Úvod do fyziky plazmatu

1

Úvod do fyziky plazmatu Definice plazmatu (typická) Plazma je kvazineutrální systém nabitých (a případně i neutrálních) částic, který vykazuje kolektivní chování. Pozn. Kolektivní chování je tedy podstatné, nicméně nemusí dominovat. Kdy je počet nabitých částic v plynu nezanedbatelný? Ionizační rovnováha - Sahova rovnice [jednotky SI]  U  ni ne  2.4 1021 T 3/2 exp   i  nn  k BT 

(1)

Boltzmannova konstanta je kB = R/NA = 1.38×10-23 J/K = 8.62×10-5 eV/K a tedy kB T = 1 eV při teplotě T = 11600 K, ionizační potenciál je například pro atom dusíku Ui = 14.5 eV (15.58 pro molekulu N2), pro Ar je Ui = 15.76 eV Za atmosférického tlaku je při teplotě 0°C hustota atomů v čistém argonu (Loschmidtovo číslo) n0 = 2.6868×1025 m-3 = nn + ni  nn a dle (1) rovnovážná ionizace je ni/nn = 2.9×10-146. I pro teplotu 1 eV je pro argon ni/nn  0.004.

2 Pozn. Teplota plazmatu je většinou vysoká, proto se obvykle udává v eV nebo v keV. Pozn. V důsledku působení kosmického záření je koncentrace iontů ve vzduchu v nulové nadmořské výšce řádově 109 m-3.

Kvazineutralita Systém je kvazineutrální, pokud v objemech srovnatelných s třetí mocninou jeho charakteristické rozměru L je jeho celkový náboj mnohem menší než celkové množství kladného náboje (a absolutní hodnota celkového záporného náboje). Pozn. Charakteristická délka L musí být mnohem větší než vzdálenost, na jakou se mohou vzdálit záporné náboje od kladných (obvykle elektrony od iontů). K oddělení nábojů opačného znaménka od sebe je zapotřebí určitá energie. Makroskopické oblaky nábojů se mohou oddělit jen na vzdálenost, kdy se jejich veškerá tepelná energie změní na potenciální.

3

Jednoduchý fyzikální model – jaká je maximální tloušťka  nekonečné rovinné vrstvy elektronů, která se může posunout vůči nepohyblivým iontům o celou svou tloušťku ? Vzniká rovinný s plošnou hustotou náboje σ a uvnitř je   e ne  E   / 0 elektrické pole E Potenciální energie elektronu je rovna tepelné energii

U pot  e E   Obr. 1 Posun vrstvy e

e2 ne  2

0

 k BTe

Toto  se nazývá elektronová Debyova délka De 1/2

  0 k B Te  De     2  (2) n e  e  Elektronová Debyova délka roste s odmocninou elektronové teploty Te a klesá s odmocninou elektronové hustoty (koncentrace) ne. Plazma je tedy kvazineutrální na vzdálenostech, které jsou podstatně větší než Debyova délka, podmínkou kvazineutrality je charakteristický rozměr L plazmatu L ≫ λDe.

4

Debyeovo stínění Statický náboj je v plazmatu stíněn, protože přitahuje opačné náboje a odpuzuje náboje stejného znaménka. Pozn. Debye odvodil stínění v teorii elektrolytů. Budeme předpokládat, že teplota elektronů Te nemusí být obecně rovna teplotě iontů Ti. To se v plazmatu stává často, protože (jak později ukážeme) je přenos energie mezi elektrony a ionty velmi pomalý. Na rozdíl od učebnice [Chen] připustíme, že plazma může být vícenásobně ionizovaná, označíme Z střední náboj iontů. Tedy náboj elektronu je qe = −e a náboj iontu je qi = Ze. Elektrostatické pole kolem náboje qT umístěného v počátku je dáno Poissonovou rovnicí

qT  e      ne  Z ni   δ r  0 0 0

(3)

Nechť v  (tam, kde  = 0) je hustota náboje  = 0. Tedy ne = n0 = Z ni. Abychom mohli použít Boltzmannovu statistiku, musí být tepelná energie větší než Fermiho energie, a tedy

