F6121 Z´ aklady fyziky pevn´ ych l´ atek – pˇ r´ıklady do cviˇ cen´ı 1 Drudeho model voln´ ych elektron˚ u 1.1 Poissonovo rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Jouleho teplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elektrick´ a vodivost kov˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 1
2 Sommerfeld˚ uv model voln´ ych elektron˚ u 2.1 N´ızkorozmˇern´ y elektronov´ y plyn . . . . . . 2.2 Betheho–Sommerfeld˚ uv rozvoj . . . . . . . 2.3 Teplotn´ı z´ avislosti v Sommerfeldovˇe modelu ˇ ıseln´e odhady; 2D plyn voln´ 2.4 C´ ych elektron˚ u 2.5 Tepeln´ a vodivost . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
2 2 2 2 2 2
3 Krystalov´ a struktura 3.1 Kupr´ atov´e roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Operace symetrie 2D krystalov´ ych mˇr´ıˇzek . . . . . . . . . 3.3 Osy rotace v prostorov´ ych mˇr´ıˇzk´ ach . . . . . . . . . . . . 3.4 Hustota diamantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Souˇcinitele zaplnˇen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Hexagon´ aln´ı tˇesnˇe uspoˇra ´dan´ a mˇr´ıˇzka . . . . . . . . . . . 3.7 Dvourozmˇern´e mˇr´ıˇzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Reciprok´e mˇr´ıˇzky a 1. Brillouinova z´ ona kubick´ ych mˇr´ıˇzek 3.9 Mezirovinn´e vzd´ alenosti a u ´hly . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
3 3 3 3 3 3 3 4 4 4
4 RTG difrakce na krystalech 4.1 Strukturn´ı faktor, vyhas´ın´ an´ı difrakc´ı . . . . . . . . . . 4.2 Difrakˇcn´ı u ´hly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Difrakˇcn´ı efekty spojen´e s koneˇcnou velikost´ı krystalu 4.4 RTG difrakce na Ax C60 . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
5 5 5 5 5
5 Elektron v periodick´ em potenci´ alu 5.1 Jednorozmˇern´ y potenci´ al . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Model Kroning–Penney . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Dvourozmˇern´ a Fermiho plocha . . . . . . . . . . . . . 5.4 P´ asov´e sch´ema voln´ ych elektron˚ u . . . . . . . . . . . . 5.5 Odhad ˇs´ıˇrky zak´ azan´eho p´ asu – metoda t´emˇeˇr voln´ ych 5.6 Metoda tˇesn´e vazby pro s–p´ as v fcc mˇr´ıˇzce . . . . . . 5.7 Metoda tˇesn´e vazby pro p–p´ asy ve ˇctvercov´e mˇr´ıˇzce . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . elektron˚ u . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
6 6 6 7 7 7 7 7
6 Kvaziklasick´ a aproximace 6.1 Elektrony v okol´ı minima p´ asu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Oscilace v homogenn´ım elektrostatick´em poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 8 8
7 Polovodiˇ ce 7.1 Pˇr´ımˇesov´ y stav . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Statistika nositel˚ u n´ aboje v polovodiˇci typu N 7.3 Hall˚ uv jev pro dva typy nositel˚ u . . . . . . . 7.4 Intrinsick´ y polovodiˇc . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
9 9 9 9 9
8 Kmity mˇ r´ıˇ zky v harmonick´ em pˇ ribl´ıˇ zen´ı 8.1 Kmity dvouatomov´eho ˇretˇezce . . . . . . . . . . . . 8.2 Kmity line´ arn´ı mˇr´ıˇzky s dalekodosahovou interakc´ı 8.3 Konstantn´ı rychlost zvuku . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Mˇekk´ y fononov´ y m´ od . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Rychlost zvuku v kˇrem´ıku . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Tepeln´ a kapacita jednoduch´e 1D a 2D mˇr´ıˇzky . . . 8.7 Hustota stav˚ u akustick´e fononov´e vˇetve . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
10 10 10 10 10 10 11 11
. . . .
. . . .
