Klas: Naam:
Formularium Wiskunde Vakwerkgroep Wiskunde T. I. SINT-LAURENS MARIA MIDDELARES Patronagestraat 51 9060 Zelzate Tel. (09)345 73 12 Fax (09)345 40 65 Internet: http://tislmm.pandora.be E-mail:
[email protected]
INHOUDSOPGAVE 1. GETALLENLEER............................................................................................................... 6 1.1 Getallenverzamelingen ................................................................................................................................... 6 1.1.1 De verzameling der natuurlijke getallen.................................................................................................... 6 1.1.2 De verzameling van de gehele getallen ..................................................................................................... 6 1.1.3 De verzameling van de rationale getallen.................................................................................................. 6 1.1.4 De verzameling van de irrationale getallen ............................................................................................... 6 1.1.5 De verzameling van de reële getallen........................................................................................................ 6 1.1.6 De verzameling van de complexe getallen ................................................................................................ 6 1.2 Decimale Vormen............................................................................................................................................ 7 1.3 Deelverzamelingen .......................................................................................................................................... 7 1.4 Definitie van een macht .................................................................................................................................. 7 1.5 Rekenregels...................................................................................................................................................... 8 1.6 Vierkantswortel............................................................................................................................................... 8 1.6.1 Definitie..................................................................................................................................................... 8 1.6.2 Rekenregels ............................................................................................................................................... 8 1.7 De n-demachtswortel ...................................................................................................................................... 9 1.7.1 Definitie..................................................................................................................................................... 9 1.7.2 Rekenregels ............................................................................................................................................... 9 1.8 Evenredigheid.................................................................................................................................................. 9 1.9 Vergelijkingen ................................................................................................................................................. 9 1.9.1 Vergelijkingen oplossen ............................................................................................................................ 9 1.9.2 Oplossingsverzameling van een vergelijking noteren ............................................................................. 10 1.10 Merkwaardige producten........................................................................................................................... 10
2. MEETKUNDE.................................................................................................................... 10 2.1 Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren ................................................................................................ 10 2.2 Oppervlakte van ruimtefiguren ................................................................................................................... 11 2.3 Inhoud van ruimtefiguren ............................................................................................................................ 11 2.3.1 Lichamen met grond- en bovenvlak ........................................................................................................ 11 2.3.2 Lichamen met een grondvlak en eindigend op een spits ......................................................................... 11 Piramide en Kegel: ........................................................................................................................................... 11 Bol.................................................................................................................................................................... 11 2.4 Driehoeken..................................................................................................................................................... 11 2.4.1 Congruente driehoeken............................................................................................................................ 11 2.4.2 Congruentiekenmerken voor driehoeken................................................................................................. 12 2.4.3 Gelijkvormige driehoeken....................................................................................................................... 12 2.4.4. Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken ..................................................................................... 12 2.4.5 Toepassingen op gelijkvormige driehoeken ............................................................................................ 13 2.4.6 Metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek ............................................................................ 14 2.5 Cirkel.............................................................................................................................................................. 14 2.5.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken................................................................................................... 14
2
2.5.2 Cirkelsector en cirkelboog....................................................................................................................... 15 2.6 Regelmatige Veelhoeken............................................................................................................................... 15 2.6.1. Definitie.................................................................................................................................................. 15 2.6.2 Benamingen............................................................................................................................................. 16 2.6.3 Formules.................................................................................................................................................. 16
3. GONIOMETRIE............................................................................................................... 17 3.1 Rechthoekige driehoek: sinus, cosinus, tangens van een scherpe hoek .................................................... 17 3.2 Grondformule................................................................................................................................................ 17 3.3 Goniometrische cirkel................................................................................................................................... 17 3.4 Verwante hoeken........................................................................................................................................... 18 3.5. Bijzondere waarden ..................................................................................................................................... 18 3.6. Willekeurige driehoeken.............................................................................................................................. 19 3.7. Som- en verschilformules ............................................................................................................................ 19 3.8. De dubbele-hoek-formules........................................................................................................................... 19 3.9. De halve-hoek-formules ............................................................................................................................... 20 3.10. Formules van Simpson............................................................................................................................... 20
4. ANALYTISCHE MEETKUNDE ..................................................................................... 20 4.1 Richtingscoëfficiënt....................................................................................................................................... 20 4.2 Vergelijking van rechten .............................................................................................................................. 21 4.2.1 Cartesiaanse vergelijking ........................................................................................................................ 21 4.2.2 Algemene vergelijking van een rechte .................................................................................................... 22 4.3 Opstellen van de vergelijking van een rechte ............................................................................................. 22 4.3.1 Rechte met richtingscoëfficiënt m en door punt A (x1,y1) ..................................................................... 22 4.3.2 Rechte door de punten A (x1,y1) en B (x2,y2)....................................................................................... 22 4.4 De afstandsformule: de afstand tussen A(x1, y1) en B(x2, y2) ..................................................................... 22 4.5 De afstand tussen een punt A(x1, y1) en de rechte l ≡ ax+by+c=0 ............................................................ 22 4.6 Coördinaat van het midden tussen A(x1, y1) en B(x2, y2) ........................................................................... 22 4.7 Vergelijking van een cirkel met middelpunt M(xM, yM) en straal r .......................................................... 22 4.8 Algemene vergelijking van de cirkel met middelpunt M(xM, yM) en straal r ........................................... 23
