Fizika 112 15. és 16 Előadás
Önindukció, RL kör, kölcsönös indukció, mágneses tér energiája, transzformátor, mágnesség, Ampère törvény általános alakja Mágneses adattárolás …
Az önindukció r r ∫ Bds = µo ∑ I j j
s
B=
Szolenoidban kialakuló mágneses fluxus:
Φ m = BA =
dΦ m µo N 2 A dI ε = −N = Vind . (t ) = − dt l dt mértékegysége a Henry = Vs/A, jele: H Példák: toroid, koaxiális kábel …
µo NI l µo NIA l
ε = −L
dI dt
Az RL kör
Vind = − L
dI dt
V + Vind − IR = 0 dI V − L − IR = 0 dt dI R V =− I+ dt L L
Megoldás:
V R I = 1 − exp − t R L
A kölcsönös indukció ε 2 = − M 21
dI1 dt
dI 2 ε1 = − M12 dt
vagy
Be lehet bizonyítani, hogy M12 = M21 és ezután már csak M – el jelöljük a kölcsönös indukciós tényezőt.
M = N1
Φ B2 I2
Példák: két tekercs, két hurok …
vagy
M = N2
Φ B1 I1
Az indukciós tér energiája Egy szolenoidra vagy toroidra a t=0 időpontban i(t) áramot kapcsolunk:
ε = −L Bemenő teljesítmény:
di dt
di P = ε i = Li dt I
di 1 2 W = ∫ Li dt = LI 2 0 dt Szolenoid esetében:
1 εm = 2
B2
µ0
1 B2 W= Al 2 µ0
felhasználtuk:
B=
Az elektromágneses tér energiasűrűsége:
µo NI l
L=
µo N 2 A l
2 B 1 1 ε = ε 0E 2 + 2 2 µ0
A transzformátor Terhelés nélkül:
ε1 N1
=
ε2 N2
Távvezeték vesztesége: I2R
Ideális (veszteségmentes) transzformátor:
U 2 N2 = U1 N1
és
I 2 N1 = I1 N 2
Feltranszformáljuk a feszültséget (N2>N1).
U1I1 = U 2 I 2 Letraszformálás: fordítva
Szétszedhető transzformátor:
Örvényáramok (veszteség) → vasmag vaslemezekből
Az Ampère-törvény általános alakja Q E= Aε 0
Síkkondenzátor: Q(t) → I(t)
dQ dE I= = ε0 A dt dt
Q = EAε 0 Az elektromos tér fluxusa:
dE dΦ E I = ε0 A = ε0 dt dt
D = ε0E
Φ E = EA r r dΦ E ∫ Bds = µo I + µoε 0 dt s
r r dΦ D ∫ Bds = µo I + µo dt s
Paramágnesség Külső tér hatására rendeződnek.
Eredő erő: vonzás
”…egy paramágnes a nagyobb térerősségű hely felé igyekszik elmozdulni”
Diamágnesség ev
FL N+
ee-
N+ FL e-
v
B: homogén a kép síkjából kifelé mutat -
e
Külső tér hiányában az eredő momentum zérus. ”…egy diamágnes a kisebb térerősségű hely felé igyekszik elmozdulni”
N+ ev2
v1
Ferromágnesség Fe, Co, Ni, Gd, Dy ill. azok ötvözetei
Curie-hőmérséklet felett az anyag ferromágnessége megszűnik
Szolenoid vasmaggal B=
Vasmag nélkül:
Vasmaggal:
µo NI l
µ NI B= o µr l
µ NI µ NI NI B = o + ( µr − 1) o = µo (1 + χ ) l l l χ az anyag mágneses szuszceptibilitása
B = µo µ r H
H: mágneses tér (mértékegysége: A/m)
NI H= l Analógia: D = ε o E + P
A vasmag nélküli szolenoidban kialakuló mágneses tér:
B = µo ( H + M )
M: mágnesezettség
”A mágneses térerősség H vektora az, amit megfizetünk, a mágneses indukció B vektora pedig az, amit kapunk érte.”