1
Drudeho model voln´ ych elektron˚ u
1.1
Poissonovo rozdˇ elen´ı
V Drudeho modelu je pravdˇepodobnost, ˇze se elektron sraz´ı za element´arn´ı ˇcasov´ yu ´ sek dt, rovna dt/τ . 1. Dokaˇzte, ˇze elektron libovolnˇe vybran´ y v dan´ y ˇcasov´ y okamˇzik se nesrazil v pˇredchoz´ıch t sekund´ach −t/τ s pravdˇepodobnost´ı e . 2. Dokaˇzte, ˇze pravdˇepodobnost toho, ˇze doba mezi dvˇema n´asleduj´ıc´ımi sr´aˇzkami je v intervalu (t, t + dt), je e−t/τ dt/τ . 3. Dokaˇzte, ˇze doba od posledn´ı sr´aˇzky vystˇredovan´a pˇres vˇsechny elektrony je τ . 4. Dokaˇzte, ˇze stˇredn´ı doba mezi dvˇema sr´aˇzkami pro libovolnˇe vybran´ y elektron je τ .
1.2
Jouleho teplo
Kus kovu se nach´az´ı v homogenn´ım elektrostatick´em poli E, teplota kovu je konstantn´ı. Vyberme libovoln´ y elektron z elektronov´eho plynu a pˇredpokl´adejme, ˇze tento elektron vykonal sr´aˇzku v ˇcase t = 0 a dalˇs´ı sr´aˇzku v ˇcase t. 1. Dokaˇzte, ˇze stˇredn´ı energie pˇredan´a elektronem pˇri druh´e uvaˇzovan´e sr´aˇzce je (eEt) 2 /2m. 2. Dokaˇzte, ˇze stˇredn´ı energie pˇredan´a elektronem pˇri libovoln´e sr´aˇzce je (eEτ ) 2 /m. 3. Necht’ m´a kus kovu tvar v´alce s plochou podstavy S a v´ yˇskou L a necht’ je intenzita elektrick´eho pole E rovnobˇeˇzn´a s v´ yˇskou v´alce. Z v´ ysledku ˇca´sti 2 odvod’te vztah pro elektrick´ y odpor v´alce. 4. Najdˇete tepeln´ y v´ ykon generovan´ y pˇri pr˚ uchodu proudu a ovˇeˇrte, zda v Drudeho modelu plat´ı zn´am´ y vztah P = RI 2 .
1.3
Elektrick´ a vodivost kov˚ u
1. Vypoˇctˇete hustotu voln´ ych elektron˚ u v mˇedi, je jej´ı hustota ρ Cu = 8960kg m−3 a relativn´ı atomov´a hmotnost 63.5. 2. Mˇedˇen´ ym vodiˇcem s pˇr´ıˇcn´ ym pr˚ uˇrezem 0.2cm 2 proch´az´ı proud 1A. Jak´a je stˇredn´ı driftov´a rychlost elektron˚ u? 3. Vypoˇctˇete pohyblivost elektron˚ u v sod´ıku, je–li jeho specifick´a vodivost σ = 0.23 · 10 8 Ω−1 m−1 a koncentrace nositel˚ u n´aboje 2.652 · 10 28 m−3 . 4. Specifick´a elektrick´a vodivost mˇedi je σ = 6 · 10 7 Ω−1 m−1 . Urˇcete relaxaˇcn´ı dobu elektronu. 5. Urˇcete stˇredn´ı volnou dr´ahu vodivostn´ıch elektron˚ u v sod´ıku. Jeho specifick´a vodivost je σ = 0.23 · 108 Ω−1 m−1 .
1
2
Sommerfeld˚ uv model voln´ ych elektron˚ u
2.1
N´ızkorozmˇ ern´ y elektronov´ y plyn
Pro jednorozmˇern´ y, dvourozmˇern´ y a trojrozmˇern´ y plyn voln´ ych elektron˚ u najdˇete: 1. souvislost kF a EF a hustoty elektron˚ u n (poˇcet elektron˚ u na jednotku d´elky, plochy resp. objemu) 2. souvislost kF a veliˇciny rs definovan´e jako polomˇer koule1 s objemem rovn´ ym objemu pˇripadaj´ıc´ımu v elektronov´em plynu na jeden elektron 3. energiovou hustotu stav˚ u g(E) Pozn.: Vz´ajemnou konzistentnost v´ ysledk˚ u je moˇzn´e ovˇeˇrit vztahem
2.2
Betheho–Sommerfeld˚ uv rozvoj
Ukaˇzte, ˇze integr´al Z
∞
R∞ 0
0
g(E) dE = n.