5

kBTe  EF 



 3 ne    2 me    2

2

2/3

Pozn. Při hustotě ne = 1029 m-3 typické pro pevnou fázi je EF = 7.9 eV, pro hustotu plynu ne = 2.7×1025 m-3 je EF = 0.038 eV. V Boltzmannově statistice je pravděpodobnost obsazení stavu ~exp(-U/kBT) 

 e   Z e  n0 ne  n0 exp  ni  exp     (4) k T Z k T B i   B e  Hustoty elektronů a iontů lze teď dosadit do Poissonovy rovnice a tuto řešit. Řešení si zjednodušíme linearizací, budeme předpokládat, že potenciální energie ≪ kinetická. Pro |x| ≪ 1 je exp(x)  1 + x a rovnici (3) přepíšeme 1 d  2 d   e2 n0  1 Z    2    r  r dr  dr   0  Te Ti  Po substituci    / r má Poissonova rovnice tvar

pro r  0

d2    2 2 dr D

(5)

6

Potenciál statického náboje qT v plazmatu je tedy

 r   exp    4  0 r  D  qT

(6)

Na vzdálenosti D je potenciál odstíněn na 1/e vakuové hodnoty. Stínění je součtem elektronového stínění s De a iontového s Di. Debyova délka D je 2 D2  De  Di2

De 

kBTe  0 ne e2

Di 

kBTi  0 k BTi  0  ni Z 2e2 ne Z e 2

(7)

Při Te > Ti/Z dominuje iontové stínění statického náboje. Kolem každé nabité částice v plazmatu je určité stínění, tzv. dynamické stínění. Aby vzniklo stacionární iontové stínění, musí být rychlost nabité částice ≪ tepelná rychlost iontů. Pokud je částice rychlejší než tepelné ionty, ale mnohem pomalejší než je tepelná rychlost elektronů, vytváří se stacionární stínění elektrony, ale stínění ionty je ≪ než u statického náboje.

7

Předpoklady obsažené v odvození  Při odvození jsme používali hustoty nabitých částic, což s rozumnou přesností lze jen, pokud se jedná o vzdálenosti (v tomto případě λD) velké ve srovnání se střední vzdálenosti mezi částicemi. Obvykle se požaduje, aby počet elektronů ND v elektronové Debyově sféře

4 3 4  03/2 kB3/2 Te3/2 ND  De ne  3 3 e3 ne1/2

1

(8)

Veličině ND nebo jejímu násobku se říká plazmatický parametr. Pozn. Při ND <1 stínění existuje také, ale jeho fluktuace > střední hodnota stínění.  Při linearizaci Poissonovy rovnice jsme předpokládali, že potenciální energie nabitých částic |e| ≪ jejich tepelná energie kBTe. To jistě neplatí v bezprostřední blízkosti počátku, ale tam neplatí ani předchozí předpoklad. Stačí tedy předpokládat, že qT je tak malé, že na střední vzdálenosti mezi elektrony Re  3 /  4 ne 

1/3

nerovnost platí.

8

Kolektivní chování Pojmem kolektivní chování označujeme vzájemné působení částic pomocí makroskopických elektromagnetických polí na rozdíl od mikroskopických polí, kterými na sebe působí částice při binární srážce. Rychlost změny systému v důsledku binárních srážek je dána srážkovou frekvencí c. S rostoucí srážkovou frekvencí c roste význam binárního působení. V plazmatu existuje řada kolektivních pohybů, ale nejrychlejší je pohyb oblaku elektronů vůči iontům v důsledku jejich vzájemného přitahování. Použijeme opět model rovinných vrstev (obr. 1). Rychlost uspořádaného pohybu elektronů je v  d  / dt a pohybová rovnice pro elektrony je

e2 ne  e2 ne dv d2  me  e E      2 dt 0 dt  0 me

(9)

Dochází tedy k plazmovým oscilacím s elektronovou plazmovou frekvencí

e2 ne  pe   0 me

(10)