5. FUNCTIES......................................................................................................................... 23 5.1. Functie........................................................................................................................................................... 23 5.2 Eerstegraadsfuncties : de rechte ................................................................................................................. 23 5.1.1 Definitie................................................................................................................................................... 23
3
5.1.2 Nulpunt van de functie f ( x ) = ax + b ................................................................................................. 23 5.1.3 Stijgende en dalende functie.................................................................................................................... 23 5.3 Tweedegraadsfuncties: de parabool ............................................................................................................ 24 5.2.1 Definitie................................................................................................................................................... 24 5.2.2 Nulpunten ................................................................................................................................................ 25 5.2.3 Vergelijking van de symmetrieas van de parabool.................................................................................. 25 5.2.4 De coördinaat van de top van de parabool .............................................................................................. 25 5.2.5 Tekenschema........................................................................................................................................... 25 5.4 Goniometrische functies ............................................................................................................................... 26 5.3.1 De radiaal ................................................................................................................................................ 26 5.3.2 De elementaire sinusfunctie f (x) = sin x ............................................................................................ 26 5.3.3 De algemene sinusfunctie: f (x) = a.sin
[ b(x − c)] + d ...................................................................... 27
5.4 Exponentiële functies .................................................................................................................................... 28 5.4.1 Definitie................................................................................................................................................... 28 5.4.2 De algemene exponentiële functie........................................................................................................... 28 5.5 Logaritmische functies.................................................................................................................................. 29 5.5.1 Definitie................................................................................................................................................... 29 5.5.2 Verloop.................................................................................................................................................... 29 5.5.3 Speciale logaritmen ................................................................................................................................. 29 5.5.4 Rekenregels voor logaritmen:.................................................................................................................. 30
6. COMPLEXE GETALLEN................................................................................................ 30 6.1 Definitie.......................................................................................................................................................... 30 6.2 Voorstelling van een complex getal in het vlak van Gauss ....................................................................... 30 6.3 Goniometrische vorm van een complex getal ............................................................................................. 30 6.4 Rekenen met complexe getallen ................................................................................................................... 31 6.4.1 In de gewone schrijfwijze........................................................................................................................ 31 6.4.2 In de goniometrische schrijfwijze ........................................................................................................... 31 6.4 Vierkantsvergelijkingen ............................................................................................................................... 31
7. AFGELEIDEN ................................................................................................................... 32 7.1 Definitie.......................................................................................................................................................... 32 7.2 Afgeleide functie............................................................................................................................................ 32 7.3 Rekenregels.................................................................................................................................................... 32 7.4 Afgeleide van enkele basisfuncties ............................................................................................................... 32
8. INTEGRALEN ................................................................................................................... 33 8.1 Rekenregels.................................................................................................................................................... 33
8.2 OVERZICHT VAN PRIMITIEVE FUNCTIES........................................................... 33
4
9. STATISTIEK...................................................................................................................... 34 9.1 Begrippen....................................................................................................................................................... 34 9.1.1 Populatie.................................................................................................................................................. 34 9.1.2 Steekproef................................................................................................................................................ 34 9.1.3 Variabele ................................................................................................................................................. 34 9.2 Frequenties .................................................................................................................................................... 34 9.2.1 Absolute frequentie ................................................................................................................................. 35 9.2.2 Relatieve frequentie................................................................................................................................. 35 9.2.3 Cumulatieve absolute frequentie ............................................................................................................. 35 9.2.4 Cumulatieve relatieve frequentie............................................................................................................. 35 9.3 Centrummaten .............................................................................................................................................. 35 9.3.1 Gemiddelde ............................................................................................................................................. 35 9.3.2 Mediaan................................................................................................................................................... 35 9.3.3 Kwartielen ............................................................................................................................................... 36 9.3.4 Modus...................................................................................................................................................... 36 9.4 Spreidingsmaten............................................................................................................................................ 36 9.4.1 Variatiebreedte ........................................................................................................................................ 36 9.4.2 Interkwartielafstand................................................................................................................................. 36 9.4.3 Variantie.................................................................................................................................................. 36 9.4.4 De standaarddeviatie ............................................................................................................................... 37
10. FINANCIËLE ALGEBRA .............................................................................................. 37 10.1 Enkelvoudige intrest ................................................................................................................................... 37 10.2 Samengestelde intrest.................................................................................................................................. 37 10.3 Gelijkwaardige rentevoeten ....................................................................................................................... 37 10.4 Annuïteiten .................................................................................................................................................. 38 10.4.1 Postnumerando ...................................................................................................................................... 38 10.4.2 Prenumerando........................................................................................................................................ 38 10.4.3 Termijnbedrag ....................................................................................................................................... 38
5
1. Getallenleer 1.1 Getallenverzamelingen 1.1.1 De verzameling der natuurlijke getallen IN = {0,1, 2,3, 4,...} 1.1.2 De verzameling van de gehele getallen Een geheel getal is een natuurlijk getal of zijn tegengestelde. Z = {0,1, −1, 2, −2,3, −3,...} = {..., −4, −3, −2, −1, 0,1, 2,3, 4,...} 1.1.3 De verzameling van de rationale getallen Een rationaal getal is het quotiënt van een geheel getal en een van nul verschillend geheel getal. ⎧a ⎨ | a ∈ en b ∈ ⎩b
0
⎫ ⎬ ⎭
Elk rationaal getal kan geschreven worden als een repeterende decimale vorm en omgekeerd. Vb:
3 = 0, 75 = 0, 750000...0... = 0, 7499999...9... 4
1.1.4 De verzameling van de irrationale getallen Elk getal dat kan geschreven worden als een onbegrensde niet-repeterende decimale vorm is een irrationaal getal. Vb: π ; 2; 2,12345678....;1, 424224222...
