USolv-IT formularium c 4 april 2012
Inhoudsopgave 1 COMBINATORIEK 1.1 Telproblemen . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Variaties . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Herhalingsvariaties . . . . . . 1.1.3 Permutaties . . . . . . . . . . 1.1.4 Herhalingspermutaties . . . . 1.1.5 Combinaties . . . . . . . . . . 1.1.6 Herhalingscombinaties . . . . 1.1.7 Aantal deelverzamelingen van 1.1.8 Het duivenhokprincipe . . . . 1.1.9 Het binomium van Newton . 1.2 Kansrekening . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Formule van Laplace . . . . . 1.2.2 Belangrijke kanswetten . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6
2 ANALYSE 2.1 Soorten relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Re¨ele functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Invloed van parameters op de grafiek van een functie 2.2.2 Eerstegraadsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Tweedegraadsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Gebroken rationale functies . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Goniometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Exponenti¨ele functies . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.8 Logaritmische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.9 Grafieken van enkele bijzondere functies . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
8 8 8 8 9 9 11 12 12 15 15 16
3 GETALLEN 3.1 Rijen . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Machten met gehele exponenten . 3.3 n-de machtswortels . . . . . . . . 3.4 Machten met re¨ele exponenten .
. . . .
. . . .
. . . .
17 17 18 19 19
. . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . een verzameling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
1
INHOUDSOPGAVE
3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
Absolute waarde . . . . Formules (merkwaardige Deelbaarheid in ZZ . . . Complexe getallen . . . Statistiek . . . . . . . .
INHOUDSOPGAVE
. . . . . . . . . . . . . . . producten, quoti¨enten...) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
20 20 21 22 23
4 ALGEBRA 4.1 Vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Eerstegraadsvergelijkingen (lineaire vergelijkingen) . 4.1.2 Tweedegraadsvergelijkingen (vierkantsvergelijkingen) 4.1.3 Bikwadratische vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Vergelijkingen van de n-de graad . . . . . . . . . . . 4.1.5 Irrationale vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
24 24 24 24 25 25 26
5 GONIOMETRIE 5.1 Goniometrische getallen van een hoek 5.1.1 In een rechthoekige driehoek . 5.1.2 De goniometrische cirkel . . . . 5.1.3 Formules . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Oplossen van driehoeken . . . . 5.2 Goniometrische functies . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
28 28 28 28 29 31 31
6 VLAKKE MEETKUNDE 6.1 Stelling van Thales . . . . . . . . . . . . . 6.2 Driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Oppervlakte (O) . . . . . . . . . . 6.2.2 Eigenschappen . . . . . . . . . . . 6.2.3 Merkwaardige lijnen . . . . . . . . 6.2.4 De middenparallel . . . . . . . . . 6.2.5 Congruente driehoeken . . . . . . . 6.2.6 Gelijkvormige driehoeken . . . . . 6.2.7 Driehoeksongelijkheid . . . . . . . 6.3 Vierhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Parallellogram . . . . . . . . . . . 6.3.2 Trapezium . . . . . . . . . . . . . 6.4 Veelhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Cirkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Omtrek: . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Oppervlakte: . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Raaklijn-normaal . . . . . . . . . . 6.5.4 Boog-koorde . . . . . . . . . . . . 6.5.5 Middelpuntshoek-omtrekshoek . . 6.5.6 Binnen- en buitenomtrekshoek . . 6.5.7 Sector-segment . . . . . . . . . . . 6.5.8 Macht van een punt t.o.v. de cirkel 6.5.9 Koordenvierhoek . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31 31 32 32 32 33 33 34 34 34 35 35 35 36 36 36 36 36 36 37 37 37 38 38
. . . . . .
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
2
1
6.6
COMBINATORIEK
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
38 38 39 39 39 39 39 39 40 40 40 40 40 40 41 41
7 RUIMTEMEETKUNDE 7.1 Inhoud en oppervlakte van ruimtefiguren . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Cilinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.5 Bol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Co¨ ordinaten in de ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Richtingsvectoren-richtingsgetallen . . . . . . . . . . . 7.3.2 Vergelijkingen van een rechte . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Vergelijking van een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Middelpuntsvergelijking van een bol . . . . . . . . . . 7.3.5 Cartesiaanse vergelijkingen van omwentelingslichamen
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
41 41 41 41 41 42 42 42 42 42 42 43 44 44
6.7
Analytische meetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Afstand tussen twee punten . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Midden van een lijnstuk . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Afstand van een punt tot een rechte . . . . . . . 6.6.4 Loodrechte stand - evenwijdigheid . . . . . . . . 6.6.5 De vergelijking van de cirkel . . . . . . . . . . . . Vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Definitie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2 Co¨ ordinaat van een vector (componentenkoppel) 6.7.3 Optellen van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.4 Scalaire vermenigvuldiging . . . . . . . . . . . . 6.7.5 Norm van een vector . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.6 Ongelijkheid van Minkowski . . . . . . . . . . . . 6.7.7 Hoek tussen twee vectoren . . . . . . . . . . . . . 6.7.8 Scalair product van twee vectoren . . . . . . . . 6.7.9 Orthogonaliteit van vectoren: . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
8 LOGICA 45 8.1 Verklaring van de gebruikte symbolen . . . . . . . . . . . . . . . 45 8.2 Logische stellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 8.3 Uitspraakvormen met kwantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1
COMBINATORIEK
1.1 1.1.1
Telproblemen Variaties
• Wat? Een variatie van p elementen uit n elementen (p ≤ n) is een geordend p-
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
3
1.1
Telproblemen
1
COMBINATORIEK
tal van p verschillende elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen. • Voorbeeld. Enkele variaties van 3 elementen uit{a, b, c, d} zijn abc, abd, acb, acd, . . . • Formule. Het aantal variaties van p elementen uit n elementen (1 ≤ p ≤ n): Vnp = 1.1.2
n! (n − p)!
Herhalingsvariaties
• Wat? Een herhalingsvariatie van p elementen uit n elementen is een geordend p-tal van elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen. Eenzelfde element mag meer dan eens voorkomen! • Voorbeeld. Enkele herhalingsvariaties van 3 elementen uit {a, b, c, d} zijn aaa, aab, abc, aba, acc, . . . • Formule. Het aantal herhalingsvariaties van p elementen uit n elementen is: V¯np = np 1.1.3
Permutaties
• Wat? Een permutatie van n verschillende elementen is een variatie van n elementen uit n elementen. • Voorbeeld. Alle permutaties van 3 elementen uit {a, b, c} zijn abc, acb, bac, bca, cab, cba. • Formule. Het aantal permutaties van n elementen is: Pn = n! 1.1.4
Herhalingspermutaties
• Wat? Herhalingspermutaties zijn permutaties van n elementen waarbij onder de n elementen dezelfde elementen meerdere malen mogen voorkomen. • Voorbeeld. Enkele herhalingspermutaties van a, a, b, c zijn aabc, abca, abac, . . ..
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
4
1.1
Telproblemen
1
COMBINATORIEK
• Formule. Stel li het aantal keer dat elk van de p verschillende elementen ai voorkomt en n het totaal aantal elementen, dan is het aantal herhalingspermutaties van die n elementen: P¯nl1 ,l2 ,...,lp = 1.1.5
n! l1 !l2 ! . . . lp !