9

Elektronová plazmová frekvence pe charakterizuje sílu kolektivního působení a při pe > c kolektivní chování plazmatu převažuje. Elektronová plazmová frekvence ωpe, elektronová Debyova délka λDe a tepelná rychlost elektronů vTe splňují jednoduchý vztah

vTe  kBTe / me   pe De Pozn. Pokud započteme i pohyb iontů, pak frekvence plazmových oscilací je 2 2  p2   pe   pi2 , kde  pi2  Z 2 e2 ni /  0 M i   Z pe me / M i . Srážková frekvence nabitých částic Pro jednoduchost budeme předpokládat, že se nemění složka rychlosti v0 nalétávající částice ve směru pohybu před srážkou (platí pro velká b, kdy dochází jen k malé změně směru pohybu částice). Kolmou složku hybnosti částice získáme časovou integrací impulsu síly Obr. 2 Schéma srážky ( rˆ jednotkový vektor ve směru r , b srážkový parametr)



m v 

 F t  d t 



10

Kolmá složka síly je dána vztahem q q0 q q0 3 F  sin   sin , 2 2 4  0 r 4  0 b kde jsme využili vztahu r = b/sinθ. Závislost F⊥ na čase je dána závislostí úhlu θ. Pohyb ve směru x pokládáme za rovnoměrný, a proto t = x/v0 = −r cosθ/v0 = −b cosθ/(v0 sinθ) a tedy d t  b d  / v0 sin 2  a tedy





q q0 v  4   0 mb2





q q0 v0 b0 3  sin  (t ) d t  4   0 mb v0 0 sin  d   b ,

2 b  q q / (2   m v kde b0 je Landauova délka 0 0 0 0) Srážkový parametr b0 odpovídá rozptylu na 90, tedy ztrátě původního směru 2    b rychlosti. Účinný průřez pro rozptyl na úhel ≥ 90 je 0 .

Srážková frekvence (pro rozptyl na velké úhly) je pak

n0 q 2 q02  L   n0 v0 b  4   02 m2 v30 2 0

11

Rozptyl na malé úhly Elektrostatické pole - síla dalekého dosahu - nad rozptylem na velké úhly často převažuje suma mnoha rozptylů na malé úhly. Ke ztrátě původní orientace rychlosti tedy pravděpodobně dojde mnoha malými změnami vektoru rychlosti dříve, než nastane jedna srážka s velkým úhlem rozptylu. Srážková frekvence je pak definována jako 1 lomeno průměrnou dobou, za kterou částice ztratí původní orientaci rychlosti. Historii pohybu částice lze považovat za náhodnou procházku v prostoru rychlostí. Dojde-li v určitém časovém intervalu k N srážkám, je změna např. y složky rychlosti

v y  v y1  v y 2 

 v yN

,

Přitom střední hodnota v y  v yi  0 . Poněvadž lze považovat jednotlivé srážky za nekorelované, je disperze vy

Dv y 

 v  y

2

 N     v yi   i 1 

2

   v yi  N

i 1

2

N

 v  y1

2

12

Pro jednu srážku se srážkovým parametrem b je 2 v02 b02 2 2 v  v y   v z   2  b

v02 b02    v y1   2 b2 Počet srážek se srážkovým parametrem v intervalu db je d N  n0 v0 2 b d b a tedy celková disperze kolmé složky rychlosti je dána vztahem 2 bmax d 3 2 db 3 2 v y    n0 v0 b0    n0 v0 b0 ln  tot dt b bmin Divergující integrál jsme museli omezit. Spodní hranice je dána předpokladem rozptylů na malé úhly, a ten pro srážkové parametry menší než b0 neplatí. Pro velké srážkové parametry neplatí předpoklad o coulombickém působení mezi částicemi, neboť se zde uplatní Debyovo stínění, proto volíme bmax = λDe. Označme pro srážku mezi elektrony s tepelnou rychlostí vTe 2 De 2   0 De me vTe 3 3    2  ne De  N D 2 (11) b0 e 2 Pokud je plazmatický parametr ND velký, pak i  velké. Veličina ln se nazývá Coulombův (coulombovský) logaritmus. Je to poměr srážkové frekvence všech srážek k frekvenci rozptylu na úhly větší než 90. 2

13

Srážková frekvence pro srážky elektronů s rychlostí v0 s elektrony je 8  n0 e4  ln  2 2 3 .  4   0  me v0 Srážková frekvence coulombických srážek je ∼ v−3 a střední volná dráha je ∼ v4, proto relativně rychlé elektrony z konce rozdělení rychlostí mají málo srážek a mohou bez větší změny směru projít poměrně velkou vzdálenost. Srážkovou frekvenci elektronů s tepelnou rychlostí v0 = vTe = (kB Te/me)1/2 nazýváme efektivní srážkovou frekvencí 8  ne e4 c  ln  2 3/2 1/2 (12)  4   0  me  kB Te  Poměr srážkové frekvence k plazmové frekvenci je c 1 ln  ln  3N D / 2     1 pro N D 3  pe 2  n0 De 3N D / 2

1

Pro velké hodnoty ND dominuje kolektivní chování charakterizované pe nad vlivem binárních interakcí charakterizovaných c. Takové plazma se nazývá ideální plazma. Některé jevy lze pak popsat v přiblížení bezesrážkového plazmatu.