H(E)fF D (E) dE je moˇzn´e aproximovat rozvojem
H(E)fF D (E) dE =
0
2.3
R EF
Z
0
µ
π2 7π 4 H(E) dE + (kB T )2 H 0 (µ) + (kB T )4 H 000 (µ) + O 6 360
"
kB T µ
6 #
Teplotn´ı z´ avislosti v Sommerfeldovˇ e modelu
Pomoc´ı Betheho–Sommerfeldova rozvoje urˇcete teplotn´ı z´avislost chemick´eho potenci´alu µ(T ), stˇredn´ı hodnoty hustoty energie u(T ) a tepelnou kapacitu 3D elektronov´eho plynu. Pˇredpokl´adejte pˇritom, ˇze v uvaˇzovan´em intervalu teplot je T /T F 1 a staˇc´ı tedy vz´ıt pouze prvn´ı opravu z pˇr´ıkladu 2.2.
2.4
ˇ ıseln´ C´ e odhady; 2D plyn voln´ ych elektron˚ u
1. S vyuˇzit´ım pˇredchoz´ıch v´ ysledk˚ u spoˇctˇete Fermiho mez k F , Fermiho energii EF , Fermiho rychlost vF , Fermiho teplotu TF , stˇredn´ı energii elektronu hEi a hustotu energie u v elektronov´em plynu s hustotou odpov´ıdaj´ıc´ı stˇr´ıbru (n = 5.85 · 10 28 m−3 ). D´ale stanovte chemick´ y potenci´al a stˇredn´ı hustotu energie pˇri teplotˇe 300 K. Jak´a je tepeln´a kapacita elektronov´eho plynu? Porovnejte se skuteˇcnou hodnotou a pokuste se vysvˇetlit pˇr´ıpadn´ y rozd´ıl. 2. Urˇcete chemick´ y potenci´al dvourozmˇern´eho elektronov´eho plynu. D´ıky pˇr´ızniv´emu pr˚ ubˇehu hustoty stav˚ u nen´ı v tomto pˇr´ıpadˇe tˇreba aproximac´ı.
2.5
Tepeln´ a vodivost
Spoˇctˇete tepelnou vodivost elektronov´eho plynu v Sommerfeldovˇe modelu. Porovnejte v´ ysledek s tepelnou vodivost´ı v Drudeho modelu kovu a s tabulkov´ ymi hodnotami pro re´aln´e kovy.
1
rozum´ı se zobecnˇen´ a D-dimenzion´ aln´ı koule, kter´ a je zad´ ana vztahem
2
p x21 + . . . + x2D ≤ rs
3
Krystalov´ a struktura
3.1
Kupr´ atov´ e roviny
Ve vˇetˇsinˇe vysokoteplotn´ıch supravodiˇc˚ u se lze setkat s tzv. kupr´atov´ ymi rovinami, kter´e jsou tvoˇreny atomy mˇedi a kysl´ıku uspoˇra´dan´ ymi jako na n´asleduj´ıc´ıch obr´azc´ıch. Atomy mˇedi jsou zn´azornˇeny pln´ ymi krouˇzky, atomy kysl´ıku pr´azdn´ ymi. 1. Vyznaˇcte b´azov´e vektory, primitivn´ı buˇ nku a atomy b´aze krystalov´e mˇr´ıˇzky z lev´eho obr´azku. 2. Ve skuteˇcnosti leˇz´ı atomy kysl´ıku stˇr´ıdavˇe nad a pod kupr´atovou rovinou, coˇz je v prav´em obr´azku oznaˇceno znam´enky + a −. Vyznaˇcte b´azov´e vektory, primitivn´ı buˇ nku a atomy b´aze i v tomto pˇr´ıpadˇe.
3.2
Operace symetrie 2D krystalov´ ych mˇ r´ıˇ zek
Najdˇete vˇsechny bodov´e operace symetrie n´asleduj´ıc´ıch krystalov´ ych mˇr´ıˇzek a srovnejte je s operacemi symetrie prost´e mˇr´ıˇzky.
3.3
Osy rotace v prostorov´ ych mˇ r´ıˇ zk´ ach
Dokaˇzte, ˇze trojrozmˇern´e prostorov´e mˇr´ıˇzky mohou m´ıt pouze 2-, 3-, 4- a 6-ˇcetn´e osy symetrie.
3.4
Hustota diamantu
Spoˇctete hustotu diamantu, v´ıte-li, ˇze jeho mˇr´ıˇzkov´ y parametr je a = 3.57 ˚ A a relativn´ı atomov´a hmotnost uhl´ıku je 12.