Combinaties
• Wat? Een combinatie van p elementen uit n elementen (p ≤ n) is een deelverzameling van p elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen. De volgorde is niet van belang! • Voorbeeld. Alle combinaties van 3 elementen uit {a, b, c, d} zijn: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d} • Formule. Het aantal combinaties van p elementen uit n elementen is: Cnp = 1.1.6
n! p!(n − p)!
Herhalingscombinaties
• Wat? Herhalingscombinaties zijn combinaties van p elementen uit n elementen waarbij onder de n elementen dezelfde elementen meerdere malen mogen voorkomen. • Voorbeeld. Enkele herhalingscombinaties van 7 elementen uit {a, a, a, b, b, b, c, c, c} zijn {a, a, a, b, b, b, c}, {a, a, b, b, b, c, c}, . . . • Formule. Het aantal herhalingscombinaties van p elementen uit n elementen is: p C¯np = Cn+p−1
1.1.7
Aantal deelverzamelingen van een verzameling
Het aantal deelverzamelingen van een verzameling met n elementen is 2n . 1.1.8
Het duivenhokprincipe
Worden er n voorwerpen geplaatst in r laden, met n > r, dan is er minstens ´e´en lade die minstens twee voorwerpen bevat.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
5
1.2
Kansrekening
1.1.9
1
COMBINATORIEK
Het binomium van Newton
In onderstaande formules wordt volgende notatie gebruikt: n! n = p p!(n − p)! Dit noemen we de binomiaalco¨effici¨enten. De binomiaalformule: n n n n n (a+b)n = an + an−1 b+ an−2 b2 +. . .+ abn−1 + bn 0 1 2 n−1 n Of ook nog: (a + b)n =
n X n an−i bi i i=0
1.2 1.2.1
Kansrekening Formule van Laplace
Voor volgende formules is het belangrijk de begrippen uitkomstenverzameling en gebeurtenis te begrijpen. • Een uitkomstenverzameling (universum) is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten bij een kansexperiment, bv. bij een dobbelsteen : U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • Een gebeurtenis is een deelverzameling van de uitkomstenverzameling, bij het voorbeeld van de dobbelsteen zijn {6}, {1, 2, 4} mogelijke gebeurtenissen. De formule van Laplace: Stel n het aantal elementen van het universum U en p het aantal elementen van de gebeurtenis A, dan is de kans voor de gebeurtenis (P (A)):
P (A) =
p n
Zo is bv. de kans om met een dobbelsteen 3 of 4 te gooien : P ({3, 4}) =
1.2.2
2 1 = . 6 3
Belangrijke kanswetten
• Zekere gebeurtenis: P (U ) = 1 • Onmogelijke gebeurtenis: P (∅) = 0 Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
6
1.2
Kansrekening
1
COMBINATORIEK
• Zij A¯ (=U \A) het complement van de gebeurtenis A , dan geldt: ¯ =1 P (A) + P (A) • Zij A en B twee gebeurtenissen, dan geldt: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) • Gevolg: als A en B disjuncte gebeurtenissen zijn (A ∩ B = ∅), dan geldt: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) • Samengestelde experimenten: (i) Afhankelijke deelexperimenten / voorwaardelijke kans: Voorbeelden: Je trekt, zonder teruglegging van de kaarten, twee kaarten uit een spel. Hoe groot is de kans dat je als eerste kaart een harten trekt en als tweede kaart een klaveren? Formule: Stel p(A | B) de voorwaardelijke kans van A als B reeds gerealiseerd is, dan geldt: P (A ∩ B) = P (B) · P (A | B) Uitbreiding: P (A ∩ B ∩ C) = P (A) · P (B | A) · P (C | A ∩ B) 13 13 · 52 51 (ii) Onafhankelijke deelexperimenten: Het voorbeeld wordt dus: P =
Voorbeelden: Je trekt, met teruglegging van de kaarten, twee kaarten uit een spel. Wat is de kans dat de eerste kaart een harten is en de tweede een klaveren? Formule: Zij A en B onafhankelijke gebeurtenissen, dan geldt: P (A ∩ B) = P (A) · P (B) Het voorbeeld wordt dus: P =
13 13 · 52 52
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
7
2
2
ANALYSE
ANALYSE
2.1
Soorten relaties
1. Relatie: Een relatie van A naar B is een verzameling van koppels waarvan het eerste element tot A behoort en het tweede tot B. 2. Functie: Een functie van A naar B is een relatie van A naar B waarbij elk element van A hoogstens ´e´en beeld heeft. 3. Afbeelding: Een afbeelding van A in B is een relatie van A naar B waarbij elk element van A juist ´e´en beeld heeft . 4. Injectie: Een injectie van A in B is een relatie van A naar B waarbij elk element van A juist ´e´en beeld heeft en elk element van B het beeld is van hoogstens ´e´en element van A. 5. Surjectie: Een surjectie van A op B is een afbeelding van A in B waarbij elk element van B het beeld is van minstens ´e´en element van A. 6. Bijectie: Een bijectie van A op B is een afbeelding van A in B waarbij elk element van B het beeld is van juist ´e´en element van A.
2.2 2.2.1
Re¨ ele functies Invloed van parameters op de grafiek van een functie
Zij een functie f (x) gegeven en beschouwen we de functies af (x − α) + β waarbij a, α en β parameters zijn. Dan hebben de verschillende parameters volgende invloed op de grafiek van f (x): • α : verschuiving in de richting van de X-as over |α| ´e´enheden: * naar rechts: als α positief is * naar links: als α negatief is • β : verschuiving in de richting van de Y -as over |β| ´e´enheden: * naar boven: als β positief is * naar onder: als β negatief is • a : ‘uitrekking’ van de grafiek met factor |a|
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
8
2.2
Re¨ele functies
2.2.2
2
ANALYSE
Eerstegraadsfuncties
• Vorm. f : x 7→ ax + b met a 6= 0 • Grafiek. Een rechte waarbij a de richtingsco¨effici¨ent is en b het stuk afgesneden op de y-as.