14

Poměr potenciální a kinetické energie Porovnejme energii elektronu v poli nejbližšího elektronu, vzdáleného o střední vzdálenost Re = [3/(4π ne)]1/3 s jeho kinetickou energií (uvažujeme nedegenerované plazma) e2 ne1/3 e2 3 Wp  1/3 Wk kBTe 2/3 4  0 Re 3  4    0 2 2/3

 e n 2 3 2    (13) Wk 9  4  k T  9 N D2/3 V ideálním plazmatu je ND ≫ 1 a kinetická energie částic je tedy ≫ jejich vazebná (potenciální) energie. Jde tedy o slabě vázané plazma. Tím se ideální plazma přibližuje plynu, často mluvíme o ionizovaném plynu. Stavová rovnice ideálního plynu je pak dobrou aproximací stavové rovnice elektronů v ideálním plazmatu. Wp

3

1/2 e 3/2 3/2 3/2 0 B e

15

Parametr vázanosti plazmatu  Uspořádání iontů je dáno poměrem potenciální energie 2 sousedních iontů se středním nábojem Z ve střední vzdálenosti Ri ke kinetické energii iontu 2 2 1/3 Z e  4  Z e ni    (14) 4  0 Ri k BTi  3  4  0 k BTi Pokud  ≪ 1 jedná se o slabě vázané (weakly coupled) plazma, kde jsou ionty neuspořádané jako v plynu. Stavová rovnice ideálního plynu je pak dobrou aproximací iontové stavové rovnice v plazmatu, navíc lze pak obvykle zanedbat i interakční energii mezi elektrony a ionty. Ideální plazma je plazma slabě vázané, kde obvykle vystačíme s klasickým (nekvantovým) popisem. Naopak při  ≫ 1 se jedná o silně vázané plazma, kde jsou ionty k sobě vázány obdobně jako v kapalině či pevné látce. Kvantové efekty hrají podstatnou roli v chování silně vázaného plazmatu. Degenerované plazma Degenerovaný jsou elektrony, a to při elektronové teplotě < Fermiho energie 2/3  2 2  3 ne  k BTe  EF    2 me    2 2

1/3

16

Různé typy plazmatu Plazma v přírodě Ideální - výboje; ionosféra; sluneční vítr; vnější vrstvy hvězd; mezihvězdný plyn Ideální i neideální - vnitřky hvězd (střed slunce je téměř ideální plazma  = 150 g/cm3, T = 1.35 keV,  = 0.14) Neideální - elektronový plyn v kovech (degenerované plazma), elektrolyty, jádra velkých planet Plazma v laboratoři Ideální - výboje různých typů (elektronky, výboje pro čerpání plynových laserů, pinče, kapilární výboj); MHD generátory; iontové motory, laserové plazma z plynných terčů Ideální i neideální - laserové plazma z pevných (či kapalných) terčů Plazma, které nesplňuje definice Často mluvíme o plazmatu tam, kde nás zajímají obdobné jevy jako v plazmatu (např. kolektivní chování systému), ačkoliv definice splněna není neneutrální plazma - intenzivní svazky nabitých částic

Počet částic (elektronů + iontů) v Debyově sféře o poloměru D

17

Převzato z R.P. Drake, High-Energy-Density Physics, Springer 2006

(a) Plazma z materiálů s vysokým atomovým číslem, kde se předpokládá střední ionizace Z = 0.63 Te , kde Te je v eV. (b) Plazma z materiálů s nízkým atomovým číslem, kde se předpokládá střední ionizace Z=4

18

Typické parametry různých forem plazmatu – zde vždy n D3 > 1 a pe > ei.

19

Typické teploty a hustoty různých forem plazmatu