungsi Naik 1

Peubah bebas berada di sumbu horisontal. Peubah terikat berada di sumbu vertikal

0.5

Fungsi naik

0

-0.5

-1

-1.5

Makin ke kanan nilai peubah bebas makin besar, nilai peubah terikat juga makin besar



Fungsi Turun

Peubah bebas berada di sumbu horisontal. Peubah terikat berada di sumbu vertikal

1 0.8 0.6 0.4

Fungsi turun

0.2 0 -0.2 -0.4

Makin ke kanan nilai peubah bebas makin besar, nilai peubah terikat makin kecil

-0.6

-0.8



Titik tertinggi dari grafik sebuah fungsi memiliki nilai maksimum (absolut) dari fungsi. Titik Maksimum 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

Pada titik maksimum, nilai peubah terikat terbesar

-1 -1.2



Titik terendah dari grafik sebuah fungsi memiliki nilai minimum (absolut) dari fungsi. 0.2 0

Pada titik minimum, nilai peubah terikat terkecil

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.4

Titik Minimum Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Nilai peubah terikat di titik dimana fungsi berubah dari naik ke turun adalah sebuah nilai maksimum relatif/maksimum lokal dari fungsi.

Nilai peubah terikat di titik dimana fungsi berubah dari turun ke naik adalah sebuah nilai minimum relatif/minimum lokal dari fungsi. Titik pada grafik dengan nilai peubah terikatnya maksimum lokal/minimum lokal dari fungsi merupakan sebuah titik balik.



Titik A,B,C,D adalah titik balik

M2 M1 m1

m1, m2: nilai minimum relatif dari fungsi

C A B

m2

D

M1, M2: nilai maksimum relatif dari fungsi

Grafik fungsi dengan 2 nilai maksimum relatif dan 2 minimum relatif Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Berikut data persentase penduduk buta huruf menurut kelompok umur tahun 2003-2009: 2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

Jateng

14.21

13.28

12.59

11.76

11.38

10.76

10.54

Bali

15.56

14.48

13.78

14.21

14.02

13.06

12.78

Relatif maksimum dan relatif minimum data ini dapat ditentukan dengan mudah melalui grafik garis berikut. Sumber:http://www.bps.go.id/



Persentase Penduduk Buta Huruf menurut Kelompok Umur 15+ Tahun 2003-2009 18 16

15.56 14.21

14

14.48 13.28

12 Persentase

14.21

13.78 12.59

14.02

11.76

11.38

10

13.06

12.78

10.76

10.54 Jawa Tengah

8

Bali

6 4 2 0 2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

Tahun



Nilai persentase 13.78 penduduk buta huruf kelompok umur 15+ di Bali pada tahun 2005 adalah relatif minimum, karena pada tahun 2004 nilai persentase 14.48, tahun 2005 nilai persentase 13.78, dan tahun 2006 nilai persentase 14.21. 2004 14.48%

2006 14.21% 2005 13.78% Relatif Minimum



Nilai persentase 14.21 pada tahun 2006 adalah relatif maksimum, karena pada tahun 2005 nilai persentase 13.78, tahun 2006 nilai persentase 14.21, dan tahun 2007 nilai persentase 14.02. 2006 14.21% 2005 13.78%

Relatif Maksimum

2007 14.02%



Pada tahun 2003, 15.58 adalah nilai persentase maksimum (absolut) penduduk buta huruf kelompok umur 15+ di Bali. Sedangkan tahun 2008, 12.78 adalah nilai persentase minimum (absolut). Grafik Jawa Tengah adalah grafik fungsi turun dan tidak memiliki nilai maksimum relatif dan minimum relatif. Grafik hanya memiliki nilai persentase maksimum (absolut) 14.21 dan nilai persentase minimum (absolut) 10.54.



Dengan kata lain, persentase penduduk buta huruf menurut kelompok umur 15+ di Jawa Tengah dari tahun 2003 hingga tahun 2009 menurun.