\ = {x|x is een irrationaal getal} 1.1.5 De verzameling van de reële getallen Een reëel getal is een rationaal of een irrationaal getal.
= { x | x is een rationaal of irrationaal getal} 1.1.6 De verzameling van de complexe getallen Een complex getal is een getal de van de vorm a + bi waarbij a en b reële getallen zijn en i ² = −1
= { x | x is een complex getal}
6
1.2 Decimale Vormen
3 = 0,125 8
Decimaal getal
40 = 1, 6363... 11
Zuiver repeterende decimale vorm (periode = 63)
2 = 0,133... 15
Gemengd repeterende decimale vorm (periode = 3, nietperiode = 1)
π = 3,1415...
Irrationaal getal (onbegrensd en niet-repeterend)
1.3 Deelverzamelingen
IN 0 = {1, 2,3, 4,5,...} Z 0 = {..., −3, −2, −1,1, 2,3,...}
Z + = {0,1, 2,3, 4,5, 6,...} Z-=
IR+0
{0, −1, −2, −3, −4,...} is de verzameling van alle positieve reële getallen uitgezonderd nul.
Intervallen: [-2,12]
het gesloten interval
]- ∞ ; 2,7] het halfopen interval
{x ∈ {x ∈
| −2 ≤ x ≤ 12} | x ≤ 2, 7}
1.4 Definitie van een macht
en ∀n ∈ IN \ {0,1} :
∀a ∈
a n = a. .... a met n factoren a1 = a a0 = 1 1 a 1 = n a
a −1 = a−n
⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠
−n
=
bn an
7
1.5 Rekenregels
∀a, b ∈
en ∀x, y ∈ :
0
a x .a y = a x + y ax a : a = y = a x− y a x (a.b) = a x .b x x
y
x
ax ⎛a⎞ = ⎜ ⎟ bx ⎝b⎠ 1.6 Vierkantswortel 1.6.1 Definitie ∀a ∈
a =a
+
: a = b ⇔ b2 = a
1 2
1.6.2 Rekenregels
∀a, b ∈
+
, ∀n, m ∈ :
a.b = a . b a2n = a n
( a)
n
= an
a a = b b 1
n
a = an
n
am = a n
m
8
1.7 De n-demachtswortel 1.7.1 Definitie
∀a,b ∈
en n ∈ IN 0 : n a = b ⇔ bn = a
1.7.2 Rekenregels ∀m, n en p ∈
0 +
∀a, b ∈
: : n a.b = n a . n b
+
, ∀b ∈
∀a ∈
+
, ∀m ∈ : n a m =
∀a ∈
+
: n m a = n .m a
∀a ∈
+
:
n. p
+ 0
a na = b nb
∀a ∈
:n
( a) n
m
a m. p = n a m
1.8 Evenredigheid a c = ⇔ ad = bc b d Deze regel noemt men ook wel eens het kruisproduct. ∀a, c ∈
: ∀b , d ∈
0
:
1.9 Vergelijkingen 1.9.1 Vergelijkingen oplossen 7 ( x + 4) 3 werk de haakjes weg 7 28 ⇔ 5 x − 15 = x + 3 3 breng alle termen op de zelfde noemer
5( x − 3) =
⇔
15 x 45 7 28 − = x+ 3 3 3 3 laat de noemers weg
⇔ 15 x − 45 = 7 x + 28 breng alle termen in x in het zelfde lid ⇔ 15 x − 45 − 7 x = 28 breng de termen zonder x in het andere lid ⇔ 15 x − 7 x = 28 + 45 werk beide leden uit ⇔ 8 x = 73 deel beide leden door de coëfficiënt van x ⇔x=
73 8 schrijf de oplossingsverzameling
⎧ 73 ⎫ V =⎨ ⎬ ⎩8⎭
9
1.9.2 Oplossingsverzameling van een vergelijking noteren
0x = 0 ⇓ V = {x | x ∈
x=a ⇓ V = {a}
0x = 5 ⇓ V ={ }
}
Identieke vergelijking
Valse vergelijking
1.10 Merkwaardige producten
Product van toegevoegde tweetermen
(a+b).(a-b) = a² - b² Het kwadraat van de gelijke term min het kwadraat van de verschillende term.
Kwadraat van een tweeterm
(a+b)² = a²+2ab+b² (a-b)² = a²-2ab+b² Het kwadraat van de eerste term vermeerderd met het dubbel product plus het kwadraat van de tweede term.