3.5
Souˇ cinitele zaplnˇ en´ı
Vypoˇctˇete souˇcinitele zaplnˇen´ı pˇri um´ıstˇen´ı koul´ı maxim´aln´ıho polomˇeru do uzl˚ u prostorov´e mˇr´ıˇzky pro tyto mˇr´ıˇzky: prost´a kubick´a, kubick´a ploˇsnˇe centrovan´a, kubick´a prostorovˇe centrovan´a a diamantov´a.
3.6
Hexagon´ aln´ı tˇ esnˇ e uspoˇ r´ adan´ a mˇ r´ıˇ zka
Vypoˇctˇete pomˇer c/a pro hexagon´aln´ı tˇesnˇe uspoˇra´danou mˇr´ıˇzku.
3
c
a
3.7
Dvourozmˇ ern´ e mˇ r´ıˇ zky
Najdˇete reciprok´e mˇr´ıˇzky a nˇekolik prvn´ıch Brillouinov´ ych z´on (alespoˇ n pˇet) pro dvourozmˇernou ˇctvercovou a hexagon´aln´ı mˇr´ıˇzku.
3.8
Reciprok´ e mˇ r´ıˇ zky a 1. Brillouinova z´ ona kubick´ ych mˇ r´ıˇ zek
Najdˇete reciprok´e mˇr´ıˇzky a prvn´ı Brillouinovu z´onu pro kubick´e mˇr´ıˇzky – prostou, prostorovˇe centrovanou a ploˇsnˇe centrovanou. Porovnejte rozmˇery prvn´ı Brillouinovy z´ony prost´e mˇr´ıˇzky s mˇr´ıˇzkov´ ym parametrem a = 3 ˚ A a vlnov´a ˇc´ısla typick´a pro viditeln´e a RTG z´aˇren´ı. Najdˇete souvislost objemu primitivn´ı buˇ nky pˇr´ım´e a reciprok´e mˇr´ıˇzky. Pozn.: Tato souvislost je obecn´a a lze ji nejsnadnˇeji z´ıskat pˇr´ımo pomoc´ı definice reciprok´e mˇr´ıˇzky.
3.9
Mezirovinn´ e vzd´ alenosti a u ´hly
Najdˇete vztahy pro mezirovinn´e vzd´alenosti a mezirovinn´e u ´ hly pro tyto syngonie: kubick´a, tetragon´aln´ı a ortorombick´a.
4
4
RTG difrakce na krystalech
Intenzita RTG z´aˇren´ı rozpt´ ylen´eho krystalem je u ´ mˇern´a kvadr´atu absolutn´ı hodnoty Fourierova obrazu elektronov´e hustoty s argumentem rovn´ ym rozptylov´emu vektoru I ∼ |ρFelT (Q)|2 ,
Q = Kf − Ki .
Zapiˇsme elektronovou hustotu v krystalu ve tvaru ρel (r) = Ω(r)
N XX R j=1
ρj (r − r j − R) ,
kde Ω(r) je tvarov´a funkce krystalu, R znaˇc´ı vektory poloh element´arn´ıch bunˇek (tvoˇr´ı prostorovou mˇr´ıˇzku), j indexuje atomy v element´arn´ı buˇ nce, r j jejich polohy v r´amci element´arn´ı buˇ nky a ρ j (r) je n´abojov´a hustota charakteristick´a pro dan´ y atom. Fourierova transformace d´av´a ρFelT (Q) =
1 X
VP B
G
ΩF T (Q − G)F (G) ,
F (G) =
N X
e−iG·rj fj (G) ,
j=1
fj (k) =
Z
d3 r ρj (r)e−ik·r .
Zde VP B je objem primitivn´ı buˇ nky, ΩF T geometrick´ y faktor, F (G) je strukturn´ı faktor a f j je atomov´ y rozptylov´ y faktor atomu j.
4.1
Strukturn´ı faktor, vyhas´ın´ an´ı difrakc´ı
Vypoˇctˇete strukturn´ı faktor difrakce na krystalech s touto strukturou: kubick´a ploˇsnˇe centrovan´a mˇr´ıˇzka, kubick´a prostorovˇe centrovan´a mˇr´ıˇzka, mˇr´ıˇzka se sfaleritovou strukturou a mˇr´ıˇzka s diamantovou strukturou. Zjistˇete, kter´e difrakce vyhasnou.
4.2
Difrakˇ cn´ı u ´hly
Vypoˇctˇete vˇsechny moˇzn´e difrakˇcn´ı u ´ hly pˇri difrakci z´aˇren´ı o vlnov´e d´elce 0.1541 nm (charakteristick´a ˇca´ra CuKα1 ) na krystalu Si (mˇr´ıˇzkov´ y parametr 0.54309 nm).