y 5
a>0
4 3
a<0
2 1 0 0
1
2
3
4 x
Als a > 0, is de rechte stijgend. Als a < 0, is de rechte dalend. b Het snijpunt met de X-as is (− , 0) en met de Y -as (0, b) a • Formules. Indien twee punten van de rechte (x1 , y1 ) en (x2 , y2 ) gegeven zijn, is de richtingsco¨ effici¨ ent: y2 − y1 a= x2 − x1 De vergelijking van de rechte is dan: y − y1 = a(x − x1 )
• Tekenverloop. x ax + b 2.2.3
−∞
b a 0
− tegengesteld teken van a
+∞ teken van a
Tweedegraadsfuncties
• Vorm. f : x 7→ ax2 + bx + c met a 6= 0
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
9
2.2
Re¨ele functies
2
ANALYSE
• Grafiek. Een parabool, waarbij a de aard van de parabool aangeeft: als a > 0, dan is de holle kant naar boven (dalparabool)
als a < 0, dan is de holle kant naar beneden (bergparabool)
Verder geldt dat |a| de ’uitrekkingsfactor’ voorstelt van de parabool t.o.v. de standaardparabool: P ↔ y = x2 . • Formules. De top van de parabool wordt gegeven door: t (−
b 4ac − b2 , ) 2a 4a
en de symmetrie-as: b 2a De topvergelijking van de parabool met top t (α, β) S ↔ x=−
P ↔ y = a(x − α)2 + β
• Tekenverloop. Stel xi de eventuele nulpunten van de functie f : x 7→ ax2 + bx + c. De discriminant wordt gegegeven door volgende formule: b2 − 4ac en de nulpunten zijn dan x1,2 =
−b ±
p
b2 − 4ac 2a
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
10
2.2
Re¨ele functies
2
ANALYSE
* Discriminant > 0 x ax2 + bx + c
−∞ teken van a
x1 0
teken van a
x1 = x2 0
tegengesteld teken van a
* Discriminant = 0 x ax2 + bx + c
−∞
+∞ teken van a
* Discriminant < 0 x ax2 + bx + c 2.2.4
−∞
+∞ teken van a
Veeltermfuncties
• Vorm. f : x 7→ an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 met an 6= 0 • Formules. Euclidische deling: zij f (x), d(x) 6= 0 ∈ IR[x] dan bestaat er juist ´e´en q(x) en r(x) ∈ IR[x] zodat geldt: f (x) = d(x) · q(x) + r(x) met graad(r(x)) < graad(d(x)) of r(x) = 0
Praktisch voorbeeld
Reststelling: De rest van een deling van f (x) door x − a is gelijk aan f (a) Criterium van deelbaarheid: x − a | f (x) ⇔ f (a) = 0 Enkele stellingen: Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
11
x2 0
+∞ teken van a
2.2
Re¨ele functies
2
ANALYSE
* Het verschil van twee gelijknamige machten is deelbaar door het verschil van de grondtallen. xn − an = (x − a)(xn−1 + axn−2 + a2 xn−3 + . . . + an−2 x + an−1 ) * De som van twee gelijknamige oneven machten is deelbaar door de som van de grondtallen. x2n+1 + a2n+1 = (x + a)(x2n − ax2n−1 + a2 x2n−2 − . . . − a2n−1 x + a2n ) Methode van Horner: zie 2.2.5
Gebroken rationale functies
• Vorm. f : x 7→
g(x) met g(x) en h(x) veeltermen en graad(h(x)) ≥ 1 h(x)
• Kenmerken. * domein: IR\h−1 {0} * f −1 {0} = g −1 {0} ∩ domein f 2.2.6
Goniometrische functies
• Periodieke functies Een functie is een periodieke functie als en slechts als er een getal ω ∈ IR0 bestaat zodat ∀x ∈ domf : f (x + ω) = f (x). Het kleinste positief getal ω waarvoor dit geldt, noemen we de periode van de functie. • Elementaire goniometrische functies De sinusfunctie: f : x 7→ sin x Kenmerken: * domein: IR * bereik: [−1, 1] * f −1 {0} = {kπ | k ∈ ZZ} * periode: 2π
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
12
2.2
Re¨ele functies
2
ANALYSE
* grafiek De cosinusfunctie: f : x 7→ cos x Kenmerken: * domein: IR * bereik: [−1, 1] * f −1 {0} = {(2k + 1)
π | k ∈ ZZ} 2
* periode: 2π
* grafiek De tangensfunctie: f : x 7→ tan x Kenmerken: * domein: IR\{(2k + 1)
π | k ∈ ZZ} 2
* bereik: IR * f −1 {0} = {kπ | k ∈ ZZ} * periode: π * grafiek
De cotangensfunctie: f : x 7→ cotgx Kenmerken: * domein: IR\{kπ | k ∈ ZZ} * bereik: IR * f −1 {0} = {(2k + 1)
π | k ∈ ZZ} 2
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
13
2.2
Re¨ele functies
2
ANALYSE
* periode: π • Algemene sinusfuncties: f : x 7→ a sin(b(x − c)) + d Kenmerken: * |a| is de amplitude (maximale uitwijking t.o.v. de evenwichtsstand) 2π * periode: b * domein: IR * bereik: [−|a| + d, |a| + d] * c : verschuiving in de richting van de X-as over |c| ´e´enheden: * naar rechts: als c positief is * naar links: als c negatief is * d : verschuiving in de richting van de Y -as over |d| ´e´enheden: * naar boven: als d positief is * naar onder: als d negatief is • Toepassing: f : x 7→ a sin x + b cos x Methode voor het omvormen tot een algemene sinusfunctie: f (x)
= =
= = = =
a sin x + b cos x b a(sin x + cos x) a b π b Stel = tan ϕ met ϕ ∈]0, [ als >0 a 2 a π b en ϕ ∈] − , 0[ als <0 2 a a(sin x + tan ϕ cos x) sin ϕ a(sin x + cos x) cos ϕ a (sin x cos ϕ + sin ϕ cos x) cos ϕ a sin(x + ϕ) cos ϕ
• Formules
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
14
2.2
Re¨ele functies
2.2.7
2
ANALYSE
Exponenti¨ ele functies
• Vorm f : x 7→ ax met a ∈ IR+ 0 \{1} • Kenmerken * domein: IR * bereik: IR+ 0 * f −1 {0} = ∅ • Speciaal geval f : x 7→ ex met e het getal van Euler (e = 2,718281828459. . .) • Grafiek
2.2.8
Logaritmische functies
• Definitie logaritmen y ∀a ∈ IR+ 0 \{1} : y = loga x ⇔ a = x
• Speciale gevallen Briggse logaritme : log x is de logaritme met grondtal a = 10 Neperiaanse logaritme: ln x is de logaritme met grondtal a = e • Vorm f : x 7→ loga x met a ∈ IR+ 0 \{1} • Kenmerken * domein: IR+ 0 * bereik: IR * f −1 {0} = {1} • Grafiek
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
15
2.2
Re¨ele functies
2
ANALYSE
• Formules * Gevolg van de definitie: loga ay = y en aloga x = x * Logaritme van een product. ∀x1 , x2 , x3 ∈ IR+ 0 : loga (x1 · x2 · x3 ) = loga x1 + loga x2 + loga x3 * Logaritme van een quoti¨ent. ∀x1 , x2 ∈ IR+ 0 : loga (
x1 ) = loga x1 − loga x2 x2