2. Meetkunde 2.1 Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren figuur Vierkant
Omtrek (p)
4.z
Oppervlakte (A) z.z=z²
Rechthoek
2.(l+b)
l.b
Driehoek
Som van de zijden
bh 2
Parallellogram
2.(b+sz)
b.h
Ruit
4.z
D.d 2
Trapezium
Som van de zijden
Regelmatige n-hoek
z.n
Cirkel
2.r.π = d.π
( B + b) 2 n.z.a 2 a: apothema z: zijde n: aantal hoeken of zijden πd2 2 πr = 4
10
2.2 Oppervlakte van ruimtefiguren
Maak de ontvouwing en bereken met de formule van de oppervlakte van de vlakke figuren de totale oppervlakte. Bijzondere gevallen: r : de straal s : de schuine hoogte Kegel:
A = π .r.( r + s )
Bol :
A = 4π r 2
2.3 Inhoud van ruimtefiguren
A : de oppervlakte van het grondvlak h : de hoogte 2.3.1 Lichamen met grond- en bovenvlak
Kubus, Balk, Cilinder en Prisma:
V = A.h 2.3.2 Lichamen met een grondvlak en eindigend op een spits
Piramide en Kegel: V=
A.h 3
V=
4π r 3 3
Bol
2.4 Driehoeken 2.4.1 Congruente driehoeken Twee driehoeken zijn congruent als de overeenkomstige hoeken even groot zijn en de overeenkomstige zijden even lang.
11
∆ABC ≅ ∆XYZ Aˆ = Xˆ Bˆ = Yˆ
en
| AB | = | XY |
en
| BC | = | YZ |
Cˆ = Zˆ
en
| AC | = | XZ |
2.4.2 Congruentiekenmerken voor driehoeken
ZZZ
Twee driehoeken zijn congruent als ze 3 zijden gelijk hebben
ZHZ
Twee driehoeken zijn congruent als ze 2 zijden en de ingesloten hoek gelijk hebben HZH Twee driehoeken zijn congruent als ze 2 hoeken en de zijde die ertussen ligt, gelijk hebben RS90° Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als ze de schuine zijde, één rechthoekszijde en de rechte hoek gelijk hebben. 2.4.3 Gelijkvormige driehoeken
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige zijden evenredig zijn en de overeenkomstige hoeken even groot.
∆ABC ∼ ∆XYZ Aˆ = Xˆ Bˆ = Yˆ
en
| AB | | BC | | AC | = = =k | XY | | YZ | | XZ |
Cˆ = Zˆ k is de gelijkvormigheidsfactor van ∆ABC tegenover ∆XYZ 2.4.4. Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken
Z Z Z Z Z Z Z Z H Z Z
HH
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de zijden van de ene driehoek evenredig zijn met de zijden van de tweede driehoek Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee zijden van de ene driehoek evenredig zijn met twee zijden van de tweede driehoek en als de ingesloten hoek gelijk is. Twee driehoeken zijn gelijkvormig als 2 hoeken van de ene driehoek even groot zijn als 2 hoeken van de tweede driehoek
12
2.4.5 Toepassingen op gelijkvormige driehoeken 2.4.5.1 De stelling van Thales
Evenwijdige rechten snijden van twee snijdende rechten lijnstukken af waarvan de lengten evenredig zijn. | AB | | DE | | AB | | DE | | BC | | EF | = en = en = | BC | | EF | | AC | | DF | | AC | | DF |
2.4.5.2 De stelling van de middenparallel Definitie: Een middenparallel is een lijnstuk dat de middens van twee zijden van de driehoek verbindt.
Eigenschappen van een middenparallel: - elke middenparallel is evenwijdig met de derde zijde - elke middenparallel is half zo lang als de derde zijde
13
2.4.6 Metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek
2.4.6.1 Eigenschap van de hoogte op de schuine zijde ( hypothenusa) | AD |2 =| BD | . | DC | 2.4.6.2 Eigenschap van de rechthoekszijden
| AB |2 = | BD | . | BC | | AC |2 = | DC | . | BC | 2.4.6.3 De stelling van Pythagoras | BC |2 = | AB |2 + | AC |2 2.5 Cirkel 2.5.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken Definities:
Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek die het middelpunt van de cirkel als hoekpunt heeft. Een omtrekshoek is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en waarvan de beide benen de cirkel snijden.
14
Eigenschappen: Een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek op dezelfde boog. Mˆ Oˆ = 2 Een omtrekshoek op een middellijn is 90°
Oˆ = 90° 2.5.2 Cirkelsector en cirkelboog
Een cirkelsector is een deel van de cirkelschijf begrensd door een cirkelboog en de benen van de corresponderende middelpuntshoek.
Asec tor =
π r 2 .α ° 360°
2.5.2.1 Lengte van een cirkelboog Een boog is een deel van de cirkel. |L|=
2π r.α ° 360°
2.5.2.2 Cirkelsegment Een cirkelsegment is het deel van een cirkelschijf begrensd door een Een koorde en de bijhorende cirkelboog. 2.6 Regelmatige Veelhoeken 2.6.1. Definitie
Een regelmatige veelhoek is een veelhoek met gelijke zijden en gelijke hoeken.
15
2.6.2 Benamingen
Het apothema:
a
Een zijde:
z
Het aantal zijden:
n
Een hoek :
Aˆ
De omgeschreven cirkel:
c(M,r)
2.6.3 Formules
som van alle hoeken
(n - 2).180°
één hoek
(n - 2).180° n
middelpuntshoek
360° n
de zijde
z n = 2r.sin
het apothema
a n = r.cos
de omtrek
p n = n.z n
de oppervlakte
A n = n.