4.3
Difrakˇ cn´ı efekty spojen´ e s koneˇ cnou velikost´ı krystalu
Spoˇc´ıtejte Fourierovu transformaci n´abojov´e hustoty mal´eho krystalu s prostou kubickou mˇr´ıˇzkou ρel (x, y, z) =
Nx X
Ny X
Nz X
j1 =−Nx j2 =−Ny j3 =−Nz
ρ0 (x − j1 a, y − j2 a, z − j3 a)
a srovnejte v´ ysledek s v´ yrazem pro ρ FelT obsahuj´ıc´ım geometrick´ y faktor. Odpov´ıd´a elektronov´a hustota zadan´a v tomto pˇr´ıkladu elektronov´e hustotˇe uvaˇzovan´e v´ yˇse, nebo je zde nˇejak´ y rozd´ıl? Diskutujte o souvislosti koneˇcn´e velikosti krystalu s divergenc´ı rozpt´ ylen´eho rentgenov´eho z´aˇren´ı.
4.4
RTG difrakce na Ax C60 Experiment´alnˇe bylo zjiˇstˇeno, ˇze difrakˇcn´ı p´ık (200) fcc mˇr´ıˇzky fulerenu C60 (mˇr´ıˇzkov´ y parametr a = 14.11 ˚ A) je velmi slab´ y. Pˇredpokl´adejte, ˇze n´abojov´a hustota fulerenu je reprezentov´ana n´abojem rovnomˇernˇe rozloˇzen´ ym na povrchu koule s polomˇerem 3.5 ˚ A. Spoˇc´ıtejte strukturn´ı faktor molekuly C60 v t´eto aproximaci a s jeho pomoc´ı ukaˇzte, ˇze difrakˇcn´ı p´ık (200) je mnohem slabˇs´ı neˇz p´ık (111).
5
5 5.1
Elektron v periodick´ em potenci´ alu Jednorozmˇ ern´ y potenci´ al
Metodou rozvoje do rovinn´ ych vln najdˇete vlastn´ı energie elektronu v jednodimenzion´aln´ım potenci´alu s periodou a zadan´em funkc´ı ∞ X (x − na)2 exp − U (x) = −V0 σ2 n=−∞ jehoˇz Fourierovy sloˇzky jsou 2 2 √ σ σ G UG = −V0 π exp − , a 4
G=
2πn . a
Z vlastn´ıch energi´ı pro dostateˇcn´ y poˇcet Blochov´ ych vektor˚ u v 1. Brillouinovˇe z´onˇe sestavte p´asov´e sch´ema. Pˇri numerick´em ˇreˇsen´ı pouˇzijte n´asleduj´ıc´ı hodnoty parametr˚ u: a = 0.5 nm, σ = 0.1a. Srovnejte v´ ysledky pro V0 = 2 eV a V0 = 10 eV s disperzn´ımi relacemi voln´ ych elektron˚ u.
0.0
V(x)/V0
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -1.0
-0.5
0.0 x [nm]
0.5
1.0
Pozn.: Pˇri srovn´av´an´ı je v´ yhodn´e pouˇz´ıt energii vztaˇzenou na stˇredn´ı hodnotu potenci´alu, tj. E − U G=0 .