* Logaritme van een macht. r ∀x ∈ IR+ 0 ; ∀r ∈ IR : loga x = r loga x
* Verandering van grondtal. logb x = 2.2.9
loga x loga b
Grafieken van enkele bijzondere functies
* Absolute waardefunctie: y = | x |
y
x * Geheelfunctie (trapfunctie): y = b x c Dit is een functie waarbij b x c het grootste geheel getal voorstelt kleiner dan of gelijk aan x.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
16
3
* De functie y =
3
√
GETALLEN
x
GETALLEN
3.1
Rijen
1. Rekenkundige rijen • Wat? Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term de som is van de vorige term en een constant getal. Dit constant getal noemen we het verschil van de rij. • Voorbeelden. 1, 3, 5, 7, 9, . . . 100, 90, 80, 70, 60, . . . • Formules. * Algemene term. Stel tn de n-de term van de rij en v het verschil. tn = tn−1 + v tn = t1 + (n − 1)v * Rekenkundig gemiddelde. a, b, en c zijn opeenvolgende termen van een rekenkundige rij m a+c b= 2 Eigenschap: In een rekenkundige rij met een oneven aantal termen is de middelste term gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van alle termen. * Som van de n termen van een eindige rekenkundige rij (sn ): sn = n
t1 + tn 2
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
17
3.2
Machten met gehele exponenten
3
GETALLEN
* Toepassing: som van de eerste n van nul verschillende natuurlijke getallen. n+1 sn = n 2 2. Meetkundige rijen • Wat? Een meetkundige rij is een rij waarbij elke term het product is van de vorige term en een constant getal. Dit constant getal noemen we de reden van de rij. • Voorbeeld. 1, 2, 4, 8, 16, . . . 9 27 81 2, 3, , , , . . . 2 4 8 • Formules. * Algemene term. Stel tn de n-de term van de rij en r de reden. tn = tn−1 · r tn = t1 · rn−1 * Meetkundig gemiddelde. a, b, en c zijn opeenvolgende termen van een meetkundige rij m√ |b| = a · c * Som van de n termen van een eindige meetkundige rij (sn ): sn =
t1 (rn − 1) r−1
* Som van de termen van een convergerende meetkundige rij (s): Als 0 < |r| < 1, dan convergeert de meetkundige rij en is de som van de termen: t1 s= 1−r
3.2
Machten met gehele exponenten
• met natuurlijke exponenten * Definitie: Zij n ∈ IN en a ∈ IR, dan geldt: an = a | · a · a{z· . . . · a} n keer
* Afspraak: a0 = 1 • met gehele exponenten
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
18
3.3
n-de machtswortels
3
* Definitie: Zij n ∈ IN en a ∈ IR0 , dan geldt : a−n =
GETALLEN
1 an
• rekenregels voor machten met gehele exponenten Zij m, n ∈ ZZ en a, b ∈ IR0 , dan geldt: am · an am an m n (a ) m
a ·b
3.3
m
=
am+n
=
am−n
=
amn
=
(a · b)m
n-de machtswortels
• Definitie w is een n-de machtswortel van a a.s.a wn = a * Als n even is, heeft elk positief van 0 verschillend getal a precies twee n-de machtswortels: √ √ een positieve ( n a) en een negatieve (− n a). √ * Als n oneven is, heeft elk getal ´e´en n-de machtswortel ( n a) (kan positief of negatief zijn) • Bestaansvoorwaarden * n even p n
f (x) bestaat ⇔ f (x) ≥ 0 en x behoort tot het domein van f
vb:
√ 4
x + 1 bestaat ⇔ x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1
* n oneven p n
f (x) bestaat voor alle x die tot het domein van f behoren.
vb:
3.4
√ 3
x + 1 bestaat voor alle x ∈ IR
Machten met re¨ ele exponenten
• met gebroken rationale exponenten * Definitie: Zij n ∈ IN 0 , m ∈ ZZ en a ∈ 2 √ 3 3 * Voorbeeld: 8 = 82 = 4
IR+ 0,
m √ dan geldt: a n = n am
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
19
3.5
Absolute waarde
3
GETALLEN
• met re¨ ele exponenten * Voorbeeld: 3π • rekenregels voor machten met re¨ ele exponenten Zij r, s ∈ IR en a, b ∈ IR+ , dan geldt: 0 as · ar as ar s r (a ) s
a ·b
3.5
s
= as+r = as−r = asr =
(a · b)s
Absolute waarde
• Definitie:
( x |x| = −x
⇔ x ∈ IR+ , ⇔ x ∈ IR− .
• Eigenschappen: * |x| = 0 ⇔ x = 0 * |x · y| = |x| · |y| * |x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y| * a ∈ IR+ : |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a * a ∈ IR+ : |x| > a ⇔ x > a of x < −a
3.6
Formules (merkwaardige producten, quoti¨ enten...)
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 a2 − b2 = (a − b)(a + b) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a4 − b4 = (a2 − b2 )(a2 + b2 ) = (a − b)(a + b)(a2 + b2 ) Of ook : a4 − b4 = (a − b)(a3 + a2 b + ab2 + b3 ) Voor (a + b)5 , (a + b)6 , . . . zie
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
20
3.7
Deelbaarheid in ZZ
3.7
3
GETALLEN
Deelbaarheid in ZZ
• Definitie: ∀a, d ∈ ZZ : d | a ⇔ ∃q ∈ ZZ : a = dq • Stelling i.v.m. lineaire combinaties: Zij a, b, d ∈ ZZ d | a en d | b ⇒ d | xa + yb, ∀x, y ∈ ZZ • Euclidische deling: ∀a ∈ ZZ, b ∈ IN 0 : ∃!q ∈ ZZ, ∃!r ∈ ZZ : a = bq + r met 0 ≤ r < b • Grootste gemene deler ggd(a, b): Zij a, b ∈ IN 0 ggd(a, b)
= d m
d ∈ del (a) ∩ del (b) en ∀c ∈ del (a) ∩ del (b) : c ≤ d Eigenschap: De grootste gemene deler van twee van nul verschillende natuurlijke getallen is de kleinste positieve van nul verschillende lineaire combinatie met gehele co¨effici¨enten van die twee getallen. • Kleinste gemeen veelvoud kgv(a, b): Zij a, b, m ∈ IN 0 kgv(a, b)
=
m
m m ∈ aZZ ∩ bZZ en ∀c ∈ aZZ ∩ bZZ ∩ IN 0 : c ≥ m Eigenschap: kgv(a, b) · ggd(a, b) = a · b • Priemgetallen: Definitie: Zij p ∈ IN , dan is p een priemgetal a.s.a. del(p) ∩ IN = {1, p}. Eigenschap: Elk natuurlijk getal, groter dan 1, is op unieke wijze te ontbinden in priemfactoren: αq 1 α2 α3 n = pα 1 p2 p3 · . . . · pq
met p1 , p2 , . . . pq priemgetallen en α1 , α2 , . . . αq ∈ IN 0 . Het aantal delers van een natuurlijk getal n is dan (α1 + 1)(α2 + 1)(α3 + 1) · . . . · (αq + 1).