A mágneses hiszterézis
Telítésbe vitt ferromágnes → hiszterézis → van lehetőség demagnetizálni
Mágneses adattárolás I. Adatrögzítés (írás)
Mágneses adattárolás II. Adat kiolvasása:
Óriás mágneses ellenállás (2003 óta)
Kb. 1972-ig ferritgyűrűs memória:
Memória árak alakulása 1955 - 2015
Tranzisztor sűrűség alakulása 1955 - 2015
Moore törvény ”… az integrált áramkörök összetettsége – a legalacsonyabb árú ilyen komponenst figyelembe véve – körülbelül 18 hónaponként megduplázódik. (1965)” Az 1000 dollárért vásárolható számítási teljesítmény növekedése Gordon E. Moore, az Intel Corporation egyik alapítója (Wikipedia) Amint a tranzisztorok mérete 20-ról 18 nanométerre csökken, a félvezetőipari termékek kereskedelmi célú gyártásainak költsége a rendkívül apró alkatrészek integrálása miatt gazdaságilag ellehetetlenül: ilyen apró méreteknél ugyanis a gyártók lassacskán szembesülni fognak azzal, hogy a félvezetők előállításához használatos berendezések magas ára miatt gyakorlatilag nem lesz kifizetődő a termékek előállítása. (IT café, 2009.)
A Maxwell-egyenletek rendszere I. Vákuumban:
r r q I . ∫ EdA =
ε0
r r II . ∫ BdA = 0 r r dΦ E III . ∫ Bd l = µ0 I + ε 0 dt
r r dΦ B IV . ∫ Ed l = − dt James Clerk Maxwell (1831-79) tér → mező
Megold.: hullámegyenlet e.m. hullámok
A Maxwell-egyenletek rendszere II. anyag jelenlétében:
r r I . ∫ DdA = q
r r II . ∫ BdA = 0 r r dΦ D III . ∫ Hd l = I + dt IV . + anyagi egyenletek:
V. határfeltételek: E1t = E2t , D1n = D2n H1t = H2t , B1n = B2n
VI .
VII .
r r dΦ B E d l = − ∫ dt r r J = σE r r r D = εoE + P r r r B = µo ( H + M )
r r r r VIII . F = q ( E + v × B )
Váltakozó áram és feszültség U (t ) = U 0 sin(ωt ) I (t ) = I 0 sin(ωt − ϕ )
f = 50 Hz
Effektív áram és feszültség U (t ) = U 0 sin(ωt )
U0 I (t ) = sin(ωt ) R
U 02 2 P(t ) = U (t ) I (t ) = sin (ωt ) R 1T Pátl . = P (t ) = U (t ) I (t ) = ∫ P (t )dt T0 U 02 1 T U 02 2 Pátl. = ∫ sin (ωt )dt = T0 R 2R U0 Effektív feszültség: U eff = 2
1 T U 02 Pátl . = ∫ sin 2 (ωt )dt T0 R 1 U0 Pátl. = R 2
2
Hasonlóan → effektív áram:
2 Pátl . = RI eff = U eff I eff =
2 U eff
R
I I eff = 0 2
Átlagteljesítmény U (t ) = U 0 sin(ωt )
I (t ) = I 0 sin(ωt − ϕ )
1T 1T Pátl . = ∫ P (t )dt = ∫ U 0 I 0 sin(ωt ) sin(ωt − ϕ )dt T0 T0
Pátl. = U eff I eff cosϕ
Komplex írásmód és ábrázolás U (t ) = U 0 cos(ωt )
U (t ) = Re[U 0 exp(iωt )] ~ U (t ) = U 0 exp(iωt )
~ I (t ) = I 0ei (ωt −ϕ )
Kapacitív ellenállás Huroktörvény alkalmazása:
Q = U 0 sin(ωt ) C
1 I (t ) dt = U 0 sin(ωt ) ∫ C
I (t ) = CωU 0 cos(ωt )
Kapacitív reaktancia:
1 XC = Cω
I (t ) =
U0 U π cos(ωt ) = 0 sin(ωt + ) XC XC 2
Induktív ellenállás Huroktörvény alkalmazása:
dI U (t ) − L = 0 dt
dI 1 = U 0 sin(ωt ) dt L
π U0 U0 I (t ) = − cos(ωt ) = sin(ωt − ) Lω XL 2
Induktív reaktancia:
X L = Lω
Soros RLC kör I. Huroktörvény alkalmazása:
dI Q U (t ) − L − RI − = 0 dt C d 2Q
dQ Q L 2 −R − = U (t ) dt C dt
U(t)=Uosin(ωt) vagy U(t)=Uocos(ωt) Megoldható, de más megoldást keresünk:
Soros RLC kör II. ~ ~ ~ ~ U R + U L + U C = U (t )
~ ~ U L − UC X L − XC tgϕ = = ~ R UR
Soros RLC kör III. Io-val leosztva:
fazor ábra:
1 ~ Z = R + i ( X L − X C ) = R + i Lω − Cω 2 1 ~ U 0 U eff Z = = = R 2 + ( X L − X C ) 2 = R 2 + Lω − I0 I eff Cω
Pátl. = U eff I eff cos ϕ
R = Z cos ϕ 2
U eff R 2 Pátl . = U eff I eff cos ϕ = U eff I eff = I eff R = Z R
φ = 0 → cos φ = 1 !!!