5.2
Model Kroning–Penney
Vyˇreˇste Schr¨odingerovu rovnici pro elektron v jednorozmˇern´em periodick´em potenci´alov´em poli, kter´e m´a tvar U (x) U0
0
a a+b
x
Ukaˇzte, ˇze vlastn´ı hodnoty energie jsou d´any rovnic´ı 1 cos k(a + b) = cos aκ1 cos bκ2 − 2 kde
κ2 κ1 + κ1 κ2
sin aκ1 sin bκ2 ,
p √ 2m(E − U0 ) 2mE a κ2 = . κ1 = h ¯ h ¯ Najdˇete disperzn´ı relaci En (k) pro nˇekolik nejniˇzˇs´ıch p´as˚ u. Vyˇreˇste probl´em numericky pro vhodnˇe ˚ ˚ zvolen´e ˇc´ıseln´e konstanty, napˇr. a = 4 A, b = 1 A a V0 = 5 eV. 6
5.3
Dvourozmˇ ern´ a Fermiho plocha
Na n´asleduj´ıc´ım obr´azku jsou zachyceny energiov´e p´asy pro elektron pohybuj´ıc´ı se v dvourozmˇern´e analogii potenci´alu z u ´ lohy 5.1. S pouˇzit´ım tˇechto graf˚ u naˇcrtnˇete Fermiho plochu pro l´atku s jedn´ım, dvˇema a tˇremi elektrony v primitivn´ı buˇ nce. Pro ilustraci je pˇripojen graf pˇr´ıspˇevk˚ u jednotliv´ ych p´as˚ u do hustoty stav˚ u. Rozsahy energi´ı prvn´ıch ˇctyˇr p´as˚ u jsou 0.00 eV − 2.07 eV, 1.93 eV − 5.23 eV, 3.40 eV − 6.89 eV a 3.46 eV − 8.04 eV. E(k) [eV]
1.0
6
1.0
5 4 0.5
0.5
0.0
0.0
E(k) [eV] 8.0
3 2
7.5
1
7.0
0
6.5 -0.5
-1
6.0
-0.5
5.5
0.0
5.0 -1.0 -1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0 -1.0
0.2
4.5 -0.5
0.0
0.5
0.4 kxa/π
1.0
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
kya/π
4.0 1.0
1.0
0.5
0.5
3.5 3.0
1.0
2.5 2.0
0.0
1.0
0.0
0.5 0.0 -0.5
-0.5
0.8 g(E) [rel. jednotky]
1.5
0.6
0.4
0.2
-1.0 -1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0 -1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0 0.0 0.0
5.4
1.0
2.0
3.0
4.0 E [eV]
5.0
6.0
7.0
8.0
P´ asov´ e sch´ ema voln´ ych elektron˚ u
Uvaˇzme prostou kubickou mˇr´ıˇzku. Sestrojte redukovan´e p´asov´e sch´ema pro voln´e elektrony ve smˇeru [100] a [111].
5.5
Odhad ˇ s´ıˇ rky zak´ azan´ eho p´ asu – metoda t´ emˇ eˇ r voln´ ych elektron˚ u
cos 2πy . Najdˇete Uvaˇzme dvourozmˇernou ˇctvercovou mˇr´ıˇzku s potenci´alem U(x, y) = −4U 0 cos 2πx a a pˇribliˇznou velikost ˇs´ıˇrky zak´azan´eho p´asu v bodˇe M = πa , πa , tj. v rohu prvn´ı Brillouinovy z´ony.
5.6
Metoda tˇ esn´ e vazby pro s–p´ as v fcc mˇ r´ıˇ zce
Odvod’te disperzn´ı relace p´asu vych´azej´ıc´ıho z s-stav˚ u atom˚ u um´ıstˇen´ ych v uzlech kubick´e ploˇsnˇe centrovan´e mˇr´ıˇzky. Uvaˇzujte pouze maticov´e elementy mezi nejbliˇzˇs´ımi sousedy t = hs|∆U |s 0 i. Pˇrekryv s-orbital˚ u na sousedn´ıch atomech zanedbejte. V´ ysledek zn´azornˇete graficky obvykl´ ym zp˚ usobem, tj. pod´el lomen´e ˇca´ry L − Γ − X − K − Γ.
5.7
Metoda tˇ esn´ e vazby pro p–p´ asy ve ˇ ctvercov´ e mˇ r´ıˇ zce
Uvaˇzujme o dvourozmˇern´e ˇctvercov´e mˇr´ıˇzce s jednoatomovou b´az´ı. Najdˇete disperzn´ı relace p´as˚ u odvozen´ yp ch z dvakr´at degenerovan´ ych p p-orbital˚ u p x a py . Vlnov´e funkce tˇechto orbital˚ u maj´ı tvar ψ px (x, y) = 2 2 2 2 ypoˇctu se omezte pouze na maticov´e elementy mezi x f ( x + y ) a ψpy (x, y) = y f ( x + y ). Pˇri v´ nejbliˇzˇs´ımi sousedy a matici pˇrekryvov´ ych integr´al˚ u aproximujte jednotkovou matic´ı. P´asov´e sch´ema zobrazte pod´el lomen´e ˇca´ry M − Γ − X. 7
6
Kvaziklasick´ a aproximace
6.1
Elektrony v okol´ı minima p´ asu
Pro elektrony v okol´ı minima p´asu plat´ı h ¯2 ˆ −1 (k − k0 ) E(k) = E(k 0 ) + (k − k0 )T M 2
ˆ −1 M
−1 mT 0 0 = 0 m−1 0 , T 0 0 m−1 L
kde mT a mL jsou transverz´aln´ı a longitudin´aln´ı efektivn´ı hmotnosti. Ekvienergiov´e plochy maj´ı tedy tvar rotaˇcn´ıch elipsoid˚ u. 1. Ukaˇzte, ˇze cyklotronov´a frekvence je eB , ωc = √ 2 m T mL leˇz´ı-li homogenn´ı magnetick´e pole v rovinˇe xy. 2. Vypoˇctˇete elektronovou tepelnou kapacitu.