Persentase penduduk buta huruf menurut kelompok umur 15+ di Bali pada tahun 2003-2005 menurun, meningkat sesudah tahun 2005 hingga 2007, dan menurun kembali sesudah tahun 2007.



Laju perubahan nilai-nilai peubah terikat terhadap satuan perubahan nilai peubah bebas dapat menjelaskan apakah nilai-nilai fungsi bertambah/berkurang dengan cepat atau lambat. Nilai Fungsi naik dengan cepat

Nilai Fungsi naik lebih lambat



Laju perubahan y dari 𝑥1 hingga 𝑥2 dinyatakan sebagai rasio , 𝑥1 dan 𝑥2 adalah 2 nilai peubah bebas dan 𝑦1 , 𝑦2 adalah nilai-nilai peubah terikat yang bersesuaian dengan 𝑥1 dan 𝑥2 . Fungsi turun

𝑦1 ---

𝑥1

𝑥2 - 𝑥1 bernilai positif

Rasio negatif

------

-----------------------

𝑦2 -------------------------

𝑦2 - 𝑦1 bernilai negatif

𝑥2

Laju perubahan negatif

Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Un


Fungsi naik

𝑦2 - 𝑦1 bernilai positif

𝑥2 - 𝑥1 bernilai positif

Rasio positif 𝑦2 --------------------------

𝑥1

---------------------

---

𝑦1 ---

Laju perubahan positif

Rasio

adalah laju

perubahan y dari 𝑥1 ke 𝑥2 . x2 Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Berikut data tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia (000 Ha), 1995-2008: Tahun

Kopi

Teh

1995

49.3

81

1996

46.7

88.8

1997

61.8

89.3

1998

62.5

91.2

1999

63.2

91.6

2000

63.2

90

2001

62.5

83.3

2002

58.2

84.4

2003

57.4

83.3

2004

52.6

83.3

2005

52.9

81.7

2006

53.6

78.4

2007

52.5

77.6

2008

58.3

78.9

Sumber: http://www.bps.go.id/



Grafik luas tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia (000 Ha). Grafik kiri periode 1995-2000, grafik kanan periode 2000-2005. 100

100

90

90

80

80

70

70

60

60

50

Kopi

50

Kopi

40

Teh

40

Teh

30

30

20

20

10

10

0

0 1995

1996

1997

1998

1999

2000

2000 2001 2002 2003 2004 2005

Sumber:http//www.bps.go.id



Rata-rata perubahan luas tanaman perkebunan besar kopi (000 Ha) selama tahun 1995-2000, adalah bertambah sebesar ribu Ha.

Rata-rata perubahan luas tanaman perkebunan besar teh (000 Ha) selama tahun 1995-2000, adalah bertambah sebesar ribu Ha.



Rata-rata pertambahan luas tanaman kopi pada periode 1995-2000,yaitu 2.78 ribu Ha, lebih besar dari rata-rata pertambahan luas tanaman teh sebesar 1.8 ribu Ha. Jika laju perubahan bernilai positif, maka semakin curam grafik berarti laju perubahannya juga semakin besar.



Laju perubahan dua grafik ini positif.

Grafik B Grafik A

Grafik A lebih curam dari grafik B pada selang yang sama, maka laju perubahan grafik A lebih besar dari laju perubahan grafik B Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI

Rata-rata perubahan luas tanaman perkebunan besar kopi (000 Ha) selama tahun 2000-2005, adalah sebesar ribu Ha. Tanda minus berarti luas tanaman kopi berkurang.

Rata-rata perubahan luas tanaman perkebunan besar teh (000 Ha) selama tahun 2000-2005, adalah sebesar ribu Ha. Tanda minus berarti luas tanaman teh berkurang. Pada periode tersebut luas tanaman kopi berkurang lebih banyak dari luas tanaman teh. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI

Laju perubahan dua grafik ini negatif.

