Fisika Umum (MA101) Topik hari ini: • Kinematika Rotasi • Hukum Gravitasi • Dinamika Rotasi
Kinematika Rotasi
Perpindahan Sudut • Riview gerak linear: – Perpindahan, kecepatan, percepatan
∆r ∆v ∆r = rf − ri , v = , a= ∆t ∆t
• Perlu konsep yang sama untuk benda bergerak melingkar • Seperti sebelumnya: – Perlu sebuah sistem acuan tetap (garis) – Gunakan sistem koordinat polar
Perpindahan Sudut (lanjutan) • Setiap titik pada benda yang bergerak melingkar terhadap titik O • Secara umum sudut diukur dalam radian
s θ= r • Cat:
1 rad =
θ [rad] =
Panjang busur
Jari--jari Jari
360° = 57.3° 2π
π θ [derajat] 180°
Perpindahan Sudut (lanjutan) • Perpindahan sudut didefinisikan sebagai sudut yang dibuat benda yang berotasi selama selang waktu tetentu
∆θ = θ f − θ i • Setiap titik dalam piringan mengalami perpindahan sudut yang sama dalam selang waktu tertentu
Kecepatan Sudut • Kecepatan sudut ratarata (laju), ω, dari benda tegar adalah perbandingan dari perpindahan sudut dengan selang waktu
θ f −θi
∆θ ω= = t f − ti ∆t
Kecepatan Sudut • Kecepatan sudut sesaat (laju) didefinisikan sebagai limit dari laju rata-rata dengan selang waktu mendekati nol
∆θ ω = lim ∆t →0 ∆t • Satuan dari laju sudut adalah radian/sec (rad/s) • Laju sudut akan menjadi – positif jika θ bertambah (berlawanan arah dengan jarum jam) – negatif jika θ berkurang (searah jarum jam)
Percepatan Sudut • Bagaimana jika benda awalnya diam dan kemudian mulai berotasi? • Percepatan sudut rata-rata, α, dari sebuah benda didefinisikan sebagai perbandingan antara perubahan laju sudut dengan selang waktu yang diperlukan benda untuk mengalami perubahan laju sudut tersebut:
ω f − ωi
∆ω α= = t f − ti ∆t • Satuannya adalah rad/s² • Hal yang sama, percepatan sudut sesaat:
∆ω α = lim ∆t → 0 ∆t
Catatan tentang kinematika sudut Ketika sebuah benda tegar berotasi terhadap sumbu tetap tertentu, tiap bagian dari benda memiliki laju sudut dan percepatan sudut yang sama • Artinya θ, ω, dan α tidak bergantung pada r, jarak tiap bagian benda ke sumbu rotasi
Analogi Antara Gerak Linier dan Gerak Rotasi Gerak Rotasi Terhadap Gerak Linier dengan Sumbu Tertentu dengan Percepatan Konstan Percepatan Sudut Konstan
ω = ω i + αt
v = vi + at
1 2 ∆θ = ω i t + αt 2
1 2 ∆x = vi t + at 2
ω = ω + 2α∆θ 2
2 i
v = v + 2 a∆x 2
2 i
Hubungan Antara Besaran Sudut dan Besaran Linier • Perpindahan
• Laju
∆s ∆θ = r
∆θ 1 ∆s = ∆t r ∆t or 1 ω= v r
• Percepatan
a = αr
Hubungan Antara Besaran Sudut dan Besaran Linier (lanjutan) • Perpindahan
s = θr • Laju
v = ωr • Percepatan
a = αr
• Setiap titik pada benda yang berotasi memiliki gerak sudut yang sama • Setiap titik pada benda yang berotasi tidak memiliki gerak linier yang sama
Tes Konsep 1 Seorang anak perempuan duduk di sisi paling luar pada sebuah komedi putar, dan seorang anak laki-laki duduk ditengah-tengah antara anak perempuan dengan sumbu rotasi komedi putar. Komedi putar membuat satu putaran penuh tiap detiknya. Laju sudut anak laki-laki adalah a. Setengah dari laju sudut anak perempuan. b. Sama dengan laju sudut anak perempuan. c. Dua kali dari laju sudut anak perempuan. d. Tidak mungkin ditentukan.