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
21
3.8
3.8
Complexe getallen
3
GETALLEN
Complexe getallen
1. De vorm a + bi Eigenschappen en begrippen: * i2 = −1 * Als z = a + bi dan is z¯ = a − bi het complex toegevoegde. Er geldt: ¯ z2 = z¯1 + z¯2 z1 + z1 ¯· z2 = z¯1 · z¯2 2. De goniometrische vorm • Voorstelling in het complexe vlak:
• Goniometrische vorm: a + bi = r(cos θ + i sin θ) • Product en quoti¨ent van twee complexe getallen: Zij z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) en z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ). Er geldt: z1 · z2 = r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ) z1 r1 = (cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 ) z2 r2 • n-de macht van een complex getal: ∀n ∈ ZZ : (r(cos θ + i sin θ))n = rn (cos nθ + i sin nθ) • Formule van De Moivre: (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ • n-de machtswortels uit een complex getal z = r(cos θ + i sin θ): √ n
r · (cos
θ + k · 360◦ θ + k · 360◦ + i sin ) met k ∈ ZZ n n
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
22
3.9
Statistiek
3
GETALLEN
3. Exponenti¨ ele schrijfwijze van een complex getal x + iy • Formules x + iy = reθi = r(cos θ + i sin θ) ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y) • Gevolg 1 zi (e + e−zi ) 2 1 sin z = (ezi − e−zi ) 2i cos z =
4. Veeltermen over C * Elke veelterm over C van de n-de graad heeft precies n nulpunten in C. * Als het complexe getal a + bi een nulpunt is van een veelterm met re¨ ele co¨effici¨enten, dan is ook het complex toegevoegde getal a − bi een nulpunt van deze veelterm.
3.9
Statistiek
1. Enkele begrippen: • Populatie (universum): de verzameling van personen of objecten waarvan men kenmerk(en) wil onderzoeken • Steekproef: deelverzameling van de populatie, verzameling van die elementen van de populatie waarvoor de waarnemingen worden uitgevoerd. • Variabele: kenmerk dat men bij de elementen van de populatie wil nagaan. Aan de variabele worden waarden toegekend. 2. Frequentietabel: Stel x1 , x2 , x3 , . . . , xn een steekproef met omvang n en p verschillende waarden. x x1 x2 .. .
absolute frequentie n1 n2 .. .
relatieve frequentie f1 f2 .. .
xp
np
fp
• Absolute frequentie: ni is het aantal keer dat de waarde xi voorkomt in de steekproef; er geldt:
p X
ni = n
i=1
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
23
4
• De relatieve frequentie: fi = p X
ALGEBRA
ni en er geldt: n fi = 1
i=1
OF in procent: fi =
ni · 100 en er geldt: n p X
fi = 100
i=1
3. Gemiddelde(¯ x): P 1 p n x • x ¯= n i=1 i i Dit wordt ook wel gewogen gemiddelde genoemd. 4. Variantie (s2 ) en standaardafwijking (s): p
1 X · ni (xi − x ¯)2 n i=1 v u p u1 X ni (xi − x ¯)2 • s=t · n i=1 • s2 =
4
ALGEBRA
4.1 4.1.1
Vergelijkingen Eerstegraadsvergelijkingen (lineaire vergelijkingen)
• Vorm. ax + b = 0, a 6= 0 • Formule. Deze vergelijking heeft altijd ´e´en oplossing: x=− 4.1.2
b a
Tweedegraadsvergelijkingen (vierkantsvergelijkingen)
• Vorm. ax2 + bx + c = 0, a 6= 0
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
24
4.1
Vergelijkingen
4
ALGEBRA
• Formules. Het aantal oplossingen hangt af van het teken van de discriminant (D): D = b2 − 4ac Als D > 0, dan zijn er twee verschillende oplossingen: √ −b ± D x1,2 = 2a Als D = 0, dan zijn er twee gelijke oplossingen: x1 = x2 =
−b 2a
Als D < 0, dan zijn er geen oplossingen. De som (s) en het product (p) van de oplossingen: b c s = − en p = a a Een uitdrukking van de tweede graad ontbinden in factoren (als D ≥ 0):
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) met x1 , x2 de oplossingen van de vergelijking ax2 + bx + c = 0 4.1.3
Bikwadratische vergelijkingen
• Vorm. ax4 + bx2 + c = 0, a 6= 0 • Methode. Door middel van een substitutie t = x2 herleid je de bikwadratische vergelijking tot een vierkantsvergelijking in t. De gevonden oplossingen voor t moet je daarna nog terug naar de variabele x omzetten. 4.1.4
Vergelijkingen van de n-de graad
• Vorm. an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , an 6= 0 • Methode. Probeer de n-de graadsuitdrukking te ontbinden in factoren, ofwel op het zicht ofwel via de methode van Horner. Volgens deze laatste zoek je een
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
25
4.1
Vergelijkingen
4
ALGEBRA
deler van de vorm x − a. Criterium van deelbaarheid: x − a | f (x) ⇔ f (a) = 0 Verder zoek je het quoti¨ent met het rekenschema van Horner.
• Voorbeeld. Los op: x3 + 2x2 − 5x + 2 = 0 f (1) = 0 ⇒ x − 1 | f (x) 1
2
-5
2
1
1 3
3 -2
-2 0
1
Het quoti¨ent is dan x2 + 3x − 2, zodat we krijgen: (x − 1)(x2 + 3x − 2) = 0 Verdere ontbinding levert: √ √ −3 + 17 −3 + 17 )(x + )=0 (x − 1)(x − 2 2 √ √ −3 + 17 −3 − 17 De oplossingenverzameling is dan {1, , } 2 2
4.1.5
Irrationale vergelijkingen
Een irrationale vergelijking is een vergelijking waarbij de variabele x onder het wortelteken voorkomt. Voorbeelden: √ x+2=x (1)
√
x=5−
√
x+1
(2)
De methode van oplossen bestaat erin te kwadrateren tot de vierkantswortels verdwenen zijn. Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
26
4.1
Vergelijkingen
4
ALGEBRA
Er zijn wel enkele voorwaarden op te stellen: bestaansvoorwaarden en kwadrateringsvoorwaarden. De oplossingen: √
x+2=x
De bestaansvoorwaarde: x+2
≥
x ≥
0
(1)
−2
(2)
De kwadrateringsvoorwaarde: x≥0 De vergelijking wordt dan: √
x+2 x+2
2
x −x−2 x = −1
=
x
=
x
(3) 2
=0
(4) (5)
of
x=2
(6)
De eerste oplossing voldoet niet aan de voorwaarden, de tweede wel, dus de oplossingenverzameling is {2}.