Soros RLC kör IV.
Rezonancia:
ωo =
1 LC
Félértékszélesség: ∆ω ~ R
Soros RLC kör V. Jósági tényező:
a rendszerben tárolt energia Q = 2π egy periódus alatt disszipált energia
L ω0 Q= R Kiszámolni…
Soros RLC kör ↔ csillapított kényszerrezgés
ma = −kx − λv + F0 cos(ωt )
&x& + 2 β x& + ω02 x = f 0 cos(ωt )
f 0 cos(ωt ) = f 0 Re[exp(iωt )] Megoldást keressük:
x(t ) = Aeiωt
I.
Soros RLC kör ↔ csillapított kényszerrezgés
(
II.
)
~ i ωt 2 2 ω0 − ω + i 2βω A e = f 0eiωt ~ A=
f0
ω02 − ω 2 + i 2βω
A=
(
= Ae−iϕ
f0
)
2 22 ω0 − ω + 4β 2ω 2
tan ϕ =
2βω
ω02 − ω 2
x (t ) = A cos(ωt − ϕ )
I0 =
U0 2
1 R 2 + Lω − Cω ~ ~ U L − UC X L − XC tgϕ = = ~ R UR
I (t ) = I 0 cos(ωt − ϕ )
Párhuzamos RLC kör
1 1 1 Cω 1 1 = + − = + − i C ω ~ i R Lω Z R iLω
1 − Cω tgϕ = Lω 1 R
V I(t) = ~o sin(ωt − ϕ ) Z
Veff Ieff = ~ Z
Elektromágneses hullámok (EMH) I.
Az elektromágneses síkhullám I. Időben változó elektromos tér → mágneses (indukciós) tér:
r r dΦ E ∫ Bd l = µ0 I + ε 0 dt Vákuum: I = 0 (nincsenek töltött részecskék, áramok)
r r dΦ E ∫ Bd l = µ0ε 0 dt Időben változó mágneses (indukciós) tér → elektromos tér: Hipotézis: E(t)
B(t)
r r dΦ B ∫ Ed l = − dt
Az elektromágneses síkhullám II. x
r E (z )
r E ( z + ∆z )
D C
s A z
r B (z ) y
E
ℓ F
z+∆z B
z
r B ( z + ∆z )
r E = ( E x (t ),0,0) r B = (0, B y (t ),0)
r r E = E ( z , t )i r r B = B( z, t ) j
Az elektromágneses síkhullám III. Faraday-törvény:
Ampère-törvény:
r r dΦ E ∫ Bd l = µ0ε 0 dt
r r dΦ B ∫ Ed l = − dt
[E x (z + ∆z) - E x (z)] s = −s∆z
∆B y ∆t
∆B y E x (z + ∆z) - E x (z) =− ∆z ∆t ∂B y ∂E x =− ∂t ∂z
[
]
∆E x - B y (z + ∆z) + B y (z) l = µ0ε 0l∆z ∆t B y (z + ∆z) - B y (z) ∆z
∂B y
= − µ0ε 0
∂E x = − µ0ε 0 ∂z ∂t
∆Ex ∆t
Az elektromágneses síkhullám IV. ∂B y
∂B y ∂E x =− ∂z ∂t
∂E x = − µ0ε 0 ∂z ∂t
∂ ∂z
∂ ∂t
∂ 2 Ex ∂z
2
= µ0 ε0
∂ 2 Ex ∂t
~ i (ωt ± kz ) Megoldása: E (z,t) = E e x 0 ω c= 2π 2π c= ω = = 2πf k = T
λ
k
hullámegyenlet
2
E x(z,t) = E0 cos(ωt ± kz ) 1
µ0ε 0
Def.: c = 299792458 m/s
Az elektromágneses síkhullám V. ∂B y
∂B y ∂E x =− ∂z ∂t