Jawab b
Percepatan Sentripetal • Sebuah benda yang bergerak melingkar, meskipun bergerak dengan laju konstan, akan memiliki percepatan karena kecepatannya (arah) berubah • Percepatan ini disebut percepatan sentripetal • Percepatan ini berarah ke pusat gerak
Percepatan Sentripetal dan Kecepatan Sudut • Hubungan antara kecepatan sudut dan kecepatan linier v = ωr • Percepatan sentripetal dapat juga dihubungkan dengan kecepatan sudut ∆v ∆s v = ⇒ ∆v = ∆s , dan v r r ∆v a= ∆t
v ∆s ⇒ a= r ∆t
Sehingga:
Segitiga yang sama!
v2 aC = r
or aC = ω 2 r
Percepatan Total • Apa yang terjadi apabila kecepatan linier berubah? • Dua komponen percepatan: – komponen sentripetal dari percepatan bergantung pada perubahan arah – komponen tangensial dari percepatan bergantung pada perubahan kecepatan (laju) slowing-down car
• Percepatan total dapat dirumuskan dari komponen tsb:
a = a +a 2 t
2 C
Sifat Vektor dari Besaran Sudut • Seperti pada kasus linier, perpindahan, kecepatan dan percepatan adalah vektor: • Menentukan arah positif atau negatif • Cara yang mudah dengan menggunakan aturan tangan kanan – Genggam sumbu rotasi dengan tangan kanan anda – Kepalkan jari-jari anda searah dengan arah rotasi – Ibu jari (jempol) anda menunjukkan arah ω
Gaya yang Menyebabkan Percepatan Sentripetal • Hukum II Newton mengatakan bahwa percepatan sentripetal diakibatkan oleh gaya v2 ∑ F = maC = m r – F menyatakan gaya-gaya yang bekerja pada benda yang membuat benda mengikuti lintasan melingkar • Gaya gesek (belokan miring dan rata) • Tegangan pada tali • Gravitasi
Tes Konsep 2 Dalam gesekan statis atau kinetis kah apabila sebuah mobil tidak selip atau tergelincir? a. Statis b. Kinetis
Jawab a
Lingkaran Horizontal • Komponen horizontal dari tegangan tali menyebabkan percepatan sentripetal
aC = g tan θ
Gaya dalam Kerangka Acuan yang Dipercepat • Bedakan gaya riel dan gaya fiksi • Gaya Sentrifugal adalah gaya fiksi • Gaya yang riel selalu merepresentasikan interaksi antara benda
Hukum Gravitasi
Hukum Newton tentang Gravitasi Umum • Setiap partikel dalam alam semesta menarik partikel lain dengan gaya yang berbanding lurus dengan perkalian massa dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antar mereka
m1m2 F =G 2 r
G adalah konstanta gravitasi
G = 6.673 x 10-11 N m² /kg²
Konstanta Gravitasi • Ditentukan secara eksperimen • Henry Cavendish – 1798 • Berkas cahaya dan cermin membuat jelas gerak
Contoh: Pertanyaan: Hitung gaya tarik gravitasi antara dua mahasiswa yang berjarak 1 meter 2 m1m2 −11 N m 70kg 90 kg −7 F = G 2 = 6.67 ×10 ≈ 4 . 2 × 10 N 2 2 r kg (1 m ) Sangat kecil
Bandingkan: F = mg = 686 N
Aplikasi dari Gravitsi Umum 1: Massa Bumi • Sebagai contoh tinjau sebuah benda yang berada dekat dengan permukaan bumi – r ~ RE
gR ME = G
2 E
Aplikasi dari Gravitsi Umum 2: Percepatan Gravitasi • g akan bervariasi bergantung ketinggian
mM E ME F = G 2 = m G 2 = mg r r
ME g =G 2 r
Energi Potensial Gravitasi • EP = mgy berlaku hanya yang dekat dengan permukaan bumi • Untuk benda yang letaknya jauh dari permukaan bumi, dibutuhkan perumusan yang lain, yaitu: M Em EP = −G r – Energi potensial nol dipilih di jauh tak berhingga dari bumi
Laju Lepas • Laju lepas adalah laju yang dibutuhkan sebuah benda untuk mencapai ruang angkasa dan tidak kembali vesc
2GM E = RE
• Untuk bumi, vesc adalah sekitar 11.2 km/s • Cat, v tidak bergantung massa benda
Hukum Kepler • Semua planet bergerak dalam orbit elips dengan matahari sebagai pusatnya. • Garis yang menghubungkan tiap planet ke matahari menyapu luasan yang sama dalam waktu yang sama. • Kuadrat perioda dari setiap planet berbanding lurus dengan pangkat tiga dari jarak planet tersebut ke matahari.