√ x=5− x+1 √ √ x+ x+1=5 √
De bestaansvoorwaarden: x ≥
0
(7) (8) (9)
x+1
≥
x ≥
0
(10)
−1
(11)
De vergelijking wordt dan: p x + 2 x(x + 1) + x + 1 = 25 p 2 x(x + 1) = 24 − 2x p x(x + 1) = 12 − x
(12) (13) (14) (15)
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
27
5
GONIOMETRIE
De kwadrateringsvoorwaarde: 12 − x x
≥ 0
(16)
≤ 12
(17)
Verder krijgen we dan: 144 − 24x + x2 144 x = 25
x(x + 1)
=
(18) (19)
Deze oplossing voldoet aan alle voorwaarden, dus de oplossingenverzameling is 144 }. { 25
5 5.1 5.1.1
5.1.2
GONIOMETRIE Goniometrische getallen van een hoek In een rechthoekige driehoek
sin α
=
cos α
=
tg α
=
cotg α
=
A C B C A sin α = cos α B 1 B = tgα A
De goniometrische cirkel
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
28
5.1
Goniometrische getallen van een hoek
5.1.3
5
GONIOMETRIE
Formules
• Grondformule en afgeleide formules 1 sin α 1 cos α cos2 α + sin2 α
=
cosecα
=
secα
=
1
1 + tg α
=
sec2 α
1 + cotg2 α
=
cosec2 α
2
• Verwante hoeken * Tegengestelde hoeken (α en −α) sin(−α)
=
− sin α
cos(−α)
=
cos α
tg (−α)
= − tg α
cotg (−α)
= − cotg α
* Supplementaire hoeken (α en π − α) sin(π − α)
=
cos(π − α)
= − cos α
tg (π − α)
= − tg α
cotg (π − α) * Complementaire hoeken (α en π 2 π cos( 2 π tg ( 2 π cotg ( 2 sin(
sin α
= − cotg α
π − α) 2
− α)
=
cos α
− α)
=
sin α
− α)
=
cotg α
− α)
=
tg α
* Antisupplementaire hoeken (α en π + α) sin(π + α)
= − sin α
cos(π + α)
= − cos α
tg (π + α)
=
tg α
cotg (π + α)
=
cotg α
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
29
5.1
Goniometrische getallen van een hoek
* Anticomplementaire hoeken (α en π 2 π cos( 2 π tg ( 2 π cotg ( 2 sin(
5
GONIOMETRIE
π + α) 2
+ α)
=
cos α
+ α)
= − sin α
+ α)
= − cotg α
+ α)
= − tg α
• Som- en verschilformules cos(α − β)
=
cos α cos β + sin α sin β
cos(α + β) sin(α + β)
= =
cos α cos β − sin α sin β sin α cos β + cos α sin β
sin(α − β)
=
sin α cos β − cos α sin β tg α + tg β tg (α + β) = 1 − tg α tg β tg α − tg β tg (α − β) = 1 + tg α tg β
• Formules van Simpson sin α + sin β sin α − sin β cos α + cos β cos α − cos β
α+β α−β cos 2 2 α+β α−β = 2 cos sin 2 2 α+β α−β = 2 cos cos 2 2 α+β α−β = −2 sin sin 2 2 =
2 sin
• Formules voor de dubbele hoek sin(2α)
=
2 sin α cos α
cos(2α)
=
tg(2α)
=
cos2 α − sin2 α 2 tg α 1 − tg2 α
• t-formules Stel tg α 2 = t, dan kunnen we sin α, cos α en tg α schrijven in functie van
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
30
5.2
Goniometrische functies
6
VLAKKE MEETKUNDE
t.
5.1.4
sin α
=
cos α
=
tg α
=
2t 1 + t2 1 − t2 1 + t2 2t 1 − t2
Oplossen van driehoeken
• Rechthoekige driehoeken * De stelling van Pythagoras: C 2 = A2 + B 2 • Willekeurige driehoeken
* De sinusregel: A B C = = = 2R sin α sin β sin γ met R de straal van de omgeschreven cirkel. * De cosinusregel:
5.2
A2 B2
= B 2 + C 2 − 2BC cos α = A2 + C 2 − 2AC cos β
C2
= A2 + B 2 − 2AB cos γ
Goniometrische functies
Zie Sectie ?? op pagina ??.
6 6.1
VLAKKE MEETKUNDE Stelling van Thales
De lijnstukken ingesneden door evenwijdige rechten op een snijlijn zijn evenredig met de overeenkomende lijnstukken ingesneden op elke andere snijlijn. |ab| |a0 b0 | = 0 0 |bc| |b c | Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
31
6.2
Driehoeken
6
VLAKKE MEETKUNDE
In het bijzonder geldt bij evenwijdige projectie: De projecties van evenwijdige lijnstukken hebben dezelfde verhouding als de lijnstukken zelf.
6.2
Driehoeken
6.2.1
Oppervlakte (O) O=
B·H 2
Of ook:
O
= = =
6.2.2
1 · A · B · sin γ 2 1 · B · C · sin α 2 1 · C · A · sin β 2
Eigenschappen
• De som van de hoeken van een driehoek is 180◦ . α + β + γ = 180◦ • Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de nietaanliggende binnenhoeken. δ =α+γ • In een rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras: C 2 = A2 + B 2 met C de schuine zijde en A, B de rechthoekzijden.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
32
6.2
Driehoeken
6.2.3
6
VLAKKE MEETKUNDE
Merkwaardige lijnen
• Zwaartelijnen (Za , Zb , Zc ) De drie zwaartelijnen gaan door ´e´en punt, het zwaartepunt. Eigenschap v.h. zwaartepunt:het zwaartepunt verdeelt de zwaartelijnen in twee stukken waarvan de lengtes zich verhouden als 2 en 1. |ma z| =
1 |za| 2
• Hoogtelijnen (Ha , Hb , Hc ) De drie hoogtelijnen gaan door ´e´en punt.
• bissectrice De drie bissectrices gaan door ´e´en punt dat bovendien het middelpunt is van de ingeschreven cirkel.
• Middelloodlijnen (M1 , M2 , M3 ) De drie middelloodlijnen gaan door ´e´en punt dat bovendien het middelpunt is van de omgeschreven cirkel.
6.2.4
De middenparallel
De middenparallel van een driehoek is het lijnstuk dat de middens van twee 1 zijden verbindt. Een driehoek heeft er drie. Er geldt bovendien: |m1 m2 | = |ac| 2
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
33
6.2
Driehoeken
6.2.5
6
VLAKKE MEETKUNDE
Congruente driehoeken
• Definitie congruente veelhoeken: Congruente veelhoeken zijn veelhoeken die door verplaatsing in elkaar kunnen overgaan m.a.w. die elkaar volledig kunnen bedekken. • Gevallen van congruentie bij driehoeken * Twee driehoeken zijn congruent als ze ´e´en zijde en twee hoeken gelijk hebben. * Twee driehoeken zijn congruent als ze twee zijden en de ingesloten hoek gelijk hebben. * Twee driehoeken zijn congruent als ze de drie zijden gelijk hebben. 6.2.6
Gelijkvormige driehoeken
• Definitie gelijkvormige veelhoeken: Gelijkvormige veelhoeken zijn veelhoeken die gelijke hoeken hebben en waarvan de overeenkomstige zijden evenredig zijn. Gevolg: 4abc ∼ 4a0 b0 c0 m |bc| |ca| |ab| = 0 0 = 0 0 |a0 b0 | |b c | |c a | • Gevallen van gelijkvormigheid bij driehoeken * Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze twee hoeken gelijk hebben. * Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee zijden van de ene evenredig zijn met twee zijden van de andere en de ingesloten hoeken gelijk zijn. * Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de drie zijden van de ene evenredig zijn met de drie zijden van de andere. * Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de zijden van de ene evenwijdig lopen met of loodrecht staan op de zijden van de andere. 6.2.7
Driehoeksongelijkheid
Zij A, B en C de lengtes van de zijden van een driehoek (A ≤ B ≤ C), dan geldt: C −B ≤ A≤B+C C −A ≤ B ≤A+C B−A ≤C ≤B+A
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
34
6.3
Vierhoeken
6.3 6.3.1
6
VLAKKE MEETKUNDE
Vierhoeken Parallellogram
* Definitie: Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijdig zijn.