6.2
Oscilace v homogenn´ım elektrostatick´ em poli
Elektrony vodivostn´ıho p´asu odvozen´eho od s-orbital˚ u atom˚ u v prost´e kubick´e mˇr´ıˇzce maj´ı v pˇribl´ıˇzen´ı tˇesn´e vazby disperzn´ı relaci E(k) = Es − 2t [cos(kx a) + cos(ky a) + cos(kz a)] . Najdˇete ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh rychlosti a polohy elektronu v homogenn´ım elektrick´em poli E = (E x , 0, 0), je-li toto pole zapnuto v ˇcase t = 0, kdy se elektron nach´az´ı ve stavu s k = (0, 0, 0). Jak´ y je pˇr´ıspˇevek elektronu do elektrick´e vodivosti materi´alu?
8
7 7.1
Polovodiˇ ce Pˇ r´ımˇ esov´ y stav
Polovodiˇc InSb m´a zak´azan´ y p´as o ˇs´ıˇrce E g = 0.23eV, statickou permitivitu ε = 18 a efektivn´ı hmotnost elektron˚ u mef = 0.15 me . Vypoˇctˇete ionizaˇcn´ı energii donoru, polomˇer dr´ahy odpov´ıdaj´ıc´ı z´akladn´ımu stavu a minim´aln´ı koncentraci donor˚ u, pˇri n´ıˇz se zaˇc´ın´a projevovat pˇrekr´ yv´an´ı elektronov´ ych drah sousedn´ıch pˇr´ımˇesov´ ych atom˚ u (vznik´a pˇr´ımˇesov´ y p´as).
7.2
Statistika nositel˚ u n´ aboje v polovodiˇ ci typu N
V polovodiˇci je 1013 donor˚ u v cm3 , kter´e maj´ı ionizaˇcn´ı energii E D = 1 meV a efektivn´ı hmotnost ˇ adn´e akceptorov´e atomy nejsou pˇr´ıtomny a polovodiˇc je nedegenerovan´ mef = 0.01me . Z´ y, tj. E g kB T . Odhadnˇete koncentraci vodivostn´ıch elektron˚ u pˇri T = 4 K a hodnotu Hallovy konstanty.
7.3
Hall˚ uv jev pro dva typy nositel˚ u
Pˇredpokl´adejte, ˇze koncentrace vodivostn´ıch elektron˚ u a dˇer v polovodiˇci jsou n a p, relaxaˇcn´ı doby τ e a τh a efektivn´ı hmotnosti me a mh . Ukaˇzte, ˇze Hall˚ uv koeficient je RH =
1 p − nb2 , e (p + nb)2
kde b = µe /µh je pomˇer pohyblivost´ı. Pˇri v´ ypoˇctu zanedbejte ˇcleny s B 2 .
7.4
Intrinsick´ y polovodiˇ c
Germanium m´a nepˇr´ım´ y zak´azan´ y p´as o ˇs´ıˇrce 0.67 eV. Ve vodivostn´ım p´asu je osm L minim ve tvaru rotaˇcn´ıch elipsoid˚ u s efektivn´ımi hmotnostmi m T = 1.6 me a mL = 0.08 me . Maximum valenˇcn´ıho p´asu se nach´az´ı v bodˇe Γ a vyb´ıhaj´ı z nˇej dvakr´at degenerovan´ y p´as tˇeˇzk´ ych dˇer s izotropn´ı efektivn´ı hmotnost´ı 0.28 me a dvakr´at degenerovan´ y p´as lehk´ ych dˇer s izotropn´ı efektivn´ı hmotnost´ı 0.044 m e . Vypoˇctˇete intrinsickou koncentraci nositel˚ u n´aboje pˇri teplotˇe 300 K.