180° n
180° n
z n .a n 2
16
3. Goniometrie 3.1 Rechthoekige driehoek: sinus, cosinus, tangens van een scherpe hoek
a
c
b
sin α =
overstaande rechthoekszijde schuine zijde
ˆ =b sinB a
c sinCˆ = a
cos α =
aanliggende rechthoekszijde schuine zijde
ˆ =c cosB a
b cosCˆ = a
tan α =
overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde
ˆ =b tanB c
ˆ =c tanC b
3.2 Grondformule
sin 2 α + cos 2 α = 1 3.3 Goniometrische cirkel
17
Het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt A van een hoek α van een goniometrische cirkel, noemt men de cosinus van de hoek α. Het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt A van een hoek α van een goniometrische cirkel, noemt men de sinus van de hoek α. De tangens van de hoek α wordt gedefinieerd als: tanα =
sinα cosα
( cosα ≠ 0 )
De cotangens van de hoek α wordt gedefinieerd als: cot α =
cos α sin α
( sinα ≠ 0 )
3.4 Verwante hoeken
gelijke hoeken sin ( α + k.360° ) = sinα
cos ( α + k.360° ) = cosα tan ( α + k.360° ) = tanα
tegengestelde hoeken (som is 0°) sin ( -α ) = -sinα
supplementaire hoeken (som is 180°) sin (180° - α ) = sinα
cos ( -α ) = cosα
cos (180° - α ) = -cosα
tan ( -α ) = -tanα
tan (180° - α ) = -tanα
antisupplementaire hoeken (verschil is 180°) sin (180° + α ) = -sinα
complementaire hoeken (som is 90°) sin ( 90° - α ) = cosα
cos (180° + α ) = -cosα
cos ( 90° - α ) = sinα
tan (180° + α ) = tanα
tan ( 90° - α ) = cotα
3.5. Bijzondere waarden
α sinα
0° = 0 0
cos α
1
tanα
0
30° =
π 6
45° =
1 2 3 2 3 3
2 2 2 2 1
π 4
60° = 3 2 1 2
3
π 3
90° =
π 2
270° =
1
180° = π 0
-1
0
-1
0
3π 2
0
18
3.6. Willekeurige driehoeken
c a b
ˆ +B ˆ + Cˆ = 180° som van de hoeken: A verband tussen de zijden: sinusregel:
a < b+c
a b c = = ˆ ˆ sinA sinB sinCˆ
ˆ cosinusregel: a 2 = b 2 + c 2 - 2 b.c.cosA
ˆ b 2 = a 2 + c 2 - 2 a .c.cosB c 2 = a 2 + b 2 - 2 a . b.cosCˆ b.c.sin Aˆ a.c sin Bˆ a.b sin Cˆ oppervlakte: A = = = 2 2 2
3.7. Som- en verschilformules
sin ( α + β ) = sinα.cosβ + sinβ.cosα sin ( α - β ) = sinα.cosβ - sinβ.cosα cos ( α + β ) = cosα.cosβ - sinα.sinβ cos ( α - β ) = cosα.cosβ + sinα.sinβ
tanα + tanβ 1- tanα.tanβ tanα - tanβ tan ( α - β ) = 1 + tanα.tanβ tan ( α + β ) =
3.8. De dubbele-hoek-formules
sin2α = 2.sinα.cosα cos2α = cos 2 α - sin 2 α = 2cos 2 α -1 = 1 - 2sin 2 α
tan2α =
2tanα 1 - tan 2 α
19
3.9. De halve-hoek-formules sin 2 α =
1 - cos2α 2
cos 2 α =
sin
α 1- cosα =± 2 2
cos
α 1 + cosα =± 2 2
tan
1 + cos2α 2
α 1- cosα =± 2 1 + cosα
3.10. Formules van Simpson sinα + sinβ = 2.sin
α +β α -β .cos 2 2
sinα - sinβ = 2.cos
α +β α -β .sin 2 2
cosα + cosβ = 2.cos
cosα - cosβ = 2.sin
α +β α -β .cos 2 2
α +β α -β .sin 2 2
4. Analytische Meetkunde 4.1 Richtingscoëfficiënt
α
20
richtingscoëfficiënt van de rechte door (x1, y1) en (x2, y2) :
y 2 - y1 x 2 - x1 m = tanα met α de positieve hoek die de rechte maakt met de x-as
m=
Als m > 0: AB is een stijgende rechte m < 0: AB is een dalende rechte m = 0: AB is een rechte // x-as 4.2 Vergelijking van rechten 4.2.1 Cartesiaanse vergelijking 4.2.1.1 Rechte door de oorsprong
α
a ≡ y = mx
(1, m ) ∈ a richtingscoëfficiënt van de rechte m = tan α 4.2.1.2 Rechte niet door de oorsprong q = 2, 99 m = 0, 75
a ≡ y = m.x + q
21
4.2.2 Algemene vergelijking van een rechte
Elke rechte kan geschreven worden als een vergelijking van de vorm l ≡ ax + by + c = 0 als a en b niet gelijktijdig nul zijn waarbij als a = 0 dan l // x waarbij als b = 0 dan l // y waarbij als c = 0 dan gaat l door de oorsprong 4.3 Opstellen van de vergelijking van een rechte 4.3.1 Rechte met richtingscoëfficiënt m en door punt A (x1,y1)
a ≡ y - y1 = m.(x - x1 ) 4.3.2 Rechte door de punten A (x1,y1) en B (x2,y2)
a ≡ y - y1 =
y 2 - y1 (x - x1 ) x 2 - x1
4.4 De afstandsformule: de afstand tussen A(x1, y1) en B(x2, y2)
AB =
( x 2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) 2
2
4.5 De afstand tussen een punt A(x1, y1) en de rechte l ≡ ax+by+c=0 d(P, l) =
ax1 + by1 + c a 2 + b2
4.6 Coördinaat van het midden tussen A(x1, y1) en B(x2, y2)
⎛ x + x 2 y1 + y 2 ⎞ co(M) = ⎜ 1 , 2 ⎟⎠ ⎝ 2 4.7 Vergelijking van een cirkel met middelpunt M(xM, yM) en straal r c ≡ ( x - x M ) + ( y - yM ) = r 2 2
2
22
4.8 Algemene vergelijking van de cirkel met middelpunt M(xM, yM) en straal r c ≡ x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 met
a = −x M b = − yM 2 − r2 c = x 2M + y M
5. Functies 5.1. Functie
Een functie is een verband tussen x en y waarbij met elke x-waarde nooit meer dan één y-waarde overeenstemt. Grafisch kan dit nagegaan worden door de ‘verticale-lijn-test’
5.2 Eerstegraadsfuncties : de rechte 5.1.1 Definitie
Een eerstegraadsfunctie is een functie van de vorm f ( x) = ax + b met a ≠ 0 5.1.2 Nulpunt van de functie f ( x) = ax + b
De nulwaarde of het nulpunt van een functie is die waarde van x waarvoor f(x)= 0. Op de grafiek is dit het snijpunt van de functie met de x-as. x=
−b a
5.1.3 Stijgende en dalende functie f ( x) = ax + b is dalend
als a < 0
23
tekenschema:
x f ( x)
+
−b a 0
-
−b a 0
+
f ( x) = ax + b is stijgend als a > 0
x f ( x)
-
Algemeen
x f ( x)
Teken van -a
−b a 0
Teken van a
5.3 Tweedegraadsfuncties: de parabool 5.2.1 Definitie
Een tweedegraadsfunctie is een functie met als voorschrift f ( x) = ax 2 + bx + c waarbij a ≠ 0
Als
a > 0 : een dalparabool a < 0 : een bergparabool
24
5.2.2 Nulpunten
De discrimant D = b 2 − 4ac als D > 0 : 2 nulwaarden: x1 =
−b + D −b − D en x2 = 2a 2a
als D < 0 : geen nulwaarden als D = 0 : dubbele nulwaarde: x1 = x2 =
−b 2a
5.2.3 Vergelijking van de symmetrieas van de parabool s≡x=
−b 2a
5.2.4 De coördinaat van de top van de parabool
−b − D −b 4ac − b 2 T( , ) =T( , ) 2a 4a 2a 4a Het tweede coördinaatgetal bereken je ook met f (
−b ) 2a
5.2.5 Tekenschema
Overal het teken van a behalve als er twee nulpunten zijn, tussen de nulpunten heeft de functie het teken van –a.
25
5.4 Goniometrische functies 5.3.1 De radiaal Een radiaal is een boog van een cirkel die zolang is als de straal van de cirkel en die positief ( tegenwijzerzin ) georiënteerd is.
Ook de middelpuntshoek die op deze boog staat, noemen we één radiaal.
180° = π rad π 1° = rad 180 180° 1 rad = π 5.3.2 De elementaire sinusfunctie f (x) = sin x
26
dom f = ber f = [ −1,1] nulpunten : k.π met k ∈ periode p = 2π amplitude : max imale uitwijking t.o.v. x − as : a = 1
x
0
f(x)
0
+
π 2 1
π +
0
-
Max
3π 2 -1
2π -
0
min
5.3.3 De algemene sinusfunctie: f (x) = a.sin [ b(x − c)] + d
de amplitude :
a
de periode : p =
2π b
de faseverschuiving : c het max imum : a + d het min imum : a − d
27
5.4 Exponentiële functies 5.4.1 Definitie
Is a ∈ IR 0+ \ {1} dan noemen we de functie met als voorschrift f(x) = a x de exponentiële functie met grondtal a. a wordt ook de groeifactor genoemd a > 0: exponentiële groei, stijgende functie a < 0: exponentiële afname, dalende functie dom f = IR ber f = IR + De horizontale asymptoot is de x-as: HA ↔ y = 0 Voorbeelden: ⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝2⎠
y = 2x
x
5.4.2 De algemene exponentiële functie x
-d
y = b×ac + e b: verticale uitrekking of inkrimping, spiegeling om x-as c: horizontale uitrekking of inkrimping d: horizontale verschuiving e: verticale verschuiving
28
5.5 Logaritmische functies 5.5.1 Definitie a Is a ∈ +0 \ {1} dan noemen we de functie met als voorschrift f(x) = log x de logaritmische functie met grondtal a.