* Oppervlakte (O): O = B · H * Eigenschap: De diagonalen snijden elkaar middendoor. * Speciale gevallen: • Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden. Eigenschap: De diagonalen staan loodrecht op elkaar en delen de hoeken middendoor. • Een rechthoek is een vierhoek met vier gelijke hoeken. Eigenschap: De diagonalen zijn gelijk.
• Een vierkant is een rechthoek met vier gelijke zijden.
6.3.2
Trapezium
* Definitie: Een trapezium is een vierhoek met twee evenwijdige zijden. * Oppervlakte (O): O =
b+B ·H 2
* Middenparallel:|m1 m2 | =
b+B 2
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
35
6.4
Veelhoeken
6.4
6
VLAKKE MEETKUNDE
Veelhoeken
• De som van de hoeken van een n-hoek is gelijk aan: (n − 2)180◦ • Elke hoek van een regelmatige n-hoek is gelijk aan:
6.5
(n − 2)180◦ n
Cirkels
Zij r de straal van de cirkel.
6.5.1
Omtrek:
2πr 6.5.2
Oppervlakte:
πr2 6.5.3
Raaklijn-normaal
* Een raaklijn aan een cirkel is een rechte die juist ´e´en punt gemeen heeft met de cirkel. * Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. * De normaal in een punt op de cirkel is de loodlijn in dit punt op de raaklijn. 6.5.4
Boog-koorde
* Een boog is een deel van de cirkelomtrek. * Lengte van een cirkelboog: αr * Een koorde is een lijnstuk dat de eindpunten van een boog verbindt.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
36
6.5
Cirkels
6.5.5
6
VLAKKE MEETKUNDE
Middelpuntshoek-omtrekshoek
* Een omtrekshoek meet de helft van de middelpuntshoek op dezelfde boog. * Omtrekshoeken die op eenzelfde boog staan, zijn gelijk.
6.5.6
Binnen- en buitenomtrekshoek
* Een binnenomtrekshoek heeft hetzelfde maatgetal als de halve som van de boog binnen de hoek en de boog binnen de overstaande hoek. α=
1 _ _ (ab + cd) 2
* Een buitenomtrekshoek heeft hetzelfde maatgetal als het halve verschil van de bogen binnen de hoek. α=
6.5.7
1 _ _ (ab − cd) 2
Sector-segment
* Een cirkelsegment is de figuur gevormd door een boog en zijn koorde.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
37
6.6
Analytische meetkunde
6
VLAKKE MEETKUNDE
* Een cirkelsector is de figuur gevormd door een boog en de stralen naar zijn eindpunten.
* Oppervlakte van een cirkelsector: 6.5.8
1 2 αr 2
Macht van een punt t.o.v. de cirkel
Het product van de afstanden van een punt p tot de snijpunten van een veranderlijke rechte door p met de cirkel, is constant; die constante noemen we de macht van het punt tot de cirkel. |pa| · |pb| = |pc| · |pd|
6.5.9
Koordenvierhoek
* Een koordenvierhoek is een vierhoek ingeschreven in een cirkel. * In een koordenvierhoek zijn de overstaande hoeken α en β elkaars supplement.
6.6 6.6.1
Analytische meetkunde Afstand tussen twee punten
Zij p(x1 , y1 ) en q(x2 , y2 ) twee punten dan geldt: p d(p, q) = |pq| = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
38
6.7
Vectoren
6.6.2
6
VLAKKE MEETKUNDE
Midden van een lijnstuk
Zij a(x1 , y1 ) en b(x2 , y2 ) twee punten in het vlak, dan is de co¨ordinaat van het midden (m) van het lijnstuk [ab]: x1 + x2 y1 + y2 co(m) = , 2 2 6.6.3
Afstand van een punt tot een rechte
Zij A ↔ ax + by + c = 0 een rechte en p(x1 , x2 ) een punt, dan geldt: |ax1 + by1 + c| p a2 + b2 De normaalvergelijking van een rechte L ↔ ax + by + c = 0 is: d(p, A) =
ax + by + c p =0 a 2 + b2 6.6.4
Loodrechte stand - evenwijdigheid
* Twee rechten met respectieve richtingsco¨effici¨enten m1 en m2 staan loodrecht op elkaar a.s.a m1 m2 = −1. * Twee rechten met respectieve richtingsco¨effici¨enten m1 en m2 zijn evenwijdig a.s.a. m1 = m2 . 6.6.5
De vergelijking van de cirkel
Zij m(x1 , y1 ) het middelpunt en r de straal van de cirkel, dan is de (middelpunts)vergelijking: C(m, r) ↔ (x − x1 )2 + (y − y1 )2 = r2
6.7 6.7.1
Vectoren Definitie:
~ is de verzameling van alle lijnstukken die dezelfde lengte, richting en Vector ab ~ zin hebben als het geori¨enteerde lijnstuk ab. ~ Grafisch wordt ab voorgesteld door ´e´en representant van die verzameling.
Met plaatsvector p~ wordt vector op ~ bedoeld, met o de oorsprong van het vlak.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
39
6.7
Vectoren
6.7.2
6
VLAKKE MEETKUNDE
Co¨ ordinaat van een vector (componentenkoppel)
Bij plaatsvectoren geldt: co(~ p) = co(p) = (x1 , x2 ) ~ is dezelfde als die van zijn plaatsvector. De co¨ ordinaat van ab
6.7.3
Optellen van vectoren
Voor het optellen van vectoren geldt de regel van het parallellogram.
~ ) = (x1 , y1 ) en co(W ~ ) = (x2 , y2 ) dan is: Met co¨ ordinaten: als co(V ~ +W ~ ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) co(V 6.7.4
Scalaire vermenigvuldiging
~ is een vector met lengte |r| maal de lengte van V ~, Het r-voud van een vector V ~ ~ richting dezelfde als die van V en zin dezelfde als die van V (r¿0) of tegengesteld ~ (r¡0). aan die van V ~ ) = (x1 , y1 ), dan is: Met co¨ ordinaten: als co(V ~ ) = (rx1 , ry1 ) co(rV 6.7.5
Norm van een vector
~ is de afstand d(a, b). De norm van een vector: kabk ~ Met co¨ ordinaten: als co(V ) = (x1 , y1 ) dan is: q ~ k = x2 + y 2 kV 1 1 6.7.6
Ongelijkheid van Minkowski ~ +W ~ k ≤ kV ~ k + kW ~k kV
6.7.7
Hoek tussen twee vectoren
~ en V ~ verschillend zijn van ~0, co(U ~ ) = (x1 , y1 ) en co(V ~ ) = (x2 , y2 ) en ϕ Als U de hoek tussen beide vectoren, dan is: x1 x2 + y1 y2 q cos(ϕ) = q 2 x1 + y12 · x22 + y22 Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
40
7
6.7.8
RUIMTEMEETKUNDE
Scalair product van twee vectoren
~ en V ~ verschillend zijn van ~0 en ϕ de hoek is tussen beide vectoren, dan Als U is het scalair product: ~ ·V ~ = kU ~ k · kV ~ k · cos(ϕ) U Met co¨ ordinaten: ~ ·V ~ = x1 x2 + y1 y2 U 6.7.9
Orthogonaliteit van vectoren:
~ en V ~ zijn orthogonaal als U ~ ·V ~ = 0. Twee vectoren U
7 7.1 7.1.1
RUIMTEMEETKUNDE Inhoud en oppervlakte van ruimtefiguren Prisma
Stel G de oppervlakte van het grondvlak.