Hukum Kepler (lanjutan) • Berdasarkan observasi yang dilakukan oleh Brahe • Newton kemudian mendemonstrasikan bahwa hukum ini adalah konsekuensi dari gaya gravitasi antara dua benda bersamaan dengan hukum gerak Newton
Hukum I Kepler • Semua planet bergerak dalam orbit elips dengan matahari sebagai pusatnya. – Benda yang terikat benda lain oleh gaya berbentuk “inverse square law” akan bergerak dalam lintasan elips
F =G
m1m2 r2
Hukum II Kepler • Garis yang menghubungkan tiap planet ke matahari menyapu luasan yang sama dalam waktu yang sama – Luas A-S-B dan C-S-D adalah sama
Hukum III Kepler • Kuadrat perioda dari setiap planet berbanding lurus dengan pangkat tiga dari jarak planet tersebut ke matahari
T = Kr 2
4π dengan K = GM 2
3
– Untuk orbit yang mengelilingi matahari, KM = 2.97x10-19 s2/m3 – K tidak bergantung massa planet
Aplikasi Hukum III Kepler • Menentukan massa matahari atau benda lain yang mempunyai satelit yang mengelilinginya • Asumsinya adalah orbit berupa lingkaran
Kesetimbangan dan Dinamika Rotasi
Torsi • Tinjau gaya yang dibutuhkan untuk membuka pintu. Apakah lebih mudah membuka pintu dengan mendorong/menarik jauh dari engsel atau dekat ke engsel?
Jauh dari engsel, efek rotasi lebih besar!
Konsep Fisika: torsi
Dekat ke engsel
Jauh dari engsel
Torsi • Torsi, τ, adalah kecenderungan dari sebuah gaya untuk merotasikan sebuah benda terhadap sumbu tertentu Contoh pada pintu:
τ = Fd – τ adalah torsi – d adalah lengan gaya – F adalah gaya
Lengan Gaya • Lengan gaya, d, adalah jarak terdekat (tegak lurus) dari sumbu rotasi ke garis searah perpanjangan gaya – d = L sin Φ
Arah Torsi • Torsi adalah besaran vektor Arah Torsi: keluar bidang kertas
– Arahnya adalah tegaklurus terhadap bidang yang memuat lengan dan gaya – Arah dan tanda: Jika gaya cenderung memutar berlawanan jarum jam, torsi bertanda positif Jika gaya cenderung memutar searah jarum jam, torsi bertanda negatif
Satuan SI
Newton meter (Nm)
USA & UK
Foot pound (ft lb)
Tes Konsep 3 Anda mencoba untuk membuka pintu yang macet dengan menarik gagang pintu berarah tegak lurus pintu. Tetapi gagal. Kemudian anda mengaitkan sebuah tali pada gagang pintu dan menarik gagang pintu lewat tali berarah tegak lurus pintu dengan gaya yang sama, apakah torsi yang anda berikan dengan menggunakan tali lebih besar? Akan lebih mudahkah untuk membuka pintu?
a. Tidak b. Ya
Jawab a
Bagaiman jika dua atau lebih gaya yang berbeda bekerja pada lengan-lengan gaya?