P´asov´a struktura germania podle ˇcl´anku Wachs, A. L., Miller, T., Hsieh, T. C., Shapiro, A. P., Chiang. T. C.: Phys. Rev. B 32 (1985) 2326 9
8 8.1
Kmity mˇ r´ıˇ zky v harmonick´ em pˇ ribl´ıˇ zen´ı Kmity dvouatomov´ eho ˇ retˇ ezce
Uvaˇzte norm´aln´ı m´ody line´arn´ıho ˇretˇezce, ve kter´em jsou hmotnosti atom˚ u stˇr´ıdavˇe M 1 a M2 . Silov´e konstanty interakce mezi nejbliˇzˇs´ımi atomy jsou rovny f a tyto atomy jsou vzd´aleny a/2. Najdˇete disperzn´ı relace. Ukaˇzte, ˇze pro M 1 = M2 se v´ ysledek redukuje na disperzn´ı relaci jednoatomov´eho ˇretˇezce. Pozn.: Zaj´ımav´ y je graf ω/ω0 , kde ω02 = f /µ, pro mˇen´ıc´ı se α = M1 /M2 pˇri konstantn´ı efektivn´ı hmotnosti µ = M1 M2 /(M1 + M2 ).
8.2
Kmity line´ arn´ı mˇ r´ıˇ zky s dalekodosahovou interakc´ı
Pˇredpokl´adejme jednorozmˇern´ y krystal, v nˇemˇz existuje interakce i mezi dalek´ ymi sousedy. Harmonick´ y ˇclen v potenci´aln´ı energii necht’ je tvaru U harm =
XX 1 Km (un − un+m )2 2 n m>0
Najdˇete disperzn´ı relaci takov´eho krystalu a jej´ı dlouhovlnnou limitu.
8.3
Konstantn´ı rychlost zvuku
Jak mus´ı b´ yt voleny konstanty Km v pˇredchoz´ı u ´ loze, aby disperzn´ı relace byla ˇcistˇe line´arn´ı, ω = c|k|?
8.4
Mˇ ekk´ y fononov´ y m´ od
Uvaˇzte line´arn´ı ˇretˇezec sloˇzen´ y z iont˚ u stejn´e hmotnosti, ale stˇr´ıdaj´ıc´ıho se n´aboje ±e. Meziatomov´ y potenci´al se skl´ad´a z kr´atkodosahov´e interakce se silovou konstantou C a z elektrostatick´e (dalekodosahov´e) interakce. Ukaˇzte, ˇze elektrostatickou interakci lze popsat silovou konstantou mezi n-t´ ymi nejbliˇzˇs´ımi sousedy (−1)n e2 Cn = 2πε0 (na)3 kde a je vzd´alenost nejbliˇzˇs´ıch soused˚ u. Najdˇete disperzn´ı relaci a nakreslete jej´ı graf pro vhodnˇe volen´e parametry.
8.5
Rychlost zvuku v kˇ rem´ıku
S pouˇzit´ım n´asleduj´ıc´ıho obr´azku urˇcete rychlost zvuku v kˇrem´ıku ve smˇerech [100], [110] a [111].
Fononov´e disperzn´ı kˇrivky a hustota stav˚ u podle ˇcl´anku Giannozzi, P., de Gironcoli, S., Pavone, P., Baroni, S.: Phys. Rev. B 43 (1991) 7231 10
8.6
Tepeln´ a kapacita jednoduch´ e 1D a 2D mˇ r´ıˇ zky
Uvaˇzujme o jednoduch´e jednorozmˇern´e resp. dvourozmˇern´e mˇr´ıˇzce s jedn´ım atomem v primitivn´ı buˇ nce, pro jej´ıˇz transverz´aln´ı kmity plat´ı pohybov´e rovnice m¨ ui = K(ui−1 − 2ui + ui+1 )
(1D)
m¨ uij = K(ui−1,j + ui+1,j + ui,j−1 + ui,j+1 − 4uij )
(2D)
Najdˇete disperzn´ı relace kmit˚ u mˇr´ıˇzky a teplotn´ı z´avislost jej´ıho specifick´eho tepla pˇri velmi n´ızk´ ych teplot´ach.
8.7
Hustota stav˚ u akustick´ e fononov´ e vˇ etve
Necht’ je disperzn´ı relace nˇekter´e akustick´e fononov´e vˇetve d´ana vztahem v uD uX qj a ω(q) = ω0 t sin2 2 j=1
Numerick´ ym v´ ypoˇctem zjistˇete hustotu stav˚ u od t´eto akustick´e vˇetve pro dimenzi mˇr´ıˇzky D = 1, 2, 3. Tuto hustotu stav˚ u srovnejte s Debyeov´ ym modelem.
11