Grafik A

Grafik B

Grafik B lebih curam dari grafik A pada selang yang sama, maka laju perubahan grafik B lebih besar dari laju perubahan grafik A Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Observasi lain pada grafik fungsi adalah melihat bagaimana grafik melengkung, ke atas atau ke bawah, mengindikasikan apakah laju perubahan fungsi meningkat atau menurun. Sebuah fungsi adalah cekung ke atas jika grafik fungsi tersebut melengkung ke atas.

Naik dan melengkung ke atas

Turun dan melengkung ke atas



Sebuah fungsi naik yang cekung ke atas berarti laju perubahan dari fungsi tersebut meningkat. Fungsi turun yang cekung ke atas berarti laju perubahan yang tadinya negatif akan semakin besar atau menjadi kurang negatif karena grafik berkurang kecuramannya (laju perubahan menurun).



Berikut grafik luas tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia (000 Ha), 1995-2008: 100 90 80 70 60 50 40

Kopi Teh

30 20 10 0

Sumber:http//www.bps.go.id



Grafik di atas dapat juga dinyatakan dalam grafik batang berikut. 100 90 80 70 60 50 40

Kopi Teh

30 20 10 0

Namun dalam pembahasan laju perubahan biasa digunakan grafik garis. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Pada grafik luas tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia, grafik tanaman teh pada tahun 1996-1999 naik dan melengkung ke atas.

Berarti laju perubahan luas tanaman teh meningkat namun peningkatannya melambat sesudah tahun 1999. Dilihat dari sisi laju pertumbuhan, laju pertumbuhan tahun 1996-1999 positif.



Sebuah fungsi adalah cekung ke bawah jika grafik fungsi tersebut melengkung ke bawah.

Naik dan melengkung ke bawah

Turun dan melengkung ke bawah

Grafik dengan cekung ke bawah, laju perubahannya menurun.



Grafik fungsi naik yang cekung ke bawah maka laju perubahannya positif dan semakin menurun. Bentuk grafik naik namun kecuramannya makin lama makin berkurang. Grafik fungsi turun yang cekung ke bawah, maka laju perubahannya yang negatif akan semakin negatif, grafik semakin lama makin curam.



Pada grafik garis luas tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia, grafik tanaman teh pada tahun 2004-2007 turun dan melengkung ke keatas. Berarti laju perubahan luas tanaman teh menurun namun penurunannya melambat mendekati tahun 2007. Dari sisi laju perubahan, laju perubahan bernilai negatif namun penurunannya makin berkurang pada tahun 2007. Pada grafik garis kopi tidak terlihat jelas bagian grafik yang cekung ke atas maupun ke bawah. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

KESIMPULAN

Fungsi naik dan fungsi turun

Apa yang sudah kita pelajari?

Titik maksimum, titik minimum, titik balik Karakteristik Grafik Rasio laju perubahan

Fungsi cekung


SARAN

Tentukan informasi terkait dengan titik maksimum, titik minimum, titik maksimum relatif, titik minimum relatif, dan titik balik dari grafik garis yang anda gunakan. Tentukan informasi pada saat grafik garis merupakan fungsi naik atau fungsi turun. Tentukan apakah laju perubahan yang ada pada masalah anda meningkat atau menurun.


DAFTAR PUSTAKA



Angel, A.R., Abbot, C.D., Runde, D.C., A Survey of Mathematics with Applications, Pearson Addison Wesley, 8Ed, 2009.  Blitzer, R., Thinking Mathematically, New Jersey, Pearson Prentice Hall, 4Ed, 2008.  Pirnot, T., Mathematics All Around, Boston, Addison Wesley, 3Ed, 2006.  Sevilla A., Sommers K., Quantitave Reasoning Tools For Today’s Informed Citizen, Key College Publishing, 2007. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

Sekian


FUNGSI DAN SIFATNYA. Penyusun: Bevina D. Handari. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

Recommend Documents