De a-logaritme van een reëel getal x is het reëel getal y tot hetwelke we het grondtal a moeten verheffen om x te bekomen. ∀a ∈
+ 0
\ {1} , ∀x ∈
+ 0
:
a
logx = y ⇔ a y = x
bv.: 3 log 9 = 2 want 32 = 9 5.5.2 Verloop dom f = ber f =
+ 0
verticale asymptoot is de y-as: VA ↔ x = 0 stijgend als a > 1 en dalend als a < 1 Voorbeelden: y = 2 logx
1
y = 2 logx
5.5.3 Speciale logaritmen 10
e
log x = log x : 10-delige logaritme = Briggse logaritme = gewone logaritme
log x = ln x
: e-logaritme = Neperiaanse logaritme = natuurlijke logaritme
29
5.5.4 Rekenregels voor logaritmen: a log(x ⋅ y) =a log x +a log y a
log x k = k ⋅ a log x
a
log
a
log x =
x a = log x -a log y y b b
log x log a
‘veranderen van grondtal’
6. Complexe getallen 6.1 Definitie Een getal van de vorm a+bi waarbij a en b reële getallen zijn en i²=-1
Als k een natuurlijk getal is dan geldt: i 4 k +1 = i
i 4 k + 3 = −i | De verzameling der complexe getallen: C i4k = 1
IN
⊂
i 4 k + 2 = −1
Z⁄
⊂
| Q
⊂
IR
⊂
| C
6.2 Voorstelling van een complex getal in het vlak van Gauss
6.3 Goniometrische vorm van een complex getal
r. ( cosα + isinα ) = a + bi α
a = r.cosα b = r.sinα 30
modulus r = a 2 + b 2 argument α : tanα =
b a
6.4 Rekenen met complexe getallen 6.4.1 In de gewone schrijfwijze
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i (a + bi ).(c + di ) = (ac − bd ) + (ad + bc)i Toegevoegde complexe getallen : a + bi en a − bi (a + bi ).(a − bi ) = a ² + b² a + bi (a + bi ).(c − di ) (a + bi ).(c − di ) = = c + di (c + di )(c − di ) c² + d ² 6.4.2 In de goniometrische schrijfwijze
Als
z1 = r1 (cosα1 + isinα1 ) z 2 = r2 (cosα 2 + isinα 2 ) z = r (cosα + isinα)
dan geldt
z1.z 2 = r1.r2 ⎡⎣ cos ( α1 + α 2 ) + isin ( α1 + α 2 ) ⎤⎦
z1 r1 = ⎡cos ( α1 - α 2 ) + isin ( α1 - α 2 ) ⎤⎦ z 2 r2 ⎣ z n = r n ( cos ( nα ) + isin ( nα ) )
( cosα + isinα )
n
= cos(nα) + isin(nα)
(formule van de Moivre)
6.4 Vierkantsvergelijkingen
De vierkantsvergelijking az 2 + bz + c = 0 met de discriminant D < 0 heeft 2 toegevoegde complexe oplossingen: z1 =
-b + i -D 2a
en
z2 =
-b - i -D 2a
31
7. Afgeleiden 7.1 Definitie
Afgeleide van een functie f ( x ) in een punt ( a, f (a )) : f ( x) − f (a ) f '( a ) = lim x→a x−a 7.2 Afgeleide functie
Afgeleide functie f '( x ) van een functie f ( x ) f ' : x → f '( x )
Notatie: f '( x ) = Df ( x )
of
f ' = Df
7.3 Rekenregels
De afgeleide van een som:
D ( f + g ) = Df + Dg
De afgeleide van een veelvoud:
D ( a. f ) = a.Df met a ∈ R
De afgeleid van een product:
D ( f .g ) = f .Dg + g .Df
De afgeleide van een quotient:
D
f g.Df − f .Dg = g g2
De afgeleide van een samengestelde functie: Dg (u ) = g '(u ).Du met u = u ( x )
7.4 Afgeleide van enkele basisfuncties
Afgeleide van een constante functie:
Dc = 0
Afgeleide van de identieke functie:
Dx = 1
Afgeleide van een machtfunctie:
Dx n = n.x n −1
Afgeleide van goniometrische functies:
D sin x = cos x D cos x = − sin x 1 D tan x = cos 2 x −1 Dcotanx = sin 2 x
Afgeleide van de logaritmische functies:
D a log x =
1 x ln a
32
D ln x =
1 x
Da x = a x ln a De x = e x
Afgeleide van de exponentiële functies:
8. Integralen 8.1 Rekenregels b
∫ f ( x)dx = [ F ( x)]
Hoofdstelling:
b
Integraal van een som:
b
a
a
b
∫ a. f ( x)dx = a.∫ f ( x)dx a b
Partiële integratie:
b
∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a b
Integraal van een veelvoud:
a
b
∫ f ( x).g '( x)dx = [ f ( x).g ( x)] − ∫ g ( x). f '( x)dx b
a
a
8.2 Overzicht van primitieve functies functies f (x)
DF = f
als
a
a b
a
Functies F(x)
1
x+c
x
x2 +c 2
xn
x n +1 +c n +1
sin x
− cos x + c
cos x
sin x + c
1 cos 2 x
tan x + c
1 sin 2 x
−cotanx + c
1 x
ln x + c
ex
ex + c
33
ax +c ln a
ax
1 x
2 x +c
9. Statistiek 9.1 Begrippen 9.1.1 Populatie De verzameling personen of objecten waarop een waarneming wordt uitgevoerd. 9.1.2 Steekproef Is de populatie groot dan zal men er een deel van selecteren en hierop het onderzoek uitvoeren. Het deel van de populatie waarop we de waarneming uitvoeren noemen we de steekproef. Een steekproef is representatief als alle deelgroepen van de populatie in de juiste verhouding zijn opgenomen. 9.1.3 Variabele Een statistisch onderzoek heeft steeds betrekking op één of meer eigenschappen of kenmerken van personen, objecten of verschijnselen.
Het onderzochte kenmerk noemen we de variabele. De gegevens die volgen uit de waarneming van een kenmerk, noemen we de waarnemingsgetallen of data. We onderscheiden kwalitatieve en kwantitatieve data. 9.2 Frequenties
i 1 2 3 4 5 6 7 Totaal
xi 0 1 2 3 4 5 6
fi 12 15 32 20 14 6 1 100
rfi 0,120 0,150 0,320 0,200 0,140 0,060 0,010 1
rfi ( in %) 12,0% 15,0% 32,0% 20,0% 14,0% 6,0% 1,0% 100%
cfi 12 27 59 79 93 99 100
crfi 0,120 0,270 0,590 0,790 0,930 0,990 1
crfi ( in %) 12,0% 27,0% 59,0% 79,0% 93,0% 99,0% 100%
34
9.2.1 Absolute frequentie
De absolute frequentie fi van de waarde x i is gelijk aan het aantal gegevens die gelijk zijn aan de waarde x i . Het aantal ruwe gegevens stellen we voor door n. (Vb.: n =100) Het aantal verschillende waarden die de gegevens kunnen hebben stellen we voor door k. (Vb.: k = 7) 9.2.2 Relatieve frequentie n : het aantal gegevens of data f rf i = i n 9.2.3 Cumulatieve absolute frequentie cf i = f 1 +f 2 + ... + f i n
cf i = ∑ f i i =1
9.2.4 Cumulatieve relatieve frequentie cf crf i = i n 9.3 Centrummaten 9.3.1 Gemiddelde
Het gemiddelde is de som van alle data gedeeld door het aantal data. n
x=
∑x i =1
i
n k
x=
∑ x .f i
i =1
i
n
9.3.2 Mediaan
De mediaan Me van een oneven aantal gegevens die in stijgende volgorde gerangschikt zijn is gelijk aan het middelste gegeven.
35
De mediaan Me van een even aantal gegevens die in stijgende volgorde gerangschikt zijn is gelijk aan het gemiddelde van de twee middelste gegevens. 9.3.3 Kwartielen Het eerste kwartiel
1
Het tweede kwartiel
is de mediaan van de eerste helft van de gegevens. is gelijk aan de mediaan.
2
Het derde kwartiel gegevens.
3
is gelijk aan de mediaan van de tweede helft van de
1 1 2 Mediaan: Eerste kwartiel: Derde kwartiel: Modus:
3
4
5
7
3 1,5 4,5 1
9.3.4 Modus De modus Mo van een reeks gegevens is het gegegeven met de grootste absolute frequentie 9.4 Spreidingsmaten 9.4.1 Variatiebreedte
De variatiebreedte R is het verschil tussen het grootste en het kleinste gegeven. R = x max − x min 9.4.2 Interkwartielafstand
De interkwartielafstand kwartiel. =
3
is het verschil tussen het derde en het eerste
−
1
9.4.3 Variantie De variantie van een reeks gegevens is gelijk aan het gemiddelde van de kwadraten van de afwijkingen van de gegevens tegenover het gemiddelde; 2
n
s =σ = 2
2
∑ (X i =1
i
− x)
n 36
9.4.4 De standaarddeviatie De standaarddeviatie van een reeks gegevens is gelijk aan de positieve vierkantswortel van de variantie van die reeks gegevens. n
∑ (X
s=σ=
i =1
i
− x) 2
n
10. Financiële Algebra 10.1 Enkelvoudige intrest
Hoofdformule: I = k .i.n Eindwaarde K: K = k + I Afgeleide formule: beginwaarde: k =
K 1 + i.n
10.2 Samengestelde intrest
Eindwaarde: kn = k .u n Beginwaarde: k =
kn un
Rentevoet i: i = u − 1 =
n
kn −1 k
kn k Tijd: n = log u log
10.3 Gelijkwaardige rentevoeten
(1 + i ) = (1 + i p )
p
= (1 + i12 ) = (1 + i4 ) = (1 + i2 ) 12
4
2
37
10.4 Annuïteiten 10.4.1 Postnumerando
un −1 i 1 − u −n Beginwaarde: A0 = a. i
Slotwaarde: An = a.
10.4.2 Prenumerando
un −1 Slotwaarde: An = a. .u i '
Beginwaarde: A0 ' = a.
1 − u −n .u i
10.4.3 Termijnbedrag
postnumerando
prenumerando
Vanuit de eindwaarde un −1 An = a. i A .i a = nn u −1 un −1 .u An ' = a. i An ' .i a= n ( u − 1) .u
Vanuit de beginwaarde 1 − u −n A0 = a. i A .i a = 0 −n 1− u 1 − u −n .u A0 ' = a. i A0 ' .i a= (1 − u − n ) .u
Versie : 2005-06-04
38