Torsi Neto • Torsi neto adalah jumlah semua torsi yang dihasilkan oleh semua gaya – Ingat untuk menghitung arah kecenderungan rotasi • Berlawanan arah dengan arah jarum jam torsi positif • Searah dengan jarum jam torsi negatif
Torsi dan Kesetimbangan • Kondisi pertama dari kesetimbangan • Gaya netto eksternal harus nol
r ∑F = 0 r r ∑ F x = 0 dan ∑ F y = 0 – Ini adalah perlu, tetapi tidak cukup, untuk menjamin bahwa benda dalam kesetimbangan mekanik lengkap – Pernyataan tsb adalah kesetimbangan translasi
• Kondisi kedua dari kesetimbangan • Torka netto eksternal harus nol
Στ = 0 • Pernyataan tsb adalah kesetimbangan rotasi
Kesetimbangan (lanjutan) • Torsi neto sama dengan nol tidak berarti tidak ada gerak rotasi – Sebuah benda yang berotasi dengan kecepatan sudut uniform (tetap) dapat sedang berada dalam pengaruh torsi neto nol • Ini analogi dengan keadaan translasi dimana gaya neto nol tidak berarti benda tidak bergerak
Sejauh ini: torsi neto sama dengan nol. Bagaimana jika tidak?
Torsi dan Percepatan Sudut • Ketika benda tegar mengalami torsi neto tidak nol (≠0), maka akan mengalami percepatan sudut • Percepatan sudut berbanding lurus dengan torsi neto – Hubungannya analogi dengan ∑F = ma • Hukum II Newton
Torsi dan Percepatan sudut (lanjutan) Ft = ma t , kalikan dengan r Ft r = (ma t ) r
percepatan tangensial : a t = rα , so
Ft r = mr 2α torsi τ
Bergantung pada benda dan sumbu rotasi. Dinamakan momen inersia I. Satuan: kg m2
I ≡ Σmi ri
2
τ = Iα
Percepatan sudut berbanding terbalik dengan analogi massa dalam sistem yang berotasi
Momen Inersia yang Lain
Hukum II Newton untuk Benda Berotasi • Percepatan sudut berbanding lurus dengan torsi neto • Percepatan sudut berbanding terbalik dengan momen inersia benda
Στ = Iα • Terdapat perbedaan yang penting antara momen inersia dan massa: momen inersia bergantung pada kuantitas materi dan distribusinya • Momen inersia juga bergantung pada posisi sumbu rotasi
Momentum Sudut • Serupa dengan hubungan antara gaya dan momentum dalam sistem linier, kita dapat tunjukan hubungan antara torsi dan momentum sudut • Momentum sudut didefinisikan sebagai L = I ω
∆L ∆t
∆p ) F= ∆t • Jika torsi neto nol, momentum sudut konstan • Pernyataan Kekekalan momentum sudut : Momentum sudut dari sebuah sistem adalah kekal ketika torsi neto eksternal yang bekerja pada sisitem adalah nol
τ=
(bandingkan dengan
– Ini terjadi ketika:
Στ = 0 , L i = L f atau I i ω i = I f ω f
Energi Total Sistem yang Berotasi • Sebuah benda yang berotasi terhadap sumbu tertentu dengan laju sudut, ω, mempunyai energi kinetik rotasi ½Iω2 • Konsep energi dapat digunakan untuk penyederhanaan analisis gerak rotasi • Kekekalan energi mekanik
( EK t + EK r + EPg )i = ( EK t + EK r + EPg )f – Ingat, ini untuk gaya konservatif, tidak ada gaya disipasi seperti gaya gesek
Tes Konsep 4 Seorang penari ski es berputar dengan kedua lengannya terlentang (anggap tidak ada gaya gesekan). Ketika dia menarik kedua lengannya dan merapatkan pada tubuhnya momen inersia tubuhnya terhadap sumbu vertikal menjadi berkurang dan laju sudutnya menjadi bertambah (kekekalan momentum sudut). Dibandingkan dengan energi kinetik rotasi awal, energi kinetik rotasi setelah penari tersebut menarik lengannya haruslah bernilai … a. sama b. lebih besar karena laju sudutnya bertambah c. lebih kecil karena momen inersianya berkurang
Jawab Diketahui: Momen inersia: I1 dan I2
Energi kinetik rotasi adalah EK rot =
1 2 1 Iω = Lω 2 2
Kita tahu bahwa (a) momentum sudut L kekal dan (b) kecepatan sudut bertambah
Dicari: K2 =?
Jadi, energi kinetik rotasi harus bertambah!