I =G·h 7.1.2
Piramide
Stel G de oppervlakte van het grondvlak.
I= 7.1.3
1 G·h 3
Cilinder
I = πr2 h De zijdelingse oppervlakte van een rechte cilinder: O = 2πrh
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
41
7.2
Vectoren
7.1.4
7
RUIMTEMEETKUNDE
Kegel
1 2 πr h 3 √ De zijdelingse oppervlakte van een rechte kegel: O = πr h2 + r2 I=
7.1.5
Bol
4 3 πr 3 De oppervlakte: O = 4πr2 I=
7.2
Vectoren
Zie hoofdstuk over vectoren in Sectie ?? op pagina ??.
7.3 7.3.1
Co¨ ordinaten in de ruimte Richtingsvectoren-richtingsgetallen pq ~ is een richtingsvector van de rechte A ⇔ pqkA De co¨ ordinaat van een richtingsvector van A noemen we een stel richtingsgetallen van A.
Voorbeeld: Zij p(x1 , y1 , z1 ) en q(x2 , y2 , z2 ) twee punten gelegen op de rechte A. Dan is pq ~ een richtingsvector van A en is co(pq) ~ = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) een stel richtingsgetallen van A. 7.3.2
Vergelijkingen van een rechte
* Rechte bepaald door punt en richtingsvector: Zij p(x1 , y1 , z1 ) een punt van de rechte en ~q(a1 , b1 , c1 ) een richtingsvector,
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
42
7.3
Co¨ordinaten in de ruimte
7
RUIMTEMEETKUNDE
dan zijn de parametervergelijkingen: x =
x1 + ra1
y
=
y1 + rb1
z
=
z1 + rc1
en de Cartesiaanse vergelijkingen : y − y1 z − z1 x − x1 = = a1 b1 c1
* Rechte bepaald door twee punten: Zij p(x1 , y1 , z1 ) en q(x2 , y2 , z2 ) twee punten van de rechte, dan zijn de parametervergelijkingen: x = x1 + r(x2 − x1 ) y = y1 + r(y2 − y1 ) z = z1 + r(z2 − z1 )
en de Cartesiaanse vergelijkingen: y − y1 z − z1 x − x1 = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 7.3.3
Vergelijking van een vlak
* Vlak bepaald door een punt en twee onafhankelijke richtingsvectoren: Zij p(x1 , y1 , z1 ) een punt en ~q(a1 , b1 , c1 ) en ~r(a2 , b2 , c2 ) twee onafhankelijke richtingsvectoren van het vlak, dan is de parametervoorstelling: x = x1 + ka1 + la2 y = y1 + kb1 + lb2 z = z1 + kc1 + lc2
* Cartesiaanse vergelijking van een vlak: ux + vy + wz + t = 0 met u, v, w, t ∈ IR en ~n (u, v, w) een normaalvector van dat vlak. (Een normaalvector van een vlak is een vector die loodrecht staat op het vlak.) Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
43
7.3
Co¨ordinaten in de ruimte
7
RUIMTEMEETKUNDE
* Determinantvergelijking van een vlak: Zij p(x1 , y1 , z1 ) een punt en q(a1 , b1 , c1 ) en r(a2 , b2 , c2 ) twee onafhankelijke richtingsvectoren van het vlak, dan is de determinantvergelijking: x y z 1 x1 y1 z1 1 a1 b1 c1 0 = 0 a2 b2 c2 0 Zij p1 (x1 , y1 , z1 ), p2 (x2 , y2 , z2 ) en p3 (x3 , y3 , z3 ) drie punten van het vlak, dan is de determinantvergelijking: x y z 1 x1 y1 z1 1 x2 y2 z2 1 = 0 x3 y3 z3 1 7.3.4
Middelpuntsvergelijking van een bol
Zij Σ(m, r) een bol met middelpunt m(x1 , y1 , z1 ) en straal r, dan is de middelpuntsvergelijking: Σ(m, r) ↔ (x − x1 )2 + (y − y1 )2 + (z − z1 )2 = r2 7.3.5
Cartesiaanse vergelijkingen van omwentelingslichamen
* Bol met middelpunt in de oorsprong: Σ ↔ x2 + y 2 + z 2 = r 2
* Cilindervlak met rotatieas de Z-as: C ↔ x2 + y 2 = r 2
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
44
8
LOGICA
* Kegelvlak met rotatieas de Z-as: K ↔ x2 + y 2 = (z − h)2 tg 2 α
* Hyperbolo¨ıde: H ↔ x2 + y 2 − z 2 = 1 * Parabolo¨ıde: P ↔ x2 + y 2 = 4z
8
LOGICA
8.1
Verklaring van de gebruikte symbolen
In wat volgt worden volgende symbolen gebruikt: symbool P, Q, R ¬ ∨ ∧ ⇒ ⇔ ∀ ∃
8.2
verklaring uitspraken niet of en als...dan als en slechts als voor alle er bestaat
Logische stellingen
1. ¬(¬P ) ⇔ P 2. (P ⇒ Q) ⇔ (¬P ∨ Q) 3. ((P ⇒ Q) ∧ P ) ⇒ Q 4. ((P ⇒ Q) ∧ ¬Q) ⇒ ¬P 5. (¬(P ∧ Q) ∧ P ) ⇒ ¬Q Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
45
8.3
Uitspraakvormen met kwantoren
8
LOGICA
6. (P ∨ Q) ∧ ¬Q) ⇒ P 7. Contrapositie van de implicatie:(P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P ) 8. Wetten van De Morgan: ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q 9. Commutativiteiten: P ∧Q ⇔ Q∧P P ∨Q ⇔ Q∨P (P ⇔ Q) ⇔ (Q ⇔ P ) 10. Associativiteiten: (P ∧ Q) ∧ R (P ∨ Q) ∨ R ((P ⇔ Q) ⇔ R) 11. Distributiviteiten: P ∧ (Q ∨ R) ⇔ P ∨ (Q ∧ R) ⇔
⇔ ⇔ ⇔
(P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
12. Transitiviteiten: ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ((P ⇔ Q) ∧ (Q ⇔ R))
8.3
P ∧ (Q ∧ R) P ∨ (Q ∨ R) (P ⇔ (Q ⇔ R))
⇒ ⇒
(P ⇒ R) (P ⇔ R)
Uitspraakvormen met kwantoren
Stel P (x) een uitspraakvorm in de veranderlijke x en A een referentieverzameling. Dan gelden volgende wetten: ¬(∀x ∈ A : P (x)) ¬(∃x ∈ A : P (x))
⇔ ⇔
∃ x ∈ A : ¬P (x) ∀ x ∈ A : ¬P (x)
Dit werk is gelicenseerd onder een Creative Commons NaamsvermeldingGelijkDelen 3.0 Unported. Bezoek http://creativecommons.org/licenses/bysa/3.0/ om een kopie te zien van de licentie of stuur een brief naar Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
46