∂E x = − µ0ε 0 ∂z ∂t
∂ ∂t
∂ ∂z
∂2By ∂z 2
Megoldása:
= µ0 ε 0
∂ 2By ∂t 2
hullámegyenlet
B y(z,t) = B0 cos(ωt ± kz )
Az elektromágneses síkhullám VI. E x(z,t) = E0 cos(ωt − kz )
B y(z,t) = B0 cos(ωt − kz )
Behelyettesítünk:
∂B y ∂E x =− ∂z ∂t 1 E x (z, t) = B y (z, t) c
1 Eo = Bo c
Az elektromágneses síkhullám VII. E x(z,t) = E0 cos(ωt − kz + ϕ )
B y(z,t) = B0 cos(ωt − kz + ϕ ) x
z y
f =
c
λ
λ
Az elektromágneses spektrum Elnevezés
Hullámhossz (nm)
vörös
640 – 780
narancs
600 – 640
sárga
570 – 600
zöld
490 – 570
kék
430 – 490
ibolya
380 – 430
Néhány érdekesség: Az emberi szem legérzékenyebb a zöld fényre. A CD és a DVD → vörös lézerfénnyel dolgozik. A blue-ray disc → ibolya nyalábbal írható és olvasható. (a kisebb hullámhossz természetesen nagyobb írássűrűséget jelent) Ultraibolya (200 nm < λ < 380 nm) lámpák → orvosi rendelők, vagy műtők fertőtlenítése. UV → alkalmazzák élelmiszerek baktériummentesítésére is. A kemény UV (λ < 200 nm) fényforrás → litográfia → processzorgyártásban.
A Poynting-vektor
E x(z,t) = E0 cos(ωt − kz + ϕ )
B y(z,t) = B0 cos(ωt − kz + ϕ )
x
z y
r r r S = E×H
Hullám terjedési iránya → Poynting-vektor:
r B 1 S = EH = E = Eo Bo cos 2 (ωt − kz )
µo
r S =S=
µo
εo 2 2 Eo cos (ωt − kz ) µo
átlagolás
1 Eo = Bo c 1 εo 2 S = Eo 2 µo
Az EMH intenzitása 1 2
εE = εoE2 Beeső energia:
Felületre merőlegesen beeső síkhullám:
1 1 2 B εB = 2 µ0
∆W = u Ac∆t
∆W intenzitás = = uc A∆t
u = εE + εB = εoE = 2
emh
A
A c∆t
1
µo
B 2 = ε o Eo2 cos 2 (ωt − kz )
1 2 1 1 2 u = εE + εB = εoE = B 2 2 µo S =c u
Láttuk:
S =
intenzitás = 〈 S 〉
1 εo 2 Eo 2 µo
A napsugárzás intenzitása, napenergia A Föld légkörét elérő napsugárzás : ≈ 1350 W/m2 A légkörben elnyelődik
: ≈ 250 W/m2
A világűrbe reflektálódik
: ≈ 100 W/m
2
= 1000•(Föld energiaszükéglete)
Földfelszínre jutó átlagos sugárzás : ≈ 1000 W/m2 Magyarországon: Téli hónapokban
: ≈ 250 - 600 W/m2
Nyári hónapokban
: ≈ 600 - 1000 W/m2
Napsütéses órák száma (Bp)
: ≈ 2057 óra
M.o. teljes energiafelhasználása: ≈ 1017 J Összehasonlítás: ???
Az e.m. síkhullám impulzusa I. Kérdés: van-e a hullámnak impulzusa?
r r E = E ( z , t )i r r B = B( z , t ) j
FE = qE = bvd
qE vd = b q2E q2E 2 FL = qvd B = B= b bc
Az e.m. síkhullám impulzusa II. FE = qE = bvd
qE vd = b
q2E q2E 2 FL = qvd B = B= b bc
dW qE q 2 E 2 = FE vd = qE = dt b b
∫ ...dt
dW = cFL dt dW dp =c dt dt
W = cp Az emh impulzussűrűsége: p =
u S = 2 c c
Az e.m. síkhullám impulzusa III. dW = cFL dt Fénynyomás:
???
FL = PA
dW =P cAdt
dW = cPA dt
1 1 P = I (int .) = S átl . = u c c
Fénynyomás → példák:
Napfény-vitorlás
R = 100 %
1 1 P = 2 I (int .) = 2 S átl . = 2u c c
EMH polarizációja I. E x(z,t) = E0 x cos(ωt − kz ) Lineárisan polarizált hullám
E y(z,t) = E0 y cos(ωt − kz) Cirkulárisan polarizált hullám
∆ϕ = 0
∆ϕ = 90°
EMH polarizációja II.
Hertz kísérleti szűrője:
Síkhullám, gömbhullám hullámfront Síkhullám:
E x(z,t) = E0 cos(ωt ± kz ) Gömbhullám:
B y(z,t) = B0 cos(ωt ± kz )
rr E0 E(z,t) = cos(ωt ± k r ) r
rr B0 B(z,t) = cos(ωt ± k r ) r
Huygens elv
Töltött részecske sugárzása Egy gyorsuló részecske elektromos és mágneses tere távoltérben (R >> d, ahol d az emh forrásának jellemző mérete)
r qr r H ~ &r& × eR R
(
)
r q r r r & & E ~ r × e R × eR R
r r r S = E×H
()
r r& 2 & S ~ r
r 1 S ~ 2 r
Sugárzási teljesítmény
r r Psug = ∫ SdA A
()
r& 2 & Psug ~ r
EMH keltése I. Töltött részecskék gyorsítása: részecskegyorsító → igen drága Mikrohullámú sütőben: Másik lehetőség: magnetron
Radarban:
Légi irányítás Tolató radar
EMH keltése II.
R≈0
ωo =
1 LC
A Hertz féle kísérlet:
r E
EMH keltése III. Láttuk:
r qr r H ~ &r& × eR R
(
)
r q r r r E ~ &r& × eR × eR R Rezgő dipól:
+
x x(t)
p (t ) = qx (t ) = qA sin(ωt )
I (t ) = I 0 sin(ωt ) → q(t ) = q0 sin(ωt ) → p(t ) = p0 sin(ωt )
Rezgő dipól sugárzási karakterisztikája r qr r H ~ &r& × eR R
(
)
r q r r r & & E ~ r × e R × eR R
Reflexió, transzmisszió, abszorpció I. Ideális vezető: σ = ∞ (nincs ohmikus veszteség) E=0
Beeső hullám: Ideális vezető Visszavert hullám: Fázistolás: ∆ϕ = π
Reális vezető (fém): behatolás R < 100 %
Beeső hullám
alumínium tükörre R ≈ 98% Visszavert hullám
vezető
Reflexió, transzmisszió, abszorpció II. r Eeredő Visszavert hullám Beeső hullám
r Erefl.
r Ebe
Ideális vezető
ϕbe ϕ refl .
ϕbe = ϕ refl .
Reflexió, transzmisszió, abszorpció III. Intenzitás Reális vezető, dielektrikum … Beeső hullám
Visszavert hullám
Transzmittált hullám
x abszorpció
Ibe = Irefl. + Iabsz. + Itr.
R = R (ω ) és σ = σ (ω )
Reflexió, transzmisszió, abszorpció IV. Parabola antenna
Radar
Rádiócsillagászat
Antenna reflektor
Reflexió, transzmisszió, abszorpció V.
URH
R = R (ω ) és σ = σ (ω )
Kommunikáció I. Moduláció: Amplitúdó moduláció:
Frekvencia moduláció:
Hullámcsomag (impulzus):
Kommunikáció II.
Burkoló fgv.: f(t)
f(t)
F(ω)
F.T. ∆t
∆ω
t Gauss imp.
ω ∆t∆ω ≈ 